Matemaá Matemaá ticas Financieras
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gina 1
Matemaá Matemaá ticas Financieras Forma de Evaluación
Examen 70% Tareas 20% Participación 10%
Temas Principales
Inflación, interés y títulos de crédito Interés simple Interés !ompuesto "nualidades
¿Qué son las Matemáticas Financieras?
#as $atemticas &inancieras como &inancieras como su nom're lo indica es la aplicación de la matemtica ica a las las fina inan(as centrndose en el estudio del )alor del del *inero en el Tiempo Tiempo,, com' com'in inan ando do el !apital !apital,, la Tasa y el Tiempo Tiempo para para o'tener un rendimiento o Interés Interés,, a tra+és de métodos de e+aluación ue permiten tomar decisiones de In+ersión In+ersión -.ttp/ecofinan(ascomfinan(a -.ttp/ecofinan(ascomfinan(asmatematicas3financ smatematicas3financieras.tm4 ieras.tm4
Tema 1/ Inflación, Interés y Títulos de Crédito Conceptos: Inflación
#a inflación es el aumento 5enerali(ado y sostenido de los precios de 'ienes y ser+icios en un país Para medir el crecimiento de la inflación se utili(an índices, ue refle6an el crecimiento porcentual de una canasta de 'ienes ponderada El índice de medición de la nación es el ndice de Precios al !onsumidor -IPC - IPC 4 ue ue en $éxic $éxico o se le llam llama a INPC -ndice 8acional de Precios al !onsumidor4 Este índice mide el porcenta6e de incr increm emen ento to en los los prec precio ioss de una una cana canast sta a 'si 'sica ca de prod produc ucto toss y ser+icios ue aduiere un consumidor típico en el país
Existen otros índices, como el ndice de Precios al Productor, ue mide el crecimiento de precios de las materias primas
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Matemaá Matemaá ticas Financieras Existen diferentes tipos de inflación, algunas de ellas son:
Inflación por consumo o demanda. Esta demanda. Esta inflación o'edece a la ley de la oferta y la demanda 9i la demanda de 'ienes excede la capacidad de producción o importación de 'ienes, los precios tienden a aumentar aumentar
Inflac Inflación ión por por costos costos.. Esta Esta infl inflac ació ión n ocur ocurre re cuan cuando do el prec precio io de las las materias primas -co're, petróleo, ener5ía, etc4 aumenta, l o ue .ace ue el productor, 'uscando mantener su mar5en de 5anancia, incremente sus precios
Inflación autoconstruida autoconstruida Esta inflación ocurre cuando se pre+é un fuerte incremento futuro de precios, y entonces se comien(an a a6ustar éstos desde antes para ue el aumento sea 5radual
Inflación generada por expectativas de inflación -circulo inflación -circulo +icioso4 Esto es típi típico co en país países es con con alta alta infl inflac ación ión dond donde e los los tra' tra'a6 a6ad ador ores es pide piden n aumentos de salarios para contrarrestar los efectos inflacionarios, lo cual da pie pie al aume aument nto o en los los prec precio ioss por por part parte e de los los empr empres esar ario ios, s, ori5inando un círculo +icioso de inflación
¿Qué es primero, el alza de los precios o la inflación?
En realidad el al(a de los precios es una consecuencia de la inflación y no la inflación en sí misma, al contrario de lo ue com:nmente se piensa
Circulante s Inflación
;curre ue a +eces la cantidad de dinero en circulación -monedas y 'illetes4 crece de manera desproporcionada 9i la cantidad de dinero en efec efectiti+o +o aume aument nta a sin sin ue ue exis exista ta una una re+a re+alo lora raci ción ón de los los 'ien 'ienes es y ser+icios ofertados en el mercado, el dinero pierde +alor, ya ue con una misma cantidad de dinero no se puede aduirir la misma cantidad de productos ue anteriormente
¿Cómo se detiene la inflación?
Para detener la inflación, los 'ancos centrales tienden a incrementar la tasa de interés de la deuda p:'lica *e esta manera se incrementan las tasas tasas de interé interéss en los présta préstamos mos al consum consumo o -tar6e -tar6etas tas de crédit crédito, o, .ipotecas, etc4 "l aumentar las tasas de interés del consumo, se frena la demanda de productos
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El lado lado ne5a ne5atiti+o +o de este este contr ontrol ol es ue ue al fren frenar ar la dema demand nda a de productos, se frena a la industria ue los produce, lo cual puede lle+ar a un estancamiento económico y desempleo
ruto .a sido de los peores en 70 a?os, sólo por encima de $i5uel de la $adrid @urtado
Inflación en Mé!ico en "# a$os
)alor del Peso frente al *ólar Presidente
!iclo
Inició
Terminó
Inflación
#uís Ec.e+erría Al+are(
707B
C12D0
C22B
F1%
Gosé #ópe( Portillo
77F2
22B
1D02
DB2%
$i5uel de la $adrid @urtado
FHFF
1D02
2,FH
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!arlos 9alinas de =ortari
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2,FH
H,H7D
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Ernesto Jedillo Ponce de #eón
D00
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)icente &ox Kuesada
010B
,D0
10,00
1%
&elipe !alderón @ino6osa
0712
10,00
12,BB L
1FD%
L8ota El +alor del dólar es al día H1 diciem're de 2012
Interés Es un índice utili(ado para medir la renta'ilidad renta'ilidad de de los a.orros a.orros o o tam'ién el costo de un crédito crédito 9e expresa 5eneralmente como un porcenta6e porcenta6e *ada una cantidad de dinero y un pla(o o término para su de+olución o su uso, el tip tipo o de int interé eréss indica indica ué porcen porcenta6 ta6e e de ese ese dinero dinero se o'tend o'tendría ría como como 'eneficio, o en el caso de un crédito, ué porcenta6e de ese dinero .a'ría ue pa5ar El tipo de interés puede medirse como el tipo de interés nominal o como la tasa anual eui+alente eui+alente "m'os n:meros estn relacionados aunue no son i5uales (.ttp/esiMipediaor5iMiInter4 Estas son al5u Consecuencias de la inflación so%re la economía doméstica de los consumidores&
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pérdid ida a de po pode derr adqu adquis isit itiv ivo o de los los El primer efecto es la pérd consumidores !on la misma cantidad de dinero se pueden comprar menos productos ue en un contexto no inflacionista 9i la su'ida de los prec precio ioss no se +e comp compen ensa sada da por por un incr increm emen ento to en los los sala salario rioss tendremos ms dificultades para lle5ar a fin de mes Pero si los salarios su'en se puede entrar en un círculo +icioso, ya ue los empresarios para compensar este aumento +endern ms caros sus productos, con lo ue la inflación se5uir existiendo
!omo +emos, la su'ida salarial no es la :nica solución ya ue en realidad se est aumentando la cantidad de dinero en circulación
cam'io io,, bajarán Los préstamo préstamos s, en cam' bajarán su precio precio real 9i no .ay un rea6uste de los intereses, al reducirse el +alor del dinero éstos resultarn ms aseui'les para los deudores 9in em'ar5o no .ay ue ol+idar ue nuestro poder aduisiti+o 'a6a tam'ién Pa5ar el préstamo nos supone un menor esfuer(o económico pero con el aumento de los precios este 'eneficio no redunda de forma decisi+a en nuestra economía
Los consumidores no pueden ahorrar tanto como antes 9e +en
o'li5ados a dedicar ms dinero ue antes a la aduisición de productos y ser+icios, ya ue su precio .a aumentado #a capacidad de a.orro disminuye
Los productos que más suben en épocas de inflación son los de maor consumo, con lo ue este aumento de los precios lo sufren
todos los consumidores !omo podemos suponer los productos ms demandados suelen ser los de primera necesidad y en estos casos resulta ms difícil prescindir de ellos 9i la comida o la ropa su'en de precio las economías familiares se resienten !"ué efectos produce la inflación#
El proceso inflacionario afecta a toda la economía del país, pertur'a la racionalidad de las in+ersiones, y aumenta la in6usticia social por la disminución del poder de los salarios, y por lo tanto una perdida enorme de dinero en +entas y producción para los países con este pro'lema monetario
Crédito
#a pala'ra pala'ra crédito pro+iene del del latín N creditumO, creditumO, y si5nifica la aceptación de al5o como cierto
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Esta creencia est 'asada en la confian(a 9olo si el su6eto es confia'le ser su6eto de crédito "cto en el ue el acreedor entre5a 'ienes, en efecti+o o especie, y sin pa5o inmediato al deudor Este a cam'io se compromete a pa5ar a tiempo el capital reci'ido y a cu'rir el pa5o del interés por el uso de los 'ienes a6enos Estos actos dan un fuerte impulso a la acti+idad comercial y de'en uedar uedar formal formali(a i(ados dos median mediante te un docume documento nto le5al le5al llamad llamado o título de crédito.
!Cuáles son las caracter$sticas del crédito#
#iteralidad Incorporación #e5itimación "utonomía
#ITE"#I*"* títuloss de crédit crédito o son son docume documento ntoss necesa necesario rioss para para e6erci e6ercitar tar el #os título derec.o literal ue en ellos se consi5na I8!;P;"!IQ8 "l título se le incorporan derec.os consi5nados en la le5islación aplica'le #E=ITI$"!IQ8 El tenedor de un título tiene la o'li5ación de ex.i'irlo para e6ercitar el derec.o ue en él se consi5na "
!apacidad !apital !arcter !olateral !ondiciones
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Matemaá Matemaá ticas Financieras %$tulos de crédito
Tam'ién am'ién llamad llamado o título título +alor +alor,, es auel auel Rdocum Rdocument ento o necesa necesario rio para para e6er e6erce cerr el dere derec. c.o o lite litera rall y autó autóno nomo mo expr expres esad ado o en el mism mismoR oR 9e enti entien ende de ue ue los los títu título loss de créd créditito o se comp compon onen en de dos dos part partes es principales/ el +alor ue consi5nan y el título, derec.o o soporte material ue lo contiene, resultando de esta com'inación una unidad insepara'le
Esta fi5ura 6urídica y comercial tendr diferentes lineamientos se5:n el país o el sistema 6urídico en donde se desarrolle y le5isle
En este documento ue firman las partes ueda estipulado el derec.o y la o'li5ación ue cada uno .a contraído
En otras palabras, !"ué son los t$tulos de crédito#
9on todos auellos documentos con los ue se puede .acer efecti+o el derec.o del acreedor para co'rar al deudor una suma de dinero, ya sea en efecti+o o en cualuier forma de pa5o existente
!Cuál es la le que regula a los t$tulos de crédito#
En $éxico es la #ey =eneral de Títulos y ;peraciones de !rédito -"rtD4 del 2B de a5osto de 1H2, es la ue re5ula la emisión, expedición, endoso, a+al o aceptación de los títulos de crédito y las operaciones ue en ellos se consi5nen
Tipos de título de crédito 1 #etr #etra a de de !am !am'i 'io o 2 Pa5aré H !.eue ;'li5acion ;'li5aciones es de de la 9ociedad 9ociedades es o *e'enture *e'enturess D !ertifi !ertificad cado o de *eposi *eposito to B >ono >ono de Pren Prenda da 7 !art !arta a de Port Porte e F !onoc !onocimie imiento nto de Em'ar Em'arue ue &act &actur ura a !am' !am'ia iari ria a 10!édulas @ipotecarias 11 )ale 12>onos >ancarios 1H!ertificados &iduciarios
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Matemaá Matemaá ticas Financieras !ET"# $E C#%&I' ;rden escrit escrita a incon incondic dicion ional al y transf transferi eri'le 'le ue una perso persona, na, llamad llamada a ;rden li(rador , ue diri5e a otra, denominada li(rado li(rado P#)#"* Promes esa a unil unilat ater eral al escr escritita a ue ue .ace .ace una una pers person ona, a, por por la cual cual se Prom compromete a pa5ar a otra, o a su orden, una determinada suma de dinero en una fec.a determinada C+E,-E documento nto,, norma normalme lmente nte impres impreso o y suplid suplido o por un 'anco 'anco,, ue
Paá gina &
Matemaá Matemaá ticas Financieras 0#!E Es un título de crédito por el cual la persona ue lo firma se reconoce deud deudor ora a de otra otra,, por por el +alo +alorr de los los 'ien 'ienes es entr entre5 e5ad ados os y ser+ ser+ic icio ioss prestados y se o'li5a a pa5arlos &'N' &#NC#"I' 9on títulos de créditos emitidos por los 'ancos ue estn 5aranti(ados por la cartera .ipotecaria o prenda del 'anco emisor se5:n sea el caso
CE"TIFIC#$' FI$-CI#"I' 9on auellos actos de confian(a por medio de los cuales una persona entre5a a otra uno o ms 'ienes determinados En el transcurso de este curso anali(aremos ms a fondo el uso y ela'oración de los NPa5ares y los !.euesO Ejemplo de cómo llenar un &agaré'
Pasos a se5uir/
En la parte del recuadro donde aparece 8o Pondremos el n:mero del pa5aré, por e6emplo/ si solo es un :nico pa5o pondremos N1 de 1O, pero si son +arios pa5arés, anotaremos el n:mero de pa5aré de cuantos, por e6emplo/ ue se escri'e 110, 210, H10,, 1010
*onde aparece la frase, >
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Paá gina '
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En lu5ar y fec.a de expedición es donde tendr +alides le5al este pa5aré, porue es donde tendrn 6urisdicción los tri'unales para +entilar una contro+ersia
9i es persona física a uien se le +a a pa5ar este pa5aré se tendr ue poner con su nom're completo, pero si es persona moral, se tendr ue poner el nom're de la empresa, así como el lu5ar y la fec.a en ue se desea co'rar el pa5aré
En el recuadro, Nla cantidad deO, se coloca la cantidad ue nos ser entre5ada con letra, especificando si son pesos, li'ras, euros, dólares, etc, y tam'ién los centa+os, e6emplo/ !uatro mil uinientos treinta y siete pesos con sesenta centa+os, se5uido de $8 #a ausencia de esto in+alida el documento
#ea cuidadosamente el si5uiente prrafo, ya ue se tiene ue mencionar cuantos pa5ares se tendrn ue pa5ar y el porcenta6e de interés ue se pa5ara en caso de no cumplir con lo acordado Este prrafo faculta al acreedor para e6ercer acción le5al so're el deudor cuando se de6e de pa5ar uno cualuiera de los pa5arés de la serie con+enida
#o firma la persona o personas ue aceptan pa5ar este documento
En este recuadro de la esuina inferior i(uierda, se colocan los datos del deudor, ue es esa persona ue se comprometió a pa5ar el pa5aré
En la parte trasera del pa5aré se colocan dos personas como referencia del deudor -a+al4, ya ue en caso de ue el deudor no cumpla con lo esta'lecido se le pueda co'rar a al5uien ms, en este caso las personas ue aceptaron ser los a+ales del deudor
Esto Estoss son son los los pasos asos a se5u se5uir ir para ara la ela ela'or 'oració ación n del pa5ar a5aré, é, a.ora .ora anali(aremos la ela'oración de un c.eue con la ayuda del maestro en el aula
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Paá gi gina 1(
Matemaá Matemaá ticas Financieras Lectura de (eflexión: )&or un reparto equitativo de la rique*a+'
Ento Entonc nces es 'usc 'usca a al Gefe Gefe de *epar *eparta tame ment nto o o al *eca *ecano no mismo mismo,, a uie uien n t: uieras uieras y pídele pídele ue le transfiera transfiera H de los 10 puntos puntos tuyos a ella, para ue am'as ten5an un 7, esta sería una 'uena y democrtica distri'ución de notas
Ella indi5nada le 5ritó/
Por Por uéU uéU @e teni tenido do ue ue tra' tra'a6 a6ar ar muy muy duro duro para para lo5r lo5rar ar mi prom promed edio io,, mientras ue 9oledad se .a limitado a no estudiar y a 'uscar el lado fcil de la +ida 8o le pienso re5alar mi tra'a6o a otra persona
9u padre la a'ra(ó con amor y le di6o/ W>IE8)E8I*" " #" *EE!@", @IG" $"X Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina 11
Matemaá Matemaá ticas Financieras Tema 2/ Interés "nteriormente mencion'amos ue el interés es la cantidad ue de'e pa5ar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo El interés depende directamente del capital in+ertido, del tiempo ue dura la in+ersión y de la tasa de interés I =Cit #a cantidad del interés ue se de'e de pa5ar depende de las +aria'les si5uientes/ Interés, - I 4/ =anancia del capital prestado
"l final del primer mes * +isita a " y le dice ue a:n tiene el dinero in+ertido, pero ue le trae su Interés -5anancia4 de C1000 -el 10% de C10,0004 Prcticamente lo ue sucede es ue se reno+ó el crédito de C10,000
"l final del se5undo mes, sucede lo mismo ue el mes anterior, anterior, * entr entre5 e5a a a " su 5ana 5ananc ncia ia de C100 C1000, 0, y renu renue+ e+an an el créd crédito ito por por los los C10,000
"l final del tercer mes * entre5a a " sus C1000 de 5anancia, ms los C10,000 ue le prestó, uedando pa5ado el crédito ori5inal
El costo de este crédito, para *, .a sido/ 1000Y1000Y1000Y10000, total fue de -.,///
".ora +eamos la misma .istoria .istoria pero en una situación distinta distinta
"l final del primer mes, * acude con " y le dice ue el dinero lo tiene in+ertido y ms a:n, ue no puede pa5ar ni el interés de C1000 * le
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Paá gi gina 1
Matemaá Matemaá ticas Financieras pide a " ue renue+en el crédito, pero a.ora por la cantidad de C11,000, ya ue reconoce ue esa es a.ora su deuda -10,000Y1,000 Z 11,0004
"l final del se5undo mes, la misma situación * pide a " ue renue+en la deuda, pero a.ora por la cantidad de C12,100, porue es C11,000 ms el 10% de interés ue se 5anó su in+ersión/ 11,000Y1100 Z C12,100
"l final del tercer mes, * acude con " para pa5ar su deuda ue es de C12,100 ms el 10% de 12,100, o sea/ 12,000Y1210 Z -.,.-/
"m'as .istorias tiene los mismos datos pero una manera de pa5o diferente "m'as son le5ales ya ue siempre .u'o acuerdo entre las partes y se pa5ó el interés 6usto En la primer pri mer manera se pa5ó C1H,000 y en la se5unda C1H,H10 Estas dos maneras reci'en un nom're #a primera se llama Interés Simple y su característica es ue el interés siempre se pa5ó siempre directamente so're el capit apita al de la in+e in+ers rsió ión n #a se5 se5und unda es el Interés compuesto, y s u característica es ue el interés se pa5ó siempre so're un capital ue es continuamente reno+ado Es decir, se pa5ó intereses so're intereses, por tanto el rendimiento es mayor mayor *el e6emplo se puede +er ue un crédito in+ertido como interés compuesto ofrece mayor rendimiento ue uno in+ertido a interés simple Esta o'ser+ación es importante pues explica porue la mayoría de las operaciones comerciales de crédito se reali(an 'a6o el esuema del interés compuesto ".ora empe(aremos .a .a anali(ar al Interés imple imple El Interés imple ocurre imple ocurre cuando los intereses ue de'e pa5ar el acreedor por cada lapso con+enido no se incorporan al capital Es simple porue simple porue el capital ue lo produce siempre es el mismo El interés es el producto ue resulta de multiplicar el capital por la tasa[ y multiplicndolo por la-s4 unidad-es4 de tiempo o'tenemos el interés total ue corr corres espo pond nde e a dic. dic.aa-s4 s4 unid unidad ad-e -es4 s4 #a fórm fórmul ula a 5ene 5enera rall del del inte interé réss es la si5uiente/ I =Cit I Z Interés ! Z !apital, +alor actual o presente i Z Tasa de interés por unidad de tiempo -%4 t Z Tiempo o pla(o
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Paá gi gina 1!
Matemaá Matemaá ticas Financieras Para poder asi5narle el +alor correcto a la incó5nita del tiempo se tiene ue tener muy presente el periodo de la tasa E6emplos/
9i la tasa es anual y el tiempo B a?os, t Z B 9i la tasa es anual y el tiempo D meses, sustituimos t Z D12, pues un mes es una docea+a parte del a?o Por tanto D meses son D12 de a?o 9i la tasa es mensual y el tiempo a?os, consideramos ue t Z F meses 9i la tasa fuera trimestral y el tiempo a 2 a?os, con+ertiríamos los a?os a trimestres, lo cual nos diría ue t Z F
En conclusión, siempre con+ertiremos las unidades de tiempo a las unidades a ue .ace referencia la tasa ".ora, anali(aremos la formula 5eneral del interés en una serie de pro'lemas de clculo de interés -I4, capital -!4, tasa de interés -i4 y tiempo -t4 E6emplo 1 Kué interés produce un capital de C0,000 en 1 a?o 7 meses y 21 días, al 2% anualU IZU ! Z C0,000 i Z 2% anual Z 0,2 anual t Z 1 a?o x HB0 días Z HB0 días 7 meses L H0 días Z 210 21 días Z 21 días Total de días Z D1 Por lo tanto, t Z D1HB0 a?os 9ustituimos estos +alores en la fórmula del interés y nos ueda de la si5uiente manera/ I =Cit =40,000 x 0,24 x
( )= 591 360
$ 15,760
*e esta forma se entiende ue se de'er pa5ar un total de CDD,7B0, porue 0,000 Y 1D,7B0 Z CDD,7B0 *e la fórmula de interés, NI Z !itO, se extraen las fórmulas ue sir+an para calcular el capital - ! 4, tasa de interés - i 4, y el tiempo - t 4, despe6ando cada una de esas +aria'les de la fórmula de interés - I 4 C =
I I I i= t = it Ct Ci
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Paá gi gina 1"
Matemaá Matemaá ticas Financieras *e esta forma, a.ora miraremos un e6emplo de cada uno de ellos/ Calculo del capital
Kué capital, con tasa de interés del 12% anual, produce intereses de C1D,000 en 10 mesesU ! ZU I Z C1D,000 i Z 12% anual Z 0,12 anual t Z 1012 de a?o
I 15,000 = $ 150,000 C = = it 10
( 0,12 )
( ) 12
Calculo de la tasa de interés'
!ul es la tasa de interés a la ue .a estado in+ertido un capital de C110,000 ue durante 2 a?os y D meses produ6o CH,F7D de interésU iZU ! Z C110,000 I Z CH,F7D t Z 2 a?os y D meses Z 2 meses i=
39875 I = =0,0125 =1,25 Ct ( 110,000 ) (29 )
8;T"/ 8;T"/ si el interés es de 1,2D% cada mes, corresponde a 1,2D x 12 Z 1D% anual 9i la tasa de interés es la incó5nita, la unidad de tiempo ser la ue se mane6e en la +aria'le tiempo Calculo del tiempo
Kué tiempo .a'r estado in+ertido un capital de CFD,000 ue produ6o un interés de CHD,700 a una tasa anual de 21%U tZU ! Z CFD,000 I Z CHD,700 i Z 21% anual Z 0,21 anual Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina 1#
Matemaá Matemaá ticas Financieras t =
I 35,700 = =2 años Ci ( 85,000 ) ( 0,21 )
Monto de un capital utilizando interés simple&
9e conoce por NmontoO a la suma del capital ms el interés -tam'ién se le denomina +alor futuro, +alor acumulado o +alor nominal4 *e esta manera la fórmula para el monto es la si5uiente/ M =C + I
V si la fórmula del interés es/ I Z !it, la sustituimos en la fórmula del monto, tenemos ue/ M =C + Cit =C ( 1 + it )
Cálculo del monto
9i usamos los datos del primer e6emplo, y sa'iendo de antemano ue el monto relati+o es CDD,7B0, compro'aremos nuestra nue+a fórmula para c.ecar este resultado ! Z C0,000 i Z 2% anual Z 02 anual t Z 1 a?o Z HB0 días 7 meses L H0 días Z 210 días 21 días Total de días Z D1 Por lo tanto, t Z D1HB0 $ Z 0,000 -1Y -024 -D1HB044 $ Z 0,000 -1Y 0,H4 $ Z 0,000 -1H4 $ Z CDD,7B0 En función de la fórmula del monto, puede ser necesario calcular el capital, el tiempo o la tasa[ en tal caso, se proceder a despe6ar la incó5nita de la fórmula 'sica *e esta forma, para 'uscar el capital, tenemos lo si5uiente/ C =
M 1 + it
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Paá gi gina 1$
Matemaá Matemaá ticas Financieras Para encontrar el tiempo, tenemos/
( )
M −1 C M M = 1 + it , − 1=it , =t C C i
Para nosotros poder encontrar la tasa de interés, aplicaremos la fórmula de la si5uiente manera/
( )
M −1 C M M =1 +it , − 1=it , =i C C t
En se5uida usaremos estas fórmulas en al5unos e6ercicios para ponerlas en prcticas Calculo del capital utili*ando monto'
!ul es el capital ue produ6o un monto de C1HD,000, a una tasa de interés de 1% anual durante nue+e mesesU !ZU $ Z C1HD,000 i Z 1% Z 1% anual Z 01 anual t Z meses Z 12 de a?o C =
135,000 1 + ( 0,14 )
( ) 9
=
135,000 1+ 0,105
=
135,000 1,105
= $ 122,171.94
12
01%2/ 9i el pro'lema no se especifica la unidad de tiempo a la ue se
esta'lece la tasa de interés, se so'reentiende ue es anual Calculo del tiempo utili*ando monto
*urante ué tiempo un capital de C122,171, con una tasa de interés de 1% anual, se con+ierte en un +alor futuro de C1HD,000U ! Z C122,171 $ Z C1HD,000 i Z 1% anual Z 0,1 tZU
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Paá gi gina 1%
Matemaá Matemaá ticas Financieras
( =
t
135000 122171.94 0,14
)− = 1
1,105 −1 0,14
=
0,105 0,14
= 0,75 años =0,75∗12 =9 meses
01%2: 9e o'ser+a ue, como el tiempo resulto en una fracción de a?o, se
utili(a una re5la de tres para o'tener la unidad de tiempo ue se desea, ue para este e6ercicio es de/ 1 a?o 0,7D a?o
12 meses U
;peración/ -0,7D x 124 1 Z meses
Calculo de la tasa de interés utili*ando monto
" ué tasa de interés .a'r estado su6eto un capital de C122,171, ue en meses produ6o un monto de C1HD,000U
iZU ! Z C122,171 $ Z C1HD,000 t Z meses Z 12 de a?o
(
135000 122171,94 9 12
)−
1
=
1,105 −1 0,75
=
0,105 0,75
=0,14 =14 anual
Casos a resolver
Pro'lemas de interés simple 1 En cuntos cuntos días días un capital capital de CBD,000 CBD,000 produc produce e intereses intereses de C7,000 C7,000 si se in+ierte al 2F,2D% de interés simple anualU 2 ;'te ;'ten5 n5a a el interé interéss simp simple le ue ue prod produc uce e un capit capital al de CD,00 CD,000 0 en 10 meses a una tasa de 2,D% 'imestral H !ul !ul es la tasa de interés interés simple simple anual anual de un capital capital de C17,D0 C17,D00 0 5eneró C7D0 de interés en BD díasU !unto !unto dinero dinero se reuiere reuiere pa5ar pa5ar para cancelar cancelar un présta préstamo mo de CF,2D0 CF,2D0 si se car5a el H7,D% de interés durante un a?o -monto4
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina 1&
Matemaá Matemaá ticas Financieras
D Para Para cada cada caso caso calcul calcule e el dato dato faltan faltante te Caso 4 . 5 6 7
Capital
3onto
C1D,000 C2H,F00 C2,000 CD,200
C1,000,000 C2D,000 CH,200 CB,000 CD,000,000
%iempo
H meses 2 a?os
%asa de interés
2% anual 11% trimestral 012% diario
H2 meses H meses
2HD% semestral HF % anual
B Encontrar Encontrar el interés interés simple simple y el monto monto de una in+ersió in+ersión n de C100,000 C100,000 a4 al D D%, %, dur duran ante te 1 a?o a?o '4 al HD% HD%,, duran durante te 0D a?o c4 al %, %, dur duran ante te 1D 1D mese mesess d4 al D%, D%, dur duran ante te F mes meses es 7 " ué tasa tasa de inte interés rés simple simple,, a4 El capital de C20,000 ser C21,100 en un a?oU '4 El capital de C72,000 ser C7,00 en 10 mesesU F Ela'or Ela'ore e un pa5are pa5are con los si5uie si5uiente ntess datos datos -8;T"/ -8;T"/ para este e6ercic e6ercicio io de6aremos en 'lanco la parte del a+al, la de fec.a de +encimiento, y la de la persona ue nos lo pa5ara4 !apital a4 C2D,000
&ec.a
Pla(o
1\ de mar(o
meses
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Tasa B% semestral
Paá gi gina 1'
Matemaá Matemaá ticas Financieras
'4 CH0,000
1D de 6unio
c4 CD0,000
17 de octu're
1D0 días
2 a?os
% anual
D% trimestral
Tiempo e!acto y Tiempo comercial
Tiempo aproximado 9upone ue todos los meses son i5uales y poseen la misma cantidad de días, en este caso son H0 días por mes, teniendo un total de HB0 días por a?o Tiempo exacto Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina (
Matemaá Matemaá ticas Financieras En un pla(o de tiempo .ay un n:mero exacto de días, esa cantidad de días es el tiempo exacto entre una fec.a inicial y otra final " continuación se muestra una ta'la de cómo calcular el tiempo exacto Para am'os casos la fórmula es la misma/ &ec.a &inal ] &ec.a Inicial
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Paá gi gina 1
Matemaá Matemaá ticas Financieras
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina
Matemaá Matemaá ticas Financieras E6emplo de tiempo exacto y tiempo comercial
;tra forma de reali(ar el clculo del tiempo exacto es mediante el uso de la ta'la ue se mostr ó anterior mente *onde se u'ica el 2D de fe'rero y el 2D de a5osto 8:mero de día del 2D 2Dfe'rero en la ta ta'la
/ DB
8:mero de día del 2Da5osto en la ta'la
/ 2H7
esta de días
/ 1F1 días
;tra forma de reali(ar el clculo del tiempo comercial es/
$enos
8echa
29o
3es
$a
"ctual Inicial
2012 2012 0
F 2 B
2D 2D 0
Tiempo transcurrido transcurrido Z 0 a?os Y B meses Y 0 días Z B L H0 Z 1F0 días Casos a resolver
1 !unt !untos os días días de interés interés se .a'rn .a'rn acumula acumulado do entre entre el H de 6unio 6unio y el 1F de setiem're del 201H de un importe a.orrado en el >8 -en tiempo exacto y aproximado4U Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina !
Matemaá Matemaá ticas Financieras 2 Pedimos Pedimos un préstam préstamo o al 'anco 'anco el día H de fe'rero fe'rero y lo re5resamo re5resamoss el día 17 de octu're !untos días exactos y comerciales pasaronU H *ete *eterm rmin ine e el tiem tiempo po real real y apro aproxi xima mado do ue .a transc transcur urrid rido o en días días entre las si5uientes fec.as/ 8echa inicial
8echa 8inal
1D &e &e' 2011 1D &e' 2011 1D "'ril 'ril 20 2011
2 *ic 20 2011 2 *ic 2012 1D &e &e' 201H
%iempo en d$as
Exacto
!omercial
#e presta prestamos mos CHD,0 CHD,000 00 pesos pesos a un primo primo el día B de enero de este este a?o a?o !unto tiempo -exacto y comercial4 .a transcurrido .asta el día de .oyU D El 20 de mayo mayo de este este a?o a?o le entr entre5 e5ar aron on un dine dinero ro,, el cual cual uste usted d deposito en una cuenta para retirarlo este 20 de diciem're para cele'rar las fiesta fiestass na+id na+ide?a e?as s !unt !unto o tiempo tiempo -exact -exacto o y comerc comercial ial44 estu+o estu+o depositado este dineroU B *eterminar *eterminar el el tiempo exacto exacto y comercial comercial transcu transcurrido rrido entre, entre, a4 El 2D de de enero enero de 201H 201H y el 1D de a5osto a5osto de 201H 201H '4 El 1D de septie septiem're m're de 2012 y el el 1D de fe'rero fe'rero de 201H 201H c4 El día día de .oy y el 2D de diciem diciem're 're del del 201 201 7 #a 5uerra 5uerra de los mil días, días, denominad denominada a la =uerra $a5na $a5na se desarro desarrolló lló entre el 1F de octu're de 1F y el 12 de no+iem're de 102[ determina cuntos días duró la 5uerra usando el tiempo ti empo aproximado y el real Tiempo Mi!to
"nteriormente calculamos el tiempo de dos formas diferente -exacto y comercial4, lo cual nos ser+ir en este momento para poder tra'a6ar el interés simple con am'os tiempos de forma simultnea Por lo tanto, nos uedaría de la si5uiente manera/
Interes Interes Simple y Tiempo exacto =
días exactos exactos 360
( Norma Bancariao Mas Usado ) .
Interes Interes Simple y Tiempo Comercial Comercial o Aproximado =
días aproximados aproximados
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365
Paá gi gina "
Matemaá Matemaá ticas Financieras
E6emplo 1/ El 1H6ulio2012 una persona solicito un préstamo por C0,00000 en un 'anco de la cercanía ue tra'a6a con un interés del 1% anual 9i el préstamo fue saldado el 21fe'rero201H, !ul ser el interés ue se .a 5enerado usando las dos com'inaciones de tiempoU -el a?o 2012 fue 'isiesto4 9olución/ I Z U t a=¿ ?
! Z C0, C0,00 000 000 00
t e= ¿
i Z 1% 1% anua anuall Z 01 01 anua anuall
&&Z &Z 21fe 21fe'r 'rer ero o20 201H 1H Z &I Z 1H6ulio2012 Z
t e= ¿?
1F 1F día díass - +er +er ta'l ta'la4 a4 1D días -+er ta'la4 44. d$as
t a=¿
201H
02
21
2012 1
07 D
1H F
-HB0 ] 1D0 Y F4 Z 4-; d$as
!alculo del interés con el tiempo ti empo mixto exacto I =Ci t e=
90,000 ∗0,14∗223 360
= $ 7,805
!alculo del interés con el tiempo ti empo mixto comercial I =Ci t e=
90,000 ∗0,14 ∗218 365
= $ 7,525.47
Casos a resolver
E6ercicio 1 El 2fe'rero201H un se?or contra6o una deuda por C7F,000 al 1B% anual a pa5ar en 0 días *etermine lo ue se le pide usando tiempo mixto exacto a !ul !ul es la la fec.a fec.a en la ue ue se saldó la deudaU deudaU ' !alcule !alcule el monto con el el ue se saldó saldó la deuda deuda E6ercicio 2 El 1enero1H usted tomo prestada una suma de dinero por la cual pa5aría intereses al 1F% anual 9i el compromiso fue saldado el 2Dmayo1H mediante Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #
Matemaá Matemaá ticas Financieras un :nico pa5o de C11,H0FD, determine la cantidad del préstamo
E6ercicio H anco otor5ó a una tauería un préstamo de C10 000 el 1a5osto1H para de+ol+erlo dentro de un a?o, co'rando una tasa de interés simple del 2% anual
E6ercicio D 9i el capital inicial es de C1,000 co'rado al 2% anual !alcula el interés en cada una de las unidades de tiempo en un a?o 'ancario -+er ta'la4 E6ercicio B Kué capital colocado a una tasa anual del H0% producir un interés simple de C1,000 en el periodo comprendido entre el 1 de a'ril y H0 de 6unio del 201HU !ul es el montoU V ela'ore un pa5aré
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Paá gi gina $
Matemaá Matemaá ticas Financieras
Ecuación de
Por di+ersas ra(ones, a +eces, el deudor decide cam'iar sus o'li5aciones Para ue esto sea posi'le, deudor y acreedor de'en lle5ar a un acuerdo en el cual se consideren las nue+as condiciones para reali(ar la operación, en función de una tasa de interés y de la fec.a en ue se +a a lle+ar a ca'o -a esta :ltima fec.a se le conoce como fec.a focal4 En la resolución de estos pro'lemas, se utili(a 5rficas -de tiempo +alor4 en las ue se representan las fec.as de +encimiento de las o'li5aciones ori5inales y cuando se reali(aran los pa5os -se puede utili(ar tanto el interés simple como el compuesto4 En este caso, se lle+a a ca'o el procedimiento si5uiente/
Paso 1 !alcular el monto a pa5ar de cada una de las o'li5aciones ori5inales a su +encimiento
Paso 2 @acer la 5rfica de tiempo+alor ue considere las fec.as de +encimiento V se colocan, so're la misma, los montos en la fec.a de su +encimiento
Paso H *e'a6o de la 5rfica de tiempo, se u'ican pa5os parciales -como las deudas, con sus fec.as respecti+as4
Paso 9e determina en la 5rfica la fec.a focal -de preferencia en donde coincida con al5:n pa5o[ es recomenda'le ue sea una incó5nita, con el fin de reali(ar el menor n:mero de operaciones4
Paso Paso D 9e efec efect: t:a a la solu soluci ción ón// para para ello ello,, se trasl traslad adan an toda todass las las cantidades a la fec.a focal -se de'e tomar en cuenta ue la suma de todos los pa5os pa5os de'en cu'rir cu'rir la suma de las deudas4
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Paá gi gina %
Matemaá Matemaá ticas Financieras
Paso B 9e resuel+en las operaciones
E6emplo 1 *etermine la cantidad ue de'e pa5arse en un solo pa5o trimestral +encido para saldar una deuda de H pa5os mensuales +encidos de C100 9i el dinero cam'ia de +alor a una tasa del 2% mensual capitali(a'le mensualmente =rafica de Tiempo )alor $eses
C100 C100 C100
x
&ec.a &ocal
9olución/ !omo son H pa5os ue se reali(aran, se de'e de sacar el monto de cada uno de ellos y trasladarlo a la fec.a focal *euda ;ri5inal Z Pa5o Trimestral )encido )encido C 100 ( 1+ ( 0,02 ) ( 2 )) + $ 100 ( 1 + ( 0,02 ) ( 1 ) ) + $ 100= 100 ( 1+ 0,04 ) + 100 ( 1 + 0,02 ) + 100= 100 ( 1,04 ) + 100 ( 1,02 )+ 100= 104 + 102 + 100 = $ 306= 0ota: 9e o'ser+a ue todas las operaciones estn a+an(ando en el tiempo,
por lo tanto, se 'uscar calcular el monto En cam'io, si una cantidad re5resara en el tiempo, se 'uscaría calcular el capital E6emplo 2 Tenemos una deuda 'ancaria la cual se nos entre5ó en 2 pa5os de C2D0,000 cada uno el día de .oy y el otro al transcurrir H meses 9i se desea liuidar en pa5os 'imestrales +encidos siendo el primero de C100,000, el se5undo de C200,000 !ul de'e de ser el +alor del :ltimo pa5oU #a tasa a la cual el dinero cam'ia es del 0% anual capitali(a'le mensualmente
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Paá gi gina &
Matemaá Matemaá ticas Financieras =rafica de Tiempo ] )alor C2D0
C2D0
$eses
C100
C200
&ec.a &ocal
^
9olución 01%2: El inte interé réss est est dada dada anua anualm lmen ente te,, pero pero se pide pide ue ue se capi capita talic lice e
mensualmente, por esa ra(ón se di+ide entre 12, porue son los meses ue tiene el a?o 9e de'e Z Pa5ar
( ( ) ( ) )+ ( +( )( ))= ( +( )( ))+ ( +( ) ( ) )+
$ 250 1 +
0.4 12
6
$ 250 1
0.4 12
3
$ 100 1
0,4 12
4
$ 200 1
0,4 12
2
250 ( 1+ 0.2 )+ 250 (1 + 0,1 )=100 ( 1+ 0,13 ) + 200 ( 1+ 0,06 ) + 250 ( 1.2 )+ 250 ( 1,1 ) =100 (1,13 )+ 200 ( 1,06 )+
300 + 275= 113+ 213.33 + 575=326.33 +
575−326.33 =
$ 248.67=
Casos a resolver
E6ercicio 1 "l comprar un automó+il y se pa5aran H documentos con +alor de C1D,000 cada uno a pa5ar en los meses 2, y B 9i se desea pa5ar en 2 ex.i'iciones i5uales, en los meses y F !ul de'e ser el importe de estos pa5osU !onsidere ue el dinero cam'ia a una tasa del HD% semestral capitali(a'le mensualmente 01%2/ El interés est dado semestralmente, pero se pide ue se capitalice
mensualmente, por esa ra(ón se di+ide entre B, porue son los meses ue tiene el semestre E6ercicio 2 Para Para una una deud deuda a ue ue se plan planea ea liu liuid idar ar de C12, C12,00 000, 0, dete determ rmin ine e el +alo +alor r eui+alente de H pa5os mensuales +encidos #a tasa de interés es del H0% anual capitali(a'le mensualmente E6ercicio H Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina '
Matemaá Matemaá ticas Financieras Para una deuda en el presente de C100,000, se desea liuidar con 2 pa5os 'imestrales +encidos, determine el +alor de los pa5os 'imestrales si la tasa de interés es del 10% anual capitali(a'le al mes E6ercicio
fec.a focal, por lo tanto, la fórmula ue usaremos ser la del capital -!4 y no la del monto -$4, por lo tanto se usa la formula si5uiente/ C =
M 1 + it
E6ercicio F 9i una persona in+ierte .oy cierta cantidad en un proyecto ue le redit:a CD0,000 al ca'o de meses, y CH0,000 ms al mes B, Kué cantidad tendría ue .a'er depositado para lo5rar un rendimiento de 1B% so're su in+ersión E6ercicio
Paá gi gina !(
Matemaá Matemaá ticas Financieras ' *ent *entro ro de un a?oU a?oU E6ercicio 10
*ent *entro ro de un mesU mesU *ent *entro ro de de siet siete e mese mesesU sU *ent *entro ro de die( die( mese mesesU sU *ent *entro ro de de uin uince ce mes meses esU U
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Paá gi gina !1
Matemaá Matemaá ticas Financieras Tema H/ =nterés Compuesto Introducción/ En periodos cortos por lo 5eneral se utili(a, el interés simple Por otra parte, en periodos ms lar5os de tiempo, se utili(arn casi exclusi+amente el interés compuesto !onceptos 'sicos/ En el interés simple el capital ori5inal so're el ue se calculan los intereses permanece sin +ariación al5una durante todo el tiempo ue dura la operación En el interés compuesto, en cam'io, los intereses ue se 5eneran se suman al capital ori5inal en periodos esta'lecidos y, a su +e(, +an a 5enerar un nue+o interés adicional en el si5uiente lapso de tiempo ti empo En este caso se dice ue el interés se capitali1a y ue se est en presencia de una operación de interés compuesto. En estas operaciones, el capital no es constante a tra+és del tiempo, pues aumenta al final de cada periodo por la adición de los intereses 5anados de acuerdo con la tasa con+enida E6emplo 1 de Interés !ompuesto 9upon5a ue se depositan C100,000 en una cuenta de a.orros ue pa5a el 10% de interés semestral -20% de interés anual4 !ul ser el interés 5anado al ca'o de B mesesU I =Cit I =100,000 ( 0.10 ) ( 1 )= $ 10,000
9upon5a ue se depositan otros C100,000 en una cuenta de +alores ue pa5a el 20% de interés con+erti'le trimestralmente !ul ser el interés 5anado al ca'o de B mesesU 0ota: #a tasa de interés nominal es la misma en am'os casos[ D% trimestral Z 20% anual itrimestral =
20 anual 4 trimestras
=5
!trimestr stree I =Cit 1 er !trime
I =100,000 ( 0,05 ) (1 ) = $ 5,000 2 do trimes trimestr tree I =( C + I ) it
I =( 100,000 + 5,000 ) ( 0,05 ) (1 ) =$ 5,250 I total = I 1 er trimestre trimestre+ I 2 2 dotrimestre I total =5,000 + 5,250 =$ 10,250
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Paá gi gina !
Matemaá Matemaá ticas Financieras El capital se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo y estos, a su +e(, se incrementan pues son calculados so're una 'ase cada +e( mayor #a cantidad acumulada al final de la operación se conoce como monto compuesto #a diferencia entre el monto compuesto y el capital ori5inal es el interés compuesto E6emplo practico 9upon5a ue se depositan C100,000 en una cuenta de a.orros ue pa5a el 20% de interés anual !ul !ul ser el interés 5anado al ca'o ca'o de D a?osU 2 9o
=nterés >imple = ? Cit
=nterés Compuesto = ? @C A =B it
4 . 5 6
100, 100,00 000L 0L0, 0,2L 2L1Z 1Z20 20,0 ,000 00
100, 100,00 000L 0L0, 0,2L 2L1Z 1Z20 20,0 ,000 00
E6emplo 2 de $onto !ompuesto 9e depo deposi sita tan n CD00 CD00 en un 'anc 'anco o a una una tasa tasa de inte interé réss del del 1F% 1F% anua anuall capitali(a'le mensualmente !ul ser el monto acumulado en 2 a?osU !on el interés simple podíamos resol+er este pro'lema de la si5uiente forma/ El interés es 1F% anual, y mensualmente seria 1F12Z 1,D% Z 0,01D M =C ( 1 + it ) M =500 ( 1 + ( 0,015 ) ( 24 ) ) =$ 680
Pero, a.ora con el interés compuesto, por cada unidad de tiempo ue pasa, el interés +a incrementando al capital, por lo tanto el monto ser mayor, y para esto la fórmula del monto cam'ia de la si5uiente manera n M =C ( 1 + i ) *onde NnO, representa el n:mero de periodos o de tiempo ue transcurrirn Entonces, para este e6emplo, el monto uedaría de l a si5uiente manera n
24
M =C ( 1 + i ) M =500 (1 + 0,015 ) = $ 714,75
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina !!
Matemaá Matemaá ticas Financieras E6emplo practico 9upon5a ue se depositan C2,000 en una cuenta de a.orros ue pa5a el 1D% de interés anual !ul ser el el interés 5anado al ca'o de D a?osU 3onto >imple 3 ? C @-AitB
29o 4 . 5 6
2,000-1Y-0,1D4-144Z C2,H00
3onto Compuesto n M =C ( 1 + i ) 1 2,000 ( 1 + 0,15 ) = $ 2,300
!lculo del +alor actual o presente con interés compuesto El +alor actual muestra, cual es el +alor en un momento determinado de una cantidad ue se reci'ir o pa5ara en un tiempo posterior posterior "nteriormente, calcul'amos calcul'amos el +alor presente con la fórmula fórmula del capital, la cual C =
es la si5u si5uie ient nte/ e/
M 1 + it
,
pero pero a.or a.ora a con el inte interé réss compu compues esto to lo
calcularemos de la si5uiente manera C = M ( 1 + i)−n E6emplo 1 !unto de'e depositarse en el 'anco si se desea tener un monto de CD0,000 dentro de H a?os y la tasa de interés es de 20% anual con+erti'le semestralmenteU M
!on interés simple/ C = 1 +it C =
50,000 1 + ( 0.10 ) ( 6 )
= $ 31,250
−6
!on interés compuesto/
1 + 0.1 ¿
= $ 28,223.69 −n C = M ( 1 + i ) C =50,000 ¿
E6emplo prctico !unto se de'e de depositar el día de .oy para tener los si5uientes réditosU !onsidere ue la tasa de interés del 2D% anual Capital simple M C = 1 + it
&ara el a9o - ? ./,///
30,000 1 + 0.25 ( 1)
=24,000
Capital Compuesto −n C = M ( 1 + i )
−1
30,000 ( 1 + 0.25 )
=24,000
4 ? 5/,/// . ? 7/,/// Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina !"
Matemaá Matemaá ticas Financieras 5 ? ;/,/// 6 ? /,6// Casos a resolver
E6ercicio 1 9e depositan en una ca6a de a.orro C100,000 a una tasa de interés del F% mensualmente a !ul !ul ser el monto monto acumul acumulado ado a interés interés compue compuesto sto en un period periodo o de mesesU ' 9uponiend 9uponiendo o ue la ca6a ca6a de a.orros a.orros preste preste el mismo dinero dinero con con una tasa tasa de interés de H0% anual capitali(a'le mensualmente, !ul ser í ser ía el pa5o ue de'e efectuar al ca'o de los mismos mesesU E6emplo 2 Pedimos prestado C1_ C1 _D00,000 al 'anco, a un pla(o de un a?o y con intereses del 12% con+erti'le trimestralmente !ul es el monto ue de'er liuidarseU E6emplo H *etermine el interés ue 5ana en un a?o un depó dep ósito de C1,000 en/ a
Paá gi gina !#
Matemaá Matemaá ticas Financieras
E6ercicio B
1er a?o C100,000 2do a?o C200,000 Her a?o C H00,000
9i la tasa de la inflación para los próximos H a?os es de 0%, 9e de'e de explotar la mina o noU E6ercicio F
D% anual 1D% anual, anual, capita capitali(a' li(a'le le cuatrim cuatrimestra estralmente lmente 2% semestral, semestral, capitali(a capitali(a'le 'le mensualme mensualmente nte H0% cuatrim cuatrimestra estralment lmente, e, capitali( capitali(a'le a'le mensu mensualmen almente te
E6ercicio Guan "ndrés pidió un préstamo 'ancario de C200,000 pesos El pla(o de pa5o es de 21 meses, y con una tasa de interés del H0% anual capitali(a'le semest semestral ralmen mente te !ul !ul es la cantid cantidad ad ue de'er de'er pa5ar pa5ar Guan Guan "ndrés "ndrés al término de su pla(o -use monto compuesto4U E6ercicio 10 )icente reali(o los si5uientes mo+imientos en su nue+a cuenta 'ancaria/ 8echa
=mporte
%ipo de movimiento
Enero $ar(o "'ril
C20,000 C1D,000 C10,000
"pertura *epósito etiro
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina !$
Matemaá Matemaá ticas Financieras Gunio C20,000 *eposito "5osto C10,000 etiro ;ctu're CH0,000 *eposito a !ul !ul ser el monto monto acumulad acumulado o en la cuenta cuenta de )icente )icente ue ue pa5a el 2% de inter nterés és mens ensual y se desea esea cono conoce cerr su sald saldo o en el mes de septiem'reU ' !ul !ul ser el monto monto acumula acumulado do en la cuenta cuenta de )icente )icente ue pa5a pa5a el 2% de interés anual capitali(a'le mensualmente y se desea conocer su saldo en el mes de diciem'reU E6ercicio 11 Edel tiene una deuda 'ancaria de CF00,000 pa5aderos en dos a'onos de C00,000 cada uno, a 2 y B meses 9e desea liuidar en H pa5os cuatrimestrales[ el primero y el se5undo de C1D0,000, !unto ser el :ltimo pa5o considerando una tasa de HB% anual con+erti'le 'imestralmente -use el monto compuesto4U E6ercicio 12 #idia contra6o una deuda el día de .oy con tres usureros diferentes de CD,000 en cada uno, el primero le co'ra el % mensualmente y acordó pa5rselos al ca'o de D meses, el se5undo le co'ra el 20% anual capitali(a'le mensualmente a pa5ar en 7 meses, y el ultimo le co'ra el 1H% semestral capitali(a'le mensualmente a pa5ar dentro de 10 meses #idia decide pa5ar sus tres deudas en un :nico :nico pa5o en la si5uiente si5uiente fec.a y con una nue+a tasa de interés/ a *entro *entro de H meses meses a una tasa tasa de interés interés del D% mensu mensual al ' *entro *entro de F meses meses a una tasa tasa de interés interés del 1D% anual anual capita capitali( li(a'l a'le e mensualmente c *entro *entro de un a?o a?o a una tasa tasa de interés interés del del 17% semest semestral ral capitali( capitali(a'le a'le mensualmente
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Paá gi gina !%
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Tema / 2nualidades !"ué son las anualidades#
"nterior mente, mencion'amos ue una anualidad era el periodo de tiempo ue correspondía a un a?o, eso si5ue siendo cierto, solo ue en esta unidad lo anali(aremos de la si5uiente forma Para esta unidad podemos podemos decir ue una anualidad es es un con6unto de pa5os i5uales reali(ados a intervalos i5uales intervalos i5uales de tiempo 9e si5ue usando el nom're de anualidad por estar muy afian(ado en la materia, aunue no siempre nos +amos a referir a la anualidad como periodos anuales de pa5o Podemos mencionar al5unos e6emplos de anualidades como son/
#os pa5os mensuales por renta El co'ro mensual, uincenal o semanal de sueldos o salarios #os a'onos mensuales a una cuenta de crédito #os pa5os anuales de primas de póli(as de se5uros -de +ida, de autos, etc4 #os pa5os mensuales o 'imestrales de los ser+icios p:'licos -a5ua, lu(, teléfono, internet, etc4 El pa5o del predial Etc
#os #os e6em e6empl plos os ante anteri rior ores es nos nos indi indica can n ue ue las las anualidades son pa5os ue pueden efectuarse no solo anualmente, sino tam'ién en otros periodos de tiempo, tales como, mensual, 'imestral, trimestral, semestral, anual, etc Tenemos al5unos elementos ue inte5ran a las anualidades, y a continuación aremos mención de al5unos de ellos/ =ntervalo o periodo de pago
9e entiende por intervalo o periodo de pago al pago al tiempo ue transcurre entre un pa5o y otro &la*o
9e denomina pla(o de una anualidad al tiempo ue pasa entre el inicio del primer periodo de pa5o y el final del :ltimo Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina !&
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(enta
#e llamaremos renta al pa5o periódico ue se reali(a en periodos i5uales de tiempo por una determinada operación %ipos de 2nualidades
En las las anua anualid lidad ades es tene tenemo moss una una 5ran 5ran di+e di+ers rsifi ifica caci ción ón de elem elemen ento toss ue ue inter+ienen en ellas, por esta ra(ón, existen diferentes tipos de ellas Por ende, con+iene clasificar a las anualidades de acuerdo con sus di+ersos criterios, como se presentan a continuación/ Criterio
%ipos de 2nualidades
Tiempo Intereses Pa5os Iniciación
!iertas !ontin5entes 9imples =enerales )encidas "nticipadas Inmediatas *iferidas
*e esta forma se definirn cada una de ellas por su criterio y ser de la si5uiente forma a Tiempo/ este primer criterio de cate5ori(ación se refiere a las fec.as de iniciación y de terminación de las anualidades/
#nualidad cierta cierta 9us fec.as son fi6as y se estipulan de antemano Por e6emplo, al efectuar cualuier operación de crédito, primero se fi6a tanto la fec.a en ue se de'e .acer el primer pa5o, como la fec.a para efectuar el :ltimo
#nualidad contingente. Esta contingente. Esta sucede cuando la fec.a del primer pa5o, la fec.a del :ltimo pa5o o am'as, no se fi6an de antemano al reali(ar al5una operación, ya ue estas dependen de al5:n .ec.o ue se sa'e ue ocurrir, pero no se sa'e cundo Por e6emplo, las rentas +italicias ue se otor5an a un cónyu5e tras la muerte del otro Para este e6emplo, el inicio de la renta se da al morir el cónyu5e y se sa'e ue éste morir, pero se desconoce cundo suceder este e+ento
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Paá gi gina !'
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' En este se5undo se5undo criterio criterio se se aprecian aprecian las anuali anualidade dadess con Intereses
"nualidad simple 9e da cuando el periodo de pa5o coincide con el de capitali(ación de los intereses Por e6emplo, el pa5o de una rent renta a mensu nsual con inte intere resses al 20% anu anual capit apital ali( i(a' a'le le mensualmente
"nualidad 5eneral 5eneral " diferencia de la anualidad anterior, anterior, el periodo de pa5o no coincide con el periodo de capitali(ación Por e6emplo, el pa5o de una ren renta mensual con con inte intere rese sess al 20% 20% anua anuall capitali(a'le semestralmente semestralmente
c En este este terce tercerr criteri criterio o de acuer acuerdo do con con los los pa'os las anualidades son las si5uientes/ vencida Esta anualidad tam'ién es conocida como #nualidad vencida anualidad ordinaria, y se trata de casos ou operaciones en los ue los pa5os se efect:an a su +encimiento Por e6emplo, al final de cada periodo de pa5o
#nualidad anticipada anticipada " lo contrario de la anterior Esta reali(a los pa5os al principio de cada periodo de una operación
d *e acue acuerd rdo o a este este ultim ultimo o crite criterio rio de de =niciación, se efect:a de acuerdo con el momento en ue se inicia la operación
#nualidad inmediata inmediata Esta particular anualidad es uno de los casos ms comunes #a reali(ación de co'ros o pa5os tendr lu5ar en el periodo ue si5ue inmediatamente a la formali(ación del trato Por e6emplo, si el día de .oy se compra a crédito un artículo ue se +a a pa5ara en mensualidades, la primera de las cuales de'er pa5arse en ese momento o un mes después de aduirida dic.a mercancía
#nualidad diferida diferida Esta Esta anua anualilida dad d tien tiene e la part partic icul ular arid idad ad de posponer la reali(ación de los co'ros o pa5os Por e6emplo, si se adu aduie iere re .oy .oy un artic articul ulo o a créd crédito ito,, para para pa5a pa5arl rlo o en a'on a'onos os mens mensua uale les, s, el prim primer ero o de esto estoss de'e de'e efec efectu tuar arse se B mese mesess después de aduirida la mercancía
!onsiderando lo anterior, podemos decir ue, tenemos diferentes tipos de anualidades y se pueden diferenciar en diferentes tipos de anualidades Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "(
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%ipos de 2nualidades
)encidas !iertas "nticipadas 9imples )encidas !ontin5entes "nticipadas "nualidades
)encidas !iertas "nticipadas =enerales )encidas !ontin5entes "nticipadas
Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas Inmediatas *iferidas
*e este 5rupo de 1B anualidades las ms comunes son las si5uientes/
imples u ordinarias/ ordinarias / en estas anualidades el periodo de pa5o coincide con el de capitali(ación Ciertas/ Ciertas/ en estas anualidades las fec.as de los pa5os son conocidas y fi6adas con anticipación 0encidas2 0encidas2 en estas anualidades los pa5os se reali(an al final de los correspondientes periodos Inmediatas/ Inmediatas/ los pa5os se comien(an a .acer desde el mismo periodo en el ue se reali(a la operación
#os #os elem elemen ento toss ue ue anal anali( i(ar arem emos os por por su 5ran 5ran part partic icip ipac ació ión n en esta estass anualidades son los si5uientes/
Z renta[ #a renta o pa5o por periodo ! Z capital[ El +alor actual o capital de la anualidad Es el +alor total de los pa5os en el momento presente $ Z monto[ El +alor en el momento de su +encimiento, o monto Es el +alor de todos los pa5os al final de la operación
" continuación continuación empe(aremos a anali(ar anali(ar cada uno de estos elementos de forma indi+idual y con ayuda de al5unos casos prcticos para su me6or entendimiento, y el primero ue +amos a anali(ar ser el %onto.
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "1
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Dso del monto en una anualidad'
Para ilustrar la deducción de la fórmula del monto de una anualidad se usara el si5uiente e6emplo/ E6emplo 1 Kué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran C10000 al finali(ar cada mes en una cuenta de in+ersiones i n+ersiones ue rinde B% anual con+erti'le mensualmenteU 9olución/ Primero, podemos representar el e6emplo en una 5rafica e tiempo &ec.a focal / $eses
C100 C100 C100 C100 C100 C100
El interés por periodo seria/ i Z Z 00B12 Z 000D y el monto de la anualidad de'e de ser i5ual a la suma de los montos de cada uno de los depósitos al final del semestre En términos del monto a interés compuesto, el planteamiento seria/ M =100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 (1.005 )+ 100 5
4
3
2
Esta es la forma como ya la conocemos, a.ora solo ordenremos los +alores a la in+ersa, los cuales uedarían de la si5uiente forma/ 01%2/ 8o +amos a cam'iar a'solutamente nada, solo +amos a acomodar los +alores de forma ascendente y posteriormente le +amos a dar solución 2
3
4
5
M =100 + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 ) + 100 ( 1.005 )
M =100 + 100 ( 1.005 ) +100 ( 1.010025 ) + 100 (1.015075125 ) +100 ( 1.020150501 ) + 100 ( 1.025251253 ) M =100 + 100.500 + 101.002 + 101.507 +102.015 + 102.525 M = $ 607.550 Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "
Matemaá Matemaá ticas Financieras En este planeamiento con el orden in+ertido se puede +er ue el monto es una pro5resión 5eométrica >olo como dato: Kué es una pro5resión 5eométricaU
n
Esto es para una pro5resión 5eométrica, lo cual es 'ueno mencionarlo ya ue adaptaremos este tema al de anualidades ".ora 'ien, ya re5resando re5resando al tema de anualidades, anualidades, sustituiremos los términos de anualidades en la formula de pro5resión 5eométrica, y la despe6amos para ue nos uede de la si5uiente forma/ 1−( 1+ i ) 1−( 1+ i ) 1 +i
¿ ¿ ¿n 1− ¿ " ( ¿ ¿ n ) = " ¿ −i " ( ¿ ¿ n) =¿ 1 − 1− i " − " (1 + i )n =¿ M = 1−( 1 + i )
$ultiplicando este :ltimo resultado por ] 1, se o'tiene lo si5uiente/ Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "!
Matemaá Matemaá ticas Financieras M = "
( 1 + i)n −1 i
Esta es la fórmula ue com:nmente se una para el clculo del monto dentro del tema de las anualidades, como por e6emplo en el e6ercicio ue est'amos resol+iendo, al aplicar la fórmula para resol+er el e6emplo anterior uedara de la si5uiente manera/ ( 1.005 )6 = 100 ( 6.0755011879 )=607.55019 M =100 0.005
Este resultado es i5ual al ue se o'tu+o anteriormente E6emplo 2 !ul es el monto de C1D,000 semestrales depositados durante D a?os y medio en una cuenta 'ancaria ria ue rinde 1D% anual capita itali(a'le semestralmenteU !antidades en 1,000`s 1D 1D
1D
1D
1D
1D 1D
1D
1D
1D
1D
9emestres &ec.a &ocal 9olución/ enta Z Z C1D,000 Tasa Z i Z 01D2 Z 007D Tiempo Z n Z D a?os y medio Z 11 semestres Tomamos la formula y la sustituimos de la si5uiente manera/ M = "
( 1 + i)n −1 i
= 15,000
( 1 + 0.075 )11−1 0.075
Empe(amos a resol+er las operaciones/ M =15,000
15,000
( 1 + 0.075 )11−1 0.075
1.215608929 0.075
=15,000
( 1.075 )11−1 0.075
=15,000
2.215608929 −1 0.075
=15,000 ( 16.20811906 ) =$ 243,121.78
!onclusión/
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina ""
Matemaá Matemaá ticas Financieras El monto ue producir una renta de C1D,000 semestrales a una tasa del 1D% anual anual capital capitali(a i(a'le 'le semest semestralm ralmen ente, te, al ca'o de D a?os a?os y medio medio ser de C2H,1217F E6emplo H =ypsy esta depositando C100 dólares al mes desde ue nació su .i6o !ontinua .aciendo esto mes tras mes .asta ue su .i6o cumple los 1F a?os, lo cual se destinaran para sus estudios 9i durante los primeros B a?os de +ida del ni?o la cuenta le pa5a'a el % anual con+erti'le mensualmente, y durante los otros 12 a?os restantes le pa5a'an al 1% mensual, !unto reci'ió el .i6o de =ypsy para sus estudios al cumplir los 1F a?osU 9olución/ enta Z Z 100 dólares mensuales Tiempo Z n Z B a?os Z 72 meses y 12 a?os Z 1 meses Tasa Z i Z 0012 Z 0007D en los primeros B a?os i Z 001 en los :ltimos 12 a?os 8os damos cuenta de ue tenemos dos tasas de interés en el mismo caso, primero se calculara lo acumulado durante los primeros B a?os con un interés mensual de 07D% Z 0007D M =100
( 1 + 0.0075 )72−1 0.0075
= 100
( 1.0075 )72−1 0.0075
=100 ( 95.0070 )= $ 9,500.70
Este es el monto ue se acumulo en los primeros B a?os a una tasa del % anual con+erti'le mensualmente, y en una 5rafica de tiempo uedaría de la si5uiente manera/ 100 100 100 100
100
$eses
En el mes 72 - B a?os4, se tiene un monto de C,D0070 a una tasa del % anual con+erti'le mensualmente, a.ora 'ien, es importante conocer el monto .asta esta fec.a, ya ue a partir de este momento la tasa cam'iara al 1% mensual, entonces tomaremos el monto ue se acumulo .asta el mes 72 y con esa esa cant cantid idad ad part partir irem emos os .ast .asta a conc conclu luir ir el pla( pla(o, o, como como se mues muestr tra a a continuación/ &ec.a focal Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "#
Matemaá Matemaá ticas Financieras 100 100 100 100
D007 100 100 100
100 100 100
$eses
El monto acumulado .asta el mes 72 es de C,D0070, a partir de ese momento se toma esa cantidad y se calcula el nue+o monto con la nue+a tasa de interés .asta lle5ar al mes 21B (1.01 )144 −1 144 1.01 ¿ + 100 0.01 M =9,500.70 ¿
M =9,500.70 ( 4.190616 )+ 100 ( 319.061559 ) M =39,813.79 + 31,906.16 =$ 71,719.95
Dso del capital o valor presente en una anualidad
"nteriormente ya tra'a6amos con el clculo del capital, en interés simple y en interés compuesto, a.ora 'ien, teniendo ese conocimiento pre+io, nos ser muc.o ms sencilla la forma como lo +eremos a continuación/ E6emplo 1 !ul ser el +alor presente de una serie de depósitos de C1D0 cada fin de 'imestre durante un a?o en una cuenta 'ancaria ue pa5a el HB% capitali(a'le 'imestralmenteU 9olución/ !apital Z ! Z U enta Z Z C1D0 Tasa Z i Z HB% anual Z 0HBB ó 00B 'imestral Tiempo Z n Z 1 a?o Z B 'imestres &ec.a &ocal 1D0
1D0
1D0 1D0
1D0
1D0
1D0
$eses
bste es el caso in+erso del monto El capital o +alor presente de la anualidad seria la suma de los +alores presentes de todas las rentas, como se muestra a continuación/ −1
−2
−3
−4
−5
−6
C =150 ( 1.006 ) + 150 ( 1.006 ) + 150 ( 1.006 ) + 150 ( 1.006 ) + 150 ( 1.006 ) + 150 ( 1.006 ) Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "$
Matemaá Matemaá ticas Financieras C =141.51+ 133.5+ 125.94 + 118.81+ 112.08 +105.74 C =$ 737.59
El capital ó +alor actual de la anualidad de este e6emplo es de C7H7D V, al i5ual ue antes, cuando calculamos el monto de una anualidad, se puede +er ue esta suma de términos es una pro5resión 5eométrica y su fórmula ya sustit sustituid uida a y reduc reducida ida para para el clcul clculo o de las anual anualida idades des simple simples, s, cierta ciertas, s, +encidas e inmediatas uedaría de la si5uiente manera/ C = "
(
−n
1− ( 1 + i )
i
)
9ustituimos los datos del e6emplo en la formula anterior y uedaría de la si5uiente manera/ C =150
(
−6
1−( 1 + 0.06 ) 0.06
)=
$ 737.59
!ompar !omparand ando o los resultad resultados os de las dos formas formas en ue se resol+ resol+ier ieron on los pro'lemas, nos damos cuenta de ue el resultado es el mismo E6emplo 2 !ul es el +alor presente de una renta 'imestral de C,000 depositada al final de cada una de siete 'imestres, si la tasa de interés es del D% 'imestralU 9olución/ !apital Z ! Z U enta Z Z C,000 Tasa Z i Z D% 'imestral Tiempo Z n Z 7 'imestres Z 1 meses &ec.a &ocal 000
000
000
000
000
000
000
$eses
#a fórmula para el clculo del capital o +alor presente ya sustituido para este e6emplo seria de la si5uiente forma/
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "%
Matemaá Matemaá ticas Financieras C = "
(
−n
1− ( 1 + i )
)= ( 4,000
i
−7
1−( 1 + 0.05 ) 0.05
)
esol+emos la fórmula ya sustituida y le damos solución, lo cual uedaría de la si5uiente forma/ C =4,000
(
1 −( 0.71068133 ) 0.05
)
= 4,000
(
0.28931867 0.05
)=
4,000 ( 5.7863734 )
C =$ 23,145.49
E6emplo H Encuentre el importe pa5ado en +alor actual por una pantalla de B0 pul5adas, por el cual se entre5ó un en5anc.e de C,000, se .icieron pa5os mensuales por C00 y un :ltimo pa5o al final del decimo mes por C1,200 si se considera un interés del H0% anual capitali(a'le mensualmente 9olución/ El importe de la pantalla es i5ual a/ a El en5 en5an anc. c.e e de C,0 C,000 00 Y ' El +alor +alor presente presente de de la anualid anualidad ad con con renta renta de C00 C00 Y c El +alor +alor prese presente nte del del pa5o pa5o final final de C1,20 C1,200 0 V se considerara una tasa de interés del H0% anual Z 0H012 Z 002D 01%2/ En este e6ercicio, el +alor presente del pa5o final no es una anualidad ya ue es una cantidad diferente a ellas ( $ 900 # $ 1,200 ) , por lo tanto, para
poder calcular el +alor presente de este :ltimo pa5o lo aremos con ayuda del interés compuesto
000
00 00 00 00 00 00 00 00 00 1200
$eses ^
&ec.a &ocal
( (
C =( 4,000 )+ 900
−9
1 −( 1+ 0.025 ) 0.025
))+(
1,200 ( 1 + 0.025 )
−10
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
)
Paá gi gina "&
Matemaá Matemaá ticas Financieras C =4,000 + 900 (7.970865529 ) + ¿ 1,200-07F11F014 C =4,000 +7,173.77 + ¿ H7HF0F21 C =$ 12,111.20
Calculo de la renta @ ( B para las anualidades'
Es muy importante sa'er cómo podemos calcular el +alor de una renta con respecto a un Nmonto o de un capitalO determinado, ya ue, no siempre podremos contar con el +alor de este dato, y por tal ra(ón, de'emos ser capa capase sess de calc calcul ular ar su +alo +alorr con con los los dato datoss ue ue si ten5 ten5am amos os en al5: al5:n n determinado e6emplo, como se +er a continuación/ E6emplo 1 !ul ser la cantidad ue se deposita cada fin de mes -renta 4 durante a?os a?os para para acum acumul ular ar C11, C11,D0 D00, 0, si la tasa tasa ue ue se pa5a pa5a es del del H2% H2% anua anuall con+erti'le mensualmenteU 9olución/ El caso nos da unos datos ue acomodamos de la si5uiente forma/ $onto Z $ Z C11,D00 Tasa Z i Z H2% anual Z 0H212 Z 002BBB Tiempo Z n Z a?os Z F meses enta Z Z U 8otamos ue el caso nos proporciona los datos de monto, tasa de interés y el tiempo, el dato faltante es el de la renta, por lo tanto 'uscamos una formula dond donde e poda podamo moss apli aplica carr esto estoss dato datoss y esa esa fórm fórmul ula a sería ería la si5u si5uie ient nte/ e/ M = "
( 1 + i)n −1 i
Tomamos omamos la fórmul fórmula a del monto monto para para anuali anualidad dad y tan solo despe despe6am 6amos os la incó5nita de la renta, ue a estas alturas ya no de'eríamos de tener nin5:n pro'lema con eso, pero +amos a resol+erlo paso a paso para +er como uedaría/ *espe6ando / M = "
( 1 + i)n −1 i
n
Mi= " ( 1 + i ) − 1
Mi
( 1 + i ) n− 1
= "
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina "'
Matemaá Matemaá ticas Financieras Por lo tanto, nuestra fórmula para calcular la renta cuando ten5amos monto uedara de la si5uiente forma/ "=
Mi
( 1 + i ) n− 1
01%2/ Esta fórmula solo se usara cuando ten5amos el monto y nos estén
pidiendo el +alor de la renta, para cuando se use el capital ser otra fórmula ue +eremos ms adelante 9ust 9ustititui uimo moss los los dato datoss del del e6em e6empl plo o en la nue+ nue+a a fórm fórmul ula a ue ue tene tenemo moss y resol+emos el caso como se +e a continuación/ 11,500 ( 0.0266 ) 305.9 305.9 = = = $ 121.11 "= ( 1 + 0.0266 ) 48−1 3.5258 −1 2.5258 9e necesita depositar C12111 cada fin de mes durante a?os para acumular C11, C11,D0 D00, 0, cons consid ider eran ando do una una tasa tasa de inte interé réss del del H2% H2% anua anuall con+ con+er ertiti'l 'le e mensualmente E6emplo 2
conocemos el +alor del monto, pero si conocemos el +alor del capital, por lo tanto, usaremos esta fórmula y despe6aremos Esta es la fórmula del capital para anualidades, y esta ser la fórmula ue despe6aremos para usar en este e6emplo, y uedara de la si5uiente forma/ C = "
1− (1 + i )
i
−n
Ci = " ( 1 −( 1+ i )
−n
) " =
Ci −n
1 −( 1+ i )
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #(
Matemaá Matemaá ticas Financieras
6,250 ( 0.0308 ) −16
1−( 1 + 0.0308 )
=
195.5 1−0.6155
=
195.5 0.3845
= $ 508.45
#a cantidad ue se de'e a'onar mensualmente ser de CD0FD para pa5ar ese artículo al ca'o de 1B meses considerando una tasa del H7% anual con+erti'le mensualmente
Casos a resolver
E6ercicio 1 @allar el monto y el +alor presente de las si5uientes anualidades ordinarias/ a4 C1D0 C1D00 0 mens mensua uale less dura durant nte e B a?os a?os H mese mesess al B% anua anuall con+ con+er erti' ti'le le mensualmente '4 CD00 CD000 0 trime trimest stra rale less dura durant nte e F a?os a?os mese mesess al B% anua anuall con+ con+er ertiti'l 'le e trimestralmente E6ercicio 2
Paá gi gina #1
Matemaá Matemaá ticas Financieras pa5o de C1D0,000 un mes después de pa5ada la :ltima mensualidad, !ul sería su +alor presenteU Para el clculo, utili(ar el 1D% anual con capitali(ación mensual E6ercicio 7
Paá gi gina #
Matemaá Matemaá ticas Financieras E6ercicio 1D !ul es el precio de contado de una sala, si ésta se pa5a con 17 a'onos mensuales de CD0 a una tasa de interés del HFF2% anual capitali(a'le mensualmenteU E6ercicio 1B 9i usted uiere comprar un artículo ue tiene un costo de compra a contado de C2,H00 ó .a crédito, pa5ndolo en 17 a'onos mensuales de C1F0, si la tasa del merc mercad ado o es del del 2F% 2F% anua anuall capi capita talili(a (a'l 'le e mens mensua ualm lmen ente te,, !u !ull opci opción ón esco5ería y por uéU
"8<"#I*"*E9 !;8 ="*IE8TE ="*IE8TE
En opinión del $aestro #ucas Edel Palasuelos/ este tema no es de rele+ancia, como no sea un mero e6ercicio de matemticas, ya ue en la economía o en los ne5ocios no existen comportamientos lineales, solo en lo teórico En opinión de la $aestra =ullermina/ Este tema ya no se imparte de'ido a ue fue rele5ado por el interés compuesto En opinión del $aestro Patricio $oreno Ja(ueta/ Este tema no esta en el plan de estudios de la <"9, < de ;, TE! de !uliacn, TE! de $onterrey, etc, de'ido a lo poco :til ue es en el m'ito la'oral, si se decide ense?ar este tema, se tiene ue .acer la aclaración ue es solo para fines teóricos y ue es muy poco pro'a'le ue se +ea en la practica
Kué es un 5radienteU
9e le denomina 5radiente a la intensidad de aumento o disminución de una ma5nitud +aria'le, y a la cur+a ue lo representa " 5randes ras5os, podemos decir ue es una pendiente El 5radiente de una función es un +ector perpendicular a la .ipersuperficie y, por lo tanto, representa la dirección en la ue la .ipersuperficie +aria ms rpidamente
Para Para ser cons consid ider erad ado o 5rad 5radie ient nte, e, de'e de'e de cump cumplilirr con con las las si5u si5uie ient ntes es condiciones/
#os pa5os cumplen con una le de formación formación #os pa5os se efect:an a i5uales inter+alos de tiempo Todos los pa5os se calculan a la misma tasa de interés
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #!
Matemaá Matemaá ticas Financieras
El n:mero de pa5os es i5ual al n:mero de periodos
Kué es la ley de formaciónU
#a ley de formación es un ré5imen determinado para un 5radiente, y estos pueden ser, =radiente #ineal o "ritmético y =radiente =eométrico
!ul es la diferencia entre "nualidades y los =radientesU
9i en un determinado pro'lema estamos anali(ando cuestiones monetarias -dinero4, entonces, estaremos .aciendo uso de 5radientes aritméticos y estos pueden ser, crecientes o decrecientes 9in em'ar5o, si en un determinado pro'lema lo ue se anali(a son cuestiones de porcenta6e, entonces usaremos 5radientes 5eométricos, de la misma forma, crecientes o decrecientes =radiente lineal o aritmético 9e produce un incremento lineal en los pa5os de cada periodo Este 5radiente est est comp compue uest sto o por por dos dos fact factor ores es[[ el prim primer ero o es el 5rad 5radie ient nte e unif unifor orme me,, representado con la letra N5O, la cual es la cantidad de dinero en montos i5uales, ue +arían en NnO periodos de tiempo 9olo como dato, el primer 5radiente aparecer al finali(ar el se5undo periodo En otras pala'ras, el primer 5radiente aparece dos periodos después del +alor presente NpO El se5undo factor es la 'ase de la serie, y es representada por la letra NMO, ue es i5ual al monto del periodo uno y se mantendr constante en los NnO periodos de tiempo #o anterior mencionado se aprecia 5rficamente de la si5uiente forma/
-n145 H5 25 15 M Periodo 1
Periodo 2
Periodo H
Periodo
Periodo NnO
P Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #"
Matemaá Matemaá ticas Financieras &órmula para calcular el +alor presente en un =radiente "ritmético o #ineal n
i +i ¿ n 1 + i ¿ −1
¿ ( ¿ i ( 1 + i )n − n n ¿ ) ( 1 +i ) ¿ % i ( ¿ ¿) ¿ i
n
( 1+ i ) −1 ¿ &= ' ¿ *onde/ P Z +alor presente M Z'ase de la serie i Z tasa de interés 5 Z 5radiente uniforme n Z n:mero de periodos #a formula est compuesta en dos fases
#a primera es para .allar el +alor presente de una anualidad V la se5unda parte nos ser+ir para .allar el 5radiente
01%2/ estas dos partes mencionadas estn separadas por un si5no de Nmas,
menosO, esto es para +er si el 5radiente es NcrecienteO se usara con si5no positi+o, pero, si el 5radiente es decreciente se usara con si5no Nne5ati+oO 9e considera un 5radiente aritmético creciente cuando se ti ene una cantidad de NnO NnO pa5o pa5oss dond donde e cada cada pa5o pa5o es i5ua i5uall al pa5o pa5o inme inmedi diat atam amen ente te ante anteri rior or aumentando en una cantidad positi+a y con una tasa de interés porcentual por periodo 9e considera un 5radiente aritmético decreciente cuando se tiene una serie de pa5os pa5os periód periódico icos, s, en donde donde cada cada pa5o pa5o es i5ual i5ual al del period periodo o inmedi inmediato ato anterior y disminuido en la misma cantidad de dinero E6emplo 1 !alcule el +alor presente de los si5uientes pa5os mensuales ue reali(o una determinada empresa a una tasa de interés del H% mensual
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina ##
Matemaá Matemaá ticas Financieras 2 9o 4 . 5 6 7
C100,000 C1D0,000 C200,000 C2D0,000 CH00,000 CHD0,000
*e esta ta'la de información podemos sacar los si5uientes +alores/ ZC100,000 5 Z C D0,000 i Z H% nZB P Z U
9e puede apreciar ue es un 5radiente creciente, entonces sustituimos los +alores en la formula antes mencionada, y nos uedara de la si5uiente forma/
(
)
(
(1 + 0.03 )6−1 50,000 ( 1 +0.03 )6−1 6 + − &=100,00 6 6 0.003 0.03 (1 + 0.03 ) 0.03 ( 1 + 0.03 ) ( 1 + 0.03 )6 &=541,719.14 + 653,809.77=1,195,528.91
)
Existen di+ersos tipos de 5radientes aritméticos como los ue se presentan a continuación/
Tipos de =radientes "ritméticos
)encido/ la fec.a de pa5o se reali(a r eali(a al final del periodo de tiempo "nticipado/ la fec.a de pa5o se reali(a al comien(o del periodo de tiempo *iferido/ es auel ue se empie(a a pa5ar después de un periodo de 5racia Infinito/ su duración es perpetua, NnO tiende a infinito 9u aplicación ms importante est en el clculo del costo del capital
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #$
Matemaá Matemaá ticas Financieras
Recopilado y Elaborado por: L.A.E. Patricio Moreno Zazueta
Paá gi gina #%
