02 02 Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR. SISTEMAS RADIALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, enero de 2018.

Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

CONTENIDO. CONTENIDO........................................................................................................................ 2 PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4 ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6 2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR. ........................................................ 8 2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES............................................................................ 14 Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .. 14 Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo capilar............................................................................................................................. 15 Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30. ........................................................................... 15 Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird. Página 2.18. .................................................................................................................... 16 Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema 2.B1 del Bird. Página 2.30. ............................................................................................ 17 Ejemplo 2.30. ................................................................................................................. 17 Ejemplo 2.31. ................................................................................................................. 18 Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior. Problema 2.J2 del Bird. .................................................................................................. 18 Ejemplo 2.33. ................................................................................................................. 19 Ejemplo 2.34. ................................................................................................................. 20 Ejemplo 2.35. ................................................................................................................. 20 Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. .......................................................................................................................... 21 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 22 Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284. 28 Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28 Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28 Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird. Segunda Edición. Página 301. ....................................................................................... 29 Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 216. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird. Segunda Edición. Página 303. ....................................................................................... 30 Ejemplo 2.42. ................................................................................................................. 31 Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. ...................................................................................................... 32 Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. ...................................................................... 32 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Sistemas radiales.

Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del Bird. Página 2-34. .......................................................................................................... 32 Ejemplo 2.46. ................................................................................................................. 33 Ejemplo 2.47. ................................................................................................................. 33 Ejemplo 2.48. ................................................................................................................. 33 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 34 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................... 36 TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE.................................................................................. 37 OBRAS DEL MISMO AUTOR. ....................................................................................... 38

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

PRESENTACIÓN. La presente es un Manual de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las distribuciones de velocidad en flujo laminar para sistemas radiales, contiene los fundamentos teóricos, 24 ejercicios resueltos paso a paso y 11 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos, así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología. Antes de abordar los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante debe haber tomado un curso sobre viscosidad y mecanismo del transporte. El concepto de distribuciones de velocidad en flujo laminar es fundamental en el estudio de los Fenómenos de Transporte, pues es la base de algunas definiciones involucradas en el estudio de esta materia (Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos, flujo a régimen permanente en canales abiertos y balances macroscópicos en Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

sistemas isotérmicos), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de los perfiles de velocidad en flujo laminar para sistemas radiales en el flujo a través de un tubo circular para diferentes tipos de fluidos. Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte y la Mecánica de Fluidos, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas, Maturín, Estado Monagas, Venezuela.

Ing. Willians Medina.



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Sistemas radiales.

ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa) mediante

la

corporación

http://www.amazon.com/

y

su

página

académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



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Sistemas radiales.

2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <> de longitud L y radio R .

r

p0

z

L  R

Elemento diferencial de radio.

r

r



R

L

, R

pL

Condiciones: Estado estacionario. Flujo laminar. Fluido Newtoniano. Propiedades del fluido constantes (  ,  ). Efectos de borde despreciables. Flujo en dirección z ( vr  0 , v  0 , v z  0 ). La velocidad varía en función de r : v z  v z (r ) . Se analizan cada uno de los términos involucrados en el balance de cantidad de movimiento:



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Sistemas radiales.

– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r . Área de contacto (Área paralela a  r ): 2  r L

r

Densidad de flujo de cantidad de movimiento:  r z Cantidad de movimiento: 2  r L r z

(2.24)

r

– Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r   r . Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

Área de contacto (Área paralela a r   r ): 2  r L

r  r

Densidad de flujo de cantidad de movimiento:  r z Cantidad de movimiento: 2  r L r z

(2.25)

r  r

– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en z  0 . Flujo de cantidad de movimiento = Flujo másico  Velocidad. Flujo másico = Flujo volumétrico  Densidad ( m  Q   ). Flujo volumétrico = Área  Velocidad ( Q  A  v z ). Área de flujo: A   [(r   r ) 2  r 2 ]

A   [ r 2  2 r  r  ( r ) 2  r 2 ] A   [ 2 r  r  ( r ) 2 ]

 r  0  ( r ) 2  0 A  2 r  r Flujo volumétrico:

Q  2  r  r  (v z Q  2 r  r vz

z 0

)

z 0

Flujo másico:

m  2 r  r vz

z 0

m  2 r  r vz 



z 0

Flujo de cantidad de movimiento

= 2 r  r vz  = 2  r  r v z2 

z 0

 (v z

z 0

)

z 0

(2.26)

Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en

z  L. Flujo de cantidad de movimiento = 2  r  r v z2  Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

zL


(2.27) 10


Sistemas radiales.

Fuerza de gravedad que actúa sobre la envoltura cilíndrica: Fuerza = Peso del fluido en la dirección del flujo. Fuerza = Masa  Aceleración de la gravedad. Fuerza = Volumen  Densidad  Aceleración de la gravedad.

Fg  (2  r  r L)  (  )  ( g z )

Fg  2  r  r L  g z

(2.28)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z  0 . Fuerza = Área  Presión.

Fp  (2  r  r )  p0

Fp  2  r  r p0

(2.29)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z  L . Fuerza = Área  Presión.

Fp  (2  r  r )  p L

Fp  2  r  r p L

(2.30)

Balance de cantidad de movimiento:

2  r L  r z r  2  r L  r z r   r  2  r  r v z2  z 0  2  r  r v z2  z  L  2  r  r L  g z       Efecto viscoso

Efecto de gravedad

Efecto de velocidad

2  r  r p0  2  r  r p L  0  Efecto de presión

(2.31) Como v z vale lo mismo para z  0 y z  L , los términos tercero y cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.

2  r L r z r  2  r L r z r   r  2  r  r L  g z  2  r  r p0  2  r  r p L  0       Efecto de gravedad

Efecto viscoso

2  r L r z r  2  r L r z

r  r

(2.32)

Efecto de presión

 2  r  r L  g z  2  r  r ( p0  p L )  0

(2.33)

Las películas cilíndricas descendentes son de longitud L y de espesor  r .



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Sistemas radiales.

La ecuación (2.33) corresponde al balance de cantidad de movimiento en coordenadas cilíndricas para una película cilíndrica descendente. En caso de un sistema en el cual las coordenadas cilíndricas se encuentren en otra orientación, debe hacerse la adaptación de la ecuación (2.33) al sistema indicado. La ecuación (2.33) es el punto de partida para abordar cualquier problema de flujo laminar en tuberías, bien sea que el flujo se deba a la gravedad (inclinado o vertical), a una diferencia de presión ( p0  p L  0 ) o a la transferencia de cantidad de movimiento (movimiento de la tubería). Para su aplicación se pueden presentar los siguientes casos: Flujo sin diferencia de presión ( p0  pL  0 ).

2  r L r z r  2  r L r z

r  r

 2 r  r L  g z  0

(2.34)

Tubería horizontal ( g z  0 ).

2  r L r z r  2  r L r z

r  r

 2  r  r ( p0  p L )  0

(2.35)

En este caso, para que exista flujo, debe estar presente por lo menos una tubería en movimiento o ambas estáticas con el fluido sometido a una diferencia de presión. Tubería vertical ( g z  g ).

2  r L r z r  2  r L r z

r  r

 2  r  r L  g  2  r  r ( p0  p L )  0

(2.36)

En este caso, el flujo puede existir a expensas de la diferencia de presión, sólo por el efecto gravitacional. Si adicionalmente no existe diferencia de presión, la ecuación (2.36) se reduce a:

2  r L r z r  2  r L r z

r  r

 2 r  r L  g  0

(2.37)

En los ejemplos resueltos en este manual se partirá de la ecuación (2.33) directamente, pues su deducción ya ha sido mostrada rigurosamente. Definición de la derivada de una función: f d f  lim  d x  x0  

x x

f

x

x

   

(2.38)

Ley de Newton de la viscosidad: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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 r z  

Sistemas radiales.

d vz dr

(2.39)

Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.

r

Velocidad máxima.

 v 

r , r z  0

R

Velocidad media. 2

vz , max  vz



Flujo volumétrico.

R

  v (r ) r d r d     r d r d 0

0 2

0

z

R

Q

2

0



R

0

v z (r ) r d r d 

0

Número de Reynolds.

Re 

D v 

(2.40a)



Re 

4Q   D

(2.40b)

Re 

4 m  D

(2.40c)

Re 

4 m  D 

(2.40d)

Flujo laminar

Re  2100

Flujo turbulento

Re  2100

Desarrollo en serie de potencias para funciones de interés.

ln (1  x)   x  ex  1 x 

x 2 x3 x 4 x5 (1)n 1 n     ...  x  ... 2 3 4 5 n

x2 x3 x4 x5 xn     ...   ... 2! 3! 4! 5! n!

(2.41) (2.42)

Integrales notables. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

1 ax e c a a x 1 a x ax  x e d x  a2 e  c mxa bm  an m  n x  b d x  n x  n 2 ln (n x  b)  c

e

ax

a

2

a

2

dx

(2.43) (2.44) (2.45)

 bu  a  1 1 c du ln  2 2 2 a b  b u  a  b u

(2.46)

u 1 d u   2 ln (a 2  b 2 u 2 )  c 2 2 b u 2b

(2.47)

2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES. Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <> de longitud L y radio R .

r

p0

L  R

z

L

, R

pL

Determinar: a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. c) Velocidad máxima. d) Velocidad media. e) Velocidad volumétrica de flujo. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo capilar. Por un tubo horizontal de 30 cm de longitud y 2.5 mm de diámetro interno, fluye glicerina (CH2OH.CHOH.CH2OH) a 26.5ºC. Para una caída de presión de 2.957 kgf/cm2 la velocidad de flujo es 1.883 cm3/s. La densidad de la glicerina a 26.5ºC es 1.261 g/cm 3. A partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises. (La medida del flujo en tubos capilares es uno de los métodos corrientes para la determinación de viscosidad; estos aparatos se denominan <>).

p 30.00 cm

R

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30. Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velocidad de flujo de un fluido viscoso a través del tubo. Hallar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos: Longitud del capilar = 50.02 cm Viscosidad cinemática del fluido = 4.0310-5 m2 /s Densidad del fluido = 0.9552103 kg/m3 Caída de presión a través del tubo capilar (horizontal) = 4.829105 N/m2 = 4.766 atm. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

Velocidad de flujo de masa a través del tubo = 2.99710-3 kg/s.

p 50.02 cm

R

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird. Página 2.18. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R .

pL

L

,

2k R R

p0

z r Determinar. a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

c) Velocidad máxima. d) Velocidad media. e) Velocidad volumétrica de flujo. f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior. g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema 2.B1 del Bird. Página 2.30. Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro interior es de 1.257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2.794 cm. Mediante una bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa (C12H22O11) al 60 por ciento a 20ºC. La densidad del fluido es de 1.286 g/cm 3 y su viscosidad 56.5 cp. ¿Cuál es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una diferencia de presión de 0.379 kgf/cm2? VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.30. Un intercambiador de calor de doble tubo, concéntricos (ver figura), se utiliza para calentar una línea de glicerina utilizando agua caliente proveniente de otro proceso. La glicerina circula por la región anular experimentando una caída de presión a lo largo del intercambiador de 2.1 atm. En estas condiciones: a) Qué caudal de este producto fluye por la región anular? b) ¿Qué fuerza ejerce éste sobre las paredes del tubo? c) Determine si el flujo es laminar o no. Considere que la densidad y la viscosidad de la glicerina son constantes e iguales a 1.261 g/cm3 y 65 cP respectivamente. d) Si el mismo caudal de un plástico de Bingham (  0  600 Pa ,  0  80 mPa.s ,

  1.55 g/cm 3 ) fluye por la zona anular, determine la caída de presión en este caso. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

0.20 m 0.09 m

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.31. Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una velocidad V . Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L .

V

r

R

kR z

L VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior. Problema 2.J2 del Bird. Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz.



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Fluido a la presión

Sistemas radiales.

Cilindro de radio interior

p0

R


p0

r z Varilla de radio

kR

que se mueve con velocidad

V

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.33. En el diseño original de un sistema, se transporta agua en flujo estacionario (   1000 kg/m 3 ,   1 mPa.s ) a través de una tubería horizontal de 1 m de longitud y 4 cm de radio desde un punto a otro, entre los cuales existe una caída de presión por unidad de longitud (P0 – PL)/L = 0.05 Pa/m. Se modifica el diseño original colocando concéntricamente en el interior del tubo de 4 cm de radio un tubo de 2 cm de radio, como se muestra en la figura.

r vo

z

z0 P  P0

zL P  PL

Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Desprecie efectos gravitacionales.



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Sistemas radiales.

[Sugerencia: Para el flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior, el caudal está dado por la ecuación Q 

Fz (r )  

 R 2V  (1  k 2 ) 2

  2 k 2  y la fuerza por   ln (1 / k ) 

2  V L ]. ln k

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.34. Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio

R1 y R 2 (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la derecha, ambos con velocidad v 0 , calcule: a) La distribución de velocidad. b) El caudal que pasa entre los dos cilindros. c) Determine la posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero.

vo vo

R2

r z

R1

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.35. Se tiene una tubería vertical de radio R 2 y dentro de ella, un fluido newtoniano que se mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y delgada de masa m , radio R1 y longitud L ( L  R1 ) como puede verse en la figura. Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba. Se pide: a) La distribución de velocidad que hay entre los dos cilindros concéntricos. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

b) La diferencia de presión  p que debe haber entre los extremos de la barra para que ésta pueda mantenerse en equilibrio. c) El caudal que pasa entre los dos cilindros.

m pL

L

L  R1 L  R2

,

2 R1 R2

p0

z r VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor  r , tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de <> y <> se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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 g R2 vz  4

Sistemas radiales.

  r 2  r  2 1     2 a ln    R    R 

b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película. c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q 

 gW  3 si el 3

espesor de la película es muy pequeño.

r z

L

, r



r

aR

R

R

aR VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 1. Para medir de forma continua la velocidad de flujo de un líquido con la densidad

  875 kg/m 3 ,   1.13  10 3 Pa.s se usa un pequeño capilar con diámetro interior 2.22  10 3 m y longitud 0.317 m. La lectura de la caída de presión a través del capilar durante el flujo es 0.0655 m de agua (   996 kg/m 3 ). ¿Cuál es la velocidad de flujo en m3/s sin tomar en cuenta los efectos en los extremos del tubo? Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


22


Sistemas radiales.

Respuesta: Q  1.06  10 6 m 3 /s . 2. En un laboratorio de mecánica de fluidos se cuenta con un capilar horizontal de longitud

L  60 cm , dos fluidos (agua @ 20ºC y uno desconocido) e instrumentos para medir la caída de presión en el capilar y el flujo másico. a) Escriba un procedimiento para determinar la viscosidad del fluido desconocido. b) Se hace circular el agua y luego el fluido desconocido a través del capilar obteniéndose los siguientes datos: Agua

Fluido desconocido

0.225

4.502

2.94510–4

2.47410–4

Caída de presión (atm) Flujo másico (kg/s)

Nota: Se determinó que el fluido desconocido tenía una densidad de 0.88 g/cc y las propiedades del agua @ 20ºC son   1 cp y   1 g/cc . Verificar la validez de los resultados. Respuesta:  Desconocido  20.96 cp . 3. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable. Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente:    0 e  r / R , en la que  0 es la viscosidad en el centro de la tubería, y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r . Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo 2.25 para el caso límite de que   0 (fluido de viscosidad constante). Respuesta:

v z ,máx  Q

a)

rz

P  r; 2L

b)

P R 2  [e (  1)  1] ; d) 2  L 2

vz 

P R2 2  L 2

    r/R r  1 ;  e (  1)  e  R  

c)

P R2  3  v z  [e (  3 2  6   6)  6] ; e) 4 2  L

 P R 4  3 [e (  3 2  6   6)  6] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g . 4 2  L

4. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición

 r radial en la forma siguiente:    0 1   , en la que  0 es la viscosidad en el centro del R   tubo, y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r . Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo 2.25 para el caso límite de que   0 (fluido de viscosidad constante). Respuesta: a)  r z 

v z ,max  e) Q 

P R2 P r ; b) v z  2  L 2 2L

  r  r    1  R   ln 1  R   ln (1   ) ; c)      

P R2 P R2 [    ln ( 1   )] ; d)  v  [2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ; z 2 4 2  L 12  L 

 P R 4 [2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g . 12  L  4

5. Un fluido newtoniano se transporta entre dos puntos en flujo estacionario e incompresible mediante una tubería horizontal de sección circular. Si se mantiene la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería y el flujo puede considerarse desarrollado en todo momento, indique cómo cambia el flujo volumétrico de fluido si su temperatura (la cual puede suponerse uniforme) se aumenta bruscamente mediante una transferencia de calor desde el exterior. Justifique su respuesta. Considere las posibilidades de que el fluido pueda ser un líquido o un gas. ¿Cómo cambia su respuesta si el ducto es de sección cuadrada en vez de circular? 6. Por un ducto circular de diámetro D  20 cm , circula un cilindro (de diámetro

d  19 cm , longitud L  30 cm y densidad   1200 kg/m 3 ), y entre el cilindro y el ducto hay un fluido lubricante (rellena completamente el espacio) de viscosidad   1000 cp y densidad   800 kg/m 3 . Si la fuerza aplicada al cilindro para que se mueva es de

F  100 N , y suponiendo que el fluido lubricante es newtoniano y que la diferencia de presión en la dirección de flujo es despreciable, calcule la velocidad del cilindro dentro del ducto si: a) El ducto está horizontal. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

b) El ducto está vertical y la fuerza se ejerce hacia arriba.

r vo

z

z0 P  P0

zL P  PL

Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Desprecie efectos gravitacionales. 7. Flujo laminar de una película que desciende por el interior de un tubo circular. Un fluido viscoso desciende por el interior de un pequeño tubo circular. a) Determine la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales). b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.

 gW  3 c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q  si el 3 espesor de la película es muy pequeño.



25


Sistemas radiales.

r z

L

,

R

kR 8. Viscosímetro de cilindro descendente. Un viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R ), cerrado en ambos extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio k R ). El pedazo de metal está equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el del tubo. La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuación que proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal v0 del pedazo de metal y las diversas cantidades geométricas que se muestran en la figura. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por

vz (1   2 )  (1  k 2 ) ln (1 /  )  v0 (1  k 2 )  (1  k 2 ) ln (1 / k ) donde   r / R es una coordenada radial adimensional. b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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

Sistemas radiales.

(  0   ) g (k R) 2  1   1  k 2    ln    2  2 v0  k   1  k 

donde  y  0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente.

9. Uno de los mayores problemas que se presentan en el transporte de petróleo crudo es que, debido a su alta viscosidad, las caídas de presión que se generan en las tuberías de transporte son muy altas, lo cual se traduce en altos costos de bombeo. Una alternativa para aliviar el problema consiste en inyectar agua en la tubería. Esto hace que, en ciertas condiciones, se obtenga un régimen de flujo anular (ver figura). Determine para este caso el flujo volumétrico de cada fase en términos de sus propiedades físicas, Ri , R , y la caída de presión por unidad de longitud,  P / L . Considere flujo estacionario unidimensional y desprecie los efectos de la tensión superficial en la interfase agua-petróleo.

2R

Petróleo

2 Ri

Agua



27


Sistemas radiales.

Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284. Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito por el modelo de la ley de potencias. El fluido circula por un tubo circular largo de radio R y longitud L , como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del Bird. Segunda Edición. Página 301. Una solución al 13.5% (por peso) de polisopropeno en isopentano tiene los siguientes parámetros de la ley de potencias a 323 K: n  0.2 y m  5 103 Pa.s n . La solución se bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad de flujo másico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el radio del tubo? VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 301. Una solución acuosa al 1% de polietileno a 333 K tiene los parámetros de la ley de potencias n  0.6 y m  0.50 Pa.s n . La solución se bombea entre dos tanques, donde el primero está a una presión p1 y el segundo está a una presión p 2 . El tubo que transporta la solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm de diámetro interior. Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud, pero de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo que la velocidad de flujo másica sea la misma que en el tubo simple? VER SOLUCIÓN.



28


Sistemas radiales.

Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird. Segunda Edición. Página 301. Volver a trabajar el ejemplo 2.32 para el flujo en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias, con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro interior. a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido es

v z (r / R)1(1 / n )  1  v0 k 1(1 / n )  1 b) Comprobar que el resultado del inciso a) se simplifica al resultado newtoniano cuando n tiende a la unidad. c) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por

m 

2  R 2 v0  1  k 3(1 / n ) 1  k 2  1    (para n  3 ) 2  k 1(1 / n )  1  3  (1 / n)

(8B.3-2)

d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n  13 ? e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano. Fluido a la presión

p0

Varilla de radio

kR



R


p0

V

Solución. Ejemplo 2.32 y respuestas obtenidas. Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz.



29



Sistemas radiales.


p0

R


p0

r z Varilla de radio

kR


Distribución de velocidad:

V

v z ln (r / R)  V ln k

Velocidad volumétrica de flujo: Q 

 R 2V  (1  k 2 ) 2

  2k2    ln (1 / k ) 

Fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica: Fz (r )  

2  V L ln k

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 216. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird. Segunda Edición. Página 303. Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham circula por un tubo vertical en virtud de un gradiente de presión y/o la aceleración de la gravedad. El radio y la longitud del tubo son, respectivamente, R y L . Se desea obtener una relación entre la velocidad volumétrica de flujo, Q , y la combinación de las fuerzas de presión y gravedad que actúan sobre el fluido.



30


r

Sistemas radiales.

p0

z

L  R

L

 ,  0 , 0 R

pL

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.42. Se tiene una tubería horizontal de longitud L con un fluido Bingham dentro de ella (ver figura). Si se quiere que la mitad del fluido (en volumen) se mueva con una velocidad uniforme, calcule, despreciando los efectos de la gravedad: a) Perfil de velocidades, b) La caída de presión por unidad de longitud (  p / L ) que hay que ejercer en el fluido, c) El caudal que pasa por la tubería y d) La fuerza F necesaria para mantener la tubería fija.

p L

0, ,

R

VER SOLUCIÓN.



31


Sistemas radiales.

Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. Una

solución

de

pigmento

para

impresión

en

barniz,

10%

en

peso

(  0  0.4 N/m 2 ,  0  0.25 Pa.s ), fluye por una tubería con diámetro de 1.0 cm y longitud de 10.2 m. Se está empleando una fuerza propulsora de presión de 4.35 kN/m 2: a) Calcúlese la velocidad de flujo Q en m3/s. b) Calcule la velocidad para la región de flujo de taponamiento en r = r0. c) Calcule la velocidad para valores de r de 0.35 cm, 0.45 cm y 0.50 cm, y grafique el perfil de velocidad completo contra la posición radial. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6 del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. Cierto fluido plástico de Bingham tiene un valor de  0  1.2 N/m 2 y una viscosidad

 0  0.4 Pa.s . El fluido fluye a 5.70  10 5 m 3 /s en una tubería de 2.5 m de largo con diámetro interno de 3.0 cm. Calcule la caída de presión p0  p L en N/m2 y r0. (Sugerencia: Esta solución puede obtenerse por medio del método de prueba y error. Como primera aproximación, asuma que  0  0 . VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del Bird. Página 2-34. Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento. VER SOLUCIÓN. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Sistemas radiales.

Ejemplo 2.46. Un tubo vertical de radio interno 3 cm está lleno de un fluido de Bingham (  0  600 Pa ,

  2000 kg/m 3 ) y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede o no fluir por el extremo inferior debido a la gravedad. Determine si el fluido sale o no del tubo. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.47. Se conecta un tubo de 3 mm de d.i. y de 100 mm de longitud a la base de un bote de mostaza dirigido recto hacia abajo. Cuando el bote está lleno (altura de 1 m) la mostaza sale por el tubo, pero cuando la altura en el tanque desciende hasta 0.4 m el flujo se para. A partir de la información anterior encuéntrese la tensión de fluencia de la mostaza, un plástico de Bingham de densidad   1200 kg/m 3 . VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.48. Se dispone de un tanque A, tapado en su extremo inferior con una lámina removible, tal como se muestra en la figura. Determine el tiempo necesario para llenar el tanque B (de 50 L de capacidad) a partir del tanque A, una vez removida la tapa, si: a) El fluido es Newtoniano:

 r z  

d vz ;   1150 kg/m 3 ;   80 cp . dr

b) El fluido sigue la ley de la potencia:

rz

 dv  m   z  dr

  

n

m  2.5 dina  s n / cm 2 ; n  0.6 ;   1150 kg/m 3 . c) El fluido sigue el modelo de Bingham:



33


rz 0 :

Sistemas radiales.

d vz 0 dr

rz 0 : rz 0  

d vz dr

 0  300 Pa;   1150 kg/m 3 ;   80 cp.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 10. ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa (   1200 kg/m 3 ) fluir bajo su propio peso? 11. Flujo no – newtoniano en un tubo. a) Deducir la fórmula análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald – de Waele (ley de potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo del valor absoluto. Como para el flujo en un tubo

d vz es siempre negativo, la ley de la dr

potencia se transforma en este caso en

rz

d vz  m dr

n 1

d vz dv m  z dr dr

n 1

 d vz    dr


  dv   m   z   dr

  

n

(2.H-1)


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Sistemas radiales.

Explicar cuidadosamente las transformaciones de la ecuación 2.H-1. b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis



d vz   0 r z  1  r z dr

 1

rz .



35


Sistemas radiales.

BIBLIOGRAFÍA. BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté., Barcelona, 1996. BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006. ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012. GEANKOPLIS, C., Procesos de Transporte y Principios de Procesos de Separación, Cuarta Edición. CECSA., México, 2006. GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición., Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994. MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall., México, 1996. MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de C.V., México, 2006. SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995. STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial McGraw Hill., México, 1988. STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición., Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000. WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición. Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.



36


Sistemas radiales.

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE.



37


Sistemas radiales.

OBRAS DEL MISMO AUTOR. Serie Problemas Resueltos y Propuestos de: - Electricidad (Física II).

- Química. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


38


Sistemas radiales.

- Cálculo Diferencial. - Cálculo Integral. - Cálculo Vectorial.

- Ecuaciones Diferenciales. - Métodos Numéricos. - Estadística. - Mecánica Vectorial (Estática).



39


Sistemas radiales.

- Termodinámica Básica.

- Termodinámica Aplicada. Videotutoriales. Cálculo diferencial: Límites de funciones. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


40


Sistemas radiales.

Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.



41

02 02 Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales

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