DISTRIBUCION NORMAL La distribución continua de mayor uso entre las distribuciones de probabilidad es la distribución normal. Gran parte de las variables que se encuentran en los estudios de ciencias y físicas, naturalezas o sociales siguen este tipo de distribución. Por ejemplo talla, peso edad, ingresos anuales por familia. Temperatura, precipitaciones pluvial, mediciones taxonómicas, altura de una planta, calificaciones en pruebas de aptitud, errores de instrumentación, etc. El origen de la distribución normal se encuentra en el estudio de los errores experimentales. Las propiedades matemáticas y el desarrollo teórico de esta distribución se deben a Laplace, Moivre y Gauss.
CARACTERÍSTICAS: o
o
o
La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto. La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones. direcciones. Para indicar que una variable aleatoria (v.a.) sigue una distribución normal de media y desviación estándar usaremos la expresión:
~,
DISTRIBUCION GENERAL: Depende de dos parámetros µ y σ Se dice que una v.a. X sigue una distribución normal de parámetros , si esta definida y su función de densidad es:
~,
∀ ∈
, y se escribe
El modelo matemático
El modelo o expresión matemática que representa una función de densidad de probabilidad se denota mediante el símbolo la siguiente función de probabilidad.
. Para la distribución normal, se tiene
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1 = √ 2 Siendo
∈>0
Donde:
∞ < < ∞ ∞ < < ∞ >0
~, , tiene un máximo para = y tiene dos puntos de inflexión, cuya abscisas son = ± cuanto mayor sea el valor de la curva La función de densidad de la v.a.
está más extendida.
+ + − La comprobación de que ∫− = ∫− √ = Precisa utilizar integrales dobles y realizar un cambio a coordenadas polares, por no
− poderse hallar una primitiva de la función √ MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION NORMAL
~, , es:
La media o la esperanza matemática de la variación aleatoria (v.a.)
+ −− = − √ =
= =
La varianza es:
+ −− = − √
= = =
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Desviación típica:
= CURTOSIS DE LA DISTRIBUCION NORMAL o
Coeficiente de sesgo de la curtosis de la
,
,
=
La simetría de la función de densidad de la distribución normal respecto a la , permite asegurar sin necesidad de efectuar los cálculos que momento de orden 3 respecto de la media, es nulo. En consecuencia, se puede afirmar que el coeficiente de sesgo de la distribución y .
o
, = 0 Coeficiente de curtosis de la , Para la normal de media y de desviación típica se calcula + − − = − √ = De donde se obtiene el coeficiente de curtosis de la distribución
3 = 0
, que es =
,
La distribución es la que se toma como patrón para definir el apuntamiento de las restantes distribuciones que tiene una misma varianza que ella .
DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR O TIPIFICADA: Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media o una desviación estándar distinta ( ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ.
Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media (µ), dividida por la desviación estándar (σ).
~, , entonces la v.a. = − se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada. Calculo de la probabilidad de que una variable ~, pertenezca aun intervalo. La probabilidad de que una variable ~, pertenezca a un intervalo (a,b) es Formalmente, si
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< < =
− ∫ = ∫ √
Efectuando el cambio de variable:
= → = , = = Se tiene que
−− − < < = √ = √ Este cálculo requiere utilizar métodos de integración numérica por no poder hallar una primitiva de la función de densidad de la distribución normal. Realizar el cambio
= − , es decir centrar la variable X o restar su media, reducirla,
dividiendo por su desviación típica es tipificar la variable X.
~,
Los cálculos de probabilidad para todas las variables normales se puede reducir, tipificando la variable X, a los de una sola utilización la variable centrada y reducida
= − . La variable Z tiene media cero y desviación típica 1. Se dice que
~0,1 y su función de densidad, que no depende de ningún parámetro = √ − ,∀ ∈ La grafica de la función de densidad correspondiente a la N(0,1)
Esta función en simétrica con respecto a la recta x=0. La moda de esta distribución coincide con la media y es igual a 0. La función x=0.
= √ − tiene su máximo para Ing. Brígida De La Cruz Lazo 4
La función de distribución correspondiente es
= ∫− √ − y la gráfica
proporcionada por statgraphics se representa a continuación.
Esta función se obtiene integrando numéricamente la función de densidad de por la simetría de la función de densidad, se sabe que:
~0,1
− 0 = − √ = , Y también que:
≤ = ≥ ∀ ∈ + ↔ = 1 El resultado del cálculo numérico de la integral
− = − √ Ejemplos:
Supongamos ahora que X
∼ N(100,16) .
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable X tome un valor entre 100 y 115?
X μ < 115 100) = P0 < Z < 0.9375 P100 < x < 115 = P(100100 < 16 σ 16 < 0.94 < 0 = 0.82640.5000 = 0.3264
b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor de 90?
PX > 90 = P(Xσ μ > 90 16100) = PZ > 0.63 PZ < 0.63 = 10.2643 = 0.7357 c) Para una variable aleatoria X que sigue una distribución normal N(µ=30, σ=2) calcular las probabilidades:
< 34, > 32, ≤ 26,28 < ≤ 34,26 < < 29 < 34 = < − = < 2 = 0,9772 > 32 = < − = > 1 = 1 ≤ 1 = 10.8413 = 0,1587 Ing. Brígida De La Cruz Lazo 5
≤ 26 = < − = ≥ 2 = ≥ 2 = 10.9772 = 0,0228 − 28 < ≤ 34 = − < ≤ = 1 < ≤ 2 = ≤ 2 ≤ 1 = 0.977210.8413 = 0.8185 − 26 < < 29 = − < < = 2 < < 0.5 = 0.5 12 = 0.691510.9772 = 0.6687 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Y LA TEORIA DE ERRORES DE VARIABLES CONTINUAS Todos hemos comprobado que realizar varias mediciones de una variable continua, como puede ser medir una longitud, la tensión eléctrica o realizar una pesada, los resultados presenta variabilidad. Se puede decir que al realizar esas mediciones los resultados vienen afectados de errores aleatorios. Además, si se repite la misma medida muchas veces cuidadosamente, los errores aleatorios pequeños serán más probable que los errores muy grande, de tal modo que si e representara el histograma de las mediciones se obtendría un rectángulo central de frecuencia máxima y a ambos lados rectángulos de menor frecuencia que formarían una figura con forma de campana, pues tan probables serán los errores por defecto como por exceso. Gauss ajusto una función del tipo
dx=1
=
→ = √
Se tiene así función densidad de la distribución normal de media µ y desviación típica σ
−− = √ Distribuciones parámetros U(a,b) a,b Uniforme en (a,b) N(µ,σ), normal
o de Laplacegauss Normal tipificada
~,
µ,σ
> ____
Media varianza = = = ∈ , ∄, − − = √ = − = √
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ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL Independiente de los valore de µ y σ para una distribución normal, el área total que esta debajo de la curva es 1.00, por lo que estas áreas o porciones de ellas representan probabilidades. Matemáticamente se ha demostrado que: Aproximadamente 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de +/- 1 desviación estándar respecto a la media. Aproximadamente 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de +/- 2 desviaciones estándar respecto a la media. Aproximadamente 97.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de +/- 3 desviaciones estándar respecto a la media. Estas tres afirmaciones se observan con detalle en la siguiente figura.
En la distribución normal evaluaremos porciones de áreas bajo cualquier curva normal. Para ello emplearemos la Tabla de la Distribución Normal Estándar.
Manejo de tablas La tabla anexa representa las probabilidades o áreas bajo la curva normal calculadas hasta los valores particulares de interés (Transformados). Al observar la tabla se observa que todos los valores deben registrarse primero con hasta dos lugares decimales. Por ejemplo, para leer el área de probabilidad bajo la curva hasta, podemos recorrer hacia abajo la columna Z de la tabla hasta que ubiquemos el valor de interés (en décimas). Así pues, nos detenemos en la fila. A continuación, leemos esta fila hasta que intersecamos la columna que contiene el lugar de centésimas del valor ( ). Por
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tanto, en el cuerpo de la tabla, la probabilidad tabulada para z=1.57 corresponde a la intersección de la fila z=1.5 con la columna z=0.07 y es 0.9418. Uso de la Tabla de la Dis trib uc ión Norm al Estánd ar.
En la tabla que hemos suministrado en el Blog se muestra el área bajo la curva normal y cualquier valor de la variable aleatoriamente distribuida. En la tabla se entra con el valor de z. El valor de z se consigue por la siguiente formula:
= −
En la que: x = valor de la variable aleatoria que nos interesa. µ = media de la distribución de la variable aleatoria. σ = desviación estándar de la distribución. z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución. La tabla está estructurada en base a unidades estándar, mostrando únicamente la mitad del área bajo la curva normal. Veremos 4 casos de buscar valores de Probabilidad en la tabla (P) si ya previamente hemos calculado z con la formula anterior esto será en función del número de cifras de
Caso 1: z es un número entero. Por lo que se observa en la tabla los únicos valores de z que son números enteros son 1, 2 y 3, que se observan en la 1ra columna. Asumiendo en este caso que z nos dio 1. Así: z = 1 buscado en la tabla z = 1.0 columna 0 tendremos que P = 0.3413
Es decir que si z es un numero entero se busca P siempre en la columna 0.
Caso 2: z tiene una cifra decimal. En este caso se busca el valor de z de una cifra decimal en la 1ra columna. Analicemos que ya conocemos a z y esta tiene una cifra decimal como por ejemplo 0.8 Así z = 0.8 buscado en tabla z = 0.8 columna o P = 0.2881
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Observamos que para un numero con una cifra decimal se busca el valor de P en la columna 0
Caso 3. Z tiene 2 cifras decimales. En este caso se busca el valor de z con su parte entera y la 1ra cifra de este en la 1ra columna y luego la 2da cifra decimal se localiza en la columna que tenga esta misma cifra, dónde coincidan la fila y columna de ambas estará el valor de P buscado. Así por ejemplo z es 0.75 lo buscamos como z = 0.7 y la columna 0.05 y en la intercepción de ambas estará el valor de P buscado:
P = 0.0.2734 Observamos que par 2 cifras decimales lo buscamos en la columna que tiene el mismo valor de la 2da cifra decimal.
Caso 4. Z tiene más de 2 cifras decimales. En este caso se redondean las cifras decimales a solo 2 cifras y se trata como el caso 3. Veamos por ejemplo z= 1.40447 Eliminamos una cifra decimal y tendremos z = 1.4045 Eliminando otra cifra decimal z = 1.405 y eliminando la otra para dejar solo dos cifras decimales z = 1.41 Con este valor vamos a las tablas y determinamos P
Explicación generalizada del problema:
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Así P = 0.4207 en este caso.cimales que tiene z:
Ejercicio de aplicación múltiple para distribución Normal Una empresa de adiestramiento para gerentes está implementando un programa de capacitación para directores departamentales que es auto aplicable, por lo que cada participante puede tomar un número diferente de horas en concluirlo. La aplicación de este programa en empresas similares ha arrojado que cada participante tarda un promedio de 500 horas con una desviación estándar de 103 horas. Se trata de un problema de distribución normal pues se observa como datos el número promedio y la desviación estándar esto adicional de que estamos trabajando con una variable continúa como son las horas.
Pregunta 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato tarde más de 500 horas en terminar el programa de capacitación? Resulta conveniente esquematizar los datos del problema, para tener una mejor visualización de este así: Solución:
Se observa que el área sombrada es la que es mayor a 500 Horas, que es la 1/2 del área debajo del gráfico. Así que la probabilidad será de 1/2 o bien el 50%. P(más de 500Hrs) = 0.5
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Pregunta 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato escogido al azar tarde entre 500 y 650 horas en terminar el programa auto-aplicable? Solución:
Sombreamos lo que se nos piden el esquema de la curva así:
UTILIZANDO LA ECUACION:
Buscamos ahora en la tabla de la Distribución Normal Estándar. Con z = 1.4 en la columna 0.06
P = 0.4279
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