Demostración Principio de Fermat

I nterpr etació tación n de F eyman del del pri nci pi pio o de de F er mat

Justificación matemática

Feyman (1918-1988), fue premio Nóbel en 1965 por su trabajo fundamental en electrodinámica cuántica, con sus profundas consecuencias para la física de las partículas elementales. Es autor de varios libros de Introducción a la Física, resumen de unos cursos que impartió en el tecnológico de California a principio de los sesenta, que todos deberíamos leer. Feyman explica así el Principio de Fermat.

"Imagina que nos encontramos en la costa, lejos de la orilla, en un punto A y en el mar, alejado de la orilla, una persona cae de una barca en un punto B. Nosotros vemos el accidente y podemos acudir corriendo y luego nadando. ¿Qué hacemos?.¿Vamos en línea recta?¡sí, sin duda!.....Sin embargo, si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta que es ventajoso correr una distancia un poco mayor por tierra  para disminuir la distancia que debemos nadar, porque nos movemos más lentamente por el mar que por la tierra. Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo posible ya que ésta es la magnitud que interesa para salvar a la persona de morir ahogada. Pues bien, esto es lo que hace la luz  para ir de A hacia B cuando cambia de medio de propagación".

Explicación matemática del Principio de Fermat.

El medio superior aire (equivale en el ejemplo anterior a la zona de tierra donde corremos más rápido) tiene de índice de fracción n1 y el otro medio (agua) n 2 . La velocidad de la luz es c y la velocidad en cada medio v 1 y v2.

n1= c/ v1 ; n2= c/ v2. L1 es la distancia recorrida en el medio 1 y L 2 la recorrida en el medio 2.El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino total AB es t.

Cuando el rayo va por el camino en que se encuentra el punto P el camino recorrido será mínimo y sucede lo siguiente: Por el teorema de Pitágoras sabemos que las distancias L1 y L2 valen ; La derivada del tiempo respecto a la distancia debe ser cero para el mínimo de la función tiempo frente a distancia. De todos los caminos posibles, el elegido por la luz, tanto en la reflexión como en la refracción, es aquel en el que emplea un tiempo mínimo. Es un problema del mínimo de una función: Su derivada primera será cero

Sustituimos L por su valor respecto a x : Derivando se obtiene:

 pero x /L1 es justamente el seno del ángulo.

Procediendo de manera análoga para la distancia L2, tenemos

Esta es la fórmula de Snell que algunos también atribuyen a Descartes. Esto demuestra que la luz, cuando va de un lugar a otro, e incluso cuando cambia de medio, siempre va por el camino donde emplea menos tiempo, incidiendo y saliendo con los ángulos dados por la ley de Snell. Recuerda que: Camino óptico de un punto A a otro B, es el camino que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo que tarda en ir de A hasta B. C=n1d1+n2d2=c(t1+t2)

(d1 y d2 son las distancias recorridas en cada medio)