UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
Método de Steffensen 2 Aceleración de la convergencia convergencia Aitken ( Método de Steffensen)
Este Método es basado en una función x g x en la cual
g / x0
1
NO ES NECESARO
CALCULARLO, entonces se puede mejorar su comportamiento respecto de la rapidez de convergencia. Sin usar para ello ninguna derivada, el método de Steffensen proporciona convergencia cuadrática en la localización de un punto fijo de una función real. Este método puede ser considerado como una simplificación del método de Newton, pero este método empieza con dos aproximaciones por el método de punto fijo, entonces tenemos la siguiente expresión: Supongamos que
p
n
es una sucesión linealmente convergente con con un límite de valor p.
n
Supongamos primero que los signos de las aproximaciones son: pn
p ,
p
pn1
, p n2
son iguales y que "n" es suficientemente grande como para que: pn 1 p pn p
pn 2 p pn 1 p
Entonces:
p
n1
2
p
p n 1 2 p n 1 p p
2
2
p
n 2
p
p
n
p
p n 2 p n p n p n 2 p p
2
,
Transponiendo al lado izquierdo los términos que contiene "p", tenemos:
p
n2
2
pn 2 pn 1 p pn 2 pn pn 1
,
Despejando "p" que es la aproximación a la raíz tenemos: 2
p
p n 2 p n p n1 p n 2 p n 2 p n1
2
Si sumamos y restamos p n y 2 pn 1 pn en el numerador y agrupando términos tenemos: 2
p
2
p n2 pn 2 pn1
p p
2
pn2 p n 2 pn1 pn p n p n1 2 pn1 pn pn
2
2
pn pn 2 2 p n1 pn pn1 2 pn1 pn pn
pn 2 pn 2 p n1
pn pn 2 2 pn1 p n p n 2 pn 2 pn1
p
2 2 p p p 2 n 1 n 1 n n
pn 2 pn 2 pn1
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
p
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
p pn
p
2
2
pn1 2 pn1 pn pn
MATEMATICA APLICADA 3
pn2 pn 2 pn1
pn
p
n1
p n
2
p n 2 p n 2 p n1
Reescribiendo la formula tenemos:
pn 2
p0 p0
p1 p2
;
Donde:
g p
g p0
p n 2
p2 2 p1 p0
Punto inicial del método
p1 p0 2
1
Aproximación a la raíz
Error p0 pn
2
Si nos damos cuenta este método necesita 2 aproximaciones iníciales por el método de Punto Fijo y luego la aproximación a la raíz por medio de la formula modifica de Newton
Ejemplo: 1) Aplique el Método de Steffesen para encontrar la aproximación a la raíz de la función f x x 2 x en el intervalo de 0 , 1 con un aproximación inicial de p0 0.5 y una
tol 1*10
3
Solución: Primero calculamos una función
cualquiera,
/
para la cual
g x
1 no
g p0
importa que no
cumpla. Entonces tenemos: 0 x 2
x
x
2
x
2
g x
x
1era. Iteración (n=1): 3 Como la tolerancia contiene 3 decimales ( 1*10 =0.001), trabajaremos el método agregando 2 decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento f p no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos los cálculos los haremos con 5 decimales, pero el método para el criterio de paro si se 3 toma en cuenta 1*10 para el error. Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto que nos dieron en el enunciado del problema p0 0.5 , por lo tanto tenemos que hacer 2
aproximaciones iníciales por punto fijo y luego la aproximación a l a raíz por la fórmula del método
p0
0.5
p1 g p0 g 0.5 2
0.5
0.70711
p2 g p1 g 0.70711 2
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
0.70711
0.61255
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
pn 2 p0
FACULTAD DE INGENIERIA
p
2
p0
1
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
0.70711 0.5 p 0.5 0.61255 20.70711 0.5 2
p1 2
p2 2 p1 p0
Error p0 pn 3
Este error No es menor que 1*10
0.5 0.64219
Error
2
3
0.14219
, como no se cumple que p0 pn
0.64219
2
3
tol 0.14219 1*10 se
hace otra iteración . Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:
pn
n
p 0
p1
p 2
1
0.5
0.70711
0.61255
Error
2
0.64219
0.14219
2da Iteración (n=2) Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto p3 0.64219 de la iteración anterior, por lo tanto tenemos que volver hacer las dos
aproximaciones por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la formula mejorada de newton: p0
0.64219
pn 2 p0
p
1
p0
p1
p1
g p 0
2
g 0.64219
0.64219
2
0.64074
p 2
p 2
g p1
2
g 0.64074
0.64074
0.64138
0.064074 064219 p 0.64219 0.64138 20.64074 0.64074 2
p2 2 p1 p0
p2 2
Error p0 pn
2
3
Este error No es menor que 1*10
4
Error
0.64219 64119
, como no se cumple que p0 pn
2
0.64119
0.00100
3
tol 0.00100 1*10 se
hace otra iteración . Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:
pn
n
p 0
p1
p 2
1
0.5
0.70711
0.61255
0.64219
0.14219
2
0.64219
0.64074
0.64138
0.64119
0.00100
Seguimos haciendo las iteraciones hasta que
p0
pn
2
2
Error
tol , completando el método tenemos lo
siguiente:
pn
n
p 0
p1
p 2
1
0.5
0.70711
0.61255
0.64219
0.14219
2
0.64219
0.64074
0.64138
0.64119
0.00100
0.64119
0.64119
0.64119
4.75*10
3
0.64119
2
Error
-8
La aproximación a la raíz es de x=0.64119 ***AHORA SI ESCOGEMOS LA OTRA FORMA DE ECONTRAR LA g x TENIENDO EL MISMO INTERVALO, PUNTO DE ARRANQUE Y TOLERANCIA TENEMOS: 0 x 2
x
2
x
x
g x
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
ln 2
ln x
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
Ahora haciendo todos pasos para obtener todas las iteraciones respectivas y plasmándolas en la tabla tenemos: p 0
n
p n 1
p 2
p1
Error
1
0.5
1.00000
0.00000
0.66667
0.16667
2
0.66667
0.58496
0.77358
0.64197
0.02469
3
0.64197
0.63942
0.64517
0.64119
0.00079
PODEMOS VER QUE LA APROXIMACION A LA RAIZ ES x=0.64119 , ENTONCES PODEMOS VER QUE NO IMPORTA LA g x QUE TOMEMOS QUE SIEMPRE VAMOS A ENCONTRAR LA APROXIMACION A LA RAIZ 2) Use el método de Steffensen para aproximar la solución de la ecuación dentro del intervalo 3 , 4 , con p0 Solución: Primero calculamos una función
x
2
0
10 cos x
4
3 y una tol 1 *10 .
cualquiera,
g x
g / p0
para la cual
1 no
importa que no
cumpla. Entonces tenemos: x
2
10cos x
x
10cos x
10cos x
g x
1era. Iteración (n=1): 4 Como la tolerancia contiene 4 decimales ( 1*10 =0.0001), trabajaremos el método agregando 2 decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento f p no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos los cálculos los haremos con 6 decimales, pero el método para el criterio de paro si se 4 toma en cuenta 1*10 para el error. Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto que nos dieron en el enunciado del problema p0 3 , por lo tanto tenemos que hacer 2
aproximaciones iníciales por punto fijo y luego la aproximación a l a raíz por la fórmula del método p 0
3
pn2 p0
p1
p1
p
1
10 cos3
g p0
p0
p2 g p1 g 3.146415
g 3
2
3.146415
p2
3.146415 3.162259
10 cos
3.146415 3 0.5 p 3.162259 23.146415 3 2
p2 2 p1 p0
p12
Error p0 pn 4
Este error No es menor que 1*10
2
3
Error
3 3.164182
3.164182
0.164182
, como no se cumple que p0 pn
1
4
tol 0.164182 1*10 se
hace otra iteración . Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento: n
p 0
p1
p 2
1
3
3.146415
3.162259
2da Iteración (n=2)
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
pn
2
3.164182
Error 0.164182
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto p3 3.164182 de la iteración anterior, por lo tanto tenemos que volver hacer las dos
aproximaciones por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la formula mejorada de newton: p0
3.164182
pn 2 p0
p
1
p1
p1
p0
10 cos3.164182
g p0
2
g 3.164182
3.161874
p2
p2
10 cos3.161874
g p1
g 3.161874
3.161874 3.164182 p 3.164182 3.161952 23.161874 3.164182
3.161952
2
p2 2 p1 p0
p2 2
Error p0 pn
2
4
Este error No es menor que 1*10
Error
3.164182 3.161950
, como no se cumple que p0 p n
1
4
3.161950
0.002232
4 tol 0.002232 1*10 se
hace otra iteración . Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento: n
p 0
p1
p 2
p n 2
Error
1
3
3.146415
3.162259
3.164182
0.164182
2
3.164182
3.161874
3.161952
3.161950
0.002232
Seguimos haciendo las iteraciones hasta que p0 p n
2
tol , completando el método tenemos lo
siguiente: n
p 0
p1
p 2
p n 2
Error
1
3
3.146415
3.162259
3.164182
0.164182
2
3.164182
3.161874
3.161952
3.161950
0.002232
3
3.161950
3.161950
3.161950
3.161950
1.2936E-07
La aproximación a la raíz es de x=3.161950 ****AHORA SI ESCOGEMOS OTRA FORMA DE ECONTRAR LA PUNTO DE ARRANQUE Y TOLERANCIA TENEMOS: x
2
x
10 cos
x * x
x
10 cos
TENIENDO EL MISMO INTERVALO,
g x
x
10 cos
x
x
10 cos
g x
x
x
Ahora haciendo todos pasos para obtener todas las iteraciones respectivas y plasmándolas en la tabla tenemos: p 0
n
p1
p 2
p n 1
Error
1
3
3.299975
2.992398
3.148111
0.148111
2
3.148111
3.176441
3.146266
3.161829
0.013719
3
3.161829
3.162079
3.161813
3.161950
0.000121
4
3.161950
3.161950
3.161950
3.161950
9.3633E-09
PODEMOS VER QUE LA APROXIMACION A LA RAIZ ES x=3.161950 , ENTONCES PODEMOS VER QUE NO IMPORTA LA g x QUE TOMEMOS QUE SIEMPRE VAMOS A ENCONTRAR LA APROXIMACION A LA RAIZ
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
****AHORA SI ESCOGEMOS OTRA FORMA DE ECONTRAR LA PUNTO DE ARRANQUE Y TOLERANCIA TENEMOS:
x
10 cos x 0 cos x
2
x
2
10
x
cos
1
MATEMATICA APLICADA 3
TENIENDO EL MISMO INTERVALO,
g x
x 2 10
cos
g x
1
x 2 10
CON ESTA FUNCION g x NO SE PUEDE ECONTRAR LA APROXIMACION A LA RAIZ PORQUE ESTA
FUNCION AL INGRESARLE LOS VALORES DE p 0 , p1 Y
p 2 DE
LA SEGUNDA ITERACION SE SALE DEL
DOMINIO DE LA FUNCION g x , POR LO CONSIGUIENTE LOS RESULTADOS SON VALORES
COMPLEJOS. METODO DE MULLER n n Un polinomio de grado “n” tiene la forma: P x an x an 1 x
1
.....a1
a0 ,
si P(x) es un polinomio
de grado “n” mayor o igual que 1 con coeficientes reales o complejos, entonces P(X)=0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja). Si P(X) es un polinomio de grado “n” mayor o igual que 1 con coeficientes reales o complejos, entonces existen constantes únicas x1 , x2 , x3..... xk posiblemente
P x
an x
complejas, x1
x m1
x2
y
x m2
enteros
x3
m3
m1 m2 , m3.....mk tales
positivos
....... x
xk
mk
que
k
i 1
mi n
y
, lo anterior establece que el conjunto de
ceros de un polinomio es único y que si cada cero Xi se cuenta el mismo número de veces que su multiplicidad mi , entonces un polinomio de grado “n” tendrá exactamente “n” ceros. Si queremos localizar ceros aproximados de un polinomio P(X) con el procedimiento de Newton, necesitamos evaluar P(X) en valores específicos. Puesto que P(X) y P´(X) son polinomio, la eficiencia computacional requiere evaluar estas funciones en la forma anidada. El problema de aplicar el Método de Newton a los polinomios, es la posibilidad de que el polinomio contenga raíces complejas, cuando todos los coeficientes son números reales. Si la aproximación inicial mediante el método de Newton es un numero real, también lo serán las aproximaciones subsecuentes. Una manera de superar esta dificultad consiste en comenzar con una aproximación inicial compleja y efectuar todos los cálculos por medio de la aritmética compleja. Si z ˆ
z a
a
bi es
un cero complejo de multiplicidad “m” del polinomio P(X), entonces
bi también ser á un cero de multiplicad “m” del polinomio P(X) y x
2
2ax a
2
b
2
m
será
factor de P(X). El método de Muller es una extensión del método de la Secante. Este ultimo comienza con dos aproximaciones iniciales x0 y x1 y determina la siguiente aproximación x2 como la intersección del eje “x” con la línea que cruza x0 , f x0 y
x1 , f x1 .
El método de Muller utiliza tres aproximaciones iniciales x0 , x1 y x2 (siendo estos valores aproximaciones a una de las raíces) y determina la siguiente aproximación x3 al considerar la intersección del eje “x” con la parábola que atraviese x0 , f x0 , x1 , f x1 y x2 , f x2 . La MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
deducción
del
a x x
P x
2
2
FACULTAD DE INGENIERIA
Método
b x x2
de
Muller
c que
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
comienza
considerando
el
MATEMATICA APLICADA 3
polinomio
cuadrático
x0 , f x0 , x1 , f x1 y x2 , f x2 .
pasa por los puntos
Podemos determinar las constantes a, b y c a partir de las condiciones:
P x0 a x0 x2
2
P x1 a x1 x2
2
P x2 a0
2
b x0 x2 c
b x1 x2 c y
b0 c entonces
c
f x2
f ( x0 ) f ( x 2 )
a( x0
x 2 ) 2
b( x0
x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
a( x1
x 2 ) 2
b( x1
x2 )
Resolviendo por sustitución para “a” y “b” tenemos
b
x
0
x2 f x1 f x2 x1 x2 f x0 f x2 2
2
x x x x x x f x f x x x f x f x x x x x x x 0
a
x
1
x2
2
0
1
2
2
0
2
0
0
1
1
2
2
y
1
0
2
1
Definiendo de esta forma: h0
0
f ( x1 )
x1
x1
x0
,
f ( x0 )
h1
y
x0
x2 1
x1 f ( x2 ) f ( x1 )
x2
x1
Sustituyendo en el sistema:
( h0
h1 )b
( h0
h1b
2
h1 ) a 2
h1 a
h0 0
h1 1
h1 1
Teniendo como resultado los coeficientes: a
Si queremos determinar
1
0
h1
x
3
h0
b
ah1
1
c
f ( x2 )
, un cero de P, aplicamos la formula cuadrática P(X)=0. Sin embargo,
debido a los problemas del error de redondeo ocasionado por la sustracción de números casi iguales, utilizaremos la formula siguiente (esta fórmula esta racionalizada de la formula cuadrática):
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
x3 x2
Esta fórmula ofrece dos posibilidades de
x
3
MATEMATICA APLICADA 3
2c 2
b
b 4ac
, según el signo que produce al termino radical. En el
Método de Muller, el signo se elige de modo que corresponda al signo de “b”. De esa forma el denominador será el de mayor magnitud y hará que x3 sea seleccionada como raíz de “P” que esta mas cercana a
x
2
, Por tanto: x3 x2
Una vez que determinamos
x3 ,
2c 2
b
b 4ac
x0 , x1 y x2 para obtener la siguiente aproximación
x4 en
aproximar las raíces complejas cuando b procedimiento:
h1
h2 r 1
D
x2
x0
si
x1
f x2 f x1 h2 r 2 r 1 h1
r 2
b2
h2
b2
2
entonces
E b D
x1
si no
E b D
h
x2
x
2 * f
h
x1
x2
p
x3
raiz
2
E p x3 raiz x2
4ac , por tanto, puede
PASO 3 x0
0 . Con el algoritmo siguiente se establece este
b D
error
h2
4ac
b D
h1
d
PASO
f x1 f x0
r 2
b
x1
2
en vez de
método prosigue hasta que se logra una
conclusión satisfactoria. En cada paso el método contiene el radical
PASO 1
x1 , x2 y x3
reinicializamos el procedimiento usando
h
tol
* d
4 * f
x * d 2
Ejemplo 1: Encontrar la raíz real positiva de la función
f x x
4
2 x
3
12
x
2
16
x 40 por el método
de Muller con una tolerancia de 0.00001. *El método de Muller para poder iniciar necesita 3 puntos cercanos a la raíz, entonces graficamos la función y veremos qué puntos cercanos a la raíz tomamos para iniciar el método
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
Graficando vemos que la raíz positiva esta cerca de x=4, tomando 3 puntos cercanos a esta corte tenemos: x0 4 , x1 4.5 , x2 5 . Ahora iniciando el método tenemos:
1era iteracion (n=1) PASO 1:
PASO 2: Si
Entonces
Si no
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
PASO 3 ,
y
x0 = 4.5
x1 = 5
y
x2 = 4.384397
2da iteración (n=2) Volvemos a hacer los mismos pasos anteriores tomando como valores iníciales x 0 = 4.5 , x1 = 5 , x2 = 4.384397. Seguimos iterando hasta que cumpla con la tolerancia, para este ejemplo solo se necesitan 4 iteraciones para encontrar la raíz. Las columnas que necesitamos para el método de Muller son las siguientes: n
Xo
X1
X2
h1
h2
r1
r2
d
b
D
E
h
P
error
La Siguiente tabla contiene todas las iteraciones necesarias para encontrar un valor de "x" con una tolerancia de 1*10-5 n 1 2 3 4
Xo 4 4.5 5 4.3844
d 82.7500 88.8559 86.9217 76.9288
X1 4.5000 5.0000 4.3844 4.3811
b 237.7500 131.4031 132.0177 132.0554
X2 5.0000 4.3844 4.3811 4.381113
D 135.8678 130.8141 132.0229 132.0554
E 373.6178 262.2173 264.0406 264.1109
h1 0.5000 0.5000 -0.6156 -0.0033 h -0.6156 -0.0033 0.0000 0.0000
El valor de "x" es aprox. = 4.381113
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
h2 0.5000 -0.6156 -0.0033 0.0000 P 4.3843977 4.3810834 4.3811134 4.3811134
r1 113.6250 196.3750 186.1030 132.3058
r2 196.3750 186.1030 132.3058 132.0531
error 0.6156023 0.0033143 0.0000301 0.0000000
