Prof. Joaquim Rodrigues
TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS DERIVADAS
INTEGRAIS
01)
Se f ( x ) = x , então f ′( x) = 1
02)
Se f ( x ) = ax , então f ′( x ) = a
∫1 dx = 1 ∫ dx = ∫ dx = x + c ∫ adx = a ∫ dx = ax + c
03)
Se f ( x ) = x n , então f ′( x ) = n ⋅ x n − 1
04) 05) 06)
Se f ( x ) = log a x , então f ′( x ) = Se f ( x ) = ln x , então f ′( x) =
∫ x 1
1
Se f ( x ) = a x , então f ′( x) = a x ⋅ ln a
∫a
x
Se f ( x ) = sen x , então f ′( x ) = cos x
09)
Se f ( x ) = cos x , então f ′( x ) = − sen x
10)
Se f ( x ) = tg x , então f ′( x ) = sec 2 x
11)
Se f ( x ) = ctg x , então f ′( x ) = − csc 2 x
12)
Se f ( x ) = sec x , então f ′( x ) = tg x ⋅ sec x
13)
Se f ( x ) = csc x , então f ′( x ) = −ctg x ⋅ csc x
17) 18)
2
1
Se f ( x ) =
2
⋅ ln
)
a x
ln a
+c
∫ e dx = e + c ∫ cos x dx = sen x + c ∫ sen x dx = − cos x + c ∫ sec x dx = tg x + c ∫ csc x dx = −ctg x + c ∫ sec x ⋅ tg x dx = sec x + c ∫ csc x ⋅ ctg x dx = − csc x + c 1 ∫ 1 + x dx = arc tg x + c x
2
1 1 + x 2 1
2
1
∫
1 − x 2 1
∫−
1 − x 2
x + 1 , então f ′( x) =
1 + x
x + c
2
Se f ( x ) = arc cos x , então f ′( x) = −
(
dx =
x
Se f ( x ) = arc sen x , então f ′( x) =
Se f ( x ) = ln x +
a
∫ x dx = ln x + c
08)
16)
+ c , n ≠ −1
1
x
Se f ( x ) = arc tg x , então f ′( x) =
n +1
∫ x ⋅ ln a dx = log
x ⋅ ln a
Se f ( x ) = e x , então f ′( x ) = e x
15)
dx =
x n +1
1
07)
14)
n
1 1 + x 2
∫
1 − x 2 1
dx = arc cos x + c 2 x 1− 1 2 dx = ln x + x + 1 + c 1 + x 2
1
1
∫ 1 − x
, então f ′( x) = 1 − x 1 − x 2
dx = arc sen x + c
2
dx =
1 2
⋅ ln
1 + x 1 − x
+c
Regra do produto:
Regra de L’Hospital
Se f ( x ) = u ⋅ v , então f ′( x ) = u ′v + uv ′
Seja lim f ( x) = 0 e lim g ( x) = 0 e se existe
Regra do quociente:
lim
Se f ( x ) =
u v
, então: f ′ ( x) =
u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ v2
x → a
x → a
. lim
x → a
Regra da cadeia:
f ( x ) = g [ h ( x )] ⇒ f ′( x) = g ′ [ h ( x )] ⋅ h ′ ( x)
f ′( x ) g ′( x ) f ( x) g ( x )
x → a
, então existe lim
x → a
= lim
x → a
f ′( x ) g ′( x)
f ( x ) g ( x )
e daí temos:
Prof. Joaquim Rodrigues
INTEGRAÇÃO POR PARTE:
∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx
PRODUTOS NOTÁVEIS 2
2
1. ( A + B) = A + 2 AB + B
PRINCIPAIS BASES DOS LOGARITMOS 2
1. LOG A = LOG 10 A
2. ( A − B) 2 = A 2 − 2 AB + B 2
2. LN A = LOG e A , onde e = 2 , 71
3. A 2 − B 2 = ( A + B)( A − B ) 4. ( A + B) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3 5. ( A − B) 3 = A3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3 6. A 3 − B 3 = ( A − B)( A 2 + AB + B 2 ) 3
3
2
COLOGARITMO:
ARCOS NOTÁVEIS
2
7. A + B = ( A + B)( A − AB + B )
sen
m n m n 1. a ⋅ a = a + am m−n =a 2. ( a ≠ 0 e m ≥ n) n a
(a ) m
n
=a
a 5. b
=
a
2.
bn
(b ≠ 0)
a ⋅ n b = n a ⋅b
n
a
n
n
a
(b ≠ 0)
b
b
m
3.
n
a
m
=a
n
FÓRMULA DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU 2 Dado Ax + Bx + C = 0 , então
2
2
tg
2
2 1 2
2
3
1
3
3
CICLO TRIGONOMÉTRICO sen cos
0 0 1
2 A
LOGARITMOS 1. LOG K A + LOG K B = LOG K ( AB )
A 2. LOG K A − LOG K B = LOG K B n 3. LOG K A = n ⋅ LOG K A
MUDANÇA DE BASE LOG K A LOG K B
90º 1 0
180º 0 −1
270º −1 0
360º 0 1
Vale lembrar que π rad → 180°
IDENTIDADES FUNDAMENTAIS 1. sen 2 x + cos 2 x = 1 sen x 2. tg x = cos x 3. cot g x =
− B ± B − 4 AC
LOG B A =
3
3
2
x =
2
o
n
=
60º
2
n
EXPOENTES FRACIONÁRIOS 1.
45º
m⋅n
4. (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n n
30º 1
cos
EXPOENTES INTEIROS
3.
COLOG B A = − LOG B A
4. sec x =
cos x sen x
1 cos x
5. cos sec x =
1 sen x
FÓRMULAS PARA O ARCO DOBRO 1. sen 2a = 2 sen a ⋅ cos a
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a 2. cos 2a = 1 − 2 sen 2 a cos 2a = 2 cos 2 a − 1
