Año de la Diversifcación Fortalecimiento de la Educación”
Productiva
y
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
CURSO: MATEMÁTICA MATEMÁTICA III III DOCENTE: MGR.EVARISTO LINARES VILCA INTEGRANTES: BRENDA QUICAÑO MAQUERA ENRIQUE PARRAS LOPEZ ALEXANDER ALEXAND ER CORDOVA CORDOVA CORDOVA CARRERA: ING.AMBIENTAL CICLO: III SECCION:”B” MOQUEGUA - PERU
del
“APLICACIONES A LA BIOLOGIA” Uno de los campos más fascinantes del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
CRECIMIENTO BIOLÓGICO: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental d! " dt # ! con solución ! # ce $onde c es una constante arbitraria. $e esto vemos que el crecimiento ocurre si % & mientras que el decaimiento 'o encogimiento( ocurre sí ) &. Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada ! de su solución correspondiente es que si % & entonces tenemos que !*+ si t*+ , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. sto está en conflicto con la realidad, !a que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo de-a de crecer, habiendo conseguido el tamao máximo.
Formulación Matemática:
/upongamos que 0!1 denota la altura de un ser humano 'aunque como !a se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamao de las células(. 2endríamos entonces d! " dx # 3'!( ! # 4o para t#& $onde 04o1 representa la altura en alg5n tiempo especificado t # &, ! donde 3 es una función apropiada pero a5n desconocida. 6uesto que la función lineal 3'!( # ! no es apropiada, ensa!emos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática 3'!( # ! 7 !8 , ! # 4o para t # &. 6uesto que la ecuación 3'!( # ! 7 !8 es de variables separables, tenemos d! " ! 7 !8 # dt ó + d! " ! ' 7 !( # t 9 c esto es, +:" ;:"! 9 " 7 !
Usando la condición ! resolviendo en ! # 4o en t # & se obtiene que
Y = / _ _ : 9 ;" " 4o 7 :< e /i tomamos el límite de la ecuación anterior tenemos que =uando t*+, vemos, !a que % &, que 4max # lim 4 # " t*+ 6or simple álgebra encontramos
Ymax = !m Y = Y"#Y$ % &Y$Y& ' Y"Y&( )*+ Y", % Y$Y& E-.m$ " Las alturas promedios de los nios varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
E0a0
A)12a #1(
>acimiento
:?.@
: ao
A:.A
aos
[email protected]
A aos
AD.
@ aos
@&.A
C aos
@A.?
E aos
@F.:
D aos
C.C
F aos
CE.F
Solución: 6ara cubrir en con-unto completo de datos dado en la tabla, sea t # &,:, las edades al nacimiento, @ aos ! F aos, respectivamente.
Gsí tenemos que 4o # :?.@ 4: # @&.A 4 # CE.F.
/ustitu!endo estos valores en la ecuación de 4max se obtiene el valor de EE.? pul. o C pies con D pul. como la altura media máxima requerida.
E-.m$ & P2$3.ma4 0. E!0.m!$$56a: Un problema importante de la biología ! de la medicina trata de la ocurrencia, propagación ! control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K , ! si unporcenta-e grande no com5n de una población adquiere la enfermedad, decimos que ha! una epidemia. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicadosH para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. /upongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo ! que no se tiene acceso a otras comunidades. /upondremos que ha! solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, ! otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. $eseamos obtener una fórmula para el n5mero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente ha! un n5mero especificado de estudiantes infectados. Formulación Matemática:
/upónganse que en cualquier tiempo t ha! >i estudiantes infectados ! >u estudiantes no infectados. ntonces si > es él n5mero total de estudiantes, asumido constante, tenemos > # >i 9 >u La tasa de cambio en él n5mero de estudiantes infectados está dada entonces por la derivada d>i " dt. sta derivada debería depender de alguna manera de >i ! así de >u en virtud de la formula > # >i 9 >u. Gsumiendo que d>i " dt, como una aproximación, es una función cuadrática de >, tenemos entonces que d>i " dt # Go 9 G:>i 9 G>i8 $onde Go, G:, G son constantes. Ghora esperaríamos que la tasa de cambio de >i, esto es, d>i " dt sea cero donde >i # &, esto es, no ha! estudiantes infectados, ! donde >i # >, esto es, todos los estudiantes estén infectados. ntonces de la 5ltima formulación hecha tenemos que Go # & ! G:> 9 G>8 # & ó G # 7G:"> Gsí que de d>i " dt # Go 9 G:>i 9 G>i8 se convierte en d>i " dt # I>i '> 7 >i(. $onde I # G:"> es una constante. Las condiciones iniciales en t # &, ha! >o estudiantes infectados, entonces >i # >o en 2 # &. $e todo esto podemos deducir que
N! = N _ " ' #N/N$ % "(.
E-.m$ 7 C2.8!m!.9)$ 0. 3a8).2!a4 P 0
n un principio, un cultivo al inicio tiene
cantidad de bacterias. n t # : se 3 2
P 0
determina que el n5mero de bacterias es . /i la rapideJ de crecimiento es proporcional al n5mero de bacterias 6't( presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el n5mero de bacterias.
Solución
6rimero se resuelve la ecuación diferencial en ':(, donde el símbolo x t 0
=
se reemplaJa por 6. =on
0
P (0)
, la condición inicial es P (1)
3 =
2
usa la observación empírica de que proporcionalidad k.
dP dt
=
=
P 0
. ntonces se
P 0
para determinar la constante de
k P
Kbserve que la ecuación diferencial es tanto separable como lineal. =uando se pone en la forma estándar de una $ lineal de primer orden,
dP dt
−
kP
=
0
e
−
kt
/e ve por inspección que el factor integrante es . Gl multiplicar ambos lados de la ecuación por este término e integrar se obtiene a su veJ,
d dt
[e
−
kt
. P ]
=
0
e
−
kt
!
P (t )
6or tanto
=
ce
kt
P 0
=
P 0 e
=
kt
. n t#: se tiene
2
P 0
=
P 0 e
k
ce
0
=
c
, ! en consecuencia e
o bien
c
=
. n t#& se deduce que 3
P (t )
. P
k =
3 2
. $e la 5ltima ecuación se
k =
obtiene
ln
3 2
=
0.4055
P (t )
=
P 0 e
0.4055t
, !, entonces
. 6ara determinar el tiempo 3 P 0
en que se ha triplicado el n5mero de bacterias, se resuelve /e deduce que &.@&CCt# lnA, o
t
ln 3 =
0.4055
=
=
P 0 e
0.4055t
para t.
2.71h
P 0
Kbserve en el e-emplo : que el n5mero real de bacterias presentes en el tiempo t#& no tuvo que ver en el cálculo del tiempo que se requirió para que se triplicara el n5mero de bacterias en el cultivo. l tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por e-emplo :&& bacterias o :.&&&.&&& es de más o menos .D: oras.
Kbservamos la gráfica de crecimiento ! decaimiento poblacional.
e
kt
=omo se ilustra en la gráfica, la función exponencial se incrementa cuando aumenta t para I ! disminu!e cuando aumenta t para I)&. Gsí, los problemas que describen el crecimiento '!a sea de poblaciones, bacterias o incluso capital( se caracteriJan por un valor positivo de I, mientras que los problemas relacionados con el decaimiento '=omo en la desintegración radiactiva( generan un valor I negativo. n consecuencia, se dice que I es una constante de crecimiento 'I%&( o una constante de decaimiento 'I)&(.
EJEMPLO E0a0 0. 19 ;ó4!
/e encuentra que un hueso fosiliJado contiene una milésima de la concentración de =7:@ que se encuentra en la materia viva. stime la edad del fósil.
A(t ) Solución:
=
Ao e
Kt
$e nuevo, el punto de partida es
. 6ara determinar el valor de la
1 constante de decaimiento k , se usa el hecho de que
5600k
=
ln
$e A(t )
=
Ao e
1 2
= −
ln 2
k
A(t )
0.00012378t
−
0.00012378t
=
=
ln
1 1000
= −
=
1 1000
1
A(5600)
ó
2
Ao
=
A0 e
5600k
.
0.00012378
= −
se obtiene
. =on −
(ln 2) / 5600
= −
2
Ao
. 6or consiguiente,
1
Ao
se tiene
1000
Ao
=
Ao e
−
0.00012378t
, de modo que
ln 1000 . 6or consecuencia, la edad del fósil es cercana a t =
ln 1000 0.00012378
≈
55800años
CONCLUSIONES La revisión de los modelos matemáticos existentes nos da la pauta para llevar a cabo la elaboración de nuevos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias que apo!en la resolución de problemas específicos en el campo de la biología. /e beneficia de esta manera a la comunidad en general, al favorecer diagnósticos tempranos ! tratamientos oportunos. La combinación de las herramientas matemáticas ! los conocimientos de las ciencias biológicas logrará una fusión de ciencias en beneficio de la humanidad.
BIBLIOGRA;
eP 4orI /pringer7Oerlag, :?D@H FA7?. . Niller Lev! . Nathematical problems in biolog!, a model of morphogenesis, Oictoria conference. Berlín, >eP 4orI /pringer7 Oerlag, :?D@H :@:7:@.
