Demostracion del Número pi = 3.1416

El Número π El número pi se traza con el símbolo π exclusivamente desde el año 1707, sin embargo se conocía desde el período de los griegos e incluso mucho antes. William Jones adoptó en esa fecha la letra griega π por ser la primera de perímetro, en griego). Luego el gran matemático Euler popularizó esa περίμετρος ( perímetro,

elección al usarla en sus trabajos.

¿El número o la letra? Pi es la decimosexta letra del alfabeto griego y el símbolo que representa el misterio matemático más viejo del mundo: la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro. El registro escrito conocido más temprano de la proporción viene del año 1650 antes de Cristo en Egipto, donde un escriba calculó el valor como 3.16 (con un pequeñísimo error). Aunque ahora, nosotros tenemos métodos para calcular los dígitos de pi (3.1415...) sus restos de valor exacto todavía son un misterio. Desde 1794, cuando se estableció que Pi era irracional e infinita, las personas han estado buscando un patrón en el cordón interminable de números. Cosa curiosa, Pi puede encontrarse por todas partes, en la astronomía, en la física, en la luz, en el sonido, en el suelo, etc. Algunos cálculos advierten que tendría más de 51 mil millones de dígitos, pero hasta el momento no se ha detectado un patrón discernible que surja de sus números. De hecho, la primera sucesión 123456789 aparece recién cerca de los 500 millones de dígitos en la proporción. En la actualidad hay algunas computadoras súper poderosas tratando de resolver la cuestión. En el film, la computadora bautizada por Max como Euclides literalmente "estalla" al acercarse a la verdad del cálculo. Pero si uno prefiere calcular Pi a la antigua, no está solo. Cientos de clubes se han formado para celebrar y calcular la proporción. El récord mundial para la

memorización de Pi se alcanzó en 1995, cuando un hombre japonés recitó 42.000 dígitos de memoria en algo más de nueve horas. Ante tan prodigios número que es pi se pretende:

¿Contribuir a explicar algunos cálculos matemáticos fáciles de recordar que demuestran el valor de pi? El objetivo general del trabajo es: Describir algunos cálculos matemáticos que demuestran el verdadero valor de Pi

Sus Objetivos Específicos son: Describir la historia de π desde la época antigua hasta nuestra época. Determinar la importancia de π Dar algunas demostraciones del verdadero valor de π

Feria Científica: El verdadero valor de π

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La Historia de Pi La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un

esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar. Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal. A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los más antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado. La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más llamativos


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enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos. Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento. Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semi producto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285. Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes". Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10' en 10' y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666.... Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph". Pronto la proeza de Ludolph se vio opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, Feria Científica: El verdadero valor de π

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da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados. El cálculo infinitesimal dio fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho más potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar más que a los número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -... Como caso particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia: diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula: Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi. Estas verdades son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a 1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos. El más constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y a partir de Feria Científica: El verdadero valor de π

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ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió más de 100 millones de cifras se podrían conseguir fácilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos. Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos, no harían falta más que 40 decimales. Entonces ¿Qué necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.

Evolución de Pi a través del tiempo Persona/pueblo

Año Valor

Biblia ~ 550 AC 3 Egipto ~ 2000 AC 3.1605 China ~1200 A.C. 3 Arquimedes ~300 AC 3.14163 Ptolomeo ~200 AC. 377/120 = 3.14166... Chung Huing ~300 AC. raiz cuad. (10)


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Wang Fau 263 A.C. 157/50 = 3.14 Tsu Chung-Chi ~500 A.C. 3.1415926
Modos de calcular el valor de Pi. Uno de los métodos de averiguar el valor de pi es calcular el perímetro de un polígono de muchos lados que está dentro de un círculo de diámetro conocido, cuantos más lados tenga el polígono, más se parecerá a la circunferencia, y su perímetro se acercara más a la longitud de la circunferencia.


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Importancia de Pi

El día 14 de Marzo se celebra universalmente el día de Pi. El motivo de la elección de la fecha es que la notación anglosajona se escribe primero el mes y luego el día , por lo que el 15 de Marzo se escribe 3.14, que es una aproximación del famosísimo número. Desde luego, Pi tiene merecido que se le dedique un día debido a su importancia en muchos campos de las matemáticas y otras ciencias. Todo el mundo recuerda las expresiones utilizadas para calcular el área un círculo (A=Pi*R2) o la longitud de una circunferencia (L=2*Pi*R) , pero la importancia de Pi no termina ahí. Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero este número no se puede expresar como una fracción de números enteros. Sólo desde el siglo VII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo). Además de ser un número irracional (tiene infinitas cifras decimales no periódicas y no puede expresarse como fracción de dos números enteros), Pi es un número trascendente; es decir, no es raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. Por eso, cualquier número que elijas (por ejemplo, tu teléfono) está en algún lugar de la <> de decimales de Pi. Curioso ¿no? El valor de Pi ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia. Sin embargo, como era de esperar, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más llamativos enigmas a resolver. Es una de las constantes matemáticas que más aparece. Tal vez por ello es la constante que más pasiones desata entre los matemáticos. Lo cierto es que sólo Feria Científica: El verdadero valor de π

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cuatro decimales de Pi bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el error del espesor de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia de la tierra al sol. si emplazamos el solo por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos, no harían falta más de 40 decimales. Entonces ¿Qué necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como, por ejemplo, el infinito. Pero Pi no es tan serio como parece. Se han escrito poemas, e incluso chistes, sobre Pi.

Valor numérico de Pi. Al ser un numero irracional su valor no puede calcularse numéricamente con total precisión, siempre habrá otro decimal después del último calculado. Como curiosidad aquí tienes los primeros 1000 decimales de Pi. 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989.


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COMO MEDIR EL NÚMERO Material Necesario Una tira de papel, una regla, un objeto cilíndrico, por ejemplo, una lata de refresco.

Método o

Rodea la lata con la tira de papel y corta lo que te sobre o haz una marca en la tira.

o

Sitúa la tira sobre una superficie horizontal y mide su longitud o hasta la marca si decidiste no cortar la tira.

o

Mide el diámetro de la lata. Puedes situarla entre dos objetos y luego medir la distancia entre ellos.

o

El cociente entre las dos medidas es el número .

Explicación La relación entre la longitud de una circunferencia de radio r (2 r) y su diámetro (2r) es


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Otras formas de Cálculos:

Demostración de π en una lata de jugo: Circunferencia = 21 cm Diametro = 6.7 cm Pi = 3.13433 cm Por ejemplo, en 1673 el matemático alemán Gottfried Wilheim von Leibniz dedujo una serie que puede expresarse de la manera siguiente:

Demostración de π el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita √9.87= 3.142 K= 0

3.464200

3.464200

K=1

(0.384889)

3.079311

K=2

0.077000

3.156311

K=3

(0.183200)

2.973111

K=4

0.005000

2.978111

K=5

(0.001300)

2.976811

K=6

0.029600

3.006411

K=7

(0.001000)

3.005411

K=8

0.000031

3.005442


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Conclusión

La letra griega

se utiliza desde 1706 para representar al resultado de dividir la

circunferencia entre el diámetro de un círculo.

es equivalente a la letra p de

nuestro alfabeto y el matemático William Jones la escogió porque era la letra con la que empieza la palabra peripheria . El resultado exacto, llaman

, no es exactamente igual a 3.1416. Los matemáticos

al resultado de dividir lo que mide la circunferencia de un círculo entre lo

que mide su diámetro. Este valor tiene un papel fundamental en las matemáticas.


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Demostracion del Número pi = 3.1416

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