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DILATACIÓN 150
FÍSICA GENERAL
TÉRMICA
LA TEMPERATURA (T ) se puede medir en la escala
Celsius, donde el punto de congelación del agua es a 0 °C y el punto de ebullición (bajo condiciones normales) es a 100 °C. La escala Kelvin (o absoluta) está desplazada 273.15 grados respecto de la escala Celsius, así que el punto de congelación del agua está a 273.15 K y el punto de ebullición a 373.15 K. El cero absoluto, temperatura que se analizará en el capítulo 16, está a 0 K ( 273.15 °C). La aún usada escala Fahrenheit se relaciona con la escala Celsius mediante la ecuación
Temperatura Fahrenheit
9 5
(temperatura Celsius)
32
DILATACIÓN LINEAL DE UN SÓLIDO: Cuando un sólido sufre un aumento de temperatura
su incremento en longitud ∆ L es casi proporcional al producto de su longitud inicial L0 por el cambio de temperatura ∆T . Esto es, ∆ L
∆T ,
L0 ∆ T
donde la constante de proporcionalidad se llama coeficiente de dilatación lineal. El valor de depende de la naturaleza de la sustancia. Para los fines de esta obra se puede tomar como constante independiente de T , aun cuando esto rara vez es exactamente cierto. De la ecuación anterior, es el cambio en longitud por unidad de longitud inicial y por unidad de temperatura. Por ejemplo, si 1.000 000 cm de longitud de latón se convierte en 1.000 019 cm de longitud cuando la temperatura se eleva 1.0 °C, el coe ficiente de dilatación lineal para el latón es
DILATACIÓN SUPERFICIAL: Si un área A0 se dilata a A0 ∆ A cuando se sujeta a un aumento de temperatura ∆T ,
entonces ∆ A
A0 ∆ T
donde es es el coeficiente de dilatación superficial. Para un sólido isotrópico (que se expande de la misma manera en todas direcciones), 2. cuando se sujeta a un cambio de DILATACIÓN VOLUMÉTRICA: Si un volumen V 0 cambia por una cantidad ∆V cuando temperatura ∆ T , entonces V 0 ∆ T ∆V V
donde es el coeficiente de dilatación volumétrica, el cual puede ser un aumento o una disminución en volumen. Para un sólido isotrópico, 3.
PROBLEMAS RESUELTOS 15.1 [I]
Una barra de cobre tiene una longitud de 80 cm a 15 °C. ¿Cuál es el incremento de su longitud cuando su temperatura aumenta a 35 °C? El coe ficiente de dilatación lineal del cobre es 1.7 × 10 5 °C 1.
∆ L
L0∆T (1.7 × 105 ºC1)(0.80 m)[(35 15) ºC] 2.7 × 104 m
tiene que deslizar dentro de un agujero en una placa de 15.2 [II] Un cilindro de 1.000 00 cm de diámetro a 30 °C se tiene acero. El agujero tiene un diámetro de 0.99970 cm a 30 ° C. ¿A qué temperatura se debe calentar la placa? Para el acero, 1.1 × 10 5 °C 1.
150
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CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 151 La placa se expandirá de la misma manera, ya sea que exista o no un agujero en ella. Por consiguiente, el agujero se expandirá de idéntica forma como lo haría un círculo colocado dentro del agujero. Se desea que el diámetro del agujero cambie en una cantidad ∆ L (1.00000 0.99970)
cm 0.00030 cm
Al usar ∆ L L0 ∆ T , se encuentra
La temperatura de la placa debe ser 30
15.3 [I]
27 57
°C.
Una cinta métrica de acero se calibra a 20 °C. En un día frío, cuando la temperatura es de será el error porcentual en la cinta? acero 1.1 × 10 5 °C 1.
15
°C, ¿cuál
Para un cambio de temperatura de 20 °C a 15 °C, se tiene ∆T 35 °C. Entonces
15.4 [II] Una barra de cobre ( 1.70 × 10 5 °C 1) es 20 cm más larga que una barra de aluminio ( 2.20 ×
5
1
10 °C ). ¿Cuál debe ser la longitud de la barra de cobre si la diferencia en longitudes es independiente de la temperatura? Para que la diferencia de longitudes no cambie con la temperatura, ∆ L tiene que ser la misma para ambas barras con el mismo cambio de temperatura. Esto es, ( L0 ∆ T )cobre ( L0 ∆ T )aluminio (1.70 × 10 5 °C 1) L0 ∆ T (2.20 × 10 5 °C 1)( L0 0.20 m) ∆T
o
donde L0 es la longitud de la barra de cobre y ∆T es la misma para las dos barras. Al resolver se encuentra que L0 0.88 m.
15.5 [II] Una esfera de acero ( 1.10 × 10 5 °C 1) a 20.0 °C tiene un diámetro de 0.9000 cm, mientras que el
diámetro de un agujero en una placa de aluminio ( 2.20 × 10 5 °C 1) es de 0.8990 cm. ¿A qué temperatura (la misma para ambos) apenas pasará la esfera por el ori ficio?
Se desea que, para una temperatura los mismos:
∆T mayor
que 20.0° C, los diámetros de la esfera y del agujero sean
0.9000 cm (0.9000 cm)(1.10 × 10 5 °C 1) ∆ T 0.8990 cm (0.8990 cm)(2.20 × 10 5 °C 1) ∆ T
Al resolver para ∆T se encuentra que ∆T 101 °C. Como la temperatura inicial era de 20.0 °C, la temperatura final debe ser de 121 °C.
15.6 [II] Una cinta métrica de acero se utiliza para medir la longitud de una barra de cobre de 90.00 cm cuando ambas se encuentran a 10 °C, que es la temperatura de calibración de la cinta. ¿Cuál será la lectura de la cinta para la longitud de la barra cuando ambas están a 30 °C? acero 1.1 × 10 5 °C 1; cobre 1.7 × 10 5 °C 1.
A 30 °C, la barra de cobre tendrá una longitud L0(1 c ∆ T )
mientras que las marcas de “centímetros” adyacentes en la cinta de acero estarán separadas una distancia de (1.000 cm)(1 s ∆ T )
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FÍSICA GENERAL Por consiguiente, el número de “centímetros” leídos en la cinta será
Usando la aproximación
para x muy pequeña comparada con 1, se tiene
la lectura en la cinta será de 90.01 cm.
15.7 [II] Un vaso de precipitados se llena “hasta la marca” con 50.00 cm 3 de mercurio a 18 °C. Si el vaso y su contenido se calientan a 38 °C, ¿cuánto mercurio estará por arriba de la marca? vidrio 9.0 × 10 6 °C y mercurio 182 × 10 6 °C 1.
1
Se tomará vidrio 3vidrio como una buena aproximación. El interior del vaso se dilatará como si fuera una pieza sólida de vidrio. Entonces, Volumen de mercurio sobre la marca
(∆V del
mercurio) – (∆V del vidrio)
V 0 ∆ T gV 0 ∆ T ( m g )V 0 ∆ T
m
[(182 27) 0.15
cm
× 106 °C1](50.00 cm3)[(38 18)
°C]
3
15.8 [II] La densidad del mercurio a exactamente 0 °C es de 13 600 kg m3, y su coeficiente de dilatación volumétrica es de 1.82
4
10
°C 1. Calcule la densidad del mercurio a 50.0 °C.
0 densidad del mercurio a 0 °C 1 densidad del mercurio a 50 °C V 0 volumen de m kg de mercurio a 0 °C V 1 volumen de m kg de mercurio a 50 °C
Dado que la masa no cambia, m 0V 0 1V 1, de donde se sigue que
Pero Al sustituir en la primera ecuación se obtiene
15.9 [II] Demuestre que la densidad de un líquido o un sólido varía con la temperatura de la siguiente forma: ∆ ∆ T
0 ∆T .
Considere una masa m de líquido que tiene un volumen V 0, para el cual 0 mV 0. Después de un cambio de temperatura ∆T el nuevo volumen es V V 0 V 0 ∆T
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CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 153 y la densidad será
Pero m V 0 0, y por tanto se puede escribir (1 ∆ T ) 0
Entonces se encuentra ∆ 0 ∆ T
En la práctica, tiene un valor muy próximo al de 0, de tal forma que es posible concluir ∆ 0 ∆T .
15.10 [II] Resuelva el problema 15.8 utilizando el resultado del problema 15.9. Se tiene
∆ (13
de donde
600 kgm3)(182 × 10 6 °C 1)(50.0 °C) 124 kgm3
50 °C 0 °C 124 kgm3 13.5 103 kgm3
de modo que
15.11 [III] Un alambre de acero de 2.0 mm 2 de sección transversal a 30 °C se mantiene recto (sin tensión alguna) sujetándolo firmemente a dos puntos separados una distancia de 1.50 m (por supuesto, esto tendrá que realizarse en el espacio para que el alambre no tenga peso, pero no s e preocupe por ello). Si la temperatura decrece a 10 °C, y si los dos puntos permanecen fi jos, ¿cuál será la tensión en el alambre? Para el acero 1.1 × 10 5 °C 1 y Y 2.0 × 1011 Nm2.
En caso de que el alambre no estuviera fi jo en sus extremos, se contraería una distancia ∆ L al enfriarse, donde ∆ L
L0 ∆ T (1.1 × 105 °C1)(1.5 m)(40 °C) 6.6 × 104 m
Pero los extremos están fi jos. Como resultado, las fuerzas en los extremos, de hecho, estiran al alambre la misma longitud ∆ L. Por consiguiente, de la ecuación Y (F A)(∆ L L0), se tiene Tensión = Estrictamente, se debió sustituir (1.5 6.6 × 10 4) m por L en la expresión de la tensión. No obstante, el error es despreciable a pesar de no tomar en cuenta dicho valor.
15.12 [III] Cuando un edi ficio se construye a 10 °C, una viga de acero (con un área de 45 cm 2 en la sección transversal) se coloca en su lugar cementando sus extremos a las columnas. Si los extremos cementados no se pueden mover, ¿cuál será la fuerza de compresión sobre la viga cuando la temperatura suba a 25 °C? Para este tipo de acero, 1.1 × 10 5 °C 1 y Y 2.0 × 1011 Nm2.
Se procede de la misma forma que en el problema 15.11:
de donde
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FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15.13 [I]
Calcule el incremento de longitud de un alambre de cobre que mide 50 m cuando su temperatura cambia de 12 °C a 32 °C. Para el cobre, 1.7 × 10 5 °C 1. Resp. 1.7 cm.
15.14[I]
Una barra de 3.0 m de longitud se expande 0.091 cm después de un aumento de temperatura de 60 °C. ¿Cuál Resp. 5.1 × 10 6 °C 1. es el valor de para el material de que está hecha la barra?
15.15[I]
Una rueda lisa tiene un diámetro de 30.000 cm a una temperatura de 15.0 °C. El diámetro interior de su aro de acero mide 29.930 cm ¿A qué temperatura se debe calentar el aro para que pueda resbalar sobre la rueda? Para este tipo de acero, 1.10 × 10 5 °C 1. Resp. 227.7 °C.
15.16[II] Una esfera de hierro tiene un diámetro de 6 cm y es 0.010 mm más grande que el diámetro de un agujero que se encuentra en una placa de bronce; tanto la placa como la esfera están a una temperatura de 30 °C. ¿A qué temperatura (la misma para la esfera y la placa) apenas pasará la esfera por el agujero? 1.2 × 10 5 °C 1 y Resp. 54 °C. 1.9 × 10 5 °C 1 para el hierro y el bronce, respectivamente.
15.17[II]
a) Una regla de aluminio, calibrada a 5.0 °C, se utiliza para medir cierta distancia como 88.42 cm a 35.0 °C. Calcule el error en la medición debido a la dilatación de la regla. b) Se encuentra que la longitud de una barra de acero medida con la regla es de 88.42 cm a 35.0 °C, ¿cuál es la longitud correcta de la barra de acero a 35 °C? El coeficiente de dilatación lineal del aluminio es 22 × 106 °C1. Resp. a) 0.058 cm; b) 88 cm.
15.18[II] Una esfera sólida de masa m y radio b gira libremente sobre su eje con una velocidad angular 0. Cuando su temperatura se incrementa ∆T , su velocidad angular cambia a . Calcule 0 si el coeficiente de dilatación lineal para el material de la esfera es . Resp. 1 2 ∆ T (∆T )2.
15.19[I]
Encuentre el aumento en volumen de 100 cm3 de mercurio cuando su temperatura cambia de 10 °C a 35 °C. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 0.00018° C 1. Resp. 0.45 cm3.
15.20[II] El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9.0 × 10 6 °C 1. Un picnómetro (frasco que sirve para determi
nar la densidad relativa de líquidos) tiene una capacidad de 50.000 mL a 15 °C. Calcule su capacidad a 25 °C. Resp. 50.014 mL.
15.21[II] Determine el cambio en el volumen de un bloque de hierro fundido de 5.0 cm × 10 cm × 6.0 cm, cuando la temperatura cambia de 15 °C a 47 °C. El coe ficiente de dilatación lineal del hierro fundido es 0.000010 Resp. 0.29 cm3. °C 1.
15.22[II] Un recipiente de vidrio se llena exactamente con 1 litro de trementina a 20 °C. ¿Qué volumen de líquido se derramará cuando su temperatura se eleve a 86 °C? El coe ficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9.0 10 6 °C 1; el coeficiente de dilatación volumétrica de la trementina es 97 × 10 5 °C 1. Resp. 62 mL.
×
15.23[II] La densidad del oro a 20.0 °C es de 19.30 gcm3, y el coeficiente de dilatación lineal es 14.3 × 10 6 °C 1.
Calcule la densidad del oro a 90.0 °C. Eche un vistazo al problema 15.9.
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Resp.
19.2 gcm3.
