STATISTIKA MATEMATIKA 1 Distribusi Random Kontinu Khusus Distribusi Beta
Kelompok 10 PMtk 3C 1.
Anis Fajriyah
(1714500019)
2.
Nur Farkhanah Ramadhani
(1714500060)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL 2015
DISTRIBUSI BETA
Definisi Suatu variabel random X dikatakan memiliki variabel beta atau terdistribusi beta, dengan parameter α dan β, jika X mempunyai fdp berbentuk:
− − − − − − 1
( )=
1
( , ) 0,
(1
1
)
,
0<
<1
Dimana B(α,β) B(α,β) adalah fungsi beta yang didefinisikan sebagai :
( , )=
1
1
0
(1
1
)
α > 0, β > β > 0
Fungsi beta berkaitan dengan fungsi gamma yang dihubungkan oleh
− − −
distribusi beta dengan parameter α dan β
( , )=
( ) ( ) ( + )
Sehingga distribusi beta juga dapat didefinisikan oleh fungsi kepadatan : 1
( )=
( + )
1
( )
0
(
1)
1
Mean dan variansi dari distribusi beta dengan de ngan parameter α dan β adalah : adalah :
a. Mean
=
+
b. Variansi 2
=
+
2(
+
+ 1)
Contoh Soal
1. Jika X peubah acak berdistribusi beta dengan parameter α = 1 dan β = 4, maka hitung: a. Fdp b. Rata-rata dan variansi Penyelesaian : a. Fdp
− − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − 1
=
1
1
1
,
,
0,
1
( )=
1
(1
)
1
(1
)
1
(1
)4
( ) ( + ) 0, ( + )
=
1
( )
,
,
0,
(1 + 4)
=
1
1 1
(4)
1
,
0,
(5)
=
1
0
(4)
)3 ,
(1
0<
0,
5
=
1
1 !
1 ! 4
4!
= 0!3!
1 ! 0,
)3 ,
(1
)3 ,
(1
0<
<1
0,
4.3.2.1
= 1.3.2.1
)3 ,
(1
0<
0,
=
)3 ,
4 4 (1
0<
0,
b. Rata-rata dan variansi =
+
=
1
1+4
=
1 5
= 0,2
<1
0<
<1
<1
0<
<1
0<
<1
0<
<1
<1
0<
<1
2
2
= =
+
2
+
+1
(1)(4)
1 + 4 2( 1 + 4 + 1 )
3
=
5 2 (6)
=
3 (25)(6)
=
3 150
= 0,0 0,02
2. Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu proyek berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1, 1 , maka: a. Berapakah peluang waktu penyelesaian paling sedikit 0,7? b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut? Penyelesaian :
a. P(x
≥ − − − 1
0,7 0,7) =
( + )
0,7
(3 + 1) 3
0,7
4
3
0,7 1
=
3
0,7
(
2
1 !
1 ! (1
1
3!
2
1)!
2
2!0!
− − 1
=
1)
(1)
4
0,7
=
3 1
(1)
1
=
(
− − − − − 1
=
1
( )
0,7
6
2
2 1
2
=3
0,7
1
=3 =3 =3
3
1
1 3
3
1
0,343
3
3
0,657 3
= 0.657
0,73
1)1
−
1
1
b. Rata-rata dan variansi
Rata-rata
=
=
+
3
3+1
=
3 4
= 0,75 ,75
Variansi 2
=
2
2
+
+
+1
(3)(1)
=
3 + 1 2( 3 + 1 + 1 )
=
3
4 2 (5)
=
3 (16)(5)
1
0,
a. Berapa nilai alfa dan beta dari variabel di atas? b. Berapa nilai C nya? c. Berapa rata-rata dan variansinya? Penyelesaian :
a. Fungsi kepadatan (fdp) dari distribusi beta adalah
− 1
( )=
1
( , )
0,
(1
− − )
1
, 0<
<1
maka dari fdp pada soal di atas, diperoleh :
α – 1 1 = 3 α = 3+1 α = 4
β – 1 1 = 2 β = 2+1 β = 3
Jadi, α = 4 dan β = 3
b. Nilai C
=
1
,
3 80
= 0,03 0,0375 75
− 3
3. Misalkan variabel acak memiliki fdp: ƒ(x) =
=
2
, 0 <
<1
− − − 1
=
+
+
=
4+3
=
4
3
7
=
4
3
7
=
4
1 !
1 ! 3
1 !
6!
=
3! 2! 6 × 5 × 4 × 3! 3!
=
3! 2
= 60
c. Rata-rata dan variansi
Rata-rata
=
4+3
=
4 7
= 0,57 0,571 1
2
=
1
+
+1
(4)(3)
=
4 + 3 2( 4 + 3 + 1 )
)4 =
(1
2
+
− 0
4
Variansi 2
4. 2
+
=
=
12
7 2 (8)
=
12 12 = = 0,03 0,0306 06 (49)(8) 392
(9,5) , berapa B (9,5)?
Penyelesaian :
α β
B
,
=
B 9,5 9,5 =
+
9
5
9+5
=
8!4! 13!
=
8! × 24 13×12×11×10×9×8!
=
1 6435
DAFTAR PUSTAKA
Edward J. Dudewicz dan Satya N. Mishra, Mishra , 1995, Schaum’s Outlines of Statistika Matematika Modern,
Bandung, Penerbit ITB.
http://aeunike.lecture.ub.ac.id/files/2013/10/5-Distribusi-Peluang-Kontinyu.pdf http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/ http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEN D._MATEMATIKA/1952021219 1952021219 74121-MAMAN_SUHERMAN/Statistik_5.pdf
