Cálculo de varias variables 1 Actividad 2 Calculo Vectorial Ve ctorial Resuelve el siguiente problema: calcula la posición de un objeto en un espacio tridimensional de acuerdo a dos observadores.
A l a c a za za d e l s u b m a r i n o a m a r i l l o
El submarino amarillo se encuentra bajo la superficie del mar y hay dos barcos caza submarinos en la superficie que intentan localizar la posición del submarino amarillo para darle las coordenadas a un avión amigo que intercepte al submarino y le lance unas cargas explosivas para hundirlo. En un momento determinado, los dos caza submarinos, U y V se encuentran en las posiciones (10, 0, 0) 0) y (0, 25, 0) respectivamente, tal y como se muestra en la figura.
Las coordenadas están expresadas en millas náuticas. La nave U localiza al submarino en la dirección del vector 4 ̂ + 6 ̂ .- 2 . Y la nave V lo localiza en la dirección 10 ̂ – – 6 ̂ – . Hace cuatro minutos el submarino se localizaba en las coordenadas (10, – 5, – 5, – – 10). El avión llegará a la zona en 20 minutos. El submarino se está moviendo en línea recta a velocidad constante. ¿Qué posición y dirección deberán reportar las naves de la superficie al piloto del avión para que éste intercepte al submarino? Desarroll aremos el problema: Desarrollaremos U=(10,0,0) U= 4i+6J-2k. V= (0,25,0) V=10i-6J-k S= (10,-5,-10) Notificam os que al momento, ambos barcos se ponen a la posición del submarino, lo que Notificamos significa que debería encontrar la intersección de las rectas: El barco U X=10+4tu Y=6tu Z=-2tu
El barco V X=10tv Y=25-6tv Z=-tv Intersección de ambas rectas se igualan las ecuaciones: 1)10+4tu=10tv 2)6tu=25-6tv 3)-2tu=-tv quedando: tv=2tu Sustituimos cada una de las ecuaciones: 1) 10+4tu-10tv=0 10+4tu-10(2tu)=0 10+4tu-20tu=0 10-16tu=0 tu=10/16=5/8 2)6tu-25+6tuv=0 6tu-25+6(2tu)=0 6tu-25+12(tu)=0 6tu-25+12tu=0 18tu-25=0 Tu=25/18 3) tv=2tu 2tu=2tu -2tu+2tu=0 0=0 Las ecuaciones se resolvieron por el método de igualación y son ecuaciones lineales: Ahora damos solución al problema por medio del cálculo vectorial: Vector dirección u = 4i-6j-2k posición nave U (10, 0, 0) Vector dirección de v = 10i -6j-2k posición nave V (0, 25, 0) Posición inicial del submarino (10, -5, -10) Interpretación para encontrar la posición de una recta que vaya en igual dirección al movimiento del submarino y que pase por (10, -5, -10), así mismo encontrar el punto de intersección donde será cazado el submarino en tiempo t = 4+20 minutos.
El planteamiento del problema queda de la siguiente manera: U la recta en dirección al vector u y ecuación paramétrica U:{ x=10+4u, y=6u, z= -2u } V la recta en dirección al vector v y ecuación paramétrica V:{x=10v, y=25 -6v, z=-v} L la recta en dirección al vector dirección del submarino y ecuación paramétrica L:{x=10+at, y= 5+bt, z=-10+ct} P1 el punto donde la nave U detecta al submarino. P2 el punto donde la nave V detecta al submarino. Los componentes de la recta del submarino a, b y c son las incógnitas a encontrar: la ecuación que describe el movimiento del submarino, así como también su vector dirección y sentido Calcularemos los valores de a, b y c de tal forma que la recta L (dirección del submarino) sea intersecada en P1 y P2 por U y V . Intersección en P1 En el punto P1 se intersecan las rectas L y U X1 = 10+at=10+4u y1= -5+bt=6u
z1 = -10+ct=-2u
Multiplicando estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuación en términos de a, b y c. 7a+4b-2c=0 (1) El punto de intersección P2 se intersecan las rectas L y V, entonces x2 = 10+at=10v y2 =-5+bt=25-6v z2 = -10+ct=-v Multiplicando estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuación en términos de a, b y c. a+3b-8c=0 (2) Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas 7a+4b-2c=0 (1) a+3b-8c=0 (2) Suponiendo que el submarino vaya en recta ascendente, en algún momento llegara a la superficie donde z=0, o sea z= -10+ct=0 tiene que alcanzar la superficie en un tiempo t > 4+20 minutos, demos un valor de t = 25 minutos. z=-10+ct=0 -10+ct=0 ct=10 c=10/t c=10/25 c=2/5 Sustituyendo este valor en (1) y (2) 7a+4b-2(2/5)=0 7a+4b=0.8 a+3b-8(2/5)=0 a+3b=3.2
(1) (2)
El sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y se calculó por el método Gauss Jordán, se obtienen soluciones para a y b a=0.416 b=0.928 Realización de cálculos de c es c = 0.4
La recta que describe la trayectoria del submarino es L:{x=10+at, y=-5+bt, z=-10+ct} sustituyendo los valores encontrados de a, b y c obtenemos la ecuación de la recta siguiente: L:{x=10+(0.416)t, y=-5+(0.928)t, z=-10+(0.4)t} ¿Que posición y dirección deben reportar las naves de la superficie al piloto del avión para que este intercepte al submarino? Se calculó aplicando la ecuación anterior. La dirección del submarino es el vector l = ai + bj + ck = 0.416i + 0.928j + 0.4k. La posición donde será cazado el submarino es al transcurrir un tiempo t=4+20 minutos. x=10+0.416(24)=10+9.984=19.984 y=-5+0.928(24)=-5+22.272=17.272 z=-10+0.4(24)=-10+9.6=-0.4
La grafica muestra los puntos donde el submarino es detectado en P1 y en P2, el punto donde es interceptado por la carga explosiva y el punto en la superficie donde debe salir el submarino en la superficie, en caso de no ser destruido. Recordemos que la coordenadas están expresadas en millas náuticas
En la gráfica utilizábamos geogebra:
El punto E y el punto F son las intersecciones de las rectas, como se ve en la imagen:
