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DIAGRAMAS DE MINKOWSKI
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Hermann Minkowski (22 de
junio de 1864 - 12 de ju enero de 1909 1909)) fue un matemático ticoalem alemán de origen j origen ju udí o que desarrolló la teorí a geométrica de los números. Sus trabajos más destacados fueron realizados en las áreas de la teorí a de números meros,, la f í í sica sica matemática y la teorí a de la relatividad
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Los diag diagram ramas as es espacio-tiem pacio-tiempo po de Minkow Minkowski ski Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de c = 1 metro por segundo, el diagrama di agrama espacio-tiempo para un rayo de luz es el siguiente: La especificación de una coordenada x de una partícula material, nos indica la posición en la cual se encuentra la partícula y del tiempo t al que corresponde esta coordenada, se dice que determina un evento o un suceso Física IV
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E l lug lugar en en un un plan plano o x-t de los los eventos que representan las coordenadas coordenadas apareadas apareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudios de la relatividad como lín línea ea del mundo (wo worrld li line ne) y también como línea del uni verso Los eventos para un mismo y único observador están separados en el espacio por una distancia Δx =x 2 - x 1 y en el tiempo por una distancia Δt =t 2 - t 1 Física IV
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Para que en un diagram diagrama a es espaciopacio-ttiem iempo po tanto el eje horizontal como el eje vertical usen el mismo tipo de unidades, unidades, se acostumbra multiplicar el tiempo en el eje vertical que corresponde al tiempo por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz c , ya que con ello c t se convierte en una distancia que está medida en metros, no en segundos.
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En la gráfica anterior, se representan dos eventos distintos, uno en la posición x 1 en un tiempo representado en la posición c t 1, y el otro evento ocurriendo en la posición x 2 en un tiempo representado en la posición c t 2. Poniendo números y usando una velocidad de la luz igual a c =1 metro/segundo,, las coordenadas respectivas de cada metro/segundo evento y la distancia entre ambos eventos es: x 1 = 1 metro x 2 = 2 metros c t 1 = 1 metro c t 2 = 3 metros Δx =x 2 - x 1 =2 metro metros s - 1 metro =1 metro metro cΔt
=c t 2 - c t 1 =3 metros metros - 1 metro =2 metros metros
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PROBLEMA: Una varilla de medir de tres metros de largo se encuentra en reposo en el marco de referencia del observador O, y sus extremos coinciden con las coordenadas x 1 = 2 metros y x 2 = 5 metros. Trazar las líneas del mundo de los extremos de la vara de medir en un diagrama espaciotiempo del observador O.
No es un requisito indispensable que en la construcción de un diagrama del espacio-tiempo se utilicen ejes ortogonales (perpendiculares, puestos en ángulos rectos el uno con respecto al otro). 7 Física IV
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Es posible trazar ejes principales que no son perpendiculares entre si. Obsérvese la manera de leer las coordenadas de un punto cualesquiera en este tipo de diagrama, trazando desde el punto líneas paralelas a uno de los ejes principales hasta topar con el eje principal de la otra coordenada.. coordenada
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Y a continuación tenemos otro diagrama diagram a es espacio pacio-tiem -tiempo po en el cual los ejes principales tam ampoco poco son son perpendiculares perpendiculares:: El diagrama espaciotiempo iempo nos nos dá la distancia Δx que separa dos eventos E1 y E2, y nos dá también ambién la distancia cΔt que separa a dichos eventos. Pero este diagrama diagram a es espaciopacio-ttiem iempo po describe la situación de un solo observador Física IV
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Para trazar un diagram diagrama a espacioespaciotiempo combinado j combinado ju untando a dos observadores diferentes que m ovim imiento iento relat ivo ivo el están en mov
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uno con respecto respecto al otro a u na velocidad elocid ad V , trazamos primero el eje-t’ del marco de referencia S’
sobre el diagrama espacio-tiempo del observador en reposo usando para ello la velocidad relativa entre ambos observadores. observadores. No es n ecesa ece sari rio o que qu e los l os orí or í genes gen es de d e los lo s diagram as espacioespacio-tiem tiem po del observador obser vador O y del obser vador ad or O’ O’ coincidan . Construiremos un
diagrama en el que ambos orígenes coinciden. Física IV
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S uponiendo uponiendo que que la velocidad relativ relativa a entre ambos marcos de referencia es de V = 0.4c (o.4 metros/segundo) entonces para moverse una distancia x = 1 metro el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t =x/V = 2.5 segundos con respecto al origen, y para moverse una distancia x =2 metros el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V = 5 segundos. segundos. Todos est estos punt puntos os están conectados con una línea recta, la cual trazamos sobre el diagrama como se muestra arriba. arriba. Esta recta corresponde al tiempo t’ del marco de referencia S’ Física IV
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Este es el diagrama espaciotiempo desde la perspectiva del observador O en reposo.
Si queremos, podemos dibujar también el diagrama espacio-tiempo desde la perspectiva del observador O’ cuando este se considera
en reposo y cuando ve al observador O en movimiento hacia la izquierda Física IV
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Lo que se a hecho fue tomar el diagrama básico para un observador O en reposo en un marco de referencia S , trazando sobre el mismo la línea que marca la trayectoria de un rayo de luz con una pendiente de 45 grados que corresponde a una velocidad c de 1 metro por segundo: segundo:
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y sobre este diagrama, usando como referencia común la bisectriz que ambos diagramas deben tener identificando en el mismo la línea del mundo de un rayo de luz común a ambos observadores O y O’ en los marcos de referencia S y S’, hemos agregado al diagrama del observador estacionario O el siguiente diagrama espacio-tiempo de O’
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Luego el diagrama espaciotiempo resultante combinando a ambos observadores desde la perspectiva del observador estacionario O:
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PROBLEMA: Representar en un diagrama espaciotiempo cuatro eventos distintos cuyas coordenadas son las siguientes: E1(x1, c t1) = (1, 2) E2(x2, c t2) = (2, 5) E3(x’1, c t’1) = (4, 1) E4(x’2, c t’2) = (2, 2)
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Los eventos E1 y E2 están especificados sobre las coordenadas del observador en reposo O en su marco de referencia S, y en el diagrama espaciotiempo combinado estarán ubicados ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color púrpura)): púrpura
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Los eventos E3 y E4 están especificados sobre las coordenadas del observador en movimiento O’ en su marco de referencia S’, y en el diagrama espaciotiempo combinado estarán ubicados ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color verde)): verde
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Cuanto más alta sea la velocidad relativa V entre dos marcos de referencia acercándose o alejándose a una velocidad cada vez más cercana a la velocidad de la luz, tanto más se irán cerrando los ejes que corresponden al marco de referencia en movimiento S’ como podemos apreciarlo en el siguiente diagrama espacio-tiempo:
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En el diagrama espacio-tiempo anterior, tenemos sobrepuestos a tres observadores observadores,, el observador que consideramos estacionario estacionario,, el observador O’ que se está moviendo a una velocidad relativa V con respecto al observador O, O, y un tercer observador O’’ que se está moviendo a una velocidad todavía mayor con respecto al observador O. O. Nótese cómo se van cerrando cada vez más y más los ejes coordenados x-t de un observador móvil conforme va aumentando su velocidad V con respecto al observador estacionario.
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Cuando se prescinde de un diagrama espacio-tiempo como el caso en el que se vaya a efectuar un cálculo numérico,, para la especificación completa de un mismo numérico evento E cualquiera se deben especificar cuatro coordenadas coordenadas,, las coordenadas (x,t) del evento en el marco de referencia S, S , y las coordenadas (x’,t’) del evento en el marco de referencia S’, S’, de modo odo tal tal que un evento quedará registrado como E(x,t,x’,t’) en forma com completa pleta.. Esto es válido para cualquier evento. El único evento que tendrá las mismas coordenadas tanto para S como como para para S´ S ´ será será el que que ocurra ocurra en el pun puntto común de origen, o sea E(x,t,x’,t’) = (0,0,0,0).
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En el siguiente diagrama espacioespacio-ttiempo iempo tenemos tenemos un evento A. Trazando una línea horizontal hacia la izquierda hasta llegar al eje vertical c t podemos obtener el valor de c t con lo cual podemos obtener el tiempo, tiempo, y trazando una línea vertical hacia abajo podemos obtener la coordenada de la distancia x . Del mismo evento A podemos hacia la línea c t ’ una línea paralela a la coordenada x ’ con lo cual obtenemos el valor de c t ’ , y podemos trazar hacia abajo otra línea paralela a c t con lo cual obtenemos el valor de x ’ . Física IV
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PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de la dilatación del tiempo. El primer evento E1 ocurre cuando el rayo de luz sale de la linterna, y el segundo evento E2 ocurre cuando el rayo de
luz regresa reflejado por el espejo al punto desde donde fue lanzado. Ambos eventos ocurren en el mismo lugar para el observador viajero O’ , con coordenada x ’ =0, pero en tiempos diferentes t ’ 1 y t ’ 2. Una vez localizados ambos eventos en el sistema de referencia S ’ de O’ , nos basta con trazar dos líneas horizontales desde las coordenadas coordenadas (x ’ , t ’ 1) y (x ’ , t ’ 2) hacia el eje de tiempos del observador O para obtener las coordenadas correspondientes en el marco de referencia de O de los dos eventos: 23
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Hay una dilatación del tiempo .Obsérvese que a diferencia de como como sucede sucede con el observador O’, los eventos E1 y E2 no sólo ocurren en tiempos diferentes t 1 y t 2; también ocurren en lugares diferentes x 1 y x 2.
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PROBLEMA: Ilustrar mediante un diagrama espaciotiempo el fenómeno de la contracción de longitud longitu d sobre una vara de medición, suponiendo que: a) El observador en reposo O es el que tiene la vara de medir y el observador O’ es el que la ve pasar frente a él. b) El observado observadorr en movimient movimiento o O’ es el que lleva lleva consigo la vara de medir y el observador en reposo O es el que la ve pasar frente a él.
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a) En el primer caso, si el observador en reposo es el que tiene una vara de medir de longitud L 0, las líneas del mundo de los dos extremos de la vara de medir se mantendrán como dos líneas verticales paralelas proyectadas hacia arriba como lo muestra el siguiente diagrama espaciotiempo:
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E n este este caso, caso, el observador observador estacionario O mide para la vara al mismo tiempo t = 0 en su tiempo propio una longitud L 0. Pero el
observador móvil O’ mide la coordenada de cada extremo de la vara en tiempos diferentes y concluye que hubo una contracción en la longitud de la vara.
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b) En el segundo caso, si el observador en movimiento O’ es el que lleva consigo la vara de medir de longitud L 0, las líneas del mundo de los dos extremos de su vara de medir se mantendrán como dos líneas paralelas las cuales a su vez serán paralelas a su eje vertical c t ’ como lo muestra el siguiente diagrama diagram a es espaciopacio-ttiem iempo: po:
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E n este este caso, el observador O’ mide para su vara al mismo tiempo t’ = 0 en su tiempo propio una longitud L 0. Pero el
observador O mide la coordenada de cada extremo de la vara en tiempos diferentes y concluye por su parte que hubo una contracción en la longitud de la vara. 29
