TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIA Una selección de artículos Volumen 1
Agustín Deméneghi Colina Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México México
Mayo de 2014
ÍNDICE
Tema
Página
ECUACIONES CONSTITUTIVAS Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena Predicción de deformaciones deformacio nes en arcillas preconsolidadas Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Curvas de consolidación consolidación en arcillas sensitivas Deformations assesment in expansive clays Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo
4 9 16 26 34 38
INTERACIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA Interacción estática suelo-estructura suelo-estructura
47
CIMENTACIONES PROFUNDAS Análisis y diseño geotécnico de pilas y pilotes
104
DISEÑO GEOTÉCNICO Y ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Ejemplo de diseño de una zapata aislada Ejemplo de diseño de una zapata corrida Análisis y diseño de una cimentación compensada Ejemplo de análisis y diseño de un pilote de concreto reforzado
139 163 191 226
TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIA
CIMENTACIONES
301
XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008
Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena Settlement assessment of a foundation in sand Agu stín st ín Demén eghi egh i Co li na, na , Facultad de Ingeniería, UNAM, Cd. Universitaria.
RESUMEN: Se presenta un procedimiento para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado en un depósito de arena. Se utiliza una ecuación constitutiva no lineal que toma en cuenta el efecto de la presión de confinamiento en la magnitud de la rigidez del terreno. La ventaja de esta técnica es que, al considerar la no linealidad del suelo, se hace uso de muy pocas propiedades mecánicas, que además no cambian con la presión de confinamiento. El procedimiento se aplica al cómputo del asentamiento de un cimiento que puede estar apoyado sobre sob re varios estratos de arena. Se incluye incluy e un ejemplo ilustrativo de este cálculo. ABSTRACT: A procedure for the calculation of the settlement of a foundation in sand is presented. Confinement pressure on soil and a non linear stress-strain relationship are deemed. With this technique we use only a few mechanical properties. We can take into account several strata of soil. An illustrative example is included for the calculation of the settlement of a foundation in sand. 1 INTRODUCCIÓN
pvo pho
Cada disciplina de la ingeniería civil tiene que desarrollar técnicas apropiadas a su propia especificidad. Tal es el caso de la mecánica de suelos, en la que se tienen que encontrar las leyes que rigen el comportamiento de los medios granulares. Un medio granular tiene la característica de que su rigidez (como medio) aumenta con la presión de confinamiento; además, en estos materiales la relación esfuerzo-deformación unitaria es en general no lineal. Por lo tanto, debemos buscar procedimientos que tomen en cuenta estas características específicas de un medio granular. En este artículo se presenta un procedimiento que trata de contemplar los factores citados en el párrafo anterior, para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado sobre un suelo friccionante. La ventaja de esta técnica es que permite computar dichas deformaciones con un número muy reducido de propiedades mecánicas. 2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA
pho
pho
pho
pvo
Figura 1. Estado de esfuerzos por peso propio.
Por otra parte, si el suelo tiene una cierta cohesión o cementación, podemos considerar que ésta se debe a una presión de confinamiento interno intrínseca, la cual denominaremos p cie. La presión de confinamiento inicial p beo será entonces la suma de la presión de confinamiento intrínseca, p cie, más la presión externa por peso propio, pco, es decir
2.1 Confinamiento inicial
p beo = pcie + pco
Consideremos un elemento de suelo sometido al estado de esfuerzo por peso propio mostrado en la figura 1. La presión de confinamiento promedio inicial, por peso propio del terreno, vale
2.2 Ecuación constitutiva para la estimación de la
pco = (pvo + pho + pho) / 3
deformación de un elemento de suelo, ocasionada por incrementos externos de esfuerzo
Juárez Badillo (1965) utiliza la siguiente expresión para el cálculo de la deformación volumétrica de los materiales
Si pho = K o pvo, donde K o es el coeficiente de presión en reposo del suelo, entonces
dV/V = - γ (dσ/σ)
pco = (1/3)(1 + 2K o) pvo
donde
(1)
(2)
V = volumen de un elemento de suelo σ = esfuerzo isotrópico sobre el elemento de suelo Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. C.
(3)
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AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA
XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008
γ = parámetro que mide la compresibilidad volumétrica
del material
f = 1 - ν (a1 + a2)
Vemos que en la expresión anterior, tanto la deformación como el esfuerzo se “normalizan”. A continuación, extenderemos el concepto de normalización para aplicarlo al cálculo de la deformación de un suelo friccionante. Por otra parte, al construir una obra de ingeniería se incrementan los esfuerzos sobre un elemento de suelo (figura 2), donde σz, σx y σy son los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por la presencia de la obra de ingeniería.
Por otra parte, como mencionamos antes, la deformación es función inversa del esfuerzo de confinamiento. Veamos a continuación cómo tomar en cuenta este efecto. Consideremos un elemento de suelo sometido a una presión de confinamiento inicial p beo; demos incrementos de esfuerzo σz, σx y σy sobre el cuerpo, tal como se ilustra en la figura 2. Estos incrementos de esfuerzo ocasionan que la presión de confinamiento p beo aumente en una cantidad Δ p be, dando lugar a un nuevo valor de p be, que vale
σz
p be = p beo + Δ p be
σy
σx
(9)
(10)
En términos generales, en mecánica de suelos se acepta que Δ p be es igual al incremento de esfuerzo normal en el plano octaédrico, o sea, que es igual al promedio de los incrementos de esfuerzo
σx
Δ p be = (1/3) ( σz + σx + σy) σy
Para fines prácticos podemos sustituir la cantidad de (1/3) por coeficientes, es decir σz
Figura 2. Incrementos de esfuerzos por una obra de ingeniería.
Supongamos por un momento que el confinamiento inicial p beo (ecuación 2) se mantiene constante. Demos incrementos de esfuerzo σz, σx y σy (figura 2); podemos usar entonces una variante de la ley de Hooke para el cálculo de la deformación unitaria ε ≅ (1/A) [σz - ν (σx + σy)]r
(4)
donde (1/A) es el coeficiente de proporcionalidad entre el esfuerzo desviador y la deformación unitaria, ν es la relación de Poisson y r un exponente que depende de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria del suelo. Suponiendo que el espesor ∆zo del elemento es suficientemente pequeño para que la relación entre el incremento de esfuerzo horizontal y el incremento de esfuerzo vertical sea constante, tenemos que a1 = σx / σz
a2 = σy / σz
(5)
σx = a1 σz
σy = a2 σz
(6)
Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 4 r
ε ≅ (1/A) {σz [1 - ν (a1 + a2)] }
(7)
ε ≅ (1/A) (f σz )r
(8)
siendo
Δ p be = b1 σz + b2 (σx + σy)
(11)
donde, dada la experiencia actual b 1 = 1/3 y b 2 = 1/3 . Reemplazando las ecuaciones 6 en la ecuación 11 Δ p be = c σz
(12)
donde c = b1 + b2 (a1 + a2)
(13)
Sustituyendo en la ecuación 10 p be = p beo + c σz
(14)
Demos ahora incrementos diferenciales de esfuerzo al elemento. Con los resultados anteriores, podemos plantear una ecuación constitutiva general, en la que la deformación unitaria sea directamente proporcional a la variante de la ley de Hooke dada por la ecuación 4, e inversamente proporcional a la presión de confinamiento dada por la ecuación 14 (figura 3), es decir (Deméneghi, 1984) d( ∆z)
1
(f σz/pa)r d(f σz/pa)
⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∆z A [ (p beo + c σz) / pa ] s
(15)
donde A es el módulo de rigidez del suelo, y r y s son exponentes que dependen del tipo de suelo. p a = presión Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. C.
CIMENTACIONES
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XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008
atmosférica = 101.3 kPa, que se introduce con el fin de que el módulo A sea adimensional (véase Janbu, 1963). La ecuación 15 es una ecuación constitutiva diferencial general que podemos usar para calcular la deformación de un suelo, para diferentes condiciones de carga.
f [(p beo + cσz)1-s – (p beo)1-s]
3 CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN DE UN
δz ={1-exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } }Δzo (1-s) c A p a1-s
ELEMENTO DE SUELO GRANULAR Para el cálculo de la deformación vertical de un elemento de suelo de espesor Δzo (figura 3) podemos usar la ecuación 15, que corresponde a una ecuación constitutiva diferencial en un medio granular. En suelos friccionantes, el exponente r varía entre 0 y 0.2. Para fines prácticos podemos tomar r = 0; la ecuación 15 queda d( ∆z)
1
d(f σz/pa)
⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∆z A [ (p beo + c σz) / pa ] s
(16)
Integremos la ecuación 16. Al aumentar el esfuerzo normal vertical de 0 a σz, la altura del elemento cambia de la altura inicial Δzo a la altura final Δzf (figura 3). Por lo tanto, debemos integrar la ecuación 16 de Δzo a Δzf el primer miembro y de 0 a σz el segundo miembro d(Δz)
1
∫Δzo ⎯⎯ Δz
d(f σz/pa)
= - ∫o ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A [(p beo + c σz) / pa] s
Δzf f [(p beo + cσz)1-s – (p beo)1-s] ⎯ = exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } (1-s) c A p a1-s Δzo
El desplazamiento Δw se mide hacia arriba. Para que el desplazamiento hacia abajo sea positivo (como es usual en mecánica de suelos), hagamos δz = - Δw. La ecuación 21 queda
(17)
(18)
La ecuación 22 permite calcular la deformación vertical de un elemento de suelo friccionante de espesor Δzo, sujeto a incrementos de esfuerzo σz, σx y σy. Cabe aclarar que en suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0.5. Para fines prácticos, para el cómputo de la deformación de un suelo friccionante conviene entonces emplear la ecuación 22 con s = 0.5, con el procedimiento que se indica a continuación. El coeficiente K o se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982) K o = (1 – sen φ)(OCR)sen φ
Δzf = Δzo + Δw
(19)
Δzf /Δzo = 1 + Δw/Δzo ∆W= ∆Z
∆Zf ∆Zo
Figura 3. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo. Δw/Δzo = Δzf /Δzo – 1
(20)
Δw f [(p beo + cσz)1-s – (p beo)1-s] ⎯⎯ = exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } – 1 (1-s) c A p a1-s Δzo
(21)
(23)
donde φ es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson ν se obtiene ν = K o / (1 + K o)
(24)
El módulo de rigidez promedio A m del suelo se determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT), con la siguiente expresión aproximada Am = 26.25 N 1.125
Pero (figura 3)
(22)
(25)
El módulo desfavorable se calcula en función del nivel de confianza α con A = Am C donde
(26)
C = exp[-0.784 tα √ 1.00758 + 0.0152(ln N – 2.976)2]
(27)
tα es una variable t de Student, cuyos valores en función de α se muestran en la tabla 1. Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el módulo A del suelo sea menor que el valor dado por la ecuación 26. Finalmente, la deformación δz de un estrato de suelo friccionante de espesor Δzo se obtiene usando la ecuación 22.
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AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA
XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008 y 170
Tabla 1. Variable aleatoria t de Student Nivel de Confianza α % 2.5 5 10 15 20 25 30 40 50
tα 25 200 30
1.978 1.657 1.288 1.041 0.844 0.676 0.526 0.254 0
x
630 kN
Distancias en centímetros Croquis sin escala
30
4 EJEMPLO 30
Calcular el asentamiento de la zapata rectangular de concreto reforzado de la figura E-1.
Arena limpia
N = 25 golpes
γ = 16 kN/m3 Φ = 37°
30
Arena limosa
N = 32 golpes
γ = 18 kN/m3 Φ = 39°
40
Limo arenoso
N = 28 golpes
γ = 17 kN/m3 Φ = 38°
50
Solución:
La determinación de los incrementos de esfuerzo se lleva a cabo usando la presión de contacto entre suelo y cimiento, que en este caso vale q = 197.35 kPa. En la tabla E-1 se exhibe el cómputo de las deformaciones de los tres estratos de suelo. Las presiones por peso propio y los incrementos de esfuerzo se obtienen a la mitad de cada estrato. Se usaron las ecuaciones 22 a 27. Ilustremos la aplicación del método no lineal con el cómputo de la deformación del estrato 1: La presión vertical inicial a la mitad del estrato 1 es pvo = 0.75(16) = 12 kPa K o = 1 – sen 37° = 0.398 La relación de Poisson es ν = K o/(1+K o) = 0.398/(1+0.398) = 0.285 pco = [(1+2(0.398))/3](12) = 7.185 kPa Los incrementos de esfuerzo normal a la mitad del estrato valen σz = 196.71 kPa σx = 117.05 kPa σy = 119.40 kPa f = 1 - ν (a1 + a2) = 1 - ν [(σx + σy)/σz] f = 1 – 0.285 [(117.05+119.40)/196.71] = 0.657 c = b1 + b2 (a1 + a2) = b1 + b2 [(σx + σy)/σz] c = 1/3 + (1/3)[(117.05+119.40)/196.71] = 0.734 Am = 26.25 N 1.125 (ecuación 25)
Roca
EJEMPLO FIGURA E-1
Am = 26.25(25) 1.125 = 981.32 Para α = 20%, t α = 0.844 (tabla 1) Reemplazando en la ecuación 27: C = exp[(-0.784)(0.844) √ 1.00758 + 0.0152(ln 25 – 2.976)2]
C = 0.515 A = C A m = 0.515(981.32) = 504.92 Sustituyendo valores en la ecuación 22: 0.657{[(7.185+0.734(196.71)]1-0.5 – (7.185) 1-0.5}
δz ={1-exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ }}(0.3) (1-0.5)(0.734)(504.92)(101.3)1-0.5
δz = 0.001017 m = 0.102 cm Para obtener la deformación de los estratos 2 y 3 se procede en forma similar. De acuerdo con la tabla E-1, sumando las deformaciones de los tres estratos con α = 20%, se encuentra un asentamiento total de δzT = 4.18 mm. Para α = 50% (hundimiento promedio) se usa un procedimiento análogo y se halla δzT = 2.15 mm. Es interesante comparar estos asentamientos con el obtenido con las fórmulas de Steinbrenner (Terzaghi, 1943) y Denver (1985), el cual resulta 4.4 mm, muy similar a δzT = 4.18 mm con α = 20%.
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CIMENTACIONES
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XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008
Tabla E-1. Ejemplo α = 20%
Estrato
A
1’ 2 3
504.92 665.95 573.39
pvo kPa 12 18 25.85
K o
ν
0.398 0.371 0.384
0.285 0.270 0.278
p beo kPa 7.185 10.448 15.240
σz kPa 196.71 180.11 134.84
σx kPa 117.05 53.09 15.81
σy kPa 119.40 47.82 11.33
c
f
δz
0.734 0.520 0.400
0.658 0.848 0.944 Suma
mm 1.02 1.36 1.80 4.18
5 CONCLUSIONES
REFERENCIAS
a) Debido a que en un elemento de suelo la presión de confinamiento varía durante la construcción de una obra de ingeniería, se plantea una ecuación diferencial constitutiva para el cálculo de la compresión del elemento, en la cual la deformación unitaria es inversamente proporcional a la presión de confinamiento (ecuación 15). b) La ecuación diferencial constitutiva se integra para el intervalo de variación de los incrementos de esfuerzo ocasionados por la obra de ingeniería, lo que permite encontrar una expresión para el cómputo de la deformación de un estrato de arena (ecuación 22). c) Se presentó un ejemplo para el cálculo del asentamiento de una zapata aislada, apoyada sobre tres estratos de suelo arenoso.
Deméneghi, A (1984). “Análisis de deformaciones en suelos granulares”, Rev Ingeniería, Facultad de Ingeniería, UNAM, Vol LIV, N° 3: 34-38 Denver, H (1985). “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng, vol IV: 21832190, San Francisco Janbu, N (1963). “Soil compressibility as determined by oedometer and triaxial tests”, European Conf Soil Mech Found Eng, Wiesbaden, Germany, Vol 1: 19-25 Juárez Badillo, E (1965). “Compressibility of soils”, 5th Symp Civil Hydr Eng, Dep Indian Inst Science, Bangalore Mayne, P W y Kulhawy, F H (1982). K o-OCR relationships in soil. Jour Geot Eng Div, ASCE, GT8, junio Terzaghi, K (1943). Theoretical Soil Mechanics, Wiley
Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. C.
XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembr e 14 a 16, 2012 – Cancún, Quin tana Roo
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas Prediction of deformations in overconsolidated clays Agu stín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA 2 1
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México
2
RESUMEN: Se presenta un procedimiento no lineal para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas preconsolidadas totalmente saturadas. Se considera además la influencia del incremento de esfuerzo desviador en la magnitud de la compresión de un elemento de suelo. Se utilizan los conceptos anteriores para el cálculo de asentamientos de estructuras apoyadas sobre arcillas preconsolidadas. Se incluye un ejemplo de aplicación. ABSTRACT: A non linear procedure for the calculation of long term deformations in fully saturated, overconsolidated clays, is presented. It also takes into account the influence of deviator stress increment in the amount of deformation in these soils. These concepts are used to calculate the settlements of structures resting over these soils. An example of settlement prediction is included.
1 INTRODUCCIÓN Para el cálculo de la deformación a largo plazo de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, es usual utilizar los resultados de pruebas de consolidación unidimensional, practicadas sobre muestras inalteradas extraídas del estrato de suelo. En ocasiones la estimación de la compresión se acerca en forma más o menos satisfactoria a la compresión que sufre el estrato en el campo. Sin embargo, otras veces ocurre que la deformación de la arcilla en el campo es menor que la deformación estimada con los resultados del ensaye de consolidación unidimensional. Skempton y Bjerrum (1957) analizaron este fenómeno y concluyeron que esta diferencia se debe a que el incremento de esfuerzo desviador in situ no necesariamente es similar al incremento de esfuerzo desviador en el laboratorio. Esta discrepancia hace que el incremento de presión de poro en el campo sea menor que el incremento de presión de poro en el consolidómetro, lo que a su vez da lugar a que la compresión in situ sea menor que la compresión en el laboratorio. Por otra parte, una arcilla preconsolidada ha almacenado energía de deformación por la mayor carga que tuvo durante su historia geológica; cuando ocurre en este suelo un incremento de esfuerzo desviador, se libera parte de esta energía de deformación. En consecuencia, el incremento de presión de poro en el campo resulta menor que el incremento de presión de poro en el odómetro.
Las razones expuestas en los párrafos anteriores explican el porqué la deformación in situ es menor que la deformación en el laboratorio, siendo esta diferencia mayor en arcillas preconsolidadas. En su forma original, el trabajo de Skempton y Bjerrum fue presentado de manera gráfica, y lo que nosotros exponemos en este artículo son expresiones analíticas derivadas del procedimiento de estos autores, las cuales se pueden programar en una calculadora con relativa facilidad. Previamente a la presentación de estos conceptos, tratamos un método no lineal para el cálculo de las deformaciones en arcillas preconsolidadas. 2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS 2.1 Ecuación constitutiva Consideremos un elemento de arcilla preconsolidada totalmente saturada, sometida a una prueba de consolidación unidimensional, como se muestra en la figura 1. Denominemos con p veo al confinamiento inicial vertical y a σz el incremento de esfuerzo normal vertical sobre el elemento. El confinamiento inicial vertical p veo está dado por pveo
pcie pvo '
(1)
donde pcie es la presión de confinamiento equivalente a la cementación del suelo (en caso
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
que la hubiera), y p vo’ es la presión normal vertical efectiva inicial sobre el elemento. Debido al incremento de esfuerzo vertical σz sobre el espécimen de suelo, éste sufre una deformación vertical Δwf como se indica en la figura 1.
exponente que depende del tipo de suelo. En arcillas totalmente saturadas s ≈ 1; reemplazando este valor en la ecuación 4 Z, W d(σz)
σz
ΔW ΔWf
Z, W
d( ΔW)
ΔW
<0
pvo'
ΔWf
ΔW
ΔZ
<0
ΔZf ΔZo
ΔZo ΔZf
x, u
Figura 2. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo
x, u
Figura 1. Incremento de esfuerzo normal, σz, sobre un elemento de suelo de espesor inicial Δzo
d z
Definamos la diferencial de deformación unitaria vertical dεz de la siguiente forma
Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 5, e integrando
d z
d w
z
(2)
De acuerdo con la figura 2
(3)
d z pa
1 A p
z
1 A
s
veo z pa
(5)
d z
z
pveo
0
z
1
(6)
Por otra parte, de acuerdo con la figura 2
Demos ahora un incremento de esfuerzo diferencial dσz como se indica en la figura 2. Proponemos la siguiente ecuación constitutiva para el cálculo de la deformación unitaria en compresión no confinada
d z
d z
z
Reemplazando en la ecuación 2
z
A pveo
z f pveo z A z o pveo
d z d z o d w d w
d z
z o
d z
Es decir
z z o w
d z
z f
1
(4)
donde pa = presión atmosférica = 101.3 kPa, A es un coeficiente que mide la rigidez del material, y s es un
z f z o w f z f w 1 f z o z o z w f f 1z o z o
(7)
Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 7 1 A p w f veo z 1 z o pveo
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
(8)
DEMÉNEGHI, A. et al.
De acuerdo con la convención de signos de la figura 2, el valor de Δwf dado por la ecuación 8 da siempre negativo. Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento, hagamos ΔδP = - Δwf , donde ΔδP es la deformación al término de la consolidación primaria del elemento de suelo. La expresión 8 queda 1 A p P 1 veo z z o p veo
(9)
La ecuación 9 permite calcular la deformación ΔδP, en compresión confinada, de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz. 2.2 Determinación del módulo de rigidez A El módulo de rigidez A lo obtenemos despejándolo de la ecuación 9
pveo z p veo A log1 P z o log
(10)
donde log x = log 10 x Por otra parte, es usual calcular la relación de vacíos en una prueba de consolidación. El módulo A se puede obtener en función de dicha relación de vacíos, de la siguiente forma
P
1
e e e z o o f z o 1 eo 1 eo
P 1 e f z o 1 eo
pvf ' p ' vo A 1 e f log 1 e o
3
log
(12)
La expresión 12 se puede utilizar para determinar el módulo de rigidez en la rama de recompresión, A s’. En efecto, sean P1(pv1’, e1) y P2(pv2’, e2) dos puntos en dicha rama (p v2’ > pv1’), entonces
pv 2 ' p ' v1 A s ' 1 e2 log 1 e 1 log
(13)
Un procedimiento similar se usa para obtener el módulo de rigidez en la rama virgen, A’.
3 CRITERIO DE SKEMPTON Y BJERRUM PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS Como señalamos antes, Skempton y Bjerrum (1957) señalan que las magnitudes de las deformaciones obtenidas a partir de resultados de una prueba de consolidación unidimensional pueden ser diferentes a los valores de las deformaciones sufridas por una obra en el sitio, dependiendo esta diferencia de la relación entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro. Veamos a continuación la forma de estimar esta diferencia. La deformación en consolidación unidimensional vale
Pcon mv z o z (11)
Si, como es común, en arcillas preconsolidadas la presión equivalente debida a la cementación entre partículas es cercana a cero: p cie ≈ 0, la presión p veo ≈ pvo’. Tomando en cuenta además la ecuación 11 en la ecuación 10, el módulo A queda
siendo mv el coeficiente de compresibilidad volumétrica del suelo. En el consolidómetro el incremento de presión de poro, en el momento de aplicar la carga, ΔuWcon = σz, por lo que
Pcon mv z o uWcon
(14)
Por otra parte, el incremento de presión de poro en el campo es función del incremento de esfuerzo desviador, es decir
uWcpo
x
y 2
ASke z x y 2
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
(15)
4
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
donde ASke es el coeficiente de presión de poro de Skempton (1953), cuyos valores, para condiciones de trabajo, se exhiben en la tabla 1.
procedimientos usuales de la geotecnia), y el módulo de rigidez As’ en el tramo de recompresión, usando la ecuación 13
Tabla 1. Valores del coeficiente A Ske en condiciones de trabajo (Skempton y Bjerrum, 1957)
pv 2 ' p ' v1 A s ' 1 e2 log 1 e 1
Tipo de arcilla
Arcilla blanda muy sensitiva Arcilla normalmente consolidada Arcilla preconsolidada Arcilla arenosa fuertemente preconsolidada
Aske >1 ½a1 ¼a½ 0a¼
Skempton y Bjerrum consideran que el asentamiento en el campo se puede calcular con la ecuación 14, sustituyendo el incremento de presión de poro en el sitio, es decir
Pcpo mv z o uWcpo
log
d) Se calcula la deformación del estrato para compresión unidimensional, al término de la consolidación primaria, utilizando la ecuación 19 1 A p ' Pcon 1 veo z z o p veo
(16)
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 14 y 16
Pcpo uWcpo Pcon uWcon 1 ASke x y ASke z 2 1
s
Pcpo Pcon (17)
O sea
donde 1 A ' p Pcon 1 veo z z o p veo s
f)
ASke z
1 ASke x y 2 z
4 PREDICCIÓN DE DEFORMACIONES A LARGO PLAZO EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, el cómputo de la deformación a largo plazo en un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, se puede llevar a cabo con los siguientes pasos a) Se extrae una muestra inalterada del suelo, de preferencia a la mitad del estrato b) Se realiza una prueba de consolidación unidimensional en una probeta labrada de la muestra inalterada c) Con los resultados de la prueba de consolidación, se obtienen el coeficiente de consolidación cv del suelo (empleando los
1
(17)
La deformación del estrato para un tiempo, t, se determina
Pcpo,t PcpoU (19)
(18)
donde, de acuerdo con la expresión 17
(18)
(19)
e) Se obtiene la deformación del estrato en campo, al término de la consolidación primaria, con la ecuación 18
z
Pcpo Pcon
(13)
(20)
donde U es el grado de consolidación primaria, que es función del factor tiempo T T
cv t
z e 2
(21)
Las magnitudes de U se muestran en la tabla 2. Hicimos una comparación de los asentamientos de estructuras, tomados de Skempton y Bjerrum (1957), empleando el método de estos autores y el procedimiento que planteamos en este artículo. Los resultados se exhiben en la tabla 3; vemos que los valores de coeficiente μ son prácticamente los mismos.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
DEMÉNEGHI, A. et al.
Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder, 1959)
Tabla 2. Relación teórica U-T U(%) T 0 0 10 0.008 15 0.018 20 0.031 25 0.049 30 0.071 35 0.096 40 0.126 45 0.159 50 0.197 55 0.238 60 0.287 65 0.342 70 0.405 75 0.477 80 0.565 85 0.684 90 0.848 95 1.127 ≈ 2.0 100 (Tomada de Juárez Badillo y Rico, 1976)
r
Tanque de almacenamiento Arcilla de Chicago Arcilla de Londres Arcilla de Oxford
a 2 z 2 3 / 2
Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy, 1985) z
1 1 xyz 1 xy tan 2 x 2 z 2 y 2 z 2 B zB q
Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó y Kagán, 1980)
xyz zB 2 2 tan 1 2 2 y z B xy x xB 1 2 tan 1 tan 1 y yz
x
0.90 0.49 0.55
5 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZO
q
xyz 1 zB tan 2 2 x 2 z 2 B xy y yB 1 2 tan 1 tan 1 x xz
y
q
Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por un cimiento cargado se pueden valuar con las siguientes expresiones, válidas para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico (con una relación de Poisson ν), con carga repartida q aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito (Deméneghi y Puebla, 2012) Círculo cargado
q
y
x
z
Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un círculo cargado están dados por Incremento de esfuerzo normal vertical
z 3 z q 1 2 2 3/ 2 a z
z 3
Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado están dados por (figura 3)
Valores del coeficiente μ Skempton y Este artículo Bjerrum 0.80 0.80 0.90 0.50 0.55
q 21 z 1 2 2 2 1 / 2 2 a z
Rectángulo cargado
Tabla 3. Magnitudes del coeficiente μ Obra
5
σz σy
σx
Figura 3. Incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
6
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
6 EJEMPLO Calcular el asentamiento bajo el centro de la losa de cimentación de la estructura de la figura 4, para tiempos de 6 meses y 5 años después de terminada la construcción. La losa tiene 8 por 16 m en planta, y transmite al terreno un incremento de presión media de 80 kPa. Se practicó además una prueba de consolidación sobre una muestra inalterada extraída del estrato de arcilla preconsolidada. Las coordenadas de dos puntos de la curva de compresibilidad en la rama de recompresión son: P1 (0.281 kg/cm2, 1.061), P2 (1.217 kg/cm2, 1.024); c v = 0.000046 cm2/s. En esta arcilla el fenómeno de consolidación secundaria es pequeño y se puede despreciar para fines prácticos. Considerar en la arcilla ’ = 29°, p cie = 0, una relación de preconsolidación OCR = 2 y un coeficiente de Skempton Aske = 1/3
A la mitad del estrato, los incrementos de esfuerzo valen σz = 79.61 kPa σx = 64.87 kPa σy = 57.68 kPa Utilizamos la ecuación 19 1 80 6.771 79.61 .9 Pcon 1 0.6 0.0186m 6.771
Usando la ecuación 17 79.61
3
1 1 / 364.87 57.68 2
0.8465
79.61
La deformación en campo, al término de la consolidación primaria vale (ecuación 18)
Pcpo 0.84650 .0186 0.01574m a) Tiempo = 6 meses
t = 6(30)(86400) = 15,552,000 s 0.00004615,552,000 T 0.795 302 U = 88.4% NAF
P 6 meses 0.884 0.01574 0.0139m b) Tiempo = 5 años
Arena compacta 0.6 m Gamma = 18 kN/m3
t = 5(365.25)(86400) = 157,788,000 s
Arcilla preconsolidada , OCR = 2, pcie = 0 0.6 m Gamma = 16 kN/m3
T
0.000046157,788,000
Roca
30 2
8.06 2
U = 100%
Figura 4. Ejemplo
P 5años 10. 01574 0.01574m Solución
El módulo As’ lo obtenemos con la ecuación 13
(Arcilla preconsolidada. Ejemplo 5 años)
1.217 0.281 80.9 A s ' 1 1.024 log 1 1.061 log
pveo = pvo’ =(18-9.81)(0.6)+(16-9.81)(0.3)= 6.771 kPa
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DEMÉNEGHI, A. et al.
7 VALORES ESTADÍSTICOS Para fines preliminares de análisis se pueden usar las siguientes magnitudes obtenidas a partir de datos estadísticos
2491.5
A s '
IP 12.12 25.16t 1.00885
IP 34.4692 31027
757.3
A'
IP 28.79 23.43t 1.00637
7
incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro da lugar a que el aumento de presión de poro in situ sea menor que el aumento de presión de poro en el laboratorio, lo que conduce a que la deformación unitaria de un estrato en campo sea menor a la deformación unitaria de una probeta en el odómetro d) En este artículo se presentó un procedimiento analítico para tomar en cuenta el efecto del esfuerzo desviador in situ, siguiendo los conceptos presentados por Skempton y Bjerrum. La solución que exponemos se puede programar en una computadora con relativa facilidad
IP 35.0992 54414
REFERENCIAS donde IP es el índice plástico, en porciento, y t α es una variable t de Student, cuyos valores en función del nivel de confianza α aparecen en la tabla 4. Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤ 30%. Tabla 4. Magnitudes de la variable aleatoria t α Nivel de confianza α % 2.5 5 10 15 20 25 30 40 50
Módulo As’
Módulo A’
Variable aleatoria tα 1.982 1.975 1.659 1.654 1.289 1.287 1.041 1.040 0.845 0.844 0.677 0.676 0.526 0.526 0.254 0.254 0 0
Damy, J (1985). “Integración de las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre superficies poligonales de cualquier forma, cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”, Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86 Dashkó, R E y Kagán, A A (1980). Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú
Deméneghi, A y Puebla, M (2012). “Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo”, Apuntes de Comportamiento de Suelos, Facultad de Ingeniería, UNAM, México, D F Juárez Badillo, E y Rico, A (1976). Mecánica de Suelos, Limusa, México, D F Skempton, A W (1954). “The pore pressure coefficients A and B”, Géotechnique, 4: 143-147 Skempton, A W y Bjerrum, L (1957). “A contribution to the settlement analysis of foundations in clay”, Géotechnique, 7(4), 168-178 Yoder, E J (1959). Principles of Pavement Design, Wiley
8 CONCLUSIONES De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, se concluye lo siguiente: a) La compresión de un elemento de arcilla preconsolidada se puede predecir usando un método no lineal de deformación, considerando que la compresibilidad del suelo disminuye con el esfuerzo normal vertical efectivo sobre el suelo b) La deformación de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, resulta en el campo menor o igual que la deformación calculada a partir de resultados de pruebas de consolidación unidimensional c) La diferencia entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el
(Arcillas preconsolidadas. ADC. MPC)
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Acapulco, Gro., del 11 al 13 de noviembre de 2010
Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Prediction of long term deformations in sensitive clays A Demén egh i , Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
RESUMEN: Se presenta un procedimiento para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas. Se consideran tres clases de curvas de consolidación (tipo I, tipo II y suelos con cavidades) y se proponen métodos de cálculo de deformaciones para cada una de ellas. Se incluyen al final del artículo ejemplos de aplicación. ABSTRACT: A procedure for the prediction of long term deformations in sensitive clays is presented. We consider three types of consolidation curves (type I, type II and soils with cavities), and methods for the calculation of deformations in each of them. We include practical examples at the end of this paper.
2 CARACTERÍSTICAS DE LAS ARCILLAS
1 INTRODUCCIÓN
Las arcillas sensitivas se forman en cuerpos de agua salada, y, por esta razón, poseen una estructura floculenta, lo que ocasiona que su comportamiento sea muy diferente a las arcillas que se producen en cuerpos de agua dulce. La estructura floculenta da lugar a que en una arcilla sensitiva sus partículas queden unidas entre sí, y, por lo tanto, su rigidez no dependa de manera significativa de la presión vertical efectiva en el campo; es decir, su rigidez (o deformabilidad) está supeditada más al pegamento entre partículas que a la presión vertical efectiva. Por otra parte, la adhesión entre los granos es relativamente débil, lo que ocasiona que, además de la deformación por consolidación primaria, en estos suelos se manifieste en forma notable el fenómeno de deformación por consolidación secundaria. Así, las arcillas sensitivas exhiben diversas clases de curvas de consolidación, siendo tres de ellas típicas: (a) curvas tipo I, (b) curvas tipo II, y (c) suelos con cavidades (Zeevaert, 1986). En este trabajo se presenta un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas, que toma en cuenta su estructura floculenta, su rigidez debida al pegamento y los fenómenos de compresión por consolidación primaria y consolidación secundaria. Se incluyen al final del artículo dos ejemplos de aplicación.
SENSITIVAS
Las arcillas que se forman por sedimentación en cuerpos de agua se pueden dividir en dos grupos: (a) aquellas que se depositan en agua salada, y (b) aquellas que se sedimentan en agua dulce. En las primeras los cationes del agua reducen la carga eléctrica negativa de la superficie de las partículas del suelo, y favorecen la unión de dichas partículas; este fenómeno da lugar a una estructura “floculenta” (o estructura en “castillo de naipes”) del suelo, el cual queda formado por “cadenas”, cuyos eslabones son los propios granos del mismo. A estos sedimentos los denominamos “arcillas sensitivas”. Relación de vacíos
Rama cementada
Rama virgen pvb' = presión crítica
A'
pvo' = presión debida a peso propio del suelo
pvb' > pvo'
pvo'
pvb'
Presión vertical efectiva pv', log
Figura 1. Curva de compresibilidad. Arcilla sensitiva
Por el contrario, las partículas que se depositan en agua dulce no se unen entre sí, formando una estructura “dispersa”. A estos suelos los llamamos “arcillas no sensitivas”. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas
Las partículas de las arcillas sensitivas quedan unidas por un “pegamento” (pegamento que por cierto es de baja magnitud). Si el incremento de carga sobre este suelo es pequeño y no rompe la liga entre partículas, la deformación del mismo suele ser pequeña, mientras que si el incremento es de magnitud tal que destruye dicha liga, la deformación del suelo es muy grande, lo que conduce a fuertes asentamientos de las obras construidas sobre él. Consideremos la curva de compresibilidad de una arcilla sensitiva mostrada en la figura 1. Sea p vo’ la presión vertical efectiva inicial, y p vb’ la presión para la cual se rompe la unión entre partículas, a la cual denominamos presión crítica. Esta presión crítica p vb’ define, en estos sedimentos, una perturbación del esqueleto estructural que cambia considerablemente las propiedades de compresibilidad del material (Zeevaert, 1973). Al intervalo de presión efectiva comprendido entre la presión inicial p vo’ y la presión crítica p vb’ le llamamos rigidez por fuerzas electromagnéticas, o simplemente rigidez electromagnética pvb’: pvb’ = pvb’ – pvo’
(1)
En zonas alejadas de la costa la sedimentación de las partículas de arcilla se producen en aguas relativamente tranquilas, debajo de la zona de acción de las olas. El grado de floculación puede ser considerablemente grande, debido al agua salada y al carbonato de calcio en forma de conchas o partículas microscópicas que puede acumularse. Estos suelos consisten en estratos horizontales de limo y arcilla que frecuentemente tienen una estructura sumamente floculada. En muchas líneas de costa los bancos o barras forman barreras que llegan a separar la playa del mar, formando lagunas de costa. En algunos casos las lagunas son lagos permanentes cuyas aguas suben y bajan con las mareas, pero en otros casos pueden ser marismas. Los depósitos de arcilla pueden ser potentes y tener una estructura floculada muy desarrollada (Sowers y Sowers, 1975). Como hemos comentado, las arcillas de origen marino son del tipo sensitivo. Sin embargo, se pueden formar arcillas sensitivas por otras causas. Mitchell (1993) distingue seis diferentes fenómenos que puede dar lugar a un suelo sensitivo: fábrica (o estructura) metaestable del suelo (por floculación de la arcilla, descrita en los párrafos anteriores), cementación, intemperismo, endurecimiento por tixotropía, intercambio catiónico y formación o adición de agentes dispersantes. Cuando la sensitividad S t es mayor que 4, el suelo se considera como muy sensitivo (Mitchell, 1993). Terzaghi y Peck (1967) comentan que si una arcilla tiene un límite líquido mayor que 100% y si su contenido natural de agua a una profundidad mayor que 6 ó 9 m bajo la superficie es mayor que el límite líquido, o si presenta un alto contenido de materia orgánica, es probable que se
comporte como arcilla sensitiva (a estos materiales estos autores los denominan arcillas extrasensitivas). Señalan que la arcilla de la ciudad de México, ciertas arcillas marinas del sureste de Canadá y de los países escandinavos, y varios suelos finos con alto contenido de sustancia orgánica, son del tipo sensitivo. Una vez que se forma un estrato de arcilla sensitiva, con el tiempo se van sedimentando sobre él otros suelos. Con el incremento de carga, y con el tiempo, las partículas sufren un asentamiento por consolidación primaria, el cual en general es de pequeña magnitud, porque los granos están unidos entre sí. Adicionalmente, las partículas del suelo se acomodan entre ellas, y debido a la naturaleza viscosa del agua que rodea a dichas partículas, éstas “resbalan” unas sobre otras, dando lugar al fenómeno de consolidación secundaria, el cual se manifiesta de manera explícita cuando ya se ha disipado el incremento de presión de poro por la aplicación de la carga (es decir, cuando ha terminado la consolidación primaria). La reducción de la relación de vacíos de la arcilla hace que se acreciente la conexión entre las partículas, lo que ocasiona un aumento de la rigidez de la masa de suelo. Este incremento del pegamento depende de la edad del depósito y de la magnitud de la carga aplicada (Bjerrum, 1973). Por ejemplo, la arcilla sensitiva de Drammen ha ganado rigidez durante 3000 años que ha soportado la presión vertical efectiva que tiene actualmente. La arcilla de la ciudad de México, a 3.5 m de profundidad, tiene una edad de 33500 años (Reséndiz y coautores, 1970), lapso en que ha ganado rigidez por carga vertical efectiva. Aun sometida a esfuerzos cortantes de magnitud significativa, las arcillas muestran una preconsolidación aparente por el efecto de la edad (Tavenas y Leroueil, 1987). Sea pvb’ la presión vertical efectiva para la cual se rompe el enlace entre partículas, y p vo’ la presión vertical efectiva inicial debida a peso propio del suelo a la profundidad z. Por lo comentado en los párrafos anteriores, en arcillas sensitivas siempre se cumple que (pvb’ – pvo’) > 0. Como dijimos antes, a la diferencia (p vb’ – pvo’) se le denomina rigidez de liga entre partículas (bond strength; Terzaghi y Peck, 1967). Cabe señalar que en las arcillas marinas de Noruega se ha encontrado que el cociente pvb’/pvo’ 1.6 (Bjerrum, 1967). Es interesante notar que, tomando datos de la arcilla de la ciudad de México, resulta también que el cociente p vb’/pvo’ 1.6. Por lo tanto, para que los asentamientos no sean excesivos, podemos adoptar para fines prácticos p vb’/pvo’ = 1.5, y verificar que el incremento de esfuerzo normal vertical no sobrepase la cantidad (p vb’ – pvo’), es decir σz ≤ (pvb’
– pvo’) = 1.5p vo’ – pvo’ = 0.5 p vo’
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
(2)
Deméneghi, A
En el caso de una cimentación parcialmente compensada, el incremento neto de presión no debe exceder (p vb’ – pvo’). Así, si PUM = peso unitario medio de la estructura, kPa INP = incremento neto de presión, kPa pvo = presión total previamente existente a la profundidad de desplante del cajón, kPa
Es decir d z d z
z
1
pa s
A p
z pa
z
INP = PUM – p vo ≤ (pvb’ – pvo’)
σz
PUM – p vo ≤ 0.5pvo’
(3)
La desigualdad 3 nos permite calcular la profundidad de desplante de un cajón estanco, para una cimentación parcialmente compensada, en la arcilla de la ciudad de México. Se pueden usar valores mayores de pvb’ (ecuación 1), en caso de que la arcilla exhiba un grado adicional de rigidez. Para esto, se pueden emplear resultados de pruebas de consolidación, o de ensayes de campo de cono eléctrico (Santoyo y coautores, 1989). Por otra parte, en vista de que el pegamento entre partículas es débil, éstas “resbalan” entre sí, lo que conduce a que, como señalamos antes, además de la compresión por consolidación primaria, ocurra una compresión adicional por consolidación secundaria en esta clase de suelos, la cual es del mismo orden de magnitud que la primaria. 3 ECUACIONES CONSTITUTIVAS
Consideremos un elemento de suelo sometido a carga vertical (figura 2). Si aplicamos un incremento diferencial de esfuerzo d σz, la deformación unitaria vale
y
σz
x
Figura 2. Incremento de esfuerzo vertical por una obra de ingeniería
Como mencionamos antes, las arcillas sensitivas tienen una estructura floculenta, lo que hace que su rigidez se mantenga aproximadamente constante, y no dependa, de manera significativa, de la magnitud de la presión vertical efectiva. Podemos usar entonces s = 0 en la ecuación 5. Así d z
d z d z
z
pa
A p
s
z pa
d z
z f
z o
siendo pveo = pcie + pvo’ pcie = presión de confinamiento interno equivalente pvo’ = presión vertical efectiva sobre el elemento
d z
1 d z A pa
(4)
veo
Pero
(5)
veo
Entonces, a la profundidad de desplante del cajón
1
d z
z
1 Apa
z
0
d z
z f z Apa z o
ln
z f exp z z o Apa
z SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas
Pero (figura 3)
z
Δzf = Δzo + Δw
z o E
z
(8)
Si hacemos s = 0 en la ecuación 4 y la comparamos con la ecuación 7 ΔW
E ≈ A pa
ΔZo
La deformación vertical δz de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz, la podemos calcular usando la ecuación 6 ó la ecuación 8. Por otra parte, la relación entre los módulos A y E viene dada por la ecuación 9.
ΔZf
(9)
4 EVOLUCIÓN DE LAS DEFORMACIONES 4.1 Nota preliminar Figura 3. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo
La compresión a largo plazo de una arcilla sensitiva, en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1), se debe a la suma de las deformaciones por consolidación primaria y por consolidación secundaria δt = δPt + δSt
z f z o w z o z o z o
(10)
δPt = deformación por consolidación primaria δSt = deformación por consolidación secundaria
z w f 1 z o z o
4.2 Consolidación primaria
La compresión por consolidación primaria se obtiene con las siguientes expresiones
Hagamos δz = - Δw
Deformación al término de la consolidación primaria
z f z 1 z o z o
P 1 exp
z 1 exp z z o Apa
z o A P pa
(6)
z o E P
z
EP = AP pa d z z
1
d z E
1
z E
(7)
w 1 z o E z
(12) (13)
Deformación para un tiempo t (Juárez Badillo y Rico, 1976) Pt U P U = grado o porcentaje de consolidación primaria
(11)
O bien P
Por otra parte, la ley de Hooke establece que
z
U = F (T) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
(14)
Deméneghi, A
T
C vt
z e 2
(15)
T = factor tiempo Cv = coeficiente de consolidación Δze = espesor efectivo del estrato que se está consolidando
a b t N St a z ln a b N
(20)
σz
4.3 Consolidación secundaria
Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 4 (unidad Z; Zeevaert, 1986), que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez Φ N y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo.
N
2
En el amortiguador N
N N N
(16)
En el amortiguador 2
2
a
σz
2 b t
Figura 4. Modelo de viscosidad intergranular. Unidad Z (Zeevaert, 1986)
Por equilibrio z = N + 2
(17)
Como los amortiguadores están en paralelo
N
St N 2
(18)
Sustituyendo en la ecuación 17
a
a
N
z b t
(19)
N
z b t
(21)
Por otra parte ln x = 2.31 log 10 x = 2.31 log x Tomando en cuenta un gran número de modelos Z en serie
Considerando z = constante, integramos la ecuación 19 St a z ln b t
a
a t N St a z ln a N
1 b t St a N
N
N
St
Reemplazando en la ecuación 20
z
St
1
Para t = 0 → N = z, de donde b = 0
b t z N 2 N a
1
En el modelo de Newton, de acuerdo con las ecuaciones 16 y 19 a
a
t
N 0
St 2.31a z log1
N t a
Pero St
St
z o
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(22)
Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas
Acs Por lo tanto
z
C pa ln1 t z o
(30)
O bien
St 2.31a z z o log1
N t a
(23)
C t 1 exp
z o Acs pa
δSt = Ct log [1 + λ t]
z
(31)
(24) También
siendo Ct = 2.31 ā (Δzo) z
N a
(25)
(26)
E cs
C t
z z o C t
z z o E cs
(32)
(33)
La ecuación 23 la podemos poner de la siguiente forma Ecs = Acs pa
St C t log1
2
N C v z e 2 a z e C v
(34)
t
5 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS
SENSITIVAS
Pero (ecuación 14)
5.1 Nota preliminar
T
C vt
Como señalamos antes, la deformación de un elemento de suelo, en el tramo “cementado” de la curva de compresibilidad (figura 1), está dada por la ecuación 10
2
z e
N z e 2 St C t log1 T a C v St C t log1 T
(27)
donde
N z e 2 a
C v
(28)
Por otra parte, de la ecuación 6 despejamos A A
z
pa ln1 z z o
(29)
t Pt St
(35)
t P U C t log1 T
(36)
La compresión por consolidación primaria la calculamos usando las ecuaciones 11 ó 12 y la ecuación 14. La deformación por consolidación secundaria la obtenemos utilizando las ecuaciones 27 y 31. 5.2 Determinación de propiedades
Desde el punto de vista práctico, distinguimos tres formas de curvas de consolidación: tipo I, tipo II y suelos con cavidades, las cuales se exhiben en las figuras 5, 6 y 7, respectivamente. Por razones de espacio, veremos como ilustración únicamente la determinación de propiedades para curvas tipo I (figura 5). En esta clase de curvas el módulo ξ = 5 (Zeevaert, 1986). En la curva de consolidación se toman dos puntos para tiempos grandes. En la recta de consolidación secundaria
Definimos Acs de la siguiente forma
1 T 2 1 T 1
t 2 t 1 C t log
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Deméneghi, A
δB = δP + Ct log [1 + 5(2)]
T 2 t C t log 2 T 1 t 1
t 2 t 1 C t log
(37)
δP = δB – 1.04 C t
(39)
A p se obtiene de la ecuación 11 t (log)
tB
10
1
100
1000
10000
100000 t (s)
80 100
B
B o t n e i m a z a l p s e d
120 140
160
n ó i c a m r o f e D
Figura 5. Curva de consolidación tipo I Figura 7. Curva de consolidación. Suelo con cavidades CURVA TIPO II
tB
t (log)
A P
B B
pa ln1 P z o
(40)
Para U = 50%, T = 0.197
o t n e i m a z a l p s e d
δ50 = δP/2 + Ct log [1 + 5(0.197)] δ50 = δP/2 + 0.298 C t
(41)
Haciendo U = 50% en la ecuación 15, T = 0.197
Figura 6. Curva de consolidación tipo II
C t
z
t 2 t 1
t log 2 t 1
C v (38)
0.197 z e 2 t 50
t50 lo medimos directamente en la curva de consolidación con δ50.
Por otra parte, para U = 100%, T ≈ 2 Sea δB = deformación correspondiente al 100% de consolidación primaria. Reemplazando en la ecuación 36
(42)
5.3 Ejemplos Ejemplo 1
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas
Sea la curva de consolidación de la figura E-1 (Zeevaert, 1973), para la cual: p vo’ = 0.8 kg/cm 2, z = 0.3 kg/cm 2, zo = 1.675 cm. Determinar las propiedades A p, Acs y Cv.
0.1970.83752 C v 0.001063cm2 / s 130
Solución
En la curva de la figura E-1 medimos δB = 0.0185 cm tB = 750 s δt1 = 0.025 cm, t 1 = 17 000 s δt2 = 0.028 cm, t 2 = 80 000 s Reemplazando en las ecuaciones 38 y 30 C t
Ejemplo 2
Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-2, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
0.028 0.025 0.00446cm 80000 log 17000
Acs
NAF 2m
1m
Excavación
Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3
1m
20 m q = 70 kPa
0.3 109.2 0.00446 1.03 ln1 1.675
3m
C v = 0. 00 10 6 cm 2/ s Ap = 57.3 Acs = 110.6 ξ = 5
A rc il la s en si ti va Gamma sat = 14 kN/m3 10 m Arena compacta PLANTA DEL EDIFICIO
Figura E-2. Estratigrafía y propiedades. Ejemplo 2 Solución
E cs
z z o C t
10
1
El incremento neto de carga vale: q n = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa
0.31.675 112.67kg / cm 2 0.00446
100
1000
10000
100000 t (s)
100
Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria. Usamos la ecuación 11
200
30.607 3 0.0158m 57 . 3 101 . 3
P 1 exp
300
Figura E-1. Curva de consolidación. Ejemplo 1
Reemplazamos en las ecuaciones 39 y 40 δP = 0.0185 – 1.04(0.00446) = 0.01386 cm A P
E p
0.3 35.1 0.01386 1.03 ln1 1.675
z z o p
0.31.675 36.26kg / cm 2 0.01386
Sustituyendo en las ecuaciones 41 y 42 δ50 = 0.00693 + 0.298(0.00446) = 0.00826 cm En la curva de consolidación medimos: t 50 = 130 s
O bien, con E p = 5805 kPa p
z z o E p
30.6073 0.0158m 5805
P = 1.58 cm
Utilizamos la ecuación 15 T
0.0010615552000 0.7327 1502
U = 86.5% Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 6 meses = 1.58(86.5/100) = 1.36 cm Consolidación secundaria Usamos la ecuación 31
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Deméneghi, A
30 .607 3 0 . 00818 m 110 . 6 101 . 3
C t 1 exp
σcs = 10400 kPa σcv = 0.00199 cm 2/s
O bien, con E cs = 11204 kPa
En la tabla 1 se exhiben los valores desfavorables de las propiedades de deformación a largo plazo de la arcilla de la ciudad de México, en función del nivel de confianza α.
C t
z z o E cs
30.6073 0.00818m 11204
Tabla 1. Módulos de deformación desfavorables
Ct = 0.818 cm Reemplazamos en la ecuación 27 St 0.818 log1 50.7327 0.547cm t = 1.36 + 0.547 = 1.907 cm
Nivel de confianza α 2.5 5 10 15 20 25 30 40 50
Tiempo igual a un año: t = 365.25(86400) = 31 557 600 s T
0.00106315557600 1.487 1502
U = 100% (tabla 1) Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 1 año = 1.58(1) = 1.58 cm St = 0.818 log (1 + 5(1.487)) = 0.758 cm t = 1.58 + 0.758 = 2.34 cm
E p
Ecs
Cv
kPa 1924 3013 4270 5118 5791 6369 6888 7826 8702
kPa -1660 5438 7988 10014 11752 13313 16132 18767
cm2/s 0.00729 0.00666 0.00594 0.00545 0.00506 0.00473 0.00443 0.00389 0.00338
Los módulos adimensionales A P y Acs se obtienen A p
E P pa
(44)
(45)
6 CORRELACIONES ESTADÍSTICAS
Para fines preliminares de análisis, se presentan a continuación valores estadísticos de los módulos de deformación de la arcilla de la ciudad de México. Las siguientes propiedades se deben usar con cautela, pues el número de datos con que se contó fue reducido. Se encontraron las siguientes magnitudes: Valores medios: E p = 8702 kPa Ecs = 18767 kPa Cv = 0.00338 cm 2/s Un valor desfavorable está dado por Valor desfavorable = μ - zασ
(43)
donde μ = media de la población, z α = variable aleatoria con distribución normal, y σ = desviación estándar de la población. μ se toma igual al valor medio de la muestra, y para la arcilla de la ciudad de México se obtienen los siguientes valores de σ σP = 3458 kPa
Acs
E cs pa
7 CONCLUSIONES
a) La estructura floculenta de las arcillas sensitivas da lugar a que su rigidez, en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1), dependa más del pegamento entre las partículas que de la presión vertical efectiva en el lugar. b) La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva, en el tramo “cementado”, se debe tanto al fenómeno de consolidación primaria como al fenómeno de consolidación secundaria. La magnitud de esta última es del mismo orden que la magnitud de la consolidación primaria. c) En este trabajo se presentó un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas (como la arcilla de la ciudad de México), en la rama “cementada”, que toma en cuenta la estructura floculenta del
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Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas
suelo, los fenómenos de consolidación primaria y secundaria, así como las diferentes curvas de consolidación de la arcilla (tipo I, tipo II y suelos con cavidades).
REFERENCIAS Bjerrum, L (1967). “Engineering geology of norwegian normallly-consolidated marine clays as related to settlements of buildings”, Géotechnique, 17: 81-118 Bjerrum, L (1973). “Problems of soil mechanics and construction on soft clays”, Proc VIII Int Conf Soil Mech Found Eng : 111-159, Moscú Juárez Badillo, E y Rico, A (1976). Mecánica de Suelos, tomo 1, Limusa, México, D F Mitchell, J K (1993). Fundamentals of Soil Behavior , 2 nd ed, Wiley Reséndiz, D, Springall, G, Rodríguez, J M y Esquivel, R (1970). “Información reciente sobre las características del subsuelo y la práctica de la ingeniería de cimentaciones en la ciudad de México”, V Reunión Nacional Mec Suelos: IV-1 a IV-59, Soc Mex Mec Suelos, México, D F Santoyo, E, Riqing, L X y Ovando, E (1989). El Cono en la Exploración Geotécnica, TGC Geotecnia Sowers, G B y Sowers, G F (1975). Introducción a la Mecánica de Suelos y Cimentaciones, Limusa Tavenas, F y Leroueil, S (1987). “Laboratory and in-situ stress-strain-time behavior of soft clays: a state-of-theart”, Proc Int Symp Geot Eng on Soft Soils, vol 2: 3-48, Soc Mex Mec Suelos, México, D F Terzaghi, K y Peck, R B (1967). Soil Mechanics in Engineering Practice, 2nd ed, Wiley Zeevaert, L (1973). Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”, Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, STP 892: 257-281, R N Yong y F C Townsend eds, Filadelfia
(XXV RNMSIG Artículo ADC 08210)
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembr e 14 a 16, 2012 – Cancún, Quin tana Roo
Curvas de consolidación en arcillas sensitivas Consolidation curves in sensitive clays Agu stín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA 2 1 2
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México
RESUMEN: Se presentan procedimientos para la determinación de propiedades mecánicas de deformación para dos formas de curvas de consolidación en arcillas sensitivas (tipo II y suelos con cavidades). Se toma en cuenta en este artículo que, en arcillas sensitivas, además del fenómeno de consolidación primaria, ocurre una compresión significativa por consolidación secundaria, la cual debe considerarse para el cálculo de la deformación del suelo. Se incluyen ejemplos de aplicación de cómputo de asentamientos de estructuras apoyadas en arcillas s ensitivas. ABSTRACT: Procedures for the determination of mechanical properties in two consolidation curves of sensitive clays (type II and soils with cavities), are presented. We consider the effect of primary and secondary consolidation in the compression of sensitive clays, in order to compute deformations in these soils. Examples of settlement estimation are included.
1 INTRODUCCIÓN Las arcillas sensitivas son el resultado de la sedimentación de partículas finas en el fondo de lagos de agua salada o en el fondo marino. La salinidad del agua da lugar a la formación de estructuras floculentas, que le confieren a estos suelos un comportamiento peculiar: mientras no se destruya la unión entre partículas, la deformación unitaria de estas arcillas es relativamente pequeña; por otra parte, además de la consolidación primaria, estos materiales exhiben una compresión significativa por consolidación secundaria. En arcillas sensitivas las curvas de consolidación presentan diferentes formas. Zeevaert (1973, 1986) distingue tres de ellas: curvas tipo I, curvas tipo II y suelos con cavidades. En un artículo anterior (Deméneghi, 2010) tratamos las curvas tipo I, y en este artículo estudiaremos el comportamiento de las curvas tipo II (figura 1) y de los suelos finos con cavidades (figura 2). Como es usual, presentamos primero expresiones derivadas de la teoría de la consolidación para la predicción de las compresiones por consolidaciones primaria y secundaria, para luego ver la manera de determinar las propiedades mecánicas del suelo en el laboratorio, y, finalmente, incluimos ejemplos de aplicación para el cálculo de la deformación de un estrato de arcilla sensitiva en el campo.
Tiempo, s
10
10²
10³
10
4
10 5
0
) m ( n ó i c a m r o f e D
50
100
tB=500sec
=98
B
150
200
Figura 1. Curva de consolidación tipo II (Zeevaert, 1986)
2 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS SENSITIVAS La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva se obtiene con la siguiente expresión
t Pt St
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(1)
2
Curvas de consolidación en arcillas sensitivas
donde ΔδPt = deformación por consolidación primaria y ΔδSt = deformación por consolidación secundaria.
10
1
100
Tiempo, s 1000
10000
σz
100000
N
2
60 m
80
100
, n ó 120 i c a 140 m r o 160 f e D180
200
σz
Figura 2. Curva de consolidación. Suelos con cavidades (Zeevaert, 1973)
La deformación por consolidación primaria se calcula
P t P U
(2)
siendo ΔδP la deformación al término de la consolidación primaria y U el grado de consolidación; U a su vez es función del factor tiempo T, que vale T
cv t
z e
2
(3)
cv = coeficiente de consolidación, Δze = espesor efectivo de drenaje del estrato y t = tiempo después de aplicada la carga al estrato Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 3 (unidad Z; Zeevaert, 1986), que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. En el amortiguador N
Figura 3. Modelo de consolidación secundaria. Unidad Z (Zeevaert, 1986)
Estableciendo el equilibro de fuerzas y de compatibilidad de deformaciones verticales en el modelo de la figura 3 (Zeevaert, 1986; Deméneghi, 2010), arribamos a la siguiente expresión para el cálculo de la compresión por consolidación secundaria
St C t log 1 _ N t a
(4)
t St C t 1
(5)
donde
a
N
(6)
N N = fluidez del agua de los macroporos,
en todo el elemento
= fluidez del agua de los microporos, en todo el elemento a a
N N N
En el amortiguador 2
2
a
2 b t
Ct es la deformación entre dos ciclos consecutivos del tiempo, en el tramo recto de la consolidación secundaria, dibujada ésta en escala semilogarítmica (logaritmo en base 10). C t se puede obtener también como la pendiente del tramo recto; así, si (t 1, Δδt1) y (t2, Δδt2) son dos puntos en dicho tramo, entonces, de acuerdo con la ecuación 5
St 2 St 1 C t log
1 1
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t 2 C log t 2 t t 1 t 1
DEMÉNEGHI, A. et al.
t 2 t 1
C t
t log 2 t 1
(7)
Por otra parte, la ecuación 4 la podemos poner de la siguiente forma _ 2 N cv z e t St C t log 1 _ 2 c z v e a
los resultados de pruebas de consolidación unidimensional practicadas en muestras inalteradas obtenidas del estrato de arcilla sensitiva. Ya con estas propiedades, la deformación del estrato de suelo en el campo se calcula usando la ecuación 1. En los siguientes incisos veremos la forma de determinar las propiedades de deformación para curvas tipo II y para suelos con cavidades.
3 CURVA DE CONSOLIDACIÓN TIPO II 3.1 Determinación de las propiedades de deformación
Tomando en cuenta la ecuación 3
Primeramente hallamos la deformación C t con la expresión 7
_ 2 N z e T St C t log 1 _ cv a
C t
St C t log1 T
(8)
t 2 t 1
t log 2 t 1
N z e
2
a
C v
(9)
Definimos además los módulos de deformación E P
z z o
P
1 mv
(10)
mv = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación primaria E cs
z z o C t
1 mt
(11)
De las expresiones anteriores despejamos ΔδP y Ct
C t
z z o E P
z z o E cs
cv t 2 z e
t P U C t log 1
t t P U C t log 1 2 z e cv t t P U C t log 1 II
(14)
siendo
mt = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación secundaria
P
(7)
La ecuación 1 se puede poner
donde
3
(12)
II
z e 2 cv
Sea el punto (tB, B) el punto donde termina la consolidación primaria (U =1), y (tF, F) el punto correspondiente al máximo tiempo medido. Entonces 1
(13)
F B C t log
En función del tipo de curva, las propiedades de deformación cv, ξ, λ, E P y Ecs se obtienen a partir de
(15)
1
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t F II t B II
4
Curvas de consolidación en arcillas sensitivas δt2 = δF =0.0153 cm, t2 = tF = 100 000 s
F B C t log
Sustituimos en las ecuaciones 7, 11 y 18
II t F II t B
Despejamos τII
C t F t B 10 II F
B
t
F
B
C t
10
(18)
1
Calculamos ΔδP con la ecuación 14, usando las coordenadas del punto B
t B P C t log 1 B II
(19)
Como una primera aproximación, con ΔδP/2, (U = 50%), medimos t 50 en la curva de consolidación; calculamos cv despejándolo de la ecuación 3 y ξ despejándolo de la ecuación 15 2
cv
t 50
z e 2
Ahora 50
cv P 2
0.197 z e
2
t 50
(20)
(21)
0.52.086 0.0028
372.5
kg cm2
0.0098 0.0153 0 . 0028 100000 50010 II 592 s 0.0153 0.0098 10 0.0028 1
500 P 0.0098 0.0028 log 1 592 0.009056cm y EP con la igualdad 10 0.52.086
E P
0.009056
115.17
kg cm2
Como una primera aproximación, con ΔδP/2 = 0.004528 cm, en la figura 1 medimos: t 50 = 38 s. Reemplazando en las expresiones 20 y 21 2
cv
C t log1 0.197
(22)
La ecuación 22 se aplica repetidamente para medir t50 en la curva de consolidación, calculando c v y ξ hasta que la magnitud de 50 no cambie entre dos iteraciones sucesivas. 3.2 Ejemplo Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva tipo II de la figura 1 (Zeevaert, 1986); p vo’ = 0.5 kg/cm2, σz = 0.5 kg/cm2, zo = 2.086 cm. Solución
E cs
Calculamos ΔδP con la ecuación 19
t P B C t log 1 B II
T z e
0.0153 0.0130 0.0028cm 100000 log 15100
C t
En la curva de la figura E-6 medimos δB = 98 μm = 0.098 mm = 0.0098 cm tB = 500 s δt1 = 0.0130 cm, t 1 = 15 100 s
0.1971.043
0.00564
38
cm
2
s
1.0432 0.3242 5920.00564 Ahora (ecuación 22) 50
0.009056
2 0.004603cm
0.0028 log1 0.1970.3242
Volvemos a la curva de consolidación y medimos t 50 = 40 s 0.1971.043
2
cv
40
0.005358
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
cm2 s
DEMÉNEGHI, A. et al.
Por otra parte, relaciones
2
1.043 0.343 5920.005358
a
Sustituyendo en la ecuación 22 50
0.009056
4 CURVA DE CONSOLIDACIÓN EN SUELOS CON CAVIDADES 4.1 Determinación de las propiedades de deformación
mt 2.3 av
Arribamos a la siguiente expresión
mt
z e 2
4.6mv
cv
(13)
cv
t P
10
C t
z
4.6 E cs
cv
2
ecpo
Dividiendo miembro a miembro
lab
z
2
(24)
ecpo
z elab 2
cv
z e 2
z
2
cpo
1
En este tipo de depósitos requerimos relacionar el tiempo de consolidación en el laboratorio τlab con el tiempo de consolidación en el campo τcpo, para lo cual procedemos de la siguiente forma: En la teoría de la consolidación se demuestra que la fluidez del agua libre del suelo N vale (Zeevaert, 1973)
N 2mv
E P
Es decir
t
cpo
cpo
En la ecuación 23 despejamos τ
cv
4.6 E cs
y en el campo
t log 2 t 1
4.6 E cs
z econ 2
t t P C t log1
Ct se obtiene en forma similar al inciso anterior, con la ecuación 13
z e 2
E P
lab
(23)
E P
Observamos que, considerando en un suelo constantes las propiedades EP, E cs y cv, entonces el tiempo, τ, depende del espesor de la muestra en el laboratorio o del espesor del estrato en el sitio, es decir, en el consolidómetro
En suelos con cavidades, la consolidación primaria ocurre rápidamente, por lo que la ecuación 1 queda
t 2 t 1
siguientes
N
Por lo tanto, las propiedades de deformación son: E p = 115.17 kg/cm2, E cs = 372.5 kg/cm2, c v = 0.005358 cm2/2, ξ = 0.343. O bien: m v = 1/EP = 8.68x10-3 cm2/kg, mt = 1/Ecs = 2.68x10-3 cm2/kg.
C t
las
0.0028 log1 0.1970.343
2 0.004608cm 50 = 0.004608 cm ≈ 0.004603 cm
considerando
5
ecpo
z elab 2
lab
(25)
(26)
Sea
cs '
lab
z elab 2
Entonces
cpo cs ' z e cpo 2
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(27)
6
Curvas de consolidación en arcillas sensitivas
Así, la deformación del estrato de suelo in situ la obtenemos
t St C t log1 cpo
(28)
Solución
4.2 Ejemplo. Suelo con cavidades Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva con cavidades de la figura 2 (Zeevaert, 1973); pvo’ = 0.42 kg/cm2, σz = 0.38 kg/cm2, zo = 2.0 cm. Solución
En la curva de la figura 2 medimos δP = 88 μm = 0.088 mm = 0.0088 cm δt1 = 0.0140 cm, t 1 = 7000 s δt2 = 0.0160 cm, t 2 = 30000 s Usamos las ecuaciones 10, 7 y 11 E P
0.382
El incremento neto de carga vale: q n = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa Tiempo igual a 6 meses
t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria. Usamos la ecuación 11
P
z z o E P
30.6073 6520
86.36
0.382 0.00316
kg
240.51
kg
T
cv t
z e
2
0.0010815552000
1502
Pt P U 1.40.869 1.22cm (ecuación 2)
cm 2
7000 0.00316
10
NAF 2m
1
30000
158.73 s
0.0160 0.0088
10
0.00316
3m
Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3 cv = 0.00106 cm2/s Ep = 5730 kPa Ecs = 11060 kPa ξ = 0.35
1
Promediamos los dos valores anteriores
1m
Excavación
1m
Para t2 = 30000 s
lab
162.07 s
0.0140 0.0088
0.746
U = 86.9%
Para t1 = 7000 s (ecuación 24)
lab
0.01408m 1.4cm
Con la igualdad 3
0.0088 cm2 0.0160 0.0140 C t 0.00316cm 30000 log 7000
E cs
5 CÁLCULO DE ASENTAMIENTOS 5.1 Ejemplo. Curva tipo II Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 4, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
Arcilla sensit iv a Gamma sat = 14 kN/m3
Arena compacta ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES
τlab = 160.4 s
Reemplazando en la ecuación 26
cs '
160.4 2
1
160.4
s cm
q = 70 kPa
20 m
10 m
2
PLANTA DEL EDIFICIO
Figura 4. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Curva de consolidación tipo II
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
DEMÉNEGHI, A. et al.
C t
z z o
Usamos las ecuaciones 7 y 8 C t
z z o
E cs
30.6073 9840
E cs
30.6073 24210
NAF
St C t log1 T 0.933 log1 0.350.746 0.094cm
3m
Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3 Ep = 8630 kPa Ecs = 24210 kPa τcs' = 148 s/cm2
Tiempo igual a cinco años:
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES
P 1.4cm
z e 2
Arcilla sensitiva Gamma sat = 14 kN/m3
Arena compacta
t =5(365.25)(86400) = 157788000 s
1m
Excavación
1m
6 meses 1.22 0.094 1.314cm
cv t
0.00379m 0.379cm
0.00933m 0.933cm 2m
T
7
q = 70 kPa
0.00108157788000
1502
7.57 2
20 m
10 m
PLANTA DEL EDIFICIO
U = 100%
Pt 1.4cm
Figura 5. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Suelo con cavidades
C t 0.933cm
Tiempo t = 50(365.25)(86400) = 1 577 880 000 s
St C t log1 T 0.933 log1 0.357.57
Usamos las igualdades 27 y 28
0.524cm
cpo cs ' z e cpo 148150 3330000s
5 años 1.4 0.52 1.92cm 5.2 Ejemplo. Suelo con cavidades Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 5, calcular el asentamiento 50 años después de construido el inmueble, debido a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
2
t 1577880000 0.379 log1 St C t log1 3330000 cpo 1.014cm 50 años 1.06 1.014 2.074cm
Solución
El incremento neto de carga vale: q n = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa De acuerdo con la expresiones 11 y 12
P
z z o E P
30.6073 8630
2
0.0106m 1.06cm
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
8
Curvas de consolidación en arcillas sensitivas
6 CONCLUSIONES De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, se concluye lo siguiente: a) En arcillas sensitivas se pueden predecir las deformaciones por consolidación primaria y por consolidación secundaria b) Las propiedades de deformación del suelo se pueden determinar en el laboratorio mediante pruebas de consolidación unidimensional, practicadas en muestras inalteradas extraídas de un estrato de arcilla sensitiva. En este artículo se expone el procedimiento para obtener estas propiedades en curvas de consolidación de forma tipo II y en suelos finos con cavidades c) Se incluyen ejemplos de aplicación para la estimación de la compresión a largo plazo de un estrato formado por arcilla sensitiva
REFERENCIAS Deméneghi, A (2010). “Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas”, Memorias XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica, Publicación SMMS,
Acapulco, Gro: 353-361 Zeevaert, L (1973). Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, New York Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”, Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, STP 892: 257-281. R N Yong y F C Townsend eds, Filadelfia
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Deformations assessment in expansive clays An approche au calcul de déformations en argiles gonflées A. Deméneghi Faculty of Engineering, National University of Mexico
ABSTRACT A procedure for deformations assessment of expansive clays is presented. Constitutive equations for compression due to external loads and for deformations due to changes in suction values are developed. The movements of a foundation in expansive clay are the algebraic sum of the compression produced by external loads and the deformation produced by suction changes. Examples for assessment of soil properties and deformations in expansive clays are presented RÉSUMÉ Ce travail propose une méthode de calcul de déformations en argiles gonflées. Une loi de comportement a eté développé pour prendre en compte les charges et les variations de succion lesquelles provoque la déformation du sol. Il faut noter que les déformations d’une fondation sur argiles gonflées sont la somme algébrique de deux termes: les déformations provoquées pour les charges extérieures et pour les changes de succion. L’application de la méthode proposée se fait au moyen d’un problème pratique. Keywords : expansive clay, suction, constitutive equations, deformations assessment, soil properties 1 INTRODUCTION
pho = horizontal normal stress
When expansive clay is overloaded by the construction of a civil engineering structure, it suffers a compression. Moreover, when this clay undergoes a change in soil suction magnitude, it swells or it shrinks. Therefore, deformation of swelling clay is the algebraic sum of compression due to external load increments plus deformations caused by soil suction variations. In this paper, a procedure for the prediction of soil movements due to both phenomena is presented. Examples of soil properties and deformation assessments are included.
But
2 DEFORMATIONS ASSESSMENT
A civil engineering structure causes over a soil element the load increments σz, σx and σy shown in figure 1b. Let pbeo be constant for a while. Strain of soil element is
2.1
Constitutive equations
Deformations of unsaturated clay are due to: (1) stress increments caused by the load of a structure, and (2) suction variations in subsoil. Strains due to loads of a structure are calculated with the tools of soil mechanics. Decrease of suction magnitude causes an increment in the double layer of the particles of soil and, in some cases, water molecules move into clay particles. Therefore, soil deformation is the algebraic sum of deformation due to external load increments plus deformation due to changes in soil suction.
pho = Ko pvo, then
pco = (1/3)(1 + 2Ko) pvo If soil is cemented and is subjected to soil suction p s, the initial confinement pressure pbeo is (figure 1a) n pbeo = pcie + pco + b5 pa (p /p s a)
pcie = internal pressure due to cementation; ps = soil suction magnitude, b5 ≈ 1, pa = atmospheric pressure = 101.3 kPa
εz ≅ (1/A) [σz - ν (σx + σy)]r
A = rigidity modulus of soil Consider a small thickness element Δzo. Then a1 = σx / σz
a2 = σy / σz
(3)
σx = a1 σz
σy = a2 σz
(4)
Substitute equations 4 in equation 2
Consider a soil element subjected to load due to weight of soil. Initial confined pressure is
εz ≅ (1/A) {σz [1 - ν (a1 + a2)] }r
pco =
3
pvo = vertical normal stress
(2)
ν = Poisson modulus
2.2 Deformation due to external load increments
pvo + pho + pho
(1)
(5)
Let f = 1 - ν (a1 + a2)
(6)
εz ≅ (1/A) (f σz )r
(7)
Proceedings of the 17 th International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering M. Hamza et al. (Eds.) © 2009 IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-031-5-719
719
720
A. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays z
∫
pbeo
∆ z f
∆ z o
pbeo
pbeo
d ( ∆ z )
∆ z
=−
σ z
∫0
1
A pbeo + cσ z
⎛ p + cσ z ⎞ ⎟ = ⎜⎜ beo ∆ z o ⎝ pbeo ⎠⎟
∆ z f
y pbeo
d ( f σ z )
− f / cA
(13)
But (figure 2) x
pbeo pbeo
∆zf = ∆zo + ∆w ,
(a) Initial confinement pressure
∆z / f ∆zo = 1 + ∆w/ ∆zo
(14)
∆w/ ∆zo = ∆z / f ∆zo – 1
z
(15)
Let δz = - ∆w
σz σx
σy
ΔW
y σy
ΔZf ΔZo
σx
x
σz
(b) Stress increments due to presence of an engineering structure
Figure 1. Loads over a soil element Figure 2. Deformation of a soil element
Consider now the action of confining stress. For the stress state shown in figure 1, confining pressure is
⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cA⎤ ⎢ ⎜ beo z ⎟⎟ ⎥ (∆ zo ) δ z = 1−⎜ ⎢⎣ ⎝ pbeo ⎠ ⎥⎦
pbe = pbeo + ∆pbe ∆pbe = (1/3) (σz + σx + σy) ∆pbe = b1 σz + b2 (σx + σy)
(8)
where b1 = 1/3 and b2 = 1/3 .
(9)
c = b1 + b2 (a1 + a2)
(10)
pbe = pbeo + c σz
(11)
We propose the following constitutive equation for the calculation of strain in the soil element of figure 1b (Deméneghi 2003) r
⎛ f σ z ⎞ ⎛ f σ z ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ d ⎜⎜ ⎟⎟ p p 1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ d (∆ z ) =− s A ⎛ p + cσ ⎞ ∆ z z ⎜⎜ beo ⎟⎟ p a ⎝ ⎠
In expansive clays the state stress is at the recompression line or at the normally consolidation line. Then For recompression line
Substitute equations 4 in equation 8 ∆pbe = c σz
(16)
(12)
A, r and s are soil properties. For practical purposes we can take in cohesive soils r = 0 and s = 1. Integrate equation 12: for σz varying from 0 to σz, element thickness changes from Δzo a Δzf . Then
⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cAs⎤ ⎢ ⎜ beo z ⎟⎟ ⎥ (∆ zo ) δ z = 1−⎜ p ⎢⎣ ⎝ beo ⎠ ⎥⎦
(17)
For normally consolidation line
⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cAvr ⎤ ⎢ ⎜ beo z ⎟⎟ ⎥ (∆ zo ) δ z = 1−⎜ ⎢⎣ ⎝ pbeo ⎠ ⎥⎦
2.3
(18)
Strain due to adsorption of water molecules in soil particles
In clayey soils water molecules are introduced into the solid grains; when a molecule of water introduces into two platelets of a soil particle, its electric charges are pulled apart, becoming more dipolar and attracting other water molecules; additionally, the electric charges on the surface of the platelets also concentrate, pushing away other platelets and increasing the number of molecules between them, resulting in the increase of the volume of the particles (Alonso et al. 2008). Moreover, when suction decreases the double layer of the particles
721
A. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays
increases. Therefore, soil suffers volumetric changes from suction variations. For computation of this strain we propose the following constitutive equation
1 d (b4 ps ) =− V Ba pc + b4 ps
dV
e
eA
A
Recompression
Suction = 0 (Sr = 100%)
Water content increase
(19)
eo
O
B Normal consolidation line (Avr)
V = soil element volume, b4 ≈ 1, Ba = soil property Swelling line (As)
pc = pco + σc
(20)
σc = (1/3) (σz + σx + σy)
Δpcs
pcp = preconsolidation isotropic pressure
(21) pco
When suction changes from pso to psf (pso < psf ), soil element thickness diminishes from Vo to Vf . Then
∫
V f
V o
dV V
p sf
∫
=
p so
−
1
⎛ pc + b4 psf ⎞ ⎟ = ⎜⎜ V o ⎝ pc + b4 pso ⎠⎟
−1 / Ba
(22)
εva = ∆V/Vo = (Vo – Vf )/Vo = 1 – V /V f o
⎛ pc + b4 psf ⎞ ⎟⎟ p b p + ⎝ c 4 so ⎠
(23)
Equation 23 gives volumetric strain of soil element. If εva is positive, the element contracts, but if εva is negative, the element swells. For practical purposes b4 ≅ 1. In engineering practice we need compute vertical strain εza. This value is obtained with the following procedure εva ≅ εxa + εya + εza
If there are no cracks in the subsoil: εxa ≅ εya ≅ 0 and εza ≅ εva If there is a crack pattern in one direction: εya ≅ 0, εxa ≅ εza y εza ≅ εva /2 If there are two crack patterns: εxa ≅ εya ≅ εza y εza ≅ εva /3 Magnitudes of suction are measured using field or laboratory essays. In approximate way, we can assess the value of suction in the field with an oedometer test. The essay consists to add water into soil specimen and then apply loads when the soil is fully saturated (figure 3). Then so
pso = pa (∆pcs /b5pa)1/n
(24)
and
⎛
⎞ ⎟⎟ p + b4 pso ⎠ Ba = − ⎝ co ⎛ 1 + e A ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ e 1 + o ⎠ ⎝
⎛ pc 2 ⎞ ⎟⎟ p 3(1 − K o ) ⎝ c1 ⎠ As = − 1 + K o ⎛ 1 + e2 ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ e 1 + 1 ⎠ ⎝
ln⎜⎜
(26)
Avr is obtained in a similar way.
−1 / Ba
ε va = 1 − ⎜⎜
ln⎜⎜
Figure 3. Oedometer test
Modulus As is obtained in the swelling branch, considering as is usual in expansive clays that pcie = 0. Let (pc1, e1) and (pc2, e2) be two points in the swelling line (pc2 > pc1). Then
Let εva be the volumetric strain
∆pcs = b5 pa (pso /pa)n,
ln pc
d (b4 ps )
Ba pc + b4 ps
V f
pcp pcB
pco
(25)
As we have commented, deformation of expansive clay is the algebraic sum of settlement due to external load increments plus deformation due to absorption of water molecules in the soil particles. 3 EXAMPLES 3.1
Soil properties assessment
In an oedometer test the following results were obtained: pvo = 12.26 kPa, eo = 1.208, eA = 1.449, pvB = 186.39 kPa, eB = 1.2, pvp = 88.29 kPa. In the swelling line {Point (pv [kPa], e)}: 1 (58.17, 1.041), 2 (119.39, 1.023). In the normal consolidation line: 1 (272.42, 1.146), 2 (578.59, 1.002). Calculate initial suction magnitude and properties Ba, As and Avr. Consider Ko = 0.7, b4 = b5 = 1, n = 0.75, pa = 101.3 kPa. Solution
pco = (1+2Ko) pvo / 3 = (1+2(0.7))(12.26)/3 = 9.808 kPa pcB = (1+2Ko) pvB / 3 = (1+2(0.7))(1.9)/3 = 149.112 kPa ∆pcs = pcB - pco = 149.112 - 9.808 = 139.304 kPa Substitute in equations 24 and 25 pso = 101.3 (139.304/(1)(101.3))1/0.75 = 154.91 kPa
⎛
⎞ 9.808 ⎟⎟ 9 . 808 ( 1 ) 154 . 91 + ⎠ = 27.23 Ba = − ⎝ 1 + 1.449 ⎞ ln⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1.208 ⎠
ln⎜⎜
In the swelling line (equation 26)
722
A. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays
119.39 ⎞ ln⎛ ⎜ ⎟ 3(1 − 0.7) ⎝ 58.17 ⎠ As = − = 42.97 1 + 0.7 ⎛ 1 + 1.023 ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1.041 ⎠ In normal consolidation line
578.59 ⎞ ln⎛ ⎜ ⎟ 3(1 − 0.7) ⎝ 272.42 ⎠ = 5.74 Avr = − 1 + 0.7 ln⎛ 1 + 1.002 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1.146 ⎠
Dense sand γ = 18 kN/m3
0.6 m
Clay γ = 15 kN/m3
0.6 m
Rock
Figure E-1. Deformation of an expansive clay
3.2 Deformation predictions A structure rests on a foundation slab of 8 per 16 m in plan, with a uniform load transfer to subsoil of 25 kPa. Construction of structure is in dry season, when suction in clay has a magnitude (ua – uw) = ps = 820 kPa. At the end of the rainy season suction decreases to 60 kPa. Subsoil stratigraphy is shown in figure E-1. Soil properties are: As = 39.8, Avr = 5.2, Ba = 31.7, n = 0.75, OCR = 8, Ko = 0.68, b4 = b 5 = 1, ν = 0.40, pcie = 0, pa = 101.3 kPa, pvp = 90 kPa. Compute the movements of foundation slab from dry to rainy season. Solution
Initial vertical soil pressure, at the middle of clay stratum is pvo = 18(0.6)+15(0.3) = 15.3 kPa Normal stress increments, at the middle of clay stratum are σz = 24.88 kPa σx = 17.50 kPa σy = 16.77 kPa Substitute in equations 10 and 6
c=
1 1 17.50 + 16.77 + = 0.792 3 3 24.88
f = 1 − 0.4
17.50 + 16.77 = 0.449 24.88
pco =
1 + 2(0.68) (15.3) = 12.036 kPa 3
pcp =
1 + 2(0.68) (90) = 70.8 kPa 3
Maximum compression occurs at the end of rainy season, when soil suction is 60 kPa. Using equations 1 and 21 pbeo = 0 + 12.036 + (1)(101.3) (60/101.3)0.75 = 80.43 kPa σc = (24.88+17.50+16.77)/3 = 19.72 kPa pbeo + σc = 80.43 + 31.54 = 100.15 kPa In view that pbeo + σc > pcp, settlement caused by external load increments occurs in the normal consolidation line. Using equation 18
⎡ ⎛ 80.43+0.792 (24.88) ⎞−0.449 / 0.792(5.2) ⎤ δ ⎟ ⎥ =1.42 cm z = ⎢1−⎜ 80.43 ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ Deformation due to absorption of water in soil. When suction decreases from 820 to 60 kPa, it follows an expansion of clay. Using equations 21, 20 and 23: σc = 19.72 kPa pc = 12.036 + 19.72 = 31.756 kPa ε va
⎛ 31.756 + (1)60 ⎞ ⎟⎟ = 1 − ⎜⎜ 31 . 756 1 820 + ( ) ⎝ ⎠
−1 / 31.7
= −0.0728
If there are no cracks in the subsoil: εza ≅ εva = -0.0728 Expansion due to absorption of water molecules is δza = -0.0728(60) = -4.37 cm At the end of the rainy season, the movement of foundation slab is the algebraic sum of settlement caused by external load plus deformation originated by absorption of water, i e: δz = 1.42 – 4.37 = -2.95 cm 4 CONCLUSIONS Taking into account that deformations of expansive clay are the algebraic sum of the compression due to external load increments (caused by the construction of a civil engineering structure) plus deformations produced by suctions changes in the soil, a procedure was presented for the calculation of both movements. Compression caused by external load increments is computed using equation 17 or equation 18, while deformations produced by soil suction variations are predicted utilizing equation 23. Examples for soil properties assessment and calculus of movements of a slab foundation in expansive clay are included. REFERENCES Alonso, E E, Rojas, E and Pinyol, N M 2008. Unsaturated soil mechanics, XXIV National Soil Mechanics Conference, Special Volume, pp 117-206, Mexican Society of Soil Mechanics, Aguascalientes, Ags, Mexico Deméneghi, A 2003, Cálculo de asentamientos en arenas, Revista de la Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos , México, D F
INCREMENTOS DE ESFUERZO EN LA MASA DE SUELO Agustín Deméneghi Colina *
SOLUCIÓN DE BOUSSINESQ En 1885 Boussinesq obtuvo la distribución de esfuerzos ocasionada por una carga concentrada P aplicada en la superficie de un medio seminfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico (figura 1). Los esfuerzos normales y cortante a la profundidad z están dados por 3P cos5 3 P z3 z = = 2 z2 2 R5
(1)
P cos2 r = [3 cos5 sen2 - (1 – 2 ) ] 2z2 1 + cos
(2)
P cos2 = - (1 – 2 ) [ cos3 - ] 2z2 1 + cos
(3)
3P rz = cos4 sen3 2 z2
(4)
= relación de Poisson del medio x
P
y
Psi
R
S ig ma r
Sigmaz
S ig ma th et a
z
INCREMENTOS DE ESFUERZO POR CARGA VERTICAL CONCENTRADA FIGURA 1
*
Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
2 CÍRCULO CARGADO Los esfuerzos producidos por un círculo sometido a una carga uniforme q a una profundidad z los obtenemos integrando la solución de Boussinesq para carga concentrada (figura 2). Así, para el esfuerzo normal vertical bajo el centro del círculo (figuras 2 y 3) 3dP z3 3 z3 (q d d) dz = = 2 (2 + z2)5/2 2 (2 + z2)5/2
z = oa
z3 q d d o2 2 (2 + z2)5/2
z3 z = q [ 1 - ] (a2 + z2)3/2
(5)
Procediendo en forma análoga (Yoder, 1959) obtenemos el esfuerzo normal radial (horizontal) bajo el centro del círculo (figura 3) q 2 (1 + ) z z3 r = [ 1 + 2 - + ] 2 (a2 + z2)1/2 (a2 + z2)3/2
(6)
3
Ejemplo
Determinar los esfuerzos normales vertical z y horizontal (radial) r , a una profundidad de 5 m, bajo el centro de un tanque circular de radio igual a 8 m, desplantado en la superficie del terreno, que transmite a éste una presión media de 90 kPa. Considere en el terreno de cimentación una relación de Poisson = 0.3. Solución
Empleando las ecuaciones 5 y 6, con q = 90 kPa, a = 8 m, = 0.3, z = 5 m, obtenemos z = 76.60 kPa, r = 16.69 kPa (Cscircargado)
Carta de Newmark
De la ecuación 5 despejamos el cociente (a/z): a = z
1 - 1 (1 - z/q)2/3
(7)
Hagamos z/q = 0.1 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0.27. Demos un valor fijo a z, digamos z = 4 cm, y tracemos un círculo de radio a = 0.27z = 0.27(4) = 1.08 cm (figura 4). Bajo el centro de este círculo, a la profundidad z = 4 cm, el esfuerzo normal vertical z = 0.1 q. Por ejemplo, si q = 20 kPa, el esfuerzo a z = 4 cm es z = 0.1(20) = 2 kPa.
4
Hagamos z/q = 0.2 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0.40. Sea z = 4 cm, y tracemos un círculo de radio a = 0.4z = 0.4(4) = 1.6 cm (figura 4). Bajo el centro de este círculo, a la profundidad z = 4 cm, el esfuerzo z = 0.2q. En la figura 4 vemos que cada faja o corona ocasiona un esfuerzo z/q = 0.1 bajo el centro del círculo. Si dividimos cada corona como es usual en 20 segmentos, apreciamos que cada segmento produce un incremento de esfuerzo igual a 0.1/20 = 0.005 de la presión q aplicada en la superficie. Trazamos a continuación las circunferencias correspondientes a magnitudes del cociente z/q de 0.3, 0.4, ... , 0.9, como se indica en la figura 5 (la relación a/z para z/q 1). A este gráfico se conoce como carta de Newmark, y se usa para calcular el esfuerzo z a la profundidad z ocasionado por un área cargada de cualquier forma, utilizando el siguiente procedimiento: el área se dibuja a la misma escala de la carta de Newmark; este dibujo se coloca sobre la carta haciendo coincidir el centro de ésta con el punto donde se desea conocer el esfuerzo z; se cuenta el número N de segmentos que cubre el área en cuestión. El esfuerzo z vale
z = N I q donde q = presión vertical aplicada en el área en cuestión I = valor de influencia de cada segmento de la carta (usualmente I = 0.005)
(8)
5
6 Ejemplo
Hallar el esfuerzo normal vertical z a la profundidad de 6 m, bajo el centro de un rectángulo sometido a una carga uniforme de 50 kPa en su superficie. El rectángulo tiene un ancho de 10 m y una longitud de 20 m. Solución
Usamos la carta de Newmark de la figura 5. La correspondencia de la carta al prototipo la hacemos de la siguiente forma z prototipo 6m B prototipo 10 m z prototipo 6m L prototipo 20 m
z carta 4 cm B carta x x = 4(10)/6 = 6.67 cm z carta 4 cm L carta x x = 4(20)/6 = 13.33 cm
Dibujamos un rectángulo con B = 6.67 cm y L = 13.33 cm y lo colocamos sobre la carta de Newmark, haciendo coincidir los centros del rectángulo y de la carta (figura E-1). Contamos el número de segmentos: N = 144. Usando la ecuación 8 z = N I q = (144)(0.005)(50) = 36 kPa ----------
7
8 RECTÁNGULO CARGADO Los esfuerzos normales bajo la esquina de un rectángulo cargado valen: Esfuerzo normal vertical z, figura 6 (Damy, 1985) q 1 1 xyz xy z = [ ( + ) + tan-1 ] 2 x2+z2 y2+z2 B zB
(9)
q
x
y
z
Sigmaz
Sigmax Sigmay
(Csincresff)
INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA ESQUINA DE UN RECTÁNGULO CARGADO FIGURA 6
Esfuerzos normales horizontales x y y, figura 6 (Dashkó y Kagán, 1980) q xyz zB x = [ - - tan-1 2 2 (y2+z2) B xy x xB -1 + (1-2) (tan - tan ) ] y yz -1
(10)
q xyz zB -1 y = [ - - tan 2 2 (x2+z2) B xy y yB -1 + (1-2) (tan - tan ) ] x xz -1
(11)
9 B = (x2 + y2 + z2)1/2
(12)
Ejemplo
Un edificio con losa de cimentación desplantada superficialmente, de dimensiones 10 por 20 m en planta, transmite una presión media al terreno de 50 kPa. Hallar los esfuerzos normales z, x y y, a la profundidad de 6 m. Considerar en el terreno de cimentación = 0.3. Solución
Las ecuaciones 9 a 11 proporcionan esfuerzos bajo la esquina de un rectángulo. Para hallar los esfuerzos bajo el centro, dividimos el área del rectángulo en cuatro, quedando x = 10/2 = 5 m, y = 20/2 = 10 m; con estas cantidades y q = 50 kPa, z = 6 m, = 0.3, utilizamos las ecuaciones 9 a 11, obtenemos los esfuerzos bajo la esquina de la cuarta parte del área z’ = 9.09 kPa x’ = 2.13 kPa y’ = 0.80 kPa Los esfuerzos bajo el centro los determinamos multiplicando por cuatro estos valores z = 36.36 kPa x = 8.52 kPa y = 3.20 kPa (Csesfmasuelo)
----------
REFERENCIAS Boussinesq, J, Application des potenciels á l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides élastiques, París, 1885 Damy, J, “Integración de las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre superficies poligonales de cualquier forma, cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”, Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86, 1985 Dashkó, R E y Kagán, A A, Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú, 1980 Yoder, E J, Principles of Pavement Design , Wiley, 1959
(Cs incrementos de esfuerzo 1111)
1 APUNTES DE CIMENTACIONES INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA Agustín Deméneghi Colina * Margarita Puebla Cadena * Héctor Sanginés García * NOTA PRELIMINAR La interacción suelo-estructura es aquella parte de la ingeniería que estudia las deformaciones del terreno de cimentación cuando éstas se ven afectadas por la presencia y rigidez de la propia estructura. La influencia de la estructura puede ser en condiciones estáticas, lo cual es tratado por la interacción estática suelo-estructura, o puede ser en condiciones dinámicas, lo cual cae en el campo de la interacción dinámica suelo-estructura.
influencia sobre los desplazamientos de los apoyos vecinos (este fenómeno se presenta usualmente en zapatas aisladas), y (ii) cuando se trata de un cimiento continuo donde el desplazamiento de un punto de dicho cimiento está afectado por la carga repartida en toda la subestructura (es el caso de zapatas corridas o losas de cimentación). Interacción suelo-zapatas aisladas Definición de módulo de reacción
INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELOESTRUCTURA Se conocen como métodos de interacción estática suelo-estructura aquellos procedimientos que para el cálculo de las deformaciones del terreno de cimentación toman en cuenta la rigidez de la estructura. Todos estos métodos están basados en el principio de que en el contacto cimiento-terreno los desplazamientos tanto de la subestructura como los del terreno son iguales, es decir, existe compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. En términos generales, el procedimiento de cálculo para la interacción suelo-estructura consiste en tres pasos: (a) se calculan los desplazamientos de la subestructura, (b) se calculan los desplazamientos del terreno de cimentación, y (c) se establece la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. Podemos distinguir dos clases de situaciones en relación con la interacción: (i) cuando los cimientos están suficientemente separados, de tal forma que la carga sobre un apoyo no ejerce *
Para llevar a cabo la interacción suelo-zapatas aisladas, se hace uso del concepto de módulo de reacción o módulo de rigidez del terreno de cimentación, el cual se presenta en los siguientes párrafos. Definamos el módulo de reacción o rigidez lineal vertical de un cimiento de la siguiente forma Kv = Qv/v
(1)
donde Qv es la fuerza vertical aplicada al cimiento y v es el asentamiento vertical ocasionado por Q v. Se define la rigidez lineal horizontal de un cimiento Kh = Qh/h
(2)
donde Q h es la fuerza horizontal aplicada al cimiento y h es el desplazamiento horizontal producido por Q h. Se define la rigidez a la rotación de un cimiento
Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
2 Kr = M/
(3)
donde M es el momento aplicado al cimiento y el ángulo –en radianes- producido por dicho momento. Análisis de la interacción suelo-zapatas aisladas
Ilustremos la solución de la interacción suelozapatas aisladas con el marco de la fig 1 (ejemplo 1). La rigidez vertical del terreno de cimentación vale K v = 2331.96 t/m, la rigidez horizontal K h = 1901.38 t/m y la rigidez a la rotación Kr = 1102.81 t.m/rad. Utilizaremos el método de rigideces para el análisis de la estructura (véase el anexo 1), en el que se debe cumplir K + Pe + Pc = 0
(4)
donde K = matriz de rigidez de la estructura
M = Kr
(7)
En la fig 3 se muestran las reacciones del terreno en función de las rigideces del mismo y de los desplazamientos. Usando las ecs 5 a 7 calculamos las fuerzas Qv1, Qv2, Qh3, Qh4, M5 y M6: Qv1 = 2231.96 1, Qv2 = 2231.96 2 Qh3 = 1901.38 3, Qh4 = 1901.38 4 M5 = 1102.81 5, M6 = 1102.81 6 El vector de cargas concentradas queda
Pc =
2231.96 1 2231.96 2 1901.38 3 1901.38 4 1102.81 5 1102.81 6 0 0 0 0 0 0
(8)
= vector de desplazamientos Reemplazando en la ec 4 los valores de K (tabla 1), P e (tabla 2) y P c (ec 8), y resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos
Pe = vector de cargas de empotramiento Pc = vector de cargas concentradas La formación de la matriz K y de los vectores , Pe y P c, para el marco de la fig 1, viene descrito en el anexo 1; como resultado de esto, en la fig 2 se exhiben los grados de libertad de la estructura, y en las tablas 1, 2 y 3 la matriz de rigidez K, el vector de cargas de empotramiento Pe y el vector de cargas concentradas P c de toda la estructura, respectivamente. (En la tabla 1 sólo incluimos los renglones de 1, 3, 5, 7, 9 y 11, porque, por simetría 2 = 1, 4 = - 3, 6 = -5, 8 = 7, 10 = -9, 12 = -11.) La rigidez del terreno de cimentación se puede incluir en el vector de cargas concentradas P c, de la siguiente forma: las fuerzas Q v, Qh y M se pueden obtener con las ecs 1 a 3 Qv = Kv v
(5)
Qh = Kh h
(6)
1 = 0.010291 m, 3 = 0.0055104 m 5 = 0.00049148, 7 = 0.013289 m 9 = -0.000078886 m, 11 = -0.0054707 Los elementos mecánicos en las barras de la estructura se calculan siguiendo el procedimiento indicado en el anexo 1. (Lo dejamos como ejercicio al lector.) Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331.96(0.010291) = 23.998 t Qh3 = 1901.38(0.0055104) = 10.477 t Qh4 = 1901.38(-0.0055104) = -10.477 t M5 = 1102.81(0.00049148) = 0.542 t.m M6 = 1102.81(-0.00049148) = -0.542 t.m Resolvamos otro ejemplo, el de la fig 4 (ejemplo 2), despreciando los efectos de acortamiento de barras. En la fig 5 y en la tabla 4 se exhiben la
3 numeración de barras y grados de libertad. Las matrices de rigidez y los vectores de cargas de empotramiento se hallan con los valores del anexo 2 (marcos planos con barras ortogonales, sin considerar el acortamiento de barras). Barra 1 Matriz de rigidez 5 7 1299.52 649.76 649.76 1299.52 423.76 423.76
Pe1
=
=
=
5 7 3
El vector de cargas concentradas vale (fig 4)
5 7 3
4 423.76 423.76 184.24
Pc =
1 -1992.6 -1992.6 664.2 -664.2
-wL/2 -wL/2 wL2/12 -wL2/12
=
2 1992.6 1992.6 -664.2 664.2
7 8 1 2
-4.62 -4.62 4.62 -4.62
La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de toda la estructura se exhiben en las tablas 5 y 6. (En la tabla 5 sólo incluimos los renglones de 1, 3, 5 y 7, porque, por simetría 2 = 1, 4 = -3, 6 = -5, 8 = -7.) El vector es
Qv1-1.2 Qv2-1.2 Qh3 Qh4 M5 M6 0 0
La rigidez del terreno de cimentación la incluimos con las ecs 5 a 7 (obtenidas de las ecs 1 a 3)
6 8 4 6 8 4
0 0 0
Barra 3 Matriz de rigidez 7 8 7970.4 3985.2 3985.2 7970.4 -1992.6 -1992.6 1992.6 1992.6
Pe3
3 423.76 423.76 184.24
0 0 0
Barra 2 Matriz de rigidez 6 8 1299.52 649.76 649.76 1299.52 423.76 423.76
Pe2
=
1 2 3 4 5 6 7 8
Qv = Kv v
(9)
Qh = Kh h
(10)
M = Kr
(11)
En la fig 6 se indican las reacciones del suelo en función de las rigideces y los desplazamientos. Sustituyendo valores Qv1 = 2331.96 1, Qv2 = 2331.96 2 Qh3 = 1901.38 3, Qh4 = 1901.38 4 M5 = 1102.81 5, M6 = 1102.81 6 El vector de cargas concentradas queda
Pc =
2331.96 1 - 1.2 2331.96 2 - 1.2 1901.38 3 1901.38 4 1102.81 5 1102.81 6 0 0
4 Reemplazando en la ec 4 -4.62 – 1.2 + 2331.96 1 = 0 184.24 3 + 423.76 5 + 423.76 7 + 1901.38 3 = 0 423.76 3 + 1299.52 5 + 649.76 7 + 1102.81 5 = 0 426.76 3 + 649.76 5 + 5284.72 7 + 4.62 = 0
( 1) ( 3) (5) ( 7 )
Resolviendo el sistema de ecuaciones
1 = 0.0024958 m, 3 = 0.00014033 m 5 = 0.00022213, 7 = -0.00091278 Para hallar los elementos mecánicos, se utiliza el procedimiento indicado en el anexo 1. (Lo dejamos como ejercicio al lector). Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331.96(0.0024958) = 5.82 t Qh3 = 1901.38(0.00014033) = 0.267 t Qh4 = 1901.38(-0.00014033) = -0.267 t M5 = 1102.81(0.00022213) = 0.245 t.m M6 = 1102.81(-0.00022213) = -0.245 t.m
B = ancho de la cimentación, en metros Sustituyendo valores qn = 26/1.7(2) = 7.647 t/m 2 = 74.995 kPa Ic = 0.0264 B = 1.7 m = 2.870 mm = 0.00287 m El módulo K v vale (ec 1) Kv = 26/0.00287 = 9059.2 t/m La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1- 2)
(12)
Kh = 32(1- )GR/(7-8 )
(13)
Kr = 8GR3/3(1-)
(14)
Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.5B, mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular,
Determinación de los módulos de reacción del suelo
La determinación de las rigideces K v, Kh y K r se lleva a cabo usando su definición dada por las ecs 1 a 3. Por ejemplo, el módulo K v se obtiene aplicando a la zapata una carga vertical Q v y calculando el asentamiento que produce dicha carga. Dado el carácter no lineal de los suelos, es necesario que tanto la carga sobre el cimiento, como sus dimensiones, sean lo más cercano posible a sus magnitudes definitivas en la estructura, pues de otro modo la determinación de las rigideces será sólo aproximada.
R = A/
(15)
Para calcular K v y Kh usamos las ecs 12 y 13 con R obtenida de la ec 15. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular K r R=
4
4I/
(16)
Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16.
Ejemplo
Por lo ya señalado antes, los cálculos de los módulos de reacción con las ecs 12 a 14 son sólo aproximados, pues el comportamiento real de los suelos es no lineal.
Determinar la rigidez lineal vertical K v de la zapata de la fig E-1, utilizando para ello la fórmula de Burland y Burbridge. El subsuelo está formado por una arena normalmente cargada, N = 15 golpes.
Otra forma aproximada de obtener los módulos de reacción es mediante la realización de pruebas de placa (Zeevaert, 1973). Sea k v el módulo de rigidez unitario, definido como
Solución
El asentamiento en milímetros de la zapata está dado por (Burland y Burbridge, 1985): = qn B0.7 Ic Ic = 1.17/N1.4 qn = incremento neto de presión, en kPa
kv = Qv/vA Siendo A = área del cimiento.
(17)
5 Si ks1 es el módulo de rigidez vertical determinado con una prueba de placa de un pie de lado, se puede emplear la siguiente fórmula (Terzaghi, 1955)
En los siguientes incisos veremos cómo se realiza la interacción suelo-estructura para estructuras de cimentación de rigidez finita.
kv = ks1 [(B+0.3)/2B] 2
Interacción suelo-zapata corrida
(18)
donde B es el ancho de la zapata en metros. En el caso de arcillas kv = ks1 [(n+0.5)/1.5n)]
(19)
Consideremos un marco estructural con una cimentación a base de una zapata corrida (fig 9a), en el cual se trata de obtener los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno de cimentación (fig 9, b y c).
donde n = L/B, siendo L la longitud del cimiento. La tabla 7 contiene valores propuestos por Terzaghi (1955) para k s1. Cabe destacar que las ecs 18 y 19 se deben usar con precaución, pues sólo son aproximadamente válidas cuando el suelo es isotrópico hasta una profundidad bajo el desplante del cimiento igual al ancho del mismo (Zeevaert, 1973). Por lo mismo, dichas ecuaciones no son aplicables a suelos estratificados. Interacción suelo-cimiento continuo Sea un cimiento totalmente flexible con carga uniforme apoyado en un suelo cohesivo totalmente saturado. El asentamiento a largo plazo toma la forma indicada en la fig 7a (Sowers, 1962); el diagrama de reacción del terreno en este caso es igual al de la carga, es decir, la reacción es uniforme. Si dicho cimiento se apoya sobre un suelo friccionante, el asentamiento se distribuye como se indica en la fig 7b (Sowers, 1962); por ser el cimiento totalmente flexible, la reacción del suelo es también uniforme. Sea ahora una placa de una rigidez infinita apoyada en una arcilla totalmente saturada (fig 8a). El hundimiento es uniforme, pero el diagrama de reacción a largo plazo toma la forma indicada en la fig 8a (Sowers, 1962). Si la placa se apoya sobre un suelo friccionante, el diagrama de reacción toma la forma de la fig 8b (Sowers, 1962). Vemos entonces que los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno dependen de la clase de suelo y de la rigidez de la estructura. Un cimiento real puede quedar entre los dos casos extremos señalados, pues su rigidez no necesariamente es nula o infinita.
Comencemos con el diagrama de reacciones. En el caso general, la forma del diagrama es diferente de una reacción uniforme (fig 9b). Sustituyamos la curva de reacción del terreno por una serie de reacciones uniformes r 1, r 2, ... , r n (fig 10a); el análisis estructural lo llevamos a cabo utilizando el método de rigideces, considerando las reacciones r i como incógnitas. A continuación, aplicando la tercera ley de Newton, aplicamos las cargas r i sobre el terreno (fig 10b), y obtenemos los hundimientos de éste en función de las r i, empleando el método de Chamecki (1956). El problema de la interacción se resuelve estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo, es decir, si el suelo está en contacto con la estructura de cimentación, las deformaciones de ambos medios deben ser iguales. a) Análisis estructural El análisis estructural lo realizamos empleando el método de rigideces. La matriz de rigidez, el vector de cargas de empotramiento y el vector de cargas concentradas se obtienen como se indica en el anexo 1. En una barra de cimentación (fig 11), el vector de cargas de empotramiento para el sistema local vale
(Pme)’ =
wL2/12 - (11/192) L 2 r r - (5/192) L 2 r s -wL2/12 + (5/192) L 2 r r + (11/192) L 2 r s -wL/2 + (13/32) L r r + (3/32) L r s -wL/2 + (3/32) L r r + (13/32) L r s 0 0 0 0
p’ q’ r ’ s’ u’ v’ a’ b’
En el sistema global, dado que = = 0, el vector de cargas de empotramiento queda (anexo 1)
6 Si consideramos además una deformación previa oi, el asentamiento bajo el punto i vale
Pme =
wL2/12 - (11/192) L 2 r r - (5/192) L 2 r s -wL2/12 + (5/192) L 2 r r + (11/192) L 2 r s -wL/2 + (13/32) L r r + (3/32) L r s -wL/2 + (3/32) L r r + (13/32) L r s 0 0 0 0
p q r s u (20) v a b
b) Cálculo de deformaciones del suelo Las cargas que transmite la estructura al terreno de cimentación son iguales en magnitud y de sentido contrario a las reacciones del suelo sobre la estructura, por la tercera ley de Newton (Deméneghi, 1996). Calculemos los asentamientos del terreno en función de estas cargas: consideremos una reacción r k actuando en la superficie (fig 12); la presión vertical vale r kdk/ak, donde dk y ak son la longitud y el área en las que actúa la carga, respectivamente. La deformación del estrato de espesor H j, debida a la carga r k vale
ijk = (1/Ezij) H j zijk pero
zijk = Izijk r kdk/ak
(21)
donde Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área a k (Zeevaert, 1973). Ezij es el módulo lineal de deformación, el cual se define como el cociente del esfuerzo normal vertical entre la deformación unitaria vertical que se presenta, en el punto ij. Sustituyendo
ijk = (1/Ezij) H j Izijk r kdk/ak, La deformación del estrato j, debida a todas las cargas vale nr
ijk = (1/Ezij) H j Izijk r kdk/ak, k=1
donde n r = número total de cargas r k.
ne
nr
i = oi + (1/Ezij) H j Izijk r kdk/ak j=1
k=1
(22)
donde ne = número total de estratos. En la ec 22, los hundimientos del terreno quedan en función de las cargas r k. Cabe aclarar que, aunque aparentemente el procedimiento es unidimensional, en la práctica se pueden tomar en cuenta, en la estimación de Ezij tanto los incrementos de esfuerzo horizontal como el efecto de la presión de confinamiento en la rigidez del suelo, así como el hecho de que la curva esfuerzo-deformación unitaria es no lineal. En efecto, E zij está dado por Ezij = zij/zij (23) Siendo zij el esfuerzo normal vertical en el punto ij (a la mitad del estrato j), y zij la deformación lineal unitaria vertical del estrato j. zij se puede calcular usando una teoría no lineal o una teoría lineal. Los esfuerzos normales vertical y horizontales se obtienen aplicando la ec 21 para todas las cargas r k, es decir nr
zij = Izijk r kdk/ak k=1
(24)
nr
xij = Ixijk r kdk/ak k=1
(25)
nr
yij = Iyijk r kdk/ak k=1
(26)
c) Compatibilidad de deformaciones En esta etapa se establece la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo de cimentación, lo que equivale a considerar que tanto los desplazamientos de la estructura como los del terreno son iguales, es decir, que el suelo no se despega de la estructura (Deméneghi, 1996).
7 Comportamiento no lineal
-5.92 + 1.3 r 1 + 0.3 r 2 -11.84 + 0.6 r 1 + 2.6 r 2 3.15733-0.58667r 1-0.26667r 2
Ilustraremos la forma de realizar el análisis de interacción no lineal suelo-zapata corrida con el cimiento de la fig 13 (ejemplo 3). Para el cálculo de las deformaciones del suelo usar el método no lineal del anexo 1 del capítulo 2, con las propiedades indicadas en la tabla 8.
Pe =
a) Análisis estructural
El vector de cargas concentradas vale
El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces, descrito en el anexo 1. En la fig 14 se muestran los grados de libertad y en la fig 15 el sistema de cargas sobre la estructura. Las matrices de rigidez se obtienen con los valores del anexo 2, dado que se trata de barras horizontales. Los vectores de cargas de empotramiento se calculan con la ec 20. Matriz de rigidez. Barra 1 4 72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707
5 1 36463.688 -34184.707 72927.375 -34184.707 -34184.707 21365.442 34184.707 -21365.442
6 2 36463.688 -34184.707 72927.375 -34184.707 -34184.707 21365.442 34184.707 -21365.442
2 34184.707 34184.707 -21365.442 21365.442
4 5 1 2
3 34184.707 34184.707 -21365.442 21365.442
5 6 2 3
Vector de cargas de empotramiento. Barra 1 P1e
=
3.15733-0.58667r 1-0.26667r 2 -3.15733+0.26667r 1+0.58667r 2 -5.92+1.3r 1+0.3r 2 -5.92+0.3r 1+1.3r 2
4 5 1 2
Vector de cargas de empotramiento. Barra 2 P2e =
3.15733-0.58667r 2-0.26667r 3 -3.15733+0.26667r 2+0.58667r 3 -5.92+1.3r 2+0.3r 3 -5.92+0.3r 2+1.3r 3
(Sólo se muestran los renglones correspondientes a 1, 2 y 4 porque, por simetría 3 = 1, 6 = -4 y 5 = 0).
Pc =
-35 -50 -35 0 0
1 2 3 4 6
La condición de equilibrio de cargas en los nudos de la estructura conduce a la siguiente expresión (anexo 1) K + Pe + Pc = 0
Matriz de rigidez. Barra 2 5 72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707
1 2 4
5 6 2 3
La matriz de rigidez de toda la estructura (tabla 9) es la suma de las matrices de rigidez de cada una de las barras. El vector de cargas de empotramiento de toda la estructura es la suma de los vectores de carga de empotramiento de cada una de las barras, el cual vale
Sustituyendo valores (1): 21365.442 1 –21365.4422 –34184.7074 +1.3 r 1 + 0.3 r 2 – 5.92 – 35 = 0 (27) (2): -42730.884 1+42730.884 2+68369.414 4 + 0.6 r 1 + 2.6 r 2 –11.84 – 50 = 0 (28) (4): -34184.707 1 +34184.707 2+72927.375 4 –0.58667 r 1 – 0.26667 r 2 + 3.15733 = 0 (29) b) Cálculo de asentamientos Hallemos el asentamiento bajo el punto 1 (fig 16a). Haciendo i = 1 en la ec 21
1=(1/Ez11)H1(Iz111r 1d1/a1+Iz112r 2d2/a2+Iz113 r 3d3/a3) +(1/Ez12)H2(Iz121r 1d1/a1+Iz122r 2d2/a2+Iz123 r 3d3/a3) (30) Los módulos de deformación E z11 y Ez12 están dados por (ec 23) Ez11 = z11/z11
(31)
Ez12 = z12/z12
(32)
Las deformaciones unitarias z11 y z12 las obtendremos usando el procedimiento no lineal expuesto en el anexo 1 del cap 2, con las siguientes expresiones:
8 y11=0.1049267r 1+0.017307215r 2+0.002810045r 3
Deformación por cambio de forma pas-2
f 2 1 cf = 1 - exp { - ( ) [- Acf c (s-2) (pce + c z)s-2 pce 1 + + ] } (33) (s-1) ((pce + c z)s-1 (s-2)(s-1) p ces-2 pce = b3pt + pco’ f = 1 - [(x + y)/z] c = b1 + b2 [(x + y)/z] b1 = b2 = 1/3
(44)
Para el inicio de los cálculos consideramos una reacción uniforme r 1 = r 2 = r 3 = [35(2)+50]/6.4 + 3.7 = 22.45 t/m Reemplazando en las ecs 42 a 44
z11 = 5.4849 t/m 2 x11 = 2.7367 t/m 2 y11 = 2.8072 t/m 2
(34) (35) (36)
A continuación calculamos las deformaciones por cambio de forma y por cambio de volumen.
f [(pve+z)1-s – pve1-s] cv = 1 - exp { - } Acv pa1-s (1-s)
(37)
pve = b3pt + pvo’
(38)
Cambio de forma (ecs 33 a 36) pce = 0.9914 t/m 2 = 0.5 (se considera que la deformación por cambio de forma ocurre a volumen constante) f = 0.4946, c = 0.6703 cf = 0.00075907 Cambio de volumen (ecs 37 y 38) pve = 1.62 t/m2 cv = 0.001028 z11 = cf + cv = 0.00178703
Deformación por cambio de volumen
Ilustremos la aplicación del procedimiento calculando el módulo E z11. Los esfuerzos z11, x11 y y11 se obtienen con las ecs 24 a 26. z11 = Iz111 r 1d1/a1 + Iz112 r 2d2/a2 + Iz113 r 3d3/a3 x11 = Ix111 r 1d1/a1 + Ix112 r 2d2/a2 + Ix113 r 3d3/a3 y11 = Iy111 r 1d1/a1 + Iy112 r 2d2/a2 + Iy113 r 3d3/a3
(39) (40) (41)
Sustituyendo valores en la ec 31 Ez11 = 5.4849/0.00178703 = 3069.334 t/m 2 En forma similar se obtiene
Obtengamos como ejemplo los valores de influencia I z111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 t/m 2 en el área a 1 (fig 16) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos
Ez12 = 3293.065 t/m 2
z = Iz111 = 0.4868711 t/m 2 x = Ix111 = 0.227869 t/m 2 y = Iy111 = 0.2098534 t/m 2
De manera similar obtenemos
1 = 0.00013151 r 1 + 0.0000099976 r 2 (45)
2 = 0.000021166 r 1 + 0.00027335 r 2
Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En la tabla 10 se presentan sus magnitudes. Sustituyendo en la ec 39 z11=0.4868711r 1(1.6)/1.6(2)+0.001743138r 2(3.2)/3.2(2) +0.00001886487r 3(1.6)/1.6(2) z11=0.24343555r 1+0.000871569r 2+0.000009432435r 3 (42) En forma análoga se obtienen x11 y y11 x11=0.1139345r 1+0.00665339r 2+0.00131314r 3
Reemplazando en la ec 30, y considerando que por simetría r 1 = r 3
(43)
(46)
c) Compatibilidad de deformaciones La compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo equivale a resolver el sistema formado por las ecuaciones 27, 28, 29, 45 y 46. Obtenemos
1 = 0.0044939 m, 2 = 0.0038785 m 4 = 0.00055543 r 1 = 33.289 t/m, r 2 = 11.611 t/m
9 Con los nuevos valores de r 1 = r 3 (por simetría) y r 2 se repite el proceso hasta que éstos ya no cambien en dos iteraciones sucesivas. Esto se logra en la iteración 6, en la que se obtiene
1 = (0.8/500)[(0.194828/2)r 1-(0.02614844/2)r 2 -(0.00174077/2)r 3] + (1.6)/(560)[(0.23528931/2)r 1 -(0.00780255/2)r 2-(0.00481864/2)r 3]
Tomando en cuenta que r 1 = r 3
1 = 0.0046612 m, 2 = 0.0037665 m 4 = 0.00067864 r 1 = 31.534 t/m, r 2 = 13.366 t/m
1 = 0.000483712 r 1 – 0.00003206525 r 2 (50)
Comportamiento lineal
2 = -0.000031436 r 1 + 0.00098398 r 2
En forma análoga se obtiene
En forma aproximada, se puede resolver la interacción considerando que la deformación bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor H j está dada por
ij = (H j/Eij) [zij - (xij +yij)]
(47)
donde Eij es el módulo de deformación del suelo y su relación de Poisson. Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47 nr
ij = (H j/Eij) [ Izijk-(Ixijk+Iyijk) ] r kdk/ak k=1
(51)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 27, 28, 29, 50 y 51:
1 = 0.014285 m, 2 = 0.013224 m 4 = 0.00075212 r 1 = 30.487 t/m, r 2 = 14.413 t/m [Nota: Es importante que los módulos de deformación E ij se determinen considerando el efecto de la presión de confinamiento en el terreno, el hecho de que la curva esfuerzodeformación unitaria de los suelos es no lineal, así como la posible variación con el tiempo de las propiedades mecánicas.]
Sea Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk)
(48)
nr
ij = (H j/Eij) Iijk r kdk/ak k=1
Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo, y una posible deformación previa oi, la deformación del punto i es ne
nr
j=1
k=1
i = oi + (H j/Eij) Iijk r kdk/ak
(49)
Ilustremos el desarrollo del procedimiento lineal con la zapata de la fig 17 (ejemplo 4). El análisis estructural es similar al del ejemplo 3 del método no lineal. En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1:
1 = (H1/E11) (I111r 1d1/a1 + I112r 2d2/a2 + I113r 3d3/a3) + (H12/E12) (I121r 1d1/a1 + I122r 2d2/a2 + I123r 3d3/a3) En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema. Sustituyendo valores
Interacción estructura-suelo plástico parcialmente saturado
En un suelo plástico parcialmente saturado, además de los asentamientos producidos por las cargas de una estructura, se presentan deformaciones debidas a cambios de humedad en el suelo. Un ejemplo de esta clase de fenómeno lo constituyen las arcillas expansivas, que sufren fuertes cambios volumétricos al variar su humedad natural. Para ilustrar el fenómeno anterior, consideremos el cimiento de la fig 18 (ejemplo 5). La aplicación de la ec 4 K + Pe + Pc = 0 conduce al siguiente sistema de ecuaciones (1): 10939.1 1 –10939.1 2 –21878.12 4 + 1.625r 1 + 0.375r 2 – 7.4 – 35 = 0
(52)
(2): -21878.2 1+21878.2 2+43756.4 4 + 0.75r 1 + 3.25r 2 –14.8 – 50 = 0
(53)
10 (4): -21878.2 1+21878.2 2+58341.9 4 –0.91667r 1 – 0.41667r 2 + 4.9333 = 0
(54)
Supongamos que con las consideraciones hechas en los incisos anteriores, se hallan las siguientes deformaciones del suelo en función de las cargas (matriz de flexibilidades del suelo)
1 = 0.000817668 r 1 + 0.0000349723 r 2 2 = 0.0000634471 r 1 + 0.00163405 r 2
(55) (56)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 52 a 56 obtenemos
1 = 0.021759 m, 2 = 0.020075 m 4 = 0.0010381 r 1 = 26.129 t/m, r 2 = 11.271 t/m Supongamos que por un aumento de humedad en el suelo, en campo libre la arcilla sufre una expansión de 3 cm en los puntos 1 y 3, y de 5 cm en el punto 2 (fig 16). Aplicando la ec 49 en las ecs 55 y 56 obtenemos
1=-0.03+0.000817668r 1+0.0000349723r 2 (57) 2 =-0.05+0.0000634471r 1+0.00163405r 2 (58) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52, 53, 54, 57 y 58
1 = -0.013950 m, 2 = -0.018469 m 4 = 0.0020384 r 1 = 18.835 t/m, r 2 = 18.565 t/m Nótese el cambio notable en las reacciones del suelo por las expansiones de la arcilla.
computar por una parte las deformaciones de la estructura, y por otra las deformaciones del suelo; la diferencia entre deformaciones de estructura y suelo permite ajustar la “constante del resorte”; el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y terreno. El método se usa de la siguiente forma: a) En el terreno se entra con las cargas r i y se determinan las deformaciones i con la matriz de flexibilidades del suelo (se puede iniciar con la reacción uniforme); los módulos de reacción (o “constantes de los resortes”) se obtienen Kvi = r i di / i
(59)
b) En la estructura se entra con las K vi y se calculan las deformaciones ; las reacciones r i por unidad de longitud (en t/m) se obtienen r i = Kvi i / di
(60)
donde d i es la longitud en que actúa r i. Con estos valores de r i se entra nuevamente al suelo (inciso a), y el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y suelo. Ilustremos el proceso anterior con la zapata de la fig 19 (ejemplo 6). Los datos de estructura y suelo son los mismos del ejemplo 3 (fig 13). De acuerdo con la ec 4 K + Pe + Pc = 0
Método iterativo
La interacción suelo-estructura se puede resolver mediante un método iterativo. Esto tiene aplicación en la práctica cuando se dispone de un paquete o un programa de computadora que sustituye al terreno de cimentación por “resortes”, que representan el módulo de reacción de dicho terreno. Dado que no se conoce a priori la “constante del resorte”, pues depende del diagrama de reacción del suelo, que es lo que justamente se está buscando, se tiene que recurrir a un procedimiento iterativo (Chamecki, 1956), que consiste en suponer valores iniciales de las “constantes de los resortes”, y con ellas
Las reacciones del terreno se pueden incorporar en el vector de cargas concentradas Pc (fig 19b). De esta forma, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones (1): (21365.442+Kv1)1 –21365.4422-34184.7074 – 5.92 – 35 = 0 (61) (2): -42730.8841+(42730.884+Kv2)2+68369.4144 –11.84 – 50 = 0 (62) (4): -34184.7071 +34184.7072+72927.3754 + 3.15733 = 0 (63)
11 En el terreno de cimentación habíamos obtenido la siguiente matriz de flexibilidades (ecs 50 y 51)
1 = 0.000483712 r 1 – 0.00003206525 r 2 (64) 2 = -0.000031436 r 1 + 0.00098398 r 2 (65) Las iteraciones se realizan de la siguiente forma 1ra iteración Iniciamos el proceso considerando una reacción uniforme r 1 = r 2 = r 3 = 22.45 t/m Terreno de cimentación. Aplicando 65 y 59 Kv1 1 2 m m t/m 0.010139 0.021385 3542.592 Estructura. Con los K vi anteriores, las ecs 61, 62, 63 y 60 r 1 1 2 m m t/m 0.013295 0.014729 29.437
las ecs 64, Kv2 t/m 3359.425 y aplicando r 2 t/m 15.463
2da iteración Terreno de cimentación. Con los r i anteriores y aplicando las ecs 64, 65 y 59 Kv1 Kv2 1 2 m m t/m t/m 0.013743 0.014290 3427.089 3462.699 Estructura. Con los K vi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60 r 1 r 2 1 2 m m t/m t/m 0.013498 0.014775 28.912 15.988 3ra iteración Terreno de cimentación. Aplicando 65 y 59 Kv1 1 2 m m t/m 0.013473 0.014823 3433.619 Estructura. Con los K vi anteriores, las ecs 61, 62, 63 y 60 r 1 1 2 m m t/m 0.013493 0.014783 28.956
las ecs 64, Kv2 t/m 3451.506 y aplicando r 2 t/m 15.944
4ta iteración Terreno de cimentación. Aplicando 65 y 59 Kv1 1 2 m m t/m 0.013495 0.014779 3433.069 Estructura. Con los K vi anteriores, las ecs 61, 62, 63 y 60 r 1 1 2 m m t/m 0.013493 0.014782 28.952
las ecs 64, Kv2 t/m 3452.402 y aplicando r 2 t/m 15.948
Apreciamos que en la 4ta iteración las deformaciones de suelo y estructura prácticamente coinciden. Método aproximado para tomar en cuenta la rigidez angular de las columnas que llegan a la estructura de cimentación
Los procedimientos de interacción vistos en los incisos anteriores permiten tomar en cuenta todos los pisos de la estructura. Con el propósito de presentar ejemplos que se puedan resolver “a mano”, sin el auxilio de la computadora, hemos presentado ejemplos muy sencillos, en los cuales, y sólo para fines didácticos, se considera únicamente la estructura de cimentación. Supongamos que se desea hacer el análisis preliminar de una subestructura, sin tomar en cuenta los niveles superiores. En este caso, las columnas transmiten las cargas a la cimentación, pero como están unidas a la infraestructura, también imponen una condición de continuidad estructural en los nudos correspondientes. La presencia de una columna provoca que en el nudo se presente un momento flexionante que vale K e, donde Ke es la rigidez a la rotación de la columna (rigidez angular) y es el ángulo que gira el nudo en cuestión. Este momento flexionante se agrega en el vector de cargas concentradas P c de la ec 4 K + Pe + Pc = 0
(ec 4)
Ilustremos el procedimiento con el ejemplo 4, considerando que las columnas tienen una rigidez angular K e = 6215.222 t.m/rad. El vector Pc es
12
Pc =
- 35 - 50 - 35 6215.222 4 6215.222 5 6215.222 6
Grado de libertad 1 2 3 4 5 6
2 Vs = -wL/2+(3/32)Lr r+ (13/32)Lr s+(6EI/L )p +(6EI/L 2)q-(12EI/L 3)r +(12EI/L 3)s (74)
Ma = (GIt/L) a - (GIt/L) b
(75)
Mb = - (GIt/L) a + (GIt/L) b
(76)
Dirección y (sistema global)
Aplicando la ec 4, el sistema de ecuaciones 27 a 29 queda modificado de la siguiente forma
2 Ma = -wL2/12+(11/192)L 2r r+(5/192)L r s-(4EI/L) a 2 2 -(2EI/L) b-(6EI/L )r +(6EI/L )s (77)
(1): 21365.442 1 –21365.4422 –34184.7074 +1.3 r 1 + 0.3 r 2 – 5.92 – 35 = 0 (66)
Mb =wL2/12-(5/192)L 2r r- (11/192)L 2r s-(2EI/L) a -(4EI/L) b-(6EI/L 2)r +(6EI/L 2)s (78)
(2): -42730.884 1+42730.884 2+68369.414 4 + 0.6 r 1 + 2.6 r 2 –11.84 – 50 = 0 (67)
2 Vr = -wL/2+(13/32)Lr r+(3/32)Lr s+(6EI/L )a +(6EI/L2)b+(12EI/L 3)r -(12EI/L 3)s (79)
(4): -34184.7071+34184.7072+72927.3754 –0.58667r 1 –0.26667r 2+3.15733+6215.2224 =0 (68)
2 Vs = -wL/2+(3/32)Lr r+(13/32)Lr s-(6EI/L )a -(6EI/L 2)b-(12EI/L 3)r +(12EI/L 3)s (80)
En el terreno habíamos obtenido (ecs 50 y 51)
1 = 0.000483712 r 1 – 0.00003206525 r 2 (69) 2 = -0.000031436 r 1 + 0.00098398 r 2 (70) Resolviendo el sistema de ecuaciones 66 a 70
1 = 0.014190 m, 2 = 0.013411 m 4 = 0.00057055 r 1 = 30.303 t/m, r 2 = 14.597 t/m
Determinación de elementos mecánicos
Los elementos mecánicos se obtienen como se indica en el anexo 1. Para una barra horizontal de cimentación, despreciando el acortamiento de la misma, son las siguientes (sistema global, fig 20) Dirección x (sistema global) 2 Mp = wL2/12-(11/192)L 2r –(5/192)L r s+(4EI/L) p r +(2EI/L) q-(6EI/L 2)r +(6EI/L 2)s (71) 2 Mq=-wL2/12+(5/192)L 2r r+ (11/192)L r s+(2EI/L) p +(4EI/L) q-(6EI/L 2)r +(6EI/L 2)s (72) 2 Vr = -wL/2+(13/32)Lr r+ (3/32)Lr s-(6EI/L )p -(6EI/L2)q+(12EI/L 3)r -(12EI/L 3)s (73)
Mp = - (GIt/L) p + (GIt/L) q
(81)
Mq = (GIt/L) p - (GIt/L) q
(82)
Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante en una barra de la cimentación (fig 20) se obtienen con las siguientes expresiones (dirección x) x L/2: V = -Vr + (r r – w) x M = -Mp – Vr x + (r r – w) x2/2 Mmax para x = Vr /(r r- w)
(83) (84) (85)
x L/2: V = -Vr – w x + r rL /2 + r s (x – L/2) (86) M = - Mp -Vr x – w x2/2 + (r rL /2) (x – L/4) + (r s/2) (x – L/2) 2 (87) Mmax para x = [Vr +(r s-r r) L/2]/(r s-w) (88) En las ecs 83 a 88, el cortante es positivo si va hacia arriba a la izquierda de la barra, mientras que el momento es positivo si produce compresión en las fibras superiores de la barra. Calculemos los elementos mecánicos en los nudos de la estructura del inciso anterior (ejemplo 4, fig 17, con K e = 6215.222 t.m/rad en las columnas). Habíamos obtenido
1 = 0.014190 m, 2 = 0.013411 m 4 = 0.00057055 r 1 = 30.303 t/m, r 2 = 14.597 t/m Aplicando las ecs 71 a 74
13 muestran en las tablas 12 y 13, respectivamente. La matriz de rigidez de toda la estructura es la suma de las matrices de rigidez de todas y cada una de las barras de la estructura (el rango de cada matriz se toma de 27 por 27). A manera de ejemplo, en la tabla 14 se presenta la matriz de rigidez de la estructura para los primeros 5 grados de libertad.
Mp = 3.7(3.2) 2/12-(11/192)(3.2) 2(30.303) -(5/192)(3.2) 2(14.597) +[(4)(1130000)(0.05163)/(3.2)](0.00057055) +[(2)(1130000)(0.05163)/(3.2)](0) -(6)(1130000)(0.05163)/(3.2) 2](0.01419)+ -(6)(1130000)(0.05163)/(3.2) 2](0.013411) Mp = -3.534 t.m Mq = 7.662 t.m Vr = 35 t Vs = 25 t
Determinemos a continuación los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7. Aplicando la ec 20
Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se hallan con las ecs 83 a 88. Sin embargo, en la práctica conviene modelar la estructura de cimentación con cuatro o más barras, para obtener mayor precisión. En el siguiente capítulo se presenta un ejemplo de análisis y diseño de una zapata corrida empleando ocho barras en la estructura de cimentación; en ese ejemplo se expone la forma de obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
P1e =
1.233-1.0593r 1-0.4815r 2 -1.233+0.4815r 1+1.0593r 2 -1.72+1.747r 1+0.4031r 2 -1.72+0.4031r 1+1.747r 2 0 0
GL 10 12 1 2 11 13
GL = grado de libertad 0 0 -1.72+1.747r 1+0.4031r 4 -1.72+0.4031r 1+1.747r 4 1.233-1.0593r 1-0.4815r 4 -1.233+0.4815r 1+1.0593r 4
GL 10 16 1 4 11 17
Interacción suelo-losa de cimentación
P7e =
Una losa de cimentación se puede modelar como una retícula de barras ortogonales entre sí. La solución es más precisa a medida que se incrementa el número de éstas. Para una retícula de barras horizontales, se puede despreciar el acortamiento de barras; además = 0. La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de una barra quedan como se muestra en el anexo 2 (para su obtención se tomaron las fórmulas del anexo 1).
Como ejemplo presentamos a continuación el vector de cargas de empotramiento de la estructura, para los primeros 5 grados de libertad
Ilustraremos el análisis de una losa con la retícula de la fig 21 (Deméneghi, 1996). La estratigrafía y propiedades se muestran en la fig 22. Se desprecian los efectos de acortamiento de barras. La numeración de barras y de grados de libertad se exhiben en la fig 23. Como ilustración presentamos los de las barras 1 y 7, para el sistema global: Barra 1 7
p 10 10
q 12 16
r 1 1
s 2 4
a 11 11
b 13 17
A continuación hallaremos las matrices de rigidez y los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7. Utilizando los valores del anexo 4 se obtienen las matrices K 1 y K7, que se
-3.44+3.494r 1+0.4031r 2+0.4031r 4 -6.88+0.4031r 1+5.241r 2+0.4031r 3+0.4031r 5 -3.44+0.4031r 2+3.494r 3+0.4031r 6 Pe = -6.88+0.4031r 1+5.241r 4+0.4031r 5+0.4031r 7 -13.76+0.4031r 2+0.4031r 4+6.988r 5+0.4031r 6 +0.4031r 8 . . .
El vector de cargas concentradas, para los primeros 5 grados de libertad vale
Pc =
-9.6 0 -9.6 0 0 . . .
1 2 3 4 5
14 Sustituyendo valores en la ec 4 y tomando en cuenta que por simetría
1 = 3 = 7 = 9 2 = 4 = 6 = 8 r 1 = r 3 = r 7 = r 9 r 2 = r 4 = r 6 = r 8 10 = 11 = -14 = 15 = 22 = -23 = -26 = -27 13 = 16 = -20 = -25 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (que representa el equilibrio de cortantes o de momentos en el grado de libertad correspondiente): Grado de libertad 1 773.14 1 - 773.14 2 - 1662.24 10 + 3.494r 1 + 0.8062r 2 - 3.44 - 9.6 = 0 (a) Grado de libertad 2 -773.141 + 859.7672 - 86.625 +1662.2410 -186.2313+0.8062r 1+5.24r 2+0.403r 5-6.88 = 0 (b)
Grado de libertad 5 -346.48 2 + 346.48 5 + 744.92 13 +1.6124r 2 +6.988r 5 –13.76 = 0 (c) Grado de libertad 10 -831.12 1 + 831.12 2 + 2692.76 10 - 310.2313 -1.0593r 1 - 0.4815r 2 +1.233 = 0 (d) Grado de libertad 13 -186.23 2 + 186.23 5 - 620.4610 + 1154.32 13 -1.0593r 2 - 0.4815r 5 + 2.465 = 0 (e) Las deformaciones del terreno de cimentación se determinan con el procedimiento indicado en el inciso de análisis lineal. Presentamos a continuación como ejemplo la obtención de 1 1=0.0154(2.4)[0.2271(4.3r 1)/4.6225 +0.009375(6.45r 2)/9.245+0.0001528(4.3r 3)/4.6225 +0.009375(6.45r 4)/9.245+0.002988(8.6r 5)/18.49 +0.0001625(6.45r 6)/9.245+0.0001528(4.3r 7)/4.6225 +0.0001625(6.45r 8)/9.245+0.00002824(4.3r 9)/4.6225] +0.0222(2.0)[0.1139(4.3r 1)/4.6225 +0.04407(6.45r 2)/9.245+0.002284(4.3r 3)/4.6225 +0.04407(6.45r 4)/9.245+0.028026(8.6r 5)/18.49 +0.002638(6.45r 6)/9.245+0.0022836(4.3r 7)/4.6225 +0.002638(6.45r 8)/9.245+0.0005157(4.3r 9)/4.6225]
La compatibilidad de deformaciones entre la estructura y el terreno de cimentación se logra reemplazando las ecs f , g y h en las ecs a, b, c, d y e, o resolviendo el sistema de ecuaciones de la a a la h: r 1 = 3.235 t/m, r 2 = 1.082 t/m, r 5 = 1.149 t/m 10 = 0.003760, 13 = -0.0007646 1 = 0.04558 m, 2 = 0.03638 m, 5 = 0.04953 m Como ilustración, hallaremos los elementos mecánicos en las barras 1 y 7 (sistema local), para lo que se aplican las ecs 71 a 82 Barra 1 (dirección x) M10 = -1.403 t.m, M 12 = -1.697 t.m V1 = 4.8 t, V 2 = 1.042 t M11 = -1.404 t.m, M 13 = 1.404 t.m Barra 7 (dirección y) M11 = -1.403 t.m, M 17 = -1.697 t.m V1 = 4.8 t, V 4 = 1.042 t M10 = 1.404 t.m, M 16 = -1.404 t.m REFERENCIAS Burland, J B y Burbidge, M C, “Settlement of foundations on sand and gravel”, Proc Inst Civil Eng, part I: 1325-1381, 1985 Chamecki, S, “Structural rigidity in calculating settlements”, Jour Soil Mech Found Div, Proc ASCE, Vol 88, N° SM1, 1956 Deméneghi, A, “Interacción estática sueloestructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Sowers, G F, “Shallow foundations”, cap 6 de Foundation Engineering, ed por G A Leonards, McGraw-Hill, 1962 Terzaghi, K, “Evaluation of coefficients of subgrade reaction”, Géotechnique, V, 1955
Aprovechando la simetría de la estructura obtenemos (Deméneghi, 1996)
Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973
1 = 0.012733r 1 + 0.0033854r 2 + 0.00063012r 5 (f) 2 = 0.0036877r 1 + 0.020326r 2 + 0.0021424r 5 (g) 5 = 0.0028714r 1 + 0.010629r 2 + 0.025023r 5 (h)
(Acise3,Acisef3,Isezc24,Isezc3,Isezc31,Isezc3, Iske7,Iske84,Iske85,Maribo8,Iske86,Islcbl)
15
TABLA 1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 1) Delta 1 31913.82 --12719.58 ---114.832 ---31913.82 ---12719.5 ---114.832 ---
Delta 2 0 --0 --0 --0 --0 --0 ---
Delta 3 12719.58 --5202.665 --287.082 ---12719.5 ---5202.665 --287.082 ---
Delta 4 0 --0 --0 --0 --0 --0 ---
Theta 5 -114.832 --287.082 --1110.049 --114.833 ---287.081 --555.025 ---
Theta 6 0 --0 --0 --0 --0 --0 ---
TABLA 2 VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO (EJEMPLO 1) 0 Delta 1 0 Delta 2 0 Delta 3 0 Delta 4 0 Theta 5 0 Theta 6 -24 Delta 7 -24 Delta 8 0 Delta 9 0 Delta 10 24 Theta 11 -24 Theta 12
Delta 7 -31913.8 ---12719.5 --114.833 --32578.02 -664.2 12719.58 0 -1877.77 -1992.6
Delta 8 0 --0 --0 ---664.2 32578.02 0 -12719.58 1992.6 1877.77
Delta 9 -12719.5 ---5202.66 ---287.082 --12719.58 0 71622.66 -66420 -287.08 0
Delta 10 0 --0 --0 --0 -12719.58 -66420 71622.66 0 -287.08
Theta 11 -114.832 --287.082 --555.025 ---1877.77 1992.6 -287.08 0 9080.45 3985.2
Theta 12 0 --0 --0 ---1992.6 1877.77 0 -287.08 3985.2 9080.45
Delta 1 Delta 2 Delta 3 Delta 4 Theta 5 Theta 6 Delta 7 Delta 8 Delta 9 Delta 10 Theta 11 Theta 12
TABLA 3 VECTOR DE CARGAS CONCENTRADAS (EJEMPLO 1) Qv1 Delta 1 Qv2 Delta 2 Qh3 Delta 3 Qh4 Delta 4 M5 T heta 5 M6 T heta 6 0 Delta 7 0 Delta 8 0 Delta 9 0 Delta 10 0 Theta 11 0 Theta 12
TABLA 4 NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD (EJEMPLO 2) Barra
p
q
r
s
u
1 2 3
5 6 7
7 8 8
1 2 1
1 2 2
3 4 -
Grados 90 90 0
TABLA 5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2)
1 664.2 --0 --0 ---1992.6 ---
2 -664.2 --0 --0 --1992.6 ---
3 0 --184.24 --423.76 --423.76 ---
4 0 --0 --0 --0 ---
5 0 --423.76 --1299.52 --649.76 ---
6 0 --0 --0 --0 ---
7 -1992.6 --423.76 --649.76 --9269.92 ---
8 -1992.6 --0 --0 --3985.2 ---
1 2 3 4 5 6 7 8
16 TABLA 6 VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2) -4.62 -4.62 0 0 0 0 4.62 -4.62
1 2 3 4 5 6 7 8
TABLA 8 PROPIEDADES DE DEFORMACIÓN. EJEMPLO 3 Estrato
1 2
Acf 360 480
scf 1.69 1.67
Acv 733 879
scv 0.705 0.715
0.295 0.295
Ko 0.418 0.418
, t/m3 1.8 1.8
17 TABLA 9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 3) Delta 1 21365.442 -21365.442 -34184.707
Delta 2 -21365.442 42730.884 34184.707
Delta 3 Theta 4 0 -34184.707 -21365.442 34184.707 0 72927.375
Theta 6 0 Delta 1 -34184.707 Delta 2 0 Theta 4
TABLA 10 VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3) RELACIÓN DE POISSON = 0.295 Punto 1,1,1 1,1,2 1,1,3 1,2,1 1,2,2 1,2,3 2,1,1 2,1,2 2,1,3 2,2,1 2,2,2 2,2,3 3,1,1 3,1,2 3,1,3 3,2,1 3,2,2 3,2,3
Izijk 0.4868711 0.0017431 0.0000189 0.2791369 0.0402185 0.0009920 0.0016360 0.9737421 0.0016360 0.0355775 0.5582739 0.0355775 0.0000189 0.0017431 0.4868711 0.0009920 0.0402185 0.2791369
Ixijk 0.2278690 0.0133068 0.0026263 0.0305775 0.0682320 0.0067291 0.0152252 0.4557380 0.0152252 0.0499689 0.0611550 0.0499689 0.0026263 0.0133068 0.2278690 0.0067291 0.0682320 0.0305775
Iyijk 0.2098534 0.0346144 0.0056620 0.0069843 0.0091879 0.0031684 0.0242973 0.4197068 0.0242973 0.0049217 0.0139686 0.0049217 0.0056620 0.0346144 0.2098534 0.0031684 0.0091878 0.0069843
Iijk 0.3577430 -0.0123936 -0.0024262 0.2680562 0.0173796 -0.0019278 -0.0100231 0.7154859 -0.0100231 0.0193848 0.5361125 0.0193848 -0.0024262 -0.0123936 0.3577430 -0.0019278 0.0173797 0.2680562
18 TABLA 11 VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 4) RELACIÓN DE POISSON = 0.5 Punto 1,1,1 1,1,2 1,1,3 1,2,1 1,2,2 1,2,3 2,1,1 2,1,2 2,1,3 2,2,1 2,2,2 2,2,3 3,1,1 3,1,2 3,1,3 3,2,1 3,2,2 3,2,3
Izijk 0.4868711 0.0017431 0.0000189 0.2791369 0.0402185 0.0009920 0.0016360 0.9737421 0.0016360 0.0355775 0.5582739 0.0355775 0.0000189 0.0017431 0.4868711 0.0009920 0.0402185 0.2791369
Ixijk 0.3181542 0.0526524 0.0034808 0.0579433 0.0912394 0.0114948 0.0431202 0.6363085 0.0431202 0.0649898 0.1158866 0.0649898 0.0034808 0.0526524 0.3181542 0.0114948 0.0912394 0.0579433
Iyijk 0.2659320 0.0031307 0.0000384 0.0297519 0.0048027 0.0001265 0.0029179 0.5318640 0.0029179 0.0042220 0.0595037 0.0042220 0.0000384 0.0031307 0.2659320 0.0001265 0.0048027 0.0297519
nu 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Iijk 0.1948280 -0.0261484 -0.0017408 0.2352893 -0.0078026 -0.0048186 -0.0213830 0.3896559 -0.0213830 0.0009717 0.4705787 0.0009717 -0.0017408 -0.0261484 0.1948280 -0.0048186 -0.0078026 0.2352893
TABLA 12 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 1, K 1
10 2382.530 1191.265 -831.115 831.115 0 0
12 1191.265 2382.530 -831.115 831.115 0 0
1 -831.115 -831.115 386.565 -386.565 0 0
2 831.115 831.115 -386.565 386.565 0 0
11 0 0 0 0 310.08 -310.08
13 0 0 0 0 -310.08 310.08
10 12 1 2 11 13
11 17 0 0 0 0 831.115 831.115 -831.115 -831.115 2382.530 1191.265 1191.265 2382.530
10 16 1 4 11 17
TABLA 13 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 7, K 7
10 310.08 -310.08 0 0 0 0
16 -310.08 310.08 0 0 0 0
1 0 0 386.565 -386.565 831.115 831.115
4 0 0 -386.565 386.565 -831.115 -831.115
19
TABLA 14 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K, PARA LOS PRIMEROS CINCO GRADOS DE LIBERTAD. SISTEMA GLOBAL
1 773.130 -386.565 0 -386.565 0
2 -3866.565 859.750 -386.565 0 -86.619
3 0 -386.565 773.130 0 0
4 -386.565 0 0 859.750 -86.619
5 0 -86.619 0 -86.619 346.477
(Acise3,Acisef3,Isezc24,Isezc3,Isezc31,Isezc32,Iske7,Iske8)
ANEXO 2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA. SISTEMA GLOBAL MARCO CON BARRAS ORTOGONALES SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS, NI EFECTOS DE TORSIÓN Barras horizontales
p 4EI/L 2EI/L -6EI/L 2 6EI/L2
q 2EI/L 4EI/L -6EI/L2 6EI/L2
r -6EI/L 2 -6EI/L 2 12EI/L 3 -12EI/L3
s 6EI/L 2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3
p q r s
Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q - (6EI/L 2) r + (6EI/L 2) s Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q - (6EI/L 2) r + (6EI/L2) s Vr = -wL/2 - (6EI/L 2) p - (6EI/L 2) q + (12EI/L 3) r - (12EI/L 3) s Vs = -wL/2 + (6EI/L 2) p + (6EI/L 2) q - (12EI/L 3) r + (12EI/L3) s Barras verticales
p 4EI/L 2EI/L 6EI/L2 -6EI/L 2
q 2EI/L 4EI/L 6EI/L2 -6EI/L2
u 6EI/L 2 6EI/L 2 12EI/L3 -12EI/L3
v -6EI/L 2 -6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3
p q u v
Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q + (6EI/L 2) u - (6EI/L2) v Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q + (6EI/L2) u + (6EI/L 2) v Vu = -wL/2 + (6EI/L 2) p + (6EI/L 2) q + (12EI/L 3) u - (12EI/L3) v Vv = -wL/2 - (6EI/L 2) p - (6EI/L 2) q - (12EI/L 3) u + (12EI/L 3) v
1 2 3 4 5
20
ANEXO 3 MATRIZ DE RIGIDEZ. BARRA DE UNA RETÍCULA DE CIMENTACIÓN, = 0 SISTEMA GLOBAL SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS DIRECCIÓN x, = 0 p q r 4EI/L 2EI/L -6EI/L 2 2EI/L 4EI/L -6EI/L 2 -6EI/L 2 -6EI/L2 12EI/L3 6EI/L 2 6EI/L2 -12EI/L3 0 0 0 0 0 0 DIRECCIÓN y, = 90° p q r GIt/L -GIt/L 0 -GIt/L GIt/L 0 0 0 12EI/L 3 0 0 -12EI/L 3 0 0 6EI/L 2 0 0 6EI/L 2
s 6EI/L2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 0 0 s 0 0 -12EI/L3 12EI/L3 -6EI/L2 -6EI/L2
a 0 0 0 0 GI t/L -GI t/L a 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 4EI/L 2EI/L
b 0 0 0 0 -GIt/L GIt/L
p q r s a b
b 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 2EI/L 4EI/L
p q r s a b
VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO. BARRA DE CIMENTACIÓN. SISTEMA GLOBAL
Pme =
[ wL2/12 - (11/192) L 2 r r - (5/192) L 2 r s ] cos 2 [ -wL2/12 + (5/192) L 2 r r + (11/192) L r s ] cos [ -wL/2 + (13/32) L r r + (3/32) L r s ] cos [ -wL/2 + (3/32) L r r + (13/32) L r s ] cos [ -wL2/12 + (11/192) L 2 r r + (5/192) L 2 r s ] sen [ wL2/12 - (5/192) L 2 r r - (11/192) L 2 r s ] sen
p q r s a b
21
22
2m
6m
2m
8 t/m
I = 0.0054 m4 A = 0.18 m2 5m
I = 0.000675 m4 A = 0.09 m2
I = 0.000675 m4 A = 0.09 m2
E = 2214000 t/m2
Qh3
Qh4
M5
M6 Qv1
Qv2
(Acisef)
GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA BARRAS INCLINADAS FIGURA 1
8 t/m
I = 0.0054 m4 A = 0.18 m2 5m
I = 0.000675 m4 A = 0.09 m2
I = 0.000675 m4 A = 0.09 m2
E = 2214000 t/m2
Kh Kr
Kh Kr
Kv
Kv
REACCIONES DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 3
23 6m
1.54 t/m
I = 0.0054 m4
4.6 m
1.2 t
I = 0.000675 m4
1.2 t
I = 0.000675 m4
E = 2214000 t/m2
Qh3
Qh4
M5
M6 Qv1
Qv2
GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA FIGURA 4
3
1
2
NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA 5
1.54 t/m
I = 0.0054 m4
4.6 m
1.2 t
I = 0.000675 m4
1.2 t
I = 0.000675 m4
E = 2214000 t/m2
Kh Kr
Kh Kr
Kv
REACCIONES DEL TERRENO FGURA 6
Kv
24
25
Zapata corrida
MARCO ESTRUCTURAL
(a)
DIAGRAMA DE ASENTAMIENTOS
(b)
DIAGRAMA DE REACCIONES
(c)
(Acisef3)
MARCO ESTRUCTURAL CON CIMENTACIÓN A BASE DE ZAPATA CORRIDA FIGURA 9
26
Zapata corrida
r4 r3
r5
r2
r6
r1
r7
(a)
REACCIONES DEL TERRENO
r1
r7 r2
r6 r3
r5 r4
r7
(b)
CARGAS SOBRE EL TERRENO
CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA Y EL SUELO FIGURA 10
27
28
3.2 m
3.2 m
2m
PLANTA 35 t
50 t
En la estructura: E = 1,130,000 t/m2 I = 0.05163 m4
35 t
3.7 t/m
0.5 m
Estrato 1
0.8 m
Estrato 2
1.6 m
Roca ELEVACIÓN
CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 13
O4
O5 Barra 1
(EJEMPLO 3)
O6 Barra 2
S1
S2
NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA 14
35 t
S3
(EJEMPLO 3)
50 t
35 t
3.7 t/m
r2 r1
r3
SISTEMA DE CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA FIGURA 15
(EJEMPLO 3)
29
3.2 m
3.2 m
Área 1
Área 2
1
Área 3
2
1.6 m
3
3.2 m
2m
1.6 m PLANTA
0.5 m Estrato 1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
0.8 m
Estrato 2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
1.6 m
Roca ELEVACIÓN
CÁLCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA FIGURA 16
3.2 m
(EJEMPLO 3)
3.2 m
2m
(a) 35 t
PLANTA 50 t
35 t
3.7 t/m
En la estructura: E = 1,130,000 t/m2 I = 0.05163 m4 0.5 m NAF
Estrato 1
Eu = 500 t/m2
Arcilla totalmente saturado
0.8 m
Estrato 2
Eu = 560 t/m2
Arcilla totalmente saturado
1.6 m
(b)
ELEVACIÓN
Roca
CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 17
(EJEMPLO 4)
30 4m
4m
2m
(a)
PLANTA
35 t
50 t
En la estructura: E = 1,130,000 t/m2 I = 0.05163 m4
35 t
3.7 t/m
0.5 m
Estrato 1
Ecv = 500 t/m2
Arcilla parcialmente saturada
0.8 m
Estrato 2
Ecv = 556 t/m2
Arcilla parcialmente saturada
1.6 m
(b)
ELEVACIÓN
Roca Ecv = módulo de deformación por cambio de volumen
CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 18
3.2 m
35 t
(EJEMPLO 5)
3.2 m
50 t
En la estructura: E = 1,130,000 t/m2 I = 0.05163 m4
35 t
3.7 t/m
Kv1
Kv2
(a)
35 t
Kv3
MÓDULOS DE REACCIÓN
50 t
35 t
3.7 t/m
R1 = Kv1
R2 = Kv2 (b)
(Acisef3)
R3 = Kv3
REACCIONES DEL TERRENO
MÉTODO ITERATIVO FIGURA 19
(EJEMPLO 6)
31 L/2
L/2 w
x rs rr
a) Cargas sobre la barra Theta p
Theta q Theta a
Theta b x
Delta r
Delta s
b) Grados de libertad
Ma
Mq x Mb
Vr
Mp
Vs
c) Elementos mecánicos (Barra sobre nudo) (Acisef3)
ELEMENTOS MECÁNICOS SOBRE UNA BARRA DE CIMENTACIÓN SISTEMA GLOBAL FIGURA 20
32
33
ANÁLISIS Y DISEÑO GEOTÉCNICO DE PILAS Y PILOTES Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena* NOTA PRELIMINAR Cuando las condiciones del subsuelo son tales que una cimentación somera no cumple con los requisitos de seguridad, se hace necesario transmitir las cargas de la estructura a estratos muy hondos. En este caso, decimos que utilizamos una cimentación profunda. Por lo tanto, una cimentación profunda es aquella que transmite las cargas de la estructura a depósitos muy hondos, con el propósito de que se cumplan los requisitos de seguridad del terreno de sustentación. Una cimentación profunda puede consistir de pilotes, pilas, cilindros, etcétera. Dado que estos elementos tienen una geometría análoga, aun cuando existe cierto fenómeno de escala, su forma de trabajo es similar. En consecuencia, en los siguientes incisos mencionaremos el término pilotes para la revisión de la seguridad del suelo, pero se puede emplear también para los demás elementos similares, con las adecuaciones necesarias en su caso por efectos de escala. Cabe aclarar que en las cimentaciones profundas es también muy importante el procedimiento constructivo. Una cimentación a base de pilotes puede trabajar básicamente de dos formas: a) Cuando se encuentra un estrato resistente a una cierta profundidad H (fig 1). Los pilotes se apoyan en el estrato resistente, pudiendo quedar sobre su superficie o penetrar una cierta distancia D dentro de él (fig 1). En este caso se puede presentar fricción negativa en el sedimento blando, y el pilote trabaja por punta y fricción en el estrato de apoyo (fig 2). A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de punta. *
b) Cuando el estrato resistente se halla a una profundidad muy grande, en cuyo caso los pilotes quedan “embebidos” en el sedimento blando (fig 3). En estas condiciones, la losa de apoyo transmite cierta carga en su contacto con el terreno. Los pilotes trabajan fundamentalmente por fricción lateral, aun cuando también poseen cierta capacidad de carga por punta. A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de fricción. Cabe aclarar que dado que la subestructura queda totalmente apoyada en el depósito de suelo blando, esta cimentación se debe emplear en estructuras de tamaño mediano, de moderada altura, donde la relación altura/ancho no sea muy grande. CAPACIDAD DE CARGA POR RESISTENCIA AL CORTE Capacidad de carga lateral La resistencia al corte a lo largo del fuste de un pilote está dada por (Poulos y Davis, 1980)
τa = ca + σn tan φa
(1)
Pero (fig 4)
σn = Ks pv
(2)
τa = ca + pv Ks tan φa
(3)
Por lo tanto Csu = ∫o ω (ca + pv Ks tan φa) dz
(4)
ω = perímetro del pilote Csu = ∫o ω ca dz + ∫o ω Ks tan φa pv dz
Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
2
Sea
(e2θ tan φ) cos2 β Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 cos2 (π/4 + φ/2)
∫o pv dz = A = A 1 + A2 = área bajo el diagrama pv-profundidad (fig 5)
(θ, φ y β en radianes)
Csu = ω L ca + ω Ks tan φa (A1 + A2)
En las ecuaciones 11 y 12
Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz
(5)
(6)
(12)
Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por fricción lateral de un pilote de la siguiente forma
θ = 3π/4 - φ/2 + β
CsR = ω ca L FRs1 + ω Ks tan φa FRs2 ∫o pv dz
El significado de los ángulos θ y β se indica en la fig 6.
(7)
donde FRs1 y F Rs2 son factores de resistencia, que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo. En general, en la práctica las magnitudes de FRsi varían entre 0.5 y 0.8.
φ = ángulo de fricción interna del suelo
Las distancias x y y están dadas por x = ρ cos β
(14)
y = ρ sen β
(15)
Capacidad de punta
donde
La capacidad de carga última por punta está dada por
B ρ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ e(3π/4-φ/2+β) tan φ 2 cos (π/4 + φ/2)
Cpu = qd Ab
(8)
qd = f c c Nc + f q pvb Nq
(9)
donde f c y f q son factores de forma del cimiento, que dependen de la clase de suelo c = cohesión del suelo pvb = presión vertical al nivel de desplante del pilote, a un costado del mismo Ab = área de la base del pilote La ec 8 queda Cpu = Ab (f c c Nc + f q pvb Nq)
(10)
Nc y Nq son factores de capacidad de carga que valen (fig 6; Zeevaert, 1973) Nc = tan ( π/4 + φ/2) e2θ tan φ - 1 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 cos2 (π/4 + φ/2) tan φ
(11)
(13)
(16)
En el caso general, los pilotes pueden penetrar dentro del estrato resistente; Zeevaert (1973) hace la hipótesis de que el máximo desarrollo de la superficie de falla se alcanza para β = φ (fig 6). Las distancias x max y y max se obtienen usando las ecuaciones 14 y 15, haciendo β = φ en la ec 16. En síntesis, si el pilote se apoya sobre la superficie del estrato resistente, los factores de capacidad de carga N c y Nq se hallan haciendo β = 0 en las ecuaciones 11 y 12. Si la profundidad de empotramiento es mayor que ymax, se usan las ecuaciones 11 y 12 con β = φ. Si el pilote penetra una distancia y < ymax, mediante ensaye y error con las ecuaciones 15 y 16 se determina el ángulo β que forma el radio vector con la horizontal; con la magnitud de β se utilizan las ecuaciones 11 y 12 para obtener N c y Nq. [Cabe destacar que Vesic (1967) señala que los valores de Nq que exhiben un mejor acercamiento a resultados de pruebas de campo son los dados por Berezantzev et al (1961). Las magnitudes de Nq dadas por la ec 12 (Zeevaert, 1973) son similares a las de
3 Berezantzev et al, con la ventaja de que se toma en cuenta además la profundidad de empotramiento del pilote en el estrato de apoyo.] Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por punta de un pilote de la siguiente forma CpR = Ab (f c c Nc FRp1 + f q pvb Nq FRp2)
(17)
donde FRp1 y F Rp2 son factores de resistencia, que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo. En general, en la práctica las magnitudes de FRpi varían entre 0.35 y 0.7.
Para φa = φu = 0, de la ec 12, con β = φ = 0: Nq = 1. El factor Nc no se puede obtener con la ec 11. En teoría de la plasticidad se demuestra que Nc = 2 + π Skempton encontró que la capacidad resistente en un material cohesivo aumenta con la profundidad de empotramiento en el estrato de apoyo (fig 10), hasta un máximo, después de la cual se mantiene constante. Así, para D/B = 2 el factor Nc = 7.5.
Cabe señalar que en la práctica se recomienda la ejecución de pruebas de carga de pilotes en campo, para verificar los valores de la capacidad lateral y de la capacidad por punta.
Podemos establecer que
Materiales cohesivos
En materiales cohesivos f q = 1, por lo que
Condiciones a corto plazo
qd = f c cu Nc + pvb
Las arcillas saturadas, a corto plazo, se comportan como materiales puramente cohesivos, en cuyo caso φa = φu = 0 (Poulos y Davis, 1980). Reemplazando en la ec 5
Sustituyendo en la ec 20
Csu = ω ca L
(18)
Los valores de ca dependen del procedimiento constructivo. Para pilotes hincados a golpes se pueden usar la fig 7 (McClelland, 1974), la fig 8 (O’Neill, 2001) o la tabla 1 (Tomlinson, 1957). Para pilotes colados en el lugar se puede emplear la fig 9 (O’Neill, 2001). En estas figuras α = ca/cu. Si se trabaja con la capacidad resistente por adherencia, ésta se define como CsR = ω ca L FRs
(19)
Nc = 5.14 (1+ 0.23 D/B)
Por lo anterior, para D/B < 2 se emplea la ec 22. Para D/B ≥ 2 se usa Nc = 7.5.
Cpu = (f c cu Nc + pvb) Ab
CpR = (f c cu Nc FRp + pvb) Ab
La capacidad última en la cabeza del pilote, por equilibrio de fuerzas vertical es la suma de Csu y Cpu, menos el peso del pilote, es decir Qu = Csu + Cpu - Wpil Qu = ω ca L + Ab (f c cu Nc + pvb) - Wpil
Por otra parte, la capacidad última por punta vale (ecuaciones 8 y 9)
Ab pvb ≅ Wpil
qd = f c cu Nc + f q pvb Nq
(21)
(24)
En general 0.35 ≤ FRp ≤ 0.7
Pero
(20)
(23)
Por otra parte, la capacidad resistente por punta se define
En general 0.5 ≤ FRs ≤ 0.8
Cpu = qd Ab
(22)
Qu ≅ ω ca L + f c Ab cu Nc
(25)
Las magnitudes de ca se pueden tomar de las figuras 7 u 8, o de la tabla 1. N c se calcula
4 con la ec 22. Para fines prácticos se puede tomar, para un pilote de sección circular o cuadrada, f c ≅ 1.2. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular, hincado a golpes en una arcilla totalmente saturada, que tiene las siguientes características. cu = 30 kPa; φ = 30 cm, L = 18 m, profundidad NAF = 3 m, f c = 1.2. Solución Adherencia lateral Interpolando valores en la tabla 1: ca = 26.25 kPa P = π d = π(0.3) = 0.9425 m Capacidad por punta Ab = πd2/4 = π(0.3)2/4 = 0.070686 m2 D/B = 18/0.3 = 60 > 2 De la ec 20 Nc = 5.14 (1+ 0.23 (2)) = 7.5 Sustituyendo en la ec 25 Qu = 0.9425(26.25)(18)+1.2(0.070686)(30)(7.5)
Qu = 445.33 + 19.09 = 464.42 kN
------
1 – sen2φ sen φ cos φ ph = ⎯⎯⎯⎯⎯ + 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + sen2φ 1 + sen2φ
(28)
A lo largo del fuste del pilote la resistencia al corte vale (fig 11) sa = ca + ph tan φa
(29)
Sustituyendo la ec 28 en la ec 29 sen φ cos φ sa = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ
Sean
1 – sen2φ + pv ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ
(30)
sen φ cos φ c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ
(31)
1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ
(32)
Reemplazando en la ec 30 Condiciones a largo plazo Consideremos el estado de esfuerzo en un elemento cercano al fuste del pilote (fig 11). La ley de resistencia al corte del suelo es (fig 12) s = c + p h tan φ
Suelos friccionantes La capacidad lateral vale (ec 5)
Si ca = 0 (26)
Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz
(34)
La capacidad por punta es (ec 10)
Además
Cpu = Ab (f c c Nc + f q pvb Nq)
(pv – ph)/2 sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯ a a = (pv – ph)/2 sen φ
(33)
Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz
De acuerdo con la fig 12 a sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ c cot φ + (ph + pv)/2
sa = c* + K φ pv
En suelos friccionantes, para un pilote de sección circular o cuadrada, f c ≅ f q = f f ≅ 1.2, así (27)
Reemplazando la ec 27 en la ec 26 y despejando ph
Cpu = Ab f f (c Nc + pvb Nq)
(35)
Si además c = 0 Cpu = Ab f f p vb Nq
(36)
5 Para pilotes hincados se debe emplear Si la punta del pilote se encuentra bajo el nivel de agua freática (NAF), la capacidad última vale
φ = (3/4) φ1’ + 10°
Cpu = Ab f f p vb’ Nq + Ab ub
φ1’ = ángulo de fricción interna del suelo previo a la instalación del pilote
siendo ub la presión hidráulica en la punta del pilote. Pero
Mientras que para pilotes colados in situ se utiliza
pvb = pvb’ + ub
φ = φ1’ - 3°
Así
El factor de capacidad de carga N q se obtiene con la ec 12 (Zeevaert, 1973). Para pilotes hincados se debe emplear
Cpu = Ab (f f pvb’ Nq + pvb – pvb’)
Cpu = Ab [f f p vb’ (Nq – 1) + p vb] Cpu ≅ Ab [f f pvb’ Nq + pvb]
(37)
La capacidad de carga resistente se define CpR ≅ Ab [f f pvb’ Nq FRp + pvb]
(38)
Por otra parte, por equilibrio de fuerzas verticales Qu = Csu + Cpu - Wpil
(39)
Reemplazando las ecuaciones 34 y 35 en la ec 39 Qu = ∫o ω pv Kstan φa dz + A b f f pvb Nq - Wpil (40) Qu = ω Kstan φa ∫o pv dz + Abf f pvb Nq) - Wpil
Observamos que ∫o pv dz = A = A 1 + A2 = área bajo el diagrama p v-profundidad (fig 5). La capacidad última queda Qu = ω Kstan φa (A1+A2) + Ab f f pvbNq - Wpil (41)
En caso de que la arena se encuentre bajo el nivel de agua freática (NAF), se debe trabajar con el diagrama de presión efectiva en lugar del diagrama de presión total, y usar φa’ en lugar de φa en la ec 41. Por otra parte, se ha observado experimentalmente que en suelos friccionantes p v no aumenta indefinidamente con la profundidad, sino que se mantiene constante a partir de una profundidad crítica zc. Los valores del cociente zc/d y de Ks tan φa’ se presentan en la fig 13 (Poulos y Davis, 1980), tanto para pilotes hincados (driven piles) como para pilotes colados en el lugar (bored piles).
φ = (φ1’ + 40°)/2
(42)
(43)
(44)
mientras que para pilotes colados in situ se utiliza
φ = φ1’ - 3°
(45)
Si se usa inyección de agua la capacidad de carga lateral se reduce en un 50%. En arenas calcáreas con ángulos de fricción mayores que 35° se tiene que reducir la capacidad de carga dada por las expresiones anteriores. McClelland (1974) sugiere que la resistencia de fricción se limite a 19 kPa y la resistencia de punta a 4800 kPa. En estas circunstancias, pilotes colados en el lugar dan una mejor solución al problema que los pilotes hincados a golpes. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular, en un suelo puramente friccionante que tiene las siguientes características φ1’ = 36°, Dr = 0.6, γ = 18 kN/m3; L = 15 m, diámetro d = 0.25 m, f f = 1.2, profundidad NAF = 4 m Considerar las siguientes opciones a) Pilote colado en el lugar b) Pilote hincado a golpes Solución a) Pilote colado en el lugar Fricción lateral Csu = ∫o P pv’ Ks tan φa’ dz
6 (ec 43) φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° zc/d = 6 (fig 13a) φ = φ1’ = 36°, Ks tan φa’ = 0.25 (fig 13c) zc = 6(0.25) = 1.5 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama p v’-z (fig E1) ∫o pv’ dz = (1/2)(1.5)(27)+27(15-1.5) = 384.75 kN/m Csu = π(0.25)(384.75)(0.25) = 75.5 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [f f pvb’ Nq + pvb] Con φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° (ec 43) Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 33º: xmax = 1.22 m, y max = 0.79 m < 15 m Aplicando la ec 12, con β = φ = 33º: Nq = 47.90 Cpu = [π(0.25)2/4][(1.2)(27)(47.9)+27] = 77.5 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 75.5 + 77.5 - 17.7 = 135.3 kN b) Pilote hincado a golpes Fricción lateral (ec 42) φ = (3/4) φ1’ + 10° = 37° zc/d = 8 (fig 13a) zc = 8(0.25) = 2 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama p v’-z (fig E2) ∫o pv’ dz = (1/2)(2)(36)+36(15-2) = 504 kN/m Ks tan φa’ = 1.6 (fig 13b) Csu = π(0.25)(504)(1.6) = 633.3 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [f f pvb’ Nq + pvb] (ec 44) φ = (φ1’ + 40°)/2 = 38° Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 38º: xmax = 1.83 m, y max = 1.43 m < 15 m Por lo tanto, aplicamos la ec 12, con β = φ = 38º: Nq = 107.73 Cpu = [π(0.25)2/4][(1.2)(36)(107.73)+36 = 230.2 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 633.3 + 230.2 - 17.7 = 845.8 kN. -----Ejemplo Calcular la capacidad de carga admisible por fricción y por punta del pilote de sección circular de la fig E-3a; d = 0.4 m. Se trata de un pilote hincado a golpes. Solución Fricción lateral Csu = ∫o ω pv’ Ks tan φa’ dz φ1’ = 40º
φ = 3 φ1’/4 + 10 ° = 3(40)/4+10 = 40º (ec 42) zc/d = 14.5 (fig 13a) zc = 14.5(0.4) = 5.8 m > 2.8 m (fig E-3a) El diagrama pv’-z se muestra en la fig E-3b. ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama p v’-z = 62.654(2.8)+(1/2)(85.586-62.654)(2.8) = 207.54 kN/m Con φ = 40º, K s tan φa’ = 2.1 (fig 13b) Csu = π(0.4)(207.54)(2.1) = 547.7 kN Capacidad por punta Como se trata de un suelo totalmente saturado, usamos la ec 37 Cpu ≅ Ab [f f pvb’ Nq + pvb] (ec 44) φ = (φ1’ + 40°)/2 = 40° Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 40º: xmax = 3.51 m, y max = 2.94 m > 2.8 m (fig E-3a). Por lo tanto, usando las ecuaciones 15 y 16, por ensaye y error hallamos que con β = 38.6º, y = 2.8 m Así, β = 38.6º = 0.6737 rad, φ = 0.6981 rad (ec 13) θ = 3π/4 - φ/2 + β = 2.6808 Usando la ec 12 (e2(2.6808) tan 0.6981 ) cos2 0.6737 Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 153.75 2 cos2 (π/4 + 0.6981/2) Cpu = [π(0.4)2/4][(1.2)(85.586)(153.75)+85.586]
= 1995.1 kN
-------Pruebas de campo La capacidad de carga última de un pilote se puede obtener mediante la ejecución de las siguientes pruebas de campo. Cono holandés Qu = qc Ab + 2 f cm As
(46)
donde qc = resistencia en la punta del cono f cm = fricción lateral promedio en la funda del cono Ab y As son las áreas en la base y lateral del pilote, respectivamente Penetración estándar Qu = 400 N A b + 2 Nm As 2 Nm ≤ 100 kPa
(47)
7 N = número de golpes bajo la punta del pilote Nm = número de golpes promedio a lo largo del pilote Qu en kN, Ab y As en m2 Correlaciones El ángulo φ1’ se puede obtener con la fórmula de Meyerhof (1956)
φ1’ = 28º + 15 D r
(48)
Dr = compacidad relativa O bien, se puede emplear la expresión de Kishida (1967)
φ1’ = √ 20 N + 15º
(49)
de volteo son los ubicados cerca de la periferia de la losa de cimentación. El error que se comete al considerar que el eje neutro pasa por el centro del cimiento es mínimo, pues los pilotes ubicados cerca de la parte central tienen un brazo de palanca muy pequeño, por lo que se puede despreciar su contribución para el momento resistente). En el contacto losa-terreno se debe tomar MRy’ = Myu – MRy
La excentricidad de la reacción del suelo, en dirección x es ex = MRy’ / Pu
(53)
En forma análoga obtenemos
Además de revisar la capacidad de carga individual de cada pilote, se debe verificar la capacidad de carga del grupo de pilotes, considerando a dicho grupo como una gran “zapata”, de dimensiones iguales a la envolvente del grupo. Un caso especial es el de una cimentación a base de pilotes de fricción, donde parte del peso del edificio lo toma la losa en el contacto con el suelo, y la otra parte la toman los pilotes, trabajando a la falla. La presión última sobre el terreno en el contacto con la losa debe ser menor que la capacidad de carga resistente del suelo qR a ese nivel. Si además el inmueble transmite una fuerza vertical y dos momentos de volteo al terreno (fig 14), podemos considerar que al nivel de desplante de la losa obran una fuerza vertical última Pu y dos momentos últimos M xu y Myu alrededor de los ejes x y y, respectivamente (fig 14). Podemos hacer la hipótesis de que el momento que toman los pilotes alrededor del eje y es (fig 15) MRy = Σ CRi xi
(52)
El ancho reducido para fines de revisión de la capacidad de carga en el contacto losa-suelo vale B’ = B – 2e x
Grupo de pilotes
(51)
(50)
(Esta hipótesis es razonable, pues los pilotes trabajan a la falla en condiciones normales, y los que más contribuyen a tomar el momento
MRx = Σ CRi xi
(54)
MRx’ = Mxu – MRx
(55)
ey = MRx’ / Pu
(56)
L’ = L – 2e y
(57)
La revisión de la seguridad del suelo, en el contacto losa-terreno, la llevamos a cabo usando las dimensiones reducidas B’ y L’, obtenidas con las ecuaciones 53 y 57, considerando a la losa como una zapata de gran tamaño. FRICCIÓN NEGATIVA Decremento esfuerzo en el suelo por fricción negativa La fricción negativa produce una disminución de los esfuerzos normales verticales en el suelo aledaño al fuste del pilote. Denominemos pvo al esfuerzo vertical inicial (antes de la colocación del pilote) y pvf al esfuerzo vertical que ya toma en cuenta la disminución de esfuerzo por la fricción negativa. La fricción negativa al nivel i vale (fig 16)
8 (FN)i = (FN)i-1 - ω sa Δzi
(58)
donde ω = perímetro del pilote Considerando un área efectiva ai-1 alrededor del pilote, la disminución de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva, en el nivel (i-1) es
(σzo)m = αzo σza
αzo = (σzo)m / σza
(pvoi-1 – pvfi-1) = (FN)i-1 / ai-1
(62)
O bien
es decir (FN)i-1 = (pvoi-1 – pvfi-1) ai-1
pilotes, y debe ser considerado en los cálculos (Zeevaert, 1973). Sea Σon [σzo] = (σzo)m el cambio total en esfuerzo vertical en el fuste del pilote O, debido al efecto de todos los pilotes en el grupo, incluyendo el pilote O. Podemos escribir
(59)
Considerando un área efectiva a i alrededor del pilote, el decremento de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva, en el nivel i es
Σon [σzo] = αzo σza
(63)
Sea a el área tributaria efectiva; se puede establecer la siguiente condición (Zeevaert, 1973) a Σ1n [σzo] = (σza) ao
(64)
Reemplazando la ec 63 en la ec 64 (pvoi – pvfi) = (FN)i / ai (FN)i = (pvoi – pvfi) ai
a αzo = ao (60)
Sustituyendo la ec 60 en la ec 58, y despejando pvfi pvoi ai - (FN)i-1 - (c* + K φ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (61) ai + P Kφ Δzi / 2
La determinación del diagrama de presión vertical final pvfi se lleva a cabo de la siguiente forma: en cabeza del pilote p vf = p vo y (FN) = 0; con estos valores se emplea la ec 61 y se obtiene p vfi. (FN)i se calcula con la ec 60. El proceso se repite hasta llegar a la punta del pilote. Área tributaria efectiva Para determinar la presión vertical efectiva final pvfi con la ec 61 –debida al efecto de la fricción negativa- es necesario conocer el área tributaria efectiva a i. Para un área tributaria constante ao = λ β, donde λ y β miden el espaciamiento entre pilotes, se obtiene un decremento de esfuerzo normal vertical σza = pvo - pvf , obtenido como σza = (FN)/ao. El decremento de esfuerzo en el fuste del pilote es una función de la influencia de cada pilote en el campo sobre otros
αzo = ao / a
(65)
O bien a = ao / αzo
(66)
Vemos que si se puede estimar el valor de αzo = ( σzo)m / σza (ec 62), un valor aproximado del área tributaria efectiva a se puede obtener con la ec 66. Para lograr lo anterior, se requiere calcular la magnitud de σzo en el fuste de un pilote aislado. Zeevaert (1973) considera un pilote sometido a fricción negativa, y obtiene los valores del decremento de esfuerzo vertical σzr a una distancia r del centro del pilote (fig 17). El mismo Zeevaert resuelve los tres siguientes casos CASO I sa = kz La magnitud de σzr está dada por
σzr = r ok { (zt/r) (1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] } donde
zt = z / √ 2
(67) (68)
9 Tomando en cuenta le ec 74 Sea Izr = (zt/r)(1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] (69) Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes, la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale
Σ1n σzo = r o k Σon Izr
(70)
Por otra parte
σza ao = ∫o 2πr o sa dz = ∫o 2πr o kz dz = πr o kz2 Sustituyendo en la ec 64 a Σ1n [σzo] = πr o kz2
a = 2π z2 / √ 2 Σon Izc
(75)
CASO III sa = c* + kz Este problema se resuelve sumando los casos I y II anteriores (Zeevaert, 1973). Para el caso I:, considerando s a = kz: σzo = r o k Σon Izr Para el caso II, considerando s a = c* = k h e = constante con la profundidad: σzo = r o k (he/z) Σon Izc La suma de las dos expresiones anteriores debe ser igual a la fricción total en el fuste del pilote, con variación lineal con la profundidad, es decir
a = πr o kz2 / Σ1n σzo Tomando en cuenta la ec 70 a = πr o kz2 / r o k Σon Izr = π z2 / Σon Izr
(71)
Por lo tanto
El radio del área tributaria efectiva vale R = √ a / π
2πr o [ k he z + k z 2 / 2 ] = [ r o k Σon Izr + r o k (he/z) Σon Izc ] a
(72)
CASO II sa = c* = constante σzc = r o sa Izc / z
(2he + z) πz2 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ z Σon Izr + he Σon Izc
(76)
Para fines prácticos, los valores de h e y k a emplearse en la ec 76 se obtienen de la forma siguiente: de acuerdo con la ec 33
donde Izc = (zt/r) (1 – sen ψ)
(73)
Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes, la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale n
Σ1 σzo = (r o sa / zt)
Σon Izc
(74)
sa = c* + K φ pv sa = c* + K φ (pv/z) z Pero sa = c* + k z Por lo tanto
Por otra parte
σza ao = ∫o 2πr o sa dz = 2 πr o sa z Sustituyendo en la ec 64 n
a Σ1 [σzo] = 2πr o sa z a = 2πr o sa z / Σ1n σzo
k = Kφ (pv/z)
(77)
Para el caso II: c* = k h e, por lo tanto he = c* / k
(78)
10 Área del campo de pilotes El área tributaria obtenida con las ecuaciones 71, 75 ó 76 no puede ser mayor que el área limitada por el campo de pilotes, la cual depende de la posición de cada pilote (fig 18). Las áreas limitada por el campo de pilotes valen (Zeevaert, 1973) Pilote de esquina ae1 = π Re12/4 + Re1(βFa + λFB)/2 + βλ/4 - Ab (79) Pilote de borde en dirección β ae2 = F AβRe2 + βλ/2 - Ab (80) Pilote de borde en dirección λ ae3 = FBλRe3 + βλ/2 - Ab
(81)
Pilote interior ae4 = βλ - Ab
(82)
En las ecuaciones anteriores F A = A Re2 / β + (cos A)/2 FB = B Re3 / λ + (cos B)/2
(83) (84)
Los ángulos A y B (fig 18) deben estar en radianes. En las expresiones anteriores, R ei es el radio de influencia del área tributaria, que vale Rei = √ ai / π
(85)
donde ai es el área tributaria, obtenida con las ecuaciones 71, 75 ó 76. [El profesor Zeevaert ha calculado con buen éxito la fricción negativa, con el criterio aquí expuesto, para pilotes en la arcilla de la ciudad de México. Además, se determinó la fricción negativa sobre unos pilotes reportados por Endo et al (1969) y se comparó con la fricción negativa medida en el campo, con muy buenos resultados; véase Zeevaert (1973; apéndice E).] Ejemplo Calcular la fricción negativa sobre cada pilote de la fig E-4. Considerar en la arcilla: c = c a = 0, φ = φa = 26º, γsat = 14 kN/m 3. Solución Haremos los cálculos para el estrato 1 Obtención del área tributaria efectiva
Usamos la ec 71 a = πr o kz2 / r o k Σon Izr = π z2 / Σon Izr De la ec 69 Izr = (zt/r) (1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] Haremos el cálculo para z = 2.5 m (profundidad de contacto entre los estratos 1 y 2, fig E-4) zt = z / √ 2 = 2.5/√ 2 = 1.7678 m (ec 68) r = r o = 0.2 m ψ = tan-1 (r/zt) = 6.455° Izr = (1.7678/0.2) (1 - sen 6.455°) + [cos 6.455° + ln (tan 6.455°/2)] = 5.963 Calculemos Izr para el pilote vecino (r = 2 m): ψ = tan-1 (r/zt) = tan-1 (2/1.7678) = 48.527° Izr = (1.7678/2) (1 - sen 48.527°) + [cos 48.527° + ln (tan 48.527°/2)] = 0.08704 Para el pilote de la esquina obtenemos: I zr = 0.08437 Así, Σon Izr = 5.963+0.08704(2)+0.08437 = 6.172 Usando la ec 31: c* = 0 Empleando la ec 32 1 – sen2φ 1 – sen2 26° Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26° 1 + sen2φ 1 + sen2 26° Kφ = 0.3305 Sustituyendo valores en la ec 71 a = π z2 / Σon Izr = π(2.5)2 / 6.172 = 3.181 m 2 Obtengamos el área de influencia: Re1 = √ ai / π (ec 85) √ π Rei = 3.181 / = 1.006 m Re2 = Re3 = Re1 = 1.006 m Sustituyendo valores en las ecuaciones 83, 84 y 79 F A = (1.459)(1.006)/2 + (cos 1.459)/2 = 0.7897 FB = 0.7897 ae1 = π(1.006)2/4+1.006[2(0.7897) +2(0.7897)]/2+2(2)/4-0.1257 = 3.258 m 2 a1 = 3.181 m 2 < ae1 = 3.258 m2 Por lo tanto, en los cálculos debemos usar un área tributaria a 1 = 3.181 m2 Para obtener el decremento de esfuerzo por fricción negativa usamos la ec 61 pvoi ai - (FN)i-1 - (c* + K φ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ai + ω Kφ Δzi / 2 En la cabeza del pilote p vf = pvo = 0 y (FN) = 0 A la profundidad de 2.5 m: pvoi = 14(2.5) = 35 kPa ω = 1.2566 m
11 30Lr 2z(z+L) - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] R27
35(3.181) - 0 - 0 pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.181 + 1.2566(0.3305)(2.5)/2
(87)
pvf = 30.089 kPa La fricción negativa a la profundidad de 2.5 m la hallamos usando la ec 60 (FN)i = (pvoi – pvfi) ai = (35 – 30.089)(3.181) = 15.622 kN La determinación de la fricción negativa en los estratos 2 y 3 se lleva a cabo en forma similar. En la tabla E-1 se presentan los cálculos correspondientes. ---------
CÁLCULO DE DEFORMACIONES
(1-2ν)(3-4ν)(z+L) - (1-2 ν)6L + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R23 4(1-ν)(1-2ν) (1-2ν)6L(z+L)2-6L2(z+L) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] R2(R2+z+L) R25 (88) Siendo R1 = [r 2 + (z-L)2]1/2
Solución de Mindlin
R2 = [r 2 + (z+L)2]1/2
Mindlin (1936) obtuvo los esfuerzos den tro de un medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico, producidos por una fuerza concentrada P, aplicada a una profundidad z (fig 19). Dichos esfuerzos valen P (1-2ν)(z-L) (1-2 ν)(z-L) σz = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R13 R23 R15 3(z-L)3 3(3-4ν)z(z+L)2 – 3L(z+L)(5z-L) - ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R15 R25 30zL(z+L)3 - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] R27
P (1-2ν)(z-L) σθ = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R13
(86)
P (1-2ν)(z-L) (1-2 ν)(z+7L) σr = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R13 R23 4(1-ν)(1-2ν) 3r 2(z-L) + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ R2(R2+z+L) R15 6L(1-2ν)(z+L)2 – 6L2(z+L)-3(3-4ν)r 2(z-L) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R25
(89) (90)
Pilotes de punta En general es necesario calcular el asentamiento bajo la punta del pilote, el cual se debe a los esfuerzos ocasionados por la presión en el contacto suelo-pilote y por la fricción a lo largo de la superficie lateral del pilote. Obtendremos a continuación los esfuerzos bajo el centro del pilote, integrando la solución de Mindlin (1936). Los esfuerzos normales a una profundidad z, producidos por un círculo de radio a, con carga uniforme q aplicada a una profundidad L de un medio semiinfinito (fig 20), bajo el centro de dicho círculo, están dados por q 1 1 2L σz = ⎯⎯⎯ {(1-2ν)(z-L) [ ⎯ - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A B (z-L)(z+L) 1 1 + (z-L) 3 [ ⎯ - ⎯⎯ ] A3 (z-L) 3 1 1 + [(3-4ν)z(z+L) 2 – L(z+L) (5z-L) ] [ ⎯ - ⎯⎯ ] B3 (z+L) 3
12
1 1 + 6zL(z+L) 3 [ ⎯ - ⎯⎯ ] B5 (z+L) 5
(91)
4m(2-ν) 4m2 + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ ] (m+1)2 (m+1)3
q 1 1 σr = ⎯⎯ {-(1-2ν)(z-L) [ ⎯ - ⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A z-L
6m 2m2 - ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] (m+1)2 (m+1)3
(z+L) +B -4(1-ν)(1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ] 2(z+L)
(99)
Para carga lateral aumentando linealmente con la profundidad
1 (z-L) 2 2 -3(z-L) [- ⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ] A 3A3 3(z-L)
1 2(2-ν)m 6(2-ν)m 2(7-2ν)m2 Kz = ⎯⎯⎯ [ 2 - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ 4π(1-ν) (m-1) (m+1) (m+1)2
1 1 -2L[(1-2ν)(z+L) 2 – L(z+L) ] [ ⎯ - ⎯⎯ ] B3 (z+L) 3
4m3 m2-1 + ⎯⎯⎯ - 2(2-ν) ln ⎯⎯⎯ ] (m+1)3 m2
2
1 (z+L) 2 -3(3-4ν)(z-L) [- ⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] B 3B3 3(z+L) (92)
donde A = [a2 + (z-L) 2]1/2
(93)
B = [a2 + (z+L) 2]1/2
(94)
(100)
1 Kr = ⎯⎯⎯ { 11 - 2(1-2ν)(1-ν) 4π(1-ν) m-1 m+1 2 + (1-2ν) ln ⎯⎯ + (1-2ν) ln ⎯⎯ m m m+1 m m - 6 ln ⎯⎯ + (1-2ν) ⎯⎯ + [(1-2ν)2 – 18] ⎯⎯ m m-1 m+1
Los esfuerzos bajo el eje del pilote (fig 21) producidos por la fricción lateral valen (Geddes, 1966)
9m2 2m3 + ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ } (m+1)2 (m+1)3
P σz = - Kz ⎯ L2
(95)
Procedimiento de cálculo
P σr = - Kr ⎯ L2
(96)
Sea m = z/L
(97)
Para carga lateral uniforme
(98)
1 2+2ν(1-2ν) (1-2ν) 6-(1-2ν)2 Kr = ⎯⎯⎯ [ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1)
1 1 + (1-2ν)(z+7L) ( ⎯ - ⎯⎯ ) B z+L
1 (z+L) 2 2 -30Dz(z+L) [ - ⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] } 3B3 5B5 15(z+L) 3
1 4(1-ν) 2(2-ν) 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [ - ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1)
(101)
Dado que el desplazamiento necesario para desarrollar la máxima fricción lateral es en general menor que el necesario para desarrollar la capacidad por punta, podemos hacer la hipótesis de que el pilote trabaja a la falla por fricción lateral, y con este resultado calcular la carga en la punta. Además, para que se satisfaga la condición de frontera de que la presión de contacto pilote-suelo es igual a la carga en la punta entre el área de
13 la base del pilote, los valores dados por la ec 91 se deben multiplicar por 2. Ejemplo Para la zapata apoyada sobre pilotes de punta de la fig E-4, calcular el asentamiento de cada pilote. Pilotes hincados a golpes. Sobre cada pilote actúa una fricción negativa de 117 kN. En la arcilla γsat = 14 kN/m3 En la arena γsat = 18 kN/m3, c = 0, φ1’ = 40°, ν = 0.263. N = 50 golpes, A v = 1333.5, s v = 0.5, Af = 4034.0, sf = 1.5. Solución Fricción lateral Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz (ec 34) Csu = ω Ks tan φa A1 + ω Ks tan φa A2 ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama p v’-z (fig E5) = A 1 + A2 Csu = P1 + P2 Donde P1 = ω Ks tan φa A1 P2 = ω Ks tan φa A2 (ec 42) φ = (3/4) φ1’ + 10° zc/d = 15 (fig 13a) zc = 15(0.4) = 6 m > 2.8 m La presión efectiva a 9.1 m de profundidad (fig E-5) vale 14(2.5)+(9.1-2.5)(14-9.81) = 62.654 kPa La presión efectiva a 11.9 m de profundidad vale 62.654+(11.9-9.1)(18-9.81) = 85.586 kPa En la fig E-6 se muestran las magnitudes de la presión efectiva a 9.1 y 11.9 m de profundidad. De este diagrama A1 = 175.431 kN/m, A2 = 32.105 kN/m. Ks tan φa’ = 2.1 (fig 13b) ω = π(0.4) = 1.2566 m P1 = 1.2566(2.1)(175.431) = 462.95 kN P2 = 1.2566(2.1)(32.105) = 84.72 kN P1 y P2 son las fuerzas que actúan sobre el área lateral del pilote. La primera actúa como carga distribuida en forma uniforme, y la segunda como carga que aumenta linealmente con la profundidad. La fricción positiva última vale 462.95+84.72 = 547.7 kN La carga sobre cada pilote es 3478/4 = 869.5 kN Por equilibrio de fuerzas verticales: 869.5+117-547.7-Cp = 0 Por lo tanto, la fuerza que obra en la punta del pilote Cp = 438.8 kN
El incremento de esfuerzo en la punta del pilote es q = 438.8/0.12566 = 3492 kPa La arena bajo la punta del pilote la dividimos en “subestratos” de 10 cm de espesor. En la tabla E-2 se muestran los incrementos de esfuerzo vertical y horizontal, para los primeros 4 “subestratos”, aplicando las ecuaciones 76, 77, 80, 81, 83, 84, 85 y 86. Se usó a = 0.2 m, L = 11.9 m En la tabla E-3 se exhiben los valores calculados de la deformación por cambio de volumen y por cambio de forma de la arena. Calculando las deformaciones hasta una profundidad de 2.4 m bajo el desplante del pilote (profundidad total 14.3 m), se obtiene un asentamiento por cambio de volumen de 0.00068 m y un asentamiento por cambio de forma de 0.04246 m. El asentamiento total resulta de 0.00068+0.04246 = 0.04314 m = 4.3 cm. ---------Pilotes de fricción Los esfuerzos normales ocasionados por la fricción lateral sobre el pilote (fig 22) valen (Geddes, 1966; Poulos y Davis, 1974) P σz = - Kz ⎯ L2
(102)
P σr = - Kr ⎯ L2
(103)
P σθ = - Kθ ⎯ L2
(104)
Sean
m = z/L
(105)
n = r/L
(106)
A = [n2 + (m-1)2]1/2
(107)
B = [n2 + (m+1)2]1/2
(108)
F = (n2 + m2)1/2
(109)
Entonces:
14 2(1-2ν)2 - 6(1-2ν)(m/n)2 - 6 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F
Carga lateral uniforme 1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ { - ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A
2m2-4νn2+2(1+2ν)(m/n)(m+1)2(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3
2(2-ν)+2(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B
4νn2-2m2-2(1+2ν)m2(m/n)2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3
(1-2ν) 2(m/n)2 n2 4m2-4(1+ν)(m/n)2m2 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F A3 F3
1 1 - 4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ] } (97)112) F+m B+m+1
4m(1+ν)(m+1)(m/n+1/n)2 –(4m2+n2) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 6m2[(m4-n4)/n2] 6m[mn2- (1/n2)(m+1)5] + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } F5 B5 (110)
1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [- ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A
1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A
2(2-ν)(4m+1)-2(1-2ν)(m/n)2(m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B
(7-2ν)-12(1-ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B
2(1-2ν)(m3/n2)-8(2-ν)m mn2 + (m-1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F A3
4(2-ν) –12(1-ν)(m/n)2 n2 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯ F A3 2
2
2
2
2
4νn2m+4m3-15n2m-2(5+2ν)(m/n)2(m+1)3+(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3
2
4n -2m +2(1+2ν)(m/n) m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3
2(7-2ν)mn2-6m3+2(5+2ν)(m/n)2m3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3
2
3n -2m +2(1+2ν)(m/n)(m+1) (m/n+1/n) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 2
2
4
2
Carga lateral aumentando linealmente con la profundidad
4
2 2
6[n m -m (m/n) ] 6[(m/n)(m+1) (m/n+1/n)-m n + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F5 B5 1 1 + 4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ] } F+m B+m+1 1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 6-(1-2ν)(3-4ν)+6(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B
(111)
6mn2(n2-m2)+12(m/n)2(m+1)5 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B5 12(m/n)2m5+6mn2(n2-m2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F5 (A+m-1)(B+m+1) - 2(2-ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] } (F+m)2 1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A
(113)
15 (7-2ν)-12m+12(1-ν)(m/n)2(m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B
m-1 m - 2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯ ] } B+m+1 F+m
12m-12(1-ν)(m3/n2) (m-1)3+mn2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ F A3 3(m+1)3-2m3+(21-4ν)mn2+2(5+2ν)(m/n)2(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 2(5+2ν)(m5/n2)+ 4(5-ν)(mn2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3
6mn2(m2-n2)-12(m7/n2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F5 (A+m-1) B+m+1 + (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν)2-6] ln [ ⎯⎯⎯ ] (F+m) F+m m-1 m + 2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯ ] } B+m+1 F+m
Otro criterio para estimar el asentamiento de una cimentación a base de pilotes apoyados en un suelo friccionante que se extiende a gran profundidad, consiste en el empleo de la siguiente fórmula (Meyerhof, 1976) 2 q √ B I δ = ⎯⎯⎯⎯ N
6mn2(m2-n2)-12(m/n)2(m+1)5 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B5
(114)
1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A (1-2ν)(3-4ν)+ 6(1-2ν)(m/n)2(m+1)+6(2m-1) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 6(1-2ν)(m3/n2)+12m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F 2(m+1)3+4mn2-2(m/n)2(m+1)3 - (1-2ν) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 2(m+1)3+6mn2-2m3-6(m/n)2(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 (2m3+4mn2-2m5/n2)(1-2ν) 6mn2-6m5/n2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3 F3 A+m-1 B+m+1 2 + (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν) -6] ln [ ⎯⎯⎯ ] F+m F+m
(115)
(116)
donde B = ancho del grupo de pilotes, en pies (0.3 m), q = incremento neto de presión, en toneladas por pie cuadrado (100 kPa), N = número de golpes de la prueba de penetración estándar, e I es un factor de influencia del empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo, dado por D’ I = 1 - ⎯⎯ ≥ 0.5 8B
(117)
con D’ = empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo, en pies (0.3 m). Procedimiento de cálculo Dado que en general la rigidez de los pilotes de fricción es muy grande comparada con la rigidez del suelo, la carga sobre la cimentación la toman inicialmente los pilotes, lo que ocasiona que los pilotes trabajen a su capacidad de carga última, tanto por fricción lateral como por punta. Lo que no toman los pilotes lo tiene que recibir la losa de cimentación, en su contacto con el terreno. En el siguiente ejemplo se ilustra este procedimiento de cómputo. Ejemplo Calcular el asentamiento a largo plazo, bajo el centro de la zapata (punto A) de la fig E-6. El diámetro de cada pilote es d = 0.3 m. El subsuelo está formado por una arcilla de consistencia blanda, con ca’ = c’ = 0, φ’ = φa’ = 26º, Ks = 0.5, A’ = 35, b 3 = 1, p t = 0, cu = 14 kPa, γsat = 14 kN/m 3. El nivel de agua freática (NAF) se encuentra a 2.5 m de profundidad.
16 Solución El perímetro de cada pilote es: ω = 0.94248 m El área de cada pilote es: A b = 0.070686 m 2 La carga última aproximada que toma cada pilote es Cs ≅ 14(8.6)(0.94248) = 113.47 kN Cp ≅ 14(9)(0.070686) = 8.91 kN Cu = Cs + Cp ≅ 122.38 kN El área neta de contacto es A = 9 – 4(0.070686) = 8.717 m2 La carga unitaria en el contacto zapataterreno es q(8.717) + 4(157.4) = 800 kN q = 19.5 ≅ 20 kN/m2 = 20 kPa Fricción lateral El esfuerzo cortante a lo largo del pilote es sa = c* + K φ pv (ec 33) donde sen φ cos φ c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (ec 31) 1 + sen2φ 1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ
(ec 32)
Sustituyendo valores c* = 0 1 – sen2 26º Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26º = 0.33 1 + sen2 26º sa = 0.33 pv sa’ = 0.33(q + p vo’) La capacidad de carga lateral del pilote es Cs = ∫o ω (0.33q) dz + ∫o ω (0.33pvo’) dz Cs = 0.33ω q L + 0.33 ω ∫o pvo’ dz Cs = 0.33ω A1 + 0.33ω A2
(a)
donde A1 = qL, A2 = ∫o pvo’ dz Observamos que A1 y A2 son las áreas bajo el diagrama de presión efectiva del suelo. En la fig E-7 se muestra el diagrama de presión vertical efectiva en el suelo. Obtenemos A1 = 232.2 kN/m, A2 = 153.312 kN/m. Sustituyendo en la ec a Cs = 0.33ω A1 + 0.33ω A2
Cs = 0.33(0.9425)(232.2) + 0.33(0.9425)(153.312) Cs = 72.22 + 47.68 = 119.90 kN La capacidad de carga por punta la estimamos con la siguiente expresión Cpu = Ab (f c c Nc + f q pvb Nq) (ec 10)
Como la base del pilote se encuentra bajo el NAF Cpu = Ab (f c c’ Nc + f q pvb’ Nq) donde c’ = 0, Nq = 17.87, para φ’ = 26º Cpu = 0.070686(1.2)(62.654)(17.87) = 95 kN El peso del pilote es Wp = 0.070686(8.6)(24) = 14.6 kN Cada pilote toma Cu = 119.9+95.0-14.6 = 200.3 kN La presión en el contacto losa-terreno la determinamos con el equilibrio de fuerzas verticales 980 = q(8.717)+4(200.3) q = 20.5 kPa ≅ 20 kPa (En este caso particular, la capacidad de carga última del pilote para condiciones a largo plazo es muy similar a la capacidad de carga para condiciones a corto plazo. Si este no fuera el caso en otro problema, por ensayo y error se tendría que determinar el nuevo valor de la presión q). Cálculo de los esfuerzos verticales a la mitad de cada estrato, bajo el centro de la zapata (punto A) Usamos las ecuaciones 102, 110 y 113. En la ec 102, para carga uniforme P = 232.2(0.33)(0.9425) = 72.22 kN Para carga aumentando linealmente P = 153.312(0.33)(0.9425) = 47.68 kN En la tabla E-4 se muestran los esfuerzos ocasionados por los pilotes. En la tabla E-5 se exhiben los esfuerzos producidos por la presión en el contacto losaterreno, así como la suma de los esfuerzos por los pilotes y por la losa. El asentamiento a largo plazo de cada estrato se calcula con la siguiente expresión δ = εvzho donde pbe + σz εvz = 1 - ( ⎯⎯⎯⎯ ) –1/A’ pbe pbe = b3 pt + pzo’ La magnitud de la deformación de cada estrato se indica en la tabla E-5. Se obtiene un asentamiento total a largo plazo de 7.1 cm. ---------Ciudad Universitaria, D F, febrero de 2006
17 REFERENCIAS Berezantzev, V G, Khristoforov, V y Golubkov, V, “Load bearing capacity and deformation of piled foundations”, Proc 5 th Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 2: 11-15, 1961 Endo, M, Minou, A, Kawasaki, K y Shibata, T, “Negative skin friction acting on steel pipe piles in clay", Proc 7th Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 2: 93-98, 1969 Geddes, J D, “Stresses in foundation soils due to vertical subsurface loading”, Géotechnique, vol 16, Nº 3, 231-255, 1966 Kishida, H, “Ultimate bearing capacity of piles driven into loose sand”, Soils and Foundations, vol 7, Nº 3: 20-29, 1967 McClelland, B, “Design of deep penetration piles for ocean structures”, Jour Geot Eng Div, ASCE, vol 100, Nº GT7: 705-747, 1974 Meyerhof, G G, Penetration tests and bearing capacity of cohesionless soils, JSMFD, ASCE, vol 82, SM1: 1-19, 1956 Meyerhof, G G, “Bearing capacity and settlement of pile foundations”, Jour Geot Eng Div, ASCE, vol 102, Nº GT3: 197-228, 1976
Mindlin, R D, “Force at a point in the interior of a semi-infinite solid”, Physics, 7: 195-202, may 1936 O’Neill, M W, “Side resistance in piles and drilled shafts”, Jour Geot Geoenv Eng, 3-16, enero 2001 Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, cap 2, Wiley, 1974 Poulos, H G y Davis, E H, Pile Foundations Analysis and Design, Wiley, 1980 Tomlinson, M J, “The adhesion of piles driven in clay soil”, IV Int Conf Soil Mech Found Eng, Londres, 1957 Vesic, A, “A study of bearing capacity of deep foundations”, Final Rep. Proj B-189, School of Civil Eng, Georgia Inst Tech, Atlanta, 1967 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973
(Acimprof21,Mindlin111,Cimprofesf,Pilfric, Pilpunta1,Pilotes12,Zeevcapca4)
TABLA 1 MAGNITUDES DE LA ADHERENCIA EN PILOTES (Tomlinson, 1957) Material del pilote Consistencia de la Cohesión cu Adherencia ca arcilla kPa kPa Concreto y madera Blanda 0-40 0-35 Firme 40-80 35-45 Dura 80-150 45-70 Acero Blanda 0-40 0-30 Firme 40-80 30-40 Dura 80-150 --
18 TABLA E-1 CÁLCULO DE LA FRICCIÓN NEGATIVA Estrato Área tributaria pvoi Fricción negativa 2 m kPa kN 0 0 1 3.181 35 15.62 2 4.648 47.570 56.44 3 5.976 62.654 115.33 Los valores indicados corresponden a la base de cada estrato
pvfi kPa 0 30.090 35.428 43.355
TABLA E-2 INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA PUNTA DEL PILOTE Punta del pilote Carga lateral P1 Carga lateral P2 Subz σz σr σz σr σz σr estrato m kPa kPa kPa KPa kPa kPa 1 11.95 3187 1100 21 -3 7 -1 2 12.05 2307 268 7 -1 2 0 3 12.15 1488 35 4 -1 1 0 4 12.25 967 -15 3 0 1 0
Sumas
σz
σr
kPa 3215 2316 1493 971
kPa 1096 267 34 -15
TABLA E-3 MAGNITUDES DE LA DEFORMACIÓN BAJO LA PUNTA DEL PILOTE Subestrato Deformación por Deformación por Suma cambio de volumen cambio de forma 1 0.00018 0.01483 0.01501 2 0.00012 0.01375 0.01388 3 0.00008 0.00713 0.00721 4 0.00006 0.00328 0.00334 TABLA E-4 INCREMENTOS DE ESFUERZO,OCASIONADOS POR LOS PILOTES, BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Carga uniforme Carga aumenta Suma 4 lineal Un pilote pilotes Estrato z Kz Kz σz σz σz σz m kPa kPa kPa kPa 1 1 -0.2718 0.2654 0.0255 -0.0164 0.2490 0.9960 2 3.5 -0.3993 0.3899 0.1786 -0.1151 0.2748 1.0992 3 6.8 -0.5813 0.5677 -0.3384 0.2182 0.7858 3.1432 4 10 -0.6034 0.5892 -0.7707 0.4968 1.0860 4.3440 5 13.1 -0.2707 0.2644 -0.3148 0.2030 0.4673 1.8692 L = 8.6 m, P 1 = 72.22 kN, P 2 = 47.68 kN, ν’ = 0 (Pilfric)
19 TABLA E-5 ASENTAMIENTO BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Estrato Esfuerzo losa Esfuerzo Esfuerzo pilotes pilotes punta fricción lateral kPa kPa kPa 1 17.2535 0.9959 -0.1157 2 5.3629 1.0992 -1.2159 3 1.7190 3.1433 -5.9368 4 0.8283 4.3440 7.0662 5 0.4901 1.8693 2.7123 En la losa q = 20 kPa, B = L = 3 m En la punta del pilote P = 95 kN, L = 8.6 m (Pilfric) (Acimprof21,Pilotes12,Acimproff)
Suma esfuerzos
Asentamiento
kPa 18.1336 5.2462 -1.0745 12.2386 5.0717 Suma
m 0.0402 0.0122 -0.0023 0.0145 0.0064 0.0709
20
Sedimento blando
Estrato resistente
CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTA FIGURA 1
Q
Sedimento blando
FN
Estrato resistente
FP
Qp > FP Qp
FUERZAS QUE ACTÚAN EN UN PILOTE DE PUNTA FIGURA 2
21
q
FP
Qp FP > Qp
CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓN FIGURA 3 (Acimproff)
Q
Csu
Qpu
FRICCIÓN LATERAL ÚLTIMA SOBRE EL PILOTE FIGURA 4
22 pva za
A1
A2
zb
pvb
PRESIÓN VERTICAL A UN COSTADO DEL PILOTE FIGURA 5
Terreno suelto
Cimiento
Df D
B
Terreno de apoyo
PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO "D" EN EL ESTRATO DE APOYO FIGURA 10
23
24
25
pv s Pilote sa s ph
ph ph s
s pv
ESTADO DE ESFUERZO EN LA CERCANÍA DEL PILOTE FIGURA 11
Esfuerzo cortante
0
c 0
ph
pv
DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN HORIZONTAL ph FIGURA 12
Esfuerzo normal
26
27
y
Pu
x Mxu Myu Losa
CIMIENTO SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y DOS MOMENTOS FIGURA 14
B/2
B/2 ex
B'/2
B'/2 Pu
Myu
Losa
x qR
ClR
Pilotes
Pilotes CRi xi
CONTRIBUCIÓN DE PILOTES Y LOSA DE CIMENTACIÓN AL MOMENTO RESISTENTE FIGURA 15
28
pvf
pvo
Pilote Nivel (i-1) sa
sa
zi Nivel i
FRICCIÓN NEGATIVA FIGURA 16
zt
sa
sa
r Pilote
ro
ro
INCREMENTO DE ESFUERZO VERTICAL, DEBIDO AL ESFUERZO CORTANTE A LO LARGO DEL FUSTE DEL PILOTE FIGURA 17
29
L P z
r σz σr σθ
ESFUERZOS OCASIONADOS POR UNA FUERZA CONCENTRADA P EN EL INTERIOR DEL MEDIO FIGURA 19
L q z
a
a
Círculo cargado σz σr
ESFUERZOS BAJO EL CENTRO DE UN CÍRCULO CARGADO FIGURA 20
30
P
L z
σz
σr
ESFUERZOS BAJO EL EJE DEL PILOTE, OCASIONADOS POR FRICCIÓN LATERAL FIGURA 21
P
L z
r σz σr σθ
ESFUERZOS OCASIONADOS POR FRICCIÓN LATERAL FIGURA 22
31 pv' kPa
Profundidad metros
pv' kPa
Profundidad metros
1.5
27 kPa 2
15
36 kPa
15
PILOTE COLADO EN EL LUGAR EJEMPLO FIGURA E-1
PILOTE HINCADO A GOLPES EJEMPLO FIGURA E-2
pv' kPa 250 NAF
250
35
Arcilla blanda gamma = 14 kN/m3 660
910 Arena de grano medio N= 50 golpes phi1' = 40ª gamma = 18 kN/m3
Csu
280
62.654 A1 A2
1190 85.586 Cpu a) Geometría del pilote
CAPACIDAD DE CARGA DE UN PILOTE FIGURA E-3
b) Variación de la presión vertical efectiva con la profundidad
32
300 50
50 40 Croquis sin escala Distancias en centímetros
300
3478 kN
50 250 NAF Arcilla blanda
250 300
FN
550
Gamma = 14 kN/m3 360 910 Cs Arena compacta N = 50 golpes
280 1190
Cp Gamma = 18 kN/m3
CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTA FIGURA E-4
33
62.654 kPa 9.1 m
A1 = 62.654(2.8) = 175.431 kN/m A1 A2 = (85.586-62.654)(2.8)/2 = 32.105 kN/m A2
11.9 m
85.586 kPa
PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA A UN COSTADO DEL PILOTE FIGURA E-5
34 300 50
50 30 Croquis sin escala Distancias en centímetros A 300
980 kN
50 250 q NAF
250 300 550
360 910 280 1190 340 1530 Roca
CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓN FIGURA E-6
35
sz kPa
pv kPa
20
sz + pv' kPa
7
0.5
27 Gamma = 14 kN/m3
35
2.5
NAF 3
+
= A1 A2 3.6
1
60.56
62.654 A1 = 232.2 kN/m A2 = 153.312 kN/m
PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA EN EL TERRENO FIGURA E-7
EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA AISLADA DE CONCRETO REFORZADO, APOYADA SOBRE SUELOS FRICCIONANTES Agustín Deméneghi Colina Margarita Puebla Cadena Profesores del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería, UNAM Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata aislada de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF- 2004. En la estructura: Concreto: f c’ = 25 MPa Acero: f y = 420 MPa Zona I del RCDF-2004 Asentamiento permisible = 5 cm Giro permisible = 0.5% Suponer L = 1.4 B SOLUCIÓN Estados límite de falla
Se debe verificar qult qR qR = pv’ (Nq f q - 1) + (1/2) B N f FR + pv (28)
Nq = e tan tan2 (45 + /2)
(2)
N = 2 (Nq +1) tan
(3)
f q = 1 + (B/L) tan
(8)
f = 1 - 0.4 (B/L)
(9)
= ang tan ( tan *)
(22)
Para suelos arenosos con compacidad relativa D r menor que 67 por ciento, el coeficiente será igual a 0.67+Dr–0.75Dr². Para suelos con compacidad D r mayor que el límite indicado, será igual a 1 (Normas de Cimentaciones, 2004). [ Una forma alterna de obtener consiste en usar las siguientes expresiones
= 0.67
para Dr Dri
D D 0.67 0.33 0.7 D r
ri
ri
para Dri < Dr < 0.7
= 1.0
para Dr 0.7
(A)
α α
2
Siendo Dri la compacidad relativa inferior que se establezca. En el anexo 1 se presenta el cálculo de q R usando este criterio. ] y B
25 30 kN.m L 30 x
15 kN.m
200 kN Distancias en centímetros Croquis sin escala
70
Arena limpia
N = 25 golpes Dr = 65%
γ = 16
kN/m3
30
Arena limosa
N = 32 golpes Dr = 68%
γ = 18
kN/m3
40
Limo arenoso
N = 28 golpes Dr = 58%
γ = 17
kN/m3
50
Roca
(Cc zapata aislada 0310)
ZAPATA AISLADA FIGURA A
3
El factor de reducción de resistencia F R varía 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 En la zona I el RCDF-2004 establece un FR = 0.35 qult = Q Fc / A Suponemos un ancho de la zapata B = 1.1 m, L = 1.4(1.1) = 1.54 m; usamos L = 1.6 Tomamos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=200+1.1(1.6)(0.25)(24) +0.25(0.3)(0.7-0.25)(24) +[1.1(1.6)0.25(0.3)](0.7-0.25)(16) =200+10.56+0.81+12.132=211.37+12.132 =223.502 kN
q = Q/A = 223.502/1.1(1.6) = 126.99 kPa QFc = 211.37(1.4)+12.132(1.1) = 309.26 kN
Utilizando la figura 37 Estrato
N
1 2 3
25 32 28
φ* grados 34 34 33
4
Obtenemos promedios ponderados de φ*, Dr y γ *
0.3(34) (0.4)(34) 0.5(33) 33.58 0.3 0.4 0.5
En forma similar Dr = 63.08% = 0.6308, γ = 17.08 kN/m 3
5 = 0.67+0.6308-0.75(0.6308)2 = 1 Reemplazando en la ecuación 22: = * = 33.58° B’ = B – 2ex L’ = L – 2e y M y
e x
e y
M x
e x
15 0.0671m 223.502
e y
30 0.1342m 223.502
Q Q
B’ = 1.1-2(0.0671) = 0.9658 m L’ = 1.6-2(0.1342) = 1.3315 m Los cálculos se llevan a cabo con las dimensiones reducidas B’ y L’. qult = QFc/A = 309.26/(0.9658)(1.3315) qult = 240.49 kPa
Para el cómputo de q R reemplazamos en las ecuaciones 2,3, 8, 9 y 28 Nq = e tan 33.58° tan2 (45+33.58°/2) = 27.976 N = 2(27.976+1) tan 33.58° = 38.474 f q = 1 + (0.9658/1.3315) tan 33.58° = 1.482 f = 1 - 0.4 (0.9658/1.3315) = 0.710 pv’ = pv = 16(0.7) = 11.2 kPa qR = 11.2(27.976(1.482)-1) +(1/2)(17.08)(0.9658)(38.474)(0.710)(0.35) +11.2
qR = 248.66 kPa Observamos que qult = 240.49 kPa < qR = 248.66 kPa
Por lo tanto:
Cumple
(Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga)
6 Estados límite de servicio
a) Método no lineal (Deméneghi, 2008) Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato. f [(pbeo + cz)1-s – (pbeo)1-s] δz ={1-exp{- } }zo (1-s) c A p a1-s
(57)
La ecuación 57 permite calcular la deformación vertical de un elemento de suelo friccionante de espesor zo, sujeto a incrementos de esfuerzo z, x y y. En suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0.5, s ≈ 0.5. El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982) Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ*
(58)
donde φ* es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson se obtiene
= Ko / (1 + Ko)
(59)
El módulo de rigidez promedio A m del suelo se determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT), con la siguiente expresión aproximada Am = 26.25 N 1.125
(60)
El módulo desfavorable se calcula en función del nivel de confianza α con A = Am C
(61)
donde C = exp[ -0.784 t α √ 1.00758 + 0.0152(ln N – 2.976)2] tα es una variable aleatoria t de Student, cuyos valores se exhiben en la tabla 1. TABLA 1 VARIABLE ALEATORIA t DE STUDENT Nivel de Confianza % 2.5 5 10 15 20 25 30 40 50
t 1.978 1.657 1.288 1.041 0.844 0.676 0.526 0.254 0
(62)
7 Estrato 1 pbeo = pcie + pco
(94)
pco = [(1 + 2Ko)/3] pvo pvo = 0.7(16)+(0.3/2)(16) = 13.6 kPa Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ*
(58)
Ko = (1 – sen 34°)(1) sen 34° = 0.4408 pco = [(1 + 2(0.4408))/3](13.6) = 8.530 kPa
= 0.4408/(1+0.4408) = 0.3059 Am = 26.25(25) 1.125 = 981.32 A = Am C
(61)
Usamos α = 20%, t α = 0.844 (tabla 1) C=exp[-0.784(0.844)√ 1.00758+0.0152(ln25-2.976) 2]
(62)
C = 0.5145 A = 981.32(0.5145) = 504.92 pbeo = 8.53 kPa q = 126.99 kPa, z = 0.3/2 = 0.15 m
z = 125.78 kPa x = 69.14 kPa y = 68.54 kPa f=1-
x
y z
f = 1 – 0.3059
69.14 68.54 = 0.6652 125.78
c = b1 + b2 (a1 + a2)
x y z
c b1 b2
c
1 1 69.14 68.54 0.6982 3 3 125.78
Reemplazando en la ecuación 57
(33)
8 δz={1 0.665[(8.53+0.698(125.78))1-0.5 –(8.53)1-0.5] -exp{- } }(0.3) (1-0.5)(0.698(504.92)(101.3)1-0.5
δz = 0.0007746 m En la tabla A se exhibe el cálculo de las deformaciones de los demás estratos. Se halla un asentamiento total de 0.274 cm, menor que el hundimiento permisible de 5 cm. Por lo tanto, Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos) TABLA A CÁLCULO DEL ASENTAMIENTO. MÉTODO NO LINEAL Estrato
A
1 2 3
504.9234 665.9531 573.3874
pvo kPa 13.6000 19.6000 27.4500
pbeo kPa 8.5300 12.2932 17.4831
ν
0.3059 0.3059 0.3129
σz kPa 125.7762 102.6153 63.3418
σx kPa 69.1353 24.5827 5.1578
σy kPa 68.5364 16.0286 1.2589
f 0.6651 0.8789 0.9683
c
m 0.6982 0.000774 0.4653 0.000955 0.3671 0.001005 Suma 0.002735
b) Ley de Hooke: z
z ( x
y )
E s
(z o )
Para encontrar Es empleamos la fórmula de Denver E s
C N
C = 7 MPa N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) Estrato 1 E s
7 25 35 MPa 35000kPa
z
125.78 0.3059(69.14 68.54) (0.3) 35000
δz = 0.0007171 m
En la tabla B se muestran los resultados de las deformaciones de los demás estratos. Se encuentra un asentamiento total de 0.246 cm. (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)
δz
9 TABLA B CÁLCULO DEL ASENTAMIENTO. LEY DE HOOKE Estrato
N
1 2 3
25 32 28
Es kPa 35000.00 39597.98 37040.52 Suma
δz
m 0.000717 0.000911 0.000828 0.002456
(Cc zapata aislada tablas.xls)
c) Fórmula de Steinbrenner Para un medio elástico de espesor h, el asentamiento bajo la esquina de un rectángulo sometido a carga uniforme q, está dado por la fórmula de Steinbrenner (Terzaghi, 1943)
q (1 - 2) (x+ x2+y2) y2+h2 z = { y ln [ ] Es y (x+A) (y+ x2+y2) x2+h2 + x ln [ ] } x (y+A) q yx + (1--22) h tan -1 ( ) 2Es hA
(66)
A = (x2 + y2 + h2)1/2
(67)
Obtenemos un promedio ponderado de E = E s. En la tabla B se presentan las magnitudes de Es, determinadas con la fórmula de Denver (1985) E s
35000(0.3) 39598(0.4) 37040(0.5) 0.3 0.4 0.5
Es = 37383 kPa
Procediendo en forma análoga: ν = 0.3088 x = 1.1/2 = 0.55 m; y = 1.6/2 = 0.8 m h = 1.2 m Reemplazando en las ecuaciones 67 y 66 A = (0.552 + 1.62 + 1.22)1/2 = 2.07425 m 126.99(1–0.3092) (0.55+ 0.552+0.82) 0.82+1.22 z = {0.8 ln [ ] 0.8(0.55+2.074) (37383) (0.8+ 0.552+0.82) 0.552+1.22 + 0.55 ln [ ] } 0.55(0.8+2.074) 126.99 0.8(0.55) + (1-0.309-2(0.309) 2) 1.2 tan-1 ( ) 2(37383) 1.2(2.074)
10 δz’ = 5.881x10-4 m δz = (5.881x10-4)(4) = 0.00235 m = 2.35 mm (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)
d) Fórmula Burland y Burbidge (1985) Para una arena normalmente cargada, el asentamiento está dado por
z = q B0.7 Ic z = hundimiento, en milímetros Ic = 1.17/N1.4 q = presión de contacto, en kPa B = ancho de la cimentación, en metros N
(72) (73)
25(0.3) 32(0.4) 28(0.5) 28.58 0.3 0.4 0.5
Sustituyendo em las ecuaciones 73 y 72 Ic = 1.17/28.581.4 = 0.010706
z = 126.99(1.1)0.7(0.010706) = 1.453 mm e) Fórmula estadística (Deméneghi, 2003)
z = D C’
(74)
D = 1.34 q B 0.7 N-1.37
(75)
C’=exp[0.784t 1.00758+0.0152(ln N - 2.976) 2]
(76)
z = hundimiento, en milímetros q = presión de contacto, en kPa B = ancho del cimiento, en metros N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) t = variable aleatoria con distribución t de Student, cuyos valores se muestran en la tabla 1, en función del nivel de confianza Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el asentamiento del cimiento sea mayor que el valor dado por la ecuación 74. Para = 20%, tα = 0.844 (tabla 1) Reemplazando en las ecuaciones 76, 75 y 74 C’=exp[0.784(0.844)1.00758+0.0152(ln28.58-2.976)2] C’ = 1.944 D = 1.34(126.99)(1.1) 0.7(28.58)-1.37 = 1.841 mm
z = 1.841(1.944) = 3.579 mm (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)
11
En la tabla C se exhibe un análisis comparativo de los resultados hallados con los diferentes procedimientos. TABLA C ASENTAMIENTO DE LA ZAPATA ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS δz cm
Qz kN
Kz kN/m
0.273 0.141
223.502 223.502
81722 158850
b) Ley de Hooke
0.246
223.502
91001
c) Fórmula de Steinbrenner
0.243
223.502
92045
d) Fórmula de Burland y Burbidge
0.145
223.502
153784
e) Fórmula estadística α = 20% α = 50%
0.358 0.184
223.502 223.502
62451 121425
a) No lineal α = α =
20% 50%
Giro de la zapata
El giro elástico de un círculo de radio R sometido a un momento M está dado por (Richart et al, 1970)
31 M 8GR 3
(49b)
donde G
E
21
(49c)
En forma aproximada, se puede usar el siguiente artificio para el cálculo del giro de un rectángulo: se obtiene el momento de inercia I del rectángulo en el sentido que se está analizando, y se determina el radio equivalente de un círculo que posea el mismo momento de inercia I: 1/ 4
4 I R Con el radio equivalente R se emplea la ecuación para encontrar el giro del rectángulo. Calcularemos el giro alrededor del eje y
(49d)
12 1.61.13 I 0.17747m 4 12 1/ 4
40.17747 R
0.6895m
G
37383 14281kPa 21 0.3088
31 0.308815 0.0008305 8142810.6895 3
θ = 0.00083 < θpermisible = 0.5% = 0.005 Por lo tanto
Cumple
(Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)
Diseño estructural Losa de la zapata
a) Penetración De acuerdo con las Normas de Concreto, la sección crítica forma una figura semejante a la definida por la periferia del área cargada, a una distancia de ésta igual a d/2, siendo d el peralte efectivo de la losa (figura 8).
13
Cuando haya transferencia de momento se supondrá que una f racción de momento dada por 1 = 1 - 1 + 0.67 (c1 + d)/(c2 + d)
(17)
se transmite por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección crítica definida antes. El esfuerzo cortante máximo de diseño v u se obtendrá tomando
14 en cuenta el efecto de la carga axial y del momento, suponiendo que los esfuerzos cortantes varían linealmente (figura 8), es decir v AB = V/Ac +Mc AB/Jc
(18)
Ac = 2d(c1+c2+2d)
(19)
Jc = d(c1+d)3/6 + (c1+d)d3/6 + d(c2+d)(c1+d)2/2
(20)
En columnas rectangulares c 1 es la dimensión paralela al momento transmitido y c 2 es la dimensión perpendicular a c 1. En las expresiones anteriores, V es la fuerza cortante que actúa en toda el área de la sección crítica, la cual la obtenemos a partir de la reacción neta q v, restando a la reacción del terreno las presiones debidas a peso propio de zapata y relleno. El esfuerzo cortante de diseño v ABu (esfuerzo cortante último) obtenido con los criterios anteriores no debe exceder ninguno de los dos siguientes valores vcR1 = FR (0.5+) f c*
(21)
vcR2 = FR f c*
(22)
f c* = 0.8 f c’
(23)
a menos que se suministre refuerzo. es la relación del lado corto al lado largo del área donde actúa la carga o reacción. Haremos la revisión en la dirección del eje y c1 = 30 cm, c 2 = 25 cm M = My = 30 kN.m Proponemos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm; d = 25 – 3 – 0.6 = 21.4 cm qneta = 126.99–0.25(24)–0.45(16) = 113.79 kPa c1+d = 0.3+0.214 = 0.514 m c2+d = 0.25+0.214 = 0.464 m c AB = 0.514/2 = 0.257 m V = [1.1(1.6)-0.464(0.514)](113.79) = 173.13 kN Ac = 2(0.214)(0.3+0.25+2(0.214)) = 0.4186 m 2 Jc = 0.214(0.514)3/6 + (0.514)(0.214) 3/6 +0.214(0.464)(0.514)2/2 = 0.01880 m4
1 = 1 - = 0.4136 1 + 0.67 0.514/0.464 v AB= 173.13/0.4186 +0.4136(30)(0.257)/0.01880 = 583.19 kPa v ABu = v AB Fc = 583.19(1.4) = 816.47 kPa
γ = 1.1/1.6 = 0.6875 f c* = 0.8(250) = 200 kg/cm 2
15 vcR1 = 0.8 (0.5+0.6875) 200 = 13.435 kg/cm2
vcR2 = 0.8 200 = 11.314 kg/cm2 v ABu= 816.47 kPa ≈ 8.16 kg/cm 2 < vcR2= 11.314 kg/cm 2
Por lo tanto
Cumple
(Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga)
b) Tensión diagonal La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura B; figura 5). Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno, el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm, y puesto que el diámetro de la varilla del Nº es de 1.27 cm, el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 25 – 3 – 0.6 = 21.4 cm.
Tensión di agonal
Flexión
qn = 160.60 kPa
0.80 m 0.65 m 0.436 m
SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONAL Y POR FLEXIÓN FIGURA B
16
La reacción del terreno, tomando en cuenta el efecto de los momentos M x y My, vale q'
Q B' L'
q'
223.502 173.80kPa 0.9658 (1.3315)
17 La reacción neta es qn = 173.80-0.25(24)–0.45(16) 173.80-0.25(24)–0.45(16) = 160.60 kPa
Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata, b = 1 m; fi gura B) V = 160.60(0.436) = 70.02 kN M = 160.60(0.436) 2/2 = 15.26 kN.m Vu = 1.4(70.02) = 98.03 kN ≈ 9803 kg En elementos anchos, como son las zapatas, en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B 4d), con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2.0, la fuerza resistente V cR puede tomarse igual a 0.5F Rbdf c*, independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto, 2004). En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d, 4d, B = 160 cm > 4d = 85.6 cm M/Vd = 1.02 < 2 cumple como elemento ancho VcR = 0.5FRbd f c* =0.5(0.8)(100)(21.4) 200 VcR = 12106 kg > V u = 9803 kg Cumple c) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura B; figura 6) M = 160.60(0.65) 2/2 = 33.93 kN.m Mu = 1.4(33.93) = 47.50 kN.m ≈ 475000 kN.m
18
El acero mínimo por flexión es pmin = 0.7f c’/f y pmin = 0.7250/4200 = 0.00264 pmax = 0.75 p b pb = (f c”/f y) [6000β1/(f y + 6000)] si f c* ≤ 280 kg/cm2 β1 = 0.85 f c* = 0.8(250) = 200 kg/cm 2 f c” = 0.85(200) = 170 kg/cm 2 pmax = 0.0152
(ec 10) (11)
19 La fracción de acero necesario para soportar un momento M u está dada por la siguiente expresión q=1-
2 Mu 1 - FRbd2f c”
(ec 13)
2(475000) q = 1 - 1 - = 0.07026 0.9(100)(21.4)2(170)
p = q f c”/f y p = 0.002844 As = pbd As = 0.002844(100)(21.4) = 6.086 cm 2 La separación de varillas es s = asb/As = 1.27(100)/6.086 = 20.87 cm
(ec 14) (ec 15) (ec 16)
Por lo tanto, vari llas N° 4 @ 20 cm
d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata, y el del lecho superior se proporciona por temperatura, para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto, 2004) 66000(1.5) x As = f y (x + 100) en que As = área de acero necesaria por temperatura, en cm 2/m, para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 25/2 = 12.5 cm Sustituyendo valores, con x = 12.5 cm y f y = 4200 kg/cm2: As = 2.619 cm 2/m Aplicando la ec 16, con varillas del Nº 3 (as = 0.712 cm 2), s = 27.2 cm.
(ec 25)
Por lo tanto, usaremos varillas d el Nº 3 a cada 27 cm, por t emperatura. En la figura C se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata. (Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga; CCZAISL9.BAS)
Columna N° 3 @ 27 cm
r = 3 cm 80
25
N° 3 @ 27 cm r = 3 cm
N° 4 @ 20 cm 2 N° 8 y 1 N° 6
4 30
r = 3 cm Plantilla de concreto pobre
N° 4 @ 20 cm 160
Distancias en centímetros Croquis sin escala
(Cc zapata aislada 0310)
ARMADO DE ZAPATA AISLADA FIGURA C
r = 3 cm
20 (En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la losa de la zapata; CCZAIS L9.BAS) Módulos de r eacción
Para el análisis y diseño de la superestructura se requieren los módulos de reacción, o “constantes del resorte” del terreno de cimentación. Éstos se pueden encontrar de la siguiente forma: por definición K z
Q z
K x
Q x
K r
M
z
x
Módulo de reacción vertical
Qz = Q = 223.502 kN Las magnitudes de K z se exhiben en la tabla C. En función del factor de seguridad que elija el diseñador, se podrá usar el K z correspondiente. Módulo de reacción horizontal
El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y, sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie, apoyado en un medio semiinfinito (figura D), está dado por la fórmula de Giroud (1969; citado por Poulos y Davis, 1974; ecuación 3.33a)
x x 2 y 2 x y x 2 y 2 ln x qy 1 ln E y y x 1
(49a)
y
q
y x
δx x
z
FIGURA D
21 Suponemos una carga lateral Q x = 100 kN, qx = 100/(1.1)(1.6) = 56.82 kPa. Sustituyendo valores, con x = 1.1/2 = 0.55 m, y = 1.6/2 = 0.8 m, q = 126.99 kPa, E = E s = 37383 kPa, ν = 0.3088.
1 0 .3088 56 .82 0 .8 (37383 )
x '
0.55 0.552 0.8 2 0.55 0.8 0.552 0.82 1 0.3088 ln ln 0.00063212m 0 . 8 0 . 8 0 . 55 δx = 4(0.00063212) = 0.0025285 m K x
100 39550 kN / m 0 . 0025285
(Cc zapata aislada 0310.xls; Desplazamiento l ateral)
Módulos de reacción para un círculo cargado
La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-2)
(12)
Kh = 32(1-)GR/(7-8)
(13)
Kr = 8GR3/3(1-)
(14)
Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.5B, mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular, A
R
(15)
Para calcular K v y Kh usamos las ecuaciones 12 y 13 con R obtenida de la ec 15. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular K r R
4
4 I
(16)
Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16. Sustituyendo valores G
E
21
(49c)
22 G
37383 14281kPa 21 0.3088
R = 1.1(1.6)/ = 0.7485 m
Módulos Kv y Kh Kv = Kz =2(37383)(0.7485)/(1-0.3088 2) = 61860kN/m Kh = Kx =32(1-0.3088)(14281)(0.7485)/(7-8(0.3088))
= 52197 kN/m Módulo Kr
Calcularemos el módulo K r alrededor del eje y
1.61.13 I y 0.17747m 4 12 1/ 4
R y
40.17747
0.6895m
Kry = 8(14281)(0.6895) 3/3(1-0.3088) = 18060 kN.m/rad (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)
Ciudad Universitaria, D F, septiembre de 2012
Referencias
Burland, J B y Burbidge, M C, "Settlement of foundations on sand and gravel", Proc Inst Civ Engrs, part I: 1325-1381, 1985 Deméneghi, A, “Cálculo de asentamientos en arenas”, Revista de la Soc Mex Mec Suelos , 2003 Deméneghi, A, “Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena”, XXIV Reunión Nal Mec Suelos, Vol 2: 301-305, Aguascalientes, Ags, Soc Mex Mec Suelos, 2008 Denver, H, “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng , vol 4: 2183-2190, San Francisco, 1985 Giroud, J P, “Déplacement horizontal de la surface d’un massif élastique semi-infini supportant une chargé tangentielle linéairement répartie sur une air rectangulaire”, C R Acad Sc, t 268 : 191-193, Série A, 1969
23 Mayne, P W y Kulhawy, F H, Ko-OCR relationships in soil, Jour Geot Eng Div, ASCE, Vol 108, N° GT6: 851-872, junio 1982 Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics , Wiley, New York, 1974 Richart, F E, Hall, J R y Woods, R D, Vibration of Soils and Foundations , Prentice-Hall, New Jersey, 1970 Terzaghi, K, Theoretical Soil Mechanics , Wiley, 1943
(Cc ejemplo zapata aislada 120901)
ANEXO 1 DETERMINACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA USANDO LA ECUACIÓN “A” Tomemos Dri = 35% = 0.35
Dr Dri D 0 . 7 ri
0.67 0.33
Sustituyendo valores
0.6308 0.35 0.93475 0.7 0.35
0.67 0.33
Reemplazando en la ecuación 22
= ang tan (0.93475 tan 33.58°) = 31.82° Para el cómputo de q R reemplazamos en las ecuaciones 2,3, 8, 9 y 28 Nq = e tan 31.82° tan2 (45+31.82°/2) = 22.693 N = 2(22.693 +1) tan 31.82° = 29.403 f q = 1 + (0.9658/1.3315) tan 31.82° = 1.450 f = 1 - 0.4 (0.9658/1.3315) = 0.710 pv’ = pv = 16(0.7) = 11.2 kPa Usamos un FR = 0.45 qR = 11.2(22.693(1.45)-1) +(1/2)(17.08)(0.9658)(29.403)(0.710)(0.45) +11.2
qR = 249.48 kPa
24 ANEXO 2 ZAPATA AISLADA DISEÑO ESTRUCTURAL DATOS F'C= 250 FY= 100 H= 25 QE= 16.06 LE= 1.4 FRM= .9 VARILLA NUMERO 1.27
4200 B= R= 3.6 .65 FC= FRV= .8 4 AREA VARILLA =
RESULTADOS D= 21.4 MU= 474974.4 VU= 9803.024 COC= 1.018692 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO, COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 2.843683E-03 AS= 6.085481 ASMIN= 5.639395 VCR= 6907.749 VCRPMIN= 6756.342 VCR.5= 12105.67 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO, VCR = VCR.5 SI P >= 0.01 ENTONCES VCR = VCR.5 ASTEMP = 2.619048 cm2 / m, PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 4 SEPARACION = 20.86935 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 22.52015 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 27.10909 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 25 cm ARMADO: VARILLAS N° 4 A CADA 20.86935 cm ARCHIVO: CCZAISL9
EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA CORRIDA DE CONCRETO REFORZADO, APOYADA SOBRE ARCILLAS PRECONSOLIDADAS, TOTALMENTE SATURADAS Agustín Deméneghi Colina Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería, UNAM
Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata corrida de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF- 2004. Terreno de cimentación: zona II, F R ≤ 0.7 En la estructura: Concreto: f c’ = 25 MPa Acero: f y = 420 MPa Considerar una vida útil de 50 años Asentamiento permisible = 10 cm
4m
4m
0.3 m B
PLANTA 320 kN
640 kN
320 kN 10 kN/m NAF
Arcilla preconsolidada cu = 52 kPa
Eu = 2316 kPa, As' = 78, Aske = 0.3 cv = 0.00082 cm2/s, Φ' = 28°, OCR = 2
γsat = 16 kN/m3
Estrato 1
Arcilla preconsolidada cu = 64 kPa
Eu = 3724 kPa, As' = 86, Aske = 0.3 cv = 0.00076 cm2/s, Φ' = 30°, OCR = 2
γsat = 18 kN/m3
Estrato 2
0.8 m 0.6 m 1.4 m
Roca ELEVACIÓN
ZAPATA CORRIDA FIGURA A SOLUCIÓN Estados límit e de falla
Se debe verificar qult qR qR = 5.14 cu f c FR + pv
(33)
2
f c = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B
(34)
para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 qult = Q Fc / A Suponemos ancho de la zapata B = 1.4 m, y un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=320(2)+640+10(8)+0.25(1.4)(8)(24)+0.55(0.3)(8)(24)+(1.4-0.3)(0.55)(8)(16) Q=640+640+80+67.2+31.68+77.44 Q=1458.88+77.44=1536.32 kN q = Q/A = 1536.32/1.4(8) = 137.17 kPa QFc = 1458.88(1.4)+77.44(1.1) = 2127.62 kN qult = QFc / A = 2127.62/(1.4)(8) = 189.97 kPa
Consideramos que el área de influencia de la zapata es de 0.7B = 0.7(1.4) = 0.98 m cum
0.6(49) (0.98 0.6)(62) 54.04kPa 0.98
Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 f c = 1 + 0.25 (1.4/8) + 0.25 (0.8/1.4) = 1.189 Usaremos FR = 0.55 qR = 5.14 (54.04)(1.189)(0.55) + 0.8(16) = 194.08 kPa qult = 189.97 kPa < q R = 194.08 kPa Cumple (Cc zapcorr 31.xls)
Estados límite de servicio Asentamiento inmediato
Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato. Usando la ley de Hooke: u
z ( x y ) E u
(z o )
Estrato 1 = 0.5, q = 137.17 kPa, z = 0.3 m z = 133.43 kPa x = 100.13 kPa y = 70.19 kPa
3 Eu = 2316 kPa u
133.43 0.5(100.13 70.19) (0.6) 2316
δu = 0.0125 m
Procediendo en forma análoga para el estrato 2, con E u = 3724 kPa, obtenemos δu = 0.0217 m δuT = 0.0125 + 0.0217 = 0.0342 m (Cc zapcorr 31.xls)
Asentamiento a largo plazo
Pcon
1 A ' pveo z z o 1 pveo s
pveo = pcie + pvo’ pvo’ = 0.8(16)+(16-9.81)(0.3) = 14.657 kPa pveo = pvo’ = 14.657 kPa
Pcon
1 78 14.657 133.43 1 0.6 0.01753m 14.657
Pcpo Pcon
ucampo uuni dim ensional ASke z
(18)
1
1 ASke x y 2
1
z
(17)
Aske = coeficiente de presión de poro de Skempton, en condiciones de trabajo (tabla 3) Δuunidimensional = σz
Reemplazando en la ecuación 17
0.3133.43
1 0.3100.13 70.19 2 133.43
Pcpo 0.7470.01753 0.0131m
0.747
4 La deformación del estrato para un tiempo, t, se determina
Pcpo ,t PcpoU
(20)
donde U es el grado de consolidación primaria, que es función del factor tiempo T T
cv t
z e 2
(21)
Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365.25)(86400) = 1577880000 s 0.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2 (60)2 Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y
Pcpo , 50 años 0.01311 0.0131m Procediendo en forma similar para el estrato 2: 50 años = 0.0120 m δ50 años = 1.31 + 1.20 = 2.51 cm (Zapata corrida con Skempton.xls)
Asentamiento total
El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir δT = 3.43 + 2.51 = 5.94 cm < 10 cm
Cumple
[ Usando ley de Hooke
1 z z o Pcon ' E s
E s ' A s ' pvo '
z
2
ucampo uuni dim ensional
1
Estrato 1 0.747
pveo = pcie + pvo’ pveo = pvo’ = 14.657 kPa
(A)
5 133.43 2
E s ' 7814.657
Es’ = 6347.02 kPa
1 Pcon 133.430.6 0.0126m 6347.02 Pcpo Pcon 0.7470.0126 0.0094 m Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365.25)(86400) = 1577880000 s 0.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2 (60)2 Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y
Pcpo , 50 años 0.00941 0.0094 m Procediendo en forma similar para el estrato 2: Δ50 años = 0.0102 m δ50 años = 0.94 + 1.02 = 1.96 cm Asentamiento total
El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir δT = 3.42 + 1.96 = 5.38 cm < 10 cm
Cumple
]
(Zapata corrida con Skempton.xls)
Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi, 1996)
El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula ne
nr
j=1
k=1
i = oi + ( Δz j/Esij) Iijk r kdk/ak
(49)
donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk)
(48)
Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área a k (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades I xijk e I yijk se obtienen en forma similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal.
6
El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno (Deméneghi, 1996). Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura. Dividamos la planta de la cimentación en 8 porciones, como se indica en la figura B.
8m
1
2
3
4
5
7
7
8
9 1.4 m PLANTA
1
Distancias
0 0
0.5
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8m
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
m
Estrato 1
(1,1)
(2,1)
(5,1)
(9,1)
Estrato 2
(1,2)
(2,2)
(5,2)
(9,2)
ELEVACIÓN
DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES FIGURA B
Corto plazo
Usamos ν = 0.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia I z111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a 1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos z = Iz111 = 0.460117 kPa x = Ix111 = 0.181067 kPa y = Iy111 = 0.225715 kPa
I111 = 0.256726 kPa Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En el anexo 1 (Cciseblx0210.for; Isebldatx02) se exhiben las magnitudes de algunos valores de influencia. Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = ( Δz1/Es11) (I111r 1d1/a1 + I112r 2d2/a2 + … + I 119r 9d9/a9)
+ ( Δz2/Es12) (I121r 1d1/a1 + I122r 2d2/a2 + … + I 129r 9d9/a9)
1 = (0.6/2316)[(0.256726/1.4)r 1
-(0.0643750/1.4)r 2 + … - 0.000106797/1.4)r 9] +(1.4)/(3724)[(0.135764/1.4)r 1+(0.0848677/1.4)r 2 -(0.000410067/1.4)r 9] 1 = 0.0000839631r 1 + 0.0000108769r 2 + … – 0.000000129877r 9
7
Los demás asentamientos se obtienen en forma similar. En el anexo 1 se muestra la matriz de flexibilidades del terreno de ci mentación (Cciseblx0210.for; Isebldatx02) Como señalamos antes, el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, usando el programa de computadora Cciseblx0210.for. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldatx02. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL. En el anexo 1 se exhiben los resultados de la interacción suelo-estructura. El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura C)
Tramo I
Tramo II
L/2
L/2 w
Mp
Mq x Vr
Vs rs rr
CARGAS SOBRE LA BARRA (NUDO SOBRE BARRA) FIGURA C
(Cc ejemplo zapata corrida figuras)
Tramo I (0 < x < L/2) V = - Vr + (r r – w) x
(C)
M = - Mp – Vr x + (r r – w) x2 / 2
(D)
x M max
V r r r w
(E)
Tramo II (L/2 < x < L) V V r r r w
L r s w x 2 2
L
(F)
L L M M p V r x r r w x
2
4
2
r w L s x
2
x M max
L
2
(G)
2
L V r r r w r s w
2
(H)
8
Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras 1 a 4 (Cc zapata corrida E M 0210,xls). Al aplicar las ecuaciones C a H, los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1; elementos mecánicos de barra sobre nudo). Los valores V y M, en las ecuaciones C a H, son los elementos mecánicos a lo largo de la barra, para los que rige la convención de signos del diseño estructural, la cual se muestra en la figura D.
V M
M (+)
(+)
(+)
(+)
V
CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURAL FIGURA D
La figura E exhibe los diagramas de asentamientos, de reacciones, de momento flexionante y de fuerza cortante, a lo largo de la zapata corrida, para el análisis a corto plazo (magnitudes tomadas del anexo 1).
9 400 cm
400 cm
3.02 3.06
3.02 3.01
3.01
3.01
3.06
3.13
3.13 a) Asentamientos, cm
159
168.8
168.8 170.1
170.9
159
170.1
369.8
369.8 b) Reacciones, kN/m
162.91
(+)
(-) -177.5
(-)
-200.5
-200.5
-177.5
-207.6
-207.6
c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m
320
320
181.5 (+)
(+) 87.7
44.1 (-)
-87.7
(-)
-44.1 -181.5
-320 -320 d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN
DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DE ELEMENTOS MECÁNICOS CORTO PLAZO FIGURA E
10 Largo plazo
Los módulos de deformación a largo plazo del suelo E s se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 1.25+1.31 = 2.56 cm; considerando sólo deformación vertical: E s = σz/εz = σz( Δzo)/δz = 133.43(0.6)/0.0256 = 3127 kPa. Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. Para el estrato 2 se procede en forma similar y se encuentra E s = 3290 kPa (Zapata corrida con Skempton.xls). Para tomar en cuenta el efecto del tiempo, en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0.5 E; E’ = 0.5(22135944) = 11067972 kPa Utilizando un procedimiento análogo al de la condición a corto plazo, para el largo plazo se determinan las cantidades señaladas en el anexo 1. Los diagramas de asentamientos, reacciones y de elementos mecánicos se exhiben en la figura F (Cciseblx0210.for, Iseblxdat021; Cc zapata corrida E M 0210.xls).
11
400 cm
400 cm
4.97 5.02
4.97 4.98
5
4.98
5.02
5.13
5.12 a) Asentamientos, cm
146.1
164.3
164.3 163.9
165.1
146.1
163.9
422.4
422.4 b) Reacciones, kN/m
207.4
(+)
(-)
(-)
-167.8 -159.4
-167.8
-159.4
-179.4
-179.4
c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m
320
320
187.5 (+)
(+) 67.8
55.43 (-)
-67.8
(-)
-55.43 -187.5
-320 -320 d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN
DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DE ELEMENTOS MECÁNICOS LARGO PLAZO FIGURA F
12 Diseño estructural
El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos, lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos. Se obtuvieron los siguientes valores máximos: Momento negativo, kN.m Momento positivo, kN.m Cortante centro, kN Cortante extremos, kN
CORTO PLAZO 207.59 162.91 209.13 113.04
LARGO PLAZO 179.40 207.36 213.90 90.61
Con las magnitudes más desfavorables de esta tabla se hace el diseño estructural de la contratrabe de la zapata corrida. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este diseño. Presentamos, como ejemplo, el diseño de la contratrabe para el máximo momento positivo: Mpos = 207.36 kN.m, V = 213.90 kN. Flexión: MR = FR b d2 f c” q (1-0.5q)
(9)
q = p f y / f c” f c* = 0.8 f c’ pmin = 0.7 f c’ / f y
(10)
pmax = 0.75 p b pb = (f c”/f y) [6000β1/(f y + 6000)] β1 = 0.85
(11)
si f c* ≤ 280 kg/cm2
donde f c” = 0.85 f c* La cuantía de acero necesario para resistir un momento último M u se obtiene haciendo M u = MR en la ec 9, y despejando q q = 1 - 1 – 2 M u / FR b d2 f c”
(13)
Pero p = q f c” / f y
(14)
As = p b d
(15)
Tomemos f c’ = 250 kg/cm 2 Sustituyendo pmin = 0.7 250 / 4200 = 0.00264
(10)
pmax = 0.75 p b pmax = 0.75 (f c”/f y) [6000β1/(f y + 6000)] = 0.0152
13 Mu = 1.4(207.36) = 290.304 kN.m = 290.304(1/9.81)(1000)(100) kg.cm = 2959266 kg.cm = 295.927x10 4 kg.cm f c* = 0.8(250) = 200 kg/cm 2 f c” = 0.85(200) = 170 kg/cm 2 q = 1- 1–2(295.93x10 4)/ 0.9(30)(75)2(170) = 0.12207 p = 0.12207(170)/4200 = 0.0049408 As = 0.0049408(30)(75) = 11.117 cm 2 Varillas N° 6: as = 2.85 cm 2 Varillas N° 8: as = 5.07 cm 2 2 N° 8 y 1 N° 6, As = 12.99 cm
2
Refuerzo transversal
s
F R Av f y d ( sen cos ) V sR
(2.23)
VsR = Vu - VcR θ = 90°
FR = 0.8 Si p < 0.015 VcR = FRbd(0.2+20p) f c*
(2.19)
Si p 0.015
(2.20)
VcR = 0.5FRbd f c*
VcR = 0.8(30)(75)(0.2+20(0.0048866) 200 = 7579 kg Vu = 1.4(213.90) = 299.46 kN = (1/9.81)(1000) kg = 30525.99 kg VsR = 36596.94 – 7579 = 22947 kg Varillas N° 3: as = 0.71 cm 2 Av = 2(0.71) = 1.42 cm 2 s
0.8(1.42)(4200)(75)(1) 15.59cm 22947 (ec 2.23)
Por lo t anto, estrib os N° 3 @ 15 cm
El cómputo del acero negativo se lleva a cabo en forma similar. En la figura G se muestra un croquis con el armado de la contratrabe de la zapata.
14
Distancias en centímetros Croquis sin escala 1 N° 6
1 N° 6 2 N° 8
2 N° 8 r = 3 cm
2 N° 8
80 E N° 3 @ 15
r = 3 cm E N° 3 @ 20 400
1 N° 6
120 E N° 3 @ 15
1 N° 6
2 N° 8
120
r = 3 cm
E N° 3 @ 15
E N° 3 @ 20
80 E N° 3 @ 15
400
r = recubrimiento libre
(Cc zapacorr 31)
ARMADO DE LA CONTRATRABE DE LA Z APATA CORRIDA FIGURA G
Losa de la zapata
En las figuras E y F (obtenidas del anexo 1) se muestran los diagramas de reacción del terreno, para las condiciones a corto y largo plazo. Cabe destacar que las reacciones tienden a aumentar bajo las columnas de la estructura, sobre todo en los extremos de la zapata, por lo que no conviene tomar, para fines de diseño de la losa de la zapata, las reacciones en los extremos. Usaremos, en forma conservadora, la máxima reacción de 170.89 kN/m (excluyendo las reacciones de los extremos de la zapata). La presión vertical vale 170.89(0.5)/0.5(1.4) = 122.06 kPa La reacción neta es q n = 122.06 – 0.25(24) – 0.55(16) = 107.26 kPa a) Tensión diagonal Haciendo la revisión de la losa se encuentra que con un peralte de 20 cm se cumple con la seguridad estructural. A continuación presentamos la revisión para este peralte. La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura H). Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno, el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm, y puesto que el diámetro de la varilla del Nº 3 es de 0.712 cm, el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 20 - 3.4 cm = 16.6 cm. Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata, b = 1 m; fi gura H) V = 107.26(0.384) = 41.19 kN M = 107.26(0.336) 2/2 = 7.91 kN.m Vu = 1.4(41.19) = 57.67 kN = 5878.7 kg En elementos anchos, como son las zapatas, en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B 4d), con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2.0, la fuerza resistente V cR puede tomarse igual a 0.5F Rbdf c*, independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto). En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d, B = 320 cm > 4d = 120 cm M/Vd = 0.669 < 2 cumple como elemento ancho VcR = 0.5FRbd f c* =0.5(0.8)(100)(16.6) 200 VcR = 9390.4 kg > V u = 5878.7 kg Cumple
80
15
Tensión diagonal
Flexión
qn = 107.26 kPa
0.70 m 0.55 m 0.384 m
SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONAL Y POR FLEXIÓN FIGURA H
b) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura H) M = 107.26(0.55) 2/2 = 16.22 kN.m Mu = 1.4(16.22) = 22.71 kN.m = 231531 kN.m
El acero mínimo por flexión es pmin = 0.7f c’/f y (ec 10) pmin = 0.7250/4200 = 0.00264 pmax = 0.75 p b pb = (f c”/f y) [6000β1/(f y + 6000)] (11) si f c* ≤ 280 kg/cm2 β1 = 0.85 f c* = 0.8(250) = 200 kg/cm 2 f c” = 0.85(200) = 170 kg/cm 2 pmax = 0.0152 La fracción de acero necesario para soportar un momento M u está dada por la siguiente expresión q=1
q=1-
2 Mu 1 - FRbd2f c”
(ec 13)
2(231531) 1 - = 0.05651 0.9(100)(16.6)2(170)
p = q f c”/f y (ec 14) p = 0.002287 < pmin = 0.00264 Por lo tanto rige pmin As = pbd (ec 15) As = 0.00264(100)(16.6) = 4.382 cm 2 La separación de varillas es s = asb/As = 0.712(100)/4.382 = 16.25 cm Por lo tanto, vari llas N° 3 @ 16 cm
(ec 16)
16 d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata, y el del lecho superior se proporciona por temperatura, para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto) 66000(1.5) x As = (ec 25) f y (x + 100) en que As = área de acero necesaria por temperatura, en cm 2/m, para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 20/2 = 10 cm Sustituyendo valores, con x = 10 cm y f y = 4200 kg/cm 2: As = 2.143 cm2/m Aplicando la ec 16, con varillas del Nº 3 (as = 0.712 cm 2), s = 33 cm. Por lo tanto, usaremos varillas d el Nº 3 a cada 30 cm, por t emperatura. En la figura I se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata. (En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la contratrabe y de la losa de la zapata).
2 N° 8 y 1 N° 6 E N°3 @ 15 cm
Contratrabe
N° 3 @ 30 cm
2 N° 4
r = 3 cm 80
20
N° 3 @ 30 cm r = 3 cm
r = 3 cm
N° 3 @ 30 cm 2 N° 8 y 1 N° 6
4 30
r = 3 cm Plantilla de concreto pobre
N° 3 @ 16 cm 140
Distancias en centímetros Croquis sin escala
(Cc zapcorr 31)
ARMADO DE ZAPATA CORRIDA (REACCIÓN DE 170.89 kN/m) FIGURA I
(Cc ejemplo zapata corrida 0110) (Cc zapcorr 31.xls) (CCMF092.BAS) (MFLEX07.FOR,Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.SDB; SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. Diseño estructural)
Método iterativo
El análisis de interacción se puede llevar a cabo en forma iterativa (Ccmaflx02.for; Mafdatx0210). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme, la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m
17 Usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual se exhibe en el anexo 1, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 3 se exhiben los resultados de este primer cálculo del análisis a corto plazo (primera i teración). El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = r i di / i
(I)
Sustituyendo valores se obtienen los valores de K v mostrados en el anexo 3. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas r Ei sobre el terreno r Ei
K vi Ei d i
(J)
A continuación se hace r i = r Ei, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. En el anexo 3 se presentan los resultados de la última iteración. Con los valores de Kv de esta última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre la zapata corrida (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Se encuentran los siguientes valores máximos
Momento negativo, kN.m Momento positivo, kN.m Cortante centro, kN Cortante extremos, kN
CORTO PLAZO 179.04 181.23 265.72 168.91
Estas magnitudes son similares a las halladas con el método directo. Las diferencias se deben básicamente a que en el procedimiento directo se aplican reacciones repartidas sobre la estructura, mientras que con el método iterativo las reacciones sobre la estructuras son cargas puntuales (a través de los resortes).
Análisis aproximado de interacción
En ocasiones se requiere, para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación, estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”, pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno; la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno, y hacer iteraciones variando los módulos de reacción, hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo, y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos, lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación. Para valuar esta relación, se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo, K rg, definido como
18 K rg
(1 s ) E st I st (1 st ) E s L3
(K)
Cuando Krg es mayor que 0.04 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión ne
nr
j=1
k=1
i = oi + ( Δz j/Esij) Iijk r kdk/ak
(49)
El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa. Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = r i di / i
(L)
Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi, es decir E
i d i d i
(M)
Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones r Ei r Ei
K vi E d i
(N)
Hacemos r i = r Ei, y con estas r i se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de K vi de la ecuación L. Consideremos el ejemplo de la figura A, con B = 1.4 m. Analizamos la condición a corto plazo.
0.3(0.8)3 0.0091429m 4 / m I st 12(1.4) Reemplazando en la ecuación K K rg
(1 0.5)221360000.0091429 (1 0.2)(3301.6)(8)3
= 0.075 > 0.004 Por lo tanto, podemos considerar la estructura de cimentación como rígida, en comparación con el terreno de cimentación. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo, usamos la retícula de l a figura B. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme, que vale r = ΣQ/longitud de la zapata
19
r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m En el anexo 4 (Cciszcaprox 02.doc) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L (Ccmafxap.for; Mafxapdat). El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones r Ei Ei para la primera iteración. A continuación se hace r i = r Ei , y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El Ei proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de K vi (Ccmafxap.for). En el anexo 4 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de K vi de la última iteración del anexo 4. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son muy similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que la zapata corrida (con su contratrabe) es rígida en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas del módulo de reacción
Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical K v
k v
Qv v
K v a
Qv a v
qv v
Corto plazo
Bajo el centro de la zapata corrida k vc
qv v
137.17 4010.82kN / m3 0.0342
K vc k vc a 4010.82(1)(1.4) 5615.1kN / m
En las orillas de la zapata se puede usar k vo 2.1k vc k vo 2.1(4010.82) 8422.7kN / m 3 K vo k vo a 8422.7(0.5)(1.4) 5895.9kN / m
Largo plazo
Se toma el asentamiento total de la zapata δ = δu + δ’ = 3.43 + 2.37 = 5.80 cm
20 k vc
qv v
137.17 2365kN / m 3 0.0580
K vc k vc a 2365(1)(1.4) 3311kN / m
k vo 2.1(2365) 4966.5kN / m 3 K vo k vo a
4966.5(0.5)(1.4) 3476.55kN / m
Referencias
Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Ciudad Universitaria, D F, abril de 2014 (Cc ejemplo zapata corrida 0312) (Cc zapcorr 31.xls) (CCMF092.BAS) (MFLEX07.FOR,Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.SDB; SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. Diseño estructural)
(Cc ejemplo zapata corrida 140401)
21 ANEXO 1 MÉTODO DIRECTO CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
K
IIJK
1 0.2567258 2 -6.4374991E-02 3 -1.1851594E-02 4 -3.6387295E-03 5 -1.5502423E-03 6 -7.9695880E-04 7 -4.6211481E-04 8 -2.9142201E-04 9 -1.0676682E-04 1 0.1357638 2 8.4867723E-02 3 -1.9010911E-03 4 -6.3766120E-03 5 -4.1630799E-03 6 -2.5608931E-03 7 -1.6312022E-03 8 -1.0871524E-03 9 -4.1008741E-04 1 -4.6013139E-02 2 0.5134517 3 -6.4374991E-02 4 -1.1851594E-02 5 -3.6387295E-03 6 -1.5502423E-03 7 -7.9695880E-04 8 -4.6211481E-04 9 -1.6115606E-04 1 6.6578142E-02 2 0.2715276 3 8.4867723E-02 4 -1.9010911E-03 5 -6.3766120E-03 6 -4.1630799E-03 7 -2.5608931E-03 8 -1.6312022E-03 9 -5.9548020E-04 1 -7.8833699E-03 2 -6.4374991E-02 3 0.5134517 4 -6.4374991E-02 5 -1.1851594E-02 6 -3.6387295E-03 7 -1.5502423E-03 8 -7.9695880E-04 9 -2.5954843E-04 1 1.1479063E-03 2 8.4867723E-02 3 0.2715276 4 8.4867723E-02 5 -1.9010911E-03 6 -6.3766120E-03 7 -4.1630799E-03 8 -2.5608931E-03 9 -9.0234820E-04
MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I
J
FLE (I,J)
1 1 1 1 1 1
1 8.3963081E-05 2 1.0876928E-05 3 -2.7036124E-06 4 -2.3856419E-06 5 -1.4047749E-06 6 -8.3514840E-07
22 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9
7 -5.2353766E-07 8 -3.4585847E-07 9 -1.2987714E-07 1 9.3634817E-06 2 1.6792616E-04 3 1.0876928E-05 4 -2.7036124E-06 5 -2.3856419E-06 6 -1.4047749E-06 7 -8.3514840E-07 8 -5.2353766E-07 9 -1.8972501E-07 1 -1.1505573E-06 2 1.0876928E-05 3 1.6792616E-04 4 1.0876928E-05 5 -2.7036124E-06 6 -2.3856419E-06 7 -1.4047749E-06 8 -8.3514840E-07 9 -2.9033512E-07 1 -1.3399995E-06 2 -2.7036124E-06 3 1.0876928E-05 4 1.6792616E-04 5 1.0876928E-05 6 -2.7036124E-06 7 -2.3856419E-06 8 -1.4047749E-06 9 -4.6879202E-07 1 -7.9678608E-07 2 -2.3856419E-06 3 -2.7036124E-06 4 1.0876928E-05 5 1.6792616E-04 6 1.0876928E-05 7 -2.7036124E-06 8 -2.3856419E-06 9 -7.9678608E-07 1 -4.6879202E-07 2 -1.4047749E-06 3 -2.3856419E-06 4 -2.7036124E-06 5 1.0876928E-05 6 1.6792616E-04 7 1.0876928E-05 8 -2.7036124E-06 9 -1.3399995E-06 1 -2.9033512E-07 2 -8.3514840E-07 3 -1.4047749E-06 4 -2.3856419E-06 5 -2.7036124E-06 6 1.0876928E-05 7 1.6792616E-04 8 1.0876928E-05 9 -1.1505573E-06 1 -1.8972501E-07 2 -5.2353766E-07 3 -8.3514840E-07 4 -1.4047749E-06 5 -2.3856419E-06 6 -2.7036124E-06 7 1.0876928E-05 8 1.6792616E-04 9 9.3634817E-06 1 -1.2987714E-07 2 -3.4585847E-07 3 -5.2353766E-07 4 -8.3514840E-07 5 -1.4047749E-06 6 -2.3856419E-06 7 -2.7036124E-06 8 1.0876928E-05 9 8.3963081E-05
23 GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N =
9, GIROS LOS SIGUIENTES
1 369.8073 2 158.9593 3 168.7970 4 170.0947 5 170.8940 6 170.0905 7 168.7889 8 158.9483 9 369.7728 10 8.2676351E-04 11 6.2260818E-04 12 2.4497701E-04 13 -4.8799062E-05 14 3.9106268E-07 15 4.9568829E-05 16 -2.4423562E-04 17 -6.2188436E-04 18 -8.2604040E-04 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3.1343196E-02 3.0591615E-02 3.0154150E-02 3.0073794E-02 3.0137442E-02 3.0073011E-02 3.0152615E-02 3.0589338E-02 3.1340200E-02
I, KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NBC =
5899.323 5196.173 5597.805 5655.912 5670.487 5655.919 5597.819 5196.200 5899.337 8
BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 -2.7761911E-03 320.0061 2 -87.66279 20 0.0000000E+00 2 11 177.4540 87.71329 3 44.12489 21 0.0000000E+00 3 12 200.4574 -44.17102 4 181.5769 22 0.0000000E+00 4 13 87.74194 -181.5238 5 319.9782 23 0.0000000E+00 5 14 -162.9228 320.0182 6 -181.5660 24 0.0000000E+00 6 15 87.77090 181.5549 7 -44.15522 25 0.0000000E+00 7 16 200.4605 44.17601 8 87.65258 26 0.0000000E+00 8 17 177.4922 -87.69897 9 320.0195 27 0.0000000E+00
11 -177.4760 1 19 0.0000000E+00 12 -200.4781 2 20 0.0000000E+00 13 -87.74567 3 21 0.0000000E+00 14 162.9092 4 22 0.0000000E+00 15 -87.76894 5 23 0.0000000E+00 16 -200.4632 6 24 0.0000000E+00 17 -177.4919 7 25 0.0000000E+00 18 1.4384779E-02 8 26 0.0000000E+00
24 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536.320 REACCION TOTAL = 1536.363 LARGO PLAZO GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N =
9, GIROS LOS SIGUIENTES
1 422.3590 2 146.1361 3 164.3244 4 163.9057 5 165.0838 6 163.9070 7 164.3274 8 146.1400 9 422.3759 10 1.2201262E-03 11 8.3976507E-04 12 1.8310320E-04 13 -2.6275381E-04 14 -1.9832142E-07 15 2.6231387E-04 16 -1.8360223E-04 17 -8.4029103E-04 18 -1.2206432E-03 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5.1284160E-02 5.0206777E-02 4.9692508E-02 4.9770597E-02 4.9981888E-02 4.9771011E-02 4.9693398E-02 5.0208185E-02 5.1286101E-02
I, KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NBC =
4117.831 2910.686 3306.825 3293.223 3302.872 3293.222 3306.825 2910.681 4117.839 8
BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 1.1310316E-02 319.9722 2 -67.76466 20 0.0000000E+00 2 11 159.3639 67.75906 3 55.43122 21 0.0000000E+00 3 12 167.8078 -55.46063 4 187.5357 22 0.0000000E+00 4 13 46.25414 -187.5249 5 319.9796 23 0.0000000E+00 5 14 -207.3470 319.9949 6 -187.5396 24 0.0000000E+00 6 15 46.28447 187.5131 7 -55.43594 25 0.0000000E+00 7 16 167.8168
11 -159.3522 1 19 0.0000000E+00 12 -167.8015 2 20 0.0000000E+00 13 -46.25730 3 21 0.0000000E+00 14 207.3509 4 22 0.0000000E+00 15 -46.27312 5 23 0.0000000E+00 16 -167.8116 6 24 0.0000000E+00 17 -159.3623
7
25 55.41589 8 67.77781 26 0.0000000E+00 8 17 159.3670 -67.79720 9 320.0151 27 0.0000000E+00
25 0.0000000E+00 18 9.9744294E-03 8 26 0.0000000E+00
EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536.320 REACCION TOTAL = 1536.192
ANEXO 2 ZAPATA CORRIDA DISEÑO ESTRUCTURAL CONTRATRABE ACERO POSITIVO ESTRIBOS AL CENTRO DE LA ZAPATA DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA. FECHA: 16/08/01. PROGRAMA `DVCR8' DATOS. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2073600 V= 21390 FYE= 4200 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 AS1= 1 RESULTADOS. D= 75 MU= 2903040 VU= 29946 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 4.840552E-03 AS= 10.89124 ASMIN= 5.92927 P1= 4.444445E-04 VCR= 8787.779 VCRPMIN= 7103.63 SA= 16.91257 SB= 45.44 S1= 14.59653 SPMIN= 15.66562 S.5= 20.78281 VCR1= 5430.58 VCR.5= 12727.92 VCR1.5= 38183.77 VCR2= 50911.69 SI VCR < VU < VCR1.5 ENTONCES SMAX = 0.5D ; SI VU > VCR1.5 ENTONCES SMAX =0.25D ; EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4.489796E-02 cm2 / cm, PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL. VARILLA No 3, N° VARILLAS = 15.28381 No 4 = 8.597442 No 6 = 3.821488 No 8 = 2.149403 ESTRIBOS No 2, SA= 4.544339 SB= 12.20954 ESTRIBOS No 3, SA= 16.97451 SB= 45.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT' (535) CONTRATRABE ACERO NEGATIVO ESTRIBOS EN LOS EXTREMOS DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA. FECHA: 16/08/01. PROGRAMA `DVCR8' DATOS. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2075900 V= 11304 FYE= 4200 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 AS1= 1 RESULTADOS. D= 75 MU= 2906260 VU= 15825.6 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 4.846287E-03 AS= 10.90414 ASMIN= 5.92927 P1= 4.444445E-04 VCR= 8792.158 VCRPMIN= 7103.63 SA= 50.87694 SB= 45.44 S1= 34.42418 SPMIN= 41.02743 S.5= 115.5188 VCR1= 5430.58 VCR.5= 12727.92 VCR1.5= 38183.77 VCR2= 50911.69 SI VCR < VU < VCR1.5 ENTONCES SMAX = 0.5D ; SI VU > VCR1.5 ENTONCES SMAX =0.25D
26 ; EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4.489796E-02 cm2 / cm, PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL. VARILLA No 3, N° VARILLAS = 15.30191 No 4 = 8.607629 No 6 = 3.826016 No 8 = 2.15195 ESTRIBOS No 2, SA= 13.67042 SB= 12.20954 ESTRIBOS No 3, SA= 51.06325 SB= 45.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT10' (535)
LOSA DE LA ZAPATA R = 170.8936 kN/m (Anexo 1) q = 170.89(1)/(1)(1.4) = 122.06 kPa q n = 122.06 – 0.25(24) – 0.55(16) = 286.886 kPa PROGRAMA `ZAPATA8' DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA OBRA: . FECHA: . ARCHIVO `' DATOS F'C= 250 FY= 4200 B= 100 H= 20 R= 3.4 QE= 10.726 LE= .55 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 VARILLA NUMERO 3 AREA VARILLA = .71 RESULTADOS D= 16.6 MU= 227123.1 VU= 5766.298 COC= 1.156627 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO, COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 2.242613E-03 AS= 3.722738 ASMIN= 4.374484 VCR= 5019.691 VCRPMIN= 5240.901 VCR.5= 9390.378 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO, VCR = VCR.5 SI P >= 0.01 ENTONCES VCR = VCR.5 ASTEMP = 2.142857 cm2 / m, PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 3 SEPARACION = 19.07199 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 16.23049 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 33.13334 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 20 cm ARMADO: VARILLAS N° 3 A CADA 19.07199 cm ARCHIVO 'CCZCL' (505) (Cc zapata corrida. Diseño estructural) (CCMF092.BAS; matriz de flexibilidades) (CCMFL92A.BAS; matriz de flexibilidades, largo plazo) (Ejemplo A E zapata corrida 09209; SAP 2000)
ANEXO 3 MÉTODO ITERATIVO PRIMERA ITERACIÓN I
DELTA, m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.6613683E-02 3.4591034E-02 3.4741942E-02 3.4312472E-02 3.4165435E-02 3.4312475E-02 3.4741942E-02 3.4591038E-02 1.6613679E-02
R, kN/m 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400
27 I
KV, kN/m
5779.573 5551.728 5527.612 5596.798 5620.885 5596.798 5527.612 5551.727 5779.575 ÚLTIMA ITERACIÓN I
DELTA, m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
I
2.7580010E-02 2.7275965E-02 2.6492080E-02 2.6729854E-02 2.6863335E-02 2.6729839E-02 2.6492080E-02 2.7275966E-02 2.7580019E-02
R, kN/m 325.1975 142.1134 148.0954 151.2394 152.2715 151.2393 148.0954 142.1134 325.1976
KV, kN/m
5895.529 5210.207 5590.176 5658.070 5668.376 5658.070 5590.176 5210.206 5895.529
ANEXO 4 INTERACIÓN SUELO-ESTRUCTURA, APROXIMADO PRIMERA ITERACION I
I
DELTA, m
R, kN/m
1 2 3 4 5 6 7 8 9
192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400 192.0400
1.6613683E-02 3.4591034E-02 3.4741942E-02 3.4312472E-02 3.4165435E-02 3.4312475E-02 3.4741942E-02 3.4591038E-02 1.6613679E-02
KV, kN/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5779.573 5551.728 5527.612 5596.798 5620.885 5596.798 5527.612 5551.727 5779.575
28 LT=
8 m
DELTAE = 3.2258749E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE', kN/m 372.8836 179.0918 178.3139 180.5457 181.3227 180.5457 178.3139 179.0918 372.8837 ÚLTIMA ITERACIÓN I
DELTA, m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
I
3.2466237E-02 3.2537859E-02 3.2458805E-02 3.2490533E-02 3.2482944E-02 3.2490533E-02 3.2458805E-02 3.2537878E-02 3.2466237E-02
R, kN/m 383.0945 169.6074 181.6335 183.6138 183.9529 183.6138 181.6335 169.6075 383.0945
KV, kN/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5899.891 5212.617 5595.816 5651.302 5663.061 5651.302 5595.816 5212.617 5899.891
LT=
8 m
DELTAE = 3.2490447E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE', kN/m 383.3802 169.3603 181.8106 183.6133 183.9954 183.6133 181.8106 169.3603 383.3802
ANÁLISIS Y DISEÑO DE UNA CIMENTACIÓN COMPENSADA Agustín Deméneghi Colina*
Realizar el diseño geotécnico del cajón de cimentación de un edificio de dimensiones 20 por 30.6 m en planta. El inmueble (de seis pisos) tiene un peso unitario máximo de 83 kPa y un peso unitario medio de 70 kPa (ya considerando el peso del cajón de cimentación). La estratigrafía del subsuelo se indica en la figura A. Calcular los siguientes movimientos: (a) La expansión inmediata del fondo del corte, debida a la excavación; (b) El asentamiento inmediato por recompresión (recuperación de la expansión por excavación); (c) El asentamiento por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso máximo del edificio); y (d) El asentamiento diferido por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso medio del inmueble). Considerar que la presión crítica p vb' = 1.5 pvo'. Vida útil del inmueble = 50 años Zona II del Distrito Federal. No existen construcciones colindantes.
NAF
Ee kPa
Eu kPa
Ep kPa
Ecs kPa
cv cm2/s
ξ
Gdin kPa
2 m Limo arcilloso sensitivo Gamma = 17 kN/m3
4m
4955
3980
6200
11295
2x10-3
5
3400
Arcilla limosa sensiti va Gamma = 14 kN/m3
4m
4905
4000
6795
12400
1.2x10-3
5
3300
Arcilla limosa sensiti va Gamma = 12 kN/m3
5m
5005
Lentes permeables 3890 7200 12805
1x10-3
5
3200
Arena muy compacta
(Cc cimentación compensada ejemplo 130901)
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES FIGURA A
SOLUCIÓN Determinación de la profundidad de desplante A la profundidad de desplante del cajón se debe cumplir Incremento neto de presión=PUM–p vod ≤ pvb’-pvo’
(A)
donde PUM = peso unitario medio = 70 kPa pvod = presión total previamente existente en el suelo, a la profundidad de desplante Si utilizamos la igualdad en la expresión 1, suponiendo que Df > 2 m, y dado que p vb’ = 1.5 pvo’ 70–17Df = 0.5p vo’ = 0.5[17(2) + (D f – 2)(17-9.81)]
Df = 2.92 m Usaremos Df = 3 m *
Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
2
Estados límite de servicio
Expansión inmediata
La descarga por excavación es q exc = 17(3) = 51 kPa Las deformaciones inmediatas se calculan usando la ley de Hooke z
z E s
z
x y
(B)
Estrato 1 Ee = 4955 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0.5, z = 1/2 = 0.5 m z = 50.997 kPa x = 48.483 kPa y = 47.707 kPa
Reemplazando en la ecuación B
e
1
50.997 0.548.48 47.71
4955
δe = 0.0005858 m
Procediendo en forma análoga con los demás estratos, arribamos a los siguientes resultados Estrato 1 2 3 Suma
Deltae m 0.00059 0.01308 0.02782 0.04149
Es decir, debido a la excavación, ocurre una expansión inmediata del fondo del corte de 4.15 cm Asentamiento inmediato
Estrato 1 Eu = 3980 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0.5, z = 1/2 = 0.5 m
El incremento neto de presión vale INP = 83 – 51 = 32 kPa
3
z = 31.998 kPa x = 30.420 kPa y = 29.934 kPa
Reemplazando en la ecuación B
u
1
31.998 0.530.42 29.93
3980
δu = 0.0004574 m
Procediendo en forma análoga con los demás estratos, arribamos a los siguientes resultados (Cc cimentación compensada tablas.xls) Estrato 1 2 3 Suma
Deltau m 0.00046 0.01006 0.02246 0.03297
Es decir, debido a un incremento neto de presión de 32 kPa, la cimentación sufre un asentamiento inmediato de 3.30 cm. Asentamiento diferido
Empleamos la siguiente expresión t = P U + Ct log (1 + ξ T)
(149)
Pt = P U
(149a)
St = Ct log (1 + ξ T)
(149b)
t = Pt + Pt
(149c)
donde P = (zo/Ep) z
(C)
Ct = (zo/Ecs) z
(D)
El incremento neto de presión, para condiciones a largo plazo es INP = 70 – 51 = 19 kPa Estrato 1 Ep = 6200 kPa Ecs = 11295 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0, z = 1/2 = 0.5 m z = 18.999 kPa
4
Reemplazando en las ecuaciones C y D P = (1/6200)(18.999) = 0.003064 m
Ct = (1/11295)(18.999) = 0.001682 m Calculamos el asentamiento para t = 50 años: T
C v t
z e 2
t = 50(365.25)(86400) = 1.57788x10 9 s T
0.0021.57788x109 315.58 2 1002
Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria y U = 100% = 1 Sustituimos en las ecuaciones 149a, 149b y 149c Pt = 0.003064(1) = 0.003064 m St = 0.001682 log (1+5(315.58)) = 0.005380 m
t = 0.003064 + 0.005380 = 0.008444 m
Procediendo en forma similar para los demás estratos Estrato 1 2 3
σz kPa 18.99893 18.79065 16.85042
Estrato
δPt
1 2 3
m 0.00306 0.01104 0.01168
δP
m 0.00306 0.01104 0.01168
log(1+ξT) 3.19835 2.37600 2.10459
δSt
m 0.00538 0.01439 0.01384 Suma
Ct m 0.00168 0.00606 0.00658 δt
m 0.00844 0.02543 0.02552 0.059 39
Es decir, para una vida útil de 50 años, el asentamiento diferido de la cimentación en este período resulta de 5.94 cm. El asentamiento total es = u + t = 3.30 + 5.94 = 9.24 cm
Para fines de diseño de accesos y de instalaciones al edificio, se debe tomar en cuenta además el asentamiento por recompresión, es decir = 4.15 + 3.30 + 5.94 = 13.39 cm
5 Giro permanente de un cimiento
El giro permanente de un cimiento está dado por (Zeevaert, 1973) d ep e El giro elastoplástico de un cimiento de planta circular es
31 M 8Gep R 3
ep
y el giro elástico e
31 M 8Ge R 3
Es decir
31 M Ge 1 8Ge R 3 Gep
d Sea
Ge
ep
Gep
Por lo tanto d e ep 1 O bien
31 M ep 1 8Ge R 3
d
(E)
Como G
E
21
entonces ep
E e E ep
El valor de κep se puede obtener mediante pruebas dinámicas de compresión, obteniendo las deformaciones elásticas y plásticas producidas por ciclos de esfuerzos sobre probetas de suelo (Zeevaert, 1973). Por ejemplo, en la arcilla de la ciudad de México, los módulos dinámicos valen G e ≈ 3300 kPa y Gep ≈ 2700 kPa y κep ≈ 1.22
6 El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN
La fuerza sísmica vale S = (0.32)(50796) = 16254.7 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.5 m El momento sísmico es M = 16254.7(10.5) = 170674.6 kN.m Sustituyendo en la ecuación E d
31 0.5170674.6 1.22 1 0.00104 0.104% 8330012.7 3
El giro permisible es permisible %
100 100 3hc
hc = altura de la construcción = 21 m permisible
100 0.613% 100 321
d 0.104 % permisible 0.613%
Cumple
(Memoria de cálculo 121001, Deformaciones)
Estados límite de falla
Se debe verificar qult qR qR = 5.14 cu f c FR + pv
(33)
f c = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B
(34)
para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 En la zona II del Distrito Federal FR = 0.7
7
Primera combinación de acciones (carga permanente más carga accidental)
qult = Q Fc / A = ( Q / A) Fc qult = 83(1.4) = 116.2 kPa Encontramos un promedio ponderado de la cohesión cum
1(22) (4)(23) 520 10
21.4 kPa
Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 f c = 1 + 0.25 (20/30.6) + 0.25 (3/20) = 1.201 Usaremos FR = 0.7 (Cc cimentación compensada ejemplo.xls) qR = 5.14(21.4)(1.201)(0.7)+3(17) = 143.47 kPa qult = 116.2 kPa < q R = 143.47 kPa Cumple Segunda combinación de acciones (carga permanente más carga variable más carga accidental)
El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN
La fuerza sísmica vale S = (0.32/2)(50796) = 8127.36 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.5 m El momento sísmico es My = 8127.36(10.5) = 85337.28 kN.m Mx = 0.3(85337.28) = 25601.18 kN.m e x
e y
M y
Q M x
Q
85337.28 1.68 m 50796
33465.6 0.504 m 66400
B’ = B -2ex = 20 – 2(1.68) = 16.64 m L’ = L – 2e y = 30.6 – 2(0.504) = 29.592 m Reemplazamos en las ecuaciones 34 y 33
8 f c = 1 + 0.25(16.64/29.592) + 0.25(3/16.64) = 1.1857 Usaremos FR = 0.7 qR = 5.14(21.4)(1.1857)(0.7)+3(17) = 142.30 kPa qult = [50796/((16.64)(29.592))](1.1) = 113.47 kPa < q R = 142.30 kPa Cumple
Diseño estructural
Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi, 1996)
El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula ne
nr
j=1
k=1
i = oi + ( Δz j/Esij) Iijk r kdk/ak
(49)
donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk)
(48)
Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área a k (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades I xijk e I yijk se obtienen en forma similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal. El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno. (Deméneghi, 1996). Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura. Dividamos la planta de la cimentación en los nudos indicados en la figura B.
9
30.6 m
109
110
111
112
113
114
115
116
117
100
101
102
103
104
105
106
107
108
91
92
93
94
95
96
97
98
99
82
83
84
85
86
87
88
89
90
73
74
75
76
77
78
79
80
81
64
65
66
67
68
69
70
71
72
55
56
57
58
59
60
61
62
63
46
47
48
49
50
51
52
53
54
37
38
39
40
41
42
43
44
45
28
29
30
31
32
33
34
35
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20 m
NUMERACIÓN DE NUDOS DE LA CIMENTACIÓN FIGURA B
(Cc cimentación compensada ejemplo 0210)
Corto plazo
Usamos ν = 0.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia I z111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a 1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos z = Iz111 = 0.240351 kPa x = Ix111 = 0.128409 kPa y = Iy111 = 0.129680 kPa
I111 = 0.111306 kPa
10 Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En el anexo 1 (Ccisebl02210.for; Isebldat02210) se exhi-ben las magnitudes de algunos valores de influencia. Los módulos de deformación del suelo E s se encuentran de la siguiente forma: De acuerdo con la ley de Hooke (ecuación B) E s
z z
z
x y
(E)
Estrato 1 El asentamiento inmediato debido a la recuperación de la expansión más el hundimiento debido al incremento neto de carga vale δz = 0.0005856 + 0.0004573 = 0.0010429 m
Los incrementos de esfuerzo ocasionados por el peso unitario máximo de 83 kPa son z = 82.995 kPa x = 78.903 kPa y = 77.641 kPa Reemplazamos valores en la ecuación E, con ν = 0.5 Es1 = 4528.7 kPa Procediendo en forma similar hallamos para los estratos 2 y 3 Es2 = 4517.6 kPa Es3 = 4517.9 kPa Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = ( Δz1/Es11) (I111r 1d1/a1 + I112r 2d2/a2 + … )
+ ( Δz2/Es12) (I121r 1d1/a1 + I122r 2d2/a2 + … ) + ( Δz3/Es13) (I131r 1d1/a1 + I132r 2d2/a2 + … )
1 = (1)/4528.7) {[0.111306 (2.5/2+2.55/2) /
(2.5/2)(2.55/2)] r 1 -[0.0251006(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r 2 + … } +(4)/(4517.6){[0.0617235(2.5/2+2.55/2)/ (2.5/2)(2.55/2) ] r 1 +[0.0330184(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r 2 + … } +(5)/(4517.9){[0.0127971(2.5/2+2.55/2)/(2.5/2)(2.55/2) ] r 1 +[0.0189969(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r 2 + … }
Los demás asentamientos se obtienen en forma similar. En el anexo 1 se muestra algunas cantidades de la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (Ccisebl02210.for; Isebldat02210) Como señalamos antes, el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, usando el programa de computadora Ccisebl02210.for. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldat02210. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL. En las figuras B y C se exhiben la numeración de nudos de la cimentación y la numeración de las barras, respectivamente. En el anexo 1 se exhiben algunos resultados de la interacción sueloestructura.
11 97 204
98 205
89 195
90
81
177
178
168
179
169 57
159
170 58
160 49
150
141
132
123
114
105
28
19
10
20
11
2
21
12
13 109
4
5
24
15 112 7
NUMERACIÓN DE BARRAS FIGURA C
En la estructura de cimentación se consideraron las siguientes propiedades: f c’ = 250 kg/cm 2 E c 14000 f c '
Gc
22135944 9223310kPa 2(1 0.2)
Momento de inercia centroidal alrededor del eje x I x
bh 3
12
122 16
20 m
E c 14000 250 Ec = 221359.44 kg/cm 2 = 22135944 kPa E c Gc 21
131
121
111 6
32
23
14
140
130
120
110
40
31
22
149
139
129
119
48
39
30
158
148
138
128
118
108 3
29
56
47
38
167
157
147
137
127
117
107
37
64
55
46
176
166
156
146
136
126
116
106 1
135
125
115
145
175
165
155
185 72
63
54
45
36
27
18
9
144
134
124
154
184
174
164
194 80
71
62
53
44
35
26
17
153
143
133
163
193
183
173
203 88
79
70
61
52
43
34
25
162
152
142
172
202
192
182
212 96
87
78
69
60
51
42
33
171
161
151
181
211
201
191
104
95
86
77
68
59
50
41
180
210
200
190
103
94
85
76
67
209
199
189
102
93
84
75
66
208
198
188
101
92
83
74
65
207
197
187
100
91
82
73
30.6 m
206
196
186
99
113 8
12
Momento polar de inercia centroidal J c
bh
12
b 2 h 2
Para el cálculo del momento polar de inercia se supuso una dimensión longitudinal máxima de 5 veces la dimensión transversal (Momentos de inercia.xls) Se consideraron contratrabes de 0.4 m de ancho por 1 m de peralte, muros perimetrales de 0.2 por 3 m, y losa de cimentación de 0.25 m de peralte. En el anexo 1 se muestran los resultados del análisis a corto plazo. El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura D) Tramo I
Tramo II
L/2
L/2 w
Mp
Mq x Vr
Vs rs rr
CARGAS SOBRE LA BARRA (NUDO SOBRE BARRA) FIGURA D
(Cc ejemplo zapata corrida figuras)
Tramo I (0 < x < L/2) V = - Vr + (r r – w) x
(C)
2 M = - Mp – Vr x + (r r – w) x / 2
(D)
x M max
V r r r w
(E)
Tramo II (L/2 < x < L) L L w x V V r r r w r s
2
2
L L M M p V r x r r w x
2
4
2
w L r s x
2
2
(G)
(F)
13
x M max
L
2
L V r r r w
w r s
2
(H)
Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras de la estructura de cimentación (Cc cimentación compensada E M,xls). Al aplicar las ecuaciones C a H, los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1; elementos mecánicos de barra sobre nudo). Los valores V y M, en las ecuaciones C a H, son los elementos mecánicos a lo largo de la barra, para los que rige la convención de signos del diseño estructural, la cual se muestra en la figura E.
V M
M (+)
(+)
(+)
(+)
V
MOMENTO FLEXIONANTE
FUERZA CORTANTE
CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURAL FIGURA E (Cc ejemplo zapata corrida figuras)
Largo plazo
Los módulos de deformación a largo plazo del suelo E s se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 0.059+0.046+0.844 = 0.949 cm; considerando sólo deformación vertical: E s = σz/εz = σz( Δzo)/δz = 82.995(1)/0.00949 = 8748.5 kPa (en forma conservadora tomamos el peso unitario máximo del inmueble, 83 kPa). Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. Para los estratos 2 y 3 se procede en forma similar y se encuentran Es2 = 6760.7 kPa Es3 = 4817.2 kPa Para tomar en cuenta el efecto del tiempo, en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0.5 E; E’ = 0.5(22135944) = 11067972 kPa En el anexo 1 (Ccisebl0310.for; Isebldat0310) se exhiben los resultados del análisis a largo plazo. El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos, lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos.
Método iterativo
El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa (Ccmafl01.for; Mafledat02). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme, la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata
14
ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN ΣL = 20(13)+30.6(9) = 535.4 m
r = 50796/535.4 = 94.875 kN/m Con esta magnitud de r, y usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual se exhibe en el anexo 2, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este análisis a corto plazo (primera iteración). El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = r i di / i
(I)
Sustituyendo valores se obtienen los valores de K v mostrados en el anexo 2. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Losa cimentación 02110.SDB; SAP 2000). Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas r Ei sobre el terreno r Ei
K vi Ei d i
(J)
A continuación se hace r i = r Ei, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. En el anexo 2 se presentan los resultados de la última iteración. [Comparando las magnitudes de K v encontradas con los dos métodos (directo e iterativo) de l os anexos 1 y 2, apreciamos que dichas cantidades son parecidas, por lo que podemos concluir que usando cualquiera de estos procedimientos se llega a resultados que similares entre sí.] Con los valores de K v de la última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre las contratrabes, los muros perimetrales y la losa de cimentación (Losa cimentación 02110.SDB; SAP 2000).
Análisis aproximado de interacción
En ocasiones se requiere, para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación, estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”, pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno; la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno, y hacer iteraciones variando los módulos de reacción, hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo, y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos, lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación. Para valuar esta relación, se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo, K rg, definido como K rg
(1 s ) E st I st (1 st ) E s L3
(K)
15 Est = módulo de elasticidad de la estructura Ist = momento de inercia de la estructura, por unidad de ancho de la misma L = longitud de la estructura Cuando Krg es mayor que 0.005 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión ne
nr
j=1
k=1
i = oi + ( Δz j/Esij) Iijk r kdk/ak
(49)
El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa. Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = r i di / i
(L)
Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi, es decir E
i d i d i
(M)
Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones r Ei r Ei
K vi E d i
(N)
Con estas cargas r i se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de K vi de la ecuación L. Consideremos el ejemplo de la figura A, Analizamos la condición a corto plazo.
0.233
I st
12
2
0.413 1 7 12 20
Ist = 0.056667 m 4/m Reemplazando en la ecuación K K rg
(1 0.5)221359440.056667 (1 0.2)(4518.9)(30.6)3
Krg = 0.006055 > 0.005 Por lo tanto, podemos considerar la estructura de cimentación como rígida, en comparación con el terreno de cimentación. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo, usamos la retícula de l a figura B. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme, que vale
16 r = ΣQ/longitud de la zapata r = 50796/535.4 = 94.875 kN/m En el anexo 3 (Iseaprox0110.for; Mafledat013, RESMAFLAPR) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L. El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones r Ei para la primera iteración. A continuación se hace r i = r Ei Ei, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de K vi. En el anexo 3 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de K vi de la última iteración del anexo 3. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que el cajón de compensación es rígido en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas de los módulos de reacción
Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical K v
k v
Qv
v
K v a
Qv a v
qv
v
Corto plazo
Bajo el centro de la losa de cimentación k vc
q
e u
83 1114 kN / m3 0.0415 0.0330
K vc k vc a 1114( 2.5)(2.55) 7102kN / m
En las orillas de la losa se puede usar k vo 2.3 2.8k vc k vo
2.8(1114) 3119.2kN / m 3
K vo k vo a 3119.2(1.25)(2.55) 9942.4kN / m
En las esquinas k ve 6 7k vc
17 k ve 7(1114) 7798kN / m 3 K ve k ve a 7798(1.25)(1.275) 12428.1kN / m
Largo plazo
Se toma el asentamiento total de la zapata = 0.0415 + 0.0330 + 0.0594 = 0.1339 m
k vc
q
70 522.8kN / m3 0.1339
K vc k vc a 522.8( 2.5)( 2.55) 3332.8kN / m
k vo 2.3 2.8k vc k vo 2.8(522.8) 1463.8kN / m 3 K vo k vo a 1463.8(1.25)( 2.55) 4666kN / m
k ve 6 7k vc k ve 7(522.8) 3659.6kN / m 3 K ve k ve a 3659.6(1.25)(1.275) 5832.5kN / m
Interacción Interacción dinámica suelo-estructura
Período de vibración del suelo
(Período de vibración del suelo 130901.xls)
Se emplean las fórmulas (Normas de Sismo, 2004)
18 En la siguiente tabla se muestra el cálculo del período T s del suelo (Período vibración del suelo 130901.xls) Estrato
d m
G kPa
kN/m3
g m/s2
1 2 3
4 4 5
3400 3300 3200
17 14 12
9.81 9.81 9.81
Sumas
13
γ
Σ (d/G) (d/G) =
d/ G
Σ(d/G)
x (en l a base) 1 0.0011765 0.003951 0.7022 0.0012121 0.002775 0.3955 0.0015625 0.001563 0 0.0039 0.0039511 511
(…)
γd (…)
2.1954 0.9272 0.1564
149.2862 51.9255 9.3833
Σ γd
(…) = 210.595
Ts s
1.1650
Determinación Determinación del período y del amortiguamiento efectivos considerando interacción dinámica suelo-estructura
(Período de vibración del suelo 130901.xls)
Vibración horizontal
Te = 0.6 s Como una aproximación inicial la frecuencia se calcula
2 T e
ω = 10.47 rad/s
A = BL = 20(30.6) = 612 m2
Rx = 13.957 m Hs = 13 m Ts = 1.165 s
Vs = 44.635 m/s x
R x v s
x 3.275
19
R x
s
2 H s
s 1.686 xs
x s
xs 1.942
cx = 0.576
K xo 538137kN / m
kx = 1
K x K xo k x 2 x c x C x
K xo x c x 2 k x
ζ = 0.05
K x 436669kN / m C x 102072kN / m s .
20 Cabeceo
30.6203 102072kN / m s I . 12 12 bh3
Rr = 12.695 m r
Rr v s
r 2.978
p 5.088 rp
r p
0.585
cr = 0.0212
K r o 65238182kN .m / rad
kr = 0.404
K r K r o k r 2 r cr
21
C r
K r o r cr 2 k r
ζ = 0.05
K r 25965577 kN .m / rad
. C r 644580kN .m / rad s Período acoplado
Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0.7Wo = 35557.2 kN He = 16.8 m Tx = 0.572 s Tr = 1.470 s Te = 0.6 s
~ T e 1.688 s
22
ζx = 0.4351 ζr = 0.0462 ζe = 0.05
~
e 0.0735
~
~
Se repite el procedimiento con T e 1.688 s y e 0.0735
2
2
~ T T e
ω = 3.72 rad/s
Vibración horizontal
x
R x v s
x 1.164 Etcétera Iterando con diferentes valores del período y del amortiguamiento, se obtiene finalmente el ~ ~ siguiente resultado T e 1.343 s y e 0.0577 Espectro de diseño
23
Ts = 1.165 s ao = 0.1998 c = 0.8918 Ta = 0.632 s Tb = 1.398 s k = 0.835 Coeficiente sísmico, a’
p = 1.014
Se toma inicialmente β = 1
24
a = 0.856 Q=2
Q’ =2.039
R = 2.01 a'
a Q ' R
a' = 0.209 Factor de reducción por amortiguamiento suplementario β
β = 0.931
Coeficiente sísmico,
p = 1.014
~' a
25
a = 0.830 Q=2
Q 2 1
0.62 1 1.2 1.3432
Q’ =1.21 Reducción por sobrerresistencia
R=2
~' 0.343 a
26
Fuerza cortante basal
Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0.7Wo = 35557.2 kN V o a 'W o V o 0.20950796 10616.4kN
~
V o 0.20950796 0.209 0.34335557.2 15381.03kN
~
V o V o
1.45 1.25
Por lo tanto, usamos
~
V o V o
1.25
27 El coeficiente sísmico queda a" 1.25a ' 1.250.209 0.261
Ciudad Universitaria, D F, septiembre de 2013
Referencias
Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Normas de Sismo: Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo, Gobierno del Distrito Federal, octubre de 2004 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions , Van Nostrand Reinhold, 1973 (Cc cimentación compensada ejemplo 130902)
28 ANEXO 1 RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA (Programa: Ccisebl02210.for; Isebldat02210) CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA PUNTO, ESTRATO, CARGA, VALOR DE INFLUENCIA 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1
1 1 0.1113062 0.2403507 SUMX = 0.1284095 SUMY = 0.1296796 1 2 -2.5100566E-02 4.1749328E-03SUMX = 5.1987097E-02SUMY = 6.5639019E-03 1 3 -3.1633452E-03 7.5936317E-05SUMX = 6.3225776E-03SUMY = 1.5598536E-04 1 4 -9.1953576E-04 8.8661909E-06SUMX = 1.8379688E-03SUMY = 1.8835068E-05 1 5 -3.8481504E-04 2.0116568E-06SUMX = 7.6934695E-04SUMY = 4.3064356E-06 1 6 -1.9624829E-04 6.4074993E-07SUMX = 3.9239228E-04SUMY = 1.3858080E-06 1 7 -1.1330843E-04 2.6822090E-07SUMX = 2.2658706E-04SUMY = 5.6624413E-07 1 8 -7.1257353E-05
MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I, K1, FLE(I,K1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1.4796254E-04 2 5.2958825E-05 3 8.4645726E-06 4 3.9689812E-07 5 -1.3258181E-06 6 -1.4768517E-06 7 -1.2526497E-06 8 -9.8929365E-07 9 -5.4606716E-07 10 5.1921688E-05 11 3.3488439E-05 12 7.0196643E-06 13 -1.5261089E-07 14 -1.8626445E-06 15 -1.9552465E-06 16 -1.6447227E-06 17 -1.2991742E-06 18 -8.0790244E-07 19 7.9450028E-06 20 6.6645098E-06
GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
388.1847 137.3423 167.8269 157.9468 156.2643 157.9485 167.8303 137.3457 388.1964 160.2856 26.23334 55.70596 38.86737 39.63935 38.86758 55.70658 26.23341 160.2890
117, GIROS LOS SIGUIENTES
29 19 201.8175 20 57.83720 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 6.9536857E-02 2 6.3340262E-02 3 5.8024418E-02 4 5.4044981E-02 5 5.2533466E-02 6 5.4045647E-02 7 5.8025632E-02 8 6.3342035E-02 9 6.9539070E-02 10 6.9343887E-02 11 6.0203280E-02 12 5.3543046E-02 13 4.6061747E-02 14 4.3808039E-02 15 4.6062205E-02 16 5.3543959E-02 17 6.0204614E-02 18 6.9345675E-02 19 6.9425762E-02 20 5.9566732E-02 I, KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 NBC =
14095.64 8185.430 10918.62 11032.46 11228.99 11032.45 10918.61 8185.404 14095.62 8783.545 2200.517 5253.999 4261.242 4569.452 4261.222 5253.968 2200.474 8783.507 11046.43 4903.373 212
BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 85.26555 119 -1490.128 1 950.7823 2 -329.8735 235 88.87207 236 -88.87207 2 119 1582.543 120 -1615.274 2 176.2921 3 169.1695 236 37.39841 237 -37.39841 3 120 1749.498 121 -4015.743 3 1095.191 4 -723.9736 237 89.04285 238 -89.04285 4 121 4165.131 122 -5034.640 4 526.7097 5 -169.9459 238 15.92228 239 -15.92228 5 122 5035.038 123 -4164.660 5 -170.2932 6 527.0592 239 -15.91748 240 15.91748 6 123 4015.267 124 -1749.850 6 -723.6396 7 1094.863 240 -89.03898 241 89.03898 7 124 1615.396 125 -1582.167 7 168.9744 8 176.4956 241 -37.39585
30 242 37.39585 8 125 1489.698 -329.5609 9 950.4886 243 88.87193 9 127 -64.37035 182.3307 11 14.81796 245 -91.61680 10 128 33.96416 -12.74213 12 79.16625 246 -105.6953
126 -85.59921 242 -88.87193
8
128 -40.29221 244 91.61680
10
129 57.89585 245 105.6953
11
EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 50549.78 REACCION TOTAL = 50550.19 LARGO PLAZO (Ccisebl0310.for; Isebldat0310) BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 16.28023 119 -931.1581 1 839.8992 2 -106.0334 235 17.82738 236 -17.82738 2 119 882.1579 120 -420.6313 2 -21.86701 3 367.0596 236 -13.20636 237 13.20636 3 120 469.5818 121 -2460.344 3 983.8631 4 -618.2131 237 57.31897 238 -57.31897 4 121 2565.077 122 -3271.288 4 454.7369 5 -112.4318 238 5.754329 239 -5.754329 5 122 3271.451 123 -2564.901 5 -112.5677 6 454.8718 239 -5.755700 240 5.755700 6 123 2460.299 124 -469.6479 6 -618.1701 7 983.8171 240 -57.31990 241 57.31990 7 124 420.6525 125 -882.2460 7 367.0842 8 -21.89581 241 13.20630 242 -13.20630 8 125 931.1505 126 -16.28478 8 -106.0322 9 839.8875 242 -17.82650 243 17.82650 9 127 -44.59775 128 -2.534251 10 165.4095 11 25.98716 244 -45.55317 245 45.55317 10 128 14.75086 129 52.43262 11 -20.50805 12 58.00620 245 -18.14927 246 18.14927
31 ANEXO 2 MÉTODO ITERATIVO (Programa: Ccmafl01.for; Mafledat02) CORTO PLAZO CALCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA PUNTO, ESTRATO, CARGA, VALOR DE INFLUENCIA 1 1 1 0.1113062 1 1 2 -2.5100566E-02 1 1 3 -3.1633452E-03 1 1 4 -9.1953576E-04 1 1 5 -3.8481504E-04 1 1 6 -1.9624829E-04 1 1 7 -1.1330843E-04 1 1 8 -7.1257353E-05 1 1 9 -2.6084483E-05 1 1 10 -2.4196722E-02 1 1 11 -1.8386558E-02 1 1 12 -4.4666901E-03 1 1 13 -1.5591681E-03 1 1 14 -6.9992244E-04 1 1 15 -3.6913902E-04 1 1 16 -2.1712482E-04 1 1 17 -1.3811886E-04 1 1 18 -5.0820410E-05 1 1 19 -2.9949620E-03 1 1 20 -4.3184385E-03
MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I K1 FLE 1 1 1.4796254E-04 1 2 5.2958825E-05 1 3 8.4645726E-06 1 4 3.9689812E-07 1 5 -1.3258181E-06 1 6 -1.4768517E-06 1 7 -1.2526497E-06 1 8 -9.8929365E-07 1 9 -5.4606716E-07 1 10 5.1921685E-05 1 11 3.3488439E-05 1 12 7.0196643E-06 1 13 -1.5261089E-07 1 14 -1.8626445E-06 1 15 -1.9552465E-06 1 16 -1.6447227E-06 1 17 -1.2991742E-06 1 18 -8.0790244E-07 1 19 7.9450019E-06 1 20 6.6645098E-06 PRIMERA ITERACIÓN I
DELTA, m 1 2.0932026E-02 2 3.8144249E-02 3 4.0057547E-02 4 4.0174492E-02 5 4.0091716E-02 6 4.0174495E-02 7 4.0057551E-02 8 3.8144249E-02 9 2.0932022E-02 10 3.8042549E-02 11 6.2981077E-02 12 6.5612562E-02 13 6.5896742E-02 14 6.5830663E-02
R, kN/m 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500
32 15 16 17 18 19 20
6.5896749E-02 6.5612555E-02 6.2981069E-02 3.8042545E-02 3.9442636E-02 6.5027244E-02
94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500
Kv, kN/m 11444.63 9389.439 8940.965 8914.938 8933.345 8914.938 8940.964 9389.439 11444.64 9476.889 7607.345 7302.241 7270.750 7278.049 7270.750 7302.242
ÚLTIMA ITERACIÓN I
DELTA, m
1 6.4502150E-02 2 5.9660114E-02 3 5.3870857E-02 4 5.0327435E-02 5 4.8775654E-02 6 5.0327435E-02 7 5.3870834E-02 8 5.9660129E-02 9 6.4502135E-02 10 6.5215543E-02 11 6.0427275E-02 12 5.0755698E-02 13 4.3892093E-02 14 4.1506547E-02 15 4.3892086E-02 16 5.0755695E-02 17 6.0427304E-02 18 6.5215543E-02 19 6.4863265E-02 20 5.7165090E-02 21 4.6330620E-02 22 3.7457149E-02 23 3.3283088E-02 Kv, kN/m 13956.53 8092.595 10713.07 10965.04 11104.45 10965.04 10713.06 8092.593 13956.53 8642.502 3346.791 5228.992 4702.313 4869.687 4702.313 5228.994
R, kN/m 356.5253 127.8954 152.8800 146.1834 143.4773 146.1834 152.8799 127.8954 356.5252 148.3225 40.04702 52.55468 40.87017 40.02453 40.87016 52.55469 40.04702 148.3226 185.0674 56.92780 69.22344 55.62939 48.26594
33 3346.789 8642.509 10842.13 5029.038 7545.299 7499.995 7323.329 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
kv, kN/m3
8757.040 2538.854 3360.962 3440.012 3483.749 3440.012 3360.961 2538.853 8757.040 2711.373 524.9869 820.2341 737.6178 763.8724 737.6177 820.2344 524.9866 2711.375 3401.453 788.8686 1183.576 1176.470 1148.757
ANEXO 3 MÉTODO APROXIMADO (Programa: Iseaprox0110.for; Mafledat013, RESMAFLAPR) PRIMERA ITERACIÓN I
DELTA, m
R, kN/m
1 2.0932026E-02 2 3.8144249E-02 3 4.0057547E-02 4 4.0174492E-02 5 4.0091716E-02 6 4.0174495E-02 7 4.0057551E-02 8 3.8144249E-02 9 2.0932022E-02 10 3.8042549E-02 11 6.2981077E-02 12 6.5612562E-02 13 6.5896742E-02 14 6.5830663E-02 15 6.5896749E-02 16 6.5612555E-02 17 6.2981069E-02 18 3.8042545E-02 19 3.9442636E-02 20 6.5027244E-02 21 6.7921430E-02 22 6.8251289E-02 23 6.8179265E-02
94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500 94.87500
34 Kv, kN/m 11444.63 9389.439 8940.965 8914.938 8933.345 8914.938 8940.964 9389.439 11444.64 9476.889 7607.345 7302.241 7270.750 7278.049 7270.750 DELTAE = 5.8193121E-02 RE, kN/m 263.7620 144.7419 137.8285 137.4273 137.7110 137.4273 137.8285 144.7419 263.7620 145.1289 87.66240 84.14658 83.78369 83.86780 83.78368 84.14658 87.66241 145.1289 139.9773 84.90398 ÚLTIMA ITERACIÓN I
DELTA, m 1 6.1998695E-02 2 6.2114622E-02 3 6.1816320E-02 4 6.2012658E-02 5 6.1950084E-02 6 6.2012635E-02 7 6.1816312E-02 8 6.2114637E-02 9 6.1998703E-02 10 6.2071085E-02 11 6.4282142E-02 12 6.2434003E-02 13 6.2842853E-02 14 6.2771484E-02 15 6.2842861E-02 16 6.2434021E-02 17 6.4282142E-02 18 6.2071104E-02 19 6.1828639E-02 20 6.2485550E-02 21 6.1491836E-02 22 6.1891306E-02 23 6.1829828E-02
R, kN/m 350.3360 139.1085 175.6182 174.6652 175.2033 174.6651 175.6182 139.1085 350.3361 140.6465 47.48302 66.76829 66.60823 66.78659 66.60825 66.76830 47.48304 140.6465 177.8804 67.01763 90.56116 90.63956 90.94156
35 Kv, kN/m 14268.02 8454.283 10724.66 10632.69 10676.22 10632.68 10724.66 8454.281 14268.02 8610.397 3730.262 5400.581 5352.583 5373.018 5352.584 5400.580 3730.264 8610.395 10932.56 5416.277 7437.310 DELTAE = 6.2299453E-02 m
RE, kN/m 352.0355 139.5224 176.9908 175.4730 176.1914 175.4730 176.9908 139.5224 352.0355 141.1640 46.01847 66.62440 66.03227 66.28436 66.03229 66.62439 46.01849 141.1639 179.2349 66.81804 91.75056
EJEMPLO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN PILOTE DE CONCRETO REFORZADO Agustín Deméneghi Colina* Realizar el diseño geotécnico y el diseño estructural del pilote de sección cuadrada de concreto reforzado de la figura A. Usar FSs = 1.5, FSp = 2.5
D/B = 9/0.5 = 18 >> 2 Nc = 7.5 f c = 1.2 Cpu = 1.2(0.25)(30)(7.5) = 67.5 kN Cu = Csu + Cpu = 414.76 + 67.5 = 482.26 kN Csa = Csu/FSs = 414.76/1.5 = 276.51 kN Cpa = Cpu/FSp = 67.5/2.5 = 27 kN
Eu = 500 cu E’ = 0.3 Eu f c' = 25 MPa f y = 420 MPa
Ca = Csa + Cpa = 276.51 + 27 = 303.51 kN Ca = 303.51 kN > Q = 300 kN Por lo tanto Cumple
SOLUCIÓN Asentamientos Diseño geotécnico
Debido a la carga vertical de 300 kN el pilote sufre un asentamiento inmediato ocasionado por los esfuerzos cortantes verticales τ = Csa/As = 276.51/0.5(9) = 61.45 kPa.
Capacidad de carga
Usamos la siguiente expresión Qu Σ ca Δz + f c Ab cu Nc
(25)
Nc = 5.14 (1+ 0.23 D/B)
(22)
para D/B < 2. Para D/B ≥ 2 se empleará N c = 7.5.
El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y, sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie, apoyado en un medio semiinfinito, está dado por (Poulos y Davis, 1974; ecuación 3.33a)
= 4(0.5) = 2 m 2
Ab = 0.5 = 0.25 m
2
x
Las magnitudes de la adherencia entre suelo y pilote las encontramos a partir de la tabla 1 Estrato A B C D
cu kPa 23 25 28 30
ca kPa 20.12 21.88 24.50 26.25
Csu = Σ ca Δz =2[(20.12)(2)+(21.88)(3)+(24.50)(2)+(26.25)(2)] = 414.76 kN
Cpu = f c Ab cu Nc
*
Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
1 E
qy1 ln
2
x x y y
2
x
ln
2 2 y x y
y
Sustituyendo valores con q = 61.45 kPa, E = Eum = 13167 kPa, ν = 0.5, x = 0.5/2 = 0.25 m, y = 9/2 = 4.5 m, encontramos δx* = 0.0005687 m. Multiplicamos por 4 para hallar el desplazamiento del centro: δux = 0.0005687(4) = 0.002275 m. El asentamiento a largo plazo se obtiene usando E’m = 0.3Eum = 3950 kPa, ν = 0. Procediendo en forma análoga obtenemos δx’ = 0.001418(4) = 0.005674 m. El hundimiento total del pilote es la suma de los hundimiento a corto y largo plazo: δx = 0.002275 + 0.005674 = 0.007949 m.
x
2 Diseño estructural
Interacción suelo-estructura
Dividimos el pilote en seis tramos, como se muestra en la figura B. El análisis para la carga horizontal de 100 kN lo llevamos a cabo considerando al pilote como una viga apoyada sobre los “estratos verticales” de 0.3 m de espesor, indicados en la figura C. Las propiedades de deformación hallaron con Eu = 500 cu, y fueron Grado de libertad 1 2 3 4 5 6 7
se
Eu kPa 11500 12000 12500 13250 14000 14500 15000
La interacción suelo-estructura se realiza por iteraciones, usando la matriz de flexibilidades del terreno (Ccmaflx.for; Mafdatx01) y el análisis estructural del pilote como viga (Pilote01, SAP). Los cálculos se inician con la reacción uniforme sobre el terreno: r = 100/9 = 11.111 kN/m; en el anexo 1 (Pilote.doc) se exhiben los resultados de la última iteración, en la cual los desplazamientos del suelo prácticamente coinciden con los desplazamientos del pilote. Se empleó un módulo de elasticidad del concreto reforzado Ec = 10000 √ f c’ = 10000 2 √ 250 = 158 114 kg/cm ≈ 15 811 400 kPa.
El diseño estructural se efectúa con los elementos mecánicos obtenidos en la última iteración. Los valores máximos del momento flexionante y de la fuerza cortante son M = 73.86 kN.m y V = 49.91 kN, respectivamente. Consideremos que obra sobre el pilote otra fuerza lateral de 30 kN en la dirección perpendicular a la fuerza lateral del 100 kN; el momento flexionante en estas condiciones es del orden de 0.3(73.86) = 22.16 kN.m. Por lo tanto, diseñamos el pilote como una columna corta sometida a una fuerza axial de 300 kN, y dos momentos: 73.86 kN.m y 22.16 kN.m (DisEstPilote.xls). El diseño estructural del pilote se presenta en Ejemplo de Diseño Estructural de un Pilote de Concreto Reforzado (archivo: Pilote diseño estructural.doc). Ciudad Universitaria, D F, marzo de 2010
Referencia
Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics , Wiley, 1974
(Diseño pilote)
3 300 kN
100 kN cu = 23 kPa
Estrato A 2m
cu = 25 kPa
Estrato B
cu = 28 kPa
Estrato C
3m
2m
2m cu = 30 kPa
Estrato D 0.5 m
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES DEL SUBSUELO FIGURA A (Interacción suelo-pilote)
4
δ1
1.75 m
1
Estrato A
δ2
1.75 m
2 δ3
1.25 m
Estrato B 3
δ4
1.25 m
4 Estrato C δ5
1.50 m 5 δ6
1.50 m
6
Estrato D
δ7
0.5 m
NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA B
5
"Estrato 3"
"Estrato 1" "Estrato 2" 100 kN 1
Estrato A 2 Estrato B 3 4 Estrato C 5 Estrato D 6 0.3
0.3
0.3 0.5 m
"ESTRATOS" DEL SUBSUELO FIGURA C
