DIKTAT BAHAN KULIAH
HITUNG PROYEKSI GEODESI
TGD 035 BOBOT 4(2-2) SEMESTER III
OLEH YOHANNES NIP. 195204071986031001 195204071986031001
PROGRAM STUDI TEKNIK SURVEY DAN PEMETAAN JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG 2015
KATA PENGANTAR
Hitung Proyeksi Geodesi (HPG) adalah ilmu yang membahas mengenai bidang referensi bumi berbentuk bola dan elipsoid dengan berbagai perhitungan pada bidang lengkung dan pemecahan atas Soal Pokok Geodesi (SPG) kesatu dan kedua. Ilmu ini wajib dipahami, baik secara teori maupun praktek, oleh mahasiswa Teknik GeodesiGeomatika, terutama apabila kelak mereka menghadapi pekerjaan survey dan pemetaan dengan lingkup wilayah sangat luas atau bersifat global. Diktat ini disusun khusus bagi mahasiswa Diploma D3 Teknik Survey dan Pemetaan dan Sistem Informasi Geografis, walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh mahasiswa S1, alumnus, atau teknisi yang berkepentingan dengan masalah HPG, sebab disamping berisi penjelasan singkat mengenai konsep bidang bola dan elipsoid, juga disertai tuntunan praktis dalam proses perhitungan pada bidang lengkung dan pemecahan SPG 1 dan 2 dengan beberapa contoh soal dan jawaban. Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas penggunaannya saja. Perhitungan tidak melibatkan elevasi titik terhadap bidang referensi bola atau elipsoid. Dengan demikian, titik dianggap terletak tepat pada permukaan bidang bola atau elipsoid dimana elevasi dianggap nol. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari ilmu Hitung Proyeksi Geodesi lebih mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks yang tercantum dalam daftar pustaka dan buku-buku teks lainnya. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Program Studi Teknik Survey dan Pemetaan, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Lampung yang telah memberikan bantuan dana demi tersusunnya diktat ini. Terima kasih juga penulis sampaikan sampaikan kepada semua pihak pihak yang telah banyak membantu. membantu. Segala saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan. Semoga buku ini bermanfaat.
Bandarlampung, Bandarlamp ung, Pebruari 2015 Penulis,
Yohannes
DAFTAR ISI
Halaman JUDUL .............................………………………… ............................ .…………………………………………………… ………………………… KATA PENGANTAR ..........…………………………………………………… ..........……………………………… …………………… DAFTAR ISI ...................…………………………………………………….. ...................……………………………………… …………….. DAFTAR GAMBAR ...................…………………………………………….. ...................……………………………………… …….. DAFTAR TABEL ...................……………………………………………….. ...................……………………………………… ………..
i ii iii v vi
BAB I 1.1 1.2 1.3
PENDAHULUAN PENDAHULUAN ................. …………..…………………. …………..…………………......….... .....….... Sejarah Penentuan Dimensi Bumi ........................…………………. Bidang Referensi Bumi .................…………………...….…………. Evaluasi ...................…………………………………...….…………. ...................…………………………………...….… ……….
1 1 4 5
BAB II BIDANG REFERENSI REFERENSI BOLA BUMI .........................………………. 2.1 Pengantar .................…………………………………...….…………. .................…………………………………...….…… ……. 2.2 Bidang Bola ...................……………………………….….……….… ...................……………………………….….…… ….… 2.2.1 Menentukan Selisih Lintang ( ∆φ) ...................…………….. 2.2.2 Menentukan Selisih Bujur (∆λ) .................……………….... 2.2.3 Menentukan Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Paralel .............… 2.2.4 Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Paralel ...............………………………………… 2.2.5 Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Meridian ...................……………………………… 2.3 Evaluasi ........................……………………………….….……….…
6 6 6 8 8 9
BAB III BIDANG REFERENSI ELIPSOID BUMI ....................……..……. 3.1. Pengantar ...................…………………………………………………. ...................……………………………………… …………. 3.2. Bidang Geoid ...............……………………………………………… ...............…………………………………… ………… 3.3. Bidang Elipsoid .............……………………………………………… .............…………………………………… ………… 3.4. Parameter Elips dan Parameter Utama Elipsoid .................……… 3.5. Evaluasi .................…………………………………………………. .................……………………………………… …………. 3.6. Sistem Koordinat pada Bidang Elipsoid ...................……………… 3.6.1. Sistem Koordinat Lintang-Bujur Lintang-Bujur Geodetis .............……… 3.6.2. Sistem Koordinat Kartesian Ortogonal XYZ .............……. 3.7. Evaluasi .................…………………………………………………. .................……………………………………… …………. 3.8. Hubungan Matematis antara Sistem Koordinat ...............……….. 3.8.1. Mengkonversi dari Sistem Lintang-Bujur Lintang-Bujur Geodetis ke Sistem Koordinat XYZ ...........…..................................… ...........…...................... ............… 3.8.2. Mengkonversi dari Sistem Koordinat XYZ ke Sistem Lintang-Bujur Lintang-Bujur Geodetis ............................................……. .............................. ..............……. 3.8.3. Lintang geosentris φ dan lintang geodetis ϕ ..................... 3.8.4. Lintang terreduksi ψ dan dan lintang geodetis ϕ ..................... 3.9. Evaluasi ..................…………………………………………………. ..................………………………………………… ……….
10 11 12 13 13 13 14 15 18 19 19 21 23 24 24 27 28 30 31
BAB IV PERHITUNGAN PADA BIDANG LENGKUNG LENGKUNG ............................ 4.1. Jari-jari Busur pada Elipsoid ............…………………………….. 4.1.1. Jari-jari Jari-jar i Busur Meridian (M) dan Busur Normal Utama (N) ..………..........………………… 4.1.2. Jari-jari Irisan Normal ...……….........…………………….. 4.1.3. Jari-jari Bola Pengganti .....……….........………………….. 4.2. Evaluasi .....................................................……….…………………….. ................................. ....................……….…………………….. 4.3. Panjang Busur Dua Titik pada Elipsoid ..........…………………….. 4.3.1 Panjang Busur Meridian antara Dua Titik ......……………. 4.3.2 Keliling Elipsoid pada Bidang Meridian .....………………. 4.3.3 Penentuan Lintang Titik berdasarkan Panjang Busur Meridian dari Ekuator …………............. 4.3.4 Panjang Panjang Busur sepanjang sepanjang Garis Paralel ..…………………. 4.4. Luas Bidang pada Permukaan Elipsoid ......…………………….. ..... .…………………….. 4.5. Garis Geodesik .................................................................. .............................. ............................................ ........ 4.6. Konvergensi Meridian Meridian .................................................................. .............................. .................................... 4.7. Ekses Sferis ................................................................ ............................ ......................................................... ..................... 4.8. Evaluasi ................................................................... ............................... ............................................................... ........................... BAB V SOAL POKOK GEODESI ...………………….………................... 5.1 Pengertian .................................................................. .............................. ......................................................... ..................... 5.2 Metode Soldner .....……………………………….............…………… .....…………………………… ….............…………… 5.3 Metode Legendre ...………………………………............…………. ...………………………… ……............…………. 5.4 Metode Gausz ..……………………………….............…………….. ..…………………………… ….............…………….. A. Untuk Bidang Bola ....………………............................……….. ....…………………............……………… B. Untuk Bidang Elipsoid 5.5 Evaluasi ................................................................ ............................ ................................................................. ............................. Sumber Pustaka
.......………………………………………………................… .......………………………………… ……………................…
32 32 32 34 34 35 36 36 38 38 39 40 42 43 44 45 46 46 48 51 53 53
56 61 62
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3 Gambar 1.4 Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6 Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 Gambar 3.7 Gambar 3.8 Gambar 3.9 Gambar 3.10 Gambar 3.11 Gambar 3.12 Gambar 3.13 Gambar 3.14 Gambar 4.1 Gambar 4.2 Gambar 4.3 Gambar 4.4 Gambar 4.5 Gambar 4.6 Gambar 4.7 Gambar 4.8 Gambar 4.9 Gambar 5.1 Gambar 5.2 Gambar 5.3 Gambar 5.4 Gambar 5.5 Gambar 5.6
Pengukuran Erastosthenes Erastosthenes ................……………….. Perhitungan Keliling Bumi ..................……………….. Bentuk Bumi seperti Elips Putar ................................. ................................ . Teknik Pengukuran Triangulasi .................................. ............................ ...... Bola Bumi ...................…………………………………… Sudut Lintang P ....................................………………… ............................... .....………………… Penentuan Bujur/Meridian Bujur/Meridian .................………………… Jari-jari Lingkaran Paralel ..................……………….. Jarak PQ sepanjang lingkaran paralel ....................….. Jarak PQ sepanjang lingkaran meridian ....................… Bidang Geoid ................……………………………….. Permukaan bumi dan bidang acuan .................……... Parameter Elips .................…………………………….. Bidang Elipsoid Bumi .................………………………. Sistem Koordinat Lintang-Bujur Lintang-Bujur Geodetis ...............…. Lintang Geosentris φ ................…………....................... Lintang Terreduksi ψ ..............…………....................... Sistem Koordinat Ortogonal XYZ untuk Bidang Elipsoid ................………….................... Proyeksi Sistem Koordinat XYZ ..................………..…. Sistem Koordinat Ortogonal XYZ untuk Acuan Bidang Datar ..........................………………… Hubungan Sistem Koordinat ϕ,λ dan XYZ .............….. Relasi Sistem Koordinat XY dan λ ..............……….. Hubungan antara φ dan ϕ ..............…………………… Hubungan antara ψ dan dan ϕ ..............…………………… Busur Meridian dan Busur Normal Utama ............….. Irisan Normal AB ...........………………………...…… Panjang Busur Meridian ...............…………………… Keliling Elipsoid sepanjang Meridian .................……… Busur Paralel .................…………….....……………….. Luas Bidang di Permukaan Elipsoid ................…….. Irisan Normal dan Garis Geodesik ..............……….. Konvergensi Meridian ...............….....……………….. Ekses Sferis . .............................….....……………….. .......................... ...….....……………….. Sistem Koordinat Kutub dan Kartesian ..............…….. SPG 1 ..................................…………………………. .............................. ....…………………………... .. SPG 2 ..............……………................………………… Metode Soldner .............…................………………… Metode Legendre ...........…................………………… Metode Gausz ...........……................…………………
1 2 2 3 6 7 7 9 10 11 13 14 15 15 19 20 20 21 21 22 24 27 28 30 32 34 36 38 39 40 42 44 44 46 47 47 48 51 53
DAFTAR TABEL Halaman
Tabel 3.1. Tabel 3.2. Tabel 5.1
Berbagai Jenis Elipsoid di Dunia ......................……………. Parameter Utama Elipsoid yang digunakan di Indonesia .....................……………………… Penentuan Azimut Berdasarkan Kuadran ..........................
16 17 50
BAB I PENDAHULUAN Tujuan Instruksional Khusus: Instruksional Khusus: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang sejarah dan teknik sederhana penentuan dimensi bumi
1.4 Sejarah Penentuan Dimensi Bumi Geodesi adalah cabang ilmu matematika terapan, yang melalui pengukuran di permukaan bumi, bertujuan menentukan (a) bentuk dan ukuran bumi, (b) posisi atau koordinat suatu titik, (c) panjang dan arah garis, dan (d) mempelajari medan gravitasi bumi. Penentuan bentuk dan ukuran bumi ini dilakukan oleh manusia dari zaman ke zaman. Manusia berkepentingan dengan ketepatan dimensi bumi. Dalam pandangan kuno, bumi ini dianggap bidang datar yang berbentuk seperti sebuah piringan dan menjadi pusat dari seluruh alam semesta. Pythagoras (495 SM) adalah orang pertama yang menyatakan bahwa bumi ini bukanlah pipih namun bulat seperti bola, yang kemudian didukung oleh Aristoteles (340 SM) dan Archimedes (250 SM). Namun pernyataan itu belum didasari penelitian dan pengukuran atas dimensi bumi melainkan hanya didasarkan pada fakta a.l, pada waktu terjadi gerhana bulan, bayangan bumi berbentuk lingkaran, dan pada waktu meninggalkan pantai, kapal berangsur-angsur berangsur-angsur menghilang seolah-olah tenggelam ke bawah garis horison. Berdasarkan keyakinan bahwa bumi itu bulat, kemudian Erastosthenes (250 SM) melakukan percobaan berdasarkan rumus matematika sederhana untuk menentukan keliling bumi dengan cara sbb.: (lihat gambar 1.1):
Sinar matahari Tepat di atas Sudut A = 7,2o
Tongkat
Bayangan Tongkat
Alexandria
5000 stadia
Sumur Syene
Gambar 1.1 Pengukuran Erastosthenes Erastost henes Mula-mula Erastosthenes mendirikan tongkat di Alexandria dan membuat sumur di Syene. Jarak antara ke dua lokasi itu 5000 stadia (1 stadia = 185 meter). Ketika matahari tepat di atas sumur di Syene, diukurlah panjang bayangan tongkat. Dari harga tinggi
tongkat dan panjang bayangan diperoleh sudut = 7,2 o. Karena sinar matahari yang jatuh ke bumi dianggap sejajar, maka besar sudut ini sama dengan besar sudut di pusat A. Alexandria Sudut A = 7.2o
sudut A = 7.2
S R
S
o
R A
Syene
Keliling Bumi
A
Gambar 1.2 1.2 Perhitungan Keliling Bumi Berdasarkan data tersebut, Erastosthenes menghitung keliling bumi sbb: Keliling Bumi 360o = S Sudut A o Keliling Bumi =
360o o
7,2
.......................................................... ............................... ...........................
(1.1)
x 5000 stadia = 250.000 stadia ≈ 46.250 km
Hasil perhitungan tersebut 16% lebih besar dari hasil ukuran masa kini, yaitu sekitar 40.009 km. Namun, kemampuan ilmuwan pada masa itu memperoleh angka hasil seperti itu, sungguhlah sangat mengagumkan. Namun, apabila para ilmuwan sebelumnya menganggap bumi itu berbentuk bulat seperti bola, ternyata ilmuwan ilmuwan terkemuka Huygens dan Newton berpendapat lain. Mereka menyatakan bahwa bumi ini sebetulnya tidaklah benar-benar bulat seperti bola melainkan berbentuk agak lonjong seperti jeruk orange. Pendapat itu diperkuat oleh hasil pengukuran busur meridian oleh para ahli dari Lembaga Pengetahuan Perancis yang menyimpulkan bahwa bumi berbentuk elips putar (elipsoid) dengan sumbu minor sebagai sumbu putar (gambar 1.3). KU Sumbu Minor sebagai sumbu putar
Busur Meridian BUMI
Bentuk elips diputar
KS Gambar 1.3 Bentuk Bumi seperti Elips Putar
Teknik pengukuran untuk menentukan dimensi bumi tersebut dilakukan berdasarkan kombinasi pengukuran astronomi dan pengukuran triangulasi. Pengukuran astronomi adalah pengukuran untuk mendapatkan posisi di bumi berdasarkan pengamatan benda langit (umumnya benda langit yang digunakan adalah bintang). Teknik triangulasi adalah teknik pengukuran di permukaan bumi dengan menggunakan jaring-jaring segitiga untuk mendapatkan koordinat titik-titik sudut. Dalam pengukuran triangulasi ini diukur seluruh sudut setiap segitiga. Pengukuran jarak hanya dilakukan pada garis basis, umumnya pada awal dan akhir jaringan (lihat gambar 1.4, garis basis adalah PO dan RS). Garis basis adalah garis di daerah relatif datar yang diukur jaraknya dengan sangat teliti. Melalui pengukuran sudut dan jarak ini dikombinasikan dengan pengukuran secara astronomis dapatlah ditentukan koordinat titik-titik sudut jaring-jaring tersebut. Titik-titik sudut triangulasi umumnya adalah tugu-tugu yang dipasang di puncak gunung atau bukit. Pengukuran sudut lebih diutamakan pada masa itu sebab alat pengukur sudut teodolit yang digunakan telah mampu mengamat sudut arah yang relatif jauh (mampu berjarak berkilo-kilometer), berkilo-kilometer), sedangkan alat pengukur jarak saat itu masih sederhana sehingga sulit mengukur jarak jauh secara langsung. F B
J
D
H
P
S
Q
R
A
E
C
G
I
K
Gambar 1.4 Teknik Pengukuran Pengukuran Triangulasi Triangulasi Teknik triangulasi pertama kali diperkenalkan oleh Schnellius pada tahun 1615 untuk mencari panjang 1 o busur meridian. Teknik ini dikerjakan di Belanda pada sekitar lintang rata-rata 52o utara ekuator. Dari hasil pengukuran tersebut diperoleh bahwa panjang 1 o busur meridian = 107,7 km. Tahun 1669, Picard mendapat 1o busur meridian = 111,211 km dari pengukuran triangulasi di Perancis pada lintang rata-rata 48 o utara. Tahun 1736, Maupertius, Clairaut, dan Celcius mendapat 1 o busur meridian = 111,949 km dari pengukuran triangulasi di Lapland pada lintang rata-rata 66 o utara. Tahun 1735, Bouger dan Godin Lacondamina mendapat 1o busur meridian = 110,6 km dari pengukuran triangulasi di Peru pada lintang rata-rata 10o. Di samping hasil-hasil tersebut, banyak para ahli lainnya tercatat dalam sejarah penentuan bentuk dan ukuran bumi.
1.5 Bidang Referensi Bumi Dalam pengukuran dan pemetaan permukaan bumi diperlukan suatu bidang referensi (disebut juga bidang datum atau bidang acuan) yang akan dijadikan sebagai landasan atau dasar dalam perhitungan dan penempatan posisi titik. Bidang acuan tersebut ada 3 (tiga) macam, yang pemilihannya tergantung luas wilayah pemetaan dan tingkat ketelitian peta yang diinginkan, Ketiga bidang acuan itu adalah bidang datar, bidang bola, dan bidang elipsoid. Untuk keperluan praktis, pemetaan daerah dengan ukuran jarak maksimum kurang dari 55 km, dimana bumi masih dapat dianggap datar, maka dapat digunakan bidang acuan bidang datar, sedangkan untuk ukuran jarak antara 55 km sampai dengan 100 km, dimana kelengkungan bumi sudah mulai berpengaruh namun tidak terlalu besar, maka dapat digunakan bidang bola. Untuk pemetaan dalam sistem yang mencakup wilayah lebih luas dengan jarak minimum lebih besar daripada 100 km, dimana kelengkungan bumi sudah sangat berpengaruh, maka bidang acuan harus menggunakan bidang referensi elipsoid. Teknologi penentuan posisi menggunakan GPS (Global Positioning System), yang sistem koordinatnya berlaku secara global, menggunakan bidang referensi elipsoid. Pengikatan titik antar pulau, penentuan batas antar negara, penentuan arah dari suatu titik ke titik lain yang berjarak ribuan kilometer, memerlukan bidang referensi berbentuk elipsoid. Oleh karena itu, ilmu tentang hitung proyeksi geodesi yang mempelajari tentang bidang referensi bumi, perhitungan posisi di atas permukaan elipsoid, dan tentang proyeksi peta harus dipahami dan dikuasai oleh para ahli dan praktisi di bidang survey dan pemetaan. Dalam buku ini hanya dibahas mengenai bidang referensi bumi dan penentuan posisi di atas bidang referensi elipsoid bumi.
1.6 Evaluasi 1.
Jelaskan bagaimana teknik Erastothenes Erastothen es menentukan panjang keliling bumi.
2.
Bagaimana cara Archimedes menunjukkan menunjukka n bahwa bumi itu bulat seperti bola?
3.
Jika bumi dianggap sebagai bola dan diketahui besaran sebagai berikut: A
α
B
O
C 4.
Jarak busur kecil AB = 100.000 kilometer Sudut α = 0o 53’ 51” O adalah pusat bola bumi Hitunglah: a. Keliling lingkaran bumi ABCA b. Jari-jari bola bumi c. Jarak busur kecil BC d. Sudut kecil BOC
Seandainya anda diminta menentukan panjang jari-jari bumi, dimana bumi dianggap berbentuk bola, jelaskan langkah-langkah yang akan anda lakukan (bahan diskusi).
5.
Dalam pengukuran permukaan bumi diperlukan bidang referensi. referensi . Jelaskan kegunaan bidang referensi.
6.
Sebutkan 3 jenis bidang referensi referens i bumi. Jelaskan perbedaan masing-masing. masing-mas ing.
7.
Kapankah pemakaian ke 3 jenis bidang referensi tersebut? Jelaskan jawaban anda.
8.
Apakah kepanjangan dari GPS? Untuk apakah teknologi GPS itu? Mengapa teknologi ini memerlukan bidang acuan elipsoid?
9.
Apakah yang dimaksud pengukuran astronomi? Dapatkah pengukuran posisi benda langit digunakan untuk menentukan posisi di bumi?
10. Salah satu teknologi pengukuran bumi adalah dengan metode triangulasi. Jelaskan secara singkat metode pengukuran ini. 11. Dari beberapa pengukuran triangulasi untuk menentukan panjang busur meridian, berapa kilometerkah kira-kira panjang 1 o busur meridian? Menurut anda, samakah panjang 1o busur meridian di dekat katulistiw k atulistiwa a dan di dekat kutub? 12. Mengapa teknik pengukuran triangulasi triangulas i dulu sangat populer? Dan, mengapa kini tidak lagi populer, bahkan cenderung ditinggalkan? 13. Apakah manfaatnya seseorang yang berprofesi di bidang survey dan pemetaan mempelajari Hitung Proyeksi Geodesi? 14. Menurut anda, anda, perlukah perlukah penentuan penentuan bidang bidang referensi bumi dilakukan dilakukan dalam dalam perancangan sistem informasi geografis?
BAB II BIDANG REFERENSI BOLA BUMI Tujuan Instruksional Khusus: Instruksional Khusus: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang beberapa istilah geografis dalam bidang bola bumi, menghitung selisih lintang dan bujur, menentukan panjang jari-jari lingkaran paralel, dan menghitung jarak lengkung di bidang bola bumi
2.4 Pengantar Bidang referensi bumi adalah bidang beraturan yang digunakan sebagai landasan atau dasar dalam penentuan posisi titik di atas atau dekat permukaan bumi menurut perhitungan-perhitungan perhitungan-perhitungan matematis. Bidang acuan tersebut ada 3 (tiga) macam, yaitu bidang datar, bidang bola, dan bidang elipsoid. Penggunaan bidang datar sebagai acuan dalam penentuan posisi telah dibahas secara mendetail dalam mata kuliah Ilmu Ukur Tanah. Pada bab II ini materi pembahasan adalah mengenai bidang referensi bola. 2.5
Bidang Bola Untuk daerah dengan luasan kecil, yaitu 55 x 55 km persegi sampai dengan 100 x
100 km persegi, atau untuk keperluan yang tidak mensyaratkan akurasi tinggi, bumi dapat dianggap sebagai bola dengan jari-jari R = 6.370.300 meter. Bola adalah benda putar yang diperoleh dari perputaran bidang lingkaran dengan sumbu putar pada garis diameternya. Sumbu putar bola bumi adalah adalah garis yang menghubungkan menghubungkan titik kutub utara dan kutub selatan. Kutub Utara (KU) Kota Greenwich
Lingkaran Paralel/ Lintang Bidang Ekuator
Sumbu utar
Lingkaran Meridian/ Bujur Kutub Selatan (KS) Gambar 2.1 Bola Bumi
Beberapa istilah yang perlu dipahami mengenai sistem bola bumi adalah: a. Bidang ekuator atau bidang katulistiwa katulistiwa adalah adalah bidang yang melalui melalui pusat bumi dan tegak lurus sumbu yang melalui kutub utara dan selatan. Perpotongan bidang ekuator dengan bola bumi disebut garis ekuator atau garis katulistiwa.
b. Bidang paralel adalah bidang yang sejajar dengan bidang ekuator, baik di sebelah utara ataupun selatan ekuator. Perpotongan bidang paralel dengan bola bumi disebut lingkaran paralel atau garis paralel. c. Lintang suatu titik adalah besar sudut yang yang diukur dari bidang ekuator sampai sampai ke garis garis yang menghubungkan titik pusat bumi dan titik tersebut. Bila terletak di sebelah utara ekuator disebut lintang utara dan bila di selatan ekuator disebut lintang selatan. Besar sudut lintang berkisar dari 0 o (bidang ekuator) sampai dengan 90 o (kutub). Lintang utara diberi tanda positip (lebih sering tidak bertanda), lintang selatan diberi tanda negatip. Bahasa Inggrisnya lintang adalah latitude. Umumnya lintang diberi simbol φ. Titik-titik yang terletak pada lingkaran paralel sama akan mempunyai lintang sama. Kutub Utara Lingkaran Paralel P
Lintang P Pusat Bumi
Bidang Ekuator Kutub Selatan
Gambar 2.2 Sudut Lintang P d. Bidang meridian meridian adalah bidang bidang besar yang yang melalui kutub utara utara dan kutub selatan selatan dan tegak lurus bidang ekuator. Perpotongan bidang meridian dengan bola bumi disebut lingkaran meridian atau garis meridian. e. Bujur suatu titik adalah besar besar sudut pada bidang ekuator yang yang diukur dari bidang meridian nol (bidang meridian yang melalui Greenwich) sampai ke bidang meridian yang melalui titik tersebut, yang jika arahnya ke timur disebut bujur timur / BT dan jika arahnya ke barat disebut disebut bujur barat barat / BB.
Telah disepakati disepakati secara internasional
bahwa meridian yang melalui Greenwich, kota di dekat London Inggris, mempunyai harga bujur sama dengan 0 o (nol derajat). Besar bujur berkisar dari 0 o sampai dengan 180o. Bahasa Inggrisnya bujur adalah longitude. Umumnya bujur diberi simbol λ.
λ = 0o Arah ke barat Greenwich Arah ke timur
o
110 o
135
KU
P
λp = 110o BB
Q o
λq = 135 BT
λ = 180o
Gambar 2.3 2.3 Penentuan Bujur/Meridian Bujur/Meridian
Dalam sistem koordinat geografis, posisi suatu titik di bumi dinyatakan dengan besarnya harga lintang φ dan bujur λ. Satuan lintang dan bujur adalah derajat, menit dan detik. 2.5.1
Menentukan Selisih Lintang (∆φ)
Selisih lintang ( ∆φ) antara 2 titik pada bola bumi dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut: a. Jika kedua titik bersama-sama bersama-sama berada di sebelah sebelah utara atau keduanya di selatan: selatan: Selisih lintang ( ∆φ)
= | φ1 – φ2 |
........….. (2.1)
b. Jika satu titik berada di utara dan titik titik lainnya di selatan: selatan: Selisih lintang ( ∆φ)
=
φ1 + φ2
………… (2.2)
Catatan: perhitungan di atas tidak memperhatikan tanda minus untuk lintang selatan 2.5.2
Menentukan Selisih Bujur (∆λ)
Selisih bujur ( ∆λ) antara 2 titik pada bola bumi dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut: a. Jika kedua titik bersama-sama bersama-sama berada di sebelah sebelah barat atau keduanya di timur: Selisih bujur (∆λ)
……. (2.3)
= | λ1 – λ2 |
b. Jika satu titik berada di timur dan titik titik lainnya di barat:
λ1 + λ 2 ; untuk 0o ≤ λ1 + λ 2 ≤ 180o Selisih bujur ( ∆λ ) = 360o − (λ1 + λ 2 ) ; untuk 180o < λ1 + λ 2 ≤ 360o
…… (2.4)
Contoh soal 2.1: Tentukan selisih lintang dan bujur A dan B berikut ini: a. A (32o 43’ 23” LU, 56o 37’ 09” BB) dan B (56o 27’ 05” LU, 71 o 15’ 54” BT) b. P (19o 17’ 26” LS, 48 o 45’ 11” BB) dan Q (15o 40’ 35” LU, 151 o 31’ 29” BT) c. K (10o 22’ 49” LU, 118 o 17’ 29” BB) dan L (4o 10’ 23” LS, 54 o 18’ 08” BB) Jawab: a. Karena titik A dan B keduanya berada di sebelah utara, berdasarkan pers (2.1) diperoleh ∆φ = | 56o 27’ 05” – 32o 43’ 23” | = 23o 43’ 42”. Karena titik A di sebelah barat dan B di timur, maka berdasarkan pers (2.4) diperoleh o
o
o
∆λ = 71 15’ 54” + 56 37’ 09” = 127 53’ 03”
Ket: karena ∆λ ≤ 180o maka ∆λ = λ1 + λ 2 = 127o 53’ 03”
b. Titik P di sebelah selatan dan Q di utara, maka berdasarkan pers (2.2) diperoleh ∆φ = 15o 40’ 35” + 19o 17’ 26” = 34o 58’ 01”.
Titik P di sebelah barat dan Q di timur, maka berdasarkan pers (2.4) diperoleh o o o ∆λ = 151 31’ 29” + 48 45’ 11” = 200 16’ 40”
Namun karena ∆λ >1800 maka berlaku ∆λ = 360o – (λ1 + λ2) = 159o 43’ 20” c. Titik K di sebelah utara utara dan L di selatan, maka berdasarkan pers (2.2) diperoleh o o o ∆φ = 4 10’ 23” + 10 22’ 49” = 14 33’ 12”.
Titik K dan L keduanya terletak di sebelah barat, maka berdasarkan pers (2.3) diperoleh ∆λ = | 54o 18’ 08” – 118o 17’ 29” | = 63o 59’ 21”
2.5.3
Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Paralel
Panjang jari-jari lingkaran paralel tidak selalu tetap, namun berubah berkaitan dengan besarnya lintang. Semakin besar harga lintang semakin kecil jari-jari lingkaran paralelnya. Untuk lintang 90 o, yaitu di titik kutub, jari-jarinya lingkaran paralelnya = nol, artinya lingkarannya berupa titik. Sedangkan, untuk lintang 0 o, yaitu lingkaran pada bidang katulistiwa, jari-jarinya sama dengan jari-jari bola bumi = R. Jadi, panjang jari-jari lingkaran paralel tergantung pada besarnya lintang. Seringkali diperlukan informasi atas hasil perhitungan panjang jari-jari lingkaran paralel pada suatu lintang tertentu. Lingkaran Paralel
U P
P’ O
φ
Jari-jari Lingkaran Paralel melalui P
P’
ϕ
Jari-jari Bumi
R
T Sudut lintang P
O
ϕ
P
R T
S Gambar 2.4 Jari-jari Lingkaran Paralel Dari gambar 2.4 terlihat bahwa, o
φ = sudut lintang titik P,
o
OP = R = jari-jari bola,
o
PP’ = jari-jari jari-jari lingkaran paralel melalui titik P. P.
Dari segitiga OPP’ yang siku di P’, dimana sudut OPP’ = φ, panjang OP = R, maka panjang jari-jari lingkaran paralel PP’ adalah: PP’ = R cos φ
……………… (2.5)
Rumus ini berlaku baik untuk lingkaran paralel di sebelah utara maupun lingkaran paralel di sebelah selatan.
Contoh soal 2.2: Jika jari-jari bumi = 6.370.300 meter, tentukan panjang jari-jari lingkaran paralel di titik M yang mempunyai lintang = 35 o 12’ 47” U. Jawab: Panjang jari-jari lingkaran paralel di M = R cos φ = 6.370.300 x cos (35 o 12’ 47”) = 5.204.621,289 meter 2.5.4
Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Paralel
Terkadang diperlukan informasi mengenai jarak antara dua titik P dan Q yang terletak pada lintang yang sama, atau disebut juga terletak sepanjang lingkaran paralel yang sama. Yang dimaksud jarak antara dua titik sepanjang lingkaran paralel adalah panjang busur terpendek dari kedua titik tersebut. U O’
Lingkaran paralel
∆λ Q
φ
P
O
S Gambar 2.5 Jarak PQ sepanjang lingkaran paralel Berdasarkan gambar 2.5 dapat dijabarkan persamaan: o
Jari-jari lingkaran paralel paralel O’P = O’Q = R cos φ
o
Panjang busur PQ besar sudut ∆ λ = keliling lingkaran paralel 360o
o
Panjang busur PQ ∆λ = 2 π R cos ϕ 360o
o
Panjang busur PQ =
∆λ 360o
x 2 π R cos ϕ
.......……....... (2.6)
Contoh soal 2.3 : Suatu kota A terletak pada kira-kira 9 o S, 128o T, dan kota B pada kira-kira 9o S, 142o T. T . Hitung panjang busur antara kedua kota itu jika R bumi = 6.370.300 meter. Jawab: Panjang busur paralel PQ =
=
142o − 128o 360
o
∆λ 360o
x 2 π R cos ϕ
x 2 π x 6.370.300 cos ( −9o )
= 1.537.394,120 meter.
2.5.5
Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Meridian
Jika titik P dan Q terletak pada lingkaran meridian atau bujur yang sama maka dapat ditentukan jarak PQ sepanjang meridian tersebut. Yang dimaksud jarak antara dua titik sepanjang lingkaran meridian adalah panjang busur terpendek dari kedua titik tersebut. U R
φP
P Q
φq S Gambar 2.6 Jarak PQ sepanjang lingkaran meridian
Untuk bola bumi, bidang meridian merupakan lingkaran dengan jari-jari = jari-jari bumi = R. Besar jari-jari R ini tidak tergantung pada posisi bujur. Karena itu panjang busur PQ dapat dihitung dengan persamaan: Panjang busur meridian PQ =
∆ϕ 360o
x2πR
.......……
(2.7)
dimana ∆ ϕ = selisih lintang Contoh soal 2.4 : Hitung panjang busur P ( φ = 6o 06’ 19” U) dan Q ( φ = 12o 34’ 29” S). Keduanya terletak bujur 110o 12’ 35”. Diketahui R bumi = 6.370,3 km. Jawab: Selisih lintang ∆φ = 6o 06’ 19”+12o 34’ 29” = 18o 40’ 48” Panjang busur meridian PQ =
∆ϕ o
360
x 2 π R = 2.076.893,010 m
2.6 Evaluasi 1. Untuk pemetaan daerah seluas 1.000 hektar, bidang referensi referens i apakah yang anda pilih, bidang datar, bidang bola, atau bidang elipsoid? Beri penjelasan singkat. 2. Apakah yang dimaksudkan dimaksudkan dengan garis ekuator atau katulistiwa? katulistiwa? Berapa derajat lintang garis ekuator? Benarkah bahwa garis ekuator adalah proyeksi “gerakan” matahari mengelilingi bumi? Benarkah sumbu kutub utara-selatan tegak lurus bidang ekuator? Jika jari-jari bola bumi = 6.370.300 meter, berapakah jari-jari lingkaran ekuator? 3. Apakah yang dimaksud dengan lingkaran paralel? Berapa derajat sudut antara lingkaran paralel/lintang dan sumbu kutub utara-selatan? Benarkah jari-jari lingkaran paralel selalu tetap walaupun sudut lintangnya berubah? Benarkah lintang titik kutub adalah 90o? Jika benar, berapakah jari-jari lingkaran paralelnya? Bagaimana membedakan lintang utara dan selatan? Berapakah lintang Indonesia? Berapakah batas terbesar dan terkecil sudut lintang? Apakah istilah lintang dalam bahasa Inggris? 4. Apakah yang dimaksud lingkaran meridian? Benarkah bahwa jari-jari lingkaran meridian selalu berubah sesuai dengan perubahan sudut bujurnya? Berapakah sudut meridian Greenwich? Apakah yang dimaksud bujur timur dan bujur barat? Berapakah batas terbesar dan terkecil sudut bujur? Berapakah letak bujur Indonesia? Apakah istilah bujur dalam bahasa Inggris? Adakah keterkaitan antara perbedaan bujur dengan perbedaan waktu? 5. Jika keliling garis katulistiwa katulistiwa = 40.000 kilometer berapakah jarak jarak antara 2 titik di katulistiwa yang beda bujurnya = 15”? 6. Jika titik P mempunyai mempunyai posisi posisi lintang lintang φ = 5o 21’ 34” LU dan λ = 124o 21’ 34” BB, sedangkan titik Q mempunyai selisih lintang ∆φ = 7o 33’ 02” pada arah selatan dan selisih bujur ∆λ = 3o 38’ 29” pada arah barat, tentukan posisi lintang dan bujur titik Q. 7. Pada lintang berapakah berapakah jari-jari jari-jari lingkaran paralelnya paralelnya = 10 km? Diketahui Diketahui jari-jari bumi bumi = 6.370.300 meter. 8. Suatu kota kota P terletak pada pada 12o U, 114o T, dan kota Q terletak di sebelah baratnya pada lintang yang sama. Tentukan bujur Q jika jarak busur antara kedua kota tersebut = 10.000 km dan R bumi = 6.370.300 meter. 9. Jika kota K dan L terletak terletak sepanjang sepanjang garis meridian meridian yang sama dan jarak busur antara keduanya = 5.000 km, tentukan selisih lintang keduanya. keduanya. 10. Mengapa dalam perhitungan jarak lengkung antara 2 titik pada meridian yang sama tidak memperhitungkan posisi bujurnya?
BAB III BIDANG REFERENSI ELIPSOID BUMI Tujuan Instruksional: Instruksional: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang (a) bidang referensi bumi, meliputi bidang geoid dan bidang elipsoid bumi, (b) sistem koordinat geografis, geodetis, dan ortogonal (kartesian), dan (c) hubungan matematis antara sistem koordinat,
3.10. Pengantar Seperti dijelaskan di muka bahwa bidang referensi yang paling mendekati bentuk bumi adalah bidang elipsoid. Namun untuk keperluan pengukuran bumi dikenal juga suatu bidang lain yang disebut bidang Geoid. 3.11. Bidang Geoid Salah satu tugas ilmu geodesi adalah menentukan koordinat titik, jarak dan azimut garis di muka bumi untuk keperluan praktis maupun ilmiah. Namun, karena bentuk permukaan bumi sangat tidak beraturan, yaitu adanya gunung, dataran, lembah, bahkan palung laut, diperlukan suatu bidang acuan untuk perhitungan dalam penentuan posisi. Untuk keperluan praktis, misalnya untuk pengukuran sipil, dapat digunakan suatu bidang yang disebut bidang Geoid yang mengacu pada tinggi permukaan laut rata-rata (MSL = Mean Sea Level). Bidang Geoid ini terpakai untuk keperluan praktis karena ada anggapan, walaupun ternyata keliru, bahwa permukaan air laut dimana-mana mempunyai ketinggian sama. Pada kenyataannya, tinggi muka laut rata-rata Laut Jawa berbeda dengan tinggi muka laut rata-rata Samudera Hindia, dimana tinggi muka Laut Jawa lebih tinggi daripada Samudera Hindia. gunung Bidang Geoid
muka laut rata-rata Arah gravitasi
palung laut
Gamba Gambarr 3.1 Bidan Bidan Geoid Geoid Bidang geoid adalah bidang nivo pada ketinggian muka laut tenang rata-rata. Bidang nivo adalah bidang yang tegak lurus arah gravitasi bumi. Dengan demikian, bidang geoid ini tegak lurus arah gravitasi bumi. Namun, karena arah gravitasi terpengaruh oleh distribusi massa bumi sedangkan distribusi tersebut tidak merata maka arah gravitasi menjadi tidak beraturan dan tidak mengarah ke pusat bumi sehingga dengan demikian bidang geoid pun menjadi tidak beraturan. Di samping itu, sebagaimana telah dijelaskan
di muka, tinggi muka laut di berbagai tempat tidak selalu sama, maka pemakaian bidang geoid sebagai acuan perhitungan posisi geodetis teliti menjadi kurang tepat. Untuk itu, diperlukan suatu bidang beraturan yang memenuhi kaidah matematika sebagai bidang acuan. Bidang itu adalah bidang elipsoid. 3.12. Bidang Elipsoid Berdasarkan pengukuran teliti oleh para pakar bidang kebumian, bentuk bumi lebih menyerupai bentuk elipsoid daripada bola. Oleh karena itu untuk pemetaan daerah yang sangat luas, ≥ 100 km2, atau pengukuran dan perhitungan geodetis dengan ketelitian tinggi digunakanlah bidang acuan elipsoid. Bidang elipsoid adalah bidang elips yang diputar pada sumbu minornya. Dimensi (ukuran) bidang elipsoid ini tidak ditetapkan sebarang namun dengan perhitunganperhitungan yang sangat teliti. Agar dapat mewakili bentuk bumi, elipsoid yang dijadikan bidang acuan bumi harus mempunyai kriteria sebagai berikut: (2) dimensi bidang bidang elipsoid elipsoid mendekati mendekati dimensi dimensi bumi bumi sebenarnya sebenarnya (3) orientasi bidang bidang elipsoid searah searah dengan bumi, bumi, artinya sumbu pendek pendek (minor) elipsoid elipsoid berimpit dengan sumbu putar bumi (4) simpangan antara bidang bidang elipsoid elipsoid dan bidang bidang geoid di semua titik harus harus minimum (sekecil mungkin), agar bidang elipsoid hampir berimpit dengan bidang geoid. (5) pusat elipsoid elipsoid harus berimpit berimpit pusat bumi, dan dan bidang ekuator ekuator elipsoid elipsoid harus berimpit berimpit bidang ekuator bumi (6) volume elipsoid sama dengan dengan volume geoid (7) jumlah kuadrat beda tinggi (undulasi N) antara antara elipsoid dan geoid harus minimum. Permukaan Bumi N
Bidang Geoid Muka laut rata-rata
Bidang Elipsoid
Gambar 3.2 3.2 Permukaan bumi dan bidang acuan Bidang elipsoid pada umumnya tidak berimpit dengan bidang geoid. Terkadang bidang elipsoid berada di bawah bidang geoid, dan demikian pula sebaliknya. Selisih tinggi antara bidang elipsoid dan bidang geoid disebut Undulasi (N). Besarnya harga undulasi di setiap titik berbeda. Pengukuran besaran undulasi melibatkan ilmu geodesi fisis (physical geodesy).
3.13. Parameter Elips dan dan Parameter Utama Utama Elipsoid Karena bidang elipsoid adalah bangun elips yang diputar pada sumbu minornya, maka perlu dipelajari lebih dahulu parameter suatu elips. Elips adalah tempat kedudukan titik sedemikian rupa sehingga jumlah jarak titik-titik tersebut terhadap dua titik tertentu (fokus) (f okus) selalu konstan. a. Parameter elips secara umum adalah: C
P Sumbu mayor
Sumbu minor A
O
F1
F2
B
D Gambar 3.3 Parameter Elips o
F1 dan F2, dinamakan titik fokus elips. F1P + F2P = konstan k onstan untuk setiap kedudukan titik P sepanjang garis elips.
o
Garis yang melalui melalui kedua kedua fokus, yaitu garis AB, disebut disebut sumbu mayor mayor (sumbu panjang).
o
Garis yang melalui titik tengah fokus dan tegak lurus sumbu mayor, mayor, yaitu garis garis CD, disebut sumbu minor (sumbu pendek).
o
Titik potong potong kedua kedua sumbu, sumbu, yaitu yaitu titik O, disebut disebut pu pusat sat elips. elips.
o
Titik potong elips dengan dengan kedua kedua sumbu, sumbu, yaitu titik titik A, B, C, dan D, D, disebut puncak elips
b. Parameter utama elipsoid bumi yang digunakan untuk perhitungan geodetis adalah: Kutub Utara Setengah sumbu minor
Pusat Bumi = Pusat Elipsoid
b O
a
Setengah sumbu mayor Permukaan Elipsoid
Kutub Selatan Gambar 3.4 Bidang Elipsoid Bumi
o
setengah sumbu mayor = a
o
setengah sumbu minor = b
o
eksentrisitas kesatu meridian elips (e), dimana: 2
e = o
a2 - b2
e' =
(3.1)
a2 - b 2 b2
a = ( )2 - 1 b
.........................
(3.2)
pemepatan/penggepengan pemepatan/penggepengan (f), dimana: f=
o
........................
eksentrisitas eksentr isitas kedua meridian elips (e’), dimana: 2
o
a
2
b = 1 - ( ) 2 a
a -b a
………………….. (3.3)
angka konstanta (c), dimana c=
a2 b
………………....... (3.4)
Besaran a, b, e, e’, dan f disebut parameter utama elipsoid. Tiap-tiap negara mempunyai bidang elipsoid sendiri yang sesuai untuk keperluan wilayah masing-masing. Berbagai jenis elipsoid di dunia tercantum dalam tabel 3.1. Elipsoid yang digunakan di Indonesia tercantum pada tabel 3.2. Tabel 3.1. Berbagai Jenis Elipsoid di Dunia a (meter)
1/f
Everest (1830)
6.377.276,345 6.377.276, 345
300,8017
Bessel (1841)
6.377.397,155
299,1528128
Clarke (1878)
6.378.199
293,15
Australia, P’cis, Afrika
Hayford (1909)
6.378.388
297,00
Amerika dan Kanada
Krassowsky (1948)
6.378.206
298,30
Rusia
Indonesian 1974
6.378.160
298,247
World Geodetic Datum 1984 (WGS-84)
6.378.137,0 6.378.13 7,0
298,2572223563 298,257222 3563
Datum Geodetik Dunia
Datum Geodesi Nasional 1995 (DGN-95)
6.378.137,0
298,2572223563
Indonesia **) (menggunakan WGS-84)
Nama Elipsoid (tahun)
Negara Pemakai India dan Malaysia Indonesia, Jepang, Korea
Indonesia *)
*) tidak berlaku lagi, sudah diganti dengan DGN-95 **) S.K. Ketua Bakosurtanal Bakosurtanal No. HK.02.04/II/KA/96, 12 Pebruari Pebruari 1996 tentang DGN-95 Catatan: Bila pekerjaan geodesi dilakukan dalam wilayah berukuran ≤ 100 x 100 km, elipsoid dianggap sebagai permukaan bola, sedangkan jika tidak lebih dari 55 x 55 km, dianggap bidang datar.
Tabel 3.2. Parameter Utama Utama Elipsoid Elipsoid di Indonesia Elipsoid Bessel (1841) *)
Elipsoid WGS-84
Parameter
Harga
Parameter
Harga (m)
a
6.377.397 m
a
6.378.137 m
b
6.356.078 m
b
6.356.752,314 m
e2
0,00667437223
e2
0,0066943800
e’
0,00671921880
e’
0.0067394968
f
0,00334277318 0,003342773 18
f
0,0033528107
c
6.398.786 m
c
6.399.593,626m
*) Elipsoid Bessel ini sudah tidak digunakan lagi Contoh soal 3.1 : Dari tabel 3.1 di atas, diketahui bahwa untuk elipsoid Clarke 1878, a = 6.378.199 meter dan 1/f = 293,15. Hitunglah parameter lainnya, yaitu b, e 2, e’2, f dan c. Jawab: a. Mula-mula hitung f = 1/293,15 = 0,003411222 0,003411222 b. Pers. (3.3) dapat diubah diubah menjadi b = a(1-f), sehingga sehingga b = 6.356.441,541 6.356.441,541 meter meter 2
c. Hitung e dengan pers. (3.1) 2
2
e =
2
a2 - b 2 a
2
a 2 - b2
= 0,006810809
d. Hitung e’ dengan pers. (3.2)
e' =
e. Hitung c dengan pers. (3.4)
a2 c= = 6.400.030,932 b
b
2
= 0,006857514
3.14. Evaluasi 1. Apakah yang dimaksud dengan bidang geoid dan elipsoid? Mengapa bidang geoid tidak beraturan bentuknya sedangkan bidang elipsoid beraturan? 2. Bidang acuan apakah yang dipergunakan dalam pemetaan daerah seluas lebih dari 10 juta hektar, apakah bidang datar, bola, atau elipsoid? Jelaskan alasan anda? 3. Hasil pengukuran pengukuran tinggi di lapangan lapangan yang yang mengacu pada pada titik peil (titik tinggi tinggi di pantai yang diukur berdasarkan tinggi muka laut rata-rata) mengacu pada bidang geoid atau elipsoid? Jelaskan alasan anda. 4. Apakah akibatnya jika orientasi bidang elipsoid tidak searah dengan orientasi bumi? 5. Dalam bidang bidang elipsoid bumi, bumi, manakah yang yang paling panjang, panjang, jari-jari lingkaran lingkaran ekuator, sumbu mayor, atau sumbu minor? 6. Dalam bidang elipsoid elipsoid bumi, manakah yang berbentuk berbentuk lingkaran: bidang bidang meridian, bidang ekuator, atau bidang paralel? Jika tidak berbentuk lingkaran, berbentuk apakah bidang tersebut? 7. Mengapa bidang elipsoid harus dibuat sedekat mungkin dengan bidang geoid? 8. Mengapa terdapat berbagai berbagai bidang elipsoid dengan berbagai berbagai dimensinya? dimensinya? Bidang elipsoid manakah yang saat ini digunakan sebagai bidang acuan internasional? 9. Pengukuran dengan dengan alat alat GPS (Global Positioning Positioning System) harus mengacu pada pada suatu sistem koordinat internasional. Mengapa demikian? 10. Apakah undulasi N itu? Untuk apakah data undulasi tersebut? 11. Apakah beda be da elips dan elipsoid? Sebutkan Se butkan parameter par ameter elips secara secar a umum dan parameter utama elipsoid. 12. Elipsoid apakah apak ah yang digunakan digunak an di Indonesia? Indonesia ? Mengapa ada 2 jenis j enis elipsoid di Indonesia? 13. Hitung parameter b, e2, e’2, f dan c untuk elipsoid Hayford jika diketahui a = 6.378.388 meter dan 1/f = 297,00
3.15. Sistem Koordinat Koordinat pada Bidang Elipsoid Dalam penentuan posisi secara global pada umumnya digunakan 2 sistem utama yaitu: a. Sistem Koordinat Lintang-Bujur, Lintang-Bujur, yaitu penentuan posisi posisi titik berdasarkan besaran lintang dan bujur. Lintang dan bujur yang mengacu pada bidang bola bumi disebut lintang dan bujur geografis. Lintang dan bujur yang mengacu pada bidang elipsoid bumi disebut lintang dan bujur geodetis, sistem koordinat ini dikenal dengan nama Sistem Koordinat Lintang – Bujur Geodetis. Berkaitan dengan itu, dikenal pula lintang geosentris dan lintang terreduksi b. Sistem Koordinat Koordinat Kartesian Ortogonal Ortogonal XYZ, yaitu penentuan penentuan posisi posisi titik berdasarkan jarak titik tersebut terhadap t erhadap titik awal O pada masing-masing sumbu x, y dan z yang saling tegak lurus. 3.15.1. Sistem Koordinat Lintang-Bujur Geodetis Dalam sistem koordinat ini, posisi suatu titik, misal titik P, ditentukan berdasarkan besar sudut lintang geodetis (ϕ ( ϕ) dan sudut bujur (λ (λ), yang dinyatakan dengan P ((ϕ ϕ, λ). KU Greenwich Q
λ O N
P
ϕ
Ekuator Meridian Nol
R Meridian P
KS Gambar 3.5 Sistem Koordinat Lintang-Bujur Lintang-Bujur Geodetis Geodetis Dalam mempelajari sistem koordinat ini, ada beberapa hal yang harus diperhatikan, a.l.: o
Karena bumi berbentuk berbentuk elipsoid, garis normal normal terhadap bidang bidang meridian yang melalui melalui titik P tidak memotong pusat elipsoid O, kecuali jika P terletak tepat di ekuator (ϕ ( ϕ = 0o) atau di kutub (ϕ (ϕ = 90o), namun memotong sumbu minor di titik N. Garis normal adalah garis yang tegak lurus suatu bidang. Jika bidang acuan adalah bidang bola, maka garis normal dari titik P pasti akan memotong pusat bola.
o
Meridian atau bujur nol adalah meridian atau bujur yang melalui Greenwich.
o
Sudut antara meridian meridian nol dan meridian meridian P disebut bujur geodetis geodetis (λ ( λ) P. Bujur di sebelah timur meridian nol disebut bujur timur, dan di sebelah barat disebut bujur barat. Besarnya sudut bujur adalah dari 0 o sampai dengan 180 o.
o
Sudut antara garis normal yang melalui P, yaitu garis PN, dan bidang ekuator disebut lintang geodetis (ϕ (ϕ) P. Lintang di sebelah utara ekuator disebut lintang utara dan bernilai positip, sedangkan di sebelah selatan ekuator disebut lintang selatan dan bernilai negatip. Besarnya sudut lintang adalah dari 0 o sampai dengan 90 o.
Lintang Geosentris Sudut lintang geosentris (φ ( φ) titik P adalah sudut yang terbentuk oleh garis yang
melalui P ke pusat elips dan bidang ekuator. Jadi ada perbedaan dalam lintang geosentris dan lintang geodetis, sebab pada lintang geosentris, garis dari titik P bukan merupakan garis normal, namun garis yang mengarah ke pusat elipsoid. Lintang geosentris dapat dikonversi ke lintang geodetis, dan sebaliknya. U P b
φ
a O
Lintang geosentris
S Gambar 3.6. Lintang Geosentris φ
Lintang Terreduksi Dalam penentuan lintang terreduksi, ada dua bidang referensi yang digunakan yaitu
bidang elipsoid dan bidang bola. Pusat bola dan elipsoid berimpit, sedangkan panjang jari-jari bola R sama dengan panjang semi mayor elipsoid a. Jika harga z titik P diperpanjang sehingga memotong lingkaran maka akan diperoleh titik P’. Sudut ψ yang terbentuk dari garis P’O dan OR disebut lintang terreduksi (ψ ( ψ ). ). KU
Bidang lingkaran
P’ P
Bidang elips b Q
a O
ψ
z
R Lintang Terreduksi
KS Gambar 3.7 3.7 Lintang Terreduksi ψ
3.15.2. Sistem Koordinat Kartesian Ortogonal XYZ Sistem Kartesian XYZ berpusat di O, dengan sumbu X adalah garis yang melalui perpotongan bidang meridian nol dan bidang ekuator. Meridian nol adalah bidang meridian yang melalui kota Greenwich. Sumbu X positip terletak pada bagian yang mengarah ke Greenwich. Sumbu Y terletak pada bidang ekuator dan tegak lurus sumbu X, dengan Y positip berada pada sebelah kiri sumbu X bila dipandang dari sisi Kutub Utara. Sumbu Z adalah sumbu yang melalui kutub, berimpit dengan sumbu minor elipsoid bumi, dimana Z positip pada arah ke Kutub Utara.
KU Sumbu Z Meridian Nol
P
Greenwich O
Sumbu Y
Ekuator Sumbu X KS Gambar 3.8
Sistem Koordinat Ortogonal XYZ untuk bidang Elipsoid
Apabila gambar 3.8 dilihat dari arah Kutub Utara atau diproyeksikan dengan KU (kutub Utara) sebagai pusat sumbu maka diperoleh gambar 3.9 berikut ini: Y positip Kuadran Kuadran IV I
X negatip
Garis Katulistiwa
KU Greenwich
X positip
Kuadran Kuadran III II
Y negatip Gambar 3.9 Proyeksi Sistem Sistem Koordinat Koordinat XYZ Sistem koordinat ortogonal XYZ untuk bidang elipsoid ini seringkali disalah-tafsirkan disalah-tafsirkan sama dengan sistem koordinat XYZ untuk bidang datar. Kedua sistem ini mirip, namun sesungguhnya mempunyai perbedaan prinsip yang tidak boleh dicampur-adukkan. Dalam sistem koordinat XYZ untuk bidang datar, sumbu X positip mengarah ke timur, sumbu Y positip mengarah ke utara, dan sumbu z menyatakan tinggi atau elevasi terhadap bidang datum, dengan pusat koordinat berada di permukaan bumi (gambar 3.8). Dalam sistem
koordinat XYZ untuk bidang elipsoid, sumbu X positip mengarah ke meridian nol, sumbu Y positip mengarah ke sudut 90 o terhadap sumbu X berlawanan arah jarum jam, dan sumbu z mengarah ke kutub utara, dengan pusat koordinat berada di pusat elipsoid. Sumbu Z = elevasi
Sumbu Y ke arah Utara
Bidang datum datar permukaan bumi
Sumbu X ke arah Timur Gambar 3.10 Sistem Koordinat Koordinat Ortogonal Ortogonal XYZ untuk Acuan Bidang Datar
3.16. Evaluasi 1. Apakah perbedaan prinsip antara lintang geografis, geodetis, geosentris, dan terreduksi? Untuk mempermudah penjelasan, sebaiknya disertai gambar. 2. Apakah perbedaan perbedaan sistem koordinat koordinat XYZ pada bidang bidang datar dengan dengan sistem koordinat koordinat XYZ pada bidang elipsoid. Benarkah jika pusat koordinat XYZ dan sumbu Y kedua sistem tersebut diimpitkan dan sumbu Y positip keduanya mengarah ke utara maka kedua sistem itu menjadi sama? Jelaskan jawaban anda. 3. Seandainya anda berada di pusat bumi, dimana kutub selatan berada di atas anda dan wajah anda menghadap ke depan ke garis meridian nol. Sistem yang digunakan adalah koordinat XYZ untuk bidang elipsoid bumi. Kemanakah arah sumbu x positip, ke depan atau ke belakang anda? Kemanakah arah sumbu Y positip, ke kanan atau ke kiri anda? Kemanakah sumbu Z positip, ke atas atau ke bawah anda? Kutub Selatan Ini anda, di pusat bumi
Sumbu Y positip ?
Sumbu Y positip ?
4. Apakah yang dimaksudkan dengan garis normal? Benarkah bahwa sudut lintang geosentris tidak mengacu pada garis normal? Lintang apa sajakah yang sudutnya mengacu pada garis normal? 5. Berapakah lintang lintang dan bujur rumah rumah atau tempat kos anda? anda? Carilah data data tersebut di peta. Apakah sistem koordinat lintang-bujur tersebut? Geografis atau geodetis? Jika anda juga menemui koordinat dalam X dan Y, sistem apakah yang digunakan?
3.17. Hubungan Matematis Matematis antara Sistem Sistem Koordinat Oleh karena kedua sistem koordinat itu, yaitu sistem koordinat lintang-bujur dan XYZ, sering digunakan, digunakan, maka perlu diketahui hubungan hubungan matematis antara antara keduanya agar perhitungan dalam sistem yang satu dapat dikonversikan ke sistem yang lainnya, demikian pula sebaliknya. 3.17.1.Mengkonversi dari Sistem Lintang-Bujur Geodetis ke Sistem Koordinat XYZ Untuk mengkonversi sistem koordinat diperlukan hubungan matematis antara kedua sistem tersebut. Karena penjabaran rumus-rumusnya cukup rumit dan panjang maka berikut ini hanya diberikan rumus akhir saja. Rumus perhitungan tersebut tergantung pada parameter yang diketahui dan jenis elipsoid yang digunakan. Sumbu Z KU
λ O Ekuator Ekuator
Greenwich P (x,y,z) = (ϕ (ϕ,λ)
ϕ Sumbu X N
Sumbu Y KS Gambar 3.11 Hubungan Sistem Koordinat ϕ,λ dan XYZ a.
Diketahui:
harga lintang-bujur lintang-bujur ( ϕ,λ) suatu titik, besaran parameter elipsoid a, b, dan e 2
Ditanyakan : Koordinat (x, y, z) titik tersebut Rumus yang digunakan adalah : x=
a2 cos ϕ cos λ 2
2
2
2
.…………...... (3.5a)
a cos ϕ + b sin ϕ y=
a2 cos ϕ sin λ 2
2
2
2
...…………….. (3.6a)
a cos ϕ + b sin ϕ z=
a2 (1 - e2 ) sin ϕ 2
2
2
2
a cos ϕ + b sin ϕ
…………..…... (3.7a)
b.
Diketahui:
harga lintang-bujur lintang-bujur ( ϕ,λ) suatu titik, besaran parameter elipsoid a dan e 2
Ditanyakan : Koordinat (x, y, z) titik tersebut Rumus yang digunakan adalah : x=
a cos ϕ cos λ 2
2
..……….…..... (3.5b)
1 - e sin ϕ y=
a cos ϕ sin λ 2
2
……………..... (3.6b)
1- e sin ϕ z=
a(1 - e2 ) sin ϕ 2
2
……………..... (3.7b)
1 - e sin ϕ Catatan: o
o
Jika titik tersebut tersebut berada berada di lintang selatan, selatan, dalam perhitungannya perhitungannya harus diberi tanda tanda o o negatip, misalnya ϕ = 17 09’ 54,1” LS, menjadi ϕ = – 17 09’ 54,1” Jika titik tersebut berada berada di bujur barat, dalam perhitunganny perhitungannya a harus diubah menjadi o o 360 – λ, misalnya λ = 121 42’ 29.5” BB, menjadi λ = 360 – 121o 42’ 29.5“ = 238o 17’ 30.5”
Contoh soal 3.2 : 1. Hitung koordinat xyz titik P (ϕ (ϕ = 17o 09’ 54,1” LU; λ = 121o 42’ 29.5” BT). Elipsoid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67 adalah adalah a = 6.378.160 m, b = 6.356.774, dan e 2 = 0,0066947594 A. Menghitung dengan rumus 3.5a, 3.6a, dan 3.7a: Agar lebih memudahkan perhitungan bagi yang belum terbiasa, ada baiknya rumusrumus tersebut dipecah menjadi beberapa rumus perhitungan yang lebih sederhana. 1. Misalkan A = a cos ϕ, didapat A = 6.094.068,325 6.094.068, 325 2. Misalkan B = b sin ϕ, didapat B = 1.876.042,366 3. Hitung C =
A 2 + B2 = 6.376.300,159 6.376.300,159
4. Hitung D = a. A cos λ = -2,042926 x 1013 5. Hitung E = a. A sin λ = 3,3067204 x 1013 6. Hitung F = a2 (1 − e2 ) sin ϕ = 1,1925577 x 1013 7. Diperoleh x =
D = - 3.203.936,412 meter C
8. Diperoleh y =
E = C
5.185.954,881 5.185.954,881 meter
9. Diperoleh z =
F = C
1.870.297,371 1.870.297,371 meter
B. Menghitung dengan rumus 3.5b, 3.6b, dan 3.7b. 1. Hitung W =
1 − e2 sin2 ϕ =
0,999416895 = 0,999708405
2. Hitung A = a cos ϕ = 6.094.068,325 3. Hitung B = A cos λ = -3.203.002,159 4. Hitung C = A sin λ = 5.184.442,682 5. Hitung D = a(1-e2) sin ϕ = 1.869.752,002 1.869.752, 002 B
6.
x=
7.
y =
C = W
5.185.954,880 5.185.954, 880 meter
8. z =
D = W
1.870.297,371 1.870.297, 371 meter
W
= - 3.203.936,411 3.203.936,411 meter
2. Hitung koordinat xyz titik P (ϕ = 8o 23’ 11,8” LS; λ = 25o 32’ 46,7” BB). Elipsoid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67 adalah adalah a = 6.378.160 m, b = 6.356.774, dan e 2 = 0,0066947594 A. Menghitung dengan rumus 3.5a, 3.6a, dan 3.7a: Agar lebih memudahkan perhitungan bagi yang belum terbiasa, ada baiknya rumusrumus tersebut dipecah menjadi beberapa rumus perhitungan yang lebih sederhana. 1. Misalkan A = a cos ϕ, didapat A = 6.309.954,780 6.309.954, 780 2. Misalkan B = b sin ϕ, didapat B = – 927.147,256 3. Hitung C =
A 2 + B2 = 6.377.705,807 6.377.705,807
4. Hitung D = a. A cos λ = 3,63113 x 1013 5. Hitung E = a. A sin λ = -1,73557 x 1013 6. Hitung F = a2 (1 − e2 ) sin ϕ = -5,89367 x 1012 7. Diperoleh x =
D = 5.693.480,469 meter C
8. Diperoleh y =
E = – 2.721.301,281 2.721.301,281 meter C
9. Diperoleh z =
F = C
– 924.104,339 meter
3.17.2.Mengkonversi dari Sistem Koordinat XYZ ke Sistem Lintang-Bujur Geodetis Sebagai kebalikan dari perhitungan di atas, kini yang diketahui adalah harga P (x,y,z) dan yang akan ditentukan adalah harga lintang dan bujur titik P tersebut. Rumusrumus berikut digunakan untuk menentukan harga ϕ dan λ jika diketahui harga x,y,z dan besaran parameter elipsoid e. Langkahnya adalah sebagai berikut: (a) Hitung harga λ dengan rumus: tan λ =
y x
…………………………….
(3.8)
…………………………….
(3.9)
(b) Hitung harga ϕ dengan rumus: tan ϕ =
z cos λ x (1 − e2 )
Catatan: a. Jika z positip maka lintangnya utara, jika z negatip maka lintangnya selatan. b. Dalam menghitung λ perlu diperhatikan ketentuan berikut (lihat gambar 3.12) o
jika titik tersebut berada berada pada pada kuadran I (x positip positip dan y positip), positip), hasil perhitungan perhitungan nilai λ positip dan bujurnya adalah bujur Timur.
o
jika berada pada kuadran kuadran II (x positip dan y negatip), negatip), hasil perhitungan perhitungan nilai nilai λ negatip, nilai λ tersebut dikalikan –1 agar bernilai positip, dan bujurnya adalah bujur Barat.
o
jika berada pada kuadran kuadran III (x negatip dan dan y negatip), negatip), hasil perhitungan nilai λ positip, nilai λ akhir = 180o – nilai λ mula-mula, dan bujurnya adalah bujur Barat.
o
jika berada pada pada kuadran kuadran IV (x negatip negatip dan y positip), hasil perhitungan nilai λ negatip, nilai λ akhir = 180o + nilai λ mula-mula dan bujurnya adalah bujur Timur. o
λ = 90 BT
Y positip Garis Katulistiwa
o
λ = 180 X negatip
Kuadran IV
Kuadran I
KU Greenwich Kuadran III o
λ = 90 BB
λ = 0o X positip
Kuadran II Y negatip
Gambar 3.12 Relasi Sistem Sistem Koordinat Koordinat XY dan λ
Contoh soal 3.3 : 1. Hitung ϕ dan λ untuk titik P (-3.203.936,411 m, 5.185.954,880 m, 1.870.297,371 m). Digunakan bidang elipsoid GRS-67. Jawab: 1. Hitung
tan λ =
y 5.185.954,880 = = − 1,61861979 . Karena x negatip dan y x − 3.203.936,411
positip, maka titik P berada pada kuadran IV. 2. λ = arctan (-1,61861979) = - 58 o 17’ 30,47” + 180o (ditambah 180o karena terletak di kuadran IV). Sehingga diperoleh diperoleh λ = 121o 42’ 29,53” BT 3. Hitung tan ϕ =
z cos λ x (1 − e2 )
= 0,308882967
4. ϕ = arctan (0,308882967) (0,308882967) = 17 o 09’ 54,1” Utara (karena nilai z positip) 2. Hitung ϕ dan λ untuk titik P (5.693.480,469 (5.693.480,469 m, –2.721.301,281 –2.721.301,281 m, –924.104,339 –924.104,339 m). Digunakan bidang elipsoid GRS-67. Jawab: 1. Hitung tan λ =
y − 2.721.301,281 = -0.477967966. Karena x positip dan y = x 5.693.480,469
negatip, titik P berada pada kuadran II, sehingga bujurnya adalah bujur barat 2. λ = arctan (-0.477967966) = - 25 o 32’ 46,7” x (-1) (dikali –1 karena terletak di kuadran II). Sehingga diperoleh diperoleh λ = 25o 32’ 46,7” BB 3. Hitung tan ϕ =
z cos λ 2
= -0.147428385
x (1 − e ) 4. ϕ = arctan (-0.147428385) (-0.147428385) = -8 o 23’ 11,8” = 8o 23’ 11,8” LS
3.17.3.Lintang geosentris
dan lintang geodetis
Lintang geosentris (φ ( φ) titik P adalah sudut yang terbentuk oleh garis yang melalui P ke pusat elipsoid O dan bidang ekuator, sedangkan lintang geodetis ( ϕ) titik P adalah sudut yang terbentuk oleh garis normal yang melalui P ke N dan bidang ekuator. U P b a
O
φ
ϕ
N S Gambar 3.13. Hubungan antara φ dan ϕ
Hubungan matematis antara kedua jenis lintang tersebut adalah: tan ϕ =
a2 b
2
b2
tan φ =
a2
1
tan φ =
2
tan φ
.................
(3.10a) atau
(1 - e ) tan ϕ = (1 − e 2 ) tan ϕ
.................. (3.10b)
untuk selisih (ϕ ( ϕ-φ) kecil, dimana ϕ ≈ φ, digunakan persamaan: ( ϕ - φ) =
1 2 e ρ sin 2 ϕ 2
................
(3.11a)
dimana ρ = 180/ π =57,29577951, =57,29577951 , sehingga ϕ=φ+
1 2 e ρ sin 2 φ 2
………………… (3.11b)
φ=ϕ−
1 2 e ρ sin 2 ϕ 2
………………… (3.11c)
Contoh soal 3.4 : Hitung lintang geodetis ϕ titik P yang berada pada lintang geosentris φ = 13o 54’ 17,4” LS, elipsoid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67
a = 6.378.160 m,
b
= 6.356.774 m,
e2 = 0,0066947594, 0,0066947594,
ρo = 180/ π,
A. Dengan rumus 3.10a 1. Hitung: tan ϕ =
a2 b2
tan φ = 0,249233063
2. ϕ = arctan 0,249233063 0,249233063 = 13 o 59’ 41,56” LS B. Dengan rumus 3.11b 3.
ϕ=φ+
1 2 e ρ sin 2 φ = 13o 54’ 17,4” + 0o 05’ 22,11” 2
= 13o 59’ 39,51” LS Terlihat selisih harga ϕ hanya berbeda 2.05”.
3.17.4.Lintang terreduksi dan lintang geodetis Sudut ψ yang yang terbentuk dari garis P’O dan OR disebut lintang terreduksi. KU
Bidang lingkaran
P’
Bidang elips b Q
a
P
ψ ϕ
z
O
R
KS Gambar 3.14 3.14 Hubungan antara ψ dan dan ϕ Hubungan matematis antara lintang terreduksi ψ dan ψ dan lintang geodetis ϕ adalah: sin ( ϕ - ψ ) =
1 2 e sin 2 ϕ 4
.....................
(3.12)
untuk selisih (ϕ ( ϕ - Ψ) kecil, dimana ϕ ≈ ψ , digunakan persamaan: 1 2 e ρ sin 2ϕ 4
.....................
ϕ = ψ +
1 2 e ρ sin 2ψ 4
..................
(3.13a)
ψ = ϕ −
1 2 e ρ sin 2ϕ 4
..................
(3.13b)
(ϕ - ψ ) =
(3.13)
sehingga
Contoh soal 3.5 : Hitung lintang terreduksi ψ jika P berada pada lintang geodetis ϕ = 13o 54’ 17,4” LS, elipsoid yang digunakan GRS-67. Jawab: a = 6.378.160 m, b = 6.356.774 m, dan e2 = 0,0066947594, A. Dengan rumus 3.12 1. Hitung sin ( ϕ - ψ ) =
1 2 e sin 2 ϕ = 0,000780836 4
2. ϕ - ψ = arcsin(0, 000780836) = 0o 02’ 41,05” ψ = arcsin(0,000780836) 3. ψ = = ϕ - 0o 02’ 41,05” = 13o 54’ 17,4” – 0 o 02’ 41,05” = 13o 51’ 36,35”
B. Dengan rumus 3.13b 1. Hitung
1 2 1 e ρ sin 2 ϕ = x 0,0066947594 x 180/ π x sin (2 x 13o 54’ 17,4”) = 0o 02’ 4 4
41,1” 2. Hitung ψ = ϕ −
1 2 e ρ sin 2ϕ = 13o 54’ 17,4” – 0o 02’ 41,1” = 13o 51’ 36,3” 4
Terlihat, selisih harga ψ dan dan ϕ hanya berbeda 0,05” (cukup kecil).
3.18. Evaluasi 1. Dalam penentuan penentuan lintang-bujur lintang-bujur suatu titik berdasarkan sistem sistem koordinat XYZ maka dapat dirumuskan bahwa: (isilah titik-titik pada kolom 4 dan 5) Sistem Koordinat XYZ X positip positip negatip negatip
Y positip negatip negatip positip
Z positip positip positip positip
Sistem Koordinat Lintang-Bujur Lintang ....... s/d ....... LU/LS ....... s/d ....... LU/LS ....... s/d ....... LU/LS ....... s/d ....... LU/LS
....... ....... ....... .......
Bujur s/d ....... s/d ....... s/d ....... s/d .......
BT/BB BT/BB BT/BB BT/BB
2. Jika koordinat geodetis P adalah adalah ϕ = 5o 11’ 23,1” LU dan λ = 103o 26’ 04,2” BT, dan elipsoid yang digunakan GRS-67, berapakah koordinat ortogonal titik P tersebut? 3. Jika koordinat ortogonal ortogonal P = (-1,475,826.596 (-1,475,826.596 m, 6,178,367.073 6,178,367.073 m, 573,086.026 573,086.026 m), dan elipsoid yang digunakan GRS-67, berapakah koordinat geodetis titik P tersebut? 4. Hitung lintang geosentris φ dan lintang terreduksi ψ jika titik P berada pada lintang geodetis ϕ = 5o 11’ 23,1” LU, elipsoid yang digunakan GRS-67.
BAB IV PERHITUNGAN PADA BIDANG LENGKUNG Tujuan Instruksional: Instruksional: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan teori dan melakukan perhitungan pada bidang elipsoid, yaitu perhitungan panjang jari-jari busur, panjang busur, luas bidang pada permukaan, garis geodesik, konvergensi meridian, dan ekses sferis sebagai dasar dalam pemecahan Soal Pokok Geodesi.
4.1 Jari-jari Busur pada Elipsoid 3.18.1. Jari-jari Jari-jari Busur Meridian (M) dan Busur Normal Utama (N) Pada bidang bola, jari-jari busur setiap titik di permukaan bola tersebut akan sama, yaitu sebesar jari-jari bola. Namun, pada bidang elipsoid, jari-jari busur di setiap titik pada bidang elipsoid tidak sama. Bahkan, jari-jari busur di suatu titik pun, misalnya titik A, akan berbeda-beda tergantung arah busur tersebut. Ada 2 jenis jari-jari utama pada suatu titik di permukaan elipsoid, (a) Jari-jari busur busur meridian (M), yaitu jari-jari jari-jari busur bidang meridian meridian pada titik tersebut, (b) Jari-jari normal utama (N), yaitu yaitu jari-jari busur busur normal utama pada pada titik tersebut. tersebut. Busur normal utama adalah busur yang terletak bidang normal utama, yaitu bidang yang melalui garis normal dan tegak lurus bidang meridian. KU Meridian Nol
Busur Meridian A
A a
Busur Normal Utama A
P
Ekuator
Garis Normal
KS Gambar 4.1 Busur Meridian dan Busur Normal Utama Besar jari-jari busur meridian (M) dapat dihitung dengan rumus: M=
a 2 b2 2
2
2
2
(a cos ϕ + b sin ϕ)
3
=
a (1 - e 2 ) 2
2
(1 - e sin ϕ)
3
o
b2 Di ekuator, dimana lintang ϕ = 0 , panjang M = = a (1-e2) a
o
Di kutub, dimana lintang ϕ = 90o, panjang M =
o
a2 a = b 1- e2
..................... (4.1)
Besar jari-jari busur normal utama (N) dapat dihitung dengan rumus: a2
N=
2
2
2
2
a cos ϕ + b sin ϕ
a
=
2
2
...................
(4.2)
..................
(4.3)
1 - e sin ϕ
o
Di ekuator, dimana lintang ϕ = 0o, besar N = a
o
a2 a Di kutub, dimana lintang ϕ = 90 , besar N = = b 1- e 2 o
Jika dibuat perbandingan N dan M maka diperoleh: 1 − e 2 sin 2 ϕ N a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ = = = 1 + e' 2 cos 2 ϕ M b2 1− e2
Menggunakan N dari pers. 4.2, maka pers. 3.5b, 3.6b, dan 3.7b pada bab III di muka dapat ditulis menjadi.: x = N cos ϕ cos λ
................
(4.4)
y = N cos ϕ sin λ
...............
(4.5)
z = N (1-e2) sin ϕ
...............
(4.6)
Contoh soal 4.1 : Diketahui :
koordinat geodetis P (ϕ = 5o 11’ 23,1” LU, λ = 103o 26’ 04,2” BT). Elipsoid yang digunakan GRS-67
Hitung: koordinat titik P tersebut tersebut dalam sistem sistem koordinat ortogonal ortogonal Jawab: Parameter elipsoid GRS-67 adalah adalah a = 6.378.160 m, b = 6.356.774 m, dan e2 = 0,0066947594 Berdasarkan rumus-rumus pada bab III dan persamaan di atas maka, 1 − e 2 sin 2 ϕ = 0,999972611
o
Hitung W =
o
Hitung N =
o
Hitung x = N cos ϕ cos λ = -1.475.826,596 meter
o
Hitung y = N cos ϕ sin λ = 6.178.367,073 meter
o
Hitung z = N (1-e2) sin ϕ =
a 6.378.160 = = 6.378.334,694 w 0.999972611
573.086,026 meter
3.18.2.Jari-jari Irisan Normal Irisan normal terhadap bidang elipsoid adalah garis lengkung hasil perpotongan antara bidang normal dengan permukaan elipsoid tersebut. Irisan normal bersudut 90 o terhadap bidang meridian disebut irisan normal utama. Irisan normal AB membentuk sudut α dengan bidang meridian. Sudut α disebut azimut irisan normal AB di titik A. KU
α
KU
Azimut Irisan Normal AB di A
B
A
ϕ
B
α
R
Q Meridian A
A
Irisan Normal AB
Meridian B KS Gambar 4.2 Irisan Normal AB Jika jari-jari irisan normal AB di titik A adalah R α maka menurut dalil EULER: 1 cos 2 α sin 2 α = + Rα M N Rα =
N (1 + e' 2 cos 2 ϕ cos 2 α)
...................
(4.7)
...................
(4.8)
Catatan: Jika azimut irisan o
α = 0o, berarti irisan tersebut adalah garis meridian, maka R α = M
o
α = 90o, berarti irisan tersebut tersebut adalah irisan irisan normal utama, utama, maka Rα = N
3.18.3.Jari-jari Bola Pengganti Kadang-kadang untuk keperluan tertentu atau untuk luasan kecil, elipsoid dianggap sebagai bola dengan jari-jari tertentu R. Ada berbagai cara untuk menentukan jari-jari R bola pengganti. Berikut berbagai cara menentukan jari-jari bola pengganti elipsoid: a+a+b 3
a. Bola berjari-jari R t:
Rt =
b. Bola berjari-jari Rr:
Rr = a
................... ...........
(4.9) (4.10)
Bila pusatnya di titik O disebut Bola Reduksi. c. Bola ekuivalen yang dibentuk agar luas bola = luas elipsoid, maka:
R e = b (1 +
2 2 3 4 4 6 e + e + e + .....) 3 5 7
............. (4.11)
Bola ekuivalen digunakan untuk proyeksi ekuivalen. Proyeksi ekuivalen adalah sistem proyeksi dimana luas daerah hasil proyeksi sama dengan luas daerah mula-mula. d. Bola Gausz dengan jari jari busur rata-rata rata-rata Gausz R: R: R = R=
NM a 1 - e2 W2
.................
(4.12)
.................
(4.13)
Digunakan untuk proyeksi konform. Proyeksi konform adalah sistem proyeksi dimana besar sudut hasil proyeksi sama dengan besar sudut mula-mula. e. Bola yang dibentuk berdasarkan volume bola = volume elipsoid, maka Rv 3 = a2b
4.2
3
R v = a 2b
.................
(4.14)
Evaluasi
1. Apakah perbedaan perbedaan antara busur meridian, meridian, busur normal, normal, dan busur normal utama? utama? Dalam bidang elipsoid, apakah bentuk busur meridian dan busur normal utama? 2. Benarkah M dan N berubah jika lintangnya berubah? Bagaimana Bagaiman a jika bujurnya berubah? Di posisi manakah N = M? Berapakah perbandingan N dan M di ekuator dan di kutub? 3. Apakah yang dimaksud dimaksud azimut azimut irisan normal? normal? Jika A terletak di ekuator ekuator dengan azimut azimut o
AB = 45 , buktikan bahwa jari-jari irisan normal AB (R AB) adalah : R AB =
2ab 2 a 2 + b2
4. Jika luasan 100.000 100.000 ha diproyeksikan diproyeksikan secara konform, apakah apakah hasilnya hasilnya mempunyai luas sama? Jika tidak, sistem proyeksi apakah yang harus digunakan? 5. Untuk elipsoid GRS-67, GRS-67, hitunglah jari-jari jari-jari bola pengganti pengganti R t, bola reduksi Rr, bola ekuivalen Re, bola Gausz, dan bola Rv. 6. Hitung jari-jari jari-jari busur meridian meridian M dan busur busur normal N untuk untuk lintang geodetis geodetis ϕ = 0o 14’ 23”,. Elipsoid yang digunakan GRS-67. 7. Hitung jari-jari jari-jari irisan irisan normal AB untuk lintang lintang geodetis geodetis ϕ = 5o 11’ 23,1” LU, jika azimut AB = 26o 06’ 25,5”. Elipsoid yang digunakan GRS-67.
4.3 Panjang Busur Dua Titik pada Elipsoid 4.3.1
Panjang Busur Meridian antara Dua Titik
Panjang busur meridian adalah panjang garis antara dua titik pada permukaan elip yang terletak pada bidang meridian yang sama. KU
∆ϕ P2
Panjang busur Sϕ1ϕ2 P1 meridian Sϕ
Meridian P2-P1
KS Gambar 4.3 Panjang Busur Meridian Rumus perhitungan panjang busur meridian S dari ϕ1 s.d ϕ2 adalah: ϕ2
S ϕ1 = a (1 - e 2 )[
A
B C (ϕ 2 - ϕ1 ) - (sin 2 ϕ 2 - sin 2 ϕ1 ) + (sin 4 ϕ 2 - sin 4 ϕ1 ) .....] ...(4.15) 2 4 ρo
dimana: ϕ2 dan ϕ1 = lintang titik P2 dan P1; ρo = 57,2957795131; 57,2957795131; B =
3 2 15 4 e + e + .... ; 4 16
A = 1+ C =
3 2 45 4 e + e + .... ; 4 64
15 4 e + .... 64
Pers. 4.15 dapat disederhanakan menjadi: 2 Sϕ ϕ1 = E0 (ϕ2 - ϕ1) + E2 (sin 2 ϕ2 - sin 2 ϕ1) + E4 (sin 4 ϕ2 - sin 4 ϕ1).....
..........
(4.16)
dimana: E0 = a(1 - e2 )
A ρo
;
E2 = -a(1 - e2 )
B ; 2
E4 = a(1 - e2 )
C 4
Contoh soal 4.2 : 1. Hitung panjang panjang busur PQ, dimana dimana kedua titik P dan Q terletak terletak pada meridian meridian (bujur) sama. Lintang P adalah ϕ1 = 22o 53’ 04” dan lintang Q adalah ϕ2 = 24o 07’ 32”. Elipsoid yang digunakan GRS-67. Jawab : ϕ1 = 22o 53’ 04” dan ϕ2 = 24o 07’ 32”. ρo = 57,2957795131 a = 6.378.160 m, b = 6.356.774 m, dan e2 = 0,0066947594
a. Hitung A = 1 + b. Hitung B = c. Hitung C =
3 2 45 4 e + e = 1,005052583 4 64
3 2 15 4 e + e = 0,005063088 4 16 15 4 e = 1,05046 x 10 -5 64
d. Hitung E0 = a(1 - e2 )
A o
ρ
e. Hitung E2 = -a(1 - e2 ) Hitung E4 = a(1 - e2 )
f.
= 111.133,3199
B = -16.038,49549 2
C = 16,63793325 4
g. Hitung ϕ2 -ϕ -ϕ1 = 1o 14’ 28” = 1,241111111 h. Hitung sin2ϕ sin2ϕ2 - sin2ϕ sin2ϕ1 = 0,029538341 i.
Hitung sin4ϕ sin4ϕ2 – sin4ϕ sin4ϕ1 = -0,006072384 -0,00607 2384
j.
Hitung S ϕ1 = E 0 (ϕ 2 - ϕ1 ) + E 2 (sin 2 ϕ 2 - sin 2 ϕ1 ) + E 4 (sin 4 ϕ 2 - sin 4 ϕ1 )
ϕ2
diperoleh panjang panjang busur PQ, S = 137.454,947 meter meter 2. Hitung panjang busur dari ekuator ϕ = 0 o ke ϕ = 1 o, ϕ = 0 o 1’, dan ϕ = 0 o 0’ 1” Elipsoid yang digunakan GRS-67 Jawab : Dengan persamaan 4.16 dan hasil perhitungan E o, E2, E4, di atas dapat dihitung, o
S1 o = E 0 (1o - 0 o ) + E 2 (sin 2.1o - sin 2.0 o ) + E 4 (sin 4.1o - sin 4.0 o ) 0
= 111.133,320 + (- 559,735) + 1,161 = 110.574,746 meter S10'' = E 0 (1'-0' ) + E 2 (sin 2.1'- sin 2.0' ) + E 4 (sin 4.1'- sin 4.0' ) = 1.852,222 + (- 9,331) + 0,019 = 1.842,910 meter S10"" = E 0 (1"-0" ) + E 2 (sin 2.1'- sin 2.0" ) + E 4 (sin 4.1"- sin 4.0" ) = 30,870 + (- 0,156) + 0.000 0.000 = 30,715 meter
4.3.2
Keliling Elipsoid pada Bidang Meridian
Dari persamaan 4.16 di atas dapat dihitung keliling elipsoid bumi pada bidang meridian, misalnya keliling elipsoid GRS-67. KU
keliling elipsoid pada bidang meridian
ϕ2 = 90o kutub
seperempat keliling
ϕ1 = 0o ekuator
KS
Gambar 4.4. Keliling Elipsoid sepanjang Meridian Keliling seperempat elipsoid, yaitu dari ekuator ke kutub utara, dapat dihitung dengan menentukan panjang busur meridian dari lintang ϕ1 = 0o (ekuator) ke lintang ϕ2 = 90o (Kutub Utara), dengan memasukkan data lintang tersebut dan harga E 0 pada contoh soal 3.7 ke persamaan 3.29, diperoleh : o
S 90o = E 0 (90 - 0) + E 2 (sin 2.90 o - sin 2.0 o ) + E 4 (sin 4.90 o - sin 4.90 o ) 0
= E0.90o + 0 + 0 = 111.133,3199 x 90 = 10.001.998.790 meter Jadi keliling elipsoid tersebut = 4 x S = 4 x 10.001.998.790 m = 40.007.995,040 40.007.995,040 meter. 4.3.3
Penentuan Lintang Titik berdasarkan Panjang Busur Meridian dari Ekuator Jika panjang panjang busur meridian meridian suatu titik terhadap ekuator ekuator = s, maka lintang lintang titik
tersebut dapat dihitung dengan persamaan: ϕ = F0 - F2sin 2 F0 - F4 sin 4 F0 dimana: F0 =
.................
(4.17)
s E E ; F2 = 2 ; dan F4 = 4 E0 E0 E0
Contoh soal 4.3 : Diketahui jarak busur meridian meridian dari titik P ke ekuator (ϕ ( ϕ = 0o) adalah 123.242,904 meter. Berapakah lintang titik P jika elipsoidnya adalah GRS-67? Jawab: a. Dari hitungan pada contoh soal 4.2 diperoleh: Eo = 111.133,3199, E2 = -16.038,49549, dan E4 = 16,63793325 b. Hitung F0 =
s 123.242,904 = = 1,1089644 1, 108964477 77o E 0 111.133,3199
c. Hitung F2 =
E2 = -0.144317613 -0.144317613o E0
d. Hitung F4 =
E4 = 0.000149711o E0
e. Hitung lintang P = ϕ = F0 - F2sin 2 F0 - F4 sin 4 F0 = 1,108964477o – (-0,005585163o) – 0,0000115791 o = 1,1145380614 1,1145380614o = 1o 06’ 52,33
4.3.4
Panjang Busur sepanjang Garis Paralel
Garis paralel pada elipsoid bumi berbentuk lingkaran dengan titik pusat berada di sumbu minor. Sudut antara 2 titik ( P 1 dan P2) yang terletak pada satu bidang paralel terhadap titik pusat lingkaran paralel adalah selisih bujur ( ∆λ) ∆λ) antara keduanya k eduanya.. KU r
∆λ
Bidang/Lingkaran Paralel pada lintang ϕ
P1 P2
Ekuator
Gambar 4.5 Busur Paralel Jari-jari lingkaran paralel pada lintang ϕ dengan persamaan : r = N cosϕ cosϕ =
a cos ϕ W
dimana N =
a W
.................
(4.18)
Panjang busur paralel pada lintang ϕ antara bujur λ1 dan λ2 adalah: r ∆λo
N cos ϕ (λ 2 - λ 1 ) o
S paralel λ 2 λ1
=
S paralel λ 2 λ1
a cos ϕ (λ 2 - λ 1 ) o = o Wρ
ρo
=
ρo
atau
.........….
............
(4.19a)
(4.19b)
Contoh soal 4.4 : Jika bujur titik A = 104 o 12’ 34” BT dan bujur titik B = 107 o 53’ 29” BT, keduanya terletak pada lintang yang sama yaitu 4 o 09’ 54” LU, tentukan jarak busur AB. Elipsoid GRS-67.
Jawab: Diketahui : a = 6.378.160 m, b = 6.356.774 m, e2 = 0,0066947594, dan ρo = 57,2957795131 λA = 104o 12’ 34” BT, λB = 107o 53’ 29” BT, ϕ = 4o 09’ 54” LU 1 − e 2 sin 2 ϕ = 0,999982343
a. Hitung W =
b. Hitung λB -λ -λA = 3o 40’ 55” = 3,681944444
a cos ϕ (λ 2 - λ 1 ) o 6.378.160 x cos( 4 o 9' 54" ) x 3,68194444 4 = c. Hitung S paralel AB = 0,999982343 x 57,2957795131 W ρo = 408.798,413 meter
4.4
Luas Bidang pada Permukaan Elipsoid Jika suatu bidang pada permukaan elipsoid dibatasi oleh dua lingkaran meridian dan
dua lingkaran paralel, maka luas bidang tersebut adalah: KU Paralel 2 (ϕ (ϕ2) Luas Bidang
Paralel 1(ϕ 1( ϕ1) Ekuator
Bujur 1 (λ (λ1) Bujur 2 (λ ( λ2)
Gambar 4.6 Luas Bidang di Permukaan Elipsoid Luas tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus ϕ Z ϕ2 1
(λ 2 - λ 1 ) o
=
ρo
b 2 { A (sin ϕ 2 - sin ϕ1 ) - B (sin 3 ϕ 2 - si n 3 ϕ1 )
.........…….. (4.20a)
+ C (sin 5 ϕ 2 - sin 5 ϕ1 ) .......} dimana: ϕ
Z ϕ2 = Luas bidang yang dibatasi lintang ϕ1 dan ϕ2 1
A = 1+
1 2 3 4 1 3 4 e + e + .... ; B = e2 + e + .... ; 2 8 6 16
C=
3 4 e + .... 80
Jika K = A (sin ϕ 2 - sin ϕ1 ) , L = B (sin 3 ϕ 2 - sin 3 ϕ1 ) , dan M = C (sin 5 ϕ 2 - sin 5 ϕ1 ) , maka persamaan 3.33a dapat disederhanakan menjadi : ϕ Z ϕ2 1
(λ 2 - λ 1 ) o 2 = b (K - L + M .....) ρo
. .......…….. (4.20b)
Cat.: Nilai A, B, C pada persamaan ini tidak sama dengan nilai A, B, C pada pers. 4.15
Contoh soal 4.5 : Tentukan luas bidang pada permukaan elipsoid yang dibatasi oleh bujur λ = 121o 36’ 54” BT sampai dengan λ = 122o 05’ 18” BT, dan lintang ϕ = 1o 03’ 04” LS sampai dengan ϕ = 2o 50’ 17” LU Elipsoid yang digunakan GRS-67 Jawab: a = 6.378.160 m, b = 6.356.774 m, e2 = 0,0066947594, dan ρo = 57,2957795131 a. Hitung A = 1 +
1 2 3 4 e + e = 1,003364187 2 8
b. Hitung B =
1 2 3 4 e + e 6 16
c. Hitung C =
3 4 e = 0,00000168 80
= 0,001124197
d. Hitung (λ2 -λ1)o = 2o 50’ 17” – ( - 1o 03’ 04”) = 3o 53’ 21” = 3.889166667 o e. Hitung K = A (sin ϕ 2 - sin ϕ1 ) = 0,068085767 f.
Hitung L = B (sin 3 ϕ 2 - sin 3 ϕ1 ) = 0,000228282
g. Hitung M = C (sin 5 ϕ 2 - sin 5 ϕ1 ) = 0,0000005660 h. Hitung luas bidang =
ϕ Z ϕ2 1
(λ 2 - λ 1 ) o 2 b (K - L + M) = 22.652.669.061,071 22.652.669.061,071 m2 = o ρ
Catatan: Dari pers. 4.20a dapat dihitung luas permukaan elipsoid bumi. Mula-mula hitung luas permukaan setengah elipsoid, yaitu dari ϕ1 = 0 o (ekuator) sampai ϕ2 = 90 o (kutub) dengan beda bujur (λ ( λ2-λ1) = 360o = 2π 2π, setelah itu, hasilnya dikalikan dikalikan 2. Jika lintang dan bujur tersebut dimasukkan dalam persamaan 4.20a, diperoleh: 2 3 2Z 90 = 2{ 2πb 2 ( A + B + C)} = 4πb 2 (1 + e 2 + e 4 ) 0 3 5
..................
Contoh soal 4.6: Hitung luas permukaan seluruh bidang elipsoid bumi GRS-67. Jawab: Dengan persamaan 4.21 didapatkan: a. Hitung (1 +
2 2 3 4 e + e ) = 1.004490065 3 5
2 3 b. Hitung 2Z 90 = 4πb 2 (1 + e 2 + e 4 ) = 5,10069144224 x 1014 m2 0 3 5 Jadi, luas seluruh permukaan elipsoid = 510.069.144,224 km 2
(4.21)
4.5
Garis Geodesik Apabila pada suatu bidang datar atau bola dibuat garis irisan normal dari A ke B dan
B ke A, kedua garis irisan normal itu akan berimpit. Namun, apabila garis irisan normal itu dibuat pada bidang elipsoid, kedua garis irisan normal itu tidak berimpit. Irisan normal adalah irisan bidang normal pada permukaan suatu bidang acuan (bidang datar, bola, atau elipsoid). elipsoid). Untuk mendapatkan mendapatkan hanya satu garis, dimana dimana AB berimpit dengan dengan BA, dibuatlah garis geodetis atau disebut garis geodesik. Garis geodesik adalah garis lengkung yang tiap titiknya memuat garis normal bidang lengkung di titik itu. Garis ini merupakan jarak terpendek antara dua titik pada elipsoid. Jadi, yang dimaksud jarak antar dua titik pada elipsoid adalah jarak sepanjang garis geodesik tersebut. KU
B
U Garis Geodesik
A
α1’
A Meridian B Meridian A
KS
U
α1
α2’
s1 s B
s2
α2
S1 = irisan normal dari A ke B S2 = irisan normal dari B ke A S = garis geodesik
Gambar 4.7 Irisan Normal dan Garis Geodesik dimana: s1 = jarak AB sepanjang irisan normal
α1 = azimut s1 di titik A
s2 = jarak BA sepanjang irisan normal
α1’ = azimut s di titik A (azimut geodesik)
s
α2 = azimut s2 di titik B
α2’
= jarak AB sepanjang geodesik = azimut s di titik B (azimut geodesik)
Secara teoritis, s1 ≠ s2 ≠ s; α1’ ≠ α1; α2’ ≠ α2. Perbedaan antara s1, s2 dan s, α1’ dan α1, α2’ dan α2, dinyatakan dalam pers. berikut 4
δ s1 = s 1 - s =
η1
4 360 N1
δ s2 = s2 - s =
η2
s 5 sin 2 2α1 '
4
360 N 2
4
s 5 sin 2 2 α 2 '
.................
(4.22)
.................
(4.23)
δ α1 = α1 '- α1 =
e' 2 s 2 cos 2 ϕ1 sin 2α1 ' 12 N1
.......... ......
(4.24)
δ α 2 = α 2 '- α 2 =
e'2 s2 cos2 ϕ2 sin 2 α 2 ' 12 N2
.................
(4.25)
η12 = e’2 cos2ϕ1 ; η22 = e’2 cos2ϕ2 N1 = Jari-jari busur normal utama di A N2 = Jari-jari busur normal utama di B ϕ1 = Lintang geodetik A; ϕ2 = Lintang geodetik B Contoh soal 4.7: Diketahui : titik P dan Q, jarak geodesik s PQ = 100 km, azimut geodesik α PQ = 45o, lintang titik P = ϕ1 = 50o. Elipsoid yang digunakan GRS-67. Hitung :
jarak irisan normal antara titik PQ dan azimut irisan normal PQ
Jawab : a = 6.378.160 m, e2 = 0,0066947594, dan e’ 2 = 0,0067398813 a. Hitung η12 = e’2 cos2ϕ1 = 0,00278476 b. Hitung W = 1 - e 2 sin 2 ϕ = 0,998033744 0,99803374 4 c. Hitung N =
a = 6.390.725,804 W 4
d. Hitung s 1 - s =
η1
360 N14
s 5 sin 2 2α1 ' = 1,29143 x 10-10 m = 1,29143 x 10-7 mm
Jadi, perbedaan jarak antara s 1 dan s sangat kecil sehingga s 1 = s e. α1 '- α1 =
e' 2 s 2 cos 2 ϕ1 sin 2α1 ' = 0,363124717” = 0,4 detik. (sangat kecil) 12 N1
Kesimpulan: garis geodesik PQ dapat dianggap berimpit dengan garis irisan normal PQ
4.6
Konvergensi Meridian Dalam pemetaan bidang datar, seluruh garis meridian yang mengarah ke utara
dianggap sejajar, sehingga garis lurus yang melintasi meridian tersebut akan mempunyai azimut tetap. Namun, bila bumi dianggap berbentuk elipsoid maka seluruh garis meridian yang mengarah ke kutub (KU) menjadi tidak saling sejajar, melainkan akan berkonvergensi (memusat) di kutub tersebut. Akibatnya, garis geodesik yang melintasi meridian akan mengalami perubahan azimut. Perbedaan akibat perubahan azimut tersebut dinamakan konvergensi meridian.
Kutub Utara
Meridian Nol
α1
α0
Garis Geodesik 0
2
1
α2
α4
α3 4
3
α0 ≠ α1 ≠ α2 ≠ α3 ≠ α4
Gambar 4.8 Konvergensi Meridian 4.7
Ekses Sferis Sebagaimana diketahui bahwa jumlah sudut-dalam pada suatu segitiga datar adalah
180o. Namun, dalam segitiga bola, yaitu segitiga yang terletak pada bidang acuan bola, jumlah sudut-dalam tersebut lebih besar dari 180 o. Selisih sudut tersebut dinamakan ekses sferis. A + B + C = 180o
C
C
A + B + C - E= 180o A
A
B
B
a. Segitiga Datar ABC
b. Segitiga Sferis ABC
Gambar 4.9 Ekses Sferis Persamaan jumlah sudut segitiga menjadi: E = A + B + C – 180o E" =
F ρ" NM
...............
(4.26a)
...............
(3.38b)
dimana E” = Ekses sferis dalam satuan detik F
= Luas segitiga bola
N = Jari-jari busur normal utama lintang rata-rata ke tiga titik sudut sudut M = Jari-jari busur meridian lintang rata-rata ke tiga titik sudut sudut Contoh besarnya ekses sferis E: untuk luas F = 1 km2, E = 0”,005, untuk luas F = 200 km2, E = 1”. untuk segitiga sama sisi: untuk sisi 10 km, E = 0”,25, untuk sisi 20 km, E = 1”, untuk sisi 60 km, E = 8”, dan untuk sisi 11 km, E = 27”.
4.8
Evaluasi
a. Apabila dua titik terletak terletak pada meridian sama, benarkah benarkah keduanya memiliki memiliki lintang sama? Sebaliknya, jika terletak pada bidang paralel sama benarkah berarti memiliki bujur sama? b. Hitung A, B, dan C serta serta E0, E 2, dan E4 untuk elipsoid GRS-67. Hitung panjang busur meridian elipsoid antara ϕ1 = 46o 59’ 10”,315 dan ϕ2 = 48o 54’ 36”,482 c. Jika panjang busur meridian dari ekuator ke titik P sebelah utara adalah 4.984.455,974 meter, tentukan lintang titik P tersebut. Elipsoid GRS-67. d. Hitung panjang busur paralel antara λ1 = 143o 16’ 23”,3 BT dan λ2 = 143o 44’ 31”,8 BT pada lintang ϕ = 3o 04’ 22”,2 LU. Elipsoid GRS-67. e. Hitung luas bidang yang dibatasi λ1 = 143o 16’ 23”,3 BT, λ2 = 143o 19’ 31”,8 BT, ϕ1 = 3o 04’ 22”,2 LU, ϕ2 = 3o 08’ 41”,5 LU. Elipsoid GRS-67. f.
Untuk elipsoid Bessel, buktikan bahwa luas permukaan elipsoid = 509.950.714,2 509.950.714, 2 km 2.
g. Untuk s = 10 100 0 km, α = 45o, dan ϕ = 50o pada elipsoid Bessel buktikan bahwa δs = 1x10-10 meter dan δα = δα = 0”,012. Apakah kesimpulan anda?. h.
Jika panjang garis geodesik geodesik antara titik P dan Q = 200 km, azimut geodesik αPQ = 30o, dan titik P terletak pada lintang ϕ = 11o dan elipsoid yang digunakan adalah GRS-67, hitunglah jarak PQ (s 1) dan azimut PQ (α ( α1) sepanjang irisan normal dari titik P.
BAB V SOAL POKOK GEODESI Tujuan Instruksional: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa mampu menjelaskan pengertian tentang teori pemecahan SPG 1 dan SPG 2 dengan metode Soldner, Legendre, dan Gausz dan terampil menyelesaikan soal-soal dengan metode tersebut
5.1.
Pengertian Di dalam pelajaran ilmu ukur tanah dikenal 2 (dua) sistem koordinat, yaitu
a. Sistem koordinat koordinat kutub (α (α, d), dimana azimut α menyatakan arah garis dua titik terhadap utara dan d menyatakan jarak antara kedua titik, t itik, b. Sistem koordinat kartesian (∆x, ∆y), yang menyatakan selisih absis dan selisih ordinat antara dua titik.
U
U
αAB B αAB
d ∆y
A
Kedua sistem tersebut saling berkaitan dengan persamaan ∆x = d sin α ∆y = d cos α
∆x Gambar 5.1 Sistem Koordinat Kutub dan Kartesian Persoalan yang sering dijumpai adalah: 1. Diketahui : koordinat koordinat kartesian titik A (xA, yA) , azimut αAB, dan jarak dAB. Hitung : koordinat kartesian titik B (xB, yB) Rumus yang digunakan : xB = xA + dAB sin αAB dan
yB = yA + dAB cos αAB
2. Diketahui : koordinat koordinat kartesian titik A (xA, yA) dan koordinat kartesian titik B (x B, yB) Hitung : azimut αAB dan jarak d AB Rumus yang digunakan : α AB = arctan
∆x dan ∆y
d AB = ∆x 2 + ∆y 2
Mirip dengan persoalan dalam ilmu ukur tanah, yang menggunakan acuan bidang datar tersebut, dalam perhitungan untuk bidang lengkung bola atau elipsoid pun ada dua jenis soal, yang disebut disebut dengan istilah Soal Pokok Pokok Geodesi (SPG), yaitu: yaitu:
(1) Soal Pokok Geodesi Pertama (SPG 1): 1): U
U
αAB’ ?
SAB
αAB
B(ϕB, λB) ? atau
A(ϕA, λA) atau
B(XB, YB) ?
A(XA, YA) Gambar 5.2 SPG 1 Diketahui:
Koordinat titik A dalam sistem geografis (ϕA, λA) atau sistem kartesian (XA, YA), azimut αAB dari titik A dan jarak garis geodesik S AB
Hitung :
Koordinat B dalam sistem (ϕB, λB) atau (XB, YB) dan azimut αAB’ di titik B
(2) Soal Pokok Geodesi Kedua (SPG 2): U
U
αAB ? A(ϕA, λA) atau
αAB’ ?
SAB ? B
λB atau B(XB, YB) B,
A(XA, YA) Gambar 5.3 5.3 SPG 2 Diketahui:
koordinat A dan koordinat B dalam sistem geografis atau kartesian
Hitung :
Jarak SAB dan azimut garis geodesik αAB
Catatan:
Sistem koordinat koordinat kartesian dalam persoalan persoalan ini bukanlah bukanlah sistem sistem koordinat ortogonal XYZ yang berpusat di pusat bola atau elipsoid, melainkan terletak di permukaan bidang lengkung bola atau elipsoid dengan sumbu y
positip
mengarah ke utara dan sumbu x positip mengarah ke timur. Beberapa metode perhitungan untuk memecahkan SPG 1 dan SPG 2, antara lain: a. Metode Soldner, dengan pendekatan segitiga bola dan deret, b. Metode Legendre, dengan pendekatan deret McLaurin dan persamaan diferensial, c. Metode Gausz, Gausz, dengan pendekatan deret McLaurin. McLaurin. Harga awal awal deretnya deretnya ditentukan di titik tengah garis S, d. Metode lain-lain, lain-lain, seperti Metode Bessel, Bessel, Molodensky, Molodensky, Hradilek, Clarke, Clarke, dan Puissant. Dalam buku ini, untuk pemecahan SPG1 dan SPG2 hanya akan dibahas metode Soldner, Legendre, dan Gausz. Metode lainnya tidak dibahas.
5.2.
Metode Soldner Dalam metode ini, sistem koordinat yang digunakan adalah koordinat siku-siku XY
dengan menggunakan pendekatan rumus segitiga bola dan deret. Metode ini digunakan untuk jarak kurang dari 100 km (± (± 1o). Bumi dianggap bola dengan jari-jari R. Umumnya jari-jari bola bumi bumi yang digunakan digunakan R = 6.383.252,7 6.383.252,7 meter
α2 α1
Q(X2,Y2)
s
P(X1,Y1)
Gambar 5.4 Metode Soldner (1) Penyelesaian SPG 1: Diketahui : Koordinat Koordinat P (X1,Y1), azimut geodesik PQ di titik P = α1, dan jarak geodesik PQ = S Hitung
: Koordinat Q (X2,Y2) dan azimut PQ di titik Q = α2
Rumus yang digunakan: X 2 = X1 + V - (
Y2 = Y1 + U +
U2 2R U
2R
2
X1 +
2
2
X2 -
α 2 = α1 - (2 U X 1 + U V )
V U2 6R
2
)
UV2 6R
2
180 o
.
2R2π
..................
(5.1)
......….........
(5.2)
...................
(5.3)
dimana: V = S sin sin α1, U = S cos α1, R = jari-jari bola Jika k1 =
U2 2R
2
X1 +
VU2 6R
2
k2 =
U 2 R2
2
X2 -
UV 2 6 R2
k3 = (2UX1 + UV )
180o 2 R2 π
maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi: X2 = X1 + V – k1
Y2 = Y1 + U + k 2
α2 = α1 – k3
Perhatikan, berdasarkan persamaan tersebut, terlihat bahwa k 1, k 2, dan k3 adalah koreksi koordinat dan azimut akibat kelengkungan bidang acuan.
Contoh soal 5.1: Diketahui : Koordinat P (13.241,985 m; 92.842,212 92.842,212 m). Azimut αPQ = 25o 06’ 47,32” dan jarak geodesik SPQ = 47.652,297 m Jari-jari bumi R = 6.383.252,7 meter Hitung
: Koordinat Q (X2,Y2) dan αPQ di Q dengan metode Soldner
Jawab: Dari data di atas diperoleh S = 47.652,297 m
α1 = 25o 06’ 47,32”
X1 = 13.241,985 13.241,98 5 m
Y1 = 92.842,212 m
R = 6.383.252,7 meter
Berdasarkan data dan rumus di atas lakukan perhitungan dengan urutan sebagai berikut: a. Hitung V = S sin α1 = 47.652,297 m x sin 25o 06’ 47,32” = 20.223,976 m b. Hitung U = S cos α1 = 47.652,297 m x cos 25o 06’ 47,32” = 43.147,795 m c. Hitung k1 =
U2 2 R2
X1 +
VU2 6 R2
= 0,303 + 0,154 = 0,457 m (koreksi absis)
d. Hitung X2 = X1 + V – k1 = 33.465,504 m e. Hitung k2 = f.
U
UV 2
2
2 R2
X2 -
6 R2
= 0,593 – 0,072 = 0,521 m (koreksi ordinat)
Hitung Y2 = Y1 + U + k2 = 135.990,528 m
g. Hitung k3 = (2UX1 + UV )
180o 2 R2 π
= 0o 0’ 05,1” (koreksi azimut)
h. Hitung α2 = α1 – k3 = 25o 06’ 47,32” - 0o 0’ 05,1” = 25 06’ 42,22” Jadi, koordinat Q = (33.465,504 m, 135.990,528 m) dengan azimut αPQ di Q = 25 06’ 42,22”
(2) Penyelesaian SPG 2: Diketahui : Koordinat P (X1,Y1) dan Q (X2,Y2) Hitung
: Jarak geodesik PQ (s), azimut PQ dari P (α1) dan dari Q (α (α2)
Rumus yang digunakan:
S = S0
1-
cos2 α0 3R
2
2
2
( X1 + X1X2 + X2 )
Y - Y ( Y2 - Y1) ( X23 - X13 ) 180o 2 1 (2 X α1 = α 0 + 1 + X2 ) + 6 R2 π 6 R2 S2
…….….
(5.4)
................. (5.5)
( X1 + X2 ) ( Y2 - Y1) 180o α 2 = α1 π 2 R2
….……
(5.6)
S 0 = ( X 2 - X 1 ) 2 + ( Y2 - Y1 ) 2 = ∆x 2 + ∆y 2
….……
(5.7)
X 2 - X1 ∆x = arctan Y2 - Y1 ∆y
……......
(5.8)
α 0 = arctan
untuk menghitung αo, perhatikan tabel sebagai berikut: Tabel 5.1 Penentuan Azimut Berdasarkan Kuadran X
Y
positip positip negatip negatip
Kuadran
Azimut
I II III IV
αo αo (negatip) + 180 o αo (positip) + 180o αo (negatip) + 360 o
positip negatip negatip positip
Dari rumus di atas jika: k1 =
1-
cos 2 α 0 3R
2
2
2
( X 1 + X 1X 2 + X 2 )
(koreksi jarak S0)
Y - Y ( Y2 - Y1 ) ( X 2 3 - X 13 ) 180 o 2 1 k2 = ( 2X 1 + X 2 ) + 2 2 2 6 R π 6R S ( X 1 + X 2 ) ( Y2 - Y1 ) 180 o k3 = π 2 R2
(koreksi azimut α1)
(koreksi azimut α2)
maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: S = S0.k1
α1 = αo + k2
α2 = α1 – k3
Contoh soal 5.2: Diketahui : P (13.241,985 (13.241,985 m, 92.842,212 m) dan Q (33.465,504 (33.465,504 m, m, 135.990,528 135.990,528 m) Jari-jari bumi R = 6.383.252,7 meter Hitung
: S, α1 , α2
Jawab: Dari data di atas diperoleh: X1 = 13.241,985 13.241,98 5 m
Y1 = 92.842,212 m
X2 = 33.465,504 m
Y2 = 135.990,528 m
Berdasarkan data dan rumus di atas lakukan perhitungan dengan urutan sebagai berikut: a. Hitung ∆X = X2 – X1 = 20.223,519 m b. Hitung ∆Y = Y2 – Y1 = 43.148,316 m c. Hitung S0 = ∆X2 + ∆Y 2 = 47.652,575 m
d. Hitung tan α 0 =
∆X = 0,468697758; ∆Y
karena ∆X positip dan ∆Y positip, sehingga
terletak di kuadran I, maka α0 = 25o 06’ 44,57” e. Hitung k 1 =
cos 2 α 0 1( X 12 + X 1X 2 + X 2 2 ) = 0,99999417 3 R2
Y - Y ( Y2 - Y1 ) ( X 2 3 - X 13 ) 180 o 2 1 f. Hitung k 2 = ( 2X 1 + X 2 ) + 2 2 2 6 R π 6R S = 0,000762794o = 2.75” ( X 1 + X 2 ) ( Y2 - Y1 ) 180 o g. Hitung k 3 = = 0.001416964o = 5,10” π 2 R2 h. Hitung S = S0.k1 = 47.652,297 m (selisihnya dengan S0 hanya 0, 278 m i. Hitung α1 = αo + k2 = 25o 06’ 44,57” + 0o 0’ 2,75” = 25o 06’ 47,32” j. Hitung α2 = α1 – k3 = 25o 06’ 47,32” - 0o 0’ 5,10” = 25o 06’ 42,22” Jadi, jarak geodesik PQ = 47.652,297 m azimut αPQ di P = 25 06’ 47,32” azimut αPQ di Q = 25 06’ 42,22” 5.3.
Metode Legendre Sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat geodetik (lintang ϕ, bujur λ)
dengan pendekatan deret McLaurin dan persamaan diferensial. Bumi dianggap bola dengan jari-jari R.
α2 α1
Q(ϕ Q(ϕ2, λ2)
s
P(ϕ P(ϕ1, λ1) Gambar 5.5 Metode Legendre (1) Menyelesaikan SPG1 : Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1, λ1), azimut geodesik PQ di titik P = α1, dan jarak geodesik PQ = S Hitung
: Koordinat Q (ϕ2, λ2) dan azimut PQ di titik Q = α2
Rumus yang digunakan: ϕ2 = ϕ1 + l1 U - l2 V 2 - l3 U V 2 - ....
....................
λ 2 = λ1 + b1V + b 2 UV + b 3 U2 V - ....
.................
(5.10)
α2 = α1 + a1V + a2 UV + a3 U2 V - ....
................
(5.11)
(5.9)
dimana: 1 l1 = R
l2 =
t
1 b1 = R cos ϕ
b2 =
t R
a2 =
a1 =
l3 =
2 R2 t
1+ 3 t2
b3 =
R2 cos ϕ 1 + 2t 2
a3 =
2R2
t = tan ϕ
V = S sin α1
R = jari-jari bola bumi
Perhitungan berdasarkan ϕ1
6 R3 1 + 3t2 3R3 cos ϕ t(5 + t 2 ) 6R3
U = S cos α1
Metode ini tidak digunakan untuk menyelesaikan SPG 2. Contoh soal 5.3: Diketahui: koordinat P (ϕ ( ϕ1 = 11o 23’ 37”, λ1 = 116o 08’ 54”), jarak geodesik PQ = 202.356,881 meter, azimut azimut geodesik PQ di titik P (= α1) = 47o 42’ 31”, dan jari jari bola R = 6.383.252,7 6.383.252,7 meter, Hitung :
(a) koordinat Q (ϕ2, λ2), dan (b) azimut PQ di titik Q.
Jawab : a. Hitunglah t = tan ϕ = 0,201519331 b. Hitunglah V = S sin α1 = 149.689,908 c. Hitunglah U = S cos α1 = 136.166,217 d. Hitunglah l1 =
1 = 1,5666 x 10-07 R
l3 =
1 + 3 t2
e. Hitunglah b1 =
b3 =
6 R3
l2 =
t 2 R2
= 2,47288 x 10 -15
= 7,18869 x 10 -22
1 = 1,59809 x 10-07 R cos ϕ 1 + 3t2 3R3 cos ϕ
= 1,46664 x 10-21
b2 =
t 2
R cos ϕ
= 5,04518 x 10-15
f.
t Hitunglah a1 = = 3,157 x 10-08 R a3 =
t(5 + t 2 ) 6R3
a2 =
1 + 2t 2 2R2
= 1,32678 x 10 -14
= 6,50912 x 10-22
g. Hitunglah
∆ϕ = l1 U - l 2 V 2 - l 3 U V 2 = 0.021274188o = 0o 01’ 16,59”
h. Hitunglah
ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ = 11o 24’ 53,59”
i.
Hitunglah ∆λ = b1V + b 2 UV + b 3 U 2 V = 0.02402874= 0o 01’ 26,50”
j.
Hitunglah
λ2 = λ1 + ∆λ =
116o 10’ 20,50”
k. Hitunglah ∆α = a1V + a 2 UV + a 3 U 2 V = 0.004997952o = 0o 0’ 17,99” l.
Hitunglah α 2 = α1 + ∆α = 47o 42’ 48,99”
Jadi, koordinat Q = (11 o 24’ 53,59”, 116 o 10’ 20,50”) dan azimut PQ di Q = 47o 42’ 48,99”
5.4.
Metode Gausz Pada metode ini sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat geodetik
(lintang ϕ, bujur λ) dengan pendekatan deret McLaurin. Harga awal deretnya ditentukan di titik tengah garis S. Metode ini dapat digunakan baik untuk bidang bola maupun bidang elipsoid. KU
α
O = titik tengah garis geodesik S
α1
Q
ϕ2 ϕ0 ϕ1
O
P
λ1
λ0
α2
λ2
Gambar 5.6 Metode Gausz A.
Untuk Bidang Bola
(1) Menyelesaikan SPG1 Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1, λ1), azimut geodesik PQ di titik P = α1, dan jarak geodesik PQ = S Hitung
: Koordinat Q (ϕ2, λ2) dan azimut PQ di titik Q = α2
Rumus yang digunakan: S cos α 2 + 3t 2 ∆ϕ = ρ {1 + (S sin α )2 } 2 R 24R
.................
(5.12)
S sin α t2 1 ∆λ = ρ {1 + (S sin α )2 (S cos α )2 } 2 2 R cos ϕ 24R 24R
...........…...
(5.13)
t.S sin α 2 + t2 2t ∆α = ρ {1 + (S sin α )2 + (S cos α )2 } 2 2 R 24R 24R
..................
(5.14)
dimana α dan ϕ = masing-masing masing-mas ing adalah azimut dan lintang rata-rata di titik 0 t
= tan ϕ
Contoh soal 5.4: Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1 = 11o 21’ 32”, λ1 = 125o 03’ 29”), azimut geodesik PQ di titik P = α1 = 28o 06’ 10”, dan jarak geodesik PQ = S = 1.253,456 m. R = 6.383.252,7 Hitung
: Koordinat Q (ϕ2, λ2) dan azimut PQ di titik Q = α2
Jawab : Prosedur perhitungannya perhitunga nnya adalah secara iterasi sebagai berikut: (a) Hitung harga pendekatan; S cos α 1 1 .253 ,456 cos 28 o 06 '10 " 180 o ∆ϕ = ρ= = 0 o , 009924519 R 6.383.252, 7 π 1.253,456 sin 28 o 06'10" 180 o ∆λ = ρ= = 0 o ,005405701 R cos ϕ1 6.383.252,7 cos 11o 21'32" π S sin α1
∆α =
S sin α1 R
1.253,456 sin 28 o 06'10" 180 o o tan ϕ1ρ = tan 11 21'32" = 0o,001064674 6.383.252,7 π
(b) Hitung harga sementara lintang lintang ϕ rata-rata dan azimut α rata-rata dengan rumus ϕ = ϕ1 + 12 ∆ϕ = 11o 21' 32" + 12 (0o , 009924519 ) = 11o 21' 49,86" α = α1 + 12 ∆α = 28o 06' 10” + 12 (0o ,001064674) = 28o 06' 11,91" (c) Hitung ∆ϕ, ∆ϕ, ∆λ, ∆λ, dan ∆α dengan ∆α dengan rumus 5.12, 5.13, dan 5.14 t = tan ϕ = 0.200978864 ∆ϕ =
S cos α 2 + 3t 2 ρ {1 + (S sin α )2 } = 0o ,00992447 2 R 24R
∆λ =
S sin α t2 1 (S sin α)2 (S cos α )2 } = 0o,005405888 = 0 o 0’ 19,46” ρ {1 + 2 2 R cos ϕ 24R 24R
∆α =
t.S sin α 2 + t2 2t {1 + (S sin α )2 + (S cos α)2 } 2 2 R 24R 24R
= 0o 0’ 35,72”
= 0o.001065169 = 0 o 0’ 03,83”
(d) Hitung ϕ2, λ2, dan α2 dengan rumus ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ = ∆ϕ = 11o 21’ 32” + 0o 0’ 35,72”
=
11o 22’ 07,72”
λ2 = λ1 + ∆λ ∆λ = 125o 03’ 29” + 0o 0’ 19,46” = 125o 03’ 48,46” α2 = α1 + ∆α = ∆α = 28o 06’ 10” + 0o 0’ 03,83”
=
28o 06’ 13,83”
Inilah hasil iterasi pertama. (e) Jika anda diminta melakukan iterasi kedua, hitung harga rata-rata lintang ϕ dan azimut α dengan rumus ϕ + ϕ2 ϕ= 1 dan 2
α + α2 α= 1 2
(f) Hitung lagi ∆ϕ, ∆ϕ, ∆λ, ∆λ, dan ∆α dengan ∆α dengan rumus 5.12, 5.13, dan 5.14 (g) Hitung ϕ2, λ2, dan α2, (h) Seterusnya lakukan lagi langkah (e), (f), dan (g) sampai hasilnya bernilai tetap, atau selisihnya kecil sekali. (2) Menyelesaikan SPG2 Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1, λ1) dan Q (ϕ (ϕ2, λ2) Hitung
: Azimut geodesik PQ di titik P = α1, azimut PQ di titik Q = α2, dan jarak geodesik PQ = S
Rumus yang digunakan:
2 + 3t 2 U = S cos α = R (ϕ2 - ϕ1) 1 {(λ 2 - λ1) cos ϕ} 2 24
…............... (5.15)
1 1 V = S sin α = R (λ 2 - λ1) cos ϕ 1{(λ 2 - λ1) sin ϕ} 2 ( ϕ2 - ϕ1)2 24 24 tan α =
V U
α = arctan
V U
2 + t2 t {(λ 2 - λ1) cos ϕ} 2 + (ϕ2 - ϕ1)2 ∆α = ( λ 2 - λ1) sin ϕ 1 + 24 12 α1 = α - 1 ∆α dan 2
S=
U V = = cos α sin α
α 2 = α + 1 ∆α 2
U2 + V 2
ϕ = lintang rata-rata di titik 0 = (ϕ1 + ϕ2)/2 t = tan ϕ
............. (5.16)
................... (5.17)
............. (5.18) ……............ (5.19) .................... (5.20)
Contoh soal 5.5: Diketahui: koordinat P (18 o 18’ 50”, 141o 55’ 03”) dan Q (21o 29’ 22”, 145o 08’ 45”) Tentukan azimut α1, α2, dan jarak S. Jari-jari bola R = 6.383.252,7 meter. Jawab: a. Hitung lintang rata-rata ϕ =
ϕ1 + ϕ 2 = 19o 54’ 06” 2
b. Hitung t = tan ϕ = 0,362027847
2 + 3t 2 c. Hitung ∆U = 1 {(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 = 0,081168474 24 d. Hitung U = R (ϕ 2 - ϕ1) ∆U = 1.645.315,296
e. Hitung ∆V = 1 -
f.
1 1 {(λ 2 - λ 1 ) sin ϕ} 2 (ϕ 2 - ϕ1 ) 2 = 0,529506772 24 24
Hitung V = R (λ 2 - λ 1) cos ϕ ∆V = 10.260.022,316
g. Hitung α = arctan
V = 80,88951395o = 80o 53’ 22,25” U
2 + t2 t h. Hitung k = 1 + {(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 + (ϕ 2 - ϕ1 ) 2 = 2,122419846 24 12 i.
Hitung ∆α = (λ 2 - λ 1 ) sin ϕ.k = 2,332426813 2,332426813o = 2o 19’ 56,74”
j.
Hitung α1 = α - 1 ∆α = 80o 53’ 22,25” - 1 x 2o 19’ 56,74” = 79o 43’ 23,88” 2 2
k. Hitung α2 = α + 1 ∆α = 80o 53’ 22,25” + 1 x 2o 19’ 56,74” = 82o 03’ 20,62” 2 2 l.
Hitung S =
U2 + V 2
= 10. 391.107,753 meter
Jadi, azimut α1 = 79o 43’ 23,88”, α2 = 82o 03’ 20,62”, dan jarak S = 10. 391.107,753 meter B.
Untuk Bidang Elipsoid
(1) Menyelesaikan SPG1 Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1, λ1), azimut geodesik PQ di titik P = α1, dan jarak geodesik geodesik PQ = S Hitung
: Koordinat Q (ϕ2, λ2) dan azimut PQ di titik Q = α2
Rumus yang digunakan: ∆ϕ = A
∆λ = B
[
]
S cos α 1 - E{(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 - F(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 λ - λ1 cos( 2 ) 2
[
S sin α 1 + C{(λ 2 - λ 1 ) sin ϕ} 2 - D(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 cos ϕ
]
∆α = (λ 2 - λ 1) sin ϕ 1 + G{(λ 2 - λ 1) cos ϕ} 2 + H(ϕ 2 - ϕ1) 2
...........
(5.21)
…. .......
(5.22)
..….........
(5.23)
dimana A=
D=
ρ M
B=
1 + η 2 - 9η 2 t 2 2
24ρ V H=
E=
4
24ρ V
1
C=
24ρ
1 - 2η 2 24ρ
3 + 8η 2 2
ρ N
2
F=
η2 = e'2 cos2 ϕ
2
η2 (1 - t 2 ) 2
8ρ V
G=
4
1 + η2 12ρ 2
α dan ϕ = azimut dan lintang rata-rata di titik 0
4
t = tan ϕ
v = S sin α
Contoh soal 5.6: Diketahui: Titik P dengan lintang ϕ1 = 5o 11’ 23”,1 U; bujur λ1 = 103o 26’ 04”,2 T. Jarak geodesik PQ, S = 200.000,000 m dan azimut PQ, α1 = 25o 06’ 47”,32 Hitung:
Koordinat titik Q (ϕ2, λ2) dan azimut α2, jika elipsoid yang digunakan GRS-67 dan menggunakan metode Gausz (Metode titik tengah)
Jawab: (a) Besaran elipsoid elipsoid GRS-67, GRS-67, a = 6.378.160 meter, e2 = 0,0066947594, 0,0066947594, e’2 = 0,0067398813 (b) Hitung M dan N (lihat bab bab III) M=
a(1- e2 ) 2
2
3
= 6.335.980,341 6.335.980, 341 m
a
N=
(1- e sin ϕ)
2
2
= 6.378.334,694 m
1 - e sin ϕ
(c) Menghitung besaran pengali (pendekatan): (pendekatan) : ρ
= 180o / π = 57o, 29577951308232
η2 = e’2 cos2ϕ1 = 0,00668473557857
t
= tan ϕ1 = 0,09082675427938
v
A
= 9,042922552 x 10-6
B = 8,982874412 x 10-6
C = 1,269239249 x 10-5
D
= 2,460209054 x 10-25
E = 1,252270192 x 10-5
F = 4,862959045 x 10-27
G
= 2,555447556 x 10-5
H = 7,465991219 x 10-25
= Ssin α1 = 84.881,432
(d) Menghitung harga pendekatan ∆λ 1 = B ∆ϕ1 = A
S sin α1 cos ϕ1
= 0,765617823 = 0 o 45’ 56”,224
S cos α1 cos( 1 ∆λ 1 )
= 1,765403138 = 1 o 45’ 55”,451
2
∆α1 = ∆λ1 sin ϕ1 = 0,069253515 = 0 o 04’ 09”,313 (e) Menghitung lintang dan bujur rata-rata sementara
ϕ = ϕ1 + 12 ∆ϕ1 = 6o 04’ 20”,826 α = α1 + 12 ∆α1 = 25o 08’ 51”,976 (f) Menghitung ∆ϕ, ∆λ, dan ∆α menurut rumus 5.21, 5.22, dan 5.23, diperoleh:
∆ϕ = 1,764889923675 = 1o 45’ 53”,604 ∆λ = 0,767770315954 = 0o 46’ 03”,973 ∆α = 0,080992824132 = 0o 04’ 51”,574 (g) Menghitung ϕ2, λ2, dan α2 hasil iterasi pertama
ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ =
6o 57’ 16”,704
λ2 = λ1 + ∆λ = 104o 12’ 08”,173 α2 = α1+ ∆α =
25o 11’ 38”,894
(h) Untuk menghitung iterasi kedua, di mulai dengan menghitung harga tengah:
ϕ = (ϕ1 + ϕ2)/2 =
6o 04’ 19”,902
λ = (λ1 + λ2)/2 = 103o 49’ 06”,187 α = (α1 + α2)/2 = 25o 09’ 13”,107 (i) Menghitung kembali M dan N dengan harga baru ϕ dan λ hasil hitungan di atas M = 6.336.171,728m dan N = 6.378.398,916 m (j) Menghitung kembali besaran pengali dengan harga ϕ, λ dan dan α baru hasil hitungan di atas A = 9,042649406 x 10-6
B = 8,982783967 x 10-6
C = 1,269239249 x 10-5
D = 2,444935141 x 10-25
E = 1,252321651 x 10-5
F = 4,804180909 x 10-27
G = 2,555396096 x 10-5
H = 7,420740500 x 10-25
(k) Menghitung kembali ∆ϕ, ∆λ, dan ∆α menurut rumus 5.21, 5.22, dan 5.23 berdasarkan harga baru
∆ϕ = 1,637066017218 = 1 o 38’ 13”,438 ∆λ = 0,767929694140 = 0o 46’ 04”,547 ∆α = 0,001417485029 = 0o 00’ 05”,103
(l) Menghitung ϕ2, λ2, dan α2 hasil iterasi kedua ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ =
6o 49’ 36”,538
λ2 = λ1 + ∆λ ∆λ = 104o 12’ 08”,747 α2 = α1+ ∆α =
25o 06’ 52”,423
Perhitungan iterasi ketiga dan seterusnya dilakukan seperti langkah (h) s.d (l) sampai didapat harga ϕ2, λ2, dan α2 berharga tetap atau perubahannya masuk dalam batas ambang. (2) Menyelesaikan SPG2 Diketahui : Koordinat Koordinat P (ϕ1, λ1) dan Q (ϕ (ϕ2, λ2) Hitung
: Azimut geodesik PQ di titik P = α1, azimut PQ di titik Q = α2, dan jarak geodesik PQ = S
Rumus yang digunakan: U = S cos α
V = S sin α
[
U=
λ - λ1 1 (ϕ 2 - ϕ1 ) cos( 2 ) 1 + E{(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 + F(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 A 2
V=
1 (λ 2 - λ 1 ) cos ϕ 1 - C{(λ 2 - λ 1 ) sin ϕ} 2 + D(ϕ 2 - ϕ1) 2 B
S=
[
U2 + V 2
tan α =
]
]
……... .....
(5.24)
................
(5.25)
.....…. .....
(5.26)
V U
∆α = (λ 2 - λ 1 ) sin ϕ 1 + G{(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 + H(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 dimana A=
D=
H=
ρ M
B=
1 + η 2 - 9η 2 t 2 24ρ 2 V 4 3 + 8η 2 24ρ 2 V 4
E=
ρ N 1 - 2η 2 24ρ 2
ϕ + ϕ2 ϕ= 1 2
C=
F=
t
1 24ρ 2 η2 (1 - t 2 ) 8ρ 2 V 4
η2 = e'2 cos2 ϕ
G=
1 + η2 12ρ 2
= tan ϕ
Contoh soal 5.7 : Diketahui: Titik P (lintang (lintang ϕ1 = 5o 11’ 23” LU; bujur λ1 = 103o 26’ 04” BT) dan Titik Q (lintang ( lintang ϕ2 = 6o 49’ 37” LU; bujur λ2 = 104o 12’ 09” BT) Tentukan: Azimut geodesik geodesik PQ PQ di titik P = α1 dan di titik Q = α2, dan jarak geodesik geodesik PQ = S Jawab:
(a) Besaran elipsoid elipsoid GRS-67, GRS-67, a = 6.378.160 meter, e2 = 0,0066947594, 0,0066947594, e’2 = 0,0067398813 ϕ + ϕ2 (b) Hitung lintang rata-rata: rata-rata: ϕ = 1 = 6o 0’ 30” 2 (c) Hitung
a(1- e2 )
M=
2
2
= 6.336.156,884 m
3
(1- e sin ϕ) (d) Hitung
a
N=
2
2
= 6.378.393,935 m
1 - e sin ϕ (e) Hitung
η2 = e'2 cos2 ϕ = 0,006666036
(f) Hitung
A=
ρ = 9,04267 x 10-06 M
B=
ρ = 8,98279 x 10-06 N
(g) Hitung harga pendekatan untuk U, Up =
λ - λ1 1 (ϕ 2 - ϕ1 ) cos( 2 ) = 181.051,099 A 2
(h) Hitung harga pendekatan untuk V,
1 (λ 2 - λ 1 ) cos ϕ = 85.033,302 B
(i) Hitung (j) Hitung
t = tan ϕ = 0,105251288 C=
1 24ρ
(k) Hitung
E=
2
G=
U=
2
1 + η2 12ρ
(m) Hitung
= 1,26924 x 10
1 - 2η 2 24ρ
(l) Hitung
Vp =
2
-05
D=
1 + η 2 - 9η 2 t 2 2
24ρ Vp -05
= 1,25232 x 10
F=
η2 (1 - t 2 ) 2
8ρ Vp = 2,5554 x 10
-05
H=
4
3 + 8η 2 2
24ρ Vp
4
4
= 2,44223 x 10-25
= 4,80107 x 10-27
= 7,41243 x 10-25
[
λ - λ1 1 (ϕ 2 - ϕ1 ) cos( 2 ) 1 + E{(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 + F(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 A 2
]
= 181.052,422 (n) Hitung
V=
[
Inilah iterasi pertama, jika ingin dicari iterasi kedua maka: (o) Hitung
D=
(p) Hitung
F=
(q) Hitung
H=
]
1 (λ 2 - λ 1 ) cos ϕ 1 - C{(λ 2 - λ 1 ) sin ϕ} 2 + D(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 = 85,033.295 B
1 + η 2 - 9η 2 t 2 24ρ 2 V 4 η2 (1 - t 2 ) 8ρ 2 V 4 3 + 8η 2 24ρ 2 Vp
4
= 2,44223 x 10-25
= 4,80107 x 10 -27
= 7,41243 x 10-25
Karena hasil D, F, dan H pada iterasi kedua sama dengan hasil D, F dan H pada iterasi pertama, maka perhitungan iterasi kedua tidak t idak dilanjutkan. Jadi, U = 181.052,422 dan V = 85,033.295 (r) Hitung
S=
U2 + V 2 = 200.026,600 meter V = 25,15762228 = 25 o 09’ 27” U
(s) Hitung
α = arctan
(t) Hitung
∆α = (λ 2 - λ 1 ) sin ϕ 1 + G{(λ 2 - λ 1 ) cos ϕ} 2 + H(ϕ 2 - ϕ1 ) 2 =0.080395962o = 0o 04’ 49”
(u) Hitung
α1 = α −
1 ∆α = 25o 09’ 27” - 0o 02’ 25” = 25o 07’ 02” 2
(v) Hitung
α2 = α +
1 ∆α = 25o 09’ 27” + 0o 02’ 25” = 25o 11’ 52” 2
Jadi,
azimut geodesik PQ di titik P = α1 = 25o 07’ 02” dan di titik Q = α2 = 25o 11’ 52”, dan jarak geodesik PQ = S = 200.026,600 meter
5.5.
Evaluasi
1. Koordinat P(23.569,437 m; 88.621,043 m). Azimut geodesik αPQ = 57o 55’ 22,3” dan jarak geodesik Spq = 123.753,219 m. Hitung (a) koordinat titik Q(X q, Yq) dan (b) azimut αPQ di titik Q. Bumi dianggap bola dengan jari-jari R = 6.383.252,7 meter. 2. Jika koordinat P(30.583,773 m; 93.651,978 m) dan koordinat Q(44.338,690 m; 119.668,396 m), Bumi dianggap dianggap bola dengan jari-jari R = 6.383.252,7 6.383.252,7 meter. Hitung Hitung (a) jarak geodesik PQ, (b) azimut PQ dari titik P, dan (c) azimut PQ dari titik Q. 3. Jika koordinat P (ϕ1 = 7o 11’ 07” LU, λ1 = 114o 26’ 37” BT), jarak geodesik PQ = 214.093,649 meter, azimut geodesik PQ di titik P = α1 = 32o 27’ 19”, dan jari-jari bola R = 6.383.252,7 6.383.252,7 meter, hitung (a) koordinat koordinat Q (ϕ (ϕ2, λ2), dan (b) azimut PQ di titik Q. 4. Koordinat P(21o 15’ 27,07” LU, 121o 35’ 32,88 BT). Azimut geodesik α1 = 23 o 14’ 51,5” dan jarak geodesik S = 275.433,021 m. Hitung (a) koordinat titik Q (ϕ ( ϕ2, λ2) dan (b) azimut α2. Jari-jari bola R = 6.383.252,7 meter.
5. Koordinat P(18o 18’ 50,47”, 141o 55’ 03,46) dan Q(21 o 29’ 22,34”, 145o 08’ 45,56”). Tentukan azimut α1, α2, dan jarak S. Jari-jari bola R = 6.383.252,7 meter. 6. Koordinat P(18o 18’ 50,47”, 141o 55’ 03,46). Azimut geodesik α1 = 45o 21’48,5” dan jarak geodesik S = 36.982,446 m. Hitung (a) koordinat titik Q (ϕ2, λ2) dan (b) azimut α2. Elipsoid GRS-67 . 7. Koordinat P(18o 18’ 50,47”, 141o 55’ 03,46) dan Q(21 o 29’ 22,34”, 145o 08’ 45,56”). Tentukan azimut α1, α2, dan jarak S. Bumi dianggap elipsoid GRS-67.
Sumber Pustaka: 1. Bock, Y. 1996. Reference System, GPS for Geodesy, Lecture Notes in Earth Sciences, A. Kleusberg and P.J.G. Teunissen (eds.), Springer – Verlag Berlin Heidelberg, Germany 2. Defense Mapping Mapping Agency. 1993. World Geodetic Geodetic System 1984: Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems, Technical Report, Second Edition, The Department of Defence, United States of America 3. Hofmann, B., Wellenhof, Wellenhof, H. Lichtenegger, and J. Collins. 1992. GPS : Theory and Practice, Springer – Verlag Wien, Austria 4. Priyanto, E., 2002, 2002, Kerangka Kontrol Kontrol Geodesi untuk untuk Survei dan dan Pemetaan, Bimbingan Bimbingan Teknis Peta Daerah, Direktorat Perbatasan, Dirjen Pemerintahan Umum, Dept. Dalam Negeri, Jakarta, 23 – 26 Juli 2002 5. Purworaharjo, Purworaharjo, Umaryono. Umaryono. 1986. 1986. Hitung Hitung Proyeksi Proyeksi Geodesi I, Diktat Kuliah, Kuliah, Jurusan Teknik Geodesi FTSP ITB, Bandung 6. Wongsotjitro, Soetomo. Soetomo. 1981. Ilmu Geodesi Tinggi 1, Edisi Edisi pertama, Penerbit Penerbit Yayasan Kanisius, Yogyakarta
