B. DISTRIBUSI SAMPLING
Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean yang diambil secara berulang kali dari suatu populasi. Bila pada suatu populasi tak terhingga dilakukan pengambilan sampel secara acak berulang-ulang hingga semua sampel yang mungkin dapat ditarik dari populasi tersebut. Sampel yang diambil dari populasi terbatas dan sebelum dilakukan pengambilan sampel berikutnya sampel unit dikembalikan kedalam populasi.
Untuk mempelajari populasi kita memerlukan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Meskipun kita dapat mengambil lebih dari sebuah sampel berukuran n dari sebuah populasi berukuran N, pada prakteknya hanya sebuah sampel yang biasa diambil dan digunakan untuk hal tersebut. Sampel yang diambil ialah sampel acak dan dari sampel tersebut nilai-nilai statistiknya dihitung untuk digunakan seperlunya. Untuk ini diperlukan sebuah teori yang dikenal dengan nama distribusi sampling. Distribusi sampling biasanya diberi nama bergantung pada nama statistik yang digunakan. Demikianlah umpamanya kita kenal distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain. Nama-nama tersebut biasa disingkat lagi berturut-turut menjadi distribusi rata-rata, distribusi proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain.
DISTRIBUSI RATA-RATA
Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berkukuran terhingga N dengan parameter rata-rata µ dan simpangan baku σ. Dari populasi ini diambil secara acak berukuran n. Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian, kita tahu semuanya ada Nn buah sampel yang berlainan. Untuk semua sampel yang didapat, masing-masing dihitung rata-ratanya. Dengan demikian diperoleh Nn buah rata-rata. Anggap semua rata-rata ini sebagai data baru, jadi didapat kumpulan data yang terdiri atas rata-rata dari sampel-sampel. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata-rata daripada rata-rata, diberi simbol μx (baca: mu indeks eks garis), dan simpangan baku daripada rata-rata, diberi simbol σx (baca: sigma indeks eks garis).
Beberapa notasi :
n : ukuran sampel N : ukuran populasi
x : rata-rata sampel μ : rata-rata populasi
s : standar deviasi sampel σ : standar deviasi populasi
μx: rata-rata antar semua sampel
σx : standar deviasi antar semua sampel = standard error = galat baku
Contoh :
Diberikan sebuah populasi dengan N=10 yang datanya : 98, 99, 97, 98, 99, 98, 97, 97, 98, 99. Jika dihitung, populasi ini mempunyai µ = 98 dan σ = 0,78. Diambil sampel berukuran n=2 . Semuanya ada 102 = 45 buah sampel. Untuk setiap sampel kita hitung rata-ratanya. Data dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam daftar berikut ini.
Semua Sampel Berukuran n = 2
Rata-ratanya Diambil dari Populasi Berukuran N = 10
Sampel
Rata-rata
Sampel
Rata-rata
Sampel
Rata-rata
(98,99)
(98,97)
(98,98)
(98,99)
(98,98)
(98,97)
(98,97)
(98,98)
(98,99)
(99,97)
(99,98)
(99,99)
(99,98)
(99,97)
(99,97)
98,5
97,5
98
98,5
98
97,5
97,5
98
98,5
98
98,5
99
98,5
98
98
(99,98)
(99,99)
(97,98)
(97,99)
(97,98)
(97,97)
(97,97)
(97,98)
(97,99)
(98,99)
(98,98)
(98,97)
(98,97)
(98,98)
(98,99)
98,5
99
97,5
98
97,5
97
97
97,5
98
98,5
98
97,5
97,5
98
98,5
(99,98)
(99,97)
(99,97)
(99,98)
(99,99)
(98,97)
(98,97)
(98,98)
(98,99)
(97,97)
(97,98)
(97,99)
(97,98)
(97,99)
(98,99)
98,5
98
98
98,5
99
97,5
97,5
98
98,5
97
97,5
98
97,5
98
98,5
Jumlah semua rata-rata = 4410
Jumlah ke-45 buah rata-rata = 4.410. maka rata-ratanya untuk ke-45 rata-rata ini =4.41045=98.
Jadi, μx =98.
simpangan baku ke-45 rata-rata di atas juga dapat dihitung. Besarnya adalah:
σx =0,52
Tetapi rata-rata populasi μ=98 dan simpangan baku σ=0,78. Selanjutnya kita hitung:
σnN-nN-1=0,78210-210-1=0,52
μx = μσx =σn N-nN-1Ternyata berlaku bahwa:
μx = μ
σx =σn N-nN-1
X(1) …………….
μx = μσx =σnJika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka berlaku hubungan:
μx = μ
σx =σn
X(2) …………….
Untuk penggunaan, rumus (2) cukup baik apabila (n/N) 5%.
Jika sampel acak berukuran n diambil dari sebuah populasi berukuruan N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ, maka distribusi rata-rata sampel mempunyai rata-rata dan simpangan baku seperti dalam rumus (1) jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus (2) jika (n/N) 5%. σx dinamakan kekeliruan standar rata-rata atau kekeliruan baku rata-rata atau pula galat baku rata-rata. Ini merupakan ukuran variasi rata-rata sampel sekitar rata-rata populasi µ. σx mengukur besarnya perbedaan rata-rata yang diharapkan dari sampel ke sampel.
Dalil limit pusat :
Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata µ dan simpangan baku σ yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup besar, distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata μx = μ dan simpangan baku σx =σn.
z=x-μσx Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu distandarkan agar daftar distribusi noramal baku dapat digunakan. Ini perlu untuk perhitungan-perhitungan. Untuk ini digunakan transformasi.
z=x-μσx
X(3) ………………..
Contoh :
Tinggi badan mahasiswa rata-rata mencapai 165 cm dan simpangan baku 8,4 cm. Telah diambil sebuah sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata-rata ke-45 mahasiswa tersebut :
a). antara 160 cm dan 168 cm.
b). paling sedikit 166 cm.
Jawab:
Jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n= 45 tergolong sampel besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata-rata x untuk tinggi mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan :
Rata-rata μx = 165 cm
Simpangan baku σx = 8,445 cm = 1,252 cm.
Dari rumus X(3) dengan x = 160 cm dan x = 168 cm didapat :
z1=160-1651,252=-3,99 dan z2=168-1651,252=2,40
Penggunaan daftar distribusi normal baku memberikan luas kurva = 0,5 + 0,4918 = 0,9818.
Peluang rata-rata tinggi ke-45 mahasiswa antara 160 cm dan 168 cm adalah 0,9918.
Rata-rata tinggi paling sedikit 166 cm memberikan angka z paling sedikit = 166-1651,252=0,80
Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5-0,2881 = 0,2119. Peluang yang dicari = 0,2119
σx dApabila dari populasi diketahui variansnya dan perbedaan antara rata-rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan.
σx d
X(4) ………………….
Dari rumus X(4) ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-rata, dapat ditentukan.
Contoh :
Untuk contoh diatas, misalkan harga-harga x dari sampel yang satu dengan sampel yang lainnya diharapkan tidak lebih dari 1 cm.
Jika populasi cukup besar, maka :
σn d yang menghasilkan 8,4n 1
atau n 70,58.
Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71 mahasiswa.
DISTRIBUSI PROPORSI
Uraian untuk distribusi proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata-rata. Misalkan populasi diketahui berukuran N yang didalamnya didapat peristiwa A sebanyak Y di antara N. Maka didapat parameter proporsi A sebesar µ = (Y/N).
Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n dan dimisalkan didalamnya ada peristiwa A sebanyak x. Sampel ini memberikan statistik proporsi peristiwa A = x/n. Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka didapat sekumpulan harga-harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol µx/n.
Untuk ini ternyata bahwa, jika ukuran populasi kecil dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) > 5%, maka :
μxn=πσxn=π(1-π)nN-nN-1X(5) ………………
μxn=π
σxn=π(1-π)nN-nN-1
μxn=πσxn=π(1-π)ndan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) 5% maka :
μxn=π
σxn=π(1-π)n
X(6) ………………
σx/n dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi.
Untuk ukuran sampel n cukup besar, berlakulah sifat berikut :
Jika dari populasi yang berdistribusi binom dengan parameter π untuk peristiwa A, 0 < π < 1, diambil sampel acak berukuran n dimana statistik proporsi untuk peristiwa A (x/n), maka untuk n cukup besar, distribusi proporsi (x/n) mendekati distribusi normal dengan parameter seperti dalam rumus (5) jika (n/N) > 5%, dan seperti dalam rumus (6) jika (n/N) 5%.
z=xn-πσxn Seperi dalam distribusi rata-rata, disini pun akan digunakan n 30 untuk memulai berlakunya sifat di atas. Untuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan untuk itu diperlukan transformasi :
z=xn-πσxn
X(7) ………………
σxn d
Jika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :
X(8) ………………
Karena σx/n mengandung faktor π dengan π = parameter populasi, maka rumus (8) berlaku jika parameter π sudah diketahui besarnya. Jika tidak, dapat ditempuh cara konservatif dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yakni π (1 – π ) = ¼.
Contoh :
Ada petunjuk kuat bahwa 10% anggota masyarakat tergolong ke dalam golongan A. Sebuah sampel acak terdiri atas 100 orang telah diambil.
a) Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang itu akan ada paling sedikit 15 orang dari golongan A.
b) Berapa orang harus diselidiki agar persentase golongan A dari sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 2%?
Jawab:
Untuk ukuran sampel 100, diantaranya paling sedikit 15 tergolong kategori A, maka paling sedikit x/n = 0,15. Kekeliruan bakunya adalah :
σxn=π(1-π)n=0,10×0,90100=0,03
Bilangan z paling sedikit =0,15-0,100,03=1,67
Dari daftar normal baku, luasnya = 0,5 – 0,4525 = 0,0475.
Peluang dalam sampel itu aka nada paling sedikit 15 kategori A adalah 0,0475.
Dari rumus (8) dengan π = 0,1 dan 1 – π = 0,9 sedangkan d = 0,02, maka :
0,1+0,9n 0,02 yang menghasilkan n 225
Paling sedikit sampel harus berukuran 225.
DISTRIBUSI SIMPANGAN BAKU
Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N. Diambil sampel-sampel acak berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. Dari kumpulan ini sekarang dapat dihitung rata-ratanya, diberi simbolμs dan simpangan bakunya, diberi simbolσs.
Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n besar, biasanya n 100, sangat mendekati distribusi normal dengan :
μs=σ σs=σ2n
μs=σ
σs=σ2n
X(9) ………………
dengan σ = simpangan baku populasi.
z=s-σσsTransformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah:
z=s-σσs
X(10) ………………
Untuk populasi tidak berdistribusi normal dan untuk sampel berukuran kecil, n<100, rumus- rumusnya snngat sulit dan karena peggunaannya tidak banyak maka disini tidak dijelaskan lebih lanjut.
Contoh:
Varians sebuah populasi yang berdistribusi normal 6,25. Diambil sampel berukuran 225. Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan bakulebih dari 3,5.
Jawab:
Varians = 6,25 ber = 2,5. Ukuran sampel cukup besar, maka distribusi simpangan baku mendekati distribusi normal dengan rata-rata μs=2,5 dan simpangan baku σs=2,5450=0,118.
Bilangan z untuk s = 3,5 adalah
z=3,5-2,50,118=8,47
Praktis tidak menjadi sampel berukuran 225 dengan simpangan baku lebih dari 3,5.
