2.1 PENDAHULUAN
Dalam bab ini kita akan membahas penentuan struktur kristal. Menentukan struktur dengan mempelajari pola difraksi sinar radiasi datang pada kristal. Difraksi sinar hanya terjadi dalam arah tertentu, dengan cahaya difraksi oleh kisikisi. Dengan mengukur arah struktur kristal yang berperan dalam difraksi. dif raksi. Tiga jenis radiasi yang digunakan yaitu sinar-x, neutron, dan elektron. Perlakuan terhadap ketiga jenis sangat mirip, sehingga kita akan memeriksa secara detail hanya kasus sinar-x. Setelah diskusi singkat dari generasi dan penyerapan sinar-x, kita akan memberikan derivasi sederhana hukum Bragg. Kami kemudian akan melanjutkan untuk menunjukkan bahwa hukum ini digunakan dalam perlakuan yang lebih canggih menggunakan konsep teori hamburan. Dalam hubungan ini kita akan membahas kisi resiprok, dan juga aspek-aspek eksperimental penentuan kristal: struktur oleh sinar-x. Kami kemudian akan bicara tentang neutron dan difraksi elektron elektron Menentukan struktur cairan dibahas dalam Bagian 2.8, dimana menunjukkan bagaimana seseorang bisa mendapatkan mendapatkan distribusi pasangan pasangan dengan mengukur faktor struktur yang disebut cairan. Beberapa konsep yang disajikan di sini, terutama difraksi dan kisi resiprok akan berguna dalam pembahasan vibrasi kisi dalam Bab 3, dan elektron dalam kristal, dalam Bab 5. 2.2 GENERASI DAN PENYERAPAN SINAR – X X
Sinar- X adalah gelombang elektromagnetik dengan sifat fisik yang sama seperti gelombang elektromagnetik lainnya, seperti gelombang optik. Panjang gelombang sinar-x sama dengan konstanta kisi kristal, dan hal inilah yang membuat sinar-x berguna dalam analisis struktur kristal. Energi dari sinar-x foton
, di mana h adalah konstanta Planck dan adalah frekuensi (Bagian AI). Mengganti h = 6,6 x 10 erg.s dan λ = = 1 (ingat bahwa = c / λ ), ), orang menemukan energi E »10 eV, yang merupakan nilai diberikan oleh hubungan Einstein
-27
4
khas.
Pengaturan eksperimen dasar untuk menghasilkan sinar-x digambarkan pada Gambar 2.1. Elektron yang dipancarkan dari katoda di dalam tabung vakum dipercepat oleh potensial yang besar. Sehingga elektron memperoleh energi kinetik yang tinggi dan ketika elektron menumbuk target logam yang membentuk anoda pada ujung tabung, hamburan sinar-x yang dipancarkan. Beberapa radiasi sinar-x kemudian diekstraksi dari tabung dan digunakan untuk tujuan yang dimaksudkan. Radiasi yang dipancarkan memiliki spektrum kontinyu yang luas, yang ditekankan serangkaian garis diskrit. Spektrum kontinyu terjadi karena emisi radiasi oleh elektron seperti yang dibelokkan oleh muatan nuklir pada target, sedangkan garis diskrit disebabkan emisi oleh atom dalam target setelah garis diskrit tersebut ditimbulkan oleh elektron yang datang. Frekuensi maksimum spektrum kontinyu vo berhubungan dengan potensial percepatan oleh eV = hv0, karena energi maksimum foton tidak dapat melebihi energi kinetik dari elektron yang datang. Panjang gelombang λ diberikan oleh persamaan
(2.1)
dimana V adalah dalam kilovolt. Ketika sinar sinar-x melewati bahan, sebagian sinar diserap. Intensitas berkas dilemahkan menurut hubungan
(2.2)
Dimana I o adalah intensitas awal pada permukaan medium dan x jarak tempuh. Parameter ini dikenal sebagai koefisien penyerapan. Pelemahan intensitas diungkapkan oleh persamaan (2.2) yang disebabkan oleh hamburan dan penyerapan penyerapan berkas oleh atom dalam medium.
Gambar 2.1 Generasi Sinar-x Sinar-x
2.3
HUKUM BRAGG
Ketika berkas sinar-x monokromatik datang pada permukaan kristal, terjadi refleksi hanya ketika sudut datang memiliki nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai ini tergantung pada panjang gelombang dan konstanta kisi kristal, dan untuk menjelaskan reflektifitas selektif dalam hal efek interferensi, seperti dalam optik fisik. Model ini diilustrasikan pada Gambar. 2.2 (a), di mana kristal diwakili oleh satu set bidang paralel, sesuai dengan bidang atom.
Gambar. 2.2
(a) Refleksi sinar-x dari kristal. Sinar tercermin hampir sejajar karena detektor diposisikan jauh dari kristal, (b) Intensitas refleksi dari kristal KBr. Bidang refleksi untuk berbagai puncak ditunjukkan.
Sinar datang dipantulkan sebagian pada masing-masing bidang, yang bertindak sebagai cermin, dan sinar refleksi kemudian dikumpulkan secara simultan pada detektor jauh. Sinar refleksi mengganggu pada detektor dan, menurut optik fisik, gangguan tersebut bersifat konstruktif hanya jika perbedaan antara jalur dari dua sinar berturut-turut merupakan kelipatan integral dari panjang gelombang. Artinya, Perbedaan Perbedaan lintasan = nλ ,
n = 1, 2, 3, .. . ,
(2.3)
dimana A adalah panjang gelombang dan bilangan bulat positif. Perbedaan antara lintasan sinar 1 dan 2 pada gambar adalah =
AB
+
BC – AC'
= 2 AB -
Dalam menyamakan
AB
AC'
dan
BC
, kita telah mengasumsikan bahwa
refleksi adalah Specular , bahwa timbulnya sudut sama dengan sudut refleksi. Ketika jarak interplanar dilambangkan dengan d, maka dari angka itu AB
= d/ sin and
dimana
AC'
=
AC
cos = (2d //tan ) x cos ,
adalah peristiwa kesudutan antara balok dan bidang refleksi
Substitusikan ini ke dalam persamaan (2.3) dan melakukan beberapa manipulasi trigonometri, kita sampai pada kondisi berikut untuk interferensi konstruktif:
2d sin = nλ
(2.4)
Ini adalah hukum yang dinyatakan Bragg. Sudut ditentukan oleh (2.4), diberikan d dan λ adalah sudut-satunya di mana refleksi berlangsung. Di sudut lain sinar tercermin saling interferensi destruktif, dan akibatnya sinar tercermin menghilang, yaitu, berkas datang melewati kristal terganggu. Refleksi sesuai dengan n - 1, 2, dll, yang disebut sebagai urutan pertama, urutan kedua, dll, masing-masing
intensitas
sinar
dipantulkan
semakin
menurun
dengan
meningkatnya pesanan. Hal ini sebenarnya lebih tepat untuk berpikir dari refleksi terjadi di sini sebagai difraksi, sebagai konsep gangguan merupakan bagian penting dari proses. Ide dasar yang mendasari penggunaan hukum Bragg dalam mempelajari struktur kristal tampak jelas dari (2.4). Karena λ dapat ditentukan secara bebas, dan karena dapat diukur secara langsung dari percobaan refleksi (itu adalah setengah sudut antara sinar datang dan berkas terdifraksi, seperti yang ditunjukkan dalam gambar), seseorang dapat menggunakan (2.4) untuk menghitung jarak interplanar d. Perhatikan bahwa, menurut (2.4), difraksi adalah mungkin hanya jika λ <2d, yang menunjukkan mengapa gelombang optik, misalnya, tidak dapat digunakan di sini. Perhatikan juga bahwa jika kristal diputar, sinar terdifraksi baru mungkin muncul sesuai dengan satu set baru pesawat. Gambar 2.2 (b) menunjukkan refleksi Bragg dari KBr.
Model ini telah digunakan dalam hukum Bragg yang disederhanakan. Mengingat fakta bahwa hamburan sinar-x disebabkan oleh atom diskrit sendiri, seseorang mungkin menolak mewakili bidang atom oleh satu set cermin mencerminkan terus menerus. Perlakuan yang tepat harus dipertimbangkan terhadap berkas difraksi yang terjadi karena interferensi sinar parsial yang tersebar oleh semua atom dalam kisi. Artinya, seseorang harus memperlakukan kisi sebagai kisi difraksi tiga-dimensi. Dalam menambahkan kontribusi dari sinar parsial, seseorang harus membayar perhatian khusus pada fase sinar ini, seperti dalam optik analog Program ini, yang dikembangkan dalam bagian-bagian berikut, membawa kita kembali ke hukum Bragg, tapi kami akan mendapatkan apresiasi yang lebih mendalam dari proses difraksi analog. 2.4 HAMBURAN DARI SEBUAH ATOM
Proses difraksi dapat dibagi menjadi dua tahap alami: (I) hamburan oleh atom tunggal, dan (2) interferensi antara sinar terhambur. Karena dua tahap yang berbeda satu sama lain, kita akan memperlakukan mereka secara independen. Mengapa sebuah atom terhambur dari berkas sinar-x? Nah, setiap atom dikelilingi oleh elektron yang mengalami akselerasi bawah dari medan listrik yang terkait dengan berkas. Karena muatan dipercepat maka memancarkan radiasi (suatu fakta yang dikenal dari elektromagnetsasi, begitu juga elektron pada atom). Akibatnya elektron menyerap energi dari berkas, dan menyebarkannya ke segala arah. Tapi elektron membentuk muatan di sekitar atom, sehingga ketika mempertimbangkan hamburan dari atom secara keseluruhan, kita harus memperhitungkan perbedaan fase antara sinar yang terhambur dari berbagai daerah muatan. Pertimbangkan sebuah elektron tunggal, seperti ditunjukkan pada Gambar. 2.3 (a). Bidang gelombang yang diberikan oleh
(2.5)
yaitu gelombang datang pada elektron, di mana A adalah amplitudo, k o vektor gelombang (k o = 2π / λ ), dan ω frekuensi sudut.
Bidang hamburan berbentuk bola dengan gelombang keluar yang ditunjukkan dengan
(2.6)
dimana f c adalah parameter yang dikenal sebagai panjang hamburan elektron, dan D adalah jarak radial dari elektron ke titik dimana medan dievaluasi. Kuantitas k adalah bilangan gelombang dari gelombang yang tersebar, dan memiliki besarnya sama dengan k o. Perhatikan bahwa amplitudo gelombang tersebar mengalami penurunan dengan jarak l/D, sifat yang dimiliki oleh semua gelombang bola.
Gambar 2.3 Hamburan dari (a) elektron tunggal, (b) dua elektron, (c) vector hamburan s. Catatan vektor k 0, k dan s berada dalam sebuah segitiga.
Dengan mengandaikan gelombang datang pada dua elektron seperti pada Gambar 2.3 (b). Dalam hal ini, kedua elektron memancarkan gelombang bola, dan bidang hamburan diamati pada titik yang jauh dengan jumlah dari dua bidang parsial, dimana perbedaan fasanya harus diperhitungkan. Dengan demikian kita memiliki
[ ]
(2.7)
dimana δ adalah fase gelombang dari elektron 1 di belakang elektron 2. (Faktor waktu yang telah dihilangkan, namun kehadirannya yang tersirat). Mengacu pada gambar maka didapatkan persamaan
̅ ̅
dimana r adalah jari-jari vektor elektron 2 relatif terhadap elektron 1, dan So dan S adalah vektor unit dalam arah datang dan arah terhambur. δ dapat diungkapkan dalam bentuk
(2.8)
δ = s. r dimana hamburan vektor s didefinisikan sebagai
( – )
(2.9a)
Seperti yang terlihat dari Gambar 2.3 (c), besarnya vektor hamburan diberikan oleh
(2.9b)
dimana θ adalah setengah dari sudut hamburan. Subsitusi persamaan (2.8) untuk δ ke dalam persamaan (2.7), kita menemukan
[ ]
(2.10)
Dalam hal ini koordinat awal di elektron 1. Namun akan lebih baik jika menggunakan titik koordinat sebarang dan dengan cara ini menggunakan dua elektron pada titik yang sama. Persamaan untuk bidang hamburan menjadi
[ ]
(2.11)
dimana r1 dan r2 adalah vektor posisi dari dua elektron relatif. Persamaan (2.10) adalah kasus khusus dari (2.11), dimana r1 = 0 menggunakan elektron 1, sebagaimana disebut di atas. Generalisasi dari persamaan (2.11) ke bilangan sebarang dari hamburan, dan hasilnya adalah
∑
dimana r 1 adalah posisi elektron
(2.12)
, dan jumlah tersebut dibawa semua elektron.
Dengan analogi kasus elektron tunggal, persamaan. (2.6), panjang hamburan untuk sistem secara keseluruhan diberikan oleh penjumlahan
∑
(2.13)
Artinya, panjang hamburan adalah total jumlah panjang individu dengan fase yang diperhitungkan. Intensitas I dari berkas hamburan sebanding dengan kuadrat besarnya medan, dan karenanya
| | ∑
(2.14)
Hasil (2.13) dan (2.14) adalah persamaan dasar dalam hamburan dan proses difraksi. Kita mungkin menyimpang sebentar untuk menunjukkan aspek penting dari hamburan dengan proses: sifat koheren terlibat dalam hamburan. Sifat ini berarti hamburan memiliki hubungan fase yang pasti dengan satu sama lain. Akibatnya kita dapat berbicara tentang interferensi antara sinar parsial. Sebaliknya, jika hamburan berosilasi secara acak, atau tidak jelas, sinar parsial tidak akan berinterferensi, dan intensitas pada detektor merupakan jumlah dari intensitas parsial, yaitu,
(2.15)
dimana N adalah jumlah hamburan. Perhatikan perbedaan yang nyata antara hasil ini dan hamburan koheren dalam persamaan (2.14). Panjang hamburan elektron ditemukan dalam buku-buku tentang elektromagnetik. Nilainya adalah
di mana r e kembali, jari-jari klasik dari elektron, memiliki nilai sekitar 10-15 m. Kita sekarang dapat menerapkan hasil untuk kasus atom bebas tunggal. Dalam menerapkan (2.13), dimana jumlah elektron muncul, kami mencatat bahwa elektron tidak memiliki posisi diskrit, tetapi menyebar sebagai muatan yang
berkeadaan terus menerus selama volume atom. Oleh karena itu diperlukan mengkonversi jumlah diskrit dengan integral yang sesuai. Hal ini menyebabkan
dimana ρ(r) adalah densitas cloud (dalam elektron per satuan volume), dan integral terhadap volume atom. f a merupakan faktor hamburan atom didefinisikan sebagai integral yang muncul dalam persamaan di atas yaitu,
∫
(2.16)
( Perhatikan bahwa f a berdimensi kuantitas). Integral dapat disederhanakan ketika densitas ρ (r) adalah inti yang berbentuk bola simetris, kemudian diintegralkan terhadap sudut dari elemen volume. Persamaan yang dihasilkan adalah
∫
(2.17)
dimana r adalah jari-jari atom (inti yang berada di titik asal). Seperti yang terlihat dari (2.17), f a faktor hamburan tergantung pada sudut hamburan (ingat bahwa
), dan ini terjadi jika faktor osilasi diintegralkan. Panjang gelombang osilasi berbanding terbalik dengan s pada Gambar. 2.4 (a). Mengingat bahwa
dalam persamaan (2.9), kita melihat bahwa sudut hamburan
meningkat, begitu juga halnya s, dan hasil ini akan menurunkan sebuah faktor hamburan f a.
Gambar. 2.4 (a) faktor osilasi . (b) faktor hamburan atom untuk atom karbon sebagai fungsi dari sudut hamburan (Woolfson) .
Untuk melangkah lebih jauh dengan evaluasi f a, kita perlu mengetahui kerapatan elektron
untuk atom yang bersangkutan. Untuk informasi ini kita
harus beralih ke literatur tentang fisika atom. Gambar 2.4 (b) menunjukkan faktor hamburan untuk karbon. Ada satu arah khusus dimana f a dapat dievaluasi sekaligus, yaitu arah depan. Dalam kasus ini, = 0, s = 0, dan karenanya faktor osilasi berkurang (ingat bahwa
). Persamaan (2.17) kemudian menjadi
∫
dan integral hanya sama dengan jumlah elektron dalam atom, yaitu, nomor atom Z Oleh karena itu kita dapat menulis
(2.18)
Jadi untuk karbon f a (θ = 0) = 6 dalam perjanjian dengan Gambar. 2.4 (b). pengertian fisik (2.18) cukup jelas: Ketika kita melihat ke arah depan semua sinar parsial berada dalam fase, mengalami interferensi konstruktif. 2.5
HAMBURAN DARI KRISTAL
Tujuan utama kami dalam bab ini adalah, tentu saja, untuk menyelidiki hamburan dari kristal, dan sekarang kita akan melanjutkan untuk menerapkan Persamaan. (2.13) dengan situasi ini. Dengan analogi kasus atom, kita mendefinisikan hamburan f cr faktor kristal sebagai
∑
(2.19)
di mana jumlah di sini meluas atas semua elektron dalam kristal. Untuk memanfaatkan faktor hamburan atom dibahas dalam bagian sebelumnya, kita dapat membagi jumlah 2.19 menjadi dua bagian: Pertama kita menjumlahkan seluruh elektron dalam atom tunggal, dan kemudian jumlah seluruh atom dalam kisi. Penjumlahan ganda pada penjumlahan semua elektron dalam kristal, seperti yang dipersyaratkan oleh 2.19. Sejak pertama dari jumlah di atas mengarah ke faktor hamburan atom, persamaan 2.19 dengan demikian dapat ditulis dalam bentuk
∑
(2-20)
di mana R t, adalah posisi atom l th dan f al, faktor atom yang sesuai. Sekarang mudah untuk menulis ulang persamaan 2.20 sebagai produk dari dua faktor, yang melibatkan sejumlah sel unit, dan jumlah lainnya atas semua sel unit dalam kristal. Jadi kita mendefinisikan F faktor struktur geometri
∑ di mana penjumlahan selesai semua atom dalam sel unit, dan
(2.21)
, adalah posisi
relatif dari atom l th. Demikian pula kita mendefinisikan faktor struktur kisi
∑
(2.22)
di mana jumlah yang membentang di atas semua sel unit dalam kristal, dan merupakan posisi sel l th Untuk mengekspresikan F cr dalam hal F dan S, kita
kembali ke (2.20), menulis R l = R l(c) + δ j, dan kemudian gunakan (2.21) dan (2.22). Hasilnya adalah jelas f cr = F S
(2.23)
Perhatikan bahwa faktor S kisi hanya bergantung pada sistem kristal yang terlibat, sedangkan F tergantung pada bentuk geometris serta isi sel satuan. Dalam kasus khusus dari kisi sederhana, di mana sel satuan mengandung atom tunggal, F faktor menjadi sama dengan f a The faktorisasi Fcr seperti pada (2.23) manfaat penekanan beberapa: Kami telah memisahkan sifat murni struktural kisi yang terkandung dalam S, dari sifat-sifat atom yang terkandung dalam penyederhanaan F. Besar tercapai demikian, karena dua faktor sekarang bisa independen. Karena F faktor melibatkan jumlah lebih dari hanya faktor beberapa atom, dapat dengan mudah dievaluasi dari segi faktor atom, seperti yang dibahas dalam faktor, bagian sebelumnya. Karena itu kami akan tidak menyibukkan diri kita tidak menyibukkan diri dengan tugas yang mudah untuk saat ini, tapi tekan dan mempertimbangkan evaluasi faktor kisi S. Faktor struktur kisi
Struktur kisi Faktor S, didefinisikan dalam (2.22), adalah sangat penting dalam pembahasan hamburan sinar-x. Mari kita sekarang menyelidiki ketergantungan terhadap vektor hamburan s, dan menunjukkan bahwa nilai-nilai s yang S tidak lenyap membentuk satu set diskrit, yang ditemukan berhubungan dengan hukum Bragg.
Gambar. 2.5 (a) Hamburan dari kisi satu dimensi, (b) Difraksi maxima, (c) Difraksi kerucut untuk urutan pertama (h = 0) dan urutan kedua (h = 1) maxima.
Kita mulai dengan situasi yang paling sederhana mungkin, sinar-x tersebar dari kisi satu dimensi monoatomik, seperti yang diilustrasikan pada Gambar. 2.5 (a). Ketika kita menotasikan vektor dasar kisi dengan, faktor struktur menjadi
∑
di mana kita telah diganti
(2.24)
= la, dan
N adalah jumlah total atom. Rangkaian
dalam (2.24) adalah deret ukur, rasio umum adalah
,
dan mudah dapat dievaluasi. Hasilnya adalah
* + * +
(2.25)
Secara fisik, itu lebih bermakna untuk memeriksa S 2 dari S karena ini adalah kuantitas. Yang masuk langsung ke perhitungan intensitas. Hal ini diberikan oleh
* + * +
(2.26)
Kami sekarang ingin melihat bagaimana fungsi ini tergantung pada s vektor hamburan. Seperti yang kita lihat dari (2,26), S2 adalah rasio dari dua fungsi berosilasi memiliki periode yang sama s
•
a = 2π, namun, karena N jauh lebih
besar daripada kesatuan dalam setiap kasus praktis, pembilang berosilasi jauh lebih cepat dari pada penyebut. Catatan, bagaimanapun, bahwa untuk nilai tertentu s • a = 0, baik pembilang dan penyebut lenyap bersamaan, tetapi nilai membatasi
S2 sama dengan N, jumlah yang sangat besar. Demikian pula nilai S 2 di s • a = 2π sama dengan N2, sebagai berikut dari periodisitas S 2, yang disebutkan di atas.
Fungsi S2 sketsa dibandingkan s a pada Gambar. 2,5 (b), untuk rentang 0
•
a = 0 dan s
•
a = 2π, dipisahkan oleh
sejumlah besar intervensi anak maxima, yang terakhir yang dihasilkan dari osilasi cepat pembilang dalam (2.26). Perhitungan (lihat bagian masalah) menunjukkan bahwa ketika jumlah sel sangat besar, seperti dalam kasus-kasus aktual, ini anak maxima dapat diabaikan dibandingkan dengan yang utama. Misalnya, puncak maksimum anak tertinggi hanya 0,04 bahwa maksimum utama. Oleh karena itu pendekatan yang baik untuk mengabaikan semua anak maxima, dan mengambil fungsi S2 untuk tidak nol hanya dalam lingkungan langsung dari maxima primer.
Selain itu juga dapat menunjukkan bahwa lebar masing-masing maksimum primer berkurang secara cepat karena meningkatnya N, dan bahwa lebar ini hilang dalam batas sebagai N
.
Oleh karena itu S 2 tidak nol hanya pada nilai yang
diberikan persis oleh s • a = 0, 2π. Tapi karena S2 adalah periodik, dengan periode 2π, juga terbatas pada semua nilai-nilai
s • a = 2πh, h = sembarang bilangan bulat.
(2.27)
Pada nilai-nilai S2 sama dengan N2, dan karenanya S = N Persamaan (2.26) menentukan semua arah di mana S memiliki nilai nol, dan karenanya arah di mana difraksi terjadi. Interpretasi fisik dari persamaan ini sangatlah mudah. Mengingat definisi s,persamaan 2.9, dan mengacu pada Gambar. 2,5, kita memperoleh
̅ ̅
yang merupakan perbedaan fasa antara dua sinar tersebar berturut-turut. Jadi Pers. (2.27) adalah kondisi untuk interferensi konstruktif, yaitu, faktor hamburan kisi bertahan hanya dalam arah, yang tidak mengherankan. Untuk h mengingat kondisi (2.27) tidak benar-benar menentukan satu arah, melainkan jumlah tak terbatas arah membentuk kerucut yang terletak di sepanjang sumbu garis kisi. Untuk melihat ini, kita dapat menulis (2,27) sebagai
( – )
(2.28)
Dimana αo adalah sudut antara berkas dasar dan garis kisi dan α adalah sudut yang sesuai untuk berkas difraksi. Jadi untuk jam tertentu dan αo, balok diffracts sepanjang segala arah yang memuaskan α (2,28). Ini bentuk kerucut yang terletak di sepanjang sumbu kisi-kisi, dan yang setengah sudut sama dengan α. Uang tunai h = 0 adalah satu khusus, kerucut yang meliputi arah hamburan maju. Difraksi kerucut sesuai dengan nilai-nilai beberapa h ditunjukkan pada Gambar. 2,5 (c). Dalam mengobati faktor-kisi struktur, kita sejauh ini terbatas diri untuk kasus kisi satu dimensi. Sekarang mari kita memperpanjang pengobatan dengan situasi nyata dari kisi tiga dimensi. Mengacu (2.22) dan menggantikan vektor kisi,
R (c) = l 1a + l 2 b + l 3c,
di mana a, b, dan c adalah vektor basis, kita menemukan untuk faktor struktur
∑
(2.29)
di mana penjumlahan tiga meluas atas semua sel unit dalam kristal. Kita dapat memisahkan jumlah ini menjadi tiga jumlah parsial, menemukan untuk faktor struktur
(∑ )(∑ )(∑ )
(2.30)
dan dengan cara ini kita faktor keluar S menjadi produk satu-dimensi faktor, dan kita yang karena menggunakan hasil kami pengembangan terdahulu. Kondisi untuk interferensi konstruktif sekarang adalah bahwa masing-masing dari ketiga faktor tersebut harus terbatas secara individual, dan ini berarti bahwa s harus memenuhi tiga persamaan berikut secara bersamaan: s•a =
hl2π
s•b =
k2π
s•c=
(2.31)
l 2π
di mana h, k dan l adalah setiap himpunan bilangan bulat. Ditulis dalam hal sudut yang dibuat oleh s vektor-vektor basis, dalam analogi dengan (2,27), persamaan ini menjadi masing-masing
a(cos α - cos αo) = hλ b(cos β - cos βo) = k λ
(2.32)
c(cos γ - cos γo) = lλ mana αo, βo, dan γo adalah sudut yang balok insiden membuat dengan vektor basis, sedangkan α, β, dan γ adalah sudut yang sesuai untuk berkas difraksi. 2,31) dan (2,32) dikenal sebagai persamaan Laue, setelah phys.c.st yang pertama kali diturunkan mereka. Pertanyaan ini ho untuk menentukan nilai dari vektor hamburan s yang memenuhi kondisi fraksi (2,31). Kami akan menunjukkan di bagian berikutnya bahwa nilai-nilai membentuk satu set diskrit yang sesuai dengan hukum Braggs.
2.6 KISI RESIPROK DAN DIFRAKSI SINAR-X
Dimulai dengan kisi vektor a, b, dan c, dapat didefinisikan dengan bagian dari vektor basis a*, b*, dan c* sesuai dengan hubungan :
(2.33) Dimana volume sel satuan. Sekarang, dapat menggunakan
vektor a*, b*, dan c* sebagai dasar untuk kisi baru vektor yang telah diberikan oleh :
(2.34) Dimana merupakan salah satu rangkaian bilangan bulat. Kisi yang baru saja kita kenal sebagai kisi resiprok dan a*, b*, dan c* disebut dengan basis vektor resiprok. Hubungan basis vektor resiprok a*, b*, dan c* ke vektor basis a, b, c ditunjukkan pada Gambar 2.6. Vektor a* misalnya adalah terhadap bidang normal didefinisikan oleh vecktor b dan c, dan pernyataan serupa berlaku untuk a, b, c membentuk himpunan bagian orthogonal kemudian a*, b*, dan c* juga membentuk satu bagian orthogonal dengan a* sejajar dengan a, b* sejajar dengan b, dan c* sejajar dengan c. Secara umum tidak bagian orthogonal.
Gambar 2.6 Basis vektor resiprok
Persamaan matematika berikut berguna dalam mengerjakan kisi resiprok :
(2.35)
Baris pertama dari persamaan dapat ditetapkan sebagai berikut : Untuk membuktikan pertama dari persamaan, mensubstitusi a* dari (2.33) dan menemukan bahwa :
Tetapi adalah sama dengan volume sel satuan dan maka . Kedua dari persamaan kedua pada baris pertama mencerminkan fakta yang disebutkan, bahwa a* adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh b dan c. Sisa dari persamaan (2.35) dapat dibentuk dengan cara yang sama. Contoh kisi resiprok ditunjukkan pada Gambar 2.7. Gambar 2.7(a) menunjukkan kisi satu dimensi dan resiprok. Perhatikan bahwa dalam kasus ini, a* adalah sejajar dengan a dan bahwa
. Gambar 2.7(b) menunjukkan
bidang kisi persegi panjang dan resiprok tiga dimensi adalah contoh lengkapnya. Tetapi prosedur untuk menemukan sangatlah mudah. Pertama, kerjakan (2.33) untuk menemukan dasar a*, b*, c* dan kemudian menggunakan (2.34) untuk menemukan semua titik kisi. Terbukti bahwa resiprok dari suatu kisi tepi sc adalah merupakan kisi sc dengan tepi kubus sama dengan
(Gambar 2.8).
Dapat ditetapkan bahwa kebalikan dari bcc adalah kisi fcc dan sebaliknya (lihat bagian masalah). Pertama, dapat memperpanjan argumen untuk sistem kristal lainnya. Ketika kita menyadari bahwa kisi resiprok adalah kisi – kisi dalam dirinya sendiri dan memiliki simetri rotasi sama dengan kisi langsung, bahwa kisi resiprok selalu jatuh dalam sistem kristal yang sama seperti kisi langsung (lihat Tabel 1.1). Dengan demikian, resiprok untuk monoklinik, triklinik, … dan kisi heksagonal juga monoklinik, triklinik, … dan heksagonal masing – masing.
(Catatan, bahwa dua kisi tidak perlu memiliki struktur Bravais yang sama dalam sistem yang sama. Melihat contoh bcc dan fcc diatas).
Gambar 2.7(a) kisi resiprok untuk Kristal satu dimensi, (b) kisi resiprok untuk kisi dua dimensi.
Gambar 2.8 sebuah bagian dari kisi resiprok untuk kisi sc
Sel unit resiprok yang dipilih dengan cara tertentu. Untuk kisi persegi panjang dari Gambar 2.9, biarkan O menjadi titik asal dan menggambarkan vecktor kisi menghubungkan asal dengan titik kisi tetangganya. Kemudian tarik garis lurus yang tegak lurus terhadap vecktor di titik – titik tengannya. Wilayah terkecil tertutup oleh garis – garis persegi panjang A dalam gambar merupakan sel unit yang dicari dan disebut zona Brillouin pertama. Zona Brillouin (BZ) merupakan sel unit diterima karena memenuhi semua persyaratan yang diperlukan. Hal ini juga memiliki perlengkapan yang titik kisi sesuai tepat jatuh di pusat sel, tidak seperti kasus kisi langsung dimana titik kisi biasanya terletak pada sudut-sudut sel. Jika BZ pertama diterjemahkan oleh vektor resiprok
, maka
ruang kisi resiprok seluruh harus ditutup, karena BZ adalah sel unit yang benar.
Gambar 2.9 zona Brillouin pertama untuk kisi persegi panjang.
Zona Brillouin untuk kisi tiga dimensi dapat dibangun dengan cara yang sama, tetapi perhatikan bahwa dalam hal ini vektor kisi yang memisahkan dua bidang tegak lurus dan bahwa BZ pertama adalah saat volume terkecil tertutup oleh bidang. Dalam kasus yang paling sederhana kisi sc yang BZ adalah kubus tepi
berpusat pada titik asal. BZ ini untuk kisi kubus lain yang dalam bentuk
lebih rumit kita akan menunda pembahasan kisi ini dan lainnya ke bagian selanjutnya. Kadang-kadang juga menggunakan zona Brillouin tingkat tinggi yang sesuai dengan vektor yang menghubungkan titik asal untuk titik jauh dalam kisi resiprok, tetapi tidak akan dibahas disini karena tidak diperlukan. Kita akan menemukan bahwa konsep zona Brillouin sangat penting hubungannya dengan getaran kisi (Bab 3) dan electron dalam Kristal (Bab 5). Setelah mendefinisikan kisi resiprok dan membahas beberapa sifat-sifatnya, sekarang dilanjutkan untuk menunjukkan kegunaannya. Salah satu aplikasi penting teerletak pada penggunaannya dalam evaluasi jumlah kisi dan ini terletak pada persamaan matematika berikut :
∑
(2.36)
Berikut adalah sebarang vektor penjumlahan adalah vektor kisi langsung dan N adalah jumlah total sel dalam kisi langsung. Karena simbol delta, maka (2.36) adalah jumlah kisi di sebelah kiri hilang setiap kali vecktor A tidak sama dengan beberapa kisi resiprok
. Ketika itu adalah sama dengan beberapa , jumlah
kisi menjadi sama dengan N. Untuk menetapkan kevalidan (2.36), pertama kita harus mengerjakan kasus
untuk mengevaluasi eksponen disebelah
kiri (2.36), kita substitusi
dan
dan hasilnya : = = (
(2.37)
Dimana dalam mengevaluas produk skalar dari vektor basis digunakan (2.35).
, dll. Setiap istilah dalam penjumlahan di (2.36) pleh karena itu bentuk dimana m adalah bilangan bulat dan akibatnya sama Misalnya
dengan persatuan. Maka jumlah total sama dengan N seperti (2.36). Dalam kasus
kita dapat mengikuti prosedur yang sama digunakan dalam mengevaluasi (2.24) dan hasilnya adalah sama seperti sebelumnya, yaitu bahwa untuk N besasr jumlah hilang kecuali untuk nilai-nilai tertentu dari A. Nilai-nilai yang luar biasa ini, pada kenyataannya dipilih di atas yaitu
.
Sebagai titik akhir, sekarang kita akan menunjukkan bahwa vektor kisi resiprok terkait dengan bidang kristal dari kisi langsung. Dengan cara ini, abstrak vektor resiprok akan memperoleh arti konkrit. Pertimbangkan bagian bidang kristal yang
dan kisi resiprok sesuai vektor di mana angka-angka adalah himpunan bilangan bulat. Kita sekarang indeks Miller adalah
harus menetapkan sifat-sifat berikut:
vektor normal dengan bidang kristal. ii. jarak interplanar berkaitan dengan besarnya oleh i.
Gambar. 2.10 kisi resiprok
(2.38)
vektor normal terhadap bidang .
Untuk membangun hubungan ini, kita lihat Gambar 2.10, di mana kita telah ditarik salah satu bidang
. Perpotongan dari bidang dengan sumbu adalah ,
y, dan terkait dengan indeks dengan :
(2.39)
di mana untuk penggunaan dari definisi indeks Miller (Bagian 1.6). Perhatikan
dan bidang y, masing-masing. Menurut angka, vektor ini diberikan oleh Untuk membuktikan hubungan (i) di atas, kita hanya perlu membuktikan bahwa ortogonal untuk kedua dan memiliki : juga vektor dan yang terletak di sepanjang garis bidang dengan
di mana telah menggunakan (2.35) untuk menetapkan kedua kesetaraan, terakhir kesamaan dari (2.39). Dengan cara yang sama kita juga dapat menunjukkan
t ortogonal terhadap , dan ini menetapkan properti (i). Untuk membuktikan (2.38)pertama, amati bahwa jarak interplanar sama dengan proyeksi sepanjang arah normal terhadap bidang , arah ini dapat diwakili oleh vektor satuan = / , karena telah menetapkan bahwa adalah normal ke bidang. Karena itu :
bahwa
Catatan bahwa
(2.40)
sama dengan , karena menurut (2.39) .
Ini melengkapi bukti (2.38). Hubungan antara vektor resiprok dan bidang kristal sekarang cukup jelas.
terkait dengan bidang kristal yang pada kenyataannya normal dan pemisahan dari bidang ini adalah kali kebalikan dari panjang di ruang Vektor
resiprok. Crystallographer lebih memilih untuk berpikir dalam hal bidang Kristal yang memiliki realitas fisik dan indeks Miller, sedangkan fisika zat padat seperti kisi resiprok, yang secara matematis lebih elegan, dua pendekatan bagaimanapun setara dan seseorang dapat berubah dari satu ke yang lain dengan menggunakan yang menghubungkan dua hubungan. Dari dua pendekatan, kita kebanyakan akan menggunakan kisi resiprok dalam buku ini. 2.7 KONDISI DIFRAKSI DAN HUKUM BRAGG
Sekarang kita akan menerapkan konsep kisi resiprok untuk mengevaluasi
struktur kisi faktor , yang terlibat dalam proses hamburan sinar-x. Faktor ini
diberikan dalam (2.22). Membandingkan ini dengan (2.36), bahwa hilang untuk
bagianiap nilai kecuali:
(2.41)
Kondisi untuk difraksi vektor hamburan adalah sama dengan vektor kisi
bidang
kristal, seperti ditunjukkan pada Gambar
2.11. Persamaan ini dapat ditulis
resiprok. Persamaan (2.41) menunjukkan yang normal terhadap
kembali dalam bentuk yang berbeda. Mengingat bahwa
,
, dan disubsitusi menjadi (2.41) kita menemukan bahwa : (2.42)
Ini adalah bentuk yang sama persis sebagai Hukum Bragg , persamaan (2.4), yang dipandang untuk mengikuti dari perlakuan umum teori hamburan. Oleh karena itu secara fisik berarti menggunakan model Bragg (Bagian 3) dan berbicara tentang refleksi dari bidang atom. Ini cara melihat proses difraksi secara konseptual sederhana daripada teori hamburan.
Gambar 2.11 Vektor hamburan adalah sama dengan vektor kisi resiprok.
Ketika kondisi (2.41) faktor struktur adalah nol, dan nilainya sama dengan
seperti yang terlihat dari (2.36). Demikian (2.43) Substitusikan ini ke (2.23), kita menemukan hamburan kristal menjadi faktor (2.44) | ||| dan intensitas kemudian
(2.45)
Intensitas hilang tersebar ke segala arah kecuali di mana faktor
struktur
tidak nol. Arah ini adalah yang terakhir karena arah difraksi memenuhi kondisi interferensi. Ketika kondisi Bragg terpenuhi, maka berkas datang terdifraksi menjadi sinar tunggal (mengabaikan perintah yang lebih tinggi), yang tercatat di detektor sebagai tempat tunggal pada film. Tempat ini merupakan seluruh rangkaian mencerminkan bidang
. Bila kristal diputar sehingga bagian baru
bidang memenuhi kondisi Bragg, maka bagian baru muncul sebagai tempat baru pada film di detektor. Oleh karena itu bagianiap tempat di film mewakili seluruh rangkaian bidang kristal, dan dari susunan bintik-bintik dapat menentukan struktur kristal, seperti dibahas dalam Bagian 9. Masing-masing berkas difraksi dapat dikaitkan dengan satu bagian bidang indeks Miller tertentu, ini terbukti dari (2,45). Hal ini eksperimen diamati, bagaimanapun, bahwa difraksi bidang tertentu dapat hilang. Hal ini disebabkan
struktur geometri yang tergantung pada bentuk dan isi sel satuan. Dengan demikian, jika adalah nol untuk indeks tertentu, maka intensitas oleh faktor
hilang sesuai dengan (2.45), meskipun bidang yang sesuai memenuhi kondisi Bragg. Untuk mengevaluasi
menjadi identik, dan mengambil
kita kembali ke (2.21). Dianganggap atom
, di mana
adalah
posisi dari atom ke . Selain itu, kita mengambil : Karena itu
∑
(2.46)
Perhatikan, misalnya kisi bcc. Sel unit memiliki dua atom yang koordinat
( ) dan menggunakan (2.46), maka : Ungkapan ini dapat mengambil hanya dua nilai, ketika bahkan, ∫ , sementara ketika ganjil. Jadi untuk kisi bcc, difraksi tersebut tidak ada untuk semua bidang di mana jumlah ganjil, dan ada untuk bidang di mana genap. Merupakan masalah untuk menunjukkan bahwa dalam kisi fcc refleksi diperbolehkan sesuai dengan kasus-
kasus di mana
baik semua genap atau semua ganjil. Perhatikan bahwa
bidang lepas memberikan informasi langsung mengenai simetri dari sel satuan. Persamaan (2.41) dapat ditulis kembali dalam bentuk lain. Sebelumnya dari (2.9a) bahwa
, di mana dan adalah vektor datang
dan berkas
difraksi. Dengan mensubstitusi ke (2.41) menjadi :
(2.47)
Perkalian dari kedua belah pihak oleh menjadi :
Tetapi kuantitas
adalah momentum foton sinar-x terkait dengan berkas
(lihat hubungan deBroglie. Bagian A.1). Dengan demikian persamaan di atas dapat dilihat sebagai konservasi momentum, dan proses difraksi sebagai proses tumbukan antara sinar-x foton dan kristal. Dalam tumbukan mundur foton dan
momentum. Sebaliknya, kristal dalam arah yang berlawanan dengan momentum . Energi gerak dari kristal adalah sangat kecil karena dari perpindahan benda tegar, dan oleh karena itu energi kinetik 2, di mana keuntungan suatu
M adalah massa total kristal. Karena M sangat besar dibandingkan dengan massa atom, energi lompatan sangat kecil dapat diabaikan. Oleh karena itu proses tumbukan dapat dianggap elastis, ini telah secara implisit diasumsikan, karena kita
telah mengambil harus sama dengan
.
2.8 HAMBURAN DARI CAIRAN
Hamburan sinar-x juga digunakan dalam penyelidikan struktur cairan. Dengan mengamati pola kubus yang tersebar, dapat ditentukan fungsi pasangan distribusi cairan (lihat Bagian 1.8). Kembali ke hasil umum (2.20), kita menulis untuk faktor hamburan cairan :
∑ dimana
(2.48)
adalah faktor atom dan penjumlahan semua atom dalam cairan,
diasumsikan cairan yang monoton. Namun cairan atom terus bergerak dari satu
daerah ke daerah lain, tidak seperti kasus untuk padat, di mana mereka dibatasi ke daerah tertentu dan jumlah (2.48). Oleh karena itu, sulit untuk mengevaluasi. Hal ini dapat diatasi dengan menyelesaikannya bukan dengan intensitas tersebar yang semua kuantitas mencatat eksperimental. Intensitas adalah proporsional untuk
|∫ | dengan menggunakan (2.48) dapat ditulis : | | ∫ ∑ (2.49) Struktur cairan faktor didefinisikan sebagai jumlah ganda dalam persamaan ini. Artinya :
∑
(2.50)
yang analog dengan struktur kisi faktor (2.22). Jumlah tersebut dapat dibagi menjadi dua jenis yang berbeda dari istilah: yang
yaitu, j indeks dan l
. Jenis bekas mudah dilihat untuk menjadi istilah di semua yang terakhir dapat
mengacu pada atom yang sama dan yang menambahkan hingga
dinyatakan dalam fungsi distribusi pasangan. Hasilnya adalah
| ∫ (2.51) dimana adalah kerapatan atom rata-rata dan fungsi pasangan (Bagian 1.8). Integrasi diatas adalah volume cairan. Kami mencatat, bahwa hanya penyimpangan
dari kesatuan kontribusi hamburan karena sisanya,
sesuai dengan distribusi seragam yang akan memungkinkan berkas melewati tanpa hamburan apapun. Dengan demikian kita dapat menulis ulang (2.51) :
| ∫ Integral diperpanjang untuk semua ruang, karena
(2.52)
meluruh cepat.
Gambar 2.12 Faktor struktur untuk merkuri cair (setelah Guiner)
R besar (bagian 1.8) tidak ada kesalahan dengan memperluas jangkauan integrasi yang menyertakan seluruh ruang. Persamaan (2.52) memungkinkan perhitungan
jika yang diberikan, tetapi biasanya permukaan ini adalah yang sebaliknya. Artinya dan harus disimpulkan dari pengukuran ini. Karena itu kita harus membalikkan (2.52). inverse ini dapat dilakukan dengan menggunakan teorema transformasi Fourier. Contoh (2.52) mencatat ( hanyalah transformasi Fourier dari
Oleh
karena itu, dengan
menggunakan teorema transpormasi Fourier, dapat ditulis :
∫ *+
(2.53)
Sekarang integral di seluruh ruang vektor hamburan . Gambar 2.12 menunjukkan faktor struktur merkuri cair sebagaimana ditentukan oleh sinar-x teknik hamburan. Teknik lain hamburan yang digunakan dalam studi struktur cair adalah hamburan neutron, yang dibahas dalam Bagian 11. 2.9 TEKNIK EKSPERIMEN
Dalam bagian ini kita meninjau teknik eksperimental yang digunakan dalam mengumpulkan data difraksi sinar-x. Diskusi kami adalah singkat, dan mencakup terutama prinsip fisik yang mendasari metode yang digunakan. Ini bukan tempat untuk membahas setiap metode secara detail, maupun berbagai kesulitan praktis atau petugas koreksi atas setiap metode. Setiap orang yang tertarik dalam rincian lebih lanjut dapat merujuk pada buku-buku karya Woolfson, Cullity, Buerger, dan Guinier, dan bibliografi yang diberikan di dalamnya. Pada dasarnya terdapat tiga metode: Metode rotasi kristal, metode Laue, dan metode bubuk. Apapun metode yang digunakan, jumlah diukur pada dasarnya sama. i)
Sudut hamburan 2θ antara terdifraksi dan berkas sinar datang. Dengan mengganti sudut θ menjadi aturan-aturan Bragg, salah menentukan jarak interplanar serta orientasi bidang difraksi.
ii) L intensitas sinar terdifraksi. Kuantitas ini menentukan faktor struktur sel, Fhkl, dan karenanya memberikan informasi tentang susunan atom dalam sel unit. METODE ROTASI KRISTAL
Metode ini digunakan untuk analisis struktur kristal tunggal. Susunan eksperimental ditunjukkan pada Gambar. 2.13. Kristal biasanya sekitar 1 mm, dan terpasang pada poros yang dapat diputar. Sebuah film fotografi ditempatkan di sisi dalam dari konsentris silinder dengan sumbu rotasi.
Gambar. 2.13 Eksperimental pengaturan untuk metode berputar-kristal.
Sebuah berkas sinar datang monokromatik dengan panjang gelombang λ yang collimated dan dibuat untuk bertumpu pada kristal. Spesimen kemudian diputar, jika perlu, sampai kondisi difraksi memperoleh, yaitu λ θ dan memenuhi hukum
Bragg. Ketika ini terjadi, sinar difraksi (atau berkas) muncul dari kristal dan dicatat sebagai tempat pada film. Dengan merekam pola difraksi (baik sudut dan intensitas) untuk orientasi kristal berbagai, seseorang dapat menentukan bentuk dan ukuran sel satuan serta susunan atom dalam sel.
METODE LAUE
Metode ini dapat digunakan untuk penentuan cepat dari simetri dan orientasi kristal tunggal. Susunan eksperimental ditunjukkan pada Gambar. 2.14 (a). A berkas sinar-x yaitu, satu dengan spektrum gelombang kontinu panjang dibuat jatuh pada kristal, yang memiliki orientasi tetap relatif terhadap berkas sinar datang. Film datar ditempatkan di depan dan di belakang spesimen. Karena A mencakup berbagai berkesinambungan, kristal memilih bahwa panjang gelombang tertentu yang memenuhi hukum Bragg pada orientasi ini, dan berkas difraksi muncul di sudut yang sesuai. Sinar terdifraksi ini kemudian dicatat sebagai tempat pada film. Tapi karena panjang gelombang yang sesuai dengan tempat tidak diukur, seseorang tidak dapat mencegah penambang nilai sebenarnya dari jarak satunya rasio interplanar mereka. Oleh karena itu kita dapat menentukan bentuk tetapi tidak ukuran absolut dari sel satuan. Sebuah foto Laue tipikal ditunjukkan pada Gambar. 2.14 (b). Perhatikan bahwa jika arah sinar merupakan sumbu simetri dari kristal, maka pola difraksi harus menunjukkan simetri ini. Gambar 2.14 (b) menunjukkan simetri 6 kali lipat dari sumbu simetri dalam Mg, yang memiliki struktur heksagonal.
Gambar. 2.14 Metode Laue: (a) Pada percobaan, (b) Laue pola kristal Mg, dengan paralel sinar sinar-x terhadap sumbu simetri 6 kali lipat. [Setelah Barrett (1966)]
METODE BUBUK
Metode ini digunakan untuk menentukan struktur kristal bahkan jika spesimen tidak kristal tunggal. Sampel dapat terdiri dari halus bubuk dikemas ke dalam tabung gelas silinder, atau mungkin polikristalin, dalam hal ini terdiri dari sejumlah besar kristalit kecil berorientasi lebih atau kurang secara acak. Sebuah sinar monokromatik impinges pada spesimen, dan berkas difraksi dicatat pada film silinder sekitarnya. Karena jumlah besar kristalit yang berorientasi secara acak, selalu ada cukup ini yang memiliki orientasi yang tepat relatif terhadap berkas sinar datang monokromatik untuk memenuhi hukum Bragg, dan karenanya sinar terdifraksi muncul di sudut yang sesuai (Gbr. 2.15). Karena kedua / I dan 9 yang terukur, kita dapat menentukan jarak interplanar. Set lainnya dari bidang menyebabkan berkas terdifraksi lainnya sesuai dengan jarak planar berbeda untuk panjang gelombang yang sama. Jadi yang benar-benar dapat menentukan parameter kisi cukup akurat, terutama jika struktur kristal yang sudah diketahui.
Gambar. 2.15 The sinar-x difraksi serbuk pola untuk Cu. 2θ adalah sudut hamburan. [Setelah Cullity (1956)]
Perhatikan juga bahwa, karena spesimen adalah simetris di bawah rotasi di sekitar berkas sinar datang sebagai sumbu, sinar terdifraksi sesuai untuk setiap penggemar hamburan sudut 2θ di sepanjang kerucut yang terletak di sepanjang sumbu berkas sinar datang.
2.10 APLIKASI SINAR – X DALAM FISIKA ZAT PADAT
Teknik difraksi sinar-x selain digunakan dalam analisis struktur kristal, dapat digunakan dalam aplikasi lain dalam fisika zat padat terutama dalam dunia mikrokopis. Tujuan yang utama distribusi elektron dalam zat padat yaitu, menggambar peta kerapatan elektron. Pada prinsipnya merupakan peranan elektron untuk proses difraksi. Untuk melihat bagaimana hal ini dapat dilakukan, lihat Persamaan. (2.21), dimana menunjukkan kerapatan elektron yang terkandung dalam f a. Jika faktor hamburan kristal diukur, maka persamaan ini bisa dibolak balik. Jika menemukan kerapatan elektron
dalam hal f (s). Prosedur cr
matematika melibatkan penggunaan Transformasi Fourier, dengan cara yang sama dengan yang digunakan dalam cairan, seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya. Aplikasi lain yang penting adalah dalam studi ketidaksempurnaan kisi, seperti dislokasi, daerah regangan dll. Dengan adanya ketidaksempurnaan tersebut, pola difraksi tidak lagi sesuai dengan kristal yang sempurna, dan dengan mempelajari deviasi dapat diperoleh informasi mengenai jenis ketidaksempurnaan dan distribusi kisi dalam kristal. Teknik-teknik tersebut umum digunakan oleh ahli kimia, metallurgists, dan ilmuwan material. Dalam penelitian kristal murni kita telah mengasumsikan periodisitas sempurna (kecuali dalam paragraf sebelumnya). Kami telah mengasumsikan bahwa setiap atom terletak di setiap kisi. Namun, diketahui bahwa ketika suhu di atas nol mutlak, atom mengalami beberapa vibrasi di sekitar mereka sebagai akibat dari Eksitasi termal. Kehadiran vibrasi kisi mengarah ke dalam pola difraksi sinar-x. Secara khusus, beberapa difraksi diamati di sepanjang arah yang tidak memenuhi kondisi Bragg, hal ini disebut sebagai hamburan diffuse. Jenis hamburan yang telah lama digunakan dalam studi vibrasi kisi, dan telah memberikan kontribusi besar terhadap pemahaman kita. Akhirnya, difraksi sinar-x digunakan untuk menentukan struktur molekul biologis. Banyak langkah besar baru-baru ini dalam pengetahuan kita tentang
biologi molekuler telah dicapai dengan cara ini. Salah satu contohnya adalah penemuan mendatang mengenai struktur double-heliks dari molekul DNA 2.11 DIFFRAKSI NEUTRON
Kami telah menunjukkan bahwa bentuk-bentuk lain dari radiasi, sinar-x, juga dapat digunakan dalam penyelidikan struktur kristal dan masalah terkait lainnya. Persyaratan utama adalah: Pertama, radiasi harus memiliki properti gelombang sehingga gelombang tersebar dapat berbentuk koheren, ada dengan mengungkapkan struktur dari media hamburan. Kedua, panjang gelombang radiasi harus dari urutan yang sama besarnya sebagai konstanta kisi. Radiasi neutron memenuhi persyaratan ini. Neutron dan partikel lainnya memiliki sifat gelombang, seperti yang Anda ingat dari fisika dasar (lihat juga Bagian AI). Panjang gelombang, juga dikenal sebagai panjang gelombang deBroglie, diberikan oleh hubungan λ = h / p, di mana p adalah momentum neutron. Panjang gelombang juga dapat dinyatakan dalam bentuk energi E = p 2/2m, di mana m adalah massa. Mengganti nilai massa sesuai dengan neutron, maka diperoleh
⁄
di mana λ dalam angstrom (Å) dan E dalam elektron volt (eV). Untuk
menjadi berguna dalam analisis struktur, λ harus sekitar 1 Å, yang ketika diganti menjadi 2,54, menghasilkan energi sekitar 0,08 eV. Energi ini adalah urutan yang sama besarnya sebagai kT energi panas pada suhu kamar, 0,025 eV, dan untuk alasan ini kami berbicara tentang neutron termal. Mekanisme hamburan untuk neutron adalah interaksi antara neutron dan inti atom hadir dalam kristal. Interaksi ini disebut sebagai interaksi yang kuat, itu adalah reaksi yang bertanggung jawab untuk memegang nukleon (neutron dan proton) bersama-sama dalam inti. Menjadi elektrik netral, neutron tidak berinteraksi dengan elektron dalam kristal. Dengan demikian, tidak seperti sinarx, yang tersebar sepenuhnya oleh elektron, neutron tersebar sepenuhnya oleh inti.
Karena rincian difraksi neutron yang persis sama dengan yang untuk sinarx, kita tidak perlu masuk ke lebih lanjut di sini. Perbedaan hanya terletak pada kenyataan bahwa neutron analog ke (2.6) sekarang berisi panjang hamburan neutron bukan yang dari elektron. Hasil yang menarik bagi kita di sini misalnya, hukum Bragg, persamaan Laue, dll persis sama seperti sebelumnya. Semua ini adalah konsekuensi langsung dari faktor struktur yang menjadi sejumlah kisi, hanya bergantung pada struktur kisi dan bukan pada faktor hamburan atom, jenis radiasi yang digunakan tidak relevan. Difraksi neutron memiliki beberapa keunggulan dibandingkan sinar-x misalnya. a) Atom ringan seperti hidrogen lebih baik diselesaikan dalam pola neutron, karena hanya memiliki beberapa elektron untuk menyebarkan sinar x, mereka tidak memberikan kontribusi yang signifikan terhadap pola difraksi sinar-x. b) Pola neutron membedakan antara isotop atom yang berbeda, sedangkan pola sinar-x tidak. c) Difraksi neutron telah membuat kontribusi penting untuk studi bahan magnetik. Dalam kristal magnetik elektron dari orbital atom memiliki spin bersih, dan karenanya momen magnetik bersih. Orientasi relatif dari momen dapat berupa acak atau paralel, atau antiparalel, tergantung pada kisaran suhu kristal. Satu dapat menggunakan difraksi neutron untuk mengungkapkan pola magnetik kristal karena neutron tidak berinteraksi dengan momen. Interaksi hasil dari fakta bahwa neutron juga memiliki momen magnetik sendiri (itu adalah magnet kecil), yang terasa bidang yang dihasilkan oleh saat-saat elektron. Contoh penerapan difraksi neutron untuk cabang penting dari magnet diberikan dalam Bagian 9,9 dan 9.14. d) Teknik difraksi neutron jauh lebih tinggi dari sinar-x dalam studi getaran kisi, yang akan dibahas dalam bab berikut.
Kelemahan dari teknik difraksi neutron adalah: a. Kebutuhan untuk menggunakan reaktor nuklir yang tidak umum tersedia ,
.
Selanjutnya bahkan sumber neutron paling kuat memiliki intensitas hanya ,
sekitar 10-5 intensitas tersedia dari sumber sinar-x umum Karena itu .
,
kristal besar digunakan dalam difraksi neutron dan waktu paparan dibuat ,
selama mungkin
.
b. Neutron, karena elektrik netral, lebih sulit untuk dideteksi dari pada sinarx pengion. Oleh karena neutron dikonversi terlebih dahulu menjadi radiasi pengion melalui reaksi mereka dengan, misalnya, inti boron.
2.12 DIFRAKSI ELEKTRON
Sebuah berkas elektron yang datang pada kristal mengalami difraksi Bragg sama dengan cara difraksi sinar-x dan difraksi neutron yang dibahas sebelumnya. Elektron, seperti neutron, memiliki sifat gelombang, dan panjang gelombang yang diberikan oleh λ
.
p adalah suku dalam energi E, dan kisi dalam hal
mempercepat potensial V, yaitu E = eV, dan memasukkan nilai-nilai yang sesuai dengan elektron, seperti
√
(2.55)
dimana λ dalam angstrom dan V dalam elektronvolt. Untuk λ = 1 , potensial adalah V = 150 V, atau E = 150 eV. Mekanisme hamburan elektron adalah medan listrik yang terkait dengan atom dalam zat padat. Medan ini diproduksi oleh inti dan elektron orbital dalam masing-masing atom. Medan ini bernilai besar di inti, tetapi menurun dengan cepat jika menjauh dari inti. Perhitungan menunjukkan bahwa panjang hamburan terkait dengan panjang hamburan dari elektron pada atom. Ini berarti bahwa berkas elektron tersebar secara kuat.. Jarak ini hanya sekitar 50
untuk V = 50 kV. Sebagai contoh
kejadian berkas elektron dibatasi dengan kedalaman pendek dekat permukaan, kedalaman ini disertakan beberapa lapisan atom, sehingga pola difraksi kristal
diperoleh sesua (Gbr. 2.16). juga mengikuti pola difraksi elektron yang sangat sensitif terhadap sifat fisik permukaan, yang menjelaskan penggunaan luas dalam permukaan misalnya, lapisan oksida membentuk permukaan padatan, film tipis, dan sebagainya.
Gambar. 2.16 Rotasi terus-menerus pola difraksi elektron dari kristal tunggal dari bahan perak. Sumbu rotasi adalah normal terhadap kertas. [Leighton]
Kami hanya memiliki difraksi elektron eksternal, tetapi elektron internal juga mengalami jenis yang sama dengan difraksi ketika elektron bergerak melalui kristal. Kita akan menemukan konsep ini yang akan membantu dalam diskusi kita tentang keadaan elektron dalam kristal (Bab 5). Sifat gelombang dari partikel materi pertama kali ditunjukkan dalam kaitannya dengan difraksi elektron. Pada tahun 1927, Davisson dan Germer mengamati hamburan berkas elektron dari permukaan kristal nikel. Dalam memperoleh pola difraksi, berkas tersebut sebagai gelombang elektron, sebagaimana didalilkan sebelumnya oleh deBroglie. Sebagai pengakuan atas karyanya ini, Davisson dianugerahi hadiah Nobel pada tahun 1937.
RINGKASAN
Struktur kristal ditentukan dari pola difraksi yang diamati ketika kristal diradiasi dengan sinar x yang diungkapkan dalam hukum Bragg,
dimana d adalah jarak interplanar, θ merupakan sudut glancing, dan λ panjang gelombang dari berkas. Dengan mengukur θ dan λ , seseorang dapat menentukan d , dan pada akhirnya dapat menentukan struktur kristal.
Sebuah perlakuan yang lebih ketat dari proses difraksi yaitu menganggap kristal terdiri dari elektron diskrit. Faktor hamburan adalah
∑ dimana jumlah semua elektron dalam sistem, dan s adalah vektor hamburan. Menerapkan hasil pada atom tunggal mengarah ke faktor hamburan atom,
∫ Faktor f a semakin menurun dengan meningkatnya hamburan sudut 2θ, karena interferensi antara kulit berbagai kumpulan dalam atom. Faktor hamburan untuk kristal dapat ditulis sebagai produk
dimana F adalah faktor struktur geometri dan S faktor struktur kisi dengan
Penjumlahan menjadi lebih semua atom dalam sel unit, dan
penjumlahan ini terjadi pada semua sel satuan dalam kristal. Faktor F hanya bergantung pada sifat-sifat atom dan bentuk sel satuan, dan S hanya bergantung pada struktur kisi. Faktorisasi f cr ke F dan S berguna karena memungkinkan kita untuk perlakuan sifat atom dan kisi kristal secara independen.
Pemeriksaan faktor kisi S menunjukkan bahwa ia hilang, kecuali bila
Artinya, vektor hamburan sama dengan vektor kisi balik. Ini adalah kondisi yang sama sebagai hukum Bragg untuk refleksi dari bidang atom normal untuk G. Struktur cair juga dapat dipelajari oleh difraksi sinar-x. Dengan mengukur faktor struktur cair, seseorang dapat mengevaluasi fungsi distribusi atom berpasangan dalam cairan. Pola difraksi sinar-x direkam pada sebuah film, yang peka terhadap berkas difraksi yang muncul dari kristal. Setiap berkas merupakan refleksi dari satu set bidang atom dalam kristal, dan dicatat sebagai titik pada film. Posisi dan pola titik simetri berisi informasi yang dibutuhkan untuk menguraikan struktur kristal. Sebuah berkas neutron juga dapat digunakan untuk menentukan struktur kristal dengan panjang gelombang deBroglie
Energi neutron sangat kecil, sekitar 0,1 V, dan yang berhubungan dengan neutron termal. Hamburan neutron merupakan interaksi dengan inti dari kristal, bukan interaksi dengan elektron, seperti dalam sinar-x. Difraksi elektron juga telah digunakan dalam analisis struktur kristal. Karena elektron berinteraksi sangat kuat dengan atom dalam kristal, jarak henti dari elektron sangat pendek hanya sekitar 50 digunakan dalam studi fenomena permukaan.
. Akibatnya, difraksi elektron
