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Tendencias actuales en el Diseño Geométrico de Vías Férreas. Férreas.
Dra. Ileana Cadenas Freixas. Dr. Wilfredo Martínez López del Casrillo
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CAPÍTULO I. Cálculos de tracción. 1.1. Importancia de los cálculos de tracción en la proyección de nuevas vías y en la reconstrucción de las existentes. La tracción de trenes es una rama del transporte ferroviario que se ocupa de los problemas relacionados con la mecánica del movimiento de trenes, la racionalización de la potencia de la locomotora y la seguridad del movimiento de los mismos. Los problemas estudiados en esta disciplina se aplican mucho en la práctica de ingeniería, tanto para la explotación y reconstrucción de los ferrocarriles existentes como en los proyectos de nuevas vías. Para la realización exitosa de estos trabajos es necesario se resuelvan una serie de tareas, como son: 1. 2. 3.
Encontrar la mejor posición de la traza y la mejor configuración del perfil longitudinal. Elegir el tipo de locomotora y la masa del tren de carga. Establecer las medidas para aumentar la capacidad de transportación del ferrocarril.
Antes es preciso dominar una serie de métodos que permitan determinar las fuerzas que actúan durante el movimiento del tren; las leyes del movimiento del equipo que se encuentra bajo las acciones de estas fuerzas; la ecuación de movimiento del tren y los métodos para resolverla; el cálculo del peso del mismo; las condiciones de frenado; los perfiles de la vía, etc. Todos estos métodos se unen bajo el nombre común de Cálculos de Tracción. Los cálculos de tracción en la proyección de ferrocarriles posibilitan prestar especial atención a las cuestiones de las cuales depende la elección del proyecto y su calidad. 1.2. Principios elementales del movimiento del tren. Para comprender la dinámica del movimiento de los trenes es necesario formular las siguientes interrogantes: ¿Por qué se mueve el tren? ¿Qué obliga a que este se mueva? ¿Por qué un mismo tren se mueve rápido y a veces más lentamente? ¿De que depende el carácter de su movimiento? Para contestarlas es necesario observar un caso sencillo con el auxilio de la Figura 1.1. El cuerpo se encuentra en reposo sobre una superficie; en este caso actuará su peso P y el de la reacción N. ¿Qué provoca el movimiento de cualquier cuerpo que descanse sobre una superficie sólida o que esté flotando en el agua? La respuesta es conocida de los cursos de Física y Mecánica Teórica: es necesario aplicar al cuerpo una fuerza externa (Fig. 1.2).
N
N
F w
P P
Fig 1.2. Esquema de aplicación de la fuerza F.
Fig 1.1. Acción y reacción.
Al aplicar la fuerza F aparece la fuerza de resistencia W, cuya magnitud depende del peso P, de las superficies que están en contacto, del medio, de la velocidad, etc. De acuerdo con este sistema de fuerzas, se presentan las siguientes situaciones: 1. 2.
Si F ≤ W, el cuerpo no se moverá. Si F > W, el cuerpo se moverá en dirección a la fuerza F con movimientos acelerados, ya que F – W > 0.
De las acciones de F y W se obtiene la resultante R:
R = F −W
(1.1)
Para la segunda situación, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, el cuerpo se moverá con aceleración, pues:
3
a=
R = m∗a
R m
Donde: a Aceleración del cuerpo,
m Masa del cuerpo.
La fuerza F tendrá necesariamente que ser externa, pues en caso contrario no se producirá movimiento, independientemente de su valor. Por todo lo anterior se permite afirmar que en un tren formado por vagones y una o más locomotoras acopladas mediante enganches no rígidos, cada equipo tiene un movimiento independiente que no se puede contemplar en los cálculos por su elevada complejidad; por tanto, se considera como un solo cuerpo en el que las fuerzas que actúan internamente l no se tiene en cuenta. En la actualidad los cálculos de tracción se realizan como regla general, de forma computarizada. Son programas especialmente elaborados y a los cuales se les introducen los datos como: 1. 2.
Parámetros del equipo móvil. Perfil y planta de la vía.
Y brindan como resultados: 1. 2. 3.
Velocidad de circulación de los Trenes. Tiempo de viaje. Gasto de combustible.
V(km/h) Apartadero 70 60 50 40 30 20 10 0
i1
L4
0 L1
L5
i2 L2
0 L6
i3 L3
S(km)
Curva de velocidad en funcion de la distancia Fig. 1.3 Los resultados pueden obtenerse en forma de tabla o gráfica. La representación gráfica es muy clara y útil para los objetivos de proyección. Los cálculos tradicionales también emplean ampliamente la representación gráfica. La forma más utilizada para describir el carácter del movimiento del tren es la variación de la velocidad durante el tiempo de viaje del camino recorrido o como comúnmente se le denomina: curva de velocidad y de tiempo de viaje para un tramo dado comenzando en el apartadero. (Figura 1.3) El perfil de la vía se da con los valores de las pendientes de los elementos en por miles ‰, es decir en metros de subida o bajada por Km. de vía y la longitud de los elementos tanto rectos como en curvas en metros. Analizando la curva de velocidad en función del desplazamiento (V/S) puede observarse como cambia la velocidad en las rampas y pendientes. Cuando el tren alcanza la velocidad máxima para las condiciones de frenado en la pendiente i2, el tren se mantiene en régimen de frenado.
4
Mediante la curva V (S) puede determinarse el tiempo de viaje desde el apartadero, donde estuvo parado el tren, hasta cualquier punto. 1.3 Modelo para el análisis del movimiento de los trenes. En la práctica ingeniera frecuentemente se tropieza con diferentes sistemas técnicos. El cálculo de esos sistemas (determinación de esfuerzos, tensiones, etc.) generalmente es muy complejo y trabajoso, para los cuales se crean métodos de cálculos especiales y programas de computación. Sin embargo, aún disponiendo de un aparato matemático moderno y las computadoras, el ingeniero trata de simplificarlos. Por eso en los cálculos ingenieros se emplean modelos de los sistemas, que garantizan la simplificación de los cómputos, representan la esencia del fenómeno original y permiten obtener resultados adecuados. El tren es un sistema de masas (locomotora y vagones) unida por enlaces elásticos (enganches automáticos). Si en los cálculos de tracción que se realizan para la proyección de las vías férreas se escoge un modelo que imite al tren real entonces los cálculos se hacen extremadamente complicados y surge la necesidad de simplificar el modelo. En los cálculos de tracción con fines de proyección se emplean generalmente un modelo del tren que considera al mismo como un punto material situado en el centro del tren y con una masa igual a la masa de todo el tren. Esta suposición simplifica los cálculos y no introduce grandes errores en la determinación de las velocidades y tiempos de viaje, fundamentalmente cuando la longitud del tren es menor que la longitud de los elementos del perfil. Cuando no es así, el error crece aunque sigue siendo aceptable para los cálculos prácticos. Para estos cálculos se emplea el sistema internacional de medidas. La masa del tren se mide en toneladas y se designa (P + Q). P Masa de la locomotora,
[t ]
Q Masa de los vagones del tren,
[t ]
Mientras que las fuerzas que actúen sobre el tren se miden en newton (N) o en kilonewton (kN). Si la masa del tren
(
)
es P + Q , la fuerza gravitatoria que actúa sobre él, es decir el peso será la fuerza de gravedad.
(P + Q ) ∗ g , donde g es la aceleración de
Existen dos formas de expresar las fuerzas que actúan sobre el tren: 1.
Fuerzas totales: Se designan con letras mayúsculas y son las que actúan sobre el tren, la locomotora, los vagones o sobre uno solo de estos. Se expresan en newton
2.
[N ].
Fuerzas unitarias: Son las fuerzas referidas a la unidad de peso del tren, o de la locomotora o de un vagón solo. Se designan con letras minúsculas. Como el peso del tren se mide en kN (la masa se mide en toneladas) entonces las fuerzas unitarias se expresan en
[N / kN ] .
En los cálculos se emplean solo las fuerzas exteriores que influyen en el movimiento del tren (del punto material), es decir, solo las componentes de esas fuerzas cuya línea de acción coincide con la dirección del posible movimiento del tren por la vía. (Figura 4). Y estas son:
Sentido del m ovim iento del tren.
N Fk
W
P Figura 1.4. M odelo del Tren (punto m aterial situado en su centro donde actúan todas las fuerzas)
5
1.
Fuerza Tractiva: Creada por la locomotora, depende de la potencia de los motores y puede estar limitada por la adhesión de las ruedas motrices con los rieles, además de poder ser regulada e incluso desconectada por el maquinista, y se representa con: Fk – Fuerza tractiva total
fk = 2.
Fh (P + Q ) ∗ g
[N ]. [N / kN ] .
- Fuerza tractiva unitaria
(1.2)
Fuerzas de resistencia al movimiento: Aparecen durante el movimiento del tren y generalmente están dirigidas en sentido contrario a este. Se conocen como fundamentales, aquellas que dependen de la fricción entre los muñones de los ejes y los cojinetes, del rodamiento de las ruedas sobre el riel, de la fricción por deslizamiento de las ruedas sobre los rieles, por los golpes de las ruedas en las uniones entre rieles, y por la acción del aire en el medio ambiente. Además, influyen otras fuerzas que se denominan complementarias, que son producidas por las diferencias de pendiente en los perfiles, por las curvas del trazado y por la puesta en marcha de la locomotora. Se representan con:
W
Fuerza total de resistencia al movimiento en
w=
W (P + Q ) ∗ g
[N ]
Fuerza unitaria de resistencia al movimiento en
[N / kN ]
(1.3)
En el caso de la resistencia complementaria por la variación de pendiente es válido señalar que como esta se produce por la componente del peso paralelo al eje de la vía puede ser a favor del movimiento. (Figura 1.5).
Sentido del movimiento del tren. Pendiente
(+)
N
Rampa
(-) Px
Px
Py
Py P
P
P Figura 1.5. Difirentes posiciones que puede precentar el tren en su movimiento por las vías.
En función de los valores de pendiente la resistencia al movimiento dependencia de las condiciones en que se encuentre el tren. 3.
puede ser positiva o negativa en
Fuerza de frenado: Es una fuerza dirigida en sentido contrario a la dirección del movimiento del tren, se produce artificialmente, y se utiliza para disminuir la velocidad de dicho movimiento hasta detenerlo si fuese necesario. Esta fuerza la dirige el maquinista. Y se representa con:
B
Fuerza de frenado total en
b=
6
(W )
B (P + Q ) ∗ g
[N ]
Fuerza de frenado unitario en
[N / kN ]
(1.4)
Estas tres fuerzas nunca actúan simultáneamente, solo pueden actuar al mismo tiempo dos de ellas y nunca la de tracción con la fuerza de frenado. La resultante de este sistema de fuerzas se denomina
R
Fuerza Resultante en
r=
R (P + Q ) ∗ g
R
y se expresa en
[N ]
[N ]
- resultante de la fuerza unitaria en
[N / kN ]
(1.5)
En dependencia de las fuerzas que actúan sobre el tren se diferencian tres regímenes de movimiento: 1.
Régimen de tracción: Motores de tracción conectados.
R = F −W 2.
(1.7)
Régimen libre: Motores de tracción desconectados y el freno no se emplea.
R = −W 3.
r = f −w
(1.6)
r = −w
(1.8)
(1.9)
Régimen de frenado: Motores de tracción desconectados y el freno está aplicado.
R = − (B + W )
r = −(b + r )
(1.10)
(1.11)
En dependencia del signo de la resultante el tren se moverá:
(r = 0)
-
con movimiento uniforme
-
con movimiento acelerado (r > 0) con movimiento desacelerado (r < 0)
1.4 Fuerza tractiva. Las locomotoras para ponerse en movimiento utilizan generadores de energía y un motor de combustión interna (generalmente diesel). Sin embargo, este motor no puede utilizarse como propulsor, ya que su potencia es directamente proporcional a su número de revoluciones; por eso, en el momento de arranque y en la aceleración, cuando se necesita una mayor fuerza de tracción, el desarrollaría una potencia muy baja. Para evitar esto, en las locomotoras se emplean diferentes tipos de transmisiones especiales, situadas entre el motor y los pares de ruedas. La transmisión más utilizada en las locomotoras de gran potencia y largos recorridos es la eléctrica, y en las de menor potencia, la hidráulica. Estas permiten utilizar separadamente el arranque del motor y la puesta en marcha del tren. Existe además la transmisión mecánica que se emplea solamente en las locomotoras de poca potencia (hasta 1000 HP). La condición para que la locomotora se mueva sin que patine, o sea, la limitación de la fuerza tractiva por la condición de adherencia entre ruedas y carril, que está presente en cualquier tipo de locomotora; se representa por:
Fk (ad ) ≤ 1000 ∗ψk ∗ P ∗ g Donde:
Fk (ad ) g
Fuerza de tracción aplicada en las superficies de contacto de los pares de ruedas con los raíles.
Aceleración de la gravedad.
P Masa de la locomotora.
ψk Los valores de
(1.12)
[t ]
[m / s ]
[N ]
2
Coeficiente de adherencia calculado entre las ruedas y los carriles.
ψk
se obtienen como resultado de numerosos experimentos. La estructura de la expresión obtenida,
que depende de la velocidad y del tipo de locomotora, se representa por:
ψk = a +
b c + dV
(1.13)
Donde: V velocidad de cálculo de la fuerza de adherencia. a, b, c y d son valores que dependen del tipo de locomotora. Los valores de los coeficientes a, b, c y d se representan en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Valores de los coeficientes a, b, c y d para el cálculo del Coeficiente de adherencia.
7
Tipo de locomotora Diesel hidráulica Diesel eléctrica
a 0.20 0.25
b 10 8
c 100 100
d 12 20
Si en los tramos de cálculo existen curvas de radio pequeño las condiciones de adherencia empeoran y el coeficiente de adhesión se multiplica por un valor K correc < 1. Para tracción eléctrica y radio
Kcorrec =
250 + 1.55 R 500 + 1.1R
Para tracción diesel y radio
Kcorrec =
R ≤ 500m . (1.14)
R ≤ 800 m
3.5 R 400 + 3R
(1.15)
En los túneles donde las condiciones de movimiento son más difíciles, el coeficiente se toma menor y se determina experimentalmente. En la explotación de las locomotoras, la disminución de la adhesión y el patinaje de los pares de ruedas puede producirse a causa de: 1. La presencia de humedad entre las ruedas y los raíles o diferentes suciedades, que actúan como lubricante y disminuyen la fuerza de adhesión entre unas y otras. 2. El deslizamiento unilateral entre los pares de ruedas de la locomotora a causa de la inclinación de estos por estar colocados incorrectamente en el truck o por un exceso de holgura entre las cajas de grasa y las caras de los muñones. 3. La distribución incorrecta del peso de la locomotora sobre cada eje de los pares de ruedas y sobre todo si existe una diferencia de carga en ella, causada por la acción de la transmisión, que provoque una sobrecarga en un par de ruedas con relación a los otros. 4. Un aumento brusco del movimiento de giro de los motores de tracción. 5. Las incorrecciones en el circuito de potencia y del sistema del campo de excitación de los motores de tracción, que provoquen una sobrecarga de algún motor de tracción y la disminución de carga en otros. Para realizar los cálculos de tracción es necesario tener información sobre la magnitud de la fuerza tractiva en el rango de trabajo de la velocidad del movimiento desde V=0 hasta la máxima velocidad constructiva de la locomotora a intervalos ∆V=5-10km/h. Esta información se obtiene de los pasaportes técnicos y características tractivas de las locomotoras, que se obtienen como resultado de los ensayos realizados en una vía adecuada. Con la ayuda de un vagón dinamómetro se miden las distintas fuerzas de tracción de acuerdo con la velocidad del movimiento, el esquema de conexión de los motores de tracción y la posición de la manivela de control. Las características de tracción de Fk = f (V) están trazadas en el sistema de coordenadas: en las ordenadas se representa la fuerza de tracción de una locomotora y en las abscisas su velocidad correspondiente. Los Fk (N) resultados que se reobtienen de estos gráficos se denominan características Límite de fuerza tractiva por adhesión de tracción de la locomotora. (Figura 1.6). 392400
Es por se 294300
El puede 196200
1.5
8
sentido de esta limitación por adherencia consiste en que para la velocidad determinada, haber una fuerza que no supere esta magnitud. Si el generador produce una fuerza tractiva superior, entonces ocurre el patinaje. Fuerzas de Resistencia
1.5.1 Durante
común en todos los gráficos de características técnicas la limitación de la fuerza de tracción adherencia entre ruedas y carril (señalada como se representa en la Figura 8) Esta limitación puede obtener utilizando la expresión de la limitación de la fuerza tractiva por adhesión, tomando la masa P y ψk (V) para cada locomotora en concreto.
Definición y clasificación 9810
el desplazamiento del tren, parte de la fuerza de tracción de la locomotora y la
V (Km/h) 20 40 60 80 100 120 Fig. 1.6 Grafica de fuerza tractiva contra velocidad para la locomotora TE-114K
energía cinética se emplea en vencer las distintas fuerzas de resistencia que se oponen al movimiento. Se denominan fuerzas de resistencia aquellas que aparecen durante el movimiento del tren y que están dirigidas en sentido contrario a dicho movimiento. La disminución de estas fuerzas tiene gran significado para el transporte ferroviario, ya que influye en una mejor utilización de la potencia que entrega la locomotora, en el aumento de la norma del peso y la velocidad de los trenes, además de lograrse mayor economía de combustible. Para simplificar los cálculos y poder tener en cuenta las diferentes condiciones de movimiento de los trenes estas fuerzas se dividen en dos grupos. 1. 2.
Fundamentales. Complementarias.
Las primeras son aquellas que actúan siempre y que no dependen del perfil ni de la planta de la vía (vía recta y horizontal); las segundas dependen de los perfiles y planta de la vía, y aparecen solamente en las pendientes, en las curvas y en la puesta en marcha del tren. Las fuerzas de resistencia son proporcionales al peso del tren (locomotoras y vagones). Atendiendo a este aspecto se clasifican en: 1. 2.
Específicas o Unitarias Totales
La específica es la resistencia – expresada en
[N / kN ] -, correspondiente a 1t del peso del tren, de la locomotora o de
los vagones; la fuerza de resistencia total se determina multiplicando la resistencia específica por el peso del tren, el de la locomotora o el de los vagones, y se expresada en
[N ].
Como se analizó en el Epígrafe 1.2 las fuerzas de resistencias totales se designan con la letra subíndices, que especifican de que tipo de resistencia se trata:
W
y con distintos
W 0, resistencias fundamentales. W i, resistencias por pendientes. W c, resistencias por curvas. W arr, resistencia en la puesta en marcha. Las fuerzas específicas se denominan con la letra w con análogos subíndices. Para diferenciar las resistencias atendiendo al equipo que la origina se utiliza el exponente prima (‘) para la locomotora y el dos prima (“) para los vagones. Por ejemplo:
Wo ' = wo ' ∗ P ∗ g , resistencia total fundamental de la locomotora. W0 ' , resistencia específica fundamental de la locomotora. P∗g W0" = w0" ∗ Q ∗ g , resistencia total fundamental de los vagones. wo ' =
wo" = Donde:
W0 " , resistencia específica fundamental de los vagones. Q∗g
(1.16) (1.17) (1.18) (1.19)
P Masa de la locomotora, en [t ] . Q Masa de los vagones, en [t ] .
La suma de las resistencias fundamentales y complementarias se llama resistencia al movimiento, que puede expresarse como específica o total. En los casos generales, la resistencia total al movimiento del tren se expresa de la forma siguiente:
Wk = Wk ' + Wk " = (wo ' + wi ' + wc ' ) ∗ P ∗ g + (wo" + wi" + wc" ) ∗ Q ∗ g
(N )
(1.20)
Esta expresión no contiene la resistencia de puesta en marcha. Cuando el movimiento del tren es uniforme: más del tren), por lo cual:
WI = f I . La locomotora estará trabajando en régimen libre (como un carro
9
WI = w x ' ∗ P ∗ g + wo" ∗ Q ∗ g + (wi + wc ) ∗ (P + Q ) ∗ g Donde:
wx '
(N )
(1.21)
Fuerza de resistencia cuando la locomotora trabaja en régimen libre.
1.5.2 Resistencias Fundamentales. Cuando el movimiento del tren se realiza por vías rectas y horizontales, aparecen solamente resistencias fundamentales, producidas por cinco factores: 1. 2. 3. 4. 5.
Resistencia por fricción entre los muñones de los ejes y los cojinetes. Resistencia por el rodamiento de las ruedas sobre los rieles. Resistencia a causa de la fricción por deslizamiento de las ruedas sobre los carriles. Resistencia por golpes de las ruedas en las uniones entre carriles. Resistencia por la acción del aire en el medio ambiente.
Resistencia por fricción entre los muñones de los ejes y los cojinetes. Cuando los pares de ruedas están girando, entre los muñones de los ejes y los cojinetes aparecen fuerzas de fricción
f P = p ϕ , donde p
es la carga situada sobre el cojinete y
ϕ , el coeficiente de fricción entre los muñones del eje y
los cojinetes. La variación del coeficiente de fricción ϕ durante la explotación depende de muchos factores: de la cantidad y calidad del lubricante (propiedades físicas y químicas), de las condiciones de trabajo de los cojinetes, o sea, de la presión específica del cojinete sobre el muñón, de la velocidad de rotación de los muñones, de la temperatura ambiente, del material de las superficies en fricción y del estado de las cagas de grasas. Lo que más influye en el aumento de la resistencia por fricción con los muñones de los ejes son las paradas del tren: cuando el tren está parado, las capas de lubricante de los cojinetes son muy finas; además, se enfría y aumenta su viscosidad; como resultado de esto, el coeficiente de fricción aumenta su valor 5 ó 6 veces más que cuando la velocidad es de 15 a 20
km
h
. En cuanto el tren comience a moverse, el coeficiente
ϕ
empieza a disminuir porque con el primer
giro se inicia la lubricación; además, el lubricante se calienta y disminuye su viscosidad. Las condiciones de trabajo de las superficies de contacto entre los muñones y los cojinetes influye en el coeficiente de fricción: si las superficies están en buenas condiciones no solamente disminuye el coeficiente, sino que decrecen las posibilidades de desgaste. En condiciones medias el valor de la resistencia por fricción es aproximadamente
9.81 N
kN
para los cojinetes de fricción.
Para los cojinetes de rodillo, que son los más utilizados en estos momentos el valor de la resistencia específica es un 30% menor que los utilizados en los cojinetes de fricción. Resistencia por el rodamiento de las ruedas sobre los carriles. Al rodar las ruedas sobre los carriles, estos se hunden en sus distintas áreas de contacto, originando que la resistencia al movimiento del tren aumente. El valor de este hundimiento depende del tipo de carga del tren, de la cantidad de traviesas por kilómetro de vía, del género y el estado del balasto y de la distribución de la carga de las ruedas sobre los raíles. La resistencia por rodamiento se determina de forma experimental. Resistencia a causa de la fricción por deslizamiento de las ruedas sobre los raíles. Conjuntamente con el rodamiento de las ruedas se producen deslizamientos parciales de estas sobre los carriles. Estos deslizamientos se deben a los siguientes factores: 1. 2. 3. 4.
Conicidad del perfil de la superficie de pisada de la rueda. Oscilaciones de los vagones durante su movimiento. Mala formación de los pares de ruedas y defectos en las ruedas de un mismo eje. Diferentes longitudes entre el perímetro exterior e interior de las curvas.
El perfil de la superficie de pisada de la rueda tiene forma cónica, lo cual facilita la inscripción de los trucks en las curvas de la vía; por otro lado, la conicidad de la rueda provoca que ella se deslice adicionalmente. El contacto de las ruedas con el raíl no es un punto, sino una superficie ovalada ab (Figura 12), por lo que alrededor de los puntos a y b se encuentran distintos radios y por esto durante su giro ellos deberán recorrer diferentes espacios en una vuelta. Como todos los puntos de la rueda recorren un espacio igual, podría pensarse, lógicamente, que todos los puntos que estén en la circunferencia de radio menor
10
(RII ) deberán atrasarse y los que se encuentran en el radio mayor (RI ) adelantarse.
Pero como esto no sucede así, analizando la situación explicada para el par de ruedas, se puede decir que en la que este girando por el radio
RII
se producirán deslizamientos parciales para lograr mantener el mismo espacio recorrido
RI , lo que trae consigo la resistencia por fricción a causa del deslizamiento de las
que la rueda que gire por el radio ruedas sobre los carriles.
RII
a
R
Los deslizamientos de los pares de ruedas se producen no solamente en las curvas, sino también en los trayectos rectos, por lo que a causa de esto se originan defectos en las cajas de grasa y en los pares de ruedas, además de aumentar la resistencia al movimiento del tren. Esta Fuerza de Resistencia también puede aparecer por una mala formación de los pares de ruedas en sus ejes (Figura 13).
RI
b
Al igual que las fuerzas de resistencia estudiadas anteriormente la formada a causa de la fricción por deslizamiento de las ruedas sobre los carriles también se obtiene de forma experimental.
Fig. 1.7 Esquema que refleja la superficie de contacto entre la rueda y el carril.
Resistencia por golpes de las ruedas en las uniones entre carriles. El movimiento del tren por las vías va acompañado de golpes en las uniones entre carriles. A causa de estos golpes hay que emplear parte de la fuerza tractiva en trabajo mecánico para recuperar la velocidad perdida; por esta razón se puede considerar este trabajo como una resistencia al movimiento del tren. Cuando la rueda cae en una unión, su centro geométrico cambia de posición. Por ejemplo, en la posición 1 su centro es O1 ; en la posición 2 es O2 y en la 3, O1 (Figura 14). Esto trae como consecuencia que la rueda, para salir de la unión, tiene que realizar un trabajo equivalente a una resistencia total
K = 9810 p∆ ( N ) , donde ∆ O1 y O2 .
entre Las carriles, de pisadas ruedas o pérdidas fricción. movimiento
V K H
K F
B G ,P
IG
es la diferencia de altura existente
resistencias por golpes no se deben solamente a las uniones de los sino también a los planos y hundimientos existentes en las superficies de las ruedas, producidos por desgastes, por mala fundición de las por trancamiento de estas a causa de una aplicación de freno incorrecta. En este grupo de resistencias se puede incluir las en el enganche y en los aparatos de choque producidas por una amortiguación incompleta de los muelles en los mecanismos de Estas pérdidas se producen frecuentemente cuando la velocidad del del tren es pequeña.
Fig.1.8 Mala formación de los pares de ruedas en sus ejes
11
2
1
3 O3
O1
O2
Fig.1.9 Fuerza de resistencia por golpes en la vía
Resistencia por la acción del aire en el medio ambiente. Al moverse el tren, se pone en movimiento también la masa de aire que lo rodea, la cual influye sobre él. Si se observa el esquema de la acción del aire sobre el tren (Figura 15), se le pueden atribuir varias causas a la resistencia del aire: 1. 2. 3. 4.
Cualquier superficie del tren está expuesta a la presión del aire. Sobre el cuerpo y en las superficies laterales actúa un torbellino de aire. Entre las superficies del tren y el aire aparecen fricciones. Todas las ruedas de los vagones y locomotoras, en cierto grado, trabajan como ruedas de ventilación.
Fig.1.10 Esquema de la acción del aire sobre el tren. La forma del tren, y principalmente de la locomotora, influye notablemente en el valor de la resistencia del aire, sobre todo cuando el tren se mueve, pues la resistencia producto de la acción del aire crece al aumentar la velocidad. Por eso la locomotora debe construirse con una forma aerodinámica. La influencia del aire, principalmente por el frente y los laterales, aumenta significativamente la resistencia producto del medio ambiente (Figura 1.11).
12
Fig.1.11 Análisis del coeficiente que caracteriza la forma aerodinámica tendiendo a la ideal de un cuerpo. La magnitud de la resistencia del aire se puede determinar por la fórmula siguiente:
Wa = C x ∗ Donde:
p ∗V 2 2
p ∗V 2 ∗Ω∗L∗ g 2
g,
(1.22)
Presión del aire (con p: densidad del aire, o sea, su masa volumen), en
Ω, L, Cx ,
[N ]
[Pa] ;
Área de la sección frontal del tren, en Longitud del tren, en
en cada unidad de
cm 2
m
Coeficiente que caracteriza la forma aerodinámica del tren. Aceleración de la gravedad en
m
s2
En la Figura 16 puede analizarse el coeficiente que caracteriza la forma aerodinámica tendiendo a la ideal de un cuerpo. De acuerdo con esta, el coeficiente
Cx
se puede escoger atendiendo a la forma aerodinámica que tenga el tren.
El aire que se desliza por los laterales del tren aumenta grandemente la resistencia a su movimiento; el más perjudicial es el que actúa en un ángulo de
20 a 25 0 .
1.6 Metodología para el cálculo de las Fuerzas resistentes fundamentales. Los datos expuestos sobre la naturaleza de las fuerzas de resistencia fundamentales indican que estas dependen de muchos factores que se producen por diferentes causas. Dentro de los factores están la conformación del tren y de sus partes mecánicas, carga de los vagones, velocidad del movimiento, cantidad y calidad de la lubricación de las cajas de grasa, estado de las superficies que se friccionan, condición del tiempo, tipos de carriles, cantidad y calidad de las traviesas y el balasto, estado de las uniones entre carriles, calidad de los zunchos o ruedas, fuerza y dirección del viento, entre otros. En vista de la variedad de factores, de sus difíciles dependencias unos de otros y de la constante variación de las condiciones de movimiento del tren, en la práctica, para calcular las resistencias fundamentales, se utilizan fórmulas empíricas, obtenidas a partir de mediciones experimentales. Estas nos permiten calcular las resistencias de los vagones
13
y las locomotoras debido a estos cinco factores utilizando tres variables: la velocidad, el peso bruto de los vagones y la configuración del tren. Para las locomotoras se utiliza la expresión:
[N / kN ]
w0 ' = A + B ∗ V + C ∗ V 2 Donde:
(1.23)
w0 ' Fuerza unitaria de resistencia al movimiento de la locomotora. Factores que dependen del régimen A , B yC
de
trabajo
y
de
las
características de la vía.
V
Velocidad de la locomotora en
km
h
Nota: La tabla 1.2 muestra en el numerador los valores correspondientes al régimen de trabajo en tracción y los del denominador a régimen de trabajo libre. Tabla 1.2 Valores de los coeficientes para el cálculo de las fuerzas locomotoras. Coeficiente A B C
Vía con juntas
resistentes en las
Vía sin juntas
1.9
1.9
2.4 0.01 0.0011 0.0003 0.00035
2.4 0.008 0.009 0.00025 0.00025
En el caso de los vagones los cálculos de estas fuerzas se dividen en tres grupos atendiendo a las características del material rodante: 1. 2. 3.
Vagones de carga Coches de pasajeros Vagones de mercancías vacíos
Vagones de carga En necesario que se tenga en cuenta que para considerar un vagón de carga, el mismo debe tener una masa por eje de al menos 6t .
w0" = A + Donde:
B + C ∗V + D ∗V 2 qo
[N / kN ]
(1.24)
w0" Fuerza unitaria de resistencia al movimiento de los vagones. A , B , C y D Factores que dependen del tipo de cojinete que posea el vagón y de las características de la vía.
V
Velocidad a que se mueve la locomotora en [ km
h
]
qI Masa por eje en [ t ]. 4 q I = qT + β ∗ qbr Masa bruta de los vagones.
qo =
qT Tara de los vagones. (Masa característica de los vagones).Ver en anexo 3. β Coeficiente de utilización de la capacidad de carga de los vagones. qbr Capacidad de carga de los vagones. Ver en anexo 3. Los valores de los coeficientes A, B, C y D se muestran en la tabla1.3. Tabla 1.3 Valores de los coeficientes correspondiente a los vagones de carga.
14
Coeficiente
Vía con juntas
A
0.7
B
8
0.7
3 0.1 0.1 0.0025 0.0025
C D
Vías sin juntas
0. 7
0.7 8 3 0.08 0.09 0.002 0.002
Los valores del numerador corresponden a vagones con cojinetes de fricción y los del denominador a vagones con cojinetes de rodillo. Coches de pasajeros
wo" = A1 + B1 ∗ V + C1 ∗ V 2 Donde:
wo"
(1.25)
La fuerza unitaria de resistencia al movimiento de los vagones.
A1 , B1 y C1 V
[N / kN ]
Coeficientes que dependen de las características de la vía.
Velocidad a que se mueve la locomotora en
km
h
.
Los valores de los coeficientes A1, B1y C1 se muestran en la tabla1.4. Tabla 1.4 Valores de los coeficientes en función de las características de vía. Coeficiente
Vía con juntas
Vía sin juntas
A1
1.2
1.2
B1
0.012
0.0096
C1
0.0002
0.00016 Vagones
de
mercancías
vacíos
wo" = A1 + B1 ∗ V + C1 ∗ V 2 Donde:
wo"
[N / kN ]
(1.26)
Fuerza unitaria de resistencia al movimiento de los vagones.
A1 , B1 y C1
Coeficientes que dependen del tipo de cojinete que posea el vagón y de las características de la
vía.
V
Velocidad a que se mueve la locomotora en [ km
h
].
Los valores de los coeficientes A1, B1y C1 se muestran en la tabla1.5.
Tabla 1.5 Valores de los coeficientes para los vagones de mercancías vacíos. Coeficiente A1 B1 C1
Vía con juntas
1.5 1.0 0.045 0.044 0.00027 0.00024
Vía sin juntas
1.5 1.0 0.036 0.035 0.00022 0.00019
15
Los valores del numerador corresponden a vagones con cojinetes de fricción y los del denominador a vagones con cojinetes de rodillo. 1.8 Resistencias complementarias. 1.8.1 Resistencia complementaria por la pendiente de la vía. Para vencer la resistencia complementaria por pendiente se necesita emplear parte de la fuerza de tracción, lo cual implica que la locomotora podrá transportar un menor peso en dicha pendiente. El significado cuantitativo de la resistencia específica complementaria por pendiente
(wi )
se expresa de la siguiente
manera. En el tramo se tiene una pendiente (AB) (Figura 17) con un ángulo de inclinación en relación con la horizontal:
sen α =
BC h = AB s Por la pendiente va un tren que tiene una masa (P+Q), en t . Descomponiendo la masa (P+Q) en dos componentes:
(
(P1+Q1), perpendicular a la línea AB e igual a P + Q y (P2+Q2), paralela a la línea AB e
N = Q cos a
S
) cos α
igual
(P + Q )senα , (P1 + Q1 ) = (P + Q ) cos α se equilibra con la reacción de los carriles y (P2 + Q2 ) = (P + Q ) sen α
a B
Q2
estará dirigida en sentido contrario al movimiento del tren; esta última será precisamente la resistencia por Q*cos a a
h
Q1
(N ) , igual a: = 1000(P + Q )sen α ∗ g [N ]
pendiente, dada en
Q
Wi
(1.27)
a A C Fig.1.12 Esquema de las fuerzas que actúan producto de las pendientes
g,
Donde: [m
s2
la aceleración de la gravedad en
]
Por tanto, la resistencia específica por pendiente será igual a:
wi =
[N / kN ]
Wi = 1000 sen α (P + Q ) ∗ g
La magnitud trigonométrica de la inclinación
sen α
(1.28)
aumentada 1000 veces, se expresará por la letra
0
()
i , y su unidad se
dará en /00 (milésimas). Generalmente el valor de la pendiente i se indica con el signo más (+) cuando el movimiento es en subida y con el menos (-) si es en bajada, por consiguiente, si el tren se mueve por una subida, entonces:
Wi = 1000(P + Q ) sen α ∗ g
(1.29)
1000(P + Q ) ∗ g ∗ i = (P + Q ) ∗ g ∗ i 1000 wi = i [N / kN ]
α = tangα =
Wi =
i 1000
(1.30)
(1.31) (1.32)
De esta expresión se puede inferir que si el tren se mueve por una vía horizontal, entonces se cumple que:
wi = 0 La magnitud de esta resistencia específica complementaria se expresa en 0
i = 0;
[N / kN ] y es igual a la magnitud de la
pendiente en /00. En resumen, la magnitud de la resistencia específica fundamental por pendiente es igual tanto para la
16
locomotora como pera los vagones. Según la Norma Cubana 53 – 165 de 1986 las pendientes recomendables para las vías férreas según su categoría son las presentadas en la tabla 1.7 . Tabla 1.7 Pendientes recomendables para las vías férreas por categoría. 0 Diferencia algebraica de pendiente ( /00) Clase de la vía férrea Recomendable Condiciones difíciles I 8 12 II 10 20 III 12 20 IV y V 20 30
Para que se tenga una idea con respecto a las pendientes admitidas de otros países, como regla general, los declives se 0 0 mantienen inferiores al 10 /00 (en Alemania 5 /00 para las líneas de llano o de mucho tráfico; en la directísima Bolonia – 0 0 Florencia 12 /00) y como máximo suben hasta 18 – 25 /00 en las línea de montaña. Las secundarias de vía estrecha 0 1 permiten llagar excepcionalmente al 35 /00 . 1.8.3 Resistencia complementaria por la circulación por curvas en la vía. Durante el movimiento por los tramos de vía en curvas, el tren experimenta resistencia complementaria, debido a: 1. Durante el movimiento por las curvas, los trucks de la locomotora y de los vagones tienden a seguir la trayectoria recta (figura 19); por eso las pestañas de las ruedas delanteras se comprimen al carril exterior incrementando la fricción.
2. El radio del carril exterior es mayor que el del interior, por lo que la rueda exterior recorrerá mayor espacio que la interior. Como las ruedas son colocadas en el eje, el movimiento de las ruedas es solidario. La conicidad de las ruedas debería resolver la diferencia entre el carril exterior e interior, sin embargo no se resuelve totalmente originándose deslizamiento de la rueda que circula por el carril interior y aumenta la fricción.
R
3. Como resultado de la fuerza centrífuga se producen deslizamientos transversales los también originan fricción adicional. F ig .1 .1 3 D is p o c ic ió n d e lo s tru c k s
e n la s c u rv a s .
4. Cuando el tren entra y sale de la curva se producen ciertos giros de los trucks, lo cual produce fricción en el plato centro y en los apoyos
laterales. Para conocer los efectos de las resistencias causadas por las curvas hay que analizar varios factores: el radio de la curva, el ancho de la vía, el estado y el tipo de construcción de los trucks, el estado de desgaste de los zunchos y carriles, la velocidad del movimiento, etc. La incidencia multilateral de estos factores complica el poder determinar teóricamente el valor de estas resistencias. En la práctica se utilizan fórmulas empíricas en las que se tiene en cuenta los factores fundamentales. La fuerza de resistencia específica por curvas se denota con la letra
wc
y se expresa en
[N / kN ] .
Para calcular la resistencia unitaria por curvas en vías férreas en explotación y en función solo del radio de la curva (R) se utiliza la expresión:
wc =
700 R
(1.33)
Teniendo en cuenta que el radio de la curva se puede determinar como:
R = 57.3
Sc
α
(1.34)
Donde: Sc Longitud de la curva. α Angulo de giro.
17
Se obtiene la siguiente expresión:
wc = 12.2
α
(1.35)
Sc
La exactitud de los cálculos de estas fuerzas se eleva utilizando la expresión:
wc =
200 + 1.5τ k R
Sustituyendo 41 en 42:
Donde:
τk
wc =
(1.36)
3.5α + 1.5τ k Sc
Aceleración no compensada.
V Velocidad de movimiento g
(1.37)
τk =
[m / s ]
V2 h∗ g + 13 ∗ R S
[m / s ] 2
Aceleración de la gravedad
[mm] distancia entre ejes [mm]
h superelevación S
La resistencia adicional unitaria por curva
wrc
depende de la relación entre la longitud del tren (l t) y la longitud de la
curva (S c).
wrc = wc , si S c > l t
wrc =
(1.38)
wc ∗ S c lt
, si S c < l t
(1.39)
Generalmente las resistencias complementarias por curvas se designan por pendientes ficticias, que equivalen a una
[
]
pendiente del mismo valor, en N / kN . Cuando coinciden curvas con pendientes, su resistencia se suma y se expresa mediante una pendiente, denotada convencionalmente ik:
ik = i +
700 R
(1.40)
En los ferrocarriles Italianos los valores de pendientes ficticias que se utilizan para las diferentes curvas, en m, son los que se presentan en la tabla 1.8. Tabla 1.8 Valores de pendientes ficticias en función del radio de la curva. R= 1000 800 600 500 400 350 300 I= 0.05 0.8 1.2 1.5 2 2.4 2.8
250 3.4
200 4.2
180 4.5
En Europa los valores mínimos permisibles para radios de curvas en líneas de llanura con mucho tráfico son de 500 m, y de 300 m, para las de montaña. En las estaciones, para vías de servicio, es posible reducirlo a menos de 150 m. En Cuba, según la norma 53-166 de 1986 en las curvas horizontales los valores de los radios mínimos según la clase de la vía son los mostrados en la tabla 1.9. Tabla 1.9 Valores de radio mínimo atendiendo a la clase de la vía. Clase de la vía Radio de curvas circulares I II III IV V
18
Condiciones difíciles
Condiciones muy difíciles
1000 800 500 300 300
600 400 250 180 150
1.8.5 Fuerza de resistencia por la puesta en marcha. Todas las expresiones estudiadas anteriormente se utilizan cuando el tren está en movimiento. Cuando el tren se pone en marcha aparecen resistencias complementarias producidas en su mayoría por el aumento del coeficiente de fricción en los muñones de los ejes (en los cojinetes). Durante el tiempo de parada del tren, el lubricante gotea de los muñones, el grosor de la capa de aceite disminuye y el lubricante se enfría, con lo cual aumenta su viscosidad y, con ello, crece rápidamente el coeficiente de fricción. Cierta influencia se obtiene también al aumentar la resistencia de las ruedas sobre los raíles, pues durante el tiempo de parada, a causa de la presión continuada, las ruedas producen deformaciones en los raíles y se hunden un poco ellos. En el momento de la arrancada esta resistencia adicional unitaria por la puesta en marcha es:
warr = Donde:
warr qo A
A qo + 7
(1.41)
Fuerza de resistencia unitaria por la puesta en marcha. Masa por eje de los vagones
[t ] .
[N / kN ]
Coeficiente que depende del tipo de cojinete. Tabla 1.10 Valores del coeficiente A según el tipo de cojinete. Coeficiente A Cojinetes de fricción Cojinetes de rodillo 142 28
1.9 Fuerza de frenado. 1.9.1 Definición de la fuerza de frenado. Se denomina fuerza de frenado a la fuerza exterior dirigida en sentido contrario a la dirección del movimiento del tren que se produce artificialmente y se utiliza para disminuir la velocidad de dicho movimiento. Esta fuerza la dirige el maquinista. En la práctica las fuerzas de frenado pueden producirse, con ayuda de los carriles de las siguientes formas: 1. Apretando las zapatas de frenado a las ruedas. 2. Poniendo cuñas de frenado a las ruedas. 3. Apretando las ruedas contra la vía. 4. Convirtiendo los motores de tracción en generadores de corriente (frenado eléctrico) El frenado mas difundido es el primero, ya que permite obtener una gran fuerza de frenado y regularla en los límites necesarios. 1.9.2 Proceso de formación de la fuerza de frenado al apretar las zapatas contra las ruedas. Para producir la fuerza de frenado con este método, se aprietan las zapatas contra las ruedas Se puede plantear que el valor de la fuerza de frenado depende de la magnitud de la fuerza de apriete de la zapata y del coeficiente de fricción entre las zapatas y las ruedas, se expresa por las letras b y B en dependencia de si es unitaria o total y se determina por:
B = 1000 ∗ ϕc ∗ ∑ Kp Donde:
B
Fuerza total de frenado.
ϕc
(1.42)
[N ]
Coeficiente de fricción de cálculo entre las zapatas y las ruedas.
∑ Kp Suma de las fuerzas de apriete de las zapatas en los ejes de frenado de los vagones. Según el resultado de numerosos experimentos la fuerza presentada en la tabla 1.11 de cálculo de apriete de las zapatas para los distintos tipos de vagones son: Tabla 1.11 Fuerza de apriete de las zapatas para los distintos tipos de vagones. Tipo de vagones Vagones de carga con zapata de HoFo Vagones de carga con zapatas especiales. Vagones de pasajeros con tara mayor de 53 t. Vagones de pasajeros con tara entre 48 y 53 t. Vagones de pasajeros con tara entre 42 y 48 t.
Fuerza de apriete de las zapatas en la rueda, en kN 69 83 98 88 78
19
A partir de la expresión 49 el valor de la fuerza de frenado unitaria será:
b=
B ∑ Kp = 1000 ∗ ϕc ∗ (P + Q ) ∗ g (P + Q ) ∗ g
υp = Donde:
b
∑ Kp
(P + Q ) ∗ g
(1.44)
(1.43)
b = 1000 ∗ ϕc ∗ υp
(1.45)
[N / kN ] Peso del tren [kN ]
Fuerza de frenado unitaria.
(P + Q ) ∗ g υp Coeficiente de frenado de cálculo, o sea relación de la suma de las fuerzas de apriete de cálculo de todas
las zapatas con el peso del tren. El coeficiente υp puede calcularse si se conoce el número y tipo de vagones con frenado. Estos valores para los cálculos de tracción de la proyección de nuevas vías están dados y dependen del tipo de frenado que se utilice. Si el frenado es de: 1. 2. 3.
Emergencia el coeficiente υp se toma igual al 100%. Cuando es de Servicio total (para localizar las señales fijas) es del 80%. Cuando es frenando de servicio (paradas en los puntos de división) es del 50%.
Los valores de
υp
para los cálculos se introducen en tanto por uno.
Una condición indispensable para lograr una buena magnitud de fuerza de frenado es la suficiente adhesión entre las ruedas y los carriles, con lo cual se impide que las ruedas patinen o se deslicen sobre los carriles. La fuerza de frenado no puede aumentarse ilimitadamente ampliando la fuerza de aplicación (K) o aumentando el
coeficiente de fricción ( ϕ k ). Si la fuerza de frenado trata de sobrepasar a la de adherencia, se produce el trancamiento de los pares de ruedas y estos se deslizaran por los carriles sin girar. Cuando esto sucede, el valor de la fuerza de frenado disminuye considerablemente, pues el coeficiente de deslizamiento de las ruedas sobre los Carriles es menor que el coeficiente de fricción entre las zapatas y las ruedas. Este trancamiento trae como consecuencia planos en las ruedas, daños en las partes mecánicas y desgaste acelerado de los carriles. 1.9.3 Coeficiente de fricción de las zapatas de frenado. Sobre la base de los experimentos realizados en los ferrocarriles para calcular el coeficiente de fricción se utilizan fórmulas que dependen del tipo de zapata y de la velocidad de movimiento del tren: Para zapatas de Hierro Fundido (HoFo): Donde:
ϕc V
ϕc = 0.27
V + 100 5 ∗ V + 100
(1.46)
Coeficiente de fricción de cálculo entre las zapatas y las ruedas. Velocidad de movimiento del tren.
Para zapatas Especiales:
ϕc = 0.36
V + 100 2 ∗ V + 150
(1.47)
El maquinista puede ajustar la fuerza de frenado regulando la fuerza de aplicación de las zapatas. Sin embargo, cuando se frena, esta fuerza de frenado
(Kϕ k ) no debe ser mayor que la de adhesión entre las ruedas y los carriles para evitar
el deslizamiento de las ruedas sobre el carril.
Kϕ k = P ψ k Si el tren se mueve por una bajada con velocidad constante, determinada por la condición de frenado mecánico, entonces la locomotora debe asegurar la fuerza de frenado igual a:
B = (P + Q ) ∗ g ∗ (wi − wo )
20
(1.48)
Donde:
B Fuerza total de frenado. [N ] (P + Q ) ∗ g Peso del tren [kN ] wi Resistencia por pendiente. [N / kN ]
wo
Resistencia fundamental al movimiento en régimen libre.
[N / kN ]
Esta fuerza de frenado permite mantener la velocidad de movimiento dada en la bajada. Es necesario comprobar que la locomotora puede asegurar esa magnitud de fuerza de frenado, y si puede, definir en que condición ocurrirá el frenado. 1.10. Análisis de la dinámica del movimiento de los trenes. 1.10.1. Cálculo de la resultante de las fuerzas específicas en función de la velocidad y análisis de las condiciones del movimiento del tren.
Ya se ha estudiado las fuerzas que actúan sobre el tren durante su movimiento (F, W, B). Se pasará ahora a analizar las condiciones en que dicho movimiento se produce. El proceso de movimiento de los trenes por los tramos que poseen perfiles de vía variados se caracteriza fundamentalmente por tres regímenes de trabajo de las locomotoras: 1. 2. 3.
Régimen de tracción (trabajando bajo corriente). Régimen Libre (trabajando sin corriente). Régimen de frenado.
Cuando la locomotora se encuentra en Régimen de Tracción, la resultante de las fuerzas ( r o
R ) que actúan sobre el ( fk − w) :
tren se determinan por la diferencia entre la fuerza de tracción y la resistencia al movimiento del tren
r = fk − w Cuando la locomotora esta trabajando en Régimen Libre los motores se encuentran desconectados, por lo que el movimiento se produce a causa de la acumulación anterior de energía cinética o por la acción de la fuerza de gravedad en las pendientes de las vías. La resultante está determinada por la magnitud
(− w) .
r = −w Cuando frenamos, se pone en acción la fuerza de frenado; en este caso la resultante de las fuerzas será
− (b + w) .
r = −(b + w) El carácter del movimiento de los trenes se determina por el valor y la dirección de las resultantes de las fuerzas. Si la resultante es igual a cero, el tren se moverá con un movimiento uniforme o no se moverá; si la resultante es mayor que cero, el tren se moverá aceleradamente y si es menor que cero, el movimiento será retardado. Para comprender mejor la interrelación de la resultante de las fuerzas y la velocidad del movimiento de los trenes, es más cómodo utilizar el diagrama de
Fk − Wo = f (V )
o en forma de fuerzas específicas
fk − wo = f (V )
determinado el valor de la resultante para las distintas velocidades del movimiento para un perfil de horizontal.
(
vía recto y
)
De acuerdo con la expresión fk − w pueden producirse aceleraciones o retrasos en el tren, por lo cual a las fuerzas resultantes se les denominan fuerzas aceleratriz y retardatriz. (Figuras 1.14 y 1.15).
21
Fk (N)
Fk-Wo (N)
Wo
a
Fk o V (Km/h)
Vu
Fig.1.14. Diagrama de las fuerzas aceleratriz o retardotriz total.
fk-w (N/kN) 0
fk-w0
o V (Km/h)
Vu
Fig.1.15. Diagrama de las fuerzas aceleratriz o retardotriz específicas.
En la figura 1.14 y 1.15 se muestran los diagramas que relacionan las fuerzas de tracción y de resistencias fundamentales en función de la velocidad. El punto a (ver Figura) es la intersección de la curva de la fuerza de tracción con la fuerza de resistencia e indica donde la velocidad del movimiento es uniforme (Vu) para un tren determinado en un perfil de vía recto y horizontal. Para todas las velocidades menores que la velocidad uniforme, la fuerza de tracción es mayor que la de resistencia, por lo que el tren se moverá aceleradamente; pero cuando la velocidad es mayor que esta, entonces Fk〈Wo , o sea, la resultante de las fuerzas será negativa y el tren se moverá con movimiento retardado. La determinación del valor de
Fk − Wo = f (V ) ,
Fk − Wo
para cada velocidad se puede lograr construyendo el diagrama de
correspondiente a la Figura 1.14 o el de
fk − wo = f (V ) ,
Fk − Wo P+Q
(1.49)
correspondiente a la Figura 1.15,
donde:
fk − wo =
[N / kN ]
Para construir el diagrama de la fuerza aceleratriz
fk − wo
se realiza una tabla auxiliar (Tabla 1.12) donde se calculan
los datos de la segunda columna auxiliándose de las características de tracción de la serie de locomotora que se empleará.
22
Tabla 1.12 Tabla auxiliar para la elaboración de los diagramas de las fuerzas aceleratrices.
Fk − Wo P+Q
1
V
9
2
Fk
10
w'o
3
w'o
11
W '0 = w'0 ∗P
4
W '0 = w'0 ∗P
12
W "0 +W '0
5
w"o
13
6
W "0 = w"0 ∗Q
14
W "0 +W '0 P+Q b = 1000 ∗ ϕc ∗ υ p
7
W0 = W '0 +W "0
15
8
Fk − W '0
9
fk − wo =
w0 =
b + w0 fk − wo =
Fk − Wo P+Q
Ejemplo. Calcular las resultantes de las fuerzas aceleratrices de una locomotora TE-114K (Masa 120t) y posee vagones de pasajeros de cuatro ejes y cojinetes de rodillo con una masa de 3000t (Tabla 1.13). La vía está compuesta por carriles soldados de 300 m y es recta y horizontal con zapatas de hierro fundido y frenado de emergencia. Tabla 1.13
V [Km / h]
Fk [N ]
W0 [N ]
Fk − W0
5 13 15 20 20.5 25 29.5 30 35 40 45 50 51.5 60 63 70 75 80 90 100
346293 322356.6 318825 235440 231516 196200 165298.5 161865 142245 127530 112815 99081 99081 81423 79068.6 71613 65727 61803 55917 50031
39137.48 42193.5 43057.55 45392.83 45640.12 47978.25 50519.02 50813.84 53899.57 57235.46 60821.51 64657.7 65857.35 73080.5 75802.5 82504.06 87591.04 92928.17 104352.89 116778.23
307155.5 280163.09 257767.43 190047.17 185875.87 148221.75 114779.48 111051.16 88345.42 70294.53 51993.49 34423.29 33223.64 8342.42 3266.05 -10891.06 -21864.04 -31125.17 -48435.89 -66747.23
fk − w0 291.02 270.48 267.42 196.42 193.07 162.90 136.46 133.52 116.64 103.89 91.13 79.18 79.09 63.55 61.34 54.503 49.12 45.38 39.50 33.55
w0 libre
b
b + w0
3,7 3,91 3,97 4,13 4,15 4,32 4,5 4,53 4,75 5 5,27 5,55 5,64 6,19 6,4 6,91 7,30 7,71 8,59 9,56
226.8 184.91 177.43 162 160.67 150 141.27 140.4 132.55 126 120.46 115.71 114.42 108 106.05 102 99.47 97.2 93.27 90
230,5 188,82 181,4 166,13 164,82 154,32 145,77 144,93 137,3 131 125,73 121,26 120,06 114,19 112,45 108,91 106,77 104,91 101,86 96,56
Con los datos que brinda esta tabla se pueden construir tres curvas de fuerzas resultantes: 1. 2. 3.
Para el régimen de tracción por los datos de la columna 5. Para régimen libre por los datos de la columna 6. Para régimen de frenado por los datos de la columna 8.
23
Fig. 24. Esquema de fuerza aceleratriz
Fig. 25. Esquema de fuerza aceleratriz
350
12
300
10 8 wo (N/kN)
fk - wo (N/kN)
250 200 150
6 4
100 2
50 0
0
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
V (km/h)
60
80
100
120
V (km/h)
Columna 5
Columna 6
Fig. 26. Esquema de fuerza aceleratriz 250
b+ wo (N/kN)
200
150
100
50
0 0
20
40
60
80
100
120
V (km/h)
Columna 8 Estas curvas mostrarían la resultante de las fuerzas de un tren que se mueve por una vía recta y horizontal, ya que en los tres casos solo se han considerado las resistencias fundamentales y no se han tenido en cuenta las producidas por pendientes y curvas. Sin embargo el diagrama se puede utilizar para el caso en que se consideren las resistencias complementarias, bastaría solo con desplazar el eje de las velocidades hacia arriba cuando el tren va subiendo o hacia abajo cuando va en bajada con un valor igual a la fuerza resistente ocasionada por la acción sobre el tren de las características geométricas de la vía. 1.10.2 Deducción de la ecuación del movimiento del tren. La ecuación del movimiento del tren está dada por la expresión matemática que depende de la aceleración del tren y de la fuerza resultante dirigida hacia él. Para la obtención de esta ecuación se considera como en el resto de los cálculos al tren como un punto situado en el centro de este donde inciden todas las fuerzas y la masa del tren completo. Para llegar a la expresión deseada se parte de la ecuación que representa la energía cinética del tren:
T = 1000(P + Q ) Donde:
24
T
V2 I ∗ w2 +∑ 2 2
Energía cinética del tren.
(1.50)
V Velocidad del movimiento. [m / s ] (P + Q ) Masa del tren. [t ] I Momento de inercia del par de ruedas. I = m ∗ ρ 2 , donde: m es la masa de los pares de ruedas y ρ w Velocidad angular. V , donde: D diámetro de la rueda. w= D 2
I ∗ w2 1 V2 2 = ∗ ∗ ρ ∗ m ∑ 2 2 ∑ 2D 2 Donde:
es el radio de inercia.
(1.51)
∑ m Sumatoria de la masa de los pares de ruedas. ∑ m = 1000 ∗ Mk , Mk en toneladas [t ] V2 4 Mk ∗ ρ 2 (1.52) ∗ 1+ T = 1000(P + Q ) ∗ 2 2 (P + Q ) ∗ D 4Mk ∗ ρ 2 V2 α= (1.53) ( ) ( ) T = P + Q ∗ 1 + α ∗ 2 (P + Q ) ∗ D 2
Donde:
α
Tiene diferentes valores para vagones y locomotoras. Para los cálculos de
α = 0.06 .
De mecánica teórica se conoce que:
y
Ni
Despreciando
Ni
Donde:
NE
dT = NE + Ni dt
R
tracción de trenes cargados
(1.55)
potencias de las fuerzas exteriores e interiores. por su pequeño valor en comparación con
dT = N E = R.V dt Donde:
(1.54)
Fuerza resultante
NE: (1.56)
[N ]
d V2 1000 ( P + Q ) ∗ ( 1 + α ) ∗ = R ∗V dt 2
(1.57)
Derivando se obtiene:
V De donde:
dV [1000(P + Q ) ∗ (1 + α )] = R ∗ V dt dV R = dt 1000(P + Q ) ∗ (1 + α )
Multiplicando y dividiendo por
(1.58)
(1.59)
g.
25
r= Para
R (P + Q ) ∗ g
dV r∗g = = r℘ dt 1000(1 + α )
(1.60)
(1.61)
α = 0.06 : ℘=
9.81 = 9.25 × 10 −3 1000(1 + 0.06)
[
dV = 9.25r × 10 −3 m / s 2 dt
(1.62)
]
(1.63)
2
Como en los cálculos de tracción la aceleración hay que darla en km/h :
dV 3600 2 −3 = 9.25 × 10 ∗ = 119.94r dt 1000
(1.64)
Redondeando se obtiene la ecuación diferencial del movimiento del tren:
dV = 120r dt
(1.65)
De aquí que para los tres regímenes de trabajo estudiados la ecuación del movimiento del tren sea: 1.
Régimen de tracción
2.
Régimen libre
3.
dV = 120( f − w) . dt
dV = −120(w) . dt dV Régimen de frenado = −120(b + w) . dt
(1.66)
(1.67)
(1.68)
1.10.3. Integración analítica de la ecuación del movimiento del tren. La integración analítica de la ecuación del movimiento del tren tiene el objetivo de determinar la velocidad y el tiempo de viaje del tren, o sea, obtener las relaciones V(s) y t (s). Si la fuerza resultante actuante sobre el tren es igual a (r), entonces la ecuación del movimiento del tren será:
dV = 120 r dt
dt =
dV 120r (V )
(1.69)
Multiplicando por V,
Vdt =
VdV ; 120r (V )
dS =
VdV 120r (V )
La dependencia de la velocidad de movimiento y tiempo de marcha del tren del espacio puede ser obtenido por dos métodos: 1. 2.
Se da el intervalo de variación de velocidad de V1 a V2 y se determina ∆S correspondiente a este intervalo. Se da el intervalo de variación del espacio ∆S y velocidad en el inicio del tramo y se determina la velocidad V2 en el final del tramo.
Para estos cálculos la resultante r (V) se considera constante en el intervalo de variación de velocidad (1er método) o en el intervalo de longitud (2do método) En el 1er método las fuerzas que actúan sobre el tren se toman para la velocidad media:
Vcp =
V1 + V2 2
o sea
r = r (Vcp )
En el 2do método se toman las fuerzas que actúan para la velocidad al inicio del intervalo;
r = r (V1 ) Ya que la velocidad final del intervalo no es conocida.
26
En el 1er método, conocidas V1 y V2, cuando se integra la ecuación del movimiento para ∆S en Km.
1 VdV 1 V 2 2 − V12 = VdV = 120 V∫1 r (Vcp ) 120r (Vcp ) V∫1 2(120r (Vcp )) V2
∆S =
Pero:
V2 = Vcp +
se obtiene
V2
∆V 2
y
V1 = Vcp −
(1.70)
∆V 2
(1.71)
V22 − V12 = 2 ∗ Vcp ∗ ∆V
Entonces
r (Vcp ) = const.
(1.72)
Sustituyendo 78 en 76, para obtener ∆S, en m
∆S =
2 ∗ Vcp ∗ ∆V Vcp ∗ ∆V ∗ 1000 = 8,33 2 ∗ 120 ∗ r (Vcp) r (Vcp)
(1.73)
La variación del tiempo de viaje correspondiente al intervalo de variación de velocidades será:
1 ∆V dV = ∫ 120r (Vcp) V 1 120r (Vcp) V2
En horas:
∆t =
En minutos:
∆t =
(1.74)
∆V 2r (Vcp)
(1.75)
Con el objetivo de simplificar los cálculos se considera que en los intervalos de variación de velocidad de fuerza resultante fundamental es igual a
V1
a
V2 la
V + V2 r 1 , lo que implica un error ya que r (V) no es lineal. 2
Para reducir este error se recomienda tomar el valor ∆V pequeñas, no mayores de 10km/h, y en los tramos con una variación de velocidad rápida (por ejemplo) en tramos de estacionamiento del tren, no mayor de 5 km/h. Despejando de las expresiones anteriores se obtiene la fórmula que permite calcular la velocidad para cualquier intervalo de distancia (∆S):
V = ∆S [2(120r (Vi ))] + Vi 2 [Km / h]
(1.76)
1.10.4. Ejemplo de cálculo del espacio y tiempo recorrido para una variación
∆V .
Para ilustrar el método descrito, se desarrolla el siguiente ejemplo. Determinar la longitud para elevar la velocidad de 50 Km/h a 90 Km/h si el tren está compuesto por vagones de pasajeros y una locomotora TEM-4 y tiene una masa total de 0 3800 t. La vía está en pendiente con i= -2 /00 en tramo recto, con carriles de 300 m y los vagones emplean cojinetes de fricción. Tabla 1.14. Resultados numéricos de la integración de la ecuación de movimiento del tren.
V
Vcp
r (Vcp )
∆S = 83,3
Vcp [m] r (Vcp)
∆t =
5 [min ] r (Vcp )
50 55
30.63
149.57
0.16
65
19.36
279.67
0.26
75
8.61
726.61
0.58
85
2.772
2554.29
1.80
60 70 80 90
27
Con los datos de la tabla 1.14 se puede construir la curva V(S) y determinar el tiempo de viaje, correspondiente a una variación de velocidad de 50 a 90 km/h (en el ejemplo, 2.8 min). Este mismo resultado puede obtenerse por otro método. Para un movimiento uniformemente acelerado en el intervalo la velocidad ∆V se considera constante. Utilizando las fórmulas conocidas de mecánica, realicemos el cálculo para uno de los intervalos de velocidad, cogidas de la tabla 1, por ejemplo de 60 a 70 Km/h. La fuerza resultante en
i = −2 0 / 00
será:
r (Vcp ) = 19.36 N / kN
a = 120r (Vcp ) = 120 ∗ 19.36 = 2323.2 Km / h 2 ∆V 10 Tiempo de marcha: t = = = 0.0043h a 2323.2 2 2323.2(0,0043) 2 Distancia: ∆S = Vit + a t = 60(0,0043) + = 0.279km 2 2 Tren acelerado:
1.10.5. Cálculo de la masa del tren. El peso y la velocidad de los trenes son los índices más importantes del trabajo en el ferrocarril, puesto que con ello no solamente se determina el grado de utilización de la potencia de la locomotora, sino también la productividad en el trayecto y el costo de las trasportaciones. El peso más adecuado para un tren de carga con determinadas condiciones se obtiene mediante cálculos técnicos-económicos. Puesto que la masa de la locomotora se conoce, se calcula solamente la masa de los vagones (Q) y después se determina la del tren (P+Q). La práctica en la explotación de los ferrocarriles ha demostrado que la masa del tren más adecuada es aquella con la cual puede ser transportada por la locomotora a una velocidad no menor que la establecida en el gráfico de movimiento de los trenes. La masa (Q) se determina de la condición de utilización total de la potencia de la locomotora y la energía cinética acumulada por el tren. Con el movimiento del tren, su velocidad y energía cinética constantemente varían en dependencia del perfil y la planta de la vía. La excepción ocurre en las subidas pronunciadas, en las cuales la velocidad del tren tiende a mantenerse constante. Para determinar la masa del tren (Q) conocida la locomotora es necesario analizar el perfil longitudinal del tramo que se proyecta o de la vía existente, definir la longitud donde el tren viaja a velocidad no uniforme y la subida donde la velocidad del tren puede alcanzar una velocidad mínima constante. Se diferencian dos cosas para el cálculo de la masa del tren: 1. 2.
Cuando el elemento más difícil es una subida en la cual la velocidad del tren disminuye hasta un valor mínimo constante. Cuando el elemento más difícil es una subida en la cual la velocidad del tren continúa disminuyendo y no alcanza a ir en un nivel constante.
Los métodos de cálculo de la masa del tren en estas condiciones son diferentes pero tienen en común que la menor velocidad no debe ser menor que la velocidad de cálculo Vp definida para cada locomotora (Anexo 1). Si la velocidad del tren en su movimiento por la pendiente dominante igualdad de las fuerzas que actúan sobre el tren.
Fk = P ∗ g ∗ (w´0 +ip) + Q ∗ g ∗ (w"0 +ip ) Donde:
ip
es constante e igual a
(1.77)
Fk - Fuerza tractiva de cálculo de la locomotora [N ] w´0 , w"0 -se calculan por las fórmulas estudiadas para la velocidad Vp .
La masa del tren se obtiene a partir de:
Si en lugar de
w´0
y
w"0
Q=
Fk − P ∗ g ∗ (w´0 +ip ) (w"0 +ip ) ∗ g
se toma la resistencia total del tren
(1.78)
w0 , entonces la igualdad de fuerzas para el movimiento
uniforme se puede escribir como:
Fk = (P + Q ) ∗ g ∗ (w0 + ip )
28
Vp , entonces por la
(1.79)
De donde:
Q=
Fk −P (w0 + ip ) ∗ g
(1.80)
La aplicación de la expresión 86 se realiza iterando, ya que para determinar w0 es necesario conocer Q que es la magnitud que se desea calcular. Sin embargo en los casos en que la cantidad de vagones (masa) sea considerablemente superior a la locomotora, o sea,
∝ x〉〉 ∝ t
se puede utilizar
w0 = w"0
con suficiente exactitud.
1.10.6 Ejemplo de cálculo de la masa del tren. Para ilustrar la aplicación de los cálculos descritos, se presenta el siguiente ejemplo. Determine la masa de los vagones que puede circular una locomotora DVM-9 en una pendiente dominante Los vagones son de 4 ejes y cojinetes de rodillo,
q0 = 18t
ip = 90 / 00 .
y la vía sin juntas. Velocidad de cálculo de la locomotora
Vp = 12.6km / h . Masa de la locomotora 76 t. De la tabla de fuerzas tractivas en función de la velocidad para esta locomotora se obtiene el valor de la fuerza de tracción de cálculo. (40848.84 N).
3 + 0.09 ∗ V + 0.002 ∗ V 2 q0 w"0 = 0.947 N / kN
w"0 = 0.7 +
= 0.7 +
3 + 0.09 ∗ 12.6 + 0.002 ∗ 12.6 2 18
w'0 = 1.9 + 0.08 ∗ V + 0.0025 ∗ V 2 = 1.9 + 0.08 ∗ 12.6 + 0.0025 ∗ 12.6 2 w'0 = 3.43N / kN Fk − P ∗ g ∗ (w´0 +ip ) 40848.84 − 76 ∗ 9.81 ∗ (3.43 + 9 ) Q= = (w"0 +ip ) ∗ g (0.947 + 9) ∗ 9.81 Q = 330.42ton Si se tratara de una locomotora TE-114K por un tramo dominante
ip = 120 / 00
y las mismas características en los
vagones, los resultados son: P =120t:
Vp = 28.5km / h
w"0 = 1.09 N / kN
Fk = 172164.5 N
w'0 = 6.21N / kN Q = 1558.49ton
Como resultados de numerosos experimentos se puede plantear que en los cálculos de la masa del tren que se realicen para líneas nuevas o para la electrificación de líneas existentes la fuerza de tracción debe disminuirse en un 5% para los eléctricos y un 7% para los hidráulicos. En ausencia de pendientes sostenidas el tren se mueve con velocidad variable y tiene la posibilidad de utilizar su energía cinética para aumentar la masa. El problema puede formularse: determinar la masa del tren (Q), para la cual la velocidad del tren al final del tramo y en el sentido de la subida es igual a la velocidad de cálculo de la locomotora. La masa (Q) se toma de forma tal que al final de la subida de cálculo se cumpla la condición Vk = Vp . Se puede construir la curva V(s) comenzando en un punto del perfil donde la velocidad sea conocida y hasta el final de la subida de cálculo. El lugar en el perfil donde la velocidad es conocida con antelación puede ser un lugar de parada, o una bajada donde la velocidad sea limitada por las condiciones de frenado o en curvas de radio pequeño. Hasta ahora se ha analizado el tren como un punto material, pero en los cálculos de la masa del tren con movimiento acelerado, considerar la longitud del tren puede llevar a un cambio considerable de los resultados.
29
1.11. Rectificación de los perfiles de vía. En los cálculos de la masa tanto para la construcción de vías férreas como para evaluar se un tren puede transitar por una ya existente a menudo se detectan problemas relacionados con los perfiles de las vías. Estos tienen gran influencia en la capacidad de carga de los trenes y en la velocidad de circulación, por lo que conocer como rectificarlos es una herramienta importante para los ingenieros. La velocidad de un tren (con un peso constante) que se mueve por diversos perfiles de vía, variará para cada elemento del perfil, puesto que habrá variación en la fuerza de resistencia a dicho movimiento. Por esta causa será necesario realizar el cálculo de la velocidad para cada elemento independiente, o sea, a mayor cantidad de elementos mayor cantidad de cálculos habrá que realizar para un tramo dado cualquiera y, por consiguiente, mayor tiempo habrá que emplear. Por otra parte, con estas condiciones se reduce el grado de exactitud en los resultados de los cálculos. En relación con esto surgió la idea de rectificar los perfiles de vía (Figura 1.16), lo que permite reducir los cálculos de velocidad del tren y al mismo tiempo aumenta la exactitud de ellos. La rectificación de los perfiles consiste en sustituir algunos elementos consecutivos que cumplen con determinadas condiciones por un solo elemento sumario, cuya longitud será igual a la suma de de las longitudes de cada uno de los elementos sustituidos. La pendiente ficticia de este elemento sumario se determina por la relación que incluye la diferencia entre los puntos extremos del elemento
(H "− H ') y su longitud L (Fig. 1.16).
De esta forma, el perfil rectificado será la sustitución del perfil real, compuesto de (m) elementos, por uno ficticio, compuesto de (n) elementos, donde n < m , para disminuir el trabajo de calcular las velocidades y el tiempo de recorrido del tren y aumentar la exactitud de los cálculos.
h5
h3
H h4
H2
h2 h1
H1 i1 l1
o la
i2 l2
o lb
i3 l3
o lc
i4 l4
o ld
i5 l5
L Fig.1.16. Esquema de rectificación de los perfiles de vía. Al moverse el tren por los tramos que indica la Fig. 1.16, el trabajo mecánico M de la fuerza de resistencia se formula de la siguiente forma:
M = [(i1 + w0 ) ∗ l1 + (i2 + w0 ) ∗ l2 − (i3 + w0 ) ∗ l3 + (i4 + w0 ) ∗ l4 + ] + [(i5 + w0 ) ∗ l 5 + (l a + l b + l c + l d ) ∗ w0 ] ∗ ((P + Q ) ∗ g ) = (i1 ∗ l1 + i2 ∗ l2 + i3 ∗ l3 + i4 ∗ l4 + i5 ∗ l5 + w0 ∗ L ) ∗ ((P + Q ) ∗ g ) Donde:
30
L = ∑l
(1.81) (1.82)
Como:
i=
Entonces:
± 1000 h −
L
o
il = 1000 h −
M = [L ∗ w0 + 1000 ∗ (h1 + h2 + h3 + h4 + h5 )] ∗ ((P + Q ) ∗ g )
En la Fig. 1.16 es obvio que:
h1 + h2 − h3 + h4 + h5 = H
M = (Lω0 + 1000 H )Q
Por tanto:
(1.83)
(1.84)
Sustituyendo el perfil real por el ficticio, el espacio será igual a L y la pendiente
i ´ ; con la cual se determina la relación C
existente entre las alturas en ambos extremos y el espacio:
1000(H 2 − H 1 ) 1000 H = L L
i´ = C
O sea el trabajo mecánico de la fuerza durante el movimiento del tren por el perfil ficticio será:
M ´= (P + Q ) ∗ g ∗ (Lω0 + i 'c L )
(1.85)
i ´ L = 1000 H , entonces: M ´= (P + Q ) ∗ g ∗ (Lω0 + 1000 H )
Pero como:
(1.86)
C
Como se observa en las fórmulas, el trabajo mecánico en ambos perfiles es igual. Puesto que
ω0
depende de la
velocidad del tren, se ha demostrado que la fórmula del trabajo mecánico de la fuerza de resistencia no es muy exacta para determinar la velocidad del tren por los perfiles rectificados, por lo que no se utiliza. Para calcular la velocidad del tren por los perfiles rectificados ha dado muy buen resultado, por su exactitud, el rectificar solamente los elementos del perfil que no tienen gran diferencia de longitud y que sus diferencias de pendientes no son muy grandes. Esta condición se verifica con la ayuda de la desigualdad siguiente:
S< Donde:
S
2000 ∆i
(∆i )
(1.87)
Es la longitud de cada elemento rectificado, en
m , y ∆i , la diferencia
absoluta entre la pendiente
ficticia de todo el tramo rectificado y las pendientes de los elementos dados de longitud
S
0
, en /00.
La condición de la desigualdad 93 deben cumplirla cada uno de los elementos del perfil. Si existe en el perfil elementos con curvas, también se sustituyen por pendientes ficticias como se explicó anteriormente. Si el radio de la curva es
mecánico será igual a
R , con longitud S r
, entonces la resistencia del tren será igual a
700 R
y por tanto el trabajo
700 Sr. . R
Este trabajo mecánico lo desarrollo el tren durante su movimiento por el tramo de longitud
SC
con una pendiente ficticia
i"c , la cual se determino de la igualdad:
700 S r = i " SC . C R De donde:
i" = C
700 S r R SC
(1.88)
(1.89)
31
Si en el perfil rectificado existen varias curvas, entonces ellas pueden ser sustituidas por un elemento ficticio:
i" = ∑ C
700 S r 700 Sr = ∑ R SC SC R
(1.90)
Si la longitud de la curva se da en grados desde su ángulo central, podrá utilizarse la siguiente fórmula:
∑α i " = 12
°
(1.91)
SC
C
Y si en el tramo existe alguna pendiente rectificada, entonces:
ic = ic′ + ic′′
(1.92)
La relación entre una altura h, una pendiente i y su longitud se puede determinar por la fórmula siguiente:
i=
(h2 −h1 )1000 (0 / S
00
)
(1.93)
En el ejemplo de la figura 1.16, el segundo elemento tiene al tren moviéndose a la derecha:
i=
34,0 − 32,6 = +2,8 500
(1.94)
Analizando la rectificación de los primeros tres elementos, los cuales no tienen grandes longitudes, además de tener poca diferencia entre sus pendientes, razón por la cual pueden agruparse y rectificarse, si es posible rectificarlos. La pendiente ficticia de estos electos rectificados será:
i 'c =
(35,6 − 31,6)1000 = 2,70 /
5000 + 500 + 500
00
Fig. 1.17 Ejemplo de rectificación de perfiles de vía. Se comprueba el tercer elemento por la fórmula:
32
S<
2000 ∆i
500 <
2000 3,2 − 2,7
ó
500 < 4000
Como se satisface la desigualdad, se puede rectificar el perfil.
Además en el primer elemento:
500 <
2000 2,0 − 2,7
o
500 < 3000
También satisface la desigualdad; por tanto, se puede rectificar. En este caso no puede comprobarse el segundo elemento, ya que el valor de tercero. Sí se quiere rectificar los cuatros elementos se tiene:
ic =
(35.6 − 31.6) *1000 = 1.10 / 500 * 3 + 2000
2000 <
Comprobando se observa que:
∆i
está comprendido entre le primero y el
00
2000 , 0 + 1,1
No satisface la desigualdad; por tanto no se permite rectificar los cuatros elementos. Regresando a la primera variante de tres elementos, en el perfil rectificado existe una curva de radio longitud
S r = 300m , la cual se sustituye por una pendiente ficticia:
i" = C
R = 500m
y
700 S r 700 300 ⋅ = ⋅ = 0,30 / 00 R S C 500 1500
La pendiente sumaria del tramo rectificado será:
iC = i ´ + i " = 2,7 + 0,3 = +3,0 0 / 00 C
Si el tren se mueve en dirección contraria:
C
i C = − 2 , 7 + 0 , 3 = − 2 , 4 0 / 00
El cuarto elemento no se puede rectificar; por lo que permanece igual. Agrupando los elementos quinto sexto y séptimo y octavo para analizar si se pueden rectificar:
iC =
(31,3 − 35,6)1000 400 + 500 + 400 + 500
= −2,4 0 / 00
Se comprueba el octavo elemento por la fórmula por la formula, pues tiene mayor diferencia en pendiente y longitud:
500 <
2000 0 − (− 2,4 )
o
500 < 900
33
Como el elemento satisface la desigualdad, se puede rectificar. Se puede no rectificar los restantes elementos, ya que la diferencia ∆i será menor En el tramo rectificado existen curvas que pueden sustituirse por pendientes ficticias. Puesto que son más de una, se utiliza la fórmula siguiente:
i" = C
Efectuando:
700 S r 700 300 400 300 0 = + + = 1,1 / 00 ∑ SC R 1800 400 500 400
iC = i ´ + i " = −2,4 + 1,1 = 1,30 / 00 C
C
Cuando el tren se mueve en dirección contraria:
iC = +2,4 + 1,1 = 3,50 / 00
Para mayor comodidad se colocan las operaciones de los perfiles rectificados en un tipo de tabla como la que se muestra.
Tabla 1.15 Número del Tramo
1 2 3 4 5
Longitud del tramo (m)
i 'c =
1500 2000 1800 1500 1300
+ 2.7 0 - 2.4 + 8.0 - 0.2
(h2 − h1 ) ∗ 1000 [0 / Sc
00
]
i"c = 0.3 0 1.1 0.6 0
[ ]
700 Skp 0 ∗∑ / 00 Sc R
ic = i 'c +i"c
(/ ) 0
00
+3 0 - 1.3 + 8.6 - 0.2
En sentido contrario
(/ ) 0
00
- 2.4 0 + 3.5 - 7.4 + 0.2
II Parte. Diseño Geométrico de vías férrea. 2.1. Introducción. La importancia económica y social de los ferrocarriles es significativa. Los capitales y esfuerzos invertidos en el establecimiento de una red ferroviaria posibilitan a este modo de transporte en constituirse en un elemento que agiliza y asegura la economía en la mayoría de los países desarrollados. Las posibilidades de cualquier red ferroviaria de mantener un servicio eficiente en el futuro dependen en gran medida de la adecuación y modernización del trazado de sus líneas, elevando la velocidad y comodidad para el transporte de pasajeros y cargas. Este aspecto deriva la importancia del estudio de la geometría de la vía, cuya aplicación implica tanto a los nuevos trazados, como al aprovechamiento racional de los existentes, infiriéndole nueva calidad a partir de su corrección o modernización. En la elaboración de un proyecto ferroviario inciden gran variedad y dispersión de criterios, por lo desde el inicio resulta conveniente establecer órdenes de prioridad entre los criterios. Parece lógico que se prioricen los aspectos técnicos, económicos, ambientales y sociales, además de satisfacer intereses estratégicos. No deben prevalecer intereses locales o regionales que afecten desde el punto de vista técnico o económico la calidad del proyecto ni la explotación de la futura vía. La calidad técnica y económica de la geometría de los trazados ferroviarios es la principal referencia y evaluación. El estudio de la geometría de la vía abarca dos partes: Trazado en Planta y Perfil Longitudinal. Las cualidades del trazado estarán condicionadas por el tipo de tráfico esperado y las características de los vehículos utilizados.
34
2.2. Componentes del trazado en planta. El trazado en planta se define como la proyección sobre un plano horizontal del eje de la vía que se diseña, que constituye la base o referencia para el desarrollo de los cálculos necesarios para la instalación de la vía en la posición proyectada. Este eje sirve además para establecer el perfil longitudinal. Desde el punto de vista geométrico, el eje de la vía está constituido por tramos rectos y curvas tangentes a las alineaciones rectas que sirven de acuerdos entre ellas. (Fig. 2.1 y 2.2)
El trazado recto resulta ideal para ferrocarriles, pero los accidentes del relieve o la necesidad de acceder a determinado lugar obligan a la utilización de curvas. Las curvas pueden ser: •
Curvas Circulares Simples o Monocéntricas.
•
Curvas Policéntricas, actualmente en desuso en los ferrocarriles modernos.
•
Espirales, utilizadas para el enlace entre la tangente y el arco circular o entre dos arcos circulares.
2.3. Curvas circulares simples. Las curvas circulares simples se definen como el arco circular de radio R que une dos tangentes que se cortan en el punto de inflexión del trazado (PI). En la figura 2.3 se representa una curva circular simple, la notación utilizada es la siguiente: PC: Punto de cambio de tangente a circular. PT: Punto de cambio de circular a tangente. ∆: Angulo de inflexión en el PI, igual al ángulo central que subtiende a toda la curva circular.
PI
∆
TC
x
α y
PT
PC RC
RC
O Fig. 2.3
35
Rc: Radio de la curva circular simple. α : Angulo de desviación de la curva circular en el PC o PT, desde la tangente inicial a un punto de la curva. TC: Distancia total de la tangente de una curva circular; distancia entre el PI y el PC, o distancia entre el PI y el PT. y: Ordenada a la tangente de cualquier punto de la curva circular simple con referencia al PC o PT y la tangente inicial. x: Abscisa sobre la tangente inicial de cualquier punto de la curva circular simple, con referencia al PC o PT y la tangente inicial.
2.3.1. Definición de grado de curvatura.
20m
GC
Fig. 2.4.
El grado de curvatura (GC) se define como el ángulo central que subtiende sobre la curva un arco de 20 metros. Fig. 2.4. Las curvas circulares simples se define, bien por el grado de curvatura (GC); o por su radio (RC). La de relación matemática entre ellos se demuestra a continuación:
2.π .Rc 20 = 360 Gc
Gc =
1145,92 Rc
....(2.1)
Donde: Gc: grado de curvatura, en grados sexagesimales. Rc: radio de curvatura, en metros. De la fórmula 2.1 se infiere que el grado de curvatura y el radio de curvatura están siempre en relación inversa. El radio o el grado de curvatura es un dato que impone el proyectista en función de la velocidad de diseño de la vía, y siempre que las condiciones topográficas lo permitan, se deben utilizar grados de curvatura pequeños o radios de curvatura amplios, para lograr que la transición entre las dos tangentes que se cortan en el PI, sea lo más suave posible.
Entre las diferentes condicionales que obligan a limitar el grado y el radio de curvatura se pueden señalar: • Topografía del terreno. • Limitaciones en la tangente. • Limitaciones en la externa. • Puntos obligados en planta. • Movimiento de tierra. • Coordinación entre la planta y el perfil de la rasante. 2.3.2. Funciones de la curva circular simple.
En la figura 2.5 se encuentran representadas las funciones de la curva circular simple: tangente, mediana, cuerda máxima, externa y desarrollo.
36
Fig. 2.5. La tangente TC es la distancia existente entre el PI y el PC o el PI y el PT de la curva circular simple.
Tc = Rc . tan
∆ 2
.... (2.2)
Donde: Tc: Tangente de la curva circular simple, en metros. Rc: Radio de la curva circular simple, en metros. ∆: Angulo de inflexión en el PI, en grados sexagesimales. La externa EC es la distancia entre el PI y el punto medio (PM) de la curva circular simple:
cos
Rc ∆ = 2 Ec + R c
∆ E c = R c sec −1 2
....(2.3)
Donde: EC: externa de la curva circular simple, en metros. La mediana M es la distancia entre el punto medio de la curva y el punto medio de la cuerda máxima de la curva circular simple:
cos
∆ OD R c − M = = 2 Rc Rc
∆ M = R c 1 − cos ....(2.4) 2
Donde: M: mediana de la curva circular simple, en metros. La cuerda máxima CM es la distancia entre el PC y el PT de la curva circular simple:
sen
CM ∆ 2 = 2 Rc
∆ CM = 2 R . sen c 2
....(2.5)
Donde: CM: cuerda máxima de la curva circular simple, en metros. El desarrollo DC es la distancia recorrida por la curva, entre el PC y el PT:
37
Gc ∆ = 20 D c
Dc =
20 ∆ Gc
....(2.6)
Donde: Dc: desarrollo de la curva circular simple, en metros. ∆ y Gc: se expresan en grados sexagesimales. 2.4. Trabajos de campo. Los trabajos de campo son el conjunto de operaciones que se realizan para replantear las estaciones notables del trazado y todas las estaciones pares de la curva circular simple. Existen diferentes procedimientos para replantear las curvas circulares simples, siendo los más difundidos: a) Replanteo por ángulos de inflexión: Desde el PC, desde el PT y combinado b) Replanteo por coordenadas desde la tangente inicial. 2.4.1. Replanteo por ángulos de inflexión. El replanteo por ángulos de inflexión puede realizarse, en dependencia del lugar de estacionado del instrumento de medición angular, por tres procedimientos diferentes: • • •
Replanteo de toda la curva circular simple desde el PC. Replanteo de toda la curva circular simple desde el PT. Replanteo combinado; o sea, con el instrumento estacionado en el PC se replantea la primera mitad de la curva hasta el PM; y con el instrumento estacionado en el PT se replantea la segunda mitad de la curva circular simple.
Para el replanteo por ángulos de inflexión se emplea la propiedad: "el ángulo entre una tangente y una secante o entre dos secantes que cortan a un arco circular, se mide como la mitad del ángulo central que subtiende a dicho arco circular". En la figura (2.6) se demuestra que: El ángulo (PI – PC - 1) es la mitad del ángulo central (PC – O - 1); el ángulo (1- PC -2) es la mitad del ángulo central (1O -2); y así sucesivamente hasta el final de la curva circular simple. Como se replantean arcos de 20 metros, que por definición el ángulo central que lo subtiende es el grado de curvatura, entonces el ángulo (1-PC-2) = GC/2; y el ángulo (2-PC-3) = GC/2. Además, como al principio y al final de la curva se presentan arcos menores de 20 metros; en este caso, el ángulo (PI – PC -1)= g1/2 y el ángulo (4- PC- PT)= g2/2.
α1= g1/2
GC/2 G /2 C 3
2
PC
1
GC/2 α2= g2/2
4
PT G C G C G C g2 g1 Fig. 2.6.
La suma de las inflexiones parciales debe ser igual a ∆/2; o sea:
g1/ 2 + Gc / 2 + Gc / 2 + Gc / 2 + g2 / 2 = ∆/ 2 ....(2.7) La ecuación 2.7 resulta una comprobación de los cálculos de gabinete y del trabajo de campo efectuado. Para determinar g1 y g2 se procede:
G c g1 = 20 X 1
g1 =
X1 . G c 20
.... (2.8)
Donde: x1: distancia por la curva entre el PC y el punto 1; en metros. g1: ángulo central que subtiende el arco circular (PC-1), en grados sexagesimales.
38
Para expresar g1 en minutos sexagesimales, que es la forma usual de presentar el resultado; entonces:
g1'=
G c .X1 .60 = 3G c .X1 20
Como el ángulo (PI-PC-1) = g1'/2; entonces:
g 1 ' / 2 = α 1 ' = 1,5 G c . X 1
α 1 ' = 1,5 G c . X 1
....(2.9)
Donde: α1': ángulo de inflexión en cuerdas menores de 20m; en minutos sexagesimales. Gc: grado de curvatura; en grados sexagesimales A. Replanteo de toda la curva circular con el instrumento de medición angular estacionado en el PC: En este caso de replanteo por ángulos de inflexión, toda la curva circular simple se replantea con el instrumento de medición angular estacionado en el PC. Si la inflexión es derecha se procede de la forma siguiente: •
Con el instrumento de medición angular estacionado en PI de la curva circular simple, se mide con cinta métrica y sobre cada una de las tangentes la distancia Tc, y se marca en el terreno los puntos notables PC y PT.
•
Se estaciona el instrumento de medición angular en el PC y se biseca el PI con una lectura de 0°00'. Se gira el instrumento hasta leer en el limbo la inflexión α1'(figura 2.6). Se coloca la marca 0,00 metros de la cinta métrica en el PC de la curva y se tensa por la marca correspondiente a la primera subcuerda (X1). Cuando exista coincidencia entre la cinta tensada y el hilo vertical de la cruz filar del instrumento, se marca sobre el terreno la primera estación par de la curva circular simple.
•
Se gira de nuevo el instrumento hasta leer en su limbo la lectura α1'+ Gc/2; se coloca la marca 0,00 metros de la cinta métrica en la estación par anteriormente replanteada y se tensa por la marca 20.00 metros. Cuando exista coincidencia entre la cinta tensada y el hilo vertical de la cruz filar del instrumento, se marca sobre el terreno la segunda progresiva par de la curva circular simple.
•
Este proceso se repite consecutivamente hasta la última progresiva par de la curva y, por último, con la subcuerda al PT, que viene dada por la expresión:
α 2 ' = 1,5.Gc . X 2
y el ángulo α 1 '+ G c / 2 + G c / 2 + α 2 ' = ∆ / 2 ; se
comprueba la progresiva del PT, previamente replanteado desde el PI de la curva circular simple. Si la inflexión de la curva circular simple es izquierda, el procedimiento es el mismo, con la diferencia de que se biseca al PI con una lectura inicial de ∆/2 y se van restando las inflexiones α1'; Gc/2; Gc/2, Gc/2 y α2'. A modo de comprobación, cuando se lea en el limbo del instrumento la lectura 0° 00', debe bisecar la estación del PT previamen te replanteada desde el PI de la curva circular simple. B. Replanteo de toda la curva circular simple con el instrumento de medición angular estacionado en el PT: Tiene la ventaja sobre el método anterior de que se ahorra una puesta del instrumento al quedar en posición para el replanteo de la próxima alineación recta del trazado a partir del PT. La diferencia es mínima e radica en que si la inflexión es derecha, se procede como en el replanteo desde el PC con inflexión izquierda; y si es de inflexión izquierda, se procede como en el replanteo desde el PC con inflexión derecha de la curva circular simple. C. Replanteo combinado: En curvas de gran desarrollo, como sucede comúnmente en los trazados de vías férreas, se debe replantear la primera mitad de la curva desde el PC hasta el PM; y la segunda mitad desde el PT hasta el PM de la curva circular simple. De esta forma cualquier error en el proceso de replanteo, quedará localizado en el centro de la curva, donde los inconvenientes al trazado son menores que en los puntos PC y PT. Cuando la inflexión es derecha se procede de la siguiente forma: •
Se coloca el instrumento en el PI de la curva circular simple, se mide sobre cada una de las tangentes la distancia Tc, marcándose en el terreno los puntos notables PC y PT. Se mide el ángulo
180 − ∆ 2
y se replantea el PM de la
curva haciendo uso de la externa (figura 2.7). •
Se coloca el instrumento en el PC de la curva y se biseca el PI con una lectura de 0°00'. Se gira en el instrumento el ángulo α1', se coloca la marca 0,00 metros de la cinta en el PC y se tensa por la marca X1. Cuando exista coincidencia entre la cinta tensada por esa distancia y la cruz filar del instrumento, se está en condiciones de replantear la primera estación par de la curva circular simple.
39
•
Se gira el instrumento hasta leer en su limbo la lectura de α1' + Gc/2, se coloca la marca 0,00 metros de la cinta métrica en la estación par anteriormente replanteada y se tensa por su marca 20,00 metros. Cuando exista coincidencia entre la cinta tensada por la marca 20,00 metros y el hilo vertical de la cruz filar del instrumento, se está en condiciones de replantear la segunda estación par de la curva circular simple.
Fig. 2.7. •
Este proceso se repite hasta la última estación par anterior al PM, y por último, con la subcuerda al PM y el ángulo α1'+ Gc/2 + α2'= ∆/4, se comprueba el PM, que fue previamente replanteado desde el PI. Con esto se concluye el replanteo de la primera mitad de la curva circular simple.
•
Para el replanteo de la segunda mitad, se sitúa el instrumento en el PT de la curva y se repite el procedimiento indicado, con la diferencia de que se biseca el PI con una lectura de ∆/4, y se van restando las inflexiones α4'; Gc/2 y α3'.Como comprobación, cuando se lea en el limbo del instrumento el ángulo 00°00', se debe estar bisecan do la progresiva del PM, previamente replanteada desde el PI de la curva circular simple.
Si la inflexión es izquierda el proceso es similar al explicado para inflexión derecha. En este caso, la forma de proceder en la primera mitad es la misma que la utilizada en la segunda mitad con inflexión derecha; y la forma de proceder en la segunda mitad, es similar al procedimiento seguido en la primera mitad con inflexión derecha. 2.4.2. Replanteo por coordenadas. El método consiste en medir las abscisas por la tangente inicial (x) y las ordenadas perpendiculares a éstas (y), con el objetivo de localizar puntos sobre la curva circular simple. En la figura 2.8 se quieren determinar las expresiones que gobiernan las abscisas (x) y las ordenadas (y) a la curva circular simple. De la figura se obtiene que:
cosα = Donde: y: ordenada de la curva por
40
CO Rc − y = Rc Rc el punto D, en metros.
y = Rc(1 − cos α ) ....(2.10)
Además:
senα =
X Rc
X = Rc. sen α ... (2.11) Donde: x: abscisa de la curva por el punto D, en metros. De las expresiones (2.10) y (2.11) se observa que α puede tomar valores desde 0°00' hasta ∆. Tiene el inconveniente de que si se asignan valores arbitrarios al ángulo α, los puntos que se determinan sobre la curva no corresponden con sus estaciones pares.
Fig. 2.8
Esta dificultad se evita calculando la curva mediante el procedimiento de inflexiones y asignando el doble de los valores de sus lecturas correspondientes en las expresiones (2.10) y (2.11), respectivamente. 2.4.3. Curva circular a través de un punto obligado en planta. En la figura 2.9 se quiere determinar el radio de la curva circular simple que pasa por el punto obligado en planta P. Para solucionar el problema es necesario medir en el terreno la distancia entre el PI y el punto P y el ángulo γ entre las líneas (PI-PT) y (PI-P). Además es necesario determinar:
PI ∆ γ
α
d β
P PT
PC
Φ RC
RC Fig. 2.9.
α=
180º −∆ − γ = 90 − (∆ 2 + γ ) 2
Rc. sec ∆ En el triángulo (PI - O - P):
2 = Rc senβ senα
(2.13)
O
senβ = (sec ∆ ).senα 2
(2.14)
41
β = sen (sec ∆/2. senα) -1
(2.15)
Ø = 180° - ( β + α)Donde:
Además:
Rc d = senα senφ
Rc = senα
d senφ
.... (2.16)
Si se evalúa la expresión 2.16 se obtendrá el radio necesario de curva circular simple que pasa por el punto P obligado en planta. 2.5. Peralte. 2.5.1. Fundamentación de la necesidad del peralte. El trazado en planta parece una tarea sencilla, sin embargo, la sucesión de curvas y rectas en el plano horizontal no es suficiente para asegurar el confort de los pasajeros, la seguridad de las cargas y del movimiento de los vehículos. Es conocido que sobre un punto de masa
m=P
V2 R
(2.17).
aceleración centrífuga de valor
aC =
g
que se desplaza por una curva de radio R a velocidad V actúa una
La aceleración centrífuga da lugar a la fuerza horizontal dirigida hacia el exterior de la curva y perpendicular al eje de la vía que se puede considerar aplicada al centro de gravedad del vehículo (Fig. 2.10) y se determina como:
FC =
mV 2 P V 2 = R g R
(2.18) FC, considerando al vehículo como un punto, provoca un momento FC.H, donde H es la altura del centro de gravedad sobre el plano de los carriles P.C provocando sobrecargas en la rueda exterior y descargas en la interior Esta fuerza somete a los viajeros y las cargas a aceleraciones no deseadas y perjudiciales para el material rodante y la vía, que pueden producir descarrilamientos y vuelcos.
H
Para evitar este efecto, se eleva el carril exterior respecto al interior, buscando una composición de fuerzas similares a las producidas por el movimiento en recta, intentando que la resultante Q que actúa sobre la masa del vehículo se ubique en el plano perpendicular a la vía, desapareciendo las aceleraciones laterales perturbadoras al movimiento. La diferencia de altura entre el carril exterior e interior se conoce pomo supe relevación o peralte.
FC
G
α
Las razones que justifican el peralte en los tramos curvos son:
P.C •
a
Fig. 2.10.
P
Q
Limitar los esfuerzos transversales y choque a la entrada y salida de las curvas, lo que unidos al movimiento de lazo puede provocar descarrilamiento e inclusive el vuelco del vehículo.
•
Conseguir similar desgaste en ambos carriles, limitar los esfuerzos en las fijaciones y evitar la tendencia al vuelco del carril y el ripiado transversal de la vía.
•
Elevar el confort de los pasajeros y reducir posibles movimientos de las cargas.
2.5.2. Peralte teórico.
Para determinar la altura del peralte necesario – z – para equilibrar los efectos derivados de la circulación del vehículo a una velocidad V por una curva de radio R, la resultante de las fuerzas actuantes debe ser perpendicular al plano de la vía. Despreciando el efecto del rozamiento por su débil valor relativo y partiendo de la figura 2.11, se cumple:
42
PV 2 = P tgα g R
(2.19) o
α generalmente no supera 6 , por lo que se puede considerar:
α ≅ tg α ≅ sen α =
z a
(2.20)
Donde: a. Distancia entre ejes de carril. Sustituyendo (2.49) en (2.48) y despejando z se obtiene:
z=
aV 2 gR
(2.21)
Esta expresión ofrece el resultado en m, si la velocidad está dada en m/s el radio y la distancia entre ejes de carriles en m y la 2 aceleración de la gravedad g= 9,81 m/s . Considerando la velocidad en km/h y la distancia entre los ejes de carriles internacional, 1,5 m, se obtiene:
Fig. 2.11
V2 z T = 11,8 R
(2.22)
2.5.3. Determinación del peralte real. Como se desprende de la expresión (2.22) el peralte es función de la velocidad. Si todos los trenes mantuvieran la velocidad V en la curva de radio R, el peralte así determinado resultaría ideal. Salvo en vías especializadas para trenes de pasaje, en la generalidad de los casos, sobre una misma vía circulan diferentes tipos de trenes que por distintas razones no desarrollan la misma velocidad por un tramo dado. Existirán trenes que superen la velocidad V y otros que no puedan alcanzarla. Se originarán entonces los siguientes casos: Insuficiencia de peralte: Cuando un tren circula por la curva de radio R a una velocidad real VR > V utilizada en la expresión de equilibrio (2.50), se cumple que:
VR2 V 2 > R R
Por tanto:
VR2 g z > R a
Aparece una aceleración transversal no compensada de valor:
α NC =
VR2 − V " VR2 g z = − >0 R R a
(2.23)
En este caso el peralte teórico no compensa el efecto de las aceleraciones y existe una insuficiencia de peralte cuyo valor se puede determinar como:
I=
α NC a
(2.24)
g
Exceso de peralte: Cuando el vehículo circula por una curva de radio R a velocidad real VR< V, se produce una aceleración no compensada dirigida hacia el interior de la curva.
VR2 V 2 < R R
Por tanto:
VR2 g z < R a
43
α NC =
V " − VR2 g z V R2 = − >0 R a R
(2.25)
En este caso el peralte teórico excede las necesidades y existe un exceso de peralte cuyo valor se puede determinar como:
E=
α NC z
(2.26)
g
A partir de este análisis se demuestra que las sobrecargas que experimentan el carril exterior o el interior de las curvas, pueden ser muy diferentes y desequilibrados, lo que aconseja adoptar una solución de compromiso que tenga en cuenta la composición del tráfico que circula sobre la vía, evitando que los excesos o insuficiencia de peralte perjudiquen la seguridad de los trenes, generen dificultades a la vía o produzcan situaciones inconfortables a los pasajeros. 2. 5.4. Limitaciones sobre el peralte. Las limitaciones que se imponen al peralte son de distinta naturaleza, pero las mas estrictas son las referidas al confort del viajero y resultan de menor importancia las derivadas de los problemas que se pueden causar a los vehículos o la vía. Trenes rápidos: No existen problemas de seguridad, ya que se ha comprobado experimentalmente que el comportamiento físico del pasajero en las curvas, (mareos, molestias), es más restrictivo que cualquier condición que pudiera suponer en vuelco del vehículo, centrándose las limitaciones al confort del pasajero. Debe señalarse que el pasajero es sensible no solo a la aceleración no compensada, siendo afectado además por la variación de esta en el tiempo. Los efectos de las aceleraciones dependen de: •
Las características de la vía y las irregularidades en su nivelación y alineación que unidas a las características constructivas del material rodante y los movimientos parásitos asociados, (lazo, balanceo, galope), producen en el viajero un espectro continuo de vibraciones de carácter aleatorio que se superponen a las acciones de la aceleración no compensada.
•
Las insuficiencias o exceso de peralte que se presentan localmente y producirán diferentes aceleraciones no compensadas.
•
La capacidad resistente de los viajeros ante este conjunto de solicitaciones.
El incremento de la calidad de la vía para los trenes de alta velocidad y la reducción de las tolerancias permisibles en los defectos, originan origina la reducción de las aceleraciones no deseadas por irregularidades de la vía, permitiendo elevar la aceleración no compensada por efecto del peralte. Así se tiene que si en vías comunes en valor de αNC no debe 2 2 superar 1 m/s en el caso de las vías de alta velocidad se permiten valores de 1,2 y hasta 1,5 m/s . Por efecto de la aceleración transversal, el sistema de amortiguamiento exterior de los coches se comprime y el interior se alarga, reduciéndose de manera efectiva el peralte z, dando lugar a que el valor de aceleración no compensada sea mayor que la teórica.
α NCR = α NCT (1 + s )
(2.27) Donde: s: Coeficiente de flexibilidad de los sistemas de amortiguamiento. Para los vehículos blandos que circulan en las vías de alta velocidad s ≤ 0,4 y para los coches antiguos el valor de este coeficiente llega hasta 0,6.
Analizando el caso de una vía con regular estado de conservación, donde circulan vehículos blandos antiguos, entonces: 2
s = 0,6; αV = 1 m/s
α NCT (1 + 0,6) < 1 m / s 2
44
Fig. 2.12
α NCT ≈ 0,65 m / s 2
I=
α NC a g
=
0,65 m / s 2 (1500 mm ) = 99 mm 9,81 m / s 2
Si se considera una vía de alta calidad geométrica, donde circulan vehículos modernos, entonces: s = 0,2; αV = 1,2 m/s
2
α NCT (1 + 0,2) < 1,2 m / s 2 α NCT ≈ 1 m / s 2 I=
α NC a g
=
1 m / s 2 (1500 mm ) = 153 mm 9,81 m / s 2
Los coeficientes de flexibilidad para los vehículos de alta velocidad en España y Francia oscilan entre 0,22 y 0,25, mientras el tren ICE alemán los valores de este coeficiente son 0,17 para las locomotoras y o,28 para los remolques. Los valores obtenidos se pueden interpretar como la insuficiencia de peralte permisible en las condiciones analizadas. Trenes parados: El efecto que restringe el peralte en este caso se deriva del hecho de que con el tren parado la rueda interior está en contacto con el carril y no se debe permitir inclinaciones tales que produzcan un rozamiento que dificulten el arranque o deformen el material. Se ha comprobado experimentalmente que no se presentan problemas al arrancar cuando
α NCT <
2
1 m/s . De esta forma se obtiene que el peralte máximo zMAX deberá cumplir:
α NC =
g z MAX VR2 a − < 1 m / s 2 ⇔ z MAX = a R g
(2.28)
En el caso de Cuba ofrece como resultado zMAX = 153 mm. En general, en las distintas redes ferroviarias se ha adoptado que el peralte no debe superar la décima parte del ancho de la vía. Trenes lentos: Los trenes lentos circulan en condiciones de exceso de peralte. Generalmente se puede regular el exceso de peralte estableciendo velocidades de circulación que limiten el valor de E. En distintas administraciones ferroviarias se utilizan valores de E que oscilan entre 60 y 100 mm. Cuando el tren está parado, el valor de E coincide con el peralte. Las limitaciones por confort de los pasajeros infieren coeficientes de seguridad al vuelco que oscilan entre 6 y 10. 2. 5.5. Peralte práctico. Por mucho tiempo se consideró que el peralte práctico debería ser zPRACT = ⅔ zT calculado para las velocidades máximas de los trenes rápidos. Actualmente el análisis se desarrolla de manera diferente. Para los trenes rápidos se verifica que:
2 VMAX gz − (1 + s ) < α V a R
(2.29)
Para trenes lentos, dado que el z necesario será menor o igual que el zMAX, se exigirá por condiciones técnicas que: 2 gz VMIN − < αV a R
(2.30)
y para ese caso
αV =
gE a
(2.31)
Con ese sistema de inecuaciones se puede acotar el valor de z o los valoras de R y z cuando no se conozca R. 2.5.6. Peralte óptimo. De existir equilibrio entre el número de trenes lentos y rápidos, suponiendo que su efecto es el mismo, si la insuficiencia de peralte fuese I, bastaría limitar el exceso de peralte E = I, para obtener equilibrio en los esfuerzos y desgaste uniforme en ambos carriles. Si como sucede en muchos casos, la cantidad de trenes lentos es mayor que la de los trenes rápidos, se limitan los valores de E = 60 mm cuando el tráfico de trenes de mercancía es intenso, E = 80 mm para volúmenes normales de tráfico de mercancía y E = 100 mm para tráfico de mercancía bajo. En Rusia se determina la velocidad media cuadrática de los trenes que circularán, considerando la cantidad y masa de los mismos.
45
VM =
∑ V I2 n I Q I ∑ nI QI
(2.32)
Fig. 2.13
Sustituyendo en la expresión (2.22) se obtiene el valor óptimo que origina el desgaste uniforme de ambos carriles. El inconveniente radica en la información necesaria para la aplicación de la expresión (2.32) y por otra parte, el crecimiento del tráfico o la alteración de las condiciones iniciales supone modificaciones. 2.6.
Vehículos basculantes.
Los vehículos basculantes poseen un coeficiente de flexibilidad negativo, filtrando la respuesta de la aceleración centrífuga sobre el equipo. Son vehículos que generan un peralte adicional al existente en la vía a través de basculación natural o asistida. Como fundamento de la basculación natural se aprovecha el principio del péndulo. La solución más utilizada consiste en independizar el compartimiento destinado a los pasajeros del resto del vehículo, haciendo que se halle suspendido de un eje longitudinal por encima de su centro de gravedad. Este tipo de vehículo se ha estudiado y utilizado desde los años 50 del siglo pasado, presentando el inconveniente de no conseguir una respuesta inmediata por el desfase derivados del tiempo requerido para que el sistema pendular reaccione, originando que la basculación real no sea la requerida en cada punto de la vía. El material con basculación asistida posee mecanismos que, en función de la lectura de las características geométricas de la vía, actúan mecánicamente o sobre la suspensión, creando el efecto deseado. (Fig. 2.13 y 2.14). Sin embargo se presentan dificultades tales como: •
Los sistemas de lecturas no son perfectos, con lo que el vehículo alguno de los defectos de nivelación como la existencia de una curva.
•
El sistema resuelve la limitación de aceleración sobre el viajero, pero no resuelve la acción de esta sobre el equipo y el incremento de los esfuerzos en la vía al elevarse la velocidad.
•
La variación aparente del horizonte genera molestias en los pasajeros.
•
No se ha resuelto adecuadamente el problema de hacer bascular las locomotoras.
•
La basculación puede propiciar situaciones con peligros de rozamientos y choques, lo que puede requerir reducciones en el gálibo de los vehículos.
Fig. 2.14
Los coches TALGO pendulares de basculación o natural reducen la amplitud de la oscilación a 2 o 3 , propiciando una solución bastante satisfactoria que permite conseguir con facilidad hasta 210 mm de peralte total desde el punto de vista de la sensibilidad del pasajero, y por tanto incrementos significativos de la velocidad. 2.6.
Cálculo de los radios. El método tradicional para determinar el radio de una curva, fijados la VMAX y z consiste en aplicar la condición:
V 2 gz − < 0,65 m / s 2 R a
(2.33)
Si z = zMAX, entonces la expresión (2.62) posibilita determinar el radio mínimo de la curva. Para zMAX = 150 mm se obtiene:
46
V 2 9,81 m / s 2 × 0,150 m − < 0,65 m / s 2 R 1,5 m
V2 < 1,631 m / s 2 R
Convirtiendo para expresar la velocidad en km/h y despejando V se obtiene:
V ≤ 4,597 R
R≥
V2 21,137
Se acostumbra a utilizar
R≥
Se utiliza
V ≤ 4,6 R
(2.34)
V2 V2 ó R≥ 21,14 21
ó R≥
V2 20
(2.35)
El resultado de RMIN determinado por la última expresión aporta un pequeño margen de seguridad. Actualmente para tráficos especializados y homogéneos, considerando VMAX = Constante, se aplica la expresión:
V 2 gz − <0 R a
(2.36)
Procediendo de manera análoga al caso anterior se obtiene:
V2 R≥ 12,7
(2.37)
La expresión (2.37) asegura confort para los pasajeros y equilibrio en las acciones sobre los carriles exterior e interior, cuando la velocidad es la misma para todos los trenes y la vía es del ancho internacional. Para tramos de tráfico mixto, es necesario imponer las condiciones exigidas por los trenes rápidos y los trenes lentos, resolviendo el sistema de ecuaciones (2.29), (2.30). Si se desconocen las características de los trenes extremos, se pueden obtener resultados razonables, utilizando los siguientes valores de referencia: I = 115 mm E = 60 mm cuando el tráfico de trenes de mercancía es intenso. E = 80 mm para volúmenes normales de tráfico de mercancía. E = 100 mm para tráfico de mercancía bajo. Las expresiones a utilizar son: 2 VMAX gz I − < g a a R
2.7.
(2.38)
2 gz VMIN E −
(2.39)
Cálculo de la velocidad máxima el la alineación circular. La velocidad máxima depende de las características del vehículo y de la vía. A continuación se analizan diferentes situaciones.
Cuando la calidad de la vía hace suponer la presencia de aceleraciones parásitas y se desconoce el coeficiente de flexibilidad de los equipos, habrá que considerar los valores más desfavorables. ( α V = 1 m/s , s = 0,6 y zMAX = 1500 2
mm).
V 2 gz − (1 + s ) < 1 m / s 2 R a
Para z = zMAX se obtiene
V ≤ 4,6 R
, vista anteriormente.
En vías de buena calidad y conocido el coeficiente de flexibilidad de los vehículos resulta:
V 2 gz − (1 + s ) < 1,2 m / s 2 R a
Para z = zMAX y s = 0,2 se obtiene:
V ≤ 5,07 R
(2.40)
En vías de alta velocidad y vehículos de flexibilidad conocida, ( α V = 1,5 m/s , s = 0,2 y zMAX = 1500 mm). 2
47
V 2 gz − (1 + s ) < 1,5 m / s 2 R a
Se obtiene:
V ≤ 5,37 R
(2.41)
Los valores obtenidos por las expresiones anteriores son los máximos posibles, pero tal vez no sean los recomendables y su práctica puede provocar desgastes y efectos desequilibrados sobre los hilos de carriles. Por otra parte esa velocidad depende de la velocidad que se pueda alcanzar en la curva espiral, donde existen otros efectos que se estudiarán más adelante.
2.8. Curvas de transición. 2.8.1. Introducción. Se denominan curvas de transición a aquellas curvas que se colocan en los extremos de las curvas circulares simples, de forma tal que el cambio de curvatura entre el tramo recto y el arco circular sea suave y gradual y que la superelevación del carril exterior este acorde con el grado de curvatura. La necesidad de la curva de transición se comprende cuando analizamos el movimiento de un vehículo entre un tramo recto y uno circular. Cuando un vehículo que circula por un tramo recto de la vía férrea llega al tramo circular, las ruedas delanteras del truck deben colocarse con el ángulo apropiado para inscribirse en la curva y esto solo se provoca como consecuencia del choque que se produce entre la pestaña de la rueda y el carril exterior, originándose el par de fuerzas requerido para el giro del truck. Por otra parte, en el paso del tramo recto a la curva circular simple, se produce una aceleración igual a a = mV / R que actuará instantáneamente sobre los equipos las cargas y los pasajeros. Esta variación brusca de aceleración resulta indeseable, por lo que es necesario introducir un elemento que permita una variación gradual de la misma que resulte tolerable o confortable para los pasajeros. 2
Además, cuando se diseñan curvas circulares simples, para implementar el peralte del carril exterior, es necesario desarrollar parte de este en el tramo recto, (generalmente entre el 60 y 70 %), y el resto en el tramo circular, por lo que el vehículo ferroviario circulara por el tramo recto con el carril peraltado sin necesitarlo, apoyando la pestaña de la rueda en la cara lateral del carril interior, originando mayor resistencia al movimiento y desgaste del carril, lo que se mantendrá durante el tramo circular en el que no se ha alcanzado el peralte requerido. La curva de transición cumple también una importante función en la implementación del peralte del carril exterior al propiciar que su desarrollo este en función del radio existente en cada punto de la espiral. Entre las curvas de transición más utilizadas para la unión de una alineación tangente con un arco circular se encuentran: • • •
Clotoide; En la cual se cumple que el radio de curvatura es inversamente proporcional a su longitud y ofrece el mejor comportamiento dinámico. Lemniscata de Bernoulli; En la cual se cumple que el grado de curvatura es directamente proporcional al radio vector. Espiral Cúbica; Es una curva dada por las mismas expresiones de la clotoide, pero despreciando en la ecuación de "y" algunos términos.
De todas ellas, la más difundida es la clotoide, ya que su forma se adapta a la trayectoria seguida por un vehículo que viaja a velocidad constante y el par de fuerzas que giran el truck varía uniformemente. Las ventajas de la clotoide sobre la curva circular simple pueden resumirse en lo siguiente: • • •
Producen una fácil y natural trayectoria para los vehículos, de forma tal que la fuerza centrífuga aumenta y disminuye gradualmente cuando un vehículo entra o sale de dicha curva. Este hecho tiende a garantizar una velocidad uniforme; así como aumentar las condiciones de seguridad. Producen la longitud deseable para el desarrollo de la superelevación, y toda ella puede ser distribuida en dicha curva. Donde la sección transversal de la vía en la curva circular tiene que ser ensanchado, las clotoides facilitan la longitud deseable para el ensanchamiento de la vía.
En la figura 2.15 se observa la representación de una clotoide. La notación utilizada es la siguiente: TS: Punto de cambio de tangente a clotoide. SC: Punto de cambio de clotoide a circular. CS: Punto de cambio de circular a clotoide. ST: Punto de cambio de clotoide a tangente. l: Arco de clotoide desde el TS o ST a un punto cualquiera de dicha curva. ls: Longitud total de la clotoide desde el TS al SC o desde el CS al ST.
48
Ø: Angulo central del arco de clotoide l. Øs: Angulo central del arco de clotoide ls; llamado ángulo de la clotoide. g: Grado de curvatura de la clotoide en un punto (variable) Gc: Grado de curvatura del círculo desplazado, tangente la clotoide en el SC y CS. ∆: Angulo de inflexión en el PI; igual al ángulo central que subtiende a toda la curva de transición. ∆c: Angulo central que subtiende el arco circular de desarrollo Dc, entre el SC y el CS. y: Ordenada a la tangente de cualquier punto de la clotoide con referencia al TS o ST y la tangente inicial. ys: Ordenada a la tangente en el SC o CS. x: Distancia sobre la tangente de cualquier punto de la clotoide con referencia al TS o ST y la tangente inicial. Xs: Distancia sobre la tangente del SC o CS al TS o ST. o: Retranqueo. Menor distancia que separa al arco circular prolongado y la tangente inicial. t: Abscisa del retranqueo. Ts: Tangente de la clotoide. Distancia entre el PI y el TS o entre el PI y el ST.
PI
∆
Fig. 2.15 YS
TS
∆C Ф
ФS SC
XS
S
CS y
o
t
ФS
TS
x
RC
RC ∆ ∆C
ФS R= Variable
R= Variable 2.8.2. Fundamento matemático para la aplicación de las curvas clotoides.
R= ∞
En la figura 2.16 R= se representa una clotoide entre el TS y elOSC para determinar las expresiones que posibilitan calcular ∞ las coordenadas (x, y) de un punto (p) cualquiera y obtener la fórmula que rige a las inflexiones en este tipo de curva. Donde: RP: Radio variable en un punto P de la clotoide (R =
∞
en el TS o ST; R = Rc en el SC o CS).
X TS l
α
Ф Y dx dy
R= ∞
RP
dl p
Fig. 2.16.
RC
SC
49
Según la definición fundamental de la clotoide:
Rc =
R=
K' (para un punto P) ....(2.42) 1
K' (para el SC o CS)....(2.43) 1s
Donde: K' Constante de proporcionalidad. Dividiendo las expresiones (2.42) y (2.43) y se despejando R:
R ls = Rc l
Rc.Ls l
R=
….(2.44)
La expresión 2.44 permite determinar el radio de curvatura de cualquier punto P sobre la clotoide. Seccionando un sector diferencial dl; se obtienen:
Sustituyendo R por 2.19:
dφ =
l.dl Rc.ls
dφ =
dl R
....(2.45)
Integrando la expresión (2.45) se observa que la constante de integración C = 0, ya que cuando l = 0; Ø = 0.
φ=
Entonces:
l2 2 Rc.ls
....(2.46)
La expresión (2.46) permite determinar el ángulo central que subtiende aun arco de espiral l. Cuando Ø = Øs; l = ls, la expresión (2.46) se transforma en:
φ l = ( )2 φs ls
Dividiendo 2.21 entre 2.22:
φs =
ls 2.Rc
....(2.47)
2
l φ = .φ s ls
....(2.48)
Obteniendo una nueva expresión para determinar el ángulo central del arco de clotoide l. De la figura 2.11 se tiene: sen Ø = dy / dl Desarrollando en serie el sen Ø:
dy φ3 φ5 =φ − + L (2.49) dl 3! 5!
De las expresiones (2.45) y (2.46), despejando dl y l, se obtienen:
dl =
Rc.ls.dφ l
Sustituyendo (2.51) en (2.50):
....(2.50)
dl =
l = 2 Rc.ls.φ 2 Rc.ls −1 2 .φ .dφ 2
....(2.51)
....(2.52)
Despejando dy en la expresión (2.49) y sustituyendo dl por su valor:
dy =
2 Rc.ls 1 2 φ 5 2 φ 9 2 φ − + L dφ 2 3! 5!
Integrando y eliminando la constante de integración C, se obtiene:
50
φ 3 2 φ 7 2 φ 11 2 y = 2 Rc.ls − + L 7.3! 11.5! 3
....(2.53)
La expresión (2.28) representa la ecuación de y para un punto cualquiera sobre la curva clotoide en función del ángulo Ø. Expresando (2.28) en función de l:
y=
l3 l7 l 11 + + L (2.54) 3(2 Rc.ls ) 3!.7(2 Rc.ls )3 5!.11(2 Rc.ls )5
Para determinar la expresión de x, se procede de forma, utilizando la función cos Ø. cos Ø = dx / dl Realizando operaciones similares se determina:
1 φ52 φ92 x = 2 Rc.ls φ 2 − + L 5.2! 9.4!
....(2.55)
x=l−
l5
2!.5(2 Rc.ls )
2
+
l9
4!.9(2 Rc.ls )
4
L
(2.56)
La expresiones (2.55) y (2.56) permiten calcular las abscisas x de cualquier punto (p) sobre la clotoide referido al TS o ST de la curva. A partir de la figura 2.16:
φ
3 2
−
y tan α = = 3 x 1
φ2 −
φ3
Haciendo:
φ
7 2
7.3!
φ
5 2
5.2!
+
+ ..
tan α =
φ
+
φ3
3 105
+
φ5 5997
+L
(2.57)
+ ..
φ5
105 5997
tan α =
=Q
φ 3
+Q
α = tan −1 (φ 3 + Q )
Desarrollando en series la tangente inversa y sustituyendo Q por su valor, se obtiene:
α=
φ 3
−
8φ 3 32φ 5 − −L 2835 467775
α=
φ 3
− NS
….....(2.58)
Donde: NS: Sobrecorrección; siempre sustractiva y se demuestra que es despreciable para valores de Ø < 15º; por lo tanto, para la mayoría de los casos de diseño de las curvas clotoides, el valor de α será: α= Ø/3 ....(2.59) La expresión (2.59) es la ecuación que rige la inflexión en la curva clotoide; sin embargo, presenta el inconveniente de que su evaluación entre Ø = 0; hasta Ø = Øs, no es posible determinar los puntos o progresivas pares correspondientes de la clotoide entre el TS y el SC o entre el ST y el CS. No obstante, si en ella se sustituye la expresión (2.48); entonces:
α=
φs 3.l
2 s
.l 2
.... (2.60)
La expresión (2.60) en función de l, no presenta el inconveniente señalado anteriormente. En la tabla 2.4 se presentan los valores de la sobrecorrección NS, para diferentes ángulos de clotoides. Tabla 2.4. Sobrecorrección NS, para diferentes ángulos de clotoides.
51
øsº 5 6 7 8 9
NS" 0,4 0,7 1,1 1,6 2,3
øsº 10 11 12 13 14
NS" 3,1 4,1 5,4 6,8 8,5
øsº 15 16 17 18 19
NS" 10,5 12,7 15,3 18,1 21,3
øsº 20 21 22 23 24
NS" 24,9 28,8 33,1 37,9 43,0
øsº 25 26 27 28 29
NS" 48,7 54,8 61,3 68,4 76,1
øsº 30 31
NS" 84,3 93,0
En las expresiones (2.47), (2.53) y (2.55), ls; Rc; X y Y: están expresadas en metros, Øs y Ø: están expresadas en radianes. 2.8.3. Funciones fundamentales. En la figura 2.12 se representan los dos arcos de clotoide comprendidos entre el TS y el SC; y entre el ST y el CS, unidos por un arco circular intermedio que lo subtiende un ángulo central ∆C.
PI
∆
YS
XS
B
o A
t
TS
CS
SC
B’ ∆C= ∆- 2 ФS A’ RC
ФS
RC
ФS
∆c = ∆ - 2Ø Os ....(2.61)
Fig. 2.17
Para introducir las clotoides se ha trasladado el arco circular hacia adentro a la posición AA'; en la cual: B'A'= o (retranqueo)
BA =
o = ys - Rc(1 - cos Øs) ....(2.62) De la propia figura se determina la abscisa del retranqueo:
t = Xs - Rc . sen Øs ....(2.63)
Conocidos o y t es posible determinar otras funciones fundamentales de la clotoide; tangente (Ts) y su externa (Es).
La tangente es la distancia que separa al PI del TS y del ST; su determinación es fundamental para conocer las progresivas de los puntos notables de la curva de transición.
52
∆ y' = 2 Rc + o
tan
y ' = Rc. tan
∆ ∆ + o. tan 2 2
....(2.64)
Rc.tan ∆/2 = Tc (tangente de la curva circular simple antes del retranqueo). Por lo tanto:
y ' = Tc + o. tan ∆ / 2
De la Fig. 2.18 se infiere que:
....(2.65)
Ts = t + y '
Ts = Tc + o. tan ∆ / 2 + t ....(2.66)
Entonces:
La función externa (Es) es la distancia entre el PI y el punto medio de la curva de transición. De la figura 2.13 se obtiene:
cos
∆ Rc + o ; = 2 Rc + Es
Pero:
Entonces:
Es = Rc. sec
∆ Rc. sec − 1 = Ec 2
∆ ∆ Es = Rc. sec − 1 + o. sec 2 2
∆ ∆ + o. sec − Rc ; 2 2
(Externa de la curva circular simple antes del retranqueo)
Es = Ec + o. sec
∆ 2
....(2.67)
En la propia figura 2.18, es posible determinar el desarrollo del arco circular intermedio entre el SC y el CS:
Dc =
20(∆ − 2φs ) Gc
....(2.68)
53
En las expresiones (2.66); (2.67) y (2.68): Ts; o; t; Tc; Es y Dc, se expresan en metros y ∆; Øs y Gc, en grados sexagesimales. En la figura 2.19 se pueden determinar otras funciones menos importantes de las curvas clotoide:
Fig. 2.19 •
La cuerda larga (CL) que es la distancia entre el TS y el SC o entre el ST y el CS:
CL = •
....(2.69)
La tangente corta (TC) que es la distancia entre el punto de inflexión de la clotoide (v) y el SC o CS de dicha curva:
TC = •
Xs cos φs / 3
yS ....(2.70) sen φs
La tangente larga (TL) que es la distancia entre el punto de inflexión de la clotoide (v) y el TS o ST de dicha curva:
F = TC . cos φ s
TL = x s − F
Por lo tanto:
TL = X s − TC . cos φ s
....(2.71)
En las expresiones (2.69); (2.70) y (2.71), CL; xs; TC y ys, se expresan en metros y Øs en grados sexagesimales. 2.9. Longitud de la transición. En el diseño de vías férreas, resulta recomendable utilizar curvas de transición lo más corta posible para reducir los gastos de construcción y conservación. Sin embargo, se imponen limitaciones debidas a la pendiente de la rampa de peralte y la necesidad de mantener las variaciones de aceleración con el tiempo por debajo de los límites en que causan molestias a los viajeros. 2.9.1. Limitación geométrica. El establecimiento de la curva de transición posibilita pasar de alineación recta a circular, variando el radio uniformemente, pero además posibilita desarrollar el peralte del carril exterior atendiendo al requerimiento de la vía en cada punto. Sin embargo, esta característica supone un problema, ya que en la rampa los dos carriles definen un alabeo, determinado por dos líneas no paralelas que se cruzan, lo que origina dificultades importantes para el apoyo de las ruedas del vehículo. Fig. 2.20.
z
L Fig.2.20
54
El vehículo se adapta a esta situación a través del sistema de suspensión, con lo cual loe ejes se inclinan para soportar la caja y se torsionan como consecuencia del peso, apoyando las cuatro ruedas, pero indudablemente los dos ejes de un mismo truck o bogie pierden el paralelismo entre sí. Para evitar sobrecargas, y fundamentalmente descargas que puedan influir en la estabilidad de la circulación y en el riesgo de descarrilamientos, se limita el peralte con relación a la longitud de la transición, de manera que el alabeo no rebase una magnitud dada.
dz z ≤ const (1 − 3 mm ) ⇒ l S = ds r
(2.72)
Donde: r – (1 -3 mm/m lineal de via) Los valores máximo y mínimo de la longitud de transición, correspondiente al máximo peralte zMAX = 150 mm, serán 150 y 50 m respectivamente. Efectivamente, las longitudes de transición más comunes en la Vía Central oscilan entre 60 y 120 m. En líneas de alta velocidad los valores
dz ds
se reducen a cifras hasta 0,6 mm/m.
2.9.2. Limitación dinámica. La velocidad de ascensión de un eje por la curva de transición
dz dz ds dz = =V dt ds dt ds
dz dt
se define como:
(2.73)
Esta limitación se impone debido al tiempo de respuesta necesario para que se produzca la adaptación de la suspensión del vehículo a la nueva posición, además limita los efectos desfavorables sobre los equipos, estableciéndose la condición:
dz ≤ 20 − 60 mm / s dt
(2.73)
A efectos prácticos, las normas ferroviarias de muchos países calculan el tiempo de ascenso y lo igualan al tiempo de recorrido del vehículo por la transición.
Vz z L = ⇔L= = KV z dz dz V dt dt
(2.74)
después de realizar las conversiones requeridas, la expresión (2.74) se transforma en las siguientes expresiones, en función de la velocidad de ascenso: Para
dz
Para
dz
dt dt
= 20 mm/m
L=
Vz 72
Para
dz
= 40 mm/m
L=
Vz 144
Para
dz
dt dt
= 30 mm/m
L=
Vz 100
= 50 mm/m
L=
Vz 180
Esta expresión permite determinar L, siendo KV una constante de valor variable en función de z y V. Los valores de KV oscilan entre 5 y 13, sin embargo en Cuba se utiliza 1,5, sin embargo la longitud máxima recogida en la norma es de 180 m, insuficiente en 45 m si se considera el peralte máximo. 2.9.3. Limitaciones por confort. Desde los años 50 del siglo pasado se realizaron estudios de confort en los viajeros, que limitaron la variación de la 3 aceleración no compensada en la rampa de transición a valores entre 0,25 y 0,4 m/s . De manera que la insuficiencia de peralte debería variar:
55
dI ≤ 0,04 m / s dt
En caso excepcional
dI ≤ 0,06 m / s dt
Hoy se recomienda para velocidades inferiores a 200 km/h la cifra de 75 mm/s como variación de la insuficiencia del peralte y en casos excepcionales 90 mm/s. En vías de Alta Velocidad la variación en el tiempo de la aceleración no compensada
dα NCT ≤ 0,15m / s 3 . dt
Cualquiera de estas limitaciones acota la longitud mínima de la curva de transición, determinándose por la expresión:
L=
VI dI dt
(2.75)
La longitud final de la espiral será aquella que satisfaga las tres limitaciones impuestas. Poniendo la insuficiencia de peralte en función de la aceleración centrífuga no compensada permisible en el pasajero y realizando las conversiones requerida para expresar la velocidad en km/h se obtiene:
L=
V3 46,65α NC R
(2.76)
2.10. Trabajos de campo. Se definen los trabajos de campo como el conjunto de operaciones que debe realizar la comisión de topografía, para poder llegar a replantear las estaciones notables (TS; SC; PM; CS y ST) y todas las estaciones pares de la curva de transición. Fundamentalmente existen dos métodos para el replanteo: • •
Por ángulos de inflexión. Por coordenadas.
2.10.1. Replanteo por ángulos de inflexión. Es el método más generalizado para el replanteo de la clotoide y utiliza la expresión (2.60):
α=
φs 3l
2 s
.l 2
Donde: ls y l: se expresan en metros. α y Øs: se expresan en grados sexagesimales. Si se quiere que α este en minutos sexagesimales, que es la forma clásica de presentar el problema entonces, la expresión (2.60) se transforma en:
α'=
20.φ s º l
2 s
.l 2
(2.77)
Pasos a seguir en el replanteo. Si la inflexión es derecha: •
Se estaciona el instrumento de medición angular en el PI y se coloca sobre cada una de las tangentes la distancia Ts, con lo cual quedan replanteadas las progresivas notables TS y ST. Midiendo el ángulo
180 − ∆ 2
y haciendo
uso de la externa de la clotoide, se replantea la progresiva notable PM. •
56
Se mide sobre la tangente inicial y a partir del TS y el ST, la abscisa xs; y perpendicular a ella en ese punto, la ordenada ys; con lo cual quedan replanteadas las progresivas notables SC y CS.
•
Se estaciona el instrumento de medición angular en el TS de la clotoide, se biseca el PI con una lectura de 0º 00' y se giran las lecturas calculadas (tabla 3.2), hasta llegar con la última lectura al SC (Øs/3), que deberá coincidir con la progresiva del SC replanteada anteriormente por coordenadas (xs;ys).
•
Se estaciona el instrumento de medición angular en el SC y se replantea hasta el PM del arco circular. Para ello, es necesario situarse en la tangente por el SC y bisecando con 0º00' el PI virtual del arco circular. En estas condiciones es posible ya replantear la primera mitad del arco circular, girando el limbo del instrumento según las lecturas calculadas. Para situarse en tangente por el SC de la curva y bisecar el PI virtual del arco circular con 0º00'; el procedimiento es el siguiente:
•
Estacionados en el SC, se biseca el TS con un ángulo de: 180º - Øs/3 y cuando en el limbo del instrumento aparezca la lectura de 0º00'; se está en condiciones de replantear la primera mitad de la curva circular.
•
Se estaciona el instrumento de medición angular en el ST de la clotoide, se biseca el PI con una lectura de Øs/3, y se van restando las lecturas anteriormente calculadas hasta llegar con la última lectura al CS (0º00'), que deberá coincidir con la estaca del CS replanteada anteriormente por coordenadas (xs;ys).
•
Se estaciona el instrumento de medición angular en el CS y se replantea hasta el PM del arco circular. Para ello es necesario situarse en tangente por el CS y bisecando con ∆c/4 al PI virtual del arco circular. En estas condiciones es posible el replanteo de la segunda mitad del arco circular, restando las lecturas anteriormente calculadas.
Para situarse en tangente por el CS de la curva y bisecar al PI virtual del arco circular con ∆c/4; el procedimiento es el siguiente: •
Estacionados en el CS, se biseca el ST con un ángulo de: 180º - Øs/3 - ∆c/4 y cuando en el limbo del instrumento aparezca la lectura de ∆c/4 se esta en condiciones de replantear la segunda mitad de la curva circular.
Si la inflexión de la curva de transición es izquierda el procedimiento es similar al explicado, con la diferencia de que el procedimiento a seguir para la primera mitad es el mismo que el utilizado en la segunda mitad de la curva de inflexión derecha y viceversa. 2.10.2. Replanteo por coordenadas. Se demostró que el ángulo central que subtiende a toda la clotoide (Øs), para puntos P sobre la misma varia entre Ø = 0º00' hasta Ø = Øs. Si se evalúa la expresión (2.46), para los diferentes puntos de la clotoide, los ángulos centrales resultantes serán los correspondientes a las estaciones pares del trazado. Si estos valores de Ø se sustituyen en las expresiones (2.53) y (2.55), se obtienen las coordenadas (x; y) correspondientes a las estaciones pares del trazado y se tendrá resuelto el problema del replanteo por coordenadas desde la tangente inicial. 2.11. Ejemplo de cálculo de una curva de transición. Se desea diseñar una curva en una zona donde no existen restricciones, que posea las siguientes características.
Vía de I Categoría. Est. PI = 144+5,50
Velocidad de diseño Vd= 140 km/h 0 ∆= 22
Para conocer el valor del radio mínimo posible se utiliza la expresión:
V 2 (140) = = 980 m 20 20 2
R≥
De acuerdo con la NC 53 – 166:1986, el radio mínimo para este tipo de vías cuando no existen restricciones es R = 2000 m. el que se asume. El peralte requerido se determina por la expresión, (NC 53 – 166:1986:
8V 2 8(140) = = 78,4 mm ≈ 80 mm R 2000 2
h=
11,8V 2 11,8(140) − 100 = − 100 = 11,6 mm ≈ 20 mm R 2000 2
hMIN =
Si h = 80 mm, I = 36 mm. Si se utiliza h = 20 mm, entonces I = 96 mm.
57
Partiendo del análisis anterior se adopta h = 80 mm. Conocido el radio R y el peralte h se requiere precisar la longitud de la espiral que satisfaga las limitaciones geométricas, dinámicas y de confort. Limitación geométrica:
lS =
z 80 mm = = 80 m r 1 mm m
Limitación dinámica: Limitando la velocidad de ascenso a 3º mm/m.
lS =
V z (140)80 = = 112 m 100 100
(140 km / h ) V3 = = 45 m 46,65 α NC R 46.65 0,65 m / s 2 (2000) 3
Limitación por confort:
lS =
Según la NC 53 – 166:1986,
(
)
l S ≥ 1,5 h ≥ 1,5(80) ≥ 120 m
De manera que con lS = 120 m, se aseguran el cumplimiento de todas las limitaciones que se imponen a la longitud de la espiral. A partir de (2,47) se determina Øs:
φs =
ls 120 = = 0,03rad 2.Rc 2.(2000 )
ϕ s = 1,7188734°
φ 3 2 φ 7 2 φ 11 2 ys = 2 Rc.ls s − s + − s − L 7.3! 11.5! 3 3 7 0,03 2 0,03 2 ys = 2.(2000).120 − + L ys = 1,20 m 7.3! 3
Por la expresión (2.53) se determina ys:
φ5 2 φ9 2 x S = 2 Rc.ls φ s1 2 − s + s − L 5.2! 9.4! 5 1 2 0 , 03 xs = 2.(2000).120 0,03 2 − + L x S = 119,94 m 5.2!
Utilizando la expresión (2.55) se determina xs:
La expresión (2.62) permite determinar o:
o = y s − Rc (1 − cos φ s )
o = 1,20 − 2000(1 − cos1,7188734º ) o = 0,30m.
Por la expresión (2.63) se determina t:
t = x S − ( Rc .senφ s )
t = 8119,94 − (2000.sen1,7188734º )
Ts = Tc + o tan ∆ / 2 + t Ts = 2000. tan 22º / 2 + 0,30. tan 22º / 2 + 59,95 Ts = 448,77 m
Con la expresión (2.66) se determina Ts:
Por la expresión (2.67) se determina Es:
E s = E c + o sec ∆ / 2
E s = 2000(sec 22º / 2 − 1) + 0,30. sec 20º / 2
58
Es = 37,74m.
t = 59,95m.
Utilizando la expresión (2.68) se determina el desarrollo del arco circular:
Dc =
[
)]
(
20 22 0 − 2 1,7188734 0 = 647,94 m 0,57296
GC =
Dc =
20(∆ − 2φs ) Gc
1145,92 1145,92 = = 0,57296 R 2000
El cálculo de las estaciones notables se realiza a partir de la Est. PI EST. PI = 144 + 5,50 - Ts = 44 + 8,77 EST. TS = 99 + 6,73 + ls = 12 + 0,00 EST. SC = 111 + 6,73 + Dc =
64 +7,94
EST.CS = 176 + 4,67 + ls = 12 + 0,00 EST. ST = 188 + 4,67 La estación del PM se determina como: EST. SC = 111 + 6,73 + Dc/2 = 32 + 3,97 EST. PM = 144 + 0,70 Calculo de las lecturas notables:
φ s / 3 = 1,7188734º / 3 = 0,5729578 = 0º34'23' ' 2φ s / 3 = 2.1,7188734º 3 = 1,1459156º = 1º8'45' '
∆c ∆ − 2φs 22 − 2.1,7188734 − = = 4º38'26' ' 4 4 4 En la tabla 2.5 se encuentra el registro de replanteo de la curva de transición. En el ejemplo se utilizo la expresión general (2.77):
α'=
20.φ s º 2 .l l s2
....(2.77)
Los cálculos en la clotoide, desde el TS al SC, a las estaciones pares son:
α '100 =
20.1,7188734º .(3,27) 2 = 0,002387342.(3,27) 2 ≈ 0' 120 2
α '102 = 0,002387342.(23,27) 2 = 0 01'
α '104 = 0,002387342.(43,27) 2 = 0 0 4'
α '106 = 0,002387342.(63,27) 2 = 0 010'
α '108 = 0,002387342.(83,27) 2 = 0º17 '
α '110 = 0,002387342.(103,27) 2 = 0º 25 '
α '111+6,73 = 0,002387342.(120) 2 = 0º34 ' 23' '
Este último valor corresponde a la estación del SC y es una comprobación. Los cálculos en la clotoide, desde el ST al CS, a las estaciones pares son:
59
α '188 = 0,002387342.( 4,67) 2 = 0 0 0'
α '186 = 0,002387342.(24,67) 2 = 0 01'
α '184 = 0,002387342.(44,67) 2 = 0 0 5'
α '182 = 0,002387342.(64,67) 2 = 0 010'
α '180 = 0,002387342.(84,67) 2 = 0 017'
α '178 = 0,002387342.(104,67) 2 = 0 0 26'
α '176+ 4,67 = 0,002387342.(120)2 = 0º34'23' ' Este último valor corresponde a la estación del CS y es una comprobación. Los cálculos del arco circular, entre el SC y el PM, a las estaciones pares son; según las expresiones: (para sub-cuerdas), y α'= Gc/2 (para cuerdas)
α'= 1,5 . Gc . x
Los cálculos del arco circular, entre el SC y el PM, a las estaciones pares son:
α 112 ' = 1,5 (0,57296) 3,27 = 0 0 3'
α '114 = 0 0 3' +
GC 0,57296 0 = 0 0 3' + = 0 0 3' + 0 017'11' ' = 0 0 20'11' 2 2
α '116 = 0 0 20'11' ' +
0,57296 0 = 0 0 37' 22' ' 2
α '118 = 0 0 37' 22' ' +
α '120 = 0 0 54'33' ' +
0,57296 0 = 1011' 44' ' 2
α '122 = 1011'44' ' +
α '124 = 10 28'55' ' +
0,57296 0 = 10 46' 6' ' 2
α '126 = 10 46'6' ' +
α '128 = 2 0 3'17' ' +
0,57296 0 = 2 0 20' 28' ' 2
α '132 = 2 0 37'39' ' + α '136 = 3 012'1' ' +
0,57296 0 = 2 0 54' 50' ' 2
0,57296 0 = 30 29'12' ' 2
0,57296 0 = 0 0 54' 33' ' 2
0,57296 0 = 10 28' 55' ' 2
0,57296 0 = 2 0 3'17' ' 2
α '130 = 2 0 20'28' ' +
0,57296 0 = 2 0 37' 39' ' 2
α '134 = 2 0 54'50' ' +
0,57296 0 = 3012'1' ' 2
α '138 = 30 29'12' ' +
0,57296 0 = 30 46' 23' ' 2
α '140 = 3 0 46'23' ' +
0,57296 0 = 4 0 3' 34' ' 2
α '142 = 4 0 3'34' ' +
0,57296 0 = 4 0 20' 45' ' 2
α '144 = 4 0 20'45' ' +
0,57296 0 = 4 0 37' 56' ' 2
α 144+0,70 ' = 4 0 37'56' '+1,5 (0,57296) 0,70 = 4 0 38'26' '
El último valor corresponde a la Est. PM y es una comprobación. Los cálculos del arco circular, entre el CS y el PM, a las estaciones pares son:
α 176 ' = 1,5 (0,57296) 4,67 = 0 0 4' 1' ' α '174 = 0 0 4'1' ' +
60
0,57296 0 = 0 0 21'12' ' 2
α '172 = 0 0 21'12' ' +
0,57296 0 = 0 0 38' 33' ' 2
α '170 = 0 0 38'33' ' +
0,57296 0 = 0 0 55' 44' ' 2
α '168 = 0 0 55'44' ' +
α '166 = 1012' 55' ' +
0,57296 0 = 10 30' 6' ' 2
α '164 = 10 30' 6' ' +
0,57296 0 = 10 47'17' ' 2
α '162 = 10 47'17' '+
0,57296 0 = 2 0 4' 28' ' 2
α '160 = 2 0 4' 28' '+
0,57296 0 = 2 0 21' 39' ' 2
α '158 = 2 0 21' 39' '+
0,57296 0 = 2 0 38' 50' ' 2
α '156 = 2 0 38' 50' '+
α '154 = 2 0 56'1' '+
0,57296 0 = 3 013'12' ' 2
α '150 = 3 0 30' 23' '+ α '146 = 4 0 4' 45' '+
α '152 = 3 013'12' '+
0,57296 0 = 30 47' 34' ' 2
0,57296 0 = 4 0 21' 56' ' 2
0,57296 0 = 1012' 55' ' 2
0,57296 0 = 2 0 56'1' ' 2
0,57296 0 = 30 30' 23' ' 2
α '148 = 3 0 47' 34' '+
0,57296 0 = 4 0 4' 45' ' 2
α 144+0,70 ' = 4 0 21' 56' ' .1,5 (0,57296) 4,67 = 4 0 38' 31' '
Este último valor obtenido es una comprobación y arroja un error de 5’’ en el PM, lo que resulta permisible. En la tabla 2.5 se presenta el registro de replanteo para la curva diseñada. CURVA Nº= 10 R= 2000 metros Gc= 0º34'
INFLEXION DERECHA VALORES CALCULADOS Ts= 448,77 metros Es= 37,74 metros Xs= 119,94 metros Ys= 1,20 metros
Primera Clotoide ESTACION TS= 99 + 6,73 100+0,00 102+0,00 104+0,00 106+0,00 108+0,00 110+0,00 SC= 111 + 6,73
ARCO 0,00 3,27 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 16,73
EST. EST. EST. EST. EST. Circular
LECT. 0º00' 0º00' 0º01' 0º04' 0º10' 0º17' 0º25' 0º34'23’’
ESTACION SC= 111 + 6,73 112+0,00 114+0,00 116+0,00 118+0,00 120+0,00 122+0,00 124+0,00 126+0,00 128+0,00 130+0,00 132+0,00 134+0,00 136+0,00 138+0,00 140+0,00 142+0,00 144+0,00 PM = 144+0,70 PM = 144+0,70
ARCO 0,00 6,73 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 0,70
ESTACIONADO T.S.= 99 + 6,73 S.C.= 111 + 6,73 P.M.= 144 + 0,70 C.S.= 176 + 4,67 S.T.= 188 + 4,67 Segunda Clotoide
LECT. 0º00' 0º03' 0º20' 0º37' 0º54' 1º12' 1º29' 1º46' 2º03' 2º20' 2º38' 2º55' 3º12' 3º29' 3º46' 4º04' 4º21' 4º38' 4º38'26’’ 0º00'
ESTACION ST= 188+4,67 188+0,00 186+0,00 184+0,00 182+0,00 180+0,00 178+0,00 CS= 176+4,67
ARCO 0,00 4,67 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 15,33
LECT. 0º34' 0º34' 0º33' 0º29' 0°24' 0º17' 0º08' 0º00'
61
146+0,00 148+0,00 150+0,00 152+0,00 154+0,00 156+0,00 158+0,00 160+0,00 162+0,00 164+0,00 166+0,00 168+0,00 170+0,00 172+0,00 174+0,00 176+0,00 C.S.= 176+4,67 Tabla 2.5.
20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 4,67 0,00
0º17' 0º34' 0º51' 1º08' 1º25' 1º42' 1º59' 2º16' 2º33' 2º50' 3º08' 3º25' 3º42' 4º00' 4º17' 4º34' 4º38'
2.12. Acortamiento del carril interior de las curvas. 2.12.1. Fundamentación de la necesidad del acortamiento del carril interior en las curvas. La construcción de la superestructura de la vía con juntas de carriles a escuadra permite aprovechar las ventajas del ensamblaje de campos en plantas especializadas lo cual humaniza y agiliza las operaciones del tendido del retículo carril – traviesas sobre la plataforma. La presencia de tramos curvos dificulta mantener las juntas a escuadra, originándose un adelantamiento del carril interior por la diferencia existente entre el perímetro exterior e interior de la curva. (Fig. 2.21)
δ LN
LN
Si ambos carriles son de longitud normal, entonces el carril interior se adelantará en la longitud δ, que se incrementará en la medida que se avance por el desarrollo de la curva, alejando cada vez mas las juntas, perdiéndose la perpendicularidad de las traviesas y reduciéndose el cartabón de la vía, lo que constituye una situación de peligro, particularmente en tramo curvo.
Fig. 2.21
Para evitar estos problemas se diseña en acortamiento que debe existir en algunos de los carriles interiores de la curva, de manera tal que el adelantamiento de este no rebase un valor máximo establecido.
2.12.2. Fundamentación matemática para los cálculos. En la Fig. 2.22 se representa un tramo curvo genérico.
62
A’ A
B’ B ρEXT.
C
E
ρINT. φA φB
φ Fig. 2.22. φ Angulo que subtiende el arco analizado. ρINT, ρEXT Radios de curvatura en las filas interior y exterior. E Adelantamiento teórico al final del arco de la curva. A’B’ = AC Campos con carriles de longitud normal. En un diferencial del ángulo φ, la curva se asemeja a un arco circular. De manera que:
E=
ϕB
ϕB
∫ ρ EXT dϕ − ∫ ρ INT dϕ =
ϕA
ϕB
ϕA
E = S ∫ dϕ = S (ϕ B − ϕ A )
ϕB
∫ϕ (ρ
EXT
− ρ INT ) dϕ
A
E=Sϕ
(2.78)
ϕA
La expresión (2.78) permite afirmas que para determinar el adelantamiento de cualquier junta interior basta con conocer el ángulo que subtiende el arco que va desde el inicio de la curva hasta la junta dada.
63
∆
j CS
SC
i
k
TS
ST
li
φj
(l ST − K )2
φk
φi
2 RC l S
φCC φS
φS
∆
Fig. 2.23. Para obtener las expresiones de cálculo del adelantamiento de las juntas en distintas posiciones se parte de la Fig. 2.23. Adelantamiento en cualquier junta “i” dentro de la curva de transición de entrada. En la expresión (2.46) se demostró que en transiciones clotoides: 2
l ϕ= i 2 Rc.ls
Donde: li Longitud del arco desde el punto con radio
∞
hasta la junta “i”.
2
Partiendo de la expresión (2.78):
l Ei = S ϕ i = i S 2 Rc.ls
(2.79)
Si el punto “i” se ubica en el SC de la curva, entonces li =ls , entonces:
E SC = S ϕ S =
2
ls S 2 Rc.ls
E ==
ls S 2 Rc.
(2.80)
La expresión (2.80) posibilita conocer el acortamiento total requerido el la transición de entrada.
Adelantamiento en cualquier junta “j” dentro de la curva circular. Partiendo de la expresión (2.78) el adelantamiento del carril interior en el punto “j” será:
E j = S ϕ j = ϕs S +
SC − j SC − j S = Es + S R R
(2.81)
El adelantamiento total del carril interior en el CS de la curva se puede determinar como:
E CC = S (ϕ S + ϕ CC ) = E s +
D SC − CS S = E s + CC S R R
(2.82)
Adelantamiento en cualquier junta “k” dentro de la curva de transición de salida.
64
Cuando la junta que se calcula se encuentra en la transición de salida, el ángulo φk está compuesto por los ángulos φS, φCC y (φS
2 ( l ST − K ) ).
2 RC l S
Como la expresión (2.46), para determinar el ángulo φ en cualquier punto de la clotoide está demostrada para el desarrollo de este tipo de curva, avanzando de R = ∞ hasta el valor del radio de curvatura del arco circular en el SC, no es utilizable para determinar el ángulo existente entre el CS y el punto k, por lo que se procede determinando el adelantamiento del carril interior total de la curva y restándole el que se produce entre el punto k y el ST.
(l )2 E k = S ϕ S + ϕ CC + ϕ S − ST - K 2 RC l S
(l )2 = 2 E s + ECC − ST - K 2 RC l S
De la ecuación (2.83) se desprende que cuando lST adelantamiento total del carril interior como:
ETOTAL = 2 E s + ECC
– K=
(2.83)
0, el análisis corresponde al punto ST y se determinará el
(2.84)
La cantidad total de carriles con acortamiento k requerido se determina como:
N=
ETOTAL k
(2.85)
Donde: k Acortamiento normado. k = 40, 80, 120 mm para carriles de 12,50 m k = 80, 160 mm para carriles de 25.00 m La selección del valor de k debe tener en cuenta: •
N ≤ Cantidad de campos del SC al CS o sea en el desarrollo circular. Resulta lo más cómodo, pero no es una condición necesaria. k debe ser el menor valor que asegure el ítem anterior.
•
La posición de los campos con acortamiento dentro de la curva se determina a partir del cálculo del adelantamiento del carril interior en cada junta. Cuando el adelantamiento Ej ≥ k/2, se inserta un campo con el acortamiento seleccionado. Los cálculos se realizan generalmente en una tabla similar a la presentada en Tabla 2.6. o
N Carril
Ubicación
Longitud Carril
Longitud Cálculo
Adelantamiento calculado
Acortamiento Real En la junta
Total
Valor de adelantamiento o retrazo.
2.12.3. Ejemplo ilustrativo de cálculo. Con el objetivo de visualizar la manera práctica de solución del adelantamiento de las juntas interiores de las curvas con la introducción de carriles cortos, se presenta el siguiente ejemplo.
El proyecto de un acceso ferroviario a un centro industrial posee una curva de radio R = 800 m. Las curvas de transición de la misma tienen una longitud de 120 m y el desarrollo de la curva circular DCC = 152, 25 m. La primera junta en la curva de transición de entrada se encuentra a 3,75 m del TS. a)
Determine el acortamiento k más conveniente a utilizar en la curva y cuantos campos con carril interior de ese acortamiento serán necesarios ensamblar.
No se conoce el valor de ∆, pero se conoce lS y DCC, por lo que se podrá sustituir en (2.78) por las expresiones φS =
lS 2 RC
y φCC =
l CC RC
.
l ETOTAL = 2 E SC + ECC = 2 S 2 RC
lCC × S + RC
× S
65
Sustituyendo los valores y simplificando el primer término:
120 152,25 ETOTAL = × 1500 + × 1500 = 510,5mm 800 800 Se propone utilizar acortamiento k = 40 mm que por ser el menor posibilita mejor distribución en la curva y reducción de la falsa escuadra en las juntas. Entonces la cantidad de campos cortos será:
N CAMPOS CORTOS =
E 510,5mm = = 12,76 ≈ 13 k 40mm
N CAMPOS EN LA CURVA CIRCULAR =
DCC 152,25 m = = 12,17 campos 12,51 m 12,51 m
N CAMPOS CORTOS > N CAMPOS EN LA CURVA
Sin embargo es previsible que en cualquiera de las dos transiciones se ubique
uno o más campos con acortamiento, por lo que puede adoptarse k = 40 mm. Se utilizarán 13 campos con acortamiento de 40 mm que origina un acortamiento total de 520 mm. Los 9,5 mm de exceso de acortamiento se distribuirán en las juntas del tramo recto. b)
Cuantos campos con acortamiento hay que colocar hasta la estación j situada a 110 m del SC.
l E J = S 2 RC
l SC − J × S + RC
N CAMPOS CORTOS =
120 m 152,25 m × S = + × 1500 mm = 318,75 mm 800 m 800 m
318,75 mm = 7,97 campos 40 mm
Hasta la estación j se habrán colocado 8 campos con carril interior corto en 40 mm que totaliza un acortamiento de 320 mm, por lo que el carril exterior en esa junta se encuentra adelantado 1,25 mm. c)
Determine la posición de los carriles cortos en la curva que se analiza.
Reduciendo las expresiones de cálculo: Transición de entrada:
E=
l2 l2 l2 S= × 1500 mm = mm 2 l S RC 2(120 m )(800 m ) 128
En la curva circular:
E = E SC +
l l S = 112,5 mm + × 1500 mm = 112,5 + 1,875l RC 800 m
(mm)
Transición de salida:
E = ETOTAL −
x2 x2 x2 S = 510,5 mm − × 1500 mm = 510,5 − 2 l S RC 2(120 m )(800 m ) 128
(mm )
Para el desarrollo de los cálculos se utiliza la tabla que se presenta a continuación, comenzando con la longitud de cálculo que existe del TS a la primera junta de la transición de entrada e incrementando la longitud de cálculo en la longitud de un campo más la holgura para cada junta. Hay que prestar especial atención cuando: Suma del acortamiento necesario – Acortamiento real total ≥ acortamiento.
66
k
2
, en ese momento se introduce un campo con
También debe prestarse atención a los puntos SC, CS y ST donde por lo general un tramo de carril queda en la transición y el resto en la curva circular. Tabla 2.7. 2.13.
N
o
Carril
1 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 112 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 231 232 24 25 26 27 28 29 30 31 32 331 332
Diseño de la superelevación. En el acápite 2.5 se trató con detalle todo lo relacionado al fundamento teórico y las expresiones prácticas para determinar el peralte requerido para una curva de radio R bajo condiciones de explotación dada. Este punto estará referido al diseño para la implantación del peralte en el proceso constructivo o en tareas de reconstrucción. Ubicación
2 Recta Transición de entrada 2 E = l /128
Curva Circular E = ESC + 1,875l
Transición de salida E = 510,5 – 2 x /128
Recta
Long. del Carril 3 8,76 3,75 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 3,66 8,85 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 5,79 6,72 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 12,51 0,69 11,82
Long. tramo de cálculo 4
Suma del acortamiento necesario 5
3,75 16,26 28,77 41,28 53,79 66,30 78,81 91,32 103,83 116,34 120,00 8,85 21,36 33,87 46,38 58,89 71,40 83,91 96,42 108,93 121,44 133,95 146,46 152,25 113,28 100,77 88,26 75,75 63,24 50,73 38,22 25,71 13,2 0,69 0
0,11 2,06 6,5 13,3 22,6 34,3 48,5 65,1 84,2 105,7 112,5 129,1 152,5 176,0 199,5 223,0 246,0 270,0 293,0 317,0 340,0 364,0 387,0 398,0 410,2 431,2 449,6 465,7 479,3 490,4 499,1 505,3 509,1 510,5 510,5
Acortamiento real En cada Total carril 6 7
Valor del adelanto o retrazo 8
0 0 0 0 40 0 0 40 0 40
0 0 0 0 40 40 40 80 80 120
-0,11 -2,06 -6,5 -13,3 17,4 5,7 -8,5 14,9 -4,2 14,3
0 40 0 40 40 0 40 0 40 40 0 40
120 160 160 200 240 240 280 280 320 360 360 400
-9,1 7,5 -16,0 0,5 17,0 -6,0 10,0 -13,0 3,0 20,0 -4,0 13,0
0 40 0 40 0 0 0 40 0 0 0
400 440 440 480 480 480 480 520 520 520 520
-10 8,8 -9,6 14,3 0,7 -10,4 -19,1 14,7 10,9 9,5 9,5
Observ.
9
Est. SC
Est. CS
Est. ST
La implantación del peralte puede hacerse, en teoría, de tres maneras: • • •
Girando la vía por su eje. Girando la vía por el carril exterior. Girando la vía por el carril interior.
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Que de manera gráfica se pueden representar como: GIRO POR EL EJE DE LA VIA Carril exterior h TS
Rasante Carril interior
SC
ST CS
GIRO POR EL CARRIL EXTERIOR
Rasante
Carril exterior TS
ST
h Carril interior
SC
Carril exterior h Carril interior SC
TS
CS GIRO POR EL CARRIL INTERIOR Rasante ST
CS
Fig. 2.24
Teniendo en cuenta el inconveniente que significa retirar balasto debajo del entramado de la vía, además del debilitamiento que provoca esta acción, las dos primeras variantes de solución quedan eliminadas, utilizándose en las vías férreas el giro por el carril interior que posibilita lograr el peralte elevando el borde exterior sobre el balasto, que además de ser más sencilla como operación, asegura la permanencia de la rasante en el carril interior, reduciendo los movimientos parásitos del material rodante.
h hX lX lS
Fig. 2.25
El peralte del carril exterior se desarrolla linealmente entre el TS y SC, permanece constante en el arco circular SC – CS y decrece linealmente entre el CS y el ST, de manera que para determinar el peralte en hX en cualquier estación en las curvas de transición basta con establecer las relaciones entre las longitudes y los peraltes:
hX =
lX h lS
(2.86)
Partiendo del ejemplo resuelto en el acápite 2.11, donde h = 80 mm y lS = 120 m, desarrollando los cálculos pertinentes se obtiene el registro para el desarrollo de la superelevación de la manera indicada en la tabla 2.8.
68
Primera Clotoide ESTACION TS= 99 + 6,73 100+0,00 102+0,00 104+0,00 106+0,00 108+0,00 110+0,00 SC= 111 + 6,73
2.14.
ARCO 0,00 3,27 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 16,73
Circular Peralte R+0,0 R+0,2 R+1,6 R+2,9 R+4,2 R+5,6 R+6,9 R+8,0
ESTACION SC= 111 + 6,73 112+0,00 114+0,00 116+0,00 118+0,00 120+0,00 122+0,00 124+0,00 126+0,00 128+0,00 130+0,00 132+0,00 134+0,00 136+0,00 138+0,00 140+0,00 142+0,00 144+0,00 146+0,00 148+0,00 150+0,00 152+0,00 154+0,00 156+0,00 158+0,00 160+0,00 162+0,00 164+0,00 166+0,00 168+0,00 170+0,00 172+0,00 174+0,00 176+0,00 C.S.= 176+4,67
ARCO 0,00 6,73 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 4,67 0,00
Segunda Clotoide Peralte R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0 R+8,0
ESTACION ST= 188+4,67 188+0,00 186+0,00 184+0,00 182+0,00 180+0,00 178+0,00 CS= 176+4,67
ARCO 0,00 4,67 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 15,33
Peralte R+0,0 R+0,3 R+1,6 R+3,0 R+4,3 R+5,6 R+7,0 R+8,0
Perfil longitudinal.
2.14.1. Elementos básicos. El perfil longitudinal es la proyección en el plano vertical del trazado ferroviario y junto con el trazado en planta determina de manera unívoca la posición espacial de la vía. El perfil longitudinal esta compuesto por tramos horizontales, rampas o pendientes, según el sentido ascendente o descendente de la circulación y por acuerdos circulares en los puntos de cambio de pendiente. Los cambios de pendiente están condicionados por el terreno y el valor de rampa máxima adoptada. El valor de rampa máxima depende de: • • • • • •
Adherencia rueda – carril que limita i a valores máximos en el orden de 70 ‰ Potencia de los equipos tractivos. En estos momentos, para tráfico especializado de viajeros existen motores que permitirían diseñar vías con rampas de 50 ‰. Características del tráfico. Posibilidad de arranque, frenado, etc. En líneas de tráfico mixto no deben superarse 20 ‰. En túneles o curvas que endurecen el efecto de rampa, la pendiente máxima debe descender a 17 o 18 ‰.
La NC 53-165 – 1986 establece las pendientes dominantes máxima atendiendo a la clase de la vía. Según este documento la pendiente dominante en vías de Clase I es de 12‰, para Clase II es 15‰, para Clase III es 20‰ y para clase IV y V llega hasta 30‰. Este documento detalla además las diferencias de pendientes contiguas permisibles en distintas condiciones y clases de vía y la longitud mínima permisible de los elementos de perfil.
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Al trazar el eje de una vía sobre un plano cartográfico, debe pretenderse lograr variantes económicas, para ello es conveniente utilizar el criterio de línea de cero corte, que no es mas que la línea que con la pendiente dominante determinada, no originaria movimiento de tierra. Este criterio también asegura la relación requerida entre planta y perfil, estableciendo los desarrollos requeridos para alcanzar la cota necesaria, aunque el diseño moderno pondera el uso de túneles y viaductos para salvar los obstáculos topográficos, acortando distancias y logrando trazados más rectos. 2.14.2. Acuerdos verticales. Cuando el perfil longitudinal de la vía presenta pendientes de inclinación diferentes (En Cuba, ∆i ≥ 3‰, en Europa ∆i ≥ 2,5‰), deben estar enlazadas a través de acuerdos verticales que realicen de forma progresiva el cambio de inclinación. Estos acuerdos pueden ser cóncavos o convexos y se requieren por las siguientes razones: Limitaciones estáticas: En condiciones de tren parado o circulando a baja velocidad serían posibles choques en las cajas de los vehículos, compresión de unas suspensiones y extensión de otras, que causarían un deterioro innecesario del material y elevar las posibilidades de riesgos para la seguridad del movimiento. Fig. 2.26.
Fig. 2.26. Limitaciones dinámicas: Circulando el tren a velocidades de servicio, un paso directo de una a otra inclinación, produciría movimientos anormales en los vehículos que agravarías los problemas anteriores; en los ángulos entrantes se producirían además tensiones adicionales en los enganches y fuerte tendencia al vuelco en los acuerdos convexos, sobrecargas y descargas en los ejes. Fig. 2.27.
Fig. 2.27. 2.14.3. Establecimiento de los acuerdos verticales. La manera natural de establecer el enlace entre una rasante horizontal y una inclinada es intercalar entre las dos alineaciones una curva tangente a ambas y con inclinación constantemente variable desde el comienzo al final del acuerdo.
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Fig. 2.28.
dz i = ix ⇔ z = x 2 dx 2
(2.87)
En algunos ferrocarriles, entre ellos los ferrocarriles de Cuba, esta ecuación se reemplaza por la de un círculo de radio R y centro sobre la vertical del acuerdo. En ese caso la ecuación aproximada es:
z=
x2 2R
(2.88)
Para el caso de dos rasantes cualquiera, las características del círculo de enlace estarán definidas por su radio RV y su longitud. El radio se determina considerando que la aceleración centrífuga vertical que se produce por la circulación sobre el acuerdo, debe ser limitada por el confort del pasajero, estableciéndose en ese caso entre el 1 y el 4 % de la aceleración de la gravedad. Fig. 2.29. De manera que:
V2 ≤ (0.01 − 0,04 )g ⇔ RV ≥ KV 2 RV
(2.89)
K es una constante característica para cada administración ferroviaria. La expresión (2.89) puede dar como resultado radios de 10000 a 25000 m para altas velocidades y en cualquier caso da lugar a varios miles de metros. La NC 53-165: 1986 recomienda RV de 15000 m para vías de Clase I, 10000 m para vías de Clase II y 5000 m para el resto de las vías. Conocida la velocidad se calcula el valor de R y se deduce la longitud del acuerdo a través de la expresión:
L = R (i 2 − i1 )
(2.90)
La NC 53-165: 1986 plantea la siguiente expresión para calcular la semilongitud de la curva vertical:
T=
RV ∆i 2000
(2.91)
Donde RV se expresa en metros y ∆i en ‰. La bibliografía consultada coincide en sugerir que no debe desarrollarse curvas verticales en los tramos donde en planta existan curvas de transición ni donde existan conexiones.
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