02. Análise de Sistemas Em Tempo Contínuo

EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares 1.

UFABC

Resolução Lista 02 (Aline) v1.1

Classifiqueosseguintessistem Classifiqueosseguintessistemascomrelaçãoà ascomrelaçãoà linearidade,invariân linearidade,invariâncianotempo,inversibilida cianotempo,inversibilidade,estabili de,estabilidadee dadee causalidade: (a) (b)

  ( ()     55  3  

(c) (d)

  /2   cos cos2 2 

(R.: linear,varian linear,varianteno tenotempo tempo,inve ,inversível, rsível,estáv estável,nã el,nãocausa ocausal; l; não-li não -linear near,i ,invar nvariant ianten enot otemp empo, o,não nãoinv inversí ersível vel,e ,está stável, vel,ca causal usal; ; linear, linear,va varian riante teno notem tempo, po,nã nãoin oinver versíve sível, l,est estáve ável, l,cau causal; sal; linear, linear,va varian riante teno notem tempo, po,nã nãoin oinver versíve sível, l,est estáve ável, l,não nãocau causal) sal)

çã    (()) ⇒ (  ) ≠ ()  ()     ∴          )       () ⇒   ( )  (( (  ) ∴ ()   1,0,   ≥ 00 0   1   0 ∴ ()   1,0,   ≥ 00 1 0 ∴ (a) Linearidade:

Sistema não-linear

Invariância no tempo:

Sistema invariante no tempo

Inversibilidade:

Pela definição do degrau unitário:

inverter o sistema, pois qualquer valor maior que

, podemos perceber que não há um meio de

para

retorna uma saída igual a . Essa saída pode

então estar relacionada uma gama infinita de entradas possíveis. O mesmo vale para

.

Sistema não inversível

Estabilidade:

Pela definição do degrau unitário:

, não importando o valor da entrada, a saída

será sempre ou , ou seja, será sempre limitada. Sistema estável

Causalidade:

  () ∴

indica que a saída não depende de valores futuros da entrada. Mais ainda: a saída depende

de um valor instantâneo da entrada. Logo, há uma causa-efeito em tempo real no sistema. Sistema causal

Fernando Freitas Alves

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EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares

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(b) Linearidade:

      5 5  33  ⇒  5  3    5  3     5  3     5  3       ∴          5  3  ⇒     5   3  5 3   5 3      ≠  ∴     5  3      5     5    2      2 ∞ ∞    3  ∴ Sistema linear


Sistema variante no tempo

Inversibilidade:

Pela definição do sistema:

, se

impede que possamos isolar o valor de . Como a entrada é definida do

ao

, teríamos

, pois para isso, precisaríamos do valor de

, não possuímos um valor prévio, visto que para

possuí-lo, precisaríamos de outro valor prévio, o que gera uma dependência sequencial infinita, impedindo que conheçamos o valor de

. O mesmo valor para

.

Sistema não inversível

Estabilidade: Como a saída depende diretamente de valores da entrada, se a entrada for limitada, a saída também será, logo, trata-se de um sistema BIBO ( Bounded Input Bounded Output ).

∴

Sistema estável

Causalidade: Como a saída do sistema depende de valor futuro da entrada:

3  

; o sistema não é definido como

causa-efeito.

∴

Sistema não-causal


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(c) Linearidade:

    /2 /2 ⇒ /2  /2     ∴        /2     /2 ⇒    /2   ( /2)   ≠  ∴   /2   2 ∴ Sistema linear



Inversibilidade: Defina

. Desse modo, temos que

. Logo, a função inversa é bijetora.

Sistema inversível

Estabilidade: Como a saída depende diretamente de valores da entrada, se a entrada for limitada, a saída também será, logo, trata-se de um sistema BIBO ( Bounded Input Bounded Output ).

∴

Sistema estável

Causalidade: Como a saída do sistema depende de valor futuro da entrada:

/2 

implicaria em resultados que dependeriam de valores futuros de

, pois um tempo

  /2  

; o sistema não é definido como

causa-efeito.

∴

Sistema não-causal


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(d) Linearidade:

      cos2 cos2 ⇒  cos2   cos2     ∴         cos2       cos2 ⇒    cos2     cos(2  )    ≠  ∴ cos2  cos−2   ∴ cos2 Sistema linear



Inversibilidade:

Como a função inversa de

pode retornar dois ângulos possíveis para um mesmo

valor de , não é possível isolar o valor de

no sistema por nenhum método.

Sistema não-inversível

Estabilidade:

Como a saída depende diretamente de valores da entrada e

é uma função limitada entre

1 1 e

inclusivamente, se a entrada for limitada, a saída também será, logo, trata-se de um sistema BIBO ( Bounded

Input Bounded Output ).

∴

Sistema estável

Causalidade: Como a saída do sistema não depende de valor futuro da entrada:

cos2

; mas somente de valor

instantâneo, o sistema é definido como causa-efeito.

∴

Sistema causal


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2.

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tri   10, ||, ||| | ≥ 11 ret   1,0, ||| | > 1/21/2   2 tri/4   2   1   1   5 ret/2 (  1  )   1/2   1/2   5/2 5 10 1,5 0,5 0 çã   2 tri/4   2   1  − 2 tri/4   2  1  1  − 2 tri/4   2  1    ⇒ 1  − 2 tri/4   3  ⇒ 1  − 2 tri/4   1  ⇒ 1  2 1 3/4 ⇒ 1  2 1 1/4 ⇒ 1  0,5 ⇒ 1  1,5   5 ret/2 ( 1  )   1/2  5 − ret/2 ( 1  1/2 1/2  5 − ret/2 (  1  1/2    1/2)   1/2)  ⇒ 1/2  5 − ret/2 (  1/2 ⇒ 1/2  5 − ret/2 (  3/2    1/2)    1/2)  ⇒ 1/2  5 1  1 ⇒ 1/2  5 ·1 ⇒ 1/2  10 ⇒ 1/2  5  5/2  5 − ret/2 ( 1 5/2    5/2)   ⇒ 5/2  5 − ret/2 ( 7/2    5/2)  ⇒ 5/2  5 · 0 ⇒ 5/2  0 Definindoasfunções

e

(a) Determineovalorde (b) Determineovalorde (R.:

;

;

;

:

para

e

para

.

,

e

.

; )

(a)

(b)


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Façaosgráficosdasseguintesfunções:

  ret/2 ∗ (  2    1)   ret ∗ tri çã

(a)

(c)


  − ∗ −

(b)

(a)

(c)

(b)


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ℎ  −

4. Arespostaao impulsodeumsistemaLIT é for:

  

.Determinearespostadosistemaseaentrada

−   −  1 − 0,1sen3  3cos3  3− −  − çã    ∗ ℎ ⇒    ℎ    ⇒   −+   0     ⇒       1 ⇒   −   ⇒   −  1 ⇒   1  −    ∗ ℎ ⇒    ℎ    ⇒    −−+   0     ⇒      1 ⇒   −   ⇒   −

(a)

(c)

(b)

(d)

(R.:

;

;

;


− sen3 

)

(a)

(c)

(b)

(d)

   ∗ ℎ ⇒    ℎ    ⇒   −−+   0     ⇒       1 ⇒   −  − ⇒   −−  1 ⇒   −   −    ∗ ℎ ⇒    ℎ    ⇒    sen3 −+   0     ⇒       1 ⇒   −   sen3  ⇒   0,1−−sen3  3cos3|= ⇒   0,1  sen3  3cos3  3 ⇒   0,1sen3  3cos3  3−

     sen3   sen3  3  cos3    sen3  3cos3  9  sen3 Fernando Freitas Alves

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      23    1   

5. Afigura abaixo mostrauma entrada entrada



deumsistemaHLIT,a saídacorrespondente

.

(a) Andrésugereque

eumasegunda

.Andréestácorreto?Sesim,prove.Senão,corrijaseuerro.

(b) EsperandoimpressionarAndré,Samantaquersaberqualaresposta Forneçaaelaumaexpressãopara

emfunçãode



paraosinaldeentrada



.UtilizeoMATLABparatraçar

.

.

2    1  2  2 çã 23    1 (R.:Não;

)

(a) André não está certo, pois

segue na figura abaixo:

3 3 /3   2/3    1   2    1  2  2

O erro está na falsa expansão do tempo em Para expandir ou:

(b)



, essa parte deve ser corrigida para

  ∫−    |≤<   2  2  2  |≤<       1    1


. Na realidade,

comprime temporalmente



.

. Logo:

 |≤<   2  2  2  2  2 ∴   2    1  2 2

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       2   1  2  2 ⇒   2   1  2  2

Ou, como a segunda resposta para defasadas de


em

para

é LIT, podemos calcular

pela mesma superposição das cópias

:

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  

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1


ℎ   1

Dois sistemas lineares invariantes no tempo, cada um com resposta ao impulso conectadosemsérie.Dadaaentrada

,determine

mostrada abaixo, são

,ouseja,asaídanoinstante

.

çã ℎ   2  1(   2)    ∗ ℎ ∗ ℎ  ℎ ∗ ℎ   ℎℎ     ⇒ ℎ ∗ ℎ    2  1(    2)[  2  1(      2)]   ⇒ ℎ ∗ ℎ|≤<    2  1  2   1      ⇒ ℎ ∗ ℎ|≤<    4  2  1        | ⇒ ℎ  ∗ ℎ  ≤<  24  2     1   24  2        ⇒ 1   24  2   ⇒ 1  961  16  12  1 1696 48  3211  0,34375

Pelo gráfico da resposta ao impulso, podemos perceber que:

Analisando a convolução, temos que:

onde:

Logo, concluímos que:


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         2  

Paraossistemasdescritospelasseguintesequações,comentrada sãolinearesequaissãonãolineares.

Resolução Lista 02 (Aline) v1.1 esaída

, determine quais sistemas

  2     3   3  2    çã  −           −  ⋯  −   ⋯ −     −   ⇒ ∑   ∑   − = = (a)

(d)

(b)

(e)

(c)

(R.:somente élinear)

Tomando uma equação genérica:

podemos provar que ela é linear por:

 −   ∑   ∑   −        −  − = =  ∑    ∑    ∑   ∑   −  −          − = = = = ∑   ∑   −  = = 

Logo: (a)

 ⇒ 2⇒   ⇒  ⇒

Não-linear

(b) Linear (c) (d) (e)

Não-linear Não-linear Não-linear


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Considereocircuitoelétricodafiguraabaixo.



(a) Determineaequaçãodiferencialquerelacionaaentrada

   

e



comasaída

    

.Lembre-seque

.

(b) Determineaequaçãocaracterísticaparaestecircuitoeexpressea(s)raiz(es)daequaçãoemtermosde e .

çã (a) Seguindo as premissas do enunciado, de acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff:

Como

  

, temos:

     ⇒             ⇒ ̈  1   1  ;   

(b) A equação característica sai da suposição de uma solução homogênea do tipo

 ( )  1 ( )  0 ⇒   1  0 ⇒   ±   ± 


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   

:

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 ℎ  (  1,5) 3    3 Osinalperiódico

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  

mostradonafiguraabaixoéaentradadeumsistemacomrespostaaoimpulsodadapor ,tambémmostradanafigura.Useaconvolução paradeterminarasaída

sistema.Trace

nointervalo

.

deste

çã Pelo gráfico do sinal de entrada, podemos perceber que:

         1    2   3  ⋯  ∑1   =

Analisando a convolução apenas em um período da entrada (pois, para um sistema LIT, a saída também será periódica), temos que:

com as seguintes regiões:

    ∗ ℎ  ℎ     ⇒    (   1,5)∑=1       , |≤<,     +     58    ⇒ |,≤<    2  ⇒ |≤<,  −     12 ,   ⇒ |,≤<  −    2   58 EFEITO DE PERIODICIDADE

Portanto, resultamos com:


/25/8   /2 1/2   5/8   2

00,5  0,15 11,5  1,25 ∀

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03/12/13 – pág. 13/14



UFABC

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03/12/13 – pág. 14/14

02. Análise de Sistemas Em Tempo Contínuo

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