DISEÑO DE ENTREPISOS ENTREPISOS DE LOSA LOSA NERVADA Y VIGAS “T” PARA ESTRUCTURAS RURALES Uno de los tipos de entrepiso más utilizados en las edificaciones se basa en la utilización utilización de un bloque de arcilla llamado “piñata”, el cual ocupa espacio, contribuye a mejorar las condiciones térmicas y acústicas, de los techos y entrepisos. Al construir construir la losa nervada, nervada, se presentan presentan desde el punto punto de vista estruct estructural ural,, dos situaciones, una en el vaciado simultáneo del entrepiso(o techo), se forman unas vigas llamadas llamadas nervios, nervios, que adquier adquieren en un forma de “T” (Fig. (Fig. 8), la cual es formada formada por el nervio y las alas sobre los bloques y debido al hecho de que estos nervios solo se refuerzan refuerzan al momento momento positiv positivoo del “vano”, “vano”, deben deben “macizar “macizarse” se” para los momentos momentos negativos y los esfuerzos cortantes, lo cual se realiza, eliminado hileras de bloques antes de llegar llegar a las vigas vigas de soporte de la losa, generándo generándose se también también en las mismas una conformación en forma de “T”. La construcción puede apreciarse en las Fig. 9, 10 y 11. Sin embargo, el hecho de que geométricamente la sección transversal, que se conforme tenga geométricamente geométricamente forma de “T”, no significa significa que estructuralmente estructuralmente actúe como tal, sino que puede tener un comportamiento de viga rectangular, la definición de la situación se basa en la relación existente entre el espesor del ala “ t ” y la altura “ ku . d ”. ”. Para que la viga sea propiamente propiamente “T”, el eje neutro debe quedar en la zona del nervio.
Bloque Piñata
Piso de la losa Malla de refuerzo
b = 50 cm t = 5 cm
Refuerzo de acero (cabillas)
b’= 10 cm
Nervio de la losa
Longitud del bloque = 40 cm
Friso de recubrimiento recubrimiento inferior = 3 cm
Figura 8 . Corte transversal de una losa nervada mostrando las partes que la conforman y las denominaciones geométricas y las medidas “estándar” de los elementos que la conforman.
Figura 9. Construcción de entrepiso de “Losa Nervada” utilizando bloque piñata (nótese la separación entre las hileras, lo que conformará el nervio.
Figura 10. Hileras de bloques piñata, llegando a la viga
Figura 11. Hileras de Bloques piñata eliminadas antes de llegar a la viga de soporte para el macizado y conformar la viga “T”
DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN RELATIVA DEL EJE NEUTRO De la demostración de la viga rectangular se conoce que el eje neutro queda a una distancia “ k u . d ” del borde comprimido, por lo tanto se pueden extraer unos valores constantes que definen, la posición teórica del eje neutro con relación a la altura útil “d ”, lo cual permitirá definir si la viga es “T”, o rectangular. Para ello, se asume el valor de α = 0,72, y el porcentaje de refuerzo máximo de acuerdo a las normas, con lo cual se obtiene el mayor valor posible de “ k u”, de acuerdo a lo siguiente: k u
=
f y
'
' c
α f
p
p max
= 0,40 f c f
y
⇒
k u
=
0,40 0,72
= 0,555
De manera que el mayor valor de “ k u”, es de 0,555, por lo tanto si t/d ≥ 0,555, la viga se comporta como rectangular. En la práctica lo que significa y define entonces una viga “T”, con relación a una rectangular, es que la posición del eje neutro en las vigas “T”, cae en el nervio, mientras que en las vigas rectangulares cae en el ala de la viga (Fig. 12 a y b). Las losas nervadas se fabrican utilizando bloques que tienen dimensiones de ancho y largo estándares (20 x 40 x H), y la altura varía de acuerdo a las exigencias portantes de la losa, lo cual se explicará en el diseño de la misma.
En el Cuadro 6, se precisa, en función de lo antes expuesto, que para cualquier altura de la losa nervada, ésta siempre actuará como Viga “T”, y se dan los pesos de los bloques piñata.
k ud
t
k ud
d Eje Neutro
(b)
(a)
Figura 12. (a) Viga “T” y (b) Viga Rectangular
Cuadro 6. Valores de “ k ud ” para cualquier clase de bloque piñata comercial usado, apreciándose para todos los casos que k ud > t lo cual demuestra que todas las losas construidas con “bloque piñata” son una vigas “T”. t (cm)
5 5 5 5 5
Bloque 10 X40X20 12 X40X20 15 X40X20 20 X40X20 25 X40X20
Peso (kg) 5 5,5 6,8 8,1 8,2
d (cm) 15 17 20 25 30
t/d
0,33 0,29 0,25 0,20 0,17
ku
0,555 0,555 0,555 0,555 0,555
k ud
“k ud ” vs.”t ”
8,33 9,44 11,10 13,88 16,65
k ud > t k ud > t k ud > t k ud > t k ud > t
CÁLCULOS DE LA VIGA “T” Al igual que en las vigas rectangulares las fuerzas de compresión y tracción deben ser iguales. Para el análisis del equilibrio, se considerará primero las salientes de las alas (Fig. 13): C 1
= 0,85 f c'
(b − b ) t = T '
T 1
1
A s 1 f y
=
0,85 f c' (b −b ' ) t = A s 1 f y
Por lo que: A s 1
=
(
)
0,85 f c' b − b ' t f y
y como,
m=
f y 0,85 f c'
, se obtiene:
A s1 b d
=
1− b
'
b m
t d (Expresión adimensional)
Y el momento que puede resistir esa parte de la sección “T”, será: Tomando en cuenta el acero y el concreto respectivamente:
(
M u 1 = A s 1 f y d − t
M u1
2
t = 0,85 f c' (b − b ' ) d − t 2
t /2
C
d T
Figura 13. Secciones transversal (a) y lateral (b) de la viga “T”, mostrando como trabajan las alas a compresión y el refuerzo de acero y tracción, para equilibrar el momento.
Para el análisis del equilibrio de la parte correspondiente al nervio, se debe tomar en cuenta la posición del eje neutro, por lo tanto se tiene: 0,85 f c' β k u b ' d = ( A s
− A s 1 )
f y
Hay que tomar en cuenta, que se tiene un bloque de concreto en el nervio que será el responsable del esfuerzo de compresión, el cual tiene una altura “ a”, y un ancho de b’ , como puede apreciarse en la Fig. 14. a = β k u d El valor de “a”, será: Por lo tanto: a = β k u d =
A s
− A s 1 '
f y
0,85 f c b
'
Lo que es igual a:
a=
m A s
− As 1
b
'
El punto de aplicación de la fuerza de compresión, que contrarrestará como “par” a la fuerza de tracción estará ubicado geométricamente en a 2 , y el momento que puede resistir esta parte de la sección en “T”, será: M u 2
= f y
( A
s
a − A s 1 ) d − 2
y sustituyendo “ a” por su valor: M u 2
m ( A s − As 1 ) = f y ( A s − A s 1 ) d − ' b 2
a
k ud
a/2
t
C
d T
Figura 14. Secciones transversal (a) y lateral (b) de la viga “T”, mostrando como trabaja, el bloque de concreto “a” y el refuerzo de acero correspondiente que genera la fuerza a tracción para equilibrar el momento. Por lo que la capacidad última de carga de la sección “T”, estará definida por la suma del aporte de las alas más el aporte del nervio. M u
t a = A s 1 f y d − + ( A s − A s 1 ) f y d − 2 2
En la práctica, se aplica un factor de minoración se tendría:
M u
φ =0,90
t a = φ f y A s 1 d − + ( A s − A s 1 ) d − 2 2
Expresión en forma adimensional:
y sacando factor común
f y
p
=
As
t
b d ;
; b
d
b'
; p = p − 2
(1 − b' b
t d
m
(1 − b ) t m p 1− b d = φ f y p 1 − + m 2 b b '
M u 2
b d
2
2
'
t d 2
El porcentaje de acero balanceado se calcula: 0 , 003 t + b d b f y 0,003 + E s
(1 − b b ) '
p b
donde;
m
=
f y ' c
0,85 f
'
=
m
kg , y E s = 2 100 000
cm 2
Simplificación de Whitney: Para Withney, la fuerza de compresión del concreto se distribuye uniformemente en el ala (=
0,85 f c' ),
y la atribuible al nervio es despreciable, por lo tanto la resistencia
última del concreto sería:
M uc
=
' 0,85 f c b t d t 2 −
Dividiendo toda la expresión entre (b d 2 ) y aplicando un factor de minoración
φ = 0,9
por fallas en la calidad se obtiene la resistencia última de carga ( Ru ). M uc b d 2
= φ 0,85 f c 1 − '
d =
t d t 2
Ru
Como se parte que esta estructura estará en una condición de trabajo sub-reforzada, la resistencia última dependerá entonces del acero, y será igual a: M u s
=
(
A s f y d t −
2
y como
M u s
Como
M uc
= M u
s
A s b d
= p se tiene que:
= f y
p 1 −
t d b d 2 2
0,85 f c 1 − '
t d t 2 d
f y p 1 −
=
t d b d 2 2
Por lo tanto, el refuerzo balanceado será igual a: '
pb
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d m
Como se aprecia, al ser este el refuerzo balanceado puede considerarse crítico, y al depender del espesor del ala, de la altura útil, y de las calidades del acero y del concreto, aumentarlo, no produce incremento en la resistencia de la viga o nervio, y por lo tanto es un valor obtenible directamente, al conocer las dimensiones geométricas del elemento, y las calidades del concreto y del acero. Y como se dijo anteriormente el valor a utilizar definitivamente para garantizar condiciones antisísmicas va a ser 0,5 pb, hace aún más crítico su valor y puede utilizarse para comprobar la sección que se prediseña. DISEÑO DE LOSAS Para el caso de las losas, se conocen los siguientes valores que son estándar, siempre y cuando no sea una losa con solicitaciones especiales que ameriten una variación significativa del espesor del ala “ t ”, del ancho del ala “ b” y de la base del nervio “ b’ ”. Por lo tanto, interesa es determinar primero aproximadamente la altura útil de la losa, mediante la siguiente fórmula empírica: d (cm)
= 0,47
M kgm bm
Se revisa la norma que señala que la altura de la losa debe ser igual o mayor que la longitud del nervio entre apoyos sobre 21. hmin
≥
luz del nervio 21
Con las dimensiones ajustadas se procede a calcular la “ d ” real utilizando para ello el momento último de carga más crítico, que como se mencionó es el que genera el acero, si la diferencia es mayor de 5 cm, se procede a revisar la altura de la losa y se recalcula la “d” definitiva, usando para ello la fórmula del momento máximo resistente que puede generar el refuerzo de acero:
M u s
= φ f y p 1 −
t d b d 2 2
Por lo tanto la “d” de comprobación de la sección será:
d =
M u s
φ f y p 1 −
t
d b
2
Ejemplo de Cálculo: Momento actuante en el tramo= 1 500 kgm Momento en Apoyo (-) = 970 kgm Fuerza Cortante= 5 900 kgf f c'
= 300 kg
f y
= 4 200 kg
cm 2 cm 2
Luz del nervio= 3,50 m d 1 (cm )
= 0,47
1 500 0,50
=25,74
Se revisa con la norma la cual señala
hmin
≥
luz del nervio 21
= 350 = 16,6 21
Por lo tanto “Bloque Piñata”= 20cm, “t” = 5 cm, “ d ” = 25 cm y h= 28 cm>16,6cm
'
El porcentaje de refuerzo balanceado será: pb p b
=
0,85 ×300 4 200
5 15
×
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d m
= 0,020
Y para garantizar la condición antisísmica, se debe calcular pr = 0,5 pb p r
= 0,020 × 0,5 = 0,010
Se procede a calcular una nueva “d”, tomando en cuenta el refuerzo de acero calculado y las dimensiones de la losa o viga, y en la consideración de que la resistencia crítica la está dando el acero de refuerzo.
150 000 kg cm
d 2
=
d 2
− d 1 >5 cm
5 0,9 × 4 200 × 0,010 × 1 − 25 × 50 2
= 9,39
Se procede a recalcular la altura útil de la losa, promediando los valores de “ d ”: d 1
+ d 2
=
2
25 + 9,39 2
= 17,195 cm
Las dimensiones, resultantes serán: “Bloque Piñata”= 15, “ d ”= 20 y “h”= 23, lo cual cumple con el hmin≥16 y se comprueba de nuevo la sección:
d 2
=
150 000 kg cm
5 0,9 × 4 200 × 0,010 × 1 − 20 × 50 2
= 9,52
d 2-d 1>5 cm d 1
+ d 2
=
2
20 + 9,52 2
= 14,76
Se escoge “Bloque Piñata” de 12 cm, “ d ”= 17 cm, “h”= 20 cm≥ 16 cm Se comprueba de nuevo la sección: d 2
=
150 000 kg cm
5 0,9 × 4 200 × 0,010 × 1 − 17 × 50 2
= 9,65
d 2-d 1>5 cm d 1
+ d 2 2
= 17 + 9,65 = 13,325 2
Se escoge “Bloque Piñata” de 10 cm, “ d ”= 15 cm, “h”= 18 cm≥ 16 cm Se comprueba de nuevo la sección: d 2
=
150 000 kg cm
5 0,9 × 4 200 × 0,010 × 1 − 15 × 50 2
d 2-d 1>5 cm
= 9,76
d 1
+ d 2 2
=
15 + 9,76 2
= 12,38
Por no existir un bloque piñata menor de 10 cm, queda como definitiva la última sección comprobada (Fig. 15) Se procede a calcular el refuerzo de acero balanceado, para las dimensiones definitivas: '
pb
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d = 0,85 × 300 × 5 4 200 × 15 m
= 0,020
Porcentaje de refuerzo “Norma antisísmica” = 50% Pb = 0,010 A s
= 0,010 × 50 ×15 = 7,6 cm 2
2 θ 7 ' 8
2
= 7,8 c m (Cuadro 3)
Nota: Deben colocarse un máximo de 2 cabillas por el poco ancho del nervio. Altura del Ala “t ” = 5 cm Altura Útil ”d ”= 15 cm
h= 16 cm
Bloque “Piñata” = 10 cm Friso de recubrimiento= 3 cm
Refuerzo de acero calculado 2 θ 7/8’ Figura 15. Diseño definitivo de la losa nervada del ejemplo CÁLCULO DEL MACIZADO Ancho del Nervio “b’ ” = 10 cm
Como se mencionó anteriormente, en el caso de las losas nervadas, no se calculan los estribos, para contrarrestar el esfuerzo cortante, sino que además no se refuerza el nervio en las zonas de momentos negativos como se hace en las vigas rectangulares o “T”. Para absorber esos esfuerzos en las losas nervadas, se aplica la técnica del macizado, que consiste en eliminar las hileras de bloques necesarias antes de llegar a la viga de soporte de la losa, con lo cual convierte a la viga geométricamente en “Viga T”, sin embargo para que trabaje como tal, debe cumplir el requisito señalado en su oportunidad. Para las vigas “T”, se calculan los estribos como se explicó para la viga rectangular. Cálculo del ancho del macizado por esfuerzo cortante: A (m) = 1
V c Donde: − 1 , 0 de A= Ancho del Macizado, en metros, hacia el lado 2 V u acción de la fuerza cortante considerada (Determina el Nº de hileras de Bloques que se eliminarán) Vc= Aporte del Concreto en contrarrestar el esfuerzo de corte.
V c
= φ 0,53
f c' b ' d
Continuando con el ejemplo anterior: V c
= 0,53 ×
300
×10 ×15 =1 376 ,9
Ancho del Macizado tomando en cuenta la Fuerza Cortante: A
1 376 ,9 = 12 1,0 − 5 900 = 0,38 m
Equivale a quitar dos hileras de bloques antes de la
viga. Ancho de Macizado tomando en cuenta el Momento Negativo. Se calcula la capacidad de trabajo de la sección tomando en cuenta lo que sería capaz de resistir el concreto en condición de refuerzo balanceado ( pb), en el ejemplo que se desarrolla Para ello se calcula el valor de p b:
'
pb
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d = 0,85 × 300 × 5 m 4 200 × 15
= 0,0202
El valor de M pb en esa condición balanceada: M pb
= φ f y
p b
1 −
t
d b d 2 2
5 = 0,9 × 4 200 × 0,0202 × 1 − 15 × 50 ×15 2 = 715 837 ,5 kg cm = 2
= 7 158 ,4 kg m Calculo del Factor de Sobre-Carga FSC Para ello se supondrá en este ejemplo que la W sc= 3 600 kg/m Y la W pp, se calculará de acuerdo a la losa definitivamente seleccionada. Bloque Piñata de 10= 5 kg c/u Peso Unitario del Concreto 2 400 kg/m 3. Peso del Nervio y ala / m. (0,1*0,8) + (0,05 Peso (kg / m)
= ( ( 0,1 × 0,1) + ( 0,05 × 0,5) ) × 2 400 = 84 kg / m
Wt=3 600+84= 3 684 kg/m
1,4 + 1,7 L D FSC = 1 + L D
W sc W pp
1,4 + 1,7
=
W 1 + sc W pp
=
3 684 84 = 1,693 3 684 1+ 84
1,4 + 1,7 ×
Ancho de macizado en función del Momento Negativo: 2 V t 2( M − − M p ) − − a= FSC W t FSC W FSC W t t
V t
a
=
b
5 900 1,693
×3 684
No requiere
5 900 − 1,693 ×3 684
macizado
2
2 ×(970 − 7 158 ,4) = 0,95 −1,697 <1 − 1,693 ×3 684
por Momento
Negativo
UN NUEVO EJEMPLO COMPLETO Existen diversos libros de estructuras que traen para losas continuas y de tramos iguales, unas gráficas con coeficientes, que permiten calcular rápidamente, los momentos de los vanos (positivos) y los de los de los apoyos (negativos), así como las fuerzas cortantes y reacciones inherentes (Fig. 16). Coeficientes M(-)
-0,107
Coeficientes M(+) Coeficientes Fuerza Cortante y Reacciones M =k W l 2
0,078 0,383
-0,071 0,036
0,617 0,536
-0,107 0,036
0,464
0,464
0,078 0,536
0,617
0,383
Fig. 16. Gráfica para cálculo rápido de solicitaciones en viga continua de tramos iguales
V =k W l R =∑k W l
DATOS PARA EL EJEMPLO Sobrecarga (Q)= 6 000 kg/m 2 (Depósito de herramientas)
Calidad del Concreto ( f’ c)= 220 kg/cm 2 Acero= 2 800 kg/cm 2 Carga sobre las correas: Wsc= 6 000 x 0,5 = 3 000 kg/m Con este valor se procederá a calcular las solicitaciones en la viga utilizando la gráfica anterior, y los resultados están en la Fig. 17.
-2889
-2889 -1917
972
972
2106
2106
Figura 17. Momentos actuantes en la Viga considerada como ejemplo DISEÑO DE LA LOSA NERVADA TRAMO A-B 2 106 0,50
d = 0,47
= 30 ,50 cm
( Bloque de 25 cm y " t " = 5 cm )
Cálculo del porcentaje de acero balanceado pb '
pb
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d = 0,85 × 220 × 5 = 0,011 2 800 × 30 m
Porcentaje de acero de acuerdo a la norma sísmica: p=0,5 pb
= 0,006
Peso propio de la losa W pp: ((0,25x0,1)+(0,05x0,5))x 2 400= 120 kg/m + (14 kg x 5 blq) = 190 kg/m W pp= 190 kg/m
Momento debido al peso propio= M pp= 0,078 x 190 x 9 = 133,38 kgm Cálculo de “ d 2”
d 2
=
M u s
φ f y p 1 −
t d b 2
=
223 938
5 / 30 × 50 0,9 × 2 800 × 0,006 × 1 − 2
= 17,98 cm
d 2-d 1>5 d m
= 30 +17 ,98 = 23 ,9 cm 2
Bloque Piñata 20 cm, d=25cm Peso propio de la losa W pp: ((0,20x0,1)+(0,05x0,5))x 2 400= 108 kg/m + (8,1 kg x 5 blq) W pp= 148,5 kg/m
Momento debido al peso propio= M pp= 0,078 x 148,5 x 9 = 104,25 kgm
d 2
=
M u s
φ f y p 1 −
t d b 2
=
220 989,6
5 / 25 × 50 0,9 × 2 800 × 0,006 × 1 − 2
= 18,02 cm
d 2-d 1>5 d m
= 25 +18 ,02 = 21,51 cm 2
Bloque 15 cm d= 20 cm Peso propio de la losa W pp: ((0,15 X 0,1) + (0,05x0,5)) X 2 400= 96 kg/m + (6 kg x 5 blq) W pp= 126 kg/m
Momento debido al peso propio= M pp= 0,078 X 148 X 9 = 88,5 kgm
d 2
=
M u s
φ f y p 1 −
t d b 2
=
219 445,2
5 / 20 × 50 0,9 × 2 800 × 0,006 × 1 − 2
= 18,21 cm
d 2-d 1<5 o.k.
Cálculo del pb para las dimensiones definitivas: '
pb
=
0,85 f c t
f y
d
=
t d = 0,85 × 220 × 5 = 0,017 2 800 × 20 m
Refuerzo por norma antisísmica=0,5 pb= 0,008 Dimensiones definitivas: cm
Bloque Piñata 15 cm, “ t ”= 5 cm
“d ”= 20
“b”= 50
Refuerzo Metálico: A s= 0,006 x 50 x 20= 8,34 cm 2 (1θ 1’ + 1 θ 7/8’ ----- A s= 8,94 cm2) Aplicando los coeficientes del gráfico, se obtiene el diagrama de fuerza cortante (Fig. 19), incluyendo la fuerza cortante del peso propio. 5 026,6
5 786,2
3 591,8
4 351,4
4 351,4
3 591,8 5 026,6
5 786,2
Figura 19. Diagrama de Fuerzas Cortantes del ejemplo
CÁLCULO DEL MACIZADO PARA EL APOYO “B”
V c b ' d 1,0 − A = 2 V u 1
a
V c
1 572 ,2 = 12 1,0 − 5 786 ,2 = 0,36
= 0,53 ×
m
220
= 7,86
(se eliminan dos hileras de bloque antes del apoyo)
Macizado por momento negativo: Cálculo del Factor de Sobrecarga (FSC)
W sc= 3 000 kg/m W pp= 126 kg/m W t = 3 126 kg/m
1,4 + 1,7 L D FSC = 1 + L D
W sc W pp = W 1 + sc W pp
1,4 + 1,7
=
3 000 126 = 1,688 3 000 1+ 126
1,4 + 1,7 ×
Momento máximo resistente por parte del nervio utilizando el refuerzo balanceado: t 5 ' 2 d 0,9 × 2 800 × 0,017 × 1 − 20 ×10 × 20 2 = 149 940 kg cm = = M u p = φ f y p b 1 − b d 2 2 = 1 499 ,4 kg m b
Momento en el apoyo considerado= -2 889 kg m Rb
a
=
=
M u pb b ' d 2 V t
FSC
= 37,48
V t 2( M − − Rb b ' − − W t FSC W FSC W t t
5 786 , 2 a= 1,688 × 3 126
2
5 786 ,2 − 1,688 ×3 126
2
d
)
2
2 ×( 2 889 −1 499 , 4 ) = 0,15 − 1,688 ×3 126
m (Re quiere macizado
El macizado definitivo será el requerido por la fuerza cortante, que abarca ambas solicitaciones.
por moment
