Área Área Científico Científico -- Matemático Matemático Profesor Profesor Bastián Bastián Vargas Vargas
Guía N° 5 Unidad 2: Ley de Snell Nombre_________________________ Fecha: _________________Curso: ____________ La refracción es el fenómeno que predice la trayectoria que seguirá una onda al cambiar de medio de propagación, gracias al cambio de velocidad y al ángulo de inclinación con que viajaba en el primer medio por el cual se movía. Cuando una onda de luz se encuentra viajando en un medio y se encuentra con un segundo medio material, al pasar al segundo medio cambiará su velocidad y si ingresa con inclinación, cambiará su dirección. Si los índices de refracción entre los medios que viaje la luz son distintos, la luz cambiará su velocidad, aumentando o disminuyendo, dependiendo del valor que posean éstos índices. La imagen 1 demuestra lo que sucede cuando la luz pasa de un medio a otro.
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 1 El índice de refracción es la cantidad que relaciona las velocidades de la luz en cada medio con el vacío. Se expresa matemáticamente por: 𝑛=
𝑐 𝑣
(1)
donde 𝑛 es el índice de refracción del medio en cuestión, 𝑐 la velocidad de la luz en el vacío (3 𝑥 108 𝑚/𝑠) y 𝑣 la velocidad de la luz en el medio en cuestión. Ejemplo: Calcular el índice de refracción del agua, si la velocidad de la luz en ella es 2,25 𝑥 108 𝑚/𝑠. Utilizando la ecuación (1), y reemplazando los datos se obtiene: 3 𝑥 108 𝑛= 2,25 𝑥 108 𝑛 = 1, 3̅
La ley de Snell relaciona el ángulo o dirección con que se refractará el rayo de luz al pasar de un medio a otro, con los índices de refracción de los medios por los que pasa la luz. Se expresa matemáticamente por: 𝑛1 ∙ sin 𝛼 = 𝑛2 ∙ sin 𝛽
(2)
donde la función 𝑠𝑖𝑛 es una función matemática que aparece en las calculadoras científicas. La imagen 2, nos ayudará a comprender cada uno de los términos de la ecuación:
𝛼
𝛽
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 2
La función seno, es una función trigonométrica, que varía según un valor de ángulo, dando como resultados, valores entre 1 𝑦 − 1, como muestra la imagen 3.
Entonces, según el gráfico los valores que adquiere la función seno para ángulos de 0°, 180° 𝑦 360° será de 0, mientras que para ángulos de 90° será 1, y para un valor de 270°, será un valor de −1. En el caso de los ángulos formados por la luz y la línea normal, solo podremos obtener ángulos entre 0° 𝑦 90°, por lo tanto valores evaluados en la función seno entre 0 𝑦 1.
En una calculadora científica debemos evaluar el valor de la función seno, de la siguiente forma: 1. Presionar la tecla 𝑠𝑖𝑛 2. Ingresar el valor del ángulo 3. Presionar signo = 1.
2.
3.
Para calcular el ángulo con que se desviará la luz al pasar al segundo medio, debemos aplicar la función inversa de la función seno → 𝑠𝑖𝑛-1 En una calculadora científica debemos evaluar el valor de la función 𝑠𝑖𝑛-1, de la siguiente forma: 1. 2. 3. 4.
1.
Presionar la tecla SHIFT Presionar la tecla 𝑠𝑖𝑛 Ingresar el valor de la igualdad sin 𝛽 = 𝟎, 𝟓 Presionar signo =
2.
4.
3.
Ejemplo: Calcular el ángulo con que se refractará un rayo de luz que viaja por el aire, y pasa al agua, si el índice de refracción del aire es 𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1, el índice de refracción del agua es 𝑛𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1, 3̅, e ingresa al agua con un ángulo incidente de 30° respecto a la línea normal que cruza ambos medios. Primero graficamos la situación para guiarnos claramente:
30°
𝛽
Sabiendo que: 𝑛1 = 1 𝑛2 = 1, 3̅ 𝛼 = 30° Utilizando la ecuación (2): 𝑛1 ∙ sin 𝛼 = 𝑛2 ∙ sin 𝛽
Reemplazando los datos y sabiendo que 𝛽 es la incógnita: 1 ∙ sin 30° = 1, 3̅ ∙ sin 𝛽 sin 𝛽 =
1 ∙ sin 30° 1, 3̅
sin 𝛽 =
1 ∙ 0,5 1, 3̅
sin 𝛽 = 0,375 Utilizando el procedimiento para despejar el ángulo, se obtendrá: 𝛽 = sin−1 0,375 𝛽 = 22°
Ejercicios Propuestos 1. Se encuentra que la velocidad de la luz amarilla del sodio en cierto líquido es de 1.92 𝑥108 (𝑚/𝑠). Calcule el índice de refracción de este líquido con respecto al aire, para la luz del sodio. 2. Encontrar el ángulo límite para la refracción total interna de un rayo de luz que pasa del hielo (𝑛 = 1,31) al aire. Haz un dibujo. 3. Una capa de aceite (𝑛 = 1,45) flota en al agua (𝑛 = 1,33). Un rayo de luz incide sobre la gota del aceite desde el aire con ángulo 40°. Encontrar el ángulo de refracción que se forma en el agua. 4. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío 𝜆 = 6𝑥10−9 𝑚 (luz roja) que se propaga en el agua de índice de refracción 𝑛 = 1,33. Determine: a. La velocidad de propagación de la luz en el agua. b. La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. 5. En un estanque de agua, con la superficie en reposo, entra un rayo de luz con un ángulo de incidencia de 35°. Dibuja cómo serán el rayo reflejado por la superficie y el rayo que llega al fondo del estanque, calculando los ángulos que formaran con la superficie del estanque. 6. Calcula el ángulo limite cuando la luz pasa de un medio con índice de refracción de 𝑛 = 1,5 al aire (𝑛 = 1). 7. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre una sustancia trasparente con un ángulo de 32° con respecto a la superficie. Se observa que los rayos reflejados y refractados son mutuamente perpendiculares a. ¿Cuál es el índice de refracción de la sustancia trasparente para la luz? b. ¿Cuál es el ángulo límite para reflexión total interna en esa sustancia, si la luz se propaga desde ésta al aire? 8. Un faro sumergido en un lago dirige un haz de luz hacia la superficie del lago con ángulo de incidencia de 40°. Encontrar el ángulo de refracción (𝑛𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1,33). 9. Una capa de aceite (𝑛 = 1,45) flota en al agua (𝑛 = 1,33). Un rayo de luz incide sobre la gota del aceite desde el aire con ángulo 20°. Encontrar el ángulo de refracción que se forma en el agua. 10. Si un rayo de luz monocromática se propaga del agua al aire. ¿A partir de qué valor del ángulo de incidencia en la superficie entre ambos medios se presentará el fenómeno de la reflexión total interna? ¿Qué nombre recibe ese ángulo? (𝑛𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1,33). Fundamente su respuesta. Respuestas:
𝑚 𝑏. 5 × 1016 𝐻𝑧 ; 4,52 × 10−9 𝑠 5) 64,45° 6) 41,81° 7) 𝑎. 1,6 𝑏. 38,68° 8) 58,75° 9) 14,9° 10) 48,75°
1) 1,56
2) 49,76° 3) 28,91°
4) a.
2,26 × 108
