ESCUELA POLITECNICA NACIONAL MAESTRIA EN ADMINISTRACION DE EMPRESAS, OPERACIONES EN SECTORES ESTRATEGICOS METODOS ESTOCASTICOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Deber No. 5, enero 2018
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Un Banco ofrece préstamos los que o se liquidan cuando se vencen o se retrasan. Si el pago sobre un préstamo se retrasa más de cuatro trimestres (1 año), el Banco considera el préstamo como una deuda incobrable y la cancela. La siguiente tabla proporciona una muestra de la experiencia anterior del Banco con préstamos.
a) Exprese la situación de los préstamos del Banco como una cadena de Markov. Dibuje un diagrama de transición. b) Actualmente el Banco tiene préstamos pendientes que ascienden a $500,000. De éstos, $100,000 son nuevos, $50,000 están retrasados un trimestre, $150,000 están retrasados dos trimestres, $100,000 están retrasados tres trimestres, y el resto están retrasados más de tres trimestres. ¿Cuál sería la situación de estos préstamos después de cuatro ciclos de préstamos? En un día soleado, MiniGolf puede tener ingresos de $2000. Si el día está nublado, los ingresos se reducen 20%. Un día lluvioso reducirá los ingresos en 80%. Si hoy está soleado hay 80% de probabilidades de que mañana esté soleado sin amenaza de lluvia. Si está nublado, hay 20% de probabilidades de que mañana llueva, y 30% de probabilidades de que esté soleado. Seguirá lloviendo hasta el día siguiente con una probabilidad de .8, pero con 10% de probabilidades de que esté soleado. a) Determine los ingresos diarios esperados para MiniGolf. b) Determine el promedio de días que no estarán soleados. Consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo 2017 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 10.000 personas que compran café y los resultados fueron:
Compra actual Marca A = 2000 Marca B = 5000 Marca C = 3000 TOTALES
Marca A Marca B Marca C TOTALES 500 800 700 2000 1500 2000 1500 5000 600 900 1500 3000 2600 3700 3700 10000
a) b)
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Exprese la situación como una cadena de Markov. Dibuje un diagrama de transición. Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra después de cuatro meses? c) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? café? d) Después de los cuatro meses, ¿cuál es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? Considere el siguiente problema de inventario de sangre al que se enfrenta un hospital. Se tiene necesidad de un tipo raro de sangre, como AB, Rh negativo. La demanda D (en pintas) durante un periodo de tres días está dada por P {D = 0} = 0.4, P {D = 1} = 0.3 P {D = 2} = 0.2, P {D = 3} = 0.1 Observe que la demanda esperada es de una pinta, puesto que E(D) = 0.3(1) + 0.2(2) + 0.1(3) = 1. Suponga que se surte sangre cada tres días. El hospital propone una política para recibir una pinta en cada entrega y usar primero la más antigua. Si se requiere más sangre de la que hay en el banco se hace un pedido de emergencia a un alto costo. La sangre se descarta si en 21 días no se ha usado. Denote el estado del sistema como el número de pintas en inventario exactamente después de una entrega. Observe que debido a la política de descartar la sangre, el estado más grande posible es 7. a) Construya la matriz de transición (de un paso) para esta cadena de Markov y dibuje un diagrama de transición. b) Encuentre las probabilidades de estado estable para los estados de esta cadena de Markov. c) Use los resultados de b) para encontrar la probabilidad de estado estable de que sea necesario descartar una pinta durante un periodo de tres días. (Sugerencia: Si se usa primero la sangre más vieja, una pinta tiene 21 días sólo si el estado es 7 y entonces D = 0.) d) Utilice los resultados de b) para encontrar la probabilidad de estado de que se necesite una entrega de emergencia durante los tres días entre entregas normales
Ing. Carlos Palán Tamayo
27/01/18
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Una unidad importante consta de dos componentes colocados en paralelo. La unidad tiene un desempeño satisfactorio si uno de los dos componentes está en operación. Por lo tanto, sólo se opera uno de ellos a la vez, pero ambos se mantienen operativos (capaces de operar) tanto como sea posible, reparándoles cuando se necesite. Un componente operativo tiene una probabilidad de 0.2 de descomponerse en un periodo dado. Cuando ocurre, el componente en paral elo opera, si está operativo, al comenzar el siguiente periodo. Sólo se puede reparar un componente a la vez. Una reparación se inicia al principio del primer periodo disponible y termina al final del siguiente. Sea Xt un vector con dos elementos U y V, donde U es el número de componentes operativos al final del periodo t y V el número de periodos de reparación que transcurren para componentes que todavía no son operativos. Entonces, V = 0 si U = 2 o si U = 1 y la reparación del componente no operativo se está realizando. Como la reparación toma dos periodos, V = 1 si U = 0 (pues el componente no operativo espera iniciar su reparación mientras el otro entra al segundo periodo) o si U = 1 y el componente no operativo está en su segundo periodo. Así, el espacio de estados contiene cuatro estados (2, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1). Denote estos estados por 0, 1, 2, 3, respectivamente. {Xt} (t = 0, 1, . . .) es una cadena de Markov (suponga que X0 = 0) con matriz de transición (de un paso) a) ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad no esté operable después de n periodos (porque ambos componentes estén descompuestas), para n = 2, 5, 10, 20? b) ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable del estado de esta c adena de Markov? c) Si cuesta 30 000 dólares por periodo que la unidad no opere (ambos componentes descompuestos) y cero en otro caso, ¿cuál es el costo promedio esperado (a la larga) por periodo?
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Considere el ejemplo de inventarios realizado en clase con el s iguiente cambio en la política. Si el nivel del inventario al final de la semana es 0 o 1, se ordenan dos cámaras adicionales. De otra manera no se ordena ninguna. Suponga que si se ordena z cámaras, se incurre en un costo de (20 + 35z) dólares; s i no se ordenan cámaras, el proveedor le carga un mínimo de 10 dólares por guardar la disponibilidad. Cada unidad de demanda insatisfecha (ventas perdidas), tiene un costo de 40 dólares. a) ¿Cuál es el costo promedio a la tercera semana? b) Encuentre las probabilidades de estado estable de los estados de esta cadena de Markov. c) Encuentre el costo de almacenamiento esperado a largo plazo por semana.
Ing. Carlos Palán Tamayo
27/01/18
