Manual de Topografía I y II
Autor: Samuel Saldaña Escobar Revisó: Loreto Beltrán Jeria
Santiago, 24 de Agosto de 2009.
¡EN REVISIÓN!
¡EN REVISIÓN! Contenido Prólogo ............................................................................................................................................ 5 1.
Generalidades. Generali dades. .................................. ................. .................................. .................................. ................................... .................................... .............................. ............ 6
1.1.
Introducción Introduc ción ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................. 7
1.2.
Topografía, Geodesia, Fotogrametría y Cartografía. .................. ........................... .................. .................. .................. ............. .... 8
1.3.
Aplicaciones Aplicacio nes de la topografía topogr afía en proyectos .................................. ................. ................................... ................................... .................... ... 9
1.4.
Mapas y planos. .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... ............................. ........... 10
1.5.
Problemas Problem as.................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ...................... 12
2. 2.1
Instrumentos de uso en topografía. Tópicos elementales.................. ........................... .................. .................. ............ ... 13 Instrumentos Instrum entos básicos ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... .................... ... 14 Huincha de carpintero ............................................................................................................... 14 Huincha topográfica .................................................................................................................. 14 Huincha de invar. ...................................................................................................................... 15 Huinchas de acero ..................................................................................................................... 15 Niveleta ..................................................................................................................................... 16 Odómetro .................................................................................................................................. 16 Altímetros analógicos. ............................................................................................................... 16 Nivel de mano ........................................................................................................................... 17 Brújula Brunton. ........................................................................................................................ 17 Miras o Estadías ........................................................................................................................ 18 Trípode. ..................................................................................................................................... 18 Bastones o Jalones .................................................................................................................... 19 Prismas ...................................................................................................................................... 19 Libretas de campo. .................................................................................................................... 20 Planímetros digitales ................................................................................................................. 20
2.2
Instrumentos Instrum entos topográficos. topogr áficos. ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ............................. ........... 21 Nivel de Ingeniero ..................................................................................................................... 21 Taquímetro ................................................................................................................................ 23 Estación Total ............................................................................................................................ 27 Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) .................................................................. 28
2.3
Verificación y corrección Nivel - Taquímetro. Tópicos avanzados. .................. ........................... .................. ........... 30 Elementos geométricos Nivel de Ingeniero .............................................................................. 31 Condiciones geométricas del nivel de ingeniero....................................................................... 31 Elementos geométricos del taquímetro ................................................................................... 34
1
¡EN REVISIÓN! Condiciones geométricas del taquímetro. ................................................................................ 35 2.4
Problemas Problem as.................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ...................... 39
2.5
Respuestas Respuest as problemas problema s .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................. 40
3.
Altimetría. Altimet ría. Tópicos elementales................ elementale s.................................. ................................... ................................... .................................... .................... 41
3.1.
Conceptos topográficos aplicados a la altimetría. ................... ............................ .................. .................. .................. ................ ....... 42
3.2.
Nivelación. Nivelación . ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ...................... 44
3.2.1. Nivelación Geométrica Geométr ica .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................. 44 3.3.1. Tipos de nivelación nivelació n Geométricas Geométrica s ................................. ............... ................................... ................................... .................................... ...................... 46 3.3.2. Nivelación Compuesta ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................. 47 3.3.3. Nivelación Abierta ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ....................... ...... 48 3.3.4. Nivelación Cerrada .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ....................... ...... 48 3.3.5. Procedimiento Procedim iento de Terreno .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ............................. ........... 49 3.3.6. Registros Regist ros ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ....................... ..... 50 3.3.7. Errores Error es y Falta en una nivelación. nivelació n. ................................... ................. ................................... ................................... ................................... ................. 51 3.3.8. Compensación Compensac ión de cotas ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................ .............. 52 3.3.9. Replanteo altimétrico altimétr ico................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... .................... ... 54 3.3.10. Clasificación de la nivelación geométrica. Tópicos avanzados. ..................... .............................. ................... ............ .. 55 3.3.11. Nivelación geométrica por doble posición instrumental. .................... ............................. .................. .................. ............. .... 57 3.3.12. Nivelación por Miras Dobles ............................................................................................... 59 3.3.13. Nivelación por Doble Visada ............................................................................................... 59 3.3.14. Nivelación subterránea ....................................................................................................... 60 3.3.15. Problemas............................................................................................................................ 62 3.3.16. Respuestas Problemas ........................................................................................................ 66 4.
Perfiles. Perfiles . Tópicos Elementales Elementale s ................................... ................. ................................... ................................... .................................... ...................... .... 69
4.1.
Perfil Longitudinal Longit udinal ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ....................... ...... 70
4.2.
Nivelación de un Perfil Longitudinal Longit udinal .................................. ................ ................................... ................................... ................................ .............. 70
4.3.
Perfiles Transversales Transver sales de Terreno y perfil tipo ................................. ................ ................................... ................................... ................. 71
4.4.
Procedimiento para levantamiento levantamiento de perfiles transversales ................. .......................... ................... .................. ........ 73
4.5.
Dibujo de perfiles Longitudinales y transversales. transversales. ................... ............................ .................. .................. .................. ................ ....... 74
4.6.
Problemas Problem as.................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ...................... 79
4.7.
Respuestas Respuest as problemas problema s .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................. 82
5. 5.1.
Cubicación. Cubicació n. Tópicos Avanzados Avanzado s................................... ................. ................................... ................................... .................................... .................... 84 Determinación Determ inación de superficie ................................. ................ .................................. ................................... .................................... .......................... ........ 85
2
¡EN REVISIÓN! 5.2.
Determinación de volumen ................................................................................................ 87
5.3.
Otras situaciones de cubicación .......................................................................................... 91
5.4.
Problemas............................................................................................................................ 92
5.5.
Respuestas problemas ........................................................................................................ 100
6.
Teoría de errores aplicada a la topografía. Tópicos elementales. .................................. 102
6.1.
Introducción. ....................................................................................................................... 103
6.2.
Fuentes de errores. ............................................................................................................. 103
6.3.
Clasificación de los errores .................................................................................................. 104
6.4.
Precisión y exactitud ........................................................................................................... 105
6.5.
El valor más probable. ......................................................................................................... 106
6.6.
Elementos estadísticos ........................................................................................................ 106
6.7.
Errores Probables. ............................................................................................................... 107
6.8.
Propagación de Errores. Tópicos avanzados. ...................................................................... 110 La Ley general de propagación de errores .............................................................................. 110 Error en suma .......................................................................................................................... 110 Error en series ......................................................................................................................... 111
6.9.
Ajuste redes de nivelación .................................................................................................. 112
6.10.
Problemas............................................................................................................................ 114
6.11.
Respuestas Problemas ........................................................................................................ 115
7. 7.1.
Planimetría. Tópicos elementales. .................................................................................. 116 Generalidades. .................................................................................................................... 116
7.1.1. Sistemas de medición angular............................................................................................. 116 7.1.2. Conceptos básicos. .............................................................................................................. 117 7.2.
Taquimetría ......................................................................................................................... 119
7.2.1. Determinación de cota. ....................................................................................................... 119 7.2.2. Determinación de coordenadas .......................................................................................... 121 7.3.
Levantamiento Topográfico. ............................................................................................... 123
7.4.
Representación Planimétrica. ............................................................................................. 125
7.4.1. Curvas de Nivel. ................................................................................................................... 125 7.4.2. Interpolación de Curvas de Nivel ........................................................................................ 127 7.4.3. Simbología ........................................................................................................................... 130 7.4.4. Problemas............................................................................................................................ 133 7.4.5. Respuestas Problemas ........................................................................................................ 134
3
¡EN REVISIÓN! 8.
Poligonales. Tópicos Avanzados ...................................................................................... 135
8.1
Introducción ........................................................................................................................ 135
8.2
Traslado de Rumbo y Acimut .............................................................................................. 136
8.3
Medida de ángulos y direcciones de las poligonales .......................................................... 137
8.3.1 Trazo de poligonales por ángulos interiores ....................................................................... 137 8.3.2 Trazo de poligonales por ángulos a las derecha ................................................................. 138 8.3.3
Trazo de poligonales por acimut ......................................................................................... 138
8.4
Medición de longitudes poligonales ................................................................................... 139
8.5
Métodos de medición para ángulos de precisión. .............................................................. 139
8.5.1
Método de Reiteración. ...................................................................................................... 139
8.5.2
Método de Repetición......................................................................................................... 142
8.6
Selección de estaciones de una poligonal ........................................................................... 144
8.7
Causas de error ................................................................................................................... 144
8.8
Equivocaciones .................................................................................................................... 144
9.
Cálculo y Compensación de Poligonales ......................................................................... 145
9.1
Error de cierre ..................................................................................................................... 145
9.2
Cálculo de poligonales ......................................................................................................... 146
9.2.1
Compensación de los ángulos interiores ............................................................................ 147
9.2.2
Compensación lineal ........................................................................................................... 148
9.2.3
Ajuste de poligonales .......................................................................................................... 149
9.2.4
Regla de la brújula (o de Bowditch) .................................................................................... 149
9.2.5
Regla del tránsito ................................................................................................................ 151
9.2.6
Calculo de coordenadas ortogonales .................................................................................. 151
9.2.7 Diagrama resumen cálculo y compensación poligonales cerradas..................................... 153 9.2.8
Uso de las poligonales abiertas ........................................................................................... 154
9.3
Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P............................................................ 155
9.4
Replanteo Planimétrico. ...................................................................................................... 156
9.4.1 Cálculo de Distancia Horizontal y Acimut en base a coordenadas. .................................... 156 9.5
Problemas............................................................................................................................ 158
9.6
Respuestas problemas ........................................................................................................ 166
10
Bibliografía ¡Error! Marcador no definido.
4
¡EN REVISIÓN! Prólogo
El presente manual ha sido elaborado considerando los contenidos de las asignaturas de topografía I y II que imparte INACAP para las distintas especialidades. Cada capítulo se ha divido principalmente en tópicos elementales y avanzados. Los tópicos elementales son aplicables a la mayoría de las especialidades, donde se encuentran los fundamentos para comprender y aplicar la topografía. Los tópicos avanzados profundizan en el conocimiento y las técnicas aplicables a los procesos de medición topográficos, permitiendo que, aquellos técnicos o profesionales que requieran de aplicaciones más específicas puedan profundizar el tema. Además, se ha incluido para cada capítulo ejercicios desarrollados que permiten explicar los procesos de medición y cálculo, existe una sección con problemas propuestos los que deben ser desarrollados por el alumno como forma de practicar el conocimiento adquirido en clases e incluye las respuestas de aquellos ejercicios que requieran de cálculo. Por ser esta la primera versión de este manual es posible que se detecten algunos errores, lo que se remedirán con el tiempo, para ello es fundamental el apoyo de los alumnos y cuerpo docente que imparte la asignatura de topografía I y II.
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¡EN REVISIÓN! 1. Generalidades.
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¡EN REVISIÓN! 1.1.Introducción La primera manifestación de la topografía se ha registrado alrededor del año 1400 AC en Egipto, los topógrafos tenían por finalidad parcelar la tierra para que los agricultores la cultivaran y pagaran impuestos al rey. Con el pasar del tiempo la topografía ha evolucionado como muchas otras áreas. El desarrollo de la óptica y la geometría, permitió crear los primeros instrumentos ópticos-mecánicos, posteriormente con el avance tecnológico, se crearon instrumentos que mejoraron la precisión y rapidez de la medición, permitiendo el desarrollo de más y mejores trabajos. En la actualidad, la topografía se encuentra en una etapa de cambios tecnológicos que están afectando todas las áreas de la práctica topográfica de campo y de oficina. Entre los nuevos instrumentos que han revolucionado las actividades de campo se incluyen los sistemas de levantamiento por satélite, GPS, los teodolitos digitales electrónicos, las estaciones totales con sus colectores de datos automáticos (algunos operados robóticamente), niveles digitales automáticos que emplean técnicas de procesamiento de imágenes y dispositivos de alineación laser, entre otros. En el trabajo de oficina, los avances de la computación han afectado los procedimientos usados en el proceso de la información. Nuevo equipo para el dibujo de mapas y el escaneo de documentos ha sido perfeccionado, y han sido introducidos programas que ejecutan todo tipo de cálculos topográficos, compilación de mapas y trazado automático de curvas de nivel. Quizás el desarrollo reciente más significativo en topografía, han sido los sistemas de información geográficos (SIG) y sistemas de información terrestre (LIS), consistentes en hardware y software, que permiten al usuario almacenar, integran, manipular, analizar y desplegar virtualmente, cualquier tipo de información terrestre o geográfica que permita el desarrollo de proyectos o el análisis de información espacial. Asimismo, estos sistemas son usados a todos los niveles de gobierno, en los negocios y en la industria privada, y están siendo ubicados en muchas áreas diferentes como auxiliar de la planeación, diseño, dirección y toma de decisiones. Las consecuencias de dicha evolución ha obligado a las instituciones de educación superior que imparten carreras relacionadas con la topografía, instruyan a sus estudiantes enfocándolos en los nuevos instrumentos y procedimientos. Por ello la finalidad del presente manual es apoyar al estudiante entregando información acerca de los instrumentos de mayor uso, los procedimientos de cálculo manuales y computacionales. 7
¡EN REVISIÓN! 1.2.Topografía, Geodesia, Fotogrametría y Cartografía. Para representar la forma de la tierra existe una serie de técnicas y ciencias que actúan en forma conjunta tales como la topografía, la geodesia, la fotogrametría y la Cartografía. En el área de las mediciones de terreno se puede encontrar la topografía y la geodesia. La Topografía es la técnica utilizada para la representación planimétrica y altimétrica del relieve terrestre y submarino, además es utilizada para materializar (localizar) proyectos de obras civiles, agrícolas, mineros y otros. Normalmente considera la tierra plana debido que las mediciones se realizan en extensiones pequeñas de terreno. La geodesia según Helmert (1880), es la “ciencia de las mediciones y representación cartográfica de la superficie de la tierra” , es una ciencia porque se basa en la matemática, la física
y la computación para definir la forma de la tierra (elipsoide), por lo tanto, se diferencia de la topografía porque cubre extensiones de terreno mayores y se encarga principalmente de establecer sistemas de referencia para proyectos de gran envergadura. La fotogrametría es una técnica cuyo objetivo es el conocimiento de las dimensiones y posición de los objetos sobre la superficie terrestre a través de medidas realizadas sobre fotografías aéreas. Su diferencia principal respecto de la topografía radica en el instrumental, la técnica y la extensión de terreno cubierta, que generalmente es mayor. Su finalidad principal es representar planimétricamente y altimétricamente la superficie del t erreno. La Cartografía se define como el “arte de hacer mapas o como la técnica de confeccionar y representar sobre un plano todos los componentes del espacio terrestre, incluyendo las actividades y desarrollos del hombr e” (IGAC. Principios de Cartografía Temática, 1993). La tierra por tener una forma elipsoidal, achatada en los polos y abultada en el ecuador, no es directamente desarrollable al plano, para ello la cartografía se basa en las proyecciones cartográficas para su representación en el plano. Todas las áreas mencionadas anteriormente se mezclan con la finalidad de representar el relieve y los elementos presentes sobre la superficie terrestre en mapas, con el objetivo de planificar el uso de la tierra, explotar en forma óptima los recursos naturales y solucionar problemas que tengan relación con la información territorial.
8
¡EN REVISIÓN! 1.3. Aplicaciones de la topografía en proyectos Antes de comenzar con las aplicaciones es conveniente conocer en forma genérica dos conceptos fundamentales: levantamiento y replanteo. El levantamiento se entiende como un proceso topográfico cuya finalidad es recolectar datos con la finalidad de representar la planimetría y altimetría del terreno en un plano, tal como se muestra en la Figura 1.1, donde el levantamiento topográfico corresponde a los elementos dibujados sobre la imagen aérea.
Figura 1.1
El replanteo también es un proceso topográfico cuya finalidad es materializar un proyecto, es decir, llevar la forma del proyecto y ubicarlo en el terreno. En la imagen de arriba, supongamos que se hubiese proyectado un conjunto de casas sobre el plano topográfico, luego el replanteo corresponde a ubicar las casas en terreno. La topografía se puede aplicar en variados tipos de proyectos tales como construcción, minería, agricultura y cualquier otro que requiera levantamientos y replanteo. Otras aplicaciones de la topografía son; subdivisiones prediales, catastro, batimetrías (levantamiento del fondo marino y/o lacustre), cálculo de movimiento de tierras y confección de planos de terreno. En chile hay varias instituciones públicas que trabajan con topografía tales como Municipalidades, Ministerio de Obras Públicas (MOP), Ministerio de Agricultura, Ministerio de 9
¡EN REVISIÓN! Bienes Nacionales, Servicio de Vivienda y Urbanismo (SERVIU), Servicio Nacional Geología y Minería (SERNAGEOMIN), Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada de Chile (SHOA), Instituto Geográfico Militar (IGM) y Centro de Información de Recursos Naturales (CIREN) por mencionar algunos.
1.4.Mapas y planos. Para representar la información de la superficie terrestre se utilizan mapas o planos, que se diferencian principalmente por la extensión de terreno que cubren. Se denomina mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que por su extensión y debido a la curvatura de la superficie del planeta, requerirá hacer uso de sistemas de proyección propios de la cartografía, los que inducirán deformaciones; lineales, angulares o superficiales según sea la finalidad del mapa. En un mapa se distinguen los siguientes
elementos;
la
proyección, el datum, la escala y la simbología. En Chile se utiliza normalmente
la
proyección
universal transversa de mercator, la que divide la esfera en 60 zonas, correspondiendo a nuestro país
la
18
y
19.
Existen
principalmente tres datums de referencia que son el Psad56 y el Sad69, en los que se encuentra gran parte de la cartografía, sin embargo
producto
de
la
incorporación de los sistemas de navegación información
satelital(GNSS), cartográfica
la esta
migrando al datum WGS84.
Figura 1.2
10
¡EN REVISIÓN! En general los mapas se pueden clasificar en dos tipos: Los físicos y los temáticos, los mapas físicos representan en forma exacta y detallada la superficie terrestre, considerando como principal información la forma del relieve y su altitud. Un ejemplo es un mapa topográfico es el que se aprecia en la Figura 1.2. Los mapas temáticos se utilizan para representar la distribución espacial de un tema o fenómeno espacial. Un ejemplo es un mapa político de chile ver Figura 1.3 Se denomina plano topográfico a la representación gráfica que por la escasa extensión de superficie a que se refiere, no exige hacer uso de los sistemas cartográficos(proyecciones), lo que permite que sea ideal para el diseño de proyectos de ingeniería, debido que las dimensiones son directamente transformables, por medio de la escala, al terreno. En general los planos
topográficos
deben contener una simbología
que
represente
los
elementos del terreno, un
sistema
de
coordenadas Figura 1.3
(cuadrícula), viñeta y
plano de ubicación, tal como se muestra en la Figura 1.4.
Figura 1.4
11
¡EN REVISIÓN! 1.5.Problemas 1.5.1
Explique brevemente cómo ha evolucionado la topografía.
1.5.2
¿Qué es un SIG y un LIS? Y ¿Quién los utiliza?
1.5.3
Describa algunas aplicaciones de la topografía en: a) Agricultura. b )Minería. c) Silvicultura.
1.5.4
¿Cuál es la diferencia entre topografía y geodesia?
1.5.5
¿Qué es la fotogrametría?, ¿Qué es la cartografía? Y ¿En qué se diferencian?
1.5.6
¿Cuál es la diferencia entre un levantamiento y un replanteo?
1.5.7
¿Qué organismos públicos de chile hacen uso de la topografía?
1.5.8
¿Qué es una proyección cartográfica? y ¿Cuál es su utilidad?.
1.5.9
¿Qué organizaciones proporcionan datos de mapas, referencias topográficas y geodésicas para proyectos de topográficos?
1.5.10 ¿Cuál es un ejemplo de un sistema de navegación satelital (GNSS)? 1.5.11 ¿Cuál es la diferencia entre un plano y un mapa?
12
¡EN REVISIÓN!
2. Instrumentos de uso en topografía. Tópicos elementales
13
¡EN REVISIÓN! Hay una gama bastante variada de instrumentos que pueden ser utilizados en topografía: Por ello es fundamental adquirir un conocimiento general de las ventajas que presentan unos con respecto a otros. En el presente documento se analiza desde los instrumentos más tradicionales a los más contemporáneos como los sistemas satelitales.
2.1 Instrumentos básicos Huincha de carpintero
Material: Están constituidas por una caja plástica o de aluminio y una huincha de acero. Dimensiones: Son variables, la caja que protege la cinta mide de 3 cm* 3 cm * 1 cm hasta 8 cm * 8 cm *2.5 cm. El peso también varía desde los 50 gramos hasta los 350 gramos. La cinta puede ser de distintas longitudes la más pequeña miden 2 metros, las más grande son de 7 metros, el ancho de la cinta va desde la 5 mm a los 20 mm. Características: Utilizan dos tipo de unidades de medida; el metro, con precisión al milímetro, y la pulgada. Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir la altura instrumental, hacer amarras de vértices y en general para medir en terreno elementos de corta longitud. Es recomendable tenerla siempre a la mano.
Huincha topográfica
Material: Están constituidas por soportes plástico
y una
huincha que puede ser plástica o de tela. Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas miden 30 metros hasta las más grande que son de 100 metros. El ancho de la cinta es de 20 mm. Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la pulgada. Posee precisión al centímetro pudiendo estimar los milímetros. Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir la distancia de separación entre perfiles transversales, realizar levantamientos de baja precisión. No es recomendable utilizarla en 14
¡EN REVISIÓN! construcción ni trabajos topográficos de precisión producto que el plástico se desforma al ser sometido a una determinada tensión. Huincha de invar.
Material: El invar es un metal que esta compuesto por una aleación de níquel y acero, cuyo coeficiente de dilatación es 1/30 del acero. Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas miden 30 metros hasta las más grande que son de 50 metros. Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la pulgada. Posee precisión al milímetro. Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir distancias de precisión debido a su bajo coeficiente de dilatación. No son utilizadas en la topografía tradicional por su elevado costo.
Huinchas de acero
Material: Están compuestas de un acero cuyo coeficiente de dilatación por tensión y temperatura es conocido. Normalmente se garantiza el uso de la huincha a una temperatura de 20º Celsius y a una tensión de 5 Kilógramos. Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas miden 20 metros y las más grandes 50 metros. Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la pulgada. Posee precisión al centímetro. Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir bases de triangulación y distancias de precisión.
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¡EN REVISIÓN! Niveleta
Material: Constituida de material plástico o alumnio. Dimensiones: peso 200 gramos, altura 8 a 10 centímetros. Características: Contiene un nivel esférico. Utilidad topográfica: Permite dejar a plomada la mira (en dirección de la gravedad) cuando se realizan mediciones con el nivel o taquímetro. Odómetro
Material: Están constituidos de material plástico y aluminio. Dimensiones: peso desde 800 grs a 2,3 Kg, altura ajustable de 65 cm a 1,25 metros. Características: Diametro de la rueda 15,9 cm a 31, 85 cm. Medición de distancias hasta 9999,9 m. Precisión de la lectura desde el centímetro hasta los 10 cm. Utilidad Topográfica: Se puede utilizar para realizar monografías realizar mediciones para reconocimiento y cualquier aplicación que requiera medición de distancias con baja precisión. Altímetros analógicos.
Material: Están constituidos de metales y plástico altamente resistente, Traen una funda protectora. Dimensiones: Tamaño:60x70x25mm. Peso: 193 grs Características:
Mide
la
presión
atmosférica
y,
en
correspondencia con esta, la altitud sobre el nivel del mar apoyándose en la ley física de que la presión disminuye según ganamos altura. Esto significa, que los altímetros no son fiables en condiciones de tiempo inestable ya que la presión disminuye sin que ganemos altura. Es imprescindible ajustar el altímetro siempre que conozcamos la altura exacta a la que nos encontramos ya sea por medio de un mapa o por indicadores fiables. Utilidad topográfica. Son utilizados en labores de reconocimiento.
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¡EN REVISIÓN! Nivel de mano
Material: Están constituidos de metales y plástico altamente resistente. Dimensiones: Posee una longitud de 7 pulgadas. Características: Existe una variedad bastante amplia de niveles de mano, algunos de forma circular otros incluso cuadrados. El nivel de mano con estadía proporciona mediciones de precisión. El ocular de enfoque se extiende para enfocar el hilo de la retícula y la burbuja; el lente objetivo se extiende para enfocar el punto. Utilidad topográfica: Son utilizados para determinar desniveles y pendientes en trabajos de reconocimiento e inspección. Brújula Brunton.
Material: Está constituida de metales y plástico altamente resistente. Dimensiones: Tamaño 70 x 70 x 27 mm, Peso: 193 gramos. Características: Niveles de agua tubular y circular, clinómetro pendular (para medir inclinaciones), alidadas articuladas, espejo incorporado en la caja y bloqueo de la aguja al cerrar la tapa. Además es posible utilizar un adaptador para su fijación a un trípode. El sistema de medición es el sexagesimal con graduación a un 1º, permite medir ángulos con una precisión de ±0,5º. Utilidad topográfica: Determinar acimut, rumbo, inclinaciones, declinación magnética e inclusive se pueden realizar levantamientos de baja precisión.
17
¡EN REVISIÓN! Miras o Estadías
Material: Pueden ser de madera, fibra de vidrio o aluminio. Dimensiones: Extendidas miden de 4 metros hasta 5 metros. Características: Poseen un nivel circular para su fácil aplomo. La graduación tiene exactitud al centímetro y se estiman los milímetros.
Existen
algunas
que incluso poseen un código de barra para determinar la lectura con un nivel ingeniero, especialmente diseñado para este propósito. Utilidad topográfica: Son utilizadas para
trabajos de
nivelación y taquimetría con la finalidad de determinar desniveles y distancias horizontales. Trípode.
Material: Pueden ser de aluminio o madera.
Dimensiones:
Extendidos miden desde 1 metro hasta 1,75 metros aproximadamente, ya que su altura es regulable. Características: Poseen en los extremos de las patas un refuerzo metálico que termina en punta, a fin que pueda ser enterrado en el piso, permitiendo dar estabilidad. Cada pata es regulable por medio de mariposas u otro tipo de sistema de seguridad. Además posee una base metálica sobre la cual se ubica el instrumento topográfico.
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¡EN REVISIÓN! Utilidad topográfica. Son utilizados para soportar el instrumental topográfico (nivel, taquímetro, teodolito, estación total y GPS). Permiten dar estabilidad y son regulables a una determinada altura. Bastones o Jalones
Material: Pueden ser de aluminio, fibra de vidrio o grafito. Dimensiones: Extendidos miden 2.5 metros hasta 5 metros. Características: Poseen un nivel circular para su fácil aplomo y en el extremo superior, un tornillo con hilo estándar permite fijar el prisma al bastón. La altura puede ser variable utilizando para ello diversos sistemas de freno. Utilidad topográfica: Son utilizados para transportar el prisma y definir la ubicación de los puntos en un levantamiento topográfico.
Prismas
Material: Están constituidos de espejos reflectantes y una tubo protector de plástico. Dimensiones: Tienen un diámetro de Características: En su parte posterior poseen un tornillo con hilo estándar que permite adosar el prisma al porta prisma. Los espejos en su conjunto tienen una forma hexagonal que permite dirigir la señal. Utilidad topográfica. Son utilizados para reflejar la señal láser emitida por el distanciómetro y determinar distancias inclinadas.
19
¡EN REVISIÓN! Libretas de campo.
Material: Están constituidos de una tapa que puede ser de cartón o plástico. Aproximadamente tienen 80 hojas destinadas a su uso. Dimensiones: 20 cm * 15 cm aproximadamente. Características: Existe una variedad bastante amplia de
libretas, algunas están destinada a la
nivelación, la taquimetría y medición de ángulos de precisión. En general, tienen hojas especialmente diseñadas para realizar dibujos y diagramas. Utilidad topográfica. Son utilizados para llevar un registro de los datos recolectados en terreno e inclusive, muchas veces son requeridas por el mandante para respaldar los resultados obtenidos de los trabajos realizados. Es recomendable disponer siempre de una libreta de campo.
Planímetros digitales
Material: Están constituidos de metales y plástico altamente resistente. Dimensiones: Extendidos sobre una mesa ocupan una zona de 30 cm * 30 cm, aproximadamente. Características: Permite tomar mediciones con una
precisión de ±0.2 por ciento. Alguna de las
operaciones que puede realizar son: acumular lecturas, promediar, inicializar, calcular áreas en tamaño real e introducir escalas horizontal y vertical en forma independiente. Además tiene la capacidad de cubrir en una sola medición 10 metros cuadrados. Utilidad topográfica.: Son utilizados para determinar áreas sobre un mapa o plano e inclusive puede determinar volúmenes. Sus aplicaciones son variadas, incluyendo trabajos de ingeniería civil y de construcción, planeamiento de desarrollo de tierras, trabajos forestales y de agricultura.
20
¡EN REVISIÓN! 2.2 Instrumentos topográficos. Nivel de Ingeniero
Figura 2.1
Material: Están compuesto de metales y/o plástico resistente. Normalmente las perillas son de goma, plástico o metal. Poseen un juego de lentes de cristal para observar los objetos distantes en forma adecuada ver Figura 2.1. Dimensiones: 130x212x135mm (ancho, largo, alto), apertura del objetivo 36 mm, campo de visual a 100 metros 1º20’, peso 1.8 Kg. El aumento del lente es variable según el grado de
precisión del instrumento, pudiendo variar desde 22X a 32X Características: Existen niveles mecánicos, automáticos y/o digitales, su elección dependerá del tipo de trabajo, la productividad y el costo. Los niveles digitales a diferencia de los otros, utilizan miras con código de barra y permite almacenar los datos en una memoria interna para posteriormente bajar la información por medio de un computador. Partes del nivel: En general poseen tres tornillos nivelantes (1) y un nivel circular (3) el que puede llevar incorporado un espejo (4) para su fácil instalación. Posee tornillos para el movimiento fino del instrumento (2), tornillo de enfoque (6), miras de puntería (7) y un sistema de lentes (5)
21
¡EN REVISIÓN! (11), que permiten una rápida localización y enfoque de la mira. Tiene incorporado un sistema de hilos reticulares (8), Figura 2.2 y de tornillo enfoque para dichos hilos (10) que permiten realizar las lecturas en la mira. Además incorpora elementos para su calibración tales como tornillos del nivel esférico y regulación de los hilos reticulares (9). Inclusive se observa un limbo horizontal de exactitud al grado sexagesimal. Utilidad
topográfica:
Son
utilizados para determinar desniveles, cotas y pendiente entre puntos de interés. Es importante destacar que este tipo de instrumental es de precisión por lo cual el transporte y manipulación debe ser cuidadosa, su mantención debe ser períodica.
Figura 2.2
Proceso de instalación: 1. Coloque el instrumento sobre el trípode, seleccione un lugar que tenga amplia visual a los puntos a medir, tratar que la base del trípode esté lo más nivelada posible. Debe tenerse cuidado de extender las patas (trípode) hasta una altura conveniente para que el proceso de medición se haga en forma cómoda y rápida. 2. Fije las patas firmemente al terreno y posicionar el nivel esférico paralelo a dos tornillos nivelantes (moverlos en forma simultánea hacia dentro o hacia fuera) hasta centrar la burbuja, luego girar la aliada dejando
en
forma
perpendicular el nivel esférico respecto de la posición
anterior,
nivelar con el tercer tornillo hasta centrar la burbuja. Ver Figura
Figura 2.3
2.3 3. Finalmente girar la aliada 200g respecto de la última posición y verificar que permanece nivelado, en caso contrario debe corregirse el instrumento.
22
¡EN REVISIÓN! Taquímetro
Figura 2.4
Material: Están compuesto de metales y/o plástico resistente. Normalmente las perillas son de goma o plástico. Poseen un juego de lentes de cristal para observar los objetos distantes en forma adecuada, ver Figura 2.4. Dimensiones: 30cm * 10cm * 8cm, aproximadamente. aproximadamente. El peso puede variar desde 1.2 Kg a 2.0 Kg. Características: Los taquímetros se diferencian del nivel de ingeniero debido que poseen movimiento vertical lo que permite medir ángulos cenitales. La precisión en la medición de ángulos horizontales y cenitales va desde los 10cc a los 40cc, permitiendo ubicar puntos en forma planimétrica y altimétrica. El aumento del lente es variable según el grado de precisión del instrumento, pudiendo pudiendo variar desde 26X a 30X. Existen taquímetros mecánicos mecánicos y digitales, se se diferencian debido que estos últimos tienen una pantalla digital donde se muestra los ángulos, la pendiente en porcentaje y permite cambiar la dirección de medición del ángulo horizontal, es decir, se puede medir en sentido horario (derecha) o antihorario (izquierda), lo que es útil en replanteo de curvas en vialidad. Además tiene la opción de fijar un ángulo horizontal, para ello se busca el valor angular y se presiona la tecla HOLD, esto es particularmente útil para levantamientos topográficos. 23
¡EN REVISIÓN! Partes del taquímetro: En la Figura 2.4 se identifican las siguientes partes y su utilidad. (1) Tornillo para el freno del movimiento movimiento horizontal.
Fija el telescopio en una
dirección definida. (2) Tornillo tangencial o fino del movimiento horizontal. Permite apuntar en forma precisa a la objeto en observación, tiene sólo movimiento horizontal. (3) Almacén de baterías. El instrumento puede utilizar baterías o pilares recargables. (4) Miras de puntería. Permite ubicar en forma rápida el objeto en observación. (5) Telescopio. Contiene un set de lentes convergentes que permiten enfocar el objeto en observación. (6) Objetivo. (7) Nivel tubular. Se utiliza para nivelar el instrumento en forma precisa. (8) Nivel esférico. Permite nivelar el instrumento en forma aproximada (9) Plomada óptica. Se utiliza para aplomar el instrumento sobre la estación topográfica (10) Asa de sujeción. Para coger el instrumento. (11)Limbo (11)Limbo Vertical. Se utiliza para medir el ángulo vertical, es un sistema que funciona en forma electrónica. En la Figura 2.5, también se observa el limbo horizontal.
Figura 2.5
(12)Botón (12)Botón de encendido. (13)Aliada. (13)Aliada. Corresponde a toda la coraza del instrumento. (14)Tornillos (14)Tornillos nivelantes: Son tres tornillos que permiten nivelar el taquímetro. 24
¡EN REVISIÓN! (15)Tornillo (15)Tornillo de enfoque: Se utiliza para enfocar el objeto en observación. (16)Freno (16)Freno movimiento vertical. Permite frenar el movimiento vertical del telescopio debido que gira sobre el eje horizontal. (17)Ocular. (17)Ocular. (18)Tornillo (18)Tornillo de enfoque hilos reticulares. Permite mejorar la nitidez de los hilos reticulares. (19)Tornillo (19)Tornillo tangencial o fino del movimiento vertical. Igual que (2), pero se utiliza para el movimiento vertical. (20)Pantalla (20)Pantalla digital: Muestra las mediciones de ángulos y pendiente e incorpora funciones para fijar ángulos y cambiar la dirección de medición.
Utilidad topográfica: Son utilizados para levantamientos topográficos, determinar desniveles, cotas y pendiente, trazar alineamiento (ejes) y replantear puntos. El inconveniente de este instrumento es que no mide distancias en forma directa, sino que en base al los hilos estadimétricos (reticulares), por lo tanto su aplicación se ha reducido siendo sustituidos por las estaciones totales. Proceso de instalación: 1. Coloque el instrumento sobre la estación topográfica tratando que la base del trípode esté lo más nivelada posible, y la plomada sobre el punto de estación. Debe tener cuidado de extender las patas del trípode hasta una altura conveniente para que el proceso de medición se haga en forma cómoda y rápida. 2. Fije una de las patas del trípode firmemente al terreno y levantando las otras dos, mientras observa la plomada, muévalos lentamente hasta que el retículo de la plomada óptica coincida exactamente con el punto de estación. 3. Fije las patas firmemente al terreno y actuando sobre los tornillos de ajuste de las patas extensibles del trípode, centre la burbuja del nivel esférico de la base del taquímetro. 4. Utilizando los tornillos nivelantes de la base del taquímetro, nivelar la burbuja tubular, para ello posicionar el nivel tubular paralelo a dos tornillos nivelantes (moverlos en forma simultánea simultánea hacia dentro o hacia fuera), fuera), luego girar la aliada
25
¡EN REVISIÓN! dejando en forma perpendicular el nivel tubular respecto de la posición anterior y finalmente, nivelar con el tercer tornillo, ver Figura 2.6.
Figura 2.6
5. Compruebe que la plomada aun coincida con el punto de estación. De ser necesario, afloje un poco el tornillo de sujeción del taquímetro y desplace suavemente la base hasta volver a lograr la coincidencia. Ajuste nuevamente el tornillo de sujeción. 6. Verificar la nivelación del nivel tubular, en caso de que se encuentre desnivelado realizar el paso 4. 7. Finalmente girar la aliado 200g respecto de la última posición, para verificar la nivelación del instrumento.
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¡EN REVISIÓN! Estación Total
Es muy similar a los taquímetros digitales, desde el punto de vista de los materiales que constituyen el instrumento, dimensiones y proceso de instalación, las diferencias principales son: Permite la medición de distancia en forma precisa, en base al distanciómetro que lleva incorporado y al prisma en el cual rebota la señal electromagnética. Tiene memoria interna o externa para almacenar datos
tales
instrumental,
como altura
ángulos, de
distancias,
jalón,
altura
descripción
y
coordenadas. Para obtener los datos de terreno, se debe conectar a un computador personal y utilizar un software que reconozca el protocolo de transmisión de datos, normalmente viene incorporado con la Figura 2.7
compra o arriendo del instrumento. Los cálculos se pueden hacer directamente en
terreno, mientras se realizar el levantamiento o en su defecto se procesan en una computadora una vez descargados.
Traen incorporados programas que permiten al topógrafo calcular desniveles, pendiente, coordenadas, realizar replanteos, proyectar ejes e inclusive algunos modelo miden distancias por rebote sobre cualquier superficie disminuyendo los riesgos en zonas peligrosas. Permitiendo una mayor versatilidad y productividad durante el trabajo en terreno. Dentro de las principales marcas de estaciones totales se encuentran: Topcon, Sokkia, Trimble, Nikon y Pentax.
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¡EN REVISIÓN! Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS)
Un Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS, en su acrónimo inglés) es una constelación de satélites que transmite rangos de señales utilizados para el posicionamiento y localización en cualquier parte del globo terrestre, ya sea en tierra, mar o aire. Estos permiten determinar las coordenadas geográficas y la altitud de un punto dado como resultado de la recepción de señales provenientes de constelaciones de satélites artificiales de la Tierra para fines de navegación, transporte, geodésicos, hidrográficos, agrícolas, y otras actividades afines. Un sistema de navegación basado en satélites artificiales puede proporcionar a los usuarios información sobre la posición y la hora (cuatro dimensiones) con una gran exactitud, en cualquier parte del mundo, las 24 horas del día y en todas las condiciones climatológicas. GNSS es un término general que comprende a todos los sistemas de navegación por satélites, los que ya han sido implementados (GPS, GLONASS) y los que están en desarrollo (Galileo). Actualmente, el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) de los Estados Unidos de América y el Sistema Orbital Mundial de Navegación por Satélite (GLONASS) de la Federación Rusa son los únicos que forman parte del concepto GNSS. Galileo perteneciente a la unión Europea se encuentra en desarrollo y probable entregará sus servicios a partir de 2011. En el mercado existe una gran variedad de instrumentos destinados al posicionamiento satelital, distinguiéndose principalmente dos tipos, los navegadores y los geodésicos. Los navegadores son utilizados con fines de exploración, en actividades deportivas, rescate, seguimientos de flotas, estudios científicos, etc. Permiten conocer la velocidad,
coordenadas
geográficas o UTM, dirección y almacenar rutas. La precisión en el posicionamiento es de ±20 metros o menor dependiendo de la disponibilidad de satélites, ver Figura 2.8 Los geodésicos son utilizados en trabajos más profesionales tienen aplicación en la geodesia, proyectos viales, mineros, agrícolas, estudios científicos tales como el monitoreo de placas tectónicas, etc. Permite conocer coordenadas y velocidades con alta precisión llegando a nivel del milímetro., ver Figura 2.9
28
¡EN REVISIÓN!
Navegadores
Figura 2.8
Geodésicos
Figura 2.9
29
¡EN REVISIÓN!
2.3 Verificación y corrección Nivel - Taquímetro. Tópicos avanzados.
30
¡EN REVISIÓN! Esta sección tiene por finalidad mostrar el proceso de verificación y corrección del nivel de ingeniero, taquímetro y estación total. Elementos geométricos Nivel de Ingeniero
Son los ejes principales que permiten sustentar la aplicación práctica y teórica del instrumento: Línea de Fe del nivel esférico (LF): Es una línea que pasa tangente al punto medio superior del nivel esférico cuando la burbuja está centrada. Genera una superficie horizontal Eje Vertical de Rotación del anteojo (EVR): Es el eje en torno al cual gira el instrumento apoyado en su montante, apunta en la dirección de la plomada o gravedad. Eje Óptico o Eje de Colimación (EO): Es una línea imaginaria formada por el centro óptico del instrumento y el cruce de los hilos reticulares. Hilo Horizontal del Retículo (HHR): Corresponde al hilo medio del retículo Condiciones geométricas del nivel de ingeniero
Figura 2.10
El nivel de ingeniero debe verificar las siguientes condiciones geométricas: 1. LF perpendicular al EVR 2. EO paralelo a la LF. 3. HHR perpendicular al EVR.
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¡EN REVISIÓN! Verificación y corrección. 1.
LF perpendicular al EVR
Verificación: Una vez Centrada la burbuja del nivel esférico con el tercer tornillo de nivelación, ver sección proceso instalación nivel de ingeniero, rotar 200g el instrumento y verificar que la burbuja permanece dentro de la tolerancia indicada en el nivel esférico. Corrección: En caso que la burbuja del nivel esférico sufra algún desplazamiento, el instrumento posee un error de verticalidad, se eliminará la mitad del desplazamiento de la burbuja con el tercer tornillo nivelante y la otra mitad del desplazamiento con los dos tornillos de corrección vertical que se encuentran al lado del nivel esférico, soltando uno y apretando el otro. Terminada la corrección, se verificará nuevamente la condición, hasta tener la certeza que el error de verticalidad se ha eliminado. 2.
EO paralelo a la LF.
Verificación: Se utiliza el método de estaciones conjugadas, para ello en terreno se ubican dos puntos fíjos A y B distanciados entre 40 a 60 metros.
Figura 2.11
Se instala el instrumento cerca de A, se realiza la altura del instrumento “Ha” y luego se lee sobre la mira en B “Lb”
32
¡EN REVISIÓN! Se traslada el instrumento a B, se realiza la altura “Hb” y luego se lee sobre la mira en A “La”. Sea “e” el error en las lecturas por falta de paralelismo, entonces consideremos los valores
tomados en la instalación cerca de A:
Los valores en la instalación cerca de B:
al igualar las expresiones
Despejando “e”, queda;
Si “e” es cero se cumple que;
Por lo tanto el instrumento no tiene error. Corrección: En caso contrario y estando el instrumento en B, la lectura corregida en la mira A corresponde:
Para su corrección, se actúa sobre los tornillos antagónicos verticales del retículo hasta hacer llegar el hilo medio al valor de
. Después se vuelve a revisar y se repite la operación de
corrección hasta que el error sea cero.
33
¡EN REVISIÓN!
3.
HHR perpendicular al EVR.
Verificación: Se dirige la visual con el anteojo hacia una pared u objeto claro (papel); con un lápiz se marca en la pared un punto que deberá coincidir con un extremo del hilo medio del retículo, posición A Figura 2.12. Con el tornillo tangencial se hace girar lentamente el instrumento alrededor de su eje vertical de rotación, el punto deberá deslizarse a lo largo del hilo medio hasta llegar al extremo opuesto si se cumple la condición. Corrección: En caso contrario habrá una separación, ver Figura 2.12, el desplazamiento “a” es el doble del error de inclinación del hilo
medio, se corrige este error, accionando los 3 o 4 tornillos de corrección del retículo para girarlo hasta su posición correcta. Figura 2.12
Elementos geométricos del taquímetro
Línea de Fe del nivel tubular (LF): Es una línea imaginaria que pasa tangente al punto medio superior del nivel tubular cuando la burbuja está centrada. Eje Vertical de Rotación (EVR): Es el eje en torno al cual gira la aliada apoyado en su montante. Eje Horizontal de Rotación del telescopio (EHR): Es el eje de giro del telescopio. Eje Óptico o Eje de Colimación (EO): Es una línea imaginaria formada por el centro óptico del telescopio del instrumento y el cruce de los hilos reticulares.
34
¡EN REVISIÓN!
Condiciones geométricas del taquímetro.
Figura 2.13
El taquímetro debe verificar las siguientes condiciones geométricas: 1. LF es perpendicular al EVR 2. El hilo vertical del retículo (HV) debe ser perpendicular EHR. 3. El EO debe ser perpendicular al EHR. 4. El EHR debe ser perpendicular el EVR
Verificación y corrección de las condiciones geométricas 1.
LF es perpendicular al EVR
La línea de Fe es una línea imaginaria que pasa tangente al nivel tubular cuando el instrumento se encuentra nivelado, esta debe ser perpendicular al eje vertical de rotación para garantizar que los ángulos horizontales se miden en un plano horizontal y los ángulo verticales se miden sin el error de índice (error por inclinación del eje vertical), ver Figura 2.13. Verificación: Una vez instalado el taquímetro y nivelado, se debe girar 200grados centesimales para verificar que la burbuja del nivel tubular permanece centrada, en caso contrario el desplazamiento corresponde al doble del error de inclinación del nivel tubular. 35
¡EN REVISIÓN!
Corrección: Girar el tornillo del nivel tubular de tal forma que la burbuja se desplace la mitad del error hacia el centro del nivel tubular. La otra mitad del error se corrige con el tornillo nivelante que corresponda, de tal forma que quede centrada la burbuja. Finalmente se vuelve a verificar la condición y en caso que exista algún desplazamiento se debe aplicar nuevamente el mismo procedimiento. 2.
El HV debe ser perpendicular EHR
En caso de no cumplir la condición se producen errores en las mediciones de los hilos superior, medio e inferior.
Figura 2.14
Verificación: Una vez nivelado el instrumento, ubicar un punto que se encuentre lo más distante posible, con el tornillo tangencial del movimiento vertical recorren el punto con el hilo vertical del retículo, en caso que el punto se aleje del hilo vertical se requerirá realizar una corrección de los hilos reticulares. Corrección: Debe aflojar dos tornillos consecutivos del retículo, ver Figura 2.15, y girar el anillo del retículo dentro del tubo del anteojo hasta que logre recorre el punto con el hilo vertical.
36
¡EN REVISIÓN!
3.
El EO debe ser perpendicular al EHR.
El eje de colimación se define como la visual que pasa por la intersección de los hilos principales del retículo. Si esta línea no coincide con el eje óptico y no es perpendicular al eje horizontal de rotación (EHR) se producirán errores en las observaciones. El error de colimación horizontal del anteojo, queda sin efecto, cuando las direcciones son observadas en las dos posiciones del anteojo (directa y tránsito). Verificación: En la primera posición del anteojo (directa) se visa un punto bien definido a más de 100 metros de distancia y que pueda ser enfocado con el anteojo aproximadamente horizontal, luego transitar el instrumento y visar el mismo punto, restando 200 g al valor. Teniendo en cuenta la precisión del instrumento la posible diferencia entre la medida en directa y la medida en tránsito reducida, corresponde al doble del error horizontal del eje de colimación. El promedio de ambas lecturas da por resultado la dirección correcta. Corrección: Ubicar en el anteojo los tornillos del retículo para moverlo horizontalmente, ver Figura 2.15, y aflojar. Posteriormente mover el retículo de tal manera de que al hacer las lecturas en directa y tránsito, cumpla la condición, es decir que el valor de ángulo medido en tránsito menos 200g sea igual al ángulo horizontal en directa. Ejemplo aplicado: Los datos de terreno son:
Lectura en directa 43.4467g y la Lectura en tránsito es
243,4457g. Para calcular el error se realiza la siguiente operación: g=5cc Es decir debe buscar la lectura 243,4462, que corresponde al ángulo medido en tránsito (243,4457g) más los 5 cc (segundos centesimales), correspondientes a la mitad del error .
37
¡EN REVISIÓN!
Figura 2.15
4.
El EHR debe ser perpendicular el EVR
Si esta condición no se cumple ocurrirá un error de inclinación. Aunque en los instrumentos modernos esta condición viene garantizada por el fabricante por un determinado número de años de servicio del instrumento en condiciones normales de funcionamiento, es conveniente identificar la ocurrencia del error de inclinación a fin de determinar la necesidad de corrección del instrumento.
Verificación: La ocurrencia del error de inclinación se verifica una vez estacionado y nivelado el taquímetro, colimando un punto “P” muy alto y anotando la lectura del ángulo horizontal (posición directa). Luego se rota el anteojo alrededor de EHR (vuelta de campana) y se colima nuevamente el punto P anotando la lectura L2 (Posición inversa). Se debe verificar que L2 – L1 = 200g. De no cumplirse esta condición, el error de inclinación vendrá dado por:
En caso de comprobarse la presencia de un error de inclinación apreciable, es conveniente enviar el instrumento al servicio técnico para su corrección.
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¡EN REVISIÓN! 2.4 Problemas Tópicos Elementales
2.4.1. Enuncie tres instrumentos para medir distancia, indicando su aplicación y la precisión posible de alcanzar. 2.4.2. Indique tres aplicaciones de los altímetros analógicos. 2.4.3. Indique las utilidades de la Brújula Brunton. 2.4.4. ¿Cuál es la funcionalidad del trípode? 2.4.5. ¿Cuál es la utilidad de los planímetros? 2.4.6. ¿Para qué se utiliza la mira y el baston con prismas? 2.4.7. Explique la diferencia entre el taquímetro y la estación total? 2.4.8. Indique tres ventajas de los taquímetros digitales respecto de los mecánicos? 2.4.9. Mencione 10 elementos del nivel de ingeniero y su funcionalidad. 2.4.10. Explique el proceso para instalar el nivel de ingeniero. 2.4.11. Mencione 10 elementos del taquímetro y su funcionalidad. 2.4.12. Explique el proceso para instalar el taquímetro. 2.4.13. Menciones tres componentes básicos de la estación total. 2.4.14. Menciones los tipos de cálculos que se puede realizar con una estación total 2.4.15. ¿Qué significa GNSS? 2.4.16. ¿Qué tipo de receptores existen? Y ¿Cuál es su aplicación?
Tópicos Avanzados
2.4.17. Indique los elementos geométricos del nivel de ingeniero y su funcionalidad. 2.4.18. Mencione las condiciones geométricas que debe cumplir el nivel de ingeniero y su forma de verificación.
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¡EN REVISIÓN! 2.4.19. Utilizando un nivel de ingeniero verifique sus condiciones geométricas. Los siguientes datos corresponden a mediciones realizadas con un nivel de ingeniero, para verificar que el eje óptico es paralelo a la línea de Fe. Determinar si el instrumento la cumple y sino determine la lectura corregida. Punto
Lectura atrás
Lectura adelante
1,256 (Ha)
A
1,661 (Hb)
B
1,557 (Lb) 1,353 (La)
A
2.4.20. Indique los elementos geométricos del taquímetro y su funcionalidad. 2.4.21. Mencione las condiciones geométricas que debe cumplir el taquímetro y su forma de verificación. 2.4.22. Los siguientes datos corresponden a mediciones realizadas con un taquímetro para verificar que el eje óptico es perpendicular al eje horizontal de rotación del telescopio. Determinar si el instrumento la cumple y sino determine la lectura corregida. Punto
Angulo Horizontal
A
34,5764g
Directa
234,5730g
Transito
2.4.23. Utilizando un taquímetro verifique sus condiciones geométricas.
2.5 Respuestas problemas 2.4.20. No cumple la condición geométrica . El valor corregido de la lectura es 1,3565 m 2.4.23. No cumple la condición geométrica, el error es de 17cc y el ángulo a medir es 234,5747g
40
¡EN REVISIÓN!
3. Altimetría. Tópicos elementales.
41
¡EN REVISIÓN! 3.1.Conceptos topográficos aplicados a la altimetría. Tal como se mencionó en capítulos anteriores, la topografía se divide en la planimetría y altimetría. La Altimetría tiene por finalidad determinar la distancia vertical de un punto respecto a una superficie de referencia, que puede ser arbitraria o absoluta (nivel medio del mar). Para profundizar el tema es necesario definir inicialmente una serie de conceptos básicos. Línea vertical, línea que sigue la dirección de la gravedad, indicada por el hilo de una plomada. Superficie de nivel, es una superficie curva y equipotencial de gravedad (igual potencial de gravedad), en que la dirección plomada del instrumento topográfico es perpendicular a ella. Ver Figura 3.1
Figura 3.1
En mediciones de corta distancia, las superficies de nivel son consideradas planas, debido que los efectos por curvatura son pequeños alrededor de 0,7 milímetro por cada 100 metros, lo que no tiene un mayor efecto para la mayoría de las aplicaciones práctica. Por lo tanto para la nivelación geométrica la tierra se considera plana. Plano de referencia (PR), superficie horizontal imaginaria localizada bajo la superficie terrestre, respecto de la cual se determina la cota de un punto. Nivel medio del Mar (NMM), es una superficie de referencia para las altitudes topográficas y corresponde a la media de las observaciones de las mareas registradas por un largo período de tiempo (19 años). Esto se realiza en los principales puertos del país. También se puede obtener un nivel medio del mar mediante observaciones hechas durante 28 días (ciclo lunar), pero ya no sería absoluto; no obstante, existen tablas de marea, donde se extrapola y calculan las alturas de
42
¡EN REVISIÓN! mareas para los 365 días del año, y cuya finalidad es ligarse al N.M.M en cualquier instante de tiempo. El instrumento utilizado para las mediciones es un m areógrafo. Altura, elevación ó Cota (C): Es la distancia vertical desde un punto localizado en la superficie terrestre con respecto al plano de referencia. Esta puede ser absoluta cuando es referida al N.M.M. o arbitraria, al asignarle un valor. Desnivel (Δh): Es la distancia vertical que hay de un punto con respecto a otro. Puede ser positivo
o negativo. Punto de referencia (Pr): Es un
Terreno
punto localizado y materializado Di.
en la superficie terrestre, cuyos
Δh
valores de cota y/o coordenadas
Dh
son conocidos. C
Distancia
inclinada
(Di):
Corresponde a la longitud directa medida entre dos puntos. Distancia
horizontal
Plano de referencia(PR)
Figura 3.2
(Dh):
Corresponde a la distancia medida o calculada entre dos puntos paralela respecto al plano de referencia, ver Figura 3.2. Pendiente (P): Es una relación que representa la inclinación entre dos puntos, se calcula dividiendo el desnivel respecto a la distancia horizontal que separa los dos puntos. Es decir,
.
Normalmente es representada en porcentaje por ello se multiplica por cien. Ejercicio 3.1
Calcular la pendiente expresada en porcentaje y la distancia inclinada desde el punto A al punto B, si la cota de A es igual a 520 m. , la cota de B es igual a 600 m. y la distancia horizontal es de 170 m. Desarrollo
=187,88 m
43
¡EN REVISIÓN! 3.2.Nivelación. Él termino nivelación posee dos significados distintos, uno se refiere al proceso de tomar diferencia de niveles entre dos o más puntos específicos. El otro significado es dejar a nivel el terreno, es decir, rellenar o excavar. El desnivel y la cota de un punto se pueden obtener utilizando diferentes métodos, tales como; la nivelación geométrica, la nivelación trigonométrica y la nivelación barométrica, la diferencia entre estos tipos de nivelación radica en el instrumental utilizado y la metodología de medición. En este capítulo se tratará la nivelación geométrica dejando el resto de las nivelaciones para capítulos posteriores.
3.2.1. Nivelación Geométrica Conocida también como nivelación diferencial, consiste en un procedimiento topográfico que utilizando el nivel de ingeniero y la mira, permite trasladar cotas y desniveles entre puntos.
Figura 3.3
Tal como se aprecia en la Figura 3.3; CPr, la cota del punto Pr, que es conocida. LAT , LAD , corresponden a la lectura atrás y adelante respectivamente, y medidas con el nivel de ingeniero. CB, cota del punto B, corresponde a la cota del punto desconocido. Para calcular la cota del punto B, se cumple geométricamente que:
El valor obtenido al sumar CPr , LAT(Pr) , se conoce como cota instrumental y corresponde a la cota del eje óptico del instrumento.
44
¡EN REVISIÓN! La cota desconocida (C B) es calculada por la siguiente expresión:
De esta forma el punto B tiene cota calculada y puede ser utilizada para trasladar la cota a otros puntos. En una nivelación se pueden distinguir tres tipos de puntos; punto de referencia, punto de cambio y punto intermedio. El punto de referencia, es aquel de cota conocida o asignada, que puede ser de partida y/o llegada en una nivelación, se identifica con la sigla Pr. El punto de cambio es aquel de cota desconocida cuya finalidad es permitir el traslado de la cota dentro un circuito de nivelación, tal se aprecia en la siguiente Figura 3.4, los puntos de cambio son B, C y E. El punto intermedio también es de cota desconocida, sin embargo su finalidad es dar cotas a puntos de interés tales como las estacas del eje de un camino, una canal de regadío, etc. En la figura se distinguen los puntos A y D, como puntos intermedios, nótese que el instrumento no cambia de posición al realizar la lectura, a diferencia del punto de cambio donde se realiza una lectura adelante y otra atrás.
Figura 3.4
Ejercicio 3.2
En terreno se recolectaron los siguientes datos: Cota del punto Pr= 502,20 metros, lectura atrás en Pr 2,20 metros, la lectura adelante en B 1,50 metros y la distancia horizontal entre los puntos es de 70 metros, ver Figura 3.3. Calcular la cota del punto B, el desnivel y pendiente del Pr al punto B.
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¡EN REVISIÓN! Desarrollo La cota de B. Aplicando la ecuación vista anteriormente
Calcular el desnivel de Pr a B. El desnivel se puede calcular en base a la resta de las cotas o las lecturas en la mira.
Utilizando las lecturas de terreno:
Calcular la pendiente de Pr a B
3.3.1.
Tipos de nivelación Geométricas
Básicamente existen dos tipos de nivelación la simple y la compuesta: La nivelación simple es aquella que considera solamente un posición instrumental desde la que se visualiza a todos los puntos que se quiere dar cota, puntos 1, 2, 3 y 4, tal como se aprecia en la Figura 3.5. Normalmente es aplicable a trabajos de pequeñas dimensiones.
Figura 3.5
46
¡EN REVISIÓN! La nivelación compuesta es aquella que requiere de dos o más posiciones instrumentales, normalmente aplicable a trabajos de mayor extensión de terreno, tales como ejes viales, canales de regadío, etc. En la Figura 3.6, el punto de cambio es el número 4, A
Figura 3.6
y B, corresponden al instrumento topográfico, 1, 2, 3, 5, 6 y 7 son puntos radiados.
3.3.2.
Nivelación Compuesta
La Nivelación Compuesta puede ser ejecutada de varias maneras, las cuales son: Nivelación Abierta. Nivelación Cerrada. Nivelación por Doble Posición Instrumental. Nivelación por Miras Dobles. Nivelación por Doble Visada.
47
¡EN REVISIÓN! 3.3.3.
Nivelación Abierta
Básicamente parte de un punto con cota conocida (punto PR) y luego seguir un itinerario topográfico, llega a un punto de cota desconocida (punto F), tal como se aprecia en la Figura 3.7 . La desventaja de este procedimiento es que no posee comprobación.
Figura 3.7
Las cotas de los puntos de cambios son (B, C, E, F) y son calculadas de la siguiente manera:
Las cotas de los puntos intermedio (A y D), dependen de la posición instrumental uno y tres respectivamente. Las ecuaciones son:
3.3.4.
Nivelación Cerrada
Principalmente, parte desde un punto de cota conocida o asignada y luego de seguir el itinerario topográfico llega al mismo punto. La forma de comprobación es calcular la diferencia entre la sumatoria de las lecturas atrás menos la sumatoria de las lecturas adelante, la que se debe encontrar dentro de la tolerancia asignada a la nivelación.
48
¡EN REVISIÓN!
También es cerrada la nivelación cuando el circuito topográfico llega a otro punto de cota conocida, en este caso el error de cierre queda comprobado al restar la cota calculada con la cota fíja (Conocida) en base a los datos de la nivelación.
3.3.5.
Procedimiento de Terreno
Para realizar la nivelación se requiere tener conocida la cota del punto de partida, es decir, del PR o en su defecto se debe asignar un valor arbitrario. Se instala el nivel de ingeniero a una distancia de 60 metros y se realiza la lectura atrás al Pr , ver Figura 3.7, luego se realizan las lecturas intermedias (punto A) y finalmente la lectura adelante (punto B), ahora se traslada el nivel a otra posición instrumental, avanzando dentro del circuito de nivelación, pero esta vez la lectura atrás se realiza al punto B, de esta forma se repite el proceso hasta cerrar la nivelación en el mismo Pr de partida o en otro conocido. Para la anotación de los datos utilizar un registro por cota instrumental o desnivel, según se explica en la sección siguiente. Algunos alcances a tener en cuenta son: El Pr debe perdurar en el tiempo, por lo tanto es recomendable hacerlo de hormigón con un fierro en el centro para ubicar la mira. Verificar el instrumento antes de comenzar las mediciones. El instrumental empleado debe cumplir con las especificaciones técnicas del trabajo. Los puntos de cambio deben ser elegidos de tal forma, que la mira pueda girar libremente sobre el punto y no sufra variaciones altimétricas. Utilizar niveletas o bascular la mira para asegurar la verticalidad al momento de la lectura.
49
¡EN REVISIÓN! 3.3.6.
Registros
Dependiendo de las características de la nivelación, se recomiendan los siguientes registros: Registro por Diferencia. Punto
Lecturas Atrás
Pr
1,400
B
1,850
Adelante
+
Cotas
Observación y Croquis
-
100,000 1,600 1,700
C
Desnivel
0,200 0,150
99,800 99,950
El registro por diferencia de nivel es utilizado para nivelaciones de precisión, donde lo fundamental es el traslado de cota para definir puntos de referencia (Pr) que servirán de apoyo al proyecto o estudio. Las diferencias de nivel se calculan al restar la lectura atrás, con la lectura adelante del punto siguiente, según sea el signo del desnivel se anota en la columna de los positivos o negativos. Para el cálculo de cota se debe sumar o restar el desnivel a la cota conocida: Por ejemplo según los datos del registro, el DesnivelPr-B=1,400 –1,600= –0,200, luego la cota del punto B es 100-0,200=99,800 metros
50
¡EN REVISIÓN! Registro por Cota Instrumental. Punto
Lectura Atrás
Pr
Intermedia
Adelante
1,500 1,550
A 1,650
B
1,700
Cota
Cota del
Observación y
Instrumental
Punto
Croquis
101,500
100,00
101,500
99,950
100,950
99,300
1,900
C
99,050
El registro por cota instrumental es el más utilizado, inclusive en el comercio se puede encontrar este tipo de libreta, la cota instrumental se calcula sumando la lectura atrás del punto con su cota, para calcular la cota un punto (B), se debe restar a la cota instrumental la lectura adelante del punto (B,), es decir, cota instrumental=100,00 + 1,500 = 101,500 metros, la cota de B = 101,500 –1,700=99,300. ·En el punto intermedio la cota instrumental se conserva restando la lectura intermedia del punto para calcular la cota desconocida (A), es decir, cota de A= 101,500 –1,550=99,950 metros.
3.3.7.
Errores y Falta en una nivelación.
Los errores dentro de la nivelación son de tipo accidental, el signo es aleatorio y su magnitud es muy pequeña, pueden ser producidos por: Puntos de cambios mal ubicados. Descorrección del instrumento durante el proceso de medición. Hundimiento del trípode o de los puntos medidos. Falta de exactitud en las lecturas producto del paralaje y/o refracción atmosférica. Falta de verticalidad en la mira al momento de la lectura. Las faltas son errores groseros, su signo y magnitud se pueden determinar, normalmente son grande y pueden ser producidos por: Malas anotaciones en el registro. Lecturas mal realizadas. 51
¡EN REVISIÓN! Errores de cálculo. Instrumental descalibrado, en este caso es difícil identificar la magnitud y signo. Mira inclinada.
3.3.8.
Compensación de cotas
La compensación es un proceso matemático, que tiene por finalidad distribuir el error de cierre dentro del circuito de nivelación. Existen dos métodos para r ealizar la compensación: Por distancia y Por posiciones instrumentales. Para la compensación por distancias, se necesita medir la distancia entre los puntos medidos y calcular las distancias acumuladas. La compensación queda dada por:
Donde: e: Es el error de la nivelación, calculado con la sumatoria de las lecturas atrás menos la sumatoria de la lecturas adelante o restando a la cota calculada con la cota fíja. D: Es la distancia acumulada al punto en metros. DT: Es la distancia total del circuito en metros. La cota compensada del punto se calcula sumando la compensación. Para la compensación por posiciones instrumentales, es importante que la distancia entre los puntos de cambio sea lo más parecida posible. La compensación queda dada por la siguiente expresión:
Donde e: Es el error de la nivelación, calculada con la sumatoria de las lecturas atrás menos la sumatoria de la lecturas adelante o restando a la cota calculada con la cota fija. NP: Es el número de la posición instrumental, 1, 2 3, 4 , … etc según corresponda. NT: Es el total de posiciones instrumentales dentro del circuito de nivelación. La cota compensada del punto se calcula sumando la compensación. 52
¡EN REVISIÓN!
Ejercicio 3.3 En terreno se realizó una nivelación geométrica cerrada en el mismo punto, obteniéndose los valores que aparecen en la Figura 3.8. Se pide calcular y compensar la nivelación, considerando que la cota del Pr es 524,650 metros
Figura 3.8
Desarrollo Anotar las lecturas atrás y adelante en el registro por cota instrumental. Calcular el error de la nivelación restando la sumatoria de las lecturas atrás menos adelante. Calcular las cotas instrumentales y del punto (comprobar el error de cierre de la nivelación.) Calcular la compensación de las cotas distribuyendo el error en base a la distancia acumulada del punto. Realizar la compensación por posiciones instrumentales.
53
¡EN REVISIÓN!
lecturas pto PR 1 2 3 4 5 6 PR Sumas
atrás 1,408 1,812 1,406 1,497 1,607 1,915 1,512 11,157
Error cierre=
3.3.9.
adelante 1,348 1,356 1,505 1,671 1,741 1,810 1,713 11,144 0,013 m
distancia parcial
80 80 65 70 85 65 55 500 T=
distancia acumulada
80 160 225 295 380 445 500
cota inst
cotas calculadas
526,058 526,522 526,572 526,564 526,500 526,674 526,376
524,650 524,710 525,166 525,067 524,893 524,759 524,864 524,663 0,013
comp.
cotas corregidas
-0,002 -0,004 -0,006 -0,008 -0,010 -0,012 -0,013
524,650 524,708 525,162 525,061 524,885 524,749 524,852 524,650
14,14 mm
Replanteo altimétrico
El replanteo altimétrico se define como el proceso topográfico que tiene por finalidad materializar o llevar la información altimétrica de un determinado proyecto al terreno. Para realizar el replanteo se utiliza la ecuación
de donde se despeja la lectura del
punto (p), es decir;
CPr es la cota del Pr, LPr es la lectura al Pr, CP es la cota del proyecto. Al realizar el replanteo el ayudante debe ubicar una estaca y sobre la misma la mira, el topógrafo debe leer en la mira y comparar la lectura con la calculada, debiéndole indicar al ayudante si debe bajar o subir la estaca. Es te proceso se hace en forma iterativa hasta dar la cota calculada a la estaca.
54
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 3.4 Replantear altimétricamente la cota 501,200 correspondiente a un punto dentro del proyecto, se sabe que la cota del Pr es 500,000 y la lectura al Pr fue de 1,750. Calcular lectura de replanteo. Desarrollo Según la ecuación vista anteriormente:
Es decir la lectura al punto debe ser 0,550 metros. Supongamos que el ayudante puso una estaca y sobre la ella la mira, la lectura fue de 0,480 metros. ¿Qué debe hacer el topógrafo?. El topógrafo le debe indicar que golpee la estaca bajando 0,07 metros (0,55-0,48), es decir, siete centímetros. De esta forma se repite el proceso iterativamente hasta dejar la estaca a la cota definida por proyecto.
3.3.10.
Clasificación de la nivelación geométrica. Tópicos avanzados.
Para dar validez a la nivelación geométrica, debe ser clasificada según las especificaciones técnicas del proyecto, las que recomendarán el instrumental a utilizar, según los objetivos del trabajo topográfico, las exigencias para las mediciones, los procedimientos que se deben aplicar y las tolerancias1 permisibles. En el caso de nuestro para clasificar los trabajos de terreno, se utilizarán las especificaciones técnicas del manual de carreteras volúmen II, del ministerio de Obras Públicas. En general los trabajos de nivelación se clasifican en tres clases; la nivelación corriente, la nivelación precisa y la nivelación de alta precisión, en la tabla Tabla 3.1 se muestra un resumen con las especificaciones.
1
Tolerancia grado de error permisible dentro de un proyecto de medición.
55
¡EN REVISIÓN! Corriente
Objetivo
La nivelación geométrica corriente será el procedimiento apropiado para transportar el sistema altimétrico de referencia hacia los vértices de las poligonales auxiliares, utilizados en levantamientos de escala 1:500 y mayores. También podrá ser utilizada para el levantamiento de perfiles longitudinales y transversales aplicados a proyectos viales.
Precisión
Alta Precisión
La nivelación geométrica de precisión será el procedimiento apropiado para transportar el sistema altimétrico de referencia a lo largo de todo el estudio de un proyecto vial, cualquiera sea su extensión, siempre que la escala del plano sea mayor o igual que 1:2.000. En ella se apoyarán los trabajos de replanteo tanto en su etapa de estudios como en la eta pa de construcción.
Se usa para controles de gran exactitud, aplicaciones geológicas, estructural o de otra índole, donde sea necesario determinar con certeza desniveles al milímetro y, eventualmente, apreciar fracciones de milímetros.
Instrumental
Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, con anteojos de 20 o 25 aumentos. Las miras podrán ser de madera o de otro material apropiado, su graduación directa deberá ser al centímetro y llevar un nivel esférico para su nivelación.
Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, Aumento lente 24X o superior. Las miras podrán ser de invar, de madera o de otro material apropiado debe llevar incorporado un nivel esférico cuya burbuja permita ajustar su verticalidad.
Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, debe incorporar un micrómetro óptico de placa de planos paralelos que permita, a lo menos, leer directamente al milímetro y estimar las décimas de milímetro. Aumento lente 32X. Las miras deberán ser de precisión (de invar) y de una sola pieza.
Exigencias
Los puntos de cambio pueden ser puntos firmes y estables del terreno, o bien elementos auxiliares, como estacas metálicas, de madera con clavija metálica, o placas de apoyo metálicas. La nivelación debe efectuarse por el método de nivelación doble o cerrada. Las longitudes de las visuales, tanto a la mira de atrás como a la de a delante, no deben exceder de los 70 m, procurando que sean iguales.
Los puntos de cambio deben permitir un apoyo estable, se pueden usar estacas de fierro, placas metálicas u objetos que se encuentren sobre el terreno, cuya estabilidad y solidez sea confiable. La nivelación debe efectuarse por el método de nivelación doble o cerrada. Las distancias, tanto a la mira de atrás como a la de adelante, no deben exceder de 50 m, procurándose que sean iguales.
En los puntos de cambio deberán utilizarse estacas metálicas o placas de apoyo. Las lecturas sobre la mira se efectuarán empleando el micrómetro óptico. Si el retículo tiene forma de cruz, el promedio de las tres observaciones dará el valor final. Las lecturas deben ser superior a 0,5 m. Si la nivelación se ejecuta con más de una mira, se cuidará de efectuar sobre cada mira igual número de lecturas atrás que de lecturas adelante. Las distancias entre nivel y mira no deberán exceder de 20 m. y se procurará que sean iguales.
Tolerancia
(mm) L: longitud del circuito expresado en kilómetros.
(mm) L: longitud del circuito expresado en kilómetros.
(mm) L: Longitud del circuito en hectómetro.
Fuente: Manual de carreteras volumen II. Ministerio de Obras Públicas.
56
¡EN REVISIÓN! 3.3.11.
Nivelación geométrica por doble posición instrumental.
El procedimiento es similar a la nivelación cerrada, sin embargo se utiliza un registro por diferencia de nivel y en terreno se realizan dos lecturas a cada punto en distinta posición instrumental. La oportunidad de aplicación de este tipo de nivelación es en terrenos complicados como mucha vegetación; es el caso de canales de regadío, proyectos de camino, etc. El procedimiento en terreno: Instalar el nivel de ingeniero, realizar la lectura atrás al Pr y adelante al punto A, anotar en el registro, luego se cambia la posición instrumental moviendo el instrumento un metro, se nivela y se vuelve a leer a la mira pero primero al punto A como lectura atr ás y al Pr como lectura adelante, anotar en el registro y avanzar en la nivelación repitiendo el proceso hasta llegar al último punto.
El error en la diferencia de nivel no debe superar los 2 milímetros por cada par de puntos medidos.
57
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 3.5 En terreno se recolectaron los siguientes datos de un circuito de nivelación por doble posición instrumental. Calcular las cotas de los puntos 1, 2, 3 y 4. Pto
Lectura
Atrás Pr
1,253
1
1,509
1
2,552
2
1,102
Positivo
Negativo
cotas
2325,601 1,530
1,204 2,451
1
2
2,263
3
1,302
1,356 2,210
2
3
Adelante
Desniv el final
1,231
Pr
3 4
Desnivel
1,293 1,372
2,112 0,555
Desarrollo Para realizar el cálculo, restar la lectura atrás menos la lectura adelante y anotar el desnivel en la columna que corresponda. Al sumar los desniveles con su signo se obtiene el error de la medición. Para calcular el desnivel final se suman los desniveles en valor absoluto y se conserva el signo del desnivel calculado en la primera posición instrumental. Para el primer par de puntos el desnivel es negativo y el promedio es 0,278. Para calcular la cota se suma el desnivel final (-0,278) a la cota conocida (2325,601), obteniéndose 2325,323. Para calcular el punto 2 debe utilizar como punto conocido el punto 1 y repetir el mismo proceso explicado anteriormente. Ver los resultados 58
¡EN REVISIÓN! Pto
Lectura
atrás Pr 1 Pr
1,253 1,509
1 2 1
2,552 1,102
2 3 2 3 4 3
2,263 1,302 1,293 1,372
3.3.12.
Adelante
Desnivel
positivo
negativo
Desniv el final
cotas
2325,601 1,530 1,231
-0,277 +0,278
1,204 2,451
+1,348
1,356 2,210
+0,907
2,112 0,555
-0,819
-0,278
2325,323
-1,349
+1,349
2326,672
-0,908
+0,907
2327,579
+0,817
-0,818
2326,761
Nivelación por Miras Dobles
Esta es una nivelación en la cual se usa una mira con doble graduación. Se practican lecturas en dos posiciones en la mira L1 y L2. La comprobación consiste en que la suma de ambas lecturas, debe dar la longitud de la mira; de no ser así, se repite la nivelación.
3.3.13.
Nivelación por Doble Visada
Para este tipo de nivelación, se requiere utilizar un nivel de anteojo reversible, ya que se puede comprobar cada lectura y al mismo tiempo eliminar los errores instrumentales, haciendo dos lecturas en la mira y utilizando las dos líneas de fe de la ampolleta reversible. Si el instrumento no está corregido, al centrar la burbuja utilizando una línea de fe, se tendrá un error de lectura correspondiente a un ángulo ( + ); al girar el anteojo y utilizar el otro lado de la ampolleta, se obtendrá después de centrar la burbuja, un error correspondiente al ángulo (- - ). Luego el promedio de ambas lecturas queda exento de error.
59
¡EN REVISIÓN!
3.3.14.
Nivelación subterránea
La nivelación subterránea es utilizada en minería y construcción de túneles, para realizarla se requiere de otros instrumentos adicionales tales como plomadas, huinchas y soportes que permitan trasladar la nivelación por el techo . En nuestro caso no profundizaremos el tema más allá del proceso de cálculo de la nivelación.
Se asume conocida la cota del punto A, luego las ecuaciones para calcular las cotas de los puntos B, C, D, E, F, G y H, son: ,
,
,
,
Nótese que se asigna convenientemente el signo negativo o positivo a la lectura atrás, intermedia o adelante.
60
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 3.6 Calcular la nivelación subterránea haciendo uso de un registro por cota instrumental. La Cota de A es 500,00 metros.
Figura 3.9
Desarrollo Aplicando las ecuaciones anteriores y usando un registro por cota instrumental se tiene que: punto A B C D E F G H I J K L
Lecturas Atrás 1,703
intermedia
adelante
1,750 1,687 0,901
1,957 1,589 1,101 1,502
5,753
1,653 1,753 1,878 1,624 1,725
Cotas instrumental
Cota del punto
501,703 501,703 501,703 502,759 502,759 502,759 502,759 498,659 498,659 498,659 498,659
500 503,453 500,016 503,66 501,170 503,860 501,257 504,412 500,412 500,537 497,035 500,384
61
¡EN REVISIÓN! 3.3.15.
Problemas.
Tópicos Elementales
3.3.15.1. Defina los conceptos de Superficie de nivel, plano de referencia, Nivel medio del mar, Cota, plano de referencia y pendiente. 3.3.15.2. ¿Cuál es la finalidad de la nivelación? 3.3.15.3. ¿Qué condiciones instrumentales se deben cumplir en terreno para aplicar la ecuación
?
3.3.15.4. Defina los conceptos puntos de referencia, punto de cambio y punto intermedio. 3.3.15.5. ¿Cuál es la diferencia entre una nivelación simple y compuesta? 3.3.15.6. ¿Cuál es la ventaja de la nivelación cerrada en relación a la nivelación abierta? 3.3.15.7. ¿Cómo puede comprobar una nivelación geométrica cerrada? 3.3.15.8. Explique brevemente el procedimiento de terreno para realizar una nivelación geométrica. 3.3.15.9. Mencione y explique 3 cuidados que debe tener al realizar una nivelación geométrica. 3.3.15.10. Dado el siguiente registro de una nivelación geométrica por cota instrumental, realizada para un proyecto vial. Calcular y compensar las cotas de los puntos considerando que la cota del Pr es 702,331 metros. Punto PR 1 2 4 5 6 7 Pr
Atrás 1,408
Lecturas Intermedia adelante 1,381
1,406 1,497 1,607
1,348 1,505 1,671 1,915
1,512
1,205 1,713
Dist. Acum. 0 50 130 195 265 300 365 420
Cota Inst.
Cota
Comp.
Cota compensada
702,331
62
¡EN REVISIÓN! 3.3.15.11. Utilizando un registro por cota instrumental. Calcule y compense la siguiente nivelación cerrada, la cota Pr1 = 502,265 y cota Pr2 = 502,105.
3.3.15.12. ¿Qué es el replanteo?. Menciones tres ejemplos de su aplicación. 3.3.15.13. Replantear altimétricamente la cota 498,350 correspondiente a un punto dentro del proyecto, se sabe que la cota del Pr es 499,000 y la lectura al Pr fue de 1,750. Calcular lectura de replanteo. 3.3.15.14. Dado el siguiente registro, Calcular la lectura de replanteo para las estacas del E1 al E10 y determinar la pendiente del canal de regadio. Si se encuentran cada 20 metros. Punto
Lectura Atrás
Pr1
Intermedia
Cota Adelante
1,525
525,300
E1
525,400
E2
525,300
E3
525,200
E4
525,100
E5
525,000
P.C1
1,625
1,890
E6
524,900
E7
524,800
E8
524,700
E9
524,600
E10
524,500
63
¡EN REVISIÓN! Tópicos avanzados.
3.3.15.15. Indique el objetivo para una nivelación corriente, una de precisión y de alta precisión. 3.3.15.16. ¿Qué instrumental se debe utilizar en una nivelación de alta precisión? 3.3.15.17. Indique tres diferencia entre la nivelación de alta precisión y de precisión. 3.3.15.18. ¿Cuándo se debe utilizar una nivelación corriente?. 3.3.15.19. ¿Cuándo se debe utilizar una nivelación por doble precisión instrumental? 3.3.15.20. ¿Qué cuidado especiales se debe tener en una nivelación por doble posición instrumental?. 3.3.15.21. ¿Cual es la diferencia entre una nivelación por miras dobles y otra por doble visada? 3.3.15.22. Dado los siguientes datos de una nivelación por doble posición instrumental. Calcular las cotas de los puntos, sabiendo que la cota del Pr es 535,200 metros. Punto PR 1 PR 1 2 1 2 3 2 3 4 3
Lecturas Atrás 1,252 2,005 1,353 1,569 2,356 1,245 1,567 1,652
Adelante
Desniveles +
-
Desnivel
Cotas finales 535,200
1,926 1,333 0,963 1,961 1,545 2,056 1,725 1,496
64
¡EN REVISIÓN!
3.3.15.23. Para un proyecto minero se ha realizado una nivelación geométrica subterránea cerrada del eje de una galería, se utilizó un nivel de ingeniero marca Topcon AT-G7, obteniéndose los valores que se grafican en la imagen siguiente. La distancia entre los puntos de cambio es de 60 metros, la cota del Pr1 es 522,20 metros y la cota de Pr2 es 523,678 metros. Según la especificación técnica la tolerancia de cierre es T
20 *
k , donde K está expresado en kilómetros y la tolerancia en milímetros. Se
pide comprobar si la nivelación cumple con las especificaciones técnicas del proyecto, además debe calcular las cotas de los punto.
65
¡EN REVISIÓN! 3.3.16.
5.3.15.10.
Nivelación subterránea.
Punto atrás PR 1 2 4 5 6 7 Pr
1,408
Sumas
7,43 E=
Pr 1 2 3 4 pr2 sumas cota pr1 cota pr2
Lecturas Int. adelant e 1,381
1,406 1,497 1,607
1,348 1,505 1,671 1,915
1,512
5.3.15.11.
Punto
Respuestas Problemas
Atrás 2,400 1,250 0,350
1,205 1,713
dist. Ac
cota Inst
cota
Comp
Cota compensada
0 50 130 195 265 300 365 420
703,739 703,739 703,797 703,789 703,725 703,725 704,032
702,331 702,358 702,391 702,292 702,118 701,81 702,52 702,319
0,000 0,001 0,004 0,006 0,008 0,009 0,010 0,012
702,331 702,359 702,395 702,298 702,126 701,819 702,530 702,331
7,442
E=
-0,012
-0,012
Nivelación Lecturas Inte Adelante 1,600 1,923 1,300
1,632
0,456 1,825
5,632
5,804
cota Instr
Cota Punto
Dist. parcial
Dist. Acum.
comp
cota comp.
504,665 504,315 502,742 502,742 503,918
502,265 503,065 502,392 501,442 502,286 502,093
0 160 140 50 160 120
0 160 300 350 510 630
0,000 0,003 0,006 0,007 0,010 0,012
502,265 503,068 502,398 501,449 502,296 502,105
E=
0,012m
502,265 502,105 0,012 T=
3.3.15.13.
15,87 mm
Lectura de replanteo 2,4 metros.
66
¡EN REVISIÓN! 3.3.15.14.
Las lecturas de replanteo son las anotadas en la columna de las lecturas intermedias. La pendiente del canal de regadío es -0,5%. Lectura Atrás 1,525
Pto pr1 E1 E2 E3 E4 E5 PC.1 E6 E7 E8 E9 E10
cota
Intermedia
Adelante
1,425 1,525 1,625 1,725 1,825 1,625
1,890 1,66 1,76 1,86 1,96 2,06
Cota 525,3 525,4 525,3 525,2 525,1 525 524,935 524,9 524,8 524,7 524,6 524,5
instrumental 526,825 526,825 526,825 526,825 526,825 526,825 526,56 526,56 526,56 526,56 526,56 526,56
Tópicos avanzados.
3.3.15.22.
Nivelación por doble posición instrumental.
Punto PR 1 PR 1 2 1 2 3 2 3 4 3
Lecturas Atrás 1,252 2,005 1,353 1,569 2,356 1,245 1,567 1,652
Adelante 1,926 1,333
Desniveles +
-
Cotas finales
-0,674
-0,673
535,200 534,527
0,391
534,918
0,811
535,729
-0,157
535,572
0,672
0,963 1,961
0,390
1,545 2,056
0,811
1,725 1,496
Desnivel
-0,392
-0,811 -0,158 0,156
67
¡EN REVISIÓN! 3.3.15.23.
Nivelación subterránea.
Estaca Pr1 E1 1 2 E2 E3 3 E4 Pr2
atrás 1,352
Lecturas intermedia
adelante
0,522 0,455 0,850
1,425 1,756 1,105 2,106
5,623
1,986 1,800 1,864 error de cierre: Tolerancia:
Cota Instrumental 523,552 523,552 524,522 525,428 525,428 525,428 521,791 521,791
Cota 522,200 524,074 524,977 526,278 526,533 527,534 527,414 523,591 523,655
0,023 m 9,80 mm
68
¡EN REVISIÓN! 4. Perfiles. Tópicos Elementales
69
¡EN REVISIÓN! Una de las aplicaciones más usuales de la nivelación geométrica es la obtención de perfiles del terreno, a lo largo de una obra de ingeniería o en una dirección dada. Las obras hidráulicas como canales o acueductos y las vías de comunicación y transporte, como caminos y ferrocarriles, están formados por una serie de trazos rectos y curvas acodadas a los trazos rectos. Generalmente la sección transversal de las obras mencionadas, posee un eje de simetría, que no varía de tipo a lo largo del trazado. Los diversos tipos de perfiles que se levantan tienen por objeto representar la forma y las dimensiones del terreno en la zona de proyecto.
4.1.Perfil Longitudinal Se llama perfil longitudinal a la intersección del terreno con un plano vertical que contiene al eje longitudinal y nos sirve para representar la forma altimétrica del terreno. Los puntos del terreno por levantar quedan definidos durante el estacado del eje del proyecto, por lo cual, la distancia horizontal acumulada desde el origen del kilometraje es un dato conocido, que esta materializado en terreno, próximo a cada estacado. Se llama estacado, a un conjunto de señales o estacas clavadas para indicar la posición del eje del trazado, las que se colocan generalmente a distancias o intervalos iguales dependiendo de la naturaleza de la obra. La determinación de las cotas del estacado se hace mediante una nivelación geométrica, ligada y cerrada contra el sistema altimétrico de transporte de cota.
4.2.Nivelación de un Perfil Longitudinal El levantamiento del perfil longitudinal en terreno corresponde a una nivelación geométrica de todas las estacas que lo conforman, llevando a un registro las lecturas que se observen conjuntamente con la distancia acumulada a cada punto. El registro que conviene emplear es del tipo “Por Cota Instrumental”.
Antes de iniciar la nivelación geométrica del perfil longitudinal se debe establecer, a lo largo del estacado y a una distancia conveniente de él, puntos de referencia de cota conocida (P.R.). Estos puntos de referencia se ubicaran, no tan distantes del eje de referencia del trazado como para que las medidas importen trabajo excesivo, ni tan cercanos como para que se vean 70
¡EN REVISIÓN! comprometidos por el movimiento de tierras o labores auxiliares de la construcción de la obra. En todo caso su ubicación debe efectuarse sobre terreno estable y serán debidamente monumentados.
4.3.Perfiles Transversales de Terreno y perfil tipo El perfil transversal es la intersección del terreno con un plano vertical perpendicular al eje longitudinal y nos sirve para tomar la forma altimétrica del terreno a lo largo de una franja de nivelación. El perfil transversal tiene por objeto presentar, la posición que tendrá la obra proyectada (perfil tipo) respecto del terreno y a partir de esta información, determinar la cubicación del movimiento de tierra, ya sea en forma gráfica o analítica. El perfil tipo representa las características finales que tendrá el proyecto. En el caso de un proyecto vial se consideran ancho de la pista, el bombeo, ancho bermas y su pendiente, los taludes, espesor de las capas estructurales etc. El perfil tipo es variable dentro del proyecto, debido que los parámetros antes mencionados pueden cambiar según las condiciones impuestas por la topografía, climatología y/o geología de la zona. A continuación se muestran algunos ejemplos de perfiles tipos: La Figura 4.1 representa un perfil tipo para un camino bidireccional, los taludes se encuentran en la relación 3/2 en corte y 2/3 en terraplén, el valor depende del tipo de suelo que se encuentre en la zona, así por ejemplo para la roca el talud de corte es 1/10.
Figura 4.1
71
¡EN REVISIÓN! La pista, la berma y sus bombeos respectivos, dependen de la funcionalidad del camino, el tipo de vehículo y de las condiciones climáticas de la zona.
Los espesores de las capas
estructurales dependen del tipo de vehículo que circule por el camino.
Figura 4.2
La Figura 4.2 representa el perfil tipo para un carretera unidireccional, se pueden apreciar taludes de corte en banco, cunetas, fajas, etc.
Figura 4.3
72
¡EN REVISIÓN! En la Figura 4.3 se aprecia un perfil tipo para un túnel, donde indican sus dimensiones y las capas estructurales.
4.4.Procedimiento para levantamiento de perfiles transversales Para efectuar el levantamiento de perfiles transversales se procederá de la siguiente manera: Definición del Perfil Transversal : En cada estaca del perfil longitudinal, se debe definir un eje transversal en la forma más perfecta posible. Se puede recurrir a medidas con cinta métrica o escuadras, que permitan asegurar su perpendicularidad. El eje transversal así definido se puede señalar, mientras dure su levantamiento, con estacas u otro elemento de instalación provisoria. Levantamiento de los Puntos Singulares: Para la confección del perfil transversal se deben tomar todos los puntos que definan o ayuden a definir cambios de pendientes del terreno, cruce de canales, cercos, y cualquier otro detalle de interés o punto singular. Recorriendo el eje longitudinal en el sentido creciente del kilometraje, las distancias horizontales sobre los ejes transversales que se miden hacia la derecha serán positivas y las que se midan a su izquierda serán negativas, ambas con su origen en el eje longitudinal, ver Figura 4.4 Las distancias horizontales se miden con cinta métrica y precisión corriente (cuidando su horizontalidad, etc.). En casos de fuerte pendiente se puede calcular midiendo la distancia inclinada entre los puntos y el desnivel, para posteriormente aplicar Pitágora. Con un nivel de ingeniero se realizan las lecturas en la mira, se registran al centímetro y se refieren al sistema altimétrico del levantamiento, ya sea apoyándose en P.R. o en estacas de perfil longitudinal. En casos de pendientes fuertes o en túneles el desnivel se puede establecer trigonométricamente o por medio de instrumentos que midan por rebote, tales como las estaciones totales.
73
¡EN REVISIÓN! Los registros deben consignar, para cada punto del perfil, la distancia horizontal y los datos para determinar la cota. Si la medición es indirecta se debe agregar las columnas de los elementos que efectivamente se miden para calcular las distancias horizontales y verticales.
Figura 4.4
4.5.Dibujo de perfiles Longitudinales y transversales.
Fi ura 4.5
74
¡EN REVISIÓN! Para dibujar perfiles longitudinales se utilizan dos escalas, una horizontal y otra vertical, la relación entre ellas debe ser 1/10, es decir la escala vertical es 10 veces mayor que la horizontal, por ejemplo si la escala horizontal es 1/1000, la vertical será 1/100. La Figura 4.5 representa parte de un perfil longitudinal la distancia entre las estacas es de 20 metros y la cota de referencia (C.R) es de 220 metros, la longitud del perfil es de 240 metros. Para dibujar las distancias deben ser transformadas al papel utilizando la escala horizontal 1/1000, es decir, 20 metros de terreno representa en el papel 2 centímetros o 20 milímetros. Para dibujar las cotas restar la cota de referencia y transformar el valor resultante utilizando la escala 1/100, los datos dibujados se anotan en la viñeta según se muestra en la Figura 4.5. Una de las principales utilidades del perfil longitudinal es permitir el trazado de la rasante (línea segmentada en la Figura 4.5), que corresponde a un conjunto de líneas y/o curvas que definen la posición altimétrica y pendientes finales del camino sobre el terreno. Existen varios criterios para trazar la rasante sobre el perfil longitudinal, los que van en directa relación con las especificaciones del proyecto. El caso del un camino se deben considerar los siguientes: La rasante debe compensar los volúmenes de corte y terraplén. Las pendiente deben estar comprendidas entre un ±10%, valor que puede variar dependiendo del tipo de vehículo y la velocidad de proyecto del camino. Se deben evitar las pendientes iguales a 0%, porque causan problemas de drenaje.
75
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 4.1 Dado el siguiente perfil longitudinal, calcular las cotas de la rasante.
Desarrollo Sea
el desnivel, luego
La distancia acumulada total es 100 metros. La pendiente de la rasante es: , luego el desnivel cada 20 metros se calcula Despejando
.
. Por lo tanto cada 20 metros longitudinales el camino sube 0,30 metros.
El punto inicial de la rasante tiene cota 500 metros, el siguiente sería los 500 + 0,30, es decir 500,30. De esta forma se suma 0,30 cada 20 metros.
Parcial
0
20
20
20
Acumulada.
0
20
40
60
Rasante
500
500,30
500,60
Terreno
500
500,8
20
20
Distancia
500,90
80 501,20
100 501,5
Cotas 500,9
501,31
501,6
501,5
76
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 4.2
Dado el siguiente perfil longitudinal, calcular las cotas de la rasante. Desarrollo
, luego el desnivel cada 20 metros se calcula
.
Despejando . Por lo tanto, cada 20 metros longitudinales con pendiente ±3,5% el camino baja o sube 0,70 metros. , luego el desnivel cada 20 metros se calcula
.
Despejando . Por lo tanto, cada 20 metros longitudinales con pendiente ±2,5% el camino baja o sube 0,50 metros. Considerando que el punto 5, tiene cota conocida = 502,5 , luego
77
¡EN REVISIÓN! Para dibujar perfiles transversales se utiliza una escala convenientemente definida, normalmente 1/200 o 1/100. El proceso de cálculo del perfil tipo es el mismo aplicado en perfiles longitudinales. Ejercicio 4.3 La siguiente imagen representa un perfil transversal, considerando que el ancho de la pista es de 4,0 metros, el bombeo es de -2,5%, el ancho de la berma es 1 metro su pendiente 0% y el talud de corte es de 3/2. Se pide completar los datos del perfil transversal.
Desarrollo
, luego el desnivel cada 4 metros se calcula Despejando
.
. Por lo tanto, la cota en los bordes es la cota de rasante menos 0,10
metros, es decir 500,22 m
78
¡EN REVISIÓN!
4.6.Problemas
4.6.1. Defina los conceptos de perfil longitudinal, transversal y tipo. 4.6.2. ¿Cuál es la utilidad del perfil longitudinal? 4.6.3. ¿Cuál es la finalidad del perfil transversal? 4.6.4. Replantear la rasante, considerando los datos del perfil longitudinal, la lectura al PR, igual a 1,70 m y su cota 500,33 metros.
4.6.5. La cota del Pr es 523,26 m., la lectura al Pr es 2,276. Calcular los valores de lectura para el replanteo de la rasante. El ancho de cada pista es 5 m.
79
¡EN REVISIÓN! 4.6.6. Replantear el eje, el borde izquierdo y el derecho. Dado los siguientes datos: Cota eje en el Kilometraje 0.340, 501,25; cota eje en el Kilometraje 0.360, 501,40. Ancho Pista = 3,5 metros horizontal. Cota PR = 500,8 m, Lectura PR = 2,510.
4.6.7. La cota de C1 es 520 m., la longitud de L1 es 123 m. y L3 = 145,5 m. Calcular las cotas de los vértices. Si L1 // L2, L1 = L2, L3 // L4 , L3 = L4.
80
¡EN REVISIÓN!
4.6.8. El siguiente es un perfil longitudinal, usted debe calcular: (a) Las cotas de la rasante. (b) Replantear la rasante calculando considerando que los datos de terreno son: Lectura al PR. 3,00 m y su cota es de 503,2 m.
4.6.9. Explicar brevemente las etapas topográficas que se llevan a cabo al momento de realizar un proyecto de camino. 4.6.10. El siguiente es un perfil longitudinal, usted debe calcular: (a) Las cotas de la rasante. (b) Replantear la rasante calculando considerando que los datos de terreno son: Lectura al PR. 1,95 m y su cota es de 502,85 m.
81
¡EN REVISIÓN! 4.6.11. Calcular cotas y dibujar el siguiente perfil transversal. Si el ancho de cada pista es de 3,5 metros con una pendiente longitudinal de -2%, un ancho de berma de 1,5 m. con una pendiente de 0% y taludes 2/3 corte, 3/2 terraplén. Finalmente la cota de rasante es de 520 metros y la cota de la estaca en terreno es de 523,16 m.
4.7. Respuestas problemas 4.6.4.L0=2,03 m; L20=1,73 m, L40=1,43 m, L60=1,13 m, L80=0,83 m, L100=0,53 m. 4.6.5.Lectura borde izquierdo = 3,466; Lectura borde derecho = 3,666 4.6.6.Perfil 1: Borde izquierdo =2,13 m , Eje =2,06 y Borde derecho =2,13 m Perfil 2:
Borde izquierdo =1,959 m, Eje =1,91 y Borde derecho =1,98 m
4.6.7.C2=526,15, Cota3=530,515, Cota4= 524,365. 4.6.8. (a)
C0=502,26 m; C20=502,86 m C40=503,46m; C60=504,06 m;, C80=504,66 m;, C100=505,26 m; C120=505,86 m
(b)
L0=3,94 m; L20=3,34 m; L40=2,74 m; L60=2,14 m;, L80=1,54 m;, L100=0,94 m; L120=0,34m;
82
¡EN REVISIÓN! 4.6.11. .
4.6.12. El perfil no se encuentra a escala, pero se puede apreciar la forma y los cálculos.
83
¡EN REVISIÓN! 5. Cubicación. Tópicos Avanzados
84
¡EN REVISIÓN! Corresponde al cálculo de movimiento de tierras a efectuar en un determinado proyecto, se efectuará en base a perfiles transversales consecutivos. Para realizarlo se debe determinar la superficie en cada perfil y aplicar la fórmula para calcular el volumen.
5.1.Determinación de superficie En este apuntes se estudiarán principalmente dos métodos para calcular superficies, queda al estudiante informarse respecto a otros. Método por figuras simples: Consiste en reducir el contorno poligonal de la figura en triángulos, rectángulos, cuadrados, etc, de tal forma que la sumatoria de las áreas parciales permite el cálculo de la superficie. Algunas fórmulas son: Figura geométrica Cuadrado Rectángulo
Área , donde , es longitud lado. , donde
son el ancho y largo, respectivamente.
Triángulo
, donde
son la base y altura, respectivamente.
Triángulo
, donde
son los catetos.
rectángulo Triángulo
, donde a,b,c son los lados del triángulo. P se calcula y corresponde al semiperímetro.
Trapecio Circulo
, donde
son las bases del trapecio y
es la altura.
, donde r es el radio.
85
¡EN REVISIÓN!
Método por coordenadas: Consiste en utilizar las coordenadas de los vértices de la figura, las que se agrupan en una tabla para realizar la operación matemática. Suponga la Figura 5.1¡Error! No se encuentra referencia.
el
origen
de
la
formada por cuatro
vértices. Figura 5.1
La fórmula para el cálculo de área para n vértices es:
Para evaluar la ecuación es conveniente ordenar las coordenadas en una tabla, repitiendo el primer valor al final de la tabla, y realizar la multiplicación cruzada dividiendo por dos, para finalmente sumar los resultados, obteniendo el área de polígono ver Figura 5.2. Este método es fácil de aplicar haciendo uso de las planillas electrónicas.
Figura 5.2
El valor 174360 corresponde a la superficie del polígono en metros cuadrados.
86
¡EN REVISIÓN! 5.2.Determinación 5.2. Determinación de volumen La determinación del volumen de tierras comprendido entre dos perfiles transversales consecutivos, normales al eje de una carretera, debe abordarse considerando las superficies de corte y/o terraplén que dichas secciones presentan y la distancia entre ellas. Todos los métodos de cubicación suponen que el terreno mantiene su configuración entre las secciones extremas consideradas, o que las variaciones que presenta son moderadas y se producen de manera uniforme, de allí que, en general, las secciones no deben distar más de 20 metros. Por el contrario, si el terreno presenta singularidades resulta indispensable tomar perfiles intermedios, que permitan enfrentar secciones en que la hipótesis de variación moderada se cumpla. Se denominarán secciones «homogéneas» aquéllas que presentan sólo corte o sólo terraplén y secciones «mixtas» aquéllas que presentan corte y terraplén. Si se enfrentan secciones homogéneas del mismo tipo, corte-corte o terraplén-terraplén, se pueden cubicar aplicando la fórmula de áreas medias o tronco pirámide, luego el proceso de cálculo es,
entonces
medias)
(método de áreas
(método de tronco pirámide) Se estima que el error cometido al acercarse a los límites del intervalo fluctúa entre un 2%
y 5%, haciendose muy pequeño cuando la relación
tiende a 1.
En general la tolerancia de la cubicación es de un ±5%, para trabajos de vialidad. En el caso de existir perfiles mixtos, la cubicación se puede realizar aplicando la siguiente fórmula. , Donde
: Es la superficie de corte y terraplén, respectivamente. respectivamente.
: Es el volumen de corte y terraplén, respectivamente. : Es la distancia que separa los perfiles.
87
¡EN REVISIÓN! A continuación se muestra una serie de situaciones de cubicación, que se pueden utilizar como orientación para cubicar. Esta información ha sido extraída del manual de carreteras del Ministerio de Obras Públicas.
Figura 5.3
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001 88
¡EN REVISIÓN!
Figura 5.4
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001
89
¡EN REVISIÓN!
Figura 5.5
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001
90
¡EN REVISIÓN! 5.3.Otras situaciones de cubicación
Cubicación por curvas de nivel. Se calcula el área que encierra cada curva de nivel según lo expuesto anteriormente, luego entre dos curvas consecutivas se promediar las superficies y se multiplica por el desnivel que separa la curvas de nivel, la sumatoria de todos los volúmenes parciales dan el total de la cubicación, ver Figura 5.6. El método expuesto es particularmente útil para cubicar acopios.
Figura 5.6
91
¡EN REVISIÓN! 5.4. Problemas 5.4.1. Calcular la superficie de la parcela cuyos vértices se encuentran en el siguiente orden V1V2-V3-V4-V5. Vértices V1 V2 V3 V4 V5
Norte 500 800 1400 1300 1000
Este 500 1300 1200 800 900
5.4.2. Los vértices consecutivos de una parcela son V2-V3-V4-V1. Determinar el Perímetro y la superficie. Vértices V1 V2 V3 V4
Norte 6350272,844 6353327,450 6355276,173 6351908,512
Este 528236,229 525428,80 528873,156 532816,180
5.4.3. Calcular la siguiente cubicación entre perfiles transversales:
92
¡EN REVISIÓN!
5.4.4. Una línea ferroviaria cruza una carretera principal, se ha proyectado subir la carretera con el objeto de hacerla más expedita. La figura Nº2 muestra un perfil longitudinal con las dimensiones del terraplén, la figura Nº3 representa el perfil tipo con pendiente transversal igual a 0 %, ancho 7 metros y taludes 2/3 y la figura Nº4 representa una vista en perspectiva. Considerando condiciones ideales del terreno, es decir, pendiente 0 % y que el valor total por transporte de material es de $ 45.000 para un camión de 8 metros cúbicos. Calcular la cubicación y el costo asociado.
93
¡EN REVISIÓN! 5.4.5. Calcular la cubicación, entre perfiles transversales.
5.4.6. Calcular la cubicación, indicando los volúmenes parciales y totales.
94
¡EN REVISIÓN! 5.4.7. Una parcela está compuesta de cuatro vértices en orden correlativo, las coordenadas de tres ellos son conocidas, siendo las siguientes
Debido que el cuarto vértice es inaccesible, se midió por intersección de visuales obteniéndose los siguiente datos: El ángulo interior (V1V2V4) = 92G 68 c 02,983
cc
y el
ángulo V1V3V4 = 90G 05 c 71,580cc, Además la distancia V2-V4 es igual a la distancia desde V3-V4. Calcula la superficie.
5.4.8. En un proyecto agrícola se requiere modificar las pendientes del terreno de manera que permita una distribución adecuada del agua. Del terreno se tienen los siguientes datos: Terreno rectangular de dimensiones horizontales L1 = 500 m. Y L2 = 600 m. Las pendientes de cada lado son ia= 1,0 %, Ib = 0,4 %. La cota en el punto C1 es de 519,20 m. El terreno PROYECTADO debe tener las siguientes pendientes: ia = 1 % , ib = 0,5 %. Con una cota de 520 m en el punto C1’.Calcular las cotas de los vértices de terreno y proyectado.
Determinar el material necesario para rellenar el terreno.
95
¡EN REVISIÓN! 5.4.9. Dado el siguiente perfil longitudinal y su correspondiente perfil tipo, se pide a) completar la viñeta. b) Cubicar la cantidad de movimiento de tierra, considerando una situación idealizada, donde el terreno tiene sólo pendiente longitudinal, dada por las cotas promedio.
5.4.10. Dado el siguiente perfil transversal:
(a) Si la cota de rasante es 516,25 m., la cota del Pr es 515,2 y la lectura al PR, es 1,754. Replantear la rasante y los bordes de la calzada. (b) Replantear el talud de corte, determinando la distancia a la cual se encuentra del eje (c) Determinar la superficie de corte.
96
¡EN REVISIÓN!
5.4.11. Dado el siguiente perfil transversal:
a) Si la cota de rasante es 523,5 m., la cota del Pr es 526,2 y la lectura al PR, es 0,754. Replantear la rasante y los bordes de la calzada. b) Replantear el talud de corte, determinando la distancia horizontal a la cual se encuentra del eje. c) Calcular la superficie de la figura.
5.4.12. En un plano escala 1/2400 se ha trazado en forma tentativa un túnel. Determinar el volumen de corte. Perfil tipo:
97
¡EN REVISIÓN!
5.4.13. En un plano para un sector del norte de chile se ha proyectado construir un tranque que tiene las siguiente especificaciones. Determinar la cantidad de volumen máximo de agua que puede contener el tranque. Ver imágenes siguientes con cortes de la figura de cubicación
98
¡EN REVISIÓN!
5.4.14. Los siguientes perfiles se encuentran escala 1:100, en caso que no se vean a escala producto de la impresión, la longitud entre los extremos de la calzada es de 10 metros. Determinar la superficie y volumen total.
99
¡EN REVISIÓN! 5.5. Respuestas problemas 5.4.1.
área =315000 m2 ó 31.5 ha
5.4.2.
P = 18154,87 m , A = 1893,26 Ha
5.4.3.
Vc = 240,86 m3 , Vt = 630 m3
5.4.4.
Volumen terraplén = 7454,2 m3 costo por transporte=$ 41.929.875
5.4.5.
Volumen de Corte: 1019,18 m3 , Volumen de terraplén = 1071,89 m3
5.4.6.
Perfil 0.340-0.360 Vc= 13,6 m3 Vt= 252,1 m3
Perfil 0.360-0.380
Vc= 227,2 m3
Vt = 75,6 m3, Volumen total corte = 240,8 m3, Volumen total de terraplén=327,7 m3. 5.4.7.
Coordenadas vértice Desconocido : Norte = 1557,692 m Este = 911,538 m , Superficie de la parcela = 737499,70 m2 ó 73,75 ha
5.4.8.
5.4.9.
Volumen terraplén : 330000 m3 Cotas Terreno
Cotas Proyecto
C1= 519,20
C1’= 520
C2= 524,20
C2’= 525
C3= 526,60
C3’= 528
C4= 521,60
C4’= 523
(a) C0=498, C140=490,30, C250=487, C390=493,3 (b) Volumen total = 27747 m3 ± una tolerancia de 5 %.
5.4.10.
(a) Lectura rasante =0,704 m , lecturas bordes =0,929 m (b) Borde Izquierdo =15 m, borde derecho =13,33 m (c) Superficie = 231,70 m2
5.4.11.
(a) Rasante = 3,704 m , Borde 3,929 m (b) Distancia Izquierda = -10,43 m. Cota Izquierda =531,177 m.; Distancia
derecha =
8,24 m Cota derecha =527,878 m (c) Superficie 76,62 m2
100
¡EN REVISIÓN!
5.4.12.
Volumen corte = 12555.78 m3 ± 5% .
5.4.13.
Volumen corte = 1847548,15 m3 ± 5%
5.4.14.
El perfil 2240 tiene una superficie de terraplén total de 32,82 m2, a su vez se puede dividir en tres superficie parciales s11= 5,21 m2, s12= 9,70 m2 y s13= 4,22 m2. El perfil 2260 está compuesto por tres superficie parciales s21= 3.42 m2, s22= 1,46 m2 y s23= 0,97 m2. El perfil 2280 está compuesto por dos superficie parciales s31= 1,65 m2 y s32= 6,80 m2. El procedimiento de cálculo consiste en utilizar las líneas de paso para generar superficies más pequeñas y poderlas cubicar independientemente
aplicando las
fórmulas de áreas medias para secciones homogéneas, secciones mixtas y tronco pirámide. Los resultados finales obtenidos son los siguientes: Perfil 2240-2260: Vc = 1,91 m3 y Vt = 218,70 m3. Perfil 2260-2280 Vc = 73,38 m3 y Vt = 54,37 m3. Los volúmenes finales son Volumen corte = 75,29 m3 y Volumen terraplén 273,07 m3.
101
¡EN REVISIÓN! 6. Teoría de errores aplicada a la topografía. Tópicos elementales.
102
¡EN REVISIÓN!
6.1. Introducción. La teoría de errores aplicada a la topografía tiene por finalidad identificar, cuantificar y estudiar los errores, y su propagación dentro de las funciones matemáticas. Antes de estudiar esta teoría se debe comprender la diferencia entre Falta y errores. Las faltas son equivocaciones groseras y normalmente su magnitud es notable, casi siempre es por causa del operador y es posible evitarlas. Mientras que los errores son pequeñas inexactitudes inevitables cuyo origen se detecta en la imperfección de los instrumentos, la limitación de nuestros sentidos y las variaciones del medio en que se realiza la medición. De aquí se desprende que, no es un error, una mala lectura en la mira, una mala anotación en la libreta de terreno, etc, sino que es una falta, las que no se encuentran contempladas dentro de la teoría de errores.
6.2.Fuentes de errores. En términos generales, los trabajos topográficos se reducen a la medición de ángulos, distancia o lecturas en la mira, que pueden ser afectadas por una serie de factores tales como; ambientales, instrumentales y personales, produciendo que dicha medida no sea única para el elemento en observación. Errores instrumentales, son las inexactitudes propias de los instrumentos o pequeñas imperfecciones en la construcción, por ejemplo en el nivel de ingeniero, el nivel esférico acepta un grado de error en la nivelación, lo que produce que el plano horizontal quede micrométricamente inclinado, aunque es un error imperceptible pero se acumula a lo largo del circuito de nivelación. Errores Personales, son causa de las limitaciones propias de los sentidos del topógrafo, vista y tacto, por ejemplo en una cinta que se encuentra graduada al centímetro, al realizar una medición más precisa se deben estimar los milímetros, dicha estimación variará de una persona a otra. Errores Ambientales, son producto del medio donde se realiza la medición, por ejemplo la temperatura causa el efecto de refracción.
103
¡EN REVISIÓN! 6.3.Clasificación de los errores Los errores se clasifican como errores sistemáticos y accidentales. Errores Sistemáticos son aquellas inexactitudes que, bajo las mismas condiciones, presentan siempre igual magnitud y signo. En la mayoría de los casos estos errores se producen por causas físicas o condiciones naturales, que responden a leyes físicas que pueden ser representadas matemáticamente, o bien se deben a los hábitos o tendencias del operador, que lo hacen reaccionar cuantitativamente de una misma forma ante condiciones similares. Los errores sistemáticos más frecuentes se pueden eliminar o minimizar mediante procedimientos como los que se citan a continuación: Utilizando metodologías de trabajo que minimizan automáticamente cierto tipo de errores. Por ejemplo, en el caso de nivelaciones, los efectos de curvatura terrestre y refracción atmosférica, se pueden eliminar igualando las distancias de las visadas atrás y adelante. En la medida de una dirección angular se pueden eliminar errores instrumentales por simple promedio de lecturas en directa y tránsito. Determinando las relaciones de los errores sistemáticos con las variables que los originan, por medio de funciones matemáticas que permitan cuantificar el error. Por ejemplo el efecto de curvatura terrestre puede ser calculado por medio de una función matemática. Todos los errores sistemáticos detectables deben ser eliminados antes de proceder a la evaluación de los errores accidentales. Errores Accidentales son aquellos que no presenta una relación fija respecto de las condiciones o circunstancias bajo las cuales se realizó la observación. Los errores accidentales se producen por causas complejas e irregulares que están fuera del control del observador. Su ocurrencia, magnitud y signo no es predecible, es decir, cada uno de ellos es un fenómeno independiente producido al azar. El error accidental de una observación se define como la diferencia entre el valor verdadero del elemento que se mide y el valor asignado para dicha observación, una vez que ésta se juzga libre de faltas y de los errores sistemáticos que la pudieran afectar. A los errores accidentales se les denomina usualmente errores, sin el calificativo de accidental, y a ellos se estará refiriendo el texto cuando no se haga expresamente otra mención.
104
¡EN REVISIÓN! Dado que los errores accidentales son eventos que se generan al azar, su análisis responde a conceptos probabilísticos y se realiza en conformidad con leyes derivadas de la teoría de probabilidades.
6.4.Precisión y exactitud Precisión, es el grado de refinamiento en la ejecución de una medición y, como tal, dependerá de la calidad del operador, del instrumental, de los procedimientos y métodos utilizados. Exactitud, es el grado de coincidencia o cercanía de un resultado respecto de un valor verdadero o de un determinado patrón de comparación. Algunos patrones de comparación utilizados habitualmente para determinar la exactitud de un resultado, son: Un valor exacto, tal como la suma de los tres ángulos de un triángulo. La longitud de un lado base de una triangulación, determinado previamente con las exigencias de precisión requeridas. Las coordenadas planimétricas o altimétricas de un elemento materializado en terreno, correspondientes a un sistema de referencia de orden superior.
Para clarificar el concepto de precisión y exactitud, se considera un gráfico de tiro al blanco. En la figura A, se muestra que los tiros se encuentran bastantes agrupados, lo que indica que el jugador realiza una operación precisa o refinada de puntería, sin embargo, producto de un desperfecto sistemático del instrumento no logra el objetivo de acertar en el blanco. En la figura B, los puntos se encuentran completamente disperso, lo que implica la existencia de varios factores; instrumentales, personales, ambientales, que impiden una buena puntería. En la figura C, los puntos se encuentran agrupados y cumpliendo con la exactitud requerida, luego la operación fue precisa y exacta.
105
¡EN REVISIÓN! La exactitud de un trabajo topográfico en su conjunto, depende directamente de la precisión con que se ejecuten las diversas operaciones. No obstante lo anterior, en algunas oportunidades por efecto del azar (compensación de errores), un trabajo ejecutado con baja precisión podría presentar una exactitud aceptable; en ese caso dicha exactitud no es una garantía de calidad, por cuanto, al verificarse exactitudes en otros puntos del sistema, casi con certeza se detectarán situaciones inaceptables. En consecuencia, todo trabajo topográfico deberá ser ejecutado manteniendo una precisión compatible con la exactitud deseada y confeccionando los registros que permitan comprobarlo.
6.5.El valor más probable. Tal como se mencionó en el anteriormente, existe una serie de errores aleatorios que impiden obtener un valor único para la medición realizada, por lo tanto se define el concepto de valor más probable o media aritmética, que corresponde al cociente entre la sumatoria de los elementos medidos dividido por la cantidad de veces que se realizó dicha medición, es decir:
(6.1)
Donde
X : Es la media aritmética
Xi: i-ésima observación realizada. n: Total de observaciones.
6.6.Elementos estadísticos Residuo ( ): Es la diferencia resultante entre cualquier valor medido de una magnitud y su valor más probable, es decir,
, los residuos son idénticos a los errores, excepto que los
errores nunca pueden calcularse, ya que no nunca se puede conocer el verdadero valor de una magnitud, mientras que los residuos si se pueden calcular y son los valores que se utilizan para hacer análisis y correcciones de mediciones topográficas. Desviación estándar: Es la medida del grado de dispersión de los datos respecto de la media aritmética, se define como “La raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los residuos divido por el número de observaciones realizada menos uno”, es decir,
106
¡EN REVISIÓN!
(6.2)
Nótese que la desviación estándar es positiva o negativa y al sumarla a la media aritmética permite definir un rango, es decir (
), dentro del cual se encontrará el 68,27% de los
datos recolectados. Algunas de las interpretaciones de la desviación estándar son: De 100 mediciones realizadas 68 deben estar dentro del rango definido por la desviación estándar. Existe un 68,27% de probabilidad que una medición quede dentro del rango. El valor dado por la media aritmética indica el grado de error de la muestra, pero representa el 68,27% de las mediciones. Desviación estándar de la media: La media es calculada en base a conjunto de mediciones que tienen asociado errores propios, luego al calcularla los errores de las mediciones serán trasmitidos, por lo tanto la media también llevará un error asociado, que queda dado por la siguiente expresión:
(6.3)
6.7.Errores Probables. Se puede identificar otros elementos que permiten conocer el grado de dispersión de la muestra o la media y son conocidos con errores probables. Los errores probables se calculan según el porcentaje que representan, de esta forma existe el error probable del 50%, 90%, 95%, 99% y 99.9%, la expresión general para el cálculo del error probable de la muestra es y el error probable de la media aritmética
, en ambas expresiones, el coeficiente C
depende del porcentaje de error, σ es la desviación estándar de la muestra y
es la desviación
estándar de la media.
107
¡EN REVISIÓN! La siguiente tabla2 muestra un resumen de los errores probables. Error Probable
Muestra
Media Aritmética.
E50% E90% E95% E99% E99.7% E99.9% Tabla 6-1
Un ejemplo de aplicación de la teoría de errores en topografía, es el control del levantamiento de un perfil longitudinal. Supóngase que una empresa “A” ha realizado la nivelación de un perfil longitudinal, ¿Cómo puede realizar el control del trabajo realizado en terreno?. Para ello debe realiza una segunda nivelación del perfil longitudinal, considerando los puntos más representativos y claramente identificables, en ambos levantamientos, se calcula el residuo por cada valor de cota, es decir,
………..
Donde C1 : Cota del punto 1. C1’ : Cota del punto 1 obtenida con el levantamiento de control. V1 es el residuo para la cota del punto 1. Para los n puntos medidos se tendrán n residuos, luego; Cn Cota del punto n. Cn’ Cota del punto n obtenida con el levantamiento de control Vn es el residuo para la cota del punto n. Con los n residuos se calcula la desviación estándar de la muestra y el error probable al 95% de la muestra, según Tabla 6-1, el resultado final es el error para el levantamiento del perfil.
2
(Wolf, et al., 1997)
108
¡EN REVISIÓN! Claramente este procedimiento asume una ejecución técnicamente correcta del levantamiento de control, es decir, se utiliza un instrumento y metodología equivalente o superior a la empleada en el levantamiento inicial. Otras aplicaciones que utilizan el mismo procedimiento son Control de levantamiento de perfiles longitudinales. Control de replanteos. Cálculo de distancias y ángulos de precisión en poligonales.
Ejercicio 6.1
En terreno se ha realizado las siguientes mediciones de distancia inclinada, en metros, entre dos puntos: 538,57; 538,39; 538,37; 538,39; 538,48; 538,49; 538,33; 538,46; 538,47; 538,55. a) Determinar el valor más probable del conjunto de mediciones. Solución: media aritmética = 538,45 metros b) ¿Qué ocurre al sumar todos los residuos con su signo? Solución: La sumatoria es cero. c) Calcular la desviación estándar de la muestra Solución: d) Calcular la desviación estándar de la media aritmética. Solución: e) Calcular el error probable al 95% de la media aritmética. Solución:
109
¡EN REVISIÓN! 6.8.Propagación de Errores. Tópicos avanzados. Tal como se estableció anteriormente todas las mediciones contienen errores, luego cualquier cantidad calculada a partir de ellas contendrá asimismo errores. El proceso de evaluar errores en cantidades calculadas con valores medidos que contienen errores se llama propagación de errores. La Ley general de propagación de errores
Sea
valores
medidos
respectivamente. Sea
que
tienen
errores
aleatorios
una cantidad expresada como una función
, tal que
Entonces, de acuerdo a la “ley general de la propagación de errores” 3, el error de la cantidad calculada es: (6.4)
Donde los términos variables
son las derivadas parciales de la función
, ….,
con respecto a las
.
De esta forma tenemos que: “El error de una función es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los productos de las derivadas parciales de la función según cada uno de los argumentos por el error medio cuadrático del argumento correspondiente”
En nuestro caso se estudiarán principalmente las funciones lineales sumatoria y series aplicadas a topografía, con el objetivo de simplificar el trabajo con las derivadas, es decir, normalmente se utilizaran derivadas igual a uno. Error en suma
En la suma intervienen distintas cantidades cada una tienen errores aleatorios distintos, luego la sumatoria de los elementos también tiene error.
3
(Wolf, 1997)
110
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 6.2
Suponga que una línea se mide en tres secciones y con errores en cada una igual a (753,81; ±0,12),
(1238,40; ±0,28), (1062,95; ±0,20) metros respectivamente. Determinar la
longitud total de la línea y su desviación estándar (error). Desarrollo
L=753,81+1238,40+1062,95=3055,16 metros. Corresponde a la longitud total de la línea. Al calcular las derivadas se tienen que
, luego la ecuación queda:
El error en la longitud de la línea es de ±0,036 metros. Error en series
Se entiende por series cantidades similares que se miden bajo la misma metodología e instrumental en terreno, por ejemplo los ángulos de una poligonal y las lecturas de una nivelación, se puede deducir que cada medida debe tener el mismo error. Ejercicio 6.3
En terreno se ha medido los ángulos interiores de una poligonal de cinco lados, donde son los ángulos medidos y ángulo siendo equivalentes a
son los errores de cada
10 cc (segundos centesimales) cada uno. Calcular la propagación
del error en la suma de los ángulos interiores. Desarrollo La sumatoria de los ángulos interiores se encuentra dada por:
Al aplicar la ley general de propagaciones de errores se tiene que:
Al calcular las derivadas de la función
respecto de cada variable
se tiene que:
111
¡EN REVISIÓN!
Lo que implica
Luego si,
entonces la expresión queda:
Es decir el error esperado es de 22,36 cc, si cada ángulo se mide con un error Finalmente, cada vez que se tenga una serie de elementos medidos cuyos errores sean idénticos (e), el error de la suma de los elementos, estará dada por el error del elemento multiplicado por la raíz cuadrada de la cantidad de elementos medidos, es decir
.
6.9. Ajuste redes de nivelación Las redes de nivelación se forman al trasladar cota a vértices desconocidos desde uno o más vértices de referencia (PR), lo que produce información redundante para calcular las cotas, en este sentido se debe proceder al ajuste de la red aplicando el principio de los mínimos cuadrados que dice: la sumatoria de los cuadrados de los residuos tiende a cero . Dentro del apunte no se explicará el fundamento de los mínimos cuadrados ya que se encuentra fuera del alcance de este apunte, sino sólo un procedimiento sistemático.
Ejercicio 6.4
Ajustar la red de nivelación de la Figura 6.1, por el método de mínimos cuadrados, sabiendo que la cota del punto H es 281,130 metros, y los desniveles dentro del circuito son: d1=11,973m., d2=10,940m, d3=22,932 m, d4=21,040 m. , d5=31,891 m y d6=8,983 m. Figura 6.1
112
¡EN REVISIÓN! Desarrollo
Se forman las ecuaciones que relacionan las mediciones, las incógnitas y los residuos. Nótese que el desnivel se calcula por la resta de las cotas.
H B
B D
H D
d 1 d 2
V 1
Reemplazando el valor H y espejando
V 2
d 3 V 3
C B
d 4
V 4
C D
d 5
V 5
C H
d 6 V 6
-B
= – 269,157 + V1
B
-D = 10,940 + V2 -D = –258,198 + V3
-B + C
= 21,040 + V4
C – D = 31,891 + V5 C
= 290,113 + V6
La solución por el método de mínimos es: Donde; M : Es la matriz de coeficientes, en este caso su valor es 1. N : Es la matriz con los valores resultantes. X: Es la matriz que contiene a las incógnitas.
B X
C D
Para obtener la solución, se aplica la siguiente ecuación, donde MT es la matriz traspuesta de M:
La matriz x, contiene las cotas finales de los vértices ajustadas por el método de mínimos cuadrados.
113
¡EN REVISIÓN! 6.10.
Problemas.
6.10.1. Explique la diferencia entre precisión y exactitud, de un ejemplo. 6.10.2. Una distancia AB, se mide repetidamente usando el mismo equipo y procedimientos, obteniéndose los siguientes valores expresados en metros: 728,56; 728,59; 728,58; 728,54; 728,57; 728,62; 728,71; 728,53; 728,59 y 728,46. Calcule. a) La longitud más probable del segmento. b) La desviación estándar de una sola medida.(muestra) c) La desviación estándar de la media. d) Descartando la medida 728,71 y 728,46.Calcule las preguntas a, b y c. e) Manteniendo los datos iniciales, agregar 728,53 y 728,55. Calcule las preguntas a, b y c.
6.10.3. Se mide el ángulo ABC reiteradamente empleando un taquímetro digital, obteniéndose los siguientes valores, expresados en grados centesimales: 60,4540; 60,4580; 60,4600; 60,4590; 60,4520; 60,4600; 60,4520; 60,4500; 60,4560; 60,4580 Calcule: a) El valor angular más probable. b) La desviación estándar de la muestra. c) La desviación estándar de la media. d) Descartando las medidas 60,4600.Calcule las preguntas a, b y c. e) Agregando 60,4600; 60,4600, 60,4600 a los datos iniciales. Calcule las preguntas a, b y c.
6.10.4. La línea AD se midió en tres secciones AB, BC y CD con longitudes y desviaciones estándar indicadas más adelante. ¿Cuál es la desviación estándar en la longitud total AD? AB=573,12 ±0,06m, BC=1274,83±0,10m y CD=942,78±0,09m
6.10.5. Una brigada de campo es capaz de efectuar mediciones con cinta con una desviación estándar de ±0,01 m. por cada 100 metros de cinta. ¿Qué desviación estándar cabe esperar en una distancia de 3600 metros?
114
¡EN REVISIÓN! 6.10.6. Aplicando el ajuste por el métodos de mínimos cuadrados, calcular la cota del punto A e B. Dado que las cotas de los vértices conocidos son PR1=785,23 m. ; PR2=805,41 m. ; PR3= 794,88 m. ; PR4 = 801,93 m. Los desniveles son l1=+10,97m.; l2=-9,17m.; l3=3,58m.; l4=+4,91m.; l5=-2,20m. PR1 L5 L2
PR3
B L3 A
L1 PR2
6.11.
L4 PR4
Respuestas Problemas
6.10.2. a) media=728,575 m. b) d) media =728,573 m,
σ
e) media =728,569 m,
σ
=±0,065 m. c)
σ
=±0,029 m,
=±0,060 m,
6.10.3. a) media=60,4559g. b) d) media =60,4549g,
σ
e) media =60,4568g,
σ
=±36,7cc. c)
σ
=±33,6cc,
=±36,5cc,
6.10.4. σ=±0,15m
6.10.5. σ=±0,06m 6.10.6. Cota A = 796,21 m. Cota B=799,77 m.
115
¡EN REVISIÓN! 7. Planimetría. Tópicos elementales. 7.1.Generalidades. La planimetría es una rama de la topografía, que tiene por finalidad representar el relieve de la superficie terrestre, para identificar los elementos existente sobre la superficie terrestre tales como caminos, construcciones, arboles, etc. Además representa altimétricamente el relieve de la superficie terrestre en base a las curvas de nivel. El levantamiento es fundamental para la planificación el territorio, el diseño de proyectos agrícolas, mineros, viales y de obras civiles.
7.1.1. Sistemas de medición angular. Existen tres sistemas de medición angular: El sistema sexagesimal divide la circunferencia completa en 360 º, grados sexagesimales, para valores intermedios de ángulos se utiliza el minuto (‘) y segundo (“), por ejemplo un valor angular se puede expresar en 50º 20’ 30”.
Equivalencias que se deben considerar son: 1º = 60’ ; 1’ = 60” ; 1º = 3600”, luego el valor angular dado anteriormente se puede expresar en grados haciendo la siguiente operatoria:
El sistema centesimal divide la circunferencia completa en 400 g, grados centesimales, para valores intermedio de ángulos se utiliza el minuto (c) y segundo (cc), por ejemplo un valor angular se puede expresar en 80g 70c 30cc. Equivalencias que se deben considerar son: 1g=100c ; 1c=100cc ; 1g=10000cc, luego el angular dado anteriormente se puede expresar en grados haciendo la siguiente operatoria:
El sistema circular divide la circunferencia completa en 2* p*r, radianes, para valores intermedio no tiene unidad de medida, por ejemplo un valor angular se puede expresar en cuarto radian, o en decimales
, pi
.
Entre los sistemas angulares se realizan conversiones angulares, aplicando una proporción directa, por ejemplo supongamos el valor 50º 20’ 30” 50,3417º, que se encuentra en el sistema
sexagesimal, se debe transformar al sistema centesimal.
116
¡EN REVISIÓN! Primero transformar el ángulo, dejándolo expresado en una sola unidad, en este caso:
Luego realizar una proporción directa entre los sistemas en cuestión, es decir;
Donde el resultado puede quedar expresado en la unidad de grado centesimal o se puede traspasar a minutos y segundos, en ese caso quedaría expresado como 55g 93c 52cc. Otras relaciones son: Sistema circular con centesimal; Sistema sexagesimal con circular; Donde x es el valor desconocido e y el valor conocido.
7.1.2. Conceptos básicos. En topografía, se denomina norte a una dirección de orientación respecto de la cual, se miden ángulos, existen diferentes denominaciones por mencionar algunos; (1) Norte Arbitrario: Utiliza como referencia cualquier elemento existente en el terreno, como puede ser un poste, una antena, etc. (2) Norte geodésico o geográfico: Se encuentra definido por el datum que se esté utilizando como referencia, por ejemplo Psad56, Sad69, Wgs-84 u otro, su dirección la define el meridiano del lugar. Se utiliza en trabajos de geodésicos. (3) Norte magnético: se define en base al norte magnético terrestre. La declinación magnética: Corresponde a la diferencia angular entre el norte magnético, y el norte geográfico (norte verdadero), su valor es de 0º en la zona norte de Chile hasta 16º en las zonas más australes4. Acimut: Es el ángulo horario medido desde el norte en dirección al punto. Se utiliza para definir ejes de caminos, poligonales, levantamientos, etc. Ver Figura 7.1
4
Fuente NOAA-National Geophysical Data Center
117
¡EN REVISIÓN! Rumbo: Es el ángulo agudo medido a partir de la dirección norte o sur, en sentido horario o antihorario, el valor varía de 0g a 100g en el sistema centesimal o 0º a 90º en el sexagesimal. Se expresa según el cuadrante y el valor angular, ver Figura 7.2, el segmento A1 tiene dirección NE 47º (NorEste 47 grados sexagesimales), el segmento A2 tiene dirección SE 51º (SurEste 51 grados sexagesimales), el segmento A3 tiene dirección NO 50º (NorOeste 50º grados sexagesimales) y el segmento A4 tiene dirección SO 50º (SurOeste 50º sexagesimales).
Figura 7.1
Figura 7.2
Coordenadas Cartesianas: son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano
topográfico,
las
coordenadas
cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan
respectivamente
Norte. Figura 7.3
Este
y Figura 7.3
118
¡EN REVISIÓN!
7.2.Taquimetría Es un procedimiento topográfico que se utiliza para recolectar y calcular, coordenadas y cota de los puntos de terreno. Se llama taquimetría porque utiliza como instrumento de medición el taquímetro. La siguiente figura representa la situación de terreno, donde se mide el ángulo cenital desde la estación topográfica al punto (p), en la mira se el generador, la altura instrumental y el hilo medio. Los valores conocidos son las coordenadas de la estación topográfica (E e,Ne ) y la cota (Ce), se desea calcular las distancia horizontal al punto (p), cota y coordenadas (Ep, Np).
7.2.1. Determinación de cota.
Figura 7.4
De la Figura 7.4, por definición
(7.1)
G’ es el generador de una mira imaginaria perpendicular a la visual desde el instrumento.
K es una constante estadimétrica cuyo valor es 100, aunque depende del tipo instrumento.
119
¡EN REVISIÓN! En la Figura 7.5 el triángulo ABC, perpendicular en B, se cumple que:
Donde G es el generador medido en terreno y es calculado en base a los hilos estadimétricos: Despejando. Reemplazando en la ecuación (7.1), queda: Figura 7.5
En la Figura 7.4, la distancia horizontal se tiene queda definida por: Reemplazando la di, queda: Para calcular la cota se tiene que; Despejando el desnivel; Reemplazando; Reemplazando Di Agrupando Finalmente el des nivel queda dado por La cota del punto es:
120
¡EN REVISIÓN! 7.2.2. Determinación de coordenadas De la Figura 7.6 , por trigonometría se tiene que;
Las coordenadas del punto (p) son:
Figura 7.6
Ejercicio 7.1 En terreno se ha medido la siguiente información: Angulo cenital (Z) =98g 80c 90cc , Generador (G)=1,80 metros , Hilo medio (Hm) =2,000 metros, el Azimut (Az)= 120g 30c 90cc y Altura instrumental (Hi)=1,57 metros. Las coordenadas y cotas de la estación son: E=1000 metros, N=3000 metros y C=100 metros. Calcular las coordenadas y cota del punto medido. Desarrollo Antes de comenzar recuerda dejar tu calculadora en modo GRAD, grados centesimales. Cálculo de cota
121
¡EN REVISIÓN! Calculo de coordenadas
Dependiendo de la tecnología a utilizar podrá variar el proceso de cálculo, pero los principios permanecen inalterables. Así, podemos medir poligonales de electrónicas, reciben su nombre del uso del distanciómetro o estaciones totales, que calculan las distancias en forma electrónica, en este caso no se leen hilos reticulares, ya que en lugar de una mira se utiliza un prisma con jalón que refleja la señal enviada por el distanciómetro, luego si el instrumento calcula los tiempos de ida y regreso de la señal , y si se conoce la velocidad con que viaja la señal en el medio, se puede calcular la distancia inclinada, si agregamos la medición del ángulo cenital, la altura instrumental y la de jalón, la ecuación para el cálculo de distancia horizontal y cota quedan dadas por la siguientes ecuaciones:
En cuanto a las coordenadas se siguen aplicando las ecuaciones vistas anteriormente. Ejercicio 7.2 En terreno se ha medido la siguiente información: Angulo cenital (Z) = 98g 50c 40cc, Altura de Jalón (Hj) =1,800 metros, el Azimut (Az)= 150g 50c 60cc, distancia inclinada (Di)=2300 metros y Altura instrumental (Hi)=1,57 (Hi)=1,57 metros. Las coordenadas coordenadas y cotas de la estación son: E=1000 metros, N=3000 metros y C=100 metros. Calcular las coordenadas y cota del punto medido.
122
¡EN REVISIÓN! Desarrollo Cálculo de cota y distancia horizontal:
153,813 m
Calculo de coordenadas:
7.3.Levantamiento 7.3. Levantamiento Topográfico. Es un proceso que se separa en dos partes, una en terreno y la otra en gabinete, la primera consiste en recolectar datos topográficos, ángulos y distancias, por medio de algunos de los instrumentos destinados para este propósito, como puede ser un taquímetro, teodolito o estación total. La segunda parte consiste consiste en la confección confección del plano, que representa el relieve de la superficie levantada y los elementos que se encuentran sobre ella, tales como caminos, casa, arboles, edificios, etc. Para realizar un levantamiento levantamiento se puede aplicar el el método de radiación o intersección intersección de visuales. El primero consiste en medir (ángulos y distancias) desde un vértice conocido, a un conjunto de puntos, la finalidad es obtener obtener la coordenadas este y norte norte de cada uno de ellos. El segundo método se realiza con dos instrumentos, y tiene por finalidad dar ubicación a puntos mediante la medición de ángulos horizontales desde dos vértices conocidos, lo que permite ubicar planimétricamente el punto en observación, sin la posibilidad de obtener una cota. De estos métodos el más usado usado es el de radiación Ver Figura 7.7
123
¡EN REVISIÓN!
Figura 7.7
Los registros a utilizar en un levantamiento dependen del tipo de instrumental utilizado. En el caso de un taquímetro se tiene el siguiente: Estación A Hi=1,60
Pto B 1 2 3
Ang. Hz 0,0000 10,2567 30,4678 60,5679
Ang. Cenital
Generador
Hm
Descripción
101,2560 100,3456 99,6789
1,90 1,30 1,02
2,00 1,40 1,55
Relleno Esq. Casa Esq. Casa
Una forma rápida de obtener el generador es ubicar el hilo inferior a un metro. En el caso de una estación total, el generador cambia por la medición directa de distancia inclinada y el hilo medio por la altura de jalón. Este registro se almacena en la memoria interna del instrumento.
124
¡EN REVISIÓN! 7.4.Representación Planimétrica. 7.4.1. Curvas de Nivel5. Para representar altimétricamente el terreno se utilizan curvas de nivel. Una curva de Nivel es una línea cerrada (también denominada de contorno) que une puntos de igual elevación del terreno, éstas son el método más utilizado para la representación de las ondulaciones, depresiones y en general los accidentes del relieve del terreno.
Figura 7.8
Las Curvas de Nivel son generadas a partir de la intersección entre el terreno horizontales
y
planos imaginarios
equidistantes entre sí, ver Figura 7.9.
Figura 7.9
5
La información de curvas de nivel fue proporcionada por el Ingeniero, Docente Javier Gutierrez Plaza de Inacap Maipú.
125
¡EN REVISIÓN! La distancia que separa estos planos horizontales se denomina Equidistancia de Curvas de Nivel y depende del objetivo del levantamiento, es decir del tipo de proyecto a realizar, de la escala de representación del plano topográfico y del relieve del terreno en estudio, entre otros factores. Algunas características de las curvas de nivel que nos ayudarán a interpretar y generar un plano topográfico son: Deben cerrarse sobre sí mismas, ya sea dentro o fuera del plano. Son generalmente representadas como líneas irregulares Se supone que la pendiente entre curvas debe ser constante, de lo contrario se debe representar todo cambio de pendiente La distancia horizontal entre curvas nos indica la pendiente del terreno, es decir cuanto mayor es el espaciamiento horizontal menor es la pendiente y viceversa Las curvas de diferente elevación no se tocan ni se cruzan Una curva nunca puede ramificarse en dos de la misma elevación Las curvas Índice son aquellas con un valor de cota entero, generalmente múltiplo de 5 y su representación es normalmente de un color más oscuro y un tipo de línea más grueso que el resto de las curvas que quedan entre curvas ellas, denominadas curvas intermedias.
Como se ha mencionado los levantamientos de configuración nos permiten mostrar el relieve terrestre por medio de curvas de nivel. El método más utilizado (sobre todo hoy en día debido al uso de equipos altamente automatizados) es el método indirecto, el cual se basa en la obtención de datos característicos del terreno. Para ello lo más adecuado es la generación de una cuadricula (en terreno) lo más regular posible, esto nos asegurará que la representación del relieve será lo más fiel posible, ver Figura 7.10. Cabe destacar además que se debe tener el cuidado de registrar los puntos donde el relieve tenga cambios abruptos, como quebradas, pozos, zanjas, etc. Siempre se recomienda la toma de datos lo más regular posible, ya que de lo contrario se corre el riesgo de obtener una representación errónea del sector.
126
¡EN REVISIÓN!
.
Figura 7.10
7.4.2. Interpolación de Curvas de Nivel Ya hemos visto como obtener los datos necesarios para generar curvas de nivel, pero como se pasa de una colección o grupo de puntos en el espacio a el dibujo de las curvas de nivel?, bueno el procedimiento matemático se conoce con el nombre de interpolación de curvas de nivel y es la manera de encontrar o ubicar espacialmente por donde pasan los líneas de igual elevación.
127
¡EN REVISIÓN! Para resolver el problema, se han creado diferentes métodos matemáticos que recurren en su mayoría a complejas funciones estadísticas o de cálculo vectorial, por suerte existe un método relativamente fácil denominado “Triangulación Lineal”, el cual se basa en la creación de una
sucesión de triángulos entre los puntos del terreno y en el supuesto que entre dos puntos que forman un lado del triangulo existe una pendiente constante.
Figura 7.11
Este método consiste en lo siguiente: Dados dos puntos A y B del terreno, Figura 7.11, de los cuales sabemos sus elevaciones o Cotas y además la distancia horizontal entre ellos (producto de su ubicación espacial o sus coordenadas), podemos determinar a que distancia (desde el punto A o B) pasa la(s) curva(s) de nivel que nos interesa determinar por simple semejanza de triángulos .
Ejercicio 7.3 Dada las cotas de dos puntos: Cota A: 14,5 m y Cota B: 16,5 m, la distancia de separación es de 20 metros. Se pide determinar las distancias desde el punto A, a las curvas de nivel que pasan entre los puntos, considerando una interpolación cada 1 metro. Figura 7.12
128
¡EN REVISIÓN!
Desarrollo Podemos apreciar en la Figura 7.12, que entre ambos puntos pasan las curvas 15 y 16 m respectivamente, entonces podemos determinar las distancias como sigue : Para el desarrollo del ejemplo nosotros conocemos la Distancia horizontal entre los puntos A y B que es de 20 m. y además por diferencia de altura conocemos el Desnivel;. Desnivel = Cota B – Cota A ; Desnivel = 16,50 – 14,50=2,0 m Aplicando la semejanza de triángulos podemos encontrar a que distancia horizontal del punto A se encuentra la curva buscada aplicando para ello una regla de tres simple para el desarrollo. Para encontrar la Curva índice 15,00 m. Primero determinamos el desnivel que hay entre el punto A y el punto de la curva buscada , en este caso 15,00 m Desnivel = 15,00 – 14,50 = 0,50 m
El Calculo anterior nos indica que la curva de nivel de altura 15,0 0 se encuentra a 5,0 m del punto A. Queda al estudiante calcular la distancia para la curva de nivel 16,00. Respuesta 15,00 metros del punto A.
129
¡EN REVISIÓN! 7.4.3. Simbología Es un conjunto de simbolos que se utilizan en los planos topográficos y representan los elementos del terreno. En general la simbología se encuentra estandarizada en varias instituciones estatalesntidades estatales por ello es conveniente informarse antes de confeccionar el el plano topográfico. A continuación se muestra como ejemplo la simbología utlizada por el
130
¡EN REVISIÓN!
Figura 7.13
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile. Nótese que la simbología esta dividida por grupos, así se puede encontrar simbolos para vértices de puntos de referencia (Apoyo geodésico, Monumentos de vialidad), yacimientos minerales y plantaciones, elementos estructurales(puentes, caminos, casas), elementos lineales(cercos), etc. A continuación se muestra el plano de un levantamiento urbano, donde se apreciar el uso de la simbología, nótese que existen zonas de huertos, estructuras(casas, canchas), obras lineales, datos de coordenadas y geométricos(radios, longitudes de curvas, peraltes, etc), ver Figura 7.14.
Figura 7.14
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile. 131
¡EN REVISIÓN! En la Figura 7.15, se muestra un plano topográfico de un levantamiento rural, donde se aprecian las curvas de nivel cada 1 metro, el diseño de un camino con sus elementos geométricos(radios, longitudes, peralte,etc), además de la información topográfica como coordenadas, cotas, dirección del norte y amaras de puntos Pr.
Figura 7.15
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile.
132
¡EN REVISIÓN!
7.4.4. Problemas 7.4.3.1. Mencione y explique brevemente los sistemas de medición angular. 7.4.3.2. Transformar los siguientes valores angulares a los otros ot ros sistemas. (a) 70,4569g (b) 120,3456º (c) 230º 30’ 40” (d) 356g 34c 45cc (e)
p/4
7.4.3.3. Defina los conceptos de (a) Acimut (b) Rumbo. (c) Levantamiento por radiación. (d) Levantamiento por intersección de distancias. (e) Taquimetría. (f) Curva de nivel
7.4.3.4. Dado los siguientes datos de terreno: Coordenadas espaciales de la estación A: Este=2000 m. Norte=1500 m Cota=493,25 m., considerando que el acimut al punto B es 120g 30c 90cc. Calcular la coordenadas de los puntos que se muestran en el registro. Estación A Hi=1,60
Pto B 1 2 3
Ang. Hz 0,0000 10,2567 30,4678 60,5679
Ang. Cenital
Generador
Hm
Descripción
101,2560 100,3456 99,6789
1,90 1,30 1,02
2,00 1,40 1,55
Relleno Esq. Casa Esq. Casa
7.4.3.5. Explique brevemente que criterios se deben tener encuenta al momento de realizar el levantamiento en terreno, para posteriormente generar un interpolación correcta de las curvas de nivel.
133
¡EN REVISIÓN! 7.4.3.6. Determinar la distancia horizontal a la cual pasan las curvas de nivel del punto A, si la distancia de interpolación interpolación es cada 2 metros, la cota de A es 518 m , la cota de B es 525 m. y la distancia AB es de 20 metros.
7.4.5. Respuestas Problemas 7.4.3.2. (a) En sexagesimal: 63º 24’ 40,36”
En circular: 1,10673439717 rad.
(b)En Centesimal : 133,7173g
En circular : 2,10042696029 rad.
(c)En Centesimal: 256,1234g
En circular : 4,02317785132 rad.
(d)En sexagesimal: 320º 42’ 39,10”
En circular : 5,5974604539 rad.
(e)En sexagesimal: 45º
En Centesimal : 50g
7.4.3.4. Vértice A
Acimut
DH
120,309
Este
Norte 2000
Cota 1500
493,5
1
130,5657 189,926054 2168,45249 1912,27506 587,408537
2
150,7768 129,996169 2090,79274 1906,96408 470,150775
3
180,8769 101,997405
2030,1798 1902,56977 443,002663
7.4.3.6. Curva de nive 520, Distancia horizontal=5,714 m. Curva de nive 522, Distancia D istancia horizontal=11,429 m. Curva de nive 524, Distancia D istancia horizontal=17,143 m.
134
¡EN REVISIÓN! 8. Poligonales. Tópicos Avanzados 8.1 Introducción Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se han determinado a partir de mediciones en el campo. El trazo de una poligonal, que es la operación de establecer las estaciones de ésta y de hacer las mediciones necesarias, es uno de los procedimientos fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar la ubicación relativa entre puntos en el terreno. Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta. En una poligonal cerrada: (1) Las líneas regresan al punto de partida, formándose así un polígono geométrico y analíticamente cerrado como se muestra en la Figura 8.1 (a), o bien, (2) las líneas terminan en otra estación que tiene una exactitud de posición igual o mayor que la del punto de partida. La poligonal de enlace (geométricamente abiertas, pero analíticamente cerrada) que se muestra en la Figura 8.1(b) deben tener una dirección de referencia para el cierre, como, por ejemplo, la línea EF, tiene AZ(EF). Las poligonales cerradas proporcionan comprobaciones de los ángulos y las distancias medidas, consideración esta en extremo importante. Asimismo, se emplean extensamente en levantamientos de control, para construcción, de propiedades y de configuración.
Figura 8.1
135
¡EN REVISIÓN! Una poligonal abierta (geométrica y analíticamente) consta de una serie de líneas unidas, pero estas no regresan al punto de partida ni cierran en un punto con igual o mayor orden de exactitud. Las poligonales abiertas se usan en los levantamientos para vías terrestres, pero, en general, deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. En las poligonales abiertas deben repetirse las medidas para evitar las equivocaciones.
8.2 Traslado de Rumbo y Acimut En muchos levantamientos y sobre todo en poligonales, es indispensable calcular acimut (o rumbo). Los topógrafos prefieren trabajar con acimut, ya que por su definición (ángulo medido en sentido horario) es más fácil trasladarlo entre rectas paralelas. Para explicar el proceso se realizará en base a la Figura 8.2.
Figura 8.2
El Dato inicial es el acimut AB, AZ(AB), este se traslada por rectas paralelas (nortes) al punto B, tal como se indica en la figura. Para calcular el acimut BC, AZ(BC), al acimut AB se le suma los 200 grados, calculando el retroacimut de la línea AB o también se puede decir el acimut BA, luego sumar el valor del ángulo en B, obteniéndose 527,6775g, como el valor es superior a 400g, es decir se dío una “vuelta”, se debe restar, el resultado para el AZ(BC)final es 127,6775 g.
136
¡EN REVISIÓN! El proceso es repetitivo desde el vértice C al D, es decir, ahora se utiliza como conocido el AZ(BC), luego el AZ(CD);
Para determinar los rumbos, siempre es recomendable calcular primero los acimutes de todas las líneas. El rumbo del la línea BC, es definido a partir de la dirección Sur(S) y hacia el Este, ya que se encuentra en ese cuadrante. El valor es calculado restando a los 200g al valor del AZ(BC) es el rumbo.
Figura 8.3
8.3 Medida de ángulos y direcciones de las poligonales Los ángulos o direcciones que se pueden medir en las poligonales son: (1) ángulos interiores, (2) ángulos a la derecha, y (3) Acimut.
8.3.1 Trazo de poligonales por ángulos interiores Los ángulos interiores se usan casi en forma exclusiva en las poligonales para levantamientos catastrales o de propiedades. Pueden leerse en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Sin embargo, es conveniente medir todos los ángulos interiores siempre en el mismo sentido, porque así se reducen los errores de lectura, registro y trazo.
137
¡EN REVISIÓN! 8.3.2 Trazo de poligonales por ángulos a las derecha Los ángulos medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj desde una visual hacia atrás, según la línea anterior (véase la Figura 8.2), se llaman ángulos a la derecha. El procedimiento es similar al del trazo de una poligonal por acimut, excepto que la visual hacia atrás se dirige con el limbo horizontal a cero, en vez de estarlo al acimut inverso. Los ángulos pueden comprobarse (y precisamente más) duplicándolos, o bien, comprobarse en forma aproximada por medio de lecturas en tránsito.
8.3.3 Trazo de poligonales por acimut Los levantamientos topográficos se realizan a menudo por acimut. El proceso permite la lectura del acimut de todas las líneas directamente, eliminando así la necesidad de calcularlos. En la Figura 8.2, los acimutes se miden en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj a partir de la dirección norte del meridiano que pasa por cada vértice. En cada estación se orienta al instrumento visando a la estación anterior con el retroacimut. Entonces, después de soltar el freno se visa a la siguiente estación, el ángulo obtenido en el limbo horizontal será el acimut de la línea siguiente. (Wolf, 1997)
Figura 8.4
138
¡EN REVISIÓN! 8.4
Medición de longitudes poligonales
La longitud de cada línea de la poligonal se obtiene generalmente por el método más simple y económico capaz de satisfacer la precisión exigida en un proyecto dado. El método que se emplea con mayor frecuencia es la medición con dispositivos electrónicos, por ser los que proporcionan el orden más alto de precisión, recibiendo el nombre de poligonal electrónica. Otro método es medir las distancias por medio de los hilos estadimétricos que en uno y otro sentido dan un control adecuando para ciertos tipos de trabajos de baja precisión, como, por ejemplo en agricultura y geología.
8.5 Métodos de medición para ángulos de precisión.
8.5.1 Método de Reiteración. La medida de un ángulo por reiteración puede ejecutarse con un taquímetro, teodolito o estación total. El método se basa en medir varias veces un ángulo horizontal usando diferentes porciones del limbo horizontal, para evitar, principalmente, errores de graduación. Para calcular el ángulo de “calaje” usar la expresión:
Donde n es la cantidad de reiteraciones. Para hacer la demostración del proceso, se utilizará el ejemplo de la Figura 8.5. Por definición del proyecto de
medición
debe hacerse 4
reiteraciones, luego cada 50g debe fijarse el ángulo Figura 8.5
de
calaje
comenzando
el
primero
en
aproximadamente 0g. Una vez nivelado el instrumento sobre la estación X se procederá de la siguiente manera: 1.
Dirigir el anteojo del instrumento en posición directa hacia el vértice A, visando con 0g o
un valor cercano a cero. Fijar el freno y afinar la puntería con el tornillo de tangencia. 2.
Soltar el freno y buscar con la mira de puntería el vértice B girando hacia la derecha, frenar
y afinar con el tornillo de tangencia, anotar el ángulo horizontal. 139
¡EN REVISIÓN! 3.
Repetir la operación para los vértices C y D.
4.
Transitar, apuntar con el anteojo al vértice A y frenar horizontalmente, afinar por medio
del tornillo de tangencia. Anotar el ángulo observado. 5.
Repetir las pasos 2 y 3, obteniendo la primera reiteración.
6.
La segunda reiteración se inicia fijando el ángulo aproximadamente 50g y apuntando en
directa hacia al vértice A, se frena y afina la puntería con el tornillo tangencial, luego soltar el freno para mirar sucesivamente a B, C y D, hasta volver al vértice A girando siempre el anteojo hacia la derecha. Se anota el valor angular que efectivamente se observe para cada vértice. 7.
Repetir en tránsito las operaciones 4 y 5.
8.
Volver apuntar sobre A con el respectivo ángulo de reiteración, repitiendo el ciclo hasta la
última reiteración. Este método elimina errores instrumentales promediando valores. El anteojo se debe rotar siempre en el sentido de los punteros del reloj. Si hay error de arrastre entre la alidada y el limbo, el error para todos los ángulos es en el mismo sentido y se puede compensar, modificando los valores en forma de anular la diferencia de la última lectura con 0(g). La exactitud de los resultados aumenta con el número de reiteraciones.
140
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 8.1 Est
X
N° Reit
Directa
Tránsito
Promedio
Pto
1
A B C D A
0,0020 39,6390 74,1950 98,3940 400,0012
200,0010 239,6410 274,1950 298,3925 200,0010
2
A B C D A
50,0015 89,6400 124,1930 148,3920 50,0020
250,0012 289,6420 324,1950 348,3918 250,0002
3
A B C D A
100,0020 139,6402 174,1920 198,3927 100,0005
300,0010 339,6398 374,1940 398,3921 300,0001
4
A B C D A
150,0054 350,0042 189,6420 389,6430 224,1988 24,1980 248,3968 48,3960 150,0060 350,0060
0,0015 39,6400 74,1950 98,3933 400,0011 e= 50,0014 89,6410 124,1940 148,3919 50,0011 e= 100,0015 139,6400 174,1930 198,3924 100,0003 e= 150,0048 189,6425 224,1984 248,3964 150,0060 e=
Promedio Reducido
Angulos Corregidos
Angulos Finales
0 0 1 1 4
0,0000 39,6385 74,1936 98,3918 400,0000
0,0000 39,6386 74,1928 98,3912
0 0 0 1 2
0,0000 39,6397 74,1927 98,3906 400,0000
0 1 2 3 12
0,0000 39,6386 74,1917 98,3912 400,0000
0 -1 -2 -3 -12
0,0000 39,6376 74,1934 98,3913 400,0000
Comp. (cc)
0,0000 39,6385 74,1935 98,3918 399,9996 -0,0004 0 39,6397 74,1927 98,3906 399,9998 -0,0002 0 39,6385 74,1915 98,3909 399,9988 -0,0012 0 39,6377 74,1936 98,3916 400,0012 0,0012
Compensación Unitaria Donde
e: Es el error de cierre.
En la primera reiteración:
:ángulo de cierre. =0,01 cc/g
Compensación por ángulo para la primera reiteración: CompA=0,01*0,0000g= 0 cc Compc=0,01*74,1936g =0,74..cc Comp.E=0,01*399,9996g=3,99..cc
1g
CompB=0,01*39,6385g= 0,39…cc
0g
Comp.D=0,01*98,3918g=0,98..cc
1g
4g
141
¡EN REVISIÓN! 8.5.2 Método de Repetición Para aplicar este método se necesita un instrumento que permita ir acumulando lecturas sucesivas de ángulo horizontal, en nuestro caso utilizaremos el mismo taquímetro digital analizado el capítulo de instrumental. Suponga que se desea medir el ángulo entre dos puntos A y B, tal como se aprecia en la Figura 8.6; luego una vez nivelado el instrumento y preparado para comenzar la medición se procederá de la siguiente manera: 1. “Calar” al punto A, fijando el ángulo horizontal exactamente en 0(g). 2. Soltar el freno y medir visando el anteojo hacia B afinando con el tornillo tangencial, anotar el ángulo medido, presionar la tecla HOLD para mantener el ángulo. 3. Llevar la visual al punto A afinando con el tornillo tangencial, presionar la tecla HOLD nuevamente para liberar el limbo horizontal. 4. Repetir el paso 2 y 3, hasta completar el número de reiteraciones, anotar el valor del ángulo final en la columna de la lectura directa.
En la eventualidad de querer obtener un ángulo con más precisión, se puede medir el ángulo exterior BEA, para posteriormente distribuir los errores angulares, para ello, se transita el teodolito y se repiten las operaciones 1 a la 4, pero midiendo el ángulo suplementario respecto de 400(g), por lo que se cala con 0(g) hacia B. El objetivo de usar el instrumento en tránsito es usar la otra porción del limbo. Esta forma de operar permite eliminar los errores instrumentales compensables. Se debe girar siempre el teodolito en el sentido de los punteros del reloj, ya se gire sobre la alidada o sobre el movimiento general. Si hay error de arrastre entre la alidada y el limbo, el error es siempre en el mismo sentido, tanto para el ángulo como para su suplemento; éste se puede compensar en proporción al ángulo como se puede ver en la Figura 8.6. El registro se calcula, después de haberse anotado los ángulos que indica el limbo, de la siguiente manera (MOP, 2001): 1. Comenzar anotando el valor simple del ángulo (α) en directa y (α’) en tránsito. 2. Calcular el valor final del ángulo en directa después de las n repeticiones (n =...), para obtener el número de vueltas completas del ángulo (α) sobre el limbo. 3. Proceder a llenar la lí nea “Giros Completos”.
142
¡EN REVISIÓN! 4. Calcular el valor del “Angulo Total” sumando los giros completos a los valores leídos en el limbo después de las n repeticiones. 5. Calcular el “Angulo Provisorio” dividiendo por “n” los valores del “Angulo Total”. 6. Sumar los valores del «Angulo Provisorio» en directa y tránsito, debiendo determinarse un ángulo próximo a 400(g). La diferencia que se tenga (discrepancia) se reparte entre los dos valores del «Angulo Provisorio» proporcionalmente a su magnitud, para completar la suma de 400(g). 7. EI “Angulo Definitivo” es el valor final de la medición.
Figura 8.6 Fuente Manual de Carreteras Volumen II.
143
¡EN REVISIÓN! 8.6 Selección de estaciones de una poligonal Las posiciones seleccionadas para emplazar las estaciones de una poligonal varían con el tipo de levantamiento. En los levantamientos de propiedades, se sitúa una estaca en cada vértice si las líneas reales de lindero no están obstruidas y si los vértices pueden ocuparse. Si es necesario recurrir a líneas auxiliares desplazadas, se sitúa una estaca cerca de cada vértice para simplificar las medidas y los cálculos. Las líneas muy largas y el terreno accidentado pueden necesitar de estaciones adicionales. En los levantamientos por vías terrestres se sitúan las estacas en cada vértice y en otros lugares cuando es necesario obtener datos topográficos o extender el levantamiento. Por lo general, se corre la línea de centros antes de que comience la construcción: además, puede ser necesario reemplazarla una o más veces durante varias fases del proyecto.
8.7 Causas de error Algunas fuentes de error en el trazo de una poligonal son: 1. Selección deficiente de estaciones, ocasionado por malas condiciones de visado debidas a: (a) Sol y sombra alternadas. visado hacia donde está el sol. (b) Visibilidad de la parte superior del estadal solamente. (c) Visual que pasa demasiado cerca del terreno (d) Líneas demasiado largas o demasiado cortas 2. Errores en la medida de ángulos y distancias 3. No realizar mediciones de reiteración o repetición en la medición de los ángulos de la poligonal (error de calaje).
8.8 Equivocaciones Algunas equivocaciones en el trazo de poligonales son: 1. Ocupar equivocadamente una estación o visar hacia una estación equivocada. 2. Orientación incorrecta. 3. Confusión de ángulos a la derecha y a la izquierda. 4. Equivocaciones al elaborar el registro. 5. Mal uso de los programas que tiene incorporado el instrumento, en el caso de las estaciones totales.
144
¡EN REVISIÓN! 9. Cálculo y Compensación de Poligonales 9.1 Error de cierre El cierre (o error de cierre) angular para una poligonal trazada por ángulos interiores es la diferencia entre la suma de los ángulos medidos y el total geométricamente correcto para el polígono. La suma,
, de los ángulos interiores en grados centesimales de un polígono cerrado
es igual a:
Siendo n el numero de lados o de ángulos en el polígono. Por ejemplo en la Figura 9.1(a) muestra un polígono de cinco lados, la suma de los ángulos interiores es 600g, pero producto de las mediciones en terreno dicha suma es igual a 600g 00c 60cc, por lo tanto el error angular de cierre es 60cc. El error de cierre permitido o tolerancia de un proyecto de medición se basa en las especificaciones técnicas asociadas al trabajo, en nuestro caso utilizaremos la especificaciones técnicas establecidas por el ministerio de obras públicas, las que pueden encontrarse en el ítem Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P. de este documento, luego la tolerancia angular para una poligonal de tercer orden es;
Donde n es el número de vértices. Para una poligonal de 5 lados e=67,08cc
70cc, considerando que nuestras mediciones arrojaron
un error de cierre de 60cc, luego nuestro trabajo se puede clasificar como una poligonal de tercer orden. Una poligonal por acimut cerrada en el mismo punto Figura 9.1(a) se comprueba emplazando el aparato sobre el punto de partida por segunda vez (Az(AB)llegada), después de ocupar las estaciones sucesivas de toda la poligonal y de orientar por acimut inversos. El acimut del primer lado debe tener el mismo valor original. Cualquier diferencia constituye el error de cierre.
145
¡EN REVISIÓN! En el caso de poligonales de Enlace Figura 9.1(b) el error de cierre se comprueba al comparar el acimut arrastrado a lo largo de la poligonal (Az(EF) llegada), con el acimut calculado a partir de la coordenadas de la línea base conocida (Az(EF)calculado).
Figura 9.1
9.2 Cálculo de poligonales Introducción los ángulos o las direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden comprobarse fácilmente antes de dejar el campo aplicando métodos de reiteración en la medida del ángulo y midiendo las distancias de ida y vuelta dentro del circuito de la poligonal. Los procedimientos usuales que se siguen en el cálculo de poligonales son: (1) Ajuste de los ángulos o direcciones a condiciones geométricas fijas. (2) Determinación de rumbos o acimut. (3) Cálculo de proyecciones X ( DE), Y (DN), y ajuste de estas por errores de cierre. (4) Cálculo de las coordenadas rectangulares de las estaciones.
146
¡EN REVISIÓN! 9.2.1 Compensación de los ángulos interiores Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al total geométrico correcto aplicando uno de los dos métodos siguientes: 1. En el caso de medición de los ángulos interiores, se calcula una corrección media, o promedio, a cada ángulo para los que hubo condiciones de observación aproximadamente iguales en todas las estaciones. La corrección se determina dividiendo el cierre total angular entre el número de ángulos con signo contrario al error, ver ejercicio siguiente: Ejercicio 9.1
Est V1 V2 V3 V4 V5 Suma=
Ang. Hz 125,250 106,464 124,130 130,578 113,575
Comp.
Ang. Hz. Corregido
0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006
125,2506 106,4646 124,1306 130,5786 113,5756
599,9970g
=600g
Compensación para cada ángulo(c) La corrección es positiva porque a la sumatoria le falto para llegar al valor geométrico. 2. En el caso de poligonales medidas por acimut , la corrección se calcula multiplicando el error de cierre por el número del vértice divido por el total de vértices de la poligonal.
147
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 9.2
Estación
Acimut
Comp.
Acimut Corregido
156,8372
-0,0004
156,8368
248,5137
-0,0008
248,5129
358,2672
-0,0013
358,2659
345,7797
-0,0017
345,7780
356,1797
-0,0021
356,1776
S3 V1 V2 A1 S1 OH1 Azimut Conocido S1_OH1= 356,1776 Error= 356,1797 – 356,1776=0,0021
…..etc.
9.2.2 Compensación lineal Para una poligonal cerrada como la de la Figura 9.1(a), es claro que si todas las distancias y ángulos se midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones Este (DE) de todos sus lados debería ser igual a cero. De la misma manera, la suma algebraica de todas las proyecciones Norte (DN) también debería ser igual a cero. Para poligonales de enlace como la de la Figura 9.1(b), la suma algebraica de las proyecciones Este debería ser igual a la diferencia total de las coordenadas Este entre los puntos de control inicial (vértice A) y final (vértice E), la misma condición se aplica a la proyección en Norte. Como las mediciones no son perfectas y existen errores en las distancias y ángulos, las condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se denominan errores de cierre. Sus valores se calculan sumando algebraicamente las proyecciones
DE, DN
y comparando los
totales con las condiciones requeridas. Los errores grandes de cierre indican ciertamente que se han cometido errores o aún las cantidades medidas son precisas y libres de equivocaciones, pero esto no es garantía de que no existan errores sistemáticos o de compensación.
148
¡EN REVISIÓN! El error de cierre lineal (eL) de la poligonal. Se calcula con la formula siguiente:
La precisión relativa de una poligonal se expresa como la fracción:
9.2.3 Ajuste de poligonales En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el polígono para cerrar la figura, aun cuando al trazar la poligonal a la escala del plano el error de cierre sea insignificante. Existen varios métodos elementales para ajustar poligonales pero el más comúnmente usado es el de la regla de la brújula (método de bowditch).
9.2.4 Regla de la brújula (o de Bowditch) Esta regla ajusta las proyecciones ortogonales de las líneas de poligonales en proporción a sus longitudes. Aunque no es tan rigurosa como el método de los mínimos cuadrados, conduce a resultados lógicos en la distribución de los errores de cierre. Las correcciones con este método se hacen de acuerdo con las siguientes reglas: Sea Corrección delta este=
Corrección delta Norte=
Error de cierre en la proyección Este =
Error de cierre en la proyección Norte=
Ver Ejercicio 9.3
149
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 9.3
Aplicado la compensación por regla de la Brújula. Calcular los Est
Pto.
Ang. Hz
Ang. Hz Comp
Ang. Hz. Corr.
Acimut
Dist. Hz.
V1 V2 V3 V4 V5
V1 V2 V3 V4 V5 V1
125,25 106,464 124,13 130,578 113,575
0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006
125,2506 106,4646 124,1306 130,5786 113,5756
225,3 131,7646 55,8952 386,4738 300,0494
1262,600 1198,091 1010,740 1116,170 1105,680
sumatoria Ang. Hz
Distancia total:
DE, DN corregidos de
E
los vértices de la poligonal.
N
Corr. E
Corr. N
E Corr.
N Corr.
-488,668 1052,022 777,727 -235,371 -1105,680
-1164,200 -573,299 645,551 1091,071 0,858
-0,007 -0,006 -0,005 -0,006 -0,006
0,004 0,004 0,003 0,004 0,004
-488,675 1052,016 777,722 -235,377 -1105,686
-1164,196 -573,295 645,554 1091,075 0,862
0,030
-0,019
-0,030
0,019
0.000
0.000
5693,281
599,997
Suma. ang. Hz teórico:
Errores de cierre 600 Error relativo=1/160330
Error angular:
599,997- 600=-0,0030
Los errores de cierre en la proyección
Error lineal=±0,036
DE
y
DN,
son 0,030 y -0,019 respectivamente, los que se obtienen en base a las sumatorias
DE
y
DN.
Las correcciones se calculan según las ecuaciones vista anteriormente, utilizando el error de cierre la longitud del segmento y el perímetro total de la poligonal.
150
¡EN REVISIÓN!
9.2.5 Regla del tránsito Esta regla produce poligonales corregidas, pero raras veces se emplea en la práctica, porque los resultados dependen arbitrariamente de los rumbos o acimut de las líneas. Las coordenadas se calculan empleando las siguientes fórmulas: Sea Corrección delta este=
Corrección delta Norte=
Error de cierre en la proyección Este =
Error de cierre en la proyección Norte=
=es la sumatoria de todos los DE en valor absoluto = es la sumatoria de todos los DN en valor absoluto Ver Ejercicio 9.4.
9.2.6 Calculo de coordenadas ortogonales Las coordenadas ortogonales de los puntos se obtienen sumando el DE y DN corregidos, a las coordenadas del punto conocido E, N, es decir;
Las coordenadas son útiles en una gran variedad de cálculo, inclusive para: (1) Determinar longitudes y direcciones de líneas. (2) Calcular áreas de predios. (3) Trazar poligonales en mapas de base o de control. Ver Ejercicio 9.4 y Ejercicio 9.5.
151
¡EN REVISIÓN! Ejercicio 9.4
Aplicado la compensación por regla del tránsito. Calcular los
DE, DN corregidos de
Est
Pto.
Ang. Hz
Ang. Hz. Comp
Ang. Hz. Corregido
Acimut
Dh
V1 V2 V3 V4 V5
V1 V2 V3 V4 V5 V1
125,25 106,464 124,13 130,578 113,575
0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006
125,2506 106,4646 124,1306 130,5786 113,5756
225,3 131,7646 55,8952 386,4738 300,0494
1262,600 1198,091 1010,740 1116,170 1105,680
Sumatoria Ang. Hz : Suma Ang. Hz teórico: e:
Distancia total:
los vértices de la poligonal.
E
N
Corr E
Corr N
E Corr.
N Corr.
-488,668 1052,022 777,727 -235,371 -1105,680
-1164,200 -573,299 645,551 1091,071 0,858
-0,004 -0,009 -0,006 -0,002 -0,009
0,006 0,003 0,004 0,006 0,000
-488,672 1052,013 777,721 -235,373 -1105,689
-1164,194 -573,296 645,555 1091,077 0,858
0,030
-0,019
-0,030
0,019
0,000
0,000
5693,281
599,997 Errores de cierre 600 0,003
Sumatorias valor absoluto:
Ejercicio 9.5
Calcular las coordenadas finales de los vértices de la poligonal.
3659,468
3474,979
Vértice
Coord. Norte
Coord Este
V1 V2 V3 V3 V5 V1
30000,000 28835,806 28262,510 28908,065 29999,142 30000,000
20000,000 19511,328 20563,341 21341,062 21105,689 20000,000
152
¡EN REVISIÓN! 9.2.7 Diagrama resumen cálculo y compensación poligonales cerradas
153
¡EN REVISIÓN! 9.2.8 Uso de las poligonales abiertas Aunque en general no se recomienda el trazo de poligonales abiertas, hay situaciones en que es muy conveniente, sin embargo, se debe tener sumo cuidado al efectuar las mediciones porque no hay verificación posible y cualquier error o equivocación conducirá a una longitud y dirección erróneas para las líneas de cierre. La recomendación es que al realizar poligonales abiertas no utilizar más de tres estaciones.
Figura 9.2
154
¡EN REVISIÓN! 9.3 Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P.
Objetivos Instrumental
Tolerancia Entre vértices
Longitud lados
desnivel Ang. horizontal ang. vertical Método de medición
Tolerancia en cierre.
angular longitud
PRIMARIA Son de alta precisión y sirven de apoyo a otras poligonales. Ang. Horizontal : Teodolítos con lectura directa a los 2 cc Ang. Vertical : debe leerse a los 25 cc Distancia : error máx. = 3 + 3*k (mm) ; k en km. Alcance mínimo prisma 3 Km. Mínimo 800 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 40.000 de la longitud del lado 5 g. Con un máx. de 15 g. Previa aprobación DEDV. Error probable del promedio no exceder de 7 cc. Error probable del promedio no exceder a 50 cc. Ang. Hz : 5 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. Ang. Vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : minimo 5 observaciones. 10 * N (cc) ; segundo centesimales) N : número de vértices. 1 / 40.000
SECUNDARIA Densificar la red primaria, sirve de referencia en estudios de trazados carreteras y caminos. Ang. Horizontal : Teodolitos a los 20 cc. Con estimación a los 5cc. Ang. Vertical : debe leerse al 1 c. Distancia : error máx. = 5 + 3*k (mm) ; k en km
TERCIARIA levantamiento y apoyo para otras redes
Mínimo 500 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 20.000 de la longitud del lado.
Ang. Horizontal : Teodolitos a los 50 cc. Con estimación a los 10 cc. Ang. Vertical : 1 c. Distancia : error máx. = 5+ 5*k (mm) ; k en km Mínimo 300 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 15.000 de la longitud del lado.
10 g. con un máx. de 20 g. previa aprobación DEDV error probable del promedio no exceder de 15 cc error probable del promedio no exceder a 80 cc. ang. hz : 3 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. ang. vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : mínimo 3 observaciones. 20 * N (cc) ; segundos centesimales N : número de vértices. 1 / 20.000
15 g. con un máx. de 25 g. previa aprobación DEDV error probable del promedio no exceder de 25 cc error probable del promedio no exceder a 1 c. ang. hz : 2 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. ang. vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : mínimo 2 observaciones. 30 * n (cc) ; segundos centesimales N : número de vértices. 1 / 15.000
155
¡EN REVISIÓN! 9.4 Replanteo Planimétrico. Es el proceso topográfico que permite ubicar puntos en el terreno en base a las coordenadas de puntos conocidos. Este procedimiento es fundamental para materializar cualquier tipo de proyecto de ingeniería, minero, agrícola y de cualquier otra índole.
9.4.1 Cálculo de Distancia Horizontal y Acimut en base a coordenadas. Suponiendo conocidas las coordenadas este y norte de dos puntos, se puede calcular la distancia horizontal y Acimut entre puntos
Figura 9.2
Sea DN=N2-N1 ; DE=E2-E1 La distancia horizontal queda dada por: De la Figura 9.2(a) El valor α, producto de la función trigonométrica tangente, siempre se va a encontrar
entre 0g y 100g centesimales, luego es importante distinguir el cuadrante en que se encuentra el punto. De esta forma el acimut para los cuatro cuadrantes queda dado por: Cuadrante I II III IV
Acimut Az=α Az=200+α Az=200+α Az=400+α
156
¡EN REVISIÓN! Es posible que se den las siguientes situaciones especiales: DN es igual a cero, en este caso el valor de α queda indefinido para calcular el acimut,
por lo
tanto, si el valor del DE es positivo, indica que el acimut es de 100g en caso contrario 300g. DE es igual a cero, luego el valor de α también
es cero, por lo tanto si el valor de DN es
negativo el acimut es de 200g en caso contrario es 0g. Ejercicio 9.6
Dada las coordenadas de tres puntos A, B y C. Calcular el acimut y distancia horizontal para replantear el punto C, Explicando el proceso que se debe realizar en terreno. Punto A B C
Este 1500 1000 1300
Norte 2000 1200 2010
Desarrollo
Acimut y distancia entre el punto A y B. DE=EB –EA= –500m
DN=NB-NA= – 800m
α=35,5615g
El punto B se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto el acimut es 235,5615g La distancia horizontal es Acimut y distancia entre el punto A y C. DE=EC –EA= –200m DN=NC-NA=+10m α=–96,8195497488g
El punto C se encuentra en el cuarto cuadrante, luego el acimut es 303,1804g La distancia horizontal es Medición en terreno: Visar al punto B con el acimut AB y orientar el instrumento en la dirección del acimut AC, dar la indicación al ayudante para ubicarlo en la línea de la visual. Medir la distancia y dar orientaciones al ayudante hasta lograr ubicar el punto “C” a 303,180 metros respecto del punto “B”.
157
¡EN REVISIÓN! 9.5 Problemas Punto
Norte
Este
coordenadas. Calcular rumbo,
A
5220,20
3425,45
acimut y distancia de los
B
5345,35
3500,25
segmentos AB, AC, AD y AE.
C
5000,20
3555,45
D
4723,50
2890,23
E
5390,66
2425,45
9.5.1.Dada las siguientes
.
9.5.2.El acimut E-1 a E-0 es 153,256 g. Determinar el ΔN, ΔE y el desnivel de E-2. Considere una altura instrumental = 1,57 metros.
Est.
Punto
E-1
E-0 E-2
Angulo Horizontal Directa Transito 00,0000 200,0010 125,3530
325,3540
HS
HM
HI
Angulo Cenital.
-
-
-
-
3,565
2,283
1,00
87,2530
9.5.3.Determinar el acimut DC, CB, BA y el rumbo AB, BC, CD. En base a los ángulos medidos.
9.5.4.Dado los siguientes datos calcular rumbo y acimut de los segmentos: CD, FE, ED, BA y BC. Los valores de los ángulos medidos corresponden a: B = 35g 25c 30cc;
C=
230° 42’ 53”; CDE = 45g 18c 21cc:
DCNorte = 88g 26c 30cc ; E = 120g 35c 85cc.
158
¡EN REVISIÓN! 9.5.5.Calcular el acimut de los segmentos AB, BC, CD, DE y Rumbo de los segmentos BA,CB,DC, ED. Trabaje en el sistema centesimal.
9.5.6.Calcular el acimut de los segmentos BA, CB, DC, ED y Rumbo de los segmentos AB, BC, CD, DE. Trabaje en el sistema sexagesimal con grados minutos y segundos.
9.5.7.Calcular el acimut y distancia horizontal para replantear el punto C por coordenadas, explique el procedimiento de terreno, considere el instrumento instalado en el punto B y apuntando con 0 g. al punto A.
A B C
Norte 6.235.335,25 6.234.500,65 6.233.800,35
Este 582.365,92 582.780,25 582.920,30
Cota 525,36 550,45 540,34
159
¡EN REVISIÓN! 9.5.8.Calcular el área de una parcela de cuatro vértices (P1, P2, P3 y P4), la que ha sido levantada topográficamente desde dos vértices H y J de un poligonal. Instalado en H y calando en cero a J se obtuvieron los siguientes datos: Altura instrumental de 1,55 m., ángulo horizontal al P1 de 275,55g, ángulo cenital al P1 101,35g, hilo medio igual a la altura instrumental
y generador de 3,55m. Angulo
horizontal al P4 de 127,25g, ángulo vertical al P4 de 102,48g, hilo medio igual altura instrumental y generador de 3,85 metros. Instalado en J y calando en cero a H se obtuvieron los siguientes datos: Altura instrumental de 1,55 metros, ángulo horizontal al P2 de 105,55g, ángulo cenital al P2 de 99,75g, hilo medio igual a la altura instrumental y generador de 2,55 metros, ángulo horizontal al P3 de 217,45g, ángulo vertical al P3 de 98,53g, hilo medio igual altura instrumental y generador de 2,350 metros. Las coordenadas de h son: Norte = 10923,72, Este =10491,29 y cota =199,25 Las coordenadas de J son: Norte = 10955,95, Este =10544,04 y cota =199,38
160
¡EN REVISIÓN! 9.5.9. Los siguientes datos corresponden a una poligonal cerrada ABCDE. Las coordenadas del punto A son N = 692,00 m , E = 1100,00 m. y el acimut de la línea AE es 12,7654 g. Calcule y compense la poligonal considerando que se han medido los ángulos interiores y sus valores son: Est.
Pto
Angulo horizontal
Angulo corregido
Acimut
Distancia horizontal
A B C D
A B C D E
77,5500 245,2488 60,2012 96,7840
606,70 471,70 751,65 855,87
E
A
120,2222
502,06
n corregido
e corregido
Norte
Este
9.5.10. Calcule y compense la poligonal de enlace aplicando el método de transito, dado el acimut (X-A) = 136,9648 g., el acimut (E-Y) = 313,3889 g. y las coordenadas de los puntos A, E.
Est.
Pto
X A B C D E
A B C D E Y
Ángulo horizontal 289,4685 137,6056 258,8907 175,9777 314,4500
punto
Norte en (m)
Este en (m)
A E
460,901 84,679
782,820 740,270
Acimut Preliminar
Acimut Corregido
distancia horizontal
n
e
Norte
Este
129,352 81,700 101,112 94,273
161
¡EN REVISIÓN! 9.5.11. Dada la siguiente poligonal de enlace electrónica. Calcular las coordenadas finales aplicando el método de Bowditch.
Norte V-iii = Este V-iii= Norte IX = Este IX =
Est V-iii M1 M2 M3 M4 M5
Pto M1 M2 M3 M4 M5 IX
5756,24 9798,29 5779,84 15003,68
norte M1= Este M1 = norte M5 = Este M5 =
áng. Hz
Az
0 122,098 224,3349 143,2798 211,3624 222,2498
5168,24 10021,16 5784,52 13855,19
Az Corr
Delta norte (M-1-M-5) = AZ Viii- M1 = delta Este (M-1-M-5) = Az M5-IX =
Dist.Hz
Delta Norte
Delta Este
Corr. D. N
Corr. D. E.
D. N. Corr.
D. E. Corr.
Norte
Este
861,48 1000,81 1212,89 1050,49
Sumatoria sin signo : Sumatoria con signo : error acimutal de cierre Corrección =
error D.N.
error D.E.
162
¡EN REVISIÓN! 9.5.12. Dado el siguiente registro por reiteración. Calcular los ángulos cenitales y verticales finales Ángulo horizontal Est
Pto
directa
transito
OH1
S1
0,0020
HI=
OH2
promedio
prom_red
Ángulo vertical Final
Prom
Final
Distancia Inclinada
Dist. Incl prom
Altura Prisma
directa
transito
200,0080
99,7580
300,2280
120,870
1,60
298,6600
98,6680
99,8100
300,1760
119,830
1,60
S1
0,0040
200,0080
99,7600
300,2260
120,870
1,60
OH2
298,6620
98,6660
99,8170
300,1780
119,820
1,60
S1
S2
0,0000
200,0060
99,7320
300,2580
78,690
1,60
HI=
OH1
288,0640
88,0720
100,1940
299,7940
120,880
1,60
S2
0,0000
200,0080
99,7320
300,2580
78,700
1,60
OH1
288,0640
88,0720
100,1940
299,7960
120,870
1,60
S2
S3
0,0020
200,0080
99,9700
300,0200
60,430
1,60
HI=
S1
235,5520
35,5580
100,1160
299,8720
78,710
1,60
S3
0,0000
200,0080
99,9720
300,0180
60,440
1,60
S1
235,5540
35,5600
100,1180
299,8700
78,700
1,60
S3
OH2
0,0000
200,0060
100,1200
299,8700
116,960
1,60
HI=
S2
283,9360
83,9440
99,8340
300,1580
60,450
1,60
OH2
0,0000
200,0100
100,1220
299,8700
116,960
1,60
S2
283,9400
83,9460
99,8300
300,1580
60,440
1,60
1,59
1,545
1,49
1,53
163
¡EN REVISIÓN! OH2
OH1
0,0000
200,0060
100,1440
299,8400
119,830
1,60
HI=
S3
293,7760
93,7840
99,8220
300,1760
116,950
1,60
OH1
0,0000
200,0100
100,1480
299,8440
119,830
1,60
S3
293,7780
93,7860
99,8200
300,1720
116,950
1,60
OH2
OH1
0,0000
200,0100
HI=
R1
345,1600
145,1700
99,7100
300,2780
89,850
1,60
R1
OH2
0,0000
200,0060
HI=
R2
286,5640
86,5700
100,0680
299,9220
37,523
1,60
1,445
R3
219,0380
19,0420
99,7460
300,2420
37,583
1,60
1,555
1,555
OH2
50,0000
250,0080
R2
336,5640
136,5740
100,0660
299,9200
37,526
1,60
R3
269,0360
69,0400
99,7480
300,2400
37,587
1,60
OH2
100,0000
300,0060
R2
386,5620
186,5700
100,0660
299,9200
37,525
1,60
R3
319,0380
119,0420
99,7480
300,2400
37,585
1,60
9.5.13. Para los datos del registro de la pregunta 9.5.12, calcular la poligonal en forma altimétrica y planimétrica, aplicando el método del transito.
164
¡EN REVISIÓN! 9.5.14. En una poligonal taquimétrica las tres primeras estaciones son A, B y C. En la estación B se encontró que la altura del instrumento (hi) no se midió sobre la estaca A. Encontrar a partir de las lecturas tabuladas, el valor faltante y calcular el nivel del terreno en C. Si en la estación A es de 83.44 metros, las constantes del instrumento son k = 100 y A = 0
Estación
Punto
Lectura vertical
A B B
B A C
+5º 42’ -5º 24’ -5º 24’
ángulo
Hilo superior
Hilo medio
Hilo inferior
2.43 1.68 1.68
2.07 1.34 1.44
1.71 1.00 1.20
Altura instrumental -1.28 1.28
165
¡EN REVISIÓN!
9.6 Respuestas problemas 9.5.1. Segmento AB AC AD AE
Acimut 34 29C 56 CC 166G 02C 31CC 252G 37C 53CC 310G 74C 85CC
Rumbo NE 34G 29C 56 CC SE 33G 97C 69 CC SO 52G 37C 53 CC NO 89G 25C 15 CC
G
Distancia 145,80 255,54 730,19 1014,42
9.5.2. ΔN= -81,228 metros , ΔE=-232,576 metros, ΔH= +49,284 m, NE-2=418,772 m, EE-2=267,423, cotaE-2=149,284m 9.5.3. Acimut BA= 325g ; CB= 355g ; CD= 205g ; Rumbo AB = SE 75g ; BC = SE 45g ; CD = SE 95g 9.5.4. . Rumbos CD FE ED BA BC
G
C
CC
NE 66 55 49 SE 08G 62C 15CC SE 88G 26C 30CC NE 87G 65C 16CC SE 77G 09C 54CC
Acimut CD FE ED BA BC
66G 55C 49 CC 191G 37C 85 CC 111G 73C 70 CC 87G 65C 96 CC 122G 90C 46CC
9.5.5. segmento
Acimut
AB BC CD DE BA CB DC ED
143,6131G 213,7521G 344,8328G 394,8057G
rumbo
NO 56,3869G NE 13,7521G SE 55,1672G SE 5,1943G
166
¡EN REVISIÓN! 9.5.6. segmento
Acimut
AB BC CD DE BA CB DC ED
rumbo
67º 52’ 67.00” 59º 38’ 10,75” 33º 54’ 03.60” 9º 46’ 04,76” 112º 07’ 42,84” 239º 39’ 10,75” 33º 54’ 03.60” 170º 13’ 55.24”
9.5.7. Ángulo horizontal =216g 76c 95cc , visando en cero grado al punto A, Distancia Horizontal = 714,167 m. 9.5.8. . norte este Cota H 10923,72 10491,29 199,25 J 10955,95 10544,04 199,38 Az(HJ)= 65,0836 Est H hi 1,55
Pto J P1 P4
J H hi P2 1,55 P3
Ang
Az 65,0836 275,55 340,6336 127,25 192,3336 265,0836 105,55 370,6336 217,45 82,5336
z
Hm
G
101,35 102,48
1,55 1,55
3,55 3,85
354,840386 11135,13667 10206,3081 384,416039 10542,08796 10537,4709
99,75 98,53
1,55 1,55
2,55 2,35
254,996068 11184,29405 10430,5412 234,874725 11019,58518 10770,13
P1 P2 P3 P4 P1
DH
Norte
Este
norte 11135,13667 11184,29405 11019,58518 10542,08796
este 10206,30809 10430,54116 2502377,25 10770,13003 3770095,11 10537,47093 -2508259,7 11135,13667 10206,30809 3589345,66 174866,995 Area Total
9.5.9. Aplicando el método de Bowditch: Nb =783,964, Eb = 1699,753; Nc = 533,973, Ec = 2099,800; Nd = 1283,974, Ed = 2049,871; Ne = 1183,989, Ee = 1199,949 Aplicando el método del Tránsito: Nb =783,955, Eb = 1699,788; Nc = 533,964 , Ec = 2099,851; Nd = 1283,979, Ed = 2049,855; Ne = 1183,980, Ee = 1199,983 167
¡EN REVISIÓN! 9.5.10. Est.
Pto
Ángulo horizontal
Acimut Preliminar
Acimut Corregido
distancia horizontal
corregido
Norte
Este
460,9
782,82
corregido
X
A
136,9648
A
B
289,48
226,4448
226,44362
129,352
-118,353
-52,198
-118,346
-52,188
342,555
730,632
B
C
137,61
164,0548
164,05244
81,7
-69,018
43,720
-69,014
43,729
273,541
774,361
C
D
258,90
222,9548
222,95126
101,112
-94,612
-35,668
-94,607
-35,661
178,934
738,700
D
E
175,99
198,9448
198,94008
94,273
-94,260
1,569
-94,255
1,570
84,679
740,270
E
Y
314,45
313,3948
313,3889 deltas entre A-E sumas
-376,242
-42,576
-376,222
-42,550
376,242
133,156
-376,222
-42,550
0,020
0,026
Acimut fíjo error angular
313,3889 -0,0059
Delta por coord. Fíjas errores
0,000
0,000
9.5.11. Norte V-iii = Este V-iii=
9798,29
Norte IX =
5779,84
Este IX =
15003,68
Est
Pto
V-iii
M1
5756,24
áng. Hz
norte M1= Este M1 = norte M5 = Este M5 =
Az 0
5168,24
Delta norte (M-1-M-5) =
616,28
10021,16
AZ Viii- M1 =
176,9353
5784,52
delta Este (M-1-M-5) =
3834,03
13855,19
Az M5-IX =
100,2594
Az Corr
176,9353
Dist.Hz
Delta Norte
Delta Este
Corr. D. N
Corr. D. E.
D. N. Corr.
D. E. Corr.
176,9353
Norte
Este
5168,24
10021,16
M1
M2
122,098
99,0333
99,03314
861,48
13,083
861,380
-0,000
-0,032
13,082
861,348
5181,322
10882,508
M2
M3
224,3349
123,3682
123,36788
1000,81
-359,165
934,141
-0,023
-0,035
-359,188
934,106
4822,133
11816,615
M3
M4
143,2798
66,648
66,64752
1212,89
606,760
1050,211
-0,040
-0,039
606,720
1050,171
5428,854
12866,786
M4
M5
211,3624
78,0104
78,00976
1050,49
355,689
988,440
-0,023
-0,037
355,665
988,403
5784,520
13855,19
M5
IX
222,2498
100,2602
100,2594
Sumatoria sin signo :
1334,698
3834,174
Sumatoria con signo :
616,368
3834,174
error acimutal de cierre 100.2602-100.2594 = Corrección =
0,0008
0,088
-0,00016
error D.N.
0,144 error D.E.
168
¡EN REVISIÓN! 9.5.12.
Respuestas registro de reiteración.
angulo horizontal
angulo vertical
Est
Pto
promedio
prom_red
Final
Prom
Final
Distancia Inclinada
Dist. Incl prom
Altura Prisma
OH1
S1
0,0050
0,0000
0,0000
99,7650
99,7660
120,870
120,8700
1,60
HI=
OH2
298,6640
298,6590
298,6585
99,8170
99,8183
119,830
119,8250
1,60
S1
0,0060
0,0000
99,7670
120,870
1,60
OH2
298,6640
298,6580
99,8195
119,820
1,60
S1
S2
0,0030
0,0000
0,0000
99,7370
99,7370
78,690
78,6950
1,60
HI=
OH1
288,0680
288,0650
288,0645
100,2000
100,1995
120,880
120,8750
1,60
S2
0,0040
0,0000
99,7370
78,700
1,60
OH1
288,0680
288,0640
100,1990
120,870
1,60
S2
S3
0,0050
0,0000
0,0000
99,9750
99,9760
60,430
60,4350
1,60
HI=
S1
235,5550
235,5500
235,5515
100,1220
100,1230
78,710
78,7050
1,60
S3
0,0040
0,0000
99,9770
60,440
1,60
S1
235,5570
235,5530
100,1240
78,700
1,60
S3
OH2
0,0030
0,0000
0,0000
100,1250
100,1255
116,960
116,9600
1,60
HI=
S2
283,9400
283,9370
283,9375
99,8380
99,8370
60,450
60,4450
1,60
OH2
0,0050
0,0000
100,1260
116,960
1,60
S2
283,9430
283,9380
99,8360
60,440
1,60
OH2
OH1
0,0030
0,0000
0,0000
100,1520
100,1520
119,830
119,8300
1,60
HI=
S3
293,7800
293,7770
293,7770
99,8230
99,8235
116,950
116,9500
1,60
OH1
0,0050
0,0000
100,1520
119,830
1,60
S3
293,7820
293,7770
99,8240
116,950
1,60
OH2
OH1
0,0050
0,0000
0,0000
HI=
R1
345,1650
345,1600
345,1600
R1
OH2
0,0030
0,0000
0,0000
HI=
R2
286,5670
286,5640
286,5640
1,59
1,545
1,49
1,53
1,555
99,7160
99,7160
89,850
89,850
1,60
100,0730
100,0730
37,523
37,525
1,60
1,555
169
¡EN REVISIÓN! 1,445
R3
219,0400
219,0370
219,0360
99,7520
99,7533
37,583
37,585
1,60
OH2
50,0040
0,0000
R2
336,5690
286,5650
100,0730
37,526
1,60
R3
269,0380
219,0340
99,7540
37,587
1,60
OH2
100,0030
0,0000
R2
386,5660
286,5630
100,0730
37,525
1,60
R3
319,0400
219,0370
99,7540
37,585
1,60
170
¡EN REVISIÓN! 9.5.13.
Est
Poligonal Altimétrica
Pto
CENITAL
Dist. Incl prom Altura Prisma
DIST. HZ
DESNIVEL
DESNIVEL FINAL
OH2 HI=
COTA
COTA_COMP
499,644 S3
99,8235
116,9500
1,60
116,9500
0,2792
S3
OH2
100,1255
HI=
S2
99,8370
116,9600
1,60
116,9600
-0,3006
60,4450
1,60
60,4450
0,0848
S2
S3
99,9760
60,4350
1,60
60,4350
-0,0872
HI=
S1
100,1230
78,7050
1,60
78,7050
-0,2621
S1
S2
99,7370
78,6950
1,60
78,6940
0,2701
HI=
OH1
100,1995
120,8750
1,60
120,8740
-0,4338
OH1
S1
99,7660
120,8700
1,60
120,8690
0,4343
HI=
OH2
99,8183
119,8250
1,60
119,8250
0,3321
OH1
100,1520
119,8300
1,60
119,8300
-0,3311
0,290
499,934
499,932
0,086
500,020
500,017
-0,266
499,754
499,749
-0,434
499,320
499,314
0,332
499,651
499,644
1,555
1,53
1,49
1,545
1,59 OH2 HI= 1,555
0,0074 ERROR
171
¡EN REVISIÓN!
Est R1 HI= 1,445
Pto
CENITAL
R2 R3
100,0730 99,7533
Dist. Incl prom
Altura Prisma
DIST. HZ
DESNIVEL
37,525 37,585
1,60 1,60
37,5250 37,5850
-0,1980 -0,0094
COTA 500,000 499,802 499,991
Poligonal Planimétrica
Est
Pto
HORIZONTAL
ACIMUT
OH2
OH1
0,0000
254,8400
HI=
S3
293,7770
148,6170
S3
OH2
0,0000
348,6170
HI=
S2
283,9375
232,5545
ACIMUT COMP.
DIST- HZ PROM
DELTA ESTE
DELTA NORTE
CORREGIDO DELTA E
DELTA N
COORDENADAS ESTE
NORTE
1000,000
2089,849
148,6192
116,9550
84,4738
-80,8866
84,4741
-80,8903
1084,474
2008,959
232,5589
60,4400
-29,5810
-52,7063
-29,5809
-52,7087
1054,893
1956,250
268,1126
78,6995
-69,0318
-37,7917
-69,0316
-37,7934
985,862
1918,457
356,1793
120,8715
-76,7838
93,3497
-76,7835
93,3455
909,078
2011,802
1,555
1,53 S2
S3
0,0000
32,5545
HI=
S1
235,5515
268,1060
S1
S2
0,0000
68,1060
HI=
OH1
288,0645
356,1705
1,49
1,545
172
¡EN REVISIÓN!
OH1
S1
0,0000
156,1705
HI=
OH2
298,6585
54,8290
OH1
0,0000
254,8290
54,8400
119,8275
90,9217
78,0505
90,9220
78,0470
ERROR
-0,0012
0,0155
0,0000
0,0000
SUMA
350,7921
342,7849
1000,000
2089,849
1,59 OH2 HI= 1,555
-0,0110 ERROR CIERRE=
Est
Pto
HORIZONTAL
ACIMUT
R1
OH2
0,0000
0,0000
R2
286,5640
286,5640
R3
219,0360
219,0360
9.5.14.
DIST- HZ PROM
COORDENADAS ESTE
NORTE
1000,0000
2000,0000
37,525
963,3080
1992,1390
37,585
988,9282
1964,0828
Altura instrumental = 1,38 m , Cota B = 90,60 m., Cota C = 85,95 m.
173
