˘ NUMERICA ˘ ANALIZA Note de curs pentru anul III Informatica˘ de
lector dr. Daniel Sta˘nica˘ (email:
[email protected])
1
Analiza numerica˘ (sau calculul numeric) studiaza˘ tehnici de aproximare pentru rezolvarea problemelor matematice, luând în considerare ¸si evaluarea posibilelor erori. Aceste tehnici de aproximare sunt transpuse în algoritmi implementa¸ti în computer prin intermediul unor diverse limbaje de programare (MATLAB, C++, JAVA, etc.), ¸tinându-se cont de puterea de calcul ¸si acuarte¸tea rezultatelor specifice calculatoarelor sau a limbajelor de programare. Cursul va cuprinde urma˘toarele capitole: • Metode pentru aproximarea solu¸tiilor ecua¸tiilor neliniare unidimensionale • Metode pentru rezolvarea sau aproximarea solu¸tiilor sistemelor de ecua¸tii liniare • Metode pentru aproximarea valorilor proprii ale unei matrice • Metode pentru aproximarea solu¸tiilor sistemelor de ecua¸tii neliniare • Aproximarea func¸tiilor reale prin interpolare polinomiala˘ • Construc¸tia curbelor de regresie • Derivare numerica˘ • Integrare numerica˘: formule de cuadratura˘ • Metode pentru aproximarea solu¸tiilor ecua¸tiilor diferen¸tiale
Bibliografie pentru lucra˘rile de laborator:
˘ NUIuliana Paraschiv-Munteanu, Daniel Sta˘nica˘ - ANALIZA ˘ (Exerci¸tii ¸si teme de laborator), Editura Universita˘¸tii MERICA din Bucure¸sti, 2006.
2
Fenomenul de instabilitate manifestat în diverse procese matematice este important de studiat, dat fiind limita˘rile tehnicii de calcul sau ale ma˘sura˘torilor de unde provin datele de calcul. Urma˘torul exemplu scoate în eviden¸ta˘ existen¸ta unui astfel de fenomen ¸si motiva¸tia studiului sa˘u. Fie sistemul de ecua¸tii Ax = b, unde 32 10 7 8 7 23 7 5 6 5 A= b= 33 8 6 10 9 31 7 5 9 10 Considera˘m sistemul perturbat 10 7 A= 8 7 Acesta are solu¸tia
9, 2 −12, 6 x + δx = 4, 5 −1, 1
1 1 x= 1 1
cu solu¸tia
A(x + δx) = b + δb, unde 7 8 7 32, 1 22, 9 5 6 5 b + δb = 33, 1 6 10 9 30, 9 5 9 10
Considera˘m ¸si sistemul perturbat (A + ∆A)(x + ∆x) = b unde 7 8, 1 7, 2 10 7, 08 5, 04 6 5 A + ∆A = b= 8 5, 98 9, 89 9 6, 99 4, 99 9 9, 98
3
(1)
32 23 33 31
Acesta are solu¸tia
−81 137 x + ∆x = −34 22
(2)
Sistemul (1) difera˘ de cel ini¸tial printr-o ”mica˘” varia¸tie a coloanei termenilor liberi, iar sistemul (2)
printr-o ”mica˘” varia¸tie a elementelor matricei. Dupa˘ cum se observa˘,
aceste ”mici” varia¸tii antreneaza˘ dupa˘ sine varia¸tii ”mari” ale solu¸tiei ini¸tiale.
4
Metode numerice pentru ecua¸tii neliniare În general, modelele matematice asociate fenomenelor fizice sau de alta˘ natura˘ conduc la ecua¸tii de forma f (x) = 0 Ne propunem sa˘ ga˘sim aproxima¸tii ale solu¸tiei ecua¸tiei anterioare, în cazul în care f este o func¸tie reala˘ neliniara˘.
Metoda bisec¸tiei Aceasta˘ metoda˘ consta˘ în înjuma˘ta˘¸tirea intervalului în care se afla˘ solu¸tia unei ecua¸tii. Fie a < b ∈ R ¸si f : [a, b] → R o func¸tie continua˘ cu f (a) · f(b) < 0. Atunci exista˘ z ∈ [a, b] astfel încât f (z) = 0. Definim ¸sirurile (an )n≥0 , (bn )n≥0 , (cn )n≥0 astfel: • a0 := a, b0 := b, c0 := (a + b)/2; • Pentru n ≥ 1
— daca˘ f (cn−1 ) = 0, atunci
a := an−1 n
bn := bn−1
cn := cn−1 an := an−1 — daca˘ f (an−1 ) · f (cn−1 ) < 0, atunci bn := cn−1 cn := (an + bn )/2
1
— daca˘ f (an−1 ) · f (cn−1 ) > 0, atunci
an := cn−1 bn := bn−1 cn := (an + bn )/2
Teorema -1.1 Presupunem ca˘ func¸tia f are o singura ˘ ra˘da ˘cina ˘ în [a, b]. Atunci s¸irul (cn )n≥0 construit mai sus converge la unica solu¸tie z ∈ [a, b] a ecua¸tiei f(x) = 0 s¸i |cn − z| ≤
b−a 2n
Itera¸tiile construite prin metoda bisec¸tiei se opresc la pasul m pentru care |f(cm )| < ε sau, pentru o mai mare acurate¸te, la pasul m pentru care |f (cm )| < ε ¸si |cm − cm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare. Exemplul -1.1 Sa˘ se aproximeze, folosind metoda bisec¸tiei, solu¸tia ecua¸tiei x3 +4x2 − 10 = 0 (con¸tinuta˘ în intervalul [−1, 2]) cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 . Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 9 ¸si are valoarea c10 = 1.36132812500000. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 se ob¸tine la pasul m = 35 ¸si are valoarea c37 = 1.36523001347086.
Regula falsi "Regula falsi" este tot o metoda de "micsorare" a intervalului in care se afla solutia unei ecuatii. Fie a < b ∈ R ¸si f : [a, b] → R o func¸tie continua˘ cu f (a) · f(b) < 0. Atunci exista˘ z ∈ [a, b] astfel încât f (z) = 0. Definim ¸sirurile (an )n≥0 , (bn )n≥0 , (cn )n≥0 astfel: 2
• a0 := a, b0 := b, c0 := (a0 f (b0 ) − b0 f(a0 ))/(f (b0 ) − f(a0 ); • Pentru n ≥ 1
— daca˘ f (cn−1 ) = 0, atunci
an := an−1
bn := bn−1
cn := cn−1 an := an−1 — daca˘ f (an−1 )·f (cn−1 ) < 0, atunci bn := cn−1 cn := (an f (bn ) − bn f (an ))/(f(bn ) − f (an ) an := cn−1 — daca˘ f (an−1 )·f (cn−1 ) > 0, atunci bn := bn−1 cn := (an f (bn ) − bn f (an ))/(f(bn ) − f (an ) Itera¸tiile construite prin regula falsi se opresc la pasul m pentru care |f(cm )| < ε sau, pentru o mai mare acurate¸te, la pasul m pentru care |f (cm )| < ε ¸si |cm − cm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare. Teorema -1.2 Presupunem ca˘ func¸tia f are o singura ˘ ra˘da ˘cina ˘ în [a, b]. Atunci s¸irul (cn )n≥0 construit mai sus converge la unica solu¸tie z ∈ [a, b] a ecua¸tiei f(x) = 0.
Exemplul -1.2 Sa˘ se aproximeze, folosind regula falsi, solu¸tia ecua¸tiei x3 +4x2 −10 = 0 (con¸tinuta ˘ în intervalul [−1, 2]) cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 .
3
Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 8 ¸si are valoarea c7 = 1.36506360624662. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 se ob¸tine la pasul m = 21 ¸si are valoarea c21 = 1.36523001341145.
Metoda coardei Fie [a, b] ⊂ R ¸si f : [a, b] → R o func¸tie. Definim recurent ¸sirul (xn )n astfel: x0 := a, x1 := b ¸si xn+1 :=
x0 f(xn ) − xn f(x0 ) , ∀n∈N f (xn ) − f (x0 )
Teorema -1.3 Presupunem ca˘ f este de doua ˘ ori derivabila ˘ pe [a, b] s¸i a) f ”(x) = 0, ∀ x ∈ (a,b) b) f (a) · f ”(a) > 0 c) f (a) · f (b) < 0 Atunci ecua¸tia f(x) = 0, are o solu¸tie unica˘ z ∈ [a, b], iar s¸irul (xn )n converge la z. Itera¸tiile construite prin metoda coardei se opresc la pasul m pentru care |f (xm )| < ε sau, pentru o mai mare acurate¸te, la pasul m pentru care |f (xm )| < ε ¸si |xm − xm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare. Exemplul -1.3 Sa˘ se aproximeze, folosind metoda coardei, solu¸tia ecua¸tiei x3 −x+3 = 0 (con¸tinuta ˘ în intervalul [−3, 0]) cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 . 4
Se verifica˘ ipotezele teoremei anterioare. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 10 ¸si are valoarea x15 = −1.66063905970749. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 se ob¸tine la pasul m = 40 ¸si are valoarea x40 = −1.67169988158683.
Metoda secantei Fie [a, b] ⊂ R ¸si f : [a, b] → R o func¸tie. Definim recurent ¸sirul (xn )n astfel: x0 , x1 ∈ [a, b] ¸si xn+1 :=
xn−1 f(xn ) − xn f(xn−1 ) , ∀n∈N f (xn ) − f (xn−1 )
Teorema -1.4 Presupunem ca˘ f este derivabila˘ pe [a, b] s¸i a) f ’(x) = 0, ∀ x ∈ [a,b] b) s¸irul (xn )n are toate valorile în intervalul [a, b] c) f (a) · f (b) < 0 Atunci ecua¸tia f(x) = 0, are o solu¸tie unica˘ z ∈ [a, b], iar s¸irul (xn )n converge la z. Itera¸tiile construite prin metoda secantei se opresc la pasul m pentru care |f (xm )| < ε sau, pentru o mai mare acurate¸te, la pasul m pentru care |f (xm )| < ε ¸si |xm − xm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare. 5
Exemplul -1.4 Sa˘ se aproximeze, folosind metoda secantei, solu¸tia ecua¸tiei x3 − x + 3 = 0 (con¸tinuta ˘ în intervalul [−15, 15], luând x0 = 1, x1 = 2) cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 . Se verifica˘ ipotezele teoremei anterioare. Punctul b) se verifica˘ la fiecare pas. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 23 ¸si are valoarea x23 = −1.67109143768403. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 (chiar ε = 10−13 ) se ob¸tine la pasul m = 26 ¸si are valoarea x26 = −1.67169988165715
Metoda lui Newton Fie [a, b] ⊂ R ¸si f : [a, b] → R o func¸tie. Teorema -1.5 Presupunem ca ˘ f este de doua˘ ori derivabila ˘ pe [a, b], ca ˘ f’, f ” nu se anuleaza˘ pe [a, b] s¸i f(a) · f (b) < 0. Fie x0 ∈ [a, b] astfel încât f (x0 ) · f ”(x0 ) > 0 s¸i xn+1 := xn −
f(xn ) , ∀n∈N f’(xn )
Atunci ecua¸tia f(x) = 0, are o solu¸tie unica˘ z ∈ [a, b], iar s¸irul (xn )n converge la z. Propozi¸tia -1.1 Este adeva ˘rata ˘ urma˘toarea formula ˘ de evaluare a erorii: |xn − z| ≤
|f (xn )| ,∀n∈N min |f’(x)|
x∈[a,b]
Itera¸tiile construite prin metoda Newton se opresc la pasul m pentru care |f (xm )| < ε 6
sau, pentru o mai mare acurate¸te, la pasul m pentru care |f (xm )| < ε ¸si |xm − xm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare (se poate folosi si evaluarea data de propozitia anterioara). Exemplul -1.5 Sa˘ se aproximeze, folosind metoda secantei, solu¸tia ecua¸tiei x3 − x + 3 = 0 (con¸tinuta˘ în intervalul [−2, −1], luând x0 = −1) cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 . Se verifica˘ ipotezele teoremei anterioare. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 5 ¸si are valoarea x5 = −1.67170038194364. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 (chiar ε = 10−11 ) se ob¸tine la pasul m = 7 ¸si are valoarea x7 = −1.67169988165716.
Principiul contrac¸tiei Fie I ⊂ R un interval ¸si f : I → R o func¸tie. f se nume¸ste contrac¸tie daca˘ ¸si numai daca˘: a) exista˘ q ∈ (0, 1) astfel încât |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| , pentru orice x, y ∈ I b) f (I) ⊂ I Propozi¸tia -1.2 Fie f : [a, b] → R o func¸tie derivabila˘. a) Daca˘ exista˘ q ∈ (0, 1) astfel încât |f (x)| ≤ q, pentru orice x ∈ [a, b], atunci |f (x) − f(y)| ≤ q |x − y| , pentru orice x, y ∈ [a, b]. a+b b) Daca˘ |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| ¸si f a+b − 2 ≤ (1−q)· b−a , atunci f ([a, b]) ⊂ 2 2
[a, b].
7
Teorema -1.6 Fie f : I → R o contrac¸tie s¸i x0 ∈ I. Definim s¸irul (xn )n prin rela¸tia de recuren¸ta ˘ xn+1 := f(xn ), ∀ n ∈ N Atunci ecua¸tia f(x) = x are o solu¸tie unica˘ z ∈ [a, b] , iar s¸irul (xn )n converge la z, cu urma˘toarea formula˘ de evaluare a erorii: |xn − z| ≤
qn q |xn − xn−1 | ≤ |x1 − x0 | , ∀ n ∈ N. 1−q 1−q
Itera¸tiile construite prin metoda coardei se opresc la pasul m pentru care q |xm − xm−1 | < ε 1−q sau la pasul m pentru care |f (xm ) − xm | < ε ¸si |xm − xm−1 | < ε, unde ε este eroarea de aproximare. Exemplul -1.6 Sa˘ se aproximeze, folosind principiul contrac¸tiei, solu¸tia ecua¸tiei x=
8 x+2
con¸tinuta˘ în intervalul [1, 4], luând x0 = 4,cu eroarile ε1 = 0.01, ε2 = 10−10 . Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε1 = 0.01 se ob¸tine la pasul m = 9 ¸si are valoarea x9 = 1.99707174231332. Solu¸tia ecua¸tiei, aproximata˘ cu eroarea ε = 10−10 se ob¸tine la pasul m = 36 ¸si are valoarea x36 = 2.00000000002183.
8
Metode pentru rezolvarea sau aproximarea solu¸tiilor sistemelor de ecua¸tii liniare Norme de vectori ¸si norme de matrici Fie m ∈ N ∗ . Pe spa¸tiul Rm se considera˘ normele vectoriale uzuale · 1 , · 2 ¸si · ∞ definite prin x1 =
m i=1
|xi | ;
m x2 = |xi |2 ; i=1
x∞ = max |xi | , ∀ x = (xi )1≤i≤m ∈ Rm . 1≤i≤m
Fie Mm (R) spa¸tiul matricelor cu m linii ¸si m coloane cu elemente din R. Pe Mm (R) se pot considera norme definite ca norme de operator liniar Aαβ := sup Axβ , ∀ A ∈ Mm (R) xα ≤1
unde · α ¸si · β sunt norme pe Rm . În cazul în care α = β nota˘m Aα := Aαα ¸si o numim norma α a matricei A (subordonata˘ normei vectoriale · α ). Propozi¸tia -1.1 Fie A = (aij )1≤i,j≤m ∈ Mm (R). Atunci A1 = max
1≤j≤m
Propozi¸tia -1.2 Fie A = (aij )1≤i,j≤m ∈ Mm (R). Atunci A∞ = max
m
1≤i≤m
Propozi¸tia -1.3 Fie A ∈ Mm (R). Atunci A2 = cea mai mare valoare proprie a matricei At A. Exemplul -1.1 Fie
|aij |.
m j=1
|aij |.
ρ(At A), unde ρ(At A) reprezinta ˘
1 −2 3 A = 4 −5 6 7 −8 9 1
i=1
Atunci A1 = max
1≤j≤3
3
|aij | =
3
|aij | =
i=1
= max (|1| + |4| + |7| , |−2| + |−5| + |−8| , |3| + |6| + |9|) = max (12, 15, 18) = 18 s¸i A∞ = max
1≤i≤3
j=1
= max (|1| + |−2| + |3| , |4| + |−5| + |6| , |7| + |−8| + |9|) = max (6, 15, 24) = 24.
Condi¸tionarea unui sistem de ecua¸tii liniare Fenomenul de instabilitate manifestat în diverse procese matematice este important de studiat , dat fiind limita˘rile tehnicii de calcul sau ale ma˘sura˘torilor de unde provin datele de calcul. Un exemplu cum este cel care urmeaza˘ scoate în eviden¸ta˘ existen¸ta unui astfel de fenomen ¸si motiva¸tia studiului sa˘u. Exemplul -1.2 Fie sistemul de ecua¸tii Ax = b unde 32 10 7 8 7 23 7 5 6 5 cu solu¸tia b= A= 33 8 6 10 9 7 5 9 10 31 Considera ˘m sistemul perturbat 10 7 A= 8 7
A(x + δx) = b + δb unde 7 8 7 5 6 5 b + δb = 6 10 9 5 9 10
2
1 1 x= 1 1
32, 1 22, 9 33, 1 30, 9
9, 2 −12, 6 cu solu¸tia x + δx = 4, 5 −1, 1
Considera ˘m s¸i sistemul perturbat (A + ∆A)(x + ∆x) = b unde 7 8, 1 7, 2 10 7, 08 5, 04 6 5 A + ∆A = b= 8 5, 98 9, 89 9 6, 99 4, 99 9 9, 98 −81 137 cu solu¸tia x + ∆x = −34 22
(1)
32 23 33 30
(2)
Sistemul (1) difera˘ de cel ini¸tial printr-o ”mica˘” varia¸tie a coloanei termenilor liberi,
iar sistemul (2) printr-o ”mica˘” varia¸tie a elementelor matricei. Dupa˘ cum se observa˘ aceste ”mici” varia¸tii antreneaza˘ dupa˘ sine varia¸tii ”mari” ale solu¸tiei ini¸tiale. Exemplul -1.3 Daca ˘ considera˘m sistemul perturbat (A +∆A)(x + ∆x) = b + ∆b unde 7 8, 1 7, 2 10 32, 1 22, 9 7, 08 5, 04 6 5 A + ∆A = b + ∆b = 8 5, 98 9, 89 9 33, 1 6, 99 4, 99 9 9, 98 30, 9 332, 90 −550, 49 atunci acesta are solu¸tia x + ∆x = (3) 143, 88 −84, 58 3
În lega˘tura˘ cu aceasta˘ problema˘ de stabilitate a sistemelor de ecua¸tii liniare sunt cunoscute urma˘toarele rezultate: Defini¸tia -1.1 Fie A o matrice nesingulara˘ s¸i o norma ˘ a matricei A. Numa˘rul cond(A) := A · A−1 se nume¸ste indice de condi¸tionare al matricei A relativ la norma . Propozi¸tia -1.4 Fie sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b s¸i sistemul perturbat A(x + δx) = b + δb. Presupunem b = 0. Atunci δb δx ≤ cond(A) · . x b
(4)
s¸i δx 1 δb ≥ · x cond(A) b
În plus exista ˘ b = 0 s¸i δb = 0 astfel încât inegalitatea (4) sa ˘ devina ˘ egalitate. Propozi¸tia -1.5 Fie sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b s¸i sistemul perturbat (A + ∆A)(x + ∆x) = b. Atunci ∆A ∆x ≤ cond(A) · . x + ∆x A
(5)
În plus exista ˘ b = 0 s¸i ∆A = 0 astfel încât inegalitatea (5) sa ˘ devina ˘ egalitate. Propozi¸tia -1.6 Fie sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b s¸i sistemul perturbat (A + ∆A)(x + ∆x) = b + ∆b. Daca˘ A−1 ∆A < 1, atunci
∆x cond(A) ∆b ∆A ≤ · + x 1 − A−1 ∆A b A Exemplul -1.4 Vom considera cazul sistemului (1) s¸i vom lucra cu norma infinit. Avem: δx∞ = x + δx − x∞ = 13, 6 4
x∞ = 1. Atunci
A−1
δx∞ = x∞ 25 −41 = 10 −6
A∞ Rezulta˘ ca˘
Avem
13, 6 = 13, 6 1 −41
10
−6 68 −17 10 −17 5 −3 10 −3 2 = 33, A−1 ∞ = 136.
cond(A) := A∞ · A−1 ∞ = 33 · 136 = 4488 δb∞ = b + δb − b∞ = 0, 1.
b∞ = 33.. Atunci
¸si
0, 1 1 δb∞ = = b∞ 33 330 cond(A) ·
Deci
δb∞ 1 = 4488 · = 13, 6 b∞ 330
δb∞ δx∞ = cond(A) · x∞ b∞
5
Exemplul -1.5 Fie sistemul de ecua¸tii Ax = b 10 1 4 0 15 1 10 5 −1 15 A= b= 4 5 10 7 26 0 −1 7 9 15 Considera ˘m sistemul perturbat 10 1 A= 4 0
unde
cu solu¸tia
A(x + δx) = b + δb unde 1 4 0 10 5 −1 b + δb = 5 10 7 −1 7 9
1 1 x= 1 1
16 16 25 16
832 1324 cu solu¸tia x + δx = −2407 2021
Exemplul -1.6 Un alt exemplu de matrici cu un indice de condi¸tionare mare sunt matricele Hilbert (Hn ) de ordinul n, definite astfel: (n)
(n)
Hn = (hij )i,j=1,n cu hij =
1 , ∀ i, j = 1, n i+j−1
Metode directe
Metoda lui Gauss (cu pivotare par¸tiala˘) Se dau m ∈ N∗ ¸si A = (aij ) ∈ Mm,m+1 (R). Fie sistemul de ecua¸tii liniare a x + · · · + a1m xm = a1,m+1 11 1
...............
am1 x1 + · · · + amm xm = am,m+1 6
cu necunoscutele x1 , . . . , xm ∈ R. Metoda lui Gauss este folosita˘ atât pentru determinarea solu¸tiei sistemului, cât ¸si pentru calculul determinantului matricei sistemului.. Sistemul dat se transforma˘ în m − 1 etape astfel: Ini¸tial se considera˘ determinantul matricei sistemului det = 1 Pentru n între 1 ¸si m − 1 se efectueaza˘ urma˘toarele: • Se determina˘ max = |asn | = max |ain | (s ∈ n, m reprezinta˘ pozi¸tia pe care s-a n≤i≤m
ga˘sit maximul). • Se ia piv = asn (elementul asn se nume¸ste pivot). • Daca˘ piv = 0, atunci metoda nu se aplica˘. • det = det · piv. • Daca˘ s = n, atunci det = (−1) · det ¸si se permuta˘ ecua¸tia s cu ecua¸tia n. • Coeficien¸tii ecua¸tiei n se împart la piv. • Pentru ∀i ∈ n + 1, m se elimina˘ xn din ecua¸tia i astfel: aij = aij − ain · anj , ∀ j ∈ m, n. Procedând astfel se ob¸tine un sistem de forma: m xi + aij xj = ai,m+1 , j=i+1
1 ≤i ≤m−1
amm xm = am,m+1
Determinantul matricei sistemului se calculeaza˘ astfel: det = det · amm . Daca˘ amm = 0, atuci metoda nu se aplica˘. Se rezolva˘ sistemul (6) astfel: • xm = am,m+1 /am,m ; 7
(6)
• xi = ai,m+1 −
m
j=i+1
aij xj , ∀ i ∈ m − 1, 1.
Exemplul -1.7 Fie sistemul de ecua¸tii liniare x + 12 y + 13 z = 1
1 x 2
+ 31 y + 41 z = 2
1 x 3
+ 41 y + 51 z = 3
Sa ˘ se calculeze determinantul matricei sistemului s¸i sa ˘ se rezolve sistemul cu metoda lui Gauss. Folosind transforma˘rile date de metoda lui Gauss, ob¸tinem urma˘torul sistem de ecua¸tii:
x + 12 y + 13 z =
1
y + z = 18 1 z 180
=
7 6
Calcula˘m determinantul matricei sistemului (tot cu algoritmul dat de metoda lui Gauss) det =
1 2160
¸si rezolva˘m sistemul anterior. Ob¸tinem z = 210, y = −192, x = 27.
Observa¸tie: Alegerea pivotului ca cel mai mare element de pe coloana˘ se face pentru a minimiza erorile care apar daca˘ pivotul are valori mici. Daca˘ considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare
x + 592y = 437
592x + 4308y = 2251
¸si daca˘ considera˘m ca˘ lucra˘m numai cu 4 cifre exacte, atunci prin alegerea pivotului elementul 1,prin metoda lui Gauss se ob¸tine solu¸tia x = −1, 6128, y = 0, 7409 iar prin alegera pivotului elementul 592, prin metoda lui Gauss se ob¸tine solu¸tia x = −1, 5891, y = 0, 7409 8
pe când solu¸tia exacta˘ a sistemului este x = −1.58889055801431, y = 0.74085961242908.
Metoda lui Gauss (cu pivotare totala˘) Se dau m ∈ N∗ ¸si A = (aij ) ∈ Mm,m+1 (R). Fie sistemul de ecua¸tii liniare a11 x1 + · · · + a1m xm = a1,m+1
...............
am1 x1 + · · · + amm xm = am,m+1
cu necunoscutele x1 , . . . , xm ∈ R. La metoda lui Gauss cu pivotare totala˘ ca˘utarea pivotului se face în toata˘ matricea ra˘masa˘ de transformat (reamintim ca˘, la pivotarea par¸tiala˘, pivotul se cauta˘ numai pe prima coloana˘ a matricei ra˘mase de transformat). Sistemul dat se transforma˘ în m − 1 etape astfel: Ini¸tial se considera˘ determinantul matricei sistemului det = 1 Pentru n între 1 ¸si m − 1 se efectueaza˘ urma˘toarele: • Se determina˘ max = |aps | = max |aij | (s, p ∈ n, m reprezinta˘ indicii de pozi¸tie n≤i,j≤m
ai maximului determinat). • Se ia piv = aps (elementul aps se nume¸ste pivot) • Daca˘ piv = 0, atunci metoda nu se aplica˘. • det = det · piv. • Daca˘ p = n sau s = n (dar nu p = s = n), atunci det = (−1) · det ¸si se permuta˘ coloana s cu coloana n (daca˘ p = n) sau linia p cu linia n (daca˘ s = n). Daca˘ p = n ¸si s = n se permuta˘ linia p cu linia n ¸si apoi coloana s cu coloana n. • Ecua¸tia n se împarte la piv. 9
• Pentru ∀i ∈ n + 1, m se elimina˘ xn din ecua¸tia i astfel: aij = aij − ain · anj , ∀ j ∈ m, n. Procedând astfel se ob¸tine un sistem de forma: m xi + aij xj = ai,m+1 , j=i+1
amm xm
1 ≤i ≤m−1
(7)
= am,m+1
Determinantul matricei sistemului se calculeaza˘ astfel: det = det · amm . Daca˘ amm = 0, atuci metoda nu se aplica˘. Se rezolva˘ sistemul (7) astfel: • xm = am,m+1 /am,m ; • xi = ai,m+1 −
m
j=i+1
aij xj , ∀ i ∈ m − 1, 1.
unde (x1 , . . . , xm ) este o permutare a solu¸tiei (x1 , . . . , xm ) sistemului ini¸tial (dupa˘ cum s-au permutat coloanele matricei ini¸tiale în procesul de transformare a sistemului). Exemplul -1.8 Folosind metoda lui Gauss cu pivotare totala˘, sa ˘ se rezolve sistemul de ecua¸tii liniare:
5x + y + 2z = 29
3x − y + z = 10
(8)
x + 2y + 4z = 31
Sa ˘ se calculeze s¸i determinantul matricei sistemului. Folosind transforma˘rile date de metoda lui Gauss cu pivotare totala˘, ob¸tinem ur-
10
ma˘torul sistem de ecua¸tii: 1 29 2 x+ z+ y = 5 5 5 1 z+ y = 7 2 3 − y = −6 2 Calcula˘m determinantul matricei sistemului (tot cu algoritmul dat de metoda lui Gauss) det = −27 ¸si rezolva˘m sistemul anterior. Ob¸tinem z = 5, y = 4, x = 3.
Metoda lui Gauss-Jordan de calcul a inversei unei matrice Se dau m ∈ N ∗ ¸si matricea
a . . . a1m 11 . .. .. A = .. . . am1 . . . amm
Metoda lui Gauss-Jordan este folosita˘ pentru determinarea inversei matricei A (daca˘ aceasta exista˘). Se considera˘ ansamblul matriceal compus din matricea A ¸si matricea unitate Im
a . . . a1m 11 .. .. .. . . . am1 . . . amm
0 .. . 0 ... 1 1 ... .. .. . .
Ansamblul anterior se transforma˘ (analog metodei Gauss - cu pivotare par¸tiala˘ sau totala˘) astfel: Pentru n între 1 ¸si m se efectueaza˘ urma˘toarele: • Se determina˘ pivotul piv ca la metoda lui Gauss de rezolvare a unui sistem de ecua¸tii liniare cu pivotare par¸tiala˘ (analog se poate descrie un algoritm folosind metoda lui Gauss cu pivotare totala˘). 11
• Daca˘ piv = 0, atunci metoda nu se aplica˘. • Daca˘ s = n, atunci se permuta˘ ecua¸tia s cu ecua¸tia n. • Ecua¸tia n se împarte la piv. • Pentru ∀ i ∈ n + 1, m se elimina˘ xn din ecua¸tia i astfel: aij = aij − ain · anj , ∀ j ∈ 2m, n. Procedând astfel se ob¸tine un ansamblu matricial de forma:
1 a12 . . . a1m 0 .. .
1 .. .
. . . a2m .. ... .
0
0
...
1
a1,m+1 a1,m+2 a2,m+1 a2,m+2 .. .. . . am,m+1 am,m+2
. . . a1,2m . . . a2,2m .. ... . . . . am,2m
(matricea din partea dreapta˘ are cel pu¸tin n(n − 1)/2 zerouri). Pentru n între m ¸si 2 se efectueaza˘ urma˘toarele:
• Pentru ∀ i ∈ n − 1, 1 se recalculeaza˘ elementele aij astfel: aij = aij − ain · anj , ∀ j ∈ 2m, n. Precedând astfel se ob¸tine un ansamblu matricial de forma:
Matricea
1 0 ... 0 0 .. .
1 ... .. . . . .
0 .. .
0 0 ... 1
B=
b11
b12
b21 .. .
b22 .. .
bm1 bm2
b11
b12
b21 .. .
b22 .. .
bm1 bm2 12
. . . b1m . . . b2m . .. ... . . . . bmm
. . . b1m . . . b2m . ... .. . . . bmm
are liniile matricei inverse A−1 modulo permutarea liniilor descrisa˘ în algoritm. Rezolvarea unui sistem de ecua¸tii liniare Ax = b este echivalenta˘, dupa˘ ce s-a calculat inversa matricei A, cu egalitatea x = A−1 b. Exemplul -1.9 Folosind metoda Gauss-Jordan sa ˘ se calculeze inversa matricei
Forma˘m ansamblul matriceal
A=
1
1 2
1 3
1 2
1 3
1 4
1 3
1 4
1 5
1
1 2
1 3
1 2
1 3
1 4
1 3
1 4
1 5
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Cu transforma˘rile din algoritm ob¸tinem: 1 21 13 1 0 0 0 1 1 −6 12 0 0 0 1 30 −180 180
iar, în final,
Deci
1 0 0 9 −36 30 0 1 0 −36 192 −180 0 0 1 30 −180 180
A
−1
9
−36
30
= −36 192 −180 30 −180 180
Factorizarea LU 13
Se nume¸ste factorizare LU a unei matrice A descompunerea matricei ca produs de doua˘ matrici, una inferior triunghiulara˘ (notata˘ L), alta superior triunghiulara˘ (notata˘ U ), adica˘ A = LU. Descompunerea, daca˘ este posibila˘, nu este unica˘. Teorema -1.1 Fie A = (aij )1≤i,j≤m o matrice astfel încât determinan¸tii "de col¸t" ∆k := det((aij )1≤i,j≤k ) sa ˘ fie nenuli, pentru orice k = 1, m. Atunci A se descompune unic sub forma A = LU cu L = (lij )1≤i,j≤m inferior triunghiulara ˘ s¸i U = (uij )1≤i,j≤m superior triunghiulara ˘ cu elementele diagole egale cu 1. Calculul elementelor matricelor L ¸si U se face dupa˘ formulele: li1 = ai1 , i = 1, m, u11 = 1, u1j =
a1j , j = 2, m. l11
(9)
iar, pentru k = 2, m,
lik = aik −
k−1
akj − lip upk , i = k, m, ukk = 1, ukj =
k−1
lkp upj
p=1
lkk
p=1
, j = k + 1, m. (10)
Fie un sistem de ecua¸tii liniare Ax = b, pentru care A admite factorizare LU. Atunci solu¸tia y a sistemului Ly = b se determina˘ astfel:
yi =
bi −
i−1
lik yk
k=1
∀i = 1, m
lii
Solu¸tia x a sistemului ini¸tial se determina˘ astfel: xi = yi −
m
uik xk
k=i+1
∀i = m, 1
Exemplul -1.10 Sa ˘ se factorizeze sub forma LU matricea 4 −2 0 2 −1 −1 2 3 A= 4 5 −2 −9 0 1 3 4 14
Se verifica˘ mai întâi ca˘ determinan¸tii de col¸t ai matricei A sunt nenuli. Cu formulele (9) ¸si (10) se ob¸tine: l11 = 2, l21 = −1, l31 = 4, l41 = 0 u11 = 1, u12 = 2, u13 = −1, u14 = 0 l22 = 1, l32 = −3, l42 = 1 u22 = 1, u23 = 1, u24 = 3 l33 = 5, l43 = 2 u33 = 1, u34 = 0 l44 = 1 u44 = 1 Deci
0 0 2 −1 1 0 L= 4 −3 5 0 1 2
0 0 , 0 1
1 2 −1 0 0 1 1 3 U = 0 0 1 0 0 0 0 1
Metoda ra˘da˘cinii pa˘trate (Cholesky) Defini¸tia -1.2 O matrice A = (aij )1≤i,j≤m se nume¸ste simetrica ˘ daca˘ A = At . Matricea A este pozitiv definita˘ daca ˘ determinan¸tii "de col¸t" ∆k := det((aij )1≤i,j≤k ) sunt strict pozitivi pentru orice k = 1, m. Teorema -1.2 Fie A simetrica˘ s¸i pozitiv definita ˘. Atunci A se descompune unic sub forma A = L · Lt cu L = (lij )1≤i,j≤m inferior triunghiulara˘.
15
Fie sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b, cu A = (aij ) ∈ Mm (R) simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘, iar b = (bi ) ∈ Rm . Descompunem A = L · Lt cu L = (lij ) ∈ Mn(R) matrice superior triunghiulara˘. Se determina˘ mai întâi y = (yi ) ∈ Rn solu¸tia sistemului de ecua¸tii Ly = b ¸si apoi solu¸tia x = (xi ) ∈ Rn a sistemului ini¸tial se determina˘ prin rezolvarea sistemului Lt x = y. Se calculeaza˘ elementele matricei L astfel:
ljj =
ajj −
j−1
k=1
2 ljk
¸si
lij =
aij −
j−1
lik ljk
k=1
ljj
,
∀i = j + 1, m, ∀j = 1, m (11)
Solu¸tia y a sistemului Ly = b se determina˘ astfel:
yi =
bi −
i−1
lik yk
k=1
∀i = 1, m
lii
(12)
Solu¸tia x a sistemului ini¸tial se determina˘ astfel:
xi =
yi −
m
lki xk
k=i+1
∀i = m, 1
lii
(13)
Daca˘ matricea A nu este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘, dar este inversabila˘, atunci sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b se transforma˘ în sistemul echivalent At Ax = At b, a ca˘rui matrice este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘. Exemplul -1.11 Folosind metoda ra ˘da˘cinii pa ˘trate, sa ˘ se rezolve sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b cu
4
2
2
A = 2 10 4 2 4 6
8
, b = 16 12
Se verifica˘ imediat ca˘ matricea A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘. Cu formulele (11) se ob¸tine l11 = 2, l12 = 1, l13 = 1 16
l22 = 3, l23 = 1 l33 = 2 Din (12) rezulta˘ ca˘ y1 = 4, y2 = 4, y3 = 2 iar din (13) rezulta˘ ca˘ x3 = 1, x2 = 1, x3 = 1.
Descompunerea QR Se considera˘ date m ∈ N∗ , A = (aij )i,j=1,m ∈ Mm (R) ¸si b = (bi )i=1,m ∈ Rm . Vom calcula solu¸tia x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm a sistemului Ax = b ¸si determinantul matricei sistemului folosind factorizarea QR. Factorizarea QR a matricei A însemna˘ descompunerea A = QR cu Q matrice ortogonala˘, adica˘ QQt = Qt Q = Im ¸si R matricea superior triunghiulara˘. m m Daca˘ nota˘m Q = (qij ) cu qik qjk = δ ij ¸si qki qkj = δ ij pentru i, j = 1, m ¸si k=1
k=1
R = (rij ) cu rij = 0 pentru 1 ≤ j < i ≤ m, atunci din identificarea A = QR se ob¸tin rela¸tiile urma˘toare:
r11 = a211 + · · · + a2m1 , a qi1 = i1 , r11
pentru i = 1, m
17
¸si pentru k = 2, m avem: m rjk = aik qij , pentru j = 1, k − 1 i=1 m k−1 2 2 rkk = aik − rik , i=1 i=1 k−1 1 aik − rjk qij , pentru i = 1, m . qik = r kk
(14)
j=1
Rezolvarea sistemului dupa˘ descompunerea matricei A în produs QR se face astfel: - rezolva˘m întâi sistemul Qy = b a ca˘rui solu¸tie este y = Qt b,
sau pe componente: yi =
m
qji bj ,
i = 1, m.
j=1
- apoi, rezolva˘m sistemul triunghiular Rx = y, ¸si ob¸tinem: ym , rmm m 1 xi = yi − rij xj rii j=i+1 xm =
(15) , i = m − 1, 1 .
Observa¸tie. Descompunerea QR nu exista˘ daca˘ exista˘ un k ∈ 1, m astfel încât rkk = 0 în (??) sau (??).
0 4 5 23 Exemplul -1.12 Pentru m = 3 , matricea A = −1 −2 −3 s¸i vectorul b = −14 , 0 0 1 3 rezolva¸ti sistemul Ax = b folosind o descompunere QR.
18
Folosind rela¸tiile de mai sus 0 Q = −1 0
iar pentru solu¸tie
ob¸tinem: 1 0 1 2 3 0 0 ¸si R = 0 4 5 0 1 0 0 1 0 −1 0
y=Qb= 1 0 t
iar din Rx = y rezulta˘:
23
,
14
0 0 −14 = 23 , 0 1 3 3
1
x= 2 . 3
Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecua¸tii liniare Metoda lui Jacobi Fie m ∈ N ∗ , A ∈ Mm (R), b ∈ Rm . Considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b. Nota˘m cu I matricea unitate din Mm (R) ¸si cu B := I − A. Sistemul de ecua¸tii Ax = b se transforma˘ echivalent astfel: Ax = b ⇐⇒ (I − B)x = b ⇐⇒ x = Bx + b. Pentru orice x(0) ∈ Rm definim ¸sirul (numit ¸sir Jacobi) (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = Bx(n) + b, ∀ n ∈ N Fie · o norma˘ pe Mm (R). Daca˘ B = q < 1 atunci avem evalua˘rile: x(n) − x ≤
q qn x(n) − x(n−1) ≤ x(1) − x(0) , ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q 19
(în particular lim x(n) = x). n→∞
(n)
Algoritm: Daca˘ A = (aij )1≤i,j≤m , b = (bi )1≤i≤m , B = (bij )1≤i,j≤m , x(n) = (xi )1≤i≤m , ∀ n ∈ N , atunci bij = −aij daca˘ i = j, bii = 1 − aii , ∀ 1 ≤ i, j ≤ m. Daca˘ pe Rm considm era˘m norma · 1 , atunci q := B1 = max |bij |, iar daca˘ considera˘m norma · ∞
atunci q := B∞ = max
m
1≤i≤m j=1
1≤j≤m i=1
|bij |. Se testeaza˘ condi¸tia de aplicabilitate a metodei
q < 1. În caz de aplicabilitate se atribuie iteratei ini¸tiale x(0) o valoare oarecare din Rm , iar calculul celorlalte iterate se face dupa˘ formula: (n+1)
xi
=
m j=1
(n)
bij xj + bi , ∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ n ∈ N.
Se opre¸ste calculul recursiv la iterata x(n) pentru care q x(n) − x(n−1) p ≤ ε, 1−q unde p = 1 sau p = ∞, iar ε este eroarea de aproxima¸tie dorita˘. Exemplul -1.13 Sa ˘ se arate ca ˘ se poate aplica metoda lui Jacobi (relativa ˘ la normele 1 s¸i ∞) pentru sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b cu 0, 1 0, 2 0, 3 0, 9 −0, 2 0, 8 0, 1 0, 4 A= ; b = 0, 1 −0, 3 0, 7 −0, 1 −0, 3 −0, 2 −0, 1 0, 9
3, 6 2 . 2, 4 1, 5
0 0 (0) Luând x = sa ˘ se determine numa˘rul de itera¸tii necesar pentru a aproxima 0 0 solu¸tia sistemului cu o eroare mai mica˘ de 10−10 .
20
Avem
Atunci
0, 1 −0, 1 −0, 2 −0, 3 0, 2 0, 2 −0, 1 −0, 4 B = I −A = −0, 1 0, 3 0, 3 0, 1 0, 3 0, 2 0, 1 0, 1 B1 = max
1≤j≤4
¸si
4
B∞ = max
i=1
1≤i≤4
|bij | = 0, 9 < 1.,
4 j=1
|bij | = 0, 9 < 1
Deci metoda lui Jacobi se aplica˘. Din formula de evaluare a erorii avem: x(n) − xp ≤
qn x(1) − x(0) p , ∀ n ∈ N∗ 1−q
unde p = 1 sau p = ∞, q = 0, 9, x(1) = Bx(0) + b = b. Deci, pentru a aproxima x cu x(n) cu eroarea ε = 10−10 este suficient ca
qn x(1) 1−q
− x(0) p < ε. Avem
x(1) − x(0) 1 = b1 = 9, 5 ¸si x(1) − x(0) ∞ = b∞ = 3, 6 Atunci
¸si
qn ε (1) (0) x − x 1 < ε ⇐⇒ n = log0,9 +1 1−q 95 qn ε x(1) − x(0) ∞ < ε ⇐⇒ n = log0,9 +1 1−q 36
Metoda lui Jacobi pentru matrice diagonal dominante pe linii Fie m ∈ N ∗ , A ∈ Mm (R), a ∈ Rm . 21
Considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare Ax = a. Nota˘m cu I matricea unitate din Mm (R) ¸si cu
0 a11 0 · · · 0 a22 · · · 0 D = diag(A) = ··· ··· ··· ··· 0 0 · · · amm
Spunem ca˘ A este diagonal dominanta˘ pe linii daca˘ |aii | >
j=1,m j =i
.
|aij | , ∀i ∈ 1, m
Atunci aii = 0, ∀i ∈ 1, m, deci D este inversabila˘. Nota˘m cu B = I − D−1 A ¸si cu b = D−1 a. Sistemul de ecua¸tii Ax = a se transforma˘ echivalent astfel: Ax = a⇐⇒D−1 Ax = D−1 a⇐⇒(I − B)x = b⇐⇒x = Bx + b. Pentru orice x(0) ∈ Rm definimm ¸sirul (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = Bx(n) + b, ∀ n ∈ N. Teorema -1.3 Fie A o matrice diagonal dominanta˘ pe linii, B = I−D−1 A, q := B∞ s¸i (x(n) )n∈N definit ca mai sus. Atunci q < 1 s¸i avem evalua ˘rile: x(n) − x∞ ≤
q qn x(n) − x(n−1) ∞ ≤ x(1) − x(0) ∞, ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q
(în particular lim x(n) = x). n→∞
Metoda lui Jacobi pentru matrice diagonal dominante pe coloane Spunem ca˘ matricea A este diagonal dominanta˘ pe coloane daca˘ |ajj | >
i=1,m i =j
|aij | , ∀j ∈ 1, m
22
Atunci aii = 0, ∀i ∈ 1, m, deci D este inversabila˘. Nota˘m cu y = Dx (deci x = D−1 y), ¸si cu B = I − AD−1 . Sistemul de ecua¸tii Ax = a se transforma˘ echivalent astfel: Ax = a⇐⇒AD−1 y = a⇐⇒(I − B)y = a⇐⇒y = By + a. Pentru orice y (0) ∈ Rm definimm ¸sirul (y (n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ y (n+1) = By (n) + a, ∀ n ∈ N. Teorema -1.4 Fie A o matrice diagonal dominanta ˘ pe coloane, B = I − AD−1 , q := B1 s¸i (y (n) )n∈N definit ca mai sus. Atunci q < 1 s¸i avem evalua ˘rile: y (n) − y1 ≤
qn q y (n) − y (n−1) 1 ≤ y (1) − y (0) 1 , ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q
(în particular lim y (n) = y). Deci solu¸tia x a sistemului Ax = a este aproximata ˘ de −1 (n)
D y
n→∞ −1 (n)
( lim D y n→∞
= x).
Metoda Gauss-Seidel Fie m ∈ N ∗ , A ∈ Mm (R), b ∈ Rm . Considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b. Nota˘m cu I matricea unitate din Mm (R) ¸si cu B := I − A. Daca˘ elementele matricei B sunt (bij )1≤i,j≤m , descompunem B sub forma B = L + R, cu L = (lij )1≤i,j≤m , unde lij := bij , ∀ 1 ≤ j < i ≤ m ¸si lij := 0 altfel. Atunci det(I − L) = 1 ¸si deci exista˘ (I − L)−1 . Sistemul de ecua¸tii Ax = b se transforma˘ echivalent astfel: Ax = b⇐⇒(I − B)x = b⇐⇒(I − L − R)x = b⇐⇒ ⇐⇒(I − L)−1 (I − L − R)x = (I − L)−1 b⇐⇒(I − (I − L)−1 R)x = (I − L)−1 b⇐⇒ ⇐⇒x − (I − L)−1 Rx = (I − L)−1 b. Daca˘ nota˘m C := (I − L)−1 R ¸si c := (I − L)−1 b atunci Ax = b⇐⇒x = Cx + c. 23
Pentru orice x(0) ∈ C m definim ¸sirul Jacobi (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = Cx(n) + c⇐⇒x(n+1) = Lx(n+1) + Rx(n) + b, ∀ n ∈ N Deci (n+1)
x1
=
m j=1
(n+1) xi
=
i−1
(n+1) bij xj
j=1
+
(n)
b1j xj + b1 , ∀ n ∈ N ¸si
m j=i
(n)
bij xj + bi , ∀ 2 ≤ i ≤ m, ∀ n ∈ N.
Teorema -1.5 Daca˘ q := max qi cu q1 = 1≤i≤m
j=1
s¸i q < 1 atunci avem evalua ˘rile: x(n) − x∞ ≤
m
|b1j |, qi =
i−1
j=1
|bij |qj +
j=i
|bij |, 2 ≤ i ≤ m
q qn x(n) − x(n−1) ∞ ≤ x(1) − x(0) ∞, ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q
(în particular lim x(n) = x). n→∞
Exemplul -1.14 Fie sistemul de ecua¸tii liniare x + 1x + 1x = 1 1 2 2 3 3
1 x 5 1
1 x 10 1
+ x2 + 16 x3 = 2 +
1 x 20 2
+ x3 = 3
Sa ˘ se arate ca ˘ se aplica˘ metoda Gauss-Seidel.
¸si
m
Solu¸tie Nota˘m cu A matricea ceoficien¸tilor sistemului. Avem 1 1 0 −2 −3 1 1 B = I − A = −5 0 −6 1 1 − 10 − 20 0 5 1 1 q1 = , q2 = , q3 = . 6 3 10 24
Deci q = max(q1 , q2 , q3 ) =
5 <1 6
Rezulta˘ ca˘ metoda Gauss-Seidel se aplica˘.
Metoda relaxa˘rii simultane Fie m ∈ N ∗ , A ∈ Mm (R) simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘, a ∈ Rm . Considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare Ax = a. Nota˘m cu I matricea unitate din Mm (R) ¸si cu D = diag(A). Atunci D inversabila˘. Fie σ > 0 un numa˘r real. Nota˘m cu Cσ := I − σD−1 A ¸si cu cσ := σD−1 a. Sistemul de ecua¸tii Ax = a se transforma˘ echivalent astfel: Ax = a ⇐⇒ σD−1 Ax = σD−1 a ⇐⇒ (I − Cσ )x = cσ ⇐⇒ x = Cσ x + cσ . Pentru orice x(0) ∈ Rm definim ¸sirul Jacobi (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = Cσ x(n) + cσ , ∀ n ∈ N Fie λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λm valorile proprii ale matricei D−1 A. Daca˘ alegem σ astfel încât 0 < σ < 2/λ1 , ¸si nota˘m q := max |1 − σλi |, atunci q < 1 ¸si avem evalua˘rile: 1≤i≤m
q qn x(n) − x(n−1) D ≤ x(1) − x(0) D , ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q (în particular lim x(n) = x), unde xD := Dx, x, ∀ x ∈ Rm , cu ·, · produsul x(n) − xD ≤ n→∞ m
scalar uzual pe R .
Parametrul optim de relaxare σ (pentru care q corespunza˘tor este minim) este σ=
2 , λ1 + λm
q=
λ1 − λm λ1 + λm
iar valoarea lui q în acest caz este
25
În practica˘, de obicei, nu se calculeaza˘ valoarea lui λ1 , ci se alege σ ∈ (0, 2/D−1 A∞) (deoarece λ1 ≤ D−1 A∞ ), parcurgând intervalul cu un pas echidistant. Valoarea optima˘ a lui σ se stabile¸ste atunci când numa˘rul de itera¸tii n, necesar pentru a aproxima solu¸tia sistemului de ecua¸tii cu o eroare data˘ este minim. Daca˘ matricea A a sistemului de ecua¸tii liniare Ax = a nu este simetriica˘ ¸si pozitiv definita˘, sistemul se transforma˘ echivalent Ax = a ⇐⇒ At Ax = At a (unde At = (aji )1≤i,j≤m este transpusa matricei A), pentru care matricea At A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘. Exemplul -1.15 Fie sistemul de ecua¸tii liniare: 5x + 3x2 + 2x3 = 1 1 3x1 + 6x2 + 3x3 = 2 2x1 + 3x2 + 5x3 = 3
Sa ˘ se arate ca˘ se poate aplica metoda relaxa ˘rii simultane. Sa˘ se determine parametrul optim de relaxare. Luând x(0) = (0, 0, 0) sa ˘ se evalueze eroarea x − x(n) . Solu¸tie: Nota˘m cu A matricea sistemului. Se verifica˘ ca˘ A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘. Fie D = diag(A). Atunci
1
3/5 2/5
D A = 1/2 1 1/2 2/5 3/5 1 −1
¸si det(D−1 A − λI) = 0 ⇐⇒ (1 − λ)3 −
19 (1 25
− λ) +
6 25
= 0, de unde rezulta˘ ca˘ valorile
proprii ale matricei D−1 A sunt λ1 = 2 > λ2 = 3/5 > λ3 = 2/5. Parametrul optim de relaxare este σ=
2 5 = λ1 + λ3 6 26
ca˘ruia îi corespunde q=
2 λ1 − λ3 = . λ1 + λ3 3
Avem x(1) = Cσ x(0) + cσ = cσ = σD−1 b = 5/6 · (1/5; 2/6; 3/5)t unde b = (1; 2; 3)t este vectorul termenilor liberi din sistem. Atunci
¸si
2 25 x(1) 2D = Dx(1) , x(1) = · 3 9 qn x(n) − xD ≤ x(1) − x(0) D = 5 · 1−q
n+ 12 2 . 3
Metode relaxa˘rii succesive Fie m ∈ N ∗ , A ∈ Mm (R) simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘ ¸si b ∈ Rm . Considera˘m sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b ¸si σ > 0 un numa˘r real numit parametru de relaxare. Nota˘m cu I matricea unitate din Mm (R) ¸si cu D = diag(A). Atunci D inversabila˘. Daca˘ elementele matricei A sunt (aij )1≤i,j≤m , descompunem A sub forma B = L + D + R, cu L = (lij )1≤i,j≤m , unde lij := aij , ∀ 1 ≤ j < i ≤ m ¸si lij := 0 altfel. Atunci matricea σ −1 D + L este inversabila˘,iar sistemul de ecua¸tii Ax = b se transforma˘ echivalent astfel: Ax = b ⇔ (σ −1 D + L)−1 (L + D + R)x = (σ −1 D + L)−1 b ⇔ (I − (σ −1 D + L)−1 ((σ −1 − 1)D − R))x = (σ −1 D + L)−1 b Notând cu Cσ := (σ −1 D + L)−1 ((σ −1 − 1)D − R) ¸si cu cσ := (σ −1 D + L)−1 b rezulta˘ ca˘ Ax = b ⇔ x = Cσ x + cσ . Pentru orice x(0) ∈ Rm definim ¸sirul Jacobi (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = Cσ x(n) + cσ , ∀ n ∈ N 27
Atunci x(n+1) = Cσ x(n) + cσ ⇔ ⇔ x(n+1) = (σ −1 D + L)−1 ((σ −1 − 1)D − R)x(n) + b) ⇔ ⇔ σ −1 Dx(n+1) = −Lx(n+1) + ((σ −1 − 1) − R)x(n) + b ⇔ ⇔ x(n+1) = (1 − σ)x(n) − σD−1 (Lx(n+1) + Rx(n) − b) ⇔ (n+1) xi
= (1 −
(n) σ)xi
i−1 m σ (n+1) (n) − (−bi + aij xj + aij xj ), ∀1 ≤ i ≤ m aii j=1 j=i+1
Daca˘ alegem σ astfel încât 0 < σ < 2, ¸si nota˘m q := Cσ A atunci q < 1 ¸si avem evalua˘rile: x(n) − xA ≤
q qn x(n) − x(n−1) A ≤ x(1) − x(0) A , ∀ n ∈ N∗ 1−q 1−q
(în particular lim x(n) = x), unde xA := Ax, x , ∀ x ∈ Rm , cu ·, · produsul scalar n→∞
uzual pe R . m
În practica˘, se alege σ ∈ (0, 2) parcurgând intervalul cu un pas echidistant. Valoarea optima˘ a lui σ se stabile¸ste atunci când numa˘rul de itera¸tii n, necesar pentru a aproxima solu¸tia sistemului de ecua¸tii cu o eroare data˘, este minim. Daca˘ matricea A a sistemului de ecua¸tii liniare Ax = b nu este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘, sistemul se transforma˘ echivalent Ax = b ⇔ At Ax = At b (unde At este transpusa matricei A) pentru care matricea At A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘.
Metoda lui Ritz Este o metoda de calcul a inversei unei matrice simetrice ¸si poyitiv definite. Fie A ∈ Mm (R) o matrice simetrica˘ ¸si pozitiv definita˘. Nota˘m cu ∗ opera¸tia de transpunere (a 28
m m m unui vector sau a unei matrice). Definim succesiv vectorii (wk )m k=0 ⊂ R , (vk )k=1 ⊂ R m ¸si matricele (Ck )m k=1 , (Dk )k=1 ⊂ Mm (R) astfel:
w0 = 0, C1 =
w0 w0∗ , D1 = Im − C1 A w0∗ Aw0
iar pentru k = 1, m − 1: Se alege vk astfel ca Dk vk = 0, wk = Dk vk . Ck+1 := Ck +
wk wk∗ , wk∗ Awk
Dk+1 := Im − Ck+1 A, Atunci Cm = A−1 (inversa matricei A) ¸si Dm = 0m . 1 2 3 4 2 5 1 10 Exemplul -1.16 Fie A = . Folosind metoda lui Ritz sa˘ se cal 3 1 35 5 4 10 5 30 culeze A−1 . Se verifica˘ mai întâi ca˘ matricea A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita. Lua˘m w0 = (1, 0, 0, 0)∗ . Atunci w0∗ Aw0 = 1 ¸si 1 0 0 0 0 0 C1 = 0 0 0 0 0 0
0 0 −2 −3 −4 0 1 0 0 0 , D1 = . 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Lua˘m v1 = (0, 1, 0, 0)∗ . Rezulta˘ ca˘ w1 = (−2, 1, 0, 0)∗ ¸si w1∗ Aw1 = 1, de unde 0 0 −13 0 5 −2 0 0 −2 1 0 0 0 0 5 −2 C2 = . , D2 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 29
Lua˘m v2 = (0, 0, 1, 0)∗ . Rezulta˘ ca˘ w2 = (−13, 5, 1, 0)∗ ¸si w2∗ Aw2 174 −67 −13 0 0 0 0 −67 26 0 0 0 5 0 C3 = , D3 = −13 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Lua˘m v3 = (0, 0, 0, 1)∗ . Rezulta˘ ca˘ w3 = (39, −17, −3, 1)∗ ¸si 1695 −730 −130 39 −730 315 56 −17 C4 = , D4 = −130 56 10 −3 39 −17 −3 1
Pseudoinversa unei matrice
= 1, de unde 39 −17 . −3 1
w3∗ Aw3 = 1, de unde 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0
Pseudoinversa unei matrice este o extensie naturala˘ a no¸tiunii de matrice inversabila˘. Se poate defini pseudoinversa atât pentru matrici pa˘tratice (singulare sau nesingulare - caz în care pseudoinversa coincide cu inversa) cât ¸si pentru matrici dreptunghiulre (în care numa˘rul de linii difera˘ de numa˘rul de coloane). Pentru o matrice T ∈ Mm,n(R),nota˘m cu T ∗ ∈ Mn,m (R) transpusa matricei T ¸si cu T + ∈ Mn,m (R) pseudoinversa matricei matricei T. Prin defini¸tie T + este singura solu¸tie U ∈ Mn,m (R) a sistemului de ecua¸tii matriceale: T U T = T, UT U = U,
(T U )∗ = T U,
(U T )∗ = U T.
(16)
Teorema -1.6 Fie T ∈ Mm,n (R) s¸i b ∈ Rm . a) x0 din Rn verifica˘ egalitatea T x0 − b = infn T x − b x∈R
daca ˘ s¸i numai daca˘ T ∗ T x0 = T ∗ b. 30
(17)
b) Elementul x 0 := T + b verifica ˘ egalitatea (17) s¸i, pentru orice alt element x0 ce
verifica˘ aceea¸si egalitate, avem x 0 ≤ x0 .
Reciproc, T + este unica solu¸tie U ∈ Mn,m (R)a problemei: U b satisface egalitatea
(17) pentru orice b ∈ Rm , iar pentru orice alt element x0 , care verifica ˘ aceea¸si egalitate, avem U b ≤ x0 . Prin aceasta˘ teorema˘, în cazul unui sistem de ecua¸tii liniare T x = b compatibil nedeterminat, rezulta˘ ca˘ T + b este o solu¸tie a acestui sistem (anume cea mai mica˘ solu¸tie în norma˘), iar, în cazul unui sistem incompatibil, T + b este acel element x, minim în norma˘, pentru care T x − b este cel mai aproape de 0. În continuare presupunem ca˘ rang T = l ≤ min(m, n). Cu R(A) am nota˘m imaginea matricei A ∈ Mm,n (R), adica˘ mul¸timea {Ax | x ∈ Rn }. Determinarea pseudoinversei unei matrice se poate face cu algoritmi cu un numa˘r de pa¸si mai mic sau egal cu l. În aceasta˘ categorie intra˘ urma˘torii algoritmi • (Grigore) Definim succesiv vectorii (yk )lk=1 ⊂ X, (wk )lk=1 ⊂ Rn ¸si matricele (Hk )lk=0 ⊂ Mn,m (R) astfel: H0 = 0. yk ∈ R(T ∗ ) (adica˘ în imaginea transpusei), astfel ca yk − Hk−1 T yk = 0, wk := yk − Hk−1 T yk ¸si Hk := Hk−1 +
wk (T wk )∗ , ∀k = 1, l. T wk 2
Atunci Hl = T + (pseudoinversa matricei T ). Exemplul -1.17 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu rang(T ) = 2 s¸i H0 = 0. 1 1 −1 1 2 −1 31
y1
1 1 0 ∗ Lua˘m y1 = T ∗ = 0 (avem y1 − H0 T y1 = y1 = 0. Atunci w1 = 0 −1 0 2 0 − H0 T y1 = y1 ¸si T w1 = . Rezulta˘ ca˘ T w1 2 = 12, iar w1 (T w1 )∗ = 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 . Deci −2 0 −2 −2 H1 = H0 +
w1 (T w1 )∗ 2 = T w1
0 0 1 Lua˘m y2 = T ∗ ∗ = 1 0 0 0
1/6
0
1/6
1/6
0
0
0
0
−1/6 0 −1/6 −1/6
(avem y2 − H1 T y2 =
.
−1/2 1 1/2
= 0. Atunci
−1 1 2 w2 = y2 − H1 T y2 ¸si T w2 = . Rezulta˘ ca˘ T w2 = 3, iar w2 (T w2 )∗ = 0 1
32
1/2
−1 −1/2
−1/2 0 −1/2 1
0
1
1/2
0
1/2
În concluzie
. Deci
1/3
w2 (T w2 )∗ H2 = H1 + 2 = −1/3 T w2 −1/3
T
+
1/3
−1/6
= H2 = −1/3 −1/3
1/3 1/6
−1/6 1/3 1/6
1/6
0
0 1/3 −1/6 0
1/6
0
0 1/3 −1/6 0
• (Gramm-Schmidt) Fie o baza˘ e1 , e2 , . . . , el în R(T ∗ ) ¸si fie fi = T ei , ∀ i = 1, l. Definim, succesiv, elementele (ei )li=1 , (xi )li=1 ⊂ Rn , (fi )li=1 (yi )li=1 ⊂ Rm , astfel: x1 = iar pentru i = 2, l ei
= ei −
i−1 j=1
1 e1 ¸si y1 = T x1 , f1
fi , yj xj , fi = T ei ¸si xi =
1 e , yi = T xi fi i
Definim matricea U ∈ Mn,m (R) prin U :=
l
xi yi∗
i=1
Atunci U = T . +
Exemplul -1.18 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu dim R(T ∗ ) = 2 1 1 −1 1 2 −1 33
Luând e1 = (1; 0; −1)∗ , e2 = (0; 1; 0)∗ (baza˘ în R(T ∗ )) ob¸tinem f1 = (2; 0; 2; 2)∗ , f2 = (0; 1; 1; 2)∗ . Atunci 1 1 x1 = √ (1; 0; −1)∗ , y1 = √ (1; 0; 1; 1)∗ 2 3 3 În continuare 1 e2 = e2 − f2 , y1 x1 = (−1; 2; 1)∗ s¸i f2 = T e2 = (−1; 1; 0; 1)∗ 2 Atunci 1 1 x2 = √ (−1; 2; 1)∗ , y2 = √ (−1; 1; 0; 1)∗ 2 3 3 Rezulta˘ ca ˘ +
T =
x1 y1∗
+
x2 y2∗
2
1 = −2 6 −2
−1 2 1
1
0
0 2 −1 0
l−1 l−1 m n m • (Stanica) Definim, succesiv, vectorii (uk )l−1 k=0 ⊂ R , (vk )k=0 ⊂ R , (wk )k=0 ⊂ R
¸si matricele (Hk )lk=1 ⊂ Mn,m (R) astfel: H0 = T ∗ . vk ∈ R((I − T Hk )∗ T ), wk ∈ R(Hk ) astfel încît vk , T wk = 0, uk :=
1 (I − Hk T )wk ¸si vk , T wk
Hk+1 := Hk + uk · vk∗ , ∀k = 0, l − 1. Atunci Hl = T + . Exemplul -1.19 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu rang(T ) = 2 s¸i H0 = T ∗ 1 1 −1 1 2 −1 34
1 −5 −3 0 Luând a1 = 0 , b1 = ob¸tinem v0 := (I − T H0 )∗ T a1 = , 0 −8 0 0 −11 1 5/48 1 w0 = H0 b1 = 0 , u0 := (I − H0 T )w0 = 1/8 , v0 , T w0 −1 −5/48 1
23/48
−5/16 1/6 −7/48
H1 := H0 + u0 · = −5/8 5/8 0 5/8 −23/48 5/16 1/6 7/48 7/8 0 0 −7/8 1 Luând a2 = 1 , b2 = ob¸tinem v1 := (I − T H1 )∗ T a2 = 0 0 0 −7/8 0 −5/16 −1/6 1 H1 b2 = 5/8 , u1 := (I − H1 T )w1 = 1/3 , deci v1 , T w1 5/16 1/6 v0∗
+
T = H2 := H1 + u1 · Exemplul -1.20 Fie sistemul 1 0 0 1 T = 1 1 1 2
v1∗
1/3
= −1/3 −1/3
−1/6 1/3 1/6
1/6
0 1/3 . −1/6 0
de ecua¸tii liniare T x = b, unde −1 0 cu rang(T ) = 2 s¸i b = −1 −1 35
0
0 1 1 2
, w1 =
(acest sistem este compatibil nedetreminat). Atunci
1/3
z = T b = −1/3 −1/3 +
−1/6 1/3 1/6
0 0 1 0 1/3 = 1 1 −1/6 0 0 2 1/6
0
este o solu¸tie a sistemului (compatibil nedeterminat) de ecua¸tii liniare T x = b. Exemplul -1.21 Fie sistemul 1 0 0 1 T = 1 1 1 2
de ecua¸tii liniare T x = b, unde −1 0 cu rang(T ) = 2 s¸i b = −1 −1
(acest sistem este incompatibil). Atunci
1 0 0 0
1 1/3 1/3 −1/6 1/6 0 0 z = T + b = −1/3 1/3 0 1/3 = −1/3 0 −1/3 −1/3 1/6 −1/6 0 0
are proprietatea ca ˘
T z − b = infn T x − b x∈R
.
36
Metode pentru aproximarea valorilor proprii ale unei matrice În acest capitol prezenta˘m algoritmi pentru determinarea valorilor ¸si vectorilor proprii ai unei matrice A ∈ Mm (R), adica˘ a scalarilor λ ∈ C ¸si a vectorilor x ∈ C m \ {0} asfel ca: Ax = λx . Valorile proprii λ sunt ra˘da˘cinile polinomului caracteristic: pA (λ) = det(λIm − A) . Pentru o valoare proprie λ data˘, vectorul propriu se ob¸tine ca o solu¸tie nenula˘ a sistemului liniar omogen: (A − λIm )x = 0 . Metodele numerice pentru determinarea valorilor proprii se împart în doua mari categorii: - metode care utilizeaza˘ polinomul caracteristic; - metode care nu folosesc polinomul caracteristic. Prima categorie de metode este mai rar folosita˘ pentru ca˘ trebuie sa˘ calcula˘m ra˘da˘cinile unui polinom de grad m arbitrar. Metodele care nu folosesc polinomul caracteristic aproximeaza˘, în general, prin iterare, valorile proprii ale unei matrice.
Metode folosind polinomul caracteristic Metodele numerice pe care le prezenta˘m în acest paragraf determina˘, de fapt, coeficien¸tii polinomului caracteristic. Daca˘ A ∈ Mm (R), atunci polinomul caracteristic va fi: pA (λ) = λm − c1 λm−1 + c2 λm−2 + · · · + (−1)m cm , 1
unde ck este suma minorilor de ordin k ai matricei A pentru k = 1, m. Numa˘rul minom! k rilor de ordin k ai matricei A este Cm = . Deci, calculând direct coeficien¸tii k!(m − k)! 1 2 m ck , k = 1, m, ar trebui calcula¸ti Cm + Cm + · · · + Cm = 2m − 1 determinan¸ti. Acest lucru este dificil ¸si implica˘ multe calcule pentru valori mari ale lui m. De aceea, s-au ca˘utat metode care sa˘ determine mai u¸sor coeficien¸tii polinomului caracteristic. În subparagrafele urma˘toare prezenta˘m câteva astfel de metode împreuna˘ cu algoritmii corespunza˘tori ¸si exemple numerice.
Metoda Krylov Metoda Krylov se bazeaza˘ pe teorema Cayley-Hamilton: Daca˘ A ∈ Mm (R) ¸si pA (λ) = λm −p1 λm−1 −p2 λm−2 −· · ·−pm , atunci pA (A) = 0m , adica˘: Am − p1 Am−1 − p2 Am−2 − · · · − pm−1 A − pm Im = 0m . t (0) (0) Considera˘m y (0) = y1 , . . . , ym ∈ Rm un vector arbitrar. Înmul¸tind rela¸tia (??)
cu y (0) , se ob¸tine:
Am y (0) − p1 Am−1 y (0) − p2 Am−2 y (0) − · · · − pm−1 Ay (0) − pm y (0) = 0 , de unde, notând: y (k) = Ak y (0) = Ay (k−1) ,
pentru k = 1, m,
ne rezulta˘ ca˘ p1 , . . . , pm sunt solu¸tiile sistemului:
y (m−1) y (m−2) · · · y (1) y (0)
2
p1 p2 . . · . pm−1 pm
= y (m) .
Deci determinarea solu¸tiilor polinomului caracteristic prin metoda Krylov se reduce la rezolvarea sistemului (??), în cazul în care are solu¸tie unica˘. Daca˘ sistemul nu are solu¸tie unica˘, atunci se poate încerca schimbarea vectorului ini¸tial y (0) . Exemplul -1.1 Determina¸ti polinomul caracteristic 5 −4 −3 −1 1 4 2 −9 A= 2 5 1 −5 7 1 2 −1 folosind metoda Krylov.
pentru matricea ,
Alegem pentru aplicarea metodei Krylov vectorul y (0)
y (1) = Ay (0)
−16 −21 = , −5 11
y (3)
1 2 = ¸si calcula˘m 3 4
y (2) = Ay (1)
y (4) = Ay (3)
3
8 −209 = , −197 −154
1621 164 = Ay (2) − , −456 −393
9210 4902 = . 5571 10992
Coefien¸tii polinomului caracteristic se ob¸tin rezolvâd sistemul: 8 −16 1 p1 9210 1621 164 −209 −21 2 p2 4902 = −456 −197 −5 3 p 5571 3 −393 −154 11 4 p4 10992
.
9 −45 Folosind o metoda˘ de rezolvare a sistemelor liniare , ob¸tinem p = ¸si polino 369 885 mul caracteristic este: pA (λ) = λ4 + 9λ3 − 45λ2 + 369λ + 885 .
Metoda Leverrier Determinarea coeficien¸tilor polinomului caracteristic prin metoda Leverrier se bazeaza˘ pe urma˘torul rezultat: Daca˘ P (x) = xm + p1 xm−1 + p2 xm−2 + · · · + pm este un polinom de gradul m cu ra˘dacinile λ1 , . . . , λm ¸si sk = λk1 + · · · + λkm pentru k ∈ N , atunci avem −kpk = cu p0 = 1 .
k−1
pentru k ∈ N ∗ ,
pj sk−j
j=0
Se ¸stie ca˘, daca˘ A ∈ Mm (R) ¸si λ1 , . . . , λm sunt valori proprii distincte ale lui A, atunci sk = tr(Ak ) pentru k ∈ N ∗ . Determinarea coeficien¸tilor polinomului carateristic cu metoda Leverrier consta˘ în: P1. se calculeaza˘ s1 = tr(A) ¸si p1 = −s1 ; P2. pentru k = 2, m calcula˘m: Ak ,
sk = tr(Ak ) ,
1 pk = − (sk + p1 sk−1 + p2 sk−2 + · · · pk−1 s1 ). k 4
P3. Polinomul caracteristic al matricei A va fi pA (λ) = λm + p1 λm−1 + p2 λm−2 + · · · + pm . Observa¸tie. Daca˘ pm = 0, atunci λ = 0 este valoare proprie pentru A ¸si nu exista˘ A−1 , iar daca˘ pm = 0 atunci, conform teoremei Cayley-Hamilton, avem: Am + p1 Am−1 + p2 Am−2 − · · · + pm−1 A + pm Im = 0m , de unde rezulta˘ A−1 = −
1 m−1 A + p1 Am−2 + p2 Am−3 + · · · + pm−1 Im . pm
Exista˘ un algoritm propus de Fadeev prin care se calculeaza˘ simultan coeficien¸tii polinomului caracteristic ¸si A−1 (daca˘ exista˘). Astfel determinarea coeficien¸tilor polinomului carateristic cu metoda Leverrier consta˘ în: P1. se calculeaza˘ p1 = −tr(A) ¸si B1 = A1 + p1 Im , unde A1 = A ; P2. pentru k = 2, m calcula˘m: 1 pk = − tr(Ak ) , Bk = Ak + pk Im . k 1 P3. Daca˘ pm = 0 atunci avem A−1 = − Bm−1 . pm Observa¸tie. În algoritmul de mai sus, din modul de calculare a ¸sirului B1 , . . . , Bm−1 , Bm Ak = ABk ,
¸si din teorema Cayley-Hamilton, se ob¸tine ca˘ Bm = Am + pm Im = Am + p1 Am−1 + · · · + pm−1 A + pm Im = 0m Exemplul -1.2 Determina¸ti, folosind metoda Leverrier, polinomul caracteristic s¸i matricea A−1 , daca ˘ exista˘, pentru matricea 0 −3 12 11 −9 −5 2 5 A= , 2 −4 15 −11 2 6 −7 10 5
Aplicând metoda Leverrier pentru matriceaA ¸si m = 4, ob¸tinem: s1 = 31 ,
p1 = −31 ,
- pentru k = 2:
84 −162 285 139 −40 47 12 −105 2 A2 = A = , 66 −106 288 −271 −26 58 −169 231
s2 = 705 ,
p2 = 128 ,
- pentru k = 3:
1938 −4674 6720 1019 −1049 −913 1129 −1427 A3 = A3 = , 7714 −2248 5807 −5616 −684 1772 −3958 4147 s3 = 10060 ,
p3 = 2609 ,
- pentru k = 4:
49326 −116331 140532 −2141 −3918 −8513 28245 −43842 4 A4 = A = , 39468 −45684 116779 −110709 −23094 31854 −82803 85660 s4 = 191785 ,
p4 = −12761 ,
¸si polinomul caracteristic este: pA (λ) = λ4 − 31λ3 + 128λ2 + 2609λ − 12761 .
6
Cum p4 = 0, rezulta˘ ca˘: A−1 = − p14 (A3 + p1 A2 + p2 A + p3 I4 )
0.0570 −0.0522 −0.0028 −0.0454 −0.0753 −0.0314 0.0794 0.1934 = . −0.0060 0.0412 0.1103 0.1079 0.0296 0.0581 0.0302 0.0686
Exemplul -1.3 Calcula¸ti coeficien¸tii polinomului caracteristic s¸i matricea A−1 , daca ˘ exista ˘, pentru matricea
folosind algoritmul Fadeev.
1 −3 2 11 −9 −5 12 5 A= , 2 −4 5 −11 2 16 −7 10
Aplicând algoritmul Fadeev ob¸tinem:
A1 = A ,
p1 = −tr(A1 ) = −21 ,
1 −3 2 −10 −9 −26 12 5 B1 = A1 + p1 I4 = , 2 −4 −16 −11 2 16 −7 −11
7
- pentru k = 2
29 13 38 −121 169 153 −260 −230 A2 = AB1 = , 4 −90 −57 50 −158 −226 228 51
p2 = − 21 tr(A2 ) = −13 ,
- pentru k = 3
29 13 38 −134 169 140 −260 −230 B2 = A2 + p2 I4 = , 4 −90 −70 50 −158 −226 228 38
277 549 114 −1633 −381 −3171 1483 1598 A3 = AB2 = 814 1534 −1792 828 828 668 −1364 −3574
p3 = − 31 tr(A3 ) = 3390 ,
,
549 114 1757 277 −381 219 1483 1598 B3 = A3 + p3 I4 = 814 1534 1598 828 828 668 −1364 −184
8
,
- pentru k = 4
0 0 0 18160 0 18160 0 0 A4 = AB3 = 0 0 18160 0 0 0 0 18160
,
p4 = − 14 tr(A4 ) = −18160 ,
Polinomul caracteristic este:
0 0 0 0 0 0 B4 = A4 + p4 I4 = 0 0 0 0 0 0
0 0 . 0 0
pA (λ) = λ4 − 21λ3 − 13λ2 + 3390λ − 18160 . Cum p4 = 0, rezulta˘ ca˘:
A−1
0.0302 0.0063 0.0968 0.0153 −0.0210 0.0121 0.0817 0.0880 1 = − B3 = 0.0448 0.0845 p4 0.0880 0.0456 0.0456 0.0368 −0.0751 −0.0101
Metoda coeficien¸tilor nedetermina¸ti
.
Metoda coeficien¸tilor nedeterminati consta˘ în determinarea coeficien¸tilor p1 , . . . , pm ai polinomului caracteristic pA (λ) = λm + p1 λm−1 + · · · + pm−1 λ + pm , asociat matriei
9
A ∈ Mm (R) , dintr-un sistem liniar format din m ecua¸tii liniare: pm = D(0) 1m + p1 1m−1 + · · · + pm−1 1 + pm = D(1) 2m + p1 2m−1 + · · · + pm−1 2 + pm = D(2)) .. .
,
(m − 1)m + p1 (m − 1)m−1 + · · · + pm−1 (m − 1) + pm = D(m − 1) unde D(k) = det (kIm − A) pentru k = 0, m . Daca˘ nota˘m p = (p1 , p2 , . . . , pm−1 )t , sistemul (??) se reduce la m − 1 ecua¸tii liniare ¸si se poate scrie în forma: M p = b, unde
¸si
M =
1 2
1
m−1
m−2
2
.. .
.. .
···
1
··· ...
2 .. .
(m − 1)m−1 (m − 1)m−2 · · · (m − 1)
D(1) − D(0) − 1
m
D(2) − D(0) − 2 .. .
m
D(m − 1) − D(0) − (m − 1)m
.
Aceasta˘ metoda˘ are dezavatajul ca˘ se calculeaza˘ m determinan¸ti de ordin m. Exemplul -1.4 Determina¸ti
coeficien¸tii
matricea
polinomului
10 13 9 −4 11 −1 −15 8 A= , 1 −2 −3 1 2 4 5 7 10
caracteristic
pentru
folosind metoda coeficien¸tilor nedetermina¸ti. Avem p4 = −2703. Se ob¸tine sistemul
1 1 1
8 4 2 27 9 3
a ca˘rui solu¸tie este:
p=
Deci polinomul caracteristic este:
−12
334
482 372
p = −57 . 403
pA (λ) = λ4 − 12λ3 − 57λ2 + 403λ − 2703 .
Metoda rota¸tiilor Se dau m ∈ N, m ≥ 2, A = (aij )1≤i,j≤m ∈ Mm (R) o matrice simetrica˘ ¸si ε > 0 un numa˘r real. Metoda rota¸tiilor aproximeaza˘ valorile proprii ale unei matrice simetrice prin construirea unui ¸sir de matrice (ob¸tinut cu ajutorul unor matrice de rota¸tie) ale ca˘ror valori de pe diagonala˘ converg ca˘tre valorile proprii ale matricei A. Daca˘ la pasul n este cunoscuta˘ matricea An , matricea An+1 se determina˘ cu formula An+1 = Tnt An Tn , unde Tn este o matrice de rota¸tie. Calcul succesiv al matricelor An (n ≥ 0), ob¸tinute din matricea A prin rota¸tii plane se realizeaza˘ dupa˘ algoritmul: A0 := A • Repeta˘ (se calculeaza˘ Y = An+1 în func¸tie de X = An ): 11
— se aleg p < q ∈ {1, . . . , m} astfel încât |xpq | = max{|xij |; i < j ∈ {1, . . . , m}}; 1 · arctan 2·xpq — daca˘ xpp = xqq atunci θ = π , altfel θ = xpp −xqq 4 2 — se iau c = cos(θ) ¸si s = sin(θ); — Se calculeaza˘ matricea Y 1 .. . 0 . . T = . 0 .. . 0
= T t AT cu ··· ...
··· .. .
0 .. .
··· .. .
cos θ · · · − sin θ · · · .. .. .. ... . . .
0 .. .
··· .. .
sin θ · · · .. .. . .
···
0 .. .
0
··· .. .
···
0 .. .
cos θ .. . 0
··· 0 . . .. . . ···
1
,
unde elementele cosθ, − sin θ, sin θ, cosθ se afla˘ la intersec¸tia liniilor p ¸si q cu coloanele p ¸si q. Atunci ∗ ∀ i, j ∈ {p, q}, yij = xij ; ∗ ∀ j ∈ {p, q}, ypj = yjp = c · xpj + s · xqj , yqj = yjq = −s · xpj + c · xqj ∗ ypq = 0; yqp = 0; ypp = c2 · xpp + 2 · c · s · xpq + s2 · xqq ; yqq = s2 · xpp − 2 · c · s · xpq + c2 · xqq ;
— se face atribuirea X = Y ; — se calculeaza˘ modul = |X| := pâna când modul < ε .
m
i=j
x2ij unde i, j ∈ 1, m.
• Se colecteaza˘ în vectorul z elementele diagonalei lui X, care reprezinta˘ aproxima˘ri ale valorilor proprii ale matricei A cu erori în modul mai mici decât ε : 1, m se ia zi = xii . 12
∀i∈
• Se tipa˘re¸ste z. Exemplul -1.5 Fie matricea
17
−2
A = −2 8 √ √ 3 3 2 3
√ 3 3 √ 2 3 11
.
Folosind metoda rota¸tiilor, sa ˘ se determine valorile proprii ale matricei A. Se verifica˘ imediat ca˘ matricea A este simetrica˘. Se aleg p < q astfel încât |apq | = max{aij |; i < j ∈ {1, 2, 3}. Atunci p = 1, q = 3. Se calculeaza˘ θ=
1 2 · apq π · arctan = . 2 app − aqq 6
Se ia
T =
¸si se calculeaza˘ matricea
cos θ 0 − sin θ 0
1
sin θ 0
Se aleg p < q astfel încât
0 cos θ
20 0 0 t B = T AT = 0 8 4 0 4 8
|bpq | = max{bij |; i < j ∈ {1, 2, 3}. Atunci p = 2, q = 3. Se calculeaza˘ θ=
π deoarece bpp = bqq . 4 13
Se ia
1
0
0
T = 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ
¸si se calculeaza˘ matricea
20 0 0 B = T t AT == 0 12 0 0 0 4
Rezulta˘ ca˘ valorile proprii ale matricei A sunt λ1 = 20, λ2 = 12, λ3 = 4.
Metoda puterii Este o metoda˘ numerica˘ pentru aproximarea celei mai mari valori proprii în modul ¸si a unui vector propriu corespunza˘tor. Vom considera cazul în care matricea A ∈ Mm (R) are toate valorile proprii pozitive. Fie x(0) ∈ Rm astfel încât Ax(0) = 0. Definim recurent ¸sirul (x(n) )n∈N prin rela¸tia 1 x(n+1) := Ax(n) , ∀n ∈ N. Nota˘m cu (z (n) )n∈N ¸sirul definit prin z (n) := · x(n) x(n) , ∀n ∈ N. Atunci lim Az (n) , z (n) = λ,
n→∞
unde λ este cea mai mare valoare proprie a matricei A ¸si lim z (n) = z,
n→∞
unde z este un vector propriu ata¸sat valorii proprii λ. Metoda permite ¸si determinarea celorlalte valori proprii astfel: • Se considera˘ matricea
0 1 x2 1 T = ... ... xm 0 14
0 ... 0 , ... ... ... 1 ...
unde (1, x2 , . . . , xm ) este un vector propriu corespunza˘tor valorii proprii λ. Acest vector se ob¸tine astfel: xi =
zi , ∀i = 2, m, z1
• Se calculeaza˘ matricea B = T −1 AT. • Se scrie matricea B sub forma
B=
b11 B12
cu B22 matrice de ordinul m − 1.
0
B22
,
• Cu algoritmul descris mai sus se determina˘ cea mai mare valoare proprie a matricei C = B22 . Aceasta este a doua valoare proprie (în ordine descresca˘toare) a matricei A. • Acest algoritm se aplica˘ în continuare pentru matricea C.
Algoritmul LU Fie A o matrice pa˘tratica˘ de ordin m. Descompunem A = L1 U1 cu L1 , U1 matrice triunghiulare (vezi factorizarea LU din paragraful 1.2.4, capitolul 1). Construim ¸sirul de matrice (Bn )n astfel: B0 = A = L1 U1 , B1 = U1 L1 . Descompunem B1 = L2 U2 , lua˘m B2 = U2 L2 , . . . Descompunem Bn = Ln+1 Un+1 , lua˘m Bn+1 = Un+1 Ln+1 , . . . Când n → ∞, elementele de pe diagonala lui Bn converg la valorile proprii ale matricei A (în practica˘, calculul iterativ se opre¸ste atunci când, pentru orice i = 1, m, avem (n) (n−1) (n) bii − bii < ε, o eroare data˘, unde cu (bij )i,j am notat elementele matricei Bn ). 15
Algoritmul QR Metoda QR este o metoda˘ des folosita˘ pentru calculul valorilor proprii pentru o matrice oarecare, în general, nesimetrica˘. Fie A ∈ Mm (R). Metoda QR consta˘ în construirea unui ¸sir de matrice (Ak )k≥0 folosind factorizarea QR (definita˘ la ssisteme liniare) astfel: A0 = A = Q0 R0 , Ak = Qk Rk ,
A1 = R0 Q0 ,
Ak+1 = Rk Qk , k ≥ 0 .
Când k → ∞, elementele de pe diagonala lui Ak converg la valorile proprii ale matricei (k+1) (k) A. Calculul iterativ se opre¸ste atunci când, pentru orice i = 1, m, avem aii − aii <
ε, pentru ε > 0 o eroare data˘.
16
Ecua¸tii neliniare în Rm Principiul contrac¸tiei Fie m ∈ N∗ , M ⊂ Rm o mul¸time ¸si · o norma˘ pe Rm . O func¸tie f : M → R m
se nume¸ste q-contrac¸tie a mul¸timii M relativa˘ la norma · daca˘ are urma˘toarele
proprieta˘¸ti: 1) ∃ q ∈ (0, 1) astfel încât f (x) − f (y) ≤ qx − y, ∀ x, y ∈ M ¸si 2) f(M ) ⊂ M . Principiul contrac¸tiei se enun¸ta˘ astfel: Fie · o norma˘ pe Rm , M o mul¸time închisa˘ din Rm ¸si f : M → R
m
o q-
contrac¸tie a mul¸timii M relativa˘ la norma · . Atunci ecua¸tia f(x) = x are o solu¸tie unica˘ z ∈ M , ¸si, pentru orice x(0) ∈ M , ¸sirul (x(n) )n∈N definit prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = f (x(n) ) converge la z. Avem evaluarea x(n) − z ≤
q qn x(n) − x(n−1) ≤ x(1) − x(0) . 1−q 1−q
Fie a ∈ Rm ¸si r > 0. Daca˘ M := {x ∈ Rm | x − a ≤ r}, atunci: 1. Daca˘ f diferen¸tiabila˘ pe M ¸si exista˘ q ∈ (0, 1) astfel încât f (x) ≤ q, ∀ x ∈ M rezulta˘ ca˘ f(x) − f (y) ≤ qx − y, ∀ x, y ∈ M . 2. Daca˘ f (x) − f (y) ≤ qx − y, ∀ x, y ∈ M ¸si f (a) − a ≤ (1 − q)r rezulta˘ ca˘ f (M ) ⊂ M . Deci, în aceste condi¸tii, f este q-contrac¸tie a mul¸timii M . Exemplul -1.1 Fie sistemul de ecua¸tii x = (80 + x3 − x2 − 3yz)/100
y = (60 − y 3 − z 2 + 4xz)/86
(1)
z = (40 + z 3 + y 2 − 5xy)/72
Folosind principiul contrac¸tiei în raport cu norma · ∞, sa˘ se arate ca ˘ sistemul (1) are solu¸tie unica˘ v în V := [0, 2]3 . Pentru o eroare ε data˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ 1
x(0) := (1, 1, 1) sa ˘ se calculeze iterata x(n) (din principiul contrac¸tiei) pentru care x(n) − v∞ ≤ ε. Fie r = 1 ¸si a = (1, 1, 1). Atunci mul¸timea V = {x ∈ Rm | x − a∞ ≤ r}. Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R
3
cu f (x, y, z) := (80 + x3 − x2 − 3yz)/100,
g(x, y, z) := (60−y 3 −z 2 +4xz)/86 ¸si h(x, y, z) := (40+z 3 +y 2 −5xy)/72, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (1) este echivalent cu F (x, y, z) = (x, y, z). Avem
F (x, y, z) =
(3x2 − 2x)/100 4z/86 −5y/72
−3z/100
−3y/100
−3y /86 (−2z + 4x)/86 , 2 (2y − 5x)/72 3z /72 2
deci F (x, y, z)∞ = max((|3x2 − 2x| + | − 3z| + | − 3y|)/100, (|4z| + | − 3y 2 | + | − 2z + 4x|)/86, (| − 5y| + |2y − 5x| + |3z 2 |)/72) ≤ max(28/100, 32/86, 36/72) = = 1/2 (am folosit 0 ≤ x, y, z ≤ 2). Putem lua q = 1/2. Pe de alta˘ parte F (a) − a∞ = max(28/100, 24/86, 35/72) = 35/72 < (1 − q)r = 1/2. Deci F este 1/2-contrac¸tie a mul¸timii V în raport cu norma · ∞ . Din principiul contrac¸tiei rezulta˘ ca˘ ecua¸tia F (x, y, z) = (x, y, z) are solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (1, 1, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ x(n) = F (x(n−1) ), ∀ n ∈ N. Se opre¸ste procesul iterativ atunci când q/(1 − q)x(n) − x(n−1) ∞ < ε. Pentru ε = 10−10 se ob¸tin urma˘toarele rezultate:
2
n
x
y
z
1 0.7700000000 0.7209302326
0.5138888889
2 0.7875219889 0.7086511560
0.5261092736
3 0.7874973924 0.7095886570
0.5257974572
4 0.7874891632 0.7095640029
0.5257622709
5 0.7874902776 0.7095633762
0.5257631334
6 0.7874902723 0.7095634355
0.5257631103
7 0.7874902718 0.7095634337
0.5257631082
8 0.7874902719 0.7095634337 0.5257631083 .
Metoda Gauss-Seidel neliniara˘ Fie m ∈ N ∗ , (a1 , a2 , . . . , am ) ∈ Rm , r1 , r2 , . . . , rm numere reale strict pozitive, M := {x = (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ Rm | |xi − ai | ≤ ri , ∀ 1 ≤ i ≤ m} ¸si f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : M →R
m
o q-contrac¸tie a mul¸timii M relativa˘ la norma · ∞.
Pentru orice x(0) ∈ M definim ¸sirul (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ (n+1)
x1 (n+1)
xi
(n+1)
= fi (x1
(n)
(n)
= f1 (x1 , x2 , . . . , x(n) si m )¸ (n+1)
(n)
, . . . , xi−1 , xi , . . . , x(n) m ) ∀ 2 ≤ i ≤ m.
Atunci ¸sirul (x(n) )n∈N converge ca˘tre unica solu¸tie z ∈ M a ecua¸tiei f (x) = x. Avem evaluarea: x(n) − z∞ ≤
q qn x(n) − x(n−1) ∞ ≤ x(1) − x(0) ∞. 1−q 1−q
Daca˘ f diferen¸tiabila˘ pe M ¸si exista˘ q ∈ (0, 1) astfel încât f (x)∞ ≤ q, ∀ x ∈ M rezulta˘ ca˘ f(x) − f (y)∞ ≤ qx − y∞ , ∀ x, y ∈ M .
3
Exemplul -1.2 Fie sistemul de ecua¸tii x = (432 + x4 + y 4 − 2z 4 + y 2 z 2 )/234 y = (324 − x4 + 2y 4 − 3z 4 + 3x2 z 2 )/432 z = (234 + 2x4 − 3y 4 + 4z 4 − x2 y 2 + 3x + y)/324
(2)
Folosind metoda Gauss-Seidel neliniara ˘, sa ˘ se arate ca ˘ sistemul (2) are solu¸tie unica ˘ v în V := [−2, 2] × [−1, 1] × [0, 1]. Pentru o eroare ε data ˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (0, 0, 1/2) sa ˘ se calculeze iterata x(n) pentru care x(n) − v∞ ≤ ε. Fie r1 = 2, r2 = 1 ¸si r3 = 1/2, a1 = a2 = 0 ¸si a3 = 1/2. Atunci mul¸timea V = {(x, y, z) ∈ R3 | |x − a1 | ≤ r1 , |y − a2 | ≤ r2 , |z − a3 | ≤ r3 }. Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R
3
cu f(x, y, z) := (432 + x4 + y 4 − 2z 4 + y 2 z 2 )/234, g(x, y, z) :=
(324−x4 +2y 4 −3z 4 +3x2 z 2 )/432 ¸si h(x, y, z) := (234+2x4 −3y 4 +4z 4 −x2 y 2 +3x+y)/324, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (2) este echivalent cu F (x, y, z) = (x, y, z). Avem F (x, y, z) =
4x3 /234
(4y 3 + 2yz 2 )/234
(−8z 3 + 2y 2 z)/234
(−4x3 + 6xz 2 )/432 8y 3 /432 (−12z 3 + 6x2 z)/432 (8x3 − 2xy 2 + 3)/324 (−12y 3 − 2x2 y + 1)/324 16z 3 /324
,
deci F (x, y, z)∞ = max((|4x3 | + |4y 3 + 2yz 2 | + | − 8z 3 + 2y 2 z|)/234, (| − 4x3 + 6xz 2 | + |8y 3 | + | − 12z 3 + 6x2 z|)/432, (|8x3 − 2xy 2 + 3| + | − 12y 3 − 2x2 y + 1| + |16z 3 |)/324) ≤ max(48/234, 88/432, 108/234) = 1/3 (am folosit −2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1). Putem lua q = 1/3. Pe de alta˘ parte |f (x, y, z) − a1 | ≤ (|432| + |x4 | + |y 4 | + |2z 4 | + |y 2 z 2 |)/234 ≤ 452/234 < 2, |g(x, y, z)−a2 | ≤ (|324|+|x4 |+|2y 4 |+|3z 4 |+|3x2 z 2 |)/432 ≤ 357/432 < 1 ¸si |h(x, y, z) − a3 | ≤ (|234| + |2x4 | + |3y 4 | + |4z 4 | + |x2 y 2 | + |3x| + |y|)/324 ≤ 122/324 < 1/2, ∀ (x, y, z) ∈ V . Deci F (V ) ⊂ V ¸si F este 1/3-contrac¸tie a mul¸timii V în raport cu norma ·∞ . Din principiul contrac¸tiei rezulta˘ ca˘ ecua¸tia F (x, y, z) = (x, y, z) ar solu¸tie unica˘ în V . 4
(n)
(n)
(n)
Pentru x(0) = (0, 0, 1/2) se calculeaza˘ x(n) = (x1 , x2 , x3 ) cu formula de recuren¸ta˘ (n)
(n)
(n)
(n−1)
x1 = f(x(n−1) ), x2 = g(x1 , x2
(n−1)
, x3
(n)
), x3
(n)
(n)
(n−1)
= h(x1 , x2 , x3
) ∀ n ∈ N. Se
opre¸ste procesul iterativ atunci când q/(1 − q)x(n) − x(n−1) ∞ < ε. Pentru ε = 10−10 se ob¸tin urma˘toarele rezultate: n
x
y
z
1
1.8498931624 0.7283987914
0.8064491799
2
1.8952624827 0.7347217752
0.8182233410
3
1.9002520392 0.7348417419
0.8193883638
4
1.9008188414 0.7348467169
0.8195175386
5
1.9008834671 0.7348471269
0.8195321857
6
1.9008908388 0.7348471703
0.8195338544
7
1.9008916797 0.7348471752
0.8195340447
8
1.9008917756 0.7348471757
0.8195340664
9
1.9008917866 0.7348471758
0.8195340689
10 1.9008917878 0.7348471758
0.8195340692
11 1.9008917880 0.7348471758 0.8195340692 .
Metoda lui Newton Fie m ∈ N∗ , D o mul¸time deschisa˘ din Rm ¸si f : D → Rm o func¸tie de clasa˘ C 2 (D). Daca˘ presupunem ca˘ f (x) este inversabila˘ pentru orice x ∈ D, atunci ecua¸tia f(x) = 0 se transforma˘ echivalent astfel: f (x) = 0⇔f(x) + f (x)(x − x) = 0⇔x = x − (f (x))−1 f(x). În ipotezele de mai sus (fa˘ra˘ a presupune ca˘ f (x) este inversabila˘ ∀ x ∈ D), pentru orice x(0) ∈ D definim, daca˘ este posibil, ¸sirul (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = x(n) − (f (x(n) ))−1 f (x(n) ), ∀ n ∈ N. 5
(3)
Fie · o norma˘ pe Rm . Nota˘m tot cu · norma matriciala˘ asociata˘. Presupunem ca˘ exista˘ a ∈ D, r > 0, M > 0, α > 0, β > 0, µ > 0, q ∈ (0, 1) astfel încât: 1) V := Br (a) := {x ∈ Rm | x − a ≤ r} ⊂ D; 2) f (x) ≤ M, ∀ x ∈ V ; 3) Exista˘ (f (a))−1 ¸si (f (a))−1 ≤ α; 1 α 4) Mrα < 1 ¸si ≤ ; 1 − M rα µ −1 5) (f (a)) f(a) ≤ β ≤ (1 − q)r; M 6) 2 f (x) ≤ q, ∀ x ∈ V ; µ Mr 7) ≤ q. µ Atunci ecua¸tia f (x) = 0 are o solu¸tie unica˘ z ∈ V ¸si pentru orice x(0) ∈ V se poate construi ¸sirul (x(n) )n∈N (prin rela¸tia de recuren¸ta˘ (3)) cu proprieta˘¸tile x(n) ∈ V ¸si x(n) − z ≤
2µ 2n q , ∀ n ∈ N. M
Exemplul -1.3 Fie sistemul de ecua¸tii x3 + 3xy 2 + 3xz 2 − 183x + 2 = 0
y 3 + +3x2 y + 3yz 2 − 193y + 1 = 0
(4)
z 3 + 3x2 z + 3y 2 z − 188(z − 1) − 1 = 0
Folosind metoda Newton relativa˘ la norma ·∞ , sa˘ se arate ca˘ sistemul (4) are solu¸tie unica ˘ v în V := [−1, 1]2 × [0, 2]. Pentru o eroare ε data ˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (0, 0, 1) sa˘ se calculeze iterata x(n) , pentru care x(n) − v∞ ≤ ε. Fie r = 1 ¸si a = (0, 0, 1). Atunci mul¸timea V este Br (a) în raport cu norma · ∞ . Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R3 cu f (x, y, z) := x3 + 3xy 2 + 3xz 2 − 183x + 2, g(x, y, z) := y 3 ++3x2 y+3yz 2 −193y+1 ¸si h(x, y, z) := z 3 +3x2 z+3y 2 z−188(z−1)−1 = 0, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (4) este echivalent cu F (x, y, z) = 0.
6
Avem F (x, y, z) =
3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 183
6xy 2
2
6xz 2
6xy
3x + 3y + 3z − 193
6yz
6xz
6yz
3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 188
6x 6y 6z 6y 6x 0 6z 0 6x F (x, y, z) = 6y 6x 0 6x 6y 6z 0 6z 6x 6z 0 6x 0 6z 6y 6x 6y 6z
,
,
deci F (x, y, z)∞ ≤ max(|18x| + |12y| + |12z|, |12x| + |18y| + |12z|, |12x| + |12y| + |18z|) ≤ max(54, 54, 60) = 60 (am folosit −1 ≤ x, y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2). Putem lua −180 0 0 −1 M = 60. Avem F (a) = 0 −190 0 , deci F (a) inversabila˘, (F (a)) = 0 0 −185 −1/180 0 0 ¸si (F (a))−1 ∞ = max(1/180, 1/190, 1/185) = 1/180. 0 −1/190 0 0 0 −1/185 Lua˘m α = 1/180. Cum M rα = 60/180 < 1 ¸si α/(1 − M Rα) = 1/120, putem lua µ = 120. Avem F (a) = (2, 1, 0)t ¸si (F (a))−1 F (a) = (−1/90, −1/190, 0)t , deci (F (a))−1 F (a)∞ = 1/90. Lua˘ m β = 1/90. Condi¸tia β ≤ (1 − q)r implica˘ q ≤ 89/90. Din F (x, y, z)∞ ≤ max(|x3 | + |3xy 2 | + |3xz 2 | + |183x| + 2, |y 3 | + |3x2 y| + |3yz 2 | + |193y| + 1, |z 3 | + |3x2 z| + |3y 2 z| + |188(z − 1)| + 1) ≤ max(201, 210, 209) = 210 rezulta˘ ca˘ (M/µ2 )F (x, y, z)∞ ≤ q⇔q ≥ 210/240 = 7/8. Din M r/µ ≤ q rezulta˘ q ≥ 1/2. Deci putem lua q = 7/8 ¸si atunci ecua¸tia F (x, y, z) = 0 are o solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (0, 0, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ (4) (folosind la fiecare pas o procedura˘ de inversare a matricei (F (x(n) ))−1 ). Se opre¸ste calculul iterativ n
n
atunci când (2µ)/M · q2 ≤ ε ⇔4 · (7/8)2 ≤ ε. Pentru ε = 10−10 se ob¸tin urma˘toarele rezultate: 7
n
x
y
z
1 −0.0387039145 −0.2345464953
0.8497295394
2
0.0109754027
0.0044322958
1.0031237498
3
0.0111111051
0.0052632384
0.9999155652
4
0.0111111257
0.0052631697
1.0000048646
5
0.0111111247
0.0052631693
1.0000023842
6
0.0111111248
0.0052631693
1.0000024531
7
0.0111111248
0.0052631693
1.0000024512 .
Metoda lui Newton simplificata˘ Fie m ∈ N∗ , D o mul¸time deschisa˘ din Rm ¸si f : D→ Rm o func¸tie de clasa˘ C 2 (D). Daca˘ presupunem ca˘ exista˘ a ∈ D astfel încât f (a) este inversabila˘, atunci ecua¸tia f (x) = 0 se transforma˘ echivalent astfel: f (x) = 0⇔f (x) + f (a)(x − x) = 0⇔x = x − (f (a))−1 f (x). Pentru orice x(0) ∈ D definim, daca˘ este posibil, ¸sirul (x(n) )n∈N prin rela¸tia de recuren¸ta˘ x(n+1) = x(n) − (f (a))−1 f (x(n) ), ∀ n ∈ N.
(5)
Fie · o norma˘ pe Rm . Nota˘m tot cu · norma matriciala˘ asociata˘. Presupunem ca˘ exista˘ r > 0, M > 0, α > 0, β > 0, q ∈ (0, 1) astfel încât: 1) V := Br (a) := {x ∈ Rm | x − a ≤ r} ⊂ D; 2) f (x) ≤ M, ∀ x ∈ V ; 3) (f (a))−1 ≤ α; 4) (f (a))−1 f(a) ≤ β ≤ (1 − q)r; 5) Mrα ≤ q. Atunci ecua¸tia f (x) = 0 are o solu¸tie unica˘ z ∈ V ¸si pentru orice x(0) ∈ V se poate
8
construi ¸sirul (x(n) )n∈N (prin rela¸tia de recuren¸ta˘ (5)) cu proprieta˘ ¸tile x(n) ∈ V ¸si (n)
x
q qn (n) (n−1) − z ≤ x − x ≤ x(1) − x(0) , ∀ n ∈ N. 1−q 1−q
Exemplul -1.4 Fie sistemul de ecua¸tii x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 853/144 = 0
3x2 − 4y 2 + z 2 + x − y − 3z + 1309/432 = 0
(6)
5x2 + 2y 2 − 3z 2 + 2x − 4y − 6z + 37/9 = 0
Folosind metoda Newton simplificata ˘ relativa ˘ la norma · ∞ , sa ˘ se arate ca ˘ sistemul (6) are solu¸tie unica˘ v în V := [−0, 8; 1, 2]3 . Pentru o eroare ε data˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (1, 1, 1), sa ˘ se calculeze iterata x(n) pentru care x(n) − v∞ ≤ ε. Fie r := 0, 2 = 1/5 ¸si a := (1, 1, 1). Atunci mul¸timea V este Br (a) în raport cu norma · ∞ . Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R3 cu f (x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 853/144, g(x, y, z) := 3x2 − 4y 2 + z 2 + x − y − 3z + 1309/432 ¸si h(x, y, z) := 5x2 + 2y 2 − 3z 2 + 2x − 4y − 6z + 37/9, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (6) este echivalent cu F (x, y, z) = 0. Avem
2x + 1
F (x, y, z) = 6x + 1 10x + 2 2 0 0 F (x, y, z) = 6 0 0 10 0 0
2y + 1
2z + 1
−8y − 1 4y − 4 0
2
0
0 −8 0 0
4
0
2z − 3 , −6z − 6 0 0 2 0 0 2 , 0 0 −6
deci F (x, y, z)∞ ≤ max(|2|+|2|+|2|, |6|+|−8|+|2|, |10|+|4|+|−6|) = 20, ∀ (x, y, z) ∈ 3 9 3 V . Putem lua M = 20. Avem F (a) = 7 −9 −1 , cu det(F (a)) = 72, deci 12 0 −12 9
9
3
2
1 F (a) inversabila˘, (F (a)) = 6 −6 2 ¸si (F (a))−1 ∞ = max(14/72, 14/72, 16/72) = 72 9 3 −4 2/9. Lua˘ m α = 2/9. Avem F (a) = (11/144, 13/432, 1/9)t ¸si (F (a))−1 F (a) =
−1
(1/72, 1/144, 1/216)t , deci (F (a))−1 F (a)∞ = 1/72. Lua˘m β = 1/72. Condi¸tia β ≤ (1 − q)r implica˘ q ≤ 67/72. Din αM r ≤ q rezulta˘ q ≥ 8/9. Deci putem lua q = 8/9 ¸si atunci ecua¸tia F (x, y, z) = 0 are o solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (1, 1, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ (6). Se opre¸ste calculul iterativ atunci când q/(1 − q) · x(n) − x(n−1) ∞ ≤ ε. Pentru ε = 10−10 se ob¸tin urma˘toarele rezultate: n
x
y
z
1 0.9861111111 0.9930555556
0.9953703704
2 0.9860336380 0.9930399270
0.9953759520
3 0.9860328001 0.9930398800
0.9953760624
4 0.9860327911 0.9930398803
0.9953760635
5 0.9860327910 0.9930398803 0.9953760635 .
10
˘ INTERPOLARE POLINOMIALA Formula lui Lagrange Se considera˘: • n ∈ N∗ ; • x1 , x2 , . . . , xn ∈ R cu xi = xj pentru orice 1 ≤ i = j ≤ n puncte (noduri) distincte doua˘ câte doua˘; • y1 , y2 , . . . , yn ∈ R numere reale. Spunem ca˘ aceste elemente definesc un sistem de date notat cu (SL). Se nume¸ste polinom de interpolare Lagrange ata¸sat sistemului de date (SL) un polinom P ∈ R[X] cu urma˘toarele proprieta˘¸ti: 1) grad P ≤ n − 1; 2) P (xi ) = yi pentru orice 1 ≤ i ≤ n. Polinomul de interpolare Lagrange ata¸sat sistemului de date (SL) exista˘, este unic ¸si se reprezinta˘ sub forma: P (x) =
n i=1
yi
n
x − xj . xi − xj j=1, j=i
(1)
Formula (1) se nume¸ste formula lui Lagrange de reprezentare a polinomului de interpolare. Exemplul -1.1 Utilizând formula lui Lagrange de reprezentare sa ˘ se determine polinomul de interpolare de grad 2 ce verifica˘ condi¸tiile: P (0) = 2, P (1) = 1, P (4) = 4.
1
Din (1) rezulta˘ ca˘: P (x) = P (0)L1 (x) + P (1)L2 (x) + P (4)L3 (x). Avem: L1 (x) =
x2 − 5x + 4 (x − 1)(x − 4) = , (0 − 1)(0 − 4) 4
L2 (x) = L3 (x) = Atunci:
x(x − 4) x2 − 4x = , (1 − 0)(1 − 4) −3 x(x − 1) x2 − x = . (4 − 0)(4 − 1) 12
x2 − 5x + 4 x2 − 4x x2 − x 1 3 P (x) = 2 · +1· +4· = x2 − x + 2. 4 −3 12 2 2
Algoritmul lui Aitken Fie n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn puncte distincte doua˘ câte doua˘, con¸tinute într-un interval real I. Considera˘m o func¸tie continua˘ f : I → R. Se nume¸ste polinom de interpolare Lagrange asociat func¸tiei f ¸si nodurilor x1 , x2 , . . . , xn polinomul P de grad mai mic sau egal cu n−1 care verifica˘ condi¸tiile P (xi ) = f (xi ). Nota˘m valoarea acestui polinom într-un punct x din I cu P (f; x1 , x2 , . . . , xn ; x). Polinomul de interpolare Lagrange asociat func¸tiei f ¸si nodurilor x1 , x2 , . . . , xn exista˘ ¸si este unic. Daca˘ n = 1, atunci P (f ; x1 ; x) = f(x1 ),
(2)
iar daca˘ n ≥ 2, atunci P (f; x1 , x2 . . . , xn ; x) = =
P (f; x2 , x3 . . . , xn ; x)(x − x1 ) − P (f ; x1 , x2 . . . , xn−1 ; x)(x − xn ) . xn − x1
Pentru orice 1 ≤ i ≤ n ¸si i ≤ j ≤ n definim recurent polinoamele Pij astfel: P1j (x) := P (f ; xj ; x) = f (xj ) ∀ 1 ≤ j ≤ n ¸si 2
(3)
Pij (x) := P (f ; x1 , x2 , . . . , xi−1 , xj ; x) ∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n.
(4)
Cu formula (3) rezulta˘ ca˘ Pij (x) =
(x − xi−1 )Pi−1j − (x − xj )Pi−1i−1 ∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n. xj − xi−1
(5)
Observa˘m ca˘ P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = Pnn (x). Prezenta˘m în continuare un algoritm pentru calculul coeficien¸tilor polinomului de interpolare Lagrange P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) (bazat pe algoritmul Aitken): Cum grad Pij ≤ i − 1 ∀ 1 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n, putem scrie ij ij i−1 Pij (x) = aij . 1 + a2 x + · · · + ai x
Egalând coeficien¸tii lui xk cu 0 ≤ k ≤ i − 1 din rela¸tile (4) ¸si (5), ob¸tinem: a1j 1 = f (xj ) ∀ 1 ≤ j ≤ n,
j i−1 −ai−1 xi−1 + ai−1 xj ij 1 1 a1 = xj − xi−1 i−1 j j i−1 i−1 a − ai−1 xi−1 − ak−1 + aki−1 i−1 xj k−1 k ∀2 ≤ k ≤ i − 1 , aij = k x j − xi−1 j i−1 i−1 ai−1 ij i−1 − ai−1 ai = xj − xi−1
∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n. Deci se observa˘ ca˘ determinarea coeficien¸tilor aij k este recursiva˘. În concluzie, avem: nn nn n−1 P (f; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = ann . 1 + a2 x + · · · + an x
√ Exemplul -1.2 Fie func¸tia f : [0, 12] → R cu f (x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 12]. Sa ˘ se determine polinomul de interpolare Lagrange P (f ; 0, 4, 12; x) utilizând algoritmul Aitken. Nodurile sunt x1 = 0, x2 = 4, x3 = 12. Atunci P11 (x) = f(0) = 6, P12 (x) = f (4) = 10, P13 (x) = f (12) = 6. Rezulta˘ ca˘ P22 (x) =
10x − 6(x − 4) = x + 6, 4 3
P23 (x) =
6x − 6(x − 12) =6 12
¸si astfel P (f; 0, 4, 12; x) = P33 (x) = −
x2 3x + + 6. 8 2
Algoritmul lui Neville Fie n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn puncte distincte doua˘ câte doua˘ con¸tinute într-un interval real I. Considera˘m o func¸tie continua˘ f : I → R. Pentru orice 1 ≤ i ≤ n ¸si i ≤ j ≤ n definim recurent polinoamele Pij astfel: P1j (x) := P (f ; xj ; x) = f (xj ) ∀ 1 ≤ j ≤ n ¸si Pij (x) = P (f ; xj−i+1 , . . . , xj−1 , xj ; x) ∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n.
(6)
Cu formula (3) rezulta˘ ca˘ Pij (x) =
(x − xj−i+1 )Pi−1 j − (x − xj )Pi−1 j−1 ∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n. xj − xj−i+1
(7)
Observa˘m ca˘ P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = Pnn (x). Prezenta˘m în continuare un algoritm pentru calculul coeficien¸tilor polinomului de interpolare Lagrange P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) (bazat pe algoritmul Neville): Cum grad Pij ≤ i − 1 ∀ 1 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n, putem scrie ij ij i−1 Pij (x) = aij 1 + a2 x + · · · + ai x
Egalând coeficien¸tii lui xk cu 0 ≤ k ≤ i − 1, din rela¸tile (6) ¸si (7) ob¸tinem: a1j 1 = f (xj ) ∀ 1 ≤ j ≤ n,
j j−1 −ai−1 xj−i+1 + ai−1 xj ij 1 1 a = 1 xj − xj−i+1 i−1 j j j−1 a − ai−1 xj−i+1 − ai−1 + aki−1 j−1 xj k−1 k k−1 aij = ∀ 2 ≤ k ≤ i − 1, k x j − xj−i+1 j i−1 j−1 ai−1 ij i−1 − ai−1 ai = xj − xj−i+1 4
∀ 2 ≤ i ≤ n, ∀ i ≤ j ≤ n. Deci se observa˘ ca˘ determinarea coeficien¸tilor aij k este recursiva˘. Astfel, avem: nn nn n−1 P (f; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = ann . 1 + a2 x + · · · + an x
√ Exemplul -1.3 Fie func¸tia f : [0, 12] → R cu f (x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 12]. Sa ˘ se determine polinomul de interpolare Lagrange P (f ; 0, 4, 12; x) utilizând algoritmul Neville. Nodurile sunt x1 = 0, x2 = 4, x3 = 12. Atunci P11 (x) = f(0) = 6, P12 (x) = f (4) = 10, P13 (x) = f (12) = 6. Rezulta˘ ca˘ P22 (x) = P23 (x) =
10x − 6(x − 4) = x + 6, 4
6(x − 4) − 10(x − 12) x = − + 12 8 2
¸si astfel P (f; 0, 4, 12; x) = P33 (x) = −
x2 3x + +6 8 2
Formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare Se considera˘: • n ∈ N∗ ; • x1 , x2 , . . . , xn ∈ R un sistem de puncte (noduri); • m ∈ N∗ numa˘rul de puncte distincte; • y1 , y2 , . . . , ym ∈ R punctele distincte ale sistemului; • n1 , n2 , . . . , nm ∈ N∗ ordinele de multiplicitate ale punctelor distincte în sistem; • zij ∈ R cu 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ ni − 1 familie de elemente reale. 5
Spunem ca˘ aceste elemente definesc un sistem de date notat cu (SH). Se nume¸ste polinom de interpolare Hermite ata¸sat sistemului de date (SH) un polinom P ∈ R[x] cu urma˘toarele proprieta˘¸ti: 1) grad P ≤ n − 1; 2) P (j) (yi ) = zij pentru orice 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ ni − 1. Polinomul de interpolare Hermite ata¸sat sistemului dedate (SH) exista˘ ¸si este unic. Fie I un interval real ce con¸tine punctele x1 , . . . , xn ¸si f : I → R o func¸tie de ni − 1 ori derivabila˘ în yi pentru orice 1 ≤ i ≤ m. Lua˘m zij := f (j) (yi ), ∀ 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ ni − 1. Polinomul de interpolare Hermite ata¸sat acestui sistem de date se nume¸ste polinom de interpolare asociat func¸tiei f ¸si sistemului de date (SH). Nota˘m valoarea acestui polinom într-un punct x din I cu P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x). Se nume¸ste diferen¸ta˘ divizata˘ a func¸tiei f relativa˘ la sistemul de noduri x1 , x2 , . . . , xn coeficientul lui xn−1 din reprezentarea canonica˘ a polinomului de interpolare P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x). Nota˘m diferen¸ta divizata˘ cu f (x1 , x2 , . . . , xn ). Diferen¸tele divizate se calculeaza˘ cu ajutorul urma˘toarelor formule: Pentru n ≥ 2 ¸si x1 = xn f (x1 , x2 , . . . , xn ) = iar
f (x2 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn−1 ) , xn − x1
f (n−1) (a) f(a, a, . . . , a) = .
(n − 1)!
(8)
n ori
Urma˘toarea egalitate este formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare: P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = f (x1 ) +
n
f(x1 , x2 , . . . , xi )
i=2
i−1 j=1
(x − xj ).
Fie f : I → R o func¸tie de n ori derivabila˘ pe I. Atunci n (n) 1 |f (x) − P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x)| ≤ · max f (x) · (x − xi ) , ∀x ∈ I. n! x∈I i=1
6
Algoritm: Nota˘m cu aij diferen¸tele divizate f (xj−i+1 , . . . , xj−1, xj ), ∀ i ∈ {2, . . . , n}, ∀ j ∈ n i−1
{i, . . . , n} si cu ci = aii . Atunci P (x) := P (f ; x1 , x2 , . . . , xn ; x) = c1 + ci (x − xj ) i=2
Pentru i ∈ 1, n lua˘m a1i = f (xi ) si c1 = a1 . Apoi pentru i = 2, n, calcula˘m diferen¸tele divizate aij = si luam ci = aii .
j=1
ai−1:j − ai−1:j−1 ∀ j = i, n xj − xj−i+1
Polinomul P în punctul x îl putem calcula cu o schema˘ de tip Horner astfel: Are loc descompunerea: P = [. . . [[[cn](x − xn−1 ) − cn−1 ](x − xn−2 ) + cn−2 ](x − xn−3 ) + · · · · · · + c2 ](x − x1 ) + c1 Rezulta˘ schema de calcul: P = cn ; P = P · (x − xn−1 ) + cn−1 ; P = P · (x − xn−2 ) + cn−2 ; . . . ; P = P · (x − x1 ) + c1 deci • P := cn ; • pentru i = n − 1 pâna˘ la 1 lua˘m P = P · (u − xi ) + ci ; √ Exemplul -1.4 Fie func¸tia f : [0, 4] → R cu f (x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 4]. Utilizând formula de reprezentare Newton sa ˘ se determine polinomul de interpolare Hermite P (x) = P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x). Se se evalueze eroarea |f (x) − P (x)|. Avem x1 = x2 = x3 = 0, x4 = x5 = 4. Din formula de reprezentare Newton avem: P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x) = f(0) + f (0, 0)x + f(0, 0, 0)x2 + +f (0, 0, 0, 4)x3 + f(0, 0, 0, 4, 4)x3 (x − 4) 7
Vom calcula diferen¸tele divizate cu formulele de recuren¸ta˘ date de (8). Calculele le vom organiza într-un tabel de forma: nod
d.d.
d.d.
d.d.
d.d.
d.d.
1n
2n
3n
4n
5n
x1
f (x1 ) f(x1 , x2 ) f(x1 , x2 , x3 ) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) f(x1 , . . . , x5 )
x2
f (x2 ) f(x2 , x3 ) f(x2 , x3 , x4 ) f (x2 , x3 , x4 , x5 )
x3
f (x3 ) f(x3 , x4 ) f(x3 , x4 , x5 )
x4
f (x4 ) f(x4 , x5 )
x5
f (x5 )
(am notat cu "d.d.kn " diferen¸te divizate asociate la k noduri). √ Cum f (x) = 6 2x + 1 − 2x = 6(2x + 1)1/2 − 2x, rezulta˘ ca˘ f (x) = 6(2x + 1)−1/2 − 2 ¸si f (x) = −6(2x + 1)−3/2 . Atunci f(0) = 6, f (4) = 10, f (0, 0) = f (0) = 4, f (0, 4) = (f(4) − f (0))/(4 − 0) = 1, f (4, 4) = f (4) = 0, f(0, 0, 0) = 12 f (0) = −3, f (0, 0, 4) = (f(0, 4) − f (0, 0))/(4 − 0) = −3/4 etc.. Rezulta˘ urma˘torul tabel în cazul datelor problemei: nod 1n 2n
3n −3
4n
5n
0
6
4
9/16 −7/64
0
6
4
−3/4 2/16
0
6
1
−1/4
4
10
0
4
10
Atunci (cu formula de reprezentare Newton) avem P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x) = 6 + 4x − 3x2 +
9 3 7 x − x3 (x − 4). 16 64
Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ |f (x) − P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x)| ≤ 8
M5 3 |x (x − 4)2 | ∀ x ∈ [0, 4], 5!
unde M5 = sup |f (5) (x)|. Avem f (3) (x) = 18(2x + 1)−5/2 , f (4) (x) = −90(2x + 1)−7/2 , x∈[0,4]
f (5) (x) = 630(2x + 1)−9/2 . Cum f (6) (x) = −630 · 9(2x + 1)−11/2 < 0, rezulta˘ ca˘ f (5) este descresca˘toare ¸si cum f (5) (x) > 0 ∀ x ∈ [0, 4] rezulta˘ ca˘ M5 = f (5) (0) = 630. Atunci |f(x) − P (x)| ≤
21 630 3 |x (x − 4)2 | = x3 (x − 4)2 , ∀ x ∈ [0, 4]. 120 4
Interpolare Cebâ¸sev În cele ce urmeaza˘ ne propunem sa˘ diminua ˘m eroarea la interpolarea polinomiala ˘ Lagrange pe un interval dat [a, b] în cazul unui numa˘r dat n ∈ N ∗ de noduri prin alegerea unor "noduri optimale". Definim "nodurile optimale" y1 , y2 , . . . , yn prin rela¸tia: sup
n
x∈[a,b] i=1
|x − yi | ≤ sup
n
x∈[a,b] i=1
|x − xi |,
(9)
pentru orice puncte x1 , x2 , . . . , xn din [a, b]. În continuare vVom construi aceste "noduri optimale". Func¸tia Tn : R → R data˘ de Tn (x) = cos(n arccos x) este un polinom de gradul n ¸si are n ra˘da˘cini distincte situate în intervalul [−1, 1]. Fie n ∈ N ∗ ¸si a < b ∈ R. Nota˘m n b−a 2x − a − b Tn Pn (x) = 2 4 b−a
∀ x ∈ [a, b]
(10)
Atunci sup |Pn (x)| ≤ sup |Q(x)|,
x∈[a,b]
x∈[a,b]
pentru orice polinom Q monic de grad n. "Nodurile optimale", pe un interval dat [a, b], la interpolarea polinomiala˘ Lagrange cu n puncte, sunt: b−a (2i − 1)π b+a yi = cos + ∀ i ∈ 1, n. 2 2n 2 9
Formula lui Newton de interpolare ascendenta˘ Fie I un interval real, familia (xj )j∈Z o re¸tea de noduri (reale) echidistante cu pasul x − x0 h definita˘ prin x0 ∈ I ¸si xj = x0 + jh, ∀ j ∈ N. Nota˘m q := unde x ∈ I. h n−1
Pentru x ∈ I ¸si n ∈ N∗ nota˘m Anx = (x − j) numite aranjamente generalizate ¸si j=0
An Cxn = x numite combina˘ri generalizate. Prin conven¸tie lua˘m A0x = 1 ¸si Cx0 = 1. n! Fie f : I → R o func¸tie, x ∈ I ¸si h > 0 un numa˘r real. Numim diferen¸ta ˘ nedivizat˘ a ascendent˘ a a func¸tiei f în punctul x, corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu ∆h f (x)), expresia: ∆h f (x) := f (x + h) − f(x). Fie n ∈ N∗ . Numim diferen¸ta a ascendent˘ a de ordin n a func¸tiei f în ˘ nedivizat˘ punctul x, corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu ∆nh f (x)) compunerea: ∆nh f (x) := ∆n−1 h (∆h f (x)), unde, prin conven¸tie, ∆0hf (x) = f(x), iar ∆1h = ∆h . Cu datele ¸si nota¸tiile anterioare este adeva˘rata˘ egalitatea P (f ; x0 , x1 , . . . , xn ; x) =
n
Cqi ∆ihf (x0 ),
i=0
numita˘ formula lui Newton de interpolare ascendenta˘. Exemplul -1.5 Sa˘ se determine, folosind formula de interpolare Newton ascendenta ˘, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 3, x0 = 4, h = 2 (de unde x1 = 6, x2 = 8, x3 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua˘ cu f (x0 ) = 1, f (x1 ) = 3, f (x2 ) = 8, f (x3 ) = 20 s¸i sa ˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7.
10
Organiza˘m calculul diferen¸telor nedivizate ascendente în tabelul urma˘tor: k xk f (xk ) ∆1h f(xk ) ∆2hf (xk ) ∆3h f (xk ) 0
4
1
2
3
1
6
3
5
7
2
8
8
12
3 10
20
4
(De exemplu ∆1h f (x0 ) = ∆h f (x0 ) = f(x1 )−f(x0 ) = 3−1 = 2, ∆2hf (x0 ) = ∆1h ∆h f (x0 ) = ∆h f (x1 ) − ∆h f (x0 ) = ∆1hf (x1 ) − ∆1h f (x0 ) = 5 − 2 = 3, etc.) Atunci ∆0hf (x0 ) = 1, ∆1h f (x0 ) = 2, ∆2hf (x0 ) = 3, ∆3h f(x0 ) = 4. x−4 x−4 x − x0 ¸si atunci Cq0 = 1, Cq1 = q = = , Cq2 = Fie x ∈ R Avem q = h 2 2 q(q − 1) (x − 4)(x − 6) q(q − 1)(q − 2) (x − 4)(x − 6)(x − 8) = , Cq3 = = . Rezulta˘ 2 8 6 48 ca˘: P (f ; x0 , x1 , x2 , x3 ; x) = 3 i=0
3 4 Cqi ∆ihf (x0 ) = 1 + (x − 4) + (x − 4)(x − 6) + (x − 4)(x − 6)(x − 8) 8 48
¸si deci P (f ; x0 , x1 , x2 , x3 ; 7) = 1 + 3 +
9 1 39 − = = 4.875 . 8 4 8
Formula lui Newton de interpolare descendenta˘ Cu nota¸tiile de la sec¸tiunea anterioara˘, fie f : I → R o func¸tie, x ∈ I ¸si h > 0 un numa˘r real. Numim diferen¸ta a descendent˘ a a func¸tiei f în punctul ˘ nedivizat˘ x, corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu ∇h f(x)), expresia: ∇h f (x) := f (x) − f (x − h). Fie n ∈ N∗ . Numim diferen¸ta a descendent˘ a de ordinul n a func¸tiei ˘ nedivizat˘ f în punctul x, corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu ∇nh f (x)) compunerea: ∇nh f (x) := ∇n−1 h (∇h f (x)), 11
unde, prin conven¸tie, ∇0h f (x) = f (x), iar ∇1h = ∇h .. Atunci este adeva˘rata˘ egalitatea n i P (f ; x0 , x−1 , . . . , x−n ; x) = (−1)i C−q ∇ih f(x0 ), i=0
numita˘ formula lui Newton de interpolare descendenta˘. Exemplul -1.6 Sa˘ se determine, folosind formula de interpolare Newton descendenta ˘, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 3, x0 = 10, h = 2 (de unde x−1 = 8, x−2 = 6, x−3 = 4) s¸i f : R → R o func¸tie continua˘ cu f(x0 ) = 20, f (x−1 ) = 8, f(x−2 ) = 3, f (x−3 ) = 1 s¸i sa ˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Organiza˘m calculul diferen¸telor nedivizate descendente în tabelul urma˘tor: k
xk f (xk ) ∇1h f (xk ) ∇2hf (xk ) ∇3h f (xk )
0
10
20
12
7
−1
8
8
5
3
−2
6
3
2
−3
4
1
4
(De exemplu ∇1h f (x0 ) = ∇h f(x0 ) = f (x0 ) − f (x−1 ) = 20 − 8 = 12, ∇2h f(x0 ) = ∇1h ∇h f (x0 ) = ∇h f (x0 ) − ∇h f (x−1 ) = ∇1hf (x0 ) − ∇1h f (x−1 ) = 12 − 5 = 7, etc.) Atunci ∇0h f (x0 ) = 20, ∇1h f(x0 ) = 12, ∇2h f (x0 ) = 7, ∇3h f (x0 ) = 4. x − 10 x − x0 ¸si atunci = Fie x ∈ R. Avem q = h 2 x − 10 −q(−q − 1) (x − 10)(x − 8) 1 0 2 3 C−q = 1, C−q = −q = − , C−q = = , C−q = 2 2 8 −q(−q − 1)(−q − 2) (x − 10)(x − 8)(x − 6) = . Rezulta˘ ca˘: 6 48 3 i P (f ; x0 , x−1 , x−2 , x−3 ; x) = (−1)i C−q ∇ih f (x0 ) = i=0
= 20 +
12 7 4 (x − 10) + (x − 10)(x − 8) + (x − 10)(x − 8)(x − 6) 2 8 48
¸si deci P (f ; x0 , x−1 , x−2 , x−3 ; 7) = 20 − 18 + 12
21 1 39 + = = 4.875 . 8 4 8
Formula de interpolare Gauss înainte Fie f : I → R o func¸tie, x ∈ I ¸si h > 0 un numa˘r real. Numim diferen¸ta ˘ nedivizat˘ a central˘ a a func¸tiei f în punctul x corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu δ hf (x)), expresia: h h δ hf (x) := f x + −f x− . 2 2 Fie n ∈ N ∗ . Numim diferen¸t˘ a nedivizat˘ a central˘ a de ordinul n a func¸tiei f în punctul x, corespunz˘ atoare pasului h (¸si o nota˘m cu δnh f (x)) compunerea: δ nh f (x) := δn−1 h (δ h f (x)), unde, prin conven¸tie, δ 0h f (x) = f (x), iar δ 1h f (x) = δ h f (x). Atunci este adeva˘rata˘ egalitatea P (f; x−n . . . , x−1 , x0 , x1 . . . , xn ; x) = n 2i−1 2i−1 2i = f(x0 ) + (Cq+i−1 δ h f(x1/2 ) + Cq+i−1 δ 2i h f (x0 )) i=1
1 (unde x1/2 = x + h), numita˘ formula de interpolare Gauss înainte. 2 Exemplul -1.7 Sa˘ se determine, folosind formula de interpolare Gauss înainte, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 2, x0 = 6, h = 2 (de unde x−2 = 2, x−1 = 4, x1 = 8, x2 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua ˘ cu f (x−2 ) = −2, f (x−1 ) = 1, f (x0 ) = 3, f (x1 ) = 8, f (x2 ) = 20 s¸i sa˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Printr-un calcul elementar, se arata˘ ca˘, pentru orice i = 1, 2: 2i δ h2i−1 f (x1/2 ) = ∆h2i−1 f (x−i+1 ) ¸si δ 2i h f(x0 )) = ∆h f (x−i )).
13
Atunci: P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = 2 2i−1 2i f (x0 ) + (Cq+i−1 ∆2i−1 f(x−i+1 ) + Cq+i−1 ∆2i h f(x−i )) = h i=1
= f (x0 ) +
Cq1 ∆1h f (x0 )
3 4 + Cq2 ∆2hf (x−1 ) + Cq+1 ∆3h f (x−1 ) + Cq+1 ∆4h f(x−2 ).
Organiza˘m calculul diferen¸telor finite ascendente în tabelul urma˘tor: xk f (xk ) ∆1h f (xk ) ∆2h f(xk ) ∆3hf (xk ) ∆4hf (xk )
k −2
2
−2
3
−1
4
−1
4
1
2
3
4
0
6
3
5
7
1
8
8
12
2
10
20
0
Avem: f (x0 ) = 3, ∆1h f(x0 ) = 5, ∆2hf (x−1 ) = 3, ∆3h f (x−1 ) = 4, ∆4hf (x−2 ) = 0. Cum x−6 q(q − 1) (x − 6)(x − 8) x−6 3 rezulta˘ ca˘ Cq1 = q = , Cq2 = = , Cq+1 = q = 2 2 2 8 (q + 1)q(q − 1) (x − 4)(x − 6)(x − 8) = . Atunci: 6 48 P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = =3+5
x−6 (x − 6)(x − 8) (x − 4)(x − 6)(x − 8) +3 +4 2 8 48
¸si f(7) P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; 7) = 3 +
5 3 1 39 − − = = 4.875 . 2 8 4 8
Formula de interpolare Gauss înapoi Cu nota¸tiile din sec¸tiunea anterioara˘ este adeva˘rata˘ egalitatea: P (f; x−n . . . , x−1 , x0 , x1 . . . , xn ; x) = n 2i−1 2i−1 2i 2i = f (x0 ) + (Cq+i−1 δ h f (x−1/2 ) + Cq+i δ h f (x0 )) i=1
1 (unde x−1/2 = x0 − h), numita˘ formula de interpolare Gauss înapoi. 2 14
Exemplul -1.8 Sa˘ se determine, folosind formula de interpolare Gauss înapoi, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 2, x0 = 6, h = 2 (de unde x−2 = 2, x−1 = 4, x1 = 8, x2 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua˘ cu f (x−2 ) = −2, f (x−1 ) = 1, f (x0 ) = 3, f (x1 ) = 8, f (x2 ) = 20 s¸i sa ˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Printr-un calcul elementar, se arata˘ ca˘, pentru orice i = 1, 2: 2i δ h2i−1 f (x1/2 ) = ∆h2i−1 f (x−i+1 ) ¸si δ 2i h f(x0 )) = ∆h f (x−i )).
Atunci: P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = 2 2i−1 2i f(x0 ) + (Cq+i−1 ∆2i−1 f (x−i ) + Cq+i ∆2i h f(x−i )) = h i=1
2 3 4 = f (x0 ) + Cq1 ∆1h f (x−1 ) + Cq+1 ∆2h f(x−1 ) + Cq+1 ∆3h f (x−2 ) + Cq+2 ∆4h f (x−2 ).
Organiza˘m calculul diferen¸telor finite ascendente în tabelul urma˘tor: k
xk f (xk ) ∆1h f (xk ) ∆2h f(xk ) ∆3hf (xk ) ∆4hf (xk )
−2
2
−2
3
−1
4
−1
4
1
2
3
4
0
6
3
5
7
1
8
8
12
2
10
20
0
Avem: f (x0 ) = 3, ∆1h f (x−1 ) = 2, ∆2h f (x−1 ) = 3, ∆3hf (x−2 ) = 4, ∆4hf (x−2 ) = 0. Cum x−6 (q + 1)q (x − 4)(x − 6) x−6 2 3 , rezulta˘ ca˘ Cq1 = q = , Cq+1 = = , Cq+1 = q = 2 2 2 8 (q + 1)q(q − 1) (x − 4)(x − 6)(x − 8) = . Atunci: 6 48 P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = =3+2
x−6 (x − 4)(x − 6) (x − 4)(x − 6)(x − 8) +3 +4 2 8 48 15
¸si f(7) P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; 7) = 3 + 1 +
39 9 1 − = = 4.875 . 8 4 8
Interpolare cu func¸tii spline cubice Fie I = [a, b] ⊂ R, ∆n = (a = x1 < x2 < . . . < xn = b) o diviziune a intervalului [a, b] ¸si fi ∈ R , i = 1, n pentru n ∈ N . Se nume¸ste func¸tie spline cubic˘ a, corespunz˘ atoare diviziunii ∆n o func¸tie s : [a, b] −→ R care satisface condi¸tiile: i) s|[xi ,xi+1 ] este polinom de gradul trei pentru i = 1, n − 1
ii) s ∈ C 2 ([a, b]) .
Se noteaza˘ cu S3 (∆n ) mul¸timea func¸tiilor spline cubice, corespunza˘toare diviziunii ∆n . Func¸tia spline cubic˘ a asociat˘ a sistemului de puncte (xi , fi )i=1,n este o func¸tie cubica˘ corespunza˘toare diviziunii ∆n , s : [a, b] → R, cu proprietatea s (xi ) = fi , i = 1, n . În condi¸tile formulate mai sus, ∀ i = 1, n − 1, func¸tia s se reprezinta˘ în mod unic sub forma: s(x) = c1i +c2i (x − xi )+ unde
c1i c2i c3i c4i
c3i c4i (x − xi )2 + (x − xi )3 , ∀x ∈ [xi , xi+1 ], 2 6
(11)
= fi , = si ,
1 fi+1 − fi = 6 − (4si + 2si+1 ) , xi+1 − xi xi+1 − xi 6 fi+1 − fi = (si + si+1 ) − 2 − , (xi+1 − xi )2 xi+1 − xi 16
(12)
iar s1 , . . . , sn sunt solu¸tiile sistemului: (xi+1 − xi ) si−1 + 2 (xi+1 − xi−1 ) si + (xi − xi−1 ) si+1 = 3
fi − fi−1 xi − xi−1
fi+1 − fi (xi+1 − xi ) + (xi − xi−1 ) , i = 2, n − 1 . xi+1 − xi
(13)
Pentru determinarea unica˘ a spline-ului cubic, sistemul (12) trebuie completat cu condi¸tii la capete. De exemplu, putem presupune ca˘ sunt cunoscute valorile pentru
s (x1 ) ¸si s (xn ):
s (x1 ) = α ,
s (xn ) = β ,
(14)
sau ca˘ sunt cunoscute valorile pentru s (x1 ) ¸si s (xn ):
s1 = s (x1 ) = α ,
sn = s (xn ) = β .
(15)
Rela¸tiile (14) sunt echivalente cu: 2s1 + s2
= 3
α f2 − f1 − (x2 − x1 ) x2 − x1 2
sn−1 + 2sn = 3 fn − fn−1 + β (xn − xn−1 ) . xn − xn−1 2
Remarc˘ a. Din (13) ¸si (??) sau din (13) ¸si (15) din se pot determina s1 , . . . , sn , apoi din (12) se determina˘ c1i , c2i , c3i , c4i pentru i = 1, n − 1 ¸si deci, conform cu (11), func¸tia s este cunoscuta˘ pe [a, b]. Pentru f : [a, b] → R de doua˘ ori derivabila˘ determina˘m func¸tia spline cubica˘ de interpolare asociata˘ diviziunii ∆n ¸si functiei f, adica˘, o functie spline cubica s ∈ S3 (∆n) cu proprieta˘¸tile s(xi ) = f(xi ), ∀ i ∈ 1, n ¸si
s (a) = f (a) ¸si s (b) = f (b) .
sau s (a) = f (a) ¸si s (b) = f (b) .
17
Derivare numerica˘ Derivarea numerica˘ consta˘ în aproximarea derivatelor de un anumit ordin ale unei func¸tii, printr-o combina¸tie liniara˘ de valori ale func¸tiei în anumite puncte. Formule pentru derivata de ordinul I Fie f : R → R o func¸tie derivabila˘, x0 ∈ R ¸si h > 0 un numa˘r real numit pas. Atunci f (x0 ) =
f (x0 + h) − f(x0 ) + R(f), h
(1)
unde, daca˘ f ∈ C 2 ([x0 , x0 + h]), restul R(f) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤ f (x0 ) =
h · max |f (x)| . 2 x∈[x0 ,x0 +h]
f (x0 ) − f(x0 − h) + R(f ), h
(2)
unde, daca˘ f ∈ C 2 ([x0 − h, x0 ]), restul R(f ) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤
h · max |f (x)| . 2 x∈[x0 −h,x0 ]
Formulele de derivare (1) @si (2) sunt exacte pe mul¸timea polinoamelor de gradul 1. f (x0 ) =
f (x0 + h) − f(x0 − h) + R(f), 2h
(3)
unde, daca˘ f ∈ C 3 ([x0 − h, x0 + h]), restul R(f) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤
h2 · max |f (x)| . x∈[x −h,x +h] 6 0 0
Formula de derivare numerica˘ anterioara˘ se poate generaliza astfel: f (x0 )
h21 f (x0 + h2 ) + (h22 − h21 )f (x0 ) − h22 f (x0 − h1 ) , h1 h2 (h1 + h2 )
unde h1 , h2 sunt numere reale pozitive. f (x0 ) =
−3f(x0 ) + 4f (x0 + h) − f (x0 + 2h) + R(f), 2h 1
(4)
unde, daca˘ f ∈ C 3 ([x0 , x0 + 2h]), restul R(f ) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤
h2 · max |f (x)| . 3 x∈[x0 ,x0 +2h]
Formulele de derivare (3) @si (4) sunt exacte pe mul¸timea polinoamelor de gradul 2. f (x0 ) =
−11f (x0 ) + 18f(x0 + h) − 9f (x0 + 2h) + 2f (x0 + 3h) + R(f ), 6h
(5)
unde, daca˘ f ∈ C 4 ([x0 , x0 + 3h]), restul R(f ) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤
h3 · max f (4) (x) 18 x∈[x0 ,x0 +3h]
Formula de derivare (5) este exacta˘ pe mul¸timea polinoamelor de gradul 3. f (x0 ) =
f (x0 − 2h) − 8f (x0 − h) + 8f (x0 + h) − f(x0 + 2h) + R(f), 12h
(6)
unde, daca˘ f ∈ C 5 ([x0 − 2h, x0 + 2h]), restul R(f ) poate fi evaluat prin |R(f)| ≤
(5) 2h4 f (x) . · max 5 x∈[x0 −2h,x0 +2h]
Formula de derivare (6) este exacta˘ pe mul¸timea polinoamelor de gradul 4. bf Formule pentru derivata de ordinul II Fie f : R → R o func¸tie de doua˘ ori derivabila˘, x0 ∈ R ¸si h > 0 un numa˘r real numit pas. Atunci f (x0 ) =
f (x0 ) − 2f (x0 + h) + f (x0 + 2h) + R(f ), h2
unde, daca˘ f ∈ C 3 ([x0 , x0 + 2h]), restul R(f ) poate fi evaluat prin |R(f )| ≤ h ·
max
x∈[x0 ,x0 +2h]
|f (x)| .
Formula de derivare (6) este exacta˘ pe mul¸timea polinoamelor de gradul 2. f (x0 ) = R(f )+ 2
(7)
−f (x0 − 2h) + 16f (x0 − h) − 30f(x0 ) + 16f (x0 + h) − f (x0 + 2h) , 12h2
(8)
unde, daca˘ f ∈ C 5 ([x0 − 2h, x0 + 2h]), restul R(f ) poate fi evaluat prin (5) h3 f x) . |R(f )| ≤ · max 5 x∈[x0 −2h,x0 +2h]
Formula de derivare (6) este exacta˘ pe mul¸timea polinoamelor de gradul 4. Exemplul -1.1 Sa˘ se aproximeze derivatele de ordinul I s¸i ordinul II ale func¸tiei f (x) = e−x sin(x) în punctul x0 = 1, cu metodele prezentate mai sus, luând pentru pasul h valorile 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001. Cu formula de derivare (1) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1290271591; h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1127645338; h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1109923614; h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1108136394. Cu formula de derivare (2) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.0891707946, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1087891083, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1105948299, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107738899. Cu formula de derivare (3) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1090989768, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1107768211, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1107935957, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937646. Cu formula de derivare (4) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1138788298, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1108273447, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1107941027, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937669. Cu formula de derivare (4) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1138788298, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1108273447, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1107941027, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937669. Cu formula de derivare (5) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1110871310, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1107940736, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937643, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937699. 3
Cu formula de derivare (6) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.1107952264, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.1107937655, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937652, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.1107937669. Valoarea exacta˘ este f (x0 ) = −0.1107937653. Cu formula de derivare (7) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.3029665865, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.3874378126, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.3965174074, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.3974491847. Cu formula de derivare (8) se ob¸tin rezultatele: h = 0.1 ⇒ f (x0 ) −0.3975339923, h = 0.01 ⇒ f (x0 ) −0.3975322253, h = 0.001 ⇒ f (x0 ) −0.3975308497, h = 0.0001 ⇒ f (x0 ) −0.3974643429. Valoarea exacta˘ este f (x0 ) = −0.3975322207. Derivare numeric˘ a ob¸tinut˘ a prin interpolare Fie f : [a, b] → R, n ∈ N∗ , x1 , . . . , xn puncte distincte din [a, b]. Presupunem ca˘ f este derivabila˘. Se nume¸ste derivare numerica˘ ob¸tinuta˘ prin interpolare a lui f aproximarea lui f (x) prin P (f ; x1 , . . . , xn ; x), ∀x ∈ [a, b]. Din formula de reprezentare a lui Newton avem: P (f ; x1 , . . . , xn ; x) = f(x1 ) +
n
f (x1 , . . . , xi ) ·
i=2
i−1
(x − xj ).
j=1
Rezulta˘ ca˘: P (f ; x1 , . . . , xn ; x) = f (x1 , x2 ) +
n
f (x1 , . . . , xi ) ·
i−1
i−1
j=1 k=1, k=j
i=3
(x − xk ) ,
∀ (n ≥ 3). Pentru calculul diferen¸telor divizate se folose¸ste algoritmul Neville: fie, prin nota¸tie, Fij = f [xj−i+1 , . . . , xj−1, xj ]. Atunci Fij satisfac rela¸tiile de recuren¸ta˘: Fi−1:j − Fi−1:j−1 , ∀ i ∈ {2, . . . , n}, ∀ j ∈ {i, . . . , n}, F1i = f (xi ), ∀ i ∈ 1, n ¸si Fij = xj − xj−i+1 deci f(x1 , . . . , xi ) = Fii , ∀i ∈ {2, . . . , n} .
4
Cuadraturi numerice Fie [a, b] ⊂ R, x1 , x2 , . . . , xn puncte distincte din [a, b] ¸si f : [a, b] → R o func¸tie continua˘. Se nume¸ste formula˘ de cuadratura˘ egalitatea σ(f ) =
n i=1
ci f(xi ), unde ci ∈ R, ∀ i = 1, n.
Se nume¸ste integrare numerica˘ aproximarea integralei
b
f (x)dx cu σ(f).
a
Fie k ∈ N ∗ , h = (b − a)/k, xi = a + ih, ∀ i ∈ 0, k. Daca˘ σ i (f ) este o formula˘ de cuadratura˘ a func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1, atunci se define¸ste formula de cuadratura˘ sumata˘ σ
(k)
(f ) =
k−1
σ i (f ).
i=0
Cuadraturi închise Formula de cuadratura˘ a trapezului Formula de cuadratura˘ a trapezului este σ(f ) =
b
P (f ; a, b; x) dx.
a
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem P (f ; a, b; x) = f (a) + f (a, b)(x − a) = f (a) + Atunci
f (b) − f(a) (x − a). b−a
b f (b) − f (a) σ(f ) = f (a) + (x − a) dx = b−a a
= (b − a)f (a) + =
f(b) − f (a) (b − a)2 · = b−a 2
b−a · (f (a) + f (b)) . 2 1
Daca˘ f ∈ C 2 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem |f(x) − P (f; a, b; x)| ≤ Atunci
1 |(x − a)(x − b)| · max |f (x)| , ∀ x ∈ [a, b]. x∈[a,b] 2
b b f (x)dx − σ(f ) = (f (x) − P (f ; a, b; x)) dx ≤ a
≤
b
a
1 |f (x) − P (f; a, b; x)| dx ≤ max |f (x)| · 2 x∈[a,b]
b
(x − a)(b − x)dx =
a
a
3
=
3
1 (b − a) (b − a) max |f (x)| · = · max |f (x)| . x∈[a,b] 2 x∈[a,b] 6 12
Formula de cuadratura˘ a trapezului sumata˘ este: k−1
(k) σ T (f )
k−1
1 b−a (xi+1 − xi )(f (xi ) + f (xi+1 )) = (f (xi ) + f(xi+1 )), = 2 i=0 2k i=0
pentru care, daca˘ f ∈ C 2 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 (b − a)3 (k) f (x)dx − σ (f ) ≤ ≤ · max |f (x)| , f (x)dx − σ (f ) i T 2 x∈[a,b] 12k i=0 a
xi
unde σ i (f) este formula de cuadratura˘ a trapezului, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1 Exemplul -1.1 Folosind formula de cuadratura ˘ a trapezului sumata˘, sa ˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10, k = 50 s¸i k = 100, evaluând s¸i eroarea comisa ˘.
2
Se ob¸tin urma˘toarele rezultate: (k)
k
eroarea
σ D (f )
5
0.9328067513 0.0033333333
10
0.9332299640 0.0008333333
50
0.9333679124 0.0000333333
100 0.9333722435 0.0000083333 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max |f (x)| = 1. Facem observa¸tia ca˘ valoarea x∈[a,b]
exacta˘ a integralei este I = 0.9333736875 . Exemplul -1.2 Sa˘ se determine numa˘rul minim de subintervale k în care trebuie împa ˘r¸tit intervalul [0, 1], pentru ca, folosind formula trapezului sumata˘, sa˘ putem calcula integrala I=
1
ex dx x+1
0
cu o eroare mai mica ˘ de 10−5 . Avem sup |f (x)| = x∈[0,1]
3e . Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ 8 k≥
105 + 1 = 92 12
Formula de cuadratura˘ Simpson Formula de cuadratura˘ Simpson este σ(f ) =
b a
a+b P f ; a, , b; x dx 2
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem a+b a+b P f ; a, b; x = f (a) + f a, (x − a)+ 2 2 3
a+b a+b +f a, , b (x − a) x − . 2 2
Atunci
b
a+b σ(f ) = f (a) + f a, (x − a)+ 2 a a+b a+b +f a, , b (x − a) x − dx = 2 2
2(f ((a + b)/2) − f (a)) (b − a)2 · + b−a 2 2(f (b) − 2f ((a + b)/2) + f (a)) (b − a)3 + · = (b − a)2 12 b−a a+b = · f (a) + 4f + f(b) . 6 2
= (b − a)f (a) +
Daca˘ f ∈ C 3 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare avem f (x) − P f ; a, a + b , b; x ≤ 2 a+b 1 (x − b) · max f (x) , ∀ x ∈ [a, b]. ≤ (x − a) x − x∈[a,b] 6 2 Atunci
b b a+b f (x)dx − σ(f ) = ≤ f(x) − P f ; a, , b; x dx 2 a
a
b a + b ≤ f(x) − P f ; a, , b; x dx ≤ 2 a
1 ≤ max |f (x)| · 6 x∈[a,b]
b (x − a) x − a + b (x − b) dx = 2 a
=
1 (b − a)4 (b − a)4 max |f (x)| · = · max |f (x)| . x∈[a,b] 6 x∈[a,b] 32 192
Observa¸tie: Daca˘ f este derivabila˘ în punctul (a+b)/2, atunci formula de cuadratura˘ Simpson se poate ob¸tine ¸si cu formula σ(f ) =
b a
P
a+b a+b f; a, , , b; x dx. 2 2 4
În acest caz, daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem a + b a + b f (x) − P f ; a, ≤ , , b; x 2 2 2 1 a+b ≤ (x − b) · max f (4) (x) , ∀ x ∈ [a, b]. (x − a) x − x∈[a,b] 24 2 Atunci
b b a+b a+b f(x)dx − σ(f) = ≤ f(x) − P f; a, , , b; x dx 2 2 a
a
b a+b a+b ≤ f (x) − P f; a, , , b; x dx ≤ 2 2 a
≤ max f (4) (x) · x∈[a,b]
2 b (x − a) x − a + b (x − b) dx = 2 a
(b − a)5 · max f (4) (x) . = 2880 x∈[a,b]
Formula de cuadratura˘ Simpson sumata˘ este: k−1 1 xi + xi+1 (k) σ S (f) = (xi+1 − xi ) f (xi ) + 4f + f (xi+1 ) = 6 i=0 2 k−1 b−a xi + xi+1 = f (xi ) + 4f + f (xi+1 ) , 6k i=0 2
pentru care, daca˘ f ∈ C 3 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 (b − a)4 (k) f (x)dx − σ (f) ≤ ≤ · max |f (x)| , f(x)dx − σ (f ) i S 3 x∈[a,b] 192k i=0 a
xi
unde σ i (f) este formula de cuadratura˘ Simpson, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1, iar daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), avem evaluara erorii: b x k−1 i+1 (b − a)5 (4) (k) f (x)dx − σ (f) ≤ ≤ f (x) f (x)dx − σ (f ) · max i S 2880k 4 x∈[a,b] i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ Simpson aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1, 5
Exemplul -1.3 Folosind formula de cuadratura˘ Simpson sumata ˘ sa˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10 s¸i k = 50, evaluând s¸i eroarea comisa˘. Se ob¸tin urma˘toarele rezultate: k 5
(k)
eroarea
σ D (f)
0.9333710349 0.0000005555
10 0.9333735173 0.0000000347 50 0.9333736875 0.0000000000 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max f (4) (x) = 14. Facem observa¸tia ca˘ valoarea x∈[a,b]
exacta˘ a integralei este I = 0.9333736875 .
Exemplul -1.4 Sa˘ se determine numa ˘rul minim de subintervale k în care trebuie împa˘r¸tit intervalul [0, 1], pentru ca, folosind formula Simpson sumata ˘, sa˘ putem calcula integrala I=
1
ex dx x+1
0
−5
cu o eroare mai mica ˘ de 10 . Avem sup |f (4) (x)| = 9. Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ x∈[0,1]
k≥
105 + 1 = 5. 320
Formula de cuadratura˘ Hermite Presupunem ca˘ func¸tia f este derivabila˘ în punctele a ¸si b. Formula de cuadratura˘ Hermite este σ(f ) =
b
P (f ; a, a, b, b; x) dx.
a
6
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem P (f; a, a, b, b; x) = = f (a) + f (a, a)(x − a) + f (a, a, b)(x − a)2 + f (a, a, b, b)(x − a)2 (x − b). Atunci σ(f ) =
b
(f (a) + f (a, a)(x − a)+
a
+f (a, a, b)(x − a)2 + f (a, a, b, b)(x − a)2 (x − b))dx = (b − a)2 = (b − a)f (a) + f (a) · + 2
f (b)−f (a) b−a
− f (a) (b − a)3 · + b−a 12
(a) f (b) − 2 f (b)−f + f (a) (b − a)4 b−a − · = (b − a)2 12
=
(b − a)2 b−a (f (a) + f (b)) + (f (a) − f (b)). 2 12
Daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare avem |f (x) − P (f; a, a, b, b; x)| ≤
1 (x − a)2 (x − b)2 · max f (4) (x) , x∈[a,b] 24
∀ x ∈ [a, b]. Atunci b b f (x)dx − σ(f ) = (f(x) − P (f ; a, a, b.b; x)) dx ≤ a
a
≤
b
|f (x) − P (f ; a, a, b, b; x)| dx ≤
a
1 ≤ max f (4) (x) · 24 x∈[a,b]
b a
(x − a)2 (x − b)2 dx =
(4) (b − a)5 1 (b − a)5 = max f (x) · = · max f (4) (x) . x∈[a,b] 24 x∈[a,b] 30 720 7
Formula de cuadratura˘ Hermite sumata˘ este: (k) σ H (f )
=
k−1 xi+1 − x1
2
i=0
+f (xi )) +
(f (xi+1 ) +
(xi+1 − xi )2 (f (xi+1 ) − f (xi )) = 12
k−1
(b − a)2 b−a = (f (xi+1 ) + f (xi )) + (f (a) − f (b)), 2 2k i=0 12k
pentru care avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 (b − a)5 (4) (k) f (x)dx − σ (f ) ≤ ≤ f (x) , f (x)dx − σ (f ) · max i H 720k 4 x∈[a,b] i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ Hermite, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1. Exemplul -1.5 Folosind formula de cuadratura ˘ Hermite sumata˘, sa˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10, k = 50 s¸i k = 100, evaluând s¸i eroarea comisa ˘. Se ob¸tin urma˘toarele rezultate: (k)
k
σ D (f )
eroarea
5
0, 9333843739
0, 000002222
10
0, 9333743697
0, 000000238
50
0, 9333736876 0, 0000000002
100 0, 9333736875 0, 0000000000 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max f (4) (x) = 14. Facem observa¸tia ca˘ valoarea x∈[a,b]
exacta˘ a integralei este I = 0, 9333736875 . 8
Exemplul -1.6 Sa˘ se determine numa ˘rul minim de subintervale k în care trebuie împa˘r¸tit intervalul [0, 1], pentru ca, folosind formula Hermite sumata˘, sa ˘ putem calcula integrala I=
1
ex dx, x+1
0
cu o eroare mai mica ˘ de 10−5 . Avem sup |f (4) (x)| = 9. Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ x∈[0,1]
k≥
5
10 80
+ 1 = 6.
Formula de cuadratura˘ Newton Formula de cuadratura˘ Newton este σ(f ) =
b a
P
2a + b a + 2b f; a, , , b; x dx. 3 3
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem
2a + b a + 2b 2a + b P f; a, , , b; x = f (a) + f a, (x − a) 3 3 3 2a + b a + 2b 2a + b , (x − a) x − + +f a, 3 3 3 2a + b a + 2b 2a + b a + 2b +f a, , , b (x − a) x − x− 3 3 3 3 Atunci
2a + b f − f (a) (b − a)2 3 · + σ(f ) = (b − a)f (a) + 3 · b−a 2 a + 2b 2a + b f − 2f + f (a) 9 (b − a)3 3 3 + · · + 2 (b − a)2 6 9
a + 2b 2a + b f (b) − 3f + 3f − f(a) (b − a)4 9 3 3 · = + · 2 (b − a)3 36 b−a a + 2b 2a + b = f(a) + 3f + 3f + f(b) . 8 3 3
Daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare avem f (x) − P f ; a, 2a + b , a + 2b , b; x ≤ 3 3 1 2a + b a + 2b ≤ (x − a) x − x− (x − b) · max f (4) (x) , x∈[a,b] 24 3 3
∀ x ∈ [a, b]. Atunci b b 2a + b a + 2b f (x)dx − σ(f ) = f(x) − P f ; a, , , b; x dx ≤ 3 3 a
a
b a + 2b 2a + b , , b; x dx ≤ ≤ f(x) − P f; a, 3 3 a
1 max f (4) (x) · 24 x∈[a,b] =
b a + 2b (x − a) x − 2a + b dx = x − (x − b) 3 3 a
(b − a)5 (b − a)5 1 max f (4) (x) · = · max f (4) (x) . 24 x∈[a,b] 270 6480 x∈[a,b] (k)
Formula de cuadratura˘ Newton sumata˘ este: σ N (f ) = k−1 xi+1 − x1 2xi+1 + xi xi+1 + 2xi f (xi+1 ) + 3f + 3f + f (xi ) = 8 3 3 i=0 k−1 b−a 2xi+1 + xi xi+1 + 2xi = f (xi+1 ) + 3f + 3f + f (xi ) , 8k i=0 3 3
pentru care, daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 (4) (b − a)5 (k) f (x)dx − σ (f ) ≤ ≤ f (x) , · max f (x)dx − σ (f ) i N 6480k 4 x∈[a,b] i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ Newton, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1. 10
Exemplul -1.7 Folosind formula de cuadratura˘ Newton sumata˘, sa ˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10 s¸i k = 50, evaluând s¸i eroarea comisa˘. Se ob¸tin urma˘toarele rezultate: (k)
k
σ D (f )
eroarea
5
0, 9333725034
0, 000000249
10 0, 9333736118
0, 000000015
50 0, 9333736875 0, 0000000000 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max f (4) (x) = 1. Facem observa¸tia ca˘ valoarea x∈[a,b]
exacta˘ a integralei este I = 0, 9333736875 .
Exemplul -1.8 Sa˘ se determine numa˘rul minim de subintervale k, în care trebuie împa˘r¸tit intervalul [0, 1], pentru ca, folosind formula Newton sumata˘, sa ˘ putem calcula integrala I=
1
ex dx, x+1
0
cu o eroare mai mica ˘ de 10−5 . Avem sup |f (4) (x)| = 9. Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ x∈[0,1]
k≥
105 + 1 = 4. 720
Cuadraturi deschise Formula de cuadratura˘ a dreptunghiului 11
Formula de cuadratura˘ a dreptunghiului este σ(f ) =
b a
a+b P f; ; x dx . 2
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem a+b a+b P f; ;x = f 2 2 Atunci σ(f ) =
b
f
a
a+b a+b .dx = (b − a)f 2 2
Daca˘ f ∈ C ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem: f (x) − P f ; a + b ; x ≤ x − a + b · max |f (x)| , ∀ x ∈ [a, b]. 2 2 x∈[a,b] 1
Atunci
b b a+b f (x)dx − σ(f ) = f (x) − P f ; ;x dx ≤ 2 a
a
b b a + b a + b dx = ; x dx ≤ max |f (x)| · x − ≤ f (x) − P f ; x∈[a,b] 2 2 a
a
2
=
(b − a) · max |f (x)| . x∈[a,b] 4
Observa¸tie: Daca˘ f este derivabila˘ în punctul (a+b)/2, atunci formula de cuadratura˘ a dreptunghiului se poate ob¸tine ¸si cu formula σ(f ) =
b a
P
a+b a+b , ; x dx. f; 2 2
În acest caz, daca˘ f ∈ C 1 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem 2 f (x) − P f ; a + b , a + b ; x ≤ 1 x − a + b · max |f (x)| , ∀ x ∈ [a, b]. 2 2 2 2 x∈[a,b] 12
Atunci b b a+b a+b f (x)dx − σ(f) = ≤ f(x) − P f; , ; x dx 2 2 a
a
2 b b a + b a + b a + b ≤ f(x) − P f ; , ; x dx ≤ max |f (x)| · x − dx = x∈[a,b] 2 2 2 a
a
=
(b − a)3 · max |f (x)| . x∈[a,b] 24
Formula de cuadratura˘ a dreptunghiului sumata˘ este: (k) σ D (f )
k−1 k−1 xi + xi+1 b−a xi + xi+1 = (xi+1 − xi )f = f , 2 k i=0 2 i=0
pentru care, daca˘ f ∈ C 1 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b k−1 xi+1 (b − a)2 (k) f (x)dx − σ (f ) ≤ ≤ f (x)dx − σ (f ) · max |f (x)| , i D x∈[a,b] 4k i=0 a
xi
iar daca˘ f ∈ C 2 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 (b − a)3 f (x)dx − σ (k) (f) ≤ · max f (x) f(x)dx − σ (f ) ≤ , i D x∈[a,b] 24k i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ a dreptunghiului, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1. Exemplul -1.9 Folosind formula de cuadratura˘ a dreptunghiului sumata˘, sa˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10, k = 50 s¸i k = 100, evaluând s¸i eroarea comisa ˘.
13
Se ob¸tin urma˘toarele rezultate: (k)
k
eroarea
σ D (f )
5
0.9336531768 0.0016666666
10
0.9334452939 0.0004166666
50
0.9333765747 0.0000166666
100 0.9333744095 0.0000041666 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max |f (x)| = 1. Facem observa¸tia ca˘ valoarea x∈[a,b]
exacta˘ a integralei este I = 0.9333736875 . Exemplul -1.10 Sa ˘ se determine numa˘rul minim de subintervale k în care trebuie împa˘r¸tit intervalul [0, 1], pentru ca, folosind formula dreptunghiului sumata˘, sa ˘ putem calcula integrala I=
1
ex dx x+1
0
cu o eroare mai mica ˘ de 10−5 . Avem sup |f (x)| = 1. Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ x∈[0,1]
k≥
105 + 1 = 65 . 24
n=2 Formula de cuadratura˘ deschisa˘ pentru n = 2 este σ(f ) =
b a
2a + b a + 2b , ; x dx . P f; 3 3
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem 2a + b a + 2b 2a + b P f; , ;x = f + 3 3 3 14
a + 2b 2a + b 2a + b 3 + f −f x− b−a 3 3 3
Atunci σ(f ) =
b
f
a
b 2a + b 3 a + 2b 2a + b 2a + b dx + f −f x− dx = 2 b−a 3 3 3 a
b−a a + 2b 2a + b = (b − a)f + f −f = 2 3 3 b−a 2a + b a + 2b = f +f 2 3 3
2a + b 3
Daca˘ f ∈ C 2 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem: 2a + b a + 2b f (x) − P f ; ≤ , ; x 3 3 2a + b a + 2b 1 x− max |f (x)| , ∀x ∈ [a, b]. ≤ · x− · x∈[a,b] 2 3 3
Atunci
b b 2a + b a + 2b f (x)dx − σ(f ) = ≤ f(x) − P f ; , ; x dx 3 3 a
a
b 2a + b a + 2b ≤ f(x) − P f ; , ; x dx ≤ 3 3 a
1 ≤ · max |f (x)| · 2 x∈[a,b]
b a + 2b x − 2a + b x− dx = 3 3 a
=
11(b − a)3 · max |f (x)| . x∈[a,b] 324
Formula de cuadratura˘ deschisa˘ sumata˘ pentru n = 2 este: (k) σ D (f)
k−1 xi+1 − xi 2xi + xi+1 xi + 2xi+1 = f +f = 2 3 3 i=0 15
k−1 b−a 2xi + xi+1 xi + 2xi+1 = f +f , 2k i=0 3 3
pentru care, daca˘ f ∈ C 2 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 11(b − a)3 f (x)dx − σ (k) (f ) ≤ ≤ · max |f (x)| , f (x)dx − σ (f ) i D 2 x∈[a,b] 324k i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ deschisa pentru n = 2, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1.
n=3 Formula de cuadratura˘ deschisa pentru n = 3 este σ(f ) =
b a
P
3a + b a + b a + 3b f; , , ; x dx. 4 2 4
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem 3a + b a + b a + 3b 3a + b P f; , , ;x = f + 4 2 4 4 4 a+b 3a + b 3a + b + f −f x− + b−a 2 4 4 a + 3b a+b 3a + b 3a + b a+b 8 f − 2f +f x− x− + (b − a)2 4 2 4 4 2
Atunci
σ(f) =
b a
f
b 3a + b 4 a+b 3a + b 3a + b dx + f −f x− dx+ 4 b−a 2 4 4 a
8 + (b − a)2
a + 3b a+b 3a + b f − 2f +f · 4 2 4
b 3a + b a+b · x− x− dx = 4 2 a
16
a+b 3a + b 3a + b = (b − a)f + (b − a) f −f + 4 2 4 a + 3b a+b 3a + b 2 + (b − a) f − 2f +f = 3 4 2 4 3a + b a+b a + 3b (b − a) = 2f −f + 2f 3 4 2 4
Daca˘ f ∈ C 3 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem f (x) − P f ; 3a + b , a + b , a + 3b ; x ≤ 4 2 4 1 3a + b a+b a + 3b ≤ x− x− x− · max f (3) (x) , ∀ x ∈ [a, b]. x∈[a,b] 6 4 2 4
Atunci b b 3a + b a + b a + 3b ≤ f (x)dx − σ(f) = , , ; x dx f(x) − P f; 4 2 4 a
a
b 3a + b a + b a + 3b , , ; x dx ≤ ≤ f (x) − P f; 4 2 4 a
1 ≤ · max f (3) (x) · 6 x∈[a,b] =
b a+b a + 3b x − 3a + b x− x− dx = 4 2 4 a
5(b − a)4 1 5(b − a)4 · max f (3) (x) · = · max f (3) (x) x∈[a,b] 6 x∈[a,b] 256 1536
Formula de cuadratura˘ deschisa sumata˘ pentru n = 3 este: (k) σ T (f)
k−1 1 3xi + xi+1 xi + xi+1 3xi + xi+1 = (xi+1 − xi ) 2f −f + 2f = 3 i=0 4 2 4 k−1 b−a 3xi + xi+1 xi + xi+1 3xi + xi+1 = 2f −f + 2f , 3k i=0 4 2 4
pentru care, daca˘ f ∈ C 3 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 5(b − a)4 f (x)dx − σ (k) (f ) ≤ ≤ · max f (3) (x) , f(x)dx − σ (f) i T 3 x∈[a,b] 1536k i=0 a
xi
17
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ deschisa pentru n = 3, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1
n=4 Formula de cuadratura˘ deschisa pentru n = 4 este σ(f ) =
b
P
a
4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b f; , , , ; x dx. 5 5 5 5
Din formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare avem
4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b 4a + b P f; , , , ;x = f + 5 5 5 5 5 3a + 2b 4a + b 4a + b 5 f −f x− + + b−a 5 5 5 25 2a + 3b 3a + 2b 4a + b + f − 2f +f · 2(b − a)2 5 5 5 4a + b 3a + 2b · x− x− + 5 5 125 a + 4b 2a + 3b 3a + 2b 4a + b + f − 3f + 3f −f · 6(b − a)3 5 5 5 5 4a + b 3a + 2b 2a + 3b · x− x− x− 5 5 5 Atunci σ(f ) =
b a
f
b 5 3a + 2b 4a + b 4a + b 4a + b dx+ f −f x− dx+ 5 b−a 5 5 5 a
2a + 3b 3a + 2b 4a + b 25 + f − 2f +f · 2(b − a)2 5 5 5 b 4a + b 3a + 2b · x− x− dx+ 5 5 a
18
a + 4b 2a + 3b 3a + 2b 4a + b f − 3f + 3f −f · 5 5 5 5
125 + 6(b − a)3 ·
b
4a + b x− 5
a
= (b − a)
b a
f
4a + b 5
3a + 2b x− 5
2a + 3b x− dx = 5
3 3a + 2b 4a + b + (b − a) f −f + 2 5 5
17 2a + 3b 3a + 2b 4a + b + (b − a) f − 2f +f + 12 5 5 5 11 a + 4b 2a + 3b 3a + 2b 4a + b + (b − a) f − 3f + 3f −f = 24 5 5 5 5 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b (b − a) 11f +f +f + 11f = 24 5 5 5 5 Daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), din formula de evaluare a erorii la interpolare, avem 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b f (x) − P f ; ≤ , , , ; x 5 5 5 5 1 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b x− x− x− x− ≤ · 24 5 5 5 5 · max f (4) (x) , ∀ x ∈ [a, b]. x∈[a,b]
Atunci b b 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b f (x)dx − σ(f ) = f(x) − P f ; , , , ;x dx ≤ 5 5 5 5 a
a
b 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b 1 ≤ f (x) − P f ; , , , ; x dx ≤≤ · max f (4) (x) · 5 5 5 5 24 x∈[a,b] a
b 4a + b 3a + 2b 2a + 3b a + 4b dx = · x − x− x− x− 5 5 5 5 a
=
551(b − a)4 1 551(b − a)4 · max f (4) (x) · = · max f (4) (x) 24 x∈[a,b] 93750 2250000 x∈[a,b] 19
Formula de cuadratura˘ deschisa sumata˘ pentru n = 4 este: k−1
(k) σ T (f )
1 = (xi+1 − xi )· 24 i=0
3xi + 2xi+1 2xi + xi+1 xi + 4xi+1 4xi + xi+1 · 11f +f +f + 11f = 5 5 5 5 k−1 4xi + xi+1 3xi + 2xi+1 2xi + xi+1 xi + 4xi+1 b−a = 11f +f +f + 11f , 24k i=0 5 5 5 5
pentru care, daca˘ f ∈ C 4 ([a, b]), avem evaluarea erorii: b x k−1 i+1 551(b − a)5 (4) f (x)dx − σ (k) (f) ≤ ≤ f (x) , f (x)dx − σ (f ) · max i T 4 x∈[a,b] 2250000k i=0 a
xi
unde σ i (f ) este formula de cuadratura˘ deschisa pentru n = 4, aplicata˘ func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1
Formule de cuadratura˘ Gauss
Fie [a, b] ⊂ R ¸si n ∈ N. Nota˘m cu Ln (x) :=
n! (n) · ((x − a)n (x − b)n ) , ∀ x ∈ [a, b] (2n)!
(Ln se nume¸ste polinom Legendre de grad n). a) Ln este un polinim de grad n. b) Ln are n ra˘da˘cini distincte x1 , x2 , . . . , xn situate în intervalul [a, b]. b c) Ln (x)C(x)dx = 0, pentru orice polinom C de grad ≤ n − 1. a
Fie
n
x − xj ¸si αi = Qi (x) = x i − xj j=1, j=i
b
Qi (x)dx, ∀ i = 1, n.
a
Cu nota¸tiile anterioare, fie f : [a, b] → R o func¸tie continua˘. Numim formul˘ a de cuadratur˘ a a lui Gauss de ordinul n, ata¸sat˘ a func¸tiei f, expresia σ nG (f ) :=
n i=1
20
αi f (xi ).
Pentru orice polinom P de grad≤ 2n − 1, avem b
P (x)dx =
n
αi P (xi ),
i=1
a
(adica˘ formula de cuadratura˘ a lui Gauss este exacta˘ de ordinul 2n − 1). Daca˘ f ∈ C 2n ([a, b]) atunci este adeva˘rata˘ urma˘toarea formula˘ de evaluare a erorii: b 4 2n+1 n (2n) σ (f) − f (x)dx ≤ (n!) · (b − a) f (ξ) . · sup G ((2n)!)3 2n + 1 ξ∈[a,b] a
Cazuri particulare
I. n = 2, a = −1, b = 1 În acest caz, L2 (x) = care are ra˘da˘cinile
2
1 1 2! 2 12x2 − 4 = x2 − , x −1 = 4! 12 3 1 , dx2 = 3
1 , 3
x − x2 dx = 1 ¸si α2 = x1 − x2
b
x − x1 dx = 1. x2 − x1
x1 = − iar α1 =
1
−1
a
Deci, pentru f o func¸tie continua˘ pe [−1, 1], formula de cuadratura˘ Gauss de ordinul 2 este
1 1 σ(f ) = f − +f . 3 3
Din formula de evaluare a erorii, în cazul în care f este de 4 ori derivabila˘, rezulta˘ ca˘ 1 5 4 σ(f ) − f(x)dx ≤ (2!) · 2 · sup f (4) (ξ) = 1 · . sup f (4) (ξ) . (4!)3 5 135 ξ∈[a,b] ξ∈[a,b] −1
II. n = 3, a = −1, b = 1
21
În acest caz,
3
1 3 3! 2 L3 (x) = x −1 = 120x3 − 72x = x3 − x, 6! 120 5
care are ra˘da˘cinile
x1 = − iar α1 =
1
−1
3 , x2 = 0, x3 = 5
5 (x − x2 )(x − x3 ) dx = , α2 = (x1 − x2 )(x1 − x3 ) 9 α3 =
b a
b a
3 , 5
(x − x1 )(x − x3 ) 8 dx = , (x2 − x1 )(x2 − x3 ) 9
(x − x1 )(x − x2 ) 5 dx = . (x3 − x1 )(x3 − x1 ) 9
Deci, pentru f o func¸tie continua˘ pe [−1, 1], formula de cuadratura˘ Gauss de ordinul 3 este
1 3 3 σ(f) = 5f − + 8f (0) + 5f . 9 5 5
Din formula de evaluare a erorii, în cazul în care f este de 6 ori derivabila˘, rezulta˘ ca˘ 1 4 7 σ(f ) − f (x)dx ≤ (3!) · 2 · sup f (6) (ξ) = 1 · . sup f (6) (ξ) . (6!)3 7 15750 ξ∈[a,b] ξ∈[a,b] −1
Formule sumate:
Fie k ∈ N ∗ , h = (b − a)/k, yi = a + ih, ∀ i ∈ 0, k. Daca˘ σ i (f) este o formula˘ de cuadratura˘ Gauss a func¸tiei f pe intervalul [xi , xi+1 ], ∀ i ∈ 0, k − 1, atunci se define¸ste formula de cuadratura˘ Gauss sumata˘ (k) σ G (f )
=
k−1
σ i (f ).
i=0
• Formula lui Gauss sumata˘ pentru doua˘ noduri: Pentru orice j ∈ {1, . . . , k} se considera˘ nodurile: aj =
yj−1 + yj b−a − √ , 2 2n 3 22
bj =
yj−1 + yj b−a + √ . 2 2n 3
Cuadratura este : (k) σG
n h = · (f(aj ) + f (bj )), 2 j=1
pentru care (daca˘ f ∈ C 4 ([a, b])) avem evaluarea erorii b 6 (k) σ − f (x)dx ≤ 7(b − a) · sup f (6) (ξ) . G 2160k 5 ξ∈[a,b] a
• Formula lui Gauss sumata˘ pentru trei noduri:
Pentru orice j ∈ {1, . . . , n} se considera˘ nodurile: √ yj−1 + yj yj−1 + yj (b − a) 15 aj = − , bj = , 2 10n 2 √ yj−1 + yj (b − a) 15 cj = + . 2 10n Cuadratura este: σ (k) G
n h = · (5f (aj ) + 8f (bj ) + 5f(cj )) , 18 j=1
pentru care (daca˘ f ∈ C 6 ([a, b])) avem evaluarea erorii b 8 (k) σ − f (x)dx ≤ (b − a) · sup f (6) (ξ) . G 2016000k 7 ξ∈[a,b] a
Exemplul -1.11 Folosind formulele de cuadratura˘ ale lui Gauss sumate (cu doua ˘, respectiv cu trei noduri) sa ˘ se aproximeze calculul integralei I=
2
1 + ln x dx x
1
pentru k = 5, k = 10, k = 50 s¸i k = 100, evaluând s¸i eroarea comisa ˘.
23
Pentru formula de cuadratura˘ Gauss sumata˘, relativa˘ la doua˘ noduri, se ob¸tin urma˘toarele rezultate: k
σ (k) D (f )
eroarea
5
0, 9333754517
0, 000014518
10
0, 9333738009
0, 000000453
50
0, 9333736877 0, 0000000002
100 0, 9333736875 0, 0000000000 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max f (4) (x) = 14. x∈[a,b]
Pentru formula de cuadratura˘ Gauss sumata˘, relativa˘ la trei noduri, se ob¸tin ur-
ma˘toarele rezultate: k 5
(k)
eroarea
σ D (f )
0, 9333736921 0, 000000032
10 0, 9333736875 0, 000000000 În stabilirea erorii am ¸tinut seama de max f (6) (x) = 508. Facem observa¸tia ca˘ x∈[a,b]
valoarea exacta˘ a integralei este I = 0, 9333736875 .
24
Metode numerice pentru ecua¸tii diferen¸tiale Studiul ecua¸tiilor diferen¸tiale este o parte a matematicii, care face obiectul a numeroase cerceta˘ri ¸si care continua˘ sa˘ ra˘mâna˘ în actualitate prin interesul particular pe care-l reprezinta˘ pentru alte discipline, ca mecanica, astronomia, fizica si, mai recent, chimia, biologia, ¸stiin¸te în care modelarea poate conduce la probleme matematice ce implica˘ ecua¸tii diferen¸tiale. De multe ori, chiar daca˘ rezultatele matematice ne permit sa˘ demostra˘m existen¸ta ¸si unicitatea solu¸tiei problemei la care se ajunge, solu¸tia analitica˘ nu poate fi ob¸tinuta˘, ¸si atunci se impune ga˘sirea unei solu¸tii aproximative a problemei printr-o metoda˘ de rezolvare numerica˘ a problemei. În acest capitol ne propunem sa˘ da˘m o descriere a principalelor metode de rezolvare numerica˘ a problemelor Cauchy (a problemelor cu condi¸tii ini¸tiale). Problema Cauchy se define¸ste astfel: data ˘ fiind aplica¸tia f : D ⊂ R × Rm −→ Rm , care define¸ste ecua¸tia diferen¸tiala˘:
y (t) = f (t, y(t))
(1)
s¸i punctul ini¸tial (t0 , y0 ), sa ˘ se determine o solu¸tie y : I ⊂ R −→ Rm a ecua¸tiei diferen¸tiale (1) s¸i care verifica˘ condi¸tia ini¸tiala ˘:
y(t0 ) = y0 .
(2)
Metodele pe care le vom prezenta în acest capitol se bazeaza˘ pe aproximarea solu¸tiei problemei (1)-(2), definita˘ pe un interval [t0 , t0 + T ], printr-un ¸sir finit de valori (yn ) care aproximeaza˘ solu¸tia y(t) în nodurile tn = t0 +nh , n ∈ {1, N} , adica˘ yn y(tn ) . Se considera˘ ca˘ N = Th , unde h este pasul, adica˘ distan¸ta dintre doua˘ valori consecutive ale variabilei t, pentru care se face aproximarea.
Se cunosc doua˘ clase importante de metode numerice pentru rezolvarea problemei Cauchy: 1
1. Metode într-un pas (metode directe) sunt metodele în care yn+1 se calculeaza˘ printr-o rela¸tie de recuren¸ta˘ în func¸tie doar de yn , calculat anterior. În aceasta˘ categorie intra˘ metodele Euler, Euler îmbuna˘ta˘¸tita˘, Euler modificata˘, Runge-Kutta. 2. Metode în mai mul¸ti pa¸si (metode indirecte) sunt metodele în care yn+1 se calculeaza˘ printr-o rela¸tie de recuren¸ta˘ în func¸tie de valorile precedente yn , yn−1 , . . . , yn−r+1 . În aceasta˘ categorie intra˘ metodele Adams-Bashforth, Adams-Moulton, metoda predictorcorector, metoda diferen¸tialei retrograde.
Metode într-un pas (directe) Considera˘m urma˘toarea problema˘ Cauchy: y (t) = f(t, y(t)) , ∀ t ∈ I0 = [t0 , t0 + T ] y(t ) = y . 0
(3)
0
O metoda numerica˘ într-un pas, pentru aproximarea solu¸tiei acestei probleme, consta˘ în determinarea aproximatiilor (yn ) pentru y(tn ) în tn = t0 + nh, cu n = 1, N , unde: y0 = α ∈ Rm , (4) y n+1 = yn + hΦ(tn , yn , h) .
Alegerea unei metode înseamna˘ sa˘ alegem func¸tia Φ.
Observa¸tie. Pasul h se poate alege ¸si dependent de n astfel încât tn+1 = tn +nhn sa˘ nu depa˘¸seasca˘ t0 +T . În acest caz, în defini¸tiile ce urmeaza˘ se va considera h = max hn . n=0,N −1
Observa¸tie. No¸tiunea de stabilitate arata˘ ca˘ o mica˘ perturbare asupra datelor schemei numerice (4) produce o pertubare mica˘ a aproxima¸tiei ¸si este independenta˘ de h. Defini¸tia -1.1 Spunem ca ˘ metoda numerica ˘ (4) este de ordinul p, cu p ∈ N ∗ , daca ˘ pentru orice y solu¸tie a problemei (3) avem: 1 = O(hp ) . (y(t ) − y(t )) − Φ(t , y(t ), h) max n+1 n n n n=0,N−1 h 2
Metoda Euler explicita˘ (progresiva˘) Schema numerica˘ pentru metoda Euler este urma˘toarea: y0 ∈ Rm , y = y + hf (t , y ) . n+1
n
n
n
Interpretarea geometric˘ a a metodei Euler. Daca˘ s-a determinat yn , pentru a determina yn+1 se considera˘ solu¸tia ecua¸tiei (1) care trece prin (tn , yn ), adica˘ acea solu¸tie pentru care y(tn ) = yn . Se duce tangenta la graficul acestei solu¸tii în (tn , yn ). Ecua¸tia tangentei este: y − yn = f (tn , yn )(t − tn ) . Pentru t = tn+1 se o¸tine yn+1 = yn + (tn+1 − tn )f (tn , yn ) , adica˘ yn+1 este intersec¸tia tangentei cu dreapta t = tn+1 . Din acest motiv, metoda Euler mai este numita˘ ¸si metoda liniilor poligonale. Erorile se acumuleaza˘, ceea ce face ca, în aceasta˘ metoda˘, pentru pas h nu prea mic, valorile numerice sa˘ fie mult diferite de valorile solu¸tiei exacte. Exemplul -1.1 Folosind metoda Euler, determina¸ti solu¸tia aproximativa ˘ a problemei Cauchy:
în t = 2, luând h = 0.5.
y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2]
y 1 − 2 , t0 = 1 ¸si y0 = 0.75 . Se ob¸tine N = 2 ¸si yn+1 = t 4t yn + 0.5f (tn , yn ), pentru n = 0, 1 . Deci rezulta˘: Avem f (t, y) = y 2 −
t1 = 1.5 , y(t1 ) y1 = y0 + 0, 5f (t0 , y0 ) = 0.75 + 0.5f (1, 0.75) = 0.75 + 0.5(−0.4375) = 0.5313 , t2 = 2 , y(t2 ) y2 = y1 + 0, 5f(t1 , y1 ) = 0.5313 + 0.5f(1.5, 0.5313) = 0.5313 + 0.5(−0.1831) = 0.4397 . 3
Solu¸tia exacta˘ a problemei din exerci¸tiul -1.1 este y(t) = −
t+5 . 2t(t − 5)
Valoarea exacta˘ în t = 2 este y(2) = 0.5833333333, iar valoarea aproximativa˘, în func¸tie de h, este data˘ în tabelul 1. Table 1: Date obtinute prin metoda Euler.
h
aproximarea pentru y(2)
0.5
0.4397243924
0.2
0.5231702705
0.1
0.5526766962
0.05
0.5678404244
Se poate considera o metoda˘ Euler implicita˘ (retrograda˘), în care schema numerica˘ este:
y0 ∈ Rm , y n+1 = yn + hf (tn+1 , yn+1 ) , n = 0, N − 1 .
Folosirea acestei metode este mai dificila˘ decât metoda Euler explicita˘, deoarece,la fiecare pas, calculul lui yn+1 cu yn cunoscut, se face prin rezolvarea unei ecua¸tii, în general, neliniare, ¸si care poate avea mai multe solu¸tii. Calculul solu¸tiei ecua¸tiei din (??) în yn+1 va necesita rezolvarea unui sistem liniar daca˘ f este afina˘ în y sau, în cazul general, utilizarea unei metode pentru ecua¸tii neliniare.
Metode Runge-Kutta Metodele Runge-Kutta se deosebesc de metoda Taylor prin faptul ca înlocuiesc calculul derivatelor lui f prin evalua˘ri pentru f în puncte intermediare între tn ¸si tn+1 . 4
Metoda a fost introdusa˘ de matematicianul german Carl David Runge în 1895 ¸si a fost dezvoltata˘ de alt matematician german, Wilhelm Kutta, în 1901. În definirea generala˘ a metodelor Runge-Kutta, pentru q ∈ N∗ se dau o lista˘ de constante reale: c1 .. .
a11 .. .
··· ...
a1q .. .
cq
aq1
···
aqq
b1
···
bq
cu c1 , . . . , cq nu neapa˘rat distincte, ¸si formulele de cuadratura˘:
ci
ψ(t) dt 0 1
ψ(t) dt 0
q
j=1 q
aij ψ(cj ) ,
i = 1, q ,
bj ψ(cj ).
j=1
Vom considera cazul general, când punctele din I0 nu sunt echidistante, adica˘ tn+1 −tn = hn . Pentru fiecare n = 1, N , se considera˘ punctele intermediare tn,i = tn + ci hn pentru i = 1, q ¸si determina˘m (yn,i )i=1,q prin rezolvarea sistemului: yn,i = yn + hn
q
aij f (tn,j , yn,j ) ,
i = 1, q .
j=1
Aproximarea solu¸tiei în tn+1 se determina˘ din: yn+1 = yn + hn
q
bj f(tn,j , yn,j ) .
j=1
Rela¸tiile (??) ¸si (??) rezulta˘ aplicând formulele de cuadratura˘ (??). Fie y o solu¸tie
5
pentru (1). Folosind schimbarea de variabila˘ u = y(tn,i ) = y(tn ) +
t − tn , ob¸tinem: hn
tn,i
f (t, y(t))dt =
tn
y(tn ) +
ci
f (tn + hn u, y(tn + hn u))dt ,
i = 1, q
0
y(tn+1 ) = y(tn ) +
tn+1
f (t, y(t))dt = y(tn ) + tn
1
f (tn + hn u, y(tn + hn u))dt.
0
Aplicând formulele de cuadratura˘ (??)se ob¸tine: y(tn,i ) y(tn ) + hn
q
aij f(tn,j , y(tn,j )) ,
j=1 q
y(tn+1 ) y(tn ) + hn
i = 1, q
bj f (tn,j , y(tn,j )) ,
j=1
de unde, pentru calculul valorilor aproximative avem (??) ¸si (??). Schema numerica˘ generala˘ pentru metode Runge-Kutta se poate scrie sub forma: y(tn+1 ) = y(tn ) + hn Φ(tn , yn , hn )) , unde Φ(t, y, h) =
q
n = 0, N − 1,
bj f (t + cj h, yj ) cu y1 , . . . , yq rezultate prin rezolvarea sistemului:
j=1
yi = y + h
q
aij f (t + cj h, yj ) , i = 1, q .
j=1
Nota˘m A = (aij )i,j=1,q , C = diag (c1 , c2 , . . . , cq ), b = (b1 , b2 , . . . , bq )t ¸si e = (1, 1, . . . , 1)t ∈ Rq . În func¸tie de coeficien¸tii aij metodele Runge-Kutta pot fi clasificate astfel: - daca˘ aij = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ q, atunci metoda Runge-Kutta se nume¸ste explicita ˘. - daca˘ aij = 0, ∀ 1 ≤ i < j ≤ q, atunci metoda Runge-Kutta se nume¸ste semiimplicita˘. 6
În cazul când nici una dintre condi¸tiile de mai sus nu este îndeplinita˘, metoda Runge-Kutta se nume¸ste implicita˘. Da˘m mai jos câteva rezultate importante în convergen¸ta metodelor Runge-Kutta. Teorema -1.1 Daca˘ f este lipschitziana ˘ în a doua varibila ˘, având constanta L, ρ (|A|) este raza spectrala ˘ a lui |A| s¸i hn este astfel încât hn Lρ (|A|) < 1, atunci schema numerica˘ Runge-Kutta (??) admite solu¸tie unica˘. De asemenea, pentru hn = h = const., astfel încât 0 < h ≤ h∗ cu h∗ Lρ (|A|) < 1, metoda Runge-Kutta este stabila ˘. Observa¸tie. Pentru o metoda˘ Runge-Kutta explicita˘ avem ρ (|A|) = 0. Deci o metoda˘ Runge-Kutta explicita˘ întotdeauna este stabila˘. Defini¸tia -1.2 Vom spune ca˘ este îndeplinita ˘ condi¸tia A(p) daca ˘ sunt îndeplinite
condi¸tiile A (l) pentru l = 1, p, unde A (l) sunt date în tabelul 2 pentru l = 1, 5. Teorema -1.2 Condi¸tia necesara˘ s¸i suficienta˘ ca o metoda ˘ Runge-Kutta (pentru toate func¸tiile suficient de regulate) sa ˘ fie de ordin p este sa˘ fie verificata ˘ condi¸tia A(p). Remarc˘ a. Condi¸tiile necesare pentru ca o metoda˘ Runge-Kutta sa˘ fie de ordin p sunt: bt e = 1 ,
bt Ce =
1 1 , . . . , bt C p−1 e = . 2 p
Condi¸tiile (??) sunt echivalente cu afirma¸tia: formula de cuadratura˘ (??)2 este de ordin p − 1, adica˘ este exacta˘ pentru polinoame pâna˘ la gradul p − 1. Se poate deduce ca˘ p ≤ 2q. Construc¸tia unei metode Runge-Kutta se face, în general, în modul urma˘tor: - se determina˘ rela¸tii pentru b1 , . . . , bq ¸si c1 , . . . , cq din condi¸tia ca formula de cuadratura˘ (??)2 sa˘ fie de ordin p − 1; - se ob¸tin ¸si coeficien¸tii din matricea A, rezolvând restul de condi¸tii suficiente pentru metode Runge-Kutta, pâna˘ la ordinul p, date în tabelul 3. 7
Pentru p = 5 se verifica˘ ¸si condi¸tiile pentru p = 3 ¸si p = 4. Observa¸tie. Pentru programarea metodelor Runge-Kutta este mai u¸sor sa˘ nota˘m: kn,i = f (tn,i , yn,i ) pentru i = 1, q, ¸si atunci avem: kn,i = f(tn,i , yn + hn
q
aij kn,j ) pentru i = 1, q
j=1
yn+1 = yn + hn
q
bj kn,j .
j=1
Rezolvând sistemul (??) în necunoscutele (kn,i )i=1,q , calcula˘m mai u¸sor yn+1 din (??). De asemenea, ob¸tinem: yn,i = yn + hn
q
aij kn,j , pentru i = 1, q .
j=1
Defini¸tia -1.3 O metoda˘ RKpp este o metoda ˘ Runge-Kutta de ordin p corespunza ˘toare tabloului de constante c1 .. .
a11 .. .
··· ...
a1q .. .
0
cq
aq1
···
aqq
0
1
b1
···
bq
0
···
bq
b1
bq+1
în care daca˘ excludem ultima linie s¸i ultima coloana˘, ob¸tinem o metoda ˘ de ordin p. Exemple particulare de metode Runge-Kutta. Exemplul 1. Pentru q = 1, metoda Runge-Kutta definita˘ prin:
8
θ
θ 1
cu θ ∈ R, se scrie:
yn,1 = yn + θf (tn + θhn , yn,1 ) yn+1 = yn + hn f (tn + θhn , yn,1 ) . Pentru θ = 0 ¸si θ = 1 se ob¸tin metode de ordinul 1: metoda Euler progresiv˘ a, respectiv, metoda Euler retrograd˘ a. Pentru θ = 1/2 se ob¸tine metoda punctului de mijloc ¸si este o metoda˘ de ordinul 2. Exemplul 2. Pentru q = 2, metoda Runge-Kutta definita˘ prin: 0
0
0
α
α
0 1 2α
1−
1 2α
cu α ∈ R∗ , se scrie: yn,1 = yn
yn+1 Daca˘ α =
yn,2 = yn + hn α f (tn , yn,1 )
1 1 = yn + hn 1− f (tn , yn ) + f (tn + αhn , yn + αhn f (tn , yn )) 2α 2α 1 , atunci se ob¸tine metoda Euler modificat˘ a (ameliorat˘ a): 2
1 1 yn+1 = yn + hn f tn + hn , yn + hn f (tn , yn ) . 2 2
Avem A =
0
0
,C=
0
0
1/2 0 0 1/2 A(2), deci metoda (??) este de ordin 2.
,b=
9
0 1
¸si este îndeplinita˘ condi¸tia
Daca˘ α = 1, atunci se ob¸tine metoda Heun sau metoda Euler îmbun˘ at˘ a¸tit˘ a sau metoda RK12 : 1 hn (f (tn , yn ) + f (tn + hn , yn + hn f (tn , yn ))) . 2 0 0 0 0 1/2 ,C = ,b= ¸si este îndeplinita˘ condi¸tia Avem A = 1 0 0 1 1/2 A(2), deci metoda (??) este de ordin 2. yn+1 = yn +
Exemplul 3. Pentru q = 4 metoda Runge-Kutta definita˘ prin: 0
0
1/2 1/2
0
0
0
0
0
0
1/2
0
1/2
0
0
1
0
0
1
0
1/6 2/6 2/6 1/6
este metoda Runge-Kutta clasic˘ a sau metoda RK24 (Kutta - 1901). Sub aceasta˘ forma˘, metoda este cel mai des utilizata˘. Avem: yn,1 = yn hn yn,2 = yn + f(tn , yn,1 ) 2
hn 1 yn,3 = yn + f(tn + hn , yn,2 ) 2 2 yn,4 = yn + hn f(tn + 1 hn , yn,3 ) 2
si
yn+1
hn = yn + 6
1 hn , yn,2 )+ 2 1 2f(tn + hn , yn,3 ) + f (tn+1 , yn,4 ) . 2 f(tn, yn,1 ) + 2f (tn +
10
(5)
În metoda RK24 avem: 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 2/6 A = , C = , b = ¸si este 0 1/2 0 0 0 0 1/2 0 2/6 o 0 1 0 0 0 0 1 1/6 îndeplinita˘ condi¸tia A(4), deci metoda (5) este de ordin 4. Exemplul 4. Pentru q = 5, metoda Runge-Kutta definita˘ prin: 0
0
0
0
0
0
2/7
2/7
0
0
0
0
4/7
-8/35
4/5
0
0
0
6/7 29/42
-2/3
5/6
0
0
1/6
5/12
1/4
0
1/6
1
11/96 28/96 35/96 14/96 8/96
este o metoda˘ RK34 . Exemplul 5. Pentru q = 6, metoda Runge-Kutta definita˘ prin: 0
0
0
0
0
0
0
1/2
1/2
0
0
0
0
0
1/4 3/16
0
0
0
0
0
1/2
0
0
1/2
0
0
0
3/4
0
-3/16
9/16
0
0
0
1
1/7
4/7
6/7
-12/7
8/7
0
7/90
0
32/90 12/90 32/90 7/90
este o metoda˘ Runge-Kutta de ordin 6.
11
Exemplul -1.2 Se da ˘ problema Cauchy: y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2.9]
Sa ˘ se determine valoarea aproximativa˘ a solu¸tiei în t = 2.9, folosind metodele Euler
progresiva˘, Euler modificata ˘, RK12 s¸i RK24 , pentru N = 2. Pentru N = 2 avem h = 0.9500. Lua˘m y0 = 0.75, t0 = 1. Pentru metoda RK24 , y 1 avem f (t, y) = y 2 − − 2 . Se ob¸tine: t 4t - pentru n = 1: y0,1 = y0 = 1 ,
t0,1 = t0 = 1 ,
y0,2 = y0 = 1 + 0.95f(t0,1 , y0,1 )/2 = 0.8812 ,
t0,2 = t0 + 0.95/2 = 1.4750 ,
y0,3 = y0 = 1 + 0.95f(t0,2 , y0,2 )/2 = 1.0305 ,
t0,3 = t0 + 0.95/2 = 1.4750 ,
y0,4 = y0 = 1 + 0.95f(t0,3 , y0,3 )/2 = 1.2360 ,
t0,4 = t0 + 0.95 = 1.9500 ,
y1 = y0 + 0.95(f(t0,1 , y0,1 ) + 2f (t0,2 , y0,2 ) + 2f (t0,3 , y0,3 ) + f (t0,4 , y0,4 ))/6 = 1 + 0.95(−0.2500 + 2 · 0.0642 + 2 · 0.2484 + 0.8281)/6 = 1.1905 t1 = t0 + h = 1.9500 - pentru n = 2: y1,1 = y1 = 1.1905 ,
t1,1 = t1 = 1.95 ,
y1,2 = y1 = 1 + 0.95f(t1,1 , y1,1 )/2 = 1.5425 ,
t1,2 = t1 + 0.95/2 = 2.4250 ,
y1,3 = y1 = 1 + 0.95f(t1,2 , y1,2 )/2 = 1.9984 ,
t1,3 = t1 + 0.95/2 = 2.4250 ,
y1,4 = y1 = 1 + 0.95f(t1,3 , y1,3 )/2 = 4.1612 ,
t1,4 = t1 + 0.95 = 2.9 ,
y2 = y1 + 0.95(f(t1,1 , y1,1 ) + 2f (t1,2 , y1,2 ) + 2f (t1,3 , y1,3 ) + f (t1,4 , y1,4 ))/6 = 1.1905 + 0.95(0.7411 + 2 · 1.7008 + 2 · 3.1270 + 15.8509)/6 = 5.3464 t2 = t1 + h = 2.9 . În tabelul 4 am dat valorile ob¸tinute cu metodele cerute în enun¸t pentru N = 2. t+3 . Pentru acelea¸si cerin¸te ca în exerci¸tiul -1.2, dar Solu¸tia exacta˘ este y(t) = − 2t(t − 3) 12
pentru N = 7 se ob¸tin datele din tabelul 5. Pentru valori mai mari ale lui N se ob¸tin valori aproximative mult apropiate de solu¸tia exacta˘. De exemplu, pentru N = 20 valorile ob¸tinute sunt în tabelul 6.
Metode în mai mul¸ti pa¸si (indirecte)
Calculul valorii yn+1 la tn+1 se poate ob¸tine folosind r + 1 valori deja calculate yn , yn−1 , . . . , yn−r+1 , adica˘ folosind r + 1 pa¸si anteriori cu r ∈ N. În general, se ob¸tin metode cu caracteristici mai bune. Cel mai des întâlnite medote în r + 1 pa¸si sunt metodele Adams. Se considera˘ problema (1)-(2), în care presupunem ca˘ f este lipschitiziana˘ în al doilea argument. Considera˘m diviziunea: t0 < t1 , < . . . , tN = t0 + T , hn = tn+1 − tn . Metodele Adams se bazeaza˘ pe rela¸tia: y(tn+1 ) = y(tn ) +
tn+1
f (t, y(t))dt ,
tn
unde y(·) este solu¸tie a ecua¸tiei (1). Schema de aproximare într-o metoda˘ Adams este: yn+1 = yn +
tn+1
Pn,r (t)dt , tn
unde Pn,r (·) este o aproximare a func¸tiei f(·, ·). Se presupune ca˘ printr-o metoda˘ directa˘ (de exemplu, de tip Runge-Kutta) s-au de terminat valorile y1 , y2 , . . . , yr pornind de la o valoare y0 . Pentru n ≥ r, n ∈ 1, N − 1 , presupunem cunoscute yn , yn−1 , . . . , yn−r ¸si nota˘m: fj = f(tj , yj ) ,
j = n − r, n ,
valorile aproximative pentru f(tj , y(tj )) , j = n − r, n , pentru y(·) solu¸tie a ecua¸tiei (1). 13
Metoda Adams-Bashforth În metoda Adams-Bashforth considera˘m, în (??), Pn,r (t) polinomul de interpolare de grad ≤ r, definit prin: i = 0, r .
Pn,r (tn−i ) = fn−i ,
Daca˘ alegem pentru Pn,r polinomul Lagrange, atunci se scrie sub forma: Pn,r (t) =
r
fn−i Ln,i,r (t) ,
i=0
unde Ln,i,r (t) = Avem
r
t − tn−j , t n−i − tn−j j=0,j=i
tn+1
Pn,r (t)dt =
tn
fn−i
1 = hn
tn+1
Ln,i,r (t)dt ,
tn
i=0
unde notând: bn,i,r
r
i = 0, r .
tn+1
Ln,i,r (t)dt ,
i = 0, r ,
tn
schema Adams-Bashforth se poate scrie: r yn+1 = yn + hn bn,i,r fn−i , i=0
fn+1 = f (tn+1 , yn+1 ) ,
n = r, N − 1 .
Observa¸tie. Pentru r = 0 se ob¸tine metoda Euler progresiva˘, deoarece: Pn,0 (t) = fn = f (tn , yn ) ,
Ln,0,0 (t) = 1 ,
bn,0,0 = 1 ,
¸si, deci yn+1 = yn + hn f (tn , yn ) . Daca˘ considera˘m hn = hn−1 = . . . = hn−r = h = const., atunci coeficien¸tii bn,i,r sunt independen¸ti de n. Din (??) prin schimbarea de variabila˘ t = tn + sh ¸si punând 14
tn−j = tn − jh , j = 0, r , se ob¸tine: bn,i,r = bi,r =
r s+j unde li,r (s) = , i = 0, r . j −i j=0,j=i
1
li,r (s)ds ,
0
În tabelul 7 avem coeficien¸tii metodei Adams-Bashforth (bi,r )i=0,r pentru r = 1, 5, astfel ca˘: h (3fn − fn−1 ); 2 h = yn + (23fn − 16fn−1 + 5fn−2 ); 12 h = yn + (55fn − 59fn−1 + 37fn−2 − 9fn−3 ); 24
- pentru r = 1 avem yn+1 = yn + - pentru r = 2 avem yn+1 - pentru r = 3 avem yn+1 - pentru r = 4 avem yn+1 = yn +
h (1901fn − 2774fn−1 + 2616fn−2 − 1274fn−3 + 251fn−4 ) 720
l Exemplul -1.3 Folosind metoda Adams-Bashforth pentru r = 3, determina¸ti solu¸tia aproximativa ˘ a problemei Cauchy: y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2.25]
în t = 2.25 pentru N = 5, determinând valorile de început y1 , y2 , y3 cu metoda Euler progresiva˘. Avem h = 0.25 ¸si f (t, y) = y 2 −
y 1 − 2 . Aplicând metoda Euler progresiva˘ se t 4t
ob¸tine: t0 = 1 ,
y0 = 0.75 ,
f0 = f (t0 , y0 ) = −0.4375 ,
t1 = 1.25 ,
y1 = 0.6406 ,
f1 = f (t1 , y1 ) = −0.2621 ,
t2 = 1.5 ,
y2 = 0.5751 ,
f2 = f (t2 , y2 ) = −0.1638 ,
t3 = 1.75 ,
y3 = 0.5342 ,
f3 = f (t3 , y3 ) = −0.1015 ,
15
¸si, în continuare, cu metoda Adams-Bashforth pentru r = 3, rezulta˘: t4 = 2 ,
y4 = y3 +
h (55f3 − 59f2 + 37f1 − 9f0 ) = 0.5166 , 24
f4 = f (t4 , y4 ) = −0.0539 ,
t5 = 2.25 ,
y5 = y4 +
h (55f4 − 59f3 + 37f2 − 9f1 ) = 0.5096 , 24
f5 = f (t5 , y5 ) = −0.0162 .
16
Table 2: Conditiile A (l) pentru l = 1, 5.
l
A (l)
1 bt e = 1 1 2 1 1 t 2 t 3 b C e = b CAe = bt (Ae).2 = , bt ACe = bt A2 e = 3 6 1 .2 .3 t 3 t 2 t t b C e = b C Ae = b C (Ae) = b (Ae) = , 4 1 t t 2 t t 4 b CACe = b CA e = b ((Ae).(ACe)) = b (Ae).(A2 e) = 8 1 1 t 2 t t .2 t 2 t 3 b AC e = b ACAe = b A(Ae) = , b A Ce = b A e = 12 24 1 .2 .3 .4 t 4 t 3 t 2 t t b C e = b C Ae = b C (Ae) = b C (Ae) = b (Ae) = , 5 t 2 t 2 2 t t 2 b C ACe = b C A e = b C ((Ae).(ACe)) = b C (Ae).(A e) = 1 bt (Ae).2 .(ACe) = bt C (Ae).2 .(A2 e) = , 10 bt CAC 2 e = bt CACAe = bt CA (Ae).2 = bt (Ae).(AC 2 e) = 1 bt ((Ae).(ACAe)) = bt (Ae).A(Ae).2 = , 15 5 bt AC 3 e = bt AC 2 Ae = bt AC(Ae).2 = bt A(Ae).3 e = bt (ACe).2 e = .2 1 bt (ACe).(A2 e) = bt A2 e) = , 20 1 bt CA2 Ce = bt CA3 e = bt (Ae).(A2 Ce) = bt (Ae).(A3 e) = , 30 1 bt ACACe = bt ACA2 e = bt A ((Ae).(ACe)) = bt A (Ae).(A2 e) = , 40 1 1 bt A2 C 2 e = bt A2 CAe = bt A2 (Ae).2 = , bt A3 Ce = bt A4 e = 60 120 2 bt Ce = bt Ae =
17
Table 3: Conditiile suficiente pentru metode de ordin p ∈ {3, 4, 5}.
p Conditii suficiente pentru metoda Runge-Kutta de ordin p 1 1 1 3 Ae = Ce , bt e = 1 , bt Ce = , bt C 2 e = , bt ACe = 2 3 6 1 t 1 1 1 t 2 t 2 t 3 , b A Ce = 4 b C e = , b CACe = , b AC e = 4 8 12 24 1 t 4 5 bC e= , 5 1 1 1 1 t 2 b C ACe = , bt CAC 2 e = , bt (AC).2 e = , bt CA2 Ce = 10 15 20 30
Table 4: Valori aproximative pentru N = 2. n
tn
Solutia Metoda Metoda
Metoda Metoda
exacta
Euler
RK12
Euler mod.
RK24
0 1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1 1.9500
1.2088
0.7625
0.9405
1.0610
1.1905
2 2.9000 10.1724
0.8809
1.6339
2.1295
5.3464
18
Table 5: Valori aproximative pentru N = 7. n
tn
Solutia Metoda Metoda
Metoda Metoda
exacta
Euler
RK12
Euler mod.
RK24
0 1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1 1.2714
0.9718
0.9321
0.9635
0.9698
0.9717
2 1.5429
1.0103
0.9270
0.9934
1.0048
1.0103
3 1.8143
1.1190
0.9687
1.0881
1.1058
1.1188
4 2.0857
1.3335
1.0578
1.2736
1.3011
1.3332
5 2.3571
1.7677
1.2083
1.6274
1.6731
1.7667
6 2.6286
2.8825
1.4532
2.3968
2.4825
2.8745
7 2.9000 10.1724
1.8665
4.7272
4.9158
9.2669
19
Table 6: Valori aproximative pentru N = 20. n
tn
Solutia Metoda Metoda
Metoda
Metoda
exacta
Euler
RK12
Euler mod.
RK24
0 1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1 1.09500
0.98155
0.97625
0.98114
0.98149
0.98155
2 1.19000
0.97265
0.96228
0.97187
0.97251
0.97265
3 1.28500
0.97219
0.95666
0.97105
0.97195
0.97219
4 1.38000
0.97960
0.95849
0.97808
0.97922
0.97960
5 1.47500
0.99472
0.96732
0.99278
0.99417
0.99472
6 1.57000
1.01777
.982995
1.01535
1.01700
1.01777
7 1.66500
1.04936
1.00568
1.04636
1.04828
1.04936
8 1.76000
1.09054
1.03581
1.08682
1.08905
1.09054
9 1.85500
1.14290
1.07416
1.13825
1.14083
1.14290
10 1.95000
1.20879
1.12186
1.20289
1.20588
1.20879
11 2.04500
1.29162
1.18052
1.28401
1.28749
1.29162
12 2.14000
1.39644
1.25240
1.38638
1.39046
1.39643
13 2.23500
1.53090
1.34062
1.51721
1.52199
1.53089
14 2.33000
1.70713
1.44962
1.68770
1.69333
1.70712
15 2.42500
1.94532
1.58577
1.91626
1.92284
1.94529
16 2.52000
2.28175
1.75851
2.23503
2.24252
2.28169
17 2.61500
2.78861
1.98225
2.70542
2.71305
2.78847
18 2.71000
3.63278
2.28004
3.45972
3.46390
3.63226
19 2.80500
5.30646
2.69075
4.83886
4.82237
5.30322
20 2.90000 10.17241
3.28441
8.01230
7.86910 10.11166
20
Table 7: Valorile coeficien@tilor bi,r pentru r = 1, 5. 6 i=0
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
1
3/2
-1/2
-
-
-
-
2
23/12
-4/3
5/12
-
-
-
3
55/24
-59/24
37/24
-3/8
-
-
4
1901/720
-1387/360
109/30
-637/360
251/720
-
5 4277/1440 -2641/480 4991/720 -3649/720 959/480 -95/288
21
Metode numerice pentru ecua¸tii neliniare Metoda bisec¸tiei Exemplul -1.1 Sa˘ se aproximeze solu¸tia ecua¸tiei x3 + 4x2 − 10 = 0 (con¸tinuta˘ în intervalul [−1, 2]).
Solu¸tie Avem a0 = a = −1, b0 = b = 2, f (a) = −7, f (b) = 14. Atunci c0 = (a0 + b0 )/2 = 1/2. Cum f (c0 ) < 0 rezulta˘ ca˘ a1 = c0 = 1/2, b1 = b0 = 2, c1 = (a1 + b1 ) /2 = 5/4 = 1, 25 Cum f(c1 ) < 0 rezulta˘ ca˘ a2 = c1 = 5/4, b2 = b1 = 2, c2 = (a2 + b2 ) /2 = 13/8 = 1, 625 Cum f(c2 ) > 0 rezulta˘ ca˘ a3 = a2 = 5/4, b3 = c2 = 13/8, c3 = (a3 + b3 ) /2 = 23/16 = 1, 4375 Cum f(c3 ) > 0 rezulta˘ ca˘ a4 = a3 = 5/4, b4 = c3 = 23/16, c4 = (a4 + b4 ) /2 = 43/32 = 1, 34375 etc.
Regula falsi
Exemplul -1.2 Sa˘ se aproximeze solu¸tia ecua¸tiei x3 + 4x2 − 10 = 0 (con¸tinuta˘ în intervalul [−1, 2]). 1
Solu¸tie Avem a0 = a = −1, b0 = b = 2, f (a) = −7, f (b) = 14. Atunci c0 = (a0 f (b0 ) − b0 f (a0 ))/(f (b0 ) − f (a0 ) = 0. Cum f(c0 ) < 0 rezulta˘ ca˘ a1 = c0 = 0, b1 = b0 = 2, c1 = (a1 f (b1 ) − b1 f (a1 ))/(f (b1 ) − f (a1 ) = 5/6 = 0, 83333 Cum f(c1 ) < 0 rezulta˘ ca˘ a2 = c1 = 5/6, b2 = b1 = 2, c2 = (a2 f(b2 )−b2 f(a2 ))/(f (b2 )−f (a2 ) = 110/91 = 1, 20879 etc.
Metoda coardei Exemplul -1.3 Sa˘ se aproximeze solu¸tia ecua¸tiei 2x3 − 4x + 1 = 0 (con¸tinuta ˘ în intervalul [1/4, 1]), folosind metoda coardei.
Solutie: Fie f (x) = 2x3 − 4x + 1. Avem: f (x) = 6x2 − 8x si f (x) = 12x. Luam a = 1/4 si b = 1. Evident, f nu se anuleaza pe [a, b], f (a) · f (a) = 3/32 > 0 si f (a) · f (b) = −1/32 < 0. Deci conditiile de aplicabilitate ale metodei coardei sunt indeplinite. Luam x0 = 1/4 si x1 = 1. Atunci
x2 =
x0 f (x1 ) − x1 f (x0 ) 3 x0 f (x3 ) − x3 f (x0 ) 899 = , x3 = = , etc. f (x1 ) − f (x0 ) 11 f (x3 ) − f (x0 ) 3475
Metoda secantei
Exemplul -1.4 Sa˘ se aplice metoda secantei pe intervalul [0, 1] pentru rezolvarea ecua¸tiei 3ex − 4 cos x = 0 pentru x0 = 1 s¸i x1 = 0, 9. 2
Solu¸tie: Evident f este de doua˘ ori derivabila˘ pe [0, 1] ¸si f (x) = 3ex + 4 sin x, , func¸tie care evident nu se anuleaza˘ pe [0, 1]. Cum f (0) · f (1) = −3e + 4 cos 1 < 0 rezulta˘ ca˘ ecua¸tia are o rada˘cina˘ în intervalul [0, 1]. Avem
x2 :=
3e9/10 − 4 cos(9/10) − 9/10(3e − 4 cos 1) x0 f (x1 ) − x1 f (x0 ) = = 0, 45575 f (x1 ) − f (x0 ) 3e9/10 − 4 cos(9/10) − 3e + 4 cos 1
Metoda lui Newton
Exemplul -1.5 Sa˘ se arate ca˘ se aplica ˘ metoda lui Newton pe intervalul [0, 1] pentru rezolvarea ecua¸tiei 3ex − 4 cos x = 0. Luând x0 = 1, sa˘ se calculeze valoarea primei itera¸tii. Solu¸tie: Evident f este de doua˘ ori derivabila˘ pe [0, 1] ¸si f(x) = 3ex + 4 sin x, f (x) = 3ex + 4 cos x, func¸tii care evident nu se anuleaza˘ pe [0, 1]. Cum f(0) · f (1) = −3e + 4 cos 1 < 0 ¸si f (1) · f (1) = 9e2 − 16 cos 1 > 0, rezulta˘ ca˘ metoda lui Newton se aplica˘. Avem
x1 := x0 −
f (x0 ) 3e − 4 cos 1 4 sin 1 + 4 cos 1 = 1− = = 0, 47975 f(x0 ) 3e + 4 sin 1 3e + 4 sin 1
Principiul contrac¸tiei Exemplul -1.6 Fie func¸tia 3 1 7 f : − , − → R, f (x) = x2 + x − 4 2 16 Sa ˘ se arate ca˘ f este o contrac¸tie. Luând x0 = − 58 , sa ˘ se determine numa˘rul de itera¸tii necesari pentru a aproxima solu¸tia ecua¸tiei f (x) = x cu o eroare ε. 3
Solu¸tie Func¸tia f este derivabila˘ ¸si f (x) = 2x + 1 Avem 1 3 −1= max |f (x)| = max |2x + 1| = max (−2x − 1) = −2 · − 4 2 x∈[− 43 ,− 12 ] x∈[− 34 ,− 12 ] x∈[− 43 ,− 12 ]
Deci 1 |f (x)| ≤ q := . 2 Nota˘m a = − 34 , b = − 12 . Atunci a + b a + b b − a 5 5 1 1 ≤ (1 − q) · f − ⇐⇒ f − + ≤ (1 − ) · ⇐⇒ 2 2 2 8 8 2 8 25 5 7 5 1 3 4 + ≤ ⇐⇒ ≤ , ceea ce este adeva˘rat. ⇐⇒ − − 64 8 16 8 16 64 64
Deci f este o contrac¸tie. Fie z solu¸tia ecua¸tiei f(x) = x pe intervalul [a, b]. Din formula de evaluare a erorii avem qn |xn − z| ≤ |x1 − x0 | 1−q Daca˘
qn |x1 − x0 | ≤ ε, atunci |xn − z| ≤ ε, deci xn aproximeaza˘ pe z cu eroarea ε. 1−q Avem
¸si
Atunci
5 25 5 7 43 x1 = f (x0 ) = f − = − − =− 8 64 8 16 64 43 5 3 |x1 − x0 | = − + = 64 8 64
1 n qn 3 3 |x1 − x0 | ≤ ε ⇐⇒ 2 1 · ≤ ε ⇐⇒ n+5 ≤ ε ⇐⇒ 1−q 2 1 − 2 64 4
⇐⇒ 2
n+5
3 ≥ ⇐⇒ n ≥ log2 ε
3 −5 ε
Deci putem lua 3 n = log2 − 4, unde [·] reprezinta˘ partea întreaga˘. ε
Metode pentru rezolvarea sau aproximarea solu¸tiilor sistemelor de ecua¸tii liniare Norme de vectori ¸si norme de matrici Exemplul -1.7 Fie
1 −2 3
A = 4 −5 6 7 −8 9
Atunci
A 1 = max
1≤j≤3
3 i=1
|aij | =
= max (|1| + |4| + |7| , |−2| + |−5| + |−8| , |3| + |6| + |9|) = max (12, 15, 18) = 18 s¸i
A ∞ = max
1≤i≤3
3 j=1
|aij | =
= max (|1| + |−2| + |3| , |4| + |−5| + |6| , |7| + |−8| + |9|) = max (6, 15, 24) = 24.
Condi¸tionarea unui sistem de ecua¸tii liniare Exemplul -1.8
10 7 8 7 7 5 6 5 A= 8 6 10 9 7 5 9 10
32 23 b= 33 31 5
cu solu¸tia
1 1 x= 1 1
Considera ˘m sistemul perturbat 10 7 A= 8 7
A(x + δx) = b + δb unde 7 8 7 5 6 5 b + δb = 6 10 9 5 9 10
9, 2 −12, 6 cu solu¸tia x + δx = 4, 5 −1, 1
32, 1 22, 9 33, 1 30, 9
Considera ˘m s¸i sistemul perturbat (A + ∆A)(x + ∆x) = b unde 7 8, 1 7, 2 32 10 23 7, 08 5, 04 6 5 A= b= 33 8 5, 98 9, 89 9 30 6, 99 4, 99 9 9, 98
(1)
−81 137 cu solu¸tia x + ∆x = −34 22 Exemplul -1.9 Sa se arate ca
δx∞ x∞
(2)
∞ = cond(A)· δb (Vom considera cazul sistemului b∞
(1) s¸i vom lucra cu norma infinit). Avem:
δx ∞ = x + δx − x ∞ = (9, 2 − 1; −12, 6 − 1; 4, 5 − 1; −1, 1 − 1) ∞ = = (8, 2; −13, 6; 3, 5; −2, 1) ∞ = max(|8, 2| ; |−13, 6| ; |3, 5| ; |−2, 1|) = 13, 6. 6
x ∞ = (1; 1; 1; 1) ∞ = max(|1| ; |1| ; |1| ; |1|) = 1. Atunci
A−1
δx ∞ =
x ∞ 25 −41 = 10 −6
13, 6 = 13, 6 1 −41
10
−6 68 −17 10 −17 5 −3 10 −3 2
A ∞ = max(|10|+|7|+|8|+|7| , |7|+|5|+|6|+|5| , |8|+|6|+|10|+|9| , |7|+|5|+|9|+|10|) = = max(32, 23, 33, 31) = 33 −1 A
∞
= max(|25| + |−41| + |10| + |−6| , |−41| + |68| + |−17| + |10| , , |10| + |−17| + |5| + |−3| , |−6| + |10| + |−3| + |2|) = = max(82, 136, 35, 21) = 136.
Rezulta˘ ca˘
Avem
cond(A) := A ∞ · A−1 ∞ = 33 · 136 = 4488
δb ∞ = b + δb − b ∞ = (32, 1 − 32; 22, 9 − 23; 33, 1 − 33; 30, 9 − 31) ∞ = = (0, 1; −0, 1; 0, 1; −0, 1) ∞ = max(|0, 1| ; |−0, 1| ; |0, 1| ; |−0, 1|) = 0, 1.
b ∞ = (32; 23; 33; 31) ∞ = max(|32| ; |23| ; |33| ; |31|) = 33.. Atunci 0, 1 1
δb ∞ = =
b ∞ 33 330 7
¸si cond(A) · Deci
1
δb ∞ = 4488 · = 13, 6
b ∞ 330
δx ∞
δb ∞ = cond(A) ·
x ∞
b ∞
Metode directe Metoda lui Gauss (cu pivotare par¸tiala˘) Exemplul -1.10 Fie sistemul de ecua¸tii liniare x + 12 y + 13 z = 1 1 x + 31 y + 41 z = 2 2 1 x + 41 y + 51 z = 3 3
Sa ˘ se calculeze determinantul matricei sistemului s¸i sa ˘ se rezolve sistemul cu metoda lui Gauss. Solu¸tie Nota˘m cu (aij )1≤i,j≤3 matricea sistemului. Ini¸tializa˘m det = 1. La etapa n = 1 ca˘uta˘m cel mai mare element în modul de pe coloana n a matricei sistemului. Acesta este max = |a11 | = 1 ¸si se afla˘ pa linia 1. Deci s = 1 ¸si piv = a11 = 1. Calcula˘m det = det ∗piv, deci det = 1. Cum s = n se trece la pasul împa˘r¸tirii la pivot. Cum pivotul este egal cu 1, prin împa˘r¸tire la pivot linia n ra˘mâne nemodificata˘. Elimina˘m x din liniile 2 ¸si 3 ca în algoritm. Ob¸tinem urma˘torul sistem de ecua¸tii: x + 12 y + 31 z = 1 1 1 y + 12 z = 32 12 1 4 y + 45 z = 83 12
La etapa n = 2 ca˘uta˘m cel mai mare element în modul de pe coloana n a matricei
sistemului (de la elementul a22 în jos). Acesta este max = |a22 | = 1/12 ¸si se afla˘ pa 8
linia 2. Deci s = 2 ¸si piv = a22 = 1/12. Calcula˘m det = det ∗piv, deci det = 1/12. Cum s = n se trece la pasul împa˘r¸tirii la pivot. Ecua¸tia 2 devine y + z = 18 . Elimina˘m y din linia 3 ca în algoritm. Ob¸tinem urma˘torul sistem de ecua¸tii: x + 12 y + 13 z = 1 y + z = 18
1 z 180
7 6
=
Calcula˘m determinantul matricei sistemului det = det ∗a33 =
1 12
∗
1 180
=
1 2160
rezolva˘m sistemul anterior. Ob¸tinem z = 210, y = −192, x = 27.
Metoda lui Gauss-Jordan de calcul a inversei unei matrice Exemplul -1.11 Folosind metoda Gauss-Jordan 1 12 13 A = 21 13 14 1 3
Solu¸tie Forma˘m ansamblul matriceal 1 21 13 1 1 1 2 3 4 1 3
1 4
1 5
Cu transforma˘rile din algoritm ob¸tinem: 1 21 13 1 1 0 12 12 1 4 0 12 45
1 0 0
1 2
1 1 12
1 4
1 5
sa ˘ se calculeze inversa matricei
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 −2 1 0 1 − 0 1 3
1 0 0 1 −6 12 0 1 4 −3 0 1 45 1 3
9
¸si
0 0 1 0 1 1 −6 12 0 1 1 −1 1 0 0 180 6 1 12 13 1 0 0 0 1 1 −6 12 0 0 0 1 30 −180 180 1 12 0 −9 60 −60 0 1 0 −36 192 −180 0 0 1 30 −180 180 1 0 0 9 −36 30 0 1 0 −36 192 −180 0 0 1 30 −180 180
Deci
1
1 2
1 3
9
−36
30
A−1 = −36 192 −180 30 −180 180
Rezolvarea unui sistem de ecua¸tii liniare Ax = b este echivalenta˘, dupa˘ ce s-a calculat inversa matricei A, cu egalitatea x = A−1 b.
Factorizarea LU Exemplul -1.12 Sa ˘ se factorizeze sub forma LU matricea 4 −2 0 2 −1 −1 2 3 A= 4 5 −2 −9 0 1 3 4 10
Solu¸tie Se verifica˘ mai întâi ca˘ determinan¸tii de col¸t ai matricei A sunt nenuli. Cu formulele (??) ¸si (??) se ob¸tine: l11 = 2, l21 = −1, l31 = 4, l41 = 0 u11 = 1, u12 = 2, u13 = −1, u14 = 0 l22 = 1, l32 = −3, l42 = 1 u22 = 1, u23 = 1, u24 = 3 l33 = 5, l43 = 2 u33 = 1, u34 = 0 l44 = 1 u44 = 1 Deci
0 0 2 −1 1 0 L= 4 −3 5 0 1 2
1 2 −1 0 0 1 1 3 U = 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 , 0 1
Metoda ra˘da˘cinii pa˘trate Exemplul -1.13 Folosind metoda ra ˘da˘cinii pa ˘trate, sa ˘ se rezolve sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b cu
4
2
2
A = 2 10 4 2 4 6
8
, b = 16 12
11
Solu¸tie Se verifica˘ imediat ca˘ matricea A este simetrica˘. Deoarece 4 2 ∆1 = |4| > 0, ∆2 = 2 10
4 2 2 = 36 > 0, ∆3 = 2 10 4 2 4 6
= 144 > 0
rezulta˘ ca˘ matricea A este pozitiv definita˘. Cu formulele din curs se ob¸tine l11 = 2, l21 = 1, l31 = 1 l22 = 3, l32 = 1 l33 = 2 Rezulta˘ ca˘ y1 = 4, y2 = 4, y3 = 2 si x3 = 1, x2 = 1, x3 = 1.
Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecua¸tii liniare Metoda lui Jacobi Exemplul -1.14 Sa ˘ se arate ca ˘ se poate aplica metoda lui Jacobi (relativa ˘ la normele 1 s¸i ∞) pentru sistemul de ecua¸tii liniare Ax = b cu 0, 1 0, 2 0, 3 0, 9 −0, 2 0, 8 0, 1 0, 4 A= ; b = 0, 1 −0, 3 0, 7 −0, 1 −0, 3 −0, 2 −0, 1 0, 9
12
3, 6 2 . 2, 4 1, 5
0 0 (0) Luând x = sa ˘ se determine numa˘rul de itera¸tii necesar pentru a aproxima 0 0 solu¸tia sistemului cu o eroare mai mica˘ de 10−10 . Solu¸tie: Avem
0, 1 −0, 1 −0, 2 −0, 3 0, 2 0, 2 −0, 1 −0, 4 B = I −A = −0, 1 0, 3 0, 3 0, 1 0, 3 0, 2 0, 1 0, 1 Atunci
B 1 = max
1≤j≤4
4 i=1
|bij | = max(|0, 1| +|0, 2|+|−0, 1| +|0, 3| , |−0, 1| +|0, 2|+|0, 3| +|0, 2| ,
|−0, 2|+|−0, 1|+|0, 3|+|0, 1| , |−0, 3|+|−0, 4|+|0, 1|+|0, 1|) = max(0, 7; 0, 8; 0, 7; 0, 9) = 0, 9 < 1. ¸si
B ∞ = max
1≤i≤4
4 j=1
|bij | = max(|0, 1|+|−0, 1|+|−0, 2|+|−0, 3| , |0, 2|+|0, 2|+|−0, 1|+|−0, 4| ,
|−0, 1|+|0, 3|+|0, 3|+|0, 1| , |0, 3|+|0, 2|+|0, 1|+|0, 1|) = max(0, 7; 0, 9; 0, 8; 0, 7) = 0, 9 < 1. Deci metoda lui Jacobi se aplica˘. Din formula de evaluare a erorii avem:
x(n) − x p ≤
qn
x(1) − x(0) p , ∀ n ∈ N∗ 1−q
unde p = 1 sau p = ∞, q = 0, 9, x(1) = Bx(0) + b = b. Deci, pentru a aproxima x cu x(n) cu eroarea ε = 10−10 este suficient ca
qn
x(1) 1−q
− x(0) p < ε. Avem
x(1) − x(0) 1 = b 1 = |3, 6| + |2| + |2, 4| + |1, 5| = 9, 5 13
¸si
x(1) − x(0) ∞ = b ∞ = max(|3, 6| , |2| , |2, 4| , |1, 5|) = 3, 6 Atunci qn 0, 9n ε ε
x(1) − x(0) 1 < ε ⇐⇒ 9, 5 < ε ⇐⇒ 0, 9n < ⇐⇒ n = log0,9 +1 1−q 1 − 0, 9 95 95 ¸si 0, 9n ε ε qn
x(1) − x(0) ∞ < ε ⇐⇒ 3, 6 < ε ⇐⇒ 0, 9n < ⇐⇒ n = log0,9 +1 1−q 1 − 0, 9 36 36
Metoda Gauss-Seidel Exemplul -1.15 Fie sistemul de ecua¸tii liniare x1 + 12 x2 + 13 x3 = 1
1 x 5 1
1 x 10 1
+ x2 + 16 x3 = 2 +
1 x 20 2
+ x3 = 3
Sa ˘ se arate ca ˘ se aplica˘ metoda Gauss-Seidel. Solu¸tie Nota˘m cu A matricea ceoficien¸tilor sistemului. Avem 1 12 13 A = 15 1 16 1 1 1 10 20 Atunci
¸si
0
− 12
− 13
1 1 B = I − A = −5 0 −6 1 1 − 10 − 20 0 1 1 5 q1 = |b11 | + |b12 | + |b13 | = − + − = 2 3 6 14
Deci
1 5 1 1 q2 = |b21 | q1 + |b22 | + |b23 | = − · + − = 5 6 6 3 1 5 1 1 1 q3 = |b31 | q1 + |b32 | q2 + |b33 | = − · + − · = 10 6 20 3 10 q = max(q1 , q2 , q3 ) = max
5 1 1 , , 6 3 10
=
5 <1 6
Rezulta˘ ca˘ metoda Gauss-Seidel se aplica˘.
Metoda relaxa˘rii simultane Exemplul -1.16 Fie sistemul de ecua¸tii liniare: 5x + 3x2 + 2x3 = 1 1
3x1 + 6x2 + 3x3 = 2 2x1 + 3x2 + 5x3 = 3
Sa ˘ se arate ca˘ se poate aplica metoda relaxa ˘rii simultane. Sa˘ se determine parametrul optim de relaxare. Luând x(0) = (0, 0, 0) sa ˘ se evalueze eroarea x − x(n) . Solu¸tie: Nota˘m cu A matricea sistemului. Avem 5 3 2 A = 3 6 3 = At transpusa matricei A. 2 3 5 Deci A simetrica˘. Deoarece 5 3 ∆1 := |5| > 0, ∆2 := 3 6
5 3 2 > 0, ∆3 := 3 6 3 2 3 5
> 0,
cu teorema lui Sylvester rezulta˘ ca˘ matricea A este ¸si pozitiv definita˘. în concluzie, se poate aplica metoda relaxa˘rii simultane. 15
Fie D = diag(A). Atunci
1
3/5 2/5
D A = 1/2 1 1/2 2/5 3/5 1 −1
6 ¸si det(D−1 A − λI) = 0 ⇐⇒ (1 − λ)3 − 19 (1 − λ) + 25 = 0. Daca˘ nota˘m 1 − λ = t, atunci 25
ecua¸tia 25t3 − 19t + 6 = 0 are ra˘da˘cinile t1 = −1, t2 = 2/5, t3 = 3/5, de unde rezulta˘ ca˘ valorile proprii ale matricei D−1 A sunt λ1 = 2 > λ2 = 3/5 > λ3 = 2/5. Parametrul optim de relaxare este σ=
2 5 = λ1 + λ3 6
q=
2 λ1 − λ3 = . λ1 + λ3 3
ca˘ruia îi corespunde
Avem x(1) = Cσ x(0) + cσ = cσ = σD−1 b = 5/6 · (1/5; 2/6; 3/5)t unde b = (1; 2; 3)t este vectorul termenilor liberi din sistem. Atunci
x(1) 2D
25 = Dx(1) , x(1) = 36
1 2 9 + + 5 3 5
¸si
x
(n)
qn − x D ≤
x(1) − x(0) D = 5 · 1−q
=
2 25 · 3 9
n+ 12 2 . 3
Metoda lui Ritz
1 2 3 4 2 5 1 10 Exemplul -1.17 Fie A = 3 1 35 5 4 10 5 30 −1 culeze A .
16
. Folosind metoda lui Ritz sa˘ se cal
Se verifica˘ mai întâi ca˘ matricea A este simetrica˘ ¸si pozitiv definita. Lua˘m w0 = (1, 0, 0, 0)∗ . Atunci w0∗ Aw0 = 1 ¸si 1 0 0 0 0 0 C1 = 0 0 0 0 0 0
0 0 −2 −3 −4 0 1 0 0 0 , D1 = . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Lua˘m v1 = (0, 1, 0, 0)∗ . Rezulta˘ ca˘ w1 = (−2, 1, 0, 0)∗ ¸si w1∗ Aw1 = 1, de unde 0 0 −13 0 5 −2 0 0 0 0 5 −2 −2 1 0 0 C2 = , D2 = . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Lua˘m v2 = (0, 0, 1, 0)∗ . Rezulta˘ ca˘ w2 = (−13, 5, 1, 0)∗ ¸si w2∗ Aw2 0 0 0 174 −67 −13 0 0 0 0 −67 26 5 0 C3 = , D3 = 0 0 0 −13 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Lua˘m v3 = (0, 0, 0, 1)∗ . Rezulta˘ ca˘ w3 = (39, −17, −3, 1)∗ ¸si 1695 −730 −130 39 −730 315 56 −17 C4 = , D4 = −130 56 10 −3 39 −17 −3 1
Pseudoinversa unei matrice
17
= 1, de unde 39 −17 . −3 1
w3∗ Aw3 = 1, de unde 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0
Exemplul -1.18 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu rang(T ) = 2 s¸i H0 = 0. 1 1 −1 1 2 −1
y1
1 1 0 Lua˘m y1 = T ∗ ∗ = 0 (avem y1 − H0 T y1 = y1 = 0. Atunci w1 = 0 −1 0 2 0 − H0 T y1 = y1 ¸si T w1 = . Rezulta˘ ca˘ T w1 2 = 12, iar w1 (T w1 )∗ = 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 . Deci −2 0 −2 −2
w1 (T w1 )∗ H1 = H0 + 2 =
T w1
0 0 1 Lua˘m y2 = T ∗ ∗ = 1 0 0 0
1/6
0
1/6
1/6
0
0
0
0
−1/6 0 −1/6 −1/6
(avem y − H T y = 2 1 2
18
.
−1/2 1 1/2
= 0. Atunci
w2 = y2 − H1 T y2
1/2 −1/2 0 −1 1 0 −1/2 1/2 0
−1 1 2 ¸si T w2 = . Rezulta˘ ca˘ T w2 = 3, iar w2 (T w2 )∗ = 0 1 −1/2 1 . Deci 1/2
1/3
w2 (T w2 )∗ H2 = H1 + 2 = −1/3
T w2
−1/3 În concluzie T+ .
−1/6 1/3 1/6
1/6
0
0 1/3 −1/6 0
1/3 −1/6 1/6 0 = H2 = −1/3 1/3 0 1/3 −1/3 1/6 −1/6 0
Exemplul -1.19 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu dim R(T ∗ ) = 2 1 1 −1 1 2 −1
Luând e1 = (1; 0; −1)∗ , e2 = (0; 1; 0)∗ (baza˘ în R(T ∗ )) ob¸tinem f1 = (2; 0; 2; 2)∗ , f2 = (0; 1; 1; 2)∗ . Atunci 1 1 x1 = √ (1; 0; −1)∗ , y1 = √ (1; 0; 1; 1)∗ 2 3 3 În continuare 1 e2 = e2 − f2 , y1 x1 = (−1; 2; 1)∗ s¸i f2 = T e2 = (−1; 1; 0; 1)∗ 2 19
Atunci 1 1 x2 = √ (−1; 2; 1)∗ , y2 = √ (−1; 1; 0; 1)∗ 2 3 3 Rezulta˘ ca ˘ +
T =
x1 y1∗
+
x2 y2∗
2
1 = −2 6 −2
−1 2 1
1
0
0 2 −1 0
Exemplul -1.20 Fie
1 0 −1 0 1 0 T = cu rang(T ) = 2 s¸i H0 = T ∗ 1 1 −1 1 2 −1
−5 1 −3 0 Luând a1 = 0 , b1 = ob¸tinem v0 := (I − T H0 )∗ T a1 = , −8 0 0 −11 0 1 5/48 1 w0 = H0 b1 = 0 , u0 := (I − H0 T )w0 = 1/8 , v0 , T w0 −1 −5/48 1
23/48
−5/16 1/6 −7/48
H1 := H0 + u0 · v0∗ = −5/8 5/8 0 5/8 −23/48 5/16 1/6 7/48 7/8 0 0 −7/8 1 Luând a2 = 1 , b2 = ob¸tinem v1 := (I − T H1 )∗ T a2 = 0 0 0 −7/8 0 20
, w1 =
H1 b2 =
−5/16
−1/6
−1/6
1/6
1 (I − H1 T )w1 = 1/3 , deci 5/8 , u1 := v1 , T w1 5/16 1/6
+
T = H2 := H1 + u1 ·
v1∗
1/3
= −1/3 −1/3
1/3 1/6
0
0 1/3 . −1/6 0
Metode pentru aproximarea valorilor proprii ale unei matrice Metode folosind polinomul caracteristic Metoda Danilevsky . Exemplul -1.21 Determina¸ti polinomul caracteristic −12 −4 3 4 −23 −8 6 8 A= −60 −39 21 28 −3 −2 1 2
pentru matricea ,
folosind metoda Danilevski. Aplicând pa¸sii algoritmului se ob¸tine: −12 −23 A0 = −60 −3
−4
4 −8 6 8 , −39 21 28 −2 1 2 21
3
0 2 3 −2 1 0 0 −3 −5 0 1 0 0 4 6 −4 −1 S3 = ⇒ A1 = S3 A0 S3 = , 3 2 1 −2 22 −11 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 −1 0 11 11 S2 = ⇒ A2 = 0 1 0 0 0 0 0 1 2 37 1 − −2 11 11 −11 2 0 0 −1 = S2 A1 S2 = , 0 1 0 0 0 0 170 2 1 − 11 11 0 0 3 0 −37 22 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 S1 = ⇒ A = S A S , 3 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Deci polinomul caracteristic este:
pA (λ) = λ4 − 3λ3 + 37λ − 22 .
Metoda Krylov Exemplul -1.22 Determina¸ti polinomul caracteristic pentru matricea 5 −4 −3 −1 1 4 2 −9 A= , 2 5 1 −5 7 1 2 −1 22
folosind metoda Krylov.
1 2 Alegem pentru aplicarea metodei Krylov vectorul y (0) = ¸si calcula˘m 3 4 8 −16 −209 −21 y (1) = Ay (0) = , , y (2) = Ay (1) = −197 −5 −154 11 1621 9210 164 4902 y (3) = Ay (2) − , y (4) = Ay (3) = . −456 5571 −393 10992
Coefien¸tii polinomului caracteristic se ob¸tin rezolvâd sistemul: 8 −16 1 p1 9210 1621 164 −209 −21 2 p2 4902 = −456 −197 −5 3 p 5571 3 −393 −154 11 4 p4 10992
.
9 −45 Folosind o metoda˘ de rezolvare a sistemelor liniare , ob¸tinem p = ¸si polino 369 885 mul caracteristic este: pA (λ) = λ4 + 9λ3 − 45λ2 + 369λ + 885 .
Metoda Leverrier 23
Exemplul -1.23 Determina¸ti, folosind metoda Leverrier, polinomul caracteristic s¸i matricea A−1 , daca˘ exista ˘, pentru matricea 0 −3 12 11 −9 −5 2 5 A= , 2 −4 15 −11 2 6 −7 10
Aplicând metoda Leverrier pentru matriceaA ¸si m = 4, ob¸tinem: s1 = 31 ,
p1 = −31 ,
- pentru k = 2:
84 −162 285 139 −40 47 12 −105 A2 = A2 = , 66 −106 288 −271 −26 58 −169 231
s2 = 705 ,
p2 = 128 ,
- pentru k = 3:
1938 −4674 6720 1019 −1049 −913 1129 −1427 A3 = A3 = , 7714 −2248 5807 −5616 −684 1772 −3958 4147 s3 = 10060 ,
p3 = 2609 ,
- pentru k = 4:
49326 −116331 140532 −2141 −3918 −8513 28245 −43842 A4 = A4 = , 39468 −45684 116779 −110709 −23094 31854 −82803 85660 s4 = 191785 ,
p4 = −12761 ,
24
¸si polinomul caracteristic este: pA (λ) = λ4 − 31λ3 + 128λ2 + 2609λ − 12761 . Cum p4 = 0, rezulta˘ ca˘: A−1 = − p14 (A3 + p1 A2 + p2 A + p3 I4 )
0.0570 −0.0522 −0.0028 −0.0454 −0.0753 −0.0314 0.0794 0.1934 = . −0.0060 0.0412 0.1103 0.1079 0.0296 0.0581 0.0302 0.0686 Exemplul -1.24 Calcula¸ti coeficien¸tii polinomului caracteristic s¸i matricea A−1 , daca ˘ exista ˘, pentru matricea
1 −3 2 11 −9 −5 12 5 A= , 2 −4 5 −11 2 16 −7 10 folosind algoritmul Fadeev. Aplicând algoritmul Fadeev ob¸tinem:
A1 = A ,
p1 = −tr(A1 ) = −21 ,
1 −3 2 −10 −9 −26 12 5 B1 = A1 + p1 I4 = , 2 −4 −16 −11 2 16 −7 −11 25
- pentru k = 2
29 13 38 −121 169 153 −260 −230 A2 = AB1 = , 4 −90 −57 50 −158 −226 228 51
1 = −13 , p2 = − tr(A 2)
29 13 38 −134 169 140 −260 −230 B2 = A2 + p2 I4 = , 4 −90 −70 50 −158 −226 228 38
- pentru k = 3
277 549 114 −1633 −381 −3171 1483 1598 A3 = AB2 = 814 1534 −1792 828 828 668 −1364 −3574
1 p3 = − tr(A = 3390 , 3)
,
549 114 1757 277 −381 219 1483 1598 B3 = A3 + p3 I4 = 814 1534 1598 828 828 668 −1364 −184
26
,
- pentru k = 4
0 0 0 18160 0 18160 0 0 A4 = AB3 = 0 0 18160 0 0 0 0 18160
,
1 = −18160 , p4 = − tr(A 4)
Polinomul caracteristic este:
0 0 0 0 0 0 B4 = A4 + p4 I4 = 0 0 0 0 0 0
0 0 . 0 0
pA (λ) = λ4 − 21λ3 − 13λ2 + 3390λ − 18160 . Cum p4 = 0, rezulta˘ ca˘:
A−1
0.0302 0.0063 0.0968 0.0153 −0.0210 0.0121 0.0817 0.0880 1 = − B3 = 0.0448 0.0845 p4 0.0880 0.0456 0.0456 0.0368 −0.0751 −0.0101
Metoda coeficien¸tilor nedetermina¸ti Exemplul -1.25 Determina¸ti matricea
coeficien¸tii
polinomului
10 13 9 −4 11 −1 −15 8 A= , 1 −2 −3 1 2 4 5 7
folosind metoda coeficien¸tilor nedetermina¸ti. 27
.
caracteristic
pentru
Avem p4 = −2703. Se ob¸tine sistemul 1 1 1 8 4 2 p= 27 9 3 a ca˘rui solu¸tie este:
−12
334
482 372
p = −57 . 403
Deci polinomul caracteristic este:
pA (λ) = λ4 − 12λ3 − 57λ2 + 403λ − 2703 .
Metoda rota¸tiilor Exemplul -1.26 Fie matricea
17 −2 A = −2 8 √ √ 3 3 2 3
√ 3 3 √ 2 3 11
.
Folosind metoda rota¸tiilor, sa ˘ se determine valorile proprii ale matricei A. Se verifica˘ imediat ca˘ matricea A este simetrica˘. Se aleg p < q astfel încât |apq | = max{aij |; i < j ∈ {1, 2, 3}. Atunci p = 1, q = 3. Se calculeaza˘ θ= Se ia
1 2 · apq π · arctan = . 2 app − aqq 6
T =
cos θ 0 − sin θ 0
1
sin θ 0 28
0 cos θ
¸si se calculeaza˘ matricea
20 0 0
B = T AT = 0 0 t
8 4 4 8
Se aleg p < q astfel încât |bpq | = max{bij |; i < j ∈ {1, 2, 3}. Atunci p = 2, q = 3. Se calculeaza˘ θ= Se ia
π deoarece bpp = bqq . 4
1 0 0 T = 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ
¸si se calculeaza˘ matricea
20
B = T t AT == 0 0
0
0
12 0 0 4
Rezulta˘ ca˘ valorile proprii ale matricei A sunt λ1 = 20, λ2 = 12, λ3 = 4.
Ecua¸tii neliniare în Rm Principiul contrac¸tiei Exemplul -1.27 Fie sistemul de ecua¸tii x = (80 + x3 − x2 − 3yz)/100 y = (60 − y 3 − z 2 + 4xz)/86 z = (40 + z 3 + y 2 − 5xy)/72 29
(3)
Folosind principiul contrac¸tiei în raport cu norma · ∞, sa˘ se arate ca ˘ sistemul (3) are solu¸tie unica˘ v în V := [0, 2]3 . Pentru o eroare ε data˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (1, 1, 1) sa ˘ se calculeze iterata x(n) (din principiul contrac¸tiei) pentru care x(n) − v ∞ ≤ ε. Fie r = 1 ¸si a = (1, 1, 1). Atunci mul¸timea V = {x ∈ Rm | x − a ∞ ≤ r}. Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R
3
cu f (x, y, z) := (80 + x3 − x2 − 3yz)/100,
g(x, y, z) := (60−y 3 −z 2 +4xz)/86 ¸si h(x, y, z) := (40+z 3 +y 2 −5xy)/72, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (3) este echivalent cu F (x, y, z) = (x, y, z). Avem
F (x, y, z) =
(3x2 − 2x)/100 4z/86 −5y/72
−3z/100
−3y/100
−3y /86 (−2z + 4x)/86 , 2 (2y − 5x)/72 3z /72 2
deci F (x, y, z) ∞ = max((|3x2 − 2x| + | − 3z| + | − 3y|)/100, (|4z| + | − 3y 2 | + | − 2z + 4x|)/86, (| − 5y| + |2y − 5x| + |3z 2 |)/72) ≤ max(28/100, 32/86, 36/72) = = 1/2 (am folosit 0 ≤ x, y, z ≤ 2). Putem lua q = 1/2. Pe de alta˘ parte F (a) − a ∞ = max(28/100, 24/86, 35/72) = 35/72 < (1 − q)r = 1/2. Deci F este 1/2-contrac¸tie a mul¸timii V în raport cu norma · ∞ . Din principiul contrac¸tiei rezulta˘ ca˘ ecua¸tia F (x, y, z) = (x, y, z) are solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (1, 1, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ x(n) = F (x(n−1) ), ∀ n ∈ N. Se opre¸ste procesul iterativ atunci când q/(1 − q) x(n) − x(n−1) ∞ < ε.
Metoda Gauss-Seidel neliniara˘
Exemplul -1.28 Fie sistemul de ecua¸tii x = (432 + x4 + y 4 − 2z 4 + y 2 z 2 )/234
y = (324 − x4 + 2y 4 − 3z 4 + 3x2 z 2 )/432 z = (234 + 2x4 − 3y 4 + 4z 4 − x2 y 2 + 3x + y)/324 30
(4)
Folosind metoda Gauss-Seidel neliniara ˘, sa ˘ se arate ca ˘ sistemul (4) are solu¸tie unica ˘ v în V := [−2, 2] × [−1, 1] × [0, 1]. Pentru o eroare ε data ˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (0, 0, 1/2) sa ˘ se calculeze iterata x(n) pentru care x(n) − v ∞ ≤ ε. Fie r1 = 2, r2 = 1 ¸si r3 = 1/2, a1 = a2 = 0 ¸si a3 = 1/2. Atunci mul¸timea V = {(x, y, z) ∈ R3 | |x − a1 | ≤ r1 , |y − a2 | ≤ r2 , |z − a3 | ≤ r3 }. Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R
3
cu f(x, y, z) := (432 + x4 + y 4 − 2z 4 + y 2 z 2 )/234, g(x, y, z) :=
(324−x4 +2y 4 −3z 4 +3x2 z 2 )/432 ¸si h(x, y, z) := (234+2x4 −3y 4 +4z 4 −x2 y 2 +3x+y)/324, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (4) este echivalent cu F (x, y, z) = (x, y, z). Avem F (x, y, z) =
3
3
2
3
2
4x /234 (4y + 2yz )/234 (−8z + 2y z)/234 (−4x3 + 6xz 2 )/432 8y 3 /432 (−12z 3 + 6x2 z)/432 (8x3 − 2xy 2 + 3)/324 (−12y 3 − 2x2 y + 1)/324 16z 3 /324
,
deci F (x, y, z) ∞ = max((|4x3 | + |4y 3 + 2yz 2 | + | − 8z 3 + 2y 2 z|)/234, (| − 4x3 + 6xz 2 | + |8y 3 | + | − 12z 3 + 6x2 z|)/432, (|8x3 − 2xy 2 + 3| + | − 12y 3 − 2x2 y + 1| + |16z 3 |)/324) ≤ max(48/234, 88/432, 108/234) = 1/3 (am folosit −2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1). Putem lua q = 1/3. Pe de alta˘ parte |f (x, y, z) − a1 | ≤ (|432| + |x4 | + |y 4 | + |2z 4 | + |y 2 z 2 |)/234 ≤ 452/234 < 2, |g(x, y, z)−a2 | ≤ (|324|+|x4 |+|2y 4 |+|3z 4 |+|3x2 z 2 |)/432 ≤ 357/432 < 1 ¸si |h(x, y, z) − a3 | ≤ (|234| + |2x4 | + |3y 4 | + |4z 4 | + |x2 y 2 | + |3x| + |y|)/324 ≤ 122/324 < 1/2, ∀ (x, y, z) ∈ V . Deci F (V ) ⊂ V ¸si F este 1/3-contrac¸tie a mul¸timii V în raport cu norma · ∞ . Din principiul contrac¸tiei rezulta˘ ca˘ ecua¸tia F (x, y, z) = (x, y, z) ar solu¸tie unica˘ în V . (n)
(n)
(n)
Pentru x(0) = (0, 0, 1/2) se calculeaza˘ x(n) = (x1 , x2 , x3 ) cu formula de recuren¸ta˘ (n)
(n)
(n)
(n−1)
x1 = f(x(n−1) ), x2 = g(x1 , x2
(n−1)
, x3
(n)
), x3
(n)
(n)
(n−1)
= h(x1 , x2 , x3
opre¸ste procesul iterativ atunci când q/(1 − q) x(n) − x(n−1) ∞ < ε.
Metoda lui Newton
31
) ∀ n ∈ N. Se
Exemplul -1.29 Fie sistemul de ecua¸tii x3 + 3xy 2 + 3xz 2 − 183x + 2 = 0
(5)
y 3 + +3x2 y + 3yz 2 − 193y + 1 = 0 z 3 + 3x2 z + 3y 2 z − 188(z − 1) − 1 = 0
Folosind metoda Newton relativa˘ la norma · ∞ , sa˘ se arate ca˘ sistemul (5) are solu¸tie unica ˘ v în V := [−1, 1]2 × [0, 2]. Pentru o eroare ε data ˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (0, 0, 1) sa˘ se calculeze iterata x(n) , pentru care x(n) − v ∞ ≤ ε. Fie r = 1 ¸si a = (0, 0, 1). Atunci mul¸timea V este Br (a) în raport cu norma
· ∞ . Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R3 cu f (x, y, z) := x3 + 3xy 2 + 3xz 2 − 183x + 2, g(x, y, z) := y 3 ++3x2 y+3yz 2 −193y+1 ¸si h(x, y, z) := z 3 +3x2 z+3y 2 z−188(z−1)−1 = 0, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (5) este echivalent cu F (x, y, z) = 0. Avem F (x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 183 6xy 6xz 6xy 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 193 6yz 6xz 6yz 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 188 6x 6y 6z 6y 6x 0 6z 0 6x F (x, y, z) = 6y 6x 0 6x 6y 6z 0 6z 6x , 6z 0 6x 0 6z 6y 6x 6y 6z
,
deci F (x, y, z) ∞ ≤ max(|18x| + |12y| + |12z|, |12x| + |18y| + |12z|, |12x| + |12y| + |18z|) ≤ max(54, 54, 60) = 60 (am folosit −1 ≤ x, y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2). Putem lua −180 0 0 M = 60. Avem F (a) = 0 −190 0 , deci F (a) inversabila˘, (F (a))−1 = 0 0 −185 −1/180 0 0 ¸si (F (a))−1 ∞ = max(1/180, 1/190, 1/185) = 1/180. 0 −1/190 0 0 0 −1/185 32
Lua˘m α = 1/180. Cum M rα = 60/180 < 1 ¸si α/(1 − M Rα) = 1/120, putem lua µ = 120. Avem F (a) = (2, 1, 0)t ¸si (F (a))−1 F (a) = (−1/90, −1/190, 0)t , deci
(F (a))−1 F (a) ∞ = 1/90. Lua˘ m β = 1/90. Condi¸tia β ≤ (1 − q)r implica˘ q ≤ 89/90. Din F (x, y, z) ∞ ≤ max(|x3 | + |3xy 2 | + |3xz 2 | + |183x| + 2, |y 3 | + |3x2 y| + |3yz 2 | + |193y| + 1, |z 3 | + |3x2 z| + |3y 2 z| + |188(z − 1)| + 1) ≤ max(201, 210, 209) = 210 rezulta˘ ca˘ (M/µ2 ) F (x, y, z) ∞ ≤ q⇔q ≥ 210/240 = 7/8. Din M r/µ ≤ q rezulta˘ q ≥ 1/2. Deci putem lua q = 7/8 ¸si atunci ecua¸tia F (x, y, z) = 0 are o solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (0, 0, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ (5) (folosind la fiecare pas o procedura˘ de inversare a matricei (F (x(n) ))−1 ). Se opre¸ste calculul iterativ n
n
atunci când (2µ)/M · q2 ≤ ε ⇔4 · (7/8)2 ≤ ε.
Metoda lui Newton simplificata
Exemplul -1.30 Fie sistemul de ecua¸tii x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 853/144 = 0
3x2 − 4y 2 + z 2 + x − y − 3z + 1309/432 = 0
(6)
5x2 + 2y 2 − 3z 2 + 2x − 4y − 6z + 37/9 = 0
Folosind metoda Newton simplificata ˘ relativa ˘ la norma · ∞ , sa ˘ se arate ca ˘ sistemul (6) are solu¸tie unica˘ v în V := [−0, 8; 1, 2]3 . Pentru o eroare ε data˘ s¸i pentru iterata ini¸tiala ˘ x(0) := (1, 1, 1), sa ˘ se calculeze iterata x(n) pentru care x(n) − v ∞ ≤ ε. Fie r := 0, 2 = 1/5 ¸si a := (1, 1, 1). Atunci mul¸timea V este Br (a) în raport cu norma · ∞ . Fie func¸tia F = (f, g, h) : V → R3 cu f (x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 853/144, g(x, y, z) := 3x2 − 4y 2 + z 2 + x − y − 3z + 1309/432 ¸si h(x, y, z) := 5x2 + 2y 2 − 3z 2 + 2x − 4y − 6z + 37/9, ∀ (x, y, z) ∈ V . Sistemul de ecua¸tii (6) este echivalent cu F (x, y, z) = 0.
33
Avem
2x + 1
F (x, y, z) = 6x + 1 10x + 2 2 0 0 F (x, y, z) = 6 0 0 10 0 0
2y + 1
2z + 1
−8y − 1 4y − 4 0
2
0
0 −8 0 0
4
0
2z − 3 , −6z − 6 0 0 2 0 0 2 , 0 0 −6
deci F (x, y, z) ∞ ≤ max(|2|+|2|+|2|, |6|+|−8|+|2|, |10|+|4|+|−6|) = 20, ∀ (x, y, z) ∈ 3 9 3 V . Putem lua M = 20. Avem F (a) = 7 −9 −1 , cu det(F (a)) = 72, deci 12 0 −12 9 3 2 1 F (a) inversabila˘, (F (a))−1 = 6 −6 2 ¸si (F (a))−1 ∞ = max(14/72, 14/72, 16/72) = 72 9 3 −4 2/9. Lua˘ m α = 2/9. Avem F (a) = (11/144, 13/432, 1/9)t ¸si (F (a))−1 F (a) = (1/72, 1/144, 1/216)t , deci (F (a))−1 F (a) ∞ = 1/72. Lua˘m β = 1/72. Condi¸tia β ≤ (1 − q)r implica˘ q ≤ 67/72. Din αM r ≤ q rezulta˘ q ≥ 8/9. Deci putem lua q = 8/9 ¸si atunci ecua¸tia F (x, y, z) = 0 are o solu¸tie unica˘ în V . Pentru x(0) = (1, 1, 1) se calculeaza˘ x(n) cu formula de recuren¸ta˘ (6). Se opre¸ste calculul iterativ atunci când q/(1 − q) · x(n) − x(n−1) ∞ ≤ ε.
Interpolare polinomiala˘ Formula lui Lagrange Exemplul -1.31 Utilizând formula lui Lagrange de reprezentare sa˘ se determine polinomul de interpolare de grad 2 ce verifica˘ condi¸tiile: P (0) = 2, P (1) = 1, P (4) = 4. 34
Din curs rezulta˘ ca˘: P (x) = P (0)L1 (x) + P (1)L2 (x) + P (4)L3 (x). Avem: L1 (x) =
x2 − 5x + 4 (x − 1)(x − 4) = , (0 − 1)(0 − 4) 4
x2 − 4x x(x − 4) = , L2 (x) = (1 − 0)(1 − 4) −3 x(x − 1) x2 − x L3 (x) = = . (4 − 0)(4 − 1) 12
Atunci: P (x) = 2 ·
x2 − 4x x2 − x 1 3 x2 − 5x + 4 +1· +4· = x2 − x + 2. 4 −3 12 2 2
Algoritmul lui Aitken √ Exemplul -1.32 Fie func¸tia f : [0, 12] → R cu f(x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 12]. Sa ˘ se determine polinomul de interpolare Lagrange P (f ; 0, 4, 12; x) utilizând algoritmul Aitken. Nodurile sunt x1 = 0, x2 = 4, x3 = 12. Atunci P11 (x) = f(0) = 6, P12 (x) = f (4) = 10, P13 (x) = f (12) = 6. Rezulta˘ ca˘ P22 (x) =
10x − 6(x − 4) = x + 6, 4
P23 (x) =
6x − 6(x − 12) =6 12
¸si astfel P (f; 0, 4, 12; x) = P33 (x) = −
x2 3x + + 6. 8 2
Algoritmul lui Neville
35
√ Exemplul -1.33 Fie func¸tia f : [0, 12] → R cu f(x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 12]. Sa ˘ se determine polinomul de interpolare Lagrange P (f ; 0, 4, 12; x) utilizând algoritmul Neville. Nodurile sunt x1 = 0, x2 = 4, x3 = 12. Atunci P11 (x) = f(0) = 6, P12 (x) = f (4) = 10, P13 (x) = f (12) = 6. Rezulta˘ ca˘ P22 (x) = P23 (x) =
10x − 6(x − 4) = x + 6, 4
x 6(x − 4) − 10(x − 12) = − + 12 8 2
¸si astfel P (f; 0, 4, 12; x) = P33 (x) = −
x2 3x + +6 8 2
Formula lui Newton de reprezentare a polinomului de interpolare √ Exemplul -1.34 Fie func¸tia f : [0, 4] → R cu f (x) = 6 2x + 1 − 2x, ∀ x ∈ [0, 4]. Utilizând formula de reprezentare Newton sa ˘ se determine polinomul de interpolare Hermite P (x) = P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x). Se se evalueze eroarea |f (x) − P (x)|. Avem x1 = x2 = x3 = 0, x4 = x5 = 4. Din formula de reprezentare Newton avem: P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x) = f(0) + f (0, 0)x + f(0, 0, 0)x2 + +f (0, 0, 0, 4)x3 + f(0, 0, 0, 4, 4)x3 (x − 4) Vom calcula diferen¸tele divizate cu formulele de recuren¸ta˘ date de (??). Calculele le
36
vom organiza într-un tabel de forma: nod
d.d.
d.d.
d.d.
d.d.
d.d.
1n
2n
3n
4n
5n
x1
f (x1 ) f(x1 , x2 ) f(x1 , x2 , x3 ) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) f(x1 , . . . , x5 )
x2
f (x2 ) f(x2 , x3 ) f(x2 , x3 , x4 ) f (x2 , x3 , x4 , x5 )
x3
f (x3 ) f(x3 , x4 ) f(x3 , x4 , x5 )
x4
f (x4 ) f(x4 , x5 )
x5
f (x5 )
(am notat cu "d.d.kn " diferen¸te divizate asociate la k noduri). √ Cum f (x) = 6 2x + 1 − 2x = 6(2x + 1)1/2 − 2x, rezulta˘ ca˘ f (x) = 6(2x + 1)−1/2 − 2 ¸si f (x) = −6(2x + 1)−3/2 . Atunci f(0) = 6, f (4) = 10, f (0, 0) = f (0) = 4, f (0, 4) = (f(4) − f (0))/(4 − 0) = 1, f (4, 4) = f (4) = 0, f(0, 0, 0) = 12 f (0) = −3, f (0, 0, 4) = (f(0, 4) − f (0, 0))/(4 − 0) = −3/4 etc.. Rezulta˘ urma˘torul tabel în cazul datelor problemei: nod 1n 2n
3n −3
4n
5n
0
6
4
9/16 −7/64
0
6
4
−3/4 2/16
0
6
1
−1/4
4
10
0
4
10
Atunci (cu formula de reprezentare Newton) avem P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x) = 6 + 4x − 3x2 +
7 9 3 x − x3 (x − 4). 16 64
Din formula de evaluare a erorii rezulta˘ ca˘ |f (x) − P (f ; 0, 0, 0, 4, 4; x)| ≤
M5 3 |x (x − 4)2 | ∀ x ∈ [0, 4], 5!
37
unde M5 = sup |f (5) (x)|. Avem f (3) (x) = 18(2x + 1)−5/2 , f (4) (x) = −90(2x + 1)−7/2 , x∈[0,4]
f (5) (x) = 630(2x + 1)−9/2 . Cum f (6) (x) = −630 · 9(2x + 1)−11/2 < 0, rezulta˘ ca˘ f (5) este descresca˘toare ¸si cum f (5) (x) > 0 ∀ x ∈ [0, 4] rezulta˘ ca˘ M5 = f (5) (0) = 630. Atunci |f(x) − P (x)| ≤
21 630 3 |x (x − 4)2 | = x3 (x − 4)2 , ∀ x ∈ [0, 4]. 120 4
Formula lui Newton de interpolare ascendenta˘ Exemplul -1.35 Sa ˘ se determine, folosind formula de interpolare Newton ascendenta ˘, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 3, x0 = 4, h = 2 (de unde x1 = 6, x2 = 8, x3 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua˘ cu f (x0 ) = 1, f (x1 ) = 3, f (x2 ) = 8, f (x3 ) = 20 s¸i sa ˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Organiza˘m calculul diferen¸telor nedivizate ascendente în tabelul urma˘tor: k xk f (xk ) ∆1h f(xk ) ∆2hf (xk ) ∆3h f (xk ) 0
4
1
2
3
1
6
3
5
7
2
8
8
12
3 10
20
4
(De exemplu ∆1h f (x0 ) = ∆h f (x0 ) = f(x1 )−f(x0 ) = 3−1 = 2, ∆2hf (x0 ) = ∆1h ∆h f (x0 ) = ∆h f (x1 ) − ∆h f (x0 ) = ∆1hf (x1 ) − ∆1h f (x0 ) = 5 − 2 = 3, etc.) Atunci ∆0hf (x0 ) = 1, ∆1h f (x0 ) = 2, ∆2hf (x0 ) = 3, ∆3h f(x0 ) = 4. x−4 x−4 x − x0 ¸si atunci Cq0 = 1, Cq1 = q = = , Cq2 = Fie x ∈ R Avem q = h 2 2 q(q − 1) (x − 4)(x − 6) q(q − 1)(q − 2) (x − 4)(x − 6)(x − 8) = , Cq3 = = . Rezulta˘ 2 8 6 48 ca˘: P (f ; x0 , x1 , x2 , x3 ; x) = 3 i=0
3 4 Cqi ∆ihf (x0 ) = 1 + (x − 4) + (x − 4)(x − 6) + (x − 4)(x − 6)(x − 8) 8 48
¸si deci P (f ; x0 , x1 , x2 , x3 ; 7) = 1 + 3 + 38
9 1 39 − = = 4.875 . 8 4 8
Formula lui Newton de interpolare descendenta˘ Exemplul -1.36 Sa ˘ se determine, folosind formula de interpolare Newton descendenta ˘, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 3, x0 = 10, h = 2 (de unde x−1 = 8, x−2 = 6, x−3 = 4) s¸i f : R → R o func¸tie continua ˘ cu f (x0 ) = 20, f (x−1 ) = 8, f (x−2 ) = 3, f (x−3 ) = 1 s¸i sa ˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Organiza˘m calculul diferen¸telor nedivizate descendente în tabelul urma˘tor: k
xk f (xk ) ∇1h f (xk ) ∇2hf (xk ) ∇3h f (xk )
0
10
20
12
7
−1
8
8
5
3
−2
6
3
2
−3
4
1
4
(De exemplu ∇1h f (x0 ) = ∇h f(x0 ) = f (x0 ) − f (x−1 ) = 20 − 8 = 12, ∇2h f(x0 ) = ∇1h ∇h f (x0 ) = ∇h f (x0 ) − ∇h f (x−1 ) = ∇1hf (x0 ) − ∇1h f (x−1 ) = 12 − 5 = 7, etc.) Atunci ∇0h f (x0 ) = 20, ∇1h f(x0 ) = 12, ∇2h f (x0 ) = 7, ∇3h f (x0 ) = 4. x − x0 x − 10 ¸si atunci = Fie x ∈ R. Avem q = h 2 x − 10 −q(−q − 1) (x − 10)(x − 8) 1 0 2 3 C−q = 1, C−q = −q = − , C−q = = , C−q = 2 2 8 −q(−q − 1)(−q − 2) (x − 10)(x − 8)(x − 6) = . Rezulta˘ ca˘: 6 48 3 i P (f ; x0 , x−1 , x−2 , x−3 ; x) = (−1)i C−q ∇ih f (x0 ) = i=0
= 20 +
12 7 4 (x − 10) + (x − 10)(x − 8) + (x − 10)(x − 8)(x − 6) 2 8 48
¸si deci P (f ; x0 , x−1 , x−2 , x−3 ; 7) = 20 − 18 +
21 1 39 + = = 4.875 . 8 4 8
Formula de interpolare Gauss înainte 39
Exemplul -1.37 Sa ˘ se determine, folosind formula de interpolare Gauss înainte, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 2, x0 = 6, h = 2 (de unde x−2 = 2, x−1 = 4, x1 = 8, x2 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua ˘ cu f (x−2 ) = −2, f (x−1 ) = 1, f (x0 ) = 3, f (x1 ) = 8, f (x2 ) = 20 s¸i sa˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Printr-un calcul elementar, se arata˘ ca˘, pentru orice i = 1, 2: 2i δ h2i−1 f (x1/2 ) = ∆h2i−1 f (x−i+1 ) ¸si δ 2i h f(x0 )) = ∆h f (x−i )).
Atunci: P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = 2 2i−1 2i f (x0 ) + (Cq+i−1 ∆2i−1 f(x−i+1 ) + Cq+i−1 ∆2i h f(x−i )) = h i=1
3 4 = f (x0 ) + Cq1 ∆1h f (x0 ) + Cq2 ∆2hf (x−1 ) + Cq+1 ∆3h f (x−1 ) + Cq+1 ∆4h f(x−2 ).
Organiza˘m calculul diferen¸telor finite ascendente în tabelul urma˘tor: k
xk f (xk ) ∆1h f (xk ) ∆2h f(xk ) ∆3hf (xk ) ∆4hf (xk )
−2
2
−2
3
−1
4
−1
4
1
2
3
4
0
6
3
5
7
1
8
8
12
2
10
20
0
Avem: f (x0 ) = 3, ∆1h f(x0 ) = 5, ∆2hf (x−1 ) = 3, ∆3h f (x−1 ) = 4, ∆4hf (x−2 ) = 0. Cum x−6 q(q − 1) (x − 6)(x − 8) x−6 3 rezulta˘ ca˘ Cq1 = q = , Cq2 = = , Cq+1 = q = 2 2 2 8 (q + 1)q(q − 1) (x − 4)(x − 6)(x − 8) = . Atunci: 6 48 P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = 40
=3+5
(x − 6)(x − 8) (x − 4)(x − 6)(x − 8) x−6 +3 +4 2 8 48
¸si f(7) P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; 7) = 3 +
39 5 3 1 − − = = 4.875 . 2 8 4 8
Formula de interpolare Gauss înapoi Exemplul -1.38 Sa ˘ se determine, folosind formula de interpolare Gauss înapoi, polinomul Lagrange ata¸sat datelor: n = 2, x0 = 6, h = 2 (de unde x−2 = 2, x−1 = 4, x1 = 8, x2 = 10) s¸i f : R → R o func¸tie continua ˘ cu f (x−2 ) = −2, f (x−1 ) = 1, f (x0 ) = 3, f (x1 ) = 8, f (x2 ) = 20 s¸i sa˘ se estimeze valoarea func¸tiei f în punctul x = 7. Printr-un calcul elementar, se arata˘ ca˘, pentru orice i = 1, 2: 2i δ h2i−1 f (x1/2 ) = ∆h2i−1 f (x−i+1 ) ¸si δ 2i h f(x0 )) = ∆h f (x−i )).
Atunci: P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = f(x0 ) +
2 2i 2i−1 (Cq+i−1 ∆2i−1 f (x−i ) + Cq+i ∆2i h f(x−i )) = h i=1
2 3 4 = f (x0 ) + Cq1 ∆1h f (x−1 ) + Cq+1 ∆2h f(x−1 ) + Cq+1 ∆3h f (x−2 ) + Cq+2 ∆4h f (x−2 ).
Organiza˘m calculul diferen¸telor finite ascendente în tabelul urma˘tor: k
xk f (xk ) ∆1h f (xk ) ∆2h f(xk ) ∆3hf (xk ) ∆4hf (xk )
−2
2
−2
3
−1
4
−1
4
1
2
3
4
0
6
3
5
7
1
8
8
12
2
10
20
41
0
Avem: f (x0 ) = 3, ∆1h f (x−1 ) = 2, ∆2h f (x−1 ) = 3, ∆3hf (x−2 ) = 4, ∆4hf (x−2 ) = 0. Cum x−6 (q + 1)q (x − 4)(x − 6) x−6 2 3 q = , rezulta˘ ca˘ Cq1 = q = , Cq+1 = = , Cq+1 = 2 2 2 8 (x − 4)(x − 6)(x − 8) (q + 1)q(q − 1) = . Atunci: 6 48 P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; x) = =3+2
x−6 (x − 4)(x − 6) (x − 4)(x − 6)(x − 8) +3 +4 2 8 48
¸si f(7) P (f ; x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 ; 7) = 3 + 1 +
9 1 39 − = = 4.875 . 8 4 8
Metode numerice pentru ecua¸tii diferen¸tiale Metode într-un pas (directe) Metoda Euler explicita˘ (progresiva˘) Exemplul -1.39 Folosind metoda Euler, determina¸ti solu¸tia aproximativa˘ a problemei Cauchy:
în t = 2, luând h = 0.5.
y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2]
y 1 − 2 , t0 = 1 ¸si y0 = 0.75 . Se ob¸tine N = 2 ¸si yn+1 = t 4t yn + 0.5f (tn , yn ), pentru n = 0, 1 . Deci rezulta˘: Avem f (t, y) = y 2 −
t1 = 1.5 , y(t1 ) y1 = y0 + 0, 5f (t0 , y0 ) = 0.75 + 0.5f (1, 0.75) = 0.75 + 0.5(−0.4375) = 0.5313 , t2 = 2 , y(t2 ) y2 = y1 + 0, 5f(t1 , y1 ) = 0.5313 + 0.5f(1.5, 0.5313) = 0.5313 + 0.5(−0.1831) = 0.4397 .
Metode Runge-Kutta 42
Exemplul -1.40 Se da ˘ problema Cauchy: y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2.9]
Sa ˘ se determine valoarea aproximativa˘ a solu¸tiei în t = 2.9, folosind metoda s¸i RK24 ,
pentru N = 2. Pentru N = 2 avem h = 0.9500. Lua˘m y0 = 0.75, t0 = 1. Pentru metoda RK24 , y 1 avem f (t, y) = y 2 − − 2 . Se ob¸tine: t 4t - pentru n = 1: y0,1 = y0 = 1 ,
t0,1 = t0 = 1 ,
y0,2 = y0 = 1 + 0.95f(t0,1 , y0,1 )/2 = 0.8812 ,
t0,2 = t0 + 0.95/2 = 1.4750 ,
y0,3 = y0 = 1 + 0.95f(t0,2 , y0,2 )/2 = 1.0305 ,
t0,3 = t0 + 0.95/2 = 1.4750 ,
y0,4 = y0 = 1 + 0.95f(t0,3 , y0,3 ) = 1.2360 ,
t0,4 = t0 + 0.95 = 1.9500 ,
y1 = y0 + 0.95(f(t0,1 , y0,1 ) + 2f (t0,2 , y0,2 ) + 2f (t0,3 , y0,3 ) + f (t0,4 , y0,4 ))/6 = 1 + 0.95(−0.2500 + 2 · 0.0642 + 2 · 0.2484 + 0.8281)/6 = 1.1905 t1 = t0 + h = 1.9500 - pentru n = 2: y1,1 = y1 = 1.1905 ,
t1,1 = t1 = 1.95 ,
y1,2 = y1 = 1 + 0.95f(t1,1 , y1,1 )/2 = 1.5425 ,
t1,2 = t1 + 0.95/2 = 2.4250 ,
y1,3 = y1 = 1 + 0.95f(t1,2 , y1,2 )/2 = 1.9984 ,
t1,3 = t1 + 0.95/2 = 2.4250 ,
y1,4 = y1 = 1 + 0.95f(t1,3 , y1,3 ) = 4.1612 ,
t1,4 = t1 + 0.95 = 2.9 ,
y2 = y1 + 0.95(f(t1,1 , y1,1 ) + 2f (t1,2 , y1,2 ) + 2f (t1,3 , y1,3 ) + f (t1,4 , y1,4 ))/6 = 1.1905 + 0.95(0.7411 + 2 · 1.7008 + 2 · 3.1270 + 15.8509)/6 = 5.3464 t2 = t1 + h = 2.9 .
Metode în mai mul¸ti pa¸si (indirecte) Metoda Adams-Bashforth 43
l Exemplul -1.41 Folosind metoda Adams-Bashforth pentru r = 3, determina¸ti solu¸tia aproximativa ˘ a problemei Cauchy: y = y2 − y − 1 , t 4t2 y(1) = 0.75
t ∈ [1, 2.25]
în t = 2.25 pentru N = 5, determinând valorile de început y1 , y2 , y3 cu metoda Euler progresiva˘. Avem h = 0.25 ¸si f (t, y) = y 2 −
y 1 − 2 . Aplicând metoda Euler progresiva˘ se t 4t
ob¸tine: t0 = 1 ,
y0 = 0.75 ,
f0 = f (t0 , y0 ) = −0.4375 ,
t1 = 1.25 ,
y1 = 0.6406 ,
f1 = f (t1 , y1 ) = −0.2621 ,
t2 = 1.5 ,
y2 = 0.5751 ,
f2 = f (t2 , y2 ) = −0.1638 ,
t3 = 1.75 ,
y3 = 0.5342 ,
f3 = f (t3 , y3 ) = −0.1015 ,
¸si, în continuare, cu metoda Adams-Bashforth pentru r = 3, rezulta˘: t4 = 2 ,
y4 = y3 +
h (55f3 − 59f2 + 37f1 − 9f0 ) = 0.5166 , 24
f4 = f (t4 , y4 ) = −0.0539 , t5 = 2.25 ,
y5 = y4 +
h (55f4 − 59f3 + 37f2 − 9f1 ) = 0.5096 , 24
f5 = f (t5 , y5 ) = −0.0162 .
44
