������ �� �������� �� ������� �� �� ������� �� ������
��������� �� �����
•
•
���� �� ���������� �� ���� ���� ������� ��������� ��� ����� ��� ��������� �� ������ ��� �������� � ��� ����� ����������� ���� �� �������������� L�� L�� ���� ������ ��� ��� ���� ������ ��� � �� ��� ���� ���� ������ ��� � �� ���� ������ �� ���� ������ �� �� ���� ������ ���� ���� �������� ������� �������� ��� �������������� ��� ������ � ������ �� ��� ������ �� ��������� �� �� �������������� ��� ������. �(�)
������
�(�)
�K
•
L�� ����� �������� �� ������ � ������ �� ��� �������� ���������� �� �� ��������� ���������
������ �������� �� ��������� �� ��� �����
•
E� ������������� ������������� ���� �� ��������� �� ��� ����� �� ��� �� ������� ������� ��� �� ������ ������������� ����������� �(�)
•
= + =
= ⋯
�(�)
����� ������
����� �� ������� ��� �������������� �� ������
�(�)
�
∫�� � ��
�(�)
= − �(�)
�
�(�)
�(�)
�
∫��
�(�)
�
� ��
= + = = −
= + = + − = − − = ( − ) ����� �����������
��� ������ � ��� ������� ,,�, (������� ��������) ��
L� ������ �� ��������� �� �������������� ��������������� �� � ��� ��������� �� ������ ������
( − )
������ ���� �� ��������� �� �����: ������ ������ �� �� �������������� � �� ����� �������� ����������� •
A ������ �� ��� ���������� �� ������ � �� ����� �� �������
= + •
= −
�� ������ �� ������ �� ��������������
=
= ⋯ ⋯ 1 ⋯ 1 0 M����� �� ������������ = ⋮ 1 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 − = + + ⋯+ + ��������� ��������������
•
•
�� ���� ��� �������������� �� ������
•
D� �� EE, ������ �� ������� �����������, ������ � ����� �� ����� �������� �����������
= + = +
•
= , =
D� ����� ��������� D����:
= ⋮ −
= + = + ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ = ⋯ ⋮ − − ⋯ −
•
= − , ����������� = = − = − = − = = ⋯
L� ����� �� �������
•
���������
•
D����
•
A ������ �� �� �������������� �� ������ ������� ��� ����������
•
= + = − ����������� �� ��� �� ������� = − = −
•
L� �������� �������������� ���� ���� �������
− + = 0
•
��� �� �����, ���������� �������:
�������
������� ��� ��������������
= + = −
= ( −) − + = 0
E�. ��������������
= + = − − + = 0 = − E�. ��������������
•
�� ����������� ��� ������� �� ��� �������� �� �� ��. �������������� ��� �������������� �� ������
− + = 0 •
D���� (��������� �������������)
0 1 0 0 0 1 ⋮ = ⋮ ⋮ 0 0 0 − − −
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 1 −
= ⋯
0 0 = 0 ⋮ 1
•
•
�� �������
E��� �������� ��������������, ���� ��� ����� � �� �������� �������������� ������� ������� � ������ �� ��� ����� �������� �� ���� ������� , , � ,
•
− + = + + + ⋯+ + + + + ( + )
− − � − = + + ⋯+ + +
L�� ������ ���������
+ + +⋯+ + + +( + ) = + + ⋯+ + +
•
•
D� �� ��������: ��������� • • • • • •
•
+ + + ⋯+ + + +( + ) = + + ⋯+ + +
= − = − ⋮ = − = − = −
= = ⋯ = ⋯
D� ����� ���������
= − − − ⋯ −
������� �� �� ������
•
1. ��������� �� ��������� �� ��������������� ���� �� �������, �������� �� ������ �� ��������������� �������� ���, ���� ��� �����������
= ⋯ •
2. H���� �� �������� �������������� ��� �������
− = + + ⋯+ + •
D��������� �� ����� �� ��� ������������
,, �,
•
3. D��������� �� ������ �� �������������� ��� ��������� �� �������� �� ������ ��� ������� � �� ����� �������� �����������. (�� �� �������� ��� ������� ����������� �� ���� �� �� ����� �������� ����������� �������� ).
= •
L� ������ �� �������������� � �� ������� �������� �� ��������
= •
D����
= ⋯ M����� �� ���������������
⋯ 1 ⋯ 1 0 = ⋮ 1 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ������������ ��� ��� ��������� �������������� −
•
4. ������ ��� ������� ��������������� �������� (��� ����� �� ���� ������� ��������), ������� �� ��������� �������������� ��� �� �����
− − � − = + + ⋯+ + •
•
D�������� ��� ������� ��:
, , �,
5. L� ������ �� ��������� �� �������������� ��� ������ ��������� � ������ �� �� ��������
��������� ��
= ⋯ = − − ⋯ − −
��������� ���� �� ������������� �� �� ������ �� �������������� �� �������
•
= −, ������ ��
C�������� �� ������� ��� ����� �� ������� ���� ��� ��������� ��� �� ������� �� ������������� �����������
= + •
•
L� �������� ��� ������� ������ �� �������� �� ����� �� �������
= − =
�� ��������� ��� ��� ����� �� ���� ������� �������� ����� �� • • • •
= = ⋮ =
− = − + = − − � − = + + ⋯+ + = 0 �������� ��������������
+ + ⋯+ + = 0
•
D� �� �������� ��������������
•
E�������� �������������� �� ����� ��������, ��������� �� ��������
= + + ⋯+ + •
•
•
E� ������� �� C������H������� ������� ��� ��������������, �������� �������
��������� �� ������ ��������
= + + ⋯+ + = 0 ����������� �� �������� �� C������H�������, ��������� = 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ = 0 0 ⋯ 0 1 E��� �������� �� ������ ���� ������� �� A��������
���������� �� ����� �������� ������
•
D��������� �� ������ �� �������������� �� ������� ���� �� ���������� �� ����� �������� �� M����� �� ���� � ������ �� ��� �������� ����� �����
•
���� �� ����������� �� ����� �������� �� ���� ��������
= ,, = ,, •
D����
������ ��� ������� ��� ������� ������ = ⋯ ������ �� ����� ��������
������� 9.1
•
D��� �� ������� ��� ��� ����� �� ������� ��� �������������� �� ������� . D��������� �� ������ �� �������������� , �� ��� ����� �������� ���:
= −
�D
0 1 0 = 0 0 1 ; −1 −5 −6
•
•
•
�������� ������ ������
0 = 0 1
• • •
= −2 + = −2 − = −10
1. E� �� ������ ��� �������������� �� ������, ������� ����������� �� �� ������� �� ������������� �����������; ���� :
=3
= =
•
����������� ��� ������� �� ��� ��������
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 1 − 6 1 −1 −5 −6 1 −1 −5 −6 1 1 −6 31 •
C��������� ��� �� ����� �� �������������� �� �������
�� 3, �� ��������� �� ������ ��
•
2. H���� �� �������� �������������� ��� ������� � ��������� ��� ������������
− = + + ⋯+ + 1 0 0 0 1 0 −1 0 − = 0 1 0 − 0 0 1 = 0 −1 0 0 1 −1 −5 −6 1 5 + 6 + 6 + 5 + 1 = + 6 − 5(−1) − −1 1 = = + + + •
D� ����� ������� ������� ��� ������� �� • • •
= 6 = 5 = 1
•
•
3. D��������� �� ������ �� �������������� ��� ��������� �� �������� �� ������ ��� ������� � �� ����� �������� �����������. �� �� �������� ��� ������� ����������� �� ���� �� �� ����� ��������
����������� �������� •
•
�� ��:
=
0 1 0 = 0 0 1 −1 −5 −6
C��������� ��� �� ������ ���� �� �� ����� �������� �����������, ��� �� �����
=
•
4. ������ ��� ������� ��������������� �������� (��� ����� �� ���� ������� ��������), ������� �� ��������� �������������� ��� �� �����, �� �������:
= −2 + = −2 − ����� �������� = −10 − − � − = + + ⋯+ + + 2 − + 2 + + 10 = + 1 + 60 + 200 +1 + 60 + 200 = + + + D� ����� = 1 = 60 = 200 • • •
•
• • •
•
5. L� ������ �� ��������� �� �������������� ��� ������ ��������� � ������ �� �� ��������
��������� ��
= −⋯ − ⋯ − − =
•
�� �������
����� ��������
= 1 = 60 = 200 = − − − 1 0 0 200 − 1 60 − 5 1 − 6 0 1 0 0 0 1
����� �������
•
•
•
•
•
•
= 6 = 5 = 1 = 199 55 8
•
•
������� ������ E� ������� �� �����������, � �� �������� �������������� ��� ������� ������� ��� �� ������ �� �������������� ��������
=
− + = + 6 + + 5 + + 1 + •
L� �������� �������������� ������� (����� ��� �������) ��:
+ 2 + + 2 − + 10 = +1 + 60 + 200 •
I�������� ��� ��� ���������� ���������������, ���������
+ 6 + + 5 + + 1 + = + 1 + 60 + 200 = = 199 55 8
•
������ ������: ���������� �� ������� �� A�������, ����
=3
= 0 0 1 •
•
L� �������� �������������� �������
+ 2 + + 2 − + 10 = + 1 + 60 + 200 D���� = 1 = 60 = 200 ��������� ��� ���������� = + 1 + 60 + 200 = + + + = + 1 + 60 + 200 • • •
•
•
= + 1 + 60 + 200
•
� , � �����������:
L�� ��������
E� ����� ��
=
199 55 8 = −8 159 7 −7 −3 117
5 6 1 6 1 0 1 0 0
= 0 0 1 = 199 55 8
•
������ ������. M�����
����� �=�0 1 0;0 0 1;�1 �5 �6�; �=�0;0;1�; �=��2+�*4 �2��*4 �10�; �1=�����(�,�,�) �2=�����(�,�,�)
�1 = 199
55
8
�2 = 199.0000 55.0000
8.0000
������� 9.2
•
�� ������� ����� �� ������� �� ������������� � ��� ����� ��������:
() = 10 () + 1 + 2 ( + 3) •
•
•
• •
= −2 + 2 3 = −2 − 2 3 = −10
����� ��������
�������� L�� ���������� ��������� � �� ������ ��� �������
= + = +
0 1 0 0 = 0 0 1 + 0 −6 −11 −6 10 = 1 0 0 + 0
•
1. E� �� ������ ��� �������������� �� ������, ������� ����������� �� �� ������� �� ������������� �����������; ���� :
= 3
= 0 = 0 10 •
= 10 0 1 0 0 0 1 0 0 = 00 100 −60 0 0 1 0 0 0 1 0 10 −60 250 −6 −11 −6 10 −6 −11 −6 10
E� ����� �� �� 3, ��� �� ����� �� �������� ��� �� ������� �� ������������� �����������, �� ������� �� ���������� ���������� �� ��� �����.
•
2. H���� �� �������� �������������� ��� ������� � ��������� ��� ������������
− = + + ⋯+ + − = + + + •
L�� ������������ ��� �������� ��� ������
= () = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
•
��� ������������ • • •
1 = 6.0000 2 = 11.0000 3 = 6.0000
•
•
3. D��������� �� ������ �� �������������� ��� ��������� �� �������� �� ������ ��� ������� � �� ����� �������� �����������.
=
D����
= ⋯ ⋯ 1 ⋯ 1 0 = ⋮ 1 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 = 6.0000 2 = 11.0000 3 = 6.0000 • • •
0 0 10 = 0 10 −60 10 −60 250 1 11 6 1 = 1 0 = 6 1 0 1 0 0 1 0 0 10 0 0 = = 0 1 0 0 0 0 10
•
4. ������ ��� ������� ��������������� �������� (����� �� ���� ������� ��������), ��������� �� ��������� �������������� ��� �� �����:
= −2 + 2 3 = −2 − 2 3 = −10 M����� ������� 0 0 −2 + 2 3 0 0 = 0 0 = 0 −2 − 2 3 0 0 0 0 0 −10 ����� ��������
•
•
•
•
•
L�� ������������ �� �� �.�. �������
− , �� M�����:
= () = 1.0000 1.0000 56.0000 160.0000
• • •
1 = 1 2 = 56 3 = 160
•
5. L� ������ �� ��������� �� �������������� ��� ������ ��������� � ������ �� �� ��������
��������� ��
= −⋯ − ⋯ − − =
•
�� �������
����� ��������
����� �������
1 = 1 1 = 6 2 = 56 2 = 11 3 = 160 3 = 6 = − − − 10 0 0 = 15. .5 0.8 160−6 56 − 11 1 − 6 0 1 0 0 0 0 10 •
•
•
•
•
•
•
•
•
������� ������ A ������ ��� ����� ��� ������� ��������������
=3,
=
��������� �� ������ ��
L� �������� �������������� ��� ������� �������
− + = + 6 + 10 + 11 + 10 + 6 + 10 •
E������� �������������� �������
+ 2 + + 2 − + 10 = + 1 + 56 + 160
•
I�������� ��� ��� ���������� ���������������
= = 15. .5 0.8
•
������ ������
•
���������� �� ������� �� A��������;
=3
= 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ •
L� �������� �������������� �������
= 0 0 1 + 2 + + 2 − + 10 = +1 + 56 + 160 = 1 = 56 C����������� = 160 •
• •
•
D�������� �� ��������
= + 1 + 56 + 160
: = + + + = + 1 + 56 + 160
� ������� �� ��������
•
D����:
0 1 0 = 0 0 1 −6 −11 −6 ����������
15 5 8 = −8 66 −3 18 −15 8
•
a matriz de controlabi :
L
•
D� ����� ���������
=
1.1 0.6 0.1 0.6 0.1 0 0.1 0 0
= 0 0 1 1.1 0.6 0.1 15 5 8 = 0 0 1 0.6 0.1 0 −8 66 −3 0.1 0 0 18 −15 8 = 15. .5 0.8
•
E� M����� , ���������� �� ������� ����� � �����, ���������
%������� ����� �=�0 1 0;0 0 1;�6 �11 �6�; �=�0;0;10�; �=��2+�*2*����(3) �2��*2*����(3) �10�; �1=�����(�,�,�) �2=�����(�,�,�)
�1 = 15.4000
4.5000
0.8000
�2 = 15.4000
4.5000
0.8000
������� 9.3
•
C�������� �� ������� ��� ������� ��������� �� �� ������ �� ��� �� ���� ������� �� ������� �� ������� ��� ���, ����� ������������ ����������� ��������� (���������� ��� ��������������), �� ������� ������� � �� �������� �������� � �� ����� ������� � �� �������� �� ���������� ����������� (��� �������, ��� �� ������ �� �������������� �� ��������� �� 2 ���) ��� �� ��������������� ��������� (��� �������, ��� ��� ����� ���������� �� ���� ������� ������ ).
( = 0)
= 0.5
•
L�� ���������� ������������� ��� ������� �������� ���:
= + − = −
E��������� �������������
= + − = −
•
��������
������ �� �������� �� �����������
•
D������� �� �������
������� �� �����������: ���� 1 ������ ��� ���������� •
������ �������� �������� ��� ���������� �� ������
= + = •
•
������
�������
E.E.
L� ������� ������� � �� ������ ���� �� �� ��������
L� ������������ ��� �������������� �� ������� �� ����� �������� ���� ��������� �������� �� ������
•
•
E� �� ������� �������� �������������� �������, �� ��� �� �������:
0 ⋯ =− ⋮ + − = − +
D����:
= ⋯
•
����������� �� �� EE �� ����� �� �������
= − − +
= + = + − − + = − + = (− ( − )) + •
E� ���� ������ ��� � ���� ������ ���� �� ��� ���� �� ���� ������ ��� � ���� ������ ���� ���� ���� ���� ��� � ���� ������� ���,, ��� ��� ��� ��� ���������������:
∞ → . (∞) → 0
•
•
•
•
() () = (− )() + () ∞ → E� ������� ���� ��������������� �������, � ∞ → (∞) → 0 E� ������ �������: (∞) (∞) = ( − )(∞ )(∞)) + (∞) D� �� �������� �������� ��������
H������� �� ���������� ����� ��� ����������: �������� ��:
− ∞ = − + − − ∞ − (∞) − ∞ = − (( − ∞ ) + ( − ∞ ) ()) = − D����: = − (∞) �������� ��� �����
•
•
•
•
E� ������� �������� �������� �� �������� �� ������ � ��� �� �������:
= +
= − +
E� �� ������ �� �� ������� ��������� ��������������� �������, ��� ��� �(�) ������ � ����.
− L�� ����� ������� �� �� ���� ������ �� ������ ������� � �� () � () �� ������� ��������� ��� � �������� �������� →∞
A ������ �� ��� ������ �������� ������� ���������� �������� ����� �������� �������� , , �, , �� ����� ���� ������ ���� ���� �� �� ���� ������ �� , ���� �� ��� ������ ��� , ���� ������ �� ��������� �������� �� ������� �� ��������� �� �����.
= − + → ∞ = − − +
∞ = − ∞ + (∞) = 0 ∞ = − ∞ + (∞) = 0
•
E� ������������,
(∞) �� ��������� � ������ �� �� �������� ��������
∞ = − ∞ + (∞) = 0 ∞ = − − •
L� ����� �� �������
(∞) �����
∞ = − ∞ + (∞) = 0
������� 9.4
() = 1 () + 1 ( + 2)
•
C�������� �� ������� �� �����������
•
�� ����� ������� �� ������� �� ����������� ��� ��� ��� ����� �� ���� ������� ����� ��
•
•
��������
−2 � 2 3 −10 �
H������� ��� EE � ������ �� �� ������� �� ������������� ��� ������� •
+ 3 + 2 = () = − 3 − 2
• •
• • •
= = = = = = − 3 − 2
•
L�� ���������� �� ������
= + = •
0 1 0 = 0 0 1 0 −2 −3 = 1 0 0
0 +0 1
L� ������ �� ��������������� ���� �� ������� (�=3): ����� ������ = C���������� 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 1 − 3 1 0 −2 −3 1 0 −2 −3 1 1 − 3 7
•
L� ����� �� �������
=3
�� ������� � ������ �� �� �������� �������, ����
= − 0 ⋯ ⋮ + − = − + = − 0 + − = − + + − = − +
•
D����
=
��� �� ������ �� ��������� �� �����
•
D����������� �� ������
•
E������� �������������� ��� ������� ���� ���� ��� �� ��������
0 0 0 1 0 −1 0 − = 0 0 − 0 0 1 = 0 −1 0 0 0 −2 −3 0 2 + 3 = 3 = 2 − = + 3 + 2 = 0 = 0 •
• •
•
L� �������� �������������� ������� (����)
+ 2 + 2 3 + 2 − 2 3 + 10 = +1 + 56 + 160 = 0 = 1 = 56 = 160 • • •
•
M�����
�� �������������� ( = = , = , A ���� ����� CC)
= − − − •
����������� ��� ������� • • •
= 1 = 56 = 160
• • •
= 160−0 56 − 2 = 160 5 11
= 3 = 2 = 0
1 − 3 = 160
1 0 0 5 11 0 1 0 0 0 1
•
���������� �� ������ �� �� ������� �� A�������� ���� ����������
= 0 0 1
•
M����� �� ���������������
•
��� �� ������� �� C����� H�������:
•
E������� �������������� �������
= + 1 + 56 + 160
160 5 11 0 138 21 0 −2 75 ������ 2 3 1 160 5 11 = 0 0 1 = 0 0 1 3 1 0 0 138 21 1 0 0 0 −2 75 = 160 5 11 = + 1 + 56 + 160 =
•
A�������� �������� M����� ���� ���������� %������� ����� %����� ��� ������� �=�0 1 0;0 0 1;0 �2 �3�; �=�0;0;1�; �=�1 0 0�; �=�0� %������ ������� �=��2+�*2*����(3) �2��*2*����(3) �10� %������� ������ K �1=�����(�,�,�) �2=�����(�,�,�)
�1 = 160.0000 54.0000 11.0000 �2 = 160.0000 54.0000 11.0000
•
������������ �� ����������
•
E� ������� ���� ��������
0 1 0 0 = 0 0 1 + 0 0 −2 −3 1
•
•
= 1 0 0 L� ��� �� �������: = − 0 5 11 +160 − ����������� ��������� = − + 0 1 0 0 = 0 0 1 + 0 = 1 0 0 −160 −56 −1 160
•
L�� ������� �� ������ �������
(∞), �� ����������
∞ = − − (∞) 0 1 0 0 ∞ = (∞) = − 0 0 1 0 160 (∞) −160 −56 −1 1 1 0 −0.3500 −0.0875 0.0063 0 = 1 0 0 0 = 0 = 0 0 1 0 160 0 •
A�������,
(∞) �� ���������(∞)�� �������� (∞) = −(∞)+ (∞) (∞) + 160 = − 160 (∞)
∞ = − 160 5 11 = −160 + 160 = 0
5 11 00 + 160
�� ������ ������� �� ����� � ����
•
G������ �� �� ������ �� ������ Salida del sistema con entrada escalon unitaria 1.4
1.2
1
e 0.8 d u t i l p m a 0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5 time
2
2.5
3
•
G������ �� �� ��������� �� ������ grafica de los estados x1, x2 y x3 con estrada escalon 8 x1 x2 x3
6
4
e d u t i l p m a
2
0
-2
-4
-6 0
0.5
1
1.5 time
2
2.5
3
������� 9.5
•
�
������������ �� ������
•
E� �� �������� �� ����� ��� ��������� �� ������ �� �� ������� ����� ����������� ���� �� ��������������
= +
•
=
L� ���������� �� ��� ��������� �� ������ ��� �� ������� �� ��������
����������� �� ������ �������
��������
E.E.
���������� �� ������ •
L�� ������������ �� ������ ������ ��� �� ����� �������� � ������������ �� ������ �� ����� �������� � ������
•
•
�� ���������� �� ������ ������ ��� ��������� �� ������ ��� ���� �� ��� ���������� �� ��� ��������� �� ������ � �� �������. L�� ������������ �� ������ ������ ��������� �� � ���� �� �� ��������� �� ��������� �� ��������������. C�������� �� ������� �������� ��� ��� ����������, ��� ���� �� �������� �� �������:
= + =
�
�
�
•
L�� ������� ���������
�� ����������� � �
�
�
� �
�
� �
�
�
�
= + + − = + + −
M����� �� �����������.
���������� �� ������ �� ����� ��������
•
������� �������� ��� ��� ���������� �� ������
= + •
=
L� �������� �� ���������� �� ������ ���� ���
= + + − = + + − •
E� ����� ����� ��� ������� ��� ������� � �� ������ ��������
= − = + − − − − = − − − = − − − = − = ( − ) = ( − ) ����� = −
•
•
•
A ������ �� �� �������� ��� �����
−
= ( − )
�� �� ������ �� �������, �� ������ �� ����� ���������� � ���� ���� ��������� ������ �� ����� �������
(0)
A����� �� ���� ���������� ��� �� �� ������� �� ������������� , ��� ����������, �� ��������� ��� �� ������� ����������� ��� ������ ��� ����� ������� ��������������� ��������.
−
������ �� ������������ �� ������ �� ����� ��������
•
•
•
������� ��������
= + =
��������� ��� �� ������� �� ������������� ����������, �� �� ������� �� ���� �� �� ����� �������� ����������, ����������� ��� ���������� ��� ������� �����, � ���������� �� ������ � �� ����� �������� ���������� �� ������ �� ������ �� ��������������:
= ( ∗)
∗ = ∗ ∗∗ ⋯ ∗ ∗ ⋯ = ⋮ ⋮ ⋯
M. �� ��������������
, , �, C����������� �� �� E�. C������������� 0
− =
•
����� ������ �� ������ , ���� ����� �� �������������� �� ������:
= = •
= + =
= + =
= + =
D����
0 1 = 0 ⋮ 0 =
0 0 1 0
⋯ 0 − ⋯ 0 − ⋯ 0 − ⋮ ⋮ ⋯ 1 − ⋯
− − = − ⋮ − ������� �� �� ����� �������� ����������
•
A ������ ��� DB �� �� ������� ��� ���������� �� ������ � � � � �
�
� �
�
�
�
= + + − = + + −
•
•
L� �������� �� ������ �������� (D������� �� ������� ��������)
= + + − = + + −
�������������
= ( − ) + + •
•
�� ��� ������� ��������
H������� ��� �������������� �� ������, ���� �� �������� �� ������ �������� ���������:
=
=
= ( − ) + + = ( − ) + +
•
C����������� ��� ��� ����������
= + = − + + •
L� ���������� �� ��� ���������� ���������� � ������������ ��� (
•
= − ).
= − ;
C��������� ��� �� ��������� ��� �����
= − = − •
�� �������� ��� �� �������� �� ����� ��� ��������������� ������� � ��� ��� ���� ��� ��� ��������� ����������
()
•
E� ������������� ���� ��������� �� ������ , �� ����������� ������� ��� ����� ��� ���������� �������� (������� ��������������� �� ) � ���������� �� ������ , ���� ��� �������� ��� ����� �������� ��� ����������
•
•
−
E��� �� ���� � ������ �� �� �������� �� ����� ������� �������������
= − = − A ������ �� = ( ∗ ) , ���������: ⋯ 1 1 0 ∗ ∗ ∗ ∗ = = ⋮ ⋮ ⋯ ∗ ∗ 1 0 0 1 0 ⋯ 0 0
•
•
= − = − A����� �� ����� ������� � ������ �� = ∗ ⋯ 1 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ = ⋮ 1 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ������� ��� �� �������� ��������:
= ⋯
= 0 0 ⋯ 0 1 = ⋮
0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0
•
D� �� ��������
= − = − •
L� ������� ����� �� �� �������� �������������):
0 1 = 0 ⋮ 0
•
, ���� ���� ��� (�������
0 0 1 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯
0 0 0 1
− − − ⋮ −
����������� ��� ������� �� ��� �������� �� �� ��������, ��������� �� ������ ���������� �� �� ������:
−
•
•
0 1 − = 0 ⋮ 0 0 1 =0 ⋮ 0
���������:
0 0 1 0 0 0 1 0
⋯ 0 − 0 ⋯ 0 − 0 ⋯ 0 − − 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 1 − 0 ⋯ 0 − − ⋯ 0 − − 0 − − ⋮ ⋮ ⋯ 0 − −
0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0
M����� ��� ����� ����� �� �� ��������
= − = −
•
L� �������� �������������� �� ���� �������� ���� ���� ���� ����:
− ( − ) 0 ⋯ 0 0 01 00 ⋯⋯ 0 ⋯ 0 0 = 0 0 0 0−0 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 + −1 ⋯ 0 + 0 + = 0 −1 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ −1 + +
0 0 0 ⋮ 1
− = 0, ���� − − − − − − ⋮ − −
•
C��� ������������ ��:
− ( − ) = + + + + + ⋯+ (+) + (+) + ( + ) •
L� �������� �������������� �������
− − � − = + + ⋯+ + + •
C��������� ��� ���������� ���������������: • • • •
+ = + = ⋮ + =
•
•
���������:
• • •
•
= − = − ⋮ = −
� � ������ �� �� ��������
= ⋮ •
D����:
(�������� �������������), ��������� = ⋮
− − − = = ⋮ ⋮ −
����� ������ �� ������� �� ������ �� ��������� ��� ���������� �� ������
•
•
���� �������� �� ���� �����, �� ������ �� ��������� ��� ���������� ��������
=
�� ��������� �� �� ��������� �������������� � �� ������ ��� �� ��������� �������������� �������, �� ����� �� ����� ������� .
−( − ) = − − � − •
���� ������ �� ���������� �� �� ������ �� ��������� ��� ���������� �� ������ �� ���� �� ������� �� A��������
��������
•
�� ��������� ��� �� ����� �� ��� EE ��� ������� � ��������� ���� ����:
= ( − ) •
•
•
���� ���������� ��� ��������� �� ������ ��������� �� ��������� �� ������ , �� ���� ���� ����� ������������ ��������������� �� ������� �� ��� ����� ��������.
−
A ������ �� ���� ������ �� ����� ��� ������ �� ������ ��������������� �� �� ������ .
, ��� ������ ��� ���
− E��� ������������� �� �� ������ , �� ��������� �� �� ���� �� ���������
�� �����.
•
D��� �� ������� �������� ��� ��� ���������� �� ������ • •
•
•
= + =
E� ������ ��� ���������� �� ������ �� ����� ��������, �� ����� �������� ���� �� �������� ���� �� ��������� �� �����. E� ������� ���� ���� ��������
= ∗ + ∗ = ∗ •
L�� �� �������
= −
�� �� ������� ���� �� �� ������ ������������� �����������, �� ������ �� ��������� �� �������������� ��� ������ �� ��������� �� ��� ���� ��� �� ������ . �������� ��� ������� ��������������� ��������
∗ − ∗
•
����������� ��� ���������� ��� ������� ����, ���������
= ∗ + ∗ = ∗ + ∗ − = ∗ − ∗ = (∗− ∗) •
− = 0, �� ��� �� ����� � ��
C��� �������� �������������� ���� ���� �������� �������������� �� ��� ����� ��������
− (∗−∗) = ( − )( − )�( − ) •
•
C����������� ������������
���
����������� �����
���
����������
���������������
����������
− (∗− ∗) = − ( − ∗) −( − ∗) = ( − )( − )�( − )
���
•
�� ���������� ��� ���������� ��������������� ��� ������� ���� � ��� ������� ��� ���������� �� ������ ����
����������
− ( − ∗) = 0 •
•
− ( − ) = 0 = ∗
C��������� ���
��� �����, ������ �� ������ ����������� �������� �� ������� �� ��������� �� ����� �� �� ������� ����, �� ������ �� ��������� ��� ���������� , ���� �� ������� �������� �� ��������� � ������ �� �� �������� .
= ∗
������� 9.6
•
D��� �� ������� �������� ��� ��� EE. D����� �� ���������� �� ������, ��� ��� ��� ������� ��������������� �������� �� �� ������ ��� ���������� ����:
= −1.8 + 2. � = −1.8 − 2. = + = •
•
•
•
•
•
�������� L� ������������� ��� ����� �� ���������, ���� �� ���������
•
= 10 20.0 6 = 10 = 0 1
, ������� ������� ��� ��������� �� ������
− − − = = ⋮ ⋮ −
•
D����������� �� �� ������� �� ����������. M����� �� ��������������
0 1 = = 0 1 0 20.6 = 10 01 1 0 •
•
L�� ������������ ��� ��������� ��������������
����� ������ ������� ����������
− = 0 0 − 10 20.0 6 = −1 −20. 6 = − 20.6 − = + + = 0
D���� • •
= 0 = −20.6
������������
•
L� �������� �������������� ������� ��:
+ 1.8 + 2. + 1.8 + 2. = + 3.6 + 9 = + + = 0 •
D����: • •
= 3.6 = 9
������������ ��������
•
L� ������
= 1 ∗ = ∗ •
1=0 1 0 1 0 ∗ ∗∗ = 10 01 = 10 01
= ∗ = 10 = 01
1 0 1 00 1 0 1 0 1 =0 1
C����������� ��� ����� • •
•
= ∗ , �� �����������
= 3.6 = 9
• •
= 0 = −20.6
����������� �� �� �������� ���� ������
6 = . = − − = ∗ − − = 01 10 93.+6 20. − 0 .
������� 9.7
•
D��� �� ������� �������� ��� ��� EE. D����� �� ���������� �� ������, ��� ��� ��� ������� ��������������� �������� �� �� ������ ��� ���������� ����:
= −2 + 3.5 , = −2− 3.5 � = −5 • •
•
•
= + =
�������� L� ������������� ��� ����� �� ���������, ���� �� ���������
0 1 = 0 0 −6 −11 0 = 0 ; = 1 1
0 1 −6 0 0
, ������� ������� ��� ��������� �� ������ − = = − −
•
•
•
D����������� �� �� ������� �� ����������. M����� �� ��������������
1 0 0 ����� ������ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = 0 1 0 ������� ���������� 0 0 1 L�� ������������ ��� ��������� �������������� 0 0 0 1 0 −1 0 − = 0 0 − 0 0 1 = 0 −1 0 0 −6 −11 −6 6 11 − 6 = + 6 + 11 + 6 = + + + = 0 D���� = 6 = 11 =6 ������������ •
• •
•
L� �������� �������������� ������� ��:
+ 2.5 + 3.5 + 2.5 − 3.5 + 5 = + 9 + 36.25 + 81.25 = + + + = 0
•
D����: • • •
= 9 = 36.25 = 81.25
������������ ��������
•
L� ������
= ∗ , �� �����������
1 11 = 1 0 = 6 1 0 0 1 = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ •
6 1 0 =
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
����������� �� �� �������� ���� ������
− − 0 = − − = ∗ − − = 0 1 0 0 1 75.25 3 = 0 1 − 6 25.25 = 7.25 1 −6 25 3 −1.25
= ∗ 1 1 6 1 1 0 0 = 6 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 = 0 1 −6 1 −6 25 0 1 81.25 − 6 1 − 6 36.25 − 11 −6 25 9 − 6 3 = = 7.25 −1.25
•
����������� ��� �������� • •
•
= + =
�� ���������� ��� ��������, �� ��������� ��� ������� �� ��� ��������
= ∗ + ∗ = ∗ •
L�� �� �������
= −
L� ������ �� �������������� ������� ����������� � �� ������ �� �����������
= ∗
•
�� ������� ��� �������� • •
•
•
•
•
= + = 0 1 0 = 0 0 1 −6 −11 −6 0 = 0 1 = 1 0 0
• •
•
•
•
= ∗∗ + ∗ = 0 1 = 0 0 −6 −11 1 = = 0 0 = = 0 0
L�� �� �������
= − 0 0 0 −6 1 = 1 0 −11 −6 0 1 − 6 1
����� �������� (�� ����� ���� �� �������)
+ 2 + 3.5 + 2 − 3.5 + 5 = + 9 + 36.25 +81.25 = 0
•
A�������� �������� M����� ���� ���������� %������� ����� %����� ��� ������� �=�0 1 0;0 0 1;�6 �11 �6�; �=�0;0;1�; �=�1 0 0�; �=�0� %������ ������� �=��2+�*3.5 �2�3.5 �5� %�������� ������ ��=��; ��=��; ��=�� %������� ������ K �=�����(��,��,�)
= ∗ + ∗ = ∗
�= 3.0000
7.2500 �1.2500
= ∗ 3 = = 7.25 −1.25