3a. Unidad. Distribuciones Discretas (Prob. Ind.)

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________

3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS 3.1 Introducción. En esta unidad se realiza el estudio de ciertas distribuciones de probabilidad, con miras a obtener la posibilidad de que ocurra un valor de la variable aleatoria X en un experimento, para considerarlos como valores probables que ocurra en el futuro. Además se presenta de manera sencilla como se obtiene la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta. El objetivo general de esta unidad es mostrar como realizar inferencia de lo particular hacia lo general. Apoyándose siempre en una muestra aleatoria representativa de una población. Dentro de los objetivos particulares se contemplan: El participante sabrá distinguir los términos de: variable aleatoria, función de probabilidad, función de distribución de probabilidad y función de distribución acumulativa de probabilidad. El participante sabrá estimar la media, la varianza y la distribución estándar de este tipo de distribuciones. El participante sabrá describir las características más relevantes de tres distribuciones discretas. El participante sabrá calcular las probabilidades para las distribuciones de probabilidad binomial, hipergeométrica y Poisson mediante la función de probabilidad y la función de distribución acumulativa de probabilidad.

3.2 Variables aleatorias 3.2.1 Introducción En este tema se pretende que el participante conozca las características de las variables discretas y continuas, así como obtener la probabilidad de un evento haciendo uso de la función de distribución acumulativa de probabilidad de una variable aleatoria. Los subtemas a tratar son: variables discretas y continuas, función de probabilidad, función de distribución de probabilidad, función de distribución acumulativa de probabilidad, así como la obtención de la media y la varianza de una variable aleatoria, Al final del tema el participante estará capacitado para obtener una función de probabilidad, función de distribución de probabilidad y función de distribución acumulativa, así mismo podrá obtener la probabilidad de una variable aleatoria con el apoyo de la función de distribución acumulativa. 1


3.2.2 Variables discretas y continuas. Una variable es una característica de la población a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se dividen en discretas y continuas, las variables discretas son las que pueden tomar un número finito o infinito de valores. Por ejemplo se desea estimar el número de niños por familia en un municipio, la escala de medida empezará en cero para indicar la ausencia de niños, y se irá incrementando de uno en uno hasta llegar a 5 o quizá 10 para incluir casos extremos. Observe que al pasar de un valor de la escala al siguiente, utilizamos números enteros y no fraccionarios, así la familia puede tener 0, 1, 2,....., X niños. La característica básica de las variables discretas es la igualdad entre sus unidades contables. En este sentido si estamos estudiando el número de niños por familia, todos los niños son iguales pues cada uno representa una unidad contable. Las observaciones obtenidas a través de variables discretas son siempre exactas si se ha empleado el procedimiento de cómputo adecuado. Como ejemplos de variables discretas tenemos: • • • • • •

El número de personas en una conferencia. El total de nacimientos en una ciudad. El número de empleados en una fábrica. El total de glóbulos blancos en un cm2. La cantidad de tornillos producidos por una máquina. El número de defectos que presenta cierto artículo, etc.

Las variables continuas son aquellas que pueden tomar un número ilimitado de valores intermedios dependiendo del instrumento de medición. Es importante señalar que así como la medida de las variables discretas es siempre exacta, las medidas de las variables continuas son siempre aproximadas. Por ejemplo si medimos la estatura de algún individuo, cualquier medida observada es inexacta, porque siempre podemos imaginar una escala de medida más exacta que la anterior. Así si a una persona la medimos y nos da una altura de 1.72 m. con una regla que está calculada para proporcionar lecturas con un error de ± 1 cm., podemos tener menor error con una regla cuya escala de error sea de ± 0.5 cm., y aun así, no sería suficiente porque siempre podremos construir o imaginar otras escalas con mayor precisión. La característica básica de las variables continuas es la igualdad de sus unidades de medida. Por ejemplo si empleamos el centímetro como unidad de medida, ésta unidad permanecerá idéntica a través de toda la escala.

2


Como variables continuas tenemos la longitud, velocidad, tiempo, peso, temperatura, etc. A manera de ejemplo citaremos: • • • • •

La lectura de la temperatura en un termómetro. El número de libras de presión de un neumático. La altura de la torre latinoamericana. La superficie sembrada de cítricos en algún lugar. La cantidad de energía eléctrica que consume una máquina en una jornada de trabajo, etc.

3.2.3 Variables aleatorias y distribuciones discretas de probabilidad. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es exacto (ya sea finito o infinito). En la mayoría de los experimentos de tipo repetitivo, y sobre todo en los de la vida real no interesan todos los posibles resultados del experimento, sino solamente algunos de ellos, esto implica la introducción de variables aleatorias. Por lo general se escoge a la letra X para denotar una variable aleatoria. Para ilustrar la noción de una variable aleatoria, considérese el experimento de lanzar tres veces al aire una moneda, donde el interés se centra en el total de águilas que se obtienen; o sea la variable aleatoria X queda definida por el número de águilas que aparezcan. Por lo tanto cada punto del espacio muestral poseerá un valor de X, ejemplo. AAA AAS ASA SAA ASS SAS SSA SSS 3 2 2 2 1 1 1 0 Observe que la variable aleatoria X solo puede tomar los valores 0, 1, 2, y 3 pero no más valores. 3.2.4 Función de probabilidad de la variable aleatoria X. Se llamará P(x) ≡ P(X=x), función de probabilidad de la variable aleatoria X, si proporciona la probabilidad para cada valor que toma la variable aleatoria X, y cumple con las siguientes propiedades: 1. 0 ≤ P(x) ≤ 1 para todos los valores x de X. 2. ΣP(x) = 1 Por lo tanto la función de probabilidad de los eventos compuestos que nos ocupan son:

3


P (0) P (1) P (2) P (3)

≡ P(X=0) = 1/8 ≡ P(X=1) = 3/8 ≡ P(X=2) = 3/8 y ≡ P(X=3) = 1/8

Ahora estos eventos compuestos ya pueden tratarse como eventos simples en el nuevo espacio de muestreo, con solo cuatro puntos. Puede comprobarse que las propiedades 1 y 2 de la función de probabilidad de nuestra variable aleatoria se cumplen. 3.2.5 Función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. Con estos nuevos eventos compuestos podemos obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, la cual relaciona los valores que toma la variable aleatoria discreta X con sus probabilidades correspondientes, y puede presentarse por medio de: tablas, gráficas o fórmulas. TABLA Xi P(x i)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

GRÁFICA

P r o b a b i l i d a d

Histograma

Gráfica de líneas

3/8

3/8

2/8

2/8

1/8

1/8

El val

0

1

2

3

x

0

1

2

3

x

FÓRMULA Yˆ = 0.125 + 0.375 x − 0.125 x 2

El valor de x = 0 en las gráficas debería de coincidir con el cruce de los ejes de coordenadas, para mayor claridad en las gráficas se sitúa a la derecha del mismo. 4


3.2.6 Función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X. La función de distribución acumulativa, proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a un valor específico de x, y está dada por:

F (x)

≡

P(X ≤ x) =

∑P( x )

x i ≤x

i

Del histograma anterior puede obtenerse la función de distribución acumulativa de X de la siguiente forma: F (0) ≡ F (1) ≡ F (2) ≡ F (3) ≡

P(X ≤ 0) = 1/8 P(X ≤ 1) = 4/8 P(X ≤ 2) = 7/8 P(X ≤ 3) = 1

Observe qué: P (X > 2) = 1 – P (X ≤ 2) = 1 – F (2) = 1/8 P (X = 1) = P (X ≤ 1) – P (X ≤ 0) = F (1) – F (0) = 3/8 P (1 ≤ X ≤ 2) = P (X ≤ 2) – P (X ≤ 0) = F (2) – F (0) = 6/8 P (X < 2) = P (X ≤ 1) = F (1) = 4/8 3.2.7 Esperanza de la variable aleatoria X. En una población, la media aritmética es una medida de tendencia central que se ubica por lo general en el centro de los datos. De igual forma para describir las características de una distribución de probabilidad, es necesario conocer alguna de sus medidas de tendencia central, siendo la más importante la media de la variable aleatoria X, la cual se simboliza por la letra griega µ y se denomina como valor esperado E(X) y se define como: E ( X ) = µ = ∑( X i P ( X i ))

Donde: E (x) = valor esperado de X. µ = media de X. P (xi) = probabilidad de Xi ∑ = letra griega que simboliza suma. En el ejemplo que nos ocupa la media de la variable aleatoria X es: E (x) = µ = 0 (1/8) + 1 (3/8) + 2 (3/8) + 3 (1/8) = 1.5 5


Lo anterior indica que si se lanzan tres monedas al aire una sola vez, es de esperarse que caigan 1.5 águilas. Si verificamos este valor en el histograma de la función de distribución de la variable aleatoria X, podemos comprobar que ciertamente 1.5 se encuentra a la mitad de los datos. 3.2.8 Varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X. En una población, la varianza es una medida de dispersión que nos cuantifica el alejamiento de los datos con respecto a su promedio. De igual manera en una distribución de probabilidad la varianza de la variable aleatoria X, mide la desviación que toma la variable X con respecto al valor esperado µ . Su cálculo se hace a partir de: V ( X ) = σ 2 = ∑( X i2 P( X i )) − µ 2

Donde: V(X) =

σ 2 = varianza de X.

La desviación estándar de la variable aleatoria discreta X, es la raíz cuadrada de la varianza de X y se denota por: σ = V(X )

Continuando con nuestro ejemplo la varianza de la variable aleatoria número de águilas que aparezcan es: Calculemos primero E(X2) o sea:

∑( X

2 i

P ( X i ) = 02 (1/8) + 12 (3/8) + 22 (3/8) + 32 (1/8) = 3.

Si µ = 1.5, por lo tanto la varianza será: V(X) =

σ

2

= 3 – 1.52 = 0.75

La dispersión esperada alrededor de la media es de 0.75 = ¾ águilas2. La desviación estándar se define por: σ = V ( X ) = 0.75 = 0.866 águilas.

3.3 Distribución binomial. 6


3.3.1 Introducción. Cuando los ensayos que componen un experimento son independientes, o sea que el resultado de un ensayo no afecta al resultado que se obtiene en cualquier otro ensayo, además cuando la probabilidad de éxito en cada ensayo es independiente y donde el experimento tenga solo dos resultados posibles, podemos decir que se trata de la distribución binomial. La distribución binomial es una de las funciones discretas de probabilidad más empleadas, ya que la podemos aplicar en control de calidad, ventas, mercadotecnia, encuestas de opinión etc. Imagínese un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento, donde la ocurrencia del evento será el “éxito” y la no ocurrencia el “fracaso”. El objetivo general a lograr en esta unidad, es obtener la probabilidad de un evento el cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante conocerá las principales características de la distribución binomial. El participante sabrá manejar las tablas de distribución acumulativa binomial. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando la función de probabilidad de la distribución binomial, así como la función de distribución acumulativa. El participante sabrá obtener la media y la varianza de esta distribución. Dentro de esta unidad se contemplan los temas de: características de la distribución binomial, manejo de la tabla de distribución acumulativa de esta distribución, resolución de ejercicios empleando la función de probabilidad binomial y problemas propuestos. 3.3.2 Función de probabilidad de la distribución binomial. Llamemos p la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cabo y q = 1 – p la probabilidad de fracaso, el término “éxito” o “fracaso” son meras etiquetas, bien podríamos decir sirve o no sirve. Suponga que el experimento se realiza n veces, y cada uno de estos es independiente de todos los demás, y sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los n ensayos. El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x éxitos durante los n ensayos. Las suposiciones claves para la distribución binomial son: 1. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles “éxito y fracaso”. 7


2. La probabilidad de éxito p permanece constante para cada ensayo. 3. Los n ensayos son independientes entre sí. La probabilidad de éxito debe permanecer constante para cada ensayo sucesivo; por ejemplo la probabilidad de obtener una respuesta correcta en una pregunta de falso o verdadero en un examen es de 0.50. Si se contesta otra pregunta con las mismas características, esta probabilidad permanece constante. En este caso debe emplearse la distribución binomial. Ejemplo. Sea un proceso de manufactura que produce un determinado artículo, en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la producción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un periodo razonable y, si como procedimiento de rutina se selecciona aleatoriamente un determinado número de unidades, entonces las proposiciones de probabilidad con respecto al número de artículos defectuosos, pueden hacerse mediante el empleo de la distribución binomial. Definición. Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y p la probabilidad de éxitos en cualquiera de estos. Se sabe entonces que X tiene una distribución binomial con función de probabilidad: P ( x , n, p ) =

n! p x q n−x x!( n − x )!

Donde: x = 0,1,..., n y 0 ≤ p ≤ 1 para n entero. 3.3.3 Características de la distribución binomial. En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejemplo: defectuoso, o no defectuoso; pasa, no pasa; con calidad, sin calidad; etc. Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian. Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre si. El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. La media de la variable aleatoria X se define por µ = n p. La varianza y desviación estándar de la distribución binomial se simbolizan respectivamente por: σ 2 = n p q y σ = npq Los parámetros que definen la función de distribución de probabilidad de la distribución binomial son n y p. Estos definen una familia de distribuciones binomiales, en donde cada miembro tiene una función de probabilidad determinada. 8


Con el fin de mostrar la influencia de los paramentos n y p en la función de distribución binomial (forma de la curva), veamos las siguientes figuras:

F(x)

n=5 0.6 0.4 0.2 0

0.32 0

0.41

p=0.2

0.20

1

0.05

0.006

0.0003

3

4

5

2 x

F(x)

n=5 0.6 0.4 0.2 0

p=0.8 0.41 0.20

0.0003 0

0.007

0.33

0.05

1

2

3

4

5

F(x)

x

0.4 0.3 0.2 0.1 0

n=5 p=0.5 0.31 0.31 0.16

0.16

0.03 0

0.03 1

2

3

4

5

x De éstas gráficas podemos deducir que: a) Cuando n es pequeña y se cree que p es cercana a 0 ó 1 los datos no se distribuyen normalmente. b) Cuando n es pequeña y p es cercana a 0.5, la distribución tiende a parecerse a una normal. c) Cuando n es grande los datos tienden a parecerse a una normal. Para familiarizase con el cálculo de probabilidad mediante la distribución binomial, obtenga las probabilidades para cuando: x = 0,1, 2, 3,…, 6; si n = 6 y p = 0.2 9


P (0;6,0.2) =

6! 0.2 0.86 −0 = 0.2621 0!(6 −0)!

P (1;6,0.2) =

6! 0.210.8 6 −1 = 0.3932 1!(6 −1)!

0

P ( 2;6,0.2) =

6! 0.2 2 0.8 6 −2 = 0.24576 2!(6 − 2)!

P (3;6,0.2) =

6! 0.2 3 0.8 6 −3 = 0.08192 3!(6 −3)!

P (4;6,0.2) =

6! 0.2 4 0.8 6 −4 = 0.01563 4!(6 −4)!

P (5;6,0.2) =

6! 0.2 5 0.86 −5 = 0.001536 5!(6 −5)!

P (6;6,0.2) =

6! 0.2 6 0.86 −6 = 0.000064 6!(6 −6)!

La función de distribución de probabilidad de los datos anteriores se define por:

0.39

.4 f(x) .3

0.26 666 6

0.24

.2 .1

0.08 0.01

0

1

2

3

4

0.001

5

3.3.4 Manejo de la tabla de distribución acumulativa binomial. El cálculo de probabilidad de un valor específico se define por: P (x; n, p) = F (x; n, p) – F (x-1; n, p)

10


Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x sea exactamente 5 cuando n = 10 y p = 0.3 P (5; 10, 0.3) = F (5; 10, 0.3) – F (4; 10, 0.3) = 0.9527 – 0.8497 = 0.1030 Ejemplo. Encuentre la probabilidad cuando x = 4 con n = 6 y p = 0.10 P (4; 6, 0.10) = F (4; 6, 0.10) – F (3; 6, 0.10) = 0.9999 – 0.9987 = 0.0012 El cálculo de la probabilidad acumulativa hasta un cierto valor queda definido de la siguiente manera: P (X ≤ x; n, p) = F (x; n, p) Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x ≤ 4 con n = 10 y p = 0.3 P (x ≤ 4; 10, 0.3) = F (4; 10, 0.3) = 0.8497 Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x < 5 con n = 6 y p = 0.2 P (x < 5) = P (x ≤ 4) = F (4; 6, 0.2) = 0.9984 La probabilidad mayor a un valor específico está dada por: P (X > x) = 1 - F (x; n, p) Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x > 2 con n = 10 y p = 0.3 P(x > 2) = P(x ≥ 3) = 1- F (2; 10, 0.3) = 1 - 0.3828 = 0.6172 Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x ≥ 3 con n = 8 y p = 0.3 P(x ≥ 3) = 1 – P (x ≤ 2) = 1 – F (2; 8, 0.3) = 1 – 0.5518 = 0.4482 La probabilidad para un valor mayor que xi y menor que xj se obtiene por: P (xi < x < xj) = P (xj – 1) – P (xi) 11


= F (xj – 1; n, p) – F (xi; n, p) Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que 4 < x < 8, con n =10 y p = 0.20 P (4 < x < 8) = P (x ≤ 7) – P (x ≤ 4) = F (7; 10, 0.20) – F (4; 10, 0.20) = 0.9999 – 0.9672 = 0.0327 Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x ≥4 y x ≤ 6, con n =10 y p = 0.20 P (4 ≤ x ≤ 6) = P (x ≤ 6) – P (x ≤ 3) = F (6; 10, 0.20) – F (3; 10, 0.20) = 0.9991 – 0.8791 = 0.12 3.3.5 Ejemplos de aplicaciones de la distribución binomial. Ejemplo 1. En base en experiencia reciente, se sabe que el 5% de los engranes producidos por una máquina cartell-bill resultaron defectuosos. Si entran seis engranes seleccionados al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente dos engranes defectuosos? En este caso la característica de interés son unidades defectuosas, por lo que p debe darse en porcentaje de defectos. Datos: p = 0.05 q = 1 – 0.05 = 0.95 n=6 P (x = 2) Empleando la función de probabilidad de la distribución binomial será: P (2;6,0.05 ) =

6! 0.05 2 0.95 6−2 = 0.0305 2! (6 − 2)!

Utilizando ahora la función de distribución acumulativa binomial (tablas), la probabilidad correspondiente es: P (x = 2) = P (x ≤ 2) – P(x ≤ 1) = F (2; 6, 0.05) – F (1; 6, 0.05) = 0.9978 – 0.9672 = 0.0306 b) ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente cuatro engranes sanos?

12


Aquí la característica de interés son unidades sanas, por lo que p debe darse en porcentaje de unidades sanas (0.95). P (x = 4) P ( 4;6,0.95 ) =

6! 0.95 4 0.05 6−4 = 0.0305 4!(6 −4)!

Ejemplo 2. Suponga que el equipo de fut-bol Veracruz, gana cuatro de cinco partidos cuando juegan como local. Si juega 10 partidos como local durante el campeonato de liga. Cuál es la probabilidad que gane: a) Exactamente seis partidos. Datos: p = 4 / 5 = 0.8 q = 1 – 0.8 = 0.2 n = 10 P (x = 6) P (6;10 ,0.08 ) =

10 ! 0.8 6 0.210 −6 = 0.0881 6!(10 −6)!

b) Por lo menos la mitad de sus partidos. P (x ≥ 5) = 1 – P (x ≤ 4) = 1 – F (4; 10, 0.8) = 1 - 0.0064 = 0.9936 c) De 5 a 8 partidos. Resolviendo con la función de probabilidad de la distribución binomial. P (5 ≤ x ≤ 8) = P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) P (5 ≤ x ≤ 8) = 0.0264 + 0.0881 + 0.2013 + 0.3020 = 0.6178 Resolviendo con la función de distribución acumulativa binomial (tablas). P (5 ≤ x ≤ 8) = P (x ≤ 8) – P (x ≤ 4) = F (8; 10, 0.8) – F (4; 10, 0.8) = 0.6242 – 0.0064 = 0.6178 d) ¿Cuál es su promedio esperado de partidos a ganar? E(x) = µ = n p = 10 (0.8) = 8 13


e) ¿Cuál es su varianza y desviación estándar? Varianza. σ 2 = n p q = 10 (0.2) (0.8) = 1.6 juegos2. Desviación estándar. σ =

n. p.q = 10 (0.20 )0.80 =1.26

juegos.

Ejemplo 3. Un fabricante de ciertas piezas para automóviles, garantiza que una caja de sus piezas contiene como máximo dos defectuosas. Si la caja tiene 20 piezas y la experiencia ha demostrado que su proceso de manufactura produce el 2% de piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga la garantía? Una caja satisface la garantía cuando tenga 0, 1 ó 2 piezas defectuosas, por lo tanto la probabilidad requerida es P (x ≤ 2). Datos: p = 0.02 q = 0.98 n = 20 P (x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) P (0;20 ,0.02 ) =

20 ! 0.02 0 0.98 20 −0 = 0.6676 0!( 20 −0)!

P (1;20 ,0.02 ) =

20 ! 0.02 10.98 20 −1 = 0.273 1!( 20 −1)!

P (2;20 ,0.02 ) =

20 ! 0.02 2 0.98 20 −2 = 0.053 2!( 20 −2)!

P (x ≤ 2) = 0.6676 + 0.273 + 0.053 = 0.9936 Este resultado muestra que la garantía del fabricante casi siempre se satisfará. Ejemplo 4. Todos los días se seleccionan de manera aleatoria 15 unidades de un proceso de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción, con base a información pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más unidades defectuosas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la producción se detenga? Datos: p = 0.05 q = 0.95 n = 15 14


P(x ≥ 2)

P(x ≥ 2) = 1 – P (x ≤ 1) = 1 - F (1; 15, 0.05) = 1 - 0.829 = 0.171

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 unidades defectuosas? P(x = 5) P (5;15 ,0.05 ) =

15 ! 0.05 5 0.95 10 = 0.00056 5!(15 −5)!

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener de 3 a 6 unidades defectuosas? P (3 ≤ x ≤ 6) = P(x ≤ 6) – P(x ≤ 2) = F (6; 15, 0.05) – F (2; 15, 0.05) = 1 – 0.9638 = 0.0362 Ejemplo 5. La probabilidad de que cierto tipo de padres con ojos azul-café tengan un hijo con ojos azules es de ¼. Si existen seis niños en la familia, encuentre la probabilidad de que: a) Más de dos hijos tengan ojos azules.

Para resolver este problema los seis niños deben tratarse como seis intentos independientes de un evento o sea n = 6, donde la probabilidad de éxito en un solo intento es p = 0.25 y la probabilidad de fracaso es q = 0.75. P (x > 2) = P (x ≥ 3) = 1- P (x ≤ 2) = 1 - F (2; 6, 0.25) = 1 - 0.8306 = 0.1694 Existe muy poca probabilidad de que éste tipo de familias tengan tantos hijos con ojos azules, solamente el 17% de éstas familias tienen más de 2 hijos con ojos azules. b) Exactamente tres hijos tengan ojos azules. P(x = 3) = P(x ≤ 3) – P(x ≤ 2) = F (3; 6, 0.25) – F (2; 6, 0.25) = 0.9624 – 0.8306 = 0.1318 c) Seis hijos no tengan los ojos azules.

15


Esta probabilidad significa que cero hijos tengan ojos azules, por lo tanto la probabilidad buscada es: P (0;6,0.25 ) =

6! 0.25 0 0.75 6 = 0.1780 0! (6 −0)!

Otra manera de ver el problema es: Si la probabilidad de que tenga ojos azules es 0.25, entonces la probabilidad de que no tenga ojos azules es 0.75. Si replanteamos la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que seis no tengan ojos azules? En este caso se tendrá que la probabilidad de éxito es p = 0.75 y la probabilidad solicitada será P (x = 6). P (6;6,0.75 ) =

6! 0.75 6 0.25 0 = 0.1780 6!(6 − 6)!

3.3.6 Ejercicios propuestos de la distribución binomial. 1. Rodolfo Benavides, director de control de calidad de la compañía Sanrami se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, solo el 2% de las transmisiones tiene defectos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Benavides contenga hasta dos transmisiones con defectos de fábrica? R = 0.9991 b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? R = 0.000,00073 2. Amado Nochebuena está a cargo de la sección de electrónica en una tienda departamental. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentra curioseando compre algo es de 0.3 suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora, encuentre: a) La probabilidad de que una persona que curiosea compre algo durante una hora dada. R = 0.0306 b) La probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada. R = 0.0047 3. En un proceso de producción con una productividad de miles de piezas diarias, se tiene que uno de cada 100 piezas son defectuosas. Cada hora se seleccionan 100 piezas de una banda transportadora y se observa si están buenas o defectuosas, el inspector tiene instrucciones de parar el proceso si la muestra tiene más de dos piezas defectuosas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector pare el proceso? R = 0.0794 b) ¿Cuál es el número medio de piezas defectuosas que encontrará? R = 1 16


4. Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar cuatro duraznos: a) Los cuatro estén contaminados por la mosca del mediterráneo. R = 0.1979 b) Más de dos estén contaminados por la mosca del mediterráneo. R = 0.5932 c) Tres duraznos se encuentren sanos. R = 0.0985 5. Se sabe que los discos producidos por una empresa salen defectuosos con una probabilidad de 0.01. La compañía vende los discos en paquetes de diez y garantiza el reembolso del dinero si más de uno de diez discos sale defectuoso. a) ¿Cuál es la proporción de paquetes que se devuelven? R = 0.0042 b) Si alguien compra siete paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva a lo sumo cuatro paquetes? R = 0.00

3.4 Distribución hipergeométrica. 3.4.1 Introducción. Este tipo de distribución debe ser empleada cuando: la población a investigar sea relativamente chica, existan k unidades con la característica de interés, el muestreo se realice sin reemplazo y la probabilidad de éxito no permanezca constante en cada ensayo. Supongamos que tenemos una muestra de n unidades en un lote de N unidades, en la cual hay k unidades defectuosas. Si extraemos una muestra sin reemplazo, las probabilidades de extraer unidades defectuosas son: En la primera extracción, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es k/N, la probabilidad de extraer una unidad defectuosa en la segunda extracción será (k-1) / (N-1) ó (k / (N-1), según que la primera unidad sacada sea o no defectuosa y así sucesivamente. El objetivo general en esta unidad es lograr que el participante obtenga la probabilidad de un número especificado de éxitos o fracasos, con el fin de poder tomar una decisión. Dentro de los objetivos particulares podemos citar: El participante identificará las principales características de la hipergeométrica.

distribución

El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica. 17


El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando la función de distribución acumulativa de la distribución hipergeométrica. Los temas a desarrollar en esta unidad son: Función de probabilidad de la distribución hipergeométrica, características de la distribución hipergeométrica, manejo de la tabla de distribución acumulativa de esta distribución, resolución de ejercicios empleando esta función de probabilidad y problemas propuestos. 3.4.2 Función de probabilidad de distribución hipergeométrica. Los criterios para determinar la probabilidad de un número específico de éxito o fracaso en la distribución hipergeométrica son: 1. Cuando se selecciona una muestra de una población finita sin reposición. 2. Si el tamaño de muestra n es mayor que 5 % del tamaño de la población. Ante este nuevo caso de muestreo sin reemplazo se tiene una nueva distribución de probabilidad, llamada hipergeométrica, la cual se define como:

( )( ) = C C P ( x; n, k , N ) = ( ) C k x

Para: x = 0, 1, 2,..., n combinaciones de k en x.

x ≤ k

y

N −k n −x N n

k x

N −k n −x N n

k n - x ≤ N – k. Donde C x son las

3.4.3 Características de la distribución hipergeométrica. Al realizar un experimento con este tipio de distribución, se esperan dos tipos de resultados: k resultados de un total de N se clasifican como éxitos. N – k artículos se clasifican como fracasos. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. (Todo depende si sale o no sale el artículo con la característica de interés). Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. El número de repeticiones del experimento n es constante. La media de la distribución hipergeométrica se define por E (x) = µ = n (k / N). La varianza de la distribución hipergeométrica se obtiene por: 18


k  N − n   k  V ( x) =  n 1 −   N  N −1   N 

Los parámetros que definen esta función de distribución son: n, N y k. 3.4.4 Manejo de la tabla de la distribución acumulativa hipergeométrica. La probabilidad para un valor específico se define por: P(x; n, k, N) = F(x; n, k, N) – F(x - 1; n, k, N) Ejemplo. Un lote de 10 artículos contiene tres defectuosos, si se obtiene una muestra aleatoria sin reemplazo encuentre: a) La probabilidad de obtener dos unidades defectuosas en una muestra de cuatro. Datos: N = 10 n=4 k=3 P(x = 2) P (2; 4, 3, 10) = F (2; 4, 3, 10) – F (1; 4, 3, 10) = 0.9667 –0.6667 = 0.3 b) La probabilidad de que cuatro artículos no estén defectuosos en una muestra de seis. Datos: n=6 P(x = 2) P (2; 6, 3, 10) = F (2; 6, 3, 10) – F (1; 6, 3, 10) = 0.8333 – 0.3333 = 0.5 El cálculo de la probabilidad acumulativa hasta cierto nivel queda definido de la siguiente manera: P (X ≤ x; n, k, N) = F (x; n, k, N) Ejemplo. Un lote de 10 artículos contiene dos defectuosos, si se toma una muestra aleatoria de 4 de ellos, ¿cuál será la probabilidad de obtener cuando más un artículo defectuoso? P(x ≤ 1) = F (1; 4, 2, 10) 19


= 0.8667 La probabilidad mayor a un valor específico esta dada por: P(X > x) = 1 - F(x; n, k, N) Ejemplo. Se tiene un lote de 10 artículos de los cuales hay tres defectuosos, si se toma una muestra aleatoria de cinco de ellos, ¿cuál será la probabilidad de obtener más de dos unidades defectuosas? P (x > 2) = P (x ≥ 3) = 1 – F (2; 5, 3, 10) = 1 - 0.9167 = 0.0833 3.4.5 Ejemplos de aplicación de la distribución hipergeométrica. Ejemplo 1. En una línea de producción, la semana pasada se ensamblaron 50 artículos de los cuales 10 tuvieron al menos un defecto. Si se selecciona una muestra al azar de tamaño n = 5, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro funcionen correctamente? Datos: N = 50 n=5 k = 40 P(x = 4)

P(4;5,40 ,50 ) =

C440 C550−4−40 = 0.4313 C550

Lo que significa que es poco probable que cuatro artículos funcionen correctamente. Ejemplo 2. Se tienen 50 representantes de cierto estado a una convención nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de cinco representantes, ¿cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A? Datos: N = 50 n=5 k = 30 P(x ≥ 2) P(x ≥ 2) = 1- P(x ≤ 1) P(x ≥ 2) = 1- [P (0; 5, 30, 50) + P (1; 5, 30, 50)]

P(0;5,30 ,50 ) =

C030C550−0−30 = 0.007317 C550 20


P (1;5,30 ,50 ) =

C130 C550−1−30 = 0.0686 C550

P(x ≥ 2) = 1 - (0.007317 + 0.0686) = 0.92408 Ejemplo 3. Un fabricante recibe un lote de 40 motores de los cuales selecciona ocho al azar. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, acepta el lote, de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Datos: N = 40 n=8 k=2 P (x = 0)

P (0;8,2,40 ) =

C02C838 = 0.6359 C840

La probabilidad de aceptar el lote es de 0.64 si contiene dos defectuosos. Si un vendedor sabe que su producto pasará por una selección que verifica la calidad, debe poner en marcha en su fábrica un control de calidad intencionado con el propósito de minimizar el número de lotes rechazados. Ejemplo 4. En un departamento de inspección de envíos se reciben en forma periódica lotes de ejes de bombas. Los lotes contienen 100 unidades y el siguiente plan de muestreo de aceptación se utiliza. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 unidades sin reemplazo. El lote se acepta si la muestra no tiene más de un artículo defectuoso. Suponga que se recibe un lote que tiene cinco defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Datos: N = 100 n = 10 k=5 P (x ≤ 1)

P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x =1)

P(0;10,5,100 ) =

C05C1095 = 0.5837 100 C10

P (1;10 ,5,100 ) =

C15C995 = 0.3394 100 C10

P(x ≤ 1) = 0.5837 + 0.3394 = 0.9231 21


3.4.6 Ejercicios propuestos de la distribución hipergeométrica. 1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado seis tabletas de narcótico en una botella que contiene nueve píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona tres tabletas de manera aleatoria para analizarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? R = 0.8154 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? R = 0.1846 2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo cinco identificaciones de entre nueve estudiantes, de los cuales cuatro no tienen la edad suficiente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo dos de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Ra = 0.4762 y Rb = 0.6428 3. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de tres para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? R = 0.6696 b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regrese para verificación? R = 0.12 4. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? R = 0.0119 b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? R = 0.408 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? R = 0.8044

3.5 Distribución Poisson. 3.5.1 Introducción. La distribución Poisson es llamada así en homenaje a Simeón Denis Poisson probabilista francés del siglo XIX, quien fue el primero en descubrirla. 22


Es una función discreta de probabilidad muy útil, en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante en el tiempo o el espacio. Algunos ejemplos son: el número de llamadas por hora que se reciben en una oficina, el número de errores cometidos en una hoja por una secretaria, el número de bacterias en un cultivo, etc. La distribución Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas en líneas de espera. Además ofrece una aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando p es pequeño y n es grande. El objetivo general en esta unidad, es lograr que el participante obtenga la probabilidad de que ocurra un evento en el tiempo o en el espacio, con el fin de que pueda tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante identificará las principales características de la distribución Poisson. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando la función de probabilidad de la distribución Poisson. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando la función de distribución acumulativa Poisson. Los temas que serán vistos en la unidad son: Función de probabilidad Poisson, características de la distribución Poisson, manejo de la tabla de distribución acumulativa de esta distribución, resolución de ejercicios empleando esta función de probabilidad y problemas propuestos. 3.5.2 Función de probabilidad de la distribución Poisson. Para que un experimento se considere como Poisson se debe tomar en cuenta lo siguiente: 1. La probabilidad de exactamente una ocurrencia es la misma en el intervalo continuo. 2. La probabilidad de dos o más ocurrencias en un intervalo suficientemente corto, es aproximadamente cero. 3. La ocurrencia de un evento en un punto. Es independiente de las ocurrencias en otros puntos. Definición. Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad dada por:

23


P ( x, λ) =

e −λλx x!

Para x = 0,1, 2,… y λ > 0. El parámetro de la distribución Poisson es λ , o sea el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de tiempo o espacio. 3.5.3 Características de la distribución Poisson. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.

P(x)

La media y la varianza de la distribución Poisson se define por: E(X) = µ = λ = np y λ =1 poisson es idad de la distribuci n punto, es independi ente de las ocurrenci as en otros puntos. 0.4 0.37 0.37 0.3 0.2

0.18

0.1 0 0

1

0.06

λ = 22

3

0.01 4

5

0.003

x V(X) = σ2 = µ.

0.3

P(x)

0.27 El parámetro que define la función0.27 de distribución de probabilidad de la distribución Poisson es λ . 0.2

0.18

Se presenta a continuación 0.13 algunas gráficas de la función de distribución Poisson, 0.1 con el fin de ver la influencia del parámetro λ . 0.09

0 0

1

2

0.004 0.001 3 x

4

5

6 24


P(x)

λ = 4 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0.19

0.15

0.19

0.16 0.1

0.07 0.02 0

1

2

3

4

5

6

x Con el fin de familiarizarnos con la distribución Poisson, calculemos las probabilidades para x = 0,1, 2,. . ., 8, cuando λ = 2.2 P ( x,2.2) =

P (0,2.2) =

e −2.2 2.2 x x!

e −2.2 2.20 = 0.1108 0!

P (1; 2.2) = 0.2438 P (2; 2.2) = 0.2681 P (3; 2.2) = 0.1967 P (4; 2.2) = 0.1081 P (5; 2.2) = 0.0476 P (6; 2.2) = 0.0174 25


P (7; 2.2) = 0.0055 P (8; 2.2) = 0.0015 Observe como las probabilidades individuales son más pequeñas a medida que la variable aleatoria toma valores más grandes. Esta es una característica general de la distribución Poisson. 3.5.4 Manejo de la tabla de distribución acumulativa Poisson. La probabilidad para un valor específico de x en las tablas de probabilidad acumulativa se define por: P ( X = x ) = F ( x; λ) − F ( x −1; λ)

Ejemplo. Sea λ = 2.5, encuentre la probabilidad de que x sea igual a 4. P (x = 4) = F (4; 2.5) – F (3; 2.5) = 0.8912 – 0.7576 = 0.1336 La probabilidad de que una variable aleatoria X sea ≤ a un valor específico de x, se define por: P ( X ≤ x) = F ( x; λ)

Ejemplo. Sea λ =3.5, encuentre la probabilidad de que x sea menor o igual a 3. P ( x ≤3) = F (3;3.5)

= 0.5366 La probabilidad mayor a un valor específico está dado por: P ( X > x ) =1 − F ( x; λ)

Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que x > 5, con λ = 3.7 P ( x > 5) = P ( x ≥ 6) =1 − F (5;3.7)

= 1 - 0.8301 = 0.1699 3.5.5 Ejemplos de aplicación de la distribución Poisson.

26


Ejemplo 1. La central camionera Roma recibe en promedio 30 autobuses por hora. Si se observa la llegada de los autobuses durante cinco minutos, ¿cuál es la probabilidad de que? a) No llegue ningún autobús. La probabilidad de que llegue un autobús por minuto es p = 30 / 60 = 0.5; por lo que se espera que en cinco minutos llegue en promedio λ = np o sea λ = 5 (0.5) = 2.5 Datos: λ = 2.5 P (x = 0) P (0,2.5) =

e −2.5 2.5 0 = 0.0821 0!

P ( 2,2.5) =

e −2.5 2.5 2 = 0.2565 2!

b) Lleguen dos autobuses. P (x = 2)

c) ¿Cuál será el número promedio de autobuses que llegarán en cinco minutos? µ = λ = np = 5(0.5) = 2.5

Ejemplo 2. A una constructora llegan camiones de carga a una razón media de 2.8 camiones por hora. Obtenga la probabilidad de tener tres o más camiones que lleguen en un: a) Lapso de 30 minutos. 2.8 camiones / 60 minutos = 0.04666 camiones por minuto = p. Por lo tanto los camiones promedio que llegarán en 30 minutos es λ = 30(0.04666) = 1.4 Datos: n = 30 λ = 1.4 P (x ≥ 3) P ( x ≥ 3) =1 − P ( x ≤ 2) P ( x ≥ 3) = 1 − [ P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2) ]

P (0,1.4) =

e −1.41.40 = 0.2466 0!

P (1,1.4) =

e −1.41.41 = 0.3452 1!

P ( 2,1.4) =

e −1.41.4 2 = 0.2417 2!

27


P ( x ≥ 3) =1 − [0.2466 + 0.3452 + 0.2417 P ( x ≥ 3) =1 − (0.8335 ) = 0.1665

]

b) Lapso de una hora. Datos: λ = 2.8 P (x ≥ 3)

P ( x ≥ 3) =1 − P ( x ≤ 2) P ( x ≥ 3) = 1 − [ P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2)] P ( x ≥ 3) =1 − (0.0608 + 0.1703 + 0.2384 ) P ( x ≥ 3) = 0.5305

c) Lapso de dos horas. 2.8 camiones entre una hora es igual a 2.8 que es igual a p. Entonces tenemos que λ = 2.8 (2) = 5.6 Datos: λ = 5.6 P (x ≥ 3)

P ( x ≥ 3) =1 − P ( x ≤ 2) P ( x ≥ 3) = 1 − [ P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2)] P ( x ≥ 3) =1 − (0.0037 + 0.0207 + 0.0580 ) P ( x ≥ 3) = 0.9176

Ejemplo 3. Considere el caso de una compañía pesquera de la costa de Nueva Inglaterra, la cual opera un avión de exploración para hallar cardúmenes de salmón que se encuentran ubicados al azar en el norte del Océano Atlántico, habiendo, en promedio un cardumen por cada 100,000 millas cuadradas de mar. En un día especificado, el avión puede volar 1,000 millas, explorando de modo efectivo una distancia lateral de cinco millas del lado izquierdo y cinco del lado derecho. ¿Cuál es la probabilidad de hallar al menos un cardumen de salmón durante tres días de búsqueda? Aquí tenemos que la probabilidad de encontrar cardúmenes es p = 1 / 100,000 = 0.00001 de cardúmenes por milla cuadrada. El avión puede explorar una superficie de 1,000 millas por 10 de ancho por 3 días (1000 X 10 X 3) = 30,000 millas cuadradas. Si replanteamos la pregunta será; ¿cuál es la probabilidad de hallar al menos un cardumen de salmón en 30,000 millas cuadradas? Si sabemos que λ = np, entonces λ = 30,000 (0.00001) = 0.3 y la probabilidad requerida será P (X ≥ 1) 28

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ P ( x ≥1) =1 − P ( x ≤ 0)

P ( x ≥1) =1 −

e −0.3 0.30 0!

P ( x ≥ 3) =1 − 0.7408 = 0.2592

Ejemplo 4. En un oleoducto ocurren dos fugas por cada 100 millas. ¿Cuál es la probabilidad de hallar? a) Siete fugas en un tramo de 500 millas. La probabilidad de obtener una fuga por milla es de p = 2 / 100 = 0.02. Por lo tanto el número promedio de fugas en las 500 millas será λ = 500 (0.02) = 10. Datos: λ = 10 P (x = 7) P ( x = 7) =

e −10 10 7 = 0.0901 7!

b) Al menos 20 fugas en un tramo de 500 millas. P ( x ≥ 20 ) P ( x ≥ 20 ) =1 − P ( x ≤19 ) P ( x ≥ 20 ) =1 − F (19 ;10 ) P ( x ≥ 20 ) =1 − 0.9965 = 0.0035

Ejemplo 5. Del primero de diciembre de 2004 al 30 de abril de 2005, en la zona norte del Estado de Veracruz ocurrieron tres explosiones en los ductos de PEMEX. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran al menos dos desastres en los próximos seis meses? La probabilidad de obtener una explosión por mes es p = 3 / 5 = 0.6. Por lo tanto el número promedio de explosiones a tener en seis meses es λ = 6 (0.6) = 3.6. Y la probabilidad solicitada es P (x ≥ 2). P ( x ≥ 2) = 1 − P( x ≤ 1) P ( x ≥ 2) = 1 − [ P ( x = 0) + P ( x = 1)] P ( x ≥ 2) = 1 − (0.0273 + 0.0984 ) P ( x ≥ 2) = 0.8743

Esta es una probabilidad alta, la cual debería ser tomada muy en cuenta. 3.5.6 Ejercicios propuestos de la distribución Poisson.

29


1. Si un banco recibe en promedio seis cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) cuatro cheques sin fondos en un día dado, b) diez cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Ra = 0.1339 y Rb = 0.1048 2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar: a) Una imperfección en tres minutos. b) Al menos dos imperfecciones en cinco minutos. c) Cuando más una imperfección en 15 minutos. Ra = 0.3293, Rb = 0.2642 y Rc = 0.1992 3. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que dos de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando: a) La fórmula de la distribución binomial. b) La aproximación de Poisson a la distribución binomial. Ra = 0.0812 y Rb = 0.0842 4. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3,840 generadores de gran tamaño con garantía especificada. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200, determine la probabilidad de que: a) Cuatro generadores fallen durante el año en cuestión. b) Que más de un generador falle durante el año en cuestión. Ra = 0.1781 y Rb = 0.8288 5. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio una de cada 1,000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8,000 piezas, menos de tres de ellas tengan burbujas? R = 0.013766 6. El volcán Lakie en Islandia hizo erupción por última vez en abril de 2010, paralizando los vuelos de toda Europa y trayendo como consecuencia enormes pérdidas económicas. Si este volcán hace erupción en promedio una vez cada cinco años, obtenga: a) La probabilidad de que haga erupción en los próximos cuatro años. R = 0.3594 b) La probabilidad de que haga dos o más erupciones en los siguientes siete años. R = 0.6548

3.6 Aproximación a la distribución binomial por la Poisson. A menudo es útil aproximar una distribución con otra, en particular cuando la aproximación se puede manejar con más facilidad. Una regla práctica aceptable al usar la distribución Poisson para hallar probabilidades binomiales es cuando n es grande y p pequeño, entre mayor sea n y menor sea p, tanto mejor la aproximación. Ejemplo 1. Un comprador de circuitos integrados, ha puesto como política aceptar un envío si se toma una muestra aleatoria de 100 circuitos provenientes del lote. Si el comprador encuentra no más de dos circuitos defectuosos, acepta el lote, de otra 30


forma lo rechaza. Si se envía al comprador un lote que contiene el 1% de circuitos defectuosos encuentre: a) La probabilidad de que el lote sea aceptado. Dado que n = 100 es relativamente grande y p = 0.01 es pequeño, la probabilidad binomial puede aproximarse mediante la distribución de Poisson, escogiendo a λ = n p; en este caso λ = 100 (0.01) = 1. Datos: λ =1 P (x ≤ 2)

P (x ≤ 2) = F (2; 1) = 0.9197

Los cálculos que tienen que realizarse para calcular esta probabilidad mediante la distribución binomial, cuando n = 100, p = 0.01, cuando P (x ≤ 2) son: 2

P ( x ≤ 2) = ∑Cin 0.01i 0.99 n −i i =0

P ( x ≤ 2) = 0.3360 + 0.3697 + 0.1849 = 0.9206

Valor muy parecido al calculado por la Poisson. b) La probabilidad de que sea rechazado el lote. P(x > 2) P ( x 2) = P( x ≥ 3) = 1 − P ( x ≤ 2) P ( x 2) =1 − F ( 2;1) P ( x 2) = 1 − 0.9197 = 0.0803

Ejemplo 2. La probabilidad de que un remache particular en la superficie del ala de un avión nuevo esté defectuoso es 0.001, si hay 4000 remaches en el ala. ¿Cuál será la probabilidad de que se instalen no más de seis remaches defectuosos? Aquí vemos que n es grande y p es pequeño, por lo que podemos aproximar por la Poisson utilizando a λ = 4000 (0.001) = 4. Datos: λ =4 P (x ≤ 6) 6

P ( x ≤ 6) = ∑ i =1

e −4 4 i = F (6;4) = 0.8893 i!

31


Ejemplo 3. Un departamento de contabilidad con 100 empleados, ha encontrado que la probabilidad de ausencia de cualquiera de sus trabajadores en un tiempo determinado es de p = 0.036, encuentre la probabilidad de que a lo más cinco empleados se ausenten durante cierta semana. Aquí suponemos que n es grande, la probabilidad de ausencia pequeña y que la ausencia de cualquier empleado es independiente de la presencia o ausencia de cualquier otro. Aunque en éste problema la suposición no podría ser cierta. Datos: λ = 100(0.036) = 3.6 P (x ≤ 5) P (x ≤ 5) = F (5; 3.6) = 0.8441

3.7 Aproximación a la distribución hipergeométrica por la binomial. En la mayoría de los problemas prácticos, el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el del lote, y la distribución binomial nos da una buena aproximación a la distribución hipergeométrica. De hecho se puede demostrar que P (x; n, k, N) se aproxima a P (x; n, p) cuando n → ∞ y cuando

k = p permanece N

constante. La aproximación es excelente cuando la razón 0.1 y p =

n es pequeña, digamos menor que N

k N

Una regla práctica de utilizar la distribución binomial como aproximación a la hipergeométrica es solo si N ≥ 10n. Ejemplo 1. Un lote de producción de 200 artículos tiene ocho defectuosos, si se selecciona una muestra aleatoria de n = 10 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente una unidad defectuosa? Datos: N = 200 n = 10 k=8 P(x = 1) Resolviendo por la distribución hipergeométrica tenemos:

32


C18C10200−1−8 P (1;10 ,8,200 ) = = 0.2878 C10200 Dado que

n 10 = = 0.05 es pequeño, además N ≥ 10n si se cumple (200 ≥ N 200

10(10)), nos podemos aproximar por medio de la distribución binomial, considerando a p=

k 8 = = 0.04 N 200 10 ! P (1;10 ,0.04 ) = 0.04 10.96 10 −1 =0.2770 1!(10 −1)!

Valor muy parecido al calculado por la distribución hipergeométrica. Ejemplo 2. Se tienen 200 amas de casa de las cuales 40 prefieren el detergente A y el resto la marca B, si se toma al azar una muestra de 12 de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra, tres de ellas prefieran el detergente A? Datos: N = 200 n = 12 k = 40 P(x = 3) Resolviendo por la hipergeométrica tenemos:

P(3;12,40,200 ) =

C340 C9160 = 0.243614 C12200

Para la resolución de este algoritmo nos encontramos que N es grande, lo que ocasiona que su cálculo sea un poco complicado. Dado que la condición de que N ≥ 10n y (200 ≥ 10(12)) nos podemos aproximar por medio de la binomial, definiendo a p=

40 = 0.20 de la siguiente manera: 200

Datos: n = 12 p = 0.20 q = 0.80 P(x = 3) P (3;12 ,0.20 ) =

12 ! 0.20 3 0.80 12 −3 =0.2362 3!(12 −3)!

3.8 Distribución multinomial. 33


Una generalización de la distribución binomial aparece cuando cada prueba puede tener más de dos casos probables. Por ejemplo la producción de un artículo se clasifica como superior, medio e inferior; cuando la calificación de estudiantes se juzga dando la letras A, B, C, D; o cuando un experimento se juzga terminado con éxito o inconcluso. Para éste tipo de problemas consideremos el caso de que hay n pruebas independientes, permitiendo en cada prueba k casos mutuamente excluyentes, k

cuyas probabilidades respectivas son: p1, p2,..., pk, donde

∑p i =1

i

=1

. Llamando a estos casos de 1° clase, de 2° clase,... y de k-ésima clase. Nos interesa la probabilidad P (x1, x2,..., xk) de obtener x1 casos de la 1° clase, x2 casos de la 2° k

clase,..., xk casos de la k-ésima clase, con

∑x i =1

i

=n

3.8.1 Función de probabilidad e la distribución multinomial. La función de probabilidad de esta distribución se define como:

P ( x1 , x 2 ,..., x k ) =

n! p1x1 p 2x2 ... p kxk x1!, x 2 !,..., x k ! k

Donde: x1 = 0, 1, 2,…; x2 = 0, 1, 2,……, xk = 0, 1, 2,…; y la

∑x i =1

i

=n

3.8.2 Características de la distribución multinomial. Dentro de sus principales características podemos citar:

k

∑x x =i

i

=n

Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes. Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes. El número de repeticiones del experimento n es constante. La media y la varianza de Xi, una componente particular son: E ( X i ) = µ = np i

V ( X ) = σ 2 = np i qi

34


3.8.3 Ejemplos de aplicación de la distribución multinomial Ejemplo 1. Se fabrican lápices mecánicos por medio de un proceso que implica una gran cantidad de mano de obra en las operaciones de ensamblado. Éste es un trabajo altamente repetitivo y hay un pago de incentivo. La inspección final ha revelado que el 85% del producto es bueno, el 10% defectuoso pero que puede reelaborarse y el 5% es defectuoso y se desecha. Estos porcentajes se mantienen constantes en el tiempo. Si se toma una muestra aleatoria de 20 lápices, hallar la probabilidad de que entre éstas 20 unidades 18 estén buenos, 2 pueden reelaborarse y 0 sean de desecho. Datos: n = 20, x1 = 18, x2 = 2, x3 = 0, p1 = 0.85, p2 = 0.10 y p3 = 0.05 P (18, 2, 0) P (18 ,2,0) =

20 ! 0.85 18 0.10 2 0.05 0 = 0.1019 18!2!0!

Ejemplo 2. Si las probabilidades de que en un accidente de un avión produzcan daños menores, graves y mortales al piloto son 0.20, 0.70 y 0.10 respectivamente; hallar la probabilidad de que en seis accidentes, el piloto sufra daños mortales en 3 de ellos, sufra daños menores en 1 y sufra daños graves en 2. Datos: n = 6, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0, p1 = 0.20, p2 = 0.70 y p3 = 0.10 P (1, 2, 3) P (1,2,3) =

6! 0.20 10.70 2 0.10 3 = 0.0059 1!2!3!

Ejemplo 3. Los ladrillos de vidrio defectuosos se clasifican en una fábrica por: que tengan rupturas, estén decolorados o ambas cosas. Si las probabilidades respectivas son: 0.50, 0.40 y 0.10 respectivamente, hallar la probabilidad de que 6 de entre 10 de estos ladrillos tengan rupturas, 3 estén decolorados y 1 presente ambos defectos. Datos: n = 10, x1 = 6, x2 = 3, x3 = 1, p1 = 0.50, p2 = 0.40 y p3 = 0.10 P(6, 3, 1) P (6,3,1) =

10 ! 0.50 6 0.40 3 0.10 1 = 0.0838 6!3!1!

3.8.4 Ejemplos propuestos de la distribución multinomial 1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o 35


en tren respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que entre nueve delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención? a) Tres hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren. R = 0.0077 b) Cuatro hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto. R = 0.0174 c) Cinco hayan llegado en automóvil y cuatro en tren. R = 0.0000306 2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8: 4: 4. Encuentre la probabilidad de que entre ocho descendientes: a) Cinco sean rojos, 2 negros y uno blanco. R = 0.082 b) Tres sean rojos y 2 sean negros. R = 0.0684 3. Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente seis personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) Dos voten por el partido verde, uno por el azul y tres por el resto de los partidos. b) Dos voten por el partido verde y cuatro por el azul. Ra = 0.0033 y Rb = 0.1038 4. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto, tiene disponibles 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun, y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente nueve de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en la ciudad, encuentre la probabilidad de que utilicen: 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota. 5. En una bodega se tienen 20 computadoras sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores. Si se seleccionan cinco computadoras al azar, determine la probabilidad de que: a) Dos de las computadoras seleccionadas no tengan defectos y una tenga defectos menores. b) Tres de las computadoras seleccionadas no tengan defectos y una tenga defectos mayores.

3.9 Distribución geométrica. Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza el experimento. 3.9.1 Función de probabilidad de la distribución geométrica. Sea una serie de ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de un éxito, sea que la variable aleatoria X denota el número de ensayos hasta que 36


ocurre el primer éxito. Entonces X tiene una distribución geométrica cuya función de probabilidad se denota por: P(x) = qx-1p,

para x = 1, 2,...

Donde: P(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez. p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso 3.9.2 características de la distribución geométrica. El parámetro que define la función de distribución de probabilidad es p. La probabilidad de éxito p es constante de prueba a prueba. Las pruebas son independientes. Los resultados posibles son éxito o fracaso. La media de la distribución geométrica es E(X) = µ = 1 / p. La varianza de ésta distribución es V(X) = σ 2 = (1 - p) / p2 3.9.3 Ejemplos de aplicación de la distribución geométrica. Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda cargada, ocho veces; de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3. Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca un águila. Como lo que nos interesa es que aparezcan siete sellos seguidos y por último un águila los resultados quedan de esta forma: S S S S S S S A Sí denotamos: x = 8 número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez. p = probabilidad de que aparezca una águila = p (éxito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p (fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada será: P (aparezca una águila en el último lanzamiento) = 37


P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(A) = qx -1 p Resolviendo el problema del ejemplo que tenemos con la función de probabilidad es: Datos: x= 8 p = 2/3 q = 1/3 P (x = 8) = (1 / 3)8 -1 (2 / 3) = 0.0003048 Ejemplo 2. Si la probabilidad de que cierto dispositivo de medición, sufra una desviación excesiva es de 0.05, cuál es la probabilidad de que: a) El sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva. Datos: x= 6 p = 0.05 q = 0.95 P(x = 6) = (0.95)6 -1 (0.05) = 0.03869 b) El quinto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva. x= 5 p = 0.95 q = 0.05 P(x = 5) = (0.05)5-1 (0.95) = 0.0000059 Ejemplo 3. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año? Datos: x= 5 p = 0.20 q = 0.80 P (x = 5) = (0.80)5-1 (0.20) = 0.08192 Ejemplo 4. Los expedientes de una compañía de albercas indican que la probabilidad de que una de las nuevas albercas requiera reparación en un plazo de un año es 0.20. ¿Cuál será la probabilidad de que la sexta alberca construida en un año determinado sea la primera en requerir reparación en ese lapso? Datos: x= 6 38


p = 0.20 q = 0.80 P (x = 6) = (0.80)6 -1 (0.20) = 0.0655 3.9.4 Ejercicios propuestos de la distribución geométrica. 1. Se sabe que en cierto proceso de fabricación, en promedio, una de cada 100 piezas está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que se inspeccionen cinco piezas antes de encontrar la defectuosa? R = 0.0095 2. La probabilidad de que una oblea contenga una partícula de contaminación grande es 0.01. Si se supone que las obleas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 obleas antes de detectar una partícula grande? R = 0.0029 3. Se estima que la probabilidad de que una persona instale un teléfono negro en una casa es 0.3, ¿cuál será la probabilidad de que el décimo teléfono instalado sea el primer teléfono negro? R = 0.0121 4. El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede ser de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible. Suponga que p = 0.5 es la probabilidad de tener una línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios cinco intentos para lograr la comunicación. R = 0.03125 5. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7, encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen: a) En el tercer intento. R = 0.063 b) En el quinto intento. R = 0.00567 Apéndice 3.1 Empleo del software Minitab en algunas distribuciones discretas. Minitab puede utilizarse para obtener la probabilidad para un valor en particular P ( X = x ) , así como la probabilidad acumulativa P ( X ≤ x ) , estas, las proporciona directamente. La probabilidad P ( X ≥ x) se obtiene restándole a 1 el valor obtenido en P( X x) . Distribución Binomial. Para ilustrar el empleo de Minitab tomemos el ejemplo 1 (inciso a) de la página 12, de una máquina Cartell-bill que produce engranes defectuosos. Donde la 39

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ probabilidad requerida es P ( x = 2) , el tamaño de muestra es 6 y la probabilidad de

éxito es p = 0.05. Los pasos a seguir son los siguientes. 1. Capturar 2 (probabilidad requerida) en el primer renglón y primera columna de la hoja de trabajo (C1). 2. Seleccione el menú Calc. 3. Elegir Distribuciones de probabilidad. 4. Hacer clic en Binomial. 5. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Binomial. Hacer clic en Probabilidad. Ingresar 6 en el cuadro Número de ensayos. Ingresar 0.05 en el cuadro Probabilidad del evento. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Aceptar. Minitab le da la probabilidad de 0.0305440. Esto es la probabilidad para un valor en particular, o sea la P ( x = 2) . Distribución Hipergeométrica. Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 4 de la página 21, de un departamento de inspección de envíos que recibe en forma periódica lotes de ejes de bombas. Donde la probabilidad solicitada es P ( x ≤1) , el tamaño de la población es de 100, el número de unidades con la característica de interés es de 5 y el tamaño de la muestra es de 10. 1. Capturar 1 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. 2. Seleccione el menú Calc. 3. Elegir Distribuciones de probabilidad. 4. Hacer clic en Hipergeométrica. 5. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Hipergeométrica. Hacer clic en Probabilidad acumulada. Ingresar 100 en el cuadro Tamaño de la población (N). Ingresar 5 en el cuadro Conteo de eventos en la población (M). Ingresar 10 en el cuadro Tamaño de la muestra (n). Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Aceptar.

40


Minitab le da la probabilidad de 0.923143. Esto es la probabilidad acumulada de que x sea menor o igual a uno, o sea P ( x ≤1) . Distribución Poisson. Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 5 de la página 30, sobre las explosiones en los ductos de PEMEX. Donde la probabilidad solicitada es P ( x ≥ 2) y el promedio es λ = 3.6. Como Minitab no da la probabilidad mayor a un número, tenemos que solicitar la probabilidad menor a ese número y posteriormente obtener el complemento. Dado que la probabilidad requerida es 1 − P ( x 1) , ahora los pasos a seguir son.

P ( x ≥ 2) ,

podemos obtenerla por

1. Capturar 1 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. 2. Seleccione el menú Calc. 3. Elegir Distribuciones de probabilidad. 4. Hacer clic en Poisson. 5. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Poisson. Hacer clic en Probabilidad acumulada. Ingresar 3.6 en el cuadro Media. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Aceptar. Minitab da la probabilidad de 0.125689, esto es la probabilidad de que P ( x ≤1) . Como queremos la P ( x ≥ 2) , lo que tenemos que calcular ahora es 1 − P( x 1) o sea 1 – 0.125689 = 0.8744311. Distribución Geométrica. Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 3 de la página 39, sobre una compañía constructora de pozos. Donde la probabilidad solicitada es P( x = 5) y la probabilidad de éxito es p = 0.20. 1. Capturar 5 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. 2. Seleccione el menú Calc. 3. Elegir Distribuciones de probabilidad. 4. Hacer clic en Geométrica. 5. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Geométrica. 41


Hacer clic en Probabilidad. Ingresar 0.20 en el cuadro Probabilidad del evento. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Aceptar. Minitab da la probabilidad de 0.08192, esto es la probabilidad para un valor en particular de que P( x = 5) . Al estar trabajando con alguna distribución de probabilidad en particular y desea realizar cambios en una de las celdas para obtener una nueva probabilidad, recurra al icono Editar último diálogo (Ctrl+E) de la barra de herramientas de Minitab.

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3a. Unidad. Distribuciones Discretas (Prob. Ind.)

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