ES UELA DE INGENIERÍA
UNIVERSID UNIVER SIDAD AD CAT CAT LICA LICA SANT SANT TORIBIO DE MOGROVEJO
. Asignatura: Física I
Dinámica de partíc las. Prim Primer era a ley ley de Newto wto : La ley de la inercia. To Todos los cue cuerpos se resisten a un cambio en su velocidad aun si la velocidad es cero. Si un objeto se mueve requiere una fuerza para para hace hacerl rloo que que su mov movimi imie to sea más lento o más rápido o que cambie de dirección. Cuanto mayor sea la masa mayor será su inercia, inercia, en consecuencia mayor será la resistencia al cambio. Todo cambio en la veloc elocid idad ad es una una acel aceler erac aciión. ón. Ademá demáss la acel aceler er ción y la masa están → →
en proporción inversa. a =
F m
.
En sínte síntesis sis,, la prime primera ra ley ley de Newton: “ Un punto material permanece en eposo o continúa en mov movimie miento nto rect rectililín íneo eo y unif unifoorme si sobre él no se ejercen fuerzas desequilibradas”.
Los marcos de refer ncia inerciales. Son aquello aquelloss en los qu si cada observador situado en su origen respectiivo, mide el movimiento de uno con respecto al otro y encuentra por ejemplo, que el observador 0” ve al otro observador “0 ’ “moviéndose a la elocidad , mientras que el observador “0 ’ “ en encontrará que “0” se mueve con velocidad ‘
Si los marcos de referencia on inerciales para el observador ubicado en “0‘ ” la observación del punto “A” conlleva a obtener: (vector posición) ; (relación de v locidades) , (aceleración) .
Segunda ley de Newto n. La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración si cada masa permanece constante. Representa a una fuerza de la masa del cuerpo.
, también
un conjunto de fuerzas.
, Es la aceleración
Ejemplo de aplicación 01. Un hombre de 80 kp está dentro de un
ascensor que desciende con una aceleración uniforme de 1m/s2. Calcular la fuerza que el ombre ejerce sobre el ascensor a) cuando asci ascien ende de con con una una ace acele lera raci ci n de 1m/s2; b) cuando desciende con una aceleración de 1m/s2. Solución: a = 1m/s2 hacia abajo W=80kp Aplicando la segunda ley de Newton con respecto a la referencia inercial (siste (sistema ma coor coorde dena nado do carte cartesi siaano que se encuentra en reposo):
→ ∑
→
F = m. a ∧
∧
∧
N. j + ( − w. j ) = m.( −a j ) , donde la masa m=w/g; g=9,81m/s2 N−w = N=w−
w g w g
( −a ) .a
Reemplazando datos a la expresión anterior: 80kp N = 80kp − .(1m / s 2 ) = 71,8kp Respuesta en kilogramos peso. 9,81m / s 2 N = 71,8kp = 71,8kp.
9,81kg.m / s 2 1kp
= 704,8 N Respuesta en Newton.
Ejemplo de aplicación 02. Un plano inclinado que forma
un ángulo de 25°con la horizontal tiene una polea en su parte superior. Un bloque de 98N de peso está apoyado sobre el plano y unido por medio de una cuerda que pasa por la polea, a un cuerpo de 49N que cuelga libremente. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular el espacio que recorrerá el cuerpo de 49N en 2 segundos partiendo del reposo. Solución: para ∆t = 5s ; S=? D.C.L de w1: → ∑
→
F = m. a 1 ∧
∧
∧
− w 1 .sen 25°. i '+T. i ' = m1 .a 1x ' . i ' ;
Donde w 1 = m1 .g ; m1 =
w1 g
− w 1 .sen 25° + T = m1 .a 1x ' − w 1 .sen 25° + T =
w1 g
D.C.L de w1: → ∑
→
F = m. a 2 ∧
∧
→
T. j − w 2 . j = m 2 . a 2 ;
.a y despejando la tensión: T = w 1 .sen 25° +
w1 g
.a …(1)
∧
∧
∧
T. j − w 2 . j = m 2 .a 2 y . j , donde w 2 = m 2 .g ; m 2 = ∧
∧
∧
w2
. j − w 2 . j+ T. j = T − w2 = −
w2 g
g
w2 g
∧
.( −a ). j
.a y despejando la tensión T = w 2 −
w2 g
.a : …(2)
(1) =(2) w 1 .sen 25° +
(w1 + w 2 ) g
a =(
a =(
w1 g
.a = w 2 −
w2 g
.a , entonces
.a = w 2 − w 1 .sen 25°
w 2 − w 1 .sen 25° w1 + w 2 w 2 − w 1 .sen 25° w1 + w 2
a = 0,51m / s
).g = (
).g = (
49 − 98.sen 25° 98 + 49 49 − 98.sen 25° 98 + 49
).9,81m / s 2
).9,81m / s 2
2
Calculando la distancia “S” recorrida por el peso w2 en un tiempo de 2s. y = y 0 + v oy .∆t +
1 2
.a 2 y .∆t 2 , para ∆t = 0s , y para condición del problema v oy = 0 , entonces:
S = y 0 , entonces: y = S +
1 2
.a 2 y .∆t 2
Para ∆t = 2s y = S+ 0 =S+
1 2 1
.a 2 y .∆t 2 .( −0,51).( 2) 2 despejando S:
2 S = 1,02 m
de aplicación 03. Calcular la aceleración del móvil “B” y “C”, con respecto al móvil “A”. El móvil “A” lleva una aceleración de 2 m/s2. Las masas son: mA=100kg; mB=30kg; mC=90kg. Ejemplo
Solución: Para problemas con móviles no inerciales, es decir cuerpos que se mueven acelerando o desacelerando y a la vez otros cuerpos se mueven con respecto a dicho móvil no inercial, entonces hay que recurrir al criterio D’Alembert, es decir de agregación de una fuerza ficticia. Aplicando la segunda ley de Newton a todo en su conjunto respecto al sistema de coordenadas inercial (x,y):
D.C.L del conjunto de masas100+30+90 kg. → ∑
→
F = mt . a ∧
∧
F. i = ( m A + m B + m C ).a i
F. = (100 + 30 + 90) kg.( 2m / s 2 ) F. = 440N ...(1)
D.C.L de masa B, respecto al sistema no inercial “A”. →
→
→
→
Aplicando el criterio de la fuerza ficticia: F T ' = F R + F fB , donde: F T' es la fuerza total →
respecto a la referencia no inercial “A” de coordenadas ( x’, y’ ). F R es la sumatoria de las →
fuerzas respecto a la referencia inercial ( X,Y ). F fB es la fuerza ficticia de magnitud mB.a, cuya aceleración es de sentido opuesto al del marco de referencia no inercial “A”. Además el marco de referencia no inercial “A” se mueve con una aceleración “a” medida con respecto al marco inercial de coordenadas X,Y). →
→
→
F TB' = F R + F fB ∧
∧
∧
m B .a Bx ' i ' = (T i ' ) + ( − m B .a i ' )
m B .a Bx ' = T − m B .a
Despejando la aceleración: a Bx ' = a Bx ' =
T − m B .a mB
, reemplazando datos:
T( kg.m / s 2 ) − 30kg.( 2m / s 2 )
a Bx ' = (
30kg T − 60 30
)m / s 2 …(2)
Donde: a Bx ' = a ' …(3) D.C.L de masa C, respecto al sistema no inercial “A”. →
→
→
Aplicando el criterio de la fuerza ficticia: F TC' = F R + F fC , ∧
∧
∧
∧
m C .a Cy ' j' = (T j'− w .sen 30° j' ) + m C .a . cos 30° j' m C .a Cy ' = T − 2
w 2
+ m C .a.
3 2 2
, reemplazando datos:
90 kg.a Cy ' m / s = Tkg .m / s −
90kg (9,81m / s 2 )
90.a Cy ' = T − 45(9,81) + 90 3 ….(4)
2
+ 90 kg.( 2m / s 2 ).
3 2
Donde: a Cy ' = −a ' ….(5) (3) en (2) y despejando T: a ' = (
T − 60 30
)m / s 2
T = 30.a '+60 ..(6) (5) en (4) y despejando T: − 90.a ' = T − 45(9,81) + 90 3 T = −90.a '+45(9,81) − 90 3 …(7)
(6)=(7) y despejando a’: 30.a '+60 = −90.a '+45(9,81) − 90 3
Donde : a ' = 1,88m / s 2 ….(7) (7) en (3) a Bx ' = 1,9m / s 2 (7) en (5) a Cy ' = −1,9 m / s 2
A partir de experimentos realizados la interacción gravitacional es atractiva y varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre , por lo que la expresión de la fuerza de los dos cuerpos gravitación de m’ sobre m, se puede expresar: ;
1/
γ 6,67x10 Nmkg
, donde “
F γ . .u
es la constante gravitacional.
Masa. La masa es una magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. es una medida de la resistencia que opone un cuerpo a cualquier cambio en la velocidad, la cual está expresada en la segunda ley de Newton: Masa inercial,
F m .a
La masa gravitatoria está definida a partir de la ley de gravitación
universal.
Si la gravitación es una propiedad universal de toda clase de materia, entonces la masa gravitatoria es la es proporcional a la masa inercial cuya relación se puede expresar: misma para todos los cuerpos, expresando las masas con sus unidades apropiadas, esta relación es uno ( ha sido verificada experimentalmente). Por lo que en general se debe denominar a la masa inercial y gravitatoria “masa” ya que estas son equivalentes con un grado de precisión muy alto.
k
Para Einstein la coincidencia entre masa inercial y masa gravitacional significa “ la misma cualidad de un cuerpo se manifiesta , de acuerdo a las circunstancias , como inercia o como peso”.
Fuerza gravitacional. La fuerza gravitacional de la tierra ejercida sobre un cuerpo se denomina peso: , ó , el cual se puede expresar a partir de la expresión de la fuerza de gravitación donde m’ = M: es la masa de la tierra, r = R+h, R: radio de la tierra, m: masa de un cuerpo cerca a la superficie de la tierra: h: altura en que se encuentra el
W m.g W m.g.u
. .u (en coordenadas radial – transversal), F γ igualando las dos expresiones tenemos: g γ , que es la aceleración de la gravedad terrestre en función a la masa y radio de la tierra. Sobre la superficie de la tierra h=0m y la ecuación anterior queda, g γ y como el radio ,/, 2 5,97 x10 kg promedio es de 6,37 x10 m, entonces 11 6,67x10 Nm2kg cuerpo sobre la superficie de la tierra:
6
Peso. El peso está definido como: w=mg. Donde “m” es la masa del cuerpo o partícula. “g” es la aceleración de la gravedad. Ejemplo de aplicación 04. Un satélite artificial que gira alrededor de la tierra en una órbita aproximadamente circular, situada en el plano ecuatorial, tiene una velocidad de 3,06 km/s. Calcular la altura sobre la superficie de la tierra en que se encuentra girando el satélite.
Solución: El satélite está sometido a la fuerza centrípeta que es igual a la fuerza gravitacional:
, . . . , reemplazando datos tenemos: 6,67x10 11Nm2kg2 ., 6,37x10m, 3,62 x10 m 7
Tercera Ley de Newton. Cuando dos partículas, interactúan, la fuerza sobre una partícula es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra.
Fuerzas de fricción. Cuando hay dos cuerpos en contacto hay resistencia que se opone al movimiento relativo de dichos cuerpos. Dicha resistencia se denomina fricción y es debido a la interacción entre moléculas de los cuerpos, es decir la cohesión (fuerza de atracción que mantiene unidas a las moléculas de la misma especie química) y la adhesión (fuerza de atracción que mantiene unidas a las moléculas de diferente especie química). La fuerza de fricción, es la fuerza entre dos superficies en contacto y a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra se denomina fuerza de fricción dinámica y la fuerza que se opone al inicio del movimiento se denomina fuerza de fricción estática . La fuerza de fricción se genera por la rugosidad microscópica de las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ con la normal. Por lo que la fuerza resultante tiene una componente de fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.
Rozamiento estático
Sobre un cuerpo en reposo al que aplicamos una fuerza horizontal F, intervienen cuatro fuerzas: F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo. P=w: el peso del cuerpo. N: la fuerza normal a la superficie. Para el cuerpo que está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento tienen igual magnitud escalar: w=P -w+N = 0, Entonces: w = N; w = mg F-Fr = 0 Entonces: F = Fr F=Fr = usN; F = us.mg, donde “us” es el coeficiente de rozamiento estático. Rozamiento dinámico
Para un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal, deben considerarse las siguientes fuerzas: F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que sufre a. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad. N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo. Como equilibrio dinámico, podemos establecer que: w=P -w+N = 0, Entonces: w = N; w = mg F-Fr = max Fr = ukN; Fr = uk.mg Tabla de Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias Materiales en contacto
Acero // Teflón Teflón // Teflón Acero // Latón Aluminio// Acero Cobre // Vidrio Cobre // Acero Acero // Acero Cinc//hierro (colado) Vidrio // Vidrio Cobre // Hierro (colado)
0,04 0,04 0,04 0,51 0,61 0,68 0,53 0,74 0,85 0,94 1,05
0,04 0,44 0,47 0,53 0,36 0,57 0,21 0,4 0,29
Fuente: Sears F, Zemansky M, Young H. 1986
Ejemplo de aplicación 05: Un bloque de metal
se coloca sobre una tabla horizontal que se inclina gradualmente. Cuando la tabla forma un ángulo de 27° con la horizontal, el bloque está a punto de iniciar su desplazamiento. Calcular el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la tabla. Solución: Tomando en cuenta el sistema de coordenadas (X’ , Y’) →
→
Segunda ley de Newton para el eje X’: ∑ F = m. a , como no hay deslizamiento a x ' = 0 Ff − w.sen 27° = 0 F Entonces: sen 27° = f …(1) w Segunda ley de Newton para el eje Y’: como no hay deslizamiento a lo largo del eje “Y’ “, entonces: a y ' = 0 N − w. cos 27° = 0
Entonces: cos 27° = (1)/(2) tan 27° =
Ff / w N/w
=
N w
…(2)
µe N / w N/w
= µe
µ e = 0,51
Dinámica circular. Aquí se estudian las causas que originan el movimiento circular. De las ecuaciones del movimiento circular tenemos:
Segunda ley de Newton aplicado al movimiento movimiento circular uniformemente circular: Para el variado (CUV).
donde: : componente tangencial de la fuerza.ó fuerza tangencial. : componente normal de la la fuerza. Ó fuerza normal. Para el movimiento circular uniforme (MCU).
La aceleración tangencial es cero y la fuerza
total es la fuerza normal ó fuerza centrípeta:
Ejemplo de aplicación 06: Un pequeño cuerpo atado a una
cuerda de longitud 1m gira en un círculo vertical alrededor de un punto fijo “0” al cual está atado el otro extremo de la El movimiento es MCUV. Encontrar cuerda. las componentes tangencial y normal de la fuerza a la que está sometido el cuerpo y la tensión de la cuerda. Para el ángulo de Ө= 37°, la velocidad tangencial es de 15m/s. m= 100 g Solución.
111
F T mg.cosθ F mg.senθ
Fuerza normal: ; Antes hay que determinar la tensión T para posición indicada en la figura. Con los datos y despejando T = 23,28 N. Tenemos la fuerza tangencial:
F . T mg.cosθ
F 23,28 0,1x9,81x N 22,49N F mg.senθ 0,1x9,81x35N 0,59N Problemas propuestos
Un ascensor que pesa 800 kp arranca hacia arriba con una aceleración de 6m/s2. Calcular la tensión en el cable en el momento del arranque. Rpta: 1290 kp. 1.
El peso de un ascensor es de 1200kp.Calcular la tensión en los cables cuando a) asciende con una aceleración de 1m/s2, b) desciende con una aceleración de 1m/s 2. Rpta: 1320 kp y 1078 kp. 2.
De los extremos de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento, penden dos cargas de 2 y 6kp de peso. Calcular la aceleración y la tensión en la cuerda. Rpta.: 4,9 m/s2 y 3 kp. 3.
Un ascensor arranca hacia arriba con una aceleración constante de forma que transcurrido 0,8 s ha ascendido 1m. Dentro de él va un hombre que lleva un paquete de 3kp colgado de un hilo. Calcular la tensión en el hilo. Rpta.:3,95 kp. 4.
Un plano inclinado forma un ángulo de 30° con la ho rizontal. Calcular la fuerza constante paralela al plano que se necesita aplicar a un bloque de 40 kp de peso para desplazarlo a) hacia arriba con una aceleración de 1m/s2, b) hacia abajo con una aceleración de 1m/s2. No hay rozamiento. Rpta.: 24kp y 16 kp. 5.
Un paracaidista de 70kp de peso se lanza libremente al espacio desde el reposo y a los 5s del instante del lanzamiento abre su paracaídas. Este tarda en abrirse 0,8s y la velocidad pasa a 12m/s cuando está totalmente abierto. Calcular la fuerza media ejercida sobre las cuerdas del paracaídas, suponiendo que éste carece de peso. Rpta: 400kp. 6.
Un automóvil tiene una masa de 1500 kg y una velocidad inicial de 60 km/h. Cuando se aplican los frenos se produce una desaceleración constante y el auto se detiene en un tiempo de 1,2 minutos. Determinar la fuerza aplicada sobre el auto? 7.
Los cuerpos de la figura tienen masas de 10 kg, 15 kg, 20 kg respectivamente. Se aplican una fuerza de 100N . ¿Calcular la aceleración del sistema y las tensiones en cada cable? 8.
La banda transportadora A, que se , mueve a la velocidad conduce objetos pequeños hasta la rampa de 2m de longitud. Si la banda transportadora B tiene una celeridad de y los objetos llegan a ella sin resbalar, calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre los objetos y la rampa. Rpta: 0,56 9.
0,9 /
0,4 /
10. Calcular la aceleración de los cuerpos de masas m1= 4kg,
m2= 6kg, las tensiones en los cuerpos. Las poleas tienen peso despreciable y fricción nula.
11. Un bloque de masa “m” se halla
sobre un plano inclinado 37° con la horizontal. Calcular la aceleración que se debe proporcionar al plano inclinado, para que el bloque tenga movimiento similar al de caída libre. El rozamiento es despreciable. Rpta.: 7,5m/s2
12. Un cuerpo de masa 1 kg se encuentra sobre un plano liso inclinado 30° con respecto a la
horizontal. ¿Con que aceleración se moverá el cuerpo si hay una fuerza aplicada sobre él de 8N paralela al plano y dirigida a) hacia arriba, b) hacia abajo? 13. Un pintor con masa de 72 kg trabaja en una canastilla colgante. Necesita
elevarse. Para dicho fin comienza a tirar de la cuerda con una fuerza que su presión sobre la canastilla disminuye hasta 400N. La masa de la canastilla es de 12 kg. a) Calcular la aceleración que tendrán el pintor y la canastilla. b) calcular la fuerza total que actuará sobre la polea.
14. Calcular la aceleración de los cuerpos en la figura que se muestra y la
tensión en la cuerda. m1 =50g, m2 =80g y F=80dinas.
15. Un bloque cuya masa de m1=3kg está colocado sobre otro
bloque de m2=5kg, considerando que no hay fricción entre el bloque de 5kg y la superficie sobre la cual reposa y los coeficientes de fricción estático y cinético son de 0,2 y 0,1 entre las superficies de los bloques. a) ¿Cuál es la máxima fuerza que puede aplicarse al bloque de masa 5kg para deslizar el sistema sin que exista movimiento entre los bloques?. b) calcular la aceleración cuando se aplica la fuerza máxima.
16. Un satélite artificial gira alrededor de la tierra en una órbita circular alrededor de la tierra y a
una altura sobre la superficie terrestre donde la aceleración de la gravedad es 2,45 m/s2. Calcular el tiempo necesario para que el satélite artificial recorra una vuelta de la órbita circular. Rpta.: 3,99h
17. Un pequeño bloque de 1kg está atado a una cuerda de 0,6m y gira a 60RPM en un círculo
vertical. Calcular la tensión en la cuerda cuando el bloque se encuentra: a) En el punto más alto. b) En el punto más bajo. c) Cuando la cuerda está horizontal. d) La velocidad tangencial que debe tener el bloque en el punto más alto a fin de que la tensión en la cuerda sea 0N. 2
18. Un ascensor que pesa 800 kp arranca hacia arriba con una aceleración de 6m/s . Calcular la
tensión en el cable en el momento del arranque. Rpta: 1290 kp.
