Facultad de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones
Sea
Experimento Aleatorio Variable Aleatoria
ε:
X:
Espacio Muestral Probabilidad asignada
Ω:
p(xi):
a xi E[x]: V(x) =
Valor Esperado, Esperanza o Media de la variable aleatoria x Varianza de la variable aleatoria x
σ2 :
Entonces:
E x
n
x px i
i
i 1
V x
2
E x
2
E x
E x
2
2
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS
1.
2.
Encontrar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria x = número de caras que se obtienen al lanzar una moneda tres veces, asimismo hallar la Esperanza y Varianza de dicha variable. La demanda de un libro en una librería conocida tiene una distribución de probabilidad siguiente:
X: Nro. de ejemplares pedidos p(x)
3.
4.
5.
6.
7.
0
10
20
30
40
50
60
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
¿Calcular el número esperado de libros vendidos y su desviación estándar, interprete? Si un Empresario va emprender un negocio donde, puede tener un beneficio de $ 300 con probabilidad de 0.6 o una pérdida de $ 100 con probabilidad de 0.4. Si Ud. es su asesor de negocios ¿debe o no incursionar en el negocio?. A un distribuidor de software para computadoras se le ofrece un embarque evaluado en $ 35000. Las posibilidades de que venda el software en $ 39000, $ 37 000, $ 35 000 o $ 33 000 son de 0.25, 0.50, 0.15 y 0.10, ¿Cuál es la utilidad bruta esperada? Un piloto de automóviles de carreras estima que las posibilidades de que se presenten 0, 1, 2 o 3 fallas durante una carrera larga son 0.33, 0.28 y 0.15. La probabilidad de que haya más de tres fallas es insignificante. ¿Cuántas fallas puede esperar el piloto durante una carrera? Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de siete mil soles, una ganancia de cuatro mil soles soles o una pérdida de 10 mil soles con probabilidades 0.55, 0.20 y 0.25, respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista. A continuación se muestra la distribución de probabilidades del número de días que mujeres embarazadas permanecen en una maternidad después de dar a luz X: Nro. de días de permanencia P(x)
1
2
3
4
5
6
0.10
0.40
0.30
0.10
0.05
0.05
Una mujer que acaba de ingresar al hospital a dar a luz ¿cuántos días se espera que permanezca allí?
Asignatura: Estadística II
Docente: Ing. Perci Huaringa H.
Facultad de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se dice que una variable aleatoria X, correspondiente al número de éxitos en un experimento binomial, tiene una distribución binomial con parámetros n y p; ( X ~ b(n, p) ), si su función de probabilidad es dado por:
n p ( x ) = P[ X = x ] = x p
x
q
n x
0
, en donde x= 0, 1, 2, …, n para cualquier otro caso
Dónde: X : número de éxitos en los n ensayos.( X = 0, 1, 2, …….. n)
p (x ) : probabilidad de “ x ” éxito. n : número de ensayos. p: probabilidad de éxito; q : probabilidad de fracaso
n x
n!
x! n
x !
La distribución Binomial está caracterizada porque sus respuestas están orientadas a darle solución a problemas que se refieren al número de éxitos esperados en n ensayos. Teorema. Si X ~ b(n, p), entonces
a) E[ X ] = np
Asignatura: Estadística II
b) Var [X] = npq
Docente: Ing. Perci Huaringa H.
Facultad de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones
EJERCICIOS DE DISTRIB UCIÓN B INOMIAL
1. Supóngase que en cierta ciudad, el 52 por ciento de todos los nacimientos que se registraron son varones. Si aleatoriamente se escogen cinco registros de nacimientos dentro de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a varones?. 2. En una fábrica se observa que en promedio el 20% de las tuercas producidas por una máquina son defectuosas. Si se toman 10 tuercas al azar, hallar la probabilidad de que: a) Solo dos sean defectuosas. b) Ninguno sea defectuoso. 3. De una clase de la Facultad del último semestre, 60% son mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente sean: a) Cinco mujeres? b) Al menos ocho mujeres? c) Cuando más dos mujeres? 4. Durante la temporada, un equipo profesional está programado para jugar 15 partidos. Supóngase que en el lugar donde se realizaran los partidos, 20% de los días son lluviosos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Tres partidos se juegan en días lluviosos? b) Cuando menos catorce partidos se juegan en la lluvia? c) Cuando más dos partidos se juegan en la lluvia? 5. Una tienda dedicada a la venta de camisas, ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: al contado o al crédito. Sabe que el 30% de las unidades adquiridas de dichas camisas lo son bajo la forma de pago al contado. Si en un período de tiempo determinado, se han adquirido 8 camisas, determinar la probabilidad de que tres o más lo hayan sido bajo la forma de al contado. 6. Un sistema de protección contra misiles está construido con n unidades de radar que funcionan de manera independiente, cada uno con una probabilidad de 0.9 de detectar un misil: si n = 5 y pasa un misil, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades detecten el misil? 7. Un proceso de grabación de discos produce un 20% de unidades defectuosas. Suponga que se toma una muestra de tamaño 8. a) ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentren discos defectuosos en la muestra? b) Hallar el esperado y la desviación estándar e interprete sus resultados Asignatura: Estadística II
Docente: Ing. Perci Huaringa H.
Facultad de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones
DISTRIB UCIÓN DE POISSON
Definición. Sea X una variable aleatoria que toma los valores posibles: 0, 1, 2,…..
Si e
P ( x ) = P[ X = x ] =
x
x!
0,
,
x = 0, 1, 2, …,… en otro caso
decimos que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ > 0 dónde: x:
número de veces que ocurre un suceso en la unidad de tiempo, espacio, volumen, etc.
λ :
Número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo, espacio o
volumen e
=
constante matemática, con valor aproximado de 2.71828
La distribución Poisson está caracterizada porque sus respuestas están orientadas a darle solución a problemas que se refieren al número de éxitos esperados por unidad de tiempo o espacio, etc. Teorema 1. Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ, entonces:
a) E[ X] =
λ
b) Var[ X] = λ
Teorema 2. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n y p. Si n → + ∞, p → 0, entonces se aproxima a la distribución de Poisson con λ = np.
Observación. La distribución de Poisson se emplea generalmente para describir procesos en un intervalo de tiempo, en una región o en un volumen. Ejemplos: a) Número de llamadas telefónicas que llegan a una central durante un intervalo pequeño de tiempo. b) La demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes en un tiempo determinado. c) Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro en un día dado. d) El número de accidentes en un cruce en una semana. Los ejemplos citados tienen un elemento en común: pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1, 2, 3, 4, 5 y así sucesivamente).
Asignatura: Estadística II
Docente: Ing. Perci Huaringa H.
Facultad de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones
EJERCICIOS D E DISTRIBU CIÓN PO ISSON
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuál es la probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado? 2. Si en promedio, llegan tres pacientes por minuto al servicio de emergencia del Hospital del Niño, a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos pacientes? y b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de dos pacientes en un minuto dado? 3. Cierta oficina de bomberos recibe en promedio 3 llamadas por día. Calcular la probabilidad de que: a) Reciba 4 llamadas en un día. b) Reciba 3 ó más llamadas en un día. 4. En un almacén particular , los clientes llegan al mostrador de caja en un promedio de siete por hora. En una hora dada, ¿Cuál es la probabilidad de que:
5.
a) No lleguen más de tres clientes? b) Lleguen al menos dos clientes? c) Lleguen cinco clientes? El promedio de llamadas telefónicas en una hora es 3. ¿Cuál es la probabilidad de: a) Recibir exactamente 3 llamadas en una hora? b) No recibir alguna llamada.
6. El número de llamadas telefónicas que entra a una central de edificio de edificio de oficinas es de cuatro por minuto en promedio. a) Calcular la probabilidad de que no lleguen llamadas en un determinado periodo de un minuto. b) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen cuatro llamadas en un periodo de un minuto.
7. Se ha observado que los paquetes de cierta cerveza se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 por hora durante los periodos de mayor venta. ¿cuál es la probabilidad de que se saque al menos un paquete durante los seis primeros minutos de un periodo de mayor venta?
Asignatura: Estadística II
Docente: Ing. Perci Huaringa H.