Continuaremos el estudio de las distribuciones de probabilidad analizando una distribución de probabilidad contínua muy importante
Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Discretas
Binomial Poisson
Distribuciones de Probabilidad Continuas
Normal
La distribución normal
Repasemos…
Una variable aleatoria contínua es aquella que puede asumir un número infinito infinito de de valores dentro de cierto rango específico.
Ejemplos:
La presión ejercida por un brazo robot en manufactura
El peso del equipaje en un avión
El tiempo transcurrido en procesar una orden de compra
En esta unidad estudiaremos: las características principales
de la distribución de probabilidad normal la distribución normal estándar cómo se utiliza la distribución
normal para estimar probabilidades binomiales
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss".
UTILIDAD Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. C ar ac t er es m o rf o l óg ic o s de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,... , por Caract eres fisiológico s ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono
C ar ac t er es so c i ol óg ic o s , por ejemplo:
consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen C ar ac t er es ps i c o lóg ic o s , por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
cometidos al medir ciertas Errores magnitudes
muéstrales como la Valo r es es ta d ís t ic o s media, varianza y moda
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES ( FDP): F(X)
La familia de las distribuciones de probabilidad normal
Al variar los parámetros μ and σ, obtenemos diferentes distribuciones normales
f(X)
Cambiando μ movemos la distribución lhacia la izquierda o derecha. Cambiando σ aumentamos o disminuímos su altura..
σ
μ
X
LA FUNCIÓN F(X)
F(X) ES EL ÁREA SOMBREADA DE LA SIGUIENTE GRÁFICA
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL: La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ. Tiene La
una única moda que coincide con su media y su mediana.
curva normal es asintótica al eje de X.
Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor . Es simétrica con respecto a su media μ .
σ
σ
m
m
σ
σ
m
m
EN RESUMEN
Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. La desviación estándar (σ ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.
LA MEDIA INDICA LA POSICIÓN DE LA CAMPANA, DE MODO QUE PARA DIFERENTES VALORES DE Μ LA GRÁFICA ES DESPLAZADA A LO LARGO DEL EJE HORIZONTAL.
Características (cont.)
La distribución de probabilidad normal estándar
Sería físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de u y σ (como para Ia distribución binomial o para Ia de Poisson) . Es posible utilizar un sólo miembro de Ia familia de distribuciones normales para todos los problemas en los que se aplica Ia distribución normal.
La distribución de probabilidad normal estándar
Tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1 f(Z)
1
0
Z
Los valores mayores al promedio tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrán valores Z negativos.
La distribución de probabilidad normal estándar
Todas las distribuciones normales pueden convertirse a “distribución normal estándar”
restando Ia media de cada observación y dividiendo por Ia desviación estándar. Utilizando un valor z , se convertirá, o estandarizará, Ia distribución real a una distribución normal estándar. Transformamos unidades X en unidades Z
El valor z Un valor z es Ia distancia a partir de Ia media, medida en las unidades de desviación estándar.
El valor z Valor z = Ia distancia entre un valor seleccionado (x) y Ia media (u), dividida por la desviación estándar (ơ ).
Límites sigma
Límites dos sigma
Límites tres sigma
De entre todas ellas, la más utilizada es la que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.
•
Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar .
•
Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1.
•
No depende de ningún parámetro.
•
Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente.
s 1 μ= 0
,
0.33 z
m Z
X
0
s
m
EJEMPLO Se tienen 1000 alumnos, cuya distribución por peso es aproximadamente normal, con media igual a 80 y desviación estándar o típica 15. Se pide: a)La proporción de alumnos con 85 kilos o más. b)El número de alumnos con peso entre 65 y 95 kilos c) El número de alumnos con menos de 82 kilos d)¿Entre que valores oscilarán los pesos de las personas que constituyen el 60 % central? e)Hallar el peso que corresponde al percentil 75.
S = 15
pesos(x)
μ = 80
a)La proporción de alumnos con 85 kilos o más S = 15
Z
X
m
s μ = 80 85
pesos(x)
Z
84,5 80 15
S= 1
μ=0
Z=0,33 Z
P ( X 85) P (Z 0,3) 50% 11,79 38,21%
Respuesta: El 38.21 % de todos los alumnos tendrán Aproximadamente 85 kilos o más.
0,3
Z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
APENDICE II Areas debajo de la curv normal
b) El número de alumnos con peso entre 65 y 95 kilos Z
X
m
s Z
X= 65
μ = 80 x= 95
64,5
80
15
1,03
Z
95,5
80
15
1,03
pesos
Aproxi madamente 679alumnos pesan entre 65 y 95 ki los
Z = -1,03
μ = 0 Z= 1,03
Z
P (65 X 95) P (1,03 Z 1,03) 0,3485 0,3485 0,697 69,7%
El 69,7 % de todos los alumnos tendrán aproximadamente entre 65 kilos y 95 kilos.
c)La proporción de alumnos con menos de 82 kilos
S = 15
Z
X
m
s μ = 80
82
pesos(x)
Z S=1
81,5 80 15
0,1
μ = 0 Z=0,1 Z
P ( X 82) P (Z 0,1) 50% 3,98 53,98% Respuesta: El 53,98 % de todos los alumnos tendrán Aproximadamente menos de 82 kilos.
d)¿Entre que valores oscilarán los pesos de las personas que constituyen el 60 % central? Z
X
m
X Z s m
s
60%
X= ?
μ = 80 x= ?
pesos
X = -0.85 ( 15 ) + 80 = 67.25 X = 0.85 ( 15 ) + 80
= 92.75
60% Z= ? Z= -0,85
μ = 80 Z= ? μ = 80 Z= 0,85
Respuesta: Los pesos que corresponden al 60 % son 67.25 y Z 92.75 kilos. Z
e)Hallar el puntaje que corresponde al percentil 75.
Z
X
m
s
S=1 75%
μ=0
P75
X = 0.68 ( 15 ) + 80
Z
= 90.2
El peso que le corresponde al percentil 75 es de 90,2 Kgr. El 75% inferior de los pesos tiene 90,2 kgr. o menos
X Z s m
El diámetro del eje de una unidad de almacenamiento óptico tiene una distribución normal con media 0,2500 pulgadas y desviación estándar de 0,0005 pulgadas. Las especificaciones del diámetro del eje son 0,2500 ± 0,0015 pulgadas.¿ Que proporción de ejes cumple con éste requisito?
Especificaciones
0,2500 ± 0,0015 pulgadas
S= 0,0005
Z
-3 0,2485
-2
-1
0,249 0,2495
0 0,2500
1
Z
0,2485 0,2500 0,0005 0,2515 0,2500 0 0005
3
0,2505 0,251 0,2515
0,2515
0,2485
Z
2
3 P (3 Z 3)
3
0,4987 0,4987 0,9974
Aproximación de la distribución binomial por la normal Una distribución binomial B (n, p) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que no esté muy próxima a 0 ó 1 . La n sea grande y p aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica de la distribución binomial. En la práctica se utiliza la aproximación cuando: n >30, np >5, nq >5 En cuyo caso : x = B(n, p) se puede aproximar a N( npq )
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Cara
cruz
3/5 1/2 2/5 2/7 1/5 0 0 0 c aras 1 c ara 2 c aras
2/5 1/3 2/7 1/4 1/5 1/7 0 0 0 0 1 cara 2 cras 3 caras caras
Ejemplo: La administración del restaurante Santoni Pizza descubrió que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para comer allí de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos (por primera vez) cenaron en Santoni, ¿cuál es Ia probabilidad de que 60 o más regresen aIIí a comer otra vez?
Antes de aplicar Ia aproximación normal, es preciso cerciorarse de que Ia distribución que vamos a trabajar es realmente una distribución binomial.
Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios: 1. Un experimento sólo puede tener dos resultados mutuamente excluyentes: un “éxito” y un “fracaso. 2. La distribución es consecuencia de contar eI número de éxitos en un número fijo de ensayos. 3. Cada ensayo es independiente. 4. La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al siguiente.
Observe que se cumplen las condiciones binomiales: 1) Sólo hay dos resultadosposibles: un cliente regresa o no regresa. 2) Es posible contar eI número de éxitos, lo que significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresarán. 3) Los ensayos son independientes, es decir, si Ia persona número 34 regresa para cenar en otra ocasión, no influye en que Ia persona número 58 regrese. 4) La probabilidad de que un cliente regrese permanece en un 0.70 para los 80 clientes.
Debido a que se usará Ia curva normal para determinar Ia probabilidad binomial de 60 o más éxitos, es preciso restar, en este caso, 0.5 de 60. El valor 0.5 se conoce como factor de corrección de continuidad. Este pequeño ajuste es necesario porque se utiliza una distribución contínua (Ia distribución normal) para aproximar a una discreta (Ia binomial). Al restar 60 — 0.5 = 59.5.
Cómo aplicar el factor de corrección
Sólo pueden surgir cuatro casos. Estos son: 1.Para Ia probabilidad de que aI menos X ocurra, utilice ≥X (X - 0.5). 2.Para Ia probabilidad de que ocurra más que X, utilice (X + 0.5). >X 3.Para Ia probabilidad de que ocurra X o menos, utilice (X + 0.5). ≤X 4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de X,
Para utilizar Ia distribución normal para aproximar Ia probabilidad de que 60 ó mas de los 80 clientes que fueron por primera vez a Santoni regresen, realizaremos lo siguientes pasos.
Paso 1. Encuentre Ia media y Ia varianza de una distribución binomial y el valor z correspondiente a una X de 59.5 usando Ias siguientes fórmuIas: u = np = 80(.70) = 56
Ơ 2 = np(1-p) = 80(.70)(1-.70) = 16.8 Ơ = raíz cuadrada de 16.8 = 4.10 Z =
59.5 – 56 = 85 4.10
Paso 2.
Determine el área bajo Ia curva normal entre un u de 56 y un X de 59.5. Con base en el paso 1, se sabe que eI valor z correspondiente a 59.5 es 0.85. Así, se consulta el apéndice D y se baja por el margen izquierdo hasta 0.8, y luego se lee horizontalmente el área bajo Ia columna encabezada por 0.05. Esa área es 0.3023.
Paso 3.
Calcular eI área máyor de 59.5 restando 0.3023 de 0.5000 (0.5000 -0.3023 = 0.1977). Así, 0.1977 es Ia probabilidad aproximada de que 60 o más de los clientes que fueron a Santoni por primera vez regresen.
0TRO EJEMPLO En una campaña de vacunación infantil se conoce que aparece algún tipo de efecto secundario en un 13 % de casos. Si se vacunan 1000 niños, ¿cuál es la probabilidad de que más de 100 de ellos tengan alguna reacción a la vacuna? Asumiendo independencia entre las vacunaciones de los 1000 niños, la os con r eacci ón r especto distribución exacta de la variable número de niñ sigue una distribución Binomial de parámetros de 1000 vacunados (1000; 0.13).
x N x
P ( X ) N C X p q
P ( X 100) 1 P ( X 100) 1 P (0) P (1) ........ P (100) 0
10000
P ( X 100) 1 1000C 0 0,13 0,87 SI APROXIMAMOS A UNA NORMAL
μ = np, N(
Z
100,5 130 10,635
σ =
..........
n >30, np >5, nq >5
npq )
2,77
2,77
P ( X 100) 0,5 P (0 Z 2,77) 0,5 0,4972 0,9972 99,72%
OTRO EJEMPLO En una colección de libros, el costo de edición (X) es independiente del costo de distribución(Y) y se distribuyen aproximadamente normal. El costo de edición con una media de $720 y un desvío estandar de $123 y el costo de distribución con una media de $420 y un desvío estándar de $276 a)Calcular la probabilidad de que el costo de distribución sea superior al costo de edición (Y-Y>0)para un libro cualquiera b)Calcular la probabilidad de que el costo total(edición más distribución)supere los $1.500
