18/02/2015
Parámetros y estadísticos Las poblaciones y muestras tienen ciertas características y éstas tienen valores.
2 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Característica
Parámetro Estadístico (población) (muestra)
Media
µ
Desv. Estándar
σ
Varianza
σ2
Proporción
P R N
Coef. de correlación de Pearson Número total de “elementos”
•
•
x
s s2 p r n
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO MUESTREO
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO MUESTREO
Introducción
Introducción
Al sele selecc ccio iona narr de form formaa alea aleato toria ria una una mues muestr traa de una población es poco probable que la media edia de esta esta mues muestr traa (med (media ia mues uestra tral) sea sea idén idénti tica ca a la medi mediaa de la pobl poblac ació ión. n. De igua iguall forma rma, la des desviaci iació ón est estánda ndar u otra tra medida calculada a partir de la muestra, prob probab able leme ment ntee no serí seríaa exac exacta tame ment ntee igua iguall al valor valor corre correspo spondi ndient entee de la poblac población ión..
¿Qué es una distribución de muestreo? Ejemplo: En el salón de clase hay seis alumnas (población). La edad y la estatura de cada estudiante se presenta en la siguiente tabla. Estudiante Karina Claudia Socorro Brenda Frida Paulina
Edad 20 19 19 19 21 19
Estatura (cm) 158 170 160 163 173 171
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Por lo tanto, podemos esperar que haya alguna diferencia (error) entre un valor est estadís dístic tico de mues muestr traa y el corres rrespo pond ndie ient ntee valor valor del parám parámetr etro o de poblac población ión..
Ejercicio 1. Obtener Obtener la media de la pobla población ción 2. Tomar todas todas las muestra muestrass (15) posibles posibles de tamaño 2 de la población. 3. Obtene Obtenerr la media de la estat estatura ura para para cada muestra. 4. Obtener Obtener la media media de la media media de la estatu estatura ra de todas las muestras.
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Tomar todas las muestras (15) posibles de tamaño 2 de la población. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Estatura Media 164 159 1 60 .5 1 65 .5 1 64 .5 165 1 66 .5 1 71 .5 1 70 .5 161.5 166.5 165.5 168 167 172
No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Estatura Media 159 1 60 .5 1 61 .5 164 1 64 .5 165 1 65 .5 1 65 .5 1 66 .5 166.5 167 168 170.5 171.5 172
1.- ¿Cuál es la media de la población? 165.83__ 2.- ¿Cuál es la distribución muestral de medias para una muestra de tamaño 2? Se obtuvieron _15_ muestras de tamaño 2. La media más frecuente fue 165.5 y 166.5 con 2 ocurrencias c/u. 3.- ¿Cuál es la media de la distribución muestral? 165.83 4.- Graficar los datos de la población y los de la distribución muestral por separado. •
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Estaturas de la Población
5.- ¿Qué observaciones pueden formularse respecto a la población y a la distribución muestral de las medias? distribución población Media 165.83 165.83 Dispersión de 159 a 172 de 158 a 173 (variación) menor mayor Forma uniforme “casi normal”
Estaturas medias muestrales
Conclusiones •
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La media de la distribución de las medias muestrales es igual a la media poblacional. La dispersión en la distribución de las medias muestrales es menor que la que corresponde a la de los valores de la población. La forma de la distribución de muestreo de la media, y la forma de los valores de población, son diferentes. La distribución de muestreo tiende a ser acampanada y su aspecto se aproxima al de la distribución de probabilidad normal .
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Distribución de muestreo para la media, para la proporción •
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Distribución de probabilidad que indica cuán probables son diversos valores posibles de la media muestral. Distribución de probabilidad que indica cuán probables son diversos valores posibles de la proporción muestral.
Distribución de muestreo (Distribución muestral) •
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Teorema del Límite Central
Distribución muestral para la media 1.- tendrá una media igual a µ 2.- tendrá un error estándar igual a n Error estándar de la media: es la desviación estándar de la distribución de muestreo de las medias. 3.- será normal si la población es normal. Será aproximadamente normal si la población NO es normal, PERO n sea 30 o mayor. (teorema del límite central) x
x
Si se toman todas las muestras posibles, cada una de tamaño n, de una población la distribución de muestreo tendrá ciertas características como. (1) dónde está el centro (media) (2) qué tanto varía (desviación estándar) (3) cómo está distribuida (forma)
Teorema del límite central •
Si se seleccionan de cualquier población todas las muestras de un tamaño determinado, la distribución de las medias muestrales se acercará a una distribución normal. Esta aproximación aumenta en el caso de muestras más grandes.
USO DE LA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO PARA LA MEDIA Dado que la distribución de la media muestral tiene la forma de la distribución normal podemos transformarla en una distribución de probabilidad normal estándar por medio del cálculo del valor z, y consultando la tabla de valores se puede conocer la probabilidad. La manera de determinar el valor z para la distribución de muestreo de la media está dada por:
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1.- Si se conoce el valor de σ
z
x
x
donde
x
Ejemplos:
n
x
z = valor normal estándar = media muestral = media de la distribución de muestreo = error estándar (desviación estándar de la distribución de muestreo) = desviación estándar de la distribución poblacional n = tamaño de la muestra, todas las muestras tienen el mismo tamaño. 2.- Si NO se conoce el valor de σ , pero si el valor de s (desviación estándar de la muestra) x x
x
1.- El departamento de control de calidad de una empresa de refrescos lleva un registro de la cantidad del líquido con que se llena su botella gigante. La cantidad de refresco en cada botella es de suma importancia sino es que crítico. Porque, si se llenan con menor cantidad de líquido no se estaría cumpliendo con lo especificado en la etiqueta de la botella. Por otro lado, si se llenan con mayor cantidad de líquido la empresa estaría regalando su producto. De acuerdo con sus registros, la cantidad de refresco en las botellas sigue una distribución normal. La cantidad media por botella es 31.2 oz y la desviación estándar poblacional es 0.4 oz. Hoy a las 9 d e la mañana el técnico de control tomó una muestra aleatoria de 16 botellas de la línea de llenado. La cantidad media de refresco para estas botellas fue 31.38 oz. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad media de refresco sea mayor que 31.38 oz? R: 0.0359. •
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Ejercicio: 2.- El salario medio por hora de los plomeros en una determinada región es de $28 (dólares), pero no se conoce el valor de la desviación estándar. ¿Cuál es la probabilidad de tomar una muestra de 50 plomeros y encontrar un salario medio por hora de $28.50 o más? La desviación estándar de la muestra es de $2.00 por hora. R: 0.0384 El análisis anterior es importante porque la mayoría de las decisiones en los negocios se toman basándose en los resultados de una muestra.
DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO PARA LA PROPORCIÓN DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN o DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Introducción •
Proporción: Fracción, razón o porcentaje que
indica la parte de la muestra o población que tiene una característica determinada.
1. 2. 3. 4.
d) 0.2266 e) 0.1587 f) 0.6147 a) $40 c) 0.0062 d) 0.7888 c) 12.65 d) 0.7852 e) 0.7281 f) 0.0571 c) 1.1 d)0.1841/0.1814 e)0.6736 f) 0.4895/0.4922 5. 0.9826 6. 0.8238
DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO PARA LA PROPORCIÓN •
Ejemplo: 92 de 100 encuestados están de acuerdo con el horario de verano para el ahorro de energía. La proporción es 92/100 o 0.92 o 92% p = x/n p= proporción muestral; x= número de éxitos; n= número de objetos muestreados
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DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO PARA LA PROPORCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO PARA LA PROPORCIÓN
Introducción
Introducción
Ejemplo: El director de un instituto técnico indica que el 80% de sus egresados entra al campo laboral en un puesto relacionado con su campo de estudio. En una encuesta realizada en las viviendas de un área determinada se encontró que 85% de ellas tenían aire acondicionado. •
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Ejemplo: En los ejemplos anteriores los datos de cada observación se clasifican en dos o más grupos mutuamente excluyentes. Distribución de la proporción muestral
Distribución de probabilidad que indica cuán probables son diversos valores posibles de la proporción muestral.
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DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL •
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Si se toman todas las muestras posibles, cada una de tamaño n, de una población con proporción P , la distribución de muestreo para la proporción: 1.- tendrá una media
p
•
•
igual a P P 1 P
•
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
2.- tendrá un error estándar p igual a n Error estándar de la proporción: es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción.
Dado que la distribución de muestreo para la proporción puede acercarse a una distribución normal podemos transformarla en una distribución de probabilidad normal estándar por medio del cálculo del valor z, y consultando la tabla de valores se puede conocer la probabilidad. La manera de determinar el valor z para la distribución de muestreo para la proporción está dada por: p p P 1 P donde z
p
z = valor normal estándar
p
n
p = proporción muestral
= media de la distribución de muestreo (o media de las proporciones) p = error estándar (desviación estándar de la distribución de muestreo) P = proporción de la distribución poblacional n = tamaño de la muestra. p
•
3.- Cuando el tamaño de la muestra es 20 ó menos, las probabilidades para los diferentes resultados posibles se pueden obtener directamente de una tabla de probabilidades binomiales. Para tamaños muestrales mayores la aproximación binomial a la normal producirá valores bastante aceptables.
Ejercicios 1.- Un detallista compra vasos de cristal en grandes cantidades directamente de la fábrica. Tales vasos son envueltos uno por uno. Algunas veces, el detallista inspecciona las remesas para determinar la proporción de vasos rotos o defectuosos. Si un gran cargamento contiene el 10% de vasos rotos o defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el detallista obtenga una muestra aleatoria de 100 vasos que presente el 17% o más de defectuosos (P( p>=17%))? R: 0.0099 2.- Si se toman muestras de 100 observaciones de una población muy grande, en la que la proporción de la población es de 20%, ¿qué porcentaje de las proporciones de la muestra quedarán dentro del siguiente intervalo? a) 16% a 24% R: 68% +- (68.26%) b) más del 24% R: 0.1587 c) 12% a 28% R: 95.5% +- (95.44%) d) menos del 12% o más del 28%. R: 0.0456
3. 4. 5. 6.
R:0.383 R:0.0019 R:0.2358 a) 3 puntos porcentuales. R:0.6730 b) 5 puntos porcentuales. R:0.8968 c) 8 puntos porcentuales. R:0.9910
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