[Capítulo I. Ecuaciones diferenciales de primer orden ]
Sambrano] [Bidder S. Calapuja Sambrano]
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.) F ( x, y , y ', y '', ...., y ( n) ) 0 , se llama ecuación diferencial de orden n
(*)
( n) Donde y f ( x) es la función desconocida, x la variable independiente y y ', y '',..., y son las derivadas de y .
2
2
5
d4 y d3y dt 4 dt 3 y 3t Or den 4
;
G r ado 2
d3y d2y 3 3 1 2 dx d x Or den 3
2
G r ado 4
F x, y, y ' 0
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
F x, y, y ',', y '''' 0
Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Definición. Una ecuación diferencial ordinaria se llama lineal si tiene la forma: a0 ( x) y ( n ) a1 ( x ) y ( n1) .... an 1 ( x ) y ' an ( x ) y F (x ) (n ) ( n 1) donde a0 ( x) 0 , y , y , … , y ' e y son de primer grado y F ( x) , a0 ( x ) , a1 ( x ) ,
… , an ( x ) son funciones que dependen solo de x . Caso contrario se llamara E. D. O. no Lineal. 2
d y dx
2
yy '' 2 y ' x ;
cos y 0 ;
Función no lineal
No lineal de 2º Orden
Coeficiente de y '' depende de y No lineal de 2º Orden
2
d y 2
y 2 0
dx Frado de y es 2
No lineal de 3º Orden
Solución de una E.D.O. y f ( x) Es una solución de una E.D.O., si al reemplazarlo juntos con sus derivadas en la E.D.O. esta la reduce a una identidad. La solución y 0 se llama solución Trivial.
Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.
Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde las constantes recibe un valor específico.
Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso particular de la solución general.
Guía de práctica
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Obtener una E.D.O. a partir de la solución general.- Consiste en hallar la n-esima derivada de la solución general, donde n es el número de constantes, y luego se eliminan las constantes entre la solución general y todas las ecuaciones derivadas.
Solucionar o Integrar una E.D.O consiste en: 1º
Hallar la solución general (si no nos dan condiciones iniciales).
2º
Si nos dan condiciones iniciales, hallar la solución particular que satisfaga las condiciones iniciales dadas.
Problema de Valor Inicial: Dada una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy
sujeta a la condición inicial y x0
f ( x, y ) dx y0 , donde x0 es un número en un intervalo I y
y0 es un número real arbitrario, se le llama
Problema de Valor Inicial o Problema de
Cauchy. Teorema de la existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado Teorema de Picard (existencia y unicidad) Consideremos el problema de valor inicial: dy
f (t, x) , dx y (t0 ) x0 y la región t , x 2 / a t b c x d que contiene al punto t0 , x0 . Si f df
son funciones continuas , entonces para cada t0 , x0 en , existe una única dx función diferenciable : I 0 I , que es solución del problema de valor y
inicial, tal que t , t t I0 , donde I 0 t0 h, t0 h I a, b . Ejemplo: Determinar si el problema de valor inicial 3 3 Solución. Sea f (t , x) t x . Luego,
dy dx
x3 y 3 ; y(0) 6 tiene solución única.
f 3 x 2 x
f es continua en 2 f ii) es continua en 2 x iii) (0,6) 2 Por lo tanto el problema de valor inicial dado tiene solución única en algún intervalo h, h , h 0 . i)
Seguidamente daremos algunos métodos o procedimientos que debemos seguir para resolver ciertos tipos de E.D.O.
Guía de práctica
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[Capítulo I. Ecuaciones diferenciales de primer orden ]
I.
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METODO DE SEPARACION DE VARIABLES dy
Si una E.D.O. de primer orden de la forma
dx
f ( x, y ) se puede escribir de la forma
dy
g ( x) * h( x) ó M ( x)dx N ( x)dy 0 se dice que es una E.D.O. de primer orden; dx de variables separables, cuya solución se obtiene al integrar respectivamente:
h
1
( y)dy g ( x) dx c
M ( x)dx N ( x)dy c
ó
de donde, si es posible, despejar y . Resolver: 1) x 4 y 4 dx x3 ( y2 3) dy 0 2) 3)
dy
dx xdy
y3 y 2 y
dx
4)
x 1 4 y2
5)
dx dy dx
3x
xy
3
5 y3
1
(1 y 2 ) x3 8
6) xdx 1 x4 dy x2 1 x4 dy
3y
II.
dy
ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES dy
f (ax by c ) , donde a, b, c R dx Se puede reducir a una ecuación de variables separables de la siguiente manera: La ecuación
1º 2º
3º 4º
Hacemos u ( x, y) ax by c , b 0 Derivamos implícitamente con respecto a x: du dy du ab a bf (u ) dx dx dx du dx , a bf (u) 0 Separamos variables: a bf (u ) Finalmente, integrando obtenemos du dx c a bf (u ) De ser posible, despejar y .
5º
(*)
NOTA:
En los procesos algebraicos puede aparecer una o más condiciones que no aparecen en la ecuación original.
Guía de práctica
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III.
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METODO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES HOMOGENEAS
Definición.- f ( x, y) se dice que es una función homogénea de grado Nota 1. Nota 2.-
Nota 3.-
n , si
f (tx, ty ) t n f ( x, y ) , donde n R . Si la función f ( x, y) tiene término constante no es homogénea. Algunas veces se puede reconocer si una función es homogénea examinando el grado de cada término de la función, los cuales deben de ser iguales. Si f ( x, y) es una función homogénea de grado n , entonces: y y f ( x, y ) x n f (1, ) y f ( x, y ) y n f ( ,1) x x y y Donde f (1, ) y f ( ,1) son funciones de grado cero. x x dy
f ( x, y ) ó M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 las funciones dx f ( x, y) , M ( x, y) y N ( x, y) son homogéneas de mismo grado, entonces la ecuación se llama ecuación homogénea.
Definición.- Si en la ecuación
Nota 4.-
dy
f ( x, y ) ó M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 es una ecuación homogénea dx si es posible escribirlo de la forma: dy x dy y h( ) g ( ) ó (*) dx y dx x
Método de solución de ecuaciones diferenciales homogéneas: 1° Se hace, digamos
u
y x
y xu
2° Derivar implícitamente con respecto a x: 3° Separar variables:
du
dy dx
x
du dx
u
dx
. g (u ) u x 4° Integrar y de ser posible despejar y .
ECUACIONES QUE SE REDUCEN A HOMOGENEAS a x b1 y c1 f 1 ( ) , dx a x b y c 2 2 2 donde, a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c 2 , c1 y c2 no simultáneamente ceros (ya que si ambas La ecuación,
dy
fueran cero, la ecuación sería homogénea). Esta ecuación se resuelve trasladando el origen de coordenadas al punto de intersección de las rectas a1 x b1 y c1 0 y
a2 x b2 y c 2 0 .
Guía de práctica
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Para resolver este tipo de ecuaciones, se siguen los siguientes pasos: I. Si las rectas no son paralelas, ( ) se reduce a una ecuación homogénea: 1º Si
a1
b1
a2
b2
0 (Esto quiere decir que las rectas no son paralelas)
2º Se halla el punto de intersección (h, k ) , resolviendo el sistema: u xh
3º Se hace el cambio de variables:
v yk
x uh y v k
a1 x b1 y c1 0
a2 x b2 y c2 0 dx du
dy dv
4° Al reemplazar en la ecuación diferencial, esta se transformara en una ecuación homogenea:
v a b 1 1u a1u b1v (a1h b1h c1 ) dv F u , f f v du a b v a2u b2v (a2h b2h c2 ) 2 2u donde, a1h b1h c1 0 y a2h b2h c2 0 . 5° Resolver y de ser posible despejar y .
II. Si las rectas son paralelas, ( ) se reduce a una ecuación de variables separables: 1° se verifica que
a1
b1
a2
b2
0 (Esto quiere decir que las rectas son paralelas)
2° Como las rectas son paralelas, entonces k
/ a2 x b2 y k (a1x b1 y )
3° Hacemos: v a1 x b1 y 4° Derivando implícitamente con respecto a x: vc dv dy dv a1 b1 a1 b1 f ( 1 ) dx dx dx kv c2 dv
5° Separando variables:
a1 b1 f (
v c1 kv c2
dx )
6° Integrar y de ser posible se despeja y .
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS TEOREMA: (Criterio de Exactitud). Si M ( x, y) y N ( x, y) son continuas, con derivadas parciales continuas en una región rectangular D R2 , entonces existe una 2 función f : D R R tal que:
df dx
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M ( x, y ) y
df dy
N ( x, y )
dM dy
dN dx
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Método de Solución: (1)
Verificar si M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 , es exacta.
(2)
Por teorema: f : D R 2 R /
df
M ( x, y ) y
df
N (x , y )
dx dy Se integra (2) con respecto a x , con lo que se obtiene la solución:
(3)
f ( x, y) M ( x, y) dx g( y) , donde g ( y ) constante de integración.
Hallando g(y): Se deriva (3) parcialmente con respecto a y , y se iguala a N ( x, y) , es decir, df N ( x, y ) , de donde se despeja g '( y ) . dy Se integra g '( y) , con respecto a y , para obtener g ( y) . Reemplazar g ( y) de (5) en (3) para obtener la solución f ( x, y) La solución de la ecuación diferencial dada en forma implícita es: f ( x, y ) c
(4)
(5) (6) (7)
Las ecuaciones no exactas pueden reducirse a exactas, mediante un factor integrante adecuado.
IV.
FACTORES INTEGRANTES
Son expresiones que al multiplicarlos con una ecuación diferencial no exacta lo convierten en una ecuación diferencial exacta. Los factores integrantes mas frecuentemente usados son: dM dN
Si
dy
dx
f ( x ) dx f ( x ) es una función que depende solo de x , entonces e
N es un factor integrante de (I). dN dM Si
dx
dy
g ( y ) dy g ( y ) es una función que depende solo de y , entonces e es
M un factor integrante de (I). Si (I) puede escribirse de la forma: M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 yf ( x, y) xg( x, y) 0 , donde entonces: 1 , es un factor integrante de (I). xy f ( x, y) g ( x, y)
V.
f ( x, y) g ( x, y)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES dy dx
P( x) y Q( x)
Cuya solución esta dada por: P ( x ) dx P ( x )dx y ( x) e e Q( x) c
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ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES VI.
ECUACIÓN DE BERNOULLI: dy
La ecuación,
P( x) y Q( x) y n
( )
dx donde, n 0 , n 1 , n R , se reduce a una ecuación lineal. Método de Solución:
dy
1º
n Multiplicar la ecuación por y : y n
2º
Hacer w y1 n
3º
Reemplazar en la ecuación, esta se reduce a una ecuación Lineal.
VII.
dw dx
1 n y n
dx
dy dx
P( x ) y1 n Q( x )
yn
dy dx
dw
1 n dx
ECUACIÓN DE RICATTI
La ecuación,
dy
P( x) y 2 Q( x) y R ( x ) ,
(*)
dx se reduce a una ecuación lineal. Método de Solución: 1º
Si conocemos una solución particular y1 ( x ) de la ecuación (*), entonces la solución general esta dad por:
y y1 u y1
2º
3º
1
w Donde u es la solución de la ecuación de Bernoulli: du (Q 2 Py1 ) Pu 2 dx 1 Resolver la ecuación de Bernoulli, para hallar u , que al hacer w u esta se reduce a la ecuación lineal: dw (Q 2Py1 ) w P dx Resolver la ecuación lineal, para hallar w , cuya solución es: (Q 2 Py1 )dx (Q 2 Py1 ) dx we dx c ( P)e
La solución general de (*) es: y y1
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1 w
y1 u
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VIII. ECUACIÓN DE CLAIRAUT y xy ' f ( y ')
(*)
Método de Solución: 1º
Se hace u y ' . Así y xu f (u ) …………………………………………. (1)
2º
Se deriva ambos miembros de (1) con respecto a x: y ' u xu ' f '(u)u ' 0 xu ' f '(u)u '
u ' x f '(u) 0 …………………………………….(2) 3º
Se analiza (2). Si u ' 0 , integrando u c , c cte. Reemplazando (3) en (1), obtenemos la solución general: y cx f (c) Si x f '(u ) 0 . x f '(u ) ………………………………. Reemplazando (5) en (1) obtenemos una solución singular: y uf '(u ) f (u) ………………………….
(3) (4) (5) (6)
Nota 6.- Las ecuaciones (5) y (6) son las ecuaciones paramétricas para una curva tal que x 2 y 2 1.
IX.
METODO DE INSPECCIÓN
Consiste en reescribir la ecuación diferencial dada con la finalidad de utilizar ciertos resultados conocidos que pueden ayudarnos en la búsqueda de la solución deseada.
a. b. c. d. e.
xdy ydx
y d x x 2 x xdy ydx d y 2 y xdy ydx 1 y d tg ( x ) x 2 y 2 xdy ydx y d ln( ) xy x x y 2 xdy 2 ydx d 2 x y x y
Guía de práctica
f. g. h. i. j.
xdx ydy x 2 y 2
1 d ln( x 2 y 2 ) 2
xdx ydy
d x2 y 2 x 2 y 2 xdx ydy d x2 y 2 x 2 y 2 yx d ln( ) y x y x x y 2 ydx 2 xdy d x y 2 x y 2 xdy 2 ydx 2
2
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X.
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REDUCCIÓN DE ORDEN
F ( x, y, y ', y '') 0 . E.D.O., de segundo orden, veremos dos tipos de E.D.O. de segundo orden que se pueden resolver con los métodos para E.D.O. de primer orden.
AUSENCIA DE LA VARIABLE DEPENDIENTE: F ( x, y ', y '') 0 1º
2º
En este caso introducimos una nueva variable de pendiente p , haciendo: dp y ' p y '' dx Esta sustitución transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de primer orden: dp F ( x, p, ) 0 dx
AUSENCIA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE: G( x, y ', y '') 0 1º
En este caso introducimos una nueva variable dependiente p , pero expresando y '' en términos de una derivada respecto de y : dp dy dp p * dx dy dx dy Esta sustitución transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de primer orden: dp G ( y , p, ) 0 dy y ' p y ''
2º
Guía de práctica
dp
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