DISTRIBUSI PENDEKATAN
A. PENYELESAIAN DENGAN FUNGSI DISTRIBUSI
Misalkan
adalah fungsi distribusi dari peubah acak
bilangan positif n. Jika
adalah fungsi ditribusi dan
y yang mengakibatkan
kontinu, maka peubah acak
pendekatan dengnan fungsi
.
Dalam hal ini, peubah acak
mempunyai distribusi pendekatan. Jika
yang bergantung pada untuk setiap nilai
dikatakan mempunyai distribusi
tersebut hanya dikatakan mempunyai atau tidak
dikatakan mempunyai distribusi pendekatan, mak
bentuk distribusi pendekatan itu tidak diketahui. Penentuan distribusi pendekatan dengan menggunakan fungsi distribusi dapat
adalah barisan
peubah acak lain yang didefinisikan atas ruang sampel S. Peubah acak
dikatakan
dinyatakan sebagai konvergen dalam distribusi. Misalkan
darinpeubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel yang sama S. Misalkan pula Z adalah
konvergen dalam distribusi ke-Z, jika berikut:
B. PENYELESAIAN DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Misalkan peubah acak
mempunyai fungsi distribusi
momennya M(t;n) ada, untuk – h < t < h, h > 0 dan setiap n. Jika ada fungsi distribusi
sedemikian hingga:
Maka
dan fungsi pembangkit
dan fungsi pembangkit momennya M(t), untuk
dikatakan mempunyai distribusi pendekatan dengan fungsi distribusi F(y)
| |
C. PENYELESAIAN DENGAN DALIL LIMIT PUSAT
Dalam hal ini, peubah acaknya berupa jumlah dan rata-rata dengan menggunakan transformasi tertentu (angka baku) akan berdistribusi normal baku. Jika menunjukan sampel acak dari distribusi yang mempunyai rerata µ dan , maka peubah acak:
̅
∑ √
Keduanya akan berdistribusi N(0;1) Biasanya yang akan diperhatikan dalam soalnya adalah penghitungan peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu.
D. KONVERGEN STOKASTIK
Misalkan merupakan fungsi distribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan positif n. Apabila c menunjukkan sebuah konstanta yang tidak bergantung pada n, maka peubah acak Y n dikatakan konvergen stokastik ke-c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 berlaku
|| |
Penentuan konvergen stokastik sebuah statistik terhadap parameternya atau konstanta dapat dinyatakan sebagai konvergen dalam peluang. Misalkan adalah barisan dari peubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel yang sama S. Misalkan pula Z adalah peubah acak lain yang didefinisikan atas ruang sampel S.
Peubah acak setiap > 0 berlaku
dikatakan konvergen dalam peluang ke-Z ( dituli
|| |
Z ), jika untuk
Penentuan konvergen stokastik atau konvergen dalam peluang dilakukan dengan bantuan pertidaksamaan Chebycev ssebagai berikut
|| |
|| |
Ada beberapa dalil yang berkaitan dengan konvergen stokastik
konvergen stokastik ke-1.
Dalil 2 : Misalkan menunjukkan fungsi disttribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan bulat positif n. Jika konvergen stokastik ke- c (c ≠ 0) dan
(c ≠ 0), maka
Dalil 1 : Misalkan menunjukkan fungsi disttribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan bulat positif n. Jika konvergen stokastik ke- c
untuk setiap n, maka
konvergen stokastik ke-
√
.
Dalil 3: Jika peubah acak dan konvergen stokastik masing-masing ke konstanta c dan d , maka: a. , konvergen stokastik ke konstanta c, d . b.
konvergen stokastik ke konstanta
, dengan d ≠ 0.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
Misalkan Y menunjukkan rjumlah data pengamatan dari sampel acak berukuran 12 yang berasal dari distribusi dengan fkp berbentuk: f(x) = 1/6; 1/6; x=1, 2, 3, 4, 5, 6.
∑ ∑
Hitung secara pendekatan
.
Penyelesaian:
Kita menghitung dulu µ=E(X) dan
2
= Var(X)
a. µ=E(X) = b.
Jadi, 2 = Var (x)= Jadi,
(√ )( √ )(√ √ )) (√ )( ) )(√ ) √
Soal
̅ ̅
1. Misalkan
̅
menunjukkan rata-rata dari sampel acak berukuran n yang berasal dari
distribusi N(µ, 2). Apakah mempunyai distribusi pendekatan? 2. Misalkan merupakan varians dari sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusi N
buktikan bahwa
{ ̅ ̅ konvergen stokastik ke -
.
3. Misalkan menunjukkan rerata dari sampel acak berukuran 25 yang berasal ari distribusi dengan fkp berbentuk:
Hitung secara pendekatan P(1,5 < 4. Misalkan distribusi
̅
< 1,65)
menunjukkan rerata dari sampel acak berukuran 100 yang berasal dari . Hitung secara pendekatan P(49 < < 51)
