Método Steffensen ..para el cálculo de raíces de ecuacione ecuaciones. s.
Universidad Autónoma Gabriel René Moreno Métodos Numéricos
Método Steffensen ..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
INTEGRANTES:
Eliana Montero Reyes
R. Joshep Lujan Pardo
Willian Cardona Terceros Oscar Reinaldo Calisaya Luis Alberto Baigorria R.
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GENERALIDADES Polinomios
Un polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es el producto de un coeficiente, una variable elevada a un exponente (entero positivo).
Ejemplos: Monomio: 5x2 Binomio: 9x7-6 Trinomio: 6y5-7y3-8
f(x) = a0+a1x+a2x2+…+anxn (ai є Z)
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GENERALIDADES Cálculo de raíces de ecuaciones El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple: f(x) = 0 La importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar: • Máximos y Mínimos • Valores propios de matrices • Res. sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales.
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GENERALIDADES Reglas para determinar raíces de ecuaciones Regla de los signos (Renato Descartes)
”El número de raíces ‘positivas’ ‘positivas’ en un polinomio f(x),
es igual al número de cambios de signos término a término de f(x)”
f(x) = x2+x-12 g(x) = x3-4x2+x+6 h(x) = x4+4x2+3x
; Tiene una raíz positiva ; Tiene dos raíces positivas ; No tiene raíces positivas
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GENERALIDADES Reglas para determinar raíces de ecuaciones Valores de posibles raíces: Encontrar un conjunto de valores que son candidatos a ser raíces de la ecuación f(x). Esto es si trabajamos con polinomios de la siguiente forma:
f(x)= xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3+...+a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0
El conjunto de posibles raíces de f(x) se forma con los divisores de a0 (término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo.
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GENERALIDADES Reglas para determinar raíces de ecuaciones Función
x2 + x-12 x3-2x2-5x+6 x4-5x2+4
Divisores 1,2,3,4,6,12 -1,-2,-3,-4,-6,-12 1,2,3,6 -1,-2,-3,-6 1,2,4 -1,-2,-4
Raíces
-4 y 3 -1,2 y 3 -1,-2,1 y 2
Nota: Éste método es poco potente por lo que solo nos sirve como una orientación para el cálculo cálcul o de raíces de ecuaciones.
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BIOGRAFÍA Johan Frederik Steffensen (1873 1961) –
Nacido en abril de 1873 en Copenhague (Dinamarca). Desde muy temprano (12 años) se introdujo en el campo de las matemáticas, haciendo investigaciones sobre el cálculo numérico.
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BIOGRAFÍA Johan Frederik Steffensen (1873 1961) Especialista en matemáticas y estadística. Realizó investigaciones al cálculo de diferencias finitas e interpolación. –
Los diferentes estudios e investigaciones realizados, lo llevaron a descubrir un algorítmo que permite calcular las raíces en ecuaciones no lineales. Falleció en septiembre de 1961.
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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO Definición/Ventajas
Método numérico que nos permite calcular la raíz de una ecuación. A diferencia del método de la secante, presenta una convergencia rápida hacia la raíz. El proceso de iteración solo necesita un punto inicial (p0).
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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO Proceso de resolución - Dada la función:
- Creamos Creamos otr otraa func función ión desp despeja ejando ndo la va varia riable ble de mayor grado, así tenemos:
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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO Proceso de resolución
-
Considerando el punto inicial P0 , encontramos el valor de Xi entonces tenemos:
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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO Proceso de resolución - Recordando..
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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO Proceso de resolución
- Finalmente, teniendo los puntos: X i , Yi , Zi. Reemplazamos en la fórmula general de Steffensen:
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ALGUNOS EJEMPLOS Demostración:
Dada la función: f(x) = x3-x-1 y el punto inicial x0=1. Calcular la raíz de la ecuación con un error absoluto de 0,005. 1º Paso: Se debe calcular G(x). Para obtener G(x) se tiene que despejar de F(x) la variable de mayor exponente, en el presente caso seria x 3. -Igualando la ecuación a 0 (cero): x3 – x - 1 = 0
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ALGUNOS EJEMPLOS Demostración: - De Desp spej ejan ando do x3 tenemos: x
3
x 1 G( x)
2º Paso: Dado Dado el punto inicial: x0=1, calculamos Y0 reemplazando en G(x) en valor de x i. y0
y0
y0
G (1) 3
( x 1)
1, 25992105
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ALGUNOS EJEMPLOS Demostración: 3º Paso: Con y0 calculamos z0, reemplazando el valor de y0 en G(x)
z0
z0
G( y0 ) 1, 312293837
4º Paso: Calculamos x(i+1) con la fórmula:
xi
1
zi
zi yi
2
zi 2 yi xi
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ALGUNOS EJEMPLOS Demostración: 5º Paso: Calculamos el error relativo porcentual con la fórmula correspondiente: E a
V
actual
V anterior
V actual
*100
Repetimos desde el 2º paso las iteraciones que sean necesarias para satisfacer la condición de error que nos dan. Así tenemos:
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ALGUNOS EJEMPLOS Demostración: I
Xi
Yi
Zi
X(i+1)
E%
0
1
1.2599215
1.312293837
1.308832542
--- --
1
1.308832542
1.321693675
1.324143255
1.324134441
1.16%
2
1.324134441
1.324607111
1.324696902
1.32469689
0.04%
Cumple el error relativo porcentual
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PRESENTACIÓN DEL SOFTWARE Diagrama de flujo
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¡ Gracias por su atención !
