Dist de Frec

Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Producción Industrial

Distribución de Frecuencias Probabilidad y Estadística I Luis Diego Meneses Gómez !"#$#$% Esteban Prado &guilar !""%!!" 'e(in )almaceda )ena(ides !"**!+$ &ndr,s Feli-e Mel,ndez Rodríguez !"#+%$.

2013

1) A continu continuación ación se se presenta presenta la tabla tabla de clasificac clasificación ión de la liga española 13/14 tras la jornada 3ª, publicada en el diario El Mundo el 1/9/2013, donde figura los partidos jugados !), los ganados "), los e#patados $), los perdidos %), los goles a fa&or '), los goles en contra ()  los puntos %t) *os centrare#os en la &ariable "oles a 'a&or ')+ a) -u. tipo de &ariable es b) (onstrua la tabla de frecuencias co#pleta c) (alcule la #edia arit#.tica, #oda  #ediana de los datos+ d) $ntre ue percentiles se encuentran los euipos ue anotaron 3 goles

olución a) $l tipo de &ariable es discreta, no continua, a a ue no se pueden tener por eje#plo eje#plo , b)

goles+ *5#ero de "oles 0 1 2 3 4   8 

(onteo n6 *6 7 77 777 7 777 77 77 77 7 777

1 2 4  2 2 1 0 3

1 3 8 12 12 14 1 18 20

c) :edia

:oda :ediana en la posición 10+) por lo tanto, #ed ; 3 d) 01 0111222 222233 233333 33344 44  


%or lo tanto, los euipos ue anotaron 3 goles est>n entre el percentil 38+  8++ 2)
7#porte

B de

) 0C0 0C0 0C120 120C240

facturas 10 20 40 10

e pide a) (alcular el i#porte #edio+ $l &alor @allado es representati&o de la distribución de facturas b) (alcular el i#porte #ediano  el i#porte #>s frecuente+ (o#ente el co#porta#iento de la si#etr?a de los datos+ c) (alcular el %3  deter#inar cu>l es el i#porte #>Di#o  #?ni#o ue podr?a pagar ue pagar este+ d) (u>l es el i#porte #>Di#o pagado por las 0 reparaciones #>s baratas

olución 7#porte

B de

) facturas 0C0 10 0C0 20 0C120 40 120C240 10 a) 7#porte #edio ; #edia arit#.tica

E#

*6

f6

'6F

'6C

10 30 80 0

10 30 80 0

0+12 0+2 0+ 0+12

0+12 0+38 0+8 1

0+8 0+2 0+12 0

b) :ediana

:oda


d)

$l i#porte #>Di#o seria de 120  el #ini#o de 0+

$l i#porte #>Di#o ue pagar?an el 0 por ciento es de 9

3) Hna #>uina @a fabricados 0 cilindros cua longitud en cent?#etros se registra 239, 24, 2, 24, 24, 249, 242, 20, 249, 244, 23, 24 20, 2, 22, 21, 20, 23, 248, 243, 24, 21, 248, 20 24, 20, 29, 249, 249, 20, 21, 23, 241, 21, 249, 22 20, 248, 21, 29, 20, 24, 22, 23, 21, 23, 23, 29 249, 28, 249, 248, 21, 24, 24, 243, 20, 249, 242, 23 e solicita a) (onstrua una distribución de frecuencia cuas clases tengan co#o a#plitud  cent?#etros  ue la pri#era clase sea 23C240+ b) -u. (lase es la de #aor frecuencia c) -u. clase es la de #enor frecuencia d) -u. porcentaje de cilindros son #enores de 2 cent?#etros e) -u. porcentaje de cilindros son #aores de 244 cent?#etros f) (alcule el pro#edio, la #oda  la #ediada de la distribución+

olucion a) (lases

(onteo

E#

n6

*I

f6

'6F

'IC

c#) 23 J 240 77777 238+   0+034 0+034 0+91 240 J 24 777777 242+  11 0+1000 0+134 0+1 24 J 20 77777777777777777777 248+ 20 31 0+3333 0+18 0+433 20 J 2 77777777777777777777777 22+ 23 4 0+333 0+9000 0+1000 2 J 20 777777 28+  0 0+1 1 0 b)
:oda

:ediana

4) Hn in&estigador estaba reali=ando un estudio sobre el ingreso per c>pita #ensual de una cierta cantidadde fa#ilias en $$HH, pero accidental#ente dio &uelta la ta=a de caf. sobre su infor#e, perdiendoalgunos datos+ Lespu.s de secar la @oja de papel, se pod?an distinguir de una tabla de distribuciónsi#.trica de frecuencias la siguiente infor#ación sobre el ingreso per c>pita en dólares de 10 fa#ilias+ E#4 ; 8000 M n63 ; 24 M f61 ; 0+0 M '6F4 ; 0+2 M nND ; 4000 a) b) c) d)

%uede reconstruir la tabla de distribución con los datos ue tiene (u>l es el ingreso per c>pita pro#edio de las fa#ilias (u>l es el ingreso per c>pita #>s recurrente $ntre cu>nto se encuentra el ingreso per c>pita del 0K inferior de las fa#ilias

olucion (lase D#

n6

*6

f6 '6F '6C 0+0

24 8000

2

a) n ; 10 n68 ; 0+ N 10 ; 12 ; n61 O @a si#etr?a nND /n6 ; D# O 4000/12 ; 4000 ; D#1 D#4 ; 8000 M P ; a#plitud M 4000 F 3P ; 8000 O P ; 1000
D# 4000 000 000 8000 000 9000 10000

1000 b) %ro#edio per capita c) 7ngreso #as recurrente o #oda

n6 12 21 24 3 24 21 12

*6 12 33 8 93 118 13 10

f6 0+0 0+14 0+1 0+24 0+1 0+14 0+0

'6F 0+0 0+22 0+3 0+2 0+8 0+92 1

'6C 0+92 0+8 0+2 0+3 0+22 0+0 0

d) :ediana

*ota nótese ue la #edia ; #oda ; #ediana, lo ue nos indica, co#o a lo @ab?a#os co#probado en la tabla, ue los datos dos si#.tricos+ %or lo ue se podr?a estudiar la curtosis del ejercicio+ (oeficiente de curtosis

$l 6 dio co#o resultado 0+28, esto nos indica ue los datos se distribuen de una for#a leptocurtica, es decir, ue se agrupan #>s @acia el centro  su rango es angosto+

) $n una pregunta del (7 sobre la edad @asta la ue consideran con&enientes los padres controlar los progra#as  el tie#po de tele&isión de los @ijos, la #edia fue de 1,4 años  la des&iación t?pica de 2,11+ Qeniendo en cuenta ue las respuestas se distribuen aproDi#ada#ente co#o la cur&a nor#al  ue &an de los 8 a los 24 años, calcular a)C(uantos respondieron ue la edad debe ser @asta los 13 años b)C(uantos dijeron ue debe estar entre 14  18 años+ c)C(uantos respondieron ue debe estar por enci#a de los 19 años olucion a) D ; 13 M DR ; 1+4 M D ; 2+11 0+ J 0+380 ; 0+1292 O 12+92K respondio ue la edad debe ser de 13 años+

b) D ; 14 M DR ; 1+4 M D ; 2+11  O 0+244

D ; 18 M DR ; 1+4 M D ; 2+11  O 0+2834 0+2834 F 0+244 ; 0+1 c) D ; 19 M DR ; 1+4 M D ; 2+11 0+ J 0+44 ; 0+044 O 4+4K dijeron ue #>s de 19+

)
8

1

8 44

4 3

30 3 48 3 49 0 49 3 4

2

41

48 42

3 32

4 3 40 3 4 33 3 1 48

41



3 28

20 21

42 21 39 39 34 4 39 2 4

33

3

43 4

4 28

3 30 29 3 3 2 4 28 28

43

2

3 41

23 

 9 0 40 24

a) A %artir de la anterior infor#ación elabore una tabla de frecuencias b) (alcule la #edia  la des&iación t?pica olucion a) Qabla de Listribucion
Ei 2 3 4  

n6 14 18 22 1 9

*6 14 31 3 81 0

f6 0,18 0,212 0,28 0,22 0,112

'6 0,18 0,38 0,2 0,8 1

b) :edia

= ƩDiNn6



n

Les&iación $st>ndar  (xi-)²*n

498,82 1339,02 28,4 2228,8 401,39 129,8

8)

ƩDiNn6

ticas @an sido las

siguientes 30 9 0 40 80 990 20 0 0 990  Ei 40n60 0 *6 310 0 90 0 20 1 80 180 100 10 1 2 20 2 4 a) b) 30 3 8 40  13 olucion 0 11 24 0 12 3 a) 80 8 43 0 4 48 90 2 49 100 1 0

0 0 0 0 0 40 40 f60 00,02 0 0,02 0,04 0,0 0,12 0,22 0,24 0,14 0,0 0,04 0 02

40 0 0 80 0 0 0 '60 300,02 80 0,04 0,0 0,14 0,2 0,4 0,82 0, 0,94 0,9 1 00

0 80 30 0 0

90 0 10 40 0

30 0 0 0 80

(onstrua la tabla de frecuencias $labore un gr>fico de barras

b)

)
 9 84 2 2

88 0 8 3 3

80 9 4 8 

   1

 80  8

8 8 9 8

80 8 1 4

 8 8 82

2 4 83 4

8 81 8 83

 1 2 89

9 2 8 

81 4  8

 9 3 81

  8 

8 82 81 9

84 3  9

1  8 80

a) Sbt.ngase una distribución de datos b) (alc5lese el porcentaje de personas de peso #enor ue  Ig c) (u>ntas personas tienen peso #aor o igual ue 80 Ig+ pero #enor ue  Ig

olucion


n6 2 8 18 30 14 8 3

*6 2 9 2  80 88 0

f6 0,02 0,08 0,212 0,38 0,18 0,08 0,038

'6 0,03 0,11 0,33 0,80 0, 0,9 1,00

a) 2 ; 32,K 0 32,K de las personas entre&istadas pesa #enos de  Ig+

b) *8C*4 ; 0 J  ; 24 24 ersonas pesan entre 80 Ig+   Ig+

9) eg5n la siguiente infor#ación brindada a continuación
n6  2 4 

4C C C8 8C C9

3 20 1 12 4

a) (o#plete la distribución de frecuencias b) Leter#ine la #edia, #ediana  #oda

olucion a)


n6  2 4  3 20 1 12 4

*6  33 89 13 180 190 20 220 224

f6 0,0223 0,120 0,204 0,200 0,13 0,093 0,004 0,03 0,0189

'6 0,0223 0,1483 0,328 0,028 0,89 0,42 0,92 0,921 1

b) :edia ƩDiNn6

0 0 130 2240 180 1200 120 90 30 980 :ediana :ed ; 3 F 112 C 89 ; 40,9 

:oda :o; 3 F 10 N10 ; 3,23  

10F21

10)$n base a la siguiente infor#ación
n6 *6 f6 '6 8 8 0,088 0,088 10 18 0,1111 0,19 1 33 0,188 0,38 20 3 0,2222 0,9 1 81 0,2000 0,89 11 2 0,1222 0,9111  90 0,09 1

a) Leter#ine la Tarian=a  la Les&iación est>ndar de la anterior distribución b) Uealice un @istogra#a basado en la anterior infor#ación

olucion
n6 *6 f6 '6 8 8 0,088 0,088 10 18 0,1111 0,19 1 33 0,188 0,38 20 3 0,2222 0,9 1 81 0,2000 0,89 11 2 0,1222 0,9111  90 0,09 1

a) Tarian=a

σ² = 4039,29 ; 44+

90

Les&iación $st>ndar  σ = √4039,29 = 6,7 90

b)

11) s próDi#a+  3  3 9 8 3  0 1

4  4 82    8 0 2

4  4 81    9 1 2

3  3 80 8  8 9 1 2

4 4 3 9 8   0 1 2

Uealice a+
U; LAQS :AVSU J LAQS :$*SU U; 82C3 U; 19  20 Número de clases:

I; 1F 3+3 logn) I; 1 F 3+3 log0) I ; + I;8  A#plitud i ; U/I i ; 19/8

i ; 2+81 i; 3 4 Rango propuesto:

Up ; iWI Up ; 8W4 Up ; 2 Diferencia:

d ; Up J U d ; 2 J 19 d;9 Diferencia media:

L#; d/2 L# ; 9/2 L# ; 4+ Límite real de clase de primera clase







Límite inferior de la clase de primera clase


*

Li

1 2 3 4   8

4+ 2+ + 0+ 4+ + 82+

Ls

li

ls

conteo

Xm

n+

N+

f+

2+ + 0+ 4+ + 82+ 8+

4 2  0 4  82

2  0 4  82 8

0 3 9 19 14  0

0+ 4+ + 2+ + 80+ 84+

0 3 9 19 14  0

0 3 12 31 4 0 0

0 0+0 0+1 0+3 0+2 0+10 0+00





F*

F*

0 0+0 0+24 0+2 0+90 1 1

1 0+94 0+8 0+32 0+1 0 0

12)e registraron las te#peraturas de una ciudad a lo largo de la se#ana, se recogieron 100 datos de te#peratura en grados cent?grados Límites Temperatura 5a9 !0 a " !5 a "  " a #% #5 a % 5 & mas

Reales

Xi

fi



fr

Fr   0.0 0.#$

fr 0.0 0.# 0.% 0.#) 0.0$ 0.0$

Fr   0.0 0.#$ 0.$0 0.)) 0.9% !00

!# % ## $

a+ (o#plete la siguiente distribución de frecuencias

Límites Temperatura 5a9 !0 a 14 !5 a 19 #0 a #% #5 a % 5 & mas

Reales %.5 ' 9.5 9.5 ' !%.5 !%.5 ' !9.5 !9.5 ' #%.5 #%.5 ' %.5 '''''''

Xi ( !# !( ## #9.5 ''''''''

fi  # % #) $ $



13)
2+3 +0 8+0 8+9 +8

3+1 +3 8+0 8+9 9+2

4+0 + 8+0 +2 9+

4+8 + 8+0 +4 9+

+3 + 8+ +8 4+0

a) (alcule la #edia arit#.tica utili=ando la definición de pro#edio si#ple b) (alcule la #edia arit#.tica utili=ando las notas diferentes  la definición de pro#edio ponderado a+

∑Ei/n

; 1,0 F 2+3 F 3+1 F 4+0 FXXF9+ / 30 ; 200 / 30 ; +8

b+ 1+0W 1 ; 1+0 2+3 W 1 ; 2+3 3+1 W 1 ; 3+1 4+0 W 2 ; +0 4+8 W 1 ; 4+8 +3 W 1 ; +3 +0 W 1 ; +0 +1 W 1 ; +1 +3 W 1 ; +3 + W 3 ; 20+4 +9 W 1 ; +9 8+0 W 4 ; 2+0 8+ W 2 ; 1+2

8+9 W 2 ; 1+ +2 W 1 ; +2 +4 W 1 ; +4 +8 W 3 ; 2+1 9+2 W 1 ; 9+2 9+ W 2 ; 19 total ; 200 200 / 30 ; +8

14)Hna #uestra de 30 transportistas fueron so#etidas a una encuesta con el fin de deter#inar el consu#o de litros de gasolina de su &e@iculo a lo largo de una se#ana, se #uestran a continuación los datos en litros 9+80 4+4 8+20 102+0 121+3 8+0 99+0 +30 +9 98+80

9+0 49+ 9+40 8+2 92+90 90+4 101+0 9+8 104+8 93+10

101+ 108+1 11+40 103+2 10+4 118+10 1+0 112+0 9+ 10+4

9+90 10+ 8+0 88+00 1+9 113+20 92+3 + 111+90 118+8

3+40 +3 102+0 9+00 8+80 100+40 90+0 103+2 94+90 92+

94+4 8+80 98+8 108+90 89+0 8+0 10+ 99+0 91+90 +10

+80 8+00 10+40 80+10 99+1 9+0 88+ 109+2 + 9+

98+3 98+9 100+80 0+80 101+20 9+9 9+90 82+8 9+20 110+

a+ (onstrua la distribución de frecuencias con una a#plitud de 8+ 6



E#

nI

*6

fI

'6



'6



1 2 3 4   8  9 10

44 2 0  8 4 92 100 10 11

1+9 9+9 8+9 8+9 3+9 91+9 99+9 108+9 11+9 123+9

48+9 +9 3+9 81+9 89+9 8+9 9+9 103+9 111+9 119+9

1 1 3  9 12 23 1  3 0

1 2  10 19 31 4 9 88 0

0+012 0+012 0+8 0+02 0+112 0+100 0+28 0+28 0+1000 0+38

0+012 0+02 0+02 0+120 0+238 0+38 0+80 0+2 0+92 1

1C0+012 1C0+02 1C0+02 1C0+120 1C0+238 1C0+38 1C0+80 1C0+2 1C0+92

1) A continuación se #uestran los resultados del segundo parcial del pri#er se#estre del 2012 de '?sica 77 reali=ado a un grupo de estudiantes de la Hni&ersidad de (osta Uica +8 +8 +8 4+4 +2 + + 8+0

3+3 4+4 8+ 4+1 4+ 4+ +3 +0

+1 +8 9+ 8+ +8 +1 +9 8+8

2+2 +0 +4 +1 2+8 4+ +2

+ 8+1 8+8 +2 3+ +4 2+8

8+8 4+1 +0 + +8 +1 3+4

4+0 +1 +1 +4 8+3 +4 2+3

a+ (onstrua la distribución de frecuencias con inter&alos de clases iguales de 1 punto b+ (alcule los puntos #edios  las frecuencias relati&as c+ Sbtenga las frecuencias acu#uladas

*

Li

1 2 3 4   8 

1+9 2+9 3+9 4+9 +9 +9 8+9 +9

Ls

2+9 3+9 4+9 +9 +9 8+9 +9 9+9

Xm

n+

f+

2+4 3+4 4+4 +4 +4 8+4 +4 9+4

4 2  13 11   1

0+0 0+04 0+1 0+2 0+21 0+1 0+10 0+02

5#





F*

F*

0+03 0+12 0+28 0+2 0+83 0+ 0+9

0+92 0+ 0+83 0+4 0+28 0+12 0+02 1

!

1)A continuación se #uestran los resultados en #inutos de 80 atletas ue fueron so#etidos a una prueba de resistencia abdo#inal

*

Li

Ls

Xm

n+

N+

1 2 3 4   8  9 10

4+2 4+8 +2 +8 +2 +8 8+2 8+8 +2 +8

4+8 +2 +8 +2 +8 8+2 8+8 +2 +8 9+2

4+  +  + 8 8+  + 9

2 2 3 8  1 1 10 2 2 80

2 4 8 14 22 40    80

a+ b+ c+ d+

(alcule la #oda (alcule la #ediana (alcule el percentil 40 (alcule la #edia arit#.tica

a+ :oda :o ;
b+ :ediana :e;
18)rea #etropolitana (lases



*6

*6

E#

1 2 3 4 

9000 11000 13000 1000 20000 a+ b+ c+ d+ e+

a+ b+ c+ d+ e+

11000 13000 1000 20000 30000

12 2 31 20 9 124

12 4 9 11 124

10000 12000 14000 1800 2000

(alcule la #oda (alcule la #ediana (alcule el percentil 0 (alcule la #edia arit#.tica Leter#ine u. tipo de asi#etr?a tendr> la cur&a+

moda , !#!!.%0 mediana , !#9#5.0) percentil )0 , !$050 media , !%!(.!0 se espera -ue a&a asimetría positi/a deido a -ue media1mediana1moda

1) (uando las distribuciones de frecuencias tienen clases diferentes, cu>l de las siguientes for#ulas puede aplicarse a+
19)Al anali=ar la distribución de frecuencias correspondientes a los sueldos de un grupo de 400 e#pleados, se encuentra ue el percentil 80 es igual a 130 colones, esto uiere decir ue a+ b+ c+ d+

80 e#pleados ganan 130 colones 80 K de los e#pleados gana 130 colones 20 e#pleados ganan un sueldo inferior a 130 colones $l salario pro#edio del 30K de los e#pleados ue ganan #as es de 130 colones

Repuesta correcta: opci2n d

20)Lefina a+ clase b+ 7nter&alo de clase c+ %unto #edio d+ 'recuencia absoluta e+ 'recuencia relati&a f+ 'recuencia acu#ulada



(lase Agrupaciones de los distintos &alores ue to#a la &ariable las clase deben ser 



eD@austi&as, es decir todo dato debe pertenecer a una clase sola#ente+ 7nter&alo de clase ta#bi.n lla#ado a#plitud, es la diferencia ente el l?#ite superior  el



l?#ite inferior+ %unto #edio e obtiene su#ando el l?#ite superior e inferior de una clase  se di&ide



entre dos+ $s el &alor centrar de la clase+ 'recuencia Absoluta (antidad de datos pertenecientes a cada clase de su#a de todas



las frecuencias absolutas es igual a la cantidad de datos+ 'recuencia Uelati&a e obtiene di&idiendo la frecuencia absoluta entre la cantidad total



de datos+
21) (on base a la siguiente distribución de frecuencias, calcule (lases 1 2 3 4   8 



E# 2+4 3+4 4+4 8+4 8+9 +4 9+4 10+4

*6

a+
a+

; 4+2 ; [4+2 ; 2+0

b+ (T ; !/E) W 100) ; 2+0/+)W100) ; 31+21K

4 2  13 11   1 2

E#Cn6 9+0 +90 3+0 3+ 1+9 8+0 48+2 10+4 343+40

E#Z2Cn6 29+01 23+0 10+42 40+ 10+3 81+22 44+1 109+20 249+2