Desigualdad de Minkowski

DESIGUALDAD DE MINKOWSKI

PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor informaci€n. informaci€n. PDF generated at: Wed, 05 Feb 2014 15:48:58 UTC

Contenidos Art€culos Desigualdad de Minkowski

1

Hermann Minkowski

2

Espacios Lp

4

Espacio vectorial

5

Norma vectorial

18

Dependencia e independencia lineal

20

Desigualdad triangular

23

Desigualdad de H•lder

27

N‚mero cardinal

28

Funciƒn convexa

31

Espacio-tiempo de Minkowski

35

Referencias Fuentes y contribuyentes del art€culo

37

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

38

Licencias de art€culos Licencia

39

Desigualdad de Minkowski

1

Desigualdad de Minkowski En an•lisis matem•tico, la desigualdad de Minkowski, debida a Hermann Minkowski, establece que los espacios L p son espacios vectoriales con una norma vectorial. Sea S un espacio medible, sea 1 €  p € • y sea f sea  f y g elementos de  p  p L (S ). ). Entonces f Entonces f + g es de L (S ), ), y se tiene con la igualdad para el caso1 < p <  p <  < • si y s€lo si f si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que  f = g o g =  f para alg‚n ‚ 0). La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en L p(S ). ). Igual que la desigualdad de Hƒlder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

para todos los n‚meros reales (o complejos)  x1, ...,  xn,  y1, ...,  yn y donde n es el cardinal de S (el n‚mero de elementos de S).

Demostraci€n Primero se demuestra que f  que  f +g tiene una p una p-norma -norma finita sobre f sobre f y g ambas la tienen , esto se sigue de, En efecto, aqu„ se hace servir el hecho de que

es una funci€n convexa sobre

(para

m•s grande

que 1) y por lo tanto, si a y b son positivos entonces,

Lo cual significa que, Ahora, se puede hablar leg„timamente de Minkowski. ahora , suponiendo que

. Si es zero, entonces se cumple la desigualdad de no es zero. haciendo servir la desigualdad de Hƒlder

Se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando por ambos lados

.

Desigualdad de Minkowski

2

Referencias … Hardy, Hardy, G., G., Little Littlewoo woodd J.E., J.E., Polya, Polya, G. (1999 (1999). ). Inequalities  Inequalities,, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8 … H. Mink Minkow owsk ski, i, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953) … M.I. Voitsekhovski Voitsekhovskiii (2001), "Minkowski "Minkowski inequality", inequality", in Hazewinkel Hazewinkel,, Michiel, Encyclopa Encyclopaedia edia of Mathematics, Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Hermann Minkowski Hermann Minkowski

Hermann Minkowski Nacimiento

22 de junio de 1864 Kaunas, Lituania (antiguamente Aleksotas (Imperio Ruso))

Fallecimiento

12 de enero de 1909

Residencia

Alemania

Campo

Matem•ticas

Instituciones

Universidades de Bonn, Gƒttingen, Kƒnigsberg y Z‚rich

Alma m•ter

Universidad de Kƒnigsberg

Conocido por

Desarrollar la teor„a geom†trica de los n‚meros. Colaboraciones en la teor„a especial de la relatividad

Premios

Premio de matem•ticas de la Academia de Ciencias Francesa (1883)

destacados

(22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un matem•tico ruso de origen lituano que desarroll€ la teor„a geom†trica de los n‚meros. Sus trabajos m•s destacados fueron realizados en las •reas de la teor„a de n‚meros, la f„sica matem•tica y la teor„a de la relatividad.

Hermann Minkowski

Minkowski naci€ en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y curs€ sus estudios en Alemania en las universidades de Berl„n y Kƒnigsberg, donde realiz€ su doctorado en 1885. Durante sus estudios en Kƒnigsberg en 1883 recibi€ el premio de matem•ticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobra las formas cuadr•ticas. Minkowski imparti€ clases en las universidades de Bonn, Gƒttingen, Kƒnigsberg y Z‚rich. En Z‚rich fue uno de los profesores de Einstein. Minkowski explor€ la aritm†tica de las formas cuadr•ticas que concern„an n variables. Sus investigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geom†tricas de los espacios n dimensionales. En 1896 present€ su geometr€a de los n•meros, n•meros , un m†todo geom†trico para resolver problemas en teor„a de n‚meros.

Hermann Minkowski En 1902 se incorpor€ al departamento de matem•ticas de las universidad de Gƒttingen colaborando de cerca con David Hilbert. En 1907 se percat€ de que la teor„a especial de la relatividad, presentada por Einstein en 1905 y basada en trabajos anteriores de Lorentz y Poincar†, pod„a entenderse mejor en una geometr„a no-euclideana en un espacio cuatridimensional, desde entonces conocido como espacio de Minkowski, en el que el tiempo y el espacio no son entidades separadas sino variables „ntimamente ligadas en el espacio de cuatro dimensiones del espacio-tiempo. En este espacio de Minkowski la transformaci€n de Lorentz adquiere el rango de una propiedad geom†trica del espacio. Esta representaci€n sin duda ayud€ a Einstein en sus trabajos posteriores que culminaron con el desarrollo de la relatividad general. En su discurso de inauguraci€n de la 80 reuni€n de la Asamblea general alemana de cient„ficos naturales y f„sicos el 21 de septiembre de 1908 pronunci€ una frase que ahora es c†lebre: Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la f„sica experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado est•n destinados a desvanecerse entre las sombras y tan s€lo una uni€n de ambos puede representar la realidad. El asteroide (12493) Minkowski recibe su nombre en su honor.

Enlaces externos … Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Hermann MinkowskiCommons. … O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., ‡Biograf„a de Hermann Minkowski [1]‰ (en ingl†s), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews.

Referencias [1] http:/   / www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Biographies/ Minkowski. html

3

Espacios Lp

4

Espacios Lp Los espacios son los espacios vectoriales normados m•s importantes en el contexto de la teor„a de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben tambi†n el nombre de espacio de Lebesgue por el matem•tico Henri Lebesgue.

Definici€n Consideremos

un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

Como el espacio de todas las funciones medibles

Asimismo, se define el espacio

que cumplen:

como el espacio de las funciones medibles

que verifican:

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural para definir en estos espacios ser„a: , si

,y

Sin embargo, una aplicaci€n as„ definida no resulta norma, ya que no se cumple

, pues

cualquier funci€n que sea igual a la funci€n nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendr• norma cero. As„, se define la siguiente relaci€n de equivalencia sobre : . Se prueba que efectivamente es una relaci€n de equivalencia, y se defina , i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relaci€n . Considerando entonces sobre las normas anteriormente definidas (donde es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinci€n entre funci€n y clase de equivalencia en este contexto.

Propiedades 1.

es un espacio de Banach.

2.

es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno

.

3. Si , entonces se tiene que . 4. Si es reflexivo. 5. Si denotamos por al espacio de las funciones simples, se cumple que 6. Si

, el dual topol€gico de

es

donde

es tal que

es denso en

.

.

7. Si el espacio de medida es -finito, entonces el dual de se identifica con . 8. Si es un espacio topol€gico localmente compacto separado, y es una medida regular, entonces (el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en con . 9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto a soporte compacto y que est•n en con , es denso en , es decir .

Espacio vectorial

5

Espacio vectorial  Este art€culo est‚ orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducciƒn m‚s accesible al concepto, v„ase Vector  En •lgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac„o, una operaci€n interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaci€n externa (llamada  producto por un escalar , definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Historia Hist€ricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometr„a anal„tica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Representaci€n art„stica de un espacio vectorial.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometr„a af„n, a trav†s de la introducci€n de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matem•ticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometr„a anal„tica mediante la vinculaci€n de las soluciones de una ecuaci€n con dos variables a la determinaci€n de una curva plana. Para lograr una soluci€n geom†trica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, l„neas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baric†ntricas de August Ferdinand Mƒbius de 1827. La primera formulaci€n moderna y axiom•tica se debe a Giu seppe Peano, a finales del siglo XIX. Los  siguientes avances en la teor„a de espacios vectoriales provienen del an•lisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de An•lisis funcional requer„an resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topolog„a, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topol€gicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teor„a m•s rica y elaborada. El origen de la definici€n de los vectores es la definici€n de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentaci€n de los n‚meros complejos de Argand y Hamilton y la creaci€n de los cuaterniones por este ‚ltimo (Hamilton fue adem•s el que invent€ el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien tambi†n defini€ los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notaci€n matricial, que permite una armonizaci€n y simplificaci€n de  las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudi€ el c•lculo baric†ntrico iniciado por Mƒbius. Previ€ conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensi€n, as„  como de producto escalar est•n presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicaci€n, tambi†n, lo llev€ a lo que hoy en d„a se llaman •lgebras. El matem•tico italiano Peano dio la primera definici€n moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888. Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcci€n de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto m•s tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. En este momento,

Espacio vectorial

6

el •lgebra y el nuevo campo del an•lisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tambi†n en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matem•tica, la ciencia y la ingenier„a. Se utilizan en m†todos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresi€n de im•genes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Adem•s, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geom†tricos y f„sicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante t†cnicas de linealizaci€n.

Notaci€n Dado un espacio vectorial Los elementos de

sobre un cuerpo

, se distinguen.

como: se llaman vectores.

Caligrafias de otras obras Si el texto es de f„sica suelen representarse bajo una flecha: Los elementos de

como: se llaman escalares.

Definici€n de espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los n‚meros reales o los n‚meros complejos) es un conjunto no vac„o, dotado de dos operaciones para las cuales ser• cerrado:

operaci€n interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro , es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir y la operaci€n producto por un escalar:

operaci€n externa tal que: 5) tenga la propiedad asociativa: 6)

sea elemento neutro del producto:

Espacio vectorial

7

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores: 8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:

Observaciones La denominaci€n de las dos operaciones no condiciona la definici€n de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicaciƒn para el producto y adiciƒn para la suma, usando las distinciones propias de la aritm†tica. Para demostrar que un conjunto

es un espacio vectorial:

… Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo … Si supi†semos que 1, 2, 3 y 4.

y

admiten una redefinici€n del tipo

y cumpliendo las 8 condiciones exigidas. es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendr„amos probados los apartados

… Si supi†semos que el producto es una acci€n por la izquierda de

tendr„amos probados los apartados 5 y 6.

… Si no se dice lo contrario: . Propiedades Unicidad del vector neutro de la propiedad 3: supongamos que el neutro no es ‚nico, es decir, sean

y

dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4: supongamos que el opuesto no es ‚nico, es decir, sean como el neutro es ‚nico:

Unicidad del elemento en el cuerpo

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo

y

, entonces,

dos unidades, entonces:

:

de a, no es ‚nico, es decir, sean

como el neutro es ‚nico:

Producto de un escalar por el vector neutro: Producto del escalar 0 por un vector:

dos vectores opuestos de

:

supongamos que 1 no es ‚nico, es decir, sean

supongamos que el inverso

y

y

dos opuestos de

, entonces,

Espacio vectorial

8

Si … Si … Si

es cierto. entonces:

Notaci€n

. Observaci€n

… Si … Si Primer ejemplo con demostraci€n al detalle Se quiere probar que Si

juega el papel de

es un espacio vectorial sobre y

el de

:

Los elementos: son, de forma gen†rica: es decir, pares de n‚meros reales. Por claridad se conserva la denominaci€n del vector, en este caso u, en sus coordenadas, aŠadiendo el sub„ndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente En

se define la operaci€n suma:

donde:

y la suma de u y v ser„a: donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida. La operaci€n interna suma tiene las propiedades: 1) La propiedad conmutativa, es decir:

Espacio vectorial

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operaci€n producto por un escalar:

El producto de a y u ser•: donde:

esto implica que la multiplicaci€n de vector por escalar es externa y aun as„ est• bien definida. 5) tenga la propiedad asociativa: Esto es:

6)

sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda: En este caso tenemos:

9

Espacio vectorial

10

8) distributiva por la derecha: Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales Los cuerpos Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre †l mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo. …

es un espacio vectorial de dimensi€n uno sobre

.

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo. … …

es un espacio vectorial de dimensi€n 2 sobre . es un espacio vectorial de dimensi€n infinita sobre

.

Sucesiones sobre un cuerpo El espacio vectorial m•s conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones: (u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn). a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun). Las sucesiones infinitas de

son espacios vectoriales con las operaciones:

(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...). a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...). El espacio de las matrices

,

, sobre

, con las operaciones:

Tambi†n son espacios vectoriales cualquier agrupaci€n de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , as„ por ejemplo

Espacio vectorial

11

tenemos las cajas

sobre

que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una funci€n gen†rica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo El conjunto

de las aplicaciones

,

un cuerpo y

un conjunto, tambi†n forman espacios

vectoriales mediante la suma y la multiplicaci€n habitual:

Los polinomios

El espacio vectorial  K [x] formado por funciones polin€micas, ve•moslo: Expresi€n los

general: ,donde

coeficientes

,

consid†rese

. donde

y

,

Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos t†rminos distintos de cero. Funciones trigonomƒtricas

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.

Las funciones trigonom†tricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones: Expresi€n general:

Espacio vectorial

12

Los sistemas de ecuaciones lineales homogƒneas

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

o

equivalentemente

simplificado como Un sistema de ecuaciones lineales homog†neas( ecuaciones lineales en las que es siempre una soluci€n, es decir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones: Si Si

.

Tambi†n que las ecuaciones en s„, filas de la matriz notadas como una matriz , son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones:

, es decir,

Si Si

.

Definici€n de subespacio vectorial Sea

un espacio vectorial sobre

y

no vac„o,

es un subespacio vectorial de

si:

Consecuencias hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .

, y como

Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vac„o, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria ‚til introducir nuevos conceptos que facilitar•n el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.

Espacio vectorial

13

Resultados internos Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronol€gicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados v•lidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial. Combinaci€n lineal Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinaci€n lineal de los vectores de si existen escalares tales que Notaremos como

el conjunto resultante de todas

las combinaciones lineales de los vectores de . Proposici€n 1

Dado un espacio vectorial y de vectores, el conjunto

Cada vector u es combinaci€n lineal de forma ‚nica

un conjunto es el subespacio

vectorial m•s pequeŠo contenido en

y que contiene a

.

Demostraci€n

Si se supone lo contrario, que existe uno m•s pequeŠo contradicci€n, ya que u est• generado por elementos de a causa de la buena definici€n de las dos operaciones, por tanto . Nota. En este caso se dice que

es un sistema de generadores que genera a

.

Independencia lineal Diremos que un conjunto

de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se

puede expresar como combinaci€n lineal no nula de los vectores de Si . Diremos que un conjunto

, es decir:

de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

Proposici€n 2

son linealmente dependientes Demostraci€n

Linealmente dependientes tomando Si

. donde

y por tanto linealmente dependientes.

Espacio vectorial

14

Base de un espacio vectorial Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = { vi}i ƒ  I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinaciƒn lineal) de elementos de la base a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base  B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinaci€n lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuaci€n a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0 s€lo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definici€n de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representaci€n es ‚nica. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista. Base formalmente Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes. Proposici€n

3.

Dado

un es

espacio vectorial una base .

Proposici€n

4.

Dado un espacio vectorial linealmente independiente y es

linealmente independiente.

v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadr„cula no podr„a generarse

Teorema de la base de generadores

Todo sistema de generadores tiene una base. Teorema Steinitz

Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes. Corolario.

Si un espacio vectorial

tiene una base de

vectores

cualquier otra base posee

vectores. Observaci€n tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulaci€n equivalente del axioma de elecci€n. Habida cuenta de los otros axiomas de la teor„a de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elecci€n. El ultrafilter lemma, que es m•s d†bil que el axioma de elecci€n, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaŠo", es decir, cardinalidad. Si el espacio es generado por un n‚mero finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teor„a de conjuntos. Todo espacio vectorial

Espacio vectorial

15

Dimensi€n Dado un espacio vectorial sobre

:

… Si tiene base finita, diremos dimensi€n al n‚mero de elementos de dicha base. … Si tiene base no finita, diremos que es de dimensi€n infinita. Notaci€n

Dado un espacio vectorial

y un subespacio

, tenemos que:

… Si

tiene dimensi€n

lo indicaremos como

… Si

tiene dimensi€n

como subespacio de

. lo indicaremos como

.

Intersecci€n de subespacios vectoriales Dado dos subespacios vectoriales

, la intersecci€n es subespacio vectorial contenido en estos y lo

notaremos como: . Observaciones.

Para la intersecci€n sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en

dos. La uni€n de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial. Suma de subespacios vectoriales Dado dos subespacios vectoriales

, la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la

notaremos como: . Observaci€n. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos. Teorema F€rmula de Grassmann Dado dos subespacios vectoriales

de dimensi€n finita, tenemos el resultado siguiente: .

Suma directa de subespacios vectoriales Dado dos subespacios vectoriales

, diremos que

es una suma directa si

y lo

notaremos como: . Cociente de espacios vectoriales Dado un espacio vectorial Dados

y un subespacio vectorial

diremos que est•n relacionados modulo

. si

.

… La relaci€n anterior es una relaci€n de equivalencia. Se nota por

a la clase de

modulo . Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior: Se nota por El espacio

a dicho espacio cociente. es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Espacio vectorial

16

Construcciones b•sicas Adem•s de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Adem•s de las definiciones concretas que figuran a continuaci€n, tambi†n se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto  X especificando las aplicaciones lineales de  X a cualquier otro espacio vectorial. Suma directa de espacios vectoriales Dado dos espacios vectoriales

sobre un mismo cuerpo

, llamaremos suma directa al espacio vectorial

, veamos que est•n bien definidas las dos operaciones: , .

Espacios vectoriales con estructura adicional Desde el punto de vista del •lgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensi€n. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuesti€n fundamental para el an•lisis de si una sucesi€n de funciones converge a otra funci€n. Asimismo, el •lgebra lineal no est• adaptada  per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un n‚mero finito de t†rminos para sumar. Las necesidades del an•lisis funcional requieren considerar nuevas estructuras. Espacios normados Un espacio vectorial es normado si est• dotado de una norma. Espacio mƒtrico Un espacio m†trico es un espacio vectorial dotado de una aplicaci€n distancia. Proposici€n 5. Un espacio normado es un espacio m†trico, donde la distancia viene dada por:

Toda distancia inducida por la norma es una distancia. Espacios vectoriales topol€gicos Dada una topolog„a sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topolog„a, diremos que: … …

es una topolog„a vectorial sobre , es un espacio vectorial topol€gico. Proposici€n 6.. Todo espacio vectorial topol€gico dotado de una m†trica es espacio normado. Proposici€n 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topol€gico.

Espacio vectorial

17

Espacios de Banach Un espacio de Banach es un espacio normado y completo. Espacios prehilbertianos Un espacio prehilbertiano es un par

, donde

es un espacio vectorial y

es un producto a

escalar. Espacios de Hilbert Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

Morfismos entre espacios vectoriales Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de †stas de uno a otro de dichos espacios. Aplicaciones lineales Dado dos espacios vectoriales

y

, sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicaci€n

es

lineal si:

, .

Referencias Notas Referencias hist€ricas … Banach, Stefan (1922) (en franc†s). Sur les op„rations dans les ensembles abstraits et leur application aux „quations int„grales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) . 3. Fundamenta Mathematicae. ISSN 0016-2736  (http:/  / worldcat.org/ issn/ 0016-2736). … Bolzano, Bernard (1804) (en alem•n). Betrachtungen …ber einige Gegenst†nde der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry)  (http:/  / dml.cz/ handle/ 10338.dmlcz/ 400338). … Bourbaki, Nicolas (1969) (en franc†s). ‡l„ments d'histoire des math„matiques (Elements of history of  mathematics). Paris: Hermann. … Grassmann, Hermann (1844) (en alem•n). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik  (http:/  / books.google.com/ books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ ein+neuer+Zweig+der+Mathematik). … Hamilton, William Rowan (1853) (en ingl†s). Lectures on Quaternions (http:/  / historical.library.cornell.edu/  cgi-bin/ cul.math/ docviewer?did=05230001&seq=9). Royal Irish Academy. … Mƒbius, August Ferdinand (1827) (en alem•n). Der Barycentrische Calcul : ein neues H…lfsmittel zur  analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of  geometry) (http:/  / mathdoc.emath.fr/ cgi-bin/ oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0). … ‡The axiomatization of linear algebra: 1875 „ 1940‰, Historia Mathematica 22 (3): 262 „ 303, 1995, ISSN 0315-0860 (http:/  / worldcat.org/ issn/ 0315-0860) … Peano, Giuseppe (1888) (en italiano). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann  preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva. Turin.

Espacio vectorial

18

Bibliograf„a … … … …

Castellet, M.; Llerena, I. (1988). ‡IV espais vectorials‰ (en catal•n). ˆlgebra lineal i geometr€a. Publ. UAB. Lang, S. (1976). ‰lgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. Queysanne, M., ‰lgebra B‚sica, Vicens-Vives. 1973. Rudin, w., An‚lisis Funcional (Definici€n axiom•tica de espacios vectoriales topol€gicos introductivamente), Revert†.

Enlaces externos … Juega con vectores (http:/  / www.frontiernet.net/ ~imaging/ vector_calculator.html) … Weisstein, Eric W. ‡ Espacio vectorial (http:/  / mathworld.wolfram.com/ VectorSpace.html)‰ (en ingl†s).  MathWorld . Wolfram Research. … A lecture (http:/  / ocw.mit.edu/ courses/ mathematics/ 18-06-linear-algebra-spring-2010/ video-lectures/  lecture-9-independence-basis-and-dimension/ ) about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT) … A graphical simulator (http:/  / code.google.com/ p/ esla/ ) for the concepts of span, linear dependency, base and dimension

Norma vectorial Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en f„sica y geometr„a, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideraci€n ya que este acto, pese a lo que pudi†ramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparici€n de las geometr„as no eucl„deas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noci€n de geod†sica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometr„a riemanniana y la geometr„a diferencial. Por tanto, bas•ndonos en las propiedades b•sicas que la determinaci€n de la longitud tiene en el espacio eucl„deo habitual, definimos matem•ticamente qu† condiciones m„nimas debe satisfacer un operador que act‚e sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometr„a. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fruct„feras en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrof„sica y la Cosmolog„a. En espacios vectoriales es sin€nimo de longitud de un vector.

Definici€n de norma eucl„dea En un espacio eucl„deo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial eucl„deo, la norma de un vector se define como la distancia eucl„dea (en l„nea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio eucl„deo la norma de un vector coincide precisamente con el m€dulo del vector . … En dos dimensiones: siendo

y

y O el origen de

coordenadas de dicho espacio. … Extendiendo lo anterior al espacio eucl„deo de tres dimensiones, es tambi†n elemental que: siendo

y

Norma vectorial

19

… En el caso general de un espacio eucl„deo de n dimensiones se tiene: siendo

y

. De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal en la que un vector viene dado por sus componentes en esta base, , entonces la norma de dicho vector viene dada por:

Definici€n matem•tica general La definici€n general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noci€n de m€dulo de un vector de un espacio eucl„deo. Recu†rdese que en un espacio no eucl„deo el concepto de camino m•s corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la l„nea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma eucl„dea definida m•s arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones b•sicas son: … Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientaci€n) de la medici€n. … La longitud debe ser directamente proporcional al tamaŠo (es decir, doble -o triple- de tamaŠo significa doble -o triple- de longitud). … La longitud entre dos puntos ser• siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un tri•ngulo nunca es menor que el tercer lado, tambi†n generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz). Esto genera la siguiente definici€n matem•tica: Sea

un espacio vectorial sobre un cuerpo

y

un vector del espacio. Se dice que

operador que define la norma de , y escribimos , si cumple: 1. Para todo de su norma ha de ser no negativa, y ser• cero si y s€lo si

es un

es el vector cero:

si

y . 2. Para todo de y para todo k de se satisface que ‹ 3. Para todos e de se cumple que (desigualdad triangular). Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometr„a, ser• un operador norma.

Ejemplos A continuaci€n se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definici€n matem•tica general: … Para un vector

As„, para el caso

se define la norma-p como:

se obtiene

, y para el caso

norma eucl„dea explicada m•s arriba. … Otro operador norma ser„a, la norma del m•ximo:

Donde

La elecci€n del sub„ndice

. Para un espacio de dimensi€n infinita numerable se podr„a escribir:

para esta norma se debe al hecho de que:

se obtiene la

Norma vectorial

20

… En un espacio vectorial dotado de producto escalar o Espacio prehilbertiano existe una norma asociada al producto escalar definida como (La coma indica producto interno): donde x* es el complejo conjugado de x Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

Dependencia e independencia lineal En •lgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinaci€n lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, …1, 1), (1, 0, 1) y (3, …1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definici€n Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen n‚meros , no todos iguales a cero, tales que: N€tese que el s„mbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales n‚meros no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definici€n anterior tambi†n puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente. Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal as„: Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos: 1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinaci€n lineal de los dem•s. 2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambi†n lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinaci€n de los dem•s, escogiendo solamente unos cuantos, no podr•n ser combinaci€n de los otros. 3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, tambi†n lo es todo conjunto que lo contenga. 4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y s€lo si son paralelos. 5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene alg‚n vector que es combinaci€n lineal de los dem•s, si metemos este conjunto de vectores en otro m•s grande, seguimos teniendo el vector que es combinaci€n lineal de otros, por tanto, el conjunto m•s grande ser• linealmente dependiente.

Dependencia e independencia lineal

Significaci€n geomƒtrica Geom†tricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma direcci€n. Esta definici€n supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un •rea. Tres vectores son independientes si y solo si no est•n contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinaci€n lineal de los otros dos (en cuyo caso estar„a en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen. El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta f•cil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusi€n) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensi€n n (dimensi€n en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

Ejemplo En el espacio tridimensional usual: … u y j son dependientes por tener la misma direcci€n. … u y v son independientes y definen el plano P. … u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano. … u, v y k son independientes por serlo u y v entre s„ y no ser k una combinaci€n lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional. … Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ‹k Ejemplo del uso de la f€rmula f : ŒSon los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuaci€n:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la ‚nica soluci€n es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

21

Dependencia e independencia lineal

22

Mƒtodo alternativo usando determinantes Un m†todo alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero. Dados los vectores:

La matriz formada por †stos es:

El determinante de esta matriz es: Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y ( …3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo II Sea V  = Rn y consideremos los siguientes elementos en V :

Entonces e1, e2,..., en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base can€nica en R. Demostraci€n Supongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que: Sustituyendo e1, e2,..., en resulta: Multiplicando: Sumando coordenadas: Por lo que se obtiene: As„ que: Adem•s: Pero 0 es un vector, entonces: Por lo que ai = 0 para todo i en {1,..., n}. Entonces los vectores

son linealmente independientes

Dependencia e independencia lineal

23

Ejemplo III Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmente independientes. Demostraci€n Supongamos que a y b son dos n‚meros reales tales que: aet + be2t = 0 Para todos los valores de t . Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es un n‚mero real diferente de cero, sea cual sea t ) y restando obtenemos: bet = …a En otras palabras, la funci€n bet debe ser independiente de t , lo cual ocurre ‚nicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.

Temas relacionados … Combinaci€n lineal, Sistema generador … Base (•lgebra), Base Ortogonal, Base Ortonormal … Dependencia funcional

Desigualdad triangular La desigualdad del tri•ngulo es un teorema de geometr„a euclidiana que establece: En todo tri•ngulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Este resultado ha sido generalizado a otros contextos m•s sofisticados como espacios vectoriales. Definido matem•ticamente, cualquier tri•ngulo cumple la siguiente propiedad: donde a, b y c son los lados.

Desigualdad del tri•ngulo.

Desigualdad triangular

24

Camino euclidiano de m„nimo recorrido En geometr„a euclidiana ( y en algunas otras geometr€as[1]) la desigualdad triangular es un teorema importante acerca de las medidas y las distancias. Siguiendo en geometr„a euclidiana, dicha desigualdad en tri•ngulos rect•ngulos, es una consecuencia del teorema de Pit•goras, y para los tri•ngulos en general una consecuencia de la ley de los cosenos, aunque †sta puede ser probada sin esos teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en † o †Ž (aunque tambi„n es v‚lida para †n). La figura de la derecha muestra tres ejemplos progresivos partiendo de una clara desigualdad ( tri‚ngulo m‚s alto) hasta acercarse tanto como se quiera a la igualdad ( tri‚ngulo m‚s bajo). Advierta que se logra tanta m•s aproximaci€n a la igualdad, cuanto m•s se aproxima el v†rtice Z (el opuesto al lado  z) a cualquier punto del segmento que conforma al lado  z de la base del tri•ngulo, y esto con total independencia del camino que se utilice.

Desigualdad del tri•ngulo tendiendo hacia la igualdad mientras reduce su altura.

El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad ( no podr€a ser se otra manera debido a su enunciado) y as„ evita el tratar con el caso l„mite de si tres v†rtices colineales siguen o no definiendo un tri•ngulo, (a•n si se conviene en que s€, estar€amos ante un caso de figura geom„trica degenerada y „stas conducen en general a soluciones espurias, aunque particularmente en „ste caso, no es as€ ). Siendo  h la altura del tri•ngulo y tomando l„mite con extender la f€rmula inicial a una m•s general.

, la pol†mica se soslaya y se adquiere el derecho a

Si ( x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un ti•ngulo cualquiera y  h la altura correspondiente al lado z, entonces podremos reconocer dos casos: 1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales del teorema: 2) Aceptado h€0. En †ste segundo caso logramos tres desigualdades m•s generales que las del teorema porque incluyen el caso que m•s nos interesa, el cual es el caso l„mite de igualdad : En geometr„a eucl„dea, s€lo se obtiene el caso l„mite de igualdad cuando el tri•ngulo ( aunque degenerado) tenga altura h=0 (sobre el lado que se ha denominado  z) y adem•s el v†rtice Z pertenezca al segmento  xy (o sea al lado  z), llegando entonces los tres v†rtices, a ser colineales, como se muestra en el ejemplo (l€nea base). Como el v†rtice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece el tri‚ngulo), pero en la desigualdad triangular solo se logra el caso l„mite de igualdad cuando dicho v†rtice se encuentra en un lugar tal que pertenece al segmento constituyente del lado  z, y como por otra parte la m„nima longitud que puede tener la suma  x+ y cumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado  z es justamente la longitud del lado  z, se concluye entonces que para el caso l„mite de  x+y=z estamos ante una longitud de  m€nimo recorrido posible entre los v†rtices  X e Y de  z, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser  z un lado gen„rico), lo cual demuestra que la l„nea recta es el camino de menor longitud posible entre ellos. Por todo lo anterior es posible afirmar que: En geometr„a euclidiana la distancia m•s corta entre dos puntos es una l„nea recta. Es importante registrar que la desigualdad triangular eucl„dea en † o †Ž es una idea de gran simplicidad. Luego en matem•ticas m•s avanzadas se podr• ver que la ‡ideaˆ de la desigualdad ( ya no triangular ) se puede generalizar tambi†n a pol„gonos de cuatro o m•s lados. Luego sabiendo que los pol„gonos al tender su n‚mero de lados a infinito

Desigualdad triangular

25

( ) se convierten en curvas, en las que a‚n vale una versi€n con similitudes a la ‡ideaˆ de desigualdad. Adem•s en algunos casos puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos ( con solo reemplazar el concepto de recta por el de l€nea geod„sica).

Espacios vectoriales normados El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteni†ndose la siguiente versi€n de la desigualdad triangular: En todo espacio vectorial normado Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores. En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versi€n del teorema: Para cualquiera dos n‚meros a y b se cumple: cuya demostraci€n es: Demostraci€n (mbito ‰ †). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones: A su vez, usando la propiedad de valor absoluto

si y solo si

Generalizaci€n de la desigualdad triangular La desigualdad triangular puede generalizarse a un n‚mero arbitrario de sumandos: , es decir:

donde n es un n‚mero natural, y los Demostraci€n

son n‚meros reales.

en la l„nea de arriba queda:

Desigualdad triangular

26

La demostraci€n es un ejemplo cl•sico de prueba por inducci€n matem•tica. Como casos iniciales observamos que para n=1: puesto que el s„mbolo es una disyunci€n l€gica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular cl•sica Supongamos ahora que la condici€n se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado

Queda por demostrar que la afirmaci€n es cierta tambi†n para el siguiente valor, k +1. Partimos de la siguiente expresi€n:

y observando que

es un n‚mero real y

es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular

para dos sumandos:

Aplicamos ahora la afirmaci€n para n=k sumandos

la cual hab„amos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener

Sin embargo, esta ‚ltima expresi€n es precisamente

de manera que hemos demostrado

y por medio de inducci€n matem•tica, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Notas [1] En geometr„a esf†rica el concepto de l„nea recta es reemplazado por el de geod†sica, la cual es la distancia m•s corta entre dos puntos dados de la misma y †sta es siempre una l„nea que debe pertenecer a una circunferencia m•xima (tambi„n llamada maximal ). Las circunferencias m•ximas son las l„neas de intersecci€n entre la superficie esf†rica y cualquier plano que pase por el centro de la misma, con estas restricciones se puede hablar a‚n de tri•ngulos de lados geod†sicos. Los tri•ngulos esf†ricos no cumplen con que la suma de sus •ngulos internos sea 180, sin embargo la desigualdad triangular sigue vigente en geometr„a esf†rica.

Desigualdad de Hƒlder

Desigualdad de H…lder En an•lisis matem•tico la desigualdad de H…lder, llamada as„ debido a Otto Hƒlder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L p. Sea (S ,  Š ,  ‹) un espacio de medida y sea 1 €  p, q € • con 1/  p + 1/ q = 1. Entonces, para toda funci€n medible de valores reales o complejos f y g sobre S , se tiene que Los n‚meros p y q expresados arriba se dice que son conjugados de H…lder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hƒlder se cumple incluso si || fg ||1 es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f est• en L p( ‹) y g est• en Lq( ‹), entonces fg est• en L1( ‹). Para 1 < p, q < •, f ƒ  L p( ‹) y g ƒ  Lq( ‹), la desigualdad de Hƒlder se convertir• en una igualdad si y s€lo si | f | p y |g |q son linealmente dependientes en  L1( ‹), lo que significa que existen dos n‚meros reales Œ,  ‚ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que Œ  |f | p =  |g |q ‹-casi en todas partes. La desigualdad de Hƒlder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalizaci€n de la desigualdad triangular en el espacio  L p( ‹), y tambi†n para establecer que  Lq( ‹) es el espacio dual de L p( ‹) para 1 € p < •. La desigualdad de Hƒlder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hƒlder (1889).

Referencias … Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; P€lya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, ISBN 0521358809 … Hƒlder, O. (1889), ‡Ueber einen Mittelwerthsatz [1]‰, Nachrichten von der KŽnigl. Gesellschaft der  Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universit†t zu GŽttingen Band 1889 (2): 38 „ 47 (en alem•n). Disponible en Digi Zeitschriften [2]. … Kuptsov, L.P. (2001), ‡Hƒlder inequality [3]‰, en Hazewinkel, Michiel (en ingl†s), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 … Rogers, L J. (1888), ‡An extension of a certain theorem in inequalities‰, Messenger of Mathematics 17: 145 „ 150. … Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra [4], Online e-book en formato PDF, Brigham Young University … Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities [5], Online e-book en formato PDF

Referencias [1] [2] [3] [4] [5]

http:/   / www.digizeitschriften.de/ index.php?id=166& ID=468392 http:/   / www.digizeitschriften.de/ index.php?id=64& L=2 http:/   / www.encyclopediaofmath.org/ index.php?title=H%C3%B6lder_inequality&oldid=23328 http:/   / www.math.byu.edu/ ~klkuttle/ Linearalgebra.pdf  http:/   / www.mediafire.com/ ?1mw1tkgozzu

27

N‚mero cardinal

28

N†mero cardinal El cardinal indica el n‚mero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los n‚meros cardinales constituyen una generalizaci€n interesante del concepto de n‚mero natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto , el cardinal de este conjunto se simboliza mediante , , o . Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica as„: |A| = 3.

Historia El concepto de n‚mero cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo ampli€ a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial. Primero estableci€ el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos pero ambos tienen cardinalidad 3. Cantor defini€ el conteo usando la correspondencia biun„voca, la cual mostraba f•cilmente que dos conjuntos finitos ten„an la misma cardinalidad si hab„a una relaci€n biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvi€ para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de n‚meros naturales ( N = {1, 2, 3, ...}). Nombr€ el cardinal de : . Incluso prob€ que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad , debido a que era posible establecer la relaci€n biun„voca con N.

Propiedades del cardinal de un conjunto Los conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en funci€n de la relaci€n de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y s€lo si entre †stos existe una biyecci€n. Cardinalidad de un conjunto ser„a la clase de equivalencia a la cual †ste pertenece. Tener dos conjuntos con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota: o bien La existencia de una funci€n inyectiva entre dos conjuntos tambi†n define una relaci€n de orden entre sus cardinales; es decir: La relaci€n excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales. Es posible demostrar que si y esto implica que El cardinal del conjunto vac„o se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al •nico conjunto vac„o: El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por . Se puede tambi†n demostrar que existe una funci€n biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el -orden en los cardinales). Esta funci€n, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y de aqu„ proviene la notaci€n

para el primer cardinal infinito,

para el siguiente, etc.

N‚mero cardinal

29

Cardinal del conjunto potencia Existe una relaci€n entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia: Donde

es el cardinal del conjunto de partes.

Cardinales transfinitos Los n‚meros cardinales de algunos conjuntos se representan con s„mbolos especiales: … El cardinal de los n‚meros reales: … El cardinal de los n‚meros naturales: … El cardinal inmediatamente superior a

; (Alef-0). :

Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen . La hip€tesis del continuo afirma que de hecho . Gƒdel prob€ en 1938 que esta hip€tesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teor„a de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen prob€ que la negaci€n de la hip€tesis del continuo tambi†n es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hip€tesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teor„as de conjuntos cantorianas" en las que la hip€tesis del continuo es una afirmaci€n cierta, como "teor„as de conjuntos no cantorianas" en las que la hip€tesis del continuo sea falsa. Esta situaci€n es similar a la de las geometr„as no eucl„deas. Definici€n formal de cardinal En teor„a de conjuntos se emplean definiciones un poco m•s abstractas de cardinal, que requieren de la definici€n de los ordinales. En ese contexto se define la cardinalidad de un ordinal como: Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existir• un m„nimo con esa definici€n un cardinal es un ordinal que cumple que: Todos los cardinales forman una clase dentro de los ordinales. De hecho, en cierta manera la clase de todos los cardinales es una clase de "ordinales iniciales" en el sentido de que un cardinal es un ordinal tal que no existe ning‚n otro ordinal del mismo tamaŠo. En particular todos los ordinales regulares son cardinales.

Ejemplos de c•lculo del cardinal de un conjunto Conjuntos finitos El cardinal conjunto finito  A = {2,4,5} es 3. Resulta trivial demostrar que esta funci€n es inyectiva:  f : {2,4,5} ‰ {1,2,3}:

N‚mero cardinal

30

Conjuntos infinitos N†meros naturales

El cardinal del conjunto infinito  P = { x ƒ basta con definir las funciones:

 / x es par } formado por los n‚meros pares es

. Para demostrarlo

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que  f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es . Esto concluye la demostraci€n. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuici€n, ya que se puede pensar que hay m•s naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no est• incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes. El conjunto de pares (o m•s generalmente de n-tuplas) de n‚meros naturales tiene un cardinal . Esto se puede probar numerando los pares de n‚meros naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

Al ser 3 y 2 n‚meros primos, para cada par  x,  y obtendremos un n‚mero distinto. Entonces g es inyectiva y

N†meros racionales

El conjunto de los N‚meros racionales tiene un cardinal igual a . Este resultado desaf„a un poco la intuici€n porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en que tiene cardinal , de hecho estudiando un poco la topolog„a de los n‚meros reales, tenemos que entre dos n‚meros reales existe siempre un n‚mero racional, y entre dos racionales un real irracional. Eso podr„a hacer pensar que y son comparables seg‚n el n‚mero de elementos, pero resulta que s€lo tiene tantos elementos como , siendo el n‚mero de elementos de un infinito muy superior al n‚mero de elementos de . Para comprobar que en efecto el conjunto es numerable, y por tanto, tiene el mismo cardinal que los naturales podemos ver que existe una funci€n inyectiva . Si un n‚mero racional q es igual a r  / s siendo estos dos n‚meros primos relativos entre s„ entonces definimos:

Esto demuestra que

y como

y los naturales son

asimilables a un conjunto de los racionales tenemos la cadena de desigualdades: Por lo tanto:

Aritmƒtica de cardinales Dados dos conjuntos disjuntos y con cardinales respectivos y se define el principio de la suma y el principio del producto para la suma y multiplicaci€n de cardinales como: Cuando los dos conjuntos son finitos la aritm†tica de cardinales se reduce a la aritm†tica de n‚meros naturales. Sin embargo cuando alguno de los dos conjuntos es infinito se tiene una extensi€n consistente de la aritm†tica de n‚meros naturales. Existen algunas relaciones aritm†ticas interesantes entre cardinales transfinitos: el cardinal de la uni€n de dos conjuntos coincide con el mayor cardinal. El cardinal del producto cartesiano coincide con el mayor cardinal.

N‚mero cardinal

31

La exponenciaci€n de cardinales se define a partir del conjunto de funciones de entre los dos conjuntos Con las definiciones anteriores es inmediato comprobar que:

Enlaces externos … Weisstein, Eric W. ‡Cardinal Number [1]‰ (en ingl†s). MathWorld . Wolfram Research.

Referencias [1] http:/   / mathworld.wolfram.com/ CardinalNumber.html

Funci€n convexa En matem•tica, una funci€n real  f  definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de alg‚n espacio vectorial) se llama funci€n convexa o c€ncava hacia arriba, si est• definida sobre un conjunto convexo C y para cualesquiera dos puntos x, y miembros de C , y para cada t en [0,1], se cumple que:

En otras palabras, una funci€n es convexa s„ y s€lo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo) es un conjunto convexo. Una funci€n estrictamente convexa es aquella en que

Funci€n convexa en un intervalo [x,y].

para cualquier t en (0,1) y Una funci€n

es c€ncava si la funci€n

es convexa.

y

:

Funci€n convexa

32

Propiedades Una funci€n convexa  f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjunto numerable. Si C es cerrado,  f puede no ser continuo en los puntos cr„ticos o finales de C . Una funci€n es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si

para todo x e y en C . Esta condici€n es s€lo ligeramente m•s relajada que la de convexidad. En particular, una funci€n continua que es punto-medio convexa ser• tambi†n convexa. Una funci€n diferenciable de una variable es convexa en un intervalo s„  y s€lo si su derivada es mon€tonamente no-decreciente en ese intervalo.

Una funci€n (en azul) es convexa si y s€lo si la regi€n sobre su grafo (en verde) es un conjunto convexo.

Una funci€n continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y s€lo si la funci€n se encuentra por encima de todas sus tangentes: f ( y) ‚  f ( x) + f '( x) ( y …  x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si  f '(c) = 0, luego c es un m„nimo absoluto de f ( x). Una funci€n doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y s€lo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba pr•ctica para verificar convexidad. Si la segunda derivada es positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicaci€n no se cumple, como podemos ver por ejemplo en f ( x) = x4. En general, una funci€n continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexo si y s€lo si su matriz Hessiana is definida positiva en el interior de ese conjunto convexo. Cualquier m„nimo local de una funci€n convexa es tambi†n un m„nimo absoluto. Una funci€n estrictamente convexa tendr• a lo m•s un m„nimo absoluto. Para una funci€n convexa f , los conjuntos de nivel { x | f ( x) < a} y { x | f ( x) € a} con a ƒ R son conjuntos convexos. Sin embargo, una funci€n cuyos conjuntos de nivel son conjuntos convexos puede no resultar ser convexa; una funci€n de este tipo se llama funciƒn cuasi-convexa. La inecuaci€n de Jensen se aplica a toda funci€n convexa  f . Si es una variable aleatoria que toma valores en el dominio de f , entonces (Aqu„ denota la esperanza matem•tica.)

C•lculo de funci€n convexa … Si

y

son funciones convexas, entonces tambi†n lo son

… Si y son funciones convexas y es creciente, entonces … La convexidad es invariante bajo mapeamientos afines; es decir, si tambi†n lo es … Si es convexa en convexa en

siempre que

y es convexa. es convexa, con

, donde y es un conjunto convexo no vac„o, entonces para alg‚n

, entonces es

Funci€n convexa

33

Ejemplos … La funci€n … … … … … … … … … … …

tiene

en todos los puntos, luego f es una funci€n (estrictamente)

convexa. La funci€n valor absoluto es convexa, incluso a pesar de que no es derivable en el punto x = 0. La funci€n para 1 €  p es convexa. La funci€n f con dominio [0,1] definida por f (0)= f (1)=1, f ( x)=0 para 0< x<1 es convexa; es continua en el intervalo abierto (0,1), pero no en 0 ni en 1. La funci€n x3 tiene segunda derivada 6 x; luego ella es convexa en el conjunto donde  x ‚ 0 y c€ncava en el conjunto donde x € 0. Toda transformaci€n lineal con dominio en es convexa, pero no estrictamente convexa, pues si f es lineal, luego Esto tambi†n se aplica si reemplazamos "convexo" por "c€ncavo". Toda funci€n af„n con dominio en , es decir, cada funci€n de la forma , es al mismo tiempo convexa y c€ncava. Toda norma vectorial es una funci€n convexa, por la desigualdad triangular. Si es convexa, la funciƒn perspectiva es convexa para Las funciones y son mon€tonamente crecientes pero no convexas. Las funciones y son convexas pero no mon€tonamente crecientes. 2 La funci€n f ( x) = 1/  x , con f (0)=+•, es convexa en los intervalos (0,+ •) y (-•,0), pero no es convexa en (- •,+•), debido al punto x = 0.

Teoremas sobre funciones convexas El siguiente teorema generaliza un resultado bien conocido en finita o infinita:

a cualquier espacio normado sea de dimensi€n

Sea una funci€n definida sobre un conjunto convexo de un espacio vectorial normado. Si el punto es un m„nimo local de la funci€n y si la funci€n es diferenciable (en sentido de Fr†chet) en el entorno de dicho punto, entonces

(Condici€n necesaria de m„nimo local)

La desigualdad anterior se denimina desigualdad de Euler . El teorema anterior es v•lido para cualquier funci€n sea convexa o no, mientras que el siguiente es v•lido s€lo para funciones convexas: (Convexidad y derivada)

Sea

una funci€n definida sobre un conjunto convexo

de un

espacio normado, entonces: a) La funci€n

es convexa en su dominio si y s€lo si:

b) La funci€n

es estrictamente convexa en su dominio si y s€lo si:

El significado geom†trico del teorema anterior es claro, el teorema implica simplemente que la funci€n en todo punto est• por encima del plano tangente en un punto. El siguiente teorema es v•lido para funciones convexas que son dos veces diferenciables (y por tanto admiten una forma bilineal que generaliza la matriz hessiana): (Convexidad y segunda derivada) Sea

una funci€n definida sobre un conjunto convexo un espacio normado y que sea dos veces diferenciable, entonces: a) La funci€n

es convexa en su dominio si y s€lo si:

de

Funci€n convexa

34 b) Si La funci€n es estrictamente convexa en su dominio.

N€tese que en este ‚ltimo caso el rec„proco de la afirmaci€n b) no es cierto en general, por ejemplo consid†rese cuya segunda derivada en el origen se anula y, sin embargo, la funci€n sigue siendo estrictamente convexa. El ‚ltimo teorema impone restricciones sobre el n‚mero de m„nimos que puede tener una funci€n convexa y su naturaleza: (m„nimos de funciones convexas)

Sea

una funci€n definida sobre un conjunto convexo

de

un espacio normado, entonces: a) Cualquier m„nimo local de la funci€n absoluto es un m„nimo local).

de hecho es un m„nimo aboluto (aunque no todo m„nimo

b) Si

es estrictamente convexa, tiene como mucho un ‚nico m„nimo, y es un m„nimo estricto.

c) Si

es un conjunto abierto, entonces un punto

es un m„nimo si y solo si

Referencias … … … … … … … …

Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, y Lemar†chal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer. Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

Enlaces externos … Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe, Convex Optimization [1] (PDF)

Referencias [1] http:/   / www.stanford.edu/ ~boyd/ cvxbook/ 

Espacio-tiempo de Minkowski

35

Espacio-tiempo de Minkowski En f„sica matem•tica, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fen€menos f„sicos en el marco de la teor„a especial de la relatividad de Einstein. En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensi€n temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y as„ representar al espacio-tiempo.

Definici€n El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad lorentziana de curvatura nula e isomorfa a

donde

el tensor m†trico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como: (1) O en forma matricial expl„cita, respecto a la misma base: (2)

De todas maneras es com‚n renombrar a las coordenadas en t†rminos de las coordenadas espaciales y el tiempo usados en la mec•nica newtoniana es decir: con lo cual el tensor m†trico se escribe simplemente como: (3)

Propiedades Contenido material El tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es id†nticamente nulo, raz€n por la cual se dice que el espacio-tiempo es plano. As„ el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo tambi†n nulo el tensor de Einstein que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa un universo vac„o. F„sicamente el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximaci€n local del espacio-tiempo en regiones razonablemente pequeŠas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por s„ misma. Este hecho queda recogido en el Principio de equivalencia.

Espacio-tiempo de Minkowski Geodƒsicas Cualquier l„nea recta constituye una geod†sica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadas cartesianas las geod†sicas vienen dadas simplemente por: (5) Que corresponden a l„neas rectas: (6)

Donde: son las componentes de la velocidad de una part„cula. , es el tiempo propio de la part„cula que viaja seg‚n la geod†sica. Grupo de isometr„a El grupo de isometr„a del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincar†, que admite diversos subgrupos entre ellos: … El grupo de Lorentz … El grupo de rotaciones … El grupo de traslaciones que es isomorfo a , en particular cualquier campo vectorial constante es un vector de Killing, que genera un grupo uniparam†trico de isometr„as.

Representaci€n pseudoeucl„dea El espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeucl„deo, eso significa que bajo la aplicaci€n sobre los complejos dada por: Y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio eucl„deo de cuatro dimensiones se reproducen los resultados geom†tricos t„picos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representaci€n se trata todo como escalares complejos y se construyen a partir del producto escalar eucl„deo las magnitudes escalares de la teor„a, estas resultan invariantes. Adem•s se cumple que: (7) Es m•s todos los cuadrivectores y cuadritensores antisim†tricos de segundo orden admiten una representaci€n compleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

36

Fuentes y contribuyentes del art„culo

37

Fuentes y contribuyentes del art„culo Desigualdad de Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68388036

Contribuyentes: Albert11235, Jorge c2010, Manuel Valadez S•nchez, Sabbut, 2 ediciones an€nimas

Hermann Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64427679

Contribuyentes: Bunchi, Cansado, Ceancata, Cesaranieto, CommonsDelinker, Copydays, Desdeluego, El Megaloco, Fran89, GermanX, Gusgus, Heimy, Ikertza, Jorge c2010, Mpagano, Tano4595, Toolserver, Veremos, Wricardoh, 8 ediciones an€nimas Espacios Lp  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=65158969

Contribuyentes: Alberto5000, Correogsk, Davius, Juan Mayordomo, MarceloTapiaGaete, Raulshc, Spyglass007, 9

ediciones an€nimas Espacio vectorial  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72172426

Contribuyentes: .Jos†, 80.224.97.xxx, A ntiyanki, Acratta, Adverick, Amo de las supercuerdas, Amoceann, AnthonnyAG, BRPC, Banfield, Barymar, Bostador, Camilo, Cinabrium, Comae, Danielba894, Davius, DefLog, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Er Komandante, Felipealvarez, Folkvanger, FrancoGG, Fsd141, GTubio, GermanX, Gusbelluwiki, Gƒtz, HUB, Helene Schopenhauer, Hflores, Hprmedina, Igna, Ingenioso Hidalgo, Ivn, JacobRodrigues, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorge c2010, Jorgechp, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Juanfquim, Julie, Julio grillo, Kadellar, Kender00, Kiroh, Kved, LP, Laura Fiorucci, Linkedark, Lualalsa, Magister Mathematicae, Malguzt, ManuelMore, Marianov, Martinwilke1980, Matdrodes, Maveric149, Moriel, Morthylla, Natofe, Numbo3, Orgullomoore, Orly01, Paintman, Perky Pat, Pirenne, Poco a poco, Raulshc, Ricardo Oliveros Ramos, Ricardogpn, Ricardos, Robertg, Rojasyesid, Romanm, R‘ge, SMP, Sauron, Savh, Silvae, Sittsam, SuperBraulio13, Taichi, Tano4595, Troodon, Tuncket, Txuspe, Vitamine, Vivero, Wesisnay, Wewe, Wikiwa1, Wrcdriver, Youandme, conversion script, 197 ediciones an€nimas Norma vectorial  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69329634

Contribuyentes: Acratta, Agualin, Biasoli, Coins, Davius, Diegusjaimes, Focojoaco, GermanX, Gusbelluwiki, Ingenioso Hidalgo, Jorge c2010, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Leonpolanco, ManuelMore, Netito777, Niksfish, Ogai, Raulshc, Taragui, 39 ediciones an€nimas Dependencia e independencia lineal  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=70070424

Contribuyentes: Aladiah, Asc•nder, Camilo, Davius, FedeBosio, Fsd141, Gilberto Ch•vez Mart„nez, Gƒtz, H4l9k, HUB, Hecktorzr, JA Gal•n Baho, Jerowiki, Jhajha, Jorge c 2010, Kiroh, Leonpolanco, Linkedark, Mahadeva, Manw’, Matdrodes, Neodop, R2D2!, Rdaneel, Richy, Rsg, Sanbec, SergioVares, Tano4595, UA31, Vic Fede, Wewe, 86 ediciones an€nimas Desigualdad triangular  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=71005290

Contribuyentes: Ajraddatz, Alejandrocaro35, Banfield, BetoCG, Davius, Er Komandante, Euclides, Farisori, GermanX, Gusbelluwiki, Humberto, JMCC1, Joseaperez, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, Moriel, Nahuelgq, Raulshc, Revoluc, Sanbec, 39 ediciones an€nimas Desigualdad de H…lder  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=65293479

Contribuyentes: Grillitus, Raulshc

N†mero cardinal  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=71231202

Contribuyentes: 100% puma, Acratta, Alhen, Andres ernesto guzman, Antur, Cassilia, Cusell, Davius, Diegusjaimes, Domaniom, Dorieo, Drake 81, Er Komandante, Fibonacci, Fsd141, GermanX, Greek, Helmy oved, HiTe, Igna, Jkbw, Joseaperez, Kabri, Kender00, Kismalac, Lopenovi2, Moriel, Mpagano, Opinador, P€lux, Raulshc, Rdaneel, Resped, Sabbut, Stifax, Tfeliz, Tirithel, Tomatejc, 83 ediciones an€nimas Funci€n convexa  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69225234

Contribuyentes: Davius, Farisori, Hu12, Jerowiki, Juan Mayordomo, Mcapdevila, 7 ediciones an€nimas

Espacio-tiempo de Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72278876

Contribuyentes: .Jos†, Alfredo bsc, Alhen, Davius, Fmercury1980, Fran89, GermanX, Gerwoman, Gilwellian, Gƒkhan, Juan Marquez, Kismalac, Leonpolanco, Physmann, Rrecillas, SakalojZorakj, S“rrell, Tano4595, 16 ediciones an€nimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

38

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:De Raum zeit Minkowski Bild.jpg  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:De_Raum_zeit_Minkowski_Bild.jpg  Licencia: Public Domain

Contribuyentes:

Hermann Minkowski Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg

 Licencia: logo Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. Archivo:Vector space illust.svg  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vector_space_illust.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Oleg Alexandrov Archivo:FuncionesComoEV.GIF  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FuncionesComoEV.GIF  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Marianov Archivo:Intersecci€nEspacioVectorial.gif  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intersecci€nEspacioVectorial.gif  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Marianov Archivo:VectorGenerado.gif  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:VectorGenerado.gif  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Marianov Archivo:BaseGeneradora.gif  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BaseGeneradora.gif  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Marianov Archivo:Vectores independientes.png  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vectores_independientes.png  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Sanbec Archivo:Desigualdad del tri•ngulo.svg  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Desigualdad_del_tri•ngulo.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Drini Archivo:TriangleInequality.PNG  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TriangleInequality.PNG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Brews ohare Archivo:Convex-function-graph-1.png  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convex-function-graph-1.png  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Czupirek, Darapti, Eli Osherovich, Maksim, Mdd4696 Archivo:Convex supergraph.png  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convex_supergraph.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Oleg Alexandrov