Universidad Rubén Darío – Sub Sub Sede Estelí Trabajo de Tesina Para optar al título de:
“Master en Docencia Universitaria Con Énfasis en Investigación”
Autores: Lic. Arelys Ninoska Meneses Rayo Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Diseño: Cliffor Jerry Herrera Castrillo Diciembre, 2018
La realización de este “Dossier de Cálculo I y II” I I” pretende servir como soporte
o apoyo a la metodología del Plan de Estudios de la Carrera de Química Farmacéutica Farmacéutica en búsqueda de nuevas alternativas que mejoren el método habitual de enseñanza utilizado por los docentes de matemáticas, relacionando más la asignatura con el perfil que tiene la carrera y hacer esa relación matemática
−
química
−
farmacia, haciendo uso de las
tecnologías, para así lograr clases más atractivas, prácticas y experimentales. Este material didáctico vendrá a facilitar al estudiante la comprensión de los diferentes contenidos impartidos en las clases de cálculo, auxiliándose de clases experimentales y el uso de recursos tecnológicos, que facilitan los cálculos numéricos y algebraicos. El dossier sigue paso a paso el programa analítico de la clase, presentando teoría básica elemental por tema, acompañada de una serie de ejemplos explicativos que contienen tanto modelos sencillos como los que involucren un mayor análisis, de igual forma se presentan variedad de ejercicios para ser desarrollados por los educandos durante clases prácticas y laboratorios.
1.
Cada unidad inicia con una breve introducción a los contenidos, seguida por el desarrollo del mismo, presentando conceptos, demostraciones, graficas, ejemplos, uso de softwares matemáticos, ejercicios y proyectos propuestos.
2.
La mayoría de los contenidos extensos, van subdivididos en subtemas, para facilitar su estudio.
3.
Todos los ejemplos se encuentran en color azul, negrito y enumerado de acuerdo a cada contenido, esto con el fin de facilitar que sean identificados por el lector.
4.
Las definiciones y teoremas van encerrados en recuadros con fondo de color.
5.
Los temas van encerrados en recuadros de color e indicados por medio de encabezados en negrita y enumerados de acuerdo a cada unidad, la letra tiene un tamaño considerable para mejor apreciación del documento.
6.
En todo el documento se presentan gráficas para ilustrar algunos ejemplos que lo ameriten, encerrados en un recuadro y enumerados por tema.
7.
Se incluye una sección de actividades sugeridas al final de cada contenido, con el fin de que el estudiante practique practique sus conocimientos, al final del documento se encuentra las respuestas.
8.
Existen varias secciones de tecnología, trabajo grupal, uso de la calculadora entre otros los cuales son representados por los siguientes iconos:
Para estudiantes
Para Docentes
Conocimientos
Experimento de
previos
Inicio
Experimento de
Experimento
Experimento de Recomendaciones
Laboratorio
Extra – Clase Clase
Diseño
Uso de la
Ver videos de
Trabajo
Tecnología
YouTube
Individual
Trabajo
Uso de la
Colaborativo
Calculadora
Problemas Resueltos
de Seguridad
Trabajo en Pareja
Resumen
Guías de estudio
Ejercicios y
Utilidad en la
Curiosidades y
problemas
vida real
recordar
Estos iconos serán de ayuda para ubicar tanto a docentes como a estudiantes en el dossier, en las l as diferentes actividades.
1. Contribuir en el aprendizaje de la clase de Cálculo I y II en la Carrera de Química Farmacéutica, desarrollando un texto tanto para docentes y estudiantes, que pueden utilizar durante todo el curso. 2. Brindar un recurso didáctico a docentes de cálculo matemático, con ejemplo aplicados a la realidad, uso de herramientas tecnológicas, laboratorios con materiales de fácil acceso. 3. Ayudar a promover el interés, en el conocimiento de conceptos matemáticos, aplicados a la química farmacéutica. farmacéutica. 4. Consolidar conocimientos matemáticos de estudiantes de la carrera de Química Farmacéutica en Calculo I y II. II .
DIFERENCIA PRESENCIAL - ENCUENTROS. Los métodos utilizados en las diferentes modalidades presenciales y Encuentros serán distintos ya que las horas impartidas en clase no serán las mismas. En la modalidad por Encuentros el docente se convierte en facilitador de los procesos de aprendizaje y el estudiante es gestor de sus propios conocimientos y aprendizaje a través del autoestudio. En cada encuentro se facilitará la bibliografía necesaria que los alumnos previamente consulten dicha bibliografía para los subsiguientes s ubsiguientes encuentros. El espacio clase se convierte así en una instancia activa de aprendizaje que favorece la discusión, la aplicación y la profundización de la materia en un sentido más amplio. Para la modalidad por encuentro se trabajará con dos herramientas necesarias e imprescindibles para el proceso de E-A, el Syllabus por parte del docente establecerá la distribución distribución de los contenidos en el tiempo que dure el trimestre, la metodología y los recursos necesarios para impartir la sesión del encuentro, y en segundo término la guía de estudio, que será de obligatorio cumplimiento por parte del docente y del estudiante, ésta guía tendrá los siguientes componentes: a. Introducción b. Objetivos c. Justificación d. Metas e. Estructura y contenidos
f. Evaluación g. Actividades criticas h. Cuestionarios sobre el tema i. Glosario de conceptos y principios claves j. Problemas de aplicación y sugerencias metodológicas k. Problemas para autoevaluación
En cuanto al proceso enseñanza aprendizaje desarrollaremos la conferencia, clases prácticas, seminarios, trabajos independientes, etc., haremos énfasis en las formas que nos permitan ejercitarlos.
El conocimiento del Cálculo es importante para resolver problemas a través del análisis, donde se involucran cambios, límites, movimientos, entre otros. Recordando un poco de Historia, el Cálculo es una disciplina matemática que surge en el siglo XVII de las investigaciones de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. La mayoría de descubrimientos científicos que han contribuido a la configuración de civilizaciones en los tres siglos pasados, los cuales hubiesen sido imposibles sin el uso del Cálculo, y hasta hoy continúan prestando un servicio a la ciencia, tecnología y en este caso se enfocará en la química farmacéutica. farmacéutica. En la actualidad hay elementos que pueden contribuir al estudio del Cálculo, son las computadoras y softwares que pueden realizar varias manipulaciones numéricas, algebraicas algebraicas y gráficas, en donde estas pueden ayudar al estudiante a resolver diferentes problemas de la vida cotidiana. La asignatura de cálculo I es la introducción de cálculo diferencial, materia fundamental en la rama de las matemáticas para los estudiantes de ingeniería y ciencias de la salud. La estructura general de programa de estudio, radica alrededor del CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE, resumido en dos capítulos se ocupa de la definición y determinación de los límites y de la Derivada.
▪
El estudiante debe conocer a profundidad de que se trata el estudio del cálculo diferencial, esto se tiene a través de saber los conceptos y teoremas.
▪
El alumno debe aprender la teoría del cálculo Diferencial como herramienta de trabajo para aplicarlos a los problemas prácticos de la ingeniería.
▪
Reafirmar y profundizar los conocimientos adquiridos en el curso de matemáticas básicas.
▪
Crearle al estudiante mayor motivación en el estudio de las matemáticas avanzadas para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas.
▪
Contribuir en el alumno al razonamiento lógico científico para el análisis, la interpretación de fenómenos o situaciones que se presenten y le facilite darles solución a los problemas planteados relacionados con el quehacer diario.
▪
Desarrollar habilidades, hábitos y destrezas en el alumno, para analizar e interpretar gráficos de funciones algebraicas y trigonométricas vinculadas al cálculo.
Contenidos Bienvenidos (Págs. 1 -4) ▪
Ecuaciones y Funciones
▪
Trigonometría
Contenidos 1.1 Limites de funciones continuas 2.1 Limites de sucesiones 3.1 Limites de funciones trigonométricas
Contenidos 1. .1 Derivada función elevada a una potencia. 1.1
6.1 Derivada funciones logarítmicas.
2.1 Derivada de producto y cocientes.
7.1 Derivada orden superior.
3.1 Derivada regla de la cadena.
8.1 Derivada implícita.
4.1 Derivada funciones f unciones trigonométricas.
9.1 Grafica de funciones.
5.1 Derivada funciones f unciones exponenciales.
10.1 Bosquejo de curvas polinomiales.
0
REPASO Y REVISIÓN DE CONTENIDOS Ecuaciones y funciones 1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales: a. b. c.
− + − 7 − −−− 7 9 368 4 2 1,2, 41 3, 7
d. e.
2. Determina el conjunto solución a.
∈ℝ
b.
3. Halla el valor de sabiendo que el polinomio a.
es múltiplo de
3
++ − + 3 1 − 2
2 3 5 37
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las siguientes a. b. c.
d. e.
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones a.
b.
①② 232 4 ③① 321 1 ③② 1 1 21 411 3 +
c.
11, 0 2 ①② 321 3 ③ 25 ℝ
6. Determina el dominio y recorrido de estas funciones en a.
b.
c.
d.
e.
1
;≠0 2. . +− ; ≠ ≠ 2. ++−+ −+ + ++− + 5 ≤3 {2 1 4 3<≤4 >4
7. Dadas las funciones
y
Calcula Calcula
a.
b.
c.
d.
8. Demuestra si la función es biyectiva
Si no lo es, redefina su dominio y rango. Finalmente, Si
calcula la inversa de la función.
9. Halla las asíntotas de las funciones siguientes a.
b.
c.
d.
10.Estudia 10. Estudia la continuidad de:
Trigonometría
1. Utilice razones trigonométricas para calcular los valores de lados y/o ángulos que faltan en cada triángulo.
2
2. Comprueba las siguientes identidades.
3. Utilice las fórmulas de suma para encontrar el valor de:
4. Verifique las identidades
3
5. Resuelva los siguientes problemas con triángulos rectángulos. 1) Un bote en el lago Cocibolca, está ubicado a 200 metros en línea horizontal, con el islote B (al Este) y en el Norte, en línea con el islote A. El ángulo que se forma desde B hasta el punto A es de 20°. Calcule la distancia entre los islotes A y B. 2) Encuentra la altura x de la torre de la antigua catedral de Managua. Suponiendo que se conocen los ángulos A = 26° B = 35°, la distancia de 200 pie, medidos desde la perpendicular hasta el observador. Vea la figura.
4
5
1.1 Límites de Funciones Continuas
Experimento de inicio: “La tira de papel”
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal, ya sea el diferencial o el integral, y de manera informal se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. El que la variable independiente independiente se acerque a un determinado valor implica la posibilidad de que se analice el acercamiento por un lado o por ambos lados, con lo cual se puede verificar también si se trata de un límite unilateral o bilateral en su caso.
Objetivo ▪
Comprender que los límites son parte fundamental de nuestra vida diaria y que podemos encontrarlos muy fácilmente en cualquier lugar
Materiales Tira de Papel
Tijeras
Regla
Lupa
Cuter
Procedimiento
6
1. Tomar la tira de papel, medir su longitud y realizar un corte a la mitad. m itad. Nota de Seguridad: Recuerde que el cúter y las tijeras pueden ocasionar daños a la salud, por lo que se te recomienda la debida seriedad y cuidado en el uso de estos instrumentos. 2. Realizar el paso anterior cuantas veces sea posible efectuando dicha actividad con la mayor exactitud posible. 3. Cuando ya no sea posible realizar el corte a la mitad, se hace mención de que se puede continuar realizando cortes a la mitad m itad con cantidades cada vez más pequeñas empleando instrumentos de mayor precisión. 4. Se solicita al estudiante que conteste las l as siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor al que la cantidad de material por recortar se está acercando? b. ¿Se pudiera llegar a él? c. ¿Cuál será el límite al que la cantidad de material se acerca en cada corte realizado?
Definición de límite de una función
Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que
contiene a , excepto posiblemente en el número mismo. El límite de
→lim
conforme se aproxima a es , lo que se escribe como:
Si la siguiente proposición es verdadera: Dado cualquier que Si
0 < | | <
>0
, no importa cuán pequeña sea, existe una
entonces
| | <
>0
tal
7
Teoremas de limites Teorema Límite de una función Lineal 1
Si y son dos constantes cualesquiera, entonces:
→lim
Límite de una función Constante 2
3
Si es una constante, entonces para cualquier entero
→lim →lim
Límite de una Función Identidad Límite de la suma y diferencia de dos funciones
4
Si
→lim →lliimm → ± ± ± ,.l→im ± ± ⋯ →lim lim ±, →lim ±⋯± → →lim →limlim → . . →lim lim , →lim … ,. l→i m … → →lim l→im y
, entonces
Límite de la suma y diferencia de funciones 5
Si
Ejemplo
3 5 125 34 5 →lim35 17 →lim 3 3 →lim 7 llimim7l 7 im33 → → 73→ 33 40
Límite del producto de dos Funciones 6
Si
y
, entonces
Límite del producto de dos Funciones 7
Si
Límite de la n – ésima ésima potencia de una función Si 8
entonces:
y es cualquier número entero positivo,
llimim . l21 2im1 2 1 → →4 . 9→36 l→−im 57 5 7 →−3li3m57 5 7 81 8
Teorema
Ejemplo
l i m → l i m → 71 l i m 7 7 1 → 4 4 4 →lim →lim 7 7 4 1 281 27 l→im ≠0 274 l→im →lim 71 →lim 71 4 27 √ √ 34 l→im √ √ > 0
Límite del cociente de dos funciones 9
Si
y
, entonces
Límite de la raíz n – ésima ésima de una función Si
es un número entero positivo y
10 entonces
Con la restricción de que si es par,
EJEMPLO 1 Calcule los siguientes límites e indique los l os teoremas utilizados: a. b. c. d. e.
l→liimm75 5 → l→im √ √ −−+++ →lim −− →lim −
9
Solución (a)
(b)
(c)
l i m 5 → ll→iimm . llim→im5 lim5 .... → → → 8645. 8 5 .. .. 69 75 l i m → ll→iimm. llim→im7llim→7.iml5imli m5 .... → → → → → 39215 . 3 7 . 3 5 .. .. 25 l→im 23 5 →lim 23 .. 5 l imlim 23 → . . 5 → l im liml→iml2lim5→im3 .. → → →
10
l i m l i m 2 . l i m l i m 3 → → → → l→im l→im 5 .. .. 2 2225 3 .. .. 8 43 15 1 5 15 1 5 √ √ 843 45 9 3 l→im √ √ 42
(d)
No se puede aplicar el Teorema 9 de Límites al cociente
→lim40
√ √ −−−
debido a que
. Para simplificar el cociente se racionaliza el numerador
multiplicando tanto el numerador como el denominador por
√ √ 2
.
1 √ √ 42 . √√ √ √ 22 4(√4 √ 2) 2) √ √ 2 2)(4(√ √ √ √ 2) 2)2) l→im 4(√ √ 42) 2) 1 l→im √ √ 42 l→im (√ √ 2)( l i m → √ √ 2 2) 1 2) →lim(→li√ √ m2) .. →lim √ √ l1l→im 2 .. . . →lim1 2 .. . . √ √ 41 2 14
La solución se expresa de la l a siguiente manera:
11
(d)
l→im 255
No se puede aplicar el Teorema 9 de Límites al cociente
→lim50
−−
debido a que
. Para simplificar el cociente se factoriza el numerador y se
realizan las simplificaciones simplificaciones necesarias.
Aplicando Teorema 1
e d s o e d i V
l→im 255 l→im 55 5 lim 5 →
55 10
http://youtu.be/o2UTk8bsLS0 Limites o y o p a
|
Introducción
y
conceptos básicos http://youtu.be/0iA2sDzEm6Y Limites de una función | Conceptos básicos
Uso de tecnología También para el cálculo de limites se pueden utilizar aplicaciones aplicaciones móviles y software matemáticos, a continuación, se da una presentación de ellos: WolframAlpha Es un motor de conocimiento computacional o motor de respuesta desarrollado por Wolfram Alpha LLC. Es un servicio en línea que responde preguntas directas directamente al computar la respuesta de “datos curados” de fuentes externas. 12
Wolfram Alpha también, permite calcular límites, para ello se debe conectar a la página: http://m.wolframalpha.com/ Aparece lo siguiente: El cual, es muy fácil calcular los límites y su gráfica, el único problema que presenta este sitio es que no da un procedimiento paso a paso, solo una respuesta, por lo que puede utilizarse para verificar respuestas. Ejemplo: si se quiere calcular el limite
lim 21 →−
Se escribe en la entrada: Limit x^3-2x+1, x->-2
13
Photomath Es una aplicación móvil descrita como una calculadora por cámara, que utiliza la cámara del teléfono móvil para reconocer patrones matemáticos y mostrar la solución directamente en la pantalla. Es gratuita y está disponible para Google Android e IOS. Además, reconoce escritura manual, y muestra paso a paso el proceso de resolución de la ecuación. Ejemplo: Calcular:
Solución
l→im 96 l→im 96
14
Aplica lo aprendido Determine el límite y cuando sea apropiado, indique el teorema de limite que aplico.
a. d. g. j.
llim im15 2 → →− l→im 497 ℎ 2ℎ √ √ 2 l→im √ √ ℎ2
b. e. h. k.
→lliimm 21 →− 8 l→im⁄ 423 9 52 l→−im √ √ 52 1
c. f. i. l.
lilmim13 →− 12 →−31 lim⁄ 9 1 → l→im √ √ 11
Experimento: “Figuras inscritas en el circulo
La observación de la naturaleza muestra la existencia de las diferentes formas de los cuerpos materiales que la componen, las cuales, por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas, dando lugar al manejo de los perímetros, áreas y volúmenes. El patio de tu escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geométricas. Generalmente, se observa a las figuras geométricas como independientes entre sí, siendo que la relación que existe entre ellas es mucha. En el caso de las figuras regulares y el círculo, dicha relación es muy interesante, debido a que, si se incrementa el número de lados de un polígono regular, va a significar que se está dividiendo en más partes iguales a los 360º existentes en un círculo, acercándose cada vez más al círculo.
15
En el presente experimento, se podrá verificar dicha relación y observar la manera en que las figuras regulares se acercan al círculo conforme aumentamos su número de lados, con lo que es posible obtener diferentes perímetros de las figuras inscritas en él.
Objetivo: ▪
Observar la aplicación sencilla de un límite en la geometría plana y particularmente particularmente con las figuras regulares inscritas en el círculo
Metas: ▪
Encontrar la relación existente entre las figuras regulares y el círculo
▪
Comprender que entre más lados tenga una figura, más se va a acercar al círculo
▪
Conocerá el comportamiento gráfico del perímetro de una figura conforme se incrementa el número de lados
Materiales ▪
Papel.
▪
Transportador.
▪
Regla.
▪
Compás.
▪
Lápiz
Procedimiento 1. Con la ayuda de un compás, dibuja un círculo con un diámetro de 6 cm. 2. Empleando el transportador y sabiendo que un polígono regular inscrito en el círculo puede tener n lados posibles, dibuja un triángulo equilátero y calcula su perímetro. Registra su valor.
16
3. Repite los pasos 1 y 2 dibujando un cuadrado, luego un pentágono, un hexágono, etc., incrementando el número de lados cuantas veces sea posible. 4. Con los datos obtenidos, construye una tabla que represente el perímetro de la figura inscrita con respecto al número de lados. (Ver Tabla)
N° de Lados
Perímetro (mm)
3 Incrementos de un lado 12
5. Construye la representación gráfica del comportamiento de los perímetros con respecto al número de lados del polígono regular. 6. Contesta las siguientes preguntas: 7. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué observaste? b) ¿Existe relación entre el número de lados y el perímetro de las figuras inscritas? c) ¿A qué valor se están acercando los perímetros obtenidos conforme aumentan el número de lados? d) Sabiendo el valor del radio r del circulo calcula su perímetro ¿Qué relación encuentras entre el perímetro del circulo y los perímetros de las figuras inscritas?
17
Juego: Llegar al limite Observar a lo largo del juego las propiedades de los limites en cada recuadro y seguir las instrucciones. Reglas del Juego 1. Pueden jugar dos o tres compañeros. Deben disponer de dos dados y una ficha de color para cada jugador 2. Al llegar a la casilla correspondiente se tiene que decir el valor del límite que allí aparece. Si el jugador responde correctamente se queda en esa casilla con su ficha, en caso contrario, retrocede tres casillas. 3. Gana el jugador que llegue primero a la meta.
18
Lim ites late laterale rales s
En el caso de una función definida con distintas leyes a ambos lados de un punto, para calcular el límite en dicho punto se estudia el comportamiento de la función en cada lado por separado. Para ello se definen los LIMITES LATERALES.
Definición de limite por la derecha
,,
Sea una función definida en cada número del intervalo abierto Entonces, el límite de se denota por:
Si para cualquier tal que: Si
>0
→lim
, conforme tiende a por la derecha, es , lo que
, sin importar que tan pequeña sea, existe una
0<< | | < →lim >0 0<< | | <
>0
Entonces
Definición de limite por la izquierda
,,
Sea una función definida en cada número del intervalo abierto Entonces, el límite de
Si para cualquier
.
, conforme tiende a por la derecha, es , lo que
se denota por:
, sin importar que tan pequeña sea, existe una
tal que: Si
.
>0
Entonces
Teorema
19
El
→lim
existe y es igual a si y sólo si
iguales a
e d s o e d i V
o y o p a
→lim →lim y
existen existen si son
http://youtu.be/Lg9fOAgpkOw
Continuidad
y
Limites
Laterales SECUNDARIA http://youtu.be/TBVmWJZVoJs Limites Laterales
EJEMPLO 1
Sea la función definida por:
lim
(a)Dibuje (a) Dibuje la gráfica de (b)Determine (b) Determine
→
2|| ≠0 0
si existe si
Solución (a) Uso de tecnología Para graficar la función se puede utilizar el programa Geogebra, pero para ello hay que tener presente conceptos básicos de gráfica de funciones.
20
(b)
→lim l→i m 0
→lim l→i m 0
La vida como la conocemos sería imposible sin cambios. Cambios en la concentración de sustancias en pequeñas distancias son muy importantes en Bioquímica. Por ejemplo, dos tercios del ATP producido en las neuronas es consumido por proteínas que envían cationes a través de la membrana celular al medio extracelular, disminuyendo la concentración de potasio y aumentando la de sodio. El gradiente de concentración a través de la membrana celular proporciona la fuerza conductora para la entrada en la célula de agua, glucosa y otros nutrientes. Otro ejemplo es la diferencia de temperatura entre los animales de sangre caliente y su entorno, que limita las características de sus cuerpos. Por ejemplo, las focas suavizan las transferencias de calor entre su cuerpo y el entorno envolviéndose en capas de grasa y pelo.
21
22
Continuidad Una función continua se describe a menudo como aquellas cuya gráfica puede dibujarse sin despegar el lápiz del papel, estas se ilustran il ustran en algunos ejemplos intuitivos de gráficas de funciones que no son continuas, ósea discontinuas, en un número
Lim f(x) no existe
Lim f(x) existe
x → a
x → a
y f(a) no está definida
Pero f(a) no está definida
Lim f(x) no existe
Lim f(x) existe
x → a
x → a
Peo f(a) está definida
f(a) no está definida, pero Lim f(x)≠f(a)
23
Continuidad en un número
Se dice que una función es continua en un numero i. ii. iii.
F(a) esta definida
→lim →lim
existe
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en , entonces se dice
que la función es discontinua en
EJEMPLO 1 Determine si las siguientes situaciones son funciones continuas: 1.
Un químico farmacéutico distribuye un producto que se que se vende por libra (o fracción de libra) cobra C$ 2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se orden más de 10 el químico farmacéutico cobra C$20 más C$ 1,40 por cada libra que exceda de las 10, por tanto, tan to, si se
2 0≤≤10 201,410 10< ≤ ≤ 10 1,426 010< 1020 →lim lim →220 6 20 →lim lim →1,1,46 lim 10 → compran libras por un costo total de si
y
córdobas, entonces córdobas,
si si
; esto es:
Solución
La gráfica de , para la función,
Por tanto
existe y es igual a
y
. En
consecuencia es continua en 10.
24
EJEMPLO 2 Estudia la continuidad de la función Solución
1 ; ; <≥2< 2 21
Tanto para valores menores que dos, como para valores mayores que 2, la función está definida como una semirrecta, es decir un trozo de una línea recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único punto problemático problemático es x = 2, donde tenemos que ver si los límites laterales a izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 2.
Luego, la función es continua en toda Estudia la continuidad de la función Solución
−−−+
La función es continua en todo R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.
x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3
25
La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3
Ejemplos de Aplicación La dosis d (en mg) de un cierto medicamento que hay que suministrar a niños menores de 14 años viene dada, en función de su edad t (en años), por la fórmula siguiente
24 1
Solución La función
+
tiene perfecto sentido para cualquier valor de t. Sin embargo,
puesto que la variable independiente t representa la edad del niño, no tiene sentido que sea t ≤ 0. Por otra parte, la fórmula sólo es aplicable hasta los 14 años, luego deber ser t ≤ 14. El dominio de la función es, pues, {t
∈
R:
0 < t ≤ 14} = (0 , 14]
26
Aplica lo aprendido Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica. En caso de no existir escribe no
f(8)=
f(4)=
27
28
1.2 Límites de Sucesiones Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números dispuestos en cierto orden. Cada número de la sucesión se identifica con una variable, como
, que es
asociada con un número natural que indica su posición en la sucesión. Los
, , , , , , 3, 7 , 1 1, 1 5, 1 9, 2 3 3, 7 11, 15, 19 23 , , 41 41 15 44 117 42 19 45 121 43 113 46 125
números
etcétera, son los términos de la sucesión. Por lo tanto, el etcétera,
primer término en la sucesión es
el el segundo término es
el el tercero es
y así sucesivamente. La sucesión
tiene
. Esta sucesión tiene 6 términos.
Muchas sucesiones siguen una especie de patrón. El cual suele estar descrito
por el n-ésimo término de la sucesión. Este término
se se denomina término
general de la sucesión. Una sucesión finita tiene un número específico de
términos, por lo que posee un término último. Una sucesión infinita no tiene último elemento. La notación
se utiliza a menudo para presentar el n se
ésimo término de una sucesión. Las llaves,
indican que se trata de una indican
sucesión. (Peterson, 2000, pág. 718)
Ejemplo: Encuentre los seis primeros términos de la l a sucesión
Solución
29
Sucesiones aritméticas Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. Por lo tanto, cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la diferencia) al término anterior. La diferencia entre dos términos consecutivos de la progresión aritmética se le denomina razón aritmética, la cual se denota con la letra obtenemos mediante la ecuación:
−
y la
En todas las progresiones aritméticas aritméticas se puede encontrar una expresión que permita obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta expresión se le denomina término general de la l a progresión aritmética. Observe 1 s o n i m r é T
2 3 4 …
…
n-ésimo
2 3 1
Como puedes ver, resulta fácil encontrar cualquier término de una progresión aritmética, cuando se conoce un término cualquiera y la diferencia común o razón.
Ejemplo: Una brigada de salud, en una jornada de vacunación, el primer día vacunó a 40 niños y el quinto día a 100. ¿A cuántos menores vacunó
30
dicha brigada los otros días, si las cantidades de niños vacunados forman una progresión geométrica? Solución Datos conocidos
100
40
Datos desconocidos
,
Encontrar la razón Se tiene que
4 100404 100404→604→ 604 →15 → 4015→ 55 2→ 40215→ 70 3→ 40315→ 85 sustituyendo los valores se tiene
,
despejando se tiene:
Por lo tanto
El segundo día se vacuno a 55 niños, el tercero a 70 y el cuarto día a 85.
Si se desea conocer cuál es la cantidad de niños vacunados se usa la expresión
. Es importante comprender que el propósito de
esta expresión general para encontrar la suma de los términos de una
progresión aritmética de términos, es el de facilitar los cálculos. Ejemplo: Una brigada de salud, en una jornada de vacunación, el primer día dí a vacunó a 40 niños y el quinto día a 100. ¿A cuántos menores vacunó dicha brigada durante los cinco días, si las cantidades de niños vacunados forman una progresión geométrica? Datos conocidos
5
40 100
31
Solución
2
Durante los 5 días se vacunaron 350 niños.
52 40100 350
Sucesiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el, primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón. La razón se denota con la letra
. La razón
geométrica resulta de dividir dos términos consecutivos de una sucesión geométrica, sucesor entre antecesor, así:
−
Resulta muy importante observar el comportamiento en la l a formación de una sucesión geométrica porque permitirá descubrir regularidades y obtener algunas conclusiones valiosas.
… …−
Habrá situaciones donde será necesario calcular la suma de los términos de una progresión geométrica. Para esto se utiliza la ecuación
Ejemplo
∙ −−
Según los habitantes de una comunidad, los padecimientos de las vías respiratorias superiores en los niños, ha disminuido. En la séptima quincena solamente se registró un caso. Si la l a situación mencionada se puede modelar mediante una progresión geométrica de razón
0,5
¿Cuántos niños fueron 32
reportados con dichos padecimientos en la primera quincena? ¿Cuál es el total de niños que ha padecido estos trastornos respiratorios? Datos conocidos
1
Solución
0, 5
Primero se encontrará el primer término de la l a progresión
→10,0,5 → 0,15 →64 ∙ 11 127 0, 0 , 5 1 64∙ 0,51 → 64∙ 12812 → 64∙ 254128 → 127
El total de niños está dado por:
En la primera quincena fueron reportados 64 niños. El total de niños que padecieron estos trastornos respiratorios son 127.
EJEMPLOS . Dada la sucesión { 2,
3/4, 4/9, 5/16, 6/25,... }, halla:
a) Su término general y los términos décimo y vigésimo. b) A partir de qué término
a n 0,001
c) ¿Cuál es su límite? [sol] a)
n + 1 n
2
; 11/100; 21/400; b) n 1001. c) 0
6. Considera las sucesiones: { an} = {1, 7, 13, 19, …} y {bn} = {5, 8, 11, 14, …} a) Halla el término general de cada una de ellas. ¿Cuánto valen a 300 y b35?
33
b) Halla la expresión de la sucesión
cn =
an bn
. ¿A partir de qué término de c n los
siguientes valen más de 1,9? Calcula su límite. [sol] a)
an = 6n − 5 ; bn = 3n + 2 .
b)
6n − 5 3n + 2
; n = 30; 2
7. Indica el valor de los siguientes límites: a)
lím(2n − 5)
d)
lím (−1) n − 5n n
2
b) e)
lím
lím
n−5
3 − 2n
6n
c)
n +1 2
lím
6n 2 + 3n 2n − 7n + 1 2
− n2 + 1 f) lím 2n + 7
3 ; d) No existe; e) −1/2; f) −∞ [sol] a) ∞; b) 0; c) 3;
34
35
-
1.3 Límites de funciones trigonométricas El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los cuales se considera que u = f (x). 1. lim sen u = sen u →
2. lim cos u = cos u→
3. lim sen u = 0 u→0
4. lim cos u = 1 u→ 0
5. lim u→ 0
sen u u
=1
Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. trigonométricas. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente. correspondiente. Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:
tan u
sec u
sen u
cos u
1 cos u
Ejemplo 1 Calcular el límite trigonométrico
cot u
cos u
csc u
1
→lim cos3
sen u
sen u
El argumento de la función es 3x, entonces en tonces haciendo u=3x, cuando x
0
, esto es, el lìmite se puede escribir
→0
, también 3x
→
36
Aplicando el teorema
→lim cos1
lim cos3 →
se tiene el valor del límite, esto es:
→lim cos31
s iguiente límite Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente
l→im
En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción para igualar el argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente. correspondiente.
l→im →lim =
Factorizando y efectuando productos.
l→im28 l→im 1
=
Aplicando el teorema
= (2) (8) (1)= 16
Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. 37
Ejercicios de reforzamiento. Calcular el valor de los siguientes límites. 1.2.-
l→im −− l→im
38
39
DERIVADAS La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.
DEFINICIÓN: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la l a variable independiente tiende a cero, esto es: Derivada de
f ( x) x →0 x
f ( x) = lim
También la derivada de una función se expresa como: Derivada de
f ( x) = lim
f ( x + x) − f ( x)
x→0
x
A efecto de simplificar la notación, es común representar a x mediante la letra h, con lo cual se tiene: Derivada de
f ( x) = lim
f ( x + h) − f ( x)
h→ 0
h
NOTACIÓN. La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia y = f ( x)
se denota de las siguientes siguientes seis formas:
D x f ( x) D x y f ' ( x) ,
,
,
Y’,
df ( x) dy dx
, dx
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es mT = D x f ( x)
40
Ejemplo 1
4 23 l→im ℎℎ 4ℎ 2 ℎ 34 23 l→im ℎ 4 2ℎℎ 22ℎ34 23 l→im ℎ 4 8ℎ4ℎ 22ℎ34 23 l→im ℎ 8ℎ4ℎ l→im ℎ 2ℎ l→im84ℎ2 ℎ→0 82
Obtener la derivada de la siguiente función: Aplicando la definición de derivada:
Resulta
Simplificando:
Realizando la división
Finalmente, calculando el límite cuando
se tiene la derivada de la función
Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. 41
Ejercicios de reforzamiento. Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones. 1.2.-
525 +
Teoremas para el cálculo de derivadas Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la l a definición. 1.- D x k = 0
donde k es un número real (Constante). (Constante).
2.- D x x = 1 3.- D x
kx = k
donde k es un número real (Constante).
4.- D x x n = nx n − 1 donde n R . Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales reales de variable real real continuas: Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, continuas, se tienen los siguientes teoremas para para el el cálculo de derivadas.
6. Derivada de un producto. D x f ( x) g ( x) = f ( x) D x g ( x) + g ( x) D x f ( x)
7. Derivada de un cociente. f ( x) g ( x) D x f ( x) − f ( x) Dx g ( x) = 2 g x g x ( ) ( )
D x
donde g(x) 0
42
8. Derivada de una función elevada a una potencia.
D x f ( x)
n
= n f ( x) n−1 D x f ( x)
Este teorema generalmente se expresa como : D x u
n
87
=nu
n −1
D x u donde u
es una función de x.
Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función
6 5 7
Aplicando los teoremas correspondientes
66 55 77 88 7 24 15 148 − 3 − 3 2 7− − 12 − 15 2 21− 15 6 21
Ejemplo 2: Obtenga la derivada de
Transformando la función a la forma de potencia
Aplicando teoremas y simplificando
43
Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada.
Ejercicios de reforzamiento. Calcular la derivada de las siguientes funciones: 1.2.3.-
2 3√ √ 22 2 +− 37√ √ 2
Ideas para Introducir el concepto de derivada partiendo de la definición de limite
Ejemplo: Sea
136
encuentre f’(4)
Técnica: Esto se lo l o puede colocar en una tarjeta en la pizarra con forro de mica para cada ejercicio, ya que siempre se va a realizar el mismo reemplazo en “x”. Así:
44
Mientras se desarrolla el ejercicio, se mueve la tarjeta para una mejor comprensión del reemplazo de “x”
Por lo tanto, tenemos:
45
46
1.1 Derivada de Funciones Elevas a una Potencia La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.
−′′
Si la base es la l a función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada ala exponente menos 1.
− 4 344− 12 − 4− 4 √ √ − 12 −− 12 − 2√1 5− 25− 25
Ejemplos 1. 2.
3.
4.
47
Experimento “El Carrito”
En matemáticas y ciencias aplicadas, se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal considerada. Objetivo: ▪
Comprobar la razón de cambio de espacio con respecto al tiempo transcurrido al variar el ángulo de inclinación de la superficie.
Metas: ▪
Comprenderá que, al variar el ángulo de la superficie, la razón de cambio de espacio con respecto al tiempo se incrementa.
▪
Adquirirá la competencia del uso del cronómetro.
▪
Sabrá que cuando se modifica el valor de la variable independiente, la variable dependiente también varía.
Materiales: ▪
Un carrito.
▪
Un cronómetro.
▪
Una superficie plana que pueda inclinarse fácilmente.
▪
Un transportador.
▪
Una cinta métrica.
Procedimiento: 1. Colocar el carrito sobre la l a superficie colocada horizontalmente horizontalmente y observar que no hay cambio de distancia con respecto al tiempo puesto que el carrito conserva su posición original.
48
2. Con una inclinación de 10º en la superficie y con el cronometro en ceros, se coloca el carrito en la parte más alta de la superficie y se suelta verificando con el cronómetro el tiempo que tardó en recorrer una distancia de 2 m. Registra el tiempo obtenido. 3. Se repite la operación anterior 3 veces y se promedian los tiempos que tardó el carrito en recorrer la misma distancia en la superficie inclinada. 4. Con los datos obtenidos, se construye la tabla 10 que muestre el tiempo necesario para que el carrito recorra los 2 m. m . (Ver Tabla) Inclinación (Grados)
Tiempo (Segundos)
Velocidad promedio (m/s)
10 Incrementos de 100 90
5. Se calculan las razones de cambio promedio aplicando la fórmula: ΔS/ΔT = (S2 – S1) /(T2 – T1)
6. El resultado del cociente anterior es la velocidad promedio del carrito en m/s de acuerdo a la inclinación determinada. 7. Se registra la velocidad promedio en la última columna de la tabla 8. Se desarrollan los pasos del 1 al 7 cambiando el ángulo de inclinación a 20º, 30º y 40º, etc. hasta que el cambio de la velocidad entre una inclinación incli nación y otra sea prácticamente la misma. 9. Se construyen las representaciones gráficas del tiempo transcurrido y la velocidad promedio con respecto a la inclinación de la superficie. 10. Se pide al estudiante que responda a las siguientes preguntas: a) ¿Las razones de cambio fueron iguales? 49
b) ¿Por qué son mayores unas que otras? c) ¿Qué relación hay entre el valor de la pendiente y la velocidad que adquiere el carrito?
CALCULO DE DERIVADAS REGLAS BASICAS: •
Derivada de una constante: cons tante:
y = k y' = 0
•
Derivada de y = x :
y = x y' = 1
•
Derivada de la suma (resta):
y = f ( x) g ( x) y ' = f ' ( x) g ' ( x)
•
Derivada del producto: y = f ( x) g ( x) y' = f 'g + f g '
•
Derivada del cociente:
y =
f ( x) g ( x)
y' =
f 'g − f g ' g
2
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES: •
Potencias:
y = x y' = n x n
n −1
n−1
y = f ( x) y' = n f ( x) n
•
Raíz cuadrada:
y = x y' =
1 2 x
y = f ( x) y' =
•
Inversa:
y = y =
1 x
y' = 1
f ( x)
f ' ( x)
1 2 f ( x)
f ' ( x)
−1 x
2
y' =
−1
f ( x)2
f ' ( x) =
− f ' ( x)
f ( x)2
50
•
Exponenciales:
y = e x y' = e x y = e
f ( x )
y' = e f ( x ) f ' ( x)
y = a y' = a La x
y = a
•
Logaritmos:
f ( x )
x
y' = a f ( x ) f ' ( x) La
y = Lx y' =
1 x
y = L f ( x) y' =
y = log a x y' =
1
1 f ( x)
f ' ( x) f ( x)
1
x La
y = loga f ( x) y' =
•
f ' ( x) =
1
1
f ( x) La
f ' ( x) =
f ' ( x)
1
f ( x) La
Funciones trigonométricas: y = senx y' = cos x y = cos x y' = − senx y = tgx y' = sec x 2
y = sen f ( x) y' = cos f ( x) f ' ( x) y = cos f ( x) y' = − sen f ( x) f ' ( x) y = tg f ( x) y' = sec f ( x) f ' ( x) 2
•
Inversas de las funciones trigonométricas: trigonométricas:
y = arcsenx y' =
1 1 − x 2
51
−1
y = arccos x y' =
y = arctgx y' =
1 − x 2 1
1 + x
y = arcsenf ( x) y' =
y = arccos f ( x) y ' =
y = arctgf ( x) y' =
2
1 1 − f ( x)
2
−1 1 − f ( x )
2
1 1 + f ( x)
2
f ' ( x) =
f ' ( x) =
f ' ( x) =
f ' ( x)
1 − f ( x)
2
− f ' ( x) 1 − f ( x)
2
f ' ( x)
1 + f ( x)
2
52
53
2.1 Derivada de Producto y cociente
Derivada de un producto
f ( x) = u·v
Derivada de un cociente
f ( x ) =
u v
f ' ( x) = u'·v + u·v' f ' ( x) =
u'·v − u·v' v
2
Ejercicio: Calcula la derivada utilizando la derivada del cociente:
1.
Solución:
2.
Solución:
3.
Solución: DERIVAMESTA Juego didáctico para agilizar el uso de las fórmulas de la derivada El juego consiste en un tablero de madera con el objetivo de llegar a la meta avanzando por casillas que representan las chinampas de Xochimilco a lo largo del camino te encontraras con patos ranas y serpientes, las casillas libres son coloreadas de azul o rojo, las azules son datos curiosos sobre la región de Xochimilco y las rojas son castigos directos que también puedes recibir al resolver incorrectamente o no resol ver 54
los ejercicios de derivadas presentes en el juego representados por los animales ya antes mencionados. Cada uno tiene un nivel de dificultad pato-fácil, rana-medio, serpiente-difícil estos ejercicios vienen incluidos en el juego anotados en 30 tarjetas color verde. El juego consta de: •
Tablero:
•
Fichas con distintas dificultades y estas es tas van marcadas con figuras de:
Ranas:
Patos:
55
Sapientes:
•
Tarjetas con datos de Estelí
•
Dado.
Tiene una modalidad de juego sencilla y dinámica que permitirá ser jugado con fluidez.
INSTRUCTIVO: El juego permite un máximo de tres jugadores y un juez que evaluará los resultados y leerá los “sabias qué”. 56
Mientras se va tirando por turnos el dado, se moverá la trajinera que será la ficha que representa a cada jugador, el objetivo es llegar ll egar hasta la figura del Parque de Estelí A lo largo del camino te encontraras con patos ranas y serpientes, las cuales van ligadas con una tarjeta que contiene una derivada que tendrás que resolver. Las casillas azules son datos curiosos sobre Estelí y las rojas son castigos directos que también puedes recibir al resolver incorrectamente o no resolver los ejercicios de derivadas
Experimento “El Tablero”
Dentro de las grandes contribuciones de Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), filósofo y matemático alemán, se encuentra su regla para la derivación de un producto, la cual puede declararse informalmente informalmente como: "La derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda". En el presente experimento se podrá demostrar de manera práctica la regla del producto de Leibniz y podrás observar la facilidad con la que podemos encontrar la nueva área de una superficie cuando cambian las dimensiones de sus lados. Objetivo: ▪
Demostrar de manera práctica por medio del cambio de las dimensiones de la superficie de un tablero, la aplicación de la regla del producto.
Metas: ▪
Comprenderá la demostración de una de las fórmulas de derivación.
▪
Aprenderá a aplicar de manera sencilla la regla del producto.
▪
Reforzará sus conocimientos aritméticos previos a la materia. 57
Materiales: ▪
Cartoncillo.
▪
Tijeras.
▪
Regla.
Procedimiento: 1. Se recortan varios rectángulos del cartoncillo, todos con una dimensión de 15 cm. X 25 cm. Área = Largo X Ancho 2. Se calcula el área de la superficie inicial del rectángulo. rectángulo. 3. Se le realiza un corte de 5 cm. en el ancho del rectángulo y se obtiene la nueva área tomando en cuenta que la nueva área se va a calcular de la siguiente manera: Área = (Largo) (Δ Ancho) 4. Tomando un rectángulo con las dimensiones iniciales, ahora se realiza un corte de 5 cm. en la longitud del rectángulo, con lo que se s e puede observar que ahora la nueva área se puede calcular de la siguiente manera: 5. Si a un tercer rectángulo se le realizan los dos cortes anteriores mencionados en los pasos 3 y 4, para obtener la nueva área se aplicaría la siguiente fórmula: Área = (Largo) (Δ Ancho) + (Ancho)(Δ Largo) 6. Se hace mención de que la fórmula que se emplea para obtener la nueva área es la regla del producto para lo cual se pide al estudiante que realice la comprobación de dicha aplicación. 7. Se pide al estudiante que conteste las siguientes preguntas: a. ¿Qué observaste? b. ¿Pudiste calcular el área con las nuevas dimensiones del tablero? c. Si aplicas la regla del producto ¿Obtienes el mismo resultado?
58
Uso de tecnología
59
60
3.1 Derivada de Regla de la l a cadena Al método para derivar funciones compuestas se le conoce como regla de la cadena. Para poder derivar el primer paso es distinguir entre una función y una función compuesta, ya que ambas se derivan de diferentes formas. Sea una función g ( x) =
f ( x) .
La función g(x) es una función compuesta ya que está
formada por una función f (x) que se encuentra dentro de otra, la raíz cuadrada. cuadrada. Para obtener su derivada se puede utilizar la definición de derivada: dg dx d
dx
= Limh→0
g ( x + h ) − g ( x ) h f ( x + h) − f ( x )
f ( x ) = Limh→0
h f ( x + h ) − f ( x )
= Limh→0 = Limh→0
h h
= Lim h→0 =
1
=
f ( x + h ) − f ( x )
(
f ( x + h) + f ( x)
f ( x + h ) + f ( x )
f ( x + h ) + f ( x )
)
=
=
f ( x + h ) − f ( x ) Lim h→0 = h f ( x + h ) + f ( x ) 1
df
2 f ( x ) dx
Si considero a la función como
g ( f ) =
f ,
la derivada
dg df
=
1 2 f
. Por lo tanto, el
resultado del ejemplo anterior se puede escribir como el producto de dos derivadas: dg df df dx dg df df dx
y dado que la derivada se puede ver como el cociente de dos diferenciales: =
dg dx
.
61
En un caso más general, sea g ( f ( x)) , esto es, una función función compuesta. En el argumento e la función g hay otra función, f(x). La derivada de g como función de x se escribe como
dg dx
. Supongamos que que se hace hace un cambio de variable donde
función g ( f ( x)) se puede escribir, entonces, cómo dg du
g (u ) y
. Dado que u es una función de x se puede derivar:
u = f ( x )
. La
por lo tanto, su derivada es du dx
. Por inspección de los
últimos dos términos, se puede ver que si se hace el producto entre ellos: dg dx
=
dg du du dx
Dado que los diferenciales diferenciales du se pueden eliminar. Regla de la cadena Si y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, derivables, entonces su composición fog=f(g(x)) es una función derivable y su derivada viene dada por:
(fog)’ = f’(g(x) g(x)))
Derivada de la función externa, evaluada en la interna
. g’(x)
Multiplicada por
Derivada de la función interna
Regla de la cadena en notación de Leibniz Si y=f(t) , y además t=g(x) son dos funciones diferenciables, diferenciables, entonces: dy dx
=
dy dt dt dx
62
Ejemplos: 1. Derive la siguiente función y = sen( x 3 ) Derivada
Planificación y argumentación al derivar Antes de derivar: Estudio las características de la función, para ello ell o me pregunto: •
¿se puede escribir de otra forma? No
•
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí , y = sen( x) , y = x 3
Derivo:
( )
y' = cos x .3x 3
2
Ordenando:
( )
2 3 y' = 3 x cos x
•
¿cuál es la externa? y = sen( x)
•
¿cuál es la interna? i nterna? y = x 3
Mientras derivo: Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la derivada de la interna” •
derivo la función externa manteniendo la interna: cos(x3 )
•
derivada de la interna: 3x 2
•
multiplico: cos(x3 ). 3x 2
Después de derivar: •
si mplificación? No ¿Puedo hacer alguna simplificación?
•
¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, usando identidades trigonométricas, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, pues sólo pide derivar.
63
Derivada
Planificación y argumentación al derivar •
¿Está bien derivado? Sí
2. Derive la siguiente función y = cos3 ( x)
Derivada
Planificación y argumentación al derivar Antes de derivar: Estudio las características de la función, para ello me pregunto:
Derivando: y' = 3 cos ( x ).(− sen( x )).1 2
Ordenando:
•
¿se puede escribir de otra forma? Sí , y = (cos ( x ))
•
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí ,
y' = −3 cos ( x )sen( x ). 2
Simplificando: Una forma (usando identidad fundamental): fundamental): y' = −3sen( x ) + 3sen ( x ). 3
Otra forma (usando identidad de ángulo doble): y' = −
2
y = x , y 3
= cos( x)
•
¿cuál es la externa? y = x 3
•
¿cuál es la interna? y = cos( x)
Mientras derivo: Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la
derivada de la interna” •
3
3
derivo la función externa manteniendo la interna, es decir derivo la potencia manteniendo la misma base:
cos( x )sen(2 x ).
(
)−
3 cos ( x ) •
3 1
derivada de la interna, que es el coseno: − sen( x)
64
Derivada
Planificación y argumentación al derivar •
3−1
multiplico: 3(cos ( x)) . (− sen( x))
Después de derivar: •
¿Puedo hacer alguna simplificación? Sí
•
¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, en otra situación
seleccionaré la que más me convenga. •
¿Está bien derivado? Sí
3. Derive la siguiente función y = ln 2 ( xsen( x))
Derivada
Planificación y argumentación al derivar Antes de derivar: Estudio las características de la función, para ello el lo
Derivando:
me pregunto: 1
y = 2 ln( xsen( x )). .(1.sen( x ) + cos( x ). x ) xsen( x )
•
y = (ln( xsen( x)))
2
Ordenando: • y' =
¿se puede escribir de otra forma? Sí ,
2 ln( xsen( x)).(sen( x) + x cos( x))
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí , son tres,
xsen( x)
y = x , y = ln( x ) , y = xsen( x ) 2
•
¿cuál es la externa? y = x 2
•
¿cuál es la más interna? y = xsen( x)
65
Derivada
Planificación y argumentación al derivar Mientras derivo: Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la derivada de
la interna” •
derivo la función externa manteniendo la interna: 2(ln( xsen( x)))2−1
•
derivo la base de la potencia, que es el neperiano:
•
1 xsen( x )
derivo la función más interna, que es el argumento del neperiano, observo que es un producto de dos funciones, por lo tanto, aplico la regla de derivada de una producto: 1.sen( x) + cos( x ) x .
•
multiplico:
2−1
2(ln( xsen( x)))
.
1 xsen( x )
.(
1.sen( x ) + cos( x ). x )
Después de derivar: •
si mplificación? No ¿Puedo hacer alguna simplificación?
•
¿Puedo escribir la función de otra forma?
Sí •
¿Está bien derivado? Sí
66
Sugerencias para el profesor Iniciar con ejemplos en donde el alumno pueda identificar f(x) y g(x), el profesor resolverá junto con los alumnos algunos ejercicios como los que se muestran más adelante.
Procedimiento para derivar utilizando la regla de la cadena 1. Identificar u= g(x) 2. Obtener la derivada de f(u) 3. Obtener la derivada g(x) 4. Obtener el producto de las derivadas, es decir, f’(x) g’(x) 5.- Sustituir u por g(x)
Ejemplo Sea la función g ( x ) = g (u ) = u
x − 3x + 8 . 4
Esta es una función compuesta compuesta en la que:
u( x ) = x − 3x + 8 4
La derivada de cada uno de los términos es: dg
=
du
1
du
2 u
dx
= 4x3 − 3
entonces, dg dx
=
1 3 = (4x − 3) du dx 2 u
dg du
y dado que u( x) = x 4 − 3x + 8 67
dg
=
dx
4 x 3 − 3 2 x − 3 x + 8 4
.
Ejemplo Sea la función
(
g ( x ) = 4 x − 2 2
) . La función función compuesta compuesta se puede ver ver como como g (u ) = u 3
3
dónde u( x) = 4 x 2 − 2 . Se quiere demostrar demostrar que el resultado resultado obtenido utilizando utilizando la regla de la cadena es el mismo que si se resuelve resuelve el cubo. Utilizando la regla de la cadena: cadena: dg
=
dx
dg du du dx
= (3u 2 )(8 x ) = 24 x(4 x 2 − 2) = 24 x(16 x 4 − 16x 2 + 4) 2
Ahora resolviendo el cubo antes de derivar:
(
) = (4 x )
g ( x) = 4 x − 2 2
dg dx
3
2 3
− 6(4 x 2 ) + 12(4 x 2 ) − 8 = 64 x 6 − 96 x 4 + 48 x 2 − 8 2
= 384 x 5 − 384 x 3 + 96 x = 24 x(16 x 4 − 16 x 2 + 4)
El resultado es el mismo.
Sean dos funciones g=g(u) y u=u(x) para las cuales las derivadas existen. La función compuesta g ( x) = g (u( x )) tiene una derivada dada por: dg dx
=
dg du du dx
.
Si se tiene una función g = u n donde u = u( x) , entonces, las derivadas de cada una de las funciones son
dg du
= nu n−1 y
du dx
. Así,
dg dx
=
dg du du dx
= nu n−1
du dx
.
Regla de la potencia para funciones.
68
Sea g ( x) = f n ( x) donde g es una función derivable, entonces, dg
d
=
dx
dx
f = nf n
n −1
df dx
.
Ejemplo Derivar las siguientes funciones. d dx
d dx
(3 x + 5)8 = 8(3 x + 5)7 (3) = 24(3x + 5)7
(4 x
(
3
− 2 x + 3) = 5(4 x 3 − 2 x + 3) (12x 2 − 2) 5
)
d x + 5 dx
2
5
5 x + 6
=
(
4
) (2 x)
5 x + 5 2
(
4
( x 10 x( x + 5) 5 x + 6 − 4
1
(
) (5 x + 6) − ( x 4
( x = ( x =
2
=
5
=
+ 5) 20 x(5 x + 6) − ( x 2 + 5) 4
2(5 x + 6) 2
=
+ 5)
2
2 5 x + 6 5 x + 6
=
2
5
5 x + 6 20 x x 2 + 5
4
1 2
+ 5)
2
2 5 x + 6
=
(3 x dx
5
5 x + 6 2
d
) (5 x + 6)−
2 5 x + 6 − x + 5
3
=
2
+ 5) (49 x 2 + 60 x − 5) 4
2(5 x + 6)
− 2( x + 5) + 6 3
3
2
)
=
2
5
=
2
(3 x 5
4
− 2( x + 5) + 6 3
−3
)
5
2
=
( 122 x = 5 (3 x
) − x − 10 x − 25 − 2( x + 5) + 6) 3
3
3
3
5 3 x − 2( x + 5) + 6 5
5
4 3
4
d
(3 x dx
12 x
3
4
)
− 2( x + 5) + 6 = 3
− 6( x + 5) = 2
2
69
Se pueden proponer otros ejercicios a los estudiantes que involucren raíces, e impliquen aplicar lo ya aprendido sobre reglas de derivación, es decir, derivada de producto y cociente de funciones en donde también se use la regla de la cadena. Como los que se muestran en la tabla.
Cálculo de derivadas Aplicando la definición, a través del límite, y teniendo en cuenta l a regla de la cadena, se obtienen las derivadas de las siguientes funciones:
TIPO
FUNCIÓN y = x
Tipo potencial
DERIVADA y = ax
a
y = f
a −1
y = af
a
a −1
. f
Ejemplos: • •
y = x
y =
4
y = 4 x
;
x x
y =
;
2
−3
y =
2
−3
. x
2
−1
y = (3x − 2)
•
y =
•
y =
2
3
= − x
5
;
2
3
=− .
1
2 x 5 2
2
x − 3 ; y = ( x
(2 x + 5)
5
3
1
2
x 5
=− .
3
=−
x
1
x
2
2
=−
2 x 5
1
= x 2 . x − 2 = x
−3
2
;
−2
;
3 2 x 2 x
y = 5(3 x − 2) .(3 x − 2) = 30 x(3x − 2)
2
1
−
2
•
3
3
2
4
1 3
2
1
2
1
−1
1
− 3) ; y = ( x − 3) 3 = ( x 2 − 3) 2
3
−2
3
3
; 2
y = (2 x + 5)
y = −2(2 x + 5) .(2 x + 5) = −2(2 x + 5) .2 = −3
−3
−4 (2 x + 5) 3
70
TIPO
FUNCIÓN
DERIVADA
y = x
Tipo raíz cuadrada
y =
y =
f
y =
1 2 x f
2 f
Ejemplo: •
y = x − 3 x 2
y =
;
2 x − 3 2 x 2 − 3 x
TIPO
FUNCIÓN
DERIVADA y = e
y = e
x
y = e
Tipo exponencial
x
y = e . f
f
f
x
y = a x La .
f
y = a . f La .
y = a y = a
f
Ejemplos: •
y = e
− x
•
y = e
3x+2
•
y = 2
;
•
y = 5
x +1
x
2
y = e
; ;
− x
y = e
.(−1) = −e − x
3 x + 2
.(3 x + 2) = e 3 x + 2 .3 = 3e 3 x + 2
. 2 y = 2 L 2x
;
y = 5
.( x 2 + 1) L . 5 = 2 x5 x
2 x +1
TIPO Tipo logarítmico
2
+1
. 5 L
FUNCIÓN y = Lx
DERIVADA y =
1 x
71
TIPO
FUNCIÓN
DERIVADA y =
y = Lf
y = log a x
y =
y = log a f
y =
f f
1
1 . x La
f
.
1
f La
Ejemplos: y =
•
y = L(2 x + 5 x) ;
•
y = log2 x ; y =
•
y = log3 (4 x + 1) ; y =
3
TIPO
(2 x 3 + 5 x) 2 x 3 + 5 x
=
6 x 2 + 5 2 x 3 + 5 x
1
1 1 = . x L2 xL2
(4 x + 1) 1 4 1 4 . = . = 4 x + 1 L3 4 x + 1 L3 (4 x + 1). L3
FUNCIÓN
DERIVADA
y = senx
y = cos x
y = senf
y = cos f . f
Tipo seno
72
Ejemplos: •
y = sen(4 x − 1) ; y = cos(4 x − 1).(4 x − 1) = 4 cos(4 x − 1)
•
y = sen x ; y = (sen x)
•
y = sen x
•
y = sen (2 x + 2 x) ;
3
2
3
;
y = 3(sen x) .(sen x) = 3sen x. cos x 2
y = cos x .( x ) = 2 x cos x
;
2
2
2
2
2
y = [sen(2 x + 2 x)]
3
3
2
;
y = 2sen(2 x + 2 x).[sen(2 x + 2 x)] = 2sen(2x + 2 x). cos(2 x + 2 x).(6 x + 2) 3
3
TIPO
3
3
FUNCIÓN
2
DERIVADA
y = cos x
y = − senx
y = cos f
y =
Tipo coseno −
senf . f
Ejemplos: •
y = cos 5 x ; y = sen5 x.(5 x) = −5sen5 x
•
y = cos x
;
y = −sen x.( x ) = −
TIPO Tipo tangente
1 2 x
sen x = −
sen x
2 x
FUNCIÓN y = tgx
DERIVADA
y =
1 2
cos x
= 1 + tg 2 x
73
TIPO
FUNCIÓN y = tgf
DERIVADA
y =
1 2
cos f
. f
Ejemplos: y =
1
•
y = tg 5 x ;
•
y = tg x ; y = (tg x)
cos2 5 x
2
2
;
.(5 x) =
5 cos2 5 x
y = 2tg x.(tg x) = 2tg x.
TIPO
1 cos2 x
FUNCIÓN y = ctgx
=
2tg x cos2 x
DERIVADA y =
−1 sen2 x
Tipo cotangente y = ctgf
y =
−1 2
sen f
. f
Ejemplos: •
y = ctg x
•
y = ctg e
2
x
; ;
y =
y =
−1 2
sen x
2
−1 2 x
sen e
.( x 2 ) = .(e ) = x
− 2 x 2
sen x
2
− e x 2 x
sen e
Puntos problemáticos Algunos alumnos confunden las reglas de derivación del producto con la del cociente, de ser necesario, conviene volver a explicar y dejar tareas extra, proporcionar asesorías o formar equipos con alumnos que presenten menos dificultades para que apoyen al resto de sus compañeros.
74
Actividad # 1: 1 : En el siguiente cuadro se presentan ejemplos de funciones y funciones compuestas, en cada caso identifica la función interna.
Funciones
Funciones compuestas y = e
2 x
y = e
cos x
y = e
− x
y = e
3
¿En cada caso, cuál es la función interna?
f ( x) = e
x
2 x
y = ( x − 3 x
−1
+ 5) 2
y = tg ( x ) 2
2 g ( x) = x
x y = 3 x − 3 y = e
2
2 x
y = sen(ln x)
( )
y = sen x
h( x) = sen( x )
2
1
y = sen x
y = sen(2x − 3)
75
Aplique lo aprendido 1. Halle la primera derivada de las siguientes funciones. (Nota: observe que no todas las funciones dependen de “x”, identifique en cada caso la variable independiente y derive con respecto a ella).
a.
y = (1 − 5x)
b.
f ( x) = 3 x − x + 1
6
(
1 1 + x
c.
y =
d.
y = 2 x
)
3
i.
f ( x) =
5
j.
2 − x
2
f ( x) = x 3 − x
f.
y = ( x − 1) x − 2 x + 2
2
2
z =
y = 1 + x
4
e.
g.
h.
x − 1 x + 1
x 3 − 1 y = 3 + 2 x 1
k.
y = ln( x.e )
l.
y = e .5
4
n.
y = 2 x ln(x + 3)
o.
y =
2
ln x
5 e + x x
1
3 p. y = e x + 5 ln (1 − 2 x ) 2
4
x
x
3
x 2 x +1
q.
y =
r.
y = ln tg x
ln ( x )
.5
2
3
))
x 3 + 7 m. y = ln 2 x
w
1 − 4w 2
2. Utilizando la regla de derivación para funciones compuestas halle la primera derivada de las siguientes funciones. (Sugerencia: sustituya en cada caso para obtener y=f(x) y luego derive) u −1
a.
y =
b.
y = (1 − cos (u))
u +1
,
u=
2
2 x 3
,
u=
2 x
Técnica que se puede implementar con este contenido
Encontrar la derivada de:
2 23 76
Técnica: Para ilustrar cada ejercicio, se utilizará la “Máquina de la Derivada” que ayudará a conocer el orden para resolver los diversos ejercicios en la aplicación de la regla de la cadena Para utilizar la “Máquina de la Derivada”, sé tiene que empezar desde abajo.
En la primera planta se coloca la función (se deberá escribir en una tarjeta):
Se utilizará la letra para llamar a la l a función,
23 2
entonces:
En la siguiente planta colocamos la función que vamos a intercambiar u por así:
77
Se utiliza los mismos teoremas de las derivadas, por lo tanto:
60
42
En la tercera planta de la máquina de la derivada, se coloca las derivadas de cada una:
, 60 ,4 2
En el 4 piso se unifican las derivadas en la regla de la cadena
78
Sustituyendo,
2 23
se tiene:
Al final sustituimos u, entonces tenemos
602 2342
Al final la Máquina de la l a Derivada queda de la siguiente manera:
79
80
4.1 Derivada de Funciones trigonométricas Introducción de la clase: Introducir el tema y recordar al estudiante las gráficas de funciones trigonométricas, así como sus diversas características. características. Se necesitará el “Tablero de uso múltiple
El profesor completará el primer espacio con la gráfica de la función incluyendo sus características; características; luego pedirá a sus alumnos que completen el resto de espacios con las l as seis funciones trigonométricas. Para esto pueden ayudarse de la bibliografía adecuada.
Desarrollo de la clase: Se exponen a continuación los teoremas para determinar la derivada de las funciones. Trigonométricas, se explica con un ejemplo para una mejor compresión de cada teorema: Teorema 1. Derivadas de Seno y Coseno: Las funciones diferenciables diferenciables y, por tanto:
y
son
Derivada de una función trigonométrica tipo seno f ( x) = sen x
Ejercicio nº 1)
f ´( x)´= cos x
Sol: 81
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno f ( x) = cos x
f ´( x) = − sen x
Ejercicio nº 2) Técnica: Con la ayuda del “Tablero de uso múltiple 2” se puede hacer un juego de pares con las derivadas de cada función esto puede ser a lo l o largo de la clase:
Ejemplo:
ttanan
Teorema 2. Derivadas de Tangente y Cotangente: Las funciones
cot
y
82
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple f ´( x) = 1 + tg x = sec x
f ( x) = tg x
2
2
=
1 cos 2 x
Ejercicio nº 3) Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple si mple f ( x) = arc sen x
f ´( x) =
1 1 − x 2
Ejercicio nº 4)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple f ( x) = arc tg x
f ´( x) =
Ejercicio nº 5)
1 + x 2
Sol:
Ejemplo: Calcular la derivada de la función
Considerando
1
2 31
u=
, entonces
tan2 31
y que la derivada es de la forma
tan
22 31 312 31 83
Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada de la función.
43 4 32 31
Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma la función u.
Ejercicios de reforzamiento. Obtenga la derivada de las siguientes funciones:
a) b) c)
4tsec√13 a n72sec5 +
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que, u es una función continua de x, esto es: u = f (x). 1
1.
D x arc sen u =
2.
D x arc cos u = −
3.
D x arc tan u =
4.
D x arc cot u = −
5.
D x arc sec u =
1− u
2
D x u
1 1− u
1 1+ u
2
D x u
D x u
1 1+ u
2
2
D x u
1
u
D x u u −1 2
84
6.
D x arc csc u = −
1
u
D x u 2 u −1
22 5 √ √ −− 1 12 2 12 5 5 6 12 12 5
Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función
Si u=
2 5
y utilizando el teorema
se tiene
Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.
Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores que toma la función u.
Ejercicios de reforzamiento. Derive las siguientes funciones:
a) b) c)
5 322csc csc 1 1
85
86
5.1 Derivadas de funciones exponenciales Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que, u es una función continua de x, esto es, u = f (x). 1.
D x a
u
= a u ln a D x u
2.
D x e
u
= e u D x u
donde a es una constante.
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función Considerando u=
5+−
25 ln 5+− ln 5 25 5+− ln522 225+− ln 5
Aplicando el teorema
, se tiene:
Calculando la derivada indicada
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función:
Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función Considerando u= sen 3x
Aplicando el teorema
, se tiene:
87
3 cos33
Calculando la derivada indicada
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función
3 cos3
Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas formulas.
Ejercicios de reforzamiento. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a) b)
ℎℎ 4+−√ √
88
89
6.1 Derivadas de funciones logarítmicas Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas siguientes: Considerando que u es es una función continua continua de x, esto es u = f (x). 1.
D x log
2.
D x ln u =
a
u=
1 u
1 u
loga e D x u
D x u
Ejemplo1: Calcule la derivada de la función
log5 34
5 34 log log 1 log 5 34 5 34 5103 34 lo g lncos3 cos3 l n cos3 cos3 333 6 3
Considerando u=
Aplicando el teorema
se tiene:
Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.
Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función
Considerando u=
Aplicando el teorema
y simplificando, se tiene:
), calculando la derivada indicada. = =
=
Resumen: las funciones logarítmicas l ogarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al logaritmo
natural
se
pueden
derivar
aplicando
los
teoremas
correspondientes correspondientes y considerando los l os valores que toma la l a función u. 90
Ejercicios de reforzamiento. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a) b) c)
tlaonlnglo2g5 7 +
Derivación logarítmica Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar. Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. El método de derivación logarítmica consiste en lo l o siguiente: 1. Se iguala la función con y. 2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad. 3. Se aplican las propiedades de los logaritmos l ogaritmos para simplificar la expresión. 4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la igualdad. 5. Se despeja D xy, que es la derivada que se está calculando. 6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo s egundo miembro de la igualdad. 7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las simplificaciones correspondientes, correspondientes, obteniéndose la derivada de la función dada. Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son: 1.- ln AB= ln A+ln B
2.-
ln l n l n
91
3.-
ln ln
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función
Igualando la función con
44 3
4 3 lnln4 3 ln ln l n 5 ln4 3 1 55 ln4 3ln4 3 5 4 4 5 4 33 ln4 3cos5 55 55 48 3 5 ln4 3cos5 84 53 5ln4 3cos5 884 53 5 ln4 3cos5 4 3 4 3 4 3 884 53 5 ln44 3 cos5
Aplicando el logaritmo natural
Aplicando la propiedad de los logaritmos:
Derivando con respecto a
los dos miembros miembros de la igualdad igualdad
Despejando
Sustituyendo
92
Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función
4 3 84 53 4 35 ln4 3cos5
Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las propiedades de los logaritmos.
Ejercicios de reforzamiento. Utilizando el proceso de derivación logarítmica, logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes s iguientes funciones.
a) b)
sec3 7 3+
93
94
7.1 Derivadas de Orden Superior A la derivada de una función se llama “la primera derivada de la función”, denotado:
′
Teniendo en cuenta que la primera derivada es una función, es y se realiza la deriva por segunda vez, es entonces cuando se le llama “La segunda derivada” o “derivada de orden 2”, y se denota:
Y así sucesivamente, se puede continuar de esta manera para determinar la nenésima o derivada de orden “n” de la función, y se denota:
95
Ejemplos Calcule el valor de “k”, si
diferencial:
satisface la siguiente ecuación
2 0 ′ 1 2 2.2 ′ 1 2 2 0 2 2 2 1 . 1 2 0 14 41
Solución
Hallar la su derivada de orden superior:
1 ′ √ √ + √ √ + . 2 + +′ =ln√ =ln√
HALLAR:
(-1) (-1) .
f’(x)= f’(x)=
f’’(x)=
−−++ (+)++)− −++
f’’(x)= f’’(x)= f’’(x)=
96
f’’(x)=
−+++ − − + − +−+
REEMPLAZANDO f’’(-1): f’’ (-1) =
f’’ (-1)=0/4 =0
Encontrar implícitamente la segunda derivada de:
2 3 8
Ahora la segunda derivada;
Solución:
Derivados a ambos lados
2 3 8 2 3 8 6 6′ 0 ′ 0 ≠0 con respecto a ;
Donde
.
′′ ′′ 2 ′′ ′′ 2 ′′ 2 ′′
La primera derivada y la segunda.
′′ 2 ′′ 2 Cuando
≠.
97
98
8.1
Derivadas Implícitas
La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas. Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f (x, y) = 0 , esto es, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede puede determinar determinar con respecto a la variable variable independiente independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x, en la cual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x, teniendo en cuenta que y es la variable dependiente y que D xy = y’ es la derivada buscada. En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función f ( x, y ) = 0 , se aplica el
siguiente procedimiento:
1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x. 2. Se efectúan las operaciones operaciones indicadas. 3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que contengan a y’.
4. Se factoriza y ‘. 5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener.
99
Ejemplo 1: Derivar implícitamente implícitamente con respecto respecto a x la función
3
Derivando con respecto
33 2 2 2 2 16
Calculando las derivadas que aparecen indicadas
Para despejar y’ primero se aplica la propiedad propiedad distributiva y después después se agrupan en
el primer miembro lo términos que contienen contienen a la derivada derivada de y
2 6 12 2
Factorizando la derivada de y
22 6 12 2 2 12 2 6
Finalmente, despejando despejando y’ se tiene la derivada derivada de la función con respecto respecto a x, esto es:
Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0
100
Ejercicios de reforzamiento. Derive con respecto a x las siguientes funciones
a) b)
3ln 2 t cosan
101
102
9.1 Gráfica de funciones Una función es una relación entre dos variables, x e y. A cada valor de la l a x (variable independiente) le corresponde un único valor de y (variable dependiente). dependiente). La función se represente gráficamente sobre los ejes cartesianos.
La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La segunda gráfica no es de una función: hay valores de x que les corresponde más de un y. Ejercicio 1.- ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan representan funciones? ¿Por qué? a)
Si
b)
No
Porque:
c)
Si
No Porque:
Si
No Porque:
103
d)
Si
e)
No
f)
Si
Porque:
No Porque:
Si
No Porque:
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que intervienen. Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el fenómeno que en ella se describe
Ejercicio 2.- Asocia cada gráfica con las situaciones descritas más abajo, y di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.
104
1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempo…B) x: el tiempo tiempo que transcurre en en segundos y: la altura altura en centímetros que alcanza. 2) Nivel de ruido desde las seis de la mañana hasta las seis de la l a tarde……………… x:……………………………………………. x:……………………………………………. y:…………………………………… y:……………………………………
3) Temperaturas Temperaturas mínimas diarias en Segovia a lo largo de un año…………….. x:……………………………………………. x:……………………………………………. y:…………………………………… y:…………………………………… 4) Precio de las l as bolsas de patatas fritas……………. x:……………………………………………. x:……………………………………………. y:…………………………………… y:…………………………………… 5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un año……………. x:……………………………………………. x:……………………………………………. y:…………………………………… y:…………………………………… 6) Distancia a la Tierra de un satélite artificial, al pasar el tiempo…………….. tiempo…………….. x:……………………………………………. x:……………………………………………. y:…………………………………… y:……………………………………
105
CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES La siguiente gráfica muestra la estatura media de los varones españoles según su edad: a) ¿Cuál es la variable dependiente? .................... ......................... ..... ¿y la independiente? independiente? ............... b) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años? ......... c) ¿Cuál
es
la
etapa
de
vida
de
crecimiento?
................................................................. d) ¿A partir de qué edad se disminuye de altura?............... altura?............... e) ¿A qué edad la altura es máxima? .......................... .................................. ........ f) ¿Cuál es la altura mínima? .................... ........................ .... Esta es la gráfica de la evolución de
la
temperatura
de
un
enfermo ingresado en la U.C.I. a lo largo de un día. a)¿Hubo a) ¿Hubo algún descenso de temperatura durante la madrugada? ............. ¿Entre qué horas? ..................... ................................. .................. ...... b)¿A b) ¿A qué hora del día la temperatura fue mínima? ............ ¿Y máxima? ................ ................ c) ¿Qué pasó entre en tre las dos horas? ............................ ................................ d)¿Cuándo d) ¿Cuándo tuvo el el enfermo la temperatura mínima entre las 0 h y las 12 h? ................. e) ¿A qué hora entre las 8 y las l as 16 horas alcanza el enfermo la temperatura máxima? ..............
106
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo aumenta también la variable dependiente dependiente y Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo disminuye también la variable dependiente y Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto a de su dominio si s i el valor de la función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la función en los puntos próximos a a Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la función en los puntos próximos a a Ejercicio. - Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.
a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio? b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos? ¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001? 2 001? c) ¿En qué momento del año 2001 se produce la máxima venta? ¿A qué lo atribuyes? d) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos? ¿En qué estación del año es decreciente la venta?
107
Una función y = f(x) se dice periódica de período T cuando toma valores iguales (de “y”), a medida que “x” toma v alores en un cierto intervalo de longitud T.
Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo cómo se comporta en un intervalo de longitud igual a un período (T).
Ejercicio Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representación gráfica de la función: tiempo-distancia al suelo de un cesto.
a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa? b) Observa cual es la altura máxima y cuál es el radio de la noria c) ¿Es esta una función función periódica? periódica? ¿Cuál es el período? período? d) Explica cómo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la gráfica
Ejercicio Mercurio tarda 88 días en completar su órbita alrededor del Sol. Su distancia al Sol oscila entre 70 y 46 millones de km., según muestra la gráfica tiempo-distancia a) ¿Es esta función periódica?....... ¿Cuál es el período? b) ¿En qué momento la l a distancia de Mercurio al Sol es máxima? c) Desde que inicia la órbita, ¿durante cuánto tiempo aumenta la distancia al Sol? d) Completa la gráfica de la distancia de Mercurio al Sol durante 300 días.
108
Una función y = f(x) se dice continua en su dominio cuando su gráfica es de trazo continuo en el mismo. En caso contrario se dice discontinua. Las discontinuidades de una función pueden ser debidas a: •
Si la variable independiente “x” toma únicamente valores discretos, la gráfica de
la función consta de una serie de puntos. •
Si la variable “x” toma valores en un intervalo, pero la variable “Y” toma valores discretos, la función tiene una gráfica: “a saltos”. Decimos entonces que es
discontinua en los “x” en que se producen l os saltos. Ejercicio Esta es la gráfica del coste de aparcamiento, en un centro comercial, en función del número de horas que mantenga el automóvil en el garaje. a) ¿Es la función: tiempo-coste continua? b) ¿De qué discontinuidad se trata? c) Describe mediante una tabla de valores los costes del aparcamiento en ese centro comercial.
109
110
10.1
Bosquejo de Curvas polinomiales
111
Aplicaciones de la derivada primera El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella. Además, en muchos casos posibilita la determinación de máximos y mínimos relativos. Crecimiento y decrecimiento (monotonía)
Caracterización Caracterización mediante la l a derivada primera
112
Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera Dada la función y = f (x) , para dibujarla es útil el siguiente proceso: 1. Determinar los puntos en los que no está definida f (x) . 2. Hallar la derivada f ´(x) . 3. Calcular las soluciones de la ecuación f ´(x) = 0 (puntos singulares). 4. Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida. Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos. 5. Estudiando el signo de la derivada en cada intervalo anterior, determinar si la función es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f ´(x) es positiva o negativa.) 6. Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máximos y los mínimos, si es el caso. 7. Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas.
Ejemplos
113
Aplicaciones de la derivada segunda Curvatura: concavidad y convexidad La concavidad y la convexidad dependen del punto de vista del que mira. Aquí se mirará siempre desde la parte positiva del eje OY . Por tanto, la concavidad será así : ; y la convexidad, así: .
114
115
INTEGRACIÓN
INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida ó cálculo de primitivas es, en cierto modo, un proceso “inverso” al de calcular calcular la derivada derivada de una función. Dada una función f ( x x) nos
planteamos ¿es f la derivada de alguna función? Y, si lo es, ¿cómo podemos calcularla?
Primitiva de una función se escribe Esta definición lleva implícito el hecho de que F es derivable en ( a, b).
Dada una función
, una primitiva arbitraria de esta se denomina generalmente
integral indefinida de y se escribe en la forma
∫
.
La primitiva de esta función también recibe el nombre de antiderivada.
Si es una función tal que indefinida de
´
para en un intervalo , entonce la integral
esta dada por:
Es cualquier número real y recibe constante de integración.
Ejemplos
Calcule
∫ 4
2 4 4 4 6 3 116
[] ∙´ ∫ ∫ ∙´ 22 2 ∫ 12 2 12 > 0, ≠ 1 ln ∫ l n ∫ 1 2 2 ln 2 2 l n 2 ln 2 1 ln || Integración de la función exponencial de base .
Recuerde que
y que
Luego
y
Ejemplo
en este caso
, por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener
la integral completa.
Integral de la función exponencial de base
Como
.
entonces:
y
Ejemplo
Integral que da como resultado la función logaritmo natural
Ejemplo
3 3 1 ln 117
Integrales de las funciones trigonométricas Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas. Daremos a continuación la lista de las fórmulas: Para la función coseno
Si
entonces
cossen ´ ´cossen sen , por lo que
Para la función seno.
Si
sencos ´ ´sen sencos cos tan sencos sen cos ln|coscos| ∈ ℝ tal que ≠ /2 , ∈ ℤ ´ ´ tanln|cos cos| entonces
por lo que
Para la función tangente
Valido para Si
entonces
, por lo que
118
Para la función cotangente
cot sencos l n|sensen| ∈ ℝ tal que ≠ , ∈ ℤ ´ ´cotln|sen sen|
Valido para Si
entonces
, por lo que
Para la función secante
sec tan ∈ ℝ tal que ≠ /2 , ∈ ℤ ´ ´sec tan tan
Valido para Si
entonces
, por lo que
Para la función cosecante
csc cot ∈ ℝ tal que ≠ , ∈ ℤ ´ ´csc cot cot
Esta fórmula tiene sentido en Si
entonces
y por tanto
Secante por tangente
119
sectansec ∈ ℝ tal que ≠ /2 , ∈ ℤ ´ ´´ secc tann sec sec
Esta igualdad es válida para Si
entonces
por lo que
Cosecante por cotangente
csccotcsc ∈ ℝ tal que ≠ , ∈ ℤ ´ ´´ csc cot csc csc
Esta igualdad vale para Si
entonces
, por lo que
Técnicas de integración Método de sustitución Si
− ´≠0 ´´ ⇒ −
es una función derivable que posee una función inversa
derivable. Entonces en cualquier intervalo donde
también
se tiene que:
Ejemplo
Sea
4, 3 , 4
√ √ 4
. Sustituyendo: 120
Como
√ √ 4 4 3 8 163 163 8 1633 8 16 3 10 8 7 16 4 √ √ 4, 310 (√ √ 4) 247 (√ √ 4) 12(√ √ 12( 4) entonces: entonces:
Integración por partes
Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede determinar más fácilmente. Esta es la fórmula de la integración por partes.
´´ ∙ ´ ´ ´ ∙ , ∫ ∫ , ∫ Usando los diferenciales de las funciones, si
entonces
entonces
y si
.
Sustituyendo en la igualdad anterior
Haciendo una elección apropiada de en términos de otra integral
Si
y
la formula anterior expresa la integral la
que puede resultar más fácil de integrar. que
fuera más complicada que integrar dada, probablemente probablemente la selección hecha
no ha sido la más adecuada.
121
Ejemplos
Si
Por lo tanto:
Si
3sen 3 3 sen ∫ sen→cos 3sen3 3sen3cos cos c cos∙s ∙ 3 3cos3sen entonces
entonces
INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida está íntimamente relacionado con el problema de calcular áreas de regiones planas, concretamente, con el de calcular calcul ar el área de la región del plano limitada por p or la gráfica de una curva, y verticales x
=
a y x
=
=
f
( x x), el eje OX y las rectas
b
y=f(x)
a
bx
Ilustración 1: Región plana limitada por la curva y = f (x), el eje OX, y las rectas verticales x = a y x = b.
122
Propiedades fundamentales de la integral definida
,, ,
,, ,, ,, < ≤ ≤ ∀∈ ,, ≤ ,, , ≤, ,, ≤ ≤ ,, , ,, , ,, ,, <<
1. Si es un número real constante, y es una función integrable en el intervalo cerrado
2. Si
y
entonces: entonces:
son dos funciones integrables en
integrable en
3. Si
entonces
también es
y: y:
y son dos funciones integrables en
(con
) y además
entonces: entonces:
4. Si
y
son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función
el intervalo
con con
y y ademas en integrable en
5. Si es una función continua en el intervalo
en
entonces: entonces:
entonces existe en este punto entonces
un punto talque se verifique la siguiente s iguiente igualdad:
6. Si es una función integrable en los
con con
entonces:
123
,,
7. Sea una función integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números Entonces
.
Sin importar cuál sea el orden de
,
.
Cambio acumulado En muchas situaciones, es más fácil determinar las variaciones de una cantidad que determinar su valor en un instante de tiempo determinado. Por ejemplo, la población de un país es difícil de evaluar directamente. Aunque existen los censos, éstos se realizan sólo de tarde en tarde y los ciudadanos, en general, no se ocupan de actualizarlo. Sin embargo, en la mayoría de los países es obligatorio registrar los nacimientos y los fallecimientos, es decir, las variaciones de la población. Supongamos que la figura siguiente muestra los resultados de un recuento diario del número de nuevos casos durante un brote de fiebre aftosa: cada barra representa un día y la altura de la barra indica el número de casos diagnosticados dicho día. Para obtener el número de infectados 10 días (por ejemplo) después del comienzo del brote, habría que sumar el número de infectados de los días 1, 2, 3, . . . h asta 10: 1 + 4 + 1 + 4 + 3 + 3 + 6 + 2 + 11 + 4 = 39
Supongamos ahora que, en vez de disponer de un conjunto discreto de datos sobre el número de infectados por día, hemos desarrollado un modelo matemático que utiliza una función continua D(t) para predecir el número de nuevos nuevos casos diagnosticados
124
Ilustración 2: Número de nuevos casos diagnosticados cada día durante un brote de fiebre aftosa.
¿Cómo calcular, en este caso, el número acumulado N de infectados durante los diez primeros días? La respuesta a esta pregunta es: integrando la función D(t) entre t = 0 y t = 10: ∫ N
=
10
D(t ) dt 0
(recuérdese la definición de la integral definida como límite de una suma de áreas de rectángulos de anchura cada vez más pequeña).
Ilustración 3: Modelo matemático para predecir el número de infectados cada día mediante una función continua
125
Ejemplo Una población de insectos, que es inicialmente de 100 individuos, crece a una tasa de q(t) = 2 t + 3t2
donde t es el tiempo en días. Determinar el tamaño de la población: (a) pasado un día; (b) pasados diez días.
Si denotamos p(t) a la función que nos da el número de insectos en cada instante t (que es lo que queremos determinar), la función q(t) nos da la variación instantánea de dicha función, es decir, q(t) es la derivada de p(t). Por lo tanto,
∫ p(t) =
∫ q(t) dt =
(2t + 3t2) dt = t2 + t3 + C para alguna C ∈ R constante.
La constante C se podrá determinar a partir del dato inicial: en t = 0 la población está compuesta por 100 individuos: 100 = p(0) = 02 + 03 + C
⇔
C = 100
Así pues, la función p(t), que nos da el número de insectos en cada instante t es p(t) = t2 + t3 + 100
Pasado un día, el número de insectos será: p(1) = 1 + 1 + 100 = 102
Pasados 10 días será de p(10) = 102 + 103 + 100 = 1200
126
Ecuaciones Diferenciales Si una ecuación contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplo
3 45 127
Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación en derivadas parciales. (Escobar) Ejemplo Calcule la primera derivada parcial de la función Solución
,, 6 5 10
.
125 ∙ 3 0 1215 6 5 10 05 ∙ 4 50 20 50
Derivar la función con respecto a y la variable tenerla como una constante.
Derivar la función con respecto a y la variable tenerla como una constante.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales, debido a que relacionan los valores de una función con los de su(s) derivada(s), son una herramienta fundamental en el tratamiento matemático de cualquier fenómeno dinámico, es decir, que involucre magnitudes que cambian con el tiempo (o con cualquier otra magnitud). Por ello, sus campos de aplicación son numerosos en física, química, biología, economía, . . . Se presentan a continuación algunos ejemplos.
128
En 1990 se arrojaron a un lago 1000 ejemplares de cierta especie de peces, de la que previamente no había ninguno. En 1997 se estimó que la cantidad de peces de esa especie que había en el lago en aquel momento era de 3000. Suponiendo que la velocidad de crecimiento de la población de peces es constante, calcular la cantidad de peces en los años 2000 y 2010. Solución
129
Si el número de bacterias contenidas en 1 litro de leche se duplica en 4 horas y suponiendo que la tasa de multiplicación es constante, calcular en cuánto tiempo se hará 25 veces mayor. Solución
130
Sucesiones Una Sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteres positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por ejemplo:
Al 1 se le asigna a 1, al 2 se le asigna a 2, y así sucesivamente. Los números a 1, a2, a3,....an... son los términos de la sucesión. El numero a n es el término n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por {a n}. Ejemplos Dar los términos de la sucesión
Series Cuando los elementos de una sucesión se suman se convierten en series y es allí en donde aparece lo verdaderamente utilizable desde el punto de vista matemático. m atemático. Sea a1, a2, a3,....a n... una sucesión numperica. Una expresión del tipo 131
a1+.....+....a n+... Se llama serie y se representa abreviadamente por el símbolo
Ejemplos de series finitas son las siguientes: 1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 2) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 3) 3 + 8 + 13 + 18 + 23 Ejemplos de series infinitas son las siguientes: La sucesión de sumar parciales
para para la serie
∑=∞= 132
En el ejemplo cuando n es muy grande, de parece razonable escribir
dará una buena aproximación a 1/3, de mo
133
Serie Infinita Si {an}es una sucesión infinita, entonces
Es una serie infinita(o simplemente una serie). Los números a 1, a2, a3, son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simplemente como Ʃ an. En tales casos, el valor inicial para el índice í ndice debe deducirse del contexto establecido. Para encontrar la suma de una serie infinita, considere la siguiente sucesión de sumas parciales.
Si esta sucesión de sumas parciales converge, se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente.
Series convergentes
∞= ∑ = ∑==
La serie infinita =
se dice que es convergente si su sucesion de sumas parciales
converge; converge; esto es.
→∞lim l→∞i m = .. 134
El número S se dice que es la suma de la serie. Si la serie es divergente.
→∞lim
no existe, enconces se dice que
135
Series de Potencias Las series de potencias son la extensión natural de los polinomios. Una serie de potencias es una serie del tipo
O más generalmente de la forma
Donde c0, c1....,c n,.... son números fijos llamados coeficientes, a otra constante llamada
centro y x un número variable . Las sumas parciales de una serie de potencias son polinomios en x o en x-a. La convergencia de una serie de potencias depende del valor de x y su suma es una función f(x) Ejemplos:
La serie de potencias en x donde los coeficinetes c k =1 =1 para todo k, 136
∞ = 1 ⋯ ⋯ Se reconoce como una serie geométrico con el mismo cociente común r=x. Por el teorema 4.3.1, la serie converge para aquellos valores de x que satisfacen
1<<1
. La serie diverge para
||≥1
. Esto es, para x
≤ 11 1 1 ≥ 1
| | < 1 0
En general, la prueba de las proporciones, como se establece en el teorema 4.1.4, es especialmente útil a determinar los valores de x para los cuales una serie de potencias converge. L prueba de la raíz, en la forma del teorema 4.7.5, también es útil pero en menor grado.
Serie de Taylor 137
Suponga que: a ( x − x ) = a 0 + a1( x − x )+ a ( x − x ) + a ( x − x )
( x ) =
+…
n=0
Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f. Evaluando en x=x 0
Obtenemos a0= f(x0) Para encontrar el segundo coeficiente derivamos y evaluamos en x=x 0
Entonces a1=f ´(x) Obteniendo la segunda derivada y evaluando en x=x 0
138
De la última expresión, se tiene a 2=
´
Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en x= x 0
De la última expresión se tienen a 3= Por lo tanto:
´ !!
Si x0= 0 se llama Serie de Maclaurin es decir:
Ejemplo: Aproxime
∫
dx hasta tres lugares decimales.
Solución
∫ ∗! ∗! ∗! …
10
139
∗! ∗! ∗! …
=
Por el teorema de la cota del error para la serie alternante, teorema 4.7.2, el cuarto término en la serie (24) satisface a4=
∗! ≈0.000013<0.0005 ≈ 1 1 1 ≈0.3103 3 7∗3! 11∗5!
por lo tanto, la aproximación
Es exacta hasta tres lugares decimales.
140
