Demostración de Ley de Snell Para Reflexión y Refracción[Fermat]

Chagoya Morales Ricardo Balam Prospección sísmica

Demostración de Ley de Snell para reflexión y refracción.

Las ondas que viajan por un medio, responden a dos principios fundamentales que determinan su comportamiento a través de todo el viaje, el principio de Huygens y el principio de Fermat. El principio de Huygens nos indica que cualquier punto del frente de onda se comporta como un generador de ondas, a partir de este principio podemos obtener cualquier tipo de distribución de velocidades, la propagación de ondas en un medio estratificado puede ser explicado con ambos principios. El principio de Fermat, nos indica que la trayectoria de un rayo siempre viajara por el camino más corto, las ondas mecánicas al comportarse de tal forma cumplen este principio.

Para que se cumpla el principio de Fermat, el tiempo de trayectoria debe de ser minimo, por lo que según el esquema para ondas reflejadas:

 =  (  + )  =  +  =  + ) … 1     ;  =  cos=  cos   ;   cos=   = cos Sustituyendo en 1

1   +   = 1 (∗sec+∗sec)  = 1 cos cos 1 ∗sec+∗sec) Teniendo la función del tiempo, optimizamos el tiempo derivando y lo igualamos a cero

1 (∗sec∗tan∗+∗sec∗tan∗)  = 1 ∗sec∗tan∗+∗sec∗tan∗) = 0 … … 2 Despejando e igualando obtenemos

(∗sec∗tan∗+∗sec∗tan∗) ∗sec∗tan∗+∗sec∗tan∗) = 0 ∗sec∗tan∗=−∗sec∗tan∗ …….3 Al tener dos incognitas, buscamos otra ecuación, la cuál parte del hecho que la distancia entre dos puntos de la onda reflejada es una constante, es decir:

  +  =  … . .4    ;  tan=   ;   =   ∗ t a n t a n =     = tan ∗  Sustituyendo estas ecuaciones en 3

 ∗ tan  + tan ∗  =  … . .5

Chagoya Morales Ricardo Balam Prospección sísmica

La cual diferenciamos, obteniendo lo siguiente:

∗ ∗=−   ∗  ∗  …..6 Donde dividimos 3 entre 6, para obtener la resolución de nuestro sistema

 ∗  ∗∗ ∗ − tan (∗sec∗tan∗) ^ − 1 = (−∗sec∗tan∗ )^−1; tan = sec sec Obteniendo la ley de snell para reflexión

  =   Para la trayectoria refrectada, obtenemos la función del tiempo.

 = …7  =  +  =   + 1 2  ;  cos=   = cos Sustituyendo el valor de BD y el de AB anteriormente obtenido, tenemos.

 +  = ∗sec + ∗sec T = 1∗cos V2∗cos 2 1 Y diferenciando y haciendolo minimo para optimizar la función y garantizar la trayectoria minima

∗sec∗tan∗ = 0 dT = ∗sec∗tan∗ + 1 2 ∗sec∗tan∗ = −∗sec∗tan∗ 1 2 Y de la segunda condición obtenida en la primera parte.

tan=      ; =∗tan ; ∗tan+∗tan= Diferenciando esta condición

∗ ∗+∗sec  ∗  = 0 Y finalmente dividiendo esta condición entre la optimización, obtenemos la ley de snell para ondas reflectadas.

∗sec∗ = −∗sec∗tan∗ ; tan = tan ∗ ∗∗1 −∗  ∗∗2 V1∗sec 2∗sec cos ∗   = cos ∗   1∗cos 2∗cos

Chagoya Morales Ricardo Balam Prospección sísmica Finalmente llegamos a la ley de snell para la refracción, tal que:

  =    