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Características, ventajas y desventajas del motor radial.Descripción completa
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior. Problema 2.J2 del Bird.
Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz. Fluido a la presión p 0
Cilindro de radio interior R
Fluido a la presión p 0
r z
Varilla de radio k R que se mueve con velocidad V
Solución. El ejemplo propuesto difiere del ejemplo 2.31 sólo en las condiciones de borde: R : v z 0 y para r k R : v z V . Para r
Condiciones: Estado estacionario. Flujo laminar. Fluido Newtoniano. Propiedades del fluido constantes ( , ). Efectos de borde despreciables. Flujo en dirección z ( vr 0 , v 0 , v z 0 ). La velocidad varía en función de r : v z v z (r ) . Balance de cantidad de movimiento. 2 r L r z r 2 r L r z
r r
2 r r L g z 2 r r ( p0 p L ) 0
(2.33)
g z es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso g z 0 .
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
2 r L r z r 2 r L r z
2 r r ( p0 pL ) 0
r r
Sistemas radiales.
(2.32-1)
No existe gradiente de presión entre los extremos ( p0 p L ): 2 r L r z r 2 r L r z
r r
0
(2.32-2)
Al dividir entre 2 L : r rz r r rz
r r
0
r rz r 0
r rz
r r
r rz
r r
r rz
r
r
0
Tomando el límite cuando r 0 en la ecuación anterior: r r z
lim
r r
r 0
lim
r r z
r
r r r z
r r
r 0
r r z
r
r
lim 0
r 0
0
Aplicando la definición de derivada: d d r
Si
(r r z ) 0 d
d r
(r r z ) 0 , entonces:
r r z C 1 r z
C 1 r
(2.32-3)
La constante C no puede determinarse de forma inmediata, puesto que no disponemos de 1
información acerca de la densidad de flujo de cantidad de movimiento en ninguna de las dos superficies r k R ó r R . Fluido Newtoniano: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. r z
d v z d r
Sistemas radiales.
(2.32-4)
Al sustituir (2.32-3) en (2.32-4): C 1 r
d v z d r
Al separar las variables en la ecuación anterior: C 1 d r
d v z
r
Al integrar ambos miembros de la ecuación:
d v z C 1
v z
C 1 d r
r
d r r
La integración conduce a: C 1
v z
ln r C 2
(2.32-5)
Condición de borde: Para r R : v z 0 . Al sustituir en la ecuación (2.32-5): 0
C 1
ln R C 2
(2.32-6)
Condición de borde: Para r k R : v z V . Al sustituir en la ecuación (2.32-5): V
C 1
ln (k R) C 2
(2.32-7)
Al restar las ecuaciones (2.32-7) y (2.32-6): C 1
V
V
C 1
C 1
ln (k R) C 2
ln (k R)
C 1
ln R C 2
ln R
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. V
C 1
V
C 1
V
C 1
Sistemas radiales.
[ ln (k R) ln R ] ( ln k ln R ln R )
ln k
Al despejar C de la ecuación anterior: 1
C 1
V ln k
(2.32-8)
Al sustituir C en la ecuación (2.32-6) y despejar C : 1
2
V ln k ln R C 0
2
0
V
ln k
C 2
ln R C 2 V
ln k
ln R
(2.32-9)
Al sustituir las ecuaciones (2.32-8) y (2.32-9) en la ecuación (2.32-5), la distribución de velocidad se expresa de la siguiente manera: V ln k V ln r ln R v z ln k v z v z v z v z V
V ln k V ln k V
ln k
ln r
V ln k
ln R
( ln r ln R ) ln (r / R)
ln (r / R) ln k
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
(2.32-10) (2.32-11) 56
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Caudal entre los dos cilindros. Q
2 R
0
k R
v z r d r d
(2.32-12)
Al sustituir (2.32-10) en (2.32-12): Q Q Q Q
V ln (r / R) k R ln k r d r d
2 R
0
V ln k V ln k V ln k
2 R
0
k R
2 R
0
k R
2 R
0
k R
ln (r / R) r d r d (ln r ln R) r d r d r ln r d r d
V ln R ln k
2 R
0
k R
r d r d
La primera integral se resuelve mediante integración por partes, mientras que la segunda es inmediata. Q
Q
Q
Q
V ln k
V ln k
2
2
0
0
r 2 ln r r 2 2 4
2 d V ln R 2 r ln k 0 2 k R
R
2 2 2 R 2 ln R k 2 R 2 ln (k R) R 2 k 2 R 2 V ln R 2 R k R d d 0 2 2 4 ln k 2
2 2 2 V R ln R k R ln (k R)
ln k
2
2 R 2V ln R k ln (k R)
ln k
d k R
R
2
R 2 k 2 R 2 4
1 k 2 4
(2 )
2
V ln R R 2
0 d ln k 2
R 2V ln R 1 ln k
k 2 R 2
2
d 2 0
k 2
(2 ) 2 2
2 R 2V 1 k 2 R V ln R 2 Q ln R k ln (k R) (1 k 2 ) ln k 2 ln k
R 2V 1 k 2 2 2 Q R k k R R k ln ln ( ) ln ( 1 ) ln k 2 R 2V 1 1 2 2 2 Q ln R k ln ( k R ) k ln R k ln R ln k 2 2 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Q
Q
Q Q Q
Q
Q
Sistemas radiales.
R 2V
1 1 2 2 2 2 k ln k k ln R k k ln R ln k 2 2
R 2V
1 1 2 2 k ln k k ln k 2 2
R 2V 2 ln k R 2V 2 ln k
(1 2 k 2 ln k k 2 ) (k 2 1 2 k 2 ln k )
R 2V k 2 1
2 k 2 ln k
2
R 2V (1 k 2 )
2
2 k 2 ln k
R 2V (1 k 2 )
2 ln (1 / k ) 2 k
2
(2.32-13)
Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. De la ecuación (2.32-3): r z
C 1 r
(2.32-3)
Al sustituir (2.32-8) en (2.32-3): r z r z
V ln k r V 1
ln k r
(2.32-14)
Fuerza sobre la varilla cilíndrica. F z (r ) r z A
(2.32-15)
Área de contacto. A (r ) 2 r L
(2.32-16)
Al sustituir (2.32-14) y (2.32-16) en (2.32-15): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
V 1 (2 r L) k ln r
F z (r )
F z (r )
2 V L ln k
(2.32-17)
La fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del cilindro. Obsérvese que la fuerza sobre la capa de fluido en cualquier posición r es constante.
