Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Bab 2 Distribusi Multivariat Multivariat
2.1 2.1
Dist Distri ribu busi si Biv Bivaria ariat t
Definisi 1 (Vektor Acak Bivariat) Diberikan percobaan acak dengan ruang sampel S. Misal X 1 dan X 2 variabel acak yang terdefinisi di S. Vektor bivariat adalah fungsi Vektor acak bivariat 2 bernilai vektor di R yang terdefinisi pada ruang sampel S, S, dinotasikan dengan X =
X 1
X 2
atau X = (X 1 , X 2 ).
Ruang atau space dari X adalah himpunan pasangan terurut yang beranggotakan semua nilai-nilai yang mungkin dari X,
D = {(x1 , x2 ); x1 = X 1 (c), x2 = X = X 2 (c), c ∈ S } ⊆ R2
Contoh 1. Misal koin koin dengan permuk permukaan gambar gambar (G (G ) dan angka (A (A), dan dadu dilantunkan secara bersamaan, maka ruang sampel percobaan acak tersebut adalah S = = {c1 = (G, 1), 1), c2 = (G, 2), 2), c3 = (G, 3), 3), c4 = (G, 4), 4), c5 = (G, 5), 5), c6 = (G, 6), 6), c7 = (A, 1), 1), c8 = (A, ( A, 2), 2), c9 = (A, 3), 3), c10 = (A, 4), 4), c11 = (A, 5), 5), c12 = (A, 6)}. Jika X Jika X 1 variabel acak menyatakan permukaan koin dan X dan X 2 menyatakan permukaan dadu, maka X 1 dan X 2 masing-masin masing-masingg dapat didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai fungsi fungsi bernilai real yang yang didefinisikan dengan
X 1 (c) =
1,
c = c = c , c , . . . , c 0, c = c = c , c , . . . , c 1
2
6
7
8
12
dan
1, 2, 3, X (c) = 4, 56,, 2
c = c = c c = c = c c = c = c c = c = c c = c = c c = c = c
1 2 3 4 5 6
,c ,c ,c ,c ,c ,c
7 8 9
10 11 12
Misal D himpunan pasangan terurut yang didefinisikan sebagai
D = {(x1 , x2 ); x1 = 0, 1 dan x dan x 2 = 1, 1 , 2, . . . , 6} maka fungsi vektor X =
X 1
X 2
: S → D, merupakan vektor acak bivariat.
Distribusi vektor acak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi (cdf) gabungan. Definisi Definisi cdf gabungan gabungan hampir serupa serupa dengan dengan definisi definisi cdf variabel variabel acak. Perbedaan Perbedaan hanya hanya 2 terjadi pada domainnya saja, dari R menjadi R × R atau R .
1
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Definisi 2 (Fungsi distribusi gabungan) Fungsi distribusi (cdf) gabungan dari vektor acak (X 1 , X 2 ) adalah fungsi yang terdefinisi di R2 yang memetakan setiap area ( −∞, x1 ] × (−∞, x2 ] ∈ R2 ke F (x1 , x2 ) ∈ [0, 1] dengan aturan F (x1 , x2 ) = P (X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 ) dengan P (X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 ) = P ({X 1 ≤ x1 } ∩ {X 2 ≤ x2 }). Fungsi distribusi F (x1 , x2 ) dapat digunakan untuk menghitung peluang dari peristiwa (a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] ⊂ D, yaitu P (a1 < X 1 ≤ b1 , a2 < X 2 ≤ b2 ) = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) Seperti pada variabel acak, distribusi vektor acak terbagi dua jenis, diskrit dan kontinu. Distribusi diskrit ditandai oleh ruang D yang berhingga atau tak berhingga tetapi countable . Sementara itu, distribusi kontinu ditandai oleh ruang D yang kontinu dan cdf gabungan yang kontinu. Untuk kasus diskrit, distribusi vektor acak juga dapat dinyatakan dalam bentuk pmf gabungan yang didefiniskan sebagai berikut: Definisi 3 (Fungsi peluang massa gabungan) Misal (X 1 , X 2 ) vektor acak dengan ruang D. Fungsi massa peluang (pmf) gabungan didefinisikan sebagai fungsi p(x1 , x2 ) = P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ) untuk setiap (x1 , x2 ) ∈ D, yang memenuhi dua syarat: 0 ≤ p(x1 , x2 ) ≤ 1
(i).
dan
(ii).
p(x , x ) = 1 1
2
(x1 ,x2 )∈D
Peluang dari peristiwa B ⊆ D, dapat dihitung dengan menjumlahkan nilai-nilai pmf p(x1 , x2 ) di setiap (x1 , x2 ) yang mungkin, yang berada di B, atau
P [(X , X ) ∈ B] = p(x , x ). 1
2
1
2
(x1 ,x2 )∈B
Hubungan antara cdf gabungan dengan pmf gabungan adalah F (x1 , x2 ) =
p(w , w ) 1
2
w1 ≤x1 w2 ≤x2
Definisi 4 (pmf marjinal) Misal vektor acak (X 1 , X 2 ) mempunyai pmf gabungan p(x1 , x2 ). Jika DX dan DX masing-masing ruang untuk X 1 dan X 2 , maka pmf marjinal untuk X 1 adalah p(x1 ) = p(x1 , x2 ), x1 ∈ DX 1
2
1
x2 ∈DX2
dan pmf marjinal untuk X 2 adalah p(x2 ) =
p(x , x ), 1
x1 ∈DX1
2
2
x2 ∈ DX
2
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Dengan kata lain, ketika penjumlahan pmf gabungan dilakukan hanya di sepanjang x2 ∈ DX , pmf p(x1 , x2 ) merupakan fungsi dari x 1 saja dan fungsi tersebut disebut pmf marjinal untuk X 1 . Sebaliknya, ketika penjumlahan pmf gabungan dilakukan hanya di sepanjang x2 ∈ DX , pmf p(x1 , x2 ) merupakan fungsi dari x2 saja dan fungsi tersebut disebut pmf marjinal untuk X 2 . 2
1
Contoh 2. Berikut contoh pmf gabungan dari (X 1 , X 2 ) dan pmf marjinalnya, p 1 (x1 ) dan p2 (x2 ). x1
x1 x2
1
2
3
1
1 10 1 10
1 10 2 10
2 10 3 10
2
⇒
x2
1
2
3
p2 (x2 )
1
1 10 1 10 2 10
1 10 2 10 3 10
2 10 3 10 5 10
4 10 6 10
2 p1 (x1 )
Dalam hal ini, pmf marjinal 1 10
1 10
2 10
1
1 10
2 10
3 10
1
2 10
3 10
5 10
1
p(1, 1) + p(1, 2) = + = , jika x = 1 p (x ) = p(2, 1) + p(2, 2) = + = , jika x = 2 p(3, 1) + p(3, 2) = + = , jika x = 3, dan p(1, 1) + p(2, 1) + p(3, 1) = + + = , jika x = 1 p (x ) = p(1, 2) + p(2, 2) + p(3, 2) = + + = , jika x = 2. 1
2
1
2
1 10
1 10
2 10
4 10
2
1 10
2 10
3 10
6 10
2
Definisi 5 (pdf gabungan) Misal vektor acak (X 1 , X 2 ) mempunyai cdf gabungan F (x1 , x2 ). Jika F kontinu dan terintegralkan terhadap x1 dan x2 maka fungsi ∂ 2 F (x1 , x2 ) ∂x 1 ∂x 2
f (x1 , x2 ) =
disebut fungsi densitas peluang (pdf) gabungan dari (X 1 , X 2 ). Ciri-ciri dari pdf gabungan f (x1 , x2 ) adalah (i).
f (x1 , x2 ) ≥ 0
dan
(ii).
f (x1 , x2 ) dx = 1
(x1 ,x2 )∈D
Untuk kasus kontinu, cdf F (x1 , x2 ) dapat dinyatakan dalam bentuk integral lipat dua, yaitu F (x1 , x2 ) =
x1
x2
−∞
−∞
3
f (w1 , w2 ) dw 1 dw2
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
untuk setiap (x1 , x2 ) ∈ R2 . Sementara itu, peluang dari peristiwa B ⊆ D, dapat dihitung dengan mengintegralkan pdf f (x1 , x2 ) di setiap (x1 , x2 ) yang mungkin, yang berada di B , atau
P [(X 1 , X 2 ) ∈ B] =
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 .
(x1 ,x2 )∈B
Nilai P [(X 1 , X 2 ) ∈ B] dapat diinterpretasikan sebagai volume di bawah permukaan z = f (x1 , x2 ) yang dibatasi pada area B .
Contoh 3. Misalkan pdf dari vektor acak (X 1 , X 2 ). f (x1 , x2 ) =
2 1 2
6x x 0
, 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1 , x1 , x2 lainnya,
maka P (0 < X 1 <
3 1 4, 3
2
3/4
< X < 2) = 2
1/3
0
1
3/4
=
1/3
0
f (x1 , x2 ) dx 1 dx2 6x21 x2
2
3/4
dx1 dx2 +
1
0 dx1 dx2
0
3 3 = + 0 = 8 8 Definisi 6 (pdf marjinal) Misal (X 1 , X 2 ) vektor acak dengan pmf gabungan f (x1 , x2 ). Jika DX dan DX masing-masing ruang untuk X 1 dan X 2 , maka pdf marjinal untuk X 1 adalah ∞ f (x1 ) = f (x1 , x2 ) dx 2 , x1 ∈ DX 1
2
1
−∞
dan pdf marjinal untuk X 2 adalah ∞
f (x2 ) =
f (x1 , x2 ) dx 1 ,
x2 ∈ DX
2
−∞
Contoh 4. Misal X 1 dan X 2 mempunyai pdf gabungan f (x1 , x2 ) =
x + x 1
0
2
, 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1 , x1 , x2 lainnya
maka pdf marjinal untuk X 1 1
f 1 (x1 ) =
0
(x1 + x2 )dx2 = x 1 + 12 ,
dan 0 untuk yang lainnya.
4
0 < x1 < 1
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Sementara itu, pdf marjinal untuk X 2 1
f 2 (x2 ) =
1 2
(x1 + x2 )dx1 =
0
+ x2 ,
0 < x2 < 1.
dan 0 untuk yang lainnya. Peluang P (X 1 ≤ 12 ) dapat dihitung berdasarkan f (x1 , x2 ) atau berdasarkan f (x1 ) P (X 1 ≤
1 2)
1/2
=
1
0
1/2
f (x1 , x2 ) dx2 dx1 =
0
1/2
f 1 (x1 ) dx2 =
0
0
(x1 + 12 ) dx2 =
3 8
Tetapi, untuk menghitung peluang P (X 1 + X 2 ≤ 1) hanya dapat didasarkan pada pdf gabungan f (x1 , x2 ). 1
1−x1
P (X + X ≤ 1) = (x + x )dx dx (1 − x ) = x (1 − x ) + dx 2 1 1 1 1
2
1
0
2
2
1
0
1
1
1
1
2
1
0
1
=
2
0
− x21 dx1 = . 2 3
Ekspektasi. Konsep ekspektasi dari variabel acak dapat diperluas untuk kasus vektor acak. Sifat linieritas ekspektasi berlaku juga pada kasus vektor acak. Definisi 7 (Ekspektasi fungsi dua variabel acak) Misal (X 1 , X 2 ) vektor acak dan Y = g(X 1 , X 2 ) fungsi bernilai real ( g : R2 → R). (a) Jika (X 1 , X 2 ) kontinu dan ∞
∞
−∞
−∞
|g(x1 , x2 )| f (x1 , x2 ) dx1 dx2 < ∞,
maka E [Y ] ada dan E [Y ] =
∞
∞
−∞
−∞
g(x1 , x2 )f (x1 , x2 ) dx 1 dx2
(b) Jika (X 1 , X 2 ) diskrit dan
|g(x , x )| f (x , x ) < ∞, 1
x1
2
1
2
x2
maka E [Y ] ada dan E [Y ] =
g(x , x )f (x , x ) 1
x1
x2
5
2
1
2
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Teorema 1 (Ekspektasi sebagai operator linier) Misal (X 1 , X 2 ) vektor acak. Misalkan pula Y 1 = g(X 1 , X 2 ) dan Y 2 = g(X 1 , X 2 ) variabel-variabel acak yang mempunyai ekspektasi. Jika k1 , k2 bilangan real sembarang, maka E [k1 Y 1 + k2 Y 2 ] = k 1 E [Y 1 ] + k2 E [Y 2 ] Misal (X 1 , X 2 ) vektor acak. Ekspektasi E [g(X 2 )] dapat dihitung dalam dua cara: E [g(X 2 )] =
∞
∞
−∞
−∞
atau
g(x2 )f (x1 , x2 ) dx1 dx2 ∞
E [g(X 2 )] =
g(x2 )f (x2 ) dx2 .
−∞
Persamaan terakhir diperoleh karena ∞
∞
−∞
−∞
∞
g(x )f (x , x ) dx dx = 2
1
2
1
2
∞
g(x2 )
−∞ ∞
=
f (x1 , x2 ) dx 1 dx2
−∞
g(x2 )f (x2 ) dx2 .
−∞
Contoh 5. Misal X 1 dan X 2 mempunyai pdf gabungan f (x1 , x2 ) =
8x x
1 2
0
, 0 < x1 < x2 < 1 , untuk yang lainnya.
Tentukan E [X 1 X 22 ], E [X 2 ], dan E [7X 1 X 22 + 5X 2 ]. Penyelesaian.
Berdasarkan Definisi 7, E [X 1 X 22 ]
∞
∞
−∞
−∞
= 1
x2
=
0
dan
1
E [X 2 ] =
(8x21 x32 ) dx 1 dx2 =
x2
0
0
x1 x22 f (x1 , x2 ) dx1 dx2 1
0
1
x2 (8x1 x2 ) dx1 dx2 =
0
0
8 6 3 x2
dx2 =
8 , 21
x2 (4x32 ) dx2 =
4 . 5
Akibatnya, 8 E [7X 1 X 22 + 5X 2 ] = 7E [X 1 X 22 )] + 5E [X 2 ] = (7)( 21 ) + (5)( 54 ) =
20 . 3
Contoh 6. Misal X 1 dan X 2 mempunyai pdf gabungan seperti pada Contoh 5. Jika Y = X 1 /X 2 , tentukan E [Y ] dengan dua cara, berdasarkan pdf marjinal dari Y, dan berdasarkan Definisi 7.
6
Nunung Nurhayati
Penyelesaian.
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Lihat Hogg, et al. (2005, hal. 81).
Definisi 8 (Ekspektasi vektor acak) Misal X = (X 1 , X 2 ) vektor acak. Jika E [X 1 ] dan E [X 2 ] ada maka vektor E [X 1 ] E [X] = E [X 2 ]
disebut nilai ekspektasi dari vektor acak X.
Mean dan matriks variansi-kovariansi. Misal X = (X 1 , X 2 ) vektor acak. Jika mean µ1 = E [X 1 ] dan µ 2 = E [X 2 ] ada, maka vektor µ
= E [X] =
µ E [X ] 1
µ2
=
1
E [X 2 ]
disebut mean dari X, dan matriks Cov(X ) = E [(X − µ)(X − µ) ] disebut matriks variansi-kovariansi dari vektor acak X. Definisi 9 (mgf vektor acak) Misal X = (X 1 , X 2 ) vektor acak. Jika E [et untuk |t1 | < h1 dan |t2 | < h2 , dengan h1 dan h2 bilangan real positif, maka M (t1 , t2 ) = E [et
1
X 1 +t2 X 2
1
X 1 +t2 X 2 ]
ada
]
disebut fungsi pembangkit momen (mgf) dari X. Seperti pada variabel acak, jika mgf dari X ada maka mgf menentukan distribusi dari X secara tunggal. Dalam notasi vektor, mgf dari X dapat ditulis
M (t) = E [et X ] dengan t = (t1 , t2 ). Dari Definisi 9, mgf marjinal untuk X 1 dan X 2 masing-masing dapat dinyatakan sebagai M (t1 ) = M (t1 , 0) dan M (t2 ) = M (0, t2 ).
Contoh 7. Misal X dan Y variabel acak dengan pdf gabungan f (x, y) =
e
−y
, 0 < x < y < ∞ 0 , x , y lainnya.
Tentukan mgf marjinal dan pdf marjinal untuk X dan Y.
7
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
Dari Definisi 9, mgf dari X dan Y adalah
Penyelesaian.
∞
M (t1 , t2 ) =
∞
0
=
exp(t1 x + t2 y − y) dydx
x
1 (1 − t1 − t2 )(1 − t2 )
dengan syarat t 1 + t2 < 1 dan t2 < 1. Akibatnya, mgf marjinal untuk X dan Y adalah 1 , t1 < 1 1 − t1 1 M (0, t2 ) = , t2 < 1 (1 − t2 )2 M (t1 , 0) =
Berdasarkan pdf gabungannya, pdf marjinal untuk X adalah ∞
f 1 (x) =
∞
f (x, y) dy =
e−y dy = e −x ,
0 < x < ∞
x
−∞
dan 0 untuk x lainnya. Sementara itu, pdf marjinal untuk Y adalah y
∞
f 2 (y) =
f (x, y) dx =
−∞
−y
e
dy = e
0
−y
y
dy = ye −y ,
0 < y < ∞.
0
dan 0 untuk y lainnya.
Latihan
1. Misal pdf dari X 1 dan X 2 adalah f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan P (0 < X 1 < 12 , 14 < X 2 < 1), P (X 1 = X 2 ), P (X 1 < X 2 ), dan P (X 1 ≤ X 2 ). Petunjuk. P (X 1 = X 2 ) dapat diinterpretasikan sebagai volume di bawah permukaan f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 dan di atas garis 0 < x1 = x 2 < 1 pada bidang x1 x2 . 2. Misal D ruang dari vektor acak (X 1 , X 2 ). Misalkan pula A 1 = {(x, y) : x ≤ 2, y ≤ 4}, A2 = {(x, y) : x ≤ 2, y ≤ 1}, A3 = {(x, y) : x ≤ 0, y ≤ 4}, dan A4 = {(x, y) : x ≤ 0, y ≤ 1} merupakan subset dari D. Jika P (A1 ) = 78 , P (A2 ) = 48 , P (A3 ) = 38 , dan P (A4 ) = 28 , tentukan P (A5 ) dengan A 5 = {(x, y) : 0 < x ≤ 2, 1 < y ≤ 4}. 3. Misal pdf dari X dan Y adalah f (x, y) = e−x−y , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞, dan 0 untuk yang lainnya. Jika Z = X + Y, tentukan P (Z ≤ 0), P (Z ≤ 6), dan secara umum P (Z ≤ z), untuk 0 < z < ∞. Tentukan pula pdf dari Z. 4. Misal pdf dari X dan Y adalah f (x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 1, dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan cdf dan pdf dari dari Z = X Y. 5. Misal 13 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari satu set kartu remi. Jika X menyatakan banyaknya ♠ di antara 13 kartu yang terambil, tentukan pmf dari X. Selanjutnya, jika Y menyatakan banyaknya ♥ di antara 13 kartu yang terambil, tentukan P (X = 2, Y = 5). Tentukan pula pmf gabungan dari X dan Y . 8
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed
6. Misal variabel acak X 1 dan X 2 mempunyai pmf gabungan berikut: (x1 , x2 )
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
f (x1 , x2 )
2 12
3 12
2 12
2 12
2 12
1 12
dan f (x1 , x2 ) = 0 untuk yang lainnya. (a) Tulis peluang-peluang tersebut dalam bentuk tabel seperti pada Contoh 2. Lengkapi tabel tersebut dengan pdf marjinal untuk X 1 dan X 2 . (b) Hitung P (X 1 + X 2 = 1) 7. Misal X 1 dan X 2 mempunyai pdf gabungan f (x1 , x2 ) = 15x21 x2 , 0 < x1 < x2 < 1, dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan pdf marjinal untuk X 1 dan X 2 , dan hitung P (X 1 + X 2 ≤ 1). 8. Misal X 1 dan X 2 mempunyai pmf gabungan p(x1 , x2 ) = (x1 +x2 )/12, untuk x1 = 1, 2, x2 = 1, 2, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung E [X 1 ], E [X 12 ], E [X 2 ], E [X 22 ], dan E [X 1 X 2 ]. Apakah E [X 1 X 2 ] = E [X 1 ]E [X 2 ]? Tentukan E [2X 1 − 6X 22 + 7X 1 X 2 ]. 9. Misal X 1 dan X 2 dua variabel acak dengan pdf gabungan f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung E [X 1 ], E [X 12 ], E [X 2 ], E [X 22 ], dan E [X 1 X 2 ]. Apakah E [X 1 X 2 ] = E [X 1 ]E [X 2 ]? Tentukan E [3X 2 − 2X 12 + 6X 1 X 2 ]. 10. Misal X 1 dan X 2 dua variabel acak dengan pmf gabungan p(x1 , x2 ) = (1/2)x +x , untuk x1 , x2 = 1, 2, 3, . . . , dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan mgf gabungan dari X 1 dan X 2 . Tunjukkan bahwa M (t1 , t2 ) = M (t1 , 0)M (0, t2 ). 1
2
11. Misal X 1 dan X 2 dua variabel acak dengan pdf gabungan f (x1 , x2 ) = x 1 e−x , untuk 0 < x1 < x2 < ∞ , dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan mgf gabungan dari X 1 dan X 2 . Tunjukkan bahwa M (t1 , t2 ) = M (t1 , 0)M (0, t2 ). 2
12. Misal X dan Y mempunyai pdf gabungan f (x, y) = 6(1 − x − y), x + y < 1, x > 0, y > 0, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung P (2X + 3Y < 1) dan E [XT + 2X 2 ].
9
