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Sexto grado de primaria

Conjuntos

1 •

Introducción

En una empresa trabajan los siguientes jóvenes: Ricardo Pedro Walter Benjamín Isaac

Equipo “Los tigres”

Luis Jhony Miguel Samuel Hilario

Por aniversario se programó un partido de fútbol y los señores Zubieta y Márquez formaron dos equipos con los jóvenes trabajadores, los denominaron “Los tigres” y “Los maravillosos”.

Equipo “Los maravillosos”

Ricardo

Luis

Pedro

Jhony

Walter

Miguel

Benjamín

Samuel

Isaac

Hilario

Miguel

Walter

Los equipos se tienen que enfrentar el domingo a las 10 a.m. “Los trigres y los maravillosos”

a)

¿Están bien conformados los equipos?

b)

¿Pueden enfrentarse dos equipos de seis jugadores cada uno?

c)

¿Cuáles son los “jugadores comunes” en ambos conjuntos?

d)

¿Cuáles son los “jugadores propios” que tiene cada conjunto?

e)

¿Es posible que cada integrante del equipo “Los tigres” pueda estrechar la mano a cada uno de los integrantes del equipo “Los maravillosos”? Finalmente se decide enfrentar a dos equipos de 5 jugadores.

f)

¿Pueden haber “jugadores comunes” en ambos conjuntos?

g)

¿Con los “jugadores comunes” se puede formar un conjunto?

h)

Si cada integrante del equipo “Los tigres” estrecha la mano a cada integrante del equipo “Los maravillosos”, ¿cuántas estrechadas de mano se podrá observar? Sexto Grado de Primaria

9

Manuel Coveñas Naquiche

•

Representación de conjuntos. Ejemplo Representa el conjunto formado por los días de la semana.

Diagrama de Venn

Diagrama entre llaves B

B = {lunes , martes , miércoles , jueves, viernes , sábado, domingo} o B = {días de la semana}

B = Conjunto de los días de la semana

•

(Se escribe una coma para separar los elementos cuando son letras o palabras.)

Determinación de conjuntos Conjunto formado por extensión C = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }

Determinación de conjuntos por extensión El conjunto C se ha formado enumerando sus elementos. Por eso se dice que se ha formado por extensión. Se dice que un conjunto está definido por enumeración o extensión cuando se enumeran uno a uno los elementos que lo forman. Ejemplo: E = {lunes , martes , miércoles , jueves, viernes , sábado , domingo} El conjunto E se ha formado enumerando sus elementos. Por eso se dice que se ha formado por extensión. Conjunto formado por comprensión C = {números pares}

Determinación de conjuntos por comprensión Todos los elementos del conjunto C tienen la propiedad de ser “números pares” El conjunto C se ha formado por elementos que cumplen esa propiedad.

10

Sexto Grado de Primaria

Sexto grado de primaria Se dice que un conjunto está definido por comprensión o propiedad cuando se da un criterio que permite decidir con certeza si un elemento pertenece o no al conjunto.

Ejemplo: E = {Meses del año} Todos los elementos del conjunto E tienen la propiedad de ser “meses del año”. *

Otra forma de expresar por comprensión el conjunto E es: E = {x / x es un mes del año}

Se lee: “E es el conjunto de los elementos x tal que x es un mes del año”.

Conjuntos formados por extensión

Conjuntos formados por comprensión

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

A = {Números dígitos} o A = {x/x es un número dígito}

B = {verano, invierno, otoño, primavera}

B = {Estaciones del año} o B = {x/x es una estación del año}

C = {América, Europa, Asia, África, Oceanía}

C = {Continentes del mundo} o C = {x/x es un continente del mundo}

D = {Pacífico, Atlántico, Índico, Ártico, Antártico}

D = {Océanos del mundo} o D = {x/x es un océano del mundo}

Taller de ejercicios 1 Eje rcic io 1 Para cada caso siguiente debes responder la pregunta o las preguntas que se formulan. a)

4 0

A 3

15

8

10 5 2

Resolución:

12 1

14

6

B = {múltiplos de 2 menores que 16} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto A para que el conjunto que queda sea igual a B?


11


b)

c)

10

2

9

0

B 7

3

12

u a

C

4 2

o

15

i

e

6

D = {múltiplos de 3 menores que 18} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto B para que el conjunto que queda sea igual a D. Resolución:

d)

F = {x/x es una vocal de la palabra vacaciones} ¿Qué elemento debemos quitar al conjunto C para que el conjunto que queda sea igual a F. Resolución:

e)

u

e

a

i

o

D

E = {x/x es un vocal de la palabra plátano} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto D para que el conjunto que queda sea igual a E. Resolución:

Si al conjunto E le quitas el elemento 5, ¿se convierte en un conjunto vacío? Resolución:

f) Si al elemento 4 del conjunto H lo pasas al conjunto G. I) ¿H se convierte en un conjunto vacío? II) ¿H se convierte en un conjunto unitario? Resolución:

Eje rcic io 2

Dada la operación siguiente: 487 × 95 2 435 4 3 83 4 6 265

12


I.

Determina por extensión los siguientes conjuntos: a) P = {dígitos de la operación} b) Q = {dígitos pares de la opareción} c) R = {dígitos múltiplos de 3 de la operación} Resolución:

Sexto grado de primaria I I . Responde las siguientes preguntas a) Si a cada elemento del conjunto P se resta 1, el conjunto que resulta, ¿continúa siendo un conjunto formado por dígitos? b) Con la suma del multiplicando, el multiplicador y el producto, ¿se puede formar un conjunto unitario?

c)

Eje rcic io 3 Determine por extensión el conjunto: A = {x/x es un número impar 6 < x < 15} y calcule la suma de sus elementos. Resolución:

Eje rcic io 4 Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 3; 7; 2; 1; 0} B = {a; b; c; d; a; a; d; e; b; e; a; d; b} Hallar la diferencia entre el número de elementos del conjunto A y el conjunto B. Resolución:

•

Si con los elementos de Q y R formas un nuevo conjunto, ¿será igual al conjunto P? Resolución:

Relaciones en conjuntos Mediante este tipo de diagrama podemos representar informaciones sobre los conjuntos. •

U

Todos los elementos que están al interior del rectángulo forman el conjunto universo

U : universo En este caso: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} •

Los elementos pueden pertenecer o no a un conjunto

El símbolo Î se lee: pertenece En este caso:

•

El símbolo Ï se lee: no pertenece

4 Î A y 8 ÏB 2 Î A y 3 ÏB

Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos también pertenecen a él.

Se puede leer de varias maneras: B está contenido en U B ÌU

B es una parte de U

Ì : Subconjunto; Ë : No es subconjunto En este caso: A Ì U y A Ë B

B está incluido en U B es un subconjunto de U

•

Observe en el diagrama anterior que los conjuntos A y B son subconjuntos de U .


13

Manuel Coveñas Naquiche Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos pertenecen también a ese otro conjunto. •

U

Observa el diagrama, los conjuntos P , Q y R son subconjuntos de U. Todos los elementos que están al interior del rectángulo forman el Conjunto Universal (U). En este caso: U = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

•

Del diagrama:

P Ì Q y R Ë Q

Taller de ejercicios 2 Eje rcic io 1

Dados los conjuntos:

P = {2; 3; 5; 7; 9; 10; 11} ; Q = {3; 7; 10}; R = {2; 5; 7; 11} Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) Q Ì P … ( ) I I ) R Ì P … ( ) III) P Ì Q … ( ) IV)

Q Ì R … ( )

V)

P Ì R … ( )

VI)

RÌQ…(

)

Eje rcic io 2 Dado el conjunto: A = {9; 13; 15; 18; 30; 45} Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) {18; 30} Î A … ( IV) 30 Ì A … ( Eje rcic io 3

)

)

II) {13; 45} Ì A … (

)

V) {13; 15} Ì {9; 13; 15; 18} … (

)

III) 18 Î A … (

)

VI) A Ì A … (

)

Dado el diagrama. Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) B Ì C ... ( ) III) B Ì C ... ( ) V) B Ì A ... ( )

Atención

Recuerda siempre lo siguiente: • Los símbolos Î y Ï relacionan un elemento con un conjunto. • Los símbolos Ì y Ë relacionan un conjunto con otro.

14


II) C Ì A ... ( IV) A Ì B ... ( VI) A Ì C ... (

) ) )

Sexto grado de primaria Eje rcic io 4

Dado el diagrama:

Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente.

I)

{2; 7} ÎR … (

)

IV) {5; 9; 10} Î P … (

)

II) {3; 5; 7} Ì P … (

)

III) 7ÎQ … (

V) {6; 9} Ì Q

)

VI) {3; 4; 8} Ì R … (

…(

) )

Eje rcic io 5 Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos Î; Ï; Ì o Ë según corresponda.

a) P … Q e) {11; 13} … Q

b) Q … R f) {15; 17; 19} … R

c) 7 … P g) 9 … R

d) 13 ... P h) {13} … Q

Eje rcic io 6 Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos Î; Ï; Ì o Ë según corresponda.

a) M … P

b) M … N

c) 18 … P

d) 12 … M

e) {14; 20} … N

f) {8; 140; 12} … M

g) 16 … P

h) {8} … M


15


Eje rcic io 7 En cada caso construye un diagrama para los conjuntos dados. a) A = { 1; 2; 5; 6; 7}

c ) M = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

B = { 2; 3; 4; 5; 6; 8}

N ={1; 4; 5; 6; 8; 11} Resolución:

Resolución: • En primer lugar, reconocemos los elementos comunes para los 2 conjuntos. Veamos: A = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7} B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8} • En segundo lugar, ubicamos los elementos comunes en la intersección de los 2 conjuntos, así:

A ={2; 3; 5; 6; 7} B = {3; 4; 5; 6; 8} C = {5; 6; 7; 9}

B

Resolución:

2 5 6

A

d)

Intersección

• En tercer lugar, ubicamos el resto de elementos para cada conjunto en el diagrama. Así:

e) P = {1; 2; 3; 5; 6; 7} Q = {2; 3; 4; 5; 7; 8}

B

1 A

7

2 5 6

3 4

R = {3; 5; 6; 7; 9; 10} Resolución:

8

b) E = {6; 7; 8; 9} F ={5; 6; 8; 9; 10; 11} Resolución:

Eje rcic io 8 Considera estos conjuntos: A = {x / x es un número natural entre 4 y 13} C = {x / x es un número par mayor que 7 y menor que 12} B = {x / x es un número impar entre 3 y 12} D = {10}

16


Sexto grado de primaria Completa usando el signo Ì o Ë, según corresponda: a) {8; 10; 12} ... C

f) {8; 10} ... C

k) B ... A

b) C ... A

g) {5} ... A

l) {5; 6; 7; 8} ... A

c) {6; 7; 8} ... A

h) D ... B

m) {8} ... C

d) {5; 7; 9} ... A

i) {5; 6; 7} ... A

n) {4; 6; 8} ... B

e) D ... A

j) D ... C

ñ) {1; 2; 3} ... A

Eje rcic io 9 correctas? I) IV)

•

Dado el conjunto

2ÎA {4} Î A

II) V)

A = {2; {3}; 4}, ¿cuál de las siguientes proposiciones son {3} Î A {{3}} Ì A

III) VI)

{2; 4} Ì A {2} Ì A

El conjunto vacío y el conjunto potencia El conjunto vacío no tiene elementos y se puede representar de estas dos maneras: f

•

:

Conjunto vacío

{ } : Conjunto vacío

Observa los subconjuntos que podemos formar con el conjunto A = {1; 2; 3} •

El número de subconjuntos que se ha formado es 8, es decir: 8 = 23

•

Observa los subconjuntos que podemos formar con el conjunto B = {6; 7}

•

El número de subconjuntos que se ha formado es 4, es decir: 4 = 22

Si continuamos analizando diferentes casos, veremos que el número de subconjuntos que podemos derivar de un conjunto dado corresponde siempre a una potencia de 2, cuyo exponente es el número de elementos del conjunto. Atención

Ejemplo: Si el conjunto M = {2 ; 4 ; 6} tiene 3 elementos, el número de subconjuntos será: 23 = 8

Si: A = { ... ; ... ; ... ; ...}, "n" elementos

el número de subconjuntos de A = 2n


17

Manuel Coveñas Naquiche Verificación: N° de subconjuntos de M =

2 ; 4 ; 6 ; 2 ; 4ql ; 2 ; 6ql ; 4 ; 6ql ; 2 ; 4 ; 6ql q ; l kpkpkpl q 144244 3 1444424444 3 14243 3

Subconjuntos con 1 elemento

Subconjuntos Subconjuntos con 2 elementos con 3 elementos

Subconjuntos sin elementos

P(M) = {{2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}; { }}

\

El conjunto formado por todos los subconjuntos de M recibe el nombre de conjunto potencia de M. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Taller de ejercicios 3 Eje rcic io 1 A

Observa los conjuntos siguientes: B

C

I) Si n(A) significa “el número de elementos del conjunto A” n(B) significa ”el número de elementos del conjunto B” n(C) significa “el número de elementos del conjunto C” responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto vale n(A) + n(B) + n(C)? b) ¿Quién es mayor “n(A) + n(B) ” o “n(C) + 1”? c) ¿Quién es menor “n(A) + n(B) + n(C)” o “n(A) · n(B) · n(C)”? d) ¿Es cierto que [n(A)]2 + [n(B)]2 + [n(C)]2 es igual que n(A) · n(B) · n(C)? II) Si n[P(A)] significa “número de elementos de la potencia de A” n[P(B)] significa “número de elementos de la potencia de B” n[P(C)] significa “número de elementos de la potencia de C” responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de B?

18



c) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de C? d) ¿El n[P(A)] + n[P(B)] es igual que el n[P(C)]? e) Si el conjunto C tuviera un elemento más, ¿sería 2n(A) + n(B) igual que el n[P(C)]? f) ¿Es cierto que 2n(A) + n(B)-1 es igual que 2n(C)? Eje rcic io 2

Si el conjunto potencia de A tiene 32 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto A?

Eje rcic io 3

Si el conjunto potencia de B tiene 256 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto B?

Eje rcic io 4 De acuerdo al diagrama.

Calcular: a) n[P(A)] – n[P(B)] b) n[P(B)] + n[P(C)]

•

Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a esos dos conjuntos a la vez. Ç : Intersección •

U

Conjuntos disjuntos son los que no tienen ele mentos comunes. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío. f : conjunto vacío ; { } : conjunto vacío Ejemplo:

A Ç B = {3; 4; 5}

U

P Ç Q = f P y Q son disjuntos


19


Taller de ejercicios 4 Eje rcic io 1 Las notas que obtuvieron Susana y Rebeca el año pasado,en matemática, en los cuatro bimestres, fueron: Susana: 12 ; 10 ; 16 ; 14 Rebeca: 09 ; 13 ; 12 ; 16 Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las notas comunes? b) Si aumentas un punto a todas las notas de Rebeca, ¿cuáles son las nuevas notas comunes? c) ¿Si disminuyes tres puntos a todas las notas de Susana, ¿cuáles son las nuevas notas comunes? Ejercicio

2 Con respecto a los diagramas I, II y III mostrados: F A

B

1

4 2

7

6

8

5

3 (I)

E

D

C

10 9

(II)

11 12

13

(III)

responde a las preguntas siguientes: a) ¿En cuál de los diagramas hay dos conjuntos disjuntos? b) ¿En cuál o cuáles de los diagramas, los conjuntos tienen elementos comunes? c) ¿En cuál o cuáles de los diagramas, un conjunto es subconjunto de otro? d) ¿Puede la intersección de dos conjuntos ser igual a uno de ellos? Ejercicio

3 Observa el diagrama: R

P Q 5

7 8

6

12 9 10 13 14 11

15 16 17

y expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) P = {

}

e) Q Ç R = {

b) Q = {

}

c) R = { d) P Ç Q = {

20

} }


}

f) P Ç R = { } g) P Ç Q Ç R = {

}

h) (P Ç Q) Ç Q = {

}


Ejercicio 4

Observa el diagrama:

M N

15

P

b) N = {

21

c) P = {

7 11 17 9 13 23 19

3

a) M = {

} } }

d) M Ç N = {

}

e) N Ç P = {

5

}

f) M Ç P = { y expresa por extensión cada conjunto siguiente: Ejercicio 5

}

g) M Ç N Ç P = {

}

h) (M Ç N) Ç (N Ç P) = {

}


A = {(2n + 1) Î ¥ /1 < n < 6} ; B = {x/2 < x < 8; x es impar} Calcule A Ç B

•

Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a esos dos conjuntos.

È : Unión

E È F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Taller de ejercicios 5 Eje rcic io 1 juntos.

En cada diagrama siguiente, pinta la región correspondiente a la unión de los con-

a)

b) A

B 1 2 3 4

5 6 7

8 9 10


21


c)

P

Q

e)

f)

g)

Eje rcic io 2

E

h)


P = {41; 43; 45; 47; 49} y Q= {40; 42; 44; 46; 48} hallar P È Q y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler. Eje rcic io 4

d)

Eje rcic io 3


M = {5; 7; 6; 8; 9; 11} y N = {9; 10; 7; 11; 8; 12; 13; 14} hallar M È N y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler.


R = {7; 9; 11; 13} y S = {3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19} hallar R È S y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler. Eje rcic io 5


T = {9; 10; 11; 12} Q = {11; 12; 13; 15; 17; 19; 21; 23} V = {19; 21; 23; 25; 27; 28; 30}

22



hallar y graficar: a) T È Q d) T È Q È V b) Q È V e) (T Ç Q) È (Q Ç V) c) T È V f) (T È Q) Ç V

Eje rcic io 6

g) (Q È V) Ç T h) (T È V) Ç Q i) (T Ç Q Ç V) È ( Q Ç V)

Dado el siguiente gráfico:

Determinar la suma de los elementos de (A Ç B) È (A È C)

•

Propiedades de la intersección y de la unión de conjuntos Observa estos casos especiales de la intersección y de la unión de conjuntos.

La intersección de un conjunto A con un subconjunto suyo B es el subconjunto B.

La intersección de un conjunto A con sí mismo es el conjunto A.

La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vacío.

AÇB=B

AÇA=A

AÇf=f


23


f La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B es el conjunto A.

La unión de un conjunto A con sí mismo es el conjunto A.

La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto A.

AÈB=A

AÈA=A

AÈf=A

•

Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos (A - B) es la operación que nos permite obtener un nuevo conjunto que agrupe a todos los elementos de A que no pertenecen a B. Ej emplo

1

Si

Si A = {3; 5; 7; 8} y B = {5; 7; 9; 10}

A = {3; 5; 7; 8} B= {5; 7; 9; 10}

A - B = {3 ; 8} Atención

Los elementos de la intersección no se consideran parte de la diferencia.

Ej emplo Si

A - B = {3 ; 8}

2

M = {2; 3; 5; 7; 8} y N = {3; 7; 9; 11} halla:

I) M - N

;

II) N - M

Resolución: M = {2; 3; 5; 7; 8} N = {3; 7; 9; 11} Atención

Recuerda que: M-N¹NM

24


M - N ={2; 5; 8}

N - M ={9; 11}

Sexto grado de primaria Ej emplo

3

Si W = {x / x es un número impar menor que 11} y Z = {6; 7; 9; 11; 13} hallar:

I) W - Z

;

II) Z - W

Resolución: • Del conjunto W = {x / x es número impar menor que 11}, hallamos cada uno de los elementos, veamos: W = {1; 3; 5; 7; 9} Luego :

W

W = {1; 3; 5; 7; 9} 7

Z = {6; 7; 9; 11; 13}

W - Z = {1; 3; 5}

•

Z - W = {6; 11; 13}

Representación gráfica de la diferencia B A

A–B son

Los conjuntos A y B son no disjuntos . Ej emplo

4

Atención

Dados los conjuntos

A = {1; 3; 6} Ù B = {2; 4} ; hallar

A– B

El símbolo lógico Ù se lee y.

Resolución: Como se observa los dos conjuntos son disjuntos, o sea, no hay ningún elemento en común. Luego: A – B = A ®

A – B = {1; 3; 6}

Graficando:

Ej emplo

5

Sean los conjuntos

A = {2; 4; 5; 6; 7} Ù B = {5; 6} ; hallar A – B Sexto Grado de Primaria

25

Manuel Coveñas Naquiche Resolución: A = {2; 4; 5; 6; 7}

®

B ={5;6}

A – B = {2; 4; 7} 123 Son los elementos que sobran en el conjunto A.

Graficando: Atención

En este caso el conjunto B está incluido en el conjunto A. Ej emplo

6

Sean los conjuntos

A = { x Î ¥ / 3 £ x < 7} Ù B = { x Î ¥ /2 < x £ 6}, hallar: A – B Resolución: De la expresión: 3 £ x < 7, los valores que toma x son: 3; 4; 5 y 6. Entonces: A = {3; 4; 5; 6} De la expresión: 2 < x £ 6; los valores que toma x son: 3; 4; 5 y 6 Entonces: B = {3; 4; 5; 6} Graficando:

• •

Atención

A–B=f={

}

Taller de ejercicios 6 Eje rcic io 1 En una feria artesanal los comerciantes Francisco y Eulogia exhiben los siguientes productos: Francisco: Sombreros, ponchos, mantas, chalinas, panes. Eulogia: Chicha de jora, ponchos, collares, chalinas, panes, quenas. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son los productos comunes que exhiben ambos comerciantes? b) ¿Cuáles son los productos que solamente vende Francisco? c) ¿Cuáles son los productos que solamente vende Eulogia? d) Si ambos juntaran sus productos, ¿cuántos productos diferentes exhibierían? Eje rcic io 2

Si F = {sombreros, ponchos, mantas, chalinas, panes} E = {chicha de jora, ponchos, collares, chalinas, panes, quenas} a) ¿A qué es igual el conjunto diferencia “F - E”?

b) ¿A qué es igual el conjunto diferencia “E - F”?

26



Eje rcic io 3

En cada diagrama siguiente pinta la región correspondiente a la diferencia indicada en el rectángulo: A-B B-A A B B 4 4 1 2 2 5 5 3 6 6

A 1 3

C-D C

5

11 12

7 9

D-C 13

D

C

5

11 12

7

15

9

17

E-F E

12

E 15 9


Q 8 10

19

16 23 14

20

17

12

15

11

a) P = { b) Q = {

P

15

F

11

Eje rcic io 4

D

F-E

F 9

13

R 27 30 36

12

}

c) R = {

}

d) P - Q = {

}

e) Q - P = { f) Q - R = { g) R - Q = {

y expresa por extensión cada conjunto siguiente:

}

} } }

h) P - R = {

}

Eje rcic io 5

Dados los conjuntos : A = {2; 3; 6} Ù B = {1; 4; 5; 7; 8}; hallar: B – A

Eje rcic io 6

Sean los conjuntos : A = {1; 3; 6} Ù B = {1; 2; 3; 5; 6}; hallar B – A

Ejercicio 7

Sean los conjuntos : A = { x Î ¥ /5 < x < 10} Ù B = { x Î ¥ /6 £ x £ 9}; hallar : B – A


27


•

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A D B es la operación que corresponde a la unión de (A - B) y (B - A) A D B = (A - B) È (B - A) Ej emplo 1 Si A = {2; 3; 5; 6} y B = {3; 5; 7; 8; 9}, buscamos ambas diferencias y luego hacemos la unión de los conjuntos encontrados.

A D B= {2; 6; 7; 8; 9} I)

A - B = {2; 6}

II)

B - A = {7; 8; 9} Luego : A - B È B - A = 2 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 144 42444 3

a f a f l

\

q

A D B = {2; 6; 7; 8; 9}

Ej emplo 2 Dados los conjuntos: A = {x / x es un número par mayor que 3, pero menor que 16} B = {3; 4; 6; 7; 9; 10; 11}. Halla: A D B Resolución: Del conjunto A ={x / x es un número par mayor que 3, pero menor que 16}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: A = {4; 6; 8; 10; 12; 14} Luego:

R A = l 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14q S B = k 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11p T

Ej emplo 3 Dados los conjuntos:

\

A D B = {8; 12; 14; 3; 7; 9; 11}

P = {x / x es un número natural menor que 12 y mayor que 3} y Q = {x / x es un número natural mayor que 7 y menor que 16}

28


Halla : P D Q

Sexto grado de primaria Resolución: • Del conjunto P = {x / x es un número natural menor que 12 y mayor que 3}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: P = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} • Del conjunto Q = {x / x es un número natural mayor que 7 y menor que 16}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: Q = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}

Luego:

\

P D Q = {4; 5; 6; 7; 12; 13; 14; 15}

Ej emplo 4 Sean los conjuntos: A = { x Î ¥ /3 £ x < 9} Ù B = { x Î ¥ /4 < x £ 10}; hallar A D B. Resolución: • De la expresión: 3 £ x < 9 ; los valores que toma “x” son: 3; 4; 5; 6; 7 y 8. Þ

A = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

• De la expresión: 4 < x £ 10 ; los valores que toma “x” son: 5; 6; 7; 8; 9 y 10 Þ

B = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

B Luego:

A = {3; 4; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } B = { 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9; 10}

3 A 4

\

A D B = {3; 4; 9; 10}

5 6 7 8

9 10

Rpta.


29

Manuel Coveñas Naquiche Recuerda que Donde: A D B = (A – B) È (B – A) ó A D B = (A È B) – (A Ç B)

Ej emplo 5

Graficando:

Sean los conjuntos:

A = {1; 4; 6} Ù B = {1; 4; 6; 7} ; hallar: ADB. Resolución A = {1; 4; 6}

® B = {1; 4; 6; 7}

A–B=f={ } B – A = {7}

Otra forma: A = {1; 4; 6}

Luego: ADB = (A – B) È (B – A) f

A È B = {1; 4; 6; 7}

B = {1; 4; 6; 7} B Ç A = {1; 4; 6} Luego: ADB = (AÈB) – (AÇB)

È {7} Rpta.

®

®

ADB = {7}

\

®

®

ADB =

®

ADB = {1; 4; 6; 7} – {1; 4; 6} ADB = {7}



luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) P = {

}

b) Q = {

}

c) P - Q = {

}

d) Q - P = {

}

e) P D Q = {

30


}

Rpta.


Eje rcic io 2


Eje rcic io 3


luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) R = { }

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) T = { }

b) S = {

b) U = {

}

}

c) R - S = {

}

c) T - U = {

d) S - R = {

}

d) U - T = {

e) R D S = { Eje rcic io 4

}

} }

e) T D U = {

}


A = {x/x es un número natural mayor que 18 y menor que 24} B = {x/x es un número natural mayor que 15 y menor que 21} hallar A D B Eje rcic io 5 Sean los conjuntos: P={ /2 < x £ 7} Ù B = { x Î ¥ /5 £ x < 10}; hallar: PDQ. Eje rcic io 6

Sean los conjuntos:

A = {2; 4; 5; 7} Ù B = {1; 2; 3; 4; 5; 7}; hallar ADB.

Ejercicios resueltos sobre teoría de conjuntos Eje rcic io 1 Si: A={x/x es una letra de la palabra HONESTIDAD} B={x/x es una letra de la palabra CARIDAD} halla n(A Ç B) Resolución: · n(A Ç B) significa “número de elementos de A intersección B”. · Expresamos cada conjunto por extensión: A={h, o, n, e, s, t, i, d, a} B={c, a, r, i, d,} Recuerda Þ A Ç B ={i, d, a}

b g

\ n A ÇB = 3

Si en un conjunto hay elementos repetidos, estos se escriben una sola vez. Ej. {a, a, a, b, b,}={a, b}

Eje rcic io 2

Si:

A={x/x es una letra de la palabra SOLIDARIDAD} B={xÎA/x es una letra de la palabra LIBERTAD} determina: n(A) + n(B) Resolución: · Expresamos cada conjunto por extensión: A={s, o, l, i, d, a, r,} Þ n(A) = 7 · Las letras de la palabra LIBERTAD son: l,

i,

b,

B B ÎA ÎA

e,

r,

t,

B ÎA

a,

d,

B B ÎA ÎA


31

Manuel Coveñas Naquiche De ellas escogemos las que pertenecen al conjunto

B

A, para formar el conjunto B. B={l , i , r , a , d} Þ n(B) = 5 \ n(A) + n(B) = 7 + 5 = 12

Eje rcic io 3


A={4; 5; 7; 9; 11; 16} B={7; 8; 9; 10} C={7; 9; 16} Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. f Ì A II.

BÌA

III. C Ì A IV. n(B Ç C ) = 2 Resolución: I. f Ì A (V), porque el conjunto vacío está incluido en todo conjunto. II. B Ì A (F), porque en el diagrama vemos que el conjunto B no está incluido en el conjunto A:

A

5

4 11 16

B

7

8

9

10

III. C Ì A (V), porque todos los elementos de C son también elementos de A, como se aprecia en el diagrama:

A

5 4 7

C

9 16

11 IV. n(B Ç C ) = 2 (V) De acuerdo al diagrama vemos que B Ç C = {7 ; 9} luego, es verdadero afir-mar que n(B Ç C ) = 2 , ya que en la intersección hay 2 elementos.

32


C 8

7

10

9

16

Eje rcic io 4 Si: A={4; 5; 5; 5; 7} B={0; f ; 2} C={0; 1; 2; 2; 2; 4; 4} calcula n(A) + n(B) + n(C) Resolución: A={4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 7}={4 ; 5 ; 7} Þ n(A)=3 B={0; f ; 2} Þ n(B)=3 C={0;1; 2; 2; 2; 4; 4}={0; 1; 2; 4} Þ n(C)=4 \ n(A) + n(B) + n(C)=3 + 3 + 4= 10 Eje rcic io 5 Dado el conjunto E: E={{2; 3}; 4; 2; {5}} Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. {4}Î E

II. {5}Î E

III. 2 Ì E

IV. {2; 3}Î E

V. {4; 2}ÎE

VI. {4; 2} Ì E

Resolución: I. {4}Î E (F), porque {4} no es elemento del conjunto E. Lo correcto sería afirmar que 4 Î E, ya que 4 sí es elemento de E. II. {5}ÎE (V), porque {5} es un elemento de E. III. 2 Ì E (F), porque el símbolo Ì se usa para relacionar un conjunto con otro conjunto. Lo correcto hubiera sido afirmar {2} Ì E. IV. {2; 3}Î E (V), porque {2; 3} es un elemento de E. V. {4; 2}ÎE (F), porque {4; 2} no es un elemento de E. Lo correcto sería afirmar que {4; 2} Ì E .

Sexto grado de primaria A

VI. {4; 2} Ì E (V). Es verdadero porque los elementos del conjunto {4; 2} son también elementos del conjunto E. Eje rcic io 6

4

C

9

6 7

1

15 13

11

18

b g b g

determina el conjunto A Ç B È B Ç C Resolución: Del gráfico: B

A 3 1 4

6

9

7

11

A Ç B = {6 ; 7}

13

C

B 6 7

9

15 13

B Ç C = {13} 18

11

Luego:

A Ç Bg È b B Ç Cg = {6 ; 7 ; 13} b

Si A È B ={1; 3; 4; 5; 7; 9} A Ç B ={3; 4; 5} A - B ={1; 7} calcula n(A) + n(B) + n(B - A) Resolución: Graficamos escribiendo primero los elementos de la intersección: A Ç B B A Eje rcic io 7

3 4 5

Enseguida agregamos los elementos de A - B, es decir, los elementos que son únicamente de A. A

B

1

3 4 7

4 7

B

A 3

1

Del gráfico:

U

B 3

5

Finalmente agregamos los elementos que faltan para completar A È B

9

5

De acuerdo al gráfico A={1; 3; 4; 5; 7} Þ n(A) = 5 B={3, 4; 5; 9} Þ n(B) = 4 B - A={9} Þ n(B - A) = 1 \ n(A) + n(B) + n(B - A) = 10 Eje rcic io 8

Sean los conjuntos:

l q B = l 3 x + 1 / x Î IN Ù 2 < x < 7q C = l 2 x + 3 / x Î IN Ù 2 < x < 7q Indica la cantidad de elementos del conjunto: A Ç Bg È b A Ç Cg b A = x / x Î IN Ù 2 < x < 17

Resolución: Escribiendo por extensión: · A={3; 4; 5; ....; 15; 16} · Los elementos de B son de la forma (3x+1) donde 2< x <7 x puede ser 3; 4; 5 ó 6 Þ 3x=9; 12; 15 ó 18 3x+1=10; 13; 16 ó 19 Þ B={10; 13; 16; 19} · Los elementos de C son de la forma (2x+3) donde 2< x <7 x = 3; 4; 5 ó 6 2x= 6; 8; 10 ó 12 2x+1=7; 9; 11 ó 13 Þ C={7 ; 9 ; 11 ; 13} · I) Hallamos A Ç B A={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} B={10; 13; 16; 19} A Ç B ={10; 13; 16} ............(1) II) Hallamos A Ç C A={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} C={7; 9; 11; 13} A Ç C ={7; 9; 11; 13} ............(2) III) De (1) y (2): A Ç B È A Ç C ={7; 9; 10; 11; 13; 16} \

b g b g n b A Ç Bg È b A Ç C g= 6


33

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 9

De acuerdo al diagrama:

U

A 2

5

3

6

4 1

B

7

Eje rcic io 1 1 y n[P(B)]=64

Calcula n(A) + n(B) Resolución:

8 10

9

· Sabemos que n[P(A)] = 2n(A) y n[P(B)] = 2n(B) 2n(A) = 16 = 24 Þ n(A) = 4

Determina el conjunto:

2n(B) = 64 = 26 Þ n(B) = 6

c c

A È B g b È A Ç Bg Ç A b c

Nota: Rc es el complemento del conjunto R Resolución: A È Bg b g = U - b ={1 ; 9 ; 10} · b A Ç B g = U - b A Ç Bg · AÈB

Conociendo que n [P(A)]= 16

c

c

={1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}

\ n(A) + n(B) = 10

Eje rcic io 1 2 Dados los conjuntos: A={1; 3; 7; 8; 9} B={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} C={2; 3; 4} ¿Qué elementos se encuentran en la parte coloreada? B

A

b g b g

c c · A È B È A Ç B ={1;9;10}È{1;2;3;4;7;8;9;10}

C

={1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10} · ·

c c

A È B g b È A Ç B g ={5; 6} b A È B g b È A Ç B g Ç A ={5; 6}Ç {2; 3; 4; 5; 6} b c

c

c c

Resolución: Primero ubicamos los elementos que están en la intersección de los tres conjuntos. B

A

C

Eje rcic io 10

Si A = {x / x Î IN , 2x - 23 = 7} B = { 3n / n Î IN , 4 < n < 8} ,

halla n P(A È B) Recuerda que Resolución: P(A) se lee: “conjunto · Resolviendo potencia de A”. 2x - 23 = 7 n[p(A)] se lee: “número 2x = 30 de elementos del conjunx = 15 to potencia de A”. Además: A={15} A n[p(A)] = 2nbg · Si 4 < n < 8 Þ

3

n = 5; 6 ó 7 3n = 15; 18 ó 21

Luego, completamos con los elementos de C. B

A

34

2

B

A 7

Luego, A È B = {15 ; 18 ; 21} Þ n(A È B) = 3 n P ( A È B) =

C

Ahora, ubicamos en el gráfico los elementos que pertenecen a (A - B) y finalmente los de (A Ç B)

\ B={15; 18; 21} 2n(A ÈB)

4

3

=


23

=8

1

8 9

3

C 5

4 2 6

Sexto grado de primaria A) A Ç B = { 2; 4}

\ Los elementos que están en la parte coloreada son 7; 8 y 9.

Eje rcic io 1 3

Con respecto al siguiente gráfico: B

A

C

¿Cuál de las siguientes afirmaciones representa la zona coloreada? A) (A Ç B) - C È B

B) (A - C ) È B D) (A Ç B Ç C ) È (C - B)

C) (B - C ) È A

E) (A Ç B) - C È C - B Resolución: · Escribimos un elemento en cada parte del gráfico B

A 1

C

3 4

2

7

A Ç Bg - C = {2} b A Ç Bg - C È B = { 2; 3; 4; 5; 6} b B) b A - Cg = {1; 2} A - Cg È B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} b C) b B - Cg = {2; 3; 6} B - C g È A = l 1; 2; 4; 3; 6}q b

D) A Ç B Ç C = { 4} C - B = {7}

A Ç B Ç Cg È b C - Bg = {4; 7} b

E) A Ç B = { 2; 4} A Ç Bg - C = {2} b C - B = {7}

A Ç Bg -C È C-B b

= {2; 7}

5

\ La parte coloreada corresponde a la operación.

6

A Ç Bg -C È C-B b

· Analizamos cada alternativa para ver cuál de ellas da por resultado los elementos que están en la parte coloreada.

Rpta. E

•

Problemas que se resuelven con conjuntos

I.

Identificación de zonas con 2 conjuntos. Sean los conjuntos: A = {x/x habla español} B = {x/x habla inglés} Es importante identificar las siguientes zonas: 2 Hablan inglés.

1 Hablan español. A

B

A

B


35


3 Hablan sólo español.

4 Hablan sólo inglés.

A

B

5 Hablan español e inglés. A

B

A

B

8 No hablan español. B

9 No hablan inglés. A

B

6 Hablan español o inglés.

7 No hablan español ni inglés. A

A

A

B

1 0 Hablan solamente uno de esos idiomas. B

A

B

Prob lema 1 En un aula de 75 alumnos a 5 no les gusta ni álgebra ni geometría, y a 45 les gusta sólo geometría, ¿a cuántos les gusta sólo álgebra si a 15 alumnos les gusta ambos cursos? Resolución: El procedimiento a seguir es el siguiente: 1 o Realizamos el diagrama designando el conjunto de alumnos que les gusta álgebra por A y el conjunto de alumnos que les gusta geometría por G.

36



G

A

2o

Escribimos los datos numéricos en el diagrama, tratando de llenar todas las zonas con sus respectivos valores. A la zona donde se encuentra la incógnita le asignamos la letra x y luego la pintamos, para saber qué es lo que queremos hallar. 75

número de alumnos que número alumnos a los que ´ les de solo gusta geometría . sólo les gusta geometría

total de alumnos

A

G

x

15

número de alumnos número a los que no que no de les alumnos gusta lesninguno gusta ninguno de los dos cursos de los dos cursos .

45

5

número de alumnos número de alumnos a los que sólo les gusta álgebra ´ que sólo les gusta Algebra .

3o

cantidad númerode dealumnos alumnosque que prefieren prefierenambos ambos cursos cursos .

Finalmente, la suma de los valores de cada zona se iguala al total de alumnos. x + 15 + 45 + 5 = 75 x = 10 A 10 alumnos les gusta sólo álgebra.

Prob lema 2 De un grupo de 100 jóvenes, 65 estudian, 45 trabajan y 25 estudian y trabajan. ¿Cuántos no estudian ni trabajan? Resolución : Colocamos los datos en el siguiente diagrama, donde: E es el conjunto de los que estudian y T es el conjunto de los que trabajan. n(U) = 100

E=65

T=45 45 - 25=20

65 - 25=40 40

25

20 x

´ Número de jovenes que no estudian ni trabajan


37

Manuel Coveñas Naquiche La suma de las partes se iguala al total: 40 + 25 + 20 + x = 100 85 + x = 100 x = 15

Hay 15 jóvenes que no estudian ni trabajan.

Prob lema 3 De 81 alumnos encuestados: 61 practican fútbol, 29 practican natación y 4 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican fútbol y también natación? Resolución: n(U)81 =81 n(N)N=29 = 29

n(F) =61 F=61 61 - x

· Sea “x” el número de alumnos que practican fútbol y natación. Del gráfico: (61 - x) + x + (29 - x) + 4 = 81 94 - x = 81 94 - 81 = x x = 13

29 - x

x

4

13 alumnos practican fútbol y natación.

Prob lema 4 En una encuesta realizada a un grupo de personas: 40 leen solamente la revista “Avancemos”, 60 leen solamente la revista “Bondades”, 12 no leen ninguna de estas revistas y 13 leen ambas revistas. Halla el total de personas encuestadas. Resolución: n(U) = x x A

B

40

13

60 12

Del diagrama: x = 40 + 13 + 60 + 12 = 125 El total de personas encuestadas es 125

Prob lema 5 Entre 160 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 72 consumen mayonesa, 96 consumen ketchup y 16 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? · Si “x” es el número de personas que consuResolución: n(U) = 160 160 men mayonesa y ketchup, entonces: n(K) = 96 n(M) = 72 M=72 K=96 72 - x: consumen únicamente mayonesa 96 - x: consumen únicamente ketchup 72 - x x 96 - x · Del diagrama: (72 - x) + x + (96 - x) + 16 = 160 184 - x = 160 16 184 - 160 = x consumen mayonesa \ x = 24 pero no ketchup Consumen mayonesa, pero no ketchup: 72 - 24 = 48 personas.

38



Prob lema 6 En una encuesta realizada a 1 000 personas sobre el consumo de pescado y pollo, se obtuvieron los siguientes resultados: 200 no consumen ninguno de estos productos, 500 no consumen pollo y 600 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y pollo? Resolución: n(U) = 1 000 pescado

pollo

500200=300

600200=400 x

300

400

200

Del diagrama: 300 + x + 400 + 200 = 1000 900 + x = 1000 x = 100 100 personas consumen pescado y pollo.

Problema 7 De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? Resolución: n(U) 40= 40 n(E) = 10 E=10

T

10 - 3=7 7

3

x 15

· Las personas que realizan sólo una de las dos actividades son las que sólo estudian más las que sólo trabajan. · Del diagrama: 7 + 3 + x + 15 = 40 x = 15 Realizan sólo una actividad: 7 + 15 = 22 personas.


39

Manuel Coveñas Naquiche I.

Identificación de zonas con 3 conjuntos. Sean los conjuntos: P = {x/x leen la revista A} Q = {x/x leen la revista B} R = {x/x leen la revista C} Es importante identificar las siguientes zonas:

1

Leen la revista A.

2

Leen la revista B.

3

Leen la revista C.

4

Leen sólo la revista A.

5

Leen sólo la revista B.

6

Leen sólo la revista C.

7

Leen las revistas A y B.

8

Leen las revistas A y B.

40


Sexto grado de primaria 9

Leen las revistas B y C.

10

Leen sólo las revistas B y C.

11

Leen las revistas A y C.

12

Leen sólo las revistas A y C.

13

Leen las tres revistas A, B y C.

14

No leen ninguna de las tres revistas.

Problema 1 De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol; 26 practican basquet y 25 practican voleibol; 13 practican fútbol y basquet; 10 practican basquet y voleibol; 9 practican fútbol y voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no practican ninguno de estos deportes? Resolución: Sólo fútbol y básquet El procedimiento a seguir es el siguiente: 1°

Realizamos el diagrama designando al conjunto de alumnos que practican fútbol por F, al conjunto de alumnos que practican basquet por B y al conjunto de alumnos que practican voleibol por V.

Sólo básquet

Sólo fútbol

Sólo básquet y voleibol fútbol, básquet y voleibol

Sólo fútbol y voleibol Sólo voleibol


41

Manuel Coveñas Naquiche 2°

Realizamos las operaciones y los resultados los ubicamos en la zona correspondientes. A la zona donde se encuentra la incognita le asignamos la letra x y luego la pintamos, para saber que es lo que queremos hallar.

•

Número de personas que practican ...

3°

B

F

... los tres deportes = 6 ... sólo fútbol y básquet = 13 – 6 = 7 ... sólo básquet y voleibol = 10 – 6 = 4 ... sólo fútbol y voleibol = 9 – 6 = 3 ... sólo fútbol = 24 – (6 + 7 + 3) = 8 ... sólo básquet = 26 – (6 + 7 + 4) = 9 ... sólo voleibol = 25 – (6 + 3 + 4) = 12

7

8 3

6

9 4

12

x

V

Finalmente, la suma de los valores de cada zona se iguala al total de deportistas, o sea: x + 8 + 7 + 9 + 3 + 6 + 4 + 12 = 60 x + 49 = 60 ® x = 11

\

11 no práctican ninguno de estos deportes

R pt a .

Problema 2 De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican, se sabe que: 70 estudian inglés; 40 estudian química; 40 estudian matemática; 15 estudian matemática y química; 20 estudian matemática e inglés; 25 estudian inglés y química; 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total? Resolución: • Realizamos las operaciones y los resultados los ubicamos en la zona correspondiente. Pintamos la zona que queremos hallar. Número de alumnos que estudian ...

I

... inglés, química y matemática = 5 ... sólo inglés y química = 25 – 5 = 20 ... sólo matemática e inglés = 20 – 5 = 15 ... sólo matemática y química = 15 – 5 = 10 ... sólo matemática = 40 – (15 + 5 + 10) = 10 ... sólo química = 40 – (20 + 5 + 10) = 5 ... sólo inglés = 70 – (15 + 20 + 5) = 30

Q 30 15

20 5 10

5 10 M

Luego: El número total de alumnos = 30 + 2 0 + 5 +15 + 5 +10 + 10 = 95 \

42

El número total de alumnos es 95


R pt a .

Sexto grado de primaria Prob lema 3 En una academia de idiomas “COLUMBUS”, 30 alumnos hablan ingles; 24 hablan italiano; 24 hablan castellano; 6 hablan castellano e italiano; 10 hablan inglés y castellano; 8 hablan inglés e italiano y 3 hablan los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos tiene la academia? Resolución: • Realizamos el diagrama: Sólo inglés e italiano

Italiano

Inglés Sólo inglés

Sólo italiano

Sólo inglés y castellano

Sólo italiano y castellano

Castellano los tres idiomas

Sólo castellano

• El número total de alumnos lo hallaremos sumando los números ubicados en la parte pintada. • Realizamos las operaciones y los resultados los ubicamos en cada zona correspondiente. Número de alumnos que hablan ... Italiano

Inglés

... inglés, italiano y castellano = 3 ... sólo inglés e italiano = 8 – 3 = 5

5

15 7

... sólo inglés y castellano = 10 – 3 = 7 ... sólo castellano e italiano = 6 – 3 = 3

13

3

3

11

... sólo castellano = 24 – (7 + 3 + 3) = 11

Castellano

... sólo inglés = 30 – (5+ 3 + 7) = 15 ... sólo italiano = 24 – (5 + 3 + 3)= 13

Luego: \

N° de alumnos = 15 + 5 +13 + 7 + 3 + 3 + 11 = 57 La academia de idiomas “COLUMBUS” tiene 57 alumnos.

Rpta.


43


Taller de problemas 8 Resuelve los siguientes problemas: Prob lema 1 En un distrito de 10 000 habitantes, circulan solamente dos diarios: El Triunfo y La Tercera. Se sabe que: 3 460 personas leen solamente El Triunfo. 5 000 personas leen solamente La Tercera. 1 200 personas no leen El Triunfo ni La Tercera. ¿Cuántas personas leen ambos diarios? Resolución:

Rpta.

340

Prob lema 3 En una reunión del personal docente de un colegio se sabe que: 4 son profesores y abogados. 10 son sólo abogados. 30 son profesores. ¿Cuántos tienen solamente una profesión? Resolución:

Rpta.

44


36

Prob lema 2 De 50 vendedores de un campo ferial, 36 venden mochilas, 24 venden zapatillas y 20 venden mochilas pero no zapatillas. ¿Cuántos vendedores no venden mochilas ni zapatillas? Resolución:

Rpta.

6

Prob lema 4 Se preguntó a 300 personas sobre sus preferencias entre la salsa y la balada, el resultado fue el siguiente: 185 personas prefieren la salsa. 95 personas prefieren la balada. A 45 personas no les gusta la salsa ni la balada. ¿Cuántas personas prefieren solamente la balada? Resolución:

Rpta.

70


Prob lema 5 En una asamblea de compositores y cantantes se contaron: – 39 compositores. – 21 compositores y cantantes. – 48 sólo eran cantantes. – 57 no eran compositores, ni cantantes. ¿Cuál era el total de asistentes a la asamblea? Resolución:

Rpta.

Prob lema 6 La Sra. Esperanza tiene un negocio de comida rápida y cierto día atendió a 170 clientes notando que: – 92 no consumieron hamburguesa de carne – 110 no consumieron hamburguesa de pollo. – 50 no consumieron hamburguesa de cane ni de pollo. ¿Cuántas personas consumieron hamburguesas de carne y de pollo? Resolución:

144

Prob lema 7 En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español; 30 estudian alemán; 42 estudian francés; 8 estudian español y aleman; 10 estudian español y francés; 5 estudian alemán y francés; 3 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio? Resolución: Rpta. 30

Rpta.

18

Prob lema 8 Es una encuesta realizada a 129 televidentes se tiene: 37 ven el canal 4; 34 ven el canal 5; 52 ven el canal 2; 12 ven los canales 4 y 5; 17 ven los canales 5 y 2; 15 ven los canales 4 y 2; 40 ven otros canales. ¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2? Resolución:

Rpta.

10

• Producto cartesiano ¿Recuerdas, a qué llamamos par ordenado? Dos cosas dadas en cierto orden forman un par ordenado. Fíjate en el esquema: representa los asientos de un salón de clases. Columna 1 ¯

Columna 2 ¯

Columna 3 ¯

Columna 4 ¯

Columna 5 ¯

Manolito

Fila 1 ®

Fila 2 ®

Fila 3 ®

Karina


45

Manuel Coveñas Naquiche Nombramos los asientos por un par de números, el primero indica la columna y el segundo la fila. Del esquema: Recuerda

Manolito está en la columna 3 y en la fila 1, cuyo par ordenado es:

Karina está sentada en la columna 1 y en la fila 3, cuyo par ordenado es:

(3 ; 1)

(1 ; 3) 2 a . componente

(a ; b) ¹ (b ; a)

2 a . componente

1 a . componente

1 a . componente

Como podrás observar, los pares ordenados (3 ; 1) y (1 ; 3) están compuestos por los mismos números, pero no indican el mismo asiento. • El orden de las componentes de un par ordenado es fundamental. • Para indicar que dos componentes forman un par ordenado se escribe entre paréntesis separadas por un punto y coma. Observa las combinaciones que se pueden formar con los elementos de los conjuntos A y B. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se escribe

A×B, al conjunto de todos los pares ordenados posibles de modo que, la primera componente pertenezca al conjunto A y la segunda componente pertenezca al conjunto B.

A = {1; 2; 3; 4} y B = {a, b} A × B = {(1 ; a), (1 ; b), (2 ; a), (2 ; b), (3 ; a), (3 ; b), (4 ; a), (4 ; b)}

Veamos diferentes formas de representar el producto cartesiano A × B. Diagrama de flechas

Tabla de doble entrada

Diagrama cartesiano

B

A 1

(1;b) (2;b) (3;b) (4;b)

2

a

A´B

3

b

(1; a) (2; a) (3; a) (4; a)

4 A cada par ordenado le corresponde un casillero de la tabla.

46


Cada par ordenado está re presentado por una flecha.

Los elementos de A se represen tan sobre la recta horizontal y los de B sobre la recta vertical.

Sexto grado de primaria Atención

El número de pares ordenados de A ´ B se encuentra multiplicando el número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B. Veamos: A=

Si:

l 1;14242; 34;434 q y 4 elementos

Luego: n(A × B) = 4 × 2 = 8

2 elementos

pares ordenados.


Halla el valor de x que hace verdadera la igualdad de pares ordenados.

a) (12; 25) = (8 + x; 25)

d) (m; 15) = (x; m + 9)

b) (6; x – 1) = (6; 19)

e) (1; 4p) = (p – 4; x + 7)

c) (4; 17) = (21 – x; x)

f) (68 – 2x; p – 6) = (5p ; 4)

Eje rcic io 2


P = {1; 2; 3; 4} Q = {6; 7} R = {3; 4; 5} a) Determina por extensión P × Q y haz su diagrama sagital o de flechas. b) Determina por extensión Q × P y represéntalo mediante una tabla de doble entrada. c) Determina por extensión P × P y haz su diagrama cartesiano. d) Determina por extensión P × R y haz su diagrama sagital. e) Determina por extensión Q × R y represéntalo mediante una tabla de doble entrada. f) Efectuar (P Ç R) × Q y haz su diagrama sagital. g) Efectuar Q × (P– R) y haz su diagrama cartesiano. Resolución:


47


Eje rcic io 3 cartesiano

Observa el siguiente diagrama

(20; 6)

Eje rcic io tesiano:

5

Dado el siguiente producto car-

M × N = {(6; 4), (6; 8), (9; 4), (9; 8), (12; 4), (12; 8)} determina por extensión los conjuntos M y N Resolución:

¿cuánto valen a y b? Resolución:

Eje rcic io 4 Dado el siguiente producto cartesiano: U ´ V = {(5; 6), (5; 8), (5; 10), (7; 4), (7; 8), (7; 10), (9; 4), (9; 6), (9; 8), ( ; ), ( ; ), ( ; )} a) Determina por extensión los conjuntos U y V. b) Escribe los elementos de los 3 pares ordenados últimos que forman el producto cartesiano U ´ V. Resolución:

Eje rcic io 7

Ejer cico

6


A = {5; 7; 10; 13; 15} B = {2; 4; 9; 12} a) Halla el producto cartesiano A ´ B. b) Escribe los pares ordenados cuyas componentes suman 17. Resolución:


C = {3; 4; 6; 14; 20} D = {5; 8; 11; 12; 40; 52} a) Halla el producto cartesiano C × D. b) Escribe los pares ordenados cuya segunda componente sea el doble de la primera componente. Resolución:

48



•

Relaciones

Observa los siguientes ejemplos: Ej emplo

1

Sean los conjuntos:

A={Lima, Caracas, Quito, Santiago} B={Ecuador, Perú, Colombia, Chile} En los siguientes diagramas vamos a relacionar un elemento x de A con un elemento y de B mediante la regla de correspondencia: “x es capital de y”. Diagrama de flechas

Diagrama de coordenadas

R

A

B

B

Lima

Ecuador

Caracas

Perú

Quito

Colombia

Santiago

Chile

Chile Colombia Perú Ecuador Lima Caracas Quito Santiago

A

Si llamamos R a esta relación, entonces R está conformado por los siguientes pares ordenados: R={(Lima; Perú) , (Quito; Ecuador) , (Santiago; Chile)} Esta es una relación de A en B porque se relaciona un elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B. Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B, conjunto de llegada. Dominio de la relación: Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que conforman la relación. En este ejemplo: Dominio de R = {Lima, Quito, Santiago} Rango de la relación: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que conforman la relación. En este ejemplo: Rango de R = {Perú, Ecuador, Chile} Diagrama de flechas

Ej emplo 2 Si tenemos los conjuntos: N={2; 3; 7} M={3; 5; 6; 7} y queremos formar una relación S de N en M, que agrupe a pares ordenados (x; y) que satisfacen la siguiente regla de correspondencia: “x < y”, entonces procedemos de la siguiente manera:

S

N

2 3

M 3 5 6

7 7


49

Manuel Coveñas Naquiche Diagrama de coordenadas

M 7

S={(2; 3), (2; 5), (2; 6), (2; 7), (3; 5), (3; 6), (3; 7)}

6

Dominio de S = {2; 3}

5 3

Rango de R = {3; 5; 6; 7} 2

3

7

N

A partir de estos ejemplos hemos visto que en toda relación hay: a) Un conjunto de partida de donde se escogen las primeras componentes de cada par ordenado que integra la relación. b) Un conjunto de llegada de donde se escogen las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. c ) Una regla de correspondencia que nos indica el criterio por el cual se asocian los pares ordenados de la relación. Luego: Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación de A en B al conjunto de pares ordenados formados por los elementos de A con los de B, en ese orden, que se asocian mediante una determinada regla de correspondencia. No taci ón Para designar una relación se debe indicar el conjunto de partida, el de llegada y la relación en forma abreviada, como se aprecia en los siguientes ejemplos: (Consideremos los dos ejemplos anteriores.) Ej emplo

1

A={Lima, Caracas, Quito, Santiago} B={Ecuador, Perú, Colombia, Chile} La relación R es:

R=

m b x; yg Î A ´ B /" x es capital de y"r

Conjunto de partida Conjunto de llegada Ej emplo

2 N={2; 3; 7} M={3; 5; 6; 7} S={(x; y)ÎN ´ M /x < y}

50


Regla de correspondencia


Ejercicios resueltos sobre relaciones En cada uno de los siguientes ejercicios se da el conjunto de partida y el de llegada y se define una relación. · Representa la relación con un diagrama de flechas y uno de coordenadas. · Expresa la relación como un conjunto de pares ordenados. · Indica el dominio y el rango de la relación. Eje rcic io R=

1

A={enero, febrero, marzo, abril} B={27; 28; 29; 30; 31}

Resolución: Diagrama de flechas Diagrama de flechas

x ; y g Î A ´ B /" x tiene y días "r b m

Nota: los elementos del conjunto B corresponden a un año bisiesto. Resolución:

T

C 1

lápiz

3

R

B

geranio

4

27

Enero

eucalipto

2

Diagrama de flechas

A

D

murciélago

5

28

Febrero

29

Marzo

Diagrama de coordenadas Diagramas de coordenadas

30

Abril

D

31

murciélago geranio

Diagramas de coordenadas Diagrama de coordenadas

lápiz

B eucalipto

31 30

1

2

3

4

5

C

29 28 27 enero

febrero marzo

abril

A

R={(enero; 31) , (febrero; 29) , (marzo; 31) , (abril; 30)} Dominio de R={enero, febrero, marzo, abril} Rango de R={31; 29; 30} Eje rcic io 2 C={1; 2; 3; 4; 5} D={eucalipto, lápiz, geranio, murciélago}

b g

T={ x ; y Î C ´ D /“x es el número de vocales de la palabra y”}

T={(2; lápiz), (4; geranio), (5; eucalipto), (5; murciélago)} Dominio de T ={2; 4; 5} Rango de T ={lápiz, geranio, eucalipto, murciélago} Eje rcic io 3 dro de edades: Alumno Martín Víctor Sara Kike Nataly

Con respecto al siguiente cua-

Edad

Alumno

Edad

11 años 10 años 12 años 13 años 12 años

Juan Manuel Ángel Vanessa Erika

11 años 13 años 10 años 12 años 11 años


51

Manuel Coveñas Naquiche Se definen los conjuntos: A={Martín, Víctor, Sara, Kike, Nataly} B={Juan, Manuel, Ángel, Vanessa, Erika} y la relación:

así: A={5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} B={3; 6; 9; 12; 15}

b g

T={ x ; y Î A ´ B /“x tiene tantos años como y”} Resolución: Diagrama de flechas

T

A

B

·

Los pares ordenados (x; y) de la relación P tienen la condición que y = x + 1, es decir, la segunda componente es 1 unidad más que la primera. Diagrama de flechas

Martín

Juan

Víctor

Manuel

Sara

Ángel Angel

Kike

Vanessa

7

6

Nataly

Erika

8 9

9

P

A

B

5

3

6

12

10

Diagrama de coordenadas

15

11

B Erika Vanessa

Ángel Angel Manuel Juan

Martín Martin Víctor Sara

Kike Nataly

A

Diagrama de coordenadas B

T={(Martín; Juan) , (Martín; Erika) , (Víctor; Ángel) , (Sara; Vanessa) , (Kike; Manuel) , (Nataly; Vanessa)}

15 12 9

Dominio de T={Martín, Víctor, Sara, Kike, Nataly}

6

Rango de T={Juan, Manuel, Ángel, Vanessa, Erika}

3

Eje rcic io

4

l q B = l 3 x / x Î IN ; 0 < x < 6q P = m x ; y g Î A ´ B / y = x + 1r b A = x / x Î IN ; 4 < x < 12

5

6

7

8

P={(5; 6), (8; 9), (11; 12)}

Resolución:

Dominio de P={5; 8; 11}

·

Rango de P={6; 9; 12}

Los conjuntos A y B por extensión se expresan

52


9

10

11

A



Determina por extensión cada relación siguiente:

a) R : A Ý B

b) S : C Ý D B

A 5

9

2

1

6 7 8

12

3 4 5

6

15 16

c) T : E Ý F

Eje rcic io 2

D

C

12 15

d) V : G Ý H


A = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} B = {4; 7; 10; 13} y la relación R = {(x; y) Î A x B/x = y} a) Determina la relación R por extensión. b) Halla el dominio y rango de la relación. c) Representa la relación con un diagrama sagital. d) Representa la relación con un diagrama cartesiano.


53


Eje rcic io 3


M = {0; 6; 9; 12; 15} N = {1; 2; 3; 4; 5} y la relación R = {(x; y) Î M x N/x es el triple de y} a) Determinar la relación R por extensión. b) Halla el dominio y rango de la relación. c) Representa la relación con un diagrama sagital. d) Representa la relación con un diagrama cartesiano. Eje rcic io 4


P = {1; 3; 4; 12} Q = {2; 6; 8; 10} y la relación R = {(x; y) Î P x Q/x · y = 24} a) Determinar la relación R por extensión. b) Halla el dominio y rango de la relación. c) Representa la relación con un diagrama sagital. d) Representa la relación con un diagrama cartesiano. Ejercicio 5 Dados los conjuntos: U = {x + 4/x ÎN, 3 < x < 8} V = {3x/x ÎN, 1< x

4}

y la relación R = {(x; y) Î U x V/y = x - 2} a) Determinar la relación R por extensión. b) Halla el dominio y rango de la relación. c) Representa la relación con un diagrama sagital. d) Representa la relación con un diagrama cartesiano. Eje rcic io 6 La tabla siguiente muestra los pesos en kilogramos de cuatro estudiantes: Estudiantes

54

Pesos en kg

Si A = {Alberto, Carlos, Francisco, Rafael}

Alberto

58

y la relación R = {(x; y) Î A x A/x pesa 4 kg más que y}

Carlos

65

a) Determinar la relación R por extensión.

Francisco

61

Rafael

62


b) Halla el dominio y rango de la relación. c) Representa la relación con un diagrama sagital.


Numeración

2 Introducción

Un comerciante de pantalones acostumbrado a comprar por docenas se sorprende al observar en un taller de confecciones el siguiente aviso: Las ventas a partir de hoy se harán por ‘‘Pentenas’’. Cada pentena consta de 5 pantalones y cuesta S/. 160. Haga sus pedidos y efectúe sus calculos pensando en los grupos de 5 pantalones que ha escogido. Gracias por su comprensión. La administración. El comerciante desea comprar 2 docenas de pantalones y se imagina las pentenas que puede formar con las 2 docenas de pantalones.

•

Sistema de numeración decimal En el sistema de numeración decimal se utilizan sólo diez símbolos para representar cualquier número. Las diez cifras llamadas dígitos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. El valor de cada dígito en un número está en relación a la posición que ocupa. Cada cifra ubicada a la izquierda de otra aumenta diez veces su valor. 8a

7a

6a

5a

4a

3a

2a

1a

Decena de millón Unidad de millón Centena de mil Decena de mil Unidad de mil Centena Decena Unidad DMi

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

10 000 000

1 000 000

100 000

10 000

1 000

100

10

1


6 3

Manuel Coveñas Naquiche Observa cómo podemos descomponer de distintas formas un mismo número: Descomposición según el nombre de la posición de cada dígito. Número: 34 759 286

Descomposición según el valor posicional de cada dígito Descomposición según el valor por unidades de cada dígito.

3DMi + 4UMi + 7 CM + 5DM + 9 UM+2C+8D+6U

30 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 50 000 + 9 000 + 200 + 80 + 6

(3×10 000 000) + (4×1 000 000) + (7×100 000) + (5×10 000) + (9×1000) + (2×100) + (8×10) + (6×1)

Taller de ejercicios 11 1 Completa la tabla efectuando la descomposición del número según el nombre de la posición de cada dígito. Número

Descomposición según el nombre de la posición

3 576 427 6 508 009 28 307 406 64 092 500 89 004 901 2

Completa la tabla efectuando la descomposición del número según el valor posicional de cada dígito. Número

Descomposición según el valor posicional

8 365 709 5 901 630 12 089 346 27 657 008 69 300 504

6 4



•

Sistema posicional de numeración

Es un conjunto de principios que permiten la correcta formación, escritura y lectura de los números.

•

Principios fundamentales a) Del orden. Toda cifra que forma parte de un número ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda.

Nota

Si se indica el “lugar” sería de izquierda a derecha.

Ejemplo: Sea el número: 8 395 124

8 3 9 5

1 2 4 1er orden orden 1°. do 2 orden orden 2°. 3er orden orden 3°. 4°. 4to orden orden to 5°. 5 orden orden to 6°. 6 orden orden mo 7°. 7 orden orden

•

1er lugar lugar 1°. 2°. 2dolugar lugar 3°. 3er lugar lugar to 4°. 4 lugar lugar to 5°. 5 llugar ugar 6°. to 6 lugar lugar 7°. 7molugar lugar 8 3 9 5

1 2 4

Valor absoluto y valor relativo de una cifra en un número I)

Valor absoluto (V.A.) Es el valor que tiene la cifra por su representación, no se toma en cuenta la posición de la cifra.

Ej emplo

1

II)

Valor relativo (V.R.) Es el valor que tiene la cifra, de acuerdo a la posición que ocupa dentro del número.

Ej emplo

2

368 527

8 395 124 V.A. = 4 V.A. = 2 V.A. = 1 V.A. = 5 V.A. = 9 V.A. = 3 V.A. = 8

V.R. = 4 × 10 0 V.R. = 2 × 10 1 V.R. = 1 × 10 2 V.R. = 5 × 10 3 V.R. = 9 × 10 4 V.R. = 3 × 10 5 V.R. = 8 × 10 6

V.A. = 7 V.A. = 2 V.A. = 5 V.A. = 8 V.A. = 6 V.A. = 3

V.R. = 7 × 10 0 V.R. = 2 × 10 1 V.R. = 5 × 10 2 V.R. = 8 × 10 3 V.R. = 6 × 10 4 V.R. = 3 × 10 5

b) De la base. Todo sistema de numeración tiene una base, la cual es un número entero positivo mayor que 1, que nos indica el número de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. c ) De las cifras. Las cifras que forman un numeral deben ser enteros positivos, donde la cifra que ocupa el primer lugar debe ser diferente de cero y todas las cifras deben ser menores que la base. Sexto Grado de Primaria

6 5

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo: Se tiene un salón compuesto por veintitrés alumnos, ubicados tal como se indica a continuación:

8

Se forman 23 grupos de 66 alumnos Sobran 5 alumnos

Considerando los principios de la base y de las cifras, tenemos los principales sistemas de numeración.

6 6


3

5(6)

2°

1°

: 35(6) Orden


Taller de ejercicios 12 1

2

En cada fila siguiente tarja el número que está mal escrito y explica ¿por qué? a)

503(6)

;

712(8)

;

104(3)

;

26(7)

b)

834(6)

;

602(8)

;

523(6)

;

103(2)

c)

12302(3)

;

10111(2)

;

3 014(5)

;

666(7)

d)

102120(3) ;

40512(6)

;

31052(4)

;

801(9)

En el sistema quinario: a) ¿Cuál es el menor número de tres cifras diferentes? b) ¿Cuál es el mayor número de tres cifras diferentes? c) ¿Cuál es el menor número de tres cifras pares diferentes? d) ¿Cuál es el mayor número de tres cifras impares diferentes?

3

En el sistema octal: a) ¿Cuál es el menor número de cuatro cifras? b) ¿Cuál es el mayor número de cuatro cifras? c) ¿Cuál es el menor número de cuatro cifras diferentes? d) ¿Cuál es el mayor número de cuatro cifras diferentes? e) ¿Cuál es el menor número de cuatro cifras pares diferentes? f) ¿Cuál es el mayor número de cuatro cifras impares diferentes?


6 7


•

Sistema binario

El sistema de numeración binario es el sistema de base 2. Este sistema utiliza sólo dos símbolos: 0 y 1. Cualquier número puede expresarse como una combinación de los símbolos 0 y 1, teniendo en cuenta el siguiente principio: Dos unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Ej emplo

Ej emplo

1

2

Expresar el número 11 en el sistema binario

Expresar el número 13 en el sistema binario

Resolución:

Resolución:

Consideremos 11 bolitas. Cada bolita es una unidad de primer orden:

Vamos a usar las mismas figuras del ejemplo anterior: Þ Una unidad de 1° orden

Ahora formemos en grupos de 2:

Þ Una unidad de 2° orden Þ Una unidad de 3° orden

Si cada grupo de 2 unidades lo representamos por un rectángulo tedríamos:

Þ Una unidad de 4° orden Recordemos que, según el principio de la base

Notar que un rectángulo es una unidad de segundo orden, y un punto es una unidad de primer orden. Ahora, 2 rectángulos formarían una unidad de tercer orden y es necesario representarlo por algo, representémoslo por un cuadrado:

â â â

2 unidades de 1° orden forman una unidad de 2° orden 2 unidades de 2° orden forman una unidad de 3° orden 2 unidades de 3° orden forman una unidad de 4° orden, etc.

à

à

Agrupamos 13 Þ

Þ

Þ

Þ Þ

Þ

Þ Þ

Þ Þ

Pero 2 cuadrados forman una unidad de cuarto orden. Supongamos que un cubo representa a la unidad de cuarto orden: Atención

4° orden 3° orden 1

0

Rpta.


1

11=1011(2)

1011(2) se lee así: uno cero uno uno en base dos

6 8


Þ

à

Los casilleros en blanco se completan con ceros.


1

Rpta.


1

13 = 1101(2)

1101(2) se lee así: uno uno cero uno en base dos


•

Sistema Ternario

Este sistema utiliza tres símbolos: 0; 1 y 2. Su principio fundamental es: Tres unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Para expresar gráficamente un número en el sistema ternario, podemos ayudarnos con las mismas figuras que empleamos en el sistema binario, con la diferencia que ahora las agrupaciones se harán de tres en tres. Una unidad de 1° orden

=

Una unidad de 2° orden

=


=

Ejemplo


1

Resolución:

Expresar en el sistema ternario el número 7. Resolución: 7

Þ Þ

Þ

46 2° orden 1° orden 2

1

Rpta.: 7 = 21(3)

21(3) se lee así: dos uno en base tres. Ejemplo

2

Expresar en el sistema ternario el número 11. Resolución: 11 Þ

Þ

Þ

Þ

Þ 4° orden 3° orden 1

Rpta.

2° orden

0

2

4° orden 3° orden

11= 102(3)

1

2


1

102(3) se lee así: uno cero dos en base tres. Ejemplo

3

Expresar 46 en el sistema ternario.

Rpta.

46 = 1201(3)

1201(3) se lee así: uno dos cero uno en base tres.


6 9


Taller de ejercicios 13

• Ayúdate de la figuras , , realizar las siguientes conversiones: 1

y

Expresar 10 en el sistema binario

para 2

Expresar 12 en el sistema binario Resolución:

Resolución:

Rpta. 10 = _______ 3

Expresar 14 en el sistema binario

Rpta. 12 = _______ 4

Expresar 15 en el sistema ternario Resolución:

Resolución:

Rpta. 14 = _______ 5


6


Rpta. 20 = _______

7 0

Rpta. 15 = _______


Rpta. 32 = _______


•

Escritura de números consecutivos en cualquier base

Ya sabemos escribir números consecutivos en el sistema de numeración decimal (o sistema de base 10). Ahora escribiremos números consecutivos en otras bases; sólo hay que tener en cuenta que si estamos en el sistema de base n, n unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, en el sistema de base 5 se cumple que 5 unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden; 5 unidades de segundo orden forman una unidad de tercer orden; 5 unidades de tercer orden forman una unidad de cuarto orden, etc. Ej emplo 1 Escribe en base 2, los once números consecutivos que continúan a partir del número 101(2).

1

Resolución:

1

1

1

2

Estamos en el sistema binario y sólo se usan los dígitos 0 y 1. Entonces cada vez que en un orden se completan 2 unidades se pasa a 0 y se suma 1 al orden inmediato de la izquierda. +1 1

0

1

1

0

1

01

01

+1

1

0 1

01

01

+1

1

01

1

+1

1

01

10

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

+1

+1

1

0

1

1

0

2

+1

+1

+1

2

+1

0

1

1

+1

2

0 +1

1

1

1

+1

2

0

1 +1

2

1

1

2

Luego los once números consecutivos son: 10(3); 11(2); 12(3); 20(3); 21(3); 22(3); 100(3); 101(3);

0

102(3); 110(3); 111(3); 112(3).

+1

Ej emplo 3 Escribe los veinte primeros números de tres cifras en base 4. Resolución: El primer número de tres cifras en cualquier base es 100. Completamos el cuadro.

1

+1

1

0

+1

+1

1

1

1

+1

1

0

1

+1

1

+1

+1

1 00 1 00 00 00

Luego, los once números consecutivos son: 101(2); 110(2); 111(2); 1000(2); 1001(2); 1010(2);1011(2); 1100(2); 1101(2); 1110(2); 1111(2);10000(2)

Ej emplo 2 Escribe en base 3, los once nùmeros siguientes a 10(3). Resolución: En el sistema ternario sólo se usan las cifras 0; 1 y 2. Cada vez que en un orden se completan 3 unidades se pasa a 0 y se suma 1 al orden inmediato de la izquierda.

100 (4)

101 (4)

102 (4)

103 (4)

110 (4)

111 (4)

112 (4)

113 (4)

120 (4)

121 (4)

122 (4)

123 (4)

130 (4)

131 (4)

132 (4)

133 (4)

200 (4)

201 (4)

202 (4)

203 (4)

Ejemplo 4 Escribe los veinticuatro números que continúan después de 556(7) en el sistema heptanario. Resolución: 556 (7)

560 (7)

561 (7)

562 (7)

563 (7)

564 (7)

565 (7)

566 (7)

600 (7)

601 (7)

602 (7)

603 (7)

604 (7)

605 (7)

606 (7)

610 (7)

611 (7)

612 (7)

613 (7)

614 (7)

615 (7)

616 (7)

620 (7)

621 (7)

622 (7)


7 1


•

Representación literal de los números

Cuando no se conocen las cifras de un número, éstas se representan con letras y con una rayita arriba. Tener en cuenta las siguientes observaciones: La primera cifra de un número debe ser diferente de cero. Toda expresión entre paréntesis representa a una cifra. Las letras diferentes no necesariamente representan a cifras diferentes, salvo que se indique. Las letras iguales sí representan a cifras iguales.

â â â â Ejemplos: 1)

La representación ab se refiere a cualquiera de los noventa números que existen en base 10. Es decir:

â

ab Î {10; 11; 12; ...; 98; 99} 2)

â

xyz(6) representa a un número de tres cifras en base 6. xyz(6) Î {100(6); 101(6); 102(6);

3)

. . . ; 554(6); 555(6) } aaa(5) representa a cualquier número de tres cifras iguales en base 5. aaa(5) Î {111(5); 222(5) ; 333(5); 444(5)}

4)

a(2a)(3a) representa a un número de tres

•

Número capicúa

cifras en base de 10 que tiene la siguiente propiedad: La cifra de las unidades es el triple de la cifra de las centenas La cifra de las decenas es el doble de la cifra de las centenas. Sólo existen tres números que tienen la forma a(2a)(3a) que son precisamente los que se obtienen al reemplazar a por 1; 2 ó 3. a(2a)(3a) Î {123; 246; 369}

5)

a(a+1)(a+2) representa a un número de tres cifras consecutivas en base 10. a(a+1)(a+2) Î {123; 234; 345; 456; 567; 678; 789}

Son aquellos números cuyas cifras extremas y las equidistantes de los extremos, son iguales; es decir, se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Los números capicúas tienen la siguiente forma: â

Si son de dos cifras: aa

ejemplos: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99.

â

Si son de tres cifras: aba ejemplos: 171; 484; 676; 999; 505; etc.

â

Si son de cuatro cifras: abba

ejemplos 2 772; 1 991; 8 888; 6 006; etc.

â

Si son de cinco cifras: abcba

ejemplos: 17 471; 80 308; 69 196; etc.

Observación

7 2


Todo número de dos o más cifras iguales es capicúa.



Escribe los seis siguientes números consecutivos en la base que se indica:

a) 231(4); ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ b) 111(2); ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ c) 403(5); ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ d) 5(7)

; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________

e) 86(9) ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ ; ________ 2

Completa el siguiente cuadro escribiendo de menor a mayor los números consecutivos que faltan, en base 4:

3

Completa, escribiendo todos los números consecutivos de dos cifras en base 6.

10(6) 11(6) 12(6)

10(4) 11(4) 12(4) 21(4) 33(4)

102(4) 113(4) 54(6) 55(6)

4

Escribe el número anterior y el posterior en la base que se indica en cada caso.

23 (5)

24(5)

30(5)

60(9)

1001(2)

100 (2)

213(4)

13(6)

121(3)

616(7)

87(9)

404(5)

17(8)

212(3)


7 3


5

Escribe cuatro números que tengan la forma que indica la representación literal respectiva.

aabb

®

pq(3)

®

mmm(4)

®

(a–3)a(a+2) ® a(2a)b

•

®

Descomposición polinómica de un número

La descomposición polinómica es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman el número. El resultado de efectuar esta descomposición es el equivalente del número en base 10. Ejemplos: a) 2 8 6 = 2×102+8×10+6 V.R = 6 V.R = 8×10 V.R = 2×102 b) 9 8 1 4 2 = 9×104+8×103+1×102+4×10+2 V.R = 2 V.R = 4 × 10 V.R = 1 × 102 V.R = 8 × 103 V.R = 9 × 104 c) 1 0 1 1 2(3) = 1×34+0×33+1×32+1×3+2 =81+0+9+3+2=95 V.R = 2 V.R = 1 × 3 V.R = 1 × 32 V.R = 0 × 33 V.R = 1 × 34

7 4


d) a a b b(5) = a × 53 + a × 52 + b × 5 + b =125a +25a + 5b + b = 150a + 6b V.R = b V.R = b×5 V.R = a × 52 V.R = a × 53 Vemos que en la descomposición polinómica cada cifra se multiplica por la base elevada a un exponente igual al número de cifras que quedan a la derecha de la cifra considerada. En general A la derecha de a hay 5 cifras. A la derecha de b hay 4 cifras. A la derecha de c hay 3 cifras. A la derecha de d hay 2 cifras.

abcdef(n) = a × n5+b × n4+c × n3+d × n2+e × n+f



Descompón polinómicamente los siguientes números: a) 126 = 1 ×102 + 2 × 10 + 6 = 100 + 20 + 6 = 126 b) 237 = c) 4 135 = d) 10101(2) = e) 102(4) = f) 1202(3) = g) 10230(5) = h) 23a(5) = i) xyz(4)= j) ababa(3) =

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 Expresa “S” en el sistema decimal, si se cumple que: S = 214(5) + 48(9) Resolución: S = 214(5) + 48(9) S = (2 × 52 + 1 × 5 + 4) + (4 × 9 + 8) S = (2 × 25 + 1 × 5 + 4 ) + (4 × 9 + 8) S = (50 + 5 + 4) + (36 + 8) S = 59 + 44 Si 124(5) = ab , halla “a + b”.

Resolución: 124(5) = ab ; descomponemos polinómicamente el término del primer miembro.

1 × 52 + 2 × 5 + 4 = ab 1 × 25 + 2 × 5 + 4 = ab 39 = ab Identificando: Luego:

Eje rcic io 3

a=3 ; b=9

a + b = 3 + 9 = 12

Si 43(n)= 35, halla el valor de “n”.

Resolución: 43(n) = 35; descomponemos polinómicamente el término del primer miembro. 4 × n + 3 = 35 4n + 3 = 35 ® 4n = 32 32 n= =8 ® n=8 4 Eje rcic io 4

S = 103 Eje rcic io 2

Aplicando descomposición polinómica

¿Qué número en base 10 es

2130 12 ( (3) ) ?

Resolución: 2130 12

( (3) ) = 2130(5) ...... (I) * Convertimos 12(3) a base 10. 12(3) = 1 × 3 + 2 = 3 + 2 = 5 \ 12(3) = 5 •

Convertimos 2130(5) a base 10. 2130(5) = 2 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 0 = 2 × 125 + 1 × 25 + 3 × 5 = 250 + 25 + 15 Sexto Grado de Primaria

7 5

Manuel Coveñas Naquiche 2130(5) = 290 ....... (II) Reemplazamos (II) en (I):

Edad de Paola = 11001(2) = 1 × 24 + 1 × 23 + 1

2130 12 ( (3) ) = 2130(5) = 290

Ejercicio 5 Si 34(x) = 19, hallar el valor de x. Resolución:

= 16 + 8 + 1 = 25 años Edad de Beatríz = 10011(2)

Descomponiendo polinómicamente en el primer miembro tenemos:

= 1 × 24 + 1 × 2 + 1 = 16 + 2 + 1

34(x)= 19

= 19 años

3x+4=19

\

3x = 15 15 =5 \ x=5 x= 3 Ejercicio 6 Si aaa(7) = 114, ¿cuál es el valor de a? Resolución: aaa(7) = 114 2 a· 7 +a·7 + a= 114 49a+7a+a=114 57a=114 114 =2 \ a=2 57 Ejercicio 7 Hallar “a” si: a=

Suma de edades = 25+19=44 años

Ejercicio 9 La suma del mayor número de tres cifras en base 3, con el mayor número de dos cifras en base 5, se expresa en el sistema decimal como ab. Calcular a2+b2. Resolución: El mayor número de tres cifras en base 3 es: 222(3) El mayor número de dos cifras en base 5 es: 44(5) Según datos del problema 222(3)+44(5) = ab Descomponiendo polinómicamente en el primer miembro: (2 × 32 + 2 × 3 + 2) + (4 × 5 + 4) = ab 18 + 6 + 2 + 20 + 4 = ab

333(4) = aa3(5) Resolución: 333(4) = aa3(5) 3·42+3·4+3 = a·52+a·5+3 3·16+12+3 = 30a+3 60 = 30a \ a=2 Ejercicio 8 Las edades de Paola y Beatriz se expresan en el sistema de numeración binario como 11001(2) y 10011(2) respectivamente. Hallar la suma de sus edades en el sistema decimal. Resolución: Para expresar dichas edades en el sistema decimal, tenemos que hallar el resultado de la descomposición polinómica.

50=a b a= 5 ; b=0 a2 + b 2 = 52 + 02 = 25 + 0 = 25 \ a2+b2 = 25 Ejercicio 1 0 Un número se escribe en base 10 como aaa; y en base 7 como (a+3)(a+2)(a+1)(7), ¿cuál es el valor de a? Resolución: Según datos del problema: aaa = (a+3)(a+2)(a+1)(7) Descomponiendo polinómicamente en ambos miembros: a · 102 + a · 10 + a = (a+3)·72+(a+2)·7+(a+1) 100a + 10a + a = (a+3) · 49 + 7a + 14 + a + 1

7 6


Sexto grado de primaria 111a = 49a + 147 + 7a + 14 + a + 1 111a = 57a + 162

74+49x= 266 + x 49x–x= 266 – 74

54a = 162

48x= 192

a = 162 = 3 \ a = 3 54 Ejercicio 1 1 se cumple que:

¿En qué sistema de numeración 13+12=30 ?

Resolución: Sea “x” la base del sistema de numeración en el cual se cumple tal suma. Entonces: 13(x)+12(x)= 30(x) Descomponiendo polinómicamente: (1·x+3)+(1·x+2) = 3·x+0 x+3+x+2 = 3x 2x+5 = 3x x=5 La base 5 corresponde al sistema quinario \ Se cumple en el sistema quinario. Ejercicio 1 2

Hallar x si:

2xx(6)+xx2(6) = 2+112x(6) Resolución: Descomponiendo polinómicamente: 2xx(6) = 2 · 62 + x · 6 + x = 2 · 36 + 6x + x = 72 + 7x xx2(6) = x · 62 + x · 6 + 2 = 36x + 6x + 2 = 42x + 2 112x(6)= 1 · 63 + 1 · 62 + 2 · 6 + x = 216 + 36 + 12 + x = 264 + x Reemplazando en: 2xx(6) + xx2(6) = 2 + 112x(6) 72+7x+42x+2= 2 + 264 + x

\

x=

192 =4 48

Ejercicio 1 3 Hallar a + b si: aa(7) = 1012(3) ; bb(6) = 1022(3) Resolución: Hallamos el valor de a: aa(7) = 1012(3) a· 7+a = 1 × 33 + 1 × 3 + 2 7a + a= 27 + 3 + 2 8a = 32, entonces a =

32 =4 8

Hallamos el valor de b: bb(6) = 1022(3) b·6+b=1×33+2×3+2 6b+b=1×27+6+2 7b = 27+6+2 35 =5 7 Finalmente: a + b = 4 + 5 = 9 7b = 35, entonces b =

Ejercicio 1 4 Delia sale de compras con S/. 320(4) y su hermana Carmen con S/. 223(4) más. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos? Resolución: Dinero que tiene Delia: 320(4) = 3 × 42 + 2 × 4 + 0 = 3 × 16 + 8 = 48 + 8 = S/. 56 Dinero que tiene Carmen: 56 + 2234 = 56 + 2 × 42 + 2 × 4 + 3 = 56 + 2 × 16 + 8 + 3 = 56 + 32 + 8 + 3 = S/. 99 Dinero que tienen entre las dos: = 56 + 99 = S/. 155 Sexto Grado de Primaria

7 7



Hallar x si: 64(x) = 52

2

Hallar (a2+1) si: aaa(8) = 438 Resolución:

Resolución:

Rpta. a2+1=37

Rpta. x = 8 3

4

Si 2aa(4) = 37, hallar a. Resolución:

Hallar n si: 23(n) + 14(n) = 22 Resolución:

Rpta. n = 5

Rpta. a = 1

5

Hallar (a3 - 1) si: 5aa(6) + aaa(6) = 330

6

Resolución:

Resolución:

Rpta. a3-1 = 26

7 8


Hallar x si: xx(3) + xx(4) = 18

Rpta. x = 2


7

Si 112(3)+1011(2) = ab hallar (a+b).

8

Hallar a si: a42(5) = aa5(6) Resolución:

Resolución:

Rpta. a+b=7 9

¿En qué sistema de numeración se cumple que: 14+16=32 ?

Rpta. a = 1 10

En un paseo Clarisa se tomó 121(3) fotos y Ana María 100(2) fotos más que Clarisa. ¿Cuántas fotos se tomaron entre las dos? Resolución:

Resolución:

R pt a . 11

María Andrea quiere comprar una cartera que cuesta S/. 11001(2) y sólo tiene S/. 10011(2). ¿Cuánto le falta? Resolución:

Rpta. 36 fotos 12

En el año 2006 la edad de Sandra equivalía a la diferencia entre el mayor número de dos cifras en base 6, y el menor número de tres cifras en base 4. ¿En qué año nació Sandra? Resolución:

Rpta. S/. 6

Rpta. 1987


7 9


•

Cambios de base

I.

De una base diferente de 10 a base 10

Un número que está escrito en una base diferente de 10 se transforma a base 10 mediante la descomposición polinómica. Ejem plos 1

Convertir 11011(2) a base 10.

2

Expresar 2117(8) a base 10.

Resolución:

Resolución:

11011(2) = 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 2 + 1

2117(8) = 2 × 83 + 1 × 82 + 1 × 8 + 7

= 1 × 16 + 1 × 8 + 2 + 1

= 2 × 512 + 1 × 64 + 8 + 7

= 16 + 8 + 2 + 1

= 1024 + 64 + 8 + 7

= 27

= 1103 \

\

11011(2) = 27

3

Transformar aa2(5) a base 10.

4

Resolución:

2117(8) = 1103 Representar abab(2) en el sistema decimal. Resolución:

aa2(5) = a · 52 + a · 5 + 2

abab(2) = a · 23 + b · 22 + a · 2 + b

= 25a + 5a + 2

= 8a + 4b + 2a + b

= 30a + 2

= 10a + 5b

aa2(5) = 30a + 2

\

abab(2) = 10a + 5b

II. De base 10 a una base distinta Para convertir un número de base 10 a otra base, se divide el número dado entre la base a la cual se desea transformar, si el cociente es mayor que el divisor se continúa con la división hasta obtener un cociente menor que la base. Este procedimiento se llama divisiones sucesivas. Ejem plos 1

Convertir 37 a base 3.

\

Convertir 166 al sistema quinario. Resolución:

Resolución: 37 3 1 12 3 0 4 1

2

El sistema quinario es el sistema de base 5. 3 1

166 5 16 33 1 3

37 = 1101(3) \

8 0


5 6 1

5 1

166= 1131(5)


¿Cómo se expresa 25 en el sistema binario?

4

Resolución:

Resolución:

El sistema heptanario es el sistema de base 7.

El sistema binario es el sistema de base 2. 25 2 1 12 0

\

2 6 0

2 3 1

Transformar 360 al sistema heptanario

360 7 10 51 7 3 2 7 7 0 1 0

2 1

25 = 11001(2)

\

360 = 1023(7)

III. De una base distinta de 10 a otra también distinta de 10 En este caso primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada, haciendo uso de los métodos expuestos en los casos anteriores. Ejem plos 1

– –

Expresar 1201(3) en el sistema cuaternario (sistema de base 4.)

2

Resolución: – Pasamos 42(5) a base 10: 42(5) = 4×5+2=22 – Pasamos 22 a base 2: 22 2 0 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1

Resolución: Primero pasamos 1201(3) al sistema decimal: 1201(3) = 1×33+2×32+1 = 46 Ahora pasamos 46 a la base 4: 4 46 2 11 4 3 2 \

1201(3) = 232(4)

\

Ejercicio resueltos

42(5)= 10110(2) Asociados al cambio de base à

Pasamos a base 8.

143 se expresa en el sistema de base 8 como abc(8) significa que: 143 = abc(8)

Está en Están base 8.

à

143 8 63 17 84 71 1 2

à

1 4 3 = abc(8)

Eje rcic io 1 Calcular a+b+c si 143 se expresa en el sistema octanario como abc(8) Resolución: El sistema octanario es el sistema de base 8. Si

Para hallar los valores de los dígitos a, b y c se sugiere que ambos miembros de la igualdad estén expresados en la misma base.

Convertir 42(5) al sistema binario.

143 = 217(8) = abc(8) Comparando: a = 2; b = 1; c = 7 \

a+b+c = 2+1+7 = 10 Sexto Grado de Primaria

8 1

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 2 Hallar (a+b)2 si: aabb(6) = 1068(9) Resolución: aabb(6) = 1068(9) à

à

Está en base 6

Debe estar en base 6

242 624 7 32 34 7 4 6 4

242 = 464(7) = ana(7) entonces a = 4 ; n = 6 Ahora transformamos aaaa(5) a la base n aaaa(5) = 4444(5) Þ base n = 6 4444(5) = 4×53+4×52+4×5+4=624

Pasamos 1068(9) a base 6. 1068(9) = 1×93 + 6×9+8 = 791 791 6 19 131 6 11 11 21 6 5 5 3 3

624 6 24 104 6 0 44 17 6 0 2 5 2

1068(9)=3355(6)

aaaa(5) = 4444(5) = 2520(6) Luego:

\ aabb(6) = 3355(6) a=3 ; b=5

\

(a+b)2 = (3+5)2 = 82 = 64

Eje rcic io 3 El número 100 se expresa en base 6 como abb(6). ¿Cómo se expresa aaa(b) en base 10? Resolución: Se sabe que 100 = abb(6). Pasamos 100 a base 6: 100 6 40 16 6 4 4 2

100 = 244(6) = abb(6) entonces a = 2 ; b = 4 Debemos convertir aaa(b) a base 10. aaa(b) = 222(4) = 2×42+2×4+2=42 \

aaa(b) = 42

Eje rcic io 4 Al expresar 242 en base 7 se obtuvo ana(7). Calcular la suma de cifras al expresar aaaa(5) en base n. Resolución: Convertimos 242 a base 7.

8 2


Suma de cifras = 2+5+2+0=9

Eje rcic io 5 En la figura las longitudes de los lados del triángulo ABC están expresados en el sistema ternario. B 22(3)

20(3) A

C

101(3)

¿Cómo se expresa el perímetro del triángulo ABC en el sistema binario? Resolución: El perímetro del triángulo ABC es la suma de las longitudes de sus tres lados. Hallamos el perímetro en el sistema decimal: AB = 20(3) = 2 × 3 + 0 = 6 BC = 22(3) = 2 × 3 + 2 = 8 AC = 101(3)= 1 × 32 + 0 × 3 + 1 = 10 Perímetro = AB + BC + AC = 6 + 8 + 10 = 24. Convertimos 24 a base 2: 24 2 0 12 2 0 6 2 0 3 2 1

\

Perímetro = 11000(2)

1



Realiza en tu cuaderno las siguientes conversiones: a) 1011(2) a base 10. b) 43(5) a base 10. c) 211(7) a base 10. d) 21100(3) a base 10. e) 1014(8) a base 10. f) 1241(6) a base 10. g) 27 a base 4. h) 16 a base 3.

2

Realiza en tu cuaderno las siguientes conversiones: a) 76 a base 5. b) 31 a base 2. c) 1064 a base 9. d) 867 a base 6. e) 11011(2) a base 3. f) 422(8) a base 6. g) 341(7) a base 9. h) 2011(4) a base 8.

3

Hallar a × b si: abba(5) = 342

4

Calcular (a+n+a)n si: 144(6) = ana(7)

Rpta. (a+n+a)n = 16

Rpta. a × b = 6 5

Calcular a+n+g+e+l Si angel(5) = 1687(9)

6

Rpta. a+n+g+e+l = 10 7

Las longitudes de los lados de un triángulo ABC se expresan en el sistema binario así: AB = 1101(2) BC = 101(2) AC = 1100(2) Expresar el perímetro en el sistema ternario. Rpta. Perímetro = 1010(3)

El número 546 se expresa en base 5 como pepe(5). ¿Cómo se expresa eeee(p) en base 10?

Rpta. eeee(p) = 85 8

En un restaurante hay 1001(2) mesas, y en cada mesa hay 111(2) comensales. Si en total hay ab00(3) comensales, ¿cuál es el valor de a+b+ab?

Rpta. a+b+ab = 24


8 3


Ejercicios de reforzamiento Nivel I 8 1

El valor relativo de la cifra 5 en el núme ro 15 470 es: A) 5 000

2

B) 50 E) 5 000

B) 2 530 E) 2 030

A) 2 9

¿Cuáles son las cifras disponibles en el sistema senario?

B) 36

C) 49 D) 64

10 Elizabeth sale de compras con S/. 315 (6) y su hermana con S/. 333 (5) más que Elizabeth. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos? A) S/. 400 D) S/. 331 11

B) S/. 441 C) S/. 321 E) Faltan datos

A) 414 (7)

B) 2011 (2) C) 35 (8)

D) 1102 (3)

E) 821 (9)

A) 1

¿En cuál de las alternativas está mal es crito un número?

Si los siguientes numerales 31n (7) ; 1054 (n) están bien representados, ¿cuál es el valor de n? B) 1

C) 3

D) 5

B) 3

C) 5

D) 6

E) 4

Se conoce que 4a1( 5 ) = 232( 7 ) , ¿cuál es el valor de a? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0

E) 6 Exprese el número 58 en base 3.

Si el numeral (a + 2)78 es capicúa, calcu lar 5a – 1.

A) 201 (3)

B) 210 (3) C) 2222 (3)

A) 19

D) 2011 (3)

E) 1021 (3)

B) 49 C) 34 D) 44

E) 29 14

Se tiene: K = 312 (4) + 75 (9) . Exprese el resultado de K en el sistema decimal. A) 122 D) 132

8 4

E) 6

Si se sabe que xy ( x + 1) = 142 , ¿cuál ( 6 ) A) 25 E) 81

13

7

D) 9

La edad de Sandra es 302 (4) y la de Án gel 1002 (3) . ¿Cuánto años como mínimo deben transcurrir para que la suma de sus eda des sea un cuadrado perfecto?

A) 0 6

C) 8

es el valor de: (x + y) 2

12 5

B) 7

C) 5 302

A) 1; 2; 2; 4; 5 B) 2; 4;6 C) 0; 1; 2 D) 0;1 ;2; 3; 4; 5 E) 1; 3; 5 4

¿cuál es el valor de a + b?

2 unidades de millar, 3 decenas y 5 cente nas es la descomposición de un número. ¿Cuál es dicho número? A) 2 850 D) 5 320

3

C) 500 D) 15

Si ab( 6 ) + ba( 6 ) = 56 ,

B) 118 E) 123


C) 141

Si 137 se expresa en el sistema quinario como mnpq , calcule el valor ( 5 ) de m + n + p + q A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4


A) 39 E) 48

Dada la igualdad: aabc ( 4 ) = 160( 7 ) Calcular (a + b + c) c A) 216 343

B) 667 E) 512

C) 125 D

)

8

9

valores de x si 14 ( x - 6 )

( 7 ) es de 3 cifras y está correctamente escrita.

2

B) 63 E) 64

C) 66 D

3

A) 41

B) 57 C) 58 D) 62 E) 59

A) 6 11

5

¿Qué número es mayor? A) 123 (5)

B) 431 (6)

D) 1421 (5)

E) 435 (7)

6

E) 2

D) 3

E) 7

( 7 )

es de

tres cifras y está correctamente escrito. B) 9

C) 12 D) 8 E) 11

(32 (2 ) )

en el sistema de

B) 83

C) 72 D) 81

13 Exprese 1234 (5) en el sistema nonario y de como respuesta el mayor de los dígitos. D) 5

E) 1

xx (8 ) = 223( 5 ) ; yy ( 5 ) = 120( 4 )

B) 9

C) 5

res naturales de y, si 35 ( 2y - 5 )

A) 64 E) 79

Calcula el valor de x + y si se cumple:

A) 8

D) 5

cimal.

¿Cuál es el valor de x? C) 3

B) 4

C) 1112 (4)

xxx ( 7 ) + xxx ( 5 ) = x31( 9 )

B) 2

C) 4

12 Represente 123

Dada la ecuación siguiente:

A) 4

B) 1

Calcula la suma de todos los posibles valo

A) 7 4

E) 5

correctamente escrito, hallar el valor de a – 1.

D) 3 E) 4

¿Cuántos números naturales existen en tre 32 (6) y 86 (9) ?

D) 4

10 Si ( a - 6 )( a + 4 ) 9(12 ) es de 3 cifras y está

¿cuál es el valor de x? C) 2

C) 2

Si abc ( 5 ) = 89 , halle el valor de:

A) 3

( )

B) 0

B) 1

a 2 + b2 + 2b - c + 3

)

Si se cumple la igualdad: x 21 = 57 , 4 A) 1

Si a ( a + 1) a( 7 ) = 178 , ¿cuál es el valor de A) 3

Calcular la suma de todos los posibles

A) 57 71

C) 52 D) 61

a?

Nivel II 1

B) 44

C) 10 D) 11 E) 12

7 La suma entre el mayor número de tres cifras en base 4, con el mayor número de dos cifras en base 9, se expresa en el sis tema decimal como abc. ¿Cuál es el valor de a + b 2 + c 3 ?

A) 4 D) 6

B) 7 E) 3

C) 5

14 Represente 10111 (4) en el sistema heptanario. A) 1022 (7)

B) 144 (7)

D) 644 (7)

E) 601 (7)

C) 544 (7)


8 5

Manuel Coveñas Naquiche A) 10010 (2) B) 11000 (2) C) 10101 (2)

15 En la figura las longitudes de los lados del triángulo ABC están expresadas en el sistema quinario.

D) 10100 (2) E) 10110 (2) 5 Calcular: a + b + c Si aabca( 5 ) = 3215(9 ) A) 1 6

B) 1021 (3)

D) 1011 (3)

E) 1202 (3)

C) 1002 (3)

2

C) 5

D) 2

E) 1

La suma de tres números es cuatro millo nes novecientos mil quinientos sesenta y cuatro. El primer sumando es el triple de sesenta y siete mil ocho y el tercero es la mitad de nueve millones trescientos mil doscientos ocho. ¿Cuál es el valor relativo de la menor cifra del segundo sumando? A) 30 D) 60

3

B) 3

B) 20 E) 50

5 × 7 2 + 2 × 7 + 1 = def (m )

( a - 3 )( 3b - 1)( 2b )( 3c + 2 )( c - 1) Hallar el valor de: b × c + a. B) 8 E) 7

C) 9

4 Al sumar los cuatro primeros números de tres cifras en base 2 se obtiene:

8 6


A) 10000 (2) B) 10110 (2) C) 100010 (2) D) 11001 (2) E) 101110 (2) 7 El número: tres, uno, cinco en base seis escrito en la base octanaria es: A) 156 (8)

B) 167 (8)

D) 173 (8)

E) 166 (8)

C) 172 (8)

8 Si los números: 212 (a) y ( a + 1)( a + 1)( 5 ) escritos en base 10 representan a dos números consecutivos, hallar el valor de (2a + 3)(3a – 2) A) 65 D) 81

B) 174 E) 63

C) 53

Clave de respuestas

C) 40

Dado el numeral capicúa:

A) 10 D) 4

E) 4

Expresar “a + b + d +e + f + m + n” en el sistema binario.

En un número de 5 cifras diferentes entre sí y de cero, se observa que la suma de las cifras del primer y quinto orden es menor que la cifra de tercer orden. Si di cho número es el menor posible, ¿cuánto le falta para ser igual a 146 022? Dar como respuesta la cifra que ocupa las UM. A) 4

D) 5

7 × 8 + 4 = ab ( n )

Problemas de olimpiadas 1

C) 3

Las siguientes expresiones son descom posiciones polinómicas de los numera les que se indican.

¿Cómo se expresa el perímetro del trián gulo ABC en el sistema ternario? A) 1111 (3)

B) 2

Nivel I 1. E 6. E 11. A 1. B 6. D 11. C 1. B 6. C

2. B 7. A 12. D

3. D 8. C 13. D

4. B 9. D 14. D

Nivel II 2. D 3. B 4. D 7. B 8. A 9. C 12. B 13. C 14. C Problemas de olimpiadas 2. A 3. A 4. E 7. B 8. E

5. E 10. D 15. A 5. A 10. A 15. B 5. C


•

Números romanos Los romanos usaron siete signos para escribir sus números. SIGNOS FUNDAMENTALES I=1

;

X = 10 ;

SIGNOS AUXILIARES

C = 100

V= 5

M = 1 000

D = 500

;

L = 50

En el sistema de números romanos no existe el cero. •

El uso de los signos se basa en los siguientes principios: 1)

Los signos fundamentales pueden repetirse tres veces. Los números representados de esta manera se determinan por adición. Ejemplos: III = 1 + 1 + 1 =3 ; XXX = 10 + 10 + 10 = 30 ; CC = 100 + 100 = 200

*

Los signos auxiliares no pueden repertirse. Ejemplos: VV = 5 + 5 = 10 (incorrecto) ; LL = 50+50 = 100 (incorrecto)

2)

Cuando se escribe a la izquierda de cualquier signo otro fundamental de menor valor, equivale a restar el segundo del primero. Ejemplos: IV = 5-1 = 4 ; XL = 50-10 = 40 ; CD = 500 - 100 = 400 Pero: I sólo puede aparecer antes de V o X. Lo reduce en 1. X sólo puede aparecer antes de L o C. Lo reduce en 10. C sólo puede aparecer antes de D o M. Lo reduce en 100. Para hacer posible la escritura de números romanos mayores que tres mil, se ha ideado una manera de multiplicar los signos por mil o por múltiplos de mil.

*

Una raya horizontal colocada sobre cualquier signo o grupo de signos lo multiplica por 1 000. Ejemplos: V = 5 000 ; XVIII = 18 000 ; LXI = 61 000 ; CCC = 300 000

*

Dos rayas horizontales colocadas sobre cualquier signo o grupos de signos lo multiplica por 1 000 000. Ejemplos: IX = 9 000 000 ; XLVIII = 48 000 000 ; LXI = 61 000 000 ; XX = 20 000 000


8 7



Hallar el valor de cada número romano siguiente aplicando la regla de la adición.

2

a) XXIII

=

h) XXVIII

=

b) XXXII

=

i) XXXVII

=

c) CCCXX

=

j) LVIII

=

d) CCXXX

=

k) DLX

=

e) MMMCC =

l) DCCCLX =

f) MMCCC

=

m) DXXXV =

g) MXXXII

=

n) MMDCVII =

Halla el valor de cada número romano siguiente aplicando la regla de la sustracción.

3

a) XXIV

=

h) LXXIX

=

b) XXIX

=

i) CXXIV

=

c) CXL

=

j) CXXIX

=

d) CXC

=

k) DCXL

=

e) MCD

=

l) DCXC

=

f) MCM

=

m) MCXL

=

g) LXXIV

=

n) MCXC

=

Cada número siguiente escríbelo en notación romana.

4

a) 89

=

g) 684

=

m) 5 766

=

b) 341

=

h) 798

=

n) 8 097

=

c) 675

=

i) 897

=

ñ) 286 000 =

d) 499

=

j) 1 209

=

o) 574 000 =

e) 567

=

k) 1 327

=

p) 675 000 =

f) 276

=

l) 4 628

=

q) 967 000 =

Une por medio de una flecha cada número romano con el valor que le corresponde. CDXXXVI

2 400

DCCCLXVII

1 235

DLXXVII

867

MCCCXLII

MCCXXXV

436

MMCD

1 342

MMDCCC

578

8 8


2 800

CCCXII MCCCXXVII

312 000 3 800

MMMDCCC

1 327

MMMDCCCXXV

3 825

LXIV MCCLXX

1 270

MMDCCLXIII

64 000

2 763


•

Adición y sustracción de números naturales Recuerda cómo se llaman los términos de la adición y de la sustracción. Adic ión

Sust rac ci ón

Propiedades de la adición Observa las propiedades que se cumplen en la adición.

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Propiedad aditiva del cero

En una adición, el orden de los sumandos no altera la suma.

En una adición se pueden agrupar los sumandos de diferentes maneras y la suma no cambia.

En una adición, cualquier número sumado con cero es igual al mismo número.

a+b=b+a (a+b) +c = a+ (b+c)

a+0 = a 0+a = a

Ejemplo: Ejemplo:

9 +9 1+12 23 =12 12 3 21

21

El cero es el elemento neutro de la adición.

(5+3)+8 = 5+(3+8)

Ejemplo:

8+8 = 5 + 11

123

12 4 4 3

16 = 16

25+0 = 25 0+25 = 25


En cada igualdad siguiente, escribe el nombre de la propiedad de la adición que se ha aplicado. a) 4 500 + 1 376 = 1 376 + 4 500 ................................................................... b) 1 200+(5 432+897) = (1 200+5 432)+897 ................................................. c) 8 947 + 0 = 8 947 ....................................................................................... d) 3 926 + 2 500 = 2 500 + 3 926 ................................................................... e) (985+6 475)+392 = 985 + (6 475+392) .....................................................


8 9


2

En cada igualdad siguiente interviene una letra. Escribe el valor de cada letra en el recuadro. (m+3 427) + 890 = 624+ (3 427+890) 3 286 + n = 375 + 3 286 24 729 + 0 = p

®

®

®

n = .................

p = .................

8 340 + (972 + q) = (8 340 + 972) + 2 049 3

m = .................

®

q = .................

Observa en los recuadros los valores de las letras m, n, p, q. m = 89 513

;

n = 720 512

;

p = 96 784

;

q = 384 673

Luego comprueba en tu cuaderno cada propiedad siguiente:

4

5

•

a) m+n = n+m

b) m+(n+p) = (m+n)+p

c) q+0 = q

d) n+p = p+n

e) (n+p)+q = n+(p+q)

f) p+0 = p

Comprueba en tu cuaderno que se cumple la propiedad conmutativa en las adiciones siguientes: a) 4 509 728 + 576 348 =

d) 3 567 469 + 2 089 726 =

b) 39 745 409 + 904 789 =

e) 7 049 209 + 5 076 368 =

c) 71 800 377 + 90 766 524 =

f) 46 029 307 + 2 041 099 =

Comprueba en tu cuaderno que se cumple la propiedad asociativa en la adiciones siguientes: a) (819 725 +95 714) + 1 384 265 =

d) 64 736 096 + (97 301 425+ 801 376) =

b) 467 321+(209 546+3 736 208) =

e) (105 903 744+97 405 368) + 208 749 =

c) (37 411 025+604 745)+901 847 =

f) 97 628 + (364 769+405 734) =

La sustracción La sustracción nos permite encontrar el sumando desconocido de una adición.

9 0

12 + ? = 20

? + 8 = 13

20 - 12 = 8

13 - 8 = 5



•

Propiedades de la sustracción

1.

La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo. M + S + D = 2M

Demostramos la propiedad: Sea: M – S = D ®

®

®

32 – 15 = 17 Luego: M + S + D = 2M ®

®

®

32 + 244 15 + 17 2(32) 144 3 =1 23 64 = 64 2. Si abc – cba = xyz ; a > c, se cumple: 1.° y=9 2.° x + z = 9 Demostramos la propiedad: abc – cba = xyz ®

®

®

743 – 347 = 396 522 – 225 = 297 432 – 234 = 198 Se observa en los ejemplos que la cifra central de la diferencia siempre es 9 y la suma de las cifras de las unidades y centenas es 9. Ejemplo:

Si abc – cba = 3mn

Hallar: (m – n)2 Resolución: Tenemos: abc – cba = 3mn Por propiedad: 1. m = 9 2. n + 3 = 9 n=6 Nos piden:

(m – n)2 = (9 – 6)2 = 32 = 9


9 1



Completa las dos sustracciones que corresponden a cada adición, en la recuadros. a) 28 746 + 9 328 = 38 074

38 074 - 28 746= ..................

38 074 - 9 328= .................... b) 37 476 + 24 628 = 62 104

.............. - ....................=.......... .............. - ....................=..........

c) 94 697 + 38 476 = 133 173

.............. - ....................=......... .............. - ....................=.........

2

Observa cada adición y completa la sustracción que permite hallar el sumando desconocido en cada caso.

a) 6 875 + ? = 9 384

b) ?+28 974 = 31 697 c) 14 679 + ? = 46 875 d) ? + 23 967 =41 586

9 3 8 4 - 6 8 7

5

2 5 0

9

3

4

Calcula en tu cuaderno y después coloca el sumando desconocido en estas adiciones. a) 849 625 + ..................... = 878 463

d)

..................... + 78 516 = 97 486

b) ..................... +39 697 = 78 475

e)

18 496 + ..................... = 126 474

c ) 67 218 + ..................... = 101 967

f)

..................... + 99 645 = 324 801

Completa las siguientes tablas. Sumando

Sumando

4 385 213

396 594 708 375

6 408 293

Minuendo Sustraendo Diferencia 308 709

1 285 215

45 874


3 400 200

201 784 21 098 59 301

8 501 430 278 596

9 2

Suma

509 600

29 796 275 867


En cada problema siguiente escribe y resuelve la operación que corresponde.

a) La suma de dos números es 36 487 y uno de ellos es 23 298. ¿Cuál es el otro número?

b)

Operación:

En una sustracción, el minuendo es 47 364 y la diferencia es 8 679. ¿Cuál es la suma del minuendo y el sustraendo? Operaciones:

Respuesta: La suma del minuendo y el sustraendo es .....................

Respuesta: El otro número es ................

c)

El Sr. Rodríguez ha comprado un terreno en S/. 49 285. ¿A cuánto debe venderlo para ganar S/. 8 970?

d)

En una resta el minuendo es 68 543 y la diferencia es 28 714. ¿Cúal es el sustraendo? Operación:

Operación:

Respuesta: El sustraendo es ............... ...............................

Respuesta: Para ganar S/. 8 970 debe venderlo en .................

e)

En una resta el sustraendo es 46 977 y la diferencia es 19 999, ¿cúal es el minuendo? Operación:

f)

A la diferencia entre 98 765 y 59 998 se le suma el número 36 967, ¿qué número se obtiene? Operaciones:

Respuesta: El minuendo es ...........

Respuesta: Se obtiene el número ............................


9 3

Manuel Coveñas Naquiche g)

Marilú vende una casaca a su amiga Beatriz en S/.175. Si le costo S/. 295, ¿cuánto perdió?

h) A la diferencia entre 123 567 y 99 308 se le suma la diferencia entre 401 997 y 399 401, ¿cuánto se obtiene?

Operación:

Operaciones:

Respuesta: Marilú perdió ...................

i)

La suma de los tres términos de una sus tracción es 294. Hallar el minuendo y dar como respuesta la suma de sus cifras.

Respuesta: Se obtiene .................

j)

Operación:

La suma de los términos de una sustrac ción es 648. Hallar la diferencia si el sustraendo es 154. Operacion:

Respuesta: ................... k) Si: abc – cba = 5mn Hallar: m – n

l)

Si: xyz – zyx = (a + 1)(b + 7)3 Hallar : abb + baa

Operación:

Operacion:

Respuesta: ...................

9 4

Respuesta: ................


Respuesta: .................


•

Frases numéricas de adición y sustracción Observa cómo podemos representar con símbolos matemáticos una frase numérica. Nueve más siete es igual a dieciséis.

Doce menos ocho es menor que cinco.

9 + 7 = 16

12 - 8 < 5

En una frase numérica se conoce el valor de todos sus términos. Un número más once es igual a veinte.

Diez menos un número es menor que cuatro.

? + 11 = 20

10 - ? < 4

En una frase numérica abierta no se conoce el valor de uno de sus términos.


Cada expresión siguiente represéntala con símbolos matemáticos. a) Un número más tres mil seiscientos es igual a cinco mil uno. b) Un número disminuido en doscientos cuatro es igual a ocho mil seis. c) Tres mil ochocientos nueve menos un número es igual a dos mil dos. d) Un número aumentado en tre mil noventa y cuatro es igual a nueve mil ochenta y seis.

2

•

Halla el término desconocido. a) 1 684 - ? = 199

d) ? + 8 997

= 12 789

b) ? - 8 475 = 17 654

e) 21 763 - ? = 6 971

c) 36 467 - ? = 21 398

f) ? + 797 695 = 1 359 201

Ejercicios combinados de adición y sustracción Veamos cómo se resuelven los ejercicios que presentan adiciones y sustracciones combinadas.

2 740 - ( 1 278 + 346 )

•

En los ejercicios que tienen paréntesis se resuelve primero la operación que está entre paréntesis.

•

En los ejercicios que no tienen paréntesis, las operaciones se resuelven en el orden que se presentan.

2 740 - 1 624 = 1 116 3 204 - 1 042 + 706 2 162 + 706 = 2 868


9 5



A continuación se presentan cuatro situaciones y cuatro operaciones que permiten resolverlas. Escribe en cada recuadro la operación que corresponde a la situación planteada y resuélvela. Sit uacio nes a)

Si a 387 694 le restas 129 289 y al resultado le sumas 97 873, ¿cuál es el resultado final?

b)

Si a 387 694 le restas la diferencia entre 129 289 y 97 873, ¿cuál es el resultado final?

c)

Si a 387 694 le sumas la diferencia entre 129 289 y 97 873, ¿cuál es el resultado final?

d)

Si a 387 694 le sumas 129 289 y al resultado le restas 97 873, ¿cuál es el resultado final?

Operaciones

2

9 6

e) (387 694 + 129 289) - 97 873

f) 387 694 - (129 289 - 97 873)

g) (387 694 - 129 289) + 97 873

h) 387 694 + ()129 289 - 97 873

Efectúa en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción. a) 23 437 - (12 698 - 10 345)

e) 18 744 + 15 631 - 8 976

b) 17 639 + (13 087 - 9 456)

f) 9 675 - 6 975 + 135 97

c) (38 573 - 25 097) - 5 478

g) 4 637 - (9 476 - 8 159) + (28 156 - 6 518)

d) 46 972 - (12 743 + 15 347) =

h) 18 546 - [70 000 - (83 409 - 226 98)]


Sexto grado de primaria i) [6 503 - (4 091 - 3 074)] + [17 109 - (56 080 - 49 005)] j) [(8 937 - 7 198)-1 694] - [96 467 -(137 295 - 40 838)] k) {972 465 - [(869 328 - 701 296)- 48 923]}-699 356 3

Sabiendo que: Cla ve:

m = 3 287

;

n = 7 963

;

p = 2 028 y q = 10 769

Encuentra el resultado de cada ejercicio siguiente:

4

a) (n + q) - (p + m) =

d) (m +n + p) - (q - n) =

b) (p + q) - (m + n) =

e) (q - p) + (n - p) + (n - m) =

c) (q - p) - (n - m) =

f) [n -(p + m)] - [q - (n + p)] =

En las siguientes adiciones escribe los dígitos que faltan en cada recuadro. 7

4 6

+

7

7

3

2 8 6 7 6 5

6

7 8 0

+

6 4 6 0

8

1

9

9 4 8 9

7

En las siguientes sustracciones escribe los dígitos que faltan en cada recuadro.

-

6

8

6 4 7

2

3

7

2

a)

5

9 2

+

2

5 7

6

8 1

7 9

3 4

5

6

6 3

4

8

2 9

7

-

3 2 3

5 - 1

4 8

4

3 7 3 8

2 9 7

Resuelve los siguientes problemas: La diferencia de dos números es 376 584 y el menor de ellos es 269 375. ¿Cuál es el mayor número? Resolución:

b)

¿En cuánto excede la suma de 58 376 408 y 27 295 396 a la diferencia entre 96 301 215 y 73 096 734? Resolución:


9 7

Manuel Coveñas Naquiche c)

En la lista de precios de una tienda de electrodomésticos se lee lo siguiente: Artefactos

Precios

Televisor

S / . 960

Equipo de sonido S / .1 346 Refrigeradora

S / .1 570

Cocina

S / .1 198

El Sr. Espinoza decide comprar el equipo de sonido y la cocina mientras que la Sra. Duarte compró el televisor y la refrigeradora. ¿Quién gastó más? La persona que más gastó, ¿cuánto más gastó? Suponga que el Sr. Espinoza compra el equipo de sonido y la refrigeradora, y la Sra. Duarte compra la cocina y el televisor. ¿Quién gastó más? La persona que gastó más , ¿cuánto más gastó?

•

•

Resolución:

•

Multiplicación ¿Cuántos lapiceros hay en total? 4 veces 6

6 +4 6244 + 6 +3 6 14 Adición de sumandos iguales

*

•

4 por 6

=

4×6 123

=

24

Multiplicación

La multiplicación es una adición de números iguales

Propiedades de la multiplicación Observa cómo se llaman los términos de una multiplicación:

×

9 8


Los términos de la multiplicación son el multiplicando, el multiplicador y el producto.

Sexto grado de primaria Propiedad conmutativa


Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía.

Si se cambia la forma de agrupar los factores, se obtiene el mismo producto.

a×b=b×a

(a × b) × c = a × (b × c)

Ejemplo :

Ejemplo: 7×4=4×7

(2 × 6) × 4 = 2 × (6 × 4)

28 = 28

12 x 4 = 2 x 24 48 = 48

Propiedad del cero

Propiedad del uno

Si uno de los factores de la multiplicación es cero, el producto es cero.

Al multiplicar un número por 1 se obtiene el mismo número.

ax0=0

ax1=a

Ejemplo:

Ejemplo: 6x0=0

8x1=8


Completa cada igualdad y escribe el nombre de la propiedad que se está aplicando. a) 24 x 9 =

x 24

b) (19 x 4) x 5 = 19 x (

x

)

x 5 = 19 x Propiedad

.............................

Propiedad .............................

c) 3 476 x 0 =

d)

Propiedad

Propiedad .............................

e)

.............................

x 17 =

x 28

f)

x 1 = 4 357

x 9 473 = 0

= Propiedad ..........................

Propiedad .............................


9 9


2

En cada recuadro escribe V si es verdadero y la expresión F si es falso. a) Si se multiplica por 1 se obtiene ................................................................................ b) Al cambiar el orden de los factores, cambia el producto ............................................. c) Al cambiar la forma de agrupar los productos, cambia el producto ............................ d) Al cambiar un número por 1 se obtiene el mismo número .......................................... e) Al multiplicar un número por cero se obtiene cero .....................................................

•

Propiedad distributiva Veamos cómo se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:

×

×

×

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.

×


Usando una flecha une cada par de recuadros que tienen expresiones equivalentes. 27 x(14 + 5)

29 x (10 +16)

13 x(9 + 8)

(35 x 25) + (35 x 7) 27 x 14 + 27 x 5

29 x 10 + 29 x 16

8 ´ (103 + 97) 2

8 x 103 + 8 x 97 35 x (25 + 7)

13 ´ 9 + 13 ´ 8

En las igualdades siguientes escribe los números que faltan en los recuadros aplicando la propiedad distributiva. a) 19×(17 + 35) = 19× 19 ×

+ 19×

b) 48×(

+

+

48×

+

= c) 345×(108 + 216) = (

= ×

345×

)+( +

=

100

) = 48×37 + 48×64


×

)

d)

×(

+

) = 98×45 + 98×74

×

+ =


•

Potencias Observa las siguientes multiplicaciones. 2×2×2×2×2

;

3×3×3×3

;

4×4×4

Todos ellos tienen los factores iguales y se llaman potencias. Se escribe de la siguiente manera: 2 2 ´2 2 44 ´ 2 ´32 = 2 1´44

5

3 32 ´4 34 ´3 3=3 1´4 4

5 veces

4

4 veces

4 ´2 44 ´3 4=4 14

En la potencia 24 =16, el factor 2 que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

3

3 veces

Una potencia es un producto de números iguales. Cada potencia se puede leer de dos formas diferentes. Observa estos ejemplos: Potencia

•

Se lee así :

También se lee así :

52

Cinco elevado al cuadrado

Cinco elevado a la dos.

24

Dos elevado a la cuarta

Dos elevado a la cuatro.

63

Seis elevado al cubo

Seis elevado a la tres

35

Tres elevado a la quinta

Tres elevado a la cinco.

72

Siete elevado al cuadrado

Siete elevado a la dos.

Atención

Cuando el exponente es 2 la potencia se llama cuadrado y cuando el exponente es 3 la potencia se llama cubo.

Potencias de exponente 1 La potencia de exponente 1 de un número es igual a dicho número. Ejemplos:

•

61 = 6

81 = 8

201 = 20

631 = 63

101 = 10

91 = 9

401 = 40

1281 = 128

Potencias de exponente 0 La potencia de exponente 0 de un número diferente de cero, es uno. Ejemplos: 50 = 1

80 = 1

100 = 1

730 = 1


101



Completa estas tablas:

Potencia

2

Desarrollo

Desarrollo

Valor

Potencia

29

2x2x2x2x2x2

34

3x3x3x3x3

43

4x4x4x4

54

8x8x8x8x8x8

63

9x9x9x9x9

74

13x13x13x13

123

15x15x15x15x15

Valor

En cada igualdad siguiente escribe en el recuadro el término que falta. a) 32 = 2 b)

= 54

c ) 243 = 3 3

d)

= 29

e)

= 84

f) 4

= 64

g) 9

= 729

i) 3 125 = 5

h)

5 = 100 000

j)

Sabiendo que: P = 26

Q = 34

R = 43

hallar el valor de cada expresión siguiente:

4

102

a) P + Q + R

e) P + 2Q + 3R

b) P + R - Q

f) 2Q - (P + R)

c) Q + R - P

g) (Q - P) - (Q - R)

d) Q - P + R

h) Q (P - R)

Halla el resultado en cada ejercicio siguiente: a) 54 + 32 + 25

d) 83 + 55 - 64

b) 63 - 26 + 42

e) 95 + 103 - 114

c) 74 - 54 +35

f) 123 + 210 - 37


7

= 117 649


• •

La división División exacta de dos números: Nataly

Vanessa

Karina

Sara Se quiere repartir 20 lapiceros entre 4 niñas: Nataly, Vanessa, Karina y Sara. ¿Cuántos lapiceros le corresponde a cada una? Número de lapiceros que le toca a cada niña

El factor desconocido es el cociente o cociente exacto de los números 20 y 4. Es decir, = 20÷4, este cociente exacto (5) es el número que multiplicado por 4 nos da 20. En la división exacta 20 ÷ 4 = 5, el número 20 es el dividendo y el número 4 es el divisor. El resultado, 5, es el cociente. La división exacta es la operación que permite encontrar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conocen el producto y el otro factor. Atención

La división exacta 20 ÷ 4 = 5, también se escribe así:

20 4 5 Los tres números 20; 4 y 5 están relacionados por una multiplicación y dos divisiones: 4 × 5 = 20

20 ÷ 5 = 4

20÷4 = 5 Estas son las equivalencias fundamentales de la división exacta.

En general: D = dividendo , d = divisor y c = cociente Donde: d×c=D

D ÷d = c

D÷c = d

En una división exacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente.


103


•

División inexacta Na t a l y

Vane ssa

K a r i na

Sara

• Se quiere repartir 23 lapiceros entre 4 niñas: Nataly, Vanessa, Karina y Sara. ¿Cuántos lapiceros le corresponde a cada una? Se observa que no hay ningún número natural que multiplicado por 4 dé 23. 4 × 5 = 20, que es menor que 23. 4 × 6 = 24, que es mayor que 23.

Esto indica que no existe el cociente exacto 23 ÷ 4. El 5 y 6 son los cocientes aproximados. La división con residuo 23 4 3 5 indica que a cada niña le toca 4 lapiceros y sobran 3 lapiceros. La relación entre los números 23; 4; 5 y 3 es:

La prueba de una división consiste en comprobar que se cumplen las dos relaciones siguientes: 1) Que el residuo es menor que el divisor (r < d) 2) Que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo (D = d × c + r)

104



Taller de ejercicios 26 1 a)

Efectúa las siguientes divisiones y haz la prueba de cada una de ellas. 879 6

b)

564 7

6 927 12

e)

Prueba

2

3 435

4

Prueba

Prueba

d)

c)

8 395 14

Prueba

f)

56 321

15

Prueba

Prueba

En cada caso siguiente se conocen el cociente (C), el divisor (d) y el residuo (r), halla el dividendo (D). a) c = 897 ; d = 8 ; r = 5

c) c = 927 ; d = 15 ; r = 13

b) c = 673 ; d = 12 ; r = 9

d) c = 694 ; d = 36 ; r = 17


105


•

Radicación

•

Raíz de un número natural 62 = 36 43 = 64

;

;

el número 6, que elevado al cuadrado da 36, es la raíz cuadrada de 36. el número 4, que elevado al cubo da 64, es la raíz cúbica de 64.

En general:

an = x

•

®

El número “a”, que elevado a la enésima potencia da “x”, es la raíz enésima de “x”.

Raíz enésima La raíz enésima de un número es otro número que elevado a la potencia enésima da por resultado el número propuesto. Es decir

Así:

n

a=x

xn = a

®

5 es la raíz cuadrada de 25 porque:

52 = 25

7 es la raíz cuadrada de 49 porque:

72 = 49

2 es la raíz cúbica de 8 porque:

23 = 8

En general: “a” es la raíz enésima de “x” porque:

an = x

Dados los ejemplos:

Índice de la raíz

106


Índice 2 se sobreentiende


•

Relaciones entre potenciación y radicación Como se ha podido observar, la radicación es una operación inversa a la potenciación. Los tres elementos de una potenciación toman distintos nombres cuando se trata de una radicación, como se puede ver en el siguiente esquema:

Pote nciación

Radicación

53 = 125

3

Donde:

Donde:

5 es la base

5 es la raíz

3 es el exponente

3 es el índice

125 es la potencia

125 es el radicando

125 = 5

Atención

1=1 4=2 9 =3 16 = 4 25 = 5

•

121 = 11 144 = 12 169 = 13 196 = 14 225 = 15

36 = 6

3

1=1

49 = 7

3

8 =2

64 = 8

3

27 = 3

81 = 9

3

64 = 4

100 = 10

3

125 = 5

Cuadrados Perfectos Las potencias de exponente dos se llaman cuadrados perfectos. •

72 se lee “ 7 elevado al cuadrado”

•

82 se lee “8 elevado al cuadrado”

•


•


•


•


En la siguiente lista aparecen algunos cuadrados perfectos.


107


Del cuadro se observa que los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. Veamos: 9 =3 36 = 6 121 = 11

También, si un número termina en cifra 2; 3; 7 u 8 no es un cuadrado perfecto; en los demás casos tendrá la posibilidad de ser cuadrado perfecto.

Taller de ejercicios 27 1 La raíz cuadrada de un número se puede obtener descomponiendo al número en sus factores primos, como se puede apreciar en el primer caso. De esta manera halle la raíz cuadrada de los números siguientes.

a) 196 Procedimiento 1 9 6 2

ü ï 9 8 2 ü ï ý 14 ý 14 4 9 7 þ ï ïþ 7 7 1

Luego: \

108


196 = 14 2 = 14 196 = 14

®

196 = 14 ´ 14 = 14 2

Recuerda

A2 =

2

A =A


b) 225

c) 441

d) 1 225

e) 484

f) 1 089

g) 3 025

2

Encuentra el resultado en cada expresión siguiente: 3

e)

a)

81 +

b)

64 + 16 ´ 25 - 49 =

f)

c)

225 ´ 25 + 3 64 ´ 4 16 =

g)

27 + 144 =

d) 5 ´ 3 8 + 12 ´ 5 32 + 7 ´ 4 81

h)

3

125 ´ 121 - 7 ´ 6 64

49 ´ 3 1 000 ( 3 125 + 4 81 - 5 32 ) 81 + 81 9

•

-

3 729

144 36

3

+

343 + 5 32 + 1 3

64

Operaciones combinadas Las expresiones numéricas que se muestran: a) 30+8 - 3 = ?

b) 7+5×6 -4 = ?

c) 6×9 - (12 ÷ 4) = ?

d) 52×2-3(4+2) = ?

se denominan operaciones combinadas. Sexto Grado de Primaria

109

Manuel Coveñas Naquiche Atención

En una operación combinada los cálculos numéricos no siempre se realizan de izquierda a derecha siguiendo el orden normal de la escritura. Las operaciones se efectúan respetando las reglas que vamos a ver a continuación.

Regla

1

Si en una operación combinada no existen paréntesis ( ) ni corchetes [ ] entre la adición y la sustracción, ninguna tiene prioridad. Se puede empezar por cualquiera de ellas; veamos:

Ejemplos: 47 + 23 - 15 = ? 70 - 15

Regla

=

47 + 23 - 15 = ? 55

®

47+8 =

55

2

Si en una operación combinada no existen paréntesis ni corchetes, estando primero la multiplicación y luego la división, tiene prioridad la multiplicación sobre la división, luego se efectúan la adición y la sustracción. Ejemplo

1 :

9×6÷3+5–8=? 54 ÷ 3 + 5 – 8 18 + 5 – 8 = 15

Regla

Ejemplo

2 :

Ejemplo

35 – 4 × 5 ÷ 2 + 6 = ? 35 – 20 ÷ 2 + 6 35 – 10 + 6 =

3 :

43 + 7 – 6 × 8 ÷ 4 = ? 43 + 7 – 48 ÷ 4

31

43 + 7 – 12 = 38

3

Si en una operación combinada no existen paréntesis ni corchetes, estando primero la división y luego la multiplicación, tiene prioridad la división sobre la multiplicación, luego se efectúan la adición y la sustracción. Ejemplo 1 : 35 – 8 ÷ 4 × 3 = ? 35 – 2 × 3 35 – 6 = 29

110


Ejemplo 2 :

Ejemplo

9 + 24 ÷ 8 × 4 – 7= ?

36 ÷ 9 × 3 – 4 × 2 + 11 = ?

9+3×4–7 9 + 12 – 7 = 14

3 :

4 × 3 – 4 × 2 + 11 12 –

8 + 11 = 15

Sexto grado de primaria Regla

4

En una operación combinada, las operaciones que están dentro del paréntesis o corchete se realizan primero. Si existen paréntesis dentro de otros paréntesis, tiene prioridad el paréntesis que está más al interior. Ejemplo

1 :

Ejemplo

5 × [12 + (3 + 7)] = ? 5 × [12 + 10]

Ejemplo

36 ÷ [16 ÷ 8 + 7] = ?

=?

5 × 22

2 :

36 ÷ [2 + 7] = ?

= 110

36 ¸ 9

=

4

3 :

3 × [8+(24 ÷ 3×2+1)] = ? 3 × [8 + 8 × 2 + 1]

=?

3 × [8 + 16 + 1]

=?

3 × [25] = 75

Regla

5

Si en una operación combinada existen números expresados como potencias o como radicales, éstas se resuelven primero y después se aplican las reglas anteriores. Ejemplo

Ejemplo 1 : 17 + 23 ÷ 4 -

25 = ?

17 + 8 ÷ 4 - 5 = ? 17 + 2 - 5 =

14

2 :

[( 62 - 12)× 32] ÷

36 = ?

[(36 - 12) ×9] ÷

6 =?

[24 × 9] ÷ 6

=?

216 ÷ 6

=

36

Atención

*

Si encuentras una expresión como ésta: - 4 + 9, se conmutan los números, es decir: - 4 + 9 = 9 - 4 y el resultado es el mismo: 5. Otro ejemplo:

- 7 + 11 = 11 - 7 4

*

=

4

También puedes encontrar una expresión como ésta: 8(5) que significa 8×5 ó (8) · (5) que significa 8 × 5.


111



de ejercicios N° 28 1

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 62 - 5 ´ 6÷ 8 + 62 ÷ 32

b) 35 - [24 + 5(32 + 48 ÷6 ´ 3)]

Resultado.

Resultado.

c)

( 43 - 2 ´

36 ) + 13 ´ 16

d)

13 ´ 3 8

Resultado.

Resultado. 2

éë 27 - ( 4 81 ´ 12 - 6 2 ¸ 9 ) ùû 3 125 + 8 2 + 49 + 20

Efectúa en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas:

a) 42 × 5 + 2 5 ÷ 8 - 3 4 ÷ 92 - 103 ÷ 53 = b) 50 ÷ 52 + 8 ´ 34 - 2 ´

3

27 - 5 ´

625 =

c) 25 × 3 ÷ 12 + 62 ×5 ÷ 90 - 3 8 2 + 6 2 + 5 2 = d) 245 - 16 ´ 3 + 160 ÷ 16 ´ 2 + 80 ´ 22 ÷ 22 ÷ (92 - 79) = e) 34 ´ 5 + 63 ÷ 32 - 2 ´ 5 32 + 3 64 ÷ 22= f) 300 ÷ 52 ´ 3 - 4 16 ÷ 5 32 +

3

2

64 ´ 22 =

g) 365 - [840 - (717 - 699)] + 27 ÷ (72 + 15) h) 54 ´ 3 (72 ´ 4 + i)

3

27 ¸ 23 + 1 + ( 34 + 19 ) ¸ ( 6 2 - 24 ) =

j) 5

3

8

2 k) 6

112

144 ÷ 22) + (72 - 82 ÷ 4 ´ 2) =

5

3

32

+6 64

4

+2

+ 9 =

3

64

¸ ( 4 2 + 2) + 9

4

16

¸3


3

27

=

l)

10 3 - éë 5 4 - 5 ´ 4 3 - ( 25 - 24 ) ùû + éë 3 4 - ( 33 - 3 2 - 3 ) ùû =


•

Raíz exacta Se dice que una raíz es exacta cuando al ser elevada a la potencia que indica el índice del radical, da como resultado el radicando. Así: Decimos que 7 es la raíz cuadrada exacta de 49 porque: 72 = 49. 4 es la raíz cúbica exacta de 64 porque 43 = 64.

•

Propiedad fundamental en una raíz cuadrada En toda raíz cuadrada, el radicando es igual al cuadrado de la raíz más el resto.

Entonces: Ejemplo

N= a2 + r

1

Extrae la raíz cuadrada de 1 039.

Explicación Primero: Se divide el número 1 039 en grupos de dos cifras (empezando por la derecha). El último grupo puede tener una o dos cifras; en este caso el último grupo tiene dos cifras. Segundo: Se extrae la raíz cuadrada del último grupo, es decir, la raíz cuadrada de 10 que aproximadamente es 3, la elevamos al cuadrado y nos da 9, que restado del último grupo nos da 1. Tercero:

13,9 Comprobación 1 039 = (32)2 + 15 = 1 024 + 15 1 039 = 1 039

A la derecha del 1 bajamos el segundo grupo 39 y se forma el número 139. Separamos con una coma la cifra de la derecha y queda así: 13,9; lo que queda a la izquierda, que es 13, lo dividimos por el duplo de la raíz hallada que es 6, es decir, 13÷6 = 2. Para saber si esta cifra es buena la escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 62 que la multiplicamos por la misma cifra y el producto sería 62×2 = 124. Como este producto se puede restar de 139 lo restamos y subimos el 2 a la raíz. La resta 139 - 124 nos da 15, siendo 15 el resto. Sexto Grado de Primaria

113

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 2 Extrae la raíz cuadrada de 2 272. Explicación Primero: Se divide el número 2 272 en grupos de dos cifras, empezando por la derecha; el último grupo puede tener una o dos cifras, en este caso el último grupo tiene dos cifras Segundo: Se extrae la raíz cuadrada del último grupo, es decir, la raíz cuadrada de 22, que aproximadamente es 4, la elevamos al cuadrado y nos da 16, que restado del último grupo nos da 6 de resto. Tercero:

-

Comprobación 2 272 = (47)2 + 63 = 2 209 + 63 2 272 = 2 272

A la derecha del 6 bajamos el segundo grupo 72 y se forma el número 672, separamos con una coma la cifra de la derecha y queda así: 67, 2. Lo que queda a la izquierda, que es 67, lo dividimos por el duplo de la raíz hallada que es 8, es decir: 67÷ 8 = 8; para saber si esta cifra es buena, la escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 88, que multiplicamos por la cifra y el producto sería 88 × 8 =704. Como este producto no se puede restar de 672, la cifra 8 no es buena; la rebajamos una unidad y queda 7, probamos el 7 escribiéndolo al lado del 8 y formamos el número 87, este número se multiplica por 7 y nos da: 87×7 = 609; como este producto sí se puede restar de 672, quiere decir que la cifra 7 sí es buena, este 7 lo subimos a la raíz, y el resto es 63.

Ejemplo 3 Extrae la raíz cuadrada de 53 776. Explicación Primero: Se divide el número 53 776 en grupos de dos cifras empezando por la derecha; el último grupo puede tener una o dos cifras, en este caso el último grupo tiene una cifra. Segundo: Se extrae la raíz cuadrada del último grupo, es decir, la raíz cuadrada de 5, que es 2, la elevamos al cuadrado y nos da 4, que restado del último grupo nos da 1 de resto.

114


Sexto grado de primaria Tercero: A la derecha del 1 bajamos el segundo grupo, 37, y se forma el número 137; separamos con una coma la cifra de la derecha y queda 13,7. Lo que queda a la izquierda, 13, lo dividimos por el duplo de la raíz hallada que es 4 y nos da de cociente 3, entonces: 13÷4 = 3. Para saber si esta cifra es buena la escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 43, que multiplicamos por la misma cifra, y el producto sería 43×3 = 129. Como este producto sí se puede restar de 137, quiere decir que la cifra 3 sí es buena, este 3 lo subimos a la raíz y el resto es 8. Cuarto:

Comprobación

A la derecha del 8 bajamos el tercer grupo 76 y se forma el número 876; separamos con una coma la cifra de la derecha y queda 87,6. Lo que queda a la izquierda, 87, lo dividimos por el duplo de la raíz hallada, que es 46, y nos da de cociente 1, es decir, 87÷46 = 1. Para saber si esta cifra es buena, la escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 461 que, multiplicamos por la misma cifra, y el producto sería 461 × 1 = 461. Como este producto sí se puede restar de 876, quiere decir que la cifra 1 sí es buena, este 1 lo subimos a la raíz, y el resto es 415.

53 776 = (231)2 + 415

53 776 = 53 776

= 53 361 + 415


Extrae la raíz cuadrada de los siguientes números y efectúa la comprobación correspondiente:

a)

8 144

b)

7 625


115


c)

2

d)

64 937

98 765

Halla la raíz cuadrada de los números siguientes y efectúa la comprobación correspondiente.

a) 2 374

d) 6 831

g) 24 795

j) 301 906

b) 4 068

e) 12 979

h) 76 890

k ) 584 328

c ) 5 974

f) 18 108

i) 105 683

l) 973 245


Si a + b + c = 17,hallar: abc + cab + bca y dar como respuesta la suma de sus ci fras. A) 21 D) 27

2

116

B) 22 E) 18

C) 24

La suma de dos números es 45 347 si uno de ellos es 23 459, ¿cuál es el otro número? A) 21 888 D) 22 745

C) 24 668

El Sr. Quispe ha comprado un terreno en S/. 47 211. ¿A cuánto lo debe vender para ganar S/. 13 476?

Se tiene: 4 + (7 + 8) = (4 + x) + 8 5 + 7 = 7 + y ¿cuánto le falta a x + y para ser igual a 87?

A) S/. 56 667 B) S/. 60 687C) S/. 54 711 D) S/. 60 666 E) S/. 61 667

A) 75 D) 81


4

B) 25 688 E) 19 678

B) 63 E) 73

C) 71


La suma de los tres términos de una sus tracción es 674. Hallar el minuendo y dar como respuesta el producto de sus cifras. A) 48

6

B) 54 C) 81 D) 63 E) 24

Se tiene: C = [45 – (13 + 8)] + 31 + (51 + 31 – 40)] El valor de C es: A) 100 D) 96

7

B) 87 E) 97

C) 121

Dados: A = 68 × 75 B = 9 × 8 × 61 C = 71 × 64. Al ordenarlos de mayor a menor se obtiene:

A) A; B; C B) B; C; A C) A; C; B D) B; A; C E) C; B; A 8 Dadas: ab × 7 = 7 × 23 (c × 5)× 4 = 6 × (5 × 4) de ´ 1 = 71

calcular el valor de a + b + c + d + e A) 21 B) 19 C) 16 D) 18 E) 23 9 La suma de 232 y 124 multiplicado por su diferencia es: A) 36 768 D) 42 348

B) 39 448 E) 38 448

C) 38 458

10 Un pintor ha trabajado desde las 8 h 30 min. hasta las 12 horas y desde las 14 horas hasta las 18 h 30 min. ¿Cuánto debe cobrar si se le paga a ra zón de S/. 42 la hora? A) S/. 336 D) S/. 462 11

B) S/. 252 C) S/. 420 E) S/. 396

12 Se tienen: P = 2 6 Q = (3 2 ) 2 R = 8 2 ¸ 2 Al ordenarlos de mayor a menor se obtiene: A) P; Q; R D) Q; R; P

B) Q; P; R C) P; R; Q E) N.A.

13 Si 173 = abcd , ¿cuánto le debemos su mar como mínimo a cda para obtener un cuadrado perfecto? A) 10 D) 21

B) 12 E) 9

C) 13

14 Divida 6 345 ¸ 4 y dé como respuesta la suma del cociente y el residuo. A) 1 469 D) 1 578

B) 1 587 E) 1 486

C) 1 478

15 Se tiene 45 936 lapiceros en cajas. Si cada caja contiene 48 lapiceros, ¿cuántas ca jas hay en total? A) 367 D) 957

B) 856 E) 976

C) 1 236

16 Una ama de casa compró una refrigeradora y una cocina por S/. 2 925, dando de inicial la tercera parte del valor y el resto en 13 cuotas iguales. ¿Cuánto tiene que pagar la señora en cada mensualidad? A) S/. 170 D) S/. 180

B) S/. 130 C) S/. 140 E) S/. 150

17 Sean: A = mayor número de 4 cifras diferentes, B = 31 (4) ; exprese B en el sistema deci mal y luego divida A entre B. Dé como res puesta el residuo de dicha división. A) 3

B) 5

C) 7

D) 9 E) 11

Se tienen: A = 14 (19) + 120 (5) 18 Calcula la 5 776 y dé como respuesta

B = 45 (7) + 214 (4) ¿cuántas cifras impares tiene el resulta do de A × B en el sistema decimal? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

la suma de las cifras de su raíz. A) 11 D) 14

B) 13 E) 9

C) 12


117


19 Completa y halla la suma de las cifras faltantes:

Nivel II 1

Tenía cierta cantidad de estampillas, re galé 86, luego compré una cantidad igual a las que me quedaban y de éstas se me perdieron 20. Si ahora tengo 232 es tampillas, ¿cuántas tenía al principio? A) 112 D) 200

2 A) 49 D) 55

B) 53 E) 57

C) 56

20 Efectuar (354 × 10 – 8) + (43 × 100 – 11) ¿Cuál es la cifra de las centenas en el re sultado? A) 9 D) 6

B) 7 E) 8

C) 4

21 El resultado final al operar: 45 + 3 × 5 – 98 ¸ 7 es … A) 52 D) 62

B) 48 E) N.A.

C) 46

9[(4×7–2)¸13]+35¸7–(1+2+3+4+5+6)es: A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

4

B) 2

C) 4

D) 5

E) 5

¿cuál es el valor de 3 a + b ? A) 1

B) 4

25 Al efectuar: obtiene: A) 140 D) 135

118

A)1 346 D) 1 438 5

ab = (4 × 7 – 2) ¸ 13 + 3 × 2 × 4 – 36 ¸ 4

C) 5

D) 2

E) 3

4

100 ¸ 5 + 2 ¸ 2 + 5

B) 130 E) 141


C) 138

3 , se

C) 70

bac + bca ba abc

E) 1

24 Si se sabe que:

B) 90 E) 84

Calcular 1 + 2 + 3 + … + ab , si:

23 Al resolver: 1 + 59 + 28 - 9 , se obtiene: A) 3

B) $ 6 560 C) $ 4 000 E) $ 4 550

Un vendedor compró 3 cajas de manza na. La primera contiene 6 docenas, la se gunda una docena y media menos que la primera y la tercera 3 docenas menos que la primera y la segunda juntas. ¿Cuántas manzanas hay en la tercera caja? A) 216 D) 110

22 El último resultado en:

C) 152

El señor Matías compró un carro a $4 500. Al cabo de un tiempo gasta en repararlo $200, en pintura $180 y en llan tas $480. ¿En cuánto debe venderlo para ganar $300? A) $ 5 660 D) $ 5 500

3

B) 212 E) 164

B) 1 265 E) 1 378

C) 1 287

En la siguiente operación: 3 4 a 7 + 4 b 4 1 6 7 9 d 4 7 c Hallar a + b + c + d, sabiendo que a; b; c y d son dígitos. A) 21 D) 24

B)22 E) 25

C) 23


6

¿Qué alteración sufre una resta si al minuendo se suma 13 y al sustraendo se resta 14? A) Aumenta en 27 B) Aumenta en 14 C) Disminuye en 7 D) Disminuye en 27 E) Aumenta en 30

7

Si se suman los tres términos de una sustracción, se obtiene 54. ¿Cuál es la diferencia si el sustraendo es 15? A) 12 D) 29

8

C) 27

Aumentando en 9 los factores en una multiplicación, el resultado aumenta en 549. Halle uno de los factores, si la dife rencia de ellos es 18. A) 16 D) 24

9

B) 22 E) N.A.

B) 17 E) 27

C) 19

Se conoce que:

C) 3

10 En la expresión: L = 45 22 + 36 18 + 51 91 ¿Cuál es la cifra de las unidades en el resultado de L? A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

11 ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en tre 1 y 289. A) 13 D) 17

B) 15 E) 16

12 Si (3 n ) 4 = 3 28 2 3 ∙ 2 m ∙ 2 5 = 2 14

A) 341 D) 256

B) 421 E) 418

C) 472

13 La suma de los términos de una división es 151, además el residuo es máximo, hallar el dividendo si es 12 veces el co ciente y el divisor es igual a 11. A) 120 D) 150

B) 130 E) 160

C) 140

14 ¿Cuántos números pares de tres cifras al ser divididos entre 91 dan como resi duo 41? A) 11 D) 3

A) 14 D) 12

hallar: m + n + p + q B) 2 E) 4

hallar nmn - a4b

B) 5 E) 12

C) 10

15 ¿Cuántos números enteros positivos al ser divididos entre 30 dan como residuo el doble del cociente?

m n p q × 7 1 p q q q

A) 6 D) 5

97 + 3 + ab = 10

C) 14

B) 10 E) 13

C) 11

16 Al dividir un número de 3 cifras entre el número formado por sus dos últimas ci fras se obtiene 34 de cociente y 7 de resi duo. Encuentra el complemento aritméti co de dicho número y exprésalo en el sis tema senario. A) 3201 (6)

B) 1143 (6)

D) 1102 (6)

E) 1301 (6)

C) 1034 (6)

17 A un número lo múltiplico por 5, al resul tado le disminuyo 6, lo que obtengo lo di vido entre 7 y a este valor le sumo el cubo de 3, obteniendo finalmente 29. ¿Cuál es el número inicial? A) 5 D) 6

B) 3 E) 7

C) 4

18 Opere: 2 3 × 3 + 464 ¸ 8 + 28 × 12 – (11 – 9 ) 2 Sexto Grado de Primaria

119

Manuel Coveñas Naquiche ¿Cuál es la suma de las cifras del resulta do? A) 15 D) 12

B) 9 E) 10

4

C) 11

¿Cuál es el número que se encuentra en el tercer lugar calculando desde la izquier da, de la fila 8 del arreglo triangular que se muestra a continuación?

19 La edad de Lucero es 100 ¸ 5 + 24 años. La edad de Elizabeth 3 4 – 2 × 3 × 5 – 81 años y de Ángel (2 2 ) 3 años. ¿Cuánto sumaban sus edades hace 15 años? A) 32 años B) 31 años C) 28 años D) 30 años E) 29 años

A) 52 B) 66 C) 62 D) 64 E) 54 5

Hallar la última cifra del resultado de:

20 El resultado final de la expresión 4 3 ¸ 2 + 144 × 2 2 – 2 5 + 13 + 7 + 3 8 es: A) 52 B) 61 C) 55 D) 10 E) 39

55 ¼ 5 ´ 604 + mn7 ´ 70 - 93 ´ 142 123 18 cifras

Julián y Daniel escalan una montaña que mide 2 794 m. Si a Julián le falta 472 m para llegar a la cima y Daniel ha escalado 2 504 m, ¿cuántos metros más ha esca lado Daniel que Julián?

A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 La familia Zevallos está conformada por papá, mamá, hijo e hija; la suma de las edades de hijo y mamá es igual a la suma de las edades de papá e hija; la mamá tuvo a su primer bebé a los 24 años de edad. Hallar la edad del padre, si éste es el triple de la edad de Carlos, quién nació 4 años después que Diana. (Carlos y Dia na son los hijos en la familia Zevallos)

A) 168 D) 182

A) 40 años D) 36 años

6


2

C) 185

Por cada dibujo que realizo me pagan S/. 3 ; si el domingo me pagaron S/. 78 que es S/. 18 más de lo que me pagaron el sábado, ¿cuántos dibujos hice en los dos días? A) 22 D) 42

3

B) 174 E) 196

B) 26 E) 38

C) 46

Si 1 + 10 + 19 + … + 64 = abc 1 + 2 + 3 + … + 25 + 26 = mnp , hallar el complemento aritmético de

( 93 ´ abc + 77 ´ mnp ) y dar como res

1. C 6. E 11. B 16. E 21. C 1. B 6. A 11. B 16. B

puesta la cifra de las centenas. A) 1 D) 7

120

B) 5 E) 2


C) 4

1. D

B) 38 años C) 37 años E) 34 años

Clave de respuestas Nivel I 2. B 3.A 4. A 7. C 8. B 9. E 12. B 13. A 14. B 17. D 18. B 19. D 22. B 23. A 24. D Nivel II 2. A 3. B 4. E 7. A 8. B 9. E 12. B 13. A 14. B 17. C 18. D 19. D Problemas de olimpiadas 2. C

3. D

4. A

5. D 10. A 15. D 20. E 25. D 5. C 10. B 15. A 20. A

5. A 6. D


Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la cual aparece un valor desconocido llamado incógnit a . Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

x + 11 = 16

4 · x = 36

¿Qué número sumado con 11 nos da 16?

¿Qué número multiplicado por 4 nos da 36?

x=5

x=9

Ecuaciones aditivas Para resolver las ecuaciones aditivas aplicamos la propiedad de las igualdades que dice: Si en ambos miembros de una igualdad sumamos o restamos el mismo número, la igualdad se mantiene. 10 = 10

10 = 10 • Sumando 4 en ambos miembros de la igualdad.

• Restamos 4 en ambos miembros de la igualdad.

10 + 4 = 10 + 4 14 = 14

10 - 4 = 10 - 4 6=6

¡Sigue siendo una igualdad!

¡Sigue siendo una igualdad!

Ejemplo

1

Ejemplo 2

Resuelve: x - 13 = 5 Resolución: • Sumamos 13 en ambos miembros de la ecuación x - 13 + 13 = 5 + 13

Resuelve: x + 12 = 30 Resolución: • Restamos 12 en ambos miembros de la ecuación: x + 12 - 12 = 30 - 12 x+0 = 18

x+0 =18 \

\

x = 18

x = 18

Raíz de una ecuación:

Conjunto solución:

Raíz de una ecuación es el valor que toma la incógnita para transformar la ecuación en una igualdad de números.

Conjunto solución de una ecuación es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación.

Atención

• En toda ecuación se considera: * Primer miembro

: Es todo lo escrito a la izquierda de la igualdad.

* Segundo miembro : Es todo lo escrito a la derecha de la igualdad. * Incóg ni ta

: Es el símbolo que representa al número desconocido.


121


Incógnita 9 + x = 16 1°. miembro

•

2°. miembro

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Resuelve: x + 6 = 19

Resuelve: 8+x = 20

Resolución:

Resolución:

Restamos 6 en ambos miembros de la ecuación: x + 6 - 6 = 19 - 6 x + 0 = 13

•

\

Restamos 8 en ambos miembros de la ecuación: 8 + x - 8 = 20 - 8 x+0 = 12 \

x = 13

En este caso se dice que 13 es la raíz de la ecuación x+6 = 19 y {13} es el conjunto solución de la ecuación x+6 = 19.

x = 12

En este caso se dice que 12 es la raíz de la ecuación 8+x = 20 y {12} es el conjunto solución de la ecuación 8+x = 20.

Resolver una ecuación Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución de la ecuación: Ejemplo: Resuelve: x + 32 = 40 Resolución: Restamos 32 en ambos miembros de la ecuación:

•

®

x + 32 - 32 = 40 - 32 x+0=8 \

x =8

El conjunto solución S de la ecuación x + 32 = 40 es S = {8} Atención

Otra forma de resolver una ecuación aditiva es trasponiendo términos. Esto consiste en lo siguiente: *)

Si pasamos del primer miembro al segundo miembro un término positivo, éste pasará con signo cambiado, es decir, negativo; veamos: x+12 = 26 ®

x = 26 - 12

* * ) Si pasamos del primer miembro al segundo miembro un término negativo, éste pasará con signo cambiado, es decir, positivo; veamos: x - 10 = 15 ®

122


x = 15 + 10

Sexto grado de primaria Nota

La trasposición de términos también se aplicará en el caso que del segundo miembro querramos pasar algún término al primer miembro; veamos. I) 16 = 12 + x

®

16 - 12 = x

II) 18 = x - 3

®

18 + 3 = x


Completa cada igualdad siguiente escribiendo en el recuadro el número que falta. a)

2

+ 81 = 976

1 396 = 875 +

+209

b)

684 +

= 781

e)

6 091 -

= 2 043

c)

157 +

+ 286 = 1 463

f)

875 =

+ 304 - 159

Halla el conjunto solución de cada ecuación siguiente:

a) x + 576 = 800 S={

}

b) 5 874 + x = 6 192

S={

3

d)

}

c ) 1 2096 + x = 15 836 S={

}

d) x - 246 = 367

S={

e) x - 497 = 564 S={

}

f) 874 = x - 639

}

S={

}

Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas:

a) 397 = x - 103

e) 674 + x = 476 + 801

i) 645 + 236 = x + 528

b) 843 = x + 267

f) 197 + x = 645 - 237

j) 4 721 - x = 3 764 + 871

c ) 1 007 = x - 984

g) 1 381 - x = 465 - 297

k ) 8 096 + 3 704 = x + 9 999

d) 3 964 = x + 2 575

h) 2 000 - x = 3 000 - 2 870

l ) 9 348 - x = 5 242 + 3 096


123


•

Ecuaciones multiplicativas Para resolver las ecuaciones multiplicativas aplicamos la propiedad de las igualdades que dice: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una igualdad por el mismo número, la igualdad se mantiene. Ejemplo 1 Resuelve: 16x = 48 Resolución: • Dividimos entre 16 a ambos miembros de la ecuación: 16 x 48 = 16 16

\

x = 3 ; en este caso se dice que 3 es la raíz de la ecuación: 16x = 48 y {3} es el conjunto solución de la ecuación:

16x = 48

24 = 24 • Multiplicamos por 3 a ambos miembros de la igualdad.

24 = 24 • Dividimos entre 3 a ambos miembros de la igualdad.

24 x 3 = 24 x 3 72 = 72 ¡Sigue siendo una igualdad!

24 24 = 3 3

B B

8 = 8 ¡Sigue siendo una igualdad!

Ejemplo 2 x =8 12 Resolución:

Resuelve:

• Multiplicamos por 12 a ambos miembros de la ecuación: x 12 · = 8 ·12 12

\

124

x = 8 y {96} es el en este caso se dice que 96 es la raíz de la ecuación 12 x =8 . conjunto solución de la ecuación 12

x = 96 ;



Atención

Otra forma de resolver una ecuación multiplicativa es trasponiendo términos. Esto consiste en lo siguiente: *)

8x = 72; el 8 que está multiplicando a la incógnita “x” en el primer miembro, al pasar al segundo miembro, la dividirá, es decir: 72 x=

**)

8

x = 9 ; el 12 que está dividiendo a la incógnita “x” en el primer miembro, al 12 pasar al segundo miembro, la multiplicará, o sea: x = 9 · 12


Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones multiplicativas: a) 9x = 108

S={

c ) 29x = 522

}

b) 15x = 105

S={ 2

S={ d)

}

e)

}

x =9 27

S={

S={ f)

}

x = 14 163

}

x 764 = 20

S={

}

Resuelva las siguientes ecuaciones multiplicativas: a) 425 = x · 17

d) 2 940 = 84 · x

b) 585 = 13 · x

e) 1 568 = x · 56

c) 5 440 = 68 · x

f) 37 · x = 2 099 + 2 563


125


•

g) 234x = 54 632 - 23 744

j)

16x - 412 = 13x + 2 000

h) 15x - 950 = 9x + 1 000

k)

25x - (608 + 1 296) = 23x + 5 844

i) 14x - 37 409 = 12x + 16 801

l) 118x - (9 768 - 9 760) = 100 + 1 000

Planteo de ecuaciones Generalmente, los problemas se pueden resolver planteando una ecuación. Ejemplo 1 En mi escuela hay 1 236 alumnos entre varones y mujeres. Si hay 873 varones, ¿cuántas mujeres hay en mi escuela? Para resolver este problema mediante una ecuación, debemos distinguir cinco etapas: 1) Identificación de la incógnita.

1) Sea “x” el número de mujeres.

2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que el número de varones más el número de mujeres nos dará el total de alumnos.

2) x + 873 = 1 236

3) Resolución de la ecuación.

3) x + 873 = 1 236 Restamos 873 en ambos miembros de la ecuación: x + 873 - 873 = 1 236 - 873 x = 363

4) Comprobación de la solución.

4) 363+873 = 1 236 1 236 = 1 236

5) Redacción de la respuesta.

5) En mi escuela hay 363 mujeres.

Ejemplo 2 Hace 10 años la edad de mi padre era 26 años. ¿Qué edad tiene mi padre? 1) Identificación de la incógnita. 2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que a la edad actual de mi padre le restamos los 10 años que han transcurrido y esto nos dará los 26 años. 3) Resolución de la ecuación 4) Comprobación de la solución. 5) Redacción de la respuesta

126


1) Sea “x” la edad actual de mi padre. 2) x - 10 = 26 3) x - 10 = 26 Sumamos 10 en ambos miembros de la ecuación: x-10+10 = 26+10 x = 36 4) 36 - 10 = 26 26 = 26 5) Mi padre tiene 36 años.

Sexto grado de primaria Ejemplo

3

El producto de dos números es 4 964. Si uno de los factores es 73, ¿cuál es el otro factor? Resolución: 1) Identificación de la incógnita.

1) Sea “x” el factor desconocido.

2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que el factor 73 y el factor “x” deben dar como producto 4 964.

2) 73 g x = 4 964


3) 73 g x = 4 964 dividimos entre 73 a ambos miembros. 73 · x 4 964 = 73 73 \ x = 68


4) 73 x 68 = 4 964 4 964 = 4 964

5) Redacción de la respuesta

5) El otro factor es 68.

Ejemplo

4

Al vender una camisa pierdo S/. 5. Si el comprador me pagó S/. 28, ¿cuánto me costó la camisa?

1) Identificación de la incógnita.

1) Sea “x” el costo de la camisa

2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que si al costo de la camisa le resto la pérdida, esta nos dará como resultado lo que el comprador pagó.

2) x - 5 = 28


3) x - 5 = 28 Sumamos 5 a cada miembro de la ecuación: x - 5 + 5 = 28 + 5

4) Comprobación de la solución. 5) Redacción de la respuesta.

\ x = 33 4) 33 - 5 = 28 28 = 28 5) La camisa me costó S/. 33


127

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 5 La suma de tres números consecutivos es 63. ¿Cuál es el mayor de dichos números? Resolución: 1) Identificación de la incógnita.

1) Sea“x” el menor de los tres números consecutivos.

2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que los tres números consecutivos x; x + 1; x + 2 deben sumar 63.

2) x+(x+1)+(x+2) = 63


3) x+(x+1)+(x+2)= 63 3x+3 = 63 3x = 63 - 3 3x = 60 à \

3x 60 = 3 3

x = 20


4) 20 + (20+1)+(20+2) = 63 63 = 63

5) Redacción de la respuesta.

5) El mayor de dichos números es 22.

Ejemplo 6 El cociente de dos números es 21. Si el divisor es 36, ¿cuál es el dividendo? Resolución: 1) Identificación de la incógnita. 2) Planteamiento de la ecuación. Debemos pensar que el dividendo (x) entre el divisor (36) nos da el cociente (21). 3) Resolución de la ecuación.

1) Sea “x” el dividendo. x = 21 2) 36 3)

x = 21 36

• Multiplicamos por 36 a ambos miembros de la ecuación 36


4)

x = 21·x36 36

756 = 21 36

21 = 21 5) Redacción de la respuesta.

128


5) El dividendo es 756.

\

x = 756


Taller de ejercicios 32 • Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación correspondiente. 1

Si a 15 697 le restamos cierto número obtenemos 12 321, ¿cuál es el número?

2

Resolución:

Un comerciante compró cinco televisores iguales y pagó en total S/. 3 190. ¿Cuál es el precio de cada televisor? Resolución:

3

Un padre deja una herencia a sus dos hijos en nuevos soles. Si al mayor le tocó S/. 27 835 y la diferencia de las herencias es S/. 3 976, ¿cuánto le tocó al menor?

4

La suma de tres números consecutivos es 264. ¿Cuál es el menor? Resolución:

Resolución:

5

La suma de cuatro números consecutivos es 1 274. ¿Cuál es el mayor? Resolución:

6

Hace 13 años la edad de Pedro era 9 años y dentro de 18 años la edad de María será 39 años. Actualmente, ¿quién es mayor? Resolución:


129


7

Tuve mucha suerte al vender mi televisor porque gané S/. 198; si el comprador me pagó S/. 694, ¿cuánto me costó el televisor? Resolución:

8

Tuve mala suerte al vender mi equipo de sonido porque perdí S/. 364. Si el comprador me pagó S/. 572, ¿cuánto me costó el equipo de sonido? Resolución:

•

Inecuaciones

Expresiones como: x + 7 < 13

23 – y < 9

z > 29 – 12

12 + n > 10

m – 6 < 17

son inecuaciones. Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución. Por ejemplo si queremos resolver la primera inecuación: x + 7 <13 tendríamos que hallar todos los números naturales que puede tomar la variable x tales que al agregarle 7 resulte un número menor que 13. Los números 0; 1; 2; 3; 4 y 5 hacen que la inecuación x+7<13 sea verdadera cuando se reemplaza la variable x por estos números. Por tanto, el conjunto solución S para la inecuación x + 7 < 13 es: S={0; 1; 2; 3; 4; 5}

130



•

Inecuaciones de la forma: ax + b < c Las inecuaciones que tienen esta forma son las siguientes: 3x+7<22

5x+3<28

2x+7<15

Antes de pasar a resolver inecuaciones debemos tener presente la siguiente propiedad:

Propiedad

Si a ambos miembros de una desigualdad se les divide por un mismo an d < número, la desigualdad se mantiene en el mismo sentido. n n

Ejemplos: a) Si 6 < 21, entonces:

6 21 < 3 3 { 2 < 7

1

b) Si 8 < 56, entonces:

1

1 < 7

A continuación vamos a resolver algunas inecuaciones de la forma:

1

8 56 < 8 8 {

ax + b < c

Halla el conjunto solución de la inecuación 3x + 8 < 14 Resolución:

3x +8 < 14 ¬ Inecuación 1°. miembro

2°. miembro

3x + 8 - 8 < 14 - 8

3x < 6

¬ Restamos 8 a ambos miembros. ¬ Efectuando la sustracción. ¬ Eliminando el cero.

3x 6 < 3 3

¬ Dividiendo entre 3 a ambos miembros.

3x + 0 < 6

El conjunto solución de la inecuación 3x + 8 <14 es: S= {0 ; 1}

x< 2


131

Manuel Coveñas Naquiche 2

Halla el conjunto solución de la inecuación 4x+5<29 Resolución: 4x + 5 < 29

¬ Inecuación.

El conjunto solución de la inecuación

4x + 5 - 5 < 29 - 5 ¬ Restamos 5 a ambos miembros. ¬ Efectuando la sustrac4x + 0 < 24 ción. ¬ Eliminando el cero. 4x < 24 4x 24 < 4 4

4x + 5 < 9 es: S = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

¬ Dividimos entre cuatro a ambos miembros.

x<6

Taller de ejercicios 33 • Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 9x + 7 < 52

Otra forma

Resolución: 9x + 7 < 52

9x +7 < 52 El 7 está sumando en el primer miembro pasa como -7 al segundo miembro; veamos: 9x<52 - 7

¬ Inecuación

9x + 7 - 7 < 52 - 7 ¬ Restamos 7 a ambos miembros. 9x + 0 < 45 ¬ Efectuamo la sustracción. ¬ Eliminamo cero 9x < 45 9x 45 < 9 9

9x<45 El 9 que está multiplicando a ‘‘x’’ en el primer miembro, al pasar al segundo miembro divide a 45, veamos:

¬ Dividimos entre 9 a ambos miembros.

x<

x<5

Luego:

El conjunto solución de la inecuación 9x +7 < 52 es: S = {0; 1; 2; 3; 4} b) 4x + 9 < 37 Resolución:

132


c ) 13x< 65 Resolución:

45 9

®

x <5

S = {0; 1; 2; 3; 4}

Sexto grado de primaria e) 2x + (53 - 43)< 75

d) 6x + 3< 57

f) 3x+ 43< 122-(82+72)+66

Resolución:

Resolución:

g) 7x < 72 - 5 × 6 - 5

Resolución:

h) 8x <52 - [13 - (13 - 5)] + 4

Resolución:

i) 12x + 17 - (62 - 30)<47

Resolución:

Resolución:

j) 4x< 27 + 7 < 28 + 3 Resolución:

•

Inecuaciones de la forma: ax b < c Las inecuaciones que tienen esta forma son las siguientes: 2x-3<7

4x-1<19

6x-5<31

A continuación vamos a resolver algunas inecuaciones de la forma: ax - b < c. 1.

Halla el conjunto solución de la

2.

Halla el conjunto solución de la

inecuación 3x - 5 < 10.

inecuación 5x-1<29.

Resolución:

Resolución:

3x - 5 < 10 3x - 5 + 5 < 10 + 5

5x - 1 < 29 5x - 1 + 1 < 29 + 1

3x - 0 < 15 3x < 15 3x 15 < 3 3

5x - 0 < 30 5x < 30 5x 30 < 5 5

x < 5 El conjunto solución de la inecuación 3x - 5 < 10 es: S = {0; 1; 2; 3; 4}

x <6 El conjunto solución de la inecuación 5x - 1 < 29 es: S = {0; 1; 2; 3; 4; 5}


133


Taller de ejercicios 34 • Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 6x - 5 < 67 Otra forma:

Resolución: 6x - 5 < 67

¬ Inecuación.

6x-5+5 <67 +5 ¬ Sumamos 5 a ambos miembros. 6x - 0 < 72 ¬ Efectuamos la adición. ¬ Eliminamo el cero. 6x < 72 ¬ Dividimos entre 6 a 6x 72 ambos miembros. < 6 6

6x - 5 < 67 El 5 está restando en el primer miembro pasa sumando al segundo miembro; veamos: 6x<67 + 5 6x<72 El 6 que está multiplicando a ‘‘x’’ en el primer miembro pasa dividiendo al segundo miembro, veamos: x<

x < 12 El conjunto solución de la inecuación 6x - 5 < 67 es:

Luego:

72 6

®

x <12

S = {0; 1; 2; 3; ...; 11}

S = {0; 1; 2; 3; ...; 11} b) 7x - 1< 34 Resolución:

e) 12x - (52 - 42) < 82- (25 + 5) Resolución:

134


c ) 9x - 5 < 67 Resolución:

f) 15x -[29 - (29 - 17)]< 62 - 23 Resolución:

d) 8x - (33 - 23) < 77 Resolución:

g ) 5x - 48 - (72 - 41) < 70 ÷ 14 - 1

Resolución:


Problemas de reforzamiento Nivel I

Problema 7 Resuelva la ecuación: 3x + 4 – x = 24 + 38, la suma de los dígitos de x es:

Problema

1 En la siguiente ecuación: x – 17 + 6 = 17 + 28 – 43 ¿Cuál es el valor de x? A) 15 D) 21 Problema

B) 13 E) 18

C) 12

2 Dadas las ecuaciones: 2x - 6 = 32 y - 11 = 24

¿Cuánto le debemos sumar como mínimo a (x + y) para obtener un cubo perfecto? A) 11 D) 10

B) 12 E) 18

C) 13

Problema 3 La suma de tres números consecutivos es 129. ¿Cuál es el número intermedio? A) 53 D) 58

B) 43 E) N.A.

C) 45

B) 1 E) 5

C) 3

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

Problema 6 Dada la siguiente ecuación: 3x + (1+2+3+…+14+15) = 10 2 + 7 2 + 2 2 ¿cuál es el valor de 4x – 9? A) 24 D) 38

B) 35 E) 40

A) S/. 386 D) S/. 396

C) 41

C) 9

B) S/. 526 E) S/. 436

C) S/. 456

Problema 9 El perímetro de una cancha de fútbol es 276 m. Si el ancho mide 46 metros, ¿cuánto mide el largo de la cancha? A) 80 m D) 88 m

B) 92 m E) N.A.

C) 100 m

Problema 10 Dadas las ecuaciones: 13x = 174 – 18 8y = 158 + 26 El valor de x + y es: B) 30 E) 42

C) 33

Problema 11 El dinero que tiene Giussepe es el doble del dinero de Diego y el dinero de Pablo es el triple de Giussepe. Si en total tienen S/. 468, ¿cuánto tiene Diego? A) S/. 52 D) S/. 64

Problema 5 Si al triple de un número se le suma 21 resulta 33, ¿cuál es dicho número?

B) 8 E) 10

Problema 8 Pablo compró 7 cocinas igua les y pagó en total S/. 3 192. ¿Cuál es el precio de cada cocina?

A) 28 D) 35

Problema 4 La suma de los tres términos de una sustracción es 274. Hallar el minuendo y dar como respuesta la ci fra de las centenas. A) 2 D) 4

A) 6 D) 11

B) S/. 49 E) S/. 51

C) S/. 54

Problema 12 Resuelve: x + 55 – 18 > 134 – 66 A) x > 28 D) x > 31

B) x > 24 E) x > 33

C) x > 27

Problema 13 El menor valor natural de “x” que resuelve la inecuación 2x – 8 > 37 – 3x es: A) 17 D) 18

B) 15 E) 10

C) 12


135


Problema 14 Dada la inecuación siguiente: 2x + 13 < 25. Hallar el conjunto solución. A) {0; 1; 2; 3; 4} B) {0; 1; 2; 3} C) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} D) {0; 1; 2} E) {0; 1; 2; 3; 4; 5} Problema 15 Si x < 24 x > 9 ¿cuántos son los valores naturales de x que satisfacen ambas condiciones? A) 14 D) 10

B) 12 E) 15

C) 13

Problema 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x – 18 = 57 ; 2y – 29 = 43 ¿Cuál es el valor de 3x - y ? A) 1 D) 4 Problema

Problema 1 Hace 19 años la edad de Ángelo era 24 años. ¿Qué edad tendrá Ángelo dentro de 22 años? A) 48 años D) 65 años


Problema 2 Al resolver: 3x + 2x – 6 = 59 se obtiene el valor de x; ¿cuál es ? A) 8 D) 9 Problema

B) 12 E) 15

C) 13

3 Si 5 ab + 48 = 2ab + 156 ,

calcular: a + b A) 2 D) 5 Problema

B) 4 E) 3

C) 6

4 En la igualdad siguiente:

x + 64 ¸ 2 = 24 + 1 . ¿Cuál es el valor de x?

A) 13 D) 15

B) 14 E) 17

C) 11

Problema 5 Dada la ecuación: 48 – (x – 9) = 25. ¿Cuál es el valor de x? A) 23 D) 19

136

B) 32 E) 15


C) 21

C) 3

7 Encuentre el valor de n en:

15n + 4n – 12n = 30 – éë 5 + A) 1 D) 3 Problema

Nivel II

B) 2 E) 0

(

)

16 - 2 ù - 3 8 û

B) 4 E) 5

C) 7

8 Dada la ecuación:

3(x – 5) + 4x = 2 6 ¸ 4 + 100 + 5 0 . ¿Cuál es el valor de x? A) 6 B) 7 C) 10 D) 8 E) 5 Problema 9 Un padre a quien se le pregun ta por la edad de su hijo contesta: “Mi edad es el triple de mi hijo, pero hace 10 años mi edad y la suya sumaban 60 años”. ¿Cuántos años tenía el padre al nacer su hijo? A) 40 D) 30

B) 20 E) 60

C) 50

Problema 10 Un carpintero gana anualmen te S/. 3 600 y esta cantidad es mayor en S/. 336 de lo que gana su ayudante al año. ¿Cuánto gana el ayudante mensualmente ? A) S/. 200 D) S/. 272

B) S/. 360 E) S/. 250

C) S/. 300

Problema 11 Ricardo compró dos docenas de polos, todo por S/. 180. ¿En cuánto debe ven der cada polo para ganar S/. 4,5 en cada uno? A) S/. 10 B) S/. 15 C) S/. 9 D) S/. 12 E) S/. 16 Problema 12 En una división inexacta, el di visor es 26 y el resto 6, si el divisor disminuye en 8 el cociente aumentaría en 3 y no habría resi duo. Hallar la suma de las cifras del dividendo. A) 9 D) 8

B) 11 E) 6

C) 13

Sexto grado de primaria Problema 13 Dada la inecuación: 9x – [16 – (31 – 28)]< 3x + 28 – (13 – 8) La suma de los elementos del conjunto solu ción es: A) 6 D) 15

B) 9 E) 21

C) 10

Problema 14 Halle el conjunto solución de la inecuación 4x + 27 – 36 < 84 – 9. Dé como res puesta la suma de los elementos que son múltiplos de 6. A) 24 D) 56

B) 18 E) 30

C) 36

Problema 15 El mayor valor natural de y en la inecuación 5y – 9 < 111 es ab . ¿Cuántas de las afirmaciones siguientes son verdaderas? I. ba es divisible por 8. II. ab es un número par. . III. ab tiene 4 divisores. IV. a + b = 5 V. ab + 2 = cuadrado perfecto. A) 0 B) 1 D) 3 E) 5

C) 2

Problemas de olimpiadas Problema 1 Si a mi edad lo divides entre tres no obtienes residuo y si le aumentas 12 al cociente obtienes 20. ¿Cuántos años tengo? A) 26 D) 8

B) 32 E) 27

C) 24

Problema 2 Presté la mitad de lo que te nía y de la otra mitad, pagué la mitad y me que daron S/. 25. ¿Cuánto tenía al principio? A) S/. 100 D) S/. 75

B) S/. 120 E) S/. 150

C) S/. 80

Problema 3 En 1949 la edad del padre era 9 veces la edad de su hijo, en 1954, la edad del padre fue el quíntuple de la edad de su hijo. ¿Cuál era la edad del padre en 1981? A) 58 años D) 77 años


Problema 4 Un comerciante va a comprar cuadernos a S/. 5 cada uno y al pagar, le infor man que por aniversario le regalan uno por cada docena. Calcula cuánto pagó, si al final se llevó 260 cuadernos? A) S/. 800 B) S/. 1 000 C) S/. 1 400 D) S/. 1 200 E) S/. 850 Problema 5 En una tienda de animales exóticos se venden iguanas, una grande cues ta el doble que una pequeña. Harry ha compra do 5 grandes y 3 pequeñas. Potter ha compra do 3 grandes y 2 pequeñas y ha pagado 205 euros menos que Harry. ¿Cuántos euros cuesta una iguana grande? A) 36 D) 82

B) 41 E) 94

C) 56

Problema 6 Si sumo las edades de mis dos hermanos obtengo 42 años pero si divido la edad del mayor entre la edad del menor ob tengo un cociente igual a 6 sin residuo; si al sumar mi edad con la de mi hermano mayor obtengo 47 años, ¿cuántos años tengo? A) 12 D) 15

B) 13 E) 14

C) 11

Problema 7 La suma de las cantidades de A; B y C es 276, la diferencia entre A y B es igual a lo que tiene C aumentado en 12. Calcu lar el valor de A, si la cantidad de C es el doble de la cantidad de B. A) 136 D) 97

B) 144 E) 127

C) 125

Clave de respuestas 1. B 6. B 11. A

2. D 7. D 12. D

1. D 6. C 11. D

2. C 7. D 12. A

1. C 6. C

Nivel I 3. B 8. C 13. E Nivel II 3. E 8. A 13. D

4. B 9. B 14. E

5. A 10. D 15. A

4. A 9. A 14. C

5. B 10. D 15. D

Problemas de olimpiadas 2. A 3. D 4. D 7. B Sexto Grado de Primaria

5. D

137


3 •

Múltiplos, Divi sores y Divisibilidad

Introducción Pedro y Alfredo trabajan en una ladrillera acomodando los ladrillos en rumas. Ruma de ladrillos de Pedro

40 ladrillos en la base Pedro observa que acomodando un millar de ladrillos “KingKong” de 40 en 40 obtiene 25 capas de ladrillos. En la ruma formada no sobra ningún ladrillo. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Ruma de ladrillos de Alfredo

32 ladrillos en la base Alfredo observa que acomodando un millar de ladrillos “KingKong” de 32 en 32 obtiene 31 capas de ladrillos. En la ruma formada sobran 8 ladrillos.

¿Cuántas veces contiene 1 000 a 40? ¿Se puede afirmar que el número de veces que contiene 1 000 a 40 es igual al número de capas que forman la ruma? ¿Cuántas veces contiene 1 000 a 32? ¿Se puede afirmar que el número de veces que contiene 1 000 a 32 es igual al número de capas que forman la ruma? ¿Por qué colocando 40 ladrillos en la base se forma un número exacto de capas? ¿Por qué colocando 32 ladrillos en la base no se forma un número exacto de capas? Si Alfredo coloca 25 ladrillos en la base, ¿obtendrá un número exacto de capas? Si Alfredo coloca 50 ladrillos en la base, ¿obtendrá un número exacto de capas? ¿Cómo podrá averiguar el número de ladrillos que debe colocarse en la base para obtener un número exacto de capas al acomodar un millar de ladrillos?

1. Múltiplos de 3


141


Observa qué sucede si se suman las cifras que forman cada uno de estos múltiplos de 3. 21 51 81 42 123 69

® ® ® ® ® ®

2+1=3 5+1=6 8+1=9 4+2=6 1+2+3=6 6 + 9 = 15

Un número de dos o más cifras es múltiplo de 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

2. Múltiplos de 4

4 Si quisiéramos saber si el número 548 es múltiplo de 4, nos basta saber si sus dos últimas cifras (48) forman un múltiplo de 4. En este caso 48 sí es múltiplo de 4, por lo tanto, 548 es múltiplo de 4. Un número es múltiplo de 4 si sus dos últimas cifras son un múltiplo de 4 o son ceros.

3. Múltiplos de 5

Como se podrá observar los múltiplos de 5 acaban en 5 o en cero.

4. Múltiplos de 9

Observa qué sucede si se suman las cifras que forman estos múltiplos de 9. 72 63

142

® ®

7+2=9 6+3=9


45 ® 180 ®

4+5=9 1+8+0=9

279 ® 585 ®

2 + 7 + 9 = 18 5 + 8 + 5 = 18


Un número es múltiplo de 9 cuando sumadas sus cifras se obtiene un múltiplo de 9.

5. Múltiplos de 10

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120

Números Naturales Múltiplos de 10

Un número es múltiplo de 10 si termina en cero.


1

Escr ibe nueve múlt iplos d e 7.

2

............ ; ............. ; ............. ; ............ ; ............. ; ............. ; ............ ; ............. ; ............. .

3

4

5

Escribe nueve múltiplos de 13. ............ ; ............. ; ............. ; ............ ; ............. ; ............. ; ............ ; ............. ; ............. .

Encierra los números que son múltiplos de 2. 16

124

261

69

84

174

365

28

302

306

71

96

268

468

42

406

473

47

120

569

363

Encierra los números que son múltiplos de 3. 18

45

42

206

3 096

5 613

147

24

16

53

309

4 152

408

269

21

27

47

417

5 061

526

145

¿Cuáles de estos números son múltiplos de 4? Táchalos. 436

316

631

152

270

372

404

524

240

549

148

268

306

458

608

146

528

106

254

342

463


143


Halla los múltiplos de 9 comprendidos entre: 25 y 120. .......... ; ......... ; .......... ; ........... ; ........... ; ...........; ........... ; ........... ; ...........; .......... ; .........

7

Tacha(×) los números que son múltiplos de 9.

8

144

602

309

236

2 349

6 715

261

407

234

143

6 129

5 914

306

506

324

639

9 909

3 996

Tacha(×) los números que son múltiplos de 10.

9

1 260

1 306

4 560

5 603

6 500

3 408

2 004

3 000

4 050

3 201

2 700

1 050

4 007

7 000

4 003

Escribe los múltiplos de 11 comprendidos entre 30 y 150. .......... ; ......... ; .......... ; ........... ; ........... ;............; ........... ; ........... ; ...........; .......... ; .........

10 Escribe los múltiplos de 13 comprendidos entre 25 y 160. .......... ; ......... ; .......... ; ........... ; ........... ;............; ........... ; ........... ; .......... ; .......... ; .........

11

Halla los elementos de cada conjunto:

a) A: conjunto de los múltiplos de 6 menores que 63. Resolución:

b)

B: conjunto de los múltiplos de 14 menores que 100. Resolución:

(Son los números múltiplos de 6 menores que 63) Luego:

(Son los números múltiplos de 14 menores que 100) Luego:

A = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60}

B= {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98}

144



c)

C: conjunto de los múltiplos de 5 menores que 72.

d)

Resolución:

e)

E: conjunto de los números pares menores que 31. Resolución:

12

D: conjunto de los múltiplos de 17 menores que 140. Resolución:

f)

F: conjunto de los números impares menores que 40. Resolución:

Escribe los elementos “x” de los conjuntos que cumplen las siguientes propiedades. a) A= {x/x es múltiplo de 7 y 32 < x < 70} Resolución: La expresión 32 < x < 70 se lee: “x” es mayor que 32, pero menor que 70; siendo “x” múltiplo de 7 (“7k”). Donde: 32 < x < 70 32 < 7k < 70 Los valores que toma “k” son: 5; 6; 7; 8; 9

Luego: cuando k = 5

®

7k = 7(5) = 35

cuando k = 6

®

7k = 7(6) = 42

cuando k = 7

®

7k = 7(7) = 49

cuando k = 8

®

7k = 7(8) = 56

cuando k = 9

®

7k = 7(9) = 63

Rpta.

A = {35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63}

b) B ={x/x es múltiplo de 19 y 50 < x < 120} Resolución: La expresión 50 < x < 120 se lee: “x” es mayor que 50, pero menor que 120; siendo “x” múltiplo de 19 (“19k”).


145

Manuel Coveñas Naquiche Donde:

50 < x < 120

B

50 < 19 k < 120 Los valores que toma “k” son: 3; 4; 5 y 6. Luego: cuando k = 3 cuando k = 4 cuando k = 5 cuando k = 6

® ® ® ®

R pt a .

B = {57; 76; 95; 114}

c)

19k = 19(3) = 57 19k = 19(4) = 76 19k = 19(5) = 95 19k = 19(6) = 114

C={x/x es múltiplo de 9 y 50 < x <90}

d)

Resolución:

e)

E={x/x es múltiplo de 6 y 41 < x < 78} Resolución:

•

D = {x/x es múltiplo de 13 y 50 < x < 105} Resolución:

f)

F = {x/x es múltiplo de 12 y 70 < x < 110} Resolución:

Divisores de un número Decimos que un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta. Una división es exacta si el residuo que se obtiene es cero. Observa estos ejemplos:

146


Sexto grado de primaria Esta división es exacta porque el resto es cero. Como 6 divide a 54 en forma exacta decimos que: 6 es divisor de 54 Esta división no es exacta porque su resto es distinto de cero. Por lo tanto: 7 no es divisor de 54

Los divisores de un número dado son los números que los dividen en forma exacta. 1 es divisor de cualquier número.

Observa cómo podemos encontrar los divisores de un número. Ejemplo

1

¿Cuáles son los divisores de 18?

Buscamos todos los pares de números que al ser multiplicados den como resultado 18. Estos son factores de 18.

18

:

1

18

:

2

18

:

3

18

:

6

Entonces se observa que los números que son factores de 18, también son sus divisores.

18

:

9

Se escribe:

18

:

18

Si se divide 18 entre 1; 2; 3; 6; 9 ó 18, se puede comprobar que las divisiones son exactas.

D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Todo factor de un número es divisor de él.

Ejemplo: 3 es factor de 18, además es divisor de 18. 6 es factor de 18, además es divisor de 18.


147

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 2


Resolución: Buscamos todos los pares de números que al ser multiplicados den como resultado 40. Estos son factores de 40.

40

:

1

40

:

2

40

:

4

40

:

5

40

:

8

Entonces se observa que los números que son factores de 40, también son sus divisores.

40

:

10

Se escribe:

40

:

20

40

:

40

Si se divide 40 entre 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 ó 40, se puede comprobar que las divisiones son exactas.

D(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}


Ejemplo 3 Resolución:

Buscamos todos los pares de números que al ser multiplicados, den como resultado 54. Estos son factores de 54.

•

54

:

1

54

:

2

54

:

3

54

:

6

54

:

9

54

:

18

54

:

27

54

:

54

Si se divide 54 entre 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27 ó 54, se puede comprobar que las divisiones son exactas. Entonces se observa que los números que son factores de 54, también son sus divisores. Se escribe: D(54) = {1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}

Número de divisores de un número natural Para saber cuántos divisores tiene un número natural se procede de la manera siguiente: 1) Se descompone el número en sus factores primos

148


Sexto grado de primaria 2) Al exponente de cada factor primo se le suma 1, los resultados de cada una de estas operaciones se multiplican, dándonos como resultado el número de divisores, veamos: Ejemplo

1

Ejemplo 2

Halla el número de divisores del número 36.

Halla el número de divisores del número 360.

Resolución:

Resolución:

1) Descomponemos el número 36 en sus factores primos.

1) Descomponemos el número 360, en sus factores primos.

36

2

18

2

9

3

3

3

U | | 36 = 2 × 2 × 3 × 3 V 123 123 | | W 2

2

36 = 2 × 3 1 424 3 (factores primos)

1

360

2

180

2

90

2

45

3

15

3

5

5

U | | | V 360 = 212 × × 32 ×33 × 5 42 4 32 ×1 | | | W 360 = 21×423 4×35 {

3

1

2) Al exponente de cada factor primo se le suma 1 , obteniendo: 2 +1=

3

2 +1=

3

\

U Multiplicamos estos V Wresultados

N° de divisores de 36 = 3 × 3 = 9

2

1

(factores primos)

2) Al exponente de cada factor primo se le suma 1, obteniendo: 3 +1= 4 2 +1= 3 1 +1= 2 \

U | Multiplicamos estos V resultados | W

N° de divisores de 360 = 24


Escribe en cada casillero una V si la proposición es verdadera o una F si es falsa. 25 es factor de 25

®

9 es divisor de 108 ®

4 es factor de 144

®


13 es factor de 65

®

3 es divisor de 75

®

7 es factor de 72

®

1 es divisor de 42

®

16 es factor de 8

®


32 es factor de 160 ®

7 es divisor de 73

®

21 es factor de 7

6 es divisor de 44

®

®


149


Completa las multiplicaciones con los factores que faltan y escribe el conjunto de divisores de cada número. × 54 = 54

1×

= 20

× 24 = 48

= 54

2×

= 20

× 16 = 48

2x

× 18 = 54 6×

D(54) = 3

×5

= 54

1×

.....;.....;.....;....., U R S V .....;.....;.....;.....,. W T

D(20) =

= 20

4×

= 48 .....;.....;.....; U R S T .....;.....;..... . V W

= 48 ×8

D(48) =

= 48

.....;.....;.....;.....;.....; U R S T .....;.....;.....;.....;...... V W

Pinta de color azul los casilleros con los divisores del número que se indica en cada caso.

Escribe el conjunto de divisores de estos números. . . . . . . .....,.....,.....,....., .....,.....,..... . . . . D(45) = D(60) = .....,.....,.....,....., . . .....,.....,..... . . . . . .....,.....,.....,.....,

R | S | T

4

U | V |W

R S T

U V W

. . . . U .....,.....,.....,....., R | | . . . . D(72) = S .....,.....,.....,....., V . . . | .....,.....,.....,....., .| T W

Completa: {1; .....; 3;...... ;...... ;......} es el conjunto de divisores de 18. {......; ......; ......; 4; .....; .....; ......; ....; 36} es el conjunto de divisores de 36. {.....; ......; .....; 5; ....; ....; 15; .....} es el conjunto de divisores de 30. {.....; ......; 4; ....; 14; ......} es el conjunto de divisores de 28.

5

Halla el número de divisores de cada uno de los siguientes números: a) 80 Resolución:

150



b) 126

c)

Resolución:

•

128

d) 750

Resolución:

Resolución:

Números primos y números compuestos Se llama número primo a todo número que tiene como únicos divisores al uno y a él mismo. Ejemplos: 2 es número primo porque sus únicos divisores son 1 y 2. 3 es número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3. 5 es número primo porque sus únicos divisores son 1 y 5. 17 es número primo porque sus únicos divisores son 1 y 17.

Todo número que tiene más de dos divisores recibe el nombre de número compuesto.

Ejemplos: 6 es número compuesto porque además de 1 y 6 tiene como divisores a 2 y 3. 9 es número compuesto porque además de 1 y 9 tiene como divisor a 3. 14 es número compuesto porque además de 1 y 14 tiene como divisores a 2 y 7. El número cero no es divisor de ningún número. 7 10 15 28 ; ; ; Símbolos como: etc. no representan números. 0 0 0 0 Atención

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

13 14

15

11 12 16

17 18

21 22 26

23 24

25

29

30

33 34

35

37 38

41 42 46

20

27 28

31 32 36

19

39

40

43 44

45

47 48

49

50

Eratóstenes, un sabio griego que vivió hace unos dos mil doscientos años, descubrió un procedimiento para encontrar los números primos inferiores a un número dado. Si queremos hallar por ese procedimiento los números primos entre 1 y 50, procedemos así: a) Tachamos 1, que no es primo ni compuesto. b) Tachamos los múltiplos de 2, excepto 2. c) Tachamos los múltiplos de 3, excepto 3. d) Tachamos los múltiplos de 5, excepto 5. e) Tachamos los múltiplos de 7, excepto 7. ¿Comprendes por qué no hay necesidad de tachar los múltiplos de 4 y de 6? Los números no tachados son primos. Los tachados, menos el 1, son compuestos.


151



1

2

Encuentra los divisores del número 36.

Encuentra los divisores del número 48. Resolución:

Resolución:

\

D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

3 Dada la tabla con los números del 1 al 100, usa el método de Eratóstenes y halla los números primos entre 1 y 100. 1

2

3

4

5

6

11 12 13 14

15

21 22 23 24

7

Resolución:

8

9

10

16

17 18

19

20

25

26

27 28

29

30

31 32 33 34

35

36

37 38

39

40

41 42 43 44

45

46

47 48

49

50

51 52 53 54

55

56

57 58

59

60

61 62 63 64

65

66

67 68

69

70

71 72 73 74

75

76

77 78

79

80

81 82 83 84

85

86

87 88

89

90

91 92 93 94

95

96

97 98

99 100

4 Observa el número en cada caso, escribe el conjunto formado por sus divisores y finalmente indica si éste es primo o compuesto. 2

6

{1; 2}

{1; 2; 3; 6}

Número Divisores Cl as if ic ac ió n

152

Primo Compuesto


7

9

12

17

21

47

51


5

Escribe los números primos que hay en-

6

Escribe los números primos que hay

tre 30 y 50.

entre 50 y 75.

Resolución:

Resolución:

30 ; 31; 37; 41; 43; 47; 50 144424443 (Son primos porque sólo tienen como divisores al uno y al mismo número)

7

Halla los elementos de cada conjunto: A = {x Î N / 8 < x < 26; “x” es número primo} B = {x Î N / 15 < x < 38; “x” es número primo}

Resolución: La expresión x ÎN / 8 < x < 26 se lee así: “x” pertenece a los números naturales tal que “x” es mayor que 8 pero menor que 26.

Resolución:

Luego, los números primos comprendidos entre 8 y 26 son: 11 ; 13 ; 17 ; 19 y 23. R pt a .

A={11; 13; 17; 19; 23}

C={xÎ N / 10 < x < 40 ; “x” es número primo}

D={xÎN /15
Resolución:

Resolución:

Los números primos comprendidos entre 10 y 40 son: 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37. Son primos porque tienen como divisores al 1 y al mismo número. R pt a .

8

C = {11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37}

Encuentra dos números primos cuya suma sea: a) 19 ® 2

d) 56 ®

... y ...

g) 86 ® ... y ...

b) 74 ® ... y ...

e) 84 ®

... y ...

h) 64 ® ... y ...

c ) 88 ® ... y ...

f) 80 ®

... y ...

i) 76 ® ... y ...

y 17


153


•

Factorización prima “ Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos” . Los “árboles de factores”nos permiten encontrar la factorización prima de un número. Observa cómo a través de este árbol podemos encontrar la factorización prima de 48. •

En primer lugar se buscan dos números que, al ser multiplicados, nos den 48 como resultado.

•

Después se sigue el mismo procedimiento anterior con cada uno de los factores encontrados hasta que cada “RAMA” termine en un número primo.

•

Los últimos números de cada rama son factores primos. En este caso la factorización prima de 48 es: 48 = 2 × 3 × 2 × 2 × 2

• Observa estos otros árboles que, aunque empiecen con distintos factores que los del ejemplo anterior, también nos permiten llegar a la misma factorización prima de 48.

48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Para todo número compuesto existe sólo una factorización prima.


Marca con un aspa el número que corresponde a cada factorización prima. a) 5×3×2×2×2

b) 2×3×3×7

60 120 180

154


63 189 126

c ) 2×2×3×5×5 200 300 600

d) 2×2×2×5×7 360 280 720


2 Escribe la factorización prima de los siguientes números:

3

a) 60 =

d) 150 =

g) 180 =

b) 54 =

e) 600 =

h) 144 =

c ) 108 =

f) 300 =

i) 280 =

Completa los siguientes “árboles de factores”. a)

b)

c)

Guíate por los árboles y escribe la factorización prima de cada número. 90 =

•

×

×

×

; 420 =

×

×

×

×

; 294 =

×

×

×

Divisibilidad Las reglas de divisibilidad nos permiten encontrar divisores de un número en forma rápida.

1 a . regla:

Un número es divisible entre 2 si su última cifra es cero o cifra par.

Ejemplos : 70; 184; 672; 480

Son números divisibles entre 2, porque 70 y 480 terminan en cero, y 184 y 672 terminan en cifra par.

49; 73; 81; 577

No son divisibles entre 2, porque ninguno de ellos termina en cero o cifra par.

2 a . regla: Ejemplos: 231; 516; 792; 105

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Son números divisibles entre 3, porque la suma de las cifras de cada uno de ellos es múltiplo de 3. Veamos:


155

Manuel Coveñas Naquiche I ) 231® 2+3+1 =

6

“6 es múltiplo de 3”.

I I ) 516 ® 5+1+6 = 12


I II )792 ®7+9+2 = 18


I V )105 ® 1+0+5 =


6

No son divisibles entre 3, porque la suma de las cifras de cada uno de ellos no es múltiplo de 3. Veamos:

541; 74; 275

I ) 541® 5 + 4 + 1

= 10

“10 no es múltiplo de 3.”

I I ) 74 ® 7 + 4

= 11

“11 no es múltiplo de 3”

III) 275 ® 2 + 7 + 5 = 14

“14 no es múltiplo de 3”

3 a . regla:

Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4.

Ejemplos :

I)

3 700; 3 148; 136; 72

3 700 es divisible entre 4, porque sus dos últimas cifras son ceros.

I I ) 3 148 es divisible entre 4, porque sus dos últimas cifras (48) es un número múltiplo de 4. I I I ) 136 es divisible entre 4, porque sus dos últimas cifras (36) es un número múltiplo de 4. I V ) 72 es divisible entre 4, porque sus dos últimas cifras (72) es un número múltiplo de 4.

4 a . regla:

Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 0 ó 5.

Ejemplos:

I)

385 es divisible entre 5, porque su última cifra es 5.

I I ) 670 es divisible entre 5, porque su última cifra es 0. 385; 670; 805; 3 100

I I I ) 805 es divisible entre 5, porque su última cifra es 5. I V ) 3 100 es divisible entre5, porque suúltima cifra es cero.

5 a . regla:

Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez.

Ejemplos:

I)

4 236 es divisible entre 2, porque termina en cifra par (6); es divisible entre 3, porque: 4 + 2 + 3 + 6 = 15 y “15” es

4 236; 78; 588

156


múltiplo de 3. Por lo tanto, 4 236 es divisible entre 6.

Sexto grado de primaria I I ) 78 es divisible entre 2, porque termina en

I II ) 588 es divisible entre 2, porque termina en

cifra par (8); es divisible entre 3, porque:

cifra par (8); es divisible entre 3, porque:

7 + 8 = 15 y “15” es múltiplo de 3. Por lo

5+8+8= 21

tanto, 78 es divisible entre 6.

tanto 588 es divisible entre 6.

6 a . regla:

“21” es múltiplo de 3. Por lo

Un número es divisible entre 8 si sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8.

Ejemplos:

I)

36 000 es divisible entre 8, porque sus tres últimas cifras son ceros.

36 000; 5 168; 336

I I ) 5 168 es divisible entre 8, porque sus tres últimas cifras (168) forman un número que

Þ

es múltiplo de 8

I I I ) 336 es divisible entre 8, porque sus tres últimas cifras (336) forman un número que

Þ

es múltiplo de 8.

7 a . regla:

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. I)

Ejemplos:

72 es divisible entre 9, porque la suma de sus cifras: 7 + 2 = 9 es múltiplo de 9.

I I ) 3 015 es divisible entre 9, porque la suma de sus cifras:

72 ; 3 015 ; 7 983

3+0+1+5= 9

es múltiplo de 9.

I I I ) 7 983 es divisible entre 9, porque la suma de sus cifras: 7 + 9 + 8 + 3 = 27

8 a . regla:

Un número es divisible entre 10 si su última cifra es 0.

Ejemplos: 70; 850; 1 080; 7 560; 8 750

9 a . regla:

es múltiplo de 9.

Sí son divisibles entre 10, porque cada uno de estos números termina en cero.

Un número es divisible entre 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la suma de las que ocupan los lugares pares (comenzando por la derecha) es cero o múltiplo de 11.


157

Manuel Coveñas Naquiche I)

Ejemplos:

2 145 es divisible entre 11, porque: (5 + 1) - (4 + 2) = 0

123

2 145; 34 903; 176

123

ocupan I F ocupan I F G J G J H lugar impar K H lugar par K

I I ) 34 903 es divisible entre 11, porque: (3 + 9 + 3) - (0 + 4) = 11 I I I ) 176 es divisible entre 11, porque: (6 + 1) - (7) = 0

•

Divisibilidad entre 25 y 125 A. Un número es divisible por 25 Si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. Ejemplos: 325; 9 050; 3 200 I)

325 es divisible entre 25, porque sus dos últimas cifras es un número múltiplo de 25.

I I ) 9 050 es divisible entre 25, porque sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 25. I I I ) 3 200 es divisible entre 25, porque sus dos últimas cifras son ceros.

B. Un número es divisible entre 125 Si sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125. Ejemplos:

I)

20 375; 5 875; 4 000

20 375 es divisible entre 125, porque sus tres últimas cifras forman un número múltiplo de 125, veamos:

I I ) 5 875 es divisible entre 125, porque sus tres últimas cifras forman un número múltiplo de 125, veamos: I I I ) 4 000 es divisible entre 125, porque sus tres últimas cifras son ceros.


158

En los siguientes números falta una cifra, complétalos siguiendo la instrucción dada. Todos estos números son divisibles entre 2. a) 47

d) 1 345

g) 3 710

j) 2 750

b) 18

e) 786

h) 6 538

k) 5 403

c) 452

f) 3 742

i) 2 561

l) 8 116



•

Todos estos números son divisibles entre 3. a) 72 b)

46

c ) 80 •

d) 350

g) 72

4

j) 508

e) 506

h) 561

f) 124

i) 78

2

l) 6

43

d) 646

g) 31

8

j) 13

8

e) 352

h) 72

6

k)

541

f) 78

i) 3

64

l)

724

k)

542

Todos estos números son divisibles entre 6. a) 37 b)

46

c ) 53

2 Tacha los números que son divisibles entre 5. 3 705; 1 470; 136; 4 718; 30 505; 7 100; 91 250 3 Encierra con una línea azul los números divisibles entre 2, con una línea roja los números divisibles entre 3, con una línea amarilla los números divisibles entre 4 y con una línea verde los números divisibles entre 5. 576 906 1 044 12 546 1 530

472 4 128

7 054 3 036

53 600 3 848

36 605

4 Completa el cuadro escribiendo una V si la proposición es verdadera o una F si es falsa. Aplica las reglas de divisibilidad.

Número 40

Es divisible entre 2

3

4

5

6

8

9

10

V

F

V

V

F

V

F

V

324 5 460 732 2 370 675 1 293 4 404


159


5 La flecha se lee: “es divisible entre ”, completa los diagramas siguientes: a)

Resolución:

(52 + 3 × 5) •

• 2

(34 - 1) •

• 3

(43 - 24) •

• 4

(33 + 3 × 4) •

• 2

(5 × 32) •

• 3

(25 × 2 + 6) •

• 4

• 2

(34 - 1) = 80

• 3

(43 - 24) = 48

• 4 • 5

R 40 es divisible entre 2, 4 y 5 U | | 80 es divisible entre 2, 4 y 5 V S | 48 es divisible entre 2, 3 y 4 | T W

• 5

b)

(52 + 3 × 5) = 40

Resolución:

• 5 c)

Resolución:

(53 - 5) •

• 2

(72 + 30) •

• 3

(23 + 32 + 13) •

• 4 • 5 • 6

6 Completa el cuadro escribiendo una V si la proposición es verdadera o una F si es falsa. Aplica las reglas de divisibilidad.

Número

Es divisible entre 3

41 536 27 900 7 854 10 572 97 680 49 775

160


4

6

8

9

11

25

Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria

7

Halla los elementos de cada conjunto: A = {x Î N / 23 < x < 38 ; “x” es divisible entre 4}

B={xÎ N/ 47 < x <85; “x” es divisible entre 9}

Resolución:

Resolución:

En la expresión 23 < x < 38; “x” es divisible entre 4, la palabra divisible entre 4 se puede sustituir por “4k”, donde “k” toma valores de los números naturales, es decir: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...

En la expresión 47 < x < 85; “x” es divisible entre 9, la palabra divisible entre 9 se puede sustituir por “9k”, donde “k” toma los valores de los números naturales, es decir: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...

Luego: 23 < x < 38

Luego: 47 < x < 85 47 < 9k < 85

B

23 < 4k < 38

“k” toma los valores de: 6; 7; 8 y 9. “k” toma los valores de: 6; 7; 8 y 9.

•

Para Para para para

k=6 k=7 k=8 k=9

\

A = {24; 28; 32; 36}

® ® ® ®

4k = 4(6) = 4k = 4(7) = 4k = 4(8) = 4k = 4(9) =

24 28 32 36

para para para para

k=6 k=7 k=8 k=9

\

B = {54; 63; 72; 81}

® ® ® ®

9(6) = 9(7) = 9(8) = 9(9) =

54 63 72 81

C = {x Î N/ 52 < x < 67; “x” es divisible entre 5}

D = {x Î N / 23 < x < 32; “x” es divisible entre 3}

Resolución:

Resolución:

E = {x Î N/ 70 < x < 90; “x” es divisible entre 8}

F = {xÎN / 106 < x < 133 ; “x” es divisible entre 11}

Resolución:

Resolución:

Mitad, tercia, cuarta, ... de números naturales

1. Mitad de un número natural Hallar la mitad de un número natural implica dividir dicho número entre 2, veamos:


161

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 1 Halla la mitad de 864. • La mitad de 864 es el cociente que resulta de dividir 864 entre 2. Entonces, la mitad de 864 es 432.

Atención

Para saber si un número natural tiene mitad, dicho número debe terminar en cifra par o en cero.

En la práctica, la mitad de 864 se obtiene de la siguiente manera:

**

864

1º) Mitad de 8 es

4

2º) Mitad de 6 es

3

3º) Mitad de 4 es

2

®

La mitad de 864 es 432.

Ejemplo 2 Halla la mitad de 782.

•

La mitad de 782 es el cociente que resulta de dividir 782 entre 2. Entonces, la mitad de 782 es 391

**

En la práctica, la mitad de 782 se obtiene de la siguiente manera: 1°)

7 no tiene mitad, en este caso se opera de la manera siguiente:

782

2°)

El residuo de la operación anterior (1) y el 8 forman el número 18, cuya mitad es 9.

3°) \

162

Mitad de 2 es 1.

La mitad de 782 es 391


Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria Ejemplo

Halla la mitad de 496.

3

• La mitad de 496 es el cociente que resulta de dividir 496 entre 2. Entonces la mitad de 496 es: 248 **

En la práctica, la mitad de 496 se obtiene de la siguiente manera:

496

\

1°)

Mitad de 4 es 2.

2°)

9 no tiene mitad, en este caso, se opera de la manera siguiente:

3°)

El residuo de la operación anterior (1) y el 6 forman el número 16, cuya mitad es 8.

La mitad de 496 es 248

2. Tercia de un número natural Hallar la tercia de un número implica dividir dicho número entre 3, veamos: Ejemplo

1

Halla la tercia de 366.

Atención

* La tercia de 366 es el cociente que resulta de dividir 366 entre 3. Entonces, la tercia de 366 es: 122 **

Para saber si un número natural tiene tercia, la suma de las cifras de dicho número debe ser un múltiplo de 3.

En la práctica, la tercia de 366 se obtiene de la siguiente manera:

36 6

1º) Tercia de 3 es

1

2º) Tercia de 6 es

2

3º) Tercia de 6 es

2

\

La tercia de 366 es 122.

Ejemplo 2 Halla la tercia de 741. Sexto Grado de Primaria

163


* La tercia de 741 es el cociente que resulta de dividir 741 entre 3. Entonces la tercia de 741 es: 247 **

En la práctica, la tercia de 741 se obtiene de la siguiente manera:

1°) 7 no tiene tercia, en este caso se opera de la manera siguiente:

741

2°) El 1 residuo de la operación anterior y el 4 forman el número 14 que tampoco tiene tercia, en este caso se opera de la manera siguiente:

3°) El 2 residuo de la operación anterior y el 1 forman el número 21 cuya tercia es 7, veamos:

\

La tercia de 741 es 247

3. Cuarta de un número natural Hallar la cuarta de un número natural implica dividir dicho número entre 4. Veamos: Ejemplo 1 Atención

Halla la cuarta de 432. * La cuarta de 432 es el cociente que resulta de dividir 432 entre 4. Entonces la cuarta de 432 es 108. **

Para que sepas si un número natural tiene cuarta, dicho número debe terminar en dos ceros o en dos cifras que formen un múltiplo de 4.

En la práctica, la cuarta de 432 se obtiene de la siguiente manera: 1) Cuarta de 4 es 1.

432

2) 3 no tiene cuarta, veamos: 3) La cifra 3 con el 2 formamos el número 32, cuya cuarta es 8.

\

164

La cuarta de 432 es 108


Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria Ejemplo

2

Halla la cuarta de 5 148.

* La cuarta de 5 148 es el cociente que resulta de dividir 5 148 entre 4. Entonces la cuarta de 5 148 es 1 287.

**

En la práctica, la cuarta de 5 148 se obtiene de la siguiente manera:

1º)

5 no tiene cuarta, en este caso se opera de la manera siguiente:

2º)

El residuo de la operación anterior (1) y el 1 forman el número 11 que tampoco tiene cuarta, en este caso se opera así:

3º)

El residuo de la operación anterior (3) y el 4 forman el número 34 que tampoco tiene cuarta, en este caso se opera así:

4º)

El residuo de la operación anterior (2) y el 8 forman el número 28, cuya cuarta es 7, veamos:

5 148

\

La cuarta de 5 148 es

1 287

4. Quinta de un número natural Hallar la quinta de un número natural implica dividir dicho número entre 5. Veamos: Ejemplo

1

Halla la quinta de 3 645 Atención

* La quinta de 3 645 es el cociente que resulta de dividir 3 645 entre 5. Entonces la quinta de 3 645 es 729.

Para saber si un número natural tiene quinta, dicho número debe terminar en cero o en 5.


165

Manuel Coveñas Naquiche **

En la práctica, la quinta de 3 645 se obtiene de la siguiente manera:

3 64 5

1º)

3 no tiene quinta.

2º)

La cifra 3 con el 6 forman el número 36 que tampoco tiene quinta, en este caso se opera así:

3º)

El residuo de la operación anterior (1) y el 4, forman el número 14 que tampoco tiene quinta, en este caso se opera así:

4º)

\

El residuo de la operación anterior (4) y el 5 forman el número 45, cuya quinta es 9, veamos:

La quinta de 3 645 es 729


Utiliza el procedimiento práctico para hallar: La mitad de:

La tercia de:

La cuarta de:

1 204 es

234 es

7 024 es

6 700 es

5 271 es

10 732 es

2 746 es

3 603 es

8 036 es

5 048 es

7 017 es

91 212 es

3 574 es

4 155 es

47 504 es

4 006 es

4 008 es

50 532 es

7 134 es

6 714 es

36 512 es

2 Utiliza el procedimiento práctico para hallar: La quinta de: 2 740 es 1 345 es 3 460 es 71 005 es 42 050 es 63 735 es 27 465 es

166


La cuarta de: 75 008 es 63 036 es 7 432 es 50 044 es 89 016 es 12 312 es 45 004 es

La tercia de: 1 236 es 36 003 es 7 140 es 8 712 es 40 080 es 27 903 es 79 971 es


•

Descomposición de un número en factores primos Ejemplo

Escriba el número 144 como el producto de sus factores primos.

1

Resolución: 1 a . forma

2 a . forma 144 2

¬

mitad de 144 es 72

72 2

¬

mitad de 72 es 36

36 2

¬

mitad de 36 es 18

18 2

¬

mitad de 18 es 9

9 3

¬

tercia de 9 es 3

3 3

¬

tercia de 3 es 1

1

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ×3

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 2×2×2×2×3×3

es la descomposición en factores primos del número 144.

Luego: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 o también 144 = 24 × 32 Ejemplo

2

Descompón 450 en el producto de sus factores primos. Resolución: 1 a . forma

2 a . forma 450 2

¬

mitad de 450 es 225

225 3

¬

tercia de 225 es 75

75

3

¬

tercia de 75 es 25

25

5

¬

quinta de 25 es 5

5

5

¬

quinta de 5 es 1

1

450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 2×3×3×5×5

450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5


Luego: 450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 o también: 450 = 2 × 32 × 52

Ejemplo

3

Descompón 135 en el producto de sus factores primos.


167


1 a . forma

2 a . forma 135 = 3 45

135 3

¬

tercia de 135 es 45

45 3

¬

tercia de 45 es 15

15 3

¬

tercia de 15 es 5

5 5

¬

quinta de 5 es 1

3 15 3 5

1

135 = 3 × 3 × 3 × 5

3×3×3×5

135 = 3 × 3 × 3 × 5


135 = 3 × 3 × 3 × 5 o también: 135 = 33 × 5

Luego:


Descompón 250 en el producto de sus factores primos.

1 a . forma

168


2 a . forma

Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria 2 Descompón 200 en el producto de sus factores primos. 1 a . forma

2a. forma

3 Descompón 300 en el producto de sus factores primos. 1 a . forma

2a. forma

4 Descompón 1 050 en el producto de sus factores primos. 1 a . forma

2a. forma


169


5 Descompón 900 en el producto de sus factores primos. 1 a . forma

2 a . forma

6 Descompón 1 470 en el producto de sus factores primos. 1 a . forma

2 a . forma

7 Escribe cada número como el producto de sus factores primos.

•

a)

162 =

e) 3 600 =

b)

270 =

f) 1 080 =

c)

750 =

g)

126 =

d) 1 224 =

h)

588 =

Mínimo común múltiplo (M.C.M.) Observa el conjunto de múltiplos de 3 y el conjunto de múltiplos de 5. M(3) = {0;3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;33;...} M(5) = {0;5;10;15;20;25;30;35;40;45;50;55; ...}

{0;15;30;...} es el conjunto formado por los múltiplos comunes de 3 y 5. Observa que 15 es el menor, distinto de cero, en el conjunto de los múltiplos comunes de 3 y 5. 15 es mínimo común múltiplo de 3 y 5. M.C.M. (3 y 5) = 15

170


Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria El Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de dos números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, de esos números. Ejemplo

1 Halla el M.C.M. de los números 2 y 8.

Resolución: Observa el conjunto de múltiplos de 2 y el conjunto de múltiplos de 8. M(2) = {0;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...} M(8) = {0;8;16;24;32;40;48;56;64;72;...}

{0;8;16;...} es el conjunto formado por los múltiplos comunes de 2 y 8, observa que 8 es el menor distinto de cero, en el conjunto de los múltiplos comunes de 2 y 8. 8 es el mínimo común múltiplo de 2 y 8. M.C.M. (2 y 8) = 8

*

En la práctica, el M.C.M. de 2 y 8 se obtiene de la manera siguiente: 2-8 2

¬

dividiendo 2 y 8 entre 2 se obtienen los cocientes 1 y 4, respectivamente.

1 -4 2

¬ ¬

dividiendo 4 entre 2 se obtiene como cociente 2. dividiendo 2 entre 2 se obtiene como cociente 1.

2 2 1

Como los últimos cocientes son 1, el M.C.M. de 2 y 8 es: 2 × 2 × 2 = 8 \

M.C.M. (2 y 8) = 8

Ejemplo

2 Halla el M.C.M. de los números 16 y 20.

Resolución: Observa el conjunto de múltiplos de 16 y el conjunto de múltiplos de 20. M(16) = {0;16;32;48;64;80;96; ...} M(20) = {0;20;40;60;80;100;120; ...}

(0;80;...} es el conjunto formado por los múltiplos comunes de 16 y 20. Observa que 80 es el número menor, distinto de cero, en el conjunto de los múltiplos comunes de 16 y 20. 80 es el mínimo común múltiplo de 16 y 20. M.C.M. (16 y 20) = 80

*

En la práctica, el M.C.M. de 16 y 20 se obtiene de la siguiente manera: 16 - 20 2 ¬ 8 - 10 2 ¬

dividiendo 16 y 20 entre 2 se obtiene los cocientes 8 y 10, respectivamente. dividiendo 8 y 10 entre 2 se obtiene como cociente 4 y 5, respectivamente.

4-5 2 ¬ 2-5 2 ¬

dividiendo 4 entre 2 se obtiene como cociente 2.

1 -5 5 ¬ 1




171

Manuel Coveñas Naquiche Como los últimos cocientes son 1, el M.C.M. de 16 y 20 es: 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80 M.C.M. (16 y 20) = 80 En la práctica, el M.C.M. de dos o más números se obtiene dividiendo cada uno de estos números entre su menor divisor primo, los cocientes obtenidos se dividen entre otro divisor primo y así sucesivamente, hasta que todos los cocientes sean 1. El M.C.M. es el producto de todos los divisores primos. Ejemplo 3 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4; 9 y 12? Resolución: Observa el conjunto de múltiplos de 4; el conjunto de múltiplos de 9 y el conjunto de múltiplos de 12. M(4) = {0; 4; 8 , 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28; 32; 36; ...} M(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; ...}

{0; 36; ...} es el conjunto formado por los múltiplos comunes de 4; 9 y 12. Observa que 36 es el número menor, distinto de cero, en el conjunto de los múltiplos de 4; 9 y 12. 36 es el mínimo común múltiplo de 4; 9 y 12.

M(12) = {0; 12; 24; 36; 48; ...} **

M.C.M. (4; 9 y 12) = 36

En la práctica, el M.C.M. de 4; 9 y 12 se obtiene de la manera siguiente:

4 - 9 - 12 2

¬


2-9-6 2

¬


1- 9 - 3 3

¬


3-1 3

¬


1

Como el último cociente es 1, el M.C.M. de 4; 9 y 12 es: 2 × 2 × 3 × 3 = 36 \

M.C.M. = (4; 9 y 12) = 36


Halla los múltiplos de 5 menores que 28 y los múltiplos de 3 menores que 29. Luego halla: M(5) Ç M(3) y el M.C.M. (5 y 3). Resolución: M(5) = { 0 ; 5; 10; 15; 20; 25} M(3) = { 0 ; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27} M(5) Ç M(3) = {0; 15}

172


®

M.C.M.(5 y 3) = 15

Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria 2

Halla los múltiplos de 8 menores que 43 y los múltiplos de 6 menores que 50. Luego halla: M(8) Ç M(6) y el M.C.M. (8 y 6). Resolución: M(8) = { .... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(6) = { .... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(8) Ç M(6) = { ..... ; ..... }

3

M.C.M. (8 y 6 ) =

Halla los múltiplos de 7 menores que 53 y los múltiplos de 4 menores que 39. Luego halla: M(7) Ç M(4) y el M.C.M. (7 y 4). Resolución: M(7) = { ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(4) = { ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(7) Ç M(4) = { ..... ; ..... }

4

M.C.M. (7 y 4) =

Completa cada conjunto considerando sólo los múltiplos menores que 46. Resolución: M(3) = { ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(9) = { ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; ..... ; .....} M(12) = { ..... ; ..... ; ..... ; ..... } M(3) Ç M(9) Ç M(12) = { ..... ; ..... }

5

Escribe en tu cuaderno el M.C.M. de cada grupo de números. a) 9 y 10 b) 8 y 10

6

M.C.M. (3; 9 y 12) =

d) 16 y 24

g) 6 y 18

e) 18 y 42

h) 9 y 45

f) 5; 10 y 20 c ) 12 y 20 Utiliza el método práctico para hallar el M.C.M. de:

i) 12; 9 y 27

a) 16 - 28

c) 6 - 10 - 18

e) 12 - 18

M.C.M. (16 y 28) =

M.C.M. (6; 10 y 18) =

M.C.M.(12 y 18) =

b) 20 - 12 - 16

d) 9 - 30

f) 24 - 18 - 9

M.C.M. (20; 12 y 16) =

M.C.M. (9 y 30) =

M.C.M. (24; 18 y 9) =


173


Atención

Si el mayor de dos números es múltiplo del otro número, entonces el mínimo común múltiplo de ambos es el número mayor.

Ejemplo 1

Recuerda

El M.C.M. de 4 y 12 es 12, porque 12 es múltiplo de 4.

Verificación: 4 - 12

sión es exacta, o sea, el residuo es cero.

2

2-6 2

Un número es múltiplo de otro cuando la divi-

®

M.C.M. (4 y 12) = 2 × 2 ×3 =12

Ejemplo: 12 es múltiplo 4, veamos:

1- 3 3 1

Ejemplo 2 El M.C.M. de 5 y 20 es 20, porque 20 es múltiplo de 5, entonces el M.C.M de 5 y 20 es 20.

Taller de ejercicios 43 •

Halla el M.C.M. de cada par de números. a) 6 - 24

c) 4 - 28

e) 7 - 21

M.C.M. (6 y 24) =

M.C.M. (4 y 28) =

M.C.M. (7 y 21) =

b) 36 - 9

d) 45 - 5

f) 56 - 7

M.C.M. (36 y 9) =

M.C.M. (45 y 5) =

M.C.M. (56 y 7) =

174


Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria Atención

Si el mayor de los números dados es múltiplo de los demás, entonces el mínimo común múltiplo de todos ellos es el mayor número.

Ejemplo

El M.C.M. de 3; 9 y 36 es 36, porque 36 es múltiplo de 3 y 9.

1

Verificación: 3 - 9 - 36 2 3 - 9 - 18 2 3-9-9 3

®

M.C.M. (3; 9 y 36) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

1- 3 - 3 3 1-1


2

Halla el M.C.M. de cada trío de números. c) 8 - 24 - 72

a) 4 - 12 - 48

b) 5 - 15 - 45

M.C.M. (4; 12 y 48) =

M.C.M. (5; 15 y 45) =

M.C.M.(8; 24 y 72) =

En cada caso, observa bien los números y halla directamente el mínimo común múltiplo. M.C.M. (6 y 36)

=.....................

M.C.M. (56 y 8)

M.C.M. (7 y 63)

=.....................

M.C.M. (5; 15 y 60) = .....................

M.C.M. (9 y 72)

=.....................

M.C.M. (7; 63 y 21) = .....................

M.C.M. (11 y 44)

=.....................

M.C.M. (3; 12 y 48) = .....................

M.C.M. (81 y 27)

=.....................

M.C.M. (6; 18 y 54) = .....................

M.C.M. (60 y 12)

=.....................

M.C.M. (4; 12 y 60) = .....................

= .....................

3 ¿Son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes? Escribe dentro del paréntesis una V si es verdadera o una F si es falsa.


175

Manuel Coveñas Naquiche M.C.M. (12 y 84)

= 84

(

)

M.C.M. (7; 21 y 126) = 126 (

)

M.C.M. (13 y 78)

= 78

(

)

M.C.M. (4; 16 y 70) = 70

(

)

M.C.M. (8 y 46)

= 46

(

)

M.C.M. (5; 15 y 135) = 135 (

)

M.C.M. (14 y 112) = 112 (

)

M.C.M. (9; 3 y 36)

= 36

(

)

M.C.M. (9 y 162)

)

M.C.M. (8; 24 y 73) = 73

(

)

)

M.C.M. (11; 33 y 89) = 89

(

)

= 162 (

M.C.M. (4; 16 y 80) = 80

•

(

Máximo común divisor (M.C.D.) Observa el diagrama que representa los conjuntos formados por los divisores de 18 y de 24. D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} ¿Qué números son divisores de 18 y de 24 a la vez? Los divisores de 18 y de 24 son los números que pertenecen al conjunto intersección de los divisores de ambos conjuntos. D(18) Ç D(24) = {1; 2; 3; 6}

D(18) Ç D(24) = {1 ; 2 ; 3 ; 6}

El mayor de los divisores comunes de 18 y 24 es el 6. Decimos: “6 el es máximo común divisor de 18 y 24” Se escribe:

M.C.D. (18 y 24) = 6

M.C.D. (18 y 24) = 6 El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números. *

En la práctica, el M.C.D. de 18 y 24 se obtiene de la manera siguiente: 18 - 24 2 9 - 12 3 3-4

¬ dividiendo 18 y 24 entre 2 se obtienen los cocientes 9 y 12, respectivamente. ¬ dividiendo 9 y 12 entre 3 se obtienen los cociente 3 y 4, respectivamente. ¬ como los cocientes 3 y 4 no tienen divisores comunes diferentes de 1, el M.C.D. de 18 y 24 es: 2 × 3 = 6. \

M.C.D.(18 y 24) = 6

En la práctica, el M.C.D. de dos o más números se obtiene dividiendo estos números entre un divisor común. Los cocientes obtenidos se dividen entre otro divisor común y así sucesivamente, hasta obtener cocientes que no tengan divisor común diferente de uno. El M.C.D. es el producto de los divisores comunes.

176




Escribe los números que correspondan en cada caso. Divisores

Divisores comunes

D(30) =

D(30)Ç D(45)=

.... ; .... ; .... ; .... ; .... ; .... ; .... ; ....

.... ; .... ; .... ; ....

D(45) =

D(30)ÇD(60) =

.... ; .... ; .... ; .... ; .... ; ....

.... ; .... ; .... ; .... ; .... ; .... ; .... ; ....

D(60) =

D(45)ÇD(60) =

.... ; .... ; .... ; .... ; .... ; ....;

.... ; .... ; .... ; ....

.... ; .... ; .... ; .... ; .... ; ....

D(30) ÇD(45)ÇD(60)=

Máximo común divisor M.C.D. (30 y 45)=

M.C.D. (30 y 60)=

M.C.D. (45 y 60)=

M.C.D. (30; 45 y 60) =

.... ; .... ; .... ; .... 2 Completa estos diagramas con los números que corresponden. Resalta con lapicero rojo el M.C.D. en cada caso.

3 Utiliza el método práctico para hallar el M.C.D. en los casos siguientes:


177


a) 20 - 80

c) 850 - 345

e) 256 - 80

M.C.D. (20 y 80) =

M.C.D. (850 y 345) =

M.C.D.(256 y 80) =

b) 144 - 520

d) 138 - 345 - 963

f) 425 - 950 - 800

M.C.D. (144 y 520) =

M.C.D. (138; 345 y 963) =

M.C.D. (425; 950 y 800) =

Problemas resueltos 1 ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible entre 4; 12 y 18? Resolución: .

Sobre M.C.D y el M.C.M 4 - 12 - 18

2

2 - 6 -9

2

1 - 3 -9

3

Hallamos el M.C.M. de 4; 12 y 18, veamos:

1 -3 3

U | | M.C.M. (4; 12 y 18)= V | |W 2 × 2 × 3 × 3 = 36

1

El menor número, diferente de cero, divisible entre 4; 12 y 18 es 36.

\

2 ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 25 cm; 20 cm o 30 cm? Resolución:

U | | M.C.M. (25; 20 y 30)= 15 3 V | 5 5 | 2 × 2 × 3 × 5 ×5 = 300 1 5 |W

25 - 20 - 30 2 25 - 10 - 15 2 5 -

25 -

5 -

5 -

1 -

1

\

178

Resolución: .

. Hallamos el M.C.M. de 25 cm; 20 cm y 30 cm; veamos:

25 -

3 ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 72; 120 y 1 080?

La menor distancia es 300 cm. Sexto Grado de Primaria

Hallamos el M.C.D. de 72; 120 y 1 080; veamos: 72 36 18 9 3

-

120 60 30 15 5

- 1 080 - 540 - 270 - 135 45 -

2 2 2 3

M.C.D. (72; 120 y 1 080)=2 × 2 × 2 × 3 = 24

\ El mayor número que puede dividir a la vez a 72; 120 y 1 080 es 24.

Sexto grado de primaria Sexto Grado de Primaria 4 Una madre distribuye exactamente entre sus hijos 40 caramelos y 60 chocolates. ¿Qué número de cada cosa le corresponde a cada uno de ellos?

7 ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 24; 60 y 144? Resolución:

Resolución: .

Hallamos el M.C.D. de 40 y 60. 40 - 60

2

20 - 30

2

10 - 15 5

M.C.D. (40 y 60)= 2 × 2 × 5 = 20

2 - 3

\ 20 de cada cosa le corresponde a cada uno. 5 ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible entre 3; 15 y 24? Resolución:

Rpta. 12 8 Un padre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos 20 naranjas y 70 mangos. ¿Qué número de cada cosa corresponde a cada uno de ellos? Resolución:

Rpta. 122 6 ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30 cm; 50 cm o 60 cm? Resolución:

Rpta. 10

Rpta. 300 cm


179


Ejercicios resueltos

Sobre Múltiplos, Divisores y Divisibilidad

Eje rcic io 1 La edad de Juan es el mayor múltiplo de 35 de 2 cifras y la de Elsa el menor múltiplo de 7 de dos cifras. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de 12 años?

®

7

Resolución

\

Suma de factores primos = 2 + 5 + 7 = 14

Del enunciado: Edad de Juan: 70 Edad de Elsa: 14 Edades dentro de 12 años Edad de Juan: 70 + 12 = 82 + Edad de Elsa: 14 + 12 = 26 108

Eje rcic io 4 El número de divisores de 1 260 es: Resolución: Descomponemos el número 1 260 en sus factores primos. 1 260 2 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1

\

La suma de sus edades dentro de 12 será 108 años.

Ejercicio 2 ¿Cuántos números menores que 120 terminan en 8 y son múltiplos de 6 y 9 a la vez? Resolución Sabemos que para hallar los múltiplos de 6 y 9 nos basta multiplicarlo por cualquier número natural. Hallamos los múltiplos de 6 y 9 que terminan en 8 y son menores que 120.

\

® 1 260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 N° de divisores =( 2 +1)( 2 +1)( 1 +1)( 1 +1) =3×3×2×2 = 36 \

El número 1 260 tiene 36 divisores.

6 × 13 = 78

Eje rcic io 5 Mi edad es un múltiplo de 7. El año entrante será un múltiplo de 5, si tengo más de 20 años y menos de 82, ¿cuál será mi edad dentro de 9 años?

6 × 18 = 108

Resolución

Hay 2 números

Sea “E” mi edad del enunciado: Se tiene que, es múltiplo de 7 y comprendido entre 20 y 82. Escribimos los múltiplos de 7, entre 20 y 82.

6 × 3 = 18

9 × 2 = 18

6 × 8 = 48

9 × 12 = 108

Eje rcic io 3 de 1 400 es:

La suma de los factores primos

Resolución Descomponemos el número 1 400 en sus factores primos. 1 400 2 700 2 350 2 175 5 35 5 7 7 1 180 Sexto Grado de Primaria

® \

E = 49 Mi edad dentro de 9 años, será 49 años + 9 años = 58 años

Sexto grado de primaria Eje rcic io 6 Diga, ¿cuál de los siguientes números son primos? 13(7) ; 31(7) ; 61(7) ; 25(7) Resolución Para saber cuántos son primos absolutos expresamos dichos números en el sistema decimal (Base 10)

Eje rcic io 9 que B, si

¿Cuántos divisores más tiene A

A = 24 × 35 × 2 B = 22 × 34 × 52 ? Resolución Calculamos la cantidad de divisores de A y B 1. N° de divisores A = (4 + 1)(5 + 1)(1 + 1) = 5 × 6 × 2 = 60

Primos absoluto \

Son primos 61(7) y 25(7)

Eje rcic io 7 ¿Cuántos de los siguientes números son divisibles por 5? I. 13 431 II. 10 540 III. 17 438 IV. 1ab45 Resolución Sabemos que un número es divisible por 5 cuando termina en 5 o en cero. De los cuatro números solo 2 números cumplen. II. 10 540 \ 2 números son primos IV. 1ab45 Eje rcic io 8

Calcula la suma de los valores

de “a” si el numeral 3a176 es divisible por 3. Resolución El numeral 3a176 será divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 3 +a + 1 + 7 + 6 = 3° a + 17 = 3° 1 + 17 = 3° 4 + 17 = 3° 7 + 17 = 3° Luego, los valores que puede ser a son: 1; 4 y 7 Suma de valores de “a” es 1 + 4 + 7 = 12

2. N° de divisores B = (2 + 1)(4 + 1)(2 +1) = 3 × 5 × 3 = 45 \ A tiene 60 – 45 = 15 divisores más que B. Eje rcic io 1 0 A=

Si:

11 + 25 ´ 9 + 25

B=5×

16 - 23 + 2 007 0

¿cuál es el mínimo común múltiplo de A y B? Resolución Hallamos el valor de A y B A=

11 + 25 ´ 9 ´ 25

A=

11 + 5 ´ 9 + 32

A=

16 ´ 9 + 32

A = 4 × 9 + 32 A = 36 + 32 A = 68 B = 5 ´ 16 - 2 3 + 2 007 0 B=5×4–8+1 B = 20 – 8 + 1 B = 13 Hallamos el M.C.M de A y B 68 – 13 2 34 – 13 2 17 – 13 13 17 – 1 17 1–1 M.C.M(A; B) = 2 × 2 × 13 × 17 \ M.C.M(A; B) = 884 Sexto Grado de Primaria

181

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 1 1 Llegó una donación de 180 tarros de leche,300 bolsas de arroz y 450 bolsas de avena. Deseamos empaquetarlos de tal modo que en cada paquete haya el mismo número de artículos. ¿Cuántos paquetes como máximo podemos hacer?

\

Se pueden hacer 30 paquetes como máximo.

Para saber cuántos productos de cada uno hay en un paquete, efectuamos:

¿Cuántos productos de cada uno hay en un paquete?

180 = 6 tarros de leche. 30

Resolución

300 = 10 bolsas de arroz. 30

Para encontrar el máximo número de paquetes hallamos el M.C.D de 180, 300 y 450

450 = 15 bolsas se avena. 30

180 – 300 – 450 2 90 – 150 – 225 3 30 – 50 – 75 5 6 – 10 – 15

\

En cada paquete hay 6 tarros de leche, 10 bolsas de arroz, 15 bolsas de avena.

M.C.D(180; 300; 450) = 2 × 3 × 5 = 30

Ejercicios de reforzamiento Nivel I 1

A) 100 D) 146

¿Cuántos múltiplos de 7 pertenecen al siguiente conjunto: {245; 176; 623; 864; 6 272}? A) 1 D) 4

2

C) 3

¿Cuántos múltiplos de 13 están compren didos entre 100 y 224? A) 8 D) 11

3

B) 2 E) 5

B) 9 E) 7

C) 10

número a2a sea múltiplo de 3 es:

4

B) 4 E) 8

C) 9

Hallar la suma de los elementos del con junto C. C = {x/x = 7° ; 13 < x < 43}

182


C) 137

5 ¿Cuántos divisores tiene 72? A) 11 D) 12

B) 10 E) 20

C) 8

6 La suma de los divisores de 48 es: A) 124 D) 94

B) 144 E) 100

C) 72

7 ¿Cuántos divisores tiene M? M = 2 5 × 3 2 × 7 3

El mayor valor posible de “a” para que el

A) 6 D) 7

B) 140 E) 144

A) 30 D) 48

B) 70 E) 72

C) 36

8 La descomposición de un número es 2 2 × 3 2 × 5 ¿Qué número es? A) 160 D) 180

B) 200 E) 164

C) 100


El conjunto de los divisores de 45 cuyos elementos están ordenados en forma ascendente se muestra a continuación: Div(45) ={a; b; c; d; ac ; ec } ¿Cuántas de las siguientes proposicio nes son verdaderas?

II. dc es múltiplo de 5. III. (a + b + c) es número compuesto. IV. b ( a + 1) es múltiplo de 4. B) 1 E) 4

A) 14 D) 18

B) 12 E) 16

C) 12

15 Hallar la quinta parte de “A” A = tercia de(2 4 + 5)+mitad de (12 2 – 2 4 × 3)

I. cb es número primo.

A) 0 D) 3

14 ¿Cuánto es la mitad de la mitad de la mi tad de (2 5 + 3 2 + 87)?

C) 2

10 Sandra estuvo descomponiendo el núme ro 252 en sus factores primos y su her manito cambio algunos dígitos por * , que dando de la siguiente manera:

A) 11 D) 10

B) 13 E) 14

C) 9

16 Calcule la suma de las cifras del M.C.M. de los números 16; 40; 30 y 24. A) 6 D) 5

B) 8 E) 7

C) 10

17 Hallar el número que sigue: 1; 25 ; 49 ; 121 ; … A) 144 D) 196

B) 169 E) 400

C) 125

18 Si A = (5 × 4 – 1) 2 – 45 0

¿Cuántos divisores tiene la suma de las cifras faltantes? A) 8 D) 10 11

B) 6 E) 9

C) 12

La factorización prima de 196 es: A) 2 3 × 7 D) 2 4 × 3 2

B) 2 2 × 7 2 C) 2 × 7 3 E) 3 2 × 7

12 Si el número 345b es divisible por 2, la suma de los posibles valores de “b” es: A) 18 D) 22 13

B) 19 E) 16

(

5 + 121

)

3

-

81 + 7

C = 2 × 3 × 4 × 5 ¿cuál es el M.C.D. de A; B y C? A) 44 D) 48

B) 65 E) 60

C) 70

19 ¿Cuál es la menor distancia que se pue de medir exactamente con una regla de 40 cm; 50 cm o 60 cm? A) 400 cm D) 800 cm

B) 600 cm C) 300 cm E) 240 cm

C) 20

El número 35 430 es divisible … A) Sólo por 10 B) Sólo por 2 C) Sólo por 5 D) Por 2; 3; 5 y 10 E) Por 2; 5 y 10

B =

20 Las fiestas patronales de tres pueblos de la provincia de Canta se celebran en for ma especial cada 4; 6 y 8 años, respecti vamente. ¿Cada cuántos años se celebran simul táneamente las fiestas patronales de es tos pueblos? A) 20

B) 30 C) 24 D) 36

E) 12


183


Nivel II 1

2

ral: a ( a + 1)( a - 1) , si 1a y 2a son dos números primos.

Entre 1 y 757, ¿cuántos números son múltiplos de 5? A) 100 D) 157

B) 151 E) N.A.

A) 13 D) 12

C) 161 8

Si a3b = 4° ° bc = 3 ° a2 = 7

A) 1 D) 9 3

2c b-a

B) 5 E) 8

9

B) 3 E) 8

C) 5

ab = mayor múltiplo de 17 de dos cifras;

y 84 es ab .

cd = menor múltiplo de 13 de dos cifras, ¿cuánto le falta como mínimo al número

¿Cuántos divisores de bbb son primos? A) 1 D) 4

B) 4 E) 1

C) 2

11

4 Si E = 100 ¸ 5 + 27 + 3 ´ 2 ´ 4 - 2 0080 4

12

E – G será múltiplo de: A) 5 D) 23

B) 7 E) 4

C) 13

¿Cuántos divisores de 420 son múltiplos de 10? A) 2 D) 8

B) 4 E) 6

C) 10

¿Cuántos divisores de 60 son números compuestos? A) 5 D) 8

B) 6 E) 9


C) 7

B) 2 E) 5

C) 3

Si a y b son dos números primos (a > b), tal que a + b = 99, entonces a – b es: A) 97 D) 2

0

G = 2 025 ´ 3 - 3 + ( abc ) ,

184

C) 7

10 El mayor de los divisores comunes de 60

A) 3 D) 5

6

B) 6 E) 4

Si “a” es primo, ¿cuántos divisores tiene

A) 2 D) 6

abcd para ser múltiplo de 6?

5

C) 11

el número aaa ?

C) 7

Si:

B) 9 E) 10

Al descomponer 700 en sus factores pri mos se obtiene una expresión de la for ma 2 a × 5 b × 7 c . El valor de a + b + c es: A) 5 D) 8

además: 3 < b < 7 < c, determina el valor de: k =

Calcule la cantidad de divisores del nume

B) 95 E) 7

C) 1

Si A = 26 ¸ 16 + 180 B = 1 × 2 × 3 + 3 2 C = Mayor número primo de una cifra, ¿cuál es el M.C.M. de A; B; C? A) 1 587 D) 1 785

B) 1 748 E) 1 807

C) 1 687

13 Determine el menor número que dividido entre 6 ; 7 y 8 siempre deja un residuo de 3. A) 164 D) 177

B) 141 E) 171

C) 162

14 Para los números A = 2 400 y B = 4 950,


el valor de A) 618 D) 264

M.C.M ( A; B ) M.C.D. ( A; B )

21 Si mnp = 9°

es:

B) 1 056 E) 758

° pm = 8

15 Halle la suma de los números primos me nores que el M.C.D. de 72 ; 180 y 108. A) 140 B) 160 C) 161 D) 156 E) 149 16 Se tiene tres varillas de 60 cm, 80 cm y 100 cm de longitud, respectivamente. Se quiere dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Diga ¿cuál es el menor número de pedazos que se puede obtener? A) 12 D) 10

B) 24 E) 15

C) 8

17 Al empaquetar menos de 145 galletas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro y de cinco en cinco, siempre sobra una, pero empaquetando de 11 en 11 no sobra ninguna. ¿Cuántas galletas hay? A) 110 D) 143

B) 99 E) 127

C) 121

18 La suma de dos números es 6 veces su M.C.D. y el producto de dichos números es 8 veces su M.C.M. ¿Cuáles son estos números? A) 32 y 4 D) 52 y 10

B) 40 y 6 E) 40 y 8

19 Si A = 2 048 × 343 y B =

B) 3 E) 8

1 3

10

7 ´2

B) 140 E) 120

C) 210

22 Si se cumple que:

( a + 5 )( 4b )( a - 4 )( b - 1) = 9° además: °

( b - 1)( a - 4 )( c + 5 )( 4c ) = 6 hallar 2a + 3b + 4c. A) 11 D) 14

B) 12 E) 15

C) 13

23 Si A = 18 × 10 × 15 × 20 B = 2 3 × 3 2 × 9 × 32 hallar:

C.D ( A ) - CD ( B ) + 1

A) 4 D) 9

B) 6 E) 3

C) 8

Clave de respuestas

1. C 6. A 11. B 16.A

2. C 7. E 12. C 17. B

C) 7

M.C.D(105; 195) = cd , hallar el valor de a + b + c + d. B) 17 E) 24

A) 180 D) 240

Nivel I

20 Si M.C.M(105; 195) = ¼ ab ;

A) 12 D) 20

hallar: m × n × p

C) 6 y 34

hallar M.C.M. (A; B) × M.C.D.(A; B) A) 5 D) 2

° nmp = 5

C) 528

C) 18

3. E 8. D 13. D 18. E

4. B 9. E 14. E 19. B

5. D 10. A 15. A 20. C

4. B 9. E 14. C 19. D

5. D 10. C 15. C 20. B

Nivel II 1. B 6. D 11. B 16.A 21. C

2. D 7. D 12. D 17. C 22. D

3. E 8. A 13. E 18. E 23. B


185


Números enteros

4 •

Extensión de los números naturales

Para poder expresar en números algunas realidades de nuestra vida cotidiana, como por ejemplo las temperaturas bajo cero o las pérdidas, se amplió el conjunto de los números naturales de manera que se puedan usar tanto los números positivos como los negativos. Observa: Números naturales Números negativos

Números naturales

Números negativos

a)

Si hay 38 grados sobre cero, lo expresamos: 38°

a)

Si hay 10 grados bajo cero, lo expresamos: -10°

b)

Manolito aumentó seis kilogramos, lo expresamos: 6 kg

b)

Luis bajó seis kilogramos, lo expresamos: -6 kg

c)

Raúl ganó 50 nuevos soles, lo expresamos: S/. 50

c)

Raúl perdió 50 nuevos soles, lo expresamos: -S/. 50

d)

Sabemos que la d) solución de: 5+x=9 Es: x = 4

Afirmamos que la solución de: 9+x=5 Es: ¡x = -4!

50

50

50

e)

Sabemos que: 9-3=6

e)

Afirmamos que: ¡3 - 9 = -6!

Las situaciones anteriores y la imposibilidad de resolver en (Números naturales) sustracciones cuando el minuendo es menor que el sustraendo nos revelan la insuficiencia de los números naturales, planteando la necesidad de ampliar el campo numérico introduciendo los números negativos como opuestos de los números naturales.


189

Manuel Coveñas Naquiche Veamos otros ejemplos donde se usan los números positivos y negativos: 1.

La temperatura al medio día fue 21°C sobre cero.

+21°C

2.

La temperatura a las 4 a.m. fue 5°C bajo cero.

- 5°C

3.

Un avión se elevó 2 000 metros.

+2 000 m

4.

Hace 8 segundos despegó el transbordador espacial.

-8s

•

5.

Sara depositó S/. 1 200 en +S/. 1 200 su cuenta de ahorros.

6.

Manuel retiró S/. 800 de su cuenta de ahorros.

- S/. 800

7.

Una lancha consumió 3 000 litros de combustible.

- 3 000 l

8.

Un submarino descendió 200 metros bajo el nivel del mar.

- 200 m

El conjunto de los números enteros (

El conjunto

)

o conjunto de los Números Enteros es el conjunto que agrupa a los siguientes números:

= {…; -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; …}

1442443 Enteros negativos

144 42444 3

cero

Enteros pos itivos

Al conjunto de los números enteros negativos se le simboliza por Al conjunto de los números enteros positivos se le simboliza por + Nota

Luego:

- È {0} È

=

+

El número entero 0 (cero) no es ni negativo ni positivo.

Gráficamente, al conjunto Z se le representa en una recta colocando puntos consecutivos separados uno del otro por una misma distancia. -¥ … - 3

-2

-1

0

+1

+2

+3 … + ¥

Números Naturales naturales Números

Notar que el conjunto , es decir:

está incluido en

Ì

Números Números enteros Enteros

Observaciones: 1)

Los enteros positivos pueden escribirse precedidos de signo + o sin signo. Así, el entero positivo cinco puede escribirse +5 o simplemente 5.

2)

En los enteros negativos, el signo (-) no se puede omitir sin cambiar de significado, pues +4 y -4 son dos números diferentes.

Razona

¿Cuántos cubos tiene la figura que se muestra a continuación, si ella ha sido construida con cubos de igual tamaño?

190


R pt a .


•

Distancia de un punto de la recta al origen

En la recta numérica, al punto que le corresponde el cero se le llama origen. La distancia de A al origen es 5 La distancia de B al origen es 2 Origen La distancia de C al origen es 2 A B C D La distancia de D al origen es 5 -5

-4

-3

-2

-1 2

Vemos que la distancia de un punto al origen siempre es un número positivo.

2

5

•

Atención

0 +1 +2 +3 +4 +5 5

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es la distancia del punto que le corresponde al origen. Ejemplos:

Nota

Lenguaje simbólico a

Se lee: "Valor absoluto de a" o "módulo de a"

|-5| = 5 porque la distancia de B al origen es 5.

En general: a) b)

c)

•

A

|+6| = 6 porque la distancia de A al origen es 6.

El valor absoluto de un número entero positivo es el mismo número.

0

B -5

5

|-13| = 13 porque la distancia de D al origen es 13.

0 C

|+12| = 12 porque la distancia de C al origen es 12.

El valor absoluto de un número entero negativo es el mismo número, pero con signo positivo. El valor absoluto de cero es cero.

6

+6

0

12

+ 12

D - 13

13

0

Números enteros opuestos

Dos números enteros son opuestos o simétricos cuando tienen el mismo valor absoluto, pero diferentes signos. Ejemplos:

a) -7 es el opuesto de +7 b) +4 es el opuesto de -4

c) +297 es el opuesto de -297 d) -2 003 es el opuesto de +2 003

Atención

Los números opuestos están a diferentes lados del origen, pero a igual distancia del mismo.

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Opuesto de


191


•

Comparación de números enteros

El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado porque entre dos números enteros es posible establecer una relación de orden, es decir, indicar quién es el mayor y quién es el menor. Como a medida que recorremos la recta numérica de izquierda a derecha, los números van aumentando, entonces: Dados dos números enteros, es mayor aquel que está a la derecha y menor el que está a la izquierda.

Menores -¥ … -6

izquierda

Ejemplos: +2

-5

-4

-3

Mayores -2

-1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 … + ¥

derecha +6

-4

-1

-5

0

-6

+5

(+2) está a la izquierda de (+6)

®

+2 < +6

(-1) está a la derecha de (-4)

®

-1>-4

(0) está a la derecha de (-5)

®

0>-5

(-6) está a la izquierda de (+5)

®

- 6 < +5

Pr opiedades Observando la recta numérica, podemos confirmar que siempre se cumple lo siguiente: + ®

a>0

I I ) Cualquier número negativo es menor que cero

Si b Î - ®

b<0

III) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo

Si a Î

I)

Cualquier número positivo es mayor que cero

Si a Î

+ Ù bÎ

-


192

Escribe un entero para representar cada una de las siguientes situaciones: a)

10 grados bajo cero

f)

4 pisos abajo

b)

Pierde S/. 40

g)

Aumenta 16 kg

c)

Gana S/. 50

h)

Pierde 12 kg

d)

7 grados sobre cero

i)

Deposita S/. 640 en su cuenta

e)

2 pisos arriba

j)

Retira S/. 500 de su cuenta


®

a>b


2

Escribe el entero que representa cada letra. B

C

D

A -1

A

3

4

B

F

G

0 +1

C

D

E

F

G

Escribe si cada entero pertenece al conjunto de los números enteros positivos ( +) o enteros negativos ( -). + 5 Î ____

-16 Î _____

-15 Î _____

3 Î _____

-8 Î ____

12 Î _____

4 Î _____

-9 Î _____

Completa cada tabla. Ante rior Número Posterior -13

5

E

-12 -8 0 +10 -43 -1

Ante rior Número Posterior -15 -5 +364 -17 +45 -400

-11

Completa escribiendo el opuesto. Número Opue sto

Número Opue sto

Número Opue sto

- 13

-1

-987

+15

+8

+1 243

- 42

- 103

- 2 345

+2

+215

+1 680


193


6

7

Halla los siguientes valores absolutos: |-3| = ________ |-35| = ________ |+9| = ________

|-249| = ________

|+2 002| = ________

|+43| = ________

|+483| = ________

|-3 471| = ________

Completa escribiendo izquierda o derecha, y >, <.

… -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1) +1 está a la 2)

8

194

|-1 983| = ________

izquierda

0 está a la

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 …

de +6, entonces +1 < +6 de +3, entonces 0, entonces

0

+3

-3

0

3) -3 está a la

de

4) - 5 está a la

de - 7, entonces

-5

-7

5) +1 está a la

de - 3, entonces

+1

-3

6) - 9 está a la

de - 8, entonces

-9

-8

7) - 4 está a la

de - 10, entonces

-4

- 10

8) +5 está a la

de +2, entonces

+5

+2

9)

0 está a la

de - 6, entonces

0

-6

10) +7 está a la

de - 10, entonces

+7

- 10

Completa escribiendo en cada

los símbolos >, <, =

-8

-10

-12

-10

0

-39

-132

-100

-9

0

+15

+17

0

+17

+40

-950

+5

0

-21

+2

-18

-18

-348

0

-3

+4

-3

-42

-187

-181

-1 341

-1 341

+9

-10

+1

-85

+372

+342

0

-124



9

Ordena los enteros de menor a mayor. +2,

-8, -4,

0, +1

®

+5,

-1, -9,

-2, +4

®

0,

-3, +2,

-1, +8

®

-9, +42, -35, +1, -87

®

-25, -37, -1, +4,

10

-2

®

+11, -18,+19, -25, +24

®

Ordena los enteros de mayor a menor. +7,

-1, +2,

-9,

0

®

-1,

-3,

0

®

+2, -40, +81,

-3

®

-3, +5, -160

®

-341, -810, +2, +36, +90

®

-9, -10, +36,

-2,

-4,

-47, +34, +85, -28,

-7

®


195


•

Adición de números enteros Adición de números enteros del mismo signo

I caso:

Observa el siguiente cuadro donde se aprecia los resultados de las apuestas hechas por cuatro personas en una carrera de caballos. 1 a . apuesta

2 a . apuesta

Resultado final

Luis

gana S/. 30

gana S/. 10

gana S/. 40

(+30) + (+10) = +40

Jorge

gana S/. 15

gana S/. 8

gana S/. 23

(+15) + (+8) = +23

Diego

pierde S/. 5

pierde S/. 20

pierde S/. 25

(-5) + (-20) = -25

José

pierde S/. 50

pierde S/. 30

pierde S/. 80

(-50) + (-30) = -80

Representación numérica

Vemos que:

U La suma de dos o más números posiV Wtivos es otro número positivo. U La suma de dos o más números negaV Wtivos es otro número negativo.

(+30) + (+10) = +40 (+15) + (+8) = +23 (-5) + (-20) = -25 (-50) + (-30) = -80 Luego:

Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y a dicha suma se le antepone el signo común.

II caso:

Adición de números enteros de signos diferentes

Nuevamente volvamos al ejemplo de las apuestas. Veamos ahora los resultados de otras cuatro personas. 1 a . apuesta

2 a . apuesta

Resultado final

Representación numérica

Ángel

gana S/. 80

pierde S/. 30

gana S/. 50

(+80) + (-30) =+50

Juan

gana S/. 100

pierde S/. 20

gana S/. 80

(+100)+ (-20) =+80

gana S/. 40

pierde S/. 50

pierde S/. 10

(+40) + (-50) = -10

Roberto gana S/. 100

pierde S/. 150

pierde S/. 50

(+100)+(-150) = -50

M anue l

Notar que:

(+80) + (-30) = +50 (+100) + (-20) = +80

(+40) + (-50) = -10 (+100) + (-150) = -50

Luego: Para sumar dos números enteros de signos diferentes se halla la diferencia de sus valores absolutos y a esta diferencia se le antepone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

196



•

Adición de enteros en la recta numérica

Para sumar números enteros en la recta numérica, se realiza el siguiente convenio: La suma de un número entero positivo se indica con una flecha que apunte hacia la derecha. La suma de un número entero negativo se indica con una flecha que apunte hacia la izquierda. Ejemplo

1

Suma: (-3) + (+5)

Procedimiento: Se parte de la ubicación del primer sumando, (-3) y para sumarle (+5) nos movemos hacia la derecha 5 unidades, como indica la flecha. El punto final, +2, es la suma buscada. Ejemplo

2

+( +5)

… -5

-4

-3

-2

0 +1 +2 +3 +4 …

-1

(-3) + (+5) ) = +2

Suma: (+4) + (-7)

Procedimiento: Partimos del primer sumando (+4) y para sumarle (-7) avanzamos 7 unidades hacia la izquierda, el punto final (-3) que señala la flecha, será la suma que se busca.

+(-7) … -5

-4

-3

-2

-1

0 +1 +2 +3 +4 +5 …

(+4) + (-7) = -3

Otros ejemplos: +( +7) … 0

+(-4) … -8

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 …

-7

(+1) + (+7) = +8

-6 -5

-4

-3

-2 - 1

0

+1 …

(-2) + (-4) = -6

Adición de enteros con varios sumandos Ejemplo: Efectúa (+3) + (+8) + (-5) + (-7) + (+4) Resolución: 1 a . forma: Se puede sumar agrupando de dos en dos los sumandos. (+3) + (+8) + (-5) + (-7) + (+4) = (+11)

+

=

(-1)

=

+ (+4)

(-12)

(+4)

+ +3

2 a . forma: Se puede sumar agrupando los sumandos positivos y los sumandos negativos. Veamos: (+3) + (+8) + (-5) + (-7) + (+4) = (+3) + (+8) + (+4) + (-5) + (-7)

1444 424444 3 14 4244 3 + = ( 15) + (-12) = +3


197


Propiedades de la adición de números enteros En el conjunto de los números enteros se cumplen las siguientes propiedades para la adición: 1.

2.

Propiedad de clausura

El orden de los sumandos no altera la suma.

La suma de dos números enteros es otro número entero. "a y b Î

3.

"a y b Î

(a+b) Î

à

(+4) + (-7) = -3 Î

(+1) + (+3) = (+3) + (+1) = +4 4.


Propiedad del elemento neutro En el elemento neutro es el cero (0), que sumado con cualquier número entero, resulta el mismo número.

" a, b, c Î , (a + b) + c = a + (b + c)

"a Î

Ejemplos: (+5 + -2) + -7 = +5 + (-2 + -7) +3

+ -7 -4

= +5 + -9

=

Ejemplos:

, se cumple que a+(-a) = 0

6.

Propiedad aditiva Si ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo número entero, se obtiene otra igualdad. Si:

x=a

à x+n=a+n

Ejemplos:

(+3) + (-3) = 0 (-8) + (+8) = 0

Ejemplos:

+5 + 0 = +5

-4

Propiedad del inverso aditivo o elemento opuesto

"a Î

, se cumple que a + 0 = a -9 + 0 = -9 0 + -3 = -3

Todo número entero tiene un opuesto que sumado con dicho número resulta cero.

x = +2 à x + (+5) = +2 + (+5) x + (+5) = +7

(+158) + (-158) = 0 7.

a+b = b+a

Ejemplos: (-5) + (+12) = (+12) + (-5) = +7

La forma como se agrupan los sumandos no altera la suma.

5.

à

y (-7) Î

Ejemplo: (+4) Î à

Propiedad conmutativa

Propiedad cancelativa Todo sumando que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser cancelado, conservándose la igualdad.

Ejemplos:

198


Si:

x+c=b+c

Si:

x + (+3) = (-5) + (+3) ®

x = -5

Si:

y + (-8) = (-8) + (+1)

y = +1

Si:

x + (+6) = (-7) + (+6) ®

x = -7

Si:

y + (-4) = (-4) + (+2)

y = +2

®

®

®

x=b


Taller de ejercicios 47 I.

Resuelve aplicando las reglas de los números enteros para cada caso:

1)

Completa la siguiente tabla que muestra el resultado de las apuestas hechas por 10 personas en una sala de casinos. ganancia: (+) Personas

2)

pérdida: (-)

1a. apuesta 2 a. apuesta

A

gana S/. 10

gana S/. 5

B

gana S/. 20

gana S/. 3

C

pierde S/. 30 pierde S/. 10

D

pierde S/. 12 pierde S/. 13

E

gana S/. 40

pierde S/. 35

F

gana S/. 50

pierde S/. 60

G

pierde S/. 11 gana S/. 15

H

pierde S/. 25 gana S/. 5

I

gana S/. 10

J

pierde S/. 16 No gana ni pierde

Resultado final Representación numérica gana S/. 15

(+10) + (+5) = +15

No gana ni pierde

Observa el siguiente estado de cuenta: Conc ept o

M O V I M I E N TO S Ingreso (+) Egreso ( )

Op e r a c i ón

Saldo anterior Depósito en efectivo

+ 1 500 2 000

Retiro de fondos Depósito en cheque

S al do

500 800

(+1 500) + (+2 000)

+ 3 500

(+3 500) + (-500)

+ 3 000

(+3 000) + (+800)

+ 3 800

Los siguientes cuadros muestran los estados de cuenta de tres personas (A, B y C). Completa los espacios en blanco. (A) Conc ept o

M O V I M I E N TO S Ingreso (+) Egreso ()

Saldo anterior

S al do + 800

Depósito en efectivo

300

Depósito en cheque

600

Retiro de fondos

Op e r a c i ón

100


199

Manuel Coveñas Naquiche (B) M O V I M I E N TO S Ingreso (+) Egreso ()

Conc ept o

Op e r a c i ón

S al do

Saldo anterior

- 500

Retiro de fondos

1 000

Depósito en cheque

3 000

Retiro de fondos

200

(C) M O V I M I E N TO S Ingreso (+) Egreso ()

Conc ept o

Op e r a c i ón

S al do

Saldo anterior

- 700

Depósito en efectivo

400

Depósito en cheque

300

Retiro de fondos

II.

700

Traza las flechas sobre la recta numérica y halla la suma que se indica en cada uno de los siguientes casos: +(+7)

1) … -4

-3

-2

-1

0 + 1 +2 +3 +4 …

2)

… -9

-8

-3

-2 - 1

(-8) + (+5) = ____

(-3) + (+7) = +4

3)

4) …+ 19 + 20 + 21 + 22 + 23 +24 + 25 + 26

…+ 32 + 33

…

(+21) + (+3) = ____

+ 34 + 35 + 36 + 37

…

(+38) + (-5) = ____

5)

6) … - 12 - 11 - 10 - 9

-8

-7 -6

-5

-4 …

… - 21 - 20 - 19 - 18 - 17 - 16 - 15 …

(-6) + (-4) = ____ III.

-7 -6 -5 -4

(-16) + (-4) = ____

Traduce cada gráfico como una adición de enteros. +(+2)

1)

2) … -8

-7 - 6

-5 -4

-3

(-6) + (+2) = -4

200


-2 …

… - 12 - 11 - 10 - 9

-8

- 7 -6 …

0 …

Sexto grado de primaria 3)

4) … - 20 - 19 - 18 - 17 - 16 - 15 - 14…

…+ 13 +14 + 15 + 16 +17 + 18 +19 …

5)

6) …+ 41

I V.

V.

+ 42 +43 + 44 +45 + 46 + 47 …

…+ 73

+74 +75 + 76 +77 + 78 + 79 …

Escribe la propiedad de la adición que justifica cada una de las siguientes afirmaciones 1)

(+5) + 0 = +5

.............................................

2)

(+3) + (-3) = 0

.............................................

3)

+8 + (-2 + -3) = (+8 + -2) + -3

.............................................

4)

(+3) + (-1) = (-1) + (+3)

.............................................

5)

Si

x = -2 ® x + (+5) = +3

.............................................

6)

Si

x + (+3) = (+9) + (+3) ® x = +9 .............................................

7)

0 + (-13) = -13

.............................................

8)

(-5) + (+5) = 0

.............................................

Suma: 1)

(+9) + (+2) =

11)

(+6) + (-7) =

2)

(+4) + (+10) =

12)

(+10) + (-14) =

3)

(-3) + (-2) =

13)

(-9) + (+1) =

4)

(-8) + (-1) =

14)

(-10) + (+2) =

5)

(+3) + 0 =

15)

(-15)+ (+21) =

6)

(-8) + (+8) =

16)

(+3) + (-1) + (+4) + (-9) =

7)

0 + (-7) =

17)

(+4) + (-4) + (+1) + (+12) =

8)

(+13) + (-13) =

18)

(-7) + 0 + (+4) + (-4) =

9)

(+15) + (-5) =

19)

(+1) + (-2) + (+9) + (-13) + (-8) =

10)

(-9) + (+20) =

20)

(+10) + (-9) + (-5) + (-3) + (+13) =


201


•

Sustracción de números enteros

Estas rectas numéricas muestran que restar un entero y sumar el opuesto de ese entero, producen el mismo resultado. 5+(-3)=2

… -1

0

1

2

3

4

5

6

Restar (+3) es lo mismo que sumar (-3)

7 …

5-3=2 4-(-2)=6

… -1

0

1

2

3

4

5

6

Restar (-2) es lo mismo que sumar (+2)

7 …

4+2=6

Esto nos sugiere la siguiente regla: Para cualquier par de enteros a y b se cumple que:

a - b = a + (-b) = D Diferencia

Donde (-b) es el opuesto del sustraendo b. Es decir:

Minuendo - Sustraendo = Minuendo + opuesto del Sustraendo

Observación

Ejemplos: M - S =

M

+ opuesto del S = Diferencia 144 42444 3

(+8) -(+3) = (+8) +

(-3)

=

+5

(+10)- (-2) = (+10) +

(+2)

=

+12

(-9) -(+1) = (-9) +

(-1)

=

-10

(-13) - (-5) = (-13) +

(+5)

=

-8

(-20) -(-27)= (-20) +

(+27)

=

+7

(+5)

=

+5

10 - 6 = 10 +

-6

=

4

15 - -2 = 15 +

2

=

17

-4 - 5 =

-4

+

-5

=

-9

-1 - -3 =

-1

+

3

=

2

0 - (-5) =

202

0

+


I)

Las anotaciones -a y -a representan al mismo número entero, por lo tanto, pueden usarse indistintamente. Ambas notaciones pueden interpretarse de dos maneras: -a = -a =

II)

El negativo de a o El opuesto de a

Así, son equivalentes las siguientes expresiones: -6 = -6 -5 + (-7) = -5 + -7 = -12 12 + (-9) = 12 + -9 = 3 Los mismo ocurre con las notaciones +a y +a, ambas representan al mismo número entero a. +a = +a = a Así, es lo mismo: (+8) = +8 = 8 (+6) - (-5) = (+6) + (+5) = 6 + 5 = 11


•

Operaciones combinadas de adición y sustracción

En la práctica, la adición y la sustracción en pueden ser consideradas como una única operación llamada suma algebraica. Una suma algebraica es un encadenamiento de sumas y restas. Para realizar correctamente una suma algebraica debemos conocer las reglas prácticas que rigen la supresión de paréntesis. Estas reglas son las siguientes:

1 o . Todo paréntesis precedido por un signo + puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada cual con su propio signo. Ejemplos:

2 o .

a) 2+(7) = 2+7 = 9

c) 7+(-8-2+10) = 7-8-2+10 = 7

b) 13+(-3) = 13 - 3 = 10

d) 14+(8 - 3) + (-5 + 1) = 14+8 - 3 - 5+1 =15

Todo paréntesis precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior cada cual con signo cambiado.

Ejemplos:

a) 6-(30) = 6-30 = -24 b) 18-(-3-8+13) = 18+3+8-13 = 16

Cambiamos de signo a estos términos luego de suprimir el paréntesis, por estar precedido del signo menos.

Atención

c) -{13-[-(23-12)+18]-27} = -{13-[-23+12+18]-27} = -{13+23-12-18-27} = -13-23+12+18+27 = 21

Cuando en una suma algebraica aparecen varios signos de agrupación, unos dentro de otros, se empieza eliminando el que está cada vez más al interior.

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 Escribe todos los números enteros comprendidos entre -8 < x < 5 Resolución: Para que pueda entender mejor, hacemos uso de la recta numérica; veamos:

Los números enteros comprendidos entre -8 y 5 son. -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3 y +4. Eje rcic io 2 Escribe todos los números enteros comprendidos entre: -6 < x £ 4 Resolución: Para que pueda entender mejor, hacemos uso de la recta numérica, veamos:

Los números enteros comprendidos entre: -6 < x £4, son: -5; -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3 y +4. Eje rcic io 3 Halla el resultado de: 5 - 12 + 6 - 4 + 9 - 1 + 14 Resolución: Para este tipo de ejercicios se empieza a operar de izquierda a derecha, veamos: 5 -12 + 6 - 4 +9 - 1 + 14 123 -7 + 6 - 4 + 9 - 1 + 14 123 -1 - 4 + 9 - 1 + 14 123 -5 + 9 - 1 + 14 123 +4 - 1 + 14 123 3 + 14 = 17 Sexto Grado de Primaria

203

Manuel Coveñas Naquiche Otra forma: Halla el resultado de: 5 -12 + 6 -4 + 9 -1 + 14 Resolución: Agrupamos convenientemente los términos positivos y luego los negativos, veamos: (5 + 6 + 9 + 14) + (-12 -4 -1) 14442444 3 1 42 43 34

-17

34 - 17 = 17 Eje rcic io 4 Halla el resultado de: 20 -15 + 8 -12 + 4 -8 + 16 -30 123 5 + 8 -12 + 4 -8 + 16 -30 123 13 -12 + 4 -8 + 16 -30 123 1 23 + 4 -8 + 16 -30 1 -8 + 16 -30 1523 -3 + 16 -30 123 13 -30 = -17 Otra forma: Agrupamos los términos positivos y luego los negativos. (20 + 8 + 4 + 16) + (-15 -12 -8 -30) 144424443

144244 3

48

-65

48 - 65 = -17 Eje rcic io 5 A las 7 a. m. el termómetro marcaba -5°C y a las 12 m marcaba 13°C, ¿cuál es la diferencia de temperatura? Resolución: (13°C) - (-5°C) = 13°C + 5°C = 18°C Rpta. La diferencia de temperatura es de 18°C Eje rcic io 6 A partir de -6, avanzar -4, luego 8, después 3 y finalmente -5. Expresa su respuesta con un número entero. Resolución: Para que pueda entender mejor, hacemos uso de la recta numérica, veamos:

Rpta.

204


-4

Otra forma:

-6 + -4 + 8 + 3 + -5= 123 -10 + 8 + 3 + -5= 123 -2 + 3 + -5= 123 1 + -5 =- 4

Eje rcic io 7 Un submarino desciende 40 metros y luego desciende 12 metros más. ¿A qué profundidad se encuentra ahora? Expresa su respuesta con un número entero. Resolución: Desciende 40 metros: = -40m Luego, desciende 12 metros = -12m Profundidad a la que se encuentra ahora, es: (-40m) + (-12m)= -52m Ejercicio 8 Del opuesto de -10 resta la diferencia de -8 y 4. Resolución: • Opuesto de -10 = +10 • Diferencia de -8 y 4 = -8-4=-12 Luego: (+10) - (-12) = 10 + 12 = 22 Eje rcic io 9 La suma de tres números enteros es 9. Halla el tercer sumando, sabiendo que los otros sumandos son opuestos. Resolución: Recuerda

La suma de dos números opuestos es cero. Ejemplo: Sea el número: 6 Su opuesto será: -6 Luego: (6) + (-6) = 6 - 6 = 0 Del enunciado del problema nos dice que de los tres números, dos de ellos son opuestos, esto quiere decir que estos dos números suman cero. Luego, el tercer sumando es 9. Rpta.

Tercer sumando es igual a 9.

Eje rcic io 1 0 Después de alcanzar una baja de -18°C a las 8 p. m. la temperatura comenzó a elevarse a un promedio de 2°C por hora. ¿Cuál fue la temperatura del termómetro a la 1 a. m.?

Sexto grado de primaria Resolución: Para que puedas entender mejor, construimos el siguiente gráfico: 8 p. m. 9 p. m. 10 p. m.11 p. m. 12 p. m. 1 a. m. -18°C

-16°C +2

-14°C +2

-12°C

+2

-10°C

+2

-8°C

R pt a .

+2

La temperatura del termómetro a la 1 a. m. fue de -8°C

Taller de ejercicios 48 I.

II.

Realiza las siguientes sustracciones sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: 1)

(+6) - (+2) =

11)

(-15) - (+20) =

2)

(+9) - (+5) =

12)

(-30) - (+50) =

3)

(+2) - (+10) =

13)

(+17) - (+20) =

4)

(+5) - (+9) =

14)

(+23) - (-1) =

5)

(+7) - (-2) =

15)

(-75) - (-15) =

6)

(+9) - (-10) =

16)

(-83) - (-19) =

7)

(-3) - (+1) =

17)

(-1) - (+132) =

8)

(-11) - (+3) =

18)

(-3) - (-93) =

9)

(-12) - (-2) =

19)

0 - (-8) =

10)

(-4) - (-16) =

20)

(+3) - (-80) =

Resuelve: 1 . Un trozo de hielo tenía una temperatura de -8° C y al exponerlo al calor su temperatura final fue 10° C. ¿En cuánto aumentó su temperatura? Resolución:

R pt a .

18° C

2 . Halla el resultado de: a) 9 -13 + 4 -8 - 10 + 2 -15 -4 + 7 -18 b) -10 + 6 -2 -6 + 8 -9 + 4 -12 + 6-12 + 7 c) 16 -17 + 13 -8 + 4 -20 + 3 -7 + 11 Resolución:

Rpta.

a) -46 b) -20 c) -5


205


3 . A las 6 p. m. el termómetro marcaba 10° C y a partir de ese momento comenzó a aumentar a razón de 3° C por hora. ¿Qué temperatura marcaba a las 11 p. m.? Resolución:

R pt a .

5° C

5. Una hormiga se encuentra en el punto -4 sobre la recta numérica, luego avanza 2 unidades a la izquierda, después 7 unidades a la derecha y luego 6 unidades a la izquierda. ¿En qué punto se encuentra finalmente? Resolución:

4 . Halla el resultado de: a) (-7+4-5) + (-8+2-9)-(-6+4-2-9) b) 13-[9-(5-3+1) + (2+7-12)+6] c) [15-(6+7-8)] - [13-(-15+3-8)] Resolución:

Rpta.

a) -10 b) 4 c) -23

6 . Un cuerpo tenía una temperatura de -3° C y al someterlo al calor su temperatura aumentó en 30° C. ¿Cuál es su temperatura final? Resolución:

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3

•

Ecuaciones con sumas y restas de enteros Para resolver ecuaciones con números enteros como x+8 = -13 o t+(-5) = 17, necesitamos que en uno de los miembros de la ecuación quede la variable sola y que ésta no aparezca en el otro miembro. Los pasos siguientes muestran cómo utilizar las propiedades aditiva y del elemento opuesto para lograr tal fin.

Solución de ecuaciones con sumas y restas El procedimiento para encontrar la solución de una ecuación con sumas y restas de enteros es el siguiente: 1 . Se determina qué operación (suma o resta) se aplica a la variable 2 . Se adiciona a ambos miembros de la ecuación el opuesto de la operación que se aplica a la variable (propiedad aditiva). 3 . Se anula el sumando asociado a la variable, aplicando la propiedad del elemento opuesto, logrando de esta manera aislar a la variable. 4 . Se efectúa la operación en el otro miembro cuyo resultado es la solución de la ecuación.

206


Sexto grado de primaria Ej emplo 1 Resuelve: x + 5 = -12 Resolución: A la variable x se le está sumando +5 en el primer miembro. Para anular +5, restamos 5 a ambos miembros de la ecuación, logrando aislar a la variable: x + 5 - 5 = -12 - 5 x + 0 = -12 + -5 x = -17

Verificación: Al reemplazar x = -17 en la ecuación. x + 5 = -12 debe satisfacer la igualdad. Veamos: x + 5 = -12 -17 + 5 = -12 -12 = -12 satisface ( Ej emplo 2 Resuelve: y + (-3) = 10 Resolución: y + (-3) = 10 y + (-3) + 3 = 10 + 3

)

Ej emplo 4 Resolución:

Resuelve: -3 + x - 8 = -14 + 12 -3 + x - 8 = 1 -14 +4 12 42 3

-3 - 8 + x = -2 -11 + x = -2 -11 + 11 + x = -2 + 11 x=9 Ej emplo 5 Resolución:

Resuelve:

6-x=8

Sumando x a ambos miembros 6 - x + x= 8 + x 6= 8 + x Restamos 8 a ambos miembros 6-8=8-8+x -2 = x a lo que es lo mismo: x = -2 Ej emplo 6 Resolución:

-15 - (-2) + y - 1 = 4 - (-3) - 2

-15 - (-2) + y - 1 = 4 - (-3) - 2 -15 + (+2) + y - 1 = 4 + (+3) - 2

y = 13 Ej emplo 3 Resuelve: Resolución: a - 9 = -28 a - 9 + 9 = -28 + 9

a - 9 = -28

a = -19

-13

+ y - 1= 7 - 2 -14 + y = 5

Sumando 14 a ambos miembros -14 + 14 + y = 5 + 14 y = 19

Trasposición de términos Considera la siguiente igualdad: a+b=c, donde: a; b y c son números enteros. Supongamos que queremos pasar el número b a la derecha y dejar sólo al número a. Para ello procedemos así: a + b = c; sumamos a ambos miembros el opuesto de b, siendo este -b. (a + b) + (-b) = c + (-b) a +b- b=c-b Þ a=c-b Cuando se traspone un sumando b de un miembro a otro, cambia de signo. a + b = c Þ a = c - b Ejemplos: a) 3 - 8 = -5 Þ 3 = -5 + 8 b) 5+4 =9 Þ c) 7-4=3 Þ 7-3 =4 d) 11 + 6 = 17 Þ

5= 9-4 11 - 17 = -6


207

Manuel Coveñas Naquiche Otros ejemplos: a)

Calcula el valor de “x” en: x - 7 = -5 Resolución:

b)

x - 7 = -5

Calcula el valor de “x” en: x + 4 = -6 Resolución: x + 4 = -6 x = -6 - 4 \ x = -10

x = -5 + 7 x=2

\

c)

Calcula el valor de “x” en: 8 - x = -3 Resolución:

d)

Calcula el valor de “x” en: 12 - x = 16 Resolución:

8 - x = -3 8+3=x \ 11 = x

12 - x = 16 12 - 16 = x \ -4 = x

Taller de ejercicios 49 Resuelve las siguientes ecuaciones: 1)

x + 8 = -10

11)

15 - x = -23

2)

y - 3 = -13

12)

8 - x = 41

3)

x + 4 = -9

13)

-5 + x = 6 - (-2)

4)

z - (-2) = -17

14)

-9 + (-15) + x = 8 - 5 - 12

5)

y - (-15) = 4

15)

-37 = b - 6 + (-3)

6)

x + (-8) = -12

16)

-32 + 47 - y = 18 - (-3)

7)

n + (-25) = 32

17)

5 - (3 + 8) + x = 6 - (-3 + 2)

8)

x - 41 = -39

18)

x + (-25 + 12) - 3 = 8 - (-9 - 1)

9)

b + 35 = -6

19)

-34 + (-5) - (5 - 12) = 18 - x

10)

c - 53 = 8

20)

-12 - (4 - 15) + 1 = -7 + (-2 + -5) + x

Respuestas del taller

208

1.

x = -18

5.

y = -11

9.

b = -41

13.

x = 13

17.

x = 13

2.

y = -10

6.

x = -4

10.

c = 61

14.

x = 15

18.

x = 34

3.

x = -13

7.

n = 57

11.

x = 38

15.

b = -28

19.

x = 50

4.

z = -19

8.

x=2

12.

x = -33

16.

y = -6

20.

x = 14




Si A = {x/x Î ¢ ; –3 < x < 5}, hallar n(A) A) 4

2

8

B) 8

C) 6

D) 7

A) {0; 1; 2; 3; 4} B) {4; 3; 1; 1; 2} C) {1; 3; 5} D) {3; 1; 1} E) {4; 3; 2; 1; 0; 1} 3

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. –3 = 3 II. |4| = –4 III. op(–8) = 8 IV. –5 > – 2 V. |–7| = 7 A) 0

4

B) 1

B) –14 E) –12

C) 14

B) 72 E) 37

C) –72

9

B) 8 m E) N.A.

C) 2 m

Halle el resultado de la siguiente expresión: op(– 9 + 13) + op(– 1 – 2 – 3 –4) A) – 4 D) –6

B) –10 E) –8

C) 6

10 Dada la ecuación: x – 8 + 1 = –32 ¿Cuál es el valor de x? A) –40 D) 25

B) 40 E) –41

C) –25

11 Entre las 7 de la mañana y el mediodía, la temperatura subió 12°C. Si a las 7 de la mañana la temperatura era de –5°C, ¿qué temperatura indicaba el termómetro al mediodia? A) – 17°C D) 11°C

B) 12°C E) –7°C

C) 7°C

12 La suma de dos números es –14, si uno de ellos es 9, ¿cuál es el otro número? A) – 5 D) 5

B) 23 E) –23

C) –9

13 Halle el resultado de:

Se tiene: K + 4 – 8 = – 39 + 17 – 6

C = (– 4 + 8 – 13) + (– 5 + 17 – 4 + 31)

¿Cuál es el valor de K?

A) –31 D) 29

A) –43 D) – 51 7

E) 4

Al efectuar: –49 + 23 se obtiene: A) 26 D) – 26

6

D) 3

Al efectuar: |+5| + |–4| – |–23|, se obtiene: A) – 8 D) 4

5

C) 2

A) 6 m D) 10 m

E) 9

Determine por extensión el conjunto de todos los números enteros mayores que –5 pero menores que 2.

Un poste de luz sobresale 8 metros, tie ne dos metros bajo tierra. ¿Cuál es la lon gitud total del poste?

B) – 41 E) –24

B) 16 E) –21

C) 30

C) 17

Halle el resultado de: –8 + 3 – 9 – 6 + 41 A) –16 D) 21

B) –32 E) 31

C) –20

14 La suma de tres números es 18. Hallar el tercer número, sabiendo que los dos pri meros son opuestos. A) –15 B) 18 C) –18 D) 15 E) faltan datos


209

Manuel Coveñas Naquiche 15 Un cuerpo tenía una temperatura de –12°C y al someterlo al calor su temperatura aumen tó en 28°C. ¿Cuál es su temperatura final? A) –40°C D) 40°C

B) 16°C E) –18°C

2

C) –16°C 3

16 Se tiene: 4 + 4 + 4 + ¼ + 4 ) - (7 + 7 + 7 + ¼ + 7 ) (144 42444 3 14442444 3 23 veces

21 veces

¿Cuál es el resultado final? A) –55 D) –45

B) –53 E) –63

C) –71

4

B) –17 E) –19

C) 7

18 Si la suma de dos números es –17 y uno de ellos es el opuesto de 5, ¿cuál es el otro número? A) –15 D) –10

B) –7 E) –21

5

B) –17 E) –23

6

C) 17

B) 19 E) 18

7

C) 15

Nivel II 8 1

Si:

a b + 3 4 c 4 6

3 4 5 calcular: -abc + bac A) – 90 D) 90

210

B) –80 E) 80


C) –55

B) 14 E) –14

C) 10

Dada la ecuación: –8 + x + 17 = – 41 + 12 Hallar el valor de x. B) –29 E) –27

C) –36

Señale la verdad o falsedad de las siguien tes proposiciones.

C) –12

20 ¿Cuántos números enteros hay desde –12 hasta el opuesto de –6? A) 17 D) 16

A) 21 B) 18 C) –18 D) –4 E) 16 Al efectuar |9 –(3 – 8 +15)| + 9 – 24, se obtiene:

A) –38 D) –35

19 Al número que pensé le sumé –15 y ob tuve 13, ¿cuál es el opuesto del número que pensé? A) 28 D) –28

A) –100 B) –182 C) 182 D) –321 E) –191 Hallar la suma de los números compren didos entre: –4 £ x £ 7

A) –8 D) 13

17 ¿Cuál es el número que al restarle –15 se obtiene –8? A) –23 D) –21

Se tiene: 1201 (5) – 437 (9) , ¿cuál es el resultado en el sistema decimal?

I.

(

)

II. III.

(–35 + 21) Î ¥ (|–8| + 11) Î ¢

IV.

–(|–4|–|–25|) Î ¥

64 + 3 1 Î ¢ +

A) VVVV B) VFVF C) VFVV D) VFFV E) VFFF Dados: A = |3 × 9 – 40| + 2 B = |5 × 3 – 19| – 18 ¿Cuál es el valor A + B? A) – 2 B) – 3 D) – 1 E) 4 Dadas las ecuaciones: x + 4 = – 12 –y + 6 = – 13 –13 + z = 7 Calcular el valor de P. P = |x| – |y| + |–z| A) 17 B) –17 D) 18 E) –14

C) 1

C) –11


El capitán “Nemo” en un submarino na vega a una profundidad de 136 metros, desciende 15 metros, luego asciende 8 metros y finalmente desciende 27 metros. ¿A qué profundidad se encuentra?

A) 180 m D) 140 m 10 Dados:

B) 170 m E) 142 m

C) 136 m

C = ||–2 3 + 1| – 7| Al ordenar de mayor a menor se obtiene: C) A; B; C

11 ¿Cuánto se le debe restar a “D” para que se obtenga nueve decenas? D = 51 + 8 + -4 - 9 + 2 - éë -15 + 9 - 16 ùû

A) 1 D) 6

B) 3 E) 4

C) 2

12 Una “couster” sale de su paradero con 27 pasajeros, en la primera parada bajan 4 y suben 9, en la segunda bajan 3 y su ben 7, en la tercera parada bajan 18 , en la cuarta bajan 9. ¿Cuántos pasajeros quedan en la “couster”. A) 5 D) 12

B) 6 E) 16

B) –5 C) –17 D) 12

E) 15

16 Hallar la suma de todos los números en teros comprendidos entre el opuesto de 14 y el opuesto de –6. B) –84 E) –72

C) –70

17 La diferencia de dos números positivos es 17. Si al menor le sumamos –9 y al mayor le restamos el opuesto de 5, en tonces la nueva diferencia será:

B = |–(–2) + 3| + |3+|–2||

B) A; C; B E) C; B; A

A) 5

A) –76 D) –69

A = |–(|–2 | + |2–9|) – (–1)|

A) B; A; C D) B; C; A

15 Al resultado de (–8 + 4 – 7) restarle el opuesto de –6.

C) 9

13 Calcule la diferencia que existe entre la suma de cifras del mayor número de 4 cifras diferentes y la suma de los cuadra dos de los seis primeros números ente ros positivos. A) – 51 B) –61 C) –70 D) –40 E) 62 14 Se tiene el conjunto: A = {–9; –7; –5; 2; 4; 6}. Si se eligen dos números de dicho conjunto y se suman, el menor resultado posible es: A) – 12 B) –20 C) –16 D) –18 E) –15

A) 13 D) 21

B) 35 E) 37

C) 31

18 Si al número de lapiceros que tengo le sumo 28, luego le resto 15 y lo vuelvo a sumar, esta vez el opuesto de 13, obten go 27; ¿cuántos lapiceros tengo? A) 41 D) 27

B) 34 E) 39

C) 30

19 Se tiene los conjuntos: A = {x/ x Î ¢ ; –4 £ x < 3} B = {x/ x Î ¢ ; –7 £ x < opuesto de –8} Calcular la suma de los elementos de AÇB A) –16 B) –12 C) –7 D) –2 E) –9 20 Si: -abc = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ¼ + 783 - 784

hallar: -a + b - c A) 1

B) 3

C) 5

D) 2

E) 4

Clave de respuestas 1. D 6. E 11. C 16.A

2. E 7. D 12. E 17. A

1. A 6. C 11. C 16.A

2. B 7. C 12. C 17. C

Nivel I 3. C 8. D 13. C 18. C Nivel II 3. B 8. A 13. B 18. D

4. B 9. C 14. B 19. D

5. D 10. C 15. B 20. B

4. E 9. B 14. C 19. C

5. A 10. A 15. C 20. D


211


5 •

Fracciones y decimales

Introducción En una fiesta de promoción se observa lo siguiente: Los alumnos del sexto grado de primaria son 60, de los cuales 35 son mujeres y 25 son varones.

Los papás son 48. Las mamás son 20.

a) ¿Qué parte de los asistentes a la fiesta son varones? b) ¿Qué parte de los asistentes a la fiesta son mujeres? c) Si cada papá baila con una mamá, ¿qué parte de los papás no baila? e) ¿Se puede afirmar que hay 5 alumnos por cada 7 alumnas? f) Si se divide el número de alumnos entre el número de alumnas, ¿el cociente es exacto? g) ¿Se puede afirmar que hay 12 papás por cada 5 mamás? h) Si se divide el número de mamás entre el número de papás, ¿el cociente es exacto? i) ¿Son iguales los cocientes de las preguntas (f) y (h)?


215


·

Términos de una fracción Los términos de una fracción son numerador y denominador. 6 Numerador Ejemplo: 8 Denominador ·

En este caso la unidad está representada por un círculo, el cual se ha dividido en 8 partes iguales, siendo cada parte 1/8 de la unidad (un octavo) o 1/8 del círculo.

·

También observamos que de las 8 partes iguales se han tomado 6 partes (región coloreada) que como fracción se escribe así: 6/8 (seis octavos).

Otros ejemplos: Ejemplo

1 3 5

La unidad está representada por el rectángulo ABCD, el cual ha sido dividido en 5 partes iguales, siendo cada parte 1/5 del rectángulo ABCD.

6447448

También observamos que de las 5 partes iguales se han tomado 3 partes (región coloreada) que como fracción se escribe así: 3/5. Ejemplo

La unidad está representada por el hexágono ABCDEF, el cual ha sido dividido en 6 partes iguales, siendo cada parte 1/6 de la unidad o 1/6 del hexágono ABCDEF.

2

También observamos que de las 6 partes iguales se han tomado 2 partes (región coloreada) que como fracción se escribe así: 2/6.

Numerador 5 9

El número 9, que está debajo de la raya, se llama denominador, porque denomina o llama a cada una de las partes. Si se hacen 9 partes, cada una de ellas se denomina noveno.

·

El número 5, que está sobre la raya, se llama numerador, porque numera o cuenta las partes que se toman.

Es una fracción Denominador

216

·



·

Lectura de una fracción Para leer una fracción se menciona primero el numerador y luego el denominador.

Atención

·

Si el denominador es mayor que 10 se añade la terminación – AVOS.

Ejemplos:

6 = seis treceavos 13

7 = siete veinteavos 20

8 = ocho quinceavos 15

3 = tres doceavos 12


Completa la siguiente tabla:

Fracción que representa la región pintada Nombre de la fracción


217


Pinta en cada figura la fracción que se indica.

Trece dieciochoavos

3

4

Escribe en cada recuadro la fracción que corresponde a cada letra en el rectángulo PQRS. del rectángulo PQRS

B es

del rectángulo PQRS

C es


D es


E es


Completa los siguientes cuadros: La fracción

218

A es

Se lee

La fracción

Se lee

7 12 5 9 13 17 17 23 21 34 11 36 8 15 19 24 3 41

Tres octavos.

12 29

Veintisiete milésimos.


Siete onceavos. Ocho doceavos. Doce novenos. Cinco sextos.

Diecinueve octavos. Ocho diecinueveavos. Veintiocho medios. Dieciséis tercios.

Sexto grado de primaria 5.

Une mediante una flecha cada recta numérica con la fracción que representa a su parte pintada. 19 4 21 5 23 6 13 3 9 2

·

Fracción de un número Observa cómo podemos calcular la fracción de un número.

·

Los dos conjuntos de manzanas representan la unidad, donde cada conjunto de manzanas representa la fracción 1/2. Además sabemos que hay 18 manzanas en total, cada 1 conjunto representa de 18. 2 1 1 En hay 9 manzanas Þ de 18 = 9 2 2

1 2

1 2

Otro ejemplo: Los tres conjuntos de bolitas representan la unidad, donde cada conjunto de bolitas representa en fracción 1/3. Además sabemos que hay 27 bolitas en total. Cada conjunto representa

1 3

1 3

1 3

1 de 27. 3

1 hay 9 bolitas Þ 3 2 En hay 18 bolitas Þ 3

En

1 de 27 = 9 3 2 de 27 = 18 3

Para calcular la fracción de un número, se divide el número entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador. 3

Ejemplo 1

2 de 21 Þ 21÷7 = 3 7 3´2= 6

Ejemplo

5 5 5 5 ´ 56 de 56 Þ 56÷8 = 7 Otra forma: de 56 = ´56= = 5´7 = 35 8 8 8 8 7 ´ 5 = 35

2

2 2 2 ´ 21 Otra forma: de 21 = ´21= = 2´3 = 6 7 7 7 7


219



Pinta lo que se indica en cada caso y completa los casilleros con el número de elementos que pintaste. 3 de los 15 círculos 5

3 de 15 = 5

2

3 de los 24 rectángulos 4

4 de 20 = 5

3 de 24 = 4

Calcula la fracción del número que se indica en cada caso: a)

2 de 30 = 5

d)

4 de 75 = 15

g)

11 de 840 = 14

b)

3 de 48 = 8

e)

7 de 39 = 13

h)

9 de 115 = 23

c)

5 de 60 = 12

f)

5 de 126 = 21

i)

13 de 162 = 27

3

220

4 de los 20 pentágonos 5

Resuelve: a)

4 de 4 000 = 5

e)

5 de 1 170 = 9

i)

11 de 1 260 = 14

b)

7 de 2 600 = 13

f)

7 de 7 200 = 18

j)

13 de 1 968 = 16

c)

5 de 6 400 = 16

g)

9 de 8 000 = 16

k)

8 de 900 = 25

d)

6 de 7 600 = 19

h)

8 de 1 250 = 25

l)

27 de 2 480 = 31



·

Clasificación de las fracciones Toda fracción pertenece a una y sólo a una de las siguientes clases: Fracciones propias

Fracciones iguales a la unidad

La unidad está representada por el cuadrado ABCD, siendo 3 la región coloreada de la uni4 dad. 3 <1 Luego: 4 Las fracciones propias tienen el numerador menor que el denominador y son menores que la unidad.

La unidad está representada por el cuadrado ABCD, siendo 4 la región coloreada de la unidad. 4 4 =1 Luego: 4 Las fracciones iguales a la unidad tienen el numerador igual al denominador.

Fracciones impropias

En el primer cuadrado ABCD, la región coloreada es 4/4 de la unidad y en el segundo cuadrado AB CD, la región colorea da es 2/4 de la unidad, siendo la región coloreada total 6/4 de la unidad. Luego:

6 >1 4

Las fracciones impropias tienen el numerador mayor que el denominador y son mayores que la unidad.

Taller de ejercicios 52 1 Pinta la región que representa cada fracción y marca con un aspa la alternativa correcta. Fracción

Comparación con la unidad

Representación

7 8

®

®

mayor que 1

menor que 1

igual a 1

5 4

®

®

mayor que 1

menor que 1

igual a 1

9 6

®

®

mayor que 1

menor que 1

igual a 1

5 6

®

®

mayor que 1

menor que 1

igual a 1

4 7

®

®

mayor que 1

menor que 1

igual a 1


221


Compara cada fracción con la unidad y clasifícala, observa el ejemplo:

a)

b)

c)

3 < 1 12 Fracción propia 13 > 1 8 Fracción impropia 19 = 1 19 Fracción igual a la unidad

3

11 14

1

g)

121 136

1

j)

81 47

e)

27 4

1

h)

325 329

1

k)

125 156

1

f)

36 36

1

i)

333 777

1

l)

321 415

1

1

Une mediante una línea cada fracción con el camión que le corresponda. 15 27

17 31

13 29

·

d)

45 72

34 34

48 53

62 26

18 18

124 623

17 71

79 75

143 721

320 440

87 93

Fracciones impropias y números mixtos ·

Las fracciones impropias pueden ser expresadas como número mixto. Un número mixto está formado por una parte entera y otra parte fraccionaria. ·

4 7

La La Unidad unidad

La unidad

Parte entera

Región coloreada

11 73 12

=

Fracción impropia

222

4 73 12

1

11 7 11 Þ -7 1 7 4

Þ 11 = 7

1

4 7

Parte fraccionaria

Número mixto


Para transformar una fracción impropia en un número mixto se divide el numerador entre el denominador.

Cociente

Resto

· El cociente es la parte entera y el resto o residuo es el numerador. Se conserva el mismo denominador.

Sexto grado de primaria Otro ejemplo:

13 4 13 Þ Cociente 12 3 4 Resto 1

3

1 4

13 1 =3 4 4


Escribe la fracción impropia y el número mixto que corresponde en cada caso.

Þ

2

10 6

=1

4 6

Þ

=

Þ

=

Þ

=

Þ

=

Þ

=

Escribe el número mixto que corresponde a cada fracción impropia. a)

47 = 6

b)

5 6

e)

45 = 8

i)

173 = 15

126 = 9

f)

64 = 7

j)

824 = 45

c)

79 = 6

g)

134 = 11

k)

620 = 17

d)

306 = 23

h)

230 = 19

l)

428 = 33

7


223


·

Escribe en tu cuaderno estas fracciones impropias y transfórmalas a número mixto. a)

27 14

d)

80 9

g)

620 21

j)

128 19

b)

35 6

e)

60 7

h)

743 32

k)

473 48

c)

47 6

f)

90 11

i)

894 47

l)

629 47

Número mixto a fracción impropia Observa cómo podemos transformar un número mixto en fracción impropia. 4 7

La Unidad La unidad

La La Unidad unidad

Parte fraccionaria Parte entera

Región sombreada

4 17 = 123

Número mixto

11 73 12

R Se multiplica el denomi| nador por el entero. | | 4 | Al resultado se le suma el 1 S numerador. 7 | | Se conserva el número | |T denominador.

Fracción impropia

\ 1

Ejemplos: +

a)

6474 8 5 9´8+5 8 = = 9 9

7´1= 7 7 + 4 = 11 11 7

4 11 = 7 7

+

77 9

´

b)

6474 8 3 8 ´ 12 + 3 99 12 = = 8 8 8

´


Observa cada número mixto y resuelve las operaciones para convertirlo a fracción. Número mixto 3 5 2 15 7 5 12 13 11 27 16 8

224


Multiplicación

Adición

5 ´ 8 = 40

40 + 3 = 43

Fracción impropia 43 5


Completa: a) 9

2 = 17 17

e) 24

3 = 8 8

i)

368 = 25

b) 4

7 = 11 11

f) 36

1 = 4 4

j)

146 = 16 9 9

c) 8

5 = 13 13

g)

70 = 12

k)

823 = 17 46 46

2 = 5 5

h)

125 = 60

l)

329 = 25 13 13

d) 10

3

4

5 60

Escribe cada número mixto como fracción: a) 14

2 = 7

e) 48

5 = 7

i) 45

6 = 21

b) 23

1 = 6

f) 26

7 = 9

j) 52

7 = 10

c) 16

3 = 8

g) 49

11 = 12

k) 63

12 = 16

d) 40

5 = 9

h) 32

13 = 15

l) 40

17 = 19

Escribe cada fracción como un número mixto de la forma a a)

17 b =a 2 c

b) a c)

·

10 12

18 25

b 124 = c 13

628 b =a 19 c

d) a e)

b 72 = c 7

98 b =a 17 c

f) a

b 327 = c 45

b y halla el valor de a + b + c. c

g)

231 b =a 31 c

h) a i)

b 178 = c 29

543 b =a 73 c

Fracciones equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Fíjate en esta familia de fracciones:

4244 3 14 4244 3 14 4244 3 14 4244 3 14 1 2 3 4 = = = 4 4244444444 6 83 124444444 Fracciones equivalentes

Todas estas fracciones valen igual aunque sus términos sean distintos; son fracciones equivalentes.


225


U | V |W Si en una fracción se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número, la fracción que resulta es equivalente a la primera. Observación

2 4 = 5 10

porque

4 2´2 = 10 5 ´ 2

3 12 = 8 32

porque

12 3 ´ 4 = 32 3 ´ 4

Observación

5 15 = 7 21

21 ´3 5 = 71´ 12 215 3 = 105 105

Si dos fracciones son equivalentes, los productos cruzados de sus términos son iguales.


Observa las regiones pintadas y escribe el par de fracciones equivalentes que corresponda en cada caso.

2 4

=

4 8

=

226


=

=

=

=


Escribe y completa estas fracciones para que resulten equivalentes a las dadas.

4 36 12 = = = 10 20

3

4

Completa con el signo = si cada par de fracciones es equivalente o con el signo ¹ si no lo son. a)

5 7

b)

6 14

c)

15 40

b) c)

d)

27 10

9 5

g)

2 9

30 135

18 42

e)

21 56

3 8

h)

30 48

5 8

3 8

f)

5 12

20 48

i)

7 16

3 6

2 = 3 24

d)

48 8 = 60

g)

=

20 35

e)

7 = 11 66

h)

=

20 8

f)

7 5

9

=

30 45

i)

36 25

=

3 5

=

75 12

121

=

11 2

Encierra con una circunferencia la única de estas fracciones que no es equivalente a a)

6

40 56

Completa: a)

5

5 35 = = = 7 14 63

28 52

b)

49 91

c)

84 156

d)

70 130

e)

35 65

f)

7 . 13

98 169

Halla el valor de cada “x” en: ´4

a)

7 x = 8 32

x = 28

d)

13 91 = 60 x

x=

g)

70 x = 8 48

x=

´4

b)

9 x = 25 150

x=

e)

36 144 = 5 x

x=

h)

35 x = 9 63

x=

c)

6 54 = 13 x

x=

f)

15 x = 42 126

x=

i)

150 450 = 40 x

x=


227


Halla el valor de cada “x” en: ÷6

a)

48 x = 24 4

b)

144 16 = 36 x

c)

75 x = 45 3

d)

156 x = 65 5

x=

g)

280 x = 70 5

x=

x=

e)

18 2 = 63 x

x=

h)

91 7 = 169 x

x=

x=

f)

84 x = 132 11

x=

i)

63 x = x= 141 47

x=8

÷6

·

Comparación de fracciones

14 4244 3

1424 3 6 6 12 9 Si dos fracciones tienen igual numerador, es menor la que tiene mayor denominador.

>

Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Atención

Podemos comparar fracciones con distinto numerador y con distinto denominador por medio de los “productos cruzados”. 3 6

\

228


4 Þ 9 ´× 3 > 6 ´× 4 9 27 24 3 4 > 6 9


·

Simplificación de fracciones: Has visto que cuando el numerador y el denominador de una fracción se divide entre un mismo número, la fracción que resulta es equivalente a la primera. Por ejemplo: Divisores de

8 8 ¸2 4 = = 12 12 ¸ 2 6

Observa que los términos de la nueva fracción son menores que los de la primera. Hemos simplificado la fracción. Pero cuando nos piden que simplifiquemos una fracción se sobrentiende que debemos de llevarla a su expresión más simple, es decir, a su mínima expresión. Ejemplo: ¿Es 4/6 la menor de las fracciones equivalentes a 8/12?

\ Divisores comunes de 8 y 12 = {1; 2; 4}

Luego, el máximo común divisor de 8 y 12 es el 4. Entonces: 8 8 ¸4 2 = = 12 12 ¸ 4 3

Þ

8 4 ¸2 2 = = 12 6 ¸ 2 3

Þ

En el ejemplo hemos simplificado

8 2 = 12 3

8 en dos 12

4 pasos. Primero lo convertimos en y, des6 4 2 pués, transformamos en . 6 3

Podíamos haber realizado una sola transformación:

8 2 = 12 3

Para transformar

8 2 = 12 3

Ejemplo 2: Simplifica a su mínima expresión 24/40 Resolución: Divisores de 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Divisores de 40 = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40} Divisores comunes de 24 y 40 = {1; 2; 4; 8}

8 2 en en un solo paso 12 3

procedemos así: Divisores de

Þ

Para escribir una f ra cc ió n en s u mí ni ma e xpre si ón, di vi di mo s am bo s t érm inos (numerador y denominador) por su máximo común divisor (M.C.D.)

Fíjate: 8 4 = 12 6

12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

8 = {1; 2; 4; 8}

Luego, el máximo común divisor de 24 y 40 es el 8. Entonces: 24 24 ¸ 8 3 = = 40 40 ¸ 8 5

Þ

24 3 = 40 5


229


Otra forma de simplificar la fracción:

3 12 24 40 20 5

Divisores comunes = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

24 40

Luego, el máximo común divisor de 120 y 210 es el 30. Entonces:

÷ 2 ¸4

\

120 120 ¸ 30 4 = = 210 210 ¸ 30 7

24 3 = 40 5

Þ

120 4 = 210 7

Otra forma de simplificar la fracción:

Al dividir los dos términos de la fracción inicial, es decir, 24 y 40 entre 2, esto quiere decir que se ha sacado mitad a los dos términos, obteniendo 12 y 20 respectivamente; a continuación dividimos estos nuevos términos entre 4, esto quiere decir que se ha sacado cuarta a los dos términos, obteniendo 3 y 5 respectivamente.

4 20 60 120 210 105 35 7

¸2

¸3

120 210

¸5

Ejemplo 3: Simplifica a su mínima expresión:

Al dividir los dos términos de la fracción inicial, es decir, 120 y 210 entre 2, esto quiere decir que se ha sacado mitad a los dos términos, obteniendo 60 y 105 respectivamente.

120 210

Resolución: Divisores de 120 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12;15; 20; 24; 30; 40; 60; 120} Divisores de 210 = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210}

A continuación dividimos estos nuevos términos entre 3, esto quiere decir que se ha sacado tercia a los dos términos, obteniendo 20 y 35 respectivamente; a continuación dividimos estos nuevos términos entre 5, esto quiere decir que se ha sacado quinta a los dos términos, obteniendo 4 y 7 respectivamente.


230

Completa: Fracción

Divisores comunes

15 30

{1; 3; 5; 15}

15 ¸ ? 30 ¸ ?

12 36

{

}

12 ¸ ? 36 ¸ ?

28 42

{

}

28 ¸ ? 42 ¸ ?


M.C.D.

Procedimiento

Fracción simplificada


3

Simplifica cada una de estas fracciones hasta llegar a su mínima expresión: a)

48 = 120

d)

168 = 264

g)

240 = 144

b)

252 = 324

e)

156 = 108

h)

180 = 252

c)

180 = 288

f)

504 = 288

i)

162 = 72

Simplifica cada fracción del primer miembro, luego halla el valor de “x”.

I.

24 x = 30 5

II.

Resolución: 4 12 24 30 15 5

a)

¸2

÷3

Resolución:

24 4 = 30 5

Por comparación \ x=4

36 2 x = 45 5

e)

84 2x = 147 7

f)

54 3x = 117 13

g)

63 3x = 168 8

x=

30 2 = 105 7

÷5

2x = 2 \ x=1

i)

18 x = 27 3

144 3 x = 112 7

h)

192 2 x = 144 3

x=

36 x = 60 5

x= j)

64 2x = 112 7

x= k)

x=

x= d)

¸3

x=

x= c)

84 3 x = 35 5

2 10 30 105 35 7

x=

x= b)

30 2x = 105 7

180 5 x = 54 3

x= l)

168 7 x = 96 4

x=


231


Simplifica cada fracción del primer miembro, luego halla el valor de “x”. 18 x = 24 4

I.

II.

Resolución:

Resolución:

Hallamos el M.C.D. de 18 y 24.

Hallamos el M.C.D. de 30 y 54.

18 - 24 9 - 12 3 - 4

2 3

} M.C.D. de (18 y 24) ==2´36

÷6

18 3 = Luego: Por comparación x = 3 24 4

30 - 54 15 - 27 5 - 9

a)

36 x = 60 5

48 3x = 104 13

d)

48 2 x = 84 7

x=

÷6

Por comparación 3x = 9 x=3

320 5 x = 96 3

g)

x= e)

f)

128 8 = 144 3 x

x=

90 5 = 108 2 x

h)

x=

x= c)

} M.C.D. de (30 y 54) ==2´36

÷6

x= b)

2 3

30 5 = Luego: 54 9

÷6

·

30 5 = 54 3x

528 11 = 240 x

x=

120 5 = 192 4 x

576 x = 256 4

i)

x=

x=

Operaciones con fracciones homogéneas Sumar fracciones homogéneas 2 6

3 6 5 6

232


Llamamos fracciones homogéneas a aquellas cuyos denominadores son iguales. Para sumar fracciones homogéneas sumamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. ®

2 3 2+3 5 + = = 6 6 6 6

Sexto grado de primaria Observación

2 1 2 +1 3 1 + = = = , siempre que sea posible simplificar el re9 9 9 9 3 sultado de una operación con fracciones a su mínima expresión.


2

Suma las siguientes fracciones y simplifica cuando sea posible: a)

4 6 4 + 6 10 5 + = = = 6 6 6 6 3

e)

3 1 + = 10 10

i)

3 1 + = 8 8

b)

3 5 + = 7 7

f)

8 4 + = 15 15

j)

12 8 + = 30 30

c)

3 7 + = 20 20

g)

8 4 + = 16 16

k)

5 7 + = 14 14

d)

4 4 + = 5 5

h)

2 3 + = 6 6

l)

9 12 + = 21 21

Suma y expresa cada resultado como número mixto.

1 3 7 1 + 3 + 7 11 3 + + = = =2 4 4 4 4 4 4

I.

11 -8 3

4 2

Þ

II.

7 13 8 7 + 13 + 8 28 2 + + = = =2 13 13 13 13 13 13 28 -26 2

11 3 =2 4 4

13 2

Þ

28 2 =2 13 13

a)

12 11 17 + + = 25 25 25

e)

21 18 15 + + = 40 40 40

b)

8 9 6 + + = 13 13 13

f)

57 63 40 + + = 81 81 81

c)

11 16 17 + + = 24 24 24

g)

89 78 55 + + = 124 124 124

d)

18 9 40 + + = 37 37 37

h)

146 274 128 + + = 320 320 320


233


·

Restar fracciones homogéneas En este dibujo se ha representado la resta de fracciones homogéneas. 14444442444444 3 144244 3

5 6

2 = 6

3 6

Para restar fracciones homogéneas restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. 5 2 5-2 3 - = = 6 6 6 6

Observa este otro ejemplo: hemos simplificado el resultado transformándolo , en su mínima expresión.

7 1 7 -1 6 3 - = = = 8 8 8 8 4


Resta las siguientes fracciones y simplifica cuando sea posible.

a)

13 8 13 - 8 5 = = 18 18 18 18

e)

3 1 - = 4 4

i)

50 43 = 44 44

b)

18 12 = 20 20

f)

9 3 = 15 15

j)

13 8 = 32 32

c)

10 6 = 12 12

g)

28 20 = 35 35

k)

35 12 = 40 40

d)

4 2 10 10

h)

18 11 = 36 36

l)

18 6 = 24 24

2 Resta y expresa cada resultado como número mixto. I.

17 8 17 - 8 9 1 - = = =2 4 4 4 4 4

9 -8 1

234

4 2

Þ

9 1 =2 4 4

II.

25 11 25 - 11 14 7 = = = 8 8 8 8 4

7 -4 3

4 1

Þ

a)

27 9 - = 8 8

e)

134 28 = 72 72

b)

45 17 = 16 16

f)

72 12 = 45 45

c)

70 15 = 25 25

g)

56 16 = 37 37

d)

27 9 = 18 18

h)

120 18 = 63 63


7 3 =1 4 4

Sexto grado de primaria • Comparación de fracciones I. Comparación de fracciones homogéneas Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. Al comparar dos fracciones homogéneas, es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplos: 9 7 2 5 10 1 > < > 13 13 9 9 3 3 I. Comparación de fracciones heterogéneas Dos o más fracciones son heterogéneas si sus denominadores no son iguales. Para comparar dos fracciones heterogéneas se siguen los siguientes pasos: 1° Si las fracciones no son irreductibles se las simplifica hasta hacerlas irreductibles 2° Se reducen las fracciones a su mínimo común denominador 3° Se comparan las fracciones homogéneas halladas. Ejemplo 1. ¿Qué fracción es mayor

12 16 ó ? 30 24

Resolución: 1° Simplificamos las fracciones:

¸6

12 16 y 30 24

2 12 2 = 30 5 5

¸8

2 16 = 24 3

2 3

2° Se reducen las fracciones 2/5 y 2/3 a su mínimo común denominador. 2 2 6 5-3 3 = M.C.M.(5 y 3) = 3 ´ 5 = Þ ´ 5 15 5 15 5-1 5 = 15 ¸ 1-1 2 = 2 10 = 3 15 Þ ´ 3 15 ¸ 3° Comparamos las fracciones homogéneas halladas, es decir: 6 y 10 15 15 6 10 12 16 < < Luego: Þ 15 15 30 24

U V W

Atención

La manera práctica de comparar dos fracciones es aplicando “ P r od uc t o s C r uz a do s ” , veamos: ¿Qué fracción es mayor? Resolución:

12 30

16 24

Þ

12 ´ 24 < 16 ´ 30 Þ 288

12 16 < 30 24

480


235



2

Compara cada par de fracciones y escribe entre ellos, según corresponda, uno de los símbolos >, <, =. a)

8 13

5 12

g)

131 8

142 6

m)

84 92

42 46

b)

9 16

7 14

h)

105 126

35 42

n)

22 18

10 12

c)

17 15

8 9

i)

60 80

130 140

o)

80 60

32 28

d)

12 10

14 12

j)

108 72

8 6

p)

40 8

490 98

e)

17 4

16 5

k)

15 40

12 60

q)

40 36

8 6

f)

30 72

28 70

l)

24 42

26 17

r)

100 75

480 360

Coloca en cada paréntesis “F” en cada caso que sea falso y “V” en cada caso que sea verdadero.

a)

7 5 > 20 18

....(

)

f)

32 30 < 16 16

....(

)

b)

19 17 > ....( 13 14

)

g)

22 18 > 10 12

....(

)

c)

8 6 > 17 15

)

h)

9 40 < 98 490

d)

12 6 < 9 4

i)

26 17 > 42 25

....(

)

e)

42 24 < 26 17

j)

18 14 < 22 12

....(

)

....( ....( ....(

) )

....(

)

3

Resuelve los siguientes problemas:

a)

El papá de Nataly y Vanessa les da de propina igual cantidad de dinero a cada una. Si Nataly 12 15 gastó de su propina, mientras que Vanessa gastó de su propina, ¿cuál de las dos gastó 17 18 más? 23 Karina y Manolito se proponen hacer una tarea. Karina hace los de dicha tarea, mientras 45 18 Manolito hace los de la misma tarea. ¿Cuál de los dos hizo más? 27 3 1 De una botella de gaseosa de 1 litro: Manuel toma los del contenido, Sara toma del conte8 4 1 nido, mientras Nataly toma del contenido. ¿Quién de los tres tomó más gaseosa? 7

b)

c)

236



Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones que se presentan en cada caso. 5 7 4 y ; 8 11 5 Resolución:

a) 3 ; 4 y 2 5 7 3 Resolución: * Comparamos

b)

3 4 con aplicando el 5 7

“Producto cruzado” 7 ´ 3 = 21

5 ´ 4 = 20

3 5

*

4 7

3 4 > 5 7

Þ

(a)

Comparamos 3/5 con 2/3 aplicando el

“Producto cruzado” 3´3=9

5 ´ 2 = 10

3 5

2 3

Þ

3 2 < 5 3

Al decir que

3 2 es menor que , es lo mis5 3

mo decir que

2 3 es mayor que , entonces: 3 5 2 3 > 3 5

(b)

Luego de las expresiones (b) y (a), obtenemos: 2 3 3 4 > y > 3 5 5 7

Þ

2 3 4 > > 3 5 7

Nota: Estas fracciones están ordenadas de mayor a menor. c)

5 7 4 ; y 12 13 9

Resolución:

d)

11 ; 13

7 3 y 9 5

Resolución:


237


·

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas Para sumar o restar fracciones heterogéneas (de diferente denominador) se reducen las fracciones a su mínimo común denominador y luego se suman o restan las fracciones homogéneas obtenidas.

Ejemplo 1:

Halla el resultado de:

5 2 3 + + 8 7 5

Resolución: En este caso los términos de las fracciones dadas no pueden simplificarse, por lo tanto, hallamos el M.C.M. de los denominadores (8; 7 y 5), veamos: 8-7-5 4-7-5 2-7-5 1-7-5 1-7-1 1-1-1

2 2 2 5 7

U | | M.C.M. (8; 7 y 5)= 2 ´ 2 ´ 2 ´ 5 ´ 7 V | = 280 |W ´

5 2 3 175 + 80 + 168 423 + + = = 8 7 5 280 280 ÷

I)

Ejemplo 2:

Halla el resultado de:

280 ¸ 8 = 35

Þ

35 ´ 5 = 175

II) 280 ¸ 7 = 40

Þ

40 ´ 2 = 80

III) 280 ¸ 5 = 56

Þ

56 ´ 3 = 168

16 15 24 72

Resolución: *)

En primer lugar, observamos si los términos de la fracción dada se pueden simplificar, veamos: 2

16 , sus términos sí se pueden simplificar 24 15 , sus términos sí se pueden simplificar 72

Þ

16 24

Luego:

238


Þ

16 2 = 24 3

¸3

Þ

15 5 = 72 24

3

5

Þ

15 72 24

16 15 2 5 = =? 24 72 3 24

¸8

Sexto grado de primaria *)

En segundo lugar, hallamos el M.C.M. de los denominadores (3 y 24). 3 - 24 3 - 12 3-6 3-3 1-1

U | M.C.M. (3 y 24) = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 V |W = 24

2 2 2 3

= = 2 5 16 - 5 11 = = 3 24 24 24 ÷ ÷

×

Pasos a seguir: I)

24 ÷ 3 = 8 Þ 8 ´ 2 = 16

II) 24 ÷ 24 = 1 Þ 1 ´ 5 = 5 Ejemplo 3: Halla el resultado de:

7 5 18 24

Resolución: En este caso los términos de las fracciones dadas no pueden simplificarse, por lo tanto, hallamos el M.C.M. de los denominadores (18 y 24); veamos: 18 - 24 9 - 12 9- 6 9-3 3-1 1-1

2 2 2 3 3

U | | M.C.M. (18 y 24) = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 V = 72 | |W

×

7 5 28 - 15 13 = = 18 24 72 72 ÷ ÷

Pasos a seguir: I)

72 ÷ 18 = 4

Þ

4 ´ 7 = 28

II) 72 ÷ 24 = 3

Þ

3 ´ 5 = 15

Taller de ejercicios 60 1.

Halla el resultado de las siguientes operaciones: a)

17 3 + = 24 8

e)

15 4 = 60 18

i)

12 3 = 120 36

b)

5 3 + = 25 9

f)

13 2 + = 14 7

j)

6 15 = 15 40

c)

12 2 - = 16 5

g)

3 3 + = 21 33

k)

7 8 + = 36 144

d)

18 1 - = 20 2

h)

4 7 + = 30 6

l)

14 11 + = 35 40


239


3

4


2 3 8 + + = 6 9 12

e)

8 4 2 + + = 10 5 10

i)

28 20 7 + + = 30 84 24

b)

16 15 12 + + = 24 20 18

f)

72 25 36 + + = 42 40 80

j)

27 36 12 + + = 45 70 14

c)

9 28 24 + + = 12 36 32

g)

25 16 18 + + = 90 30 120

k)

16 45 48 + + = 24 36 32

d)

5 4 1 + + = 8 5 4

h)

44 24 20 + + = 36 72 144

l)

54 45 35 + + = 63 60 14


90 100 + = 120 160

e)

63 64 + = 105 160

i)

72 21 = 96 42

b)

33 72 = 36 135

f)

150 18 = 540 126

j)

48 65 + = 144 156

c)

189 180 + = 210 240

g)

42 54 + = 294 180

k)

200 40 + = 250 480

d)

108 75 = 192 180

h)

120 80 = 130 120

l)

84 27 = 216 216

Resuelve los siguientes problemas: I . La mamá de Nataly compró dos retazos de la misma tela. Uno medía 5/8 de metro y el otro, 7/12 de metro. ¿Cuántos metros de tela compró? Resolución: 5 7 3 ´ 5 + 2 ´ 7 15 + 14 29 5 + = = = = 1 8 12 24 24 24 24

8 - 12 4- 6 2- 3 1- 3 1- 1

2 2 2 3

Resolución: 7 5 3´7 - 4 ´ 5 21 - 20 1 - = = = 8 6 24 24 24

8-6 4-3 2-3 1-3 1-1

U 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 = 24 | V 29 24 |W 29 5 = 1 -24 1 Þ 24 24

2 2 2 3

U | 2´2´2´3= V |W

5

Rpta. La mamá de Nataly compró 1

240

I I . El papá de Vanessa compró los 7/8 de una finca y vendió 5/6. ¿Qué parte le queda?


5 m 24

Rpta.

Le queda

1 de la finca. 24

24


I I I . Karina recibió los

5 de un pastel y Pedro 9

20 . ¿Qué parte del pastel recibieron 45 entre los dos? los

13 de un tanque de agua se han 15 consumido 5/9. ¿Qué parte queda?

I V. De los

Resolución:

Resolución:

Rpta. Recibieron todo el pastel. V. Manuel vende un terreno de la siguiente manera: a Fidel le vende 1/6 a Luis, 1/5 y a Saúl, 1/3 del terreno. ¿Qué cantidad de terreno vendió?

Rpta. Queda 14/45 del tanque. V I .Vanessa pinta una varilla de la siguiente manera: Las 3/4 partes de azul, la 1/6 parte de amarillo y lo restante de rojo. ¿Qué parte de la varilla pintó de rojo? Resolución:

Resolución:

Rpta.

Vendió los 7/10.

Rpta.

1/12

5 Resuelve los siguientes problemas: 3 1 del jardín y Sara del 4 6 mismo. ¿Qué parte del jardín quedó sin regar?

I . Manuel regó

I I . Del dinero que tiene Sara gasta los 4/9 en un vestido, 1/8 en un par de zapatos y por último, 1/4 del mismo dinero en un reloj. ¿Qué parte del dinero inicial le queda?

Resolución:

Resolución:

Sea: Jardín = 1 (La unidad)

Sea: El dinero de Sara = 1 (La unidad) 4 1 1 del dinero.. * Gastó en total = + + 9 8 4

3 1 I F + Jdel jardín. Se regó en total = G H 4 6 K

* 4-6 2-3 1-3 1-1 *

2 2 3

U | V |W 2 ´ 2 ´ 39=+ 212 11

= del jardín 12 12 11 1 = Quedó sin regar: 1 del jardín 12 12

Rpta.

=

Quedó sin regar

1 del jardín. 12

F G H

9-8-4 9-4-2 9-2-1 9-1-1 3-1-1 1-1-1

2 2 2 3 3

I J K

U | 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 = 72 | V | 32 + 9 + 18 59 = = del dinero |W 72 72

* Dinero que queda = 1 Rpta.

59 13 = 72 72

Del dinero le queda

13 . 72


241


III.

De las naranjas que produce una mata, 1 1 3 Carlos recibe , Elsa y Hugo . 5 3 10 ¿Cuánto reciben entre los tres?

I V.

Del dinero que tengo, gasto los

5 en co9

1 en comprar ropa. ¿Qué par10 te del dinero me queda aún?

mer y los

Resolución:

Resolución:

Rpta.

Rpta. Los tres reciben los 5/6 de las naranjas. V.

Rodolfo, Luis y Emilio compraron una co1 meta: Rodolfo pagó del precio, Luis 6 2 1 pagó y Emilio ; el resto lo quedaron 3 12

debiendo. ¿Cuánto pagaron entre los tres y cuánto quedaron debiendo?

Resolución: R pt a .

6

- Pagaron entre los tres 11/12 - Quedaron debiendo 1/12

VI.

31 90

2 Una persona ha invertido del día en 8 1 trabajar, del día en las comidas y en 6 trasladarse a su casa, y 8 horas en dormir. ¿Qué tiempo libre le ha quedado?

Resolución:

Rpta. Le ha quedado libre 6 horas.

En cada ecuación “x” representa a una fracción. Halla el respectivo valor de “x”. I.

x+

12 16 = 40 24

8 6 = 30 20 Resolución:

Resolución: *

En primer lugar simplificamos las fracciones dadas, veamos:

3

x+

2

12 16 = 40 24 10

3

Luego: x +

242

Se sacó octava a cada término.

II.

x-

*

En primer lugar simplificamos las fracciones dadas, veamos:

4

x-


8 6 = 30 20 15

Se sacó cuarta a cada término.

3 2 = 10 3

3

Luego:

10

x-

4 3 = 15 10

Se sacó mitad a cada término. Se sacó mitad a cada término.


En segundo lugar trasponemos términos, es decir, el término que está sumando en el primer miembro pasa al segundo miembro restando, veamos: x=

2 3 3 10

x=

3 4 + 10 15

x=

2 · 10 - 3 · 3 3 · 10

x=

3 · 15 + 4 · 10 10 · 15 17

20 - 9 11 = x= 30 30 11 x= 30

\

a)

x+

b)

e)

x+

15 12 = 24 28

f)

x-

x+

x=

27 24 = 45 18

17 30

x-

6 10 = 16 15

g)

x+

i)

h) x -

x=

x+

30 42 = 72 54

x= 18 35 = 42 56

j)

x-

28 35 = 52 28

x= 12 36 = 54 48

k)

x=

25 12 = 30 40

Recuerda

a c a· d + b·c + = b d b· d

x=

x= d)

\

x=

x= c)

30

a c a· d - b· c = b d b·d

6 8 = 30 32

x-

45 + 40 85 = x= 150 150

Recuerda

x=

·

En segundo lugar trasponemos términos, es decir, el término que está restando en el primer miembro pasa al segundo miembro sumando, veamos:

x+

27 42 = 63 72

x= 40 72 = 88 84

l)

x=

x-

16 18 = 96 90

x=

Adición y sustracción de números mixtos Observa los ejemplos

6

5 3 +2 =? 8 4

8

3 2 -5 = ? 4 3

Para efectuar las operaciones indicadas tenemos que convertir las fracciones heterogéneas en homogéneas. Podemos presentar la operación en dos formas, veamos:


243


Ejemplo 1 :

Halla la suma de:

6

5 3 +2 8 4

1 a . forma 6

5 5 5 = 6 =6 8 8 8

+ 2

3 3´2 6 =2 =2 4 4´2 8

6

5 6 5 6 +2 = 6+2+ + 8 8 8 8 =8+

= 8 +1+

Convertimos estas fracciones en homogéneas

Como 11/8 es mayor que 1, lo descomponemos de la manera siguiente:

3 8

11 8 3 11 3 = + Þ = 1+ 8 8 8 8 8

3 =9+ 8 123

Recuerda

= 9

b b a+ = a c c

2 a . forma

11 8

Halla la suma de: 6

3 8

5 3 +2 8 4 5 3 53 11 +2 = + 8 4 8 4

1.

Escribimos los números mixtos como fracciones, así: 6

2.

Las fracciones que se pueden simplificar, las simplificamos, en este caso las fracciones obtenidas no se pueden simplificar.

3.

Hallamos el M.C.M. de los denominadores de estas últimas fracciones, veamos: 8-4 4-2 2-1 1-1

2 2 2

U | M.C.M. (8 y 4)= 2 ´ 2 ´ 2 V |W = 8

=

53 11 + 8 4

=

53 + 22 75 3 = = 9 8 8 8

R | I) S |T II) Ejemplo

2 : Halla: 8

1 a . forma

8 -5

3 2 -5 4 3

3 3´3 9 = 8 =8 4 4´3 12 2 = 3

2´ 4 8 -5 = -5 3´ 4 12

Convertimos estas fracciones en homogéneas

244

8 ÷ 8 = 1 Þ 1 ´ 53 = 53 8 ÷ 4 = 2 Þ 2 ´ 11 = 22


8

9 8 9 8 -5 = 8-5+ 12 12 123 12 12 1 = 3+ 12 123

= 3

1 12

123


2 a . forma

Halla: 8

3 2 -5 4 3

3 2 35 17 -5 = 4 3 4 3

1.

Escribimos los números mixtos como fracciones: 8

2.

Las fracciones que se pueden simplificar, las simplificamos (en este caso las fracciones obtenidas no se pueden simplificar). 8

3.

3 2 35 17 -5 = 4 3 4 3

Hallamos el M.C.M. de los denominadores de estas últimas fracciones, veamos: 4-3 2-3 1-3 1-1

2 2 3

U | V |W M.C.M. (4 y 3)== 212´ 2 ´ 3

35 17 4 3

=

105 - 68 37 = = 12 12

R | I) S | II) T

3

1 12

12 ÷ 4 = 3 Þ 3 ´ 35 = 105 12 ÷ 3 = 4 Þ 4 ´ 17 = 68

A veces, la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. En este caso es necesario reagrupar el minuendo. Ejemplo: Halla:

8

*)

3 4 -3 =? 10 5

*)

3 4 < 10 5 3 4 8 -3 =? 10 5

Sustraendo

7

13 10

-

3

4´2 =? 5´2

7

13 10

-

3

8 13 8 5 = 7- 3+ = 4+ 10 10 10 10 =4

3 4 < , no podemos 10 5

restar.

Resolución:

Minuendo

Observa que

Tenemos que reagrupar el minuendo 8

3 , veamos: 10

8

3 3 3 =8+ = 7 +1+ 10 10 10

= 7+

10 3 + 10 10

= 7+

13 13 = 7 10 10

5 1 = 4 10 2


245


Ejemplo

Halla la suma de: 3

3 :

2 8 6 +6 +2 5 10 18

Resolución: 1.

Escribimos los números mixtos como fracciones, así: 3

2.

Las fracciones que se pueden simplificar, las simplificamos, obteniendo: 3

3.

2 8 6 17 68 42 +6 +2 = + + 5 10 18 5 10 18

2 8 6 17 34 7 +6 +2 = + + 5 10 18 5 5 3

Hallamos el M.C.M. de los denominadores de estas últimas fracciones, veamos: 5-5-3 5-5-1 1-1-1 I) R | II) S |T III)

Ejemplo

3 5

M.C.M. (3 y 5) = 3 ´ 5

15 ÷ 5 15 ÷ 5 15 ÷ 3

4

= 3 Þ 3 ´ 17 = 51 = 3 Þ 3 ´ 34 = 102 = 5 Þ 5 ´ 7 = 35

Halla la suma de 7 + 2

:

17 34 7 + + 5 5 3

= 15 =

1 6

1 7 13 = + ; aplicamos “Producto Cruzado”” 6 1 6

1.

7+2

2.

7 13 6 ´ 7 + 1 ´ 13 42 + 13 55 1 + = = = = 9 1 6 1´ 6 6 6 6

´ Otra forma b b = a ; si b < c, en el ejercicio: c c

7+2

1 13 12 1 1 =7+ = 7+ + = 7+ 2+ 6 6 6 6 6 =9+

246


12

8 15

Producto cruzado

Resolución:

Aplicando: a +

51 + 102 + 35 188 = = 15 15

1 1 = 9 6 6

a c a´d+ bć + = b d b´d ´

55 -54 1

6 9

Þ

55 1 =9 6 6


1

Halla el resultado en su mínima expresión de las siguientes operaciones: a) 4

2 1 +5 = 3 6

e)

8

6 4 + 12 = 9 18

i)

20

b) 2

3 3 +6 = 5 10

f)

8

5 2 -3 = 6 3

j)

2

3

1 5 +8 = 4 8

g)

2

3 1 -1 = 4 3

k) 11

d) 7

4 1 +5 = 5 2

h) 11

c)

2

Completa: a)

U | | V 3 | +8 = 8 4 20 | W 6

2 =6 5 20

14

3

b)

l)

10

2 2 = 10 9 9

+4

2 6 =4 3

1 3 -1 = 3 4

15

3 5 -8 = 8 6 1 7 -5 = 9 10

U | | V | | W

U | | V 5 | +1 =1 12 24 | W 2

c)

8

=

3 =2 8 24

3

24

Completa: a)

4

20

5 9 -8 = 6 8

3 4 - 12 = 5 10

1 4 =3 2 3 3 -1 = -1 8 8 1 2 3

U | | V | |W

b)

4

5 9

-2

= 4

36

5 = -2 12 36 2

U | | V | |W

c)

12 -6

5 = 12 6

3 = -6 9

U | | V | |W

6

36

Halla el resultado en su mínima expresión de las siguientes operaciones: a) 3

5 1 1 +8 +2 = 12 6 4

e)

8

4 3 2 +8 +3 = 5 4 7

b) 1

12 13 7 +3 +2 = 25 20 15

f)

3

1 1 1 +2 +8 = 2 3 6

3

1 1 1 +4 +3 = 8 12 6

g)

6

2 3 7 +8 +4 = 15 20 30

d) 6

1 3 1 +4 +1 = 5 10 2

h) 8

8 2 5 +6 +7 = 21 15 18

c)


247


Completa: a) 6

1 1 = 5 +1+ 7 7

= 5+ =5 d) 6

7

7 7 = 4 +1+ 12 12

= 4+ =4

9 = 16

=5

1 7

7

=5+

6

+

b) 5

+ 1+ +

9 16

e) 8

9 16

12

7 12

=7

11 =7+ 15

=7

2 2 = 7 + 1+ 5 5

= 7+

12

= 7+

16

+

c) 8

+

+

11 15

f)

11 15

2

7 = 12

=1

2 5

5

= 1+

15

5

+

+1+ +

7 12

7 12

12

Reagrupa y resta los siguientes ejercicios:

U | | 7 7 V | -2 = -2 10 10 | W

a) 4

1 11 =3 10 10

1

d)

7

9

7 = 15

-5

8 = 15

4 10

= 1

b)

1 = 5

c) 10

5 = 18

-6

2 = 5

-7

13 = 18

4

7 = 12

7

3 = 16

-1

11 = 12

-2

9 = 16

9

2 5

e)

f)

Resuelve los siguientes problemas: a)

En casa de Manolito compraron en el 3 mes, en diversas ocasiones 8 Kg de 4 1 5 arroz, 5 kg de arroz y 6 Kg de 2 8 arroz. ¿Qué cantidad de arroz compraron en el mes?

Resolución: 3 1 5 3 1 5 8 +5 +6 = 8+5+6+ + + 4 2 8 4 2 8 6+4+5 = 19 + 8

248


= 19 +

15 8

8 7 + 8 8 7 = 19 + 1 + 8 7 7 = 20 = 20 8 8 = 19 +

Rpta. Compraron en el mes 20

7 kg de arroz. 8


La suma de dos números es 5

b)

2 , uno de 3

los números es 2 3 ¿Cuál . es el otro nú5 mero? Resolución: Rpta.

c ) Para hacer una pared se emplearon en un 3 1 día 4 horas, otro día 6 horas y otro día 4 2 7 5 horas. ¿Cuánto tiempo se empleó en to12 tal? Resolución: Rpta. 16

d) Un poste mide 8 enterrado 2 da libre?

3

1 15

3 metros de largo y tiene 4

4 metros. ¿Qué longitud que5

Resolución:

5 horas. 6

Rpta.

5 metros de largo se cor6 1 3 tó un pedazo de 1 y otro de 1 metros. 2 4 ¿Qué parte del cartón queda?

5

19 20

1 f) La diferencia de dos números es 4 , el 8 3 mayor es 12 ¿Cuál es el otro número? . 4 Resolución:

e) De un cartón de 6

Resolución: Rpta. 3

7 12

Rpta. 8

5 8

8 Halla el resultado en su mínima expresión de las siguientes operaciones: a) 8

6 4 1 + 12 -2 = 9 18 3

e) 15

1 7 8 -5 +3 = 9 10 20

b) 30

4 9 3 + 24 - 20 = 9 12 5

f)

11

5 9 7 +8 -6 = 6 8 16

c) 11

3 5 7 +8 -7 = 8 6 12

g)

20

3 4 9 - 12 +8 = 5 10 30

d) 20

2 7 3 - 16 +5 = 5 10 8

h) 6

5 7 5 +4 -2 = 21 18 42


249


·

Multiplicación de fracciones

Observa qué sucede cuando multiplicamos una fracción por otra.

Fíjate en los cuadrados del recuadro y comprueba que:

1 4

3 1 de 4 4

3 16

Luego:

3 1 3 de = 4 4 16

3 1 3´1 3 ´ = = 4 4 4´4 16

Para calcular una fracción de otra fracción se multiplican ambas fracciones.

3 1 3 ´ = 4 4 16

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Ejemplo 1: Halla el resultado de: 3/4 de 1/2.

Ejemplo 2: Halla el resultado de: 1/3 de 2/3.

Resolución:

Resolución:

La parte coloreada corresponde a 1/2 del círculo, veamos:

La parte coloreada corresponde a 2/3 del rectángulo ABCD, veamos: 2 3

1 2 Luego a esta parte coloreada la dividimos en 4 partes iguales, veamos:

Luego, a esta parte coloreada la dividimos en 3 partes iguales, veamos:

R 1 de S T3

3 1 de 4 2

2 3

Observación

3 1 3 de es del círculo.. 4 2 8

\

250

3 1 3 ´1 3 de = = 4 2 4´2 8


1 2 2 de es del rectángulo ABCD. 3 3 9

\

1 2 1´ 2 2 de = = 3 3 3´3 9



Observa las regiones y completa:

a)

b)

123 1 4

2

144424443 14243

123 2 1 de = 3 4

2 2 de = 4 3

2 3

Resuelve en tu cuaderno y expresa cada resultado en su mínima expresión. a)

2 5 de = 3 6

e)

3 4 ´ = 16 15

i)

1 3 de = 5 7

b)

2 3 de = 4 8

f)

2 4 ´ = 3 7

j)

7 5 de = 9 8

c)

1 3 de = 3 4

g)

5 3 ´ = 8 7

k)

4 5 ´ = 9 10

d)

2 1 de = 5 2

h)

3 4 ´ = 9 10

l)

3 5 ´ = 8 9

Atención

Estimado alumno, cuando te encuentres con expresiones como estas: 1) 2)

3

7 æ 6 ö 7´6 42 3 7 6 7 6 F I = = = ´ ; entonces: ´ G J esto significa: ç ÷ H K 8 è 14 ø 8 ´ 14 112 8 8 14 8 14 3 I 6 I æ 3 ö æ 6 ö 3 ´ 6 18 1 F F 3 6 3 6 = = G J G J esto significa: ´ ó ; entonces: ´ ç ÷ç ÷= H K H K 4 9 è 4 ø è 9 ø 4 ´ 9 36 2 4 9 4 9 7 6 8 14

Resuelve en tu cuaderno y expresa cada resultado en su mínima expresión:

a)

b)

c)

F I G H J K 3 F 4 I G J= H 16 15 K 7 F 3 I G J= 9 H 14 K 4 5 = 5 10

d)

e)

f)

F I G H J K 3 F 11 I G J= H 11 17 K 2 F 4 I G J= 7 H 6 K 2 5 = 11 6

g)

h)

i)

5 I 9 I F F G J G J= H H 6 K 20 K 12 I 21 I F F G J G J= H K H 35 20 K 16 I 16 I F F G J G J= H H 36 K 24 K


251


Resuelve los siguientes problemas: a) Si 3/4 de los alumnos de un salón de clases son niñas y 2/3 de las niñas son rubias, ¿qué parte del total son niñas rubias?

3 kg, 4 ¿cuánto pesarán 9 bolsas iguales?

b) Si una bolsa de camotes pesa 4 Resolución:

Resolución: * Total de niñas =

3 de los alumnos 4

* 1 bolsa de camotes pesa: 4

2 de las niñas 3 2 3 ´ = de los alumnos 3 4

* Niñas rubias

=

* 9 bolsas iguales pesarán: 9 ´ 4 = 9´

1

=

3 kg 4

2´3 1 = de los alumnos 3´ 4 2

3 kg 4

19 kg 4

171 kg 4 Las 9 bolsas de camotes pesarán 171/4 kg.

=

2

Rpta. Del total de los alumnos 1/2 son niñas rubias.

Rpta.

c ) Si los 5/9 de los alumnos de un colegio son mujeres y los 3/10 de las mujeres usan anteojos, ¿qué fracción del total son mujeres con anteojos?

d) En una librería, los 2/3 de los libros son de matemática y los 3/5 de los libros de matemática son de primaria. ¿Qué fracción de los libros de matemática son de primaria?

Resolución:

Resolución:

Rpta. 1/6 del total.

e) Una bolsa de caramelos pesa 2

2 kg 5

¿Cuánto pesan 15 bolsas iguales? Resolución:


f)

2/5

Los 7/9 del cargamento de un camión son frutas y los 6/14 de las frutas son manzanas. ¿Qué parte del cargamento son manzanas? Resolución:

Rpta. 36kg

252

Rpta.

Rpta. 1/3


Resuelve los siguientes problemas: 2 de kilo3 gramo, ¿cuál será el peso de 6 sacos?

a) Si un saco de harina pesa 45

b) En un salón de clase hay 48 alumnos, 2/3 son niñas. ¿Cuántas niñas hay en el salón? Resolución:

Resolución: 2 kg 3 2 6 sacos pesarán = 6× 45 kg 3

1 saco de harina pesa = 45

Número total de alumnos = 48 Son niñas =

2 de 48 3

=

2 × 48 3

137 kg = 6× 3 = 2 × 137 kg = 274 kg

= 2 × 16 = Rpta.

Rpta. El peso de 6 sacos es de 274 kg. 3 kg, 4 ¿cuántos kg. hay en 36 paquetes?

c ) Si hacemos paquetes de 7

Resolución:

32

En el salón hay 32 niñas.

d) Karina reunió 60 figuritas para su co4 lección. Pegó en el álbum de ellos. 5 ¿Cuántas figuritas pegó en el álbum? Resolución:

Rpta. 279 kg. e) La abuela de Manuel compró 8 pollos 3 kilogramos cada uno.. 4 ¿Cuántos kg de pollo compró?

que pesaban 2

Resolución:

Rpta. 22 kg.

Rpta. f)

48

2 metros de pa5 red en 1 día. ¿Cuántos metros construye en 20 días?

Un albañil levanta 3

Resolución:

Rpta. 68 metros.


253


·

División de fracciones 1 1 1 4 4 4 144424443 3 4

1 4

1 4

1 4

1 4 12 4 4 3 1 4

Averigua las veces que

Estudie el ejemplo: 1 3 en ? Podemos 4 4 hallar el resultado por medio de un diagrama.

¿Cuántas veces está contenido

1 4

1 3 está contenido 3 veces en 4 4

3 1 contiene a significa una división: 4 4

3 1 ¸ 4 4

Para dividir una fracción entre otra se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Si alguna de las fracciones está expresada como número mixto, primero se transforma el mixto a fracción. Ejemplo 1

Ejemplo 2 3

3 5 3 12 3×12 9 ÷ = × = = 4 12 4 5 4 ×5 5 1

Dividendo

Divisor

2

12 ÷

6 13 12×13 = 12 × = = 26 13 6 6 1

Cociente

Ejemplo 3

Ejemplo 4 2

1

4 3 19 10 19 × 2 38 3 ÷ = × = = 5 10 5 3 3 3

1 7 1 7×1 1 2 ÷ 21 = × = = 3 3 21 3× 21 9 3

1


Halla el cociente en las siguientes divisiones: a)

3 4 ¸ = 4 6

f)

5 4 ¸ = 6 5

k)

4 1 ¸ = 12 4

b)

2 1 ¸ = 5 5

g)

2 3 ¸ = 3 4

l)

1 1 ¸ = 2 8

m)

6 3 ¸ = 9 4

c) d) e)

254

3 2 ¸ = 7 9 4 1 ¸ = 5 2 6 2 ¸ = 10 8


h) i) j)

8 4 ¸ = 12 5 5 1 ¸ = 8 4 4 2 ¸ = 7 7

n) o)

18 9 ¸ = 27 4 64 16 ¸ = 25 5


Halla el cociente de las siguientes divisiones: 4 = 5 6 b) 27 ¸ = 8 1 c) 15 ¸ = 2 6 d) 24 ¸ = 8 a)

e) 3

8¸

6¸

3 = 4

f)

3 ¸ 2= 8

k) 4

g)

3 ¸6= 7

l)

h)

5 ¸4= 10 1 7 ¸ 2= 8

m) 2

i) j)

4 ¸2

3 ¸5= 9

3¸2

2 = 3

3 ¸4= 7 4 n) 5 ¸ 24 = 6

3 = 10

o) 8 ¸ 1

2 = 5

Halla el cociente de las siguientes divisiones:

4

1 ¸ 17 = 8

f)

9

1 2 ¸8 = 2 3

k) 6

1 1 ¸4 = 4 2

1 = 2

g)

5

2 3 ¸3 = 3 4

l)

4

1 1 ¸2 = 3 6

2 ¸8 = 7

h)

3

2 5 ¸6 = 12 6

m) 7

1 1 ¸2 = 3 5

9¸3

3 = 5

i)

2

3 2 ¸1 = 8 7

1 1 n) 2 ¸ 2 = 9 3

6¸5

1 = 9

j)

3 1 3 ¸3 = 6 4

3 1 o) 2 ¸ 1 = 7 2

a)

2

b)

6 ¸7

c)

6

d) e)


Se repartió 8/5 de un bizcocho entre 4 niños. ¿Qué parte del bizcocho recibió cada uno?

b)

1 minutos se lee una página de 2 un libro, ¿cuántas páginas se leerán en 60 minutos?

Si en 1

Resolución:

Resolución:

Cantidad de bizcocho Parte del bizcocho e que recibe cada uno j = Número de niños

En 60 min minutos utos ö æEn Número total de minutos min utos ç ÷= Número de min utos ö se leerán Número de minutos æ è ø ç ÷ è en que se lee una página ø

8 de un bizcocho 8 = ¸4 = 5 4 5

Þ

8 1 8 ×1 2 × = = 5 4 5× 4 5

Rpta. Cada niño recibió 2/5 del bizcocho.

60 1 1 2 3 2 1 = 60 ¸ 1 Þ 60 ¸ = 60 × = 40 2 3 2

=

Rpta. En 60 minutos se leerán 40 páginas.


255


c)

9 de la cosecha de tomates se han 13 distribuido entre 6 personas. ¿Qué parte le tocó a cada una?

Los

Resolución:

d)

Un obrero ha tardado 8 días en hacer 4 los de un trabajo. ¿Qué parte del 9 trabajo efectuó diariamente?

Resolución:

Rpta. 3/26

e)

3 de litro 4 se han llenado 7 vasos. ¿Cuál es la capacidad de cada vaso?

Con la leche de un envase de

Rpta. 1/18 del trabajo. f)

¿Cuántos pasos da un alumno para ir a la escuela que está a 320 metros de 2 su casa, si en cada paso avanza de 3 metro?

Resolución:

Rpta. 480 pasos.

Rpta. 3/28 de litro.

Atención

En la división de fracciones se presentan los siguientes casos que son de mucha importancia en el aprendizaje de la matemática, veamos: 1°. caso

2°. caso

3°. caso

a b = a× d c b× c d

Ejemplo: 9 1 8 = 9 × 4 = 9×1 = 9 5 8 × 5 2× 5 10 2 4

256


a b = a d b× d

a a× d = c c d

Ejemplo:

Ejemplo:

6

18 18 × 4 = = 6 × 4 = 24 3 3 1 4

8 2 5 = 8 = 2 4 5× 4 5 1


Taller de ejercicios 64 Halla el resultado de cada expresión:

·

a)

4 12 = 1 4

b)

8 12 = 4 5

c)

6 9 = 3 5

d)

3 4 = 4 5

e)

12 25 = 8 10

f)

36 8 = 12 9

g)

24 7 = 12

21 10 = m) 33 5

h)

27 5 = 9

n)

35 6 = 7

i)

o)

j)

42 6 = 5

p)

k)

60 5 = 9

q)

140 20 = 13

l)

r)

64 = 16 3 5 9 = 30 13 8 = 130

40 = 5 16 70 = 5 17

Operaciones combinadas Recuerda que para resolver ejercicios combinados debes tener especial cuidado de seguir el orden adecuado. æ1 3ö 8-ç × ÷ = ? è3 5ø 4

8-

3 15 × 8 - 3 117 12 4 = = =7 = 7 15 15 15 15 5

Cuando en un ejercicio hay paréntesis, se resuelven primero las operaciones que están entre paréntesis.

5


257


5

1 5 1 + ´ =? 3 4 3

Si no hay paréntesis, se resuelven primero las multiplicaciones.

3

16 5 16×4 5 64 + 5 69 9 3 + = + = = =5 = 5 3 12 3×4 12 12 12 12 4 4

5 10 1 ¸ - =? 6 3 6 En este caso, primero se efectúa la división y luego la diferencia.

1

1

5 3 1 1 1 1× 3 1× 2 3 - 2 1 × - = - = = = 6 10 6 4 6 4× 3 6× 2 12 12

2

7 4 2 ´ ¸ =? 8 14 123 5 1

1

7´ 4 2 1 5 1´ 5 5 ¸ = ´ = = 8 ´ 14 5 4 2 4 ´ 2 8 2

2

En este caso, primero se efectúa la multiplicación y luego la división.

2

5 10 2 ¸ ´ =? 16 8 5 1 424 3

En este caso, primero se efectúa la división y luego la multiplicación.

1

2

54 13 ¸ 112 - 7 2 + 25 + 3 2 ´ =? 7 17

(

) (

)

54 13 ¸ (121 - 49 ) + ( 25 + 9 ) ´ =? 7 17 2 54 13 ¸ (72 ) + 34 ´ =? 7 17 3

1

1

1

En este caso, primero se efectúan las potencias, luego efectuamos las operaciones que están en paréntesis, después la división y por último la suma.

1

54 1 × + 26 = ? 7 72 4 3 3 + 26 = 26 28 28

258

1

5 8 2 5× 8× 2 1× 2 1 × × = = = 16 10 5 16×10× 5 2×10 10


Recuerda

a+

b b b b =a o +a = a c c c c


de Ejercicios N° 103


Resuelve estos ejercicios en tu cuaderno.

F I G H J K 1 1 2 I b) F 5 - 2 × 2 J= G H 3 4 3 K 2 1 7 4 = 3 6 6

a)

e) 4 ¸ f)

1 3 1 1 1 + ´ + = 5 5 10 25 10

2æ 3 1 6ö æ3 2ö ç + - ÷ ¸ç -1+ ÷ = 3è4 2 5ø è2 5ø

)

(

i) 6 2 - 3 2 ¸ 5

1

9 ´ 4 2 - 32 = 11

)

(

2

9

2

æ ö j) ç + 3 ÷ ´ 2 + ¸ 5 = 8 4 3 5 5 è ø

2 æ 8 5 2ö -ç - ´ ÷= 9 è 18 9 3 ø

12 3 3 50 3 1 6 4 æ3ö + 3 ¸ - ç ÷ - 1 = g) ¸ - ¸6+ = 2 5 9è8ø 5 5 7 7 14

k) 3

1 3 F G H

æ 1 9 ö æ 3 3ö + ÷= l) ç 4 ÷´ç è 5 25 ø è 12 8 ø

c)

1

I JK 4

d) 2 + 4 - 10 × 3 - 1 = 2

h)

5 7 1 4 + - + = 12 18 6 9

Resuelve estos ejercicios en tu cuaderno. a)

é 7 æ 5 2 ö ù 13 7 ê 9 ¸ ç 4 - 3 ÷ ú - 21 ´ 26 = è øû ë

h)

(132 - 112 ) ´ 3 161 ¸ 2 13 =

b)

12 æ 1 ö 3 æ 24 ö 7 6 ´ = ç2 - ÷ ¸ ç ÷+ 25 è 8 ø 8 è 18 ø 10 14

i)

3ö 3 5 æ 5 + 2 ÷ ´ 5 + 15 ¸ 5 = ç 12 6 9 12 è ø

j)

é æ1 ö 1ù ê 2 + ç 4 + 1÷ ¸ 4 ú ¸ 2 è ø ë û = 3 1 5 2

k)

2 1 I 6 F +1- × H 3 2K 5 = 1 F 1 I 4+ 3 H 2 K

l)

1 1 2 4 = 1 15 1 3 2

4 2 ¸ 9 2 - 33 + 6 2 + 4 2 ¸ 3 = 7 8

) (

(

)

c)

2

d)

5ù 2 é7 2 2 ê 15 4 + 3 ¸ 3 6 ú ¸ 1 23 = ë û

(

)

2-

e)

3 1 é 1 2ù 2 3 ê 4 8 - 3 ú ¸ 10 8 + 10 - 4 ´ 2 4 = ë û

(

1 4 + 3 1 ¸ 1 - 4 2 ´17 = 3 4 6 5 8

)

m)

1 2 1 ´1 10 - 3 ¸ 1 + 5 20 = 1 1 2 10 10

n)

1 3 1 - ¸3 1+ 2 5 3 ¸ = 1 2 1ö æ + ç2 - ÷´3 6 3 3ø è

3f)

g)

éæ 2 1 öù æ ö ê ç 3 - 2 4 ÷ ú ç 62 - 52 ÷ è øú ¸ ê ç ÷= 1 ê ú ç 22 ÷ 3 ÷ êë úû çè 8 9 ø

2+


259


·

Números decimales Fracciones y números decimales Una fracción decimal se puede escribir en forma de número decimal utilizando una coma que se llama coma decimal. Un número decimal está formado por una parte entera que está a la izquierda de la coma y una parte decimal que está a la derecha de la coma. Fracción decimal 36 10

Número decimal

=

3,6 Coma decimal

Parte entera Número decimal

Coma decimal

Parte decimal

Fracción decimal

=

3,52 Parte entera

Para escribir una fracción decimal en forma de número decimal se escribe sólo el numerador y se separa con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador.

Para escribir un número decimal en forma de fracción decimal se escribe como numerador de la fracción el número decimal sin coma y como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

352 100

Parte decimal


2

260

Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones decimales:

a)

45 = 10

e)

27 = 100

32 i) 1 000 =

3 247 m) 1 000 =

b)

23 = 10

f)

38 = 100

7 j) 1 000 =

902 n) 10 000 =

c)

72 = 10

g)

126 = 100

26 k) 1 000 =

3 874 o) 10 000 =

d)

6 = 10

h)

324 = 100

123 l) 1 000 =

52 472 p) 100 000 =

Escribe en tu cuaderno cada número decimal en forma de fracción decimal. a) 0,34 =

e) 8,03 =

i) 3,09 =

m) 0,004 =

b) 2,76 =

f) 0,046 =

j) 16,73 =

n) 526,03 =

c) 5,032 =

g) 0,8 =

k) 376,1 =

o) 45,236 =

d) 3,124 =

h) 0,12 =

l) 32,801 =

p) 0,0052 =



·

Une mediante una línea la fracción decimal con el número decimal que le corresponde en cada caso. 72 100

5,63

3285 1 000

0,027

8 1 000

12,8

27 1 000

0,38

563 100

0,72

38 100

0,0124

128 10

0,008

124 10 000

3,285

Lectura y escritura de números decimales Veamos cómo podemos leer un número decimal. ¿Cómo se lee 52,68? Parte entera D

U

5

2

Parte decimal

, ,

Décimos Centésimos

6

8

Cincuenta y dos enteros, sesenta y ocho centésimos.

Para leer un número decimal se lee primero la parte entera seguida de la palabra enteros y después, la parte decimal nombrando el lugar que ocupa la última cifra.

¿Cómo se lee 0,523? Parte entera U 0

Parte decimal

, Décimos Centésimos Milésimos , 5 2 3

Quinientos veintitrés milésimos.

Si la parte entera de un decimal es cero, entonces el número es menor que 1. En este caso no se nombra el cero y se lee sólo la parte decimal, nombrando el lugar que ocupa la última cifra.


Completa la siguiente tabla: Números decimales

Lectura

0,006 25,09 8,237 23,002 124,35 328,045


261


Completa la siguiente tabla: Lectura

Números decimales

Cuarenta y cinco enteros, cuatrocientos siete milésimos. Sesenta y ocho enteros, treinta y dos centésimos. Doscientos nueve enteros, seis décimos. Trescientos cuarenta y cinco milésimos. Nueve centésimos. Veintitrés enteros; cinco milésimos. Atención

Fíjate que los números decimales del recuadro tienen una parte igual que es 0,6 y que lo que cambia es el número de ceros que hay a su derecha de cada número decimal, veamos: Números decimales 0,6

0,60

0,600

6 10

=

60 100

=

600 1 000

0,6

=

0,60

=

0,600

Estos números decimales corresponden a fracciones decimales equivalentes y por lo tanto podemos decir que son números decimales que representan la misma cantidad.

Los ceros a la derecha de un número decimal no cambian el valor de éste.

·

Comparación de números decimales Los números decimales se comparan así: Si los números decimales tienen la parte entera diferente, entonces se comparan los enteros.

Si los números tienen igual la parte entera, entonces se comparan los décimos. Si los números tienen igual parte entera e igual número de décimos, se comparan los centésimos.

23 < 27 23,47 3

8>6 9,83 > 9,68 123 123 4>2

262


3

6,745 > 6,72

123

Si los números tienen igual parte entera, igual número de décimos e igual número de centésimos, se comparan los milésimos.

3

< 27,36

9>5

3

3

6,349 > 6,345



2

Escribe el signo >, <, =, según corresponda. a) 8,096

8,6

e) 3,209

1,64

i) 12,53

12,69

b) 15,1

15,10

f) 4,25

4,251

j) 4,1267

4,1264

c) 0,37

0,42

g) 6,001

6,01

k) 32,145

32,415

d) 17,32

17,5

h) 12,358

12,356

l) 5,079

5,07900

Copia los números y ordénalos de menor a mayor. 5,06

3

·

5,12

;

5,027

;

6,304

;

6,31

;

6,309

;

3,675

Copia los números y ordénalos de mayor a menor. 4,007

4

;

;

4,120

;

4,058

;

3,7

;

3,71

Completa cada casillero con un número que cumpla la relación dada en cada caso. a)

3,47 <

< 3,50

c) 6 <

b)

4,6 <

<4,7

d) 27,52 <

< 6,1 < 27,60

Adición y sustracción de decimales Para sumar o restar números decimales se siguen estos pasos: 1)

Se escriben los números verticalmente, de modo que las comas quedan en la misma columna.

2)

Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha los ceros necesarios.

3)

Se suma o se resta normalmente y se escribe la coma en el resultado, bajo la columna de las comas. Sexto Grado de Primaria

263

Manuel Coveñas Naquiche Adición 124,63 + 16,4

Sustracción

36,5 + 12,672

124,63 + 16,40 141,03

8,46 - 5,372

36,500 +12,672 49,172

7,3 - 4,275

8,460 - 5,372 3,088

7,300 - 4,275 3,025


2

Copia verticalmente y resuelve cada una de estas adiciones y sustracciones. a) 39,67 + 8,4

b) 6,271 + 6,4

c) 32,74 + 7,075

d) 6,843 - 4,3

e) 762,8 + 0,73

f) 2,31 + 12,673

g) 4,916 - 1,2

h) 6,671 - 3,2

Reemplaza la letra por el valor que se indica en cada caso y resuelve. a

3

b

c

4,8

1,27

3,02

6,89

4,3

2,8

12,57

5,71

6,53

43,51

32,7

15,27

a+b+c

a-b+c

Resuelve las siguientes ecuaciones (halla el valor de cada “x”). a) x + 5,6 = 9,73

b) x + 2,7 = 5,9

Resolución: Pasamos +5,6 al segundo miembro como -5,6, veamos: x = 9,73 - 5,6 \ x = 4,13

264

a+b-c

9,73 - 5,60 4,13


Resolución:

c) 4,7 + x = 9,65

d) 12,8-x = 8,43

Resolución:

Resolución: 12,8 - x = 8,43 12,8 - 8,43 = x \

4,37 = x 12,80 - 8,43 4,37


e) x - 0,84 = 4,16 Resolución:

i) x - 4,6 = 9,7 Resolución:

4

f) 6,72 - x = 5,4

g) 7,23 + x = 13,74

Resolución:

j) x - 13,5 = 4,7

h) 15,4 - x = 8,3

Resolución:

Resolución:

k) x - 0,84 = 3,67

l) x - 3,04 = 7,56

Resolución:

Resolución:

Resolución:


¿Qué número debo sumarle a 15,71 para obtener 20,95? Resolución: Sea “x” el número buscado. Del enunciado planteo la ecuación: 15,71 + x = 20,95 Resuelvo la ecuación: x = 20,95 - 15,71

b)

¿Qué número debo restarle a 16,76 para obtener 9,48?

Resolución:

\ x = 5,24 R pt a . El número que debo sumarle a 15,71 para obtener 20,95 es 5,24. c)

Karina tiene S/. 10,50 y Manolito tiene S/. 12,75. ¿Cuánto tienen entre los dos?

Rpta. 7,28 d)

A la suma de 13,76 y 5 ,604 restarle 37,48.

Resolución:

Resolución:

Rpta. S/. 23,25

Rpta. 32,32


265


Resuelve en tu cuaderno y escribe el resultado que corresponde a cada frase numérica. Frases numéricas

Resultados

La diferencia de 6 y 4,05 más 2,378. La suma de 12,3; 4,72 y 8 menos 13,4. La suma de 8,72 y 12 menos la diferencia de 6 y 2,35. La diferencia de 20 y 16,02 más 51,372. La diferencia de 17 y 8,53 más la suma de 51,4 y 7,63. La suma de 26,4 y 12 menos 19,124.

·

Multiplicación de un número decimal por un número entero Para multiplicar un número decimal por un número entero, se deben seguir estos pasos:

6,25 × 7 43,75

R Primero se realiza la multiplicación sin tener en | cuenta la coma. | | | Después se cuentan las cifras que hay a la de| | recha de la coma en el factor decimal. S | | Finalmente se escribe la coma en el resultado, | de manera tal que, quede la misma cantidad | | cifras a la derecha de la coma que indica el |T de factor decimal.

6,25 × 7 4375 6,25 × 7 4375 6,25 × 7 43,75


2

266

Halla los productos siguientes: a) 23,43 x 6 =

d) 36,216 x 3 =

g) 72,049 x 5 =

b) 6,128 x 9 =

e) 47,126 x 8 =

h) 26,37 x 6 =

c) 78,045 x 4 =

f) 63,184 x 4 =

i) 124,43 x 7 =

Resuelve: a) (6,72 - 2,5) x 3 =

d) 63,5 - 0,4 x 7 =

b) (7,8 - 4,372) x 6 =

e) 5 x (12 - 8,504) =

c) 45,6 x 9 - 27,46 =

f) 8 x (25 + 12,34) =


2 cifras

2 cifras


Completa cada una de estas multiplicaciones: a)

2 3, 4 × 2 6 1 4 0 4 +4 6 8 6 0 8 ,4

4

b)

48,2 × 1,7 3 7 + 8 8 1,

c)

3,652 × 34 1 0 + 0 5 1 4, 6

d)

4 5,03 × 28 6 4 +9 6 1 6 , 4

Resuelve: a) (7,6 - 5,143) x 34

b) (7,92 - 2,45) x 36

Resolución:

Resolución:

7,600 - 5,143 2,457

c) 53,4 x 16 - 25,674 Resolución:

2,457 × 34 9828 +7371 83,538

\ (7,6 - 5,143) x 34 = 83,538 d) 72,85 - 2,4 x 23 Resolución:

·

e) 3,42 x (13,74 + 6,26) Resolución:

f) (43,8 + 6,272) x 47 Resolución:

Multiplicación de un número decimal por otro decimal Para multiplicar un número decimal por otro decimal se deben seguir estos pasos:

43,67 × 5,4 17468 +21835 235,818

R Primero se realiza la multiplicación sin tener | en cuenta las comas. | | Después se cuentan las cifras decimales que | hay en total entre los dos factores (multiplican| do y multiplicador). S | Finalmente se escribe la coma en el resultado, | de manera tal que, quede la misma cantidad | de cifras decimales que hay entre los dos fac| | |T tores.

43,67 × 5,4 17468 +21835 235818 43, 67 × 5, 4 17468 +21835 235, 818

2 cifras decimales + 1 cifra decimal = 3 cifras decimales


267


Taller de ejercicios 71 1 Observa cada multiplicación y completa esta tabla con la cantidad de cifras de cada factor y del resultado o producto. Multiplicación

Número de cifras decimales del 1°. factor

35,2 × 1,236

Número de cifras decimales Número de cifras decimales del producto del 2°. factor

1

3

1+3=4

5,46 × 23,4 1,273 × 53,6 0,0124 × 7,568 6,7 × 9,076 2

3

268

Halla los siguientes productos: a) 2,68 × 3,6

b) 12,4 × 35,7

c) 3,46 × 5,42

d) 72,4 × 6,052

e) 42,8 × 5,6

f) 2,57 × 6,6

g) 0,045 × 0,8

h) 0,236 × 0,04

Reemplaza los valores de: a = 6,4 ; b = 2,63 ; c = 4,8 y d = 3,026 en cada una de las expresiones siguientes: a) (a+b) × c - d Resolución: Reemplazando valores (6,4 14 4+ 22,63) 44 3 × 4,8 - 3,026 9,03 ×4 4,8 1 4 42 4 3 - 3,026 43,344 3,026 1442- 44 3 40,318 \ (a + b) × c - d = 40,318

b) a + b × c - d

c) a × c - (c - d)

d) (a - b) × (c - d)

e) a × (c - b) + d

f) (a + c + d) × b



·

Multiplicación de números decimales por 10; 100; 1 000; etc. Veamos cómo podemos multiplicar un número decimal por 10; 100; 1 000; etc. Multiplicación por 10

Multiplicación por 100

Multiplicación por 1 000

Para multiplicar un número decimal por 10 se corre la coma un lugar hacia la derecha.

Para multiplicar un número decimal por 100 se corre la coma dos lugares hacia la derecha. Si es necesario se agregan ceros.

Para multiplicar un número decimal por 1 000 se corre la coma tres lugares hacia la derecha. Si es necesario se agregan ceros.

Ejemplos:

Ejemplos:

7,542 × 100 = 754,2

62,149 × 1 000 = 62 149

9,35 × 100 = 935

8,32 × 1 000 = 8 320

0,8 × 100 = 80

0,7 × 1 000 = 700

0,72 × 100 = 72

1,3946 × 1 000 = 1 394,6

Ejemplos: 6,458 × 10 = 64,58 0,743 × 10 = 7,43 0,6 × 10 = 6 6,7 × 10 = 67

Para multiplicar un número decimal por 10; 100; 1 000; etc., se corre la coma del número decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número por el que se está multiplicando.

de Ejercicios N° 103 72 Taller de ejercicios 1

2

Completa las siguientes igualdades: a) 62,47 × 10 =

f) 2,053 × 10 000 =

b) 8,09 × 100 =

g) 341,58 × 1 000 =

c) 0,07 × 100 =

h) 6,254 × 10 000 =

d) 4,07 × 1 000 =

i) 123,046 × 100 =

e) 65,32 × 100 =

j) 4,660 08 × 10 000 =

Completa cada multiplicación con el número 10; 100 ó 1 000 según corresponda. a) 32,53 ×

= 325,3

e) 62,5 ×

= 62 500

b) 6,48 ×

= 64,8

f) 0,71 ×

= 710

c) 73,21 ×

= 732,1

g) 0,6 ×

= 600

d) 58,4 ×

= 5 840

h) 0,09 ×

= 0,9


269


·

Multiplicación de números decimales por 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; etc. Veamos cómo podemos multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001; etc. Multiplicación por 0,1

Multiplicación por 0,01

Multiplicación por 0,001

Para multiplicar un número decimal por 0,1 se corre la coma un lugar hacia la izquierda.

Para multiplicar un número decimal por 0,01 se corre la coma dos lugares hacia la izquierda.

Ejemplos:

Ejemplos:

Para multiplicar un número decimal por 0,001 se corre la coma tres lugares hacia la izquierda. Si el número decimal no tiene suficientes cifras, se completa con ceros.

47,3 × 0,1 = 4,73

452,3 × 0,01 = 4,523

328,4 × 0,1 = 32,84

46,72 × 0,01 = 0,4672

0,7 × 0,1 = 0,07

0,78 × 0,01 = 0,007 8

Si el número decimal no tiene suficientes cifras, se completa con ceros.

Si el número decimal no tiene suficientes cifras, se completa con ceros.

Ejemplos: 7143,6 × 0,001 = 7,143 6 82,9 × 0,001 = 0,082 9 0,52 × 0,001 = 0,000 52


Completa las siguientes igualdades: a) 23,6 × 0,1 =

f)

80,4 × 0,1 =

b) 63,42 × 0,01 =

g) 672,53 × 0,01 =

c) 472,06 × 0,001 =

h) 4,7 × 0,000 1 =

d) 71 × 0,001 =

i)

23,6 × 0,000 1 =

e) 6,52 × 0,01 =

j)

0,04 × 0,001 =

2 Sabiendo que 10 = 101; 100 = 102; 1 000 = 103 y 10 000 = 104, halla el resultado de cada uno de los siguientes ejercicios:

270

a) 6,4 × 102 =

e) 5,68 × 102 =

b) 0,8 × 101 =

f) 7,45 × 103 =

c) 0,047 × 103 =

g) 0,472 × 104 =

d) 6,047 × 104 =

h) 0,037 8 × 104 =



·

Sabiendo que: 0,1 = 10-1; 0,01 = 10-2; 0,001 = 10-3 y 0,0001 = 10-4 , halla el resultado de: a) 63,4 × 10-1 =

e) 741,6 × 10-2 =

b) 43,56 × 10-2 =

f)

0,475 × 10-1 =

c) 6,35 × 10-4 =

g)

8,43 × 10-3 =

d) 6 × 10-3 =

h)

24,7 × 10-2 =

División no exacta con cociente decimal Sigue estos pasos para calcular el resultado o cociente de una división cuyo resto es distinto de cero. Se resuelve la división en la forma ya conocida.

Como el resto que se obtiene es distinto de cero, se escribe una coma en el cociente y se agrega un cero a la derecha del resto.

57 6 -54 9 3

Se continúa dividiendo y agregando un cero a la derecha de las restas que van resultando hasta obtener un cociente con una, dos, tres... cifras decimales.

57 6 -54 9, 30

57 6 -54 9,5 30 -30 0

de Ejercicios N° 103 74 Taller de ejercicios 1

Calcula los cocientes con la cantidad de cifras decimales que corresponden en cada caso. A.

Cociente con 1 cifra

a) 74 ÷ 4 Resolución: I ) 74 4 -4 1 3 I I ) 74 4 -4 1 34 III) 74 4 -4 18 34 -32 2 IV) 74 4 -4 18,5 34 -32 Cociente 20 -20 0

b) 624 ÷ 5 Resolución:

c) 396 ÷ 8 Resolución:

d) 262 ÷ 5 Resolución:


271


e) 118÷ 5 Resolución:

B

g) 183÷ 5 Resolución:

h) 50 ÷ 4 Resolución:

c) 54÷ 8 Resolución:

d) 1 494÷ 24 Resolución:

Cociente con 2 cifras decimales

a) 67 ÷ 4 Resolución: I ) 67 4 -4 1 2 I I ) 67 4 -4 16 27 -24 3 III) 67 4 -4 16, 27 -24 30 IV) 67 4 -4 16,7 27 -24 30 -28 2 V) 67 4 -4 16,75 27 -24 Cociente 30 -28 20 -20 0

272

f) 524÷ 8 Resolución:


b) 180÷ 16 Resolución:


·

Dividendo menor que el divisor Observa cómo podemos resolver una división cuando el dividendo es menor que el divisor. Como el dividendo es menor que el divisor se escribe un cero en el cociente.

Dividend o

D iviso r

5 8 0

Se multiplica el cero por el divisor y se resta el resultado al dividendo.

5 8 -0 0 5

Se escribe una coma en el cociente y se agrega un cero a la derecha del resto obtenido.

5 8 -0 0, 50

Se continúa dividiendo y agregando un cero a la derecha de los restos que van resultando.

5 8 -0 0,625 50 -48 20 -16 40 -40 0

Recuerda que las fracciones que tienen como denominador a los números 10; 100; 1 000;... etc. se llaman fracciones decimales, el resto de fracciones se llaman fracciones comunes. Para transformar una fracción común a número decimal, se divide el numerador entre el denominador.

Fracción común 3 5

División

3 5 -0 0,6 30 -30 0

Forma decimal

0,6

3 = 0, 6 5

Razona José se encuentra en el 6o. piso de un edificio, luego baja al 3°. piso, vuelve a subir al 5o. piso y finalmente baja al 2o. piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños, ¿cuántos peldaños ha bajado? Rpta.


273



Resuelve las siguientes divisiones: a) 6 ÷ 8

b) 32÷ 40

c) 152÷190

d) 114÷120

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

e) 14÷56

f) 21÷ 42

g) 45÷ 60

h) 27÷ 72

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

I)

6 8 -0 0 6

II)

6 8 -0 0, 60

III) 6 8 -0 0,75 60 -56 40 -40 0

2

Escribe el número decimal que corresponde a cada una de estas fracciones. a)

274

34 = 50

d)

24 = 96

g)

36 = 45

b)

27 = 45

e)

36 = 72

h)

81 = 108

c)

15 = 24

f)

54 = 72

i)

72 = 144



La unidad seguida de ceros como divisor Observa cómo se divide cuando el dividendo es un número natural y el divisor es la unidad seguida de ceros. 47 = 4,7 10 47 47 ¸ 100 = = 0, 47 100 47 47 ¸ 1 000 = = 0, 047 1 000 47 ¸ 10 =

Cuando se divide un número natural entre 10; 100; 1 000;... etc, se convierte el número en una fracción decimal y luego se expresa como número decimal.

Taller de ejercicios 76 1 Completa el cuadro. Guíate por el ejemplo. Divi sión

Fracción decimal

Número decimal

7÷10

7 10

0,7

7÷10 = 0,7

45÷100 8÷1 000 347÷1 000 326÷100 47÷100 1 326÷1 000 2

Resuelve: a) 124÷100 =

d) 47÷1 000 =

b) 4 526÷1 000 =

e) 5 472÷1 000 =

c) 12÷100 =

f) 73÷1 000 =

Veamos ahora cómo se resuelve una división cuando el dividendo es un número decimal y el divisor es la unidad seguida de ceros. Para dividir un número decimal entre 10; 100; 1 000; ... etc, se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si es necesario se agregan ceros.

4,8÷10 = 0,48 4,8÷100 = 0,048 4,8÷1 000 = 0,004 8


275


·

Completa cada división con el número 10; 100 ó 1 000 según corresponda. a) 73,42÷

= 7,342

d) 62,7÷

= 0,627

g) 214,6÷

= 0,214 6

b) 4,6÷

= 0,46

e) 5,174÷

= 0,517 4

h) 36,47÷

= 0,364 7

c) 5,7÷

= 0,057

f) 61,4÷

= 0,614

i)

= 0,024 93

24,93÷

División de un número decimal entre un número natural Veamos ahora la forma de resolver una división cuando el dividendo es un número decimal y el divisor es un número natural. 97,44 -8 17 -16 14 -12 24 -24 0

Luego:

4 24,36

Para dividir un número decimal entre un número natural, se resuelve la operación como si el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero se pone una coma en el cociente justo antes de bajar la primera cifra decimal. Para comprobar una división aplicamos: Dividendo = divisor × cociente + residuo

97,44 = 4 × 24,36 + 0 \

97,44 = 97,44

Taller de ejercicios de Ejercicios N° 103 77 1

Resuelve y comprueba cada una de las siguientes divisiones: a) 52,632÷8 Resolución: 52,632 -48 46 -40 63 -56 72 -72 0

b) 78,240÷12 Resolución:

8 6,579 Comprobación: 52,632 = 8 × 6,579 + 0 52,632 = 52,632

c) 75,048÷12 Resolución:

276


d) 285,68÷16 Resolución:


e) 27,216÷36 Resolución:

2

3

1 678,428÷18 Resolución:

Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones: a) 2,64÷16 =

d) 47,79÷135 =

g) 768,6÷36 =

b) 18,72÷24 =

e) 67,5÷45 =

h) 187,5÷75 =

c) 50,7÷39 =

f)

i)

115,2÷48 =

43,2÷18 =

Resuelve las ecuaciones (halla el valor de cada “x”). a) 3x = 49,2

b) 5x = 8,55

x=

c) 6x = 127,2

f) 4x = 18,48

x=

d) 4x = 24,16

x=

x=

e) 7x = 30,45

·

f)

x=

g) 3x = 25,38

h) 9x = 72,36

x=

x=

x=

División de un número natural entre un número decimal Para resolver una división cuando el dividendo es un número natural y el divisor es un número decimal, se siguen estos pasos:

160

1)

Se suprime la coma del divisor y se agregan a la derecha del dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

2)

Se resuelve la división.

6,4 1 cifra decimal 1600 64 -128 25 320 -320 0

Comprobación: Dividendo = divisor × cociente + residuo 160 = 6,4 × 25 + 0 \ 160 = 160 Sexto Grado de Primaria

277



Resuelve y comprueba cada una de las siguientes divisiones: a) 641 ÷ 25,64 Resolución:

b) 10 980 ÷ 2,44 Resolución:

c) 190÷7,6 Resolución:

64100 2564 -5128 25 12820 -12820 0 Comprobación: 641 = 25,64 × 25 + 0 \ 641 = 641 d) 5 750 ÷ 4,6 Resolución:

2

3

Resolución:

f) 1 755 ÷ 3,9 Resolución:

Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones: a) 34 ÷ 8,6 =

d) 84 ÷ 2,8 =

g) 432 ÷ 14,4 =

b) 16 ÷ 8,4 =

e) 840 ÷ 4,2 =

h) 54 ÷ 3,6 =

c) 75 ÷ 10,5 =

f) 80 ÷ 3,2 =

i) 242 ÷ 0,22 =

Resuelve las ecuaciones. (Halla el valor de cada “x”). a) 1,6x = 48 x= b) 6,9 x = 138 x= c) 2,4x = 96 x=

278

e) 12 936 ÷ 2,31


d) 2,5x = 75 x= e) 0,28 x = 16 x= f) 2,4x = 69 x=

g) 2,1x = 4 x= h) 3,8x = 190 x= i) 1,8x = 27 x=


·

División de dos números decimales Observa cómo se divide un número decimal entre otro número decimal. 64,68 4,2 1 cifra decimal 646,8 -42 226 -210 168 -168 0

42 15,4

Para dividir dos números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario se agregan ceros. Comprobación: Dividendo = divisor × cociente + residuo

2 cifras decimales

Ejemplo:

3 cifras decimales

Ejemplo:

4 208,64 ÷ 87,68

480,06 ÷ 24,003

En este caso, el divisor tiene 2 cifras decimales, entonces la coma del dividendo se corre 2 lugares hacia la derecha, quedando así:

En este caso, el divisor tiene 3 cifras decimales, entonces la coma del dividendo se corre 3 lugares hacia la derecha, pero como el dividendo tiene tan sólo 2 lugares para correr la coma, para completar el otro lugar se agrega un cero, veamos:

420864 8768 -35072 48 70144 -70144 0 \ 4 208,64÷ 87,68 = 48

480060 -48006 0

24003 20 \ 480,06÷24,003 = 20


Efectúa las siguientes divisiones: a) 17,02÷14,8 Resolución:

b) 105,6÷20,4 Resolución:

c) 4,212 ÷ 7,2 Resolución:

d) 131,32÷13,4 Resolución:

e) 42,886÷8,2 Resolución:

f) 62,64÷7,2 Resolución:


279


3

Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones: a) 131,32÷13,4 =

d) 73,6÷18,4 =

g) 2 875,5÷ 63,9 =

b) 55,5÷22,2 =

e) 214,62 ÷ 21,9 =

h) 44,19÷ 4,6 =

c) 70,4 ÷13,6 =

f) 36,75 ÷ 2,1 =

i) 1, 476÷ 24,6 =

Resuelve las ecuaciones (halla el valor de cada “x”). a) 0,04 x = 19,2

d) 0,25 x = 19,2

x=

x=

b) 1,25 x = 24,5

x=

e) 4,6 x = 34,5

x=

h) 3,21 = 28,89

x=

c) 5,4 x = 202,5

x=

f) 1,4 x = 46,2

x=

·

g) 0,02 x = 14,4

i) 0,002 x = 22,5

x=

x=

Operaciones combinadas con números decimales Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente los siguientes principios: Si hay paréntesis, se resuelve primero la operación que está dentro del parént e si s . Ejemplo 1: Ejemplo 2: (0,9 - 0,3) × 8,4 = ? 0,6 × 8,4 = 5,04

62,5 ÷ (0,8 - 0,3) 62,5

÷ 0,5 = 125

Si no hay paréntesis, se resuelven primero las multiplicaciones y las divisiones, luego las sumas o restas. Ejemplo 2: Ejemplo 1:

50,4 × 0,6 - 6,3 ÷ 7 = ? En este caso, puede efectuarse primero la multiplicación o la división y por último la resta. 50,4 × 0,6 - 6,3÷7 = 30,24

-

0,9 = 29,34

48 ÷ 0,06 × 3,4 + 6,53 = ? En este caso, primero se efectúa la división, luego la multiplicación y por último la suma.

48÷0,06 × 3,4 + 6,53 = ? 800 × 3,4 + 6,53 2 720 + 6,53 = 2 726,53

Si en el ejercicio sólo aparecen adiciones y sustracciones y no hay paréntesis, las operaciones se resuelven en el orden que se presentan de izquieda a derecha. Ejemplo 1: 45,26 - 16,7 + 2,543 = ? 28,56 + 2,543 = 31,103

280


Ejemplo 2: 24,067 + 6,49 - 7,26 = ? 30,557 - 7,26 =

23,297


Taller de ejercicios 80 Resuelve los siguiente ejercicios:

·

a) 23,04 × (9 - 3,5) =

h) 12,4 × 0,6 + 6,8 × 9,2 =

b) (72,36 + 12,18 + 6,3) ÷ 3 =

i) 16,2 + 0,6 - 0,4 × 0,7 =

c) 28,004 + 14,72 - 8,072 =

j) 4,07 ÷ 0,5 + 16,2 ÷ 5,4 =

d) 4,8 ÷ (0,8 - 0,4) - 0,86 =

k) 23,02 × 0,4 + 43,2 ÷ 4,8 =

e) 3,06 × 0,04 - 0,02 ÷ 0,4 =

l) 6,43 × (8,5 + 3,5) - 8,2 × 4,6 =

f) 0,125 ÷ 0,25 × 6 - 0,24 × 0,2 =

m) 4,26 ÷ (3,04 - 2,54) × 4,27 =

g) 8,82 ÷ (2,8 + 3,5) - 26,5 =

n) (2,76+7,24) × 0,02+(5,06+7,94)÷0,05=

Decimales Los números decimales se clasifican de la siguiente manera: * Decimales exactos

* Decimales periódicos puros

* Decimales periódicos mixtos

Decimal exacto: 5 8

50 8 -48 0,625 20 -16 40 -40 0

5 = 0, 625 8

13 5

13 5 -10 2,6 30 -30 0

13 = 2, 6 5

Número decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

Decimal periódico puro: 4 9

40 9 -36 0,444... 40 -36 40 -36 4

Parte periódica (se repite)

4 = 0, 444... 9

Observamos que en el cociente se repite indefinidamente, a partir de la coma decimal, la cifra 4. Por esta razón se dice que 4 es el período del número decimal periódico puro 0,444...

50 11 -44 0,4545... Parte periódica 60 (se repite) -55 50 5 -44 = 0, 4545.... 60 11 – 55 5 Observamos que en el cociente se repiten indefinidamente, a partir de la coma decimal, las cifras 4 y 5. Por esta razón se dice que 45 es el período del número decimal periódico puro 0,454 5... 5 11

Número decimal periódico puro es el que tiene una o varias cifras decimales que se repiten.


281


Decimal periódico mixto: 50 12 -48 0,4166... Parte periódica 20 (se repite) -12 80 Parte no periódica -72 (no se repite) 80 5 -72 = 0 , 4166.... 12 8 Observamos que en el cociente el período es 6 y que éste no empieza a partir de la coma decimal. Por esta razón 0,4166... es un número decimal periódico mixto.

70 18 -54 0,3888... Parte periódica 160 (se repite) -144 160 Parte no periódica -144 (no se repite) 160 7 144 = 0 , 3888... 16 18 Observamos que en el cociente el período es 8 y que éste no empieza a partir de la coma decimal. Por esta razón 0,3888... es un número decimal periódico mixto.

5 12

7 18

Número decimal periódico mixto es el que tiene una parte no periódica y otra parte periódica. Atención

El período se acostumbra a indicar así:

) 4 = 0, 444 ..... = 0, 4 12 4 4 3 9 (Período )

forma de representar el período

otras formas de representar el perío) Existen otras formas para repre- 0, 41 666... = 0, 416 = 0, 416 = 0, 41(6) do 123 sentar el período: (Período)


2

Representa los siguientes números decimales periódicos en forma simbólica. e) 2,444... =

i) 0,135 55... =

b) 0,757 5... =

f) 7,333... =

j) 0,216 333... =

c) 0,232 3... =

g) 21,777... =

k) 4,122 2... =

d) 0,666 6... =

h) 124,888... =

l) 6,274 44... =

Convierte a un número decimal y di qué clase de decimal resulta. a)

282

a) 0,888 8... =

17 9


b)

8 33


c)

31 90

d)

13 6

Para tu cuaderno Convierte a un número decimal y di qué clase de decimal resulta. 13 12 2 8 7 14 2 13 25 ; ; ; ; ; ; ; ; 6 15 9 11 30 5 15 9 9

·

Generatriz de un número decimal Generatriz de un número decimal es la fracción equivalente e irreductible a dicho decimal. Observemos cómo hallamos la generatriz de un:

∙ Número decimal exacto En el numerador se pone el número decimal y, como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego se simplifica hasta que la fracción sea irreductible.

0,24 =

24 = 100

6 25

2 145 2,145 = 1 000 =

429 200

∙ Número decimal periódico puro En el numerador se pone el período y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período. Se simplifica hasta que quede una fracción irreductible. Fracción irreductible es aquella fracción

0,424 2... = 0,42 = 3,888... = 3,8 = 3

que no puede simplificarse.

42 14 = 99 33 8 35 = 9 9

∙ Número decimal periódico mixto En el numerador se pone la parte no periódica seguida del período, menos la parte no periódica y, como denominador, tantos nueves como cifras tiene el período, seguido por tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.

0,466 6... = 0,46 =

46 - 4 42 7 = = 90 90 15 2

13 - 1 12 32 =2 = 2,13 = 2 90 90 15 15


283


Taller de ejercicios 82 1 Halla la generatriz de los siguientes decimales (no olvidarse de simplificar). a) 0,45 =

45 9 = 100 20

e) 14,18 =

i) 1,342 =

m) 1,02 =

b) 0,72 =

f) 6,235 =

j) 0,145 =

n) 5,081 =

c) 0,5 =

g) 4,17 =

k) 0,412 =

l) 0,324 =

d) 0,26 =

h) 0,346 =

l) 0,06 =

o) 2,143 =

2 Convierte a decimales las siguientes fracciones: a)

16 = 11

d)

11 = 18

g)

71 = 495

b)

4 = 33

e)

19 = 6

h)

119 = 90

c)

4 = 15

f)

73 = 90

i)

37 = 300


¿Cuánto será la suma de sus edades dentro de 13 años?

La región coloreada representa a la frac ción:

A) 60 años D) 52 años 3

2

A)

1 5

B)

2 9

D)

5 9

E)

4 9

La edad de Sandra es los la de Pedro los

284

C)

3 8

4 3 de 40 años y 5

2 de 42 años. 7



¿Cuánto resulta al sumar los con los

13 de 480? 24

A) 512 D) 536

B) 530 E) 524

3 de 680 8

C) 515

¿Cuántas fracciones impropias hay en el conjunto? ì 1 5 23 32 111 ü , , í , , ý î 3 11 6 7 112 þ

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


5

2 A) 11 13

2 C) 5 11

1 B) 14 11

2 13 E) 11

11 D) 2 13

6

Sean: 1 I. 3 5

2 II. 2 9

III.

17 5

Al ordenar de mayor a menor se obtiene: A) I; II; III D) III; II; I 7

8

B) I; III; II E) II; I; III

A) 129 D) 141 11

B) 118 E) 43

5 2 5 + - , la fracción equivalen 12 3 6 te al resultado final es:

A)

6 13

B)

12 21

D)

3 4

E)

1 4

a c y son fracciones irreductibles, b d

donde

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Hallar la suma de los numeradores de la menor y mayor fracción del siguiente con junto.

A)

53 60

B)

113 120

D)

103 120

E)

47 60

B) 6

C) 7

D) 12

ab ne . cd

¿Cuánto se obtiene al operar 3 2 db - c ( a + 5 ) ? 5 9

A) 37 D) 38

c a hallar: d b

C)

41 120

2 ö æ 1 13 13 Si a ç 4 + 5 ÷ le sumo , ¿cuánto 2 3 6 è ø obtengo? E) 9

840 Al simplificar la fracción se obtie 408

( ) (

C) 4

1 5 3 a 3 1 1 c + + = + - y = b 5 4 2 d 24 12 4

12 Si:

4 Hallar una fracción equivalente a cuya 9 suma de términos sea 78. Dar como respuesta la suma de cifras del numerador.

A) 3

C) 211

Operar:

C) III; I; II

ì 2 5 4 1 ü í , , , ý î3 4 9 2 þ

9

¿Cuál es el resultado final?

145 se expresa como nú 11 mero mixto, se obtiene:

Si la fracción

)

B) 41 E) 49

1 A) 6 6

1 B) 4 6

1 D) 9 3

2 E) 11 3

14 ¿Cuánto le sobra a a lo que le falta a

C) 46

1 2 3 42 + + +¼+ . 7 7 7 7

3 2 de para ser igual 4 5

1 3 para ser igual a ? 2 4

A)

1 10

B)

1 20

D)

7 20

E)

5 12

10 Se tiene:

1 C) 12 3

C)

3 10


285

Manuel Coveñas Naquiche 3 25 26 ´ ´ se obtiene una 5 52 11 fracción equivalente a:

vamente. ¿Cuál será la suma de sus edades en el año 2037?

15 Al efectuar:

16

15 22


8 13

5 13

B)

D)

17 22

E) N.A

20 ¿Cuántas de las siguientes proposicio nes son verdaderas?

3 4 æ 1 1 ö ¸ + + se obtiene 5 9 çè 4 5 ÷ø

I.

1 1 = 16 4

II.

9 æ3ö ç 4 ÷ = 12 è ø

III.

é ê ê ê ëê

IV.

æ3ö æ3ö æ 3 ö ç ÷ ´ç ÷ = ç ÷ è5ø è5ø è5ø

Al efectuar:

C)

una fracción que es equivalente a: A)

13 10

B)

11 D) 5 17

9 5

C)

16 11

4 E) 9

En la siguiente expresión: 1 öæ æ ç1+ ÷ ç1+ 3 è øè 1 öæ æ ç1- ÷ ç13 øè è

1 öæ 1 ö ÷ ç 1 + ÷ 4 øè 5 ø 1 öæ 1 ö ÷ ç 1 - ÷ 4 øè 5ø

1 1 1 + f = 3 2 10 3 1 7 - + 5 2 4

8

B) 1

C) 2

1 ö 11 æ A = ç 4 - ÷ ¸ años 3ø 6 è

éæ 1ö æ 1 ö ù E = ê ç 1 + ÷ ¸ ç 1 - ÷ ú ´ 5 años, respecti 3 3 ø è øû ëè

D) 3

E) 4

21 Sandra compró la mitad de un rollo de alambre menos 12 m, Luis compra un ter cio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Sandra.¿Cuántos metros compró Sandra? B) 56 E) 62

C) 64

22 ¿Cuántos bidones se necesitan para en vasar 900 litros de aceite; si en cada uno

C) 108

19 En el año 2006 las edades de Ángel y Elizabeth eran:


6

A) 60 D) 74

Hallar el numerador de la recíproca de “f” B) 21 E) 111

2

3 ù 5 ú = 6 1 ú ú 5 ûú

A) 0

18 Dada la siguiente expresión:

A) 37 D) 44

3

2

¿Cuál es el resultado final? A) 10 B) 5 C) 15 D) 12 E) 20

286


A)

alcanzan A) 200 D) 500

9 de litros? 4 B) 300 E) 450

C) 400

23 En la ecuación: 135,46 + x = 236,853; ¿cuál es el valor de x? A) 100,93 B) 111,363 C) 101,390 D) 101,393 E) 102,476

Sexto grado de primaria 24 Efectuar: 352,23 × 8,9 y dar como respues ta la suma de las cifras de la parte entera. A) 11 D) 12

B) 9 E) 13

B) 4,8 E) 23,0

C) 21

4

En la figura mostrada ABCD es un cuadra do, siendo P, Q, R y S puntos medios de cada lado de dicho cuadrado. ¿Qué parte del área total es la región coloreada?

5

2

3 16

B)

1 2

D)

1 4

E)

3 4

A) 6 D) 9 3

C)

7

1 1 pero menor que . 4 5 B) 7 E) 10

D)

1 3

E)

1 4

2 4 15 de los de los de la cuarta 5 3 35 parte de 280 es:

Los

B) 20 E) 32

Al simplificar la fracción

C) 16 36 a + 1 se obtiene . 63 b-4

2 A) 3 3

2 B) 4 3

1 D) 3 3

E) N.A.

3 C) 5 7

2 ´ 6 ´ 44 ´ 100 se obtiene 5 ´ 18 ´ 10 ´ 11 una fracción que es equivalente a:

Al simplificar:

A)

21 5

B)

16 3

D)

15 7

E)

4 3

C)

20 3

1 De un rollo de alambre se ha vendido 6 2

1 quedan 8 m, ¿cuál era la longitud del 4 alambre?

A) 20 m D) 42 m

En la expresión siguiente:

¿Qué número racional no puede corres ponder a n?

3 5

1 metros y luego 4 metros, y si todavía 4

C) 8

1 1 < n < 8 2

C)

fracción b ? a

5 16

Hallar el numerador de una fracción cuyo denominador es 40, sabiendo que es mayor que

5 16

¿Cuál es el número mixto que origina la

6

A)

B)

A) 15 D) 18

Nivel II 1

3 8

C) 10

25 En la expresión: 5,12 ¸ 0,32 + 32,9 ¸ 4,7; ¿cuál es el resultado final? A) 25,6 D) 20,2

A)

8

B) 18 m E) 19 m

Si a la cuarta parte de los ro se le agrega los

C) 31 m 2 de un núme 5

2 3 de sus y se res 5 8


287

Manuel Coveñas Naquiche ne como resultado una fracción equiva lente a:

3 de su quinta parte se obtiene 21; 8 ¿cuál es el número?

ta los

A) 280 D) 70 9

B) 110 E) N.A.

C) 120

Al efectuar: 1 öæ 1 öæ 1ö æ 1 ö æ ç 1 + 2 ÷ ç 1 + 3 ÷ ç 1 + 4 ÷ ¼ç 1 + 99 ÷ , se obtiene è øè øè ø è ø

35 99 100 D) 1

B) 50 E)

C)

111 99

1 50

D) 5

E) 7

11 ¿Qué fracción se obtiene al simplificar 5 ? 1 1 + 2 1 5

Dé como respuesta la suma de los términos. A) 18 B) 25 C) 17 D) 21 E) 23 12 Al efectuar:

180 3 4 5 æ 1 ö

ç ÷ è3ø

, ¿cuánto se

obtiene como resultado final? 1 3 1 D) 27

A)

B)

1 9

C) 1

1 2

E)

2 3


C)

5 4

5 son votantes jóvenes. 9 3 de todos los jóve 5

nes? A) 41 430 D) 54 190 15

B) 32 514 E) 37 415

C) 33 414

¿Cuál de los siguientes números es el mayor? ) º C) 9,1234 A) 9,123 44 B) 9,1234 ¼ D) 9,1234

E) 9,123 4

16 Lucero, una atleta deslumbrante debe re correr en tres días 147, 23 km. Si recorre el primer día 38,5 km y el segundo día 2,3 km más que el primer día, ¿qué distancia debe recorrer el tercer día? A) 67,33 km B) 48,37 km C) 59,93 km D) 62,93 km E) 67,93 km 17 Si 7 = 0,abc , 8 calcular: a 2 + 3b – 10c A) 40 E) 44

E) 0

1 æ 1 1 1 ö ´ç + - ÷ 15 è 2 4 3 ø 13 Al efectuar: se obtie 2 3

288

D)

si representan los

1369 144 Halle la raíz cuadrada de la suma de los términos de la fracción.

C) 6

1 4

¿Cuántas votantes mujeres jóvenes hay

da como resultado

B) 8

B)

ellas

10 Una fracción se divide entre su inversa y

A) 9

3 4

14 La población de votantes en el distrito de Carabayllo es de 97 542 personas, y de

la fracción equivalente a: A)

A)

18 La fracción: 1 2 D) 2 A)

B) 35

C) 30 D) 51

0,125 equivale a: 0,062 5 1 5 E) 5

B)

C)

1 50

Sexto grado de primaria ) A) 0,2

19 ¿Cuál de los siguientes números está más próximo al valor de: 53,1´ 0,046 ? 0,0021

A) 1 D) 10 000

B) 100 C) 1 000 E) 100 000

20 Dada la igualdad:

º D) 0,02

A) 7

B) 3

C) 8

A) S/. 900 D) S/. 982,20

D) 5

E) 4

21 Al reducir:

7 D) 3 4

1 E) 5 4

¼ para pagar su departamento. tría y 0,125

¿Cuánto dinero le queda después de rea lizar dichos pagos? A) $ 62 936 B) $ 63 926 C) $ 62 396 D) $66 293 E) $ 69 632

3 C) 7 4


) 22 Hallar una fracción equivalente a 0,8 cuyo numerador y denominador sean mayores que 45 y menores que 55.

A)

46 53

B)

42 54

D)

47 54

E)

48 54

23 Si:

C) S/. 1000,20

º para pagar su maes para alimentación;0,1 25

¿qué número mixto se obtiene? 1 B) 4 4

B) S/. 907,20 E) S/. 907,40

25 Nataly es contadora en la empresa televisora “TNT”donde recibe un sueldo anual de $ 109 890, ella hace su presupues º de su sueldo to de la siguiente manera: 0,18

) 0,81 ´ 2,5 + 0,8 1 1 1 + 1 1 3

11 A) 2 4

C) 0,02

24 En una función de CINE PLANET hay tan tos hombres como mujeres, y tantas muje res como la mitad de niños. Si cada niño paga S/. 7,50 y cada adulto S/. 11,40; ¿cuál fue el total de lo recaudado si se sabe que asistieron 48 niños?

a b º + = 1,93 11 3

¿Cuál es el valor de a + b?

B) 0,35 ) E) 0,42

C)

ì15 P + 6 N + 4 K - 8 ü , , í , 2 ý î 37 N + 1 P3 + 10 3K + 1 þ hallar el producto de sus numeradores.

50 54

A) 6 000 D) 2 700 2

B) 3 600 E) 7 000

C) 5 400

Respecto a las fracciones: 1 2 3 4 90 , , , , ¼ , ; marque verda 91 91 91 91 91

) a º c ; 0,12 = 0,16 = dd b

c la expresión: b origina el decimal: dd a

Si las fracciones del siguiente conjunto son homogéneas

I. II.

dero o falso cada una de las siguientes expresiones: Todas son fracciones propias. Hay fracciones que son decimales.


289

Manuel Coveñas Naquiche III. IV.

Todas son fracciones irreductibles. Todas son homogéneas. A) FVFV D) VVVV

B) VFFV E) VFFF

C) FFVV

8 é 1 1 1 ù ´ + + 9 êë 2 3 4 úû ´ 21 ´ 22 ´ 2 3 é 1 ù 169 ê1 + 2 ú ¸ê ú 4 ê1 + 1 ú ëê 3 ûú

(

)

4

B) 7

1 D) 16

E) 4

2. B 6. C 10. A 14. B 18. E 22. C

3. C 7. C 11. E 15. B 19. E 23. D

1. D 5. A 9. B 13. B 17. B 21. C 25. C

1 C) 4

Dada la expresión siguiente: 1 2 1 ) + 0,5 + + 3,19 + 0,3 4 5 2 ¸ P = æ 2 ö æ 6 ö æ 2 ö æ 5 ö æ 1 ö 1 + 1 ) ç 3 ÷ ç 1 ÷ ç 3 5 ÷ ç 1 ÷ ç 17 ÷ 1 + 0,2 è øè øè øè øè ø

2. D 6. B 10. E 14. B 18. D 22. E

3. C 7. E 11. E 15. C 19. C 23. D

B) 8

C) 0,4 D) 4

1. C

2. B

3. E

E) 6

Razona: ¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para formar 11 triángulos uno a continuación de otro, tal como se muestra en la figura?

... Rpta.

290


4. C 8. C 12. D 16. E 20. C 24. B

Problemas de olimpiadas

¿cuál es el valor de P? A) 0,5

4. B 8. E 12. D 16. B 20. C 24. A

Nivel II

el resultado final es: A) 5

Nivel I 1. B 5. E 9. B 13. C 17. B 21. A 25. E

3 En la siguiente expresión: 1 -

Clave de respuestas

23

4. E


Razones y proporciones

Razón o relación: Se llama razón o relación a la comparación de dos cantidades homogéneas o heterogéneas; esta comparación se puede hacer de dos maneras, veamos: a) Comparación por diferencia (restándolas) Consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. En este caso, la comparación recibe el nombre de razón aritmética o razón por diferencia.

Consecuente

Valor de la Razón Aritmética

a – b = RA Antecedente

Ejemplo 1: Compara las edades de Nataly y Vanessa, si Nataly tiene 13 años y Vanessa 10 años. Atención Nataly

Vanessa

13 años – 10 años = æ Cantidades ö ç homogéneas÷ è ø

3 años

Razón aritmética

De esta expresión, podemos decir que la edad de Nataly excede a la edad de Vanesa en 3 años.

Ejemplo 2: Compara la cantidad de manzanas que tienen Karina y Manolito, si Karina tiene 8 manzanas Atención y Manolito 6. Karina

Manolito

8 manzanas – 6 manzanas = 2 manzanas æ Cantidades ö ç homogéneas÷ è ø

De esta expresión, podemos decir que el número de manzanas de Karina excede en dos al número de manzanas de Manolito.

Razón aritmética

Ejemplo 3: Compara la cantidad de frutas que tienen Manuel y Sara, si Manuel tiene 11 melones y Sara tiene 6 naranjas. Atención

Manuel

Sara

11 melones – 6 naranjas =

F Cantidades I heterogéneasK H

5 frutas.

De esta expresión, podemos decir que el número de melones de Manuel excede en cinco al número de naranjas de Sara.

Razón aritmética


291

Manuel Coveñas Naquiche b) Comparación por cociente (dividiéndolas) Consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades homogéneas o heterogéneas contiene a la otra, en este caso, la comparación recibe el nombre de razón geométrica o razón por cociente. a Atención: La razón geométrica: Þ se lee: “a”es a “b”. b

Antecedente

a a : b = = RG b

Valor de la Razón Geométrica

Consecuente

Ejemplo 1: Compara las edades de un padre que tiene 42 años y la de su hijo que tiene 14 años. Padre Þ Hijo

Þ

Valor de la razón geométrica

42 años =3 14 años

Atención Se dice que las cantidades son homogéneas por estar expresadas ambas en años.

Interpretación: La edad del padre es el triple (3) que la edad del hijo. Ejemplo 2: Compara la cantidad de nuevos soles que tiene Manuel y Sara; si Manuel tiene S/. 20 y Sara S/. 40. Atención S / . 20 1 = Þ S / . 40 2

Manuel Þ Sara

Valor de la razón geométrica

Se dice que las cantidades son homogéneas por estar expresadas ambas en soles.

Interpretación: La cantidad de soles que tiene Manuel es la mitad (1/2) de la cantidad de soles que tiene Sara. Recomendaciones Así como las fracciones se simplifican, también podemos simplificar razones. Por ejemplo: La razón de 10 es a 20, la expresamos en su forma simplificada 10 como: ; sacamos décima a cada término, es decir, dividimos cada térmi20 1 no entre 10; quedando así: 2 Ejemplo 3: En el aula de un colegio mixto hay 30 niñas y 25 niños, hacer la comparación entre el número de niñas y niños.

Razón geométrica Niñas Þ 30 6 30 Niños Þ 25 = 5 ; simplificamos 25 sacando quinta a cada término, es decir dividimos entre cinco cada término; quedando así: 6 5

292


Sexto grado de primaria Atención

Interpretación:

Se dice que las cantidades son heterogéneas por estar expresadas dichas cantidades en niñas y niños. Ejemplo 4:

La razón geométrica nos da a entender que por cada 6 niñas hay 5 niños.

En una mesa se colocan 12 botellas de vino para 20 personas. Hacer la comparación entre el número de botellas y personas.

Botellas 2 Personas 2

12 3 = 20 5

12 sacando cuarta a cada término (es de20 3 cir dividimos entre 4 cada término ) quedando así: 5

Simplificamos

Razón geométrica Atención

Interpretación:

Se dice que las cantidades son heterogéneas por estar expresadas dichas cantidades en botellas y personas.

3 nos da a entender que por 5 cada 3 botellas hay 5 personas.

La razón geométrica

Proporción geométrica Se llama así a la igualdad de dos razones geométricas. Se lee: “a es a b como c es a d”.

a c = b d Razón geométrica

A los términos a y c se les llama antecedentes y a los términos b y d se les llama consecuentes.

Razón geométrica

Ejemplo: 6 8 = 3 4 Razón = 2

La razón geométrica de los dos primeros números es igual a la razón geométrica de los otros dos.

Razón = 2

a y d son los términos extremos b y c son los términos medios

Extremos 2 a Medios 2 b

=

c d

a´d=bć 2

En una proporción geométrica se tienen 4 términos a, b, c y d, que reciben el nombre de: Extremos: a y d Medios: b y c. Se establece que “El producto de extremos es igual al producto de medios”. Sexto Grado de Primaria

293


3 m = falta un 4 12 término. Si aplicamos “el producto de extremos es igual al producto de medios” y luego se resuelve la ecuación, obtenemos el valor de “m”; veamos:

Observa que en esta proporción

34´212 42 ´m 1 4 3 =1 4 4 3 Extremos

Medios

36 = 4 ´ m Þ \

Atención

36 =m 4

9=m

´3

3 m = 4 12

Este tipo de ejercicios se puede resolver de la manera siguiente:

9=m

´3

Ejemplo: Halla el número que falta:

5 20 = 4 z

Resolución: Aplicando: “El producto de extremos es igual al producto de medios”. 52 ´3 z =1 44´ 220 4 3 1 Extremos

3´ 3= m

Þ

Ejemplo: Halla el valor de “y” en

Resolución: Aplicando: “Producto de extremos es igual al producto de medios”. 402´4 2 =1 52 ´3 y 1 4 3

Medios

5z = 80 Þ z =

80 5

80 = 5y Þ y =

z = 16

\

Forma práctica

´4

5 = 4

80 5

y = 16

\

Forma práctica

´8

20 z

Þ

40 5 = y 2

4´ 4= z 16 = z

´4

Þ

y = 2´ 8 y = 16

´8


Escribe el número que falta en cada proporción geométrica: 3 27 = 7 Resolución:

13 91 = 4 Resolución:

a)

b)

´9

3 = 7 ´9

294

27 Þ 7 × 9 = 63 =

\

3 27 = 7 63


40 5 = y 2

7 = 18 2 Resolución:

c)


d)

11 = 5 45

e)

Resolución:

g)

a)

=

65 117

f)

Resolución:

16 8 = 8

h)

Resolución:

2

5

13

=

11 66 = 5

Resolución:

42 91

i)

Resolución:

36 = 204 17

Resolución:

Halla el valor de “x” en cada proporción geométrica: 35 x = 28 12

b)

4 x = x 36

Resolución:

Resolución:

35 x = . Simplificamos los tér28 12 35 minos de la razón sacando 28 séptima a cada término, es decir dividiendo cada término en5 tre 7; quedando así: 4 5 x luego: = 4 12

4 ∙ 36 = x ∙ x

c)

12 8 = 21 x

Resolución:

22 ∙ 62 = x2 (2 ∙ 6)2 = x2. Simplificamos los exponentes (2) en ambos miembros, quedando: 2∙6=x \ 12 = x

5 · 12= 4 · x Þ 60 = 4 ∙ x 60 =x 4

d)

Þ

25 x = x 64

Resolución:

\ 15 = x

e)

45 x = 20 8

Resolución:

f)

64 x = x 81

Resolución:


295


126 27 = 56 x

g)

h)

Resolución:

3.

x 156 = 30 72

i)

Resolución:

100 x = x 25

Resolución:

Resuelve:

a) En un rectángulo, la razón entre su largo y su ancho es de 5 a 2. Si el rectángulo mide 20 m de largo, ¿cuántos metros mide el ancho? Resolución:

b) En un corral, la razón entre el número de gallinas y pavos es de 7 a 4. Si hay 35 gallinas, ¿cuántos pavos hay? Resolución:

´4

Largo Ancho

5 20 m = 2 x

2·4= x 8=x

´4

Rpta. El ancho del rectángulo mide 8 metros c ) En un huerto, la razón entre el número de plantas de manzanas y de naranjas es de 9 a 7. Si hay 56 plantas de naranjas, ¿cuántas plantas de manzanas hay?

d) En una reunión el número de varones con relación al número de mujeres es de 5 a 7. Si hay 42 mujeres, ¿cuántos varones hay? Resolución:

Resolución:

e) En una biblioteca el número de libros de matemática con relación al número de libros de lenguaje es de 9 es a 5. Si hay 108 libros de matemática, ¿cuántos libros de lenguaje hay? Resolución:

296


f) El número de profesoras de mi escuela con relación al número de profesores es como 3 es a 2. Si hay 12 profesores, ¿cuántas profesoras hay? Resolución:

Sexto grado de primaria Formar una proporción: “Dados cuatro números en cierto orden tales que, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, ellos forman una proporción geométrica”. Así, dados los números: 9; 12; 3; 4 tenemos los productos iguales. Medios Extremos

Veamos: 9 ´ 4 = 12 ´ 3, entonces se forman las siguientes proporciones: I) 9 ´ 4 = 12 ´ 3 Þ

9 12 = 3 4

4 12 = 3 9

II) 9 ´ 4 = 12 ´ 3 Þ

Otro ejemplo: dados los productos iguales 5 ´ 15 = 3 ´ 25, entonces se forman las siguientes proporciones: I) 5 ´ 15 = 3 ´ 25 Þ

15 25 = 3 5

II) 5 ´ 15 = 3 ´ 25 Þ

5 25 = 3 15

Clases de proporciones geométricas La proporción geométrica puede ser: discreta o continua. 2 Proporción discreta: Es aquella que tiene sus cuatro términos diferentes. a c = b d

donde: a ¹ b ¹ c ¹ d y además b y d ¹ 0

Ejemplos: I)

8 12 = 2 3

II)

3 9 = 2 6

III)

12 16 = 3 4

2 Proporción continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales. Medios

a b = b c

byc¹0

Ejemplos:

I)

8 4 = 4 2

II)

9 6 = 6 4

III)

16 8 = 8 4


297


•

Tercera, cuarta y media proporcional Tercera proporcional ¿Cómo se halla la tercera proporcional? Se forma una proporción geométrica con los dos números dados y con “x”, repitiéndose como término medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y ese valor es la tercera proporcional. Ejemplo 1

Halla la tercera proporcional de 4 y 16.

Resolución: Los números dados se distribuyen de la siguiente manera: 4 16 , aplicamos la propiedad: “El producto de los términos extremos es igual al = 16 x producto de los términos medios”. 4

4 · x = 16 · 16

®

16 · 16 x= 4

®

x = 64

1

Luego:

La tercera proporcional de 4 y 16 es 64.

Ejemplo 2

Halla la tercera proporcional de 3 y 6.

Resolución: Para hallar la tercera proporcional de 3 y 6 se debe formar una proporción geométrica continua cuyo término medio es 6, veamos: 3 6 = , aplicando la propiedad: “El producto de los términos extre6 x mos es igual al producto de los términos medios”. 2

3·x=6·6 ®

6 ·6 x= 3

®

x = 12

1

Luego:


Atención

La tercera proporcional es igual al cuadrado del término medio de una proporción geométrica continua dividido entre el otro término extremo.

298



Cuarta proporcional ¿Cómo se halla la cuarta proporcional? Se forma una proporción geométrica con los tres números dados y con “x”, donde “x” es el cuarto término de la proporción y además representa la cuarta proporcional; veamos: Sea la proporción geométrica: 1°.ro 2°.do

4 3

=

3°. 4°.

8 6

“6 es la cuarta proporcional de 4; 3 y 8” Ejemplo: Halla la cuarta proporcional de 2; 3 y 6. Resolución: Los números dados se distribuyen de la siguiente manera: 2 6 = ; aplicamos la propiedad: 3 x

2·x=6·3 Luego:

à

x=

“El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios”.

6 · 3 18 = =9 2 2

à

x=9

La cuarta proporcional de 2; 3 y 6 es 9.

Media proporcional o media geométrica Es el término que se repite en la proporción geométrica continua. Así, en la proporción geométrica continua:

9 6 = , “4” es la media proporcional o media geométrica de 9 y 4. 6 4

Ejemplo: Halla la media proporcional de 3 y 27. Resolución: Para hallar la media proporcional de 3 y 27 se debe formar una proporción geométrica continua cuyo término medio es “x” (término desconocido), veamos: 3 x = ; aplicamos la propiedad: x 27

3 · 27 = x · x à

81 = x2

à

“El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios”. 81 = x 9=x

Luego:

La media proporcional de 3 y 27 es 9.

Recuerda

Si

x2 = A

entonces

x=

A

Atención¡Atención!

La media proporcional o media geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos de una proporción geométrica continua.


299



Halla el valor de “x” en cada una de las proporciones y di qué clase de proporción es: Proporción I F disc reta H K 5 15 F I b) = .......... H K

a)

x 3 = .......... 10 6 x

6

F H F .......... H

I K I K

F H 48 12 F = f) ......... H

I K I K

c)

3 x = .......... x 48

d)

x 9 = 9 27

e)

25 x = .......... x 4

12

x

F H x F ............... H

I K I K

F H 25 x F = ............... H j)

I K I K

F H F .............. H

I K I K

g)

7 14 = ............... x 6

h)

6 = 5 10

i)

4 x = ................ x 16 5

2

k)

8 6 = ................. 4 x

l)

32 x = x 50

2 Halla la cuarta proporcional de: a) 9; 12 y 3

b) 3; 2 y 24

c) 30; 55 y 6

Resolución:

Resolución:

Resolución:

9 3 = 12 x

9 · x = 12 · 3 x=

36 9

\ x=4 La cuarta proporcional de 9; 12 y 3 es 4.

300


Sexto grado de primaria 3.

Halla la media proporcional entre:

a) 5 y 20 Resolución:

b) 3 y 48 Resolución:

c) 27 y 3 Resolución:

5 x = x 20

5 · 20 = x · x 100 = x2 100 = x

Þ 10 = x

La media proporcional entre 5 y 20 es 10. 4.

Halla la tercera proporcional de:

a) 8 y 4 Resolución:

b) 5 y 15

c) 9 y 27

Resolución:

Resolución:

8 4 = 4 x 8x = 4 · 4 x=

16 \ 8

x = 16


•

Magnitudes proporcionales

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo número. Ejemplo 1: El número de objetos y su precio cuando se paga. Si:

Si:

1 cuaderno cuesta 5 soles 4 cuadernos costarán 20 soles (A más cuadernos gastarán más) ´4

6 cuadernos cuestan 30 soles ÷3 2 cuadernos costarán 10 soles (A menos cuadernos gastarán menos)

Ejemplo 2: El tiempo y las unidades de trabajo realizados. Si una cuadrilla de obreros hacen en:

´4

´2 ÷3

3 días 8 metros de una obra, en 6 días harán 16 metros.

´2

(En más días harán más metros de obra)


301

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 3: El tiempo de trabajo y el salario percibido.

Ejemplo 4: El espacio y el tiempo si la velocidad es constante.

Si un obrero por: ÷3

6 días de trabajo percibe S/. 300 por 2 días percibirá S/. 100

Si un automóvil recorre: ÷3

(Por menos días de trabajo recibirá menos salario)

´3

En 2 horas 500 metros en 6 horas recorrerá 1 500 metros

´3

(A más horas el automóvil recorre más metros)

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra resulta dividida y al dividir una de ellas, la otra resulta multiplicada por el mismo número. Atención

Ejemplo 1: El número de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra. Si

÷2

4 obreros hacen una obra en 6 días, 2 obreros harían la misma obra en 12 días

1) Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes, así: El área de una región rectangular es directamente proporcional a su base y altura (pues a mayor área mayores serán su base y su altura).

´2

(A menos obreros se necesitan más días)

Ejemplo 2:

La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrer una distancia.

Si un auto a la velocidad de 60 km/h necesita 10 horas para recorrer una distancia, a la velocidad de 120 km/h necesitaría 5 h para recorrer la misma distancia. (A más velocidad necesita menos tiempo)

2) Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más o de menos a menos (+ a +; - a -). 3) Las magnitudes inversamente proporcionales van de más a menos o de menos a más (+ a -; - a +)

Taller de ejercicios 85 Completa cada una de las siguientes expresiones: 1)

El volumen de un cubo es directamente proporcional a su arista.

2)

El número de raciones de un batallón es ............................. al número de personas.

3)

La velocidad de un automóvil es .................................. al tiempo transcurrido.

4)

El precio de una pieza de casimir es .................................. a su calidad.

5)

El área de un cuadrado es .................................... a su lado.

302



• Regla de tres simple 2

Una regla de tres es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales (una proporción geométrica).

2

En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos, y una cantidad desconocida o incógnita. Esta regla de tres simple puede ser directa o inversa si las cantidades que intervienen son directa o inversamente proporcionales respectivamente.

Supuesta y pregunta. En toda regla de tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema van generalmente en la parte superior. La pregunta está formada por los términos que contienen a la incógnita del problema.

Regla de tres simple directa Ejemplo 1:

Si 25 paltas cuestan 75 nuevos soles, ¿cuánto se pagará por 14 paltas?

Resolución: cuestan 25 paltas ¾ ¾¾® S/. 75

Supuesto

Si

Pregunta

pagará Por 14 paltas ¾ ¾¾® S/. x

Planteo:

Ahora formamos una proporción geométrica escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (paltas) igual a la razón 25 75 directa de las segundas cantidades (nuevos soles), así: = 14 x Aplicando: “Producto de extremos igual al producto de medios”, obtenemos:

Razona

Si 25 paltas cuestan S/. 75, por menos paltas (14) se pagará menos nuevos soles. Estas cantidades proporcionales van de menos a menos (- a -), es decir, son cantidades directamente proporcionales, por consiguiente, la regla de tres simple es directa.

25 · x = 14 · 75 3

14 · 75 x= 25

Þ

x= 42

Rpta. Por 14 paltas se pagará S/. 42.

1

Ejemplo 2: Razona

Si 4 sillas cuestan S/. 480, ¿cuánto costarán 6 sillas?

Resolución:

Si 4 sillas cuestan S/. 480, más sillas (6) costarán más nuevos soles. Estas cantidades proporcionales van de más a más (+ a +), es decir, son cantidades directamente proporcionales, por consiguiente la regla de tres simple es directa. Obtenemos:

Supuesto

Si 4 sillas

Pregunta

6 sillas

Planteo:

cuestan ¾ ¾¾® S/. 480 costarán ¾ ¾¾®

S/. x

Ahora formamos una proporción geométrica escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (sillas) igual a la razón di4 480 recta de las segundas cantidades (nuevos soles), así: = 6 x Aplicando: “Producto de extremos es igual al producto de medios”.

4 · x = 6 · 480 120

6 · 480 x= 41

Þ

x= 720

Rpta. Las 6 sillas costarán S/. 720. Sexto Grado de Primaria

303


Regla de tres simple inversa Ejemplo 1:

Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demora 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias, ¿en cuántos días terminarían la misma obra?

Resolución: demoran ¾ ¾¾® 18 días

Supuesto

trabajando 10 h/d

Pregunta

trabajando 6 h/d demorarían

Planteo:

¾ ¾¾® x días

Entonces se forma una proporción geométrica escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón in10 x = versa de las segundas cantidades (días). Así: 6 18 Aplicando: “Producto de extremos es igual a producto de medios”.

Razona

Si trabajando 10 h/d demoran 18 días, trabajando menos horas diarias (6) terminarían en más días, vemos que estas cantidades proporcionales van de menos a más (- a +), es decir, que son inversamente proporcionales, por consiguiente, la regla de tres simple es inversa.

Obtenemos: 10 · 18 = 6 · x 10 · 18 =x Þ 30 = x 6 Rpta. La misma obra la terminarían en 30 días.

Ejemplo 2:

Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitarían para hacer la misma obra en 15 días?

Resolución: Supuesto

Si 21 obreros

Pregunta

x obreros

Planteo:

Razona

Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, para que esta misma obra la hagan en más días (15) se necesitarían menos obreros. Vemos que estas cantidades proporcionales van de más a menos (+ a -), es decir, que son inversamente proporcionales, por consiguiente, la regla de tres simple es inversa.

¾tardan ¾¾®

10 días

tardarían 15 días ¾ ¾¾®

Entonces se forma una proporción geométrica escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (obreros) igual a la razón in21 15 = versa de las segundas cantidades (días). Así: x 10 Aplicando: “Producto de extremos es igual a producto de medios”. Obtenemos: 21 · 10 =15 · x 7

2

21 · 10 =x 15 3

Þ

21 · 2 =x 3

Þ

14 = x

1

Rpta. Para hacer la misma obra en 15 días se necesitarían 14 obreros.

304




Resuelve:

a)

Si hay 90 niños en 3 salones de clases, ¿cuántos salones se necesitarán para 210 niños? 90 niños

3 salones

210 niños

x salones

Donde: 90 x = 210 · 3 1

Þ

Por regla de tres simple directa: 90 3 = 210 x

b)

d)

x=7

Rpta. Para 210 niños se necesitan 7 salones.

c)

S/. 120

Un caño arroja 40 litros de agua en 25 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 5 minutos?

Rpta. 8 litros.

Si 5 paquetes de chocolates son suficientes para 20 niños, ¿cuántos paquetes de chocolates se necesitan para 32 niños?

Rpta.

\

3

Seis sobres de detergente cuestan 30 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por 2 docenas de dicho detergente?

Rpta.

210 · 3 x= 90

8

e)

Un automóvil, en 2 horas, recorre 95 km. ¿Cuánto tardará en recorrer 380 km, si su velocidad es constante?

Rpta.

8 horas


305


Resuelve: a)

Para terminar una obra en 9 días se necesitan 32 obreros. ¿En cuántos días terminarán la obra 24 obreros?

b)

24 obreros hacen una casa en 30 días. El doble de obreros, ¿qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?

Resolución: 9 días x días

32 obreros 24 obreros

Por regla de tres simple inversa: x 32 = 9 24

Donde: 24 · x = 32 · 9 x=

32 · 9 24

\

x = 12

Rpta. Los 24 obreros terminarían la obra en 12 días.

c)

En un cuartel, 200 soldados tienen víveres para 40 días; si se cuadruplicara el número de soldados, ¿por cuánto tiempo durarían los víveres?

Rpta.

d)

Un automóvil, a 60 km/h, cubre la distancia de Lima a Chimbote en 10 horas. ¿A qué velocidad debe desplazarse para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo?

Rpta. 10 días

•

15 días

Rpta. 120 km/h

Tanto por ciento Lee y escribe por cientos como razones y razones como por cientos Con mucha frecuencia vemos en periódicos o en tiendas anuncios como los que han sido reproducidos en esta página, en los que se habla de tanto por ciento y aparece el signo que usamos para indicarlo: %.

Para comprender lo que significan estas expresiones hace falta saber lo que significa tanto por ciento. Observa los cuadrados ABCD y PQRS de la siguiente página: cada uno de ellos han sido divididos en 100 partes iguales, veamos: El tanto por ciento puede expresarse en forma de un número fraccionario con 100 como denominador, es decir, como una razón con 100 como segundo término.

306


Sexto grado de primaria De las 100 partes se han coloreado 10,I F H que es el 10% del cuadrado ABCD. K B

10% =

De las 100 partes se han coloreado 25,I F H que es el 25% del cuadrado PQRS. K C

10 100

Ejemplos:

25% =

A

Q

R

P

S

25 100

D

a)

7 100

Þ se lee: de cada 100 partes se han tomado 7 Þ se escribe: 7%

b)

36 100

Þ se lee: de cada 100 partes se han tomado 36. Þ se escribe: 36%

Veamos otros ejemplos: 1. 2.

Si un comerciante gana el 20%, significa que gana S/. 20 por cada S/. 100 de su capital. Si en matemática fueron desaprobados el 16% de los alumnos, significa que 16 por cada 100 alumnos fueron desaprobados.

2

Elementos que intervienen en el tanto por ciento.

Son la base, el tanto, el porcentaje y 100 (b, %, P y 100). Ejemplo: El 8% de 200 es 16: * *

2

200 es la base o número (b) cuyo tanto por ciento se busca. 8 es el tanto (%) o número de unidades que se toman por cada 100.

* *

16 es el porcentaje (P) o parte de la base determinada por el tanto. 100 es el número que siempre interviene en estos problemas.

Casos que se presentan en el tanto por ciento

Todos los problemas sobre tanto por ciento se pueden clasificar dentro de los tres casos siguientes: Atención 1°. Hallar el porcentaje de un número. Ejemplo: Halla el 15% de 840. Los tres casos de tanto por ciento se re2°. Conociendo el porcentaje y el tanto, hallar suelven por medio de una regla de tres simla base o número. ple directa donde interviene siempre como dato 100. Ejemplo: De qué número es 340 el 50% El esquema general del planteo es: 3°. Conociendo la base y el porcentaje, hallar Si de 100 es % Los tres casos del tanto por ciento el tanto por ciento. de b será P se presentan cuando el elemenEjemplo: Qué porcentaje de 300 represento desconocido es P; b, %. ta 225. Sexto Grado de Primaria

307


1°. caso: Hallar el porcentaje de un número Ejemplo 1:

Halla el 36% de 275.

Ejemplo 2:

Halla el 28% de 125.

Resolución:

Resolución:

Planteo: Si: de 100 es 36 de 275 será x

Planteo: Si: de 100 es 28 de 125 será x

Por regla de tres simple directa


100 36 = 275 x 100x = 36 · 275 x = 36 · 275 Þ 100

Obtenemos: Donde:

100 28 = 125 x 100x = 28 · 125

Obtenemos: Donde: x = 99

x=

28 · 125 100

Otra forma

Otra forma

Halla el 36% de 275

Halla el 28% de 125

=

99

28 28 ´ 125 3500 ´ 125 = = 100 100 100 = 35

Taller de ejercicios 87 Halla los siguientes porcentajes: a) 76% de 850 Resolución:

b) 16% de 325 Resolución:

c) 48% de 625 Resolución:

d) 2,5% de 180 Resolución:

308


x = 35

Rpta. El 28% de 125 es 35.

Rpta. El 36% de 275 es 99.

36 36 ´ 275 9900 ´ 275 = = 100 100 100

Þ


e) 18% de 450

f) 84% de 545 Resolución:

Resolución:

2°. caso: Conociendo el porcentaje y el tanto, hallar la base o número Ejemplo 1: ¿De qué cantidad es S/. 330 el 75%?

Ejemplo 2: ¿De qué número es 150 el 12%?

Resolución:

Resolución:

Planteo: Si: El 75% es S/. 330 El 100% será x

Planteo: Si: El 12% es 150 El 100% será x



3

Obtenemos:

75% S /. 330 = 100% x

3

12 % 150 = 100% x

Obtenemos:

4

Donde:

25

3 · x = 4 · S/. 330

Donde:

3 · x = 25 · 150

110

4 · S /. 330 x= 3

50

25 · 150 x= 31

Þ x = S/. 440

Rpta. S/. 330 es el 75% de S/. 440.

Otra forma ¿De qué cantidad es S/. 330 el 75%? Resolución: Sea la cantidad pedida = x Luego: 75 % · x = S/. 330 3

Rpta. 150 es el 12% de 1 250.

Otra forma ¿De qué número es 150 el 12%? Resolución: Sea la cantidad pedida = x Luego: 12% · x = 150 3

75 · x = S /. 330 100 110

12 · x = 150 100 25 50

4

S /. 330 · 4 x= 31

Þ x = 1 250

Þ

x = S/.440

x=

150 · 25 31

Þ

x = 1 250


309


Taller de ejercicios 88 Resuelve: 1. ¿De qué número es 576 el 12%? Resolución:

3. ¿De qué número es 90 el 4%? Resolución:


310



4. ¿De qué número es 4,5 el 2,5%? Resolución:



3er. caso: Conociendo la base y el porcentaje, hallar el tanto por ciento Ejemplo 1: ¿Qué porcentaje de 1 250 es 525?

Ejemplo 2: ¿Qué porcentaje de 72 es 18?

Resolución:

Resolución:

Planteo: Si: 1 250 es 100% 525 será x%

Planteo: Si: 72 es 100% 18 será x%



250

4

1250 100% = 525 x%

Obtenemos:

72 100% = 18 x%

Obtenemos:

1

105

Donde:

250 · x = 100 · 105

Donde:

4 · x = 100

21

2

25

100 · 105 2 · 105 = x= 250 5 5

100 x= 4 1

1

\ x = 42

\ x = 25

Rpta. 525 es el 42% de 1 250.

Rpta. 18 es el 25% de 72.

Otra forma

Otra forma

¿Qué porcentaje de 1 250 es 525?

P

·

1 250 = 525 Þ P =

¿Qué porcentaje de 72 es 18? 525 1 250

Si a la fracción hallada la multiplicamos por 1, no altera su valor, pero recordemos que 1 es igual al 100%, pues esta es la razón por la cual si una fracción se convierte a porcentaje se debe multiplicar por el 100%, veamos: P=

525 ´ 100% = 42% 1 250

P · 72 = 18 P=

\

18 Þ 72

P=

18 ´ 100% 72

P = 25%

Nota En matemática: De significa multiplicación. Es significa igualdad.

Taller de ejercicios 89 Resuelve: 1. ¿Qué porcentaje de 40 es 6? Resolución:

2. ¿Qué porcentaje de 2 000 es 80? Resolución:


311


3. ¿Qué porcentaje de 235 es 18,8? Resolución:

5. ¿Qué porcentaje de 1 725 es 345? Resolución:

4. ¿Qué porcentaje de 850 es 646? Resolución:

6. ¿Qué porcentaje de 32 es 25,6? Resolución:

Taller de ejercicios 90 Resuelve los siguientes problemas:

312

1. En el sexto grado de una escuela hay 350 alumnos, el 12% de los alumnos alcanzó la mejor nota. ¿Cuántos alumnos alcanzaron la mejor nota?

2. Manolito respondió correctamente 26 preguntas de una prueba de 130 preguntas. ¿Qué tanto por ciento de preguntas respondió correctamente?

Resolución: s Planteo: 350 ¾E¾ ¾® 100% e r á 12% x ¾S¾ ¾® 350 100% = Luego: x 12% 350 · 12 = 100 · x

Resolución: Es Planteo: 130 preguntas ¾ ¾ ¾® 100% 26 preguntas ¾Será ¾ ¾® x 130 100% = Luego: 26 x% 130x = 26 · 100

350 · 12 = x Þ x = 42 100 Rpta. 42 alumnos alcanzaron la mejor nota.

26 · 100 Þ x = 20 130 Rpta. Manolito respondió correctamente el 20%.


x=

Sexto grado de primaria 3. El año pasado el equipo de fútbol de la escuela ganó 60 partidos. Este año ganó 90 partidos ¿Cuál fue el tanto por ciento de aumento? Resolución:

Rpta. Se vendió 195 pares de zapatos.

Partidos ganados el año pasado = 60 Partidos ganados este año = 90 Aumento de partidos ganados = 90 - 60 = 30 Recuerda que este aumento de 30 partidos ganados es con respecto a 60. Luego: Planteo:

60

x%

Será ¾ ¾¾ ¾® 60 100% = 30 x%

2 · x = 100

Þ

x = 50

4. Ayer asistieron a un cine 250 personas, hoy la asistencia disminuyó en 2%. ¿Cuál fue la asistencia total de hoy? Resolución: s ® 100% 250 ¾E¾ ¾ e¾ r á® 2% x ¾S¾

250 100% = x 2%

Þ

x=5

Luego: La asistencia total de hoy es: 250 - 5 = 245 personas La asistencia total de hoy fue de 245 personas.

12%

9 . Manolito ha leído 60 páginas de un libro de 500 páginas. ¿Qué tanto por ciento del libro ha leído? Rpta. 12%

10. El equipo de baloncesto de la escuela perdió 27 partidos de 45 y empató 9 partidos. ¿Qué tanto por ciento de partidos ha perdido? ¿Qué tanto por ciento ha ganado? Rpta.

Pues, el 2% de 250 es 5; esto quiere decir que hoy asistieron 5 personas menos.

Rpta.

Rpta.: Tuvo 2 inasistencias y 48 asistencias.

Rpta.

Rpta. El aumento de partidos ganados es el 50%.

250 = 50 x

7 . Durante el año escolar se ofrecieron 50 clases de inglés. Un alumno faltó al 4% de dichas clases. ¿Cuántas inasistencias y asistencias tuvo?

8 . Nataly recogió 75 huevos de los cuales se le rompieron 9. ¿Qué tanto por ciento de los huevos se rompió?

100%

Es ¾® ¾ ¾¾

30

Planteo:

6 . Una tienda ofreció en liquidación 650 pares de zapatos. Si vendió el 30% de esa cantidad, ¿cuántos pares de zapatos vendió?

Perdió el 60% de los 45 partidos y ganó el 20% de los 45 partidos.

11. El 23% de una distancia es 46 km. ¿Cuál es la distancia? Rpta. 200 km

12. Si el 45% de los habitantes de una ciudad son menores de edad y hay 675 menores de edad, ¿cuál es la población de dicha ciudad? Rpta. 1 500 habitantes.

5. En una caja de 120 naranjas se pudrieron el 5%. ¿Cuántas naranjas se pudrieron y cuántos quedaron en buen estado? Rpta. Se pudrieron 6 naranjas y quedaron

buenas 114 naranjas.

13. Se anunció un aparato de radio de 75 dólares con una rebaja del 12%. ¿En cuánto se puede adquirir? Rpta. 66 dólares. Sexto Grado de Primaria

313


14. Vanessa ganaba S/. 160 semanales. Esta semana le aumentaron a S/. 180. ¿De qué tanto por ciento es el aumento? Rpta.

15. Una bolsa de azúcar pesaba 40 kg. Después de permanecer un tiempo almacenada, su peso se redujo a 38 kg. ¿Cuál fue el tanto por ciento de disminución en el peso?

12,5%

Rpta.

5%

Problemas sobre precios de compra y venta El tanto por ciento tiene mucha aplicación en los problemas sobre precios de compra o de venta que se presentan en la vida diaria. Precio de compra (Pc). Es el valor en que se adquiere o compra una mercadería. Precio de venta (Pv). Es el valor en que se vende una mercadería. Ganancia (g). También llamada beneficio, es la diferencia entre el Pv y el Pc. Pérdida (p). Es la diferencia entre el Pc y el Pv.

2

La ganancia y pérdida se expresan generalmente en un tanto por ciento sobre el precio de costo, salvo indicación expresa. Así, decir que al vender una mercadería se ha ganado el 35% significa que: Por cada Hay Luego es:

S/. 100 del precio de compra Pc. S/. 35 de ganancia g. S/. 135 el precio de venta Pv.

De igual manera, si decimos que al vender un artículo se ha perdido el 15%, este dato se descompone en otros tres que son: S/. 100 el precio de compra Pc. S/. 15 de pérdida p. Luego: S/. 85 el precio de venta Pv. Prob lema 1 Una tienda comercial vende un televisor por S/. 230 ganando el 25%. Halla el precio de compra y la ganancia. Resolución: Sabemos que:

Ganancia = 14243

Precio de44 venta 1 442 3

-

Precio de44 costo 1 442 3

25% Pc 1 424 3 =

S/. 230

-

Pc

25% =

25 1 = 100 4

1 Pc = S/. 230 - Pc 4

Pc = S/. 920 - 4Pc Þ \

314


5Pc = S/. 920 Pc = S/. 184

Sexto grado de primaria Luego: Ganancia =Precio de44 venta Precio de44 costo 442 3 1442 3 -1 Ganancia = S/. 230 S/. 184 \

Ganancia =

Rpta.

S/. 46

El precio de compra del televisor es de S/. 184 y la ganancia es de S/. 46.

Prob lema 2 Nataly vende su vestido de quinceaños por S/. 490 perdiendo el 30%. Halla el precio de compra y la pérdida. Resolución: Sabemos que: Pérdida de44 costo de44 venta 1 424 3 =Precio 1442 3 - Precio 1442 3 30% Pc = 1 424 3 3 Pc 10

Pc

= Pc - S/. 490

30% =

-

S/. 490

Þ

3Pc = 10Pc - S/. 4 900 S/. 4 900 = 7Pc

30 3 = 100 10

\ Pc = S/. 700

Luego: Pérdida =

Precio de44 costo 1 442 3 Pérdida = S/. 700 Rpta.

-

Precio de44 venta 1 442 3

-

S/. 490

\ Pérdida = S/. 210

El precio de compra del vestido fue de S/.700 y la pérdida fue de S/.210.

Prob lema 3 Un joyero ha ganado S/. 84 en vender un par de aretes de oro con el 24% de ganancia. Halla el precio de venta. Resolución: Del enunciado:

Ganancia 24% Pc 14243 = 1 424 3 S/. 84

Sabemos que:

Rpta.

=

24 Pc 100

Þ

S /.8 400 = Pc 24

Þ

Ganancia Precio de44 venta Precio de44 costo 442 3- 1 442 3 1 4243 = 1 S/. 84 = Pv - S/. 350

Pc = S/. 350

\

Pv = S/. 434

El precio de venta del par de aretes es S/. 434.

Prob lema

4 Perdiendo S/.72 se ha vendido un espejo con el 18% de pérdida. Halla el precio de venta y el precio de compra.

Resolución: Del enunciado: 1 Pérdida 4243= 18% Pc 18 Pc S/. 72 = 100 Sabemos que: 1 Pérdida 4243 S/. 72

Þ

S /.

7 200 = Pc 18

Þ

= 1 Precio Precio de44 venta 44de 2compra 443 - 1 442 3 = S/. 400 Pv

S/. 400 = Pc

\

Pv = S/. 328

Rpta. El precio de venta del espejo fue de S/. 328 y el precio de compra fue de S/.400. Sexto Grado de Primaria

315

Manuel Coveñas Naquiche Prob lema 5 Un librero compra un libro a un autor por S/.40 y lo vende al público por S/.50. Halla el porcentaje de ganancia del libro. Resolución: Sabemos que: Ganancia Precio de44 venta Precio compra 442 3 - 1 44de 244 3 1 424 3= 1 G

=

S/. 50

-

S/. 40

G = S/.10 (Esta ganancia es con respecto al precio de compra o costo que es de S/.40)

\

Luego, hallamos qué porcentaje es S/.10 (ganancia) con respecto a S/.40 (precio de costo). Veamos: es¾® 100% Si: S/. 40 ¾ ¾¾ será¾® S/. 10 ¾ ¾¾ x Por regla de tres simple directa: S /. 10· · 100% S/. 10 x= S/. S /.40 40

Þ x = 25%

Rpta. El porcentaje de ganancia del libro es del 25%.

Prob lema 6 Compré una sortija por S/. 816 y la vendí por S/. 714. Halla el % de pérdida. Resolución: Sabemos que:

Pérdida = 1 Precio de44 Costo 442 3 Pérdida = S/. 816

-

Precio de44 venta 1 442 3 S/. 714

Pérdida = S/. 102 (esta pérdida es con respecto al precio de compra o costo que es S/. 816)

\

Luego, hallamos qué porcentaje es S/. 102 (pérdida) con respecto a S/.816 (precio de costo) Veamos: Por regla de tres simple directa: S/. 816 ¾ ¾¾ ¾®100% S/. 102 ¾ ¾¾ S/. 102 · 100% ¾® x Þ x = 12,5% x = S/. 816

Rpta. El porcentaje de pérdida es de 12,5%.

Taller de ejercicios 91 1. Se vende un lapicero fino por S/. 60 ganando el 20%. Halla el precio de compra y la ganancia. Resolución:

Rpta. Pc = S/. 50 y G = S/. 10

316


Sexto grado de primaria 2. Se ha vendido una camisa por S/. 27 perdiendo el 40%. Halla el precio de compra y la pérdida.

3. Un comerciante gana S/. 63 al vender un juego de ollas con el 35% de ganancia. Halla el precio de venta y el precio de compra.

Resolución:

Resolución:

Rpta. Pc = S/. 45 y P = S/. 18

Rpta. Pv = S/.243; Pc = S/.180

4. Un comerciante ha perdido S/. 54 al vender un radio con el 18% de pérdida. Halla el precio de venta y el de compra.

5. Una librería compra un libro por S/. 95 y lo vende al público por S/. 125,40. Halla el porcentaje de ganancia.

Resolución:

Resolución:

Rpta. 32%

Rpta. Pv = S/. 246; Pc = S/. 300

• Interés simple Para entender mejor explicamos el siguiente ejemplo: Supongamos que Manuel recibió de Sara S/. 3 000 en calidad de préstamo. Manuel se comprometió a devolver a los 30 días y pagar por el servicio recibido S/. 8 por S/. 100 prestados. Al vencerse el plazo, Manuel entregó a Sara sus S/. 3 000 y S/. 240 más. Como se podrá dar cuenta, Sara gana S/. 240. Esta ganancia es el interés producido por S/. 3 000, durante 30 días y al 8% al mes. 2

Se llama interés a la ganancia producida por un capital durante un tiempo determinado y a un tanto por ciento establecido.

Elementos que intervienen en un problema de interés simple Son: Capital, tanto por ciento, tiempo e interés (C, %, t, I).

Capital. Es la cantidad de dinero prestado. Su símbolo es C. Tanto por ciento. Es la ganancia producida por S/. 100 en un tiempo determinado, por lo general un año. Su símbolo es %.

Tiempo. Es el número de años, meses o días que dura el préstamo. Su símbolo es t. Interés. Ganancia producida por el capital, en relación con el tiempo y el tanto por ciento. Su símbolo es I.


317

Manuel Coveñas Naquiche Clases de interés: El interés puede ser simple y compuesto. 2 Interés simple: 2 Interés compuesto:

Estimado alum Es cuando al final del tiempo acordado se no, en sexto gra percibe la ganancia que produce el capital. do sólo vamos a Es cuando al final del tiempo acordado, el estudiar el inte interés que produce el capital se suma al rés simple. capital original formándose de esta manera un nuevo capital.

Fórmula para calcular el interés simple Para obtener una fórmula para calcular el interés “I” producido por un capital C, prestado a un % anual, en t años, aplicamos una regla de tres compuesta en dichos elementos del problema: Si:

S/. 100 en 1 año ganan % de interés S/. C en t años ganará I de interés Las dos reglas de tres simple son directas, luego: 2 El interés es igual al producto del capital por el % y por el tiempo, dividido entre 100. I=

Esta fórmula sirve para calcular el interés cuando el tiempo se da en años.

C´%´ t 100

2 Cuando el tiempo se da en meses el denominador es 100 × 12, pues el año tiene 12 meses. I=

Esta fórmula sirve para calcular el interés cuando el tiempo se da en meses.

C´%´ t 1 200

2 Cuando el tiempo se da en días el denominador es 100 × 360 = 36 000, pues el año comer cial tiene 360 días. I=

C´%´ t 36 000

Esta fórmula sirve para calcular el interés cuando el tiempo se da en días.

Cuadro de fórmulas del interés simple Los otros elementos como el capital, % y tiempo, se calculan también resolviendo una regla de tres compuesta. Así se obtienen las siguientes fórmulas:

318


A ÑO S

MES ES

DÍ AS

C´%´ t 100

I=

C´%´ t 1 200

I=

C´%´ t 36 000

C=

100 ´ I %´t

C=

1 200 ´ I %´t

C=

36 000 ´ I %´t

%=

100 ´ I C´t

%=

1 200 ´ I C´t

%=

36 000 ´ I C´t

t=

100 ´ I C´%

t=

1 200 ´ I C´%

t=

36 000 ´ I C´%

I=


Problemas resueltos 2 Calcular el interés: Prob lema 1 Halla el interés que produce un capital de S/.1 500 prestado al 8% anual, durante 3 años. Resolución: DATOS C = S/. 1 500 % =8 t =3 I =? I=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el interés en años. (Fórmula) I=

C´%´ t 100

S /.1 500 ´ 8 ´ 3 = S/. 360 100

P ro bl em a 3 Halla el interés producido por S/.1 800 prestados al 6% durante 2 meses y 20 días. Resolución: DATOS C = S/. 1 800 % =6 t = 2 meses y 20 días t = 80 días I =? I=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el interés en días. (Fórmula)

I=

C´%´ t 36 000

S /.1 800 ´ 6 ´ 80 = S/. 24 36 000

Problema 2 Halla el interés producido por S/. 3 200 colocado al 4% durante 1 año 6 meses. Resolución: DATOS C = S/. 3 200 % =4 t = 1 año; 6 meses t = 18 meses I =?

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el interés en meses. (Fórmula)

I=

C´%´ t 1 200

S /. 3 200 ´ 4 ´ 18 = S/. 192 1 200 2 Calcular el capital: Pr ob l e m a 1 Halla el capital que prestado al 0,5% mensual durante 2 años, ha producido un interés de S/. 420. Convertimos el % mensual Resolución: en anual. 0,5% ´ 12 = 6% anual DATOS I=

% t I C C=

=6 = 2 años = S/. 420 =?

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el capital en años. (Fórmula)

100 ´ S /. 420 = S/. 3 500 6´2

C=

100 ´ I %´t

P r o b l e m a 2 ¿Cuál es el capital que ha producido un interés de S/. 360 a un 8% anual, durante 1 año y 4 meses?

Resolución: DATOS % =8 t = 1 año y 4 meses t = 16 meses I = S/. 360 C =? C=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el capital en meses. (Fórmula) C=

1 200 ´ I %´t

1 200 ´ S /. 360 = S/. 3 375 8 ´ 16 Sexto Grado de Primaria

319

Manuel Coveñas Naquiche 2 Calcular el %: Prob lema 1 ¿A qué % anual se prestó un capital de S/. 850 que en 1 año y 3 meses ha producido S/. 127,50 de interés?

Prob lema 2 ¿A qué % estuvo prestado S/. 4 800 para producir un interés de S/. 300 durante 3 meses 10 días?

Resolución:

Resolución:

C t I % %=

DATOS = S/. 850 = 1 año y 3 meses = 15 meses = S/. 127,50 =?

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el % en meses. (Fórmula)

1 200 ´ I %= C´t

1 200 ´ S /.127, 50 = 12% S /. 850 ´ 15

DATOS C = S/. 4 800 t = 3 meses 10 días = 100 días I = S/. 300 %=? %=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el % en días. (Fórmula)

%=

36 000 ´ I C´t

36 000 ´ S /. 300 = 22,5% S /. 4 800 ´ 100

2 Calcular el tiempo: Prob lema 1 Halla el tiempo que estuvo prestado S/. 7 200 que al 5% ha producido S/. 1 800 de interés.

Prob lema 2 Halla el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/. 5 700 que al 8,25% produjo intereses por S/. 313,50.

Resolución:

Resolución:

DATOS C = S/. 7 200 % =5 I = S/. 1 800 t =? t=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el tiempo en años. (Fórmula) t=

100 ´ I C´%

100 ´ S /.1 800 = 5 años S /.7 200 ´ 5

DATOS C = S/. 5 700 % = 8,25 I = S/. 313,50 t =? t=

Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el tiempo en meses. (Fórmula) t=

1 200 ´ I C ´%

1 200 ´ S /. 313, 50 = 8 meses S /. 5 700 ´ 8, 25


Halla el interés que produce un capital de S/. 930 prestado al 14% anual durante 5 años. Resolución:

Rpta.

320


S/. 651


2

Halla el interés producido por S/. 6 250 colocado al 8% durante 2 años, 9 meses. Resolución:

Rpta.

3

Halla el capital que prestado al 6% mensual durante 2 años 8 meses, ha producido un interés de S/. 136. Resolución:

Rpta. 5

4

S/. 850

¿A qué % mensual se prestó un capital de S/. 4 800 que en 1 año 3 meses ha producido S/. 300 de interés? Resolución:

Rpta.

5%

Hal la el c a pi ta l q ue ha pro d uc id o S/. 1 240 de interés prestado al 12% durante 1 año, 4 meses y 20 días. Resolución:

Rpta. 6

S/. 1 375

S/. 7 440

Halla el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/. 1 680 que al 5% produjo intereses por S/. 21. Resolución:

Rpta.

3 meses.


321

Manuel Coveñas Naquiche Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas: a) ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de S/. 480 al 30% anual durante 2 años? Rpta. S/. 800

e) ¿A qué % anual se prestó un capital de S/.7 200 que en 1 año 8 meses ha producido S/.2 400 de intereses? Rpta. 20%

b) ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de S/.600 al 15% mensual durante 10 meses? Rpta. S/. 4 800

f) ¿A qué % estuvo prestado S/. 3 000 para producir un interés de S/. 33,75 durante 90 días?

c ) ¿Cuál es el interés que produce un capital de S/.1 100 al 9% anual durante 3 años?

g) Halla el tiempo que estuvo prestado S/. 950

Rpta. 4,5%

que al 8

Rpta. S/. 297

1 ha producido S/.313,50 de interés. 4 Rpta. 4 años.

d) ¿Cuál es el interés que produce un capital de S/. 1 400 al 60% mensual durante 2 años 6 meses? Rpta. S/. 2 100


A) 2 2

B) 3

5 C) 4

D) 5

a 9 = y además a – b = 55, b 4 ¿cuál es el valor de a + b? B) 182 E) 100

5

=

6

C) 160

24 , calcula el valor de: 40

4

322

B) 48 E) 42

7


8

C) 132

En una proporción continua los términos extremos son 9 y 16. ¿Cuál es su térmi no medio? B) 10 E) 12

C) 11

Hallar la tercera proporcional de 4 y 12. Dar como respuesta el producto de sus cifras. A) 18 D) 6

C) 96

En el colegio “San Vicente de Paúl” la ra zón entre el número de varones y muje res es de 11 a 7. Si hay 165 varones, ¿cuántas mujeres hay?

C) 150

a 6 = , halla el valor de b 5

B) 124 E) 162

A) 16 D) 14

× . A) 24 D) 36

Si a b = 12 y

A) 100 D) 148

Dadas las expresiones: 7 28 = y 4

B) 100 E) 110

“a + b”

E) 7

Si

A) 140 D) 143 3

A) 80 D) 105

5 40 = Si 13 abc hallar : a + b + c

B) 12 E) 10

C) 24

¿Cuántos divisores tiene mn ?, si mn es la cuarta proporcional de 3; 5 y 27. A) 1

B) 5

C) 6

D) 8 E) 12


10

En una fiesta de año nuevo se encontra ban 2 varones por cada 3 mujeres. Si ha bían 200 personas, ¿cuántos varones es taban presentes?

17 Hallar el 48% de 325. A) 140 B) 200 D) 156 E) 196

A) 80 B) 150

18 ¿De qué número es 420 el 12%? A) 4 000 B) 5 000 C) 3 500 D) 2 500 E) 2 000

D) 60 E) 90

Si por 3 manzanas pagué S/. 12, ¿cuán to pagaré si compro una docena de man zanas? A) S/. 36 D) S/. 60

11

C) 30

B) S/. 24 E) S/. 72

C) S/. 48

19 En mi salón de clase, de los 80 alumnos que somos, al 60% les gusta matemática, ¿a cuántos alumnos no les gusta mate mática? A) 48 D) 24

Una vaca da 56 litros de leche en 9 días. ¿Cuántos litros dará en 27 días? A) 200 D) 168

B) 112 E) 224

C) 208

12 Si 35 cuadernos cuestan S/. 525, ¿cuán to se pagará por 13 cuadernos? A) S/. 185 D) S/. 225

B) S/. 190 E) S/. 195

20

B) 32 E) 28

B) 20 E) 12

A) 15,2%

C) S/. 175

B) 14% C) 12,5%

C) 15

14 En un cuartel hay 120 soldados y tienen víveres para 30 días; si se triplica el núme ro de soldados, ¿cuántos días durarían los viveres? A) 15 D) 17

B) 10 E) 60

C) 8

15 Una camisa cuesta 120 nuevos soles, si la vendedora me descuenta el 20%, ¿cuánto es lo que debo pagar? A) S/. 69 D) S/. 84

B) S/. 96 E) S/. 86

C) S/. 102

16 De los 1 800 alumnos que hay en el colegio han asistido al desfile militar 1 530. ¿Qué porcentaje de alumnos no fue al desfile? A) 18% D) 20%

B) 12% E) 15%

C) 36

¿Qué porcentaje del área de la región cuadrada ABCD representa el área de la región coloreada?

13 12 obreros construyen una casa en 45 días; ¿en cuántos días construirán la mis ma obra 36 obreros? A) 10 D) 18

C) 148

C) 10%

D) 16% E) 20% 21 Saúl vende un televisor por S/. 600 ga nando el 25% de lo que le costó. ¿Cuánto pagó por el televisor Saúl? A) S/. 500 D) S/. 480

B) S/. 300 C) S/. 420 E) S/. 400

22 Un comerciante ha perdido S/. 96 al ven der una cocina con el 24% de pérdida. Hallar el precio de venta. A) S/. 250 D) S/. 306

B) S/. 400 E) S/. 304

C) S/. 350

23 Hallar el interés producido por S/. 4 800 colocado al 4% durante un año y tres me ses. A) S/. 200 D) S/. 240

B) S/. 190 E) S/. 220

C) S/. 260

24 ¿Cuál es el capital que ha producido un inte rés de S/. 320 a un 2% anual, durante 5 años? A) S/. 3 500 B) S/. 3 200 C) S/. 4 000 D) S/. 3 000 E) S/. 2 800 Sexto Grado de Primaria

323


25 ¿A qué % mensual se prestó un capital de S/. 2 600 que en 1 año y 6 meses ha produ cido S/. 156? A) 5% D) 7%

B) 6% E) 2,5%

C) 4%

A) 156 D) 120

A) 300 D) 150

Dadas las proporciones geométricas: 15 45 = 9 x

I. II. III.

A) 30 D) 20

2

D) 3

4

5

324

C) 16

2 5 del total, luego los del resto 3 8 y se mueren 90 pollos. Los pollos que que dan¿ qué porcentaje del total representan?

E) 4

A) 10% D) 8% 9

Dadas las proporciones:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 Dos números están en la relación de 4 a 11; si su suma es 120, determinar el ma yor de dichos números. A) 40 B) 32 C) 88 D) 30 E) 36 En una fiesta se observó que el número de varones con relación al número de mujeres es de 3 a 8. Si asistieron en total 110 personas, ¿cuántos varones estuvie ron en dicha fiesta? A) 80 B) 70 C) 40 D) 30 E) 50 En un rectángulo la razón entre la medida del largo y del ancho es de 13 a 5. Si el perímetro de dicho rectángulo es de 432 m, ¿cuántos metros tiene el largo?


B) 40 E) 10

vende los

x 6 12 36 x = y = , halla el valor de: y - x 12 y x 9

3

C) 100

8 En una granja hay 1 200 pollos: primero se

° x + y = 17 y – x = – 3 x = cuadrado perfecto.

IV. x – y Î ¢ + A) 0 B) 1 C) 2

B) 400 E) 200

7 Un grupo de 16 obreros pueden terminar una obra en 120 días. Si el plazo para con cluir la obra es de 60 días, ¿cuántos obre ros más serán necesarios?

56 7 = y 3

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

C) 163

6 Dos ruedas engranadas tienen, respectiva mente, 30 y 20 dientes. ¿Cuántas vueltas dará la segunda si la primera da 200 vueltas?

Nivel II 1

B) 174 E) 182

B) 5% E) 16%

C) 12%

¿Qué porcentaje del área del cuadrado ABCD, representa el área de la región co loreada?

A) 35,7% D) 38%

B) 36% E) 40%

C) 37,5%

10 El 8% del 40% de 3 000 es equivalente a: A) 96 B) 90 C) 120 D) 80 E) 140 11

Si M = 20% de N, hallar el valor de: M + N M

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6


12 Un vendedor de juguetes compra muñe cas a S/. 125 la unidad y lo vende al públi co por S/. 165. Hallar el porcentaje de ga nancia. A) 40% D) 28%

B) 32% E) 36%

18 En 15 días 6 obreros han hecho la mitad de la obra que les fue asignada; si enton ces se retiran 4. ¿En cuánto días lo ter minarán los obreros restantes?

C) 30%

13 ¿Qué porcentaje del área de la región rec tangular ABCD representa el área de la región coloreada?

A) 30 D) 40

B) 25 E) 52

C) 45

19 La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 25; si el otro término es 30, hallar la suma de los términos extremos. A) 35 D) 65

B) 45 E) 75

C) 55

20 Una persona tiene $ 500 y gasta en mer caderías el 10%, luego del resto de dine A) 40% D) 60%

B) 45% E) 38%

C) 50%

14 Ángelo depositó S/. 3 400 en una entidad financiera al 6% mensual. Calcule el mon to que se obtendrá luego de 4 semestres. A) S/. 5 720 B) S/. 4 128 C) S/. 3 568 D) S/. 3 808 E) S/. 3 200 15 Elisa realiza una transacción y gana el 20% de lo que invierte, luego invierte el 50% del nuevo capital que tiene y gana el 200% de lo que invierte. Si al final tie ne S/. 252, calcular la ganancia obtenida en total. (En la 1°. transacción Elisa invir tió todo su capital) A) S/. 140 D) S/. 152

B) S/. 143 E) S/. 160

B) 48 E) 60

C) 50

B) 52 E) 36

B) $ 270 E) $ 150

C) $ 180

21 En un instante el número de varones y el número de mujeres en un salón son como 7 es a 8. Cuando se retiran 6 varones que dan en la relación de 25 a 32. ¿Cuántas mujeres habían en el salón? A) 40 D) 64

B) 84 E) 48

C) 75

Clave de respuestas Nivel I 1. D 6. E 11. D 16. E 21. D

2. D 7. A 12. E 17. D 22. E

3. B 8. C 13. C 18. C 23. D

4. D 9. A 14. B 19. B 24. B

5. C 10. C 15. B 20. C 25. C

4. D 9. C 14. D 19. D

5. A 10. A 15. C 20. C

Nivel II

17 El triple de N, más 4 es al doble de N, me nos 7, como 8 veces N es al cuádruplo de N. Hallar el valor de (N – 12) 3 ¸ 6. A) 48 D) 24

A) $ 450 D) $ 90

C) S/. 147

16 Dos números están en la relación de 5 a 11. Si el promedio aritmético de estos números es 64, hallar la diferencia de di chos números. A) 45 D) 54

3 para comprar un objeto. 5 ¿Cuánto dinero le queda? ro saca

C) 40

1. D 6. A 11. C 16. B 21. D

2. A 7. C 12. B 17. E

3. C 8. B 13. C 18. C


325


6 •

Sistema inter naci onal de unidades

Introducción En el villorrio Allpacocha, Santiago posee 40 hectáreas de terreno en las cuales cultiva lo siguiente:

a) b) c) d) e) f) g)

h) i)

j)

2 400 decámetros cuadrados de trigo, 50 000 metros cuadrados de cebada, 0,07 kilómetros cuadrados de maíz, en el resto del terreno se cultiva alfalfa. ¿Qué producto se cultiva en mayor superficie? ¿Qué producto se cultiva en menor superficie? ¿Hay productos que se cultivan en igual superficie? ¿Es conveniente el uso de varias unidades de superficie? El maíz se cultiva en 0, 07 kilómetros cuadrados. Cuando el número es pequeño, ¿es conveniente que la unidad sea grande? La cebada se cultiva en 50 000 metros cuadrados. Cuando el número es grande, ¿es conveniente que la unidad sea pequeña? La suma siguiente: 2 400, 00 decámetros cuadrado; + 50 000, 00 metros cuadrados 0, 07 kilómetros cuadrados 52 400, 07 ¿es correcta? ¿Qué se debe hacer para averiguar cuántas hectáreas de alfalfa se cultivan? La suma siguiente: 24 hectáreas + 5 hectáreas 7 hectáreas 4 hectáreas 40 hectáreas ¿es correcta? Una hectárea equivale a un hectómetro cuadrado, es decir, 10 000 metros cuadrados. ¿Es conveniente el uso de la hectárea como unidad de medida agraria? Ej emplo

1 ¿Cuántos dm hay en 25 km?

De los km a los dm hay cuatro órdenes de uni- ® dades. Por eso se multiplica por 10 000, veamos:

25 km = 25 × 10 000 = 250 000 dm


329

Manuel Coveñas Naquiche Ej emplo 2 ¿Cuántos metros hay en 47 hm? De los hm a los m hay dos órdenes de unidades, por eso se multiplica por 100, veamos:

Ej emplo

3

¿Cuántos dm hay en 86 mm?

De los mm a los dm hay dos órdenes de unidades. Por eso se divide entre 100, veamos:

47 hm = 47 × 100 = 4 700 m Ej emplo

4

86 mm = 86 ÷ 100 = 0,86 dm

¿Cuántos dam hay en 372 cm?

De los cm a los dam hay tres órdenes de unidades. Por eso se divide entre 1 000, veamos 372 cm = 372 ÷ 1 000 = 0,372 dam


2

Completa las siguientes equivalencias: 7 km = .................................. m

64 m = .................................. km

46 km = ................................ m

285 m = ................................ km

72 m = .................................. cm

362 cm = .............................. m

564 m = ................................ cm

98 cm = ................................ m

12,6 m = ............................... mm

34,6 mm = ............................ m

28,5 km = ............................. m

71,8 m = ............................... km

236, 4 hm = .......................... m

80 m = .................................. hm

74, 83 hm = .......................... cm

531 cm = .............................. hm


a) El largo de un rectángulo mide 2,4 m y su ancho, 108 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo, en centímetros? Resolución: Convertimos los 2,4 m a cm 2,4 m = 2,4 × 100 cm = 240 cm Luego: Perímetro =Suma de las longitudes los lados del rectángulo Perímetro = 2 (240 cm) + 2(108 cm)

\ Perímetro = 696 cm

330


b) Se ha cortado las 3/4 partes de una pieza de tela de 128 m. ¿Cuántos milímetros mide la parte restante? Resolución: Se ha cortado: 3 3 de 128 m = × 128 m = 96 m 4 4 Parte restante = 128 m - 96 m = 32 m Convertimos los 32 m a mm. 32 m = 32 × 1 000 = 32 000 mm


c ) Una soga mide 4 635 cm de longitud. Si se divide en tres pedazos de igual longitud, ¿cuál es la longitud, en mm, de cada pedazo? Resolución:

d) Un grupo de turistas recorrió 367 hm en ómnibus, 236, 4 dam en auto y 2 138 m a pie. ¿Cuántos metros recorrió en total? Resolución:

e) El tablero de una mesa rectangular tiene 208,4 cm de largo y el ancho mide 95, 8 cm menos que el largo. Halla, en metros, el perímetro de dicho tablero. Resolución:

f)

3

Un electricista ha utilizado las 5/9 partes de un rollo de alambre de cobre de 270 m. ¿Cuántos cm mide la parte restante? Resolución:

Completa las siguientes tablas: a) 35 km 4 dam 19 m= ....................... m

f) 670 dm 13m 49 hm = ................. km

b) 73 hm 32 dam 27 m = .................... m

g) 1 830 cm 76 dam 19 hm = ......... km

c) 28,3 km 5,8 hm 9 dam = ................. m

h) 105 mm 37 dm 118 m = ............ km

d) 15 km 13,5 dam 64 m = ................. m

i) 973 m 117 dam 65 hm = ............ km

e) 85,6 hm 10,8 dam 276,1 m = .......... m

j) 1 386,9 cm 54 m 678 dam = ....... km


331


• Perímetro de un polígono Observa las longitudes de los lados de este polígono. B

Para encontrar el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados. El perímetro del polígono del recuadro es:

C

3 cm

2 cm 2,5 cm

D

2Acm

Perímetro del ABCDE = AB + BC + CD + DE + EA

3 cm

= 2,5 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm = 12,5 cm

E


Calcula el perímetro de cada polígono. 3,5 cm

D

C

Q

2 cm

2 cm

5 cm

R

B

E

5 cm

3 cm 5 cm F 2 cm

A

P

Perímetro ABCDEF = ............... cm

S

Perímetro PQRS = ............. cm

G

F

N

M 2 cm

L

E

I H

4 cm

L

K

J

Perímetro EFGHIJKL = .............. cm

332


6 cm

K

Perímetro LMNK = ............... cm


Completa las siguientes tablas: Cuadrado 1 Lado

Cuadrado 2

8 cm

Cuadrado 4

25 cm

Perímetro

Cuadrado 5 6,5 cm

48 cm

60 cm

Rectángulo 1

Rectángulo 2

Largo

7 cm

8 cm

Ancho

4 cm

Rectángulo 3

Rectángulo 4

Rectángulo 5

9 cm

12 cm

15 cm

Perímetro

3

Cuadrado 3

26 cm

6 cm

70 cm

40 cm

Calcula el perímetro de cada polígono y convierte el resultado a la unidad pedida.

Polígono

Perímetro

ABC

6 cm

8 cm

10 cm

ABCD

5 cm

7 cm

9 cm

3 cm

12 dm

15 dm

10 dm

8 dm

16 dm

7m

9m

4m

3m

6m

ABCDE ABCDEF

mm dm cm 8m

dm

• Unidades de superficie Las unidades de superficie se utilizan para medir regiones planas como el piso del aula, un campo de fútbol, el tablero de la carpeta, etc. La unidad principal de medida de una superficie es un cuadrado que tiene una unidad cuadrada de área.

El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado.

1u 2 1u

1u

Un metro cuadrado se escribe 1m2. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.


333

Manuel Coveñas Naquiche En las medidas de superficie también hay unidades mayores que el metro cuadrado que son los múltiplos, y unidades menores que son los submúltiplos. Observa este cuadro de equivalencias de las unidades de superficie. Unidad Múl t i p l os Principal

Múl t i pl os

km 2

hm 2

dam 2

10 000 m 2

100 m 2

S ub múl t i pl os

m2

dm 2

cm 2

1

0,01 m 2

0,0001 m 2

mm 2

En el siguiente cuadro puede observar cómo se pasa de una unidad a otra. ×100

km 2

hm 2

÷100 : 100

Ej emplo

1

×100

×100

dam 2

÷100 : 100

×100

m2

÷100 : 100

×100

dm 2

÷100 : 100

¿Cuántos m2 hay en 27 dam2?

De los dam2 a los m2 hay un orden de unidades. Por eso se multiplica por 100, veamos: 27 dam2 = 27 × 100 = 2 700 m2 Ej emplo

2

¿Cuántos dm2 hay en 35 hm2?

De los hm2 a los dm2 hay tres órdenes de unidades. Por eso se multiplica por 1 000 000, veamos: 35 hm2 = 35 × 1 000 000 = 35 000 000 dm2 Ej emplo

3

¿Cuántos km2 hay en 124 dam2?

De los dam2 a los km2 hay dos órdenes de unidades. Por eso se divide entre 10 000, veamos: 124 dam2 = 124 : 10 000 = 0,012 4 km2 Ej emplo

4

¿Cuántos m2 hay en 36 000 mm2?

De los mm2 a los m2 hay tres órdenes de unidades. Por eso se divide entre 1 000 000, veamos: 36 000 mm2 = 36 000 : 1 000 000 = 0,036m2

334


×100

cm 2

÷100 : 100

mm 2

÷100 : 100



2

3

4

Completa: a) 1 dm2 es 100 veces mayor que 1 cm2 ........

à

1 dm2 = 100 cm2

b) 1 m2 es 100 veces mayor que 1 ................

à

1 m2 = 100

c ) 10 m2 es 100 veces mayor que 1 ..............

à

1 cm2 = 100

d) 1 km2 es 100 veces mayor que 1 ...............

à

1 km2 = 100

e) 1 hm2 es 100 veces mayor que 1 ..............

à

1 hm2 = 100

Completa las siguientes conversiones: 42 cm2 a mm2

à

42 × 100 = 4 200 mm2

53 cm2 a m2

à

.......................... = .........................

28 dm2 a m2

à

.......................... = .........................

36 dm2 a mm2

à

.......................... = .........................

62 m2 a dm2

à

.......................... = .........................

Completa los siguientes ejercicios: a)

Para pasar de m2 a dm2 se multiplica por

b)

Para pasar de m2 a cm2 se multiplica por

c)

Para pasar de m2 a mm2 se multiplica por

....................

d)

Para pasar de mm2 a cm2 se divide entre

....................

e)

Para pasar de mm2 a dm2 se divide entre

f)

Para pasar de mm2 a m2 se divide entre

.................... 10 000

10 000 ....................

Completa las siguientes equivalencias:

32 km2 = ............. m2

53 m2 = ............... km2

9 mm2 = ............. m2

47 dm2 = ............. m2

12 dam2 = ........... km2

13 km2 = ........... cm2

26 dam2 = ......... cm2

8 dm2 = .............dam2

49 dam2 = ....... mm2

70 hm2 = ............. m2

24 km2 = ............ hm2

82 cm2 = ............. m2


335


Unidades agrarias Para medir los campos de cultivo se utilizan las unidades agrarias, que tienen como medida principal el área (a). En el siguiente cuadro puede observar las medidas agrarias y sus equivalencias.

×100

El área (a) equivale a un dam2

×100

1 a = 1 dam2 ha o ó hm 2

o dam 2 aó

ca ó o m2

La héctarea (ha) equivale a un hm2 1 ha = 1 hm2

:÷100 100

÷100 : 100

La centiárea (ca) equivale a un m2 1 ca = 1 m2

1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2 1a = 1 dam2 = 100 m2 1 ca = 1 m2

Ej emplo

1

Sabemos que:

Como se podrá observar, las unidades agrarias son el hm2, el dam2 y el m2 pero con otros nombres.

¿Cuántas ha hay en 5 km2? 1 ha = 1 hm2

Luego, convertimos los 5 km2 a hm2. Del tema anterior, de los km2 a los hm2 hay un orden de unidades, por eso se multiplica por 100, veamos: 5 km2 = 5 × 100 = 500 hm2 = 500 ha \

5 km2 = 500 ha

Ej emplo

2

Sabemos que:

¿Cuántas a hay en 8 hm2? 1 a = 100 m2

Luego, convertimos los 8 hm2 a m2. Del tema anterior, de los hm2 a los m2 hay dos órdenes de unidades, por eso se multiplica por 10 000, veamos: 8 hm2 = 8 × 10 000 = 80 000 m2 = 800 × 100 m2 = 800 a \

336

8 hm2 = 800 a



3

Sabemos que:

¿Cuántas ha hay en 2 400 m2? 1ha = 1hm2

Luego, convertimos los 2 400 m2 a hm2. Del tema anterior, de los m2 a los hm2 hay dos órdenes de unidades, por eso se divide entre 10 000, veamos: 2 400 m2 = 2 400 ÷ 10 000 = 0,24 hm2 = 0,24 ha \

2 400 m2 = 0,24 ha

Taller de ejercicios 96 1 Completa: 8 ha =.................. hm2

26 dam2 = .................... a

45 dam2 = ................. ca

4 ca = ................... m2

18 hm2 = ..................... ha

74 hm2 = .................. a

12 a = ................. dam2

32 m2 = .................... ca

62 dam2 = ................. ha

2 Resuelve y completa los siguientes ejercicios: a) En un huerto de 25 ha se cultivan 10 m2 de paltos, 18 dam2 de papayas y en el resto se cultiva naranjos. ¿Cuántos km2 de naranjos se cultivan? Resolución: Convertimos: 25 ha a km2

b) El m2 de un terreno cuesta 65 soles, si el terreno mide 12 ha, ¿cuál es el precio total del terreno? Resolución: Convertimos: 12 ha a m2 12 ha = 12 hm2 = 12 × 10 000 = 120 000 m2

25 ha = 25 hm2 = 25 ÷ 100 = 0,25 km2 Convertimos: 10 m2 a km2 10 m2 = 10 ÷ 1 000 000 = 0,000 01 km2 Convertimos: 18 dam2 a km2 18 dam2 = 18 ¸ 10 000 = 0,001 8 km2 Luego:

como el m2 de terreno cuesta 65 soles, los 120 000 m2 costarán: = 120 000 × S/ 65 = S/. 7 800 000 R pt a .

El precio total del terreno es de S/. 7 800 000.

n° de km2 de naranjos que se cultivan es: = 0,25 km2 - 0,000 01 km2 - 0,001 8 km2 = 0,248 19 km2


337


c ) Una avioneta es contratada para fumigar un campo de 2,6 km2. El primer día fumiga solamente la mitad, pues se ter-mina el combustible. ¿Cuántas hectáreas quedarán sin fumigar? Resolución:

d) Por un terreno de cultivo de 25 ha s pagó S/. 3 600 000. ¿Cuánto se pagó por m2? Resolución:

Rpta. S/. 14,4

Rpta. 130 ha e) La ha de un terreno cuesta S/. 5 000. Si el terreno mide 450 000 m2, ¿cuál es el precio total del terreno? Resolución:

f) En un huerto de 20 ha se cultivan 1 200 dam2 de mango, 25 000 m2 de manzanas y en el resto del terreno se cultiva plátanos. ¿Cuántas ha de plátanos se cultivan? Resolución:

Rpta. S/. 225 000

•

Unidades de volumen La unidad principal de las medidas de volumen es el metro cúbico. Se escribe: 1 m3. El metro cúbico es el volumen de un cubo cuya arista tiene por longitud un metro.

338

Rpta. 5,5 ha


11u m 1 m3 1u 11u m

Arista

3

11u m

Sexto grado de primaria Existen medidas mayores que el metro cúbico llamadas múltiplos y medidas menores que el metro cúbico llamadas submúltiplos.

Unidad Principal

Múltiplos

(mayores que el metro cúbico)

Submúltiplo

(menores que el metro cúbico)

km 3

hm 3

dam3

m3

dm 3

cm3

mm 3

1 000000 m3

10 000 m3

100 m3

1

0,01m 3

0,000 1m 3

0,000 001m 3

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

Cada unidad de volumen del SI es 1 000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1 000 veces menor que la unidad inmediata superior. En el siguiente cuadro puede observar cómo se pasa de una unidad a otra.

× 1 000

km 3

× 1 000

dam3

hm3

000 ¸: 11 000

× 1 000

000 :¸11000

× 1 000

¸: 11 000

× 1 000 cm3

dm3

m3

¸: 1 000 000

× 1 000

¸: 1 000 000

mm3

¸:11000 000

Ej emplo 1 ¿Cuántos cm3 hay en 28 dm3 ? De los dm3 a los cm3 hay un orden de unidades, por eso se multiplica por 1 000, veamos: 28 dm3 = 28 × 1 000 = 28 000 cm3 Ej emplo

2

¿Cuántos m3 hay en 7 hm3?

De los hm3 a los m3 hay dos órdenes de unidades, por eso se multiplica por 1 000 000, veamos : 7 hm3 = 7 × 1 000 000 = 7 000 000 m3 Ej emplo

3

¿Cuántos km3 hay en 300 dam3?

De los dam3 a los km3 hay dos órdenes de unidades, por eso se divide entre 1 000 000, veamos: 300 dam3 = 300 : 1 000 000 = 0,000 3 km3


339



2

Completa. 5 hm3 = .................. m3

27 m3 =....................... cm3

1 278 cm3 =............... m3

8 dam3 = ................ m3

45 m3 = ...................... dm3

876 dm3 = ................. m3

12 km3 = ................. m3

120 m3 = .................... mm3 366 m3 = .................. km3

Resuelve y completa los siguientes ejercicios:

a) ¿Cuántos m3 son 8 hm3 y 12 dam3? Resolución: Convertimos 8 hm3 y 12 dam3 a m3. 8 hm3 = 8 × 1 000 000 = 8 000 000 m3 12 dam3 = 12 × 1 000 = 12 000 m3 Luego: 8 hm3 y 12 dam3 = 8 000 000 m3 + 12 000 m3 Rpta. 8 012 000 m3

b) ¿Cuántos hm3 son 2 400 m3 y 360 dam3? Resolución: Convertimos 2 400 m3 y 360 dam3 a hm3. 2 400 m3 = 2 400 : 1 000 000 = 0,0024 hm3 360 dam3 = 360 : 1 000 = 0,36 hm3 Luego: 2 400 m3 y 360 dam3 = 0,0024 hm3 + 0,36 hm3 Rpta. 0, 3624 hm3

c) ¿Cuántos cm3 son 6 m3 y 28 dm3? Resolución:

d) ¿Cuántos dm3 son 7 hm3 y 16 m3? Resolución:

e) ¿Cuántos mm3 son 8 cm3 y 12 m3? Resolución:

f) ¿Cuántos dam3 son 500 dm3 y 23 000 m3? Resolución:

340



•

Unidades de masa La unidad principal de masa del Sistema Internacional de Unidades (SI) es el kilogramo (kg). Otra unidad importante de masa es el gramo (g).

1 kg

Observa los múltiplos y submúltiplos del kilogramo. M úl ti pl o s (mayores que el kilogramo)

Unidad pr inci pa l

Subm úl ti pl os (menores que el kilogramo)

En el siguiente cuadro puedes observar cómo se pasa de una unidad a otra: × 1 000 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

t

hg

kg

:¸ 11 000 000

¸: 10

:¸10 10

dg

g

dag

:¸10 10

¸: 10 10

× 10

cg

:¸10 10

mg

:¸10 10

Cada unidad de peso del SI es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior, con excepción de la tonelada o megagramo.

Ej emplo

1

¿Cuántos mg hay en 25 g?

De los g a los mg hay tres órdenes de unidades, por eso se multiplica por 1000 , veamos:

por eso se multiplica por 1 000, veamos: 78 hg = 78 × 1 000 = 78 000 dg Ej emplo

3

¿Cuántos kg hay en 350 dag?

De los dag a los kg hay dos órdenes de 25 g = 25 × 1 000 = 25 000 mg Ej emplo

2

¿Cuántos dg hay en 78 hg?

unidades, por eso se divide entre 100, veamos: 350 dag = 350 : 100 = 3,5 kg

De los hg a los dg hay tres órdenes de unidades,


341



Completa.

2

12 dag =................... hg

24 hg = ..................... cg

7 600 mg = ............... dg

15 dag = .................. dg

36 dg = .................... mg

57 000 cg = ............... g

27 dag = .................... g

4,5 g = ...................... cg

4 600 g = ................ dag

8 t =.......................... hg

15,6 dag = ................ dg

12 000 kg = ............... t

Resuelve y completa los siguientes problemas: a) ¿Cuánto debo pagar por 280 g de carne, si el kg cuesta S/. 30? Resolución: Convertimos los 280 g a kg. 280 g = 280 : 1 000 = 0,28 kg Luego, lo que paga es: 0,28 kg = 0,28 × S/. 30 = S/ 8,4 Rpta.

Por 280 g de carne debo pagar S/. 8,4.

b) Veinte barras de metal, cada una de igual peso, pesan en total 2,8 toneladas. ¿Cuál es el peso de cada barra en kg? Resolución: 20 barras = 2,8 toneladas ...(I) 2,8 t = 2,8 × 1 000 = 2 800 kg ...(II) Reemplazamos (II) en (I): 20 barras = 2 800 kg Luego: 2 800 kg 1 barra = = 140 kg 20 Rpta.

c ) Un comerciante compró 2 t de naranjas y vendió los 7/8. ¿Cuántos kg le quedan? Resolución:

Cada barra pesa 140 kg.

d) Un comerciante mayorista compra 2 t de mangos, 14 mg de piñas y 576 kg de papayas. ¿Cuántos kg de fruta compró? Resolución:

Rpta.

342


250 kg

Rpta.

2 716 kg.


e) Un bodeguero tiene 2,5 t de azúcar. Para vender el azúcar prepara bolsas de 5 kg cada una. ¿Cuántas de estas bolsas tendrá que llevar? Resolución:

Rpta.

f) Un agricultor vendió en los primeros días de la semana la siguiente cantidad de trigo: lunes 0,4 t y 350 kg, miércoles 0,6 t y 120 kg, y martes 1,3 t y 200 kg. ¿Cuántos kg de trigo vendió en los tres días? Resolución:

Rpta.

500

2 970 kg

Unidades de capacidad En el Sistema Internacional de Unidades (SI) el volumen y la capacidad se consideran como una sola magnitud. Para ambas la unidad principal es el metro cúbico. El litro es el nombre comercial que se da al decímetro cúbico. 1 dm3 = 1 litro

El litro es la capacidad de un cubo de un decímetro de arista. Estas son las unidades de las medidas de capacidad. Múlt iplos

Ml 1 000 000 l megalitro

Unidad principal

kl 1 000

l

kilolitro

Cada unidad de capacidad del SI es 1 000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1 000 veces menor que la unidad inmediata superior. En el siguiente cuadro puede observar cómo se pasa de una unidad a otra.

Submúlt iplos

l

ml

1

0,001

litro

mililitro

×1 000 Ml

l

×1 000

k l o m3

: 1 000

l

: 1 000

×1 000 o dm3 m l o cm3 : 1 000


343


Ej emplo 1 ¿Cuántos m l hay en 12,56 k l ? De los k l a los m l hay dos órdenes de unidades, por eso se multiplica por 1 000 000, veamos:

47 l = 47 : 1 000 = 0,047 k l = 0,047 m3

12, 56 k l = 12,56 × 1 000 000 = 12 560 000 m l

Sabemos que:

Ej emplo

2

¿Cuántos m3 hay en 47 l ?

Sabemos que:

1 m3 = 1 k l

Entonces la nueva pregunta sería: ¿Cuántos k l hay en 47 l ? De los l a los k l hay una unidad de orden, por eso se divide entre 1 000, veamos:

Ej emplo

3

¿Cuántos cm3 hay en 5 l ? 1 cm3 = 1 m l

Entonces la nueva pregunta sería: ¿Cuántos m l hay en 5 l ? De los l a los m l hay una unidad de orden, por eso se multiplica por 1 000, veamos: 5 l = 5 × 1 000 = 5 000 m l = 5 000 cm3

Taller de ejercicios 99 1 Completa: 15, 650 k l = ........ m l

4 65 k l ? ............ cm3

120 l = ........... m l

6,54 m l = ............. k l

85 m l = ................ l

3 600 k l = ...... m l

13 l = .................. m l

12 dm3 = ............... l

47 m l = ........... k l

1 2660 l = .......... cm3

148 m3 = ............... l

387 l = ............ m3

2 Resuelve y completa los siguientes problemas: a) ¿Cuántas cucharadas de 5 cm3 puedo tomar de un frasco de jarabe que contiene 1/4 de litro? Resolución:

b) ¿Cuántas botellas con capacidad para 905 cm 3 se pueden llenar con 362 litros de leche? Resolución:

Convertimos: 1 1 de litro a cm3 = dm3 a cm3 4 4 1 1 dm3 = ´ 1 000 = 250 cm3 4 4

Luego: n° de cucharadas de 5cm3 = Rpta.

344

2 50 cm 3 = 50 5 cm 3

El número de cucharadas es 50.


Rpta. 400


Unidades de tiempo La unidad base de las medidas de tiempo es el segundo (s). Símbolo

Nombre

1 día = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Equivalencia

segundo

s

1s

minuto

min

60 s

hora

h

1 h = 60 min = 3 600 s

día

d

1d = 24 h

Observa que las unidades de tiempo no pertenecen al sistema decimal, es decir, no aumentan o disminuyen de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000, etc. Observa cómo puedes pasar de una unidad a otra superior o inferior. Recuerda

×24 día(d)

×60

1 bimestre 1 trimestre 1 semestre 1 lustro 1 década 1 siglo

minuto (min) segundo(s)

hora(h)

: 24

×60

: 60

: 60

Ejemplo 1 ¿A cuántos minutos equivalen 7 horas? Resolución: 7 horas = 7 × 1 hora = 7 × 60 min

Ejemplo 2 ¿ A cuántos segundos equivalen 3 horas? Resolución: 3 horas = 3 × 1 hora = 3 × 3 600 s

= 10 800

= 420 min \

1h = 1 min ....(2) 60 Reemplazamos (2) en (1):

\

\

7 h = 420 min

Ejemplo 3 ¿A cuántas horas equivalen 150 minutos? Resolución: 150 minutos = 150 × 1 minuto ....(1) Sabemos que: 1 h = 60 min Þ 1 h = 60 × 1 min

1h 150 min = 150 × = 2,5 h 60 150 min = 2,5 h

= 2 meses = 3 meses = 6 meses = 5 años = 10 años = 100 años

3 h = 10 800 s

Ejemplo 4 ¿A cuántas horas equivalen 11 520 segundos? Resolución: 11 520 s = 11 520 × 1s ...(1)

Sabemos que: 1 h = 3 600 s Þ 1 h = 3 600 x 1 s 1h =1s 3 600

...(2)

Reemplazamos (2) en (1) 11 520 s = 11 520 × \

1h 3 600

= 3,2 h

11 520 s = 3,2 h


345

Manuel Coveñas Naquiche Realiza las siguientes operaciones: a)

17h 35 min + 4h 18 min

b)

21 h 53 min

d)

23 h 40 min 8h 15 min 15 h 25 min

68 h 27 min + 32h 20 min 100 h 47 min

Cuando el número de minutos es mayor de 60 se procede a operar de la manera siguiente: 76 min = 60 min + 16 min 1424 3 1h

8 h 56 min + 3 h 20 min 11 h 76 min

76 min = 1 h 16 min

Luego: 11 h

c)

76 min = 11 h

1 h 16 min

\ 11 h 76 min = 12 h 16 min

e)

12 h 38 min 40 s + 3 h 43 min 52 s

Cuando el número de segundos es mayor de 60 se procede a operar de la manera siguiente: 92 s = 60 s + 32 s 123 1 min

15 h 81 min 92 s 15 h 81 min 92 s =

15 h 81 min

1 min 32 s

=

15 h 82 min

32 s

82 min = 1 60 min 42 4 3 + 22 min 1h

=

15 h 1 h 22 min 32 s

\

15 h 81 min 92 s = 16 h 22 min 32 s

f)

15 h 24 min 6 h 36 min

En este caso no podemos restar 24 min menos 36 min. Para esto procedemos a operar de la manera siguiente: Descomponemos 15 h como (14 h + 1 h) o (14 h 1 h) 14 1 h 24 min 6 h 36 min

14 h 84 min 6 h 36 min \

346

8 h 48 min


82 min = 1 h 22 min

14 h 60 min 24 min 6 h 36 min

Sexto grado de primaria g)

46 h 23 min 16s 25 h 47 min 54s

En este caso no podemos restar 16 s menos 54 s, para esto procedemos a operar de la manera siguiente: Descomponemos

23 min = 22 min 1 min

60 s 46 h 22 min 25 h

1 min

47 min

16 s 54 s

46 h 22 min 76 s 25 h 47 min 54 s

Nuevamente nos encontramos con el problema que no se puede restar 22 min menos 47 min. Para esto procedemos de la manera siguiente: Descomponemos:

46 h = 45 h 1 h 45 h 1 h 22 min 76 s 25 h 47 min 54 s

®

45 h 82 min 76 s 25 h 47 min 54 s \ 20 h 35 min 22 s

Taller de ejercicios 100 1 Resuelve y completa los siguientes ejercicios: a) ¿A cuántos minutos equivalen 7,4 horas? Resolución:

b) ¿A cuántos segundos equivalen 15,6 horas? Resolución:

c ) Realiza la siguiente operación:

d) Realiza la siguiente operación:

13 h 56 min + 3 h 42 min

24 h 14 min – 6 h 27 min


347


e) Realiza la siguiente operación:

f) Realiza la siguiente operación:

12 h 45 min 53 s + 4 h 23 min 42 s

2

32 h 24 min 13 s 14 h 52 min 48 s

Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades:

a) 37 h =........................ min

e) 23 min = ...................... s

i) 25 días = ................. min

b) 12 h =........................ min

f) 16 min = ....................... s

j) 4 días = ....................... s

c) 25 h = ........................ min

g) 8 días = ........................ h

k) 3 lustros = ............. años

d) 7 h = ............................. s

h) 6 días = ................... min

l) 4 décadas = ........... años

3

Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades:

a) 540 s = ...................... min

f) 162 000 s = ................... h

k) 24 meses = ..... semestres

b) 420 s = ...................... min

g) 75 600 s = .................... h

l) 504 días = .......... semana

c) 720 min = ...................... h

h) 168 h = ................... días

m) 40 años = ........... lustros

d) 1 440 min = ................... h

i) 312 h = .................... días

n) 1 176 días = .... semanas

e) 1 920 min = ................... h

j) 48 meses = ...... bimestres

o) 50 años = ......... décadas

4

Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a)

28 h 23 min + 45 h 57 min

b)

16 h 48 min + 18 h 24 min

c)

73 h 51 min + 6 h 43 min

d)

26 h 47 min + 6 h 43 min

e)

47 h 15 min 12 h 25 min

f)

68 h 25 min 45 h 57 min

g)

35 h 26 min 16 h 45 min

h)

41 h 16 min 2 h 27 min

348


Sexto grado de primaria 5 Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: a)

7 h 40 min 26 s + 3 h 30 min 47 s

b)

12 h 24 min 36 s + 4 h 36 min 48 s

c)

9 h 39 min 43 s + 8 h 40 min 20 s

10 h 15 min 12 s 4 h 20 min 18 s

e)

18 h 26 min 32 s 9 h 39 min 47 s

f)

29 h 16 min 40 s 8 h 20 min 47 s

d)

6


a)

Una máquina produce 27 tornillos por minuto. ¿Cuántos tornillos producirá en 8,5 h?

b)

Convertimos las 8,5 h a minutos.

Un disco da 180 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará en 12 segundos? Resolución: 180 vueltas por minuto

8,5 h = 8,5

En 1 s dará:

Resolución: ×

180 vueltas 60 En 1 s dará 3 vueltas Luego: En 12 segundos dará: 12 × 3 vueltas = 36 vueltas

1 h = 8,5 × 60 min

8,5 h = 510 min Luego: Si en 1 min produce 27 tornillos, en 510 minutos producirá: 510 x 27 tornillos = 13 770 tornillos \ c)

\ En 12 segundos el disco dará 36 vueltas.

En 8,5 h producirá 13 770 tornillos.

Manolito sale de su casa a las 11 h 20 min y regresa a las 17 h 52 min. ¿Cuánto tiempo estuvo fuera de su casa? Resolución:

d)

Un ómnibus interprovincial sale de Lima a las 16 h 30 min con dirección a Piura. Si durante el viaje se emplearon 12 h 40 min, ¿a qué hora llegó a Piura? Resolución:

Rpta.

6 h 32 min

R pt a . Llegó a Piura a las 5 de la mañana con 10 min del día siguiente.


349


Razona: Se tiene una hoja de papel de forma cuadra da. Si se corta por la mitad formando dos rec tángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es 18 cm. ¿Cuál es el perímetro de la hoja original?

Rpta. 24 cm

Razona:

¿Cuántos cubos tiene la figura que se muestra a con tinuación, si ella ha sido construida con cubos de igual tamaño?

350




7 de una carretera de 9 180 km. ¿Cuántos metros falta reparar? Se ha reparado los

A) 60 000 m D) 8 000 m 2

I. II. III. IV.

B) 40 000 m C) 4 000 m E) N.A.

Una soga cuya medida es 16 198 m. Se divide en 7 pedazos de igual longitud, ¿cuál es la longitud en hm de cada peda zo?

A) 0 6

Un agricultor mide las líneas que rodean un terreno rectangular. La longitud del lado más largo del rectángulo es 35,47 dam y la longitud del lado más corto 424 dm. ¿Cuál es la medida total que rodea al te rreno expresado en metros? A) 794,2 m B) 664,2 m C) 1 024,26 m D) 800 m E) Faltan datos

4

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

La fachada de un edificio está formada por 144 paneles cuadrados de cristal de 2 m de lado. ¿Qué superficie tiene la fa chada expresada en dam 2 ? A) 0,576 dam 2 B) 57,6 dam 2 C) 0,5 dam 2 D) 14,4 dam 2 E) 5,76 dam 2

A) 23,14 hm B) 234,4 hm C) 231,4 hm D) 2 344 hm E) 2,314 hm 3

5 dam 2 = 50m 2 1 700 m 2 = 17 000 000 cm 2 150 m 2 = 1,5 dm 2 8 cm 2 = 800 mm 2

7

El m 2 de un terreno cuesta S/. 50. Si el terreno mide 18 ha, ¿cuál es el precio to tal del terreno? A) S/. 900 B) S/. 1 050 C) S/. 7 500 D) S/. 9 000 000 E) S/. 90 000

8

En la figura ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro. Si CD = AC y ade más el cuadrilátero ACDE tiene 20 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro del pen tágono ABCDE?

Un trailer sale de la minera “Yanacocha” con 13 toneladas de oro distribuidos en 65 cajas de igual capacidad. ¿Qué cantidad de oro hay en cada caja? A) 2 × 10 2 g D) 2 × 10 5 g

9

B) 2 × 10 3 g E) 2 × 10 7 g

C) 2 000 g

Calcular el volumen en m 3 de una sala cuyas medidas son: 15 m de largo, 4 m de ancho y 327 cm de alto. A) 180 m 3 B) 1 962 m 3 C) 196,2 m 3 D) 180,62 m 3 E) 1 960 m 3

A) 30 cm B) 26 cm C) 32 cm D) 28 cm E) 40 cm 5

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

10 PRONAA compra 120 toneladas de avena para ser distribuidos a los alumnos en bol sitas de 1,5 kg. ¿Cuántos costales se ne cesitan para guardar toda la avena, si en cada uno entran 250 bolsitas de avena? A) 320 D) 800

B) 400 E) 300

C) 1 000


351


Diego tiene un bidón de 50 litros de vino; si todo el contenido del bidon los envasa en botellas que tienen una capacidad de 625 cm 3 . ¿Cuántas botellas seran necesarias? A) 40 D) 80

B) 120 E) 60

Nivel II 1

C) 50

12 Los alumnos del 6° A del colegio “Enrique Pestalozzi” van de paseo a Chosica, a la ida se demoraron 1h 29 min 34 s; de re greso 1h 48 min 28 s. ¿Qué tiempo les tomo ir y venir de Chosica?

A) 1 249 m D) 1 159 m 2

A) 2h 18 min 62 s B) 3h 18 min 2 s C) 3h 18 min 32 s D) 2h 18 min 22 s E) N.A. 13 El tren que viaja de Villa de la Hormiga a Villa de la Cebra sale a las 12 : 40. Si el

Desde mi casa al instituto hay 7 hectó metros, 3 decámetros y 5 metros; desde el instituto a la plaza de la Concordia 0,6 kilómetros, 5 decámetros y 4 metros. ¿Qué distancia tengo que recorrer para ir de mi casa a la plaza si tengo que pasar forzosamente por el instituto?

3

B) 1 279 m C) 1 389 m E) 1 369 m

La cabeza de un lagarto mide 0,04 dam, la cola mide como la cabeza más medio cuerpo, y el cuerpo es igual a la cabeza más la cola. ¿Cuánto mide el lagarto? A) 160 cm B) 280 cm C) 320 cm D) 400 cm E) 360 cm En la siguiente figura hallar el perímetro de la región pintada.

3 viaje dura 1 horas. ¿A qué hora llega el 4 tren a Villa de la Cebra?

A) 13 : 55 D) 14 : 55

B) 14 : 25 E) 15 : 55

C) 14 : 35

14 Se tienen dos tanques de distintas capaci dades: en el 1.° se depositan 200 000 cm 3 3 de agua cubriendo del tanque, en el 2.° 7 se depositan 700 000 cm 3 cubriendo los 3 del tanque. Calcular la suma de las 4 capacidades totales de ambos tanques. A) 1 200 l B) 1 400 l C) 1 500 l D) 1 700 l E) 1 800 l

15 Una sirena suena cada 420 segundos y otra cada 660 segundos; si a las 4 de la mañana han coincidido sonando las dos, ¿a qué hora volverán a sonar otra vez jun tas? A) 4h 17 min B) 5 h 17 min C) 4 h 27 min D) 5 h 27 min E) 6 h 17 min

352


A) 2,64 dam B) 2,64 km C) 0,264 dam D) 2 640 m E) 26,4 dam 4

La huerta de Julio está sembrada de fre sas y manzanas, tal como se muestra en la figura.

Si las manzanas ocupan la zona roja, ¿cuál es su área? Nota: p = 3,14 A) 60 m 2 B) 70,16 m 2 C) 69,66 m 2 2 D) 50,46 m E) 69 m 2


En una semana Ruth cosechó tomates 2 de su terreno. Si su terreno está 3 limitado por un cuadrado cuyo lado mide 48 m, ¿cuántas ha falta cosechar?

en los

6

A) 0,768 B) 7,68 C) 76,8 D) 768 E) 0,076 8 Se vacían 4 barriles con 630; 720; 450; y 360 litros de vino, en envases de igual ca pacidad; de modo que por cada barril sal ga un número entero de envases y que dicho número sea el menor posible. ¿Cuántos cm 3 contiene cada envase? A) 9 × 106 cm 3 B) 9 × 10 3 cm 3 C) 9 × 10 2 cm 3

7

11

12

B) 0,21 E) 2,1

C) 0,0021 13

8 Rubén compró 56 litros de aceite, derramó cierta cantidad y el resto lo lleno en botellas 1 de litro. Si vende el litro a S/. 5,6 obtenien 4 do en total S/. 252, ¿cuántos litros derramó?

A) 10 l D) 11 l 9

B) 8 l E) 12 l

B) 315 E) 350

1 4 13 de de de 1h 2 5 10

B) II

C) III

D) IV

E) V

Dos autos parten simultáneamente del mismo punto, pero en sentidos opuestos. El primero a razón de 50 km/h y el segun do a razón de 40 km/h. ¿Cuánto tardaron para estar separados 210 km?

En un laboratorio trabajan un físico, un químico y un biólogo en horas de la tarde. – El físico de 12 m a 16 p.m. – El químico de 13 p.m a 15 p.m. – El biólogo de 14 p.m. a 17 p.m. Determine, ¿cuántos segundos estan los tres juntos? A) 3 600 s B) 600 s C) 60 s D) 360 s E) N.A. En un recipiente hay 3 × 10 4 cm 3 y en otro 74 × 10 3 cm 3 , ¿cuántos litros de ben ser transferidos del segundo recipien te al primero, de manera que los conteni dos se encuentran en la región de 3 a 5. A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 12

C) 5 l Clave de respuestas

Un vaso tiene 0,3 l de capacidad . Si com pro para mi cumpleaños 3 docenas y media de gaseosas “Inca Kola” de 2,5l cada una, ¿cuánto vasos de gaseoas puede ofrecer a mis invitados con el con tenido de todas las botellas? A) 300 D) 290

V.

A) 1h 10 min B) 1h 4 min C) 2h 10 min D) 2h 20 min E) N.A.

Alejandro ha cosechado 17 562 kg de papas; la mitad las vende a un supermercado, el resto los llena en sacos de 40 kg y lo que le sobra lo regala al comedor popular de su pueblo. ¿Cuántas toneladas regaló? A) 21 D) 0,021

El 5% de 30 min El 10% del 30% de 20 min. El 0,4% de 4h 10’ El 8% de 7500 s

A) I

D) 9 × 10 9 cm 3

E) 9 × 10 4 cm 3

I. II. III. IV.

C) 400

10 ¿Cuál de las siguientes expresiones indi ca el mayor tiempo?

Nivel I 1. B 5. C 9. C 13. B

2. A 6. E 10. A 14. B

3.A 7. D 11. D 15. B

4. B 8. D 12. B

Nivel II 1. C 5. E 9. E 13. D

2. C 6. E 10. E

3. C 7. D 11. D

4. C 8. D 12. A


353


Geometría

7 •

Conceptos básicos

Introducción Un carpintero fabrica un ropero con las medidas que se indican: B

E

C

B

C P

Un octavo de vuelta

Un octavo de vuelta

R

170 cm

F

A 35 cm

D

A

D Q

60 cm

S

a) Si se abren las puertas haciéndolas girar un octavo de vuelta se puede pensar en dos figuras geométricas: B

C

B

C

P R

¿Cómo se llaman las figuras geométricas? b) Por haber girado ambas puertas un octavo de vuelta, las figuras geométricas reciben un nombre especial, ¿cuál es? c ) Si se hace girar un cuarto de vuelta a una puerta, pensamos en una figura geométrica especial, ¿qué nombre recibe? d) Los giros de ambas puertas pueden sumar, en algún momento, un cuarto de vuelta, ¿las figuras geométricas reciben un nombre especial? e) Los bordes de las puertas nos hacen pensar en otra figura geométrica, ¿cómo se llama esa figura geométrica? d) Si las puertas se extienden ilimitadamente en todas direcciones y las imaginamos sin espesor, pensamos en otra figura geométrica, ¿cómo se llama esa figura geométrica? Sexto Grado de Primaria

357

Manuel Coveñas Naquiche A los puntos se les representa con letras mayúsculas

Punto A

Q

N

P

A

Punto P

Punto N

Punto Q

Punto sobre una recta o un plano Cuando un punto se encuentra sobre una recta o sobre un plano se dice que el punto pertenece (Î) a la recta o al plano. L

B

A

La notación A L se lee: “el punto A pertenece a la recta L”.

AÎL

B

La notación B

P

P se lee: “el punto B

pertenece al plano P”.

Recta contenida en el plano Una recta se encuentra contenida (o pertenece) a un plano, cuando sus puntos se encuentran sobre el plano. L

LÌ

®

La notación L Ì P se lee: “la recta L se encuentra contenida en el plano P”.

P

Intersección de dos rectas Dos rectas se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto común. L

L1

La notación L Ç L 1 = {A} se lee: la recta L se interseca con la recta L1 en el punto A.

A L

Ç L1={A}

Intersección de una recta y un plano Una recta y un plano se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto en común.

A

L Ç

358

P ={A}


La notación L Ç P= {A} se lee: la recta L se interseca con el plano P en el punto A.



Designa de tres diferentes formas cada una de las 9 rectas que se observan en la figura. Designación

L

C

L2 L1

B

D

r

n

E

P

F m

G

A Q

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

R

CD

L

DC

Relaciona correctamente los símbolos Î, Ï, Ì , Ë , en cada uno de los casos, de acuerdo a la figura que se muestra. AB ......... ......... PP AB m .......... .......... PP m Q m .......... .......... Q Q m L1 L M M .......... .......... Q Q M D B ........... LL AA ........... F N D D ........... ........... PP A N N ........... ........... Q Q D ........... L D ........... L 1 m FF ............ ............ PP FF ............ ............ LL1

Semirrecta Sobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta en dos partes, cada parte se llama semirrecta. La semirrecta no considera al punto A. El punto A se llama origen o frontera. A C

L B Origen

Semirrecta

AB

Semirrecta

AC

Rayo Sobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta en dos partes, cada parte se llama rayo. El rayo sí considera al punto A. El punto A se llama origen. C

A

B Origen

L

Rayo AB Rayo AC


359


•

Segmento de recta

Definición Se llama segmento a una porción de la línea recta comprendida entre dos puntos. Un segmento se representa por dos letras mayúsculas, que se ponen en sus extremos, con una rayita en la parte superior. AB se lee: segmento AB

A

B

AB = BA

Longitud o medida de un segmento La longitud de un segmento es la distancia que existe entre los puntos que son sus extremos.

A 0

B 1

2

3

4

5 cm

Al medir el segmento con una regla graduada en centímetros, comprobamos que su medida es de 4 cm.

e j

m AB = 4 cm AB = 4 cm

Atención

¿Qué significa AB , AB o m AB ? Cuando escribimos AB nos estamos refiriendo al segmento como figura geométrica. Cuando escribimos AB o m AB nos estamos refiriendo a la longitud o medida del segmento..

3 cm

Congruencia de segmentos A

Dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud.

B

@

3 cm P

Q

AB @ PQ

AB @ PQ se lee: “el segmento AB es congruente al segmento PQ ”.

AB @ PQ Û AB = PQ se lee: “el segmento AB es congruente al segmento PQ si y sólo si la longitud del

segmento AB es igual a la longitud del segmento PQ ”.

Punto medio de un segmento Se llama punto medio de un segmento, al punto que divide al segmento en dos segmentos parciales congruentes. A

3 cm

M

3 cm Punto medio

B

AM @ MB

Comparación de segmentos Dos segmentos se comparan según su longitud. a) Observamos que la longitud del segmento AB es mayor que la longitud del segmento PQ . AB > PQ b) Observamos que las longitudes de los segmentos DE y MN son iguales, entonces son congruentes. DE @ MN

360


A 5 cm B P D

M

3 cm

Q 6 cm

E

6 cm

N

Sexto grado de primaria 4 cm

c) Observamos que los segmentos AB y BC tienen igual longi-

A

tud, entonces B es el punto medio del segmento AC .

4 cm B

C

Taller de ejercicios 102 1 Mide cada uno de los segmentos con una regla graduada en centímetros y compáralos poniendo los signos < , > , @ , según corresponda.

C

P

B

Q R

D

S A

L

M J

N

K

AB ......... BC

<

BC ......... RS

AB ......... CD

PQ ......... MN

PQ ......... RS

BC ......... RS

RS ......... MN

CD ......... LM

CD ......... PQ

AB ......... JK

@

Operaciones con segmentos Las operaciones con segmentos se realizan con los números que representan sus longitudes.

2 cm A Suma

3 cm B

Resta

4 cm C

D

Multiplicación

AB + BD = 2 cm + 7 cm

BC = BD - CD

ABxBC = 2 cm x 3 cm

AB + BD = 9cm

BC = 7 cm - 4 cm

ABxBC = 6 cm2

BC = 3 cm

División CD 4 cm = AB 2 cm CD =2 AB


361


Problemas resueltos Eje rcic io 1 En la figura, AB = 2 cm, BC = 3 cm y CD = 5 cm. Halla AD.

Sobre segmentos Eje rcic io 3 En la figura los segmentos AB y BC son congruentes. Halla el valor de “x”.

x+2

A

B

C

A) 8 cm D) 14 cm Resolución:

C) 12 cm

3 cm

A

C

D

Usando la suma de segmentos. AD = AB + BC + CD

B

B

B) 4 E) 3

AD = 10 cm

B

A) 14 cm D) 8 cm

Ejercicio

Rpta. B

C B) 10 cm E) 12 cm

2 cm

3 cm B

B

4

2

362

AB = BC


C

A) 1 D) 4

D

B) 2 E) 0,5

2 A

D

Recuerda que punto medio de un segmento es el punto que divide al segmento en dos partes congruentes.

AB @ BC

4

B

C) 3

C

x

4

B

C

D

Resolución: Del dato: AC · CD = 20 ........ (1) De la figura: AC = 2 + x CD = 4 Reemplazando en (1) : (2 + x).4 = 20 20 4 2+x=5 x=5-2 2+x =

Rpta. D

B

x

A

Atención

A

Rpta. D

Calcula “x” en la figura, si AC · CD = 20.

C) 6 cm

Como nos dicen que C es punto medio de BD ten-dremos que: BC = CD = 3 cm Entonces: AD = 2 cm + 3 cm + 3cm AD = 8 cm

x=6

D

3 cm C

AB = BC x+2=8 x=8-2

C

\

Resolución:

Entonces:

C) 5

8

B

Eje rcic io 2 En la figura, C es punto medio de BD AB = 2 cm y CD = 3 cm. Halla AD.

A

x+2 A

AD = 2 cm + 3 cm + 5 cm

\

A) 2 D) 6

C

Al ser AB y BC congruentes, tienen igual longitud.

5 cm

B

A

B

Resolución:

2 cm

\

A

D

B) 10 cm E) 5 cm

8

\

Eje rcic io 5 AD = 40. A) 8 D) 4

Punto medio

En la figura encontrar “x”, si B) 2 E) 5

x A

x = 3 Rpta. C

C) 3

3x B

4x C

D

Sexto grado de primaria Resolución:

x

A

3x

Eje rcic io 8 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de modo que AB = 6, BC = 8, se toman los puntos medios M de AB y N de BC . Halla MN. A) 6 B) 7 C) 4 D) 5 E) 3

4x

B

C

D

40 De la figura: x + 3x + 4x = 40 8x = 40 x= \

Eje rcic io

Resolución:

40 8 x=5

a A

Rpta. E

6

Calcula “x” en la figura, si 1 x 4 A B C D

AC BD = . 2 3

A) 5 D) 2

B) 4 E) 1

a M 6

Al ser M punto medio de AB , se cumple: AM = MB = a Ahora:

2a = 6 a=

BN = NC = d Ahora:

2d = 8 d=

3x - 2x = 8 - 3 Þ x = 5 Rpta. A

3 + 3x = 2x+8

Eje rcic io 7 Encuentra “x” en la figura, siendo Q punto medio del segmento PR .

2x+5

x+12 Q

R

B) 6 E) 8

MN = 7 Rpta. B

2x+5

Eje rcic io 9 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = 2x, BC = 6, CD = 4x, AD = 30. Halla “x”. 2x

C) 5

A

6 B

4x C

D

30

A) 4 D) 1

Resolución:

x+12 Q

R

Al ser Q punto medio del segmento PR se cumple: PQ = QR 2x + 5 = x + 12 2x - x = 12 - 5 x=7

8 Þ d=4 2

Reemplazando: a = 3 y d = 4 MN = 3 + 4 \

\

6 Þ a=3 2

De la figura: MN = a + d

3(1 + x) = 2(x + 4)

P

C

Como N es punto medio de BC se cumple:

1+ x x + 4 = 2 3

A) 3 D) 7

d N 8

C) 3

Resolución: AC BD = ......(1) Usando el dato: 2 3 De la figura: AC = 1 + x BD = x + 4 Reemplazando en (1):

P

d B

Rpta. D

B) 2 E) 5

Resolución: De la figura: 2x + 6 + 4x = 30 6x + 6 = 30 6x = 30 - 6

C) 3

6x = 24 x=

24 6

Þ x = 4 Rpta. A


363

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 1 0 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB=BD=3CD, AD = 18. Halla CD. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución: Damos el valor de “x” al segmento pedido CD. x 2x A B C D

BC = 3x - x = 2x Como: AB = BD =

AD 2

B

18

18 3x = 2 3x = 9 9 x= 3 \ x = 3 Rpta. C

Del dato: AB = BD = 3 CD AB = BD = 3x ........ (1) BC = BD - CD ....... (2) (1) en (2):

Taller de ejercicios 103 En los ejercicios que se dan a continuación, encuentra el valor de “x”. 1

2

BC @ CD x A

NP @ PQ

3x B

C

x

D

M

2x - 3 N

15 P

Q

28

Rpta. x=4 3

4

AB @ BC

4x A

B


AB @ MN

3x+4

16 C

Rpta. x=4

364

Rpta. x=9

A

x+14 B M

N

Rpta. x=5


4

5 P

5 Q

6 R

6

S

AB @ BC

5

A

PQ + RS x= QR

B

C

x+5

Rpta. x=12 8

AB @ MN @ PQ

A

2y B M

A

y+7 NP

2x

8 B

x C

x

10 A

B

C

Rpta. x=7 10

14 D

AC BD = 3 4

D

29

Q

Rpta. x=9 9

D

x= 2AB+BC-CD

Rpta. x=2 7

3

6 M

8 N

x P

Q

3MP = 2NQ

Rpta. x=2

Rpta. x=13


365


•

Ángulo B

La do

Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que parten del mismo punto. Los principales elementos de un ángulo son: Lados. Son los dos rayos. Vértice. Es el punto de donde parten los dos lados. Elementos:

Vértice

Lados: OA y OB Vértice: O

O

Lado

A

Designación de un ángulo Un ángulo se puede designar de cualquiera de las siguientes formas: 1: Con tres letras, dos letras que se encuentran sobre los lados y la letra del vértice en el medio. 2: Con la letra del vértice. 3: Con un número o una letra, generalmente con las letras del alfabeto griego.

B

Designación Ángulo AOB Ð) AOB

O

AOB Ð) O

A

Medida de un ángulo Los ángulos se miden en grados sexagesimales (°). La medida de un ángulo se encuentra usando un instrumento llamado transportador.

B

60°: sesenta grados sexagesimales m Ð) AOB = 60°

60°

m Ð) AOB

O

Se lee: medida del ángulo AOB.

A

Cuando no se conoce la medida de un ángulo se acostumbra escribir una variable (generalmente una letra griega) en la abertura, para indicar su medida. Algunas letras del alfabeto griego son:

M

B

a A

m Ð) AOB = a SeSe lee: lee: medida del ángulo AOB igual a “alfa”

366

b

O


P

Q

m Ð) MPQ = b

SeSe lee: lee: medida del ángulo MPQ igual a “beta”

Sí mbo lo

Nombre

a b g

alfa beta gamma theta pi

q p

s f

w

sigma phi omega


Empleo del transportador El transportador es un instrumento que sirve para medir o trazar ángulos.

B

B

1°

90° 45°

A

C

A

180°

0°

C

2° 3°

Observa cómo se mide el ángulo BAC con el transportador. Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice A del ángulo. Se hace pasar un lado del ángulo por la medida 0° del transportador. Se identifica en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Ese número es la medida del ángulo en grados. m( Ð) BAC) = 45°


Observa estos ángulos y completa la tabla.

A

R

B

Q

P

O K

Nombre del ángulo

Vé rt ic e

Lados

Ángulo AOB

O

OA y OB

Q N

J

L

P

M

O Q

Congruencia de ángulos Se dice que dos ángulos son congruentes cuando sus medidas son iguales. Ejemplo: Al medir con tu transportador encontrarás que: m Ð) AOB = 45° y también m Ð) PQR = 45° Luego: Ð) AOB @ Ð) PQR con el ángulo PQR”.

A

45° O

B

Se lee: “El ángulo AOB es congruente

P

45° Q

R


367


Bisectriz de un ángulo Es el rayo que, partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Ejemplo: A OP divide al Ð) AOB en dos ángulos AOP y POB que son congruentes por tener la misma medida:“ a ”. Luego: P

O

a a

OP es bisectriz del Ð) AOB

B

¿Cómo trazar una bisectriz utilizando sólo regla y compás? A Por ejemplo, deseamos trazar la bisectriz del ángulo ABC. Se procede de la siguiente manera:

C

B 1°. paso: Ubica la punta del compás en el vértice B y con una abertura que elijas, dibuja un arco que cortará a ambos lados en M y N.

2°. paso: Con la punta del compás en M y luego en N, con la misma abertura, dibuja dos arcos que se cortarán en P.

A

A

A N

N

B

3°. paso: Une el vértice B con el punto “P” y obtendrás la bisectriz BP del Ð) ABC.

N

P

P

C

B

M

M

B

C

M

C

Clasificación de los ángulos según su medida 1. Ángulo nulo. Cuando sus dos lados coinciden, su medida es 0°.

O

B

A

m Ð) AOB = 0°

B 2. Ángulo agudo. Su medida es menor que 90°. B

90°

m Ð) AOB < 90°

180°

O

0° A

O

A 3. Ángulo recto. Su medida es igual a 90°.

B

B

A

m Ð) AOB = 90°

90° O

368

B


O

El cuadradito indica que el ángulo mide 90° A

90°

180°

O

0° A

Sexto grado de primaria 4. Ángulo obtuso. Su medida es mayor que 90°, pero menor que 180°.

B

90°

180°

O

B m Ð) AOB > 90° m Ð) AOB < 180°

A

O

5. Ángulo llano. Cuando mide 180°.

0° A

90°

180°

m Ð) AOB = 180°

A

O

B

B 180°

90°

6. Ángulo de una vuelta. Este ángulo mide 360°. 180° O

B

A

0° A

O

0°

O

360°

m Ð) AOB = 360°

B A

270°

7. Ángulo no convexo. Su medida es mayor que 180° y menor que 360°. 90°

B O

180°< m Ð) AOB < 360°

180°

A

O

0° 360°

A

270°

B 8. Ángulos convexos. Se llama así a los ángulos agudo, recto y obtuso. 0°< m Ð) Convexo < 180°

Clasificación de los ángulos según sus características 1. Ángulos complementarios. Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

m Ð) A + m Ð) B = 90°

A

B Sexto Grado de Primaria

369

Manuel Coveñas Naquiche 2. Ángulos suplementarios. Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°.

N m Ð) M + m Ð) N= 180°

M 3. Ángulos adyacentes. Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio. B A Los ángulos AOB y BOC son adyacentes. Lado común

Vértice común

C O 4. Ángulos consecutivos. Son dos o más ángulos adyacentes.

B

A

C O

Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos.

D

5. Ángulos adyacentes suplementarios. Son dos ángulos adyacentes y suplementarios.

B m Ð) AOB + m Ð) BOC = 180°

A

O

C

6. Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos, en los cuales, los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro. Estos dos ángulos son congruentes.

B

A1

m Ð) AOB = m Ð) A1 O B1

O B1

A

Complemento de un ángulo El complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 90°. Sea la medida de un ángulo igual a 42°. Su complemento es: Complemento de 42° = 90° - 42° = 48° En General \ Complemento de 42° = 48°

Se simboliza: C42°=48°

370


Si f es la medida de un ángulo, su complemento es: C f =90o - f


Suplemento de un ángulo Es lo que le falta al ángulo para ser igual a 180°. En General Sea la medida de un ángulo igual a 72°. Su suplemento es: Si es la medida de un ángulo, su Suplemento de 72° = 180° - 72° = 108° suplemento es: \ Suplemento de 72° = 108° S =180o Se simboliza: S72° = 108°


Observa los ángulos de la figura, luego clasifícalos según su medida.

M

agudo Ð) AOB es ......................... Ð) BOD es ......................... Ð) BOC es ....................... con el Ð) EOF Ð) DOE es ....................... con el Ð) AOB Ð) AOB es ....................... con el Ð) BOD Ð) COF es ......................... Ð) BOM es ........................ Ð) AOB, Ð) BOC y COM son .......................

D

C E O

B

F

A

2

Mide con un transportador cada uno de los ángulos y escribe sus medidas. B

O

M

D

E

A

N

F

Q

J R

K

L

60° m Ð) AOB = .................................. m Ð) DEF = ............................... m Ð) MNQ = ................................

S

T

m Ð) JKL = ................................... m Ð) RST = ...................................


371

Manuel Coveñas Naquiche Propiedad del ángulo recto Si un ángulo recto se divide en varios ángulos consecutivos, todos ellos suman 90°. B N B 90° N M f a + b + f = 90° ® M b a 180° 0° A O O A Propiedad del ángulo llano Si un ángulo llano se divide en varios ángulos consecutivos, todos ellos sumarán 180°.

B

C

90°

C

B A 180°

b

0° D

O

g

a

A

®

a + b + g = 180°

®

a + b + q + g = 360°

D

O

Propiedad del ángulo de una vuelta Los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360°. 90°

b 0° 360°

180°

q

a

g

270°

•

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Rectas oblicuas Dos rectas en un plano son oblicuas cuando al cortarse forman cuatro ángulos diferentes de un ángulo recto.

L

Nota

L1 L

372


L1

L

L1

Se lee: La recta L es oblicua a la recta L1.


Rectas perpendiculares Dos rectas en un plano son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos que miden 90° cada uno.

L1

Nota

L

L L1

L

L1

Se lee: La recta L es perpendicular a la recta L1.

Rectas paralelas Dos rectas en un plano son paralelas cuando, por más que se prolonguen, no llegan a cortarse.

L

Nota

L1

L

L

L1

L1 Se lee: La recta L es paralela a la recta L1.

Trazar rectas perpendiculares Para trazar dos rectas perpendiculares utiliza tu regla y escuadra. Por ejemplo, si deseas trazar una recta L2 perpendicular a una recta dada L1 sigue estos pasos: Paso 1

Paso 3

Paso 2

L 2

L 1

L 1

L 1

L 2

L 1

Trazar rectas paralelas Para trazar una recta L1, paralela a una recta dada L, procede de la siguiente manera: Paso 1

Paso 3

Paso 2

L

L

L

L1


373


Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 Halla la medida del ángulo AOC, si m Ð) AOB = 10° y m Ð) BOC = 50°. A) 70° B) 80° C) 40° D) 60° E) 30°

C B O

Sobre ángulos

Eje rcic io

C

\ m Ð) AOC = 60° Rpta. D

B 50° 10°

A

Eje rcic io 2 Determina la medida del ángulo AOB, si m Ð) AOC = 140° y m Ð) BOC = 80°.

Eje rcic io figura. A) 50° B) 40° C) 20° D) 30° E) 60°

Observamos en la figura: x + 80° = 140° x = 140° - 80° \ x = 60° Rpta. B

Encuentra el valor de “x” en la

A

130° + x = 180°

O

x = 180° - 130°

D

\ x = 50° Rpta. D

5 Encuentra el valor de “x”. B

B) 40° 120°

C) 30°


C

D

Resolución: Los cuatro ángulos de la figura se encuentran alrededor del punto O, entonces:

B 120° + x + 110° + 90°

C x

O

x

O 110°

A

D) 50°

B 10°

D

60° + x + 70° = 180°

E) 60°

120°

30°

D

Resolución: Al observar la figura vemos que el ángulo dado es recto, entonces:

374

O

A

70°

Eje rcic io

C 3

70°

A) 20°

140°

O

C

60°

60°

C

D

x

x

O

80°

30°

En la figura, encuentra “x”.

C

A

B x

x

B

B

Resolución:

A

C

10°

Resolución: En la figura los tres ángulos consecutivos forman un ángulo llano, entonces:

B

A

4

A) 40° B) 80° C) 90° D) 50° E) 30°

Resolución: m Ð) AOC = m Ð) AOB + m Ð) BOC m Ð) AOC = 10° + 50°

A) 30° B) 60° C) 40° D) 50° E) 20°

B

x + 40° = 90° x = 90° - 40° \ x = 50° Rpta. A

O

A

O

A

10° + x + 30° = 90°

O

A

C

x 110°

= 360° x + 320° = 360° x = 360° - 320°

D

\

x = 40° Rpta. B

Sexto grado de primaria Eje rcic io 6 En los ángulos consecutivos AOB y BOC de la figura, se cumple que m Ð) AOB = 50° y m Ð) BOC = 30°, se traza la bisectriz OF del ángulo AOB. Halla m Ð) FOC.

Eje rcic io 8 Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de la figura forman un ángulo de 130°. Halla m Ð) COD. A) 20° B) 15° C) 40° D) 30° E) 45°

A) 25°

A

B) 35° C) 50°

B O

F 25°

B

Bisectriz del Ð) AOB

50°

B

25°

C

Como OF es bisectriz del Ð) AOB: m Ð) AOF = m Ð) FOB =

f

6 f = 130 ° -10 ° 10°+f

O

120 ° 6 f = 20 °

6 f = 120 ° Þ f =

D

\ m Ð) FOC = 55° Rpta. E

Eje rcic io 7 En los ángulos de la figura, m Ð) AOB = m Ð) BOD.

\

A) 10° B) 30°

B C

C) 35°

20°

C) 20° D) 40°

D) 15°

x

E) 15°

B) 25°

O

m Ð) COD = 30° Rpta. D

Eje rcic io 9 En la figura, encuentra el valor de “x”.

Halla el valor de “x”.

E) 20°

6 f + 10 ° = 130 °

Ahora: m Ð) COD = 10° + f Reemplazando f = 20° m Ð) COD = 10° + 20°

m Ð) FOC = 25° + 30°

A

C

\

50 ° = 25 ° 2

Nos piden:

A) 30°

D

4 f + f + 10 ° + f = 130 ° 130°

O

D

90 ° m Ð) AOB = m Ð) BOD = 2 B m Ð) AOB = m Ð) BOD = 45° C 45° Ahora: 20° 20°+x = 45° 45° x x = 45° - 20 ° D \ x = 25° Rpta. B

B

A

C

B

2x 60° 3x 20°

O

A

D E

5x = 180° - 80° 5x = 100° x=

C

2x 60° 3x 20°

Resolución:

Resolución: Como el ángulo O es recto, por dato:

O

10°+f

O

De la figura: A

30°

A

f

C

Resolución: A

C

Resolución:

D) 45° E) 55°

B

A

O

D E

La suma de los cuatro ángulos es igual a 180°. Entonces: 20° + 2x + 60° + 3x = 180° 80° + 5x = 180°

\ x = 20° Rpta. C

100 ° 5 Sexto Grado de Primaria

375

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io A) 10° B) 5° C) 15° D) 25° E) 20°

1 0 Encuentra el valor de “x”.

B

C

2x+30°

70°

O

A

D

Resolución: Los ángulos dados son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. Luego: 2x + 70° = 30° 2x = 70° - 30°

B

70°

2x+30°

O

2x = 40° x=

C

A

40 ° 2 \ x = 20°

D

Rpta. E

Eje rcic io 1 1 Encuentra el suplemento de un ángulo que mide 138°. A) 40° B) 42° C) 36° D) 32° E) 45° Resolución: El suplemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 180°, entonces: Suplemento de 138° = 180° - 138° \ Suplemento de 138° = 42° Rpta. B Eje rcic io 34°. A) 60° D) 56°

1 2 Encuentra el complemento de B) 50° E) 36°

C) 46°

Resolución: El complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 90°, entonces: Complemento de 34° = 90° - 34° \

Complemento de 34° = 56° Rpta. D

Entonces: Complemento de x = 90° - x .......... (1) Del dato: Complemento de x = 48° ............... (2) Reemplazando (1) en (2): 90° - x = 48° 90° - 48° = x \ 42° = x Rpta. C Eje rcic io 1 4 La suma del complemento y del suplemento de un ángulo es igual a 210°. Halla dicho ángulo. A) 30° D) 15°

B) 20° E) 25°

C) 35°

Resolución: Sea “x” la medida de un ángulo. Complemento de x = 90° - x ...........(1) Suplemento de x = 180° - x .............(2) Del dato: Complemento de x + suplemento de x = 210° .............(3) Reemplazando (1) y (2) en (3) 90° - x + 180° - x = 210° 270° - 2x = 210° 60° = 2x

\

60 ° =x 2 x = 30° Rpta. A

Eje rcic io 1 5 Encuentra la medida de un ángulo sabiendo que su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. A) 25° D) 45°

B) 30° E) 40°

C) 35°

Resolución: Sea “x” la medida de un ángulo. Del dato: Suplemento de x =3.x 180° - x = 3x

Eje rcic io 1 3 El complemento de un ángulo es igual a 48°. Halla la medida de dicho ángulo. A) 32° B) 30° C) 42° D) 46° E) 48°

180° = x+3x 180° = 4x

Resolución: Sea “x” la medida de un ángulo.

\ x = 45° Rpta. D

376


180 ° =x 4


Taller de ejercicios 106 En los ejercicios que siguen a continuación encuentra el valor de “x”. 1 .Ð) AOB AOB @ Ð) BOC

A

2 . OM es bisectriz del Ð) AOB. ON es bisectriz del Ð) BOC.

B

C O

N x

C

B M

O

A

Rpta. x = 45°

Rpta. x = 10°

B

3.

4.

C

A

O

A D

x

30°

D

x O

B

140°

C

Rpta. x = 60°

Rpta. x=100°


377


5.

160°

A

O

D

x+90°

B

B

6.

C

x

C

20°

A

O

D

Rpta.: x = 70°

7.

Rpta. x = 160°

8. x+10° 2x

20°+x

60°

3x

x+30°

O

Rpta. x = 20°

378


Rpta. x = 40°


9.

10. 130°

3x x

x

Rpta. x = 22,5°

Rpta. x = 140°

11.

12. x

150°

6x

4x

Rpta.

x = 30°

2x

x

Rpta.

x = 20°


379


Ejercicios de reforzamiento

Nivel I 1

5

En la recta:

En la siguiente figura:

¿Cuál es el valor de x? A) 11 cm B) 10 cm D) 9 cm E) 32 cm 2

AB @ BC @ CD . ¿Cuál es el valor de x + y? A) 11 B) 10 C) 13 D) 14 E) 15 C) 12 cm 6

Los segmentos AB y CD son congruen tes.

Sobre una recta se toman 3 puntos conse cutivos A, B y C de tal manera que BC = 5AB .

Hallar la longitud de AB si AC = 66 cm. A) 8 cm D) 11 cm

¿Cuál es el valor de x? A) 1

3

B) 2

C) 3

7 D) 4

E) 5

En la figura si “M” es punto medio de AB ,

8 3 Hallar de AM 5

C) 10 cm

Sean los puntos colineales y consecuti vos A, B, C y D. Calcular la longitud de AD si: AC = 9 m ; BC = 5 m y BD = 12 m A) 10 m D) 20 m

y además AB = 20 m

B) 9 cm E) 12 cm

B) 18 m E) 23 m

C) 16 m

En la f igura la m S AOC = 147° y m S BOC = 65°

A) 4 m B) 6 m C) 5 m D) 3 m E) 8 m 4 En la figura:

¿Cuánto mide el ángulo AOB? ¿Cuál es la longitud de BC? A) 28 m B) 30 m D) 14 m E) 49 m

380


C) 42 m

A) 91° D) 48°

B) 82° E) 85°

C) 76°


9

13 En la figura mostrada:

En el gráfico siguiente:

¿Cuál es el valor de x? A) 42° B) 70° D) 50° E) 48°

C) 52° el ángulo y es el triple del ángulo x. ¿Cuán to mide el ángulo z?

10 Dada la figura:

A) 96° D) 108°

B) 102° E) 114°

C) 110°

14 Si el complemento de 47° es ab° , en El suplemento de x es: A) 60° B) 30° D) 110° E) 70°

cuentra el suplemento de ba° . C) 40°

A) 150° D) 146°

B) 164° E) 43°

C) 100°

15 Calcular el suplemento del complemento del complemento de 47°.

11 Del siguiente gráfico:

A) 33° D) 47°

B) 133° E) 100°

C) 143°

Nivel II 1 Encuentra el valor de “x” A) 13° B) 10° D) 16° E) 12°

Observe la recta.

C) 15°

¿Cuál es el valor de x? A) 20 cm B) 10 cm D) 6 cm E) 12 cm

12 En la figura b excede a a en 56°,¿cuánto mide b? A) 79° B) 67° C) 74° D) 73° E) 69°

2

C) 8 cm

En la figura los segmentos MN y NP son congruentes.


381


¿Cuál es el valor de x ? A) 8 m D) 9 m 3

B) 5 m E) 10 m

7

En la figura:

C) 11 m

Dada la figura:

La relación AC + BC equivale a: BD 17 A) 10 8 D) 18

4

7 B) 18 17 E) 16

17 C) 18

¿Cuál es el valor de x? A) 10° B) 12° D) 16° E) 18° 8

C) 15°

Del gráfico siguiente:

Del siguiente gráfico, determine la longi tud de BC.

A) 8 cm D) 9 cm

B) 7 cm E) 5 cm

Encuentre el complemento de a A) 24° B) 48° C) 36° D) 66° E) 76°

C) 6 cm

5 Sobre una recta se toman los puntos conse cutivos A, B y C de modo que AB = 12 cm y BC = 18 cm, se toman los puntos medios M

9

Dados los ángulos consecutivos.

de AB y N de BC. Hallar la quinta parte de MN. A) 1 cm D) 3 cm 6

B) 2 cm E) 5 cm

C) 4 cm

A partir de la siguiente figura, hallar 3 (a + b) 7 A) 11° B) 33° C) 22° D) 44° E) 36°

382


¿Cuál es el valor de x? A) 50° B) 80° D) 60° E) 55°

C) 45°

Sexto grado de primaria 10 En la figura:

Si BC = AB +

A)

3 5

7 D) 8

11

14 La suma del complemento y el suplemen to de un ángulo es igual a 244°. Hallar di cho ángulo. A) 22° B) 11° C) 14° D) 16° E) 13°

1 AB AB , halle 2 AC

B)

1 4

C)

2 5

15 El suplemento del complemento de un án gulo es el quíntuple del complemento de dicho ángulo. Para medir igual que un án gulo de una vuelta, al ángulo le falta: A) 270° D) 45°

5 E) 12

1

CD = x m AB = (x + 1)m BC = AB + CD Si el segmento AD mide 42 m, ¿cuánto

En una recta se ubican los puntos conse cutivos M, N, P y Q tal que: NQ = 3(MN) , 2(PQ) = 3(NP) y MQ = 20 m ¿Cuánto mide NP? A) 4 m D) 7 m

2

mide AB ? B) 11 m E) 9 m

C) 12 m

12 En la siguiente figura hallar el valor de x + y (x, y Î ¥ )

A) 5 cm D) 7 cm 3

B) 28° E) 49°

1. A 6. D 11. A 1. C 6. B 11. B

A) 135° D) 125°

B) 98° E) 136°

C) 124°

C) 5 m

B) 6 cm E) 8 cm

C) 9 cm

Hallar el ángulo AOC, sabiendo que AOB; BOC y COD son ángulos consecutivos. Ade más, el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD forman un ángu lo de 90°; y el ángulo BOD mide 88°.

C) 36°

13 En la siguiente figura calcular la m S XOY .

B) 6 m E) 8 m

Sobre una recta se ubican los puntos con secutivos A, B, C y D. Si AC + BD = 8 cm y BC = 2 cm, hallar la longitud del seg mento AD.

A) 81° D) 92° A) 72° D) 27°

C) 60°

Problemas de Olimpiadas

En la figura mostrada:

A) 10 m D) 13 m

B) 300° E) 315°

B) 82° E) 94°

C) 90°

Clave de respuestas Nivel I 2. C 3. B 4. E 7. C 8. B 9. C 12. D 13. D 14. D Nivel II 2. D 3. C 4. B 7. B 8. D 9. D 12. C 13. A 14. E

5. A 10. E 15. B 5. D 10. C 15. B

Problemas de olimpiadas 1. B

2. B

3. D


383


Polígonos

8 El polígono y sus elementos Línea poligonal

Es una línea formada por segmentos de recta, hay líneas poligonales abiertas y cerradas. Líneas poligonales abiertas

Líneas poligonales cerradas

Las líneas poligonales cerradas reciben el nombre de polígono. Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior. El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior. La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de región poligonal.

Frontera

Región exterior

Elementos Lados de un polígono son cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal.

Vértice

Ángulos de un polígono son los ángulos que forman los lados de dicho polígono.

onal Diag

Vértices de un polígono son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas. Este polígono se nombra así: Polígono ABCDE.

Ángulo interior

Ángulo exterior

Lado

Diagonales de un polígono son los segmentos que unen dos vértices no vecinos.


387

Manuel Coveñas Naquiche Los polígonos se nombran según el número de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos. Número de lados

Número de lados

Nombre del polígono

Nombre del polígono

3 4 5 6 7

triángulo cuadrilátero pentágono hexágono u exágono heptágono u eptágono

9 10 11 12 15

nonágono u eneágono decágono endecágono dodecágono pentadecágono

8

octágono u octógono

20

icoságono

Clasificación de los polígonos 1.

Polígono convexo. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

3.

Polígono equilátero. Todos los lados del polígono equilátero son congruentes.

4.

2.

Polígono no convexo. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos.

Po lígo no equ iáng ul o. Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes.

5.

Propiedades de los polígonos Se considera a “n” el número de lados del polígono. 1 : El número de diagonales es: ND =

n (n - 3) 2

2 : La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es: Suma

s interiores = 180° (n - 2)

3 : La suma de las medidas de los ángulos exteriores es: Suma

388


s exteriores = 360°

Polígono regular. Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes.


Sobre polígonos

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 ¿Cuántas diagonales tiene el decágono? A) 40 D) 50 Resolución:

B) 45 E) 55

C) 35

n (n - 3) 2 Los decágonos tienen 10 lados (n = 10). Luego: 10 (10 - 3) 10 × 7 70 ND = = = 2 2 2

El número de diagonales es: ND =

ND = 35

\

A) 8 B) 7 C) 6 D) 10 E) 9 Resolución: Suma s internos = 180° (n - 2)

1 080° = 180° (n - 2) 1 080° =n-2 180° 6 =n-2 Þ n = 6+2

Rpta. C

Eje rcic io 2 ¿Cuántas diagonales tiene el octágono? A) 15 D) 35

Eje rcic io 4 Encuentra el número de lados de un polígono, si la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1 080°.

B) 20 E) 10

Resolución: El número de diagonales es:

C) 25

\

Eje rcic io 5 En un pentágono regular, encuentra la medida de cada uno de sus ángulos exteriores. A) 60° D) 90°

ND =

n (n - 3) 2

ND = 20

Rpta. B

Eje rcic io 3 Halla la suma de los ángulos interiores de un hexágono. A) 760° D) 720°

B) 890° E) 900°

Suma

s exteriores = 360°

5 x = 360° x=

Resolución:

Suma s interiores = 180° (6 - 2) = 180° . 4 \ Suma s interiores = 720°. Rpta. D

C) 72°

x + x + x + x + x = 360°

C) 1 080°

Suma s interiores = 180° (n - 2). Los hexágonos tienen seis lados (n = 6). Entonces:

B) 50° E) 75°

Resolución: Recordemos que un pentágono regular tiene 5 lados, sus lados son congruentes y sus ángulos también son congruentes.

Los octógonos tienen 8 lados (n = 8). Luego: 8 (8 - 3) 8 × 5 40 ND = = = 2 2 2 \

n = 8 Rpta. A

360 ° 5

\ x = 72° Rpta. C Eje rcic io 6 Si un polígono tiene 27 diagonales, ¿cuántos lados tiene? A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7


389

Manuel Coveñas Naquiche Resolución: Sabemos que: ND =

Eje rcic io 8 ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de la figura? A) 12

n(n - 3) 2

B) 14

n(n - 3) Þ n(n - 3) = 27 × 2 27 = 2

n(n - 3) = 54

1) 2)

Resolución:

n=9 n-3=6 Þ n=9

n=9

\

Vemos que el polígono de la figura es no convexo, su número de lados es: n = 7, luego: ND =

n(n - 3) 7(7 - 3) = 2 2

ND =

7 × 4 28 = 2 2

Rpta. E

Eje rcic io 7 La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono más la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 1 440°. Halla el número de lados. A) 6 D) 9

D) 16 E) 15

n(n - 3) = 6 × 9

Identificado:

C) 13

B) 7 E) 10

C) 8

\

ND = 14

Eje rcic io 9 Encuentra la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono de la figura. A) 720° B) 900°

Resolución:

C) 360°

Suma s interiores + suma s exteriores = 1 440° ... (1)

D) 180°

Sabemos que:

E) 540°

Suma s interiores = 180° (n - 2).

Resolución:

Suma s exteriores = 360°.

El polígono de la figura es no convexo, donde su número de lados es: n = 6, entonces:

Reemplazando en (1): 180° (n - 2) + 360 ° = 1 440 °

Suma s interiores = 180° (n - 2)

180° n - 180°×2 + 360 ° = 1 440 °

Suma s interiores = 180 ° (6 - 2) = 180° ×4

180 ° n - 360 ° +360 ° = 1 440 °

\ Suma s interiores = 720°

180° n = 1 440 ° Þ n =

\

390

Rpta. B

n=8


1 440 ° 180°

Rpta. C

Rpta. A


Triángulos Definición Se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.

Elementos Vértices: A, B, C ®

Lados: AB, BC, AC Ángulos interiores: BAC,

ABC,

ACB.

Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados. El semiperímetro es la mitad del perímetro.

Perímetro = 2p = a + b + c \

Semiperímetro =

2p = a + b + c \

p=

Perímetro 2 a+b+c 2

Clases de triángulos A)

Según sus lados Se clasifican en: D Equilátero

Sus tres lados son congruentes y sus tres ángulos también.

D Isósceles

D Escaleno

Dos de sus lados son congruentes, el lado desigual se llama base. Los ángulos en la base son congruentes.

Sus tres lados y sus tres ángulos son de diferentes medidas (no son congruentes).


391

Manuel Coveñas Naquiche B)

Según sus ángulos Se clasifican en: D Rectángulo

D Acutángulo

Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

D Obtusángulo

Triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos.

Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.

Rectas en un triángulo 1.

Altura. La altura es la perpendicular que se traza por uno de los vértices hacia el lado opuesto.

2.

BH : Altura 4.

BM : Mediana

Bisectriz interior. Es la bisectriz de uno de los ángulos interiores que corta al lado opuesto.

BD : Bisectriz interior

392

Mediana. Es la recta que une el punto medio de uno de los lados con el vértice opuesto.


5.

3.

Me di at ri z. Se llama mediatriz a la recta perpendicular a uno de los lados levantada por el punto medio del lado.

MN : Mediatriz

Bisectriz exterior. Es la bisectriz de uno de los ángulos exteriores que corta a la prolongación del lado opuesto.

BE : Bisectriz exterior


6.

Ceviana interior. Se llama así a cualquier recta que trazada por uno de los vértices corta al lado opuesto.

7.

BP : Ceviana interior

Ceviana exterior. Se llama así a cualquier recta que trazada por uno de los vértices corta a la prolongación del lado opuesto.

BQ : Ceviana exterior

Principales propiedades 1.

La suma de las medidas de los tres ángulos interiores es igual a 180°.

2.

a, b, g : Medida de los ángulos interiores.

f : Medida del ángulo exterior.

a + b+ g = 180°

3.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

f=a+b

4.

La longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, pero mayor que la diferencia de las longitudes de dichos lados.

f, q, d : Medidas de los ángulos exteriores. f + q + d = 360°

a b-c


393


Ejercicio resueltos Eje rcic io 1 En un triángulo ABC, se traza su mediana AM tal que: BM = 2x + 5 y MC = x + 8. Halla “x”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 1,5 Resolución:

Resolución: Al ser CD bisectriz se cumple que: m

ACD = m f + 30 ° = 70 °

Como AM es mediana , se tiene:

f = 70 ° -30 °

\

BM = MC 2x + 5 = x + 8

DCB

f = 40 ° Rpta. C

Eje rcic io 4 En un triángulo ABC, m A = 90°, m B = f y m C = 70°. Halla el valor de “f”.

2x - x = 8 - 5

\

x = 3 Rpta. B

Eje rcic io 2 La recta L es mediatriz del lado AB, si AF = x + 4 y FB = 10. Halla “x”.

A) 10° B) 5° C) 20° D) 15° E) 25° Resolución: Sabemos que: m A + m B + m C = 180°

A) 2

90 ° + f + 70 ° = 180°

B) 3

f + 160° = 180°

C) 4

f = 180° -160 °

D) 6

\

E) 7 Resolución: Al ser L mediatriz de AB se cumple que:

f = 20 ° Rpta. C

Eje rcic io 5 Halla el valor de “x”. A) 15°

AF = FB x + 4 = 10 x = 10 - 4

\

x = 6 Rpta. D

Eje rcic io 3 En un triángulo ABC se traza su bisectriz interior CD de modo que: m ACD = f + 30° y m DCB = 70°. Halla el valor de “f”. A) 50° D) 20°

394

B) 10° E) 30°


B) 20° C) 60° D) 30° E) 45° Resolución: Sumamos los ángulos del triángulo: m A + m B + m C = 180 ° 2 x + 3x + x = 180 ° 6 x = 180 ° Þ x =

C) 40° \

x = 30 °

180° 6

Rpta. D

Sexto grado de primaria En el

Eje rcic io 6 En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se cumple que: m A = 80° y m C = x + 40°. Halla “x”. A) 35° D) 20°

B) 50° E) 40°

x = 90 ° + 60 ° (

C) 30°

Resolución: Como el triángulo es isósceles:

DEC:

exterior )

\ x = 150 ° Rpta. B

Eje rcic io 8 Calcula el valor de “x” en: A) 30°

m

A =m

C

80 ° = x + 40 ° 80 ° -40 ° = x

\

x = 40 ° Rpta. E

Ejercicio 7: El triángulo ABC de la figura es equilátero. Halla “x”.

B) 15° C) 20° D) 25° E) 12° Resolución: Usando ángulo exterior del triángulo. En el D ABE:

A) 120°

f = 70° +30°

B) 150°

f = 100 ° ... (1)

C) 130°

En el D ECD: f = 3x + x

D) 140° E) 110° Resolución:

f = 4 x ... (2) 100° = 4 x

Igualando (1) y (2):

Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, entonces: m C = m A = m B = 60°

100° =x 4

\ x = 25 ° Rpta. D

Cuadriláteros Definición Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados y dos diagonales.

Elementos Lados: AB, BC, CD, AD Vértices: A, B, C, D Ángulo interior: f Ángulo exterior: q Diagonal: AC


395


Pr opiedades 1.

La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 360°.

2.

a + b + g + d = 360°

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

x + y +z + w = 360°

Clasificación I.

PARALELOGRAMO

Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos.

2.

Los ángulos opuestos son congruentes.

A@ B@

AB//CD

C D

BC//AD

Propiedades de los paralelogramos 1.

Los lados opuestos son congruentes.

AB = CD BC = AD

396


3.

Las diagonales se cortan en su punto medio.

AC y BD : diagonales AO = OC BO = OD


Clasificación de los paralelogramos a.

Cuadrado. Tiene sus cuatro lados congruentes. Las diagonales son bisectrices de sus ángulos, perpendiculares entre sí y congruentes.

AB = BC = CD = AD

b.

Rectángulo. Los lados consecutivos no son congruentes. Los ángulos interiores miden 90° cada uno. Las diagonales son congruentes.

c.

AB = CD, BC = AD

Rombo. Los cuatro lados son congruentes. Las diagonales son desiguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

AB = BC = CD = AD

d.

AC = BD

AC < BD

Romboide. Es el paralelogramo que tiene sus lados consecutivos diferentes.

AC = BD


397

Manuel Coveñas Naquiche II.

TRAPECIO Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos y dos lados no paralelos. A los lados paralelos se les llama bases.

BC // AD AB // CD BC es la base menor AD es la base mayor

Clasificación de los trapecios a.

Trapecio isósceles. Son los trapecios que tienen los lados no paralelos congruentes.

Los ángulos adyacentes a las bases son congruentes. Las diagonales son congruentes. AB = CD A@ D B@ C

AC = BD

b.

Trapecio recto. En este trapecio uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

m

398


A = m B = 90° AB BC AB AD

Sexto grado de primaria c.

Trapecio escaleno. Los lados no

paralelos en este trapecio no son congruentes.

III. TRAPEZOIDE Los trapezoides son cuadriláteros convexos que no tienen lados paralelos.

AB ¹ CD

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 En un paralelogramo ABCD, AB = 10 y CD = 2x + 4. Halla “x”. A) 1 D) 4

B) 2 E) 6

Sobre cuadriláteros Los trapecios isósceles tienen los lados no paralelos congruentes. AB = CD

C) 3

3 x + 5 = 17 3 x = 17 - 5

Resolución: Los lados opuestos del paralelogramo son congruentes. AB = CD 10 = 2x + 4 10 - 4 = 2x 6 = 2x 6 =x 2 \ x=3

12 3 Rpta. C

3 x = 12 Þ x =

\ x=4

Eje rcic io 3 Dos lados de un rombo miden 3x + 4, y x + 6. Halla “x”. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

Resolución: Los lados de un rombo son congruentes, entonces:

Rpta. C Eje rcic io 2 En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, AB = 3x + 5 y CD = 17. Halla “x”.

AB = BC 3x + 4 = x + 6

A) 2 D) 5

B) 3 E) 1

C) 4

3x - x = 6 - 4 2 2 Rpta. A

2x = 2 Þ x =

Resolución:

\ x =1

Eje rcic io 4 En un cuadrilátero ABCD, m A = x, m B = 130°, m C = 80° y m D = 2x. Halla el valor de “x”. A) 40° D) 50°

B) 30° E) 60°

C) 20°


399

Manuel Coveñas Naquiche Resolución:

Eje rcic io 7

Calcula “x” en:

Sumamos los ángulos: x + 130° +80 ° +2 x = 360 °

A) 50°

3 x + 210° = 360 ° 3 x = 360 ° -210° 150° 3 x = 50 ° Rpta. D

B) 10°

D) 30° Resolución:

C) 20°

E) 40°

3 x = 150° Þ x =

\

Eje rcic io 5 Uno de los lados de un rectángulo mide x + 2 y su lado opuesto mide 8. Halla “x”. A) 4 D) 3

B) 6 E) 3

C) 5

Resolución: Los lados opuestos del rectángulo son congruentes. AB = CD x+2=8

El ángulo exterior en D mide 120°, la suma de los ángulos exteriores es 360°, entonces: x + 2 x + 3x + 120° = 360° 6 x = 360° -120 °

x =8-2

Rpta. B Eje rcic io 6 Los lados consecutivos de un cuadrado miden 8 + x y 3x. Halla “x”. A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 6 Resolución: En un cuadrado sus lados son congruentes, entonces:

240° 6 x = 40 ° Rpta. E

6 x = 240° Þ x =

\ x=6

\

Eje rcic io 8 La figura está formada por los siguientes cuadriláteros, ABCD es un rombo, ADEF es un paralelogramo, FEJG es un trapecio isósceles y JIHG es un cuadrado. Si AB = 6, halla GH.

3x = 8 + x 3x - x = 8 2x = 8 8 2 x = 4 Rpta. A x=

\

400


A) 2

B) 6

D) 4

E) 5

C) 3

Sexto grado de primaria Resolución:

Datos: m A + m B + m C = 280° ... (1) Por propiedad: m A + m B + m C + m D = 360° ... (2) Reemplazando (1) en (2): 280° + x = 360 °

En el rombo ABCD: AB = BC = CD = DA = 6 En el paralelogramo ADEF : AD = FE = 6 En el trapecio isósceles: FE = JG = 6 En el cuadrado: GH = JG \ x = 6 Rpta. B Eje rcic io 9 En un cuadrilátero convexo la suma de las medidas de tres ángulos interiores es 280°. Halla la medida del cuarto ángulo interior. A) 50° D) 80° Resolución:

B) 60° E) 90°

C) 70°

x = 360 ° -280° \ x = 80 ° Rpta. D

Eje rcic io 1 0 En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, m A = 50°y m D = x + 10°. Halla “x”. A) 20° D) 25°

B) 40° E) 10°

C) 30°

Resolución: Al ser el trapecio isósceles: AB = CD m

A =m

D

50 ° = x + 10 ° 50 ° -10 ° = x

\ x = 40 ° Rpta. B


Completa este cuadro. POLIGONO Nombre

Heptágono no convexo

Número de lados

7

Número de vértices

7

Número de ángulos interiores

7

Número de diagonales

14

¿Es convexo?

No

¿No es convexo?

Sí


401



¿Cuántas diagonales tiene el heptágono? A) 15 D) 10

2

El triángulo ABC es isósceles (AB = BC)

B) 12 E) 16

C) 14

Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono. A) 360° D) 540°

B) 560° E) 600°

C) 600° Si AC =

3


3 BC , ¿cuál es su perímetro? 5

A) 40 cm D) 48 cm 6

B) 52 cm E) 46 cm

C) 62 cm

En el triángulo siguiente:

¿Cuál es el valor de a + b? A) 200° D) 240° 4

B) 235° E) 198°

C) 190°

La figura siguiente es un polígono equilátero.

Hallar el complemento de “x” A) 78° D) 56° 7

B) 60° E) 64°

C) 82°

ABC es un triángulo isósceles donde AB = BC. Si en dicho triángulo se cumple que: m S A = 3x + 19° y m S C = 70°, ¿cuál es el valor de x? A) 15° D) 16°

8 Si su perímetro mide 140 cm, ¿cuánto mide cada lado? A) 15 cm B) 16 cm C) 18 cm D) 17,5 cm E) 16,5 cm

402


B) 17° E) 23°

Dada la figura:

C) 19°

Sexto grado de primaria Encuentre el valor de x.

¿Cuál es el valor de a? A) 25° D) 35° 9

B) 20° E) 10°

A) 50° D) 40°

C) 45°

En el triángulo ABC, BM es mediana.

B) 28° E) 44°

C) 37°

13 Dado el paralelogramo ABCD.

¿Cuál es el valor de x? ¿Cuál es el valor de x? A) 14 D) 8

B) 12 E) 9

A) 3 C) 10

B) 4

C) 1

D) 5

E) 2

14 Si ABCD es un rectángulo:

10 En un triángulo ABC se traza su bisectriz interior AD de modo que: m S BAD = f + 12° m S DAC = 33° Hallar el suplemento de f. A) 149° D) 147° 11

B) 160° E) 159°

¿cuánto mide su perímetro? C) 167°

En la siguiente figura

A) 172 cm D) 162 cm

B) 180 cm C) 190 cm E) 188 cm

15 En la figura siguiente:

El valor de a es: A) 60° D) 71°

B) 65° E) 59°

C) 68°

Calcular el valor de x. A) 10 D) 11

12 Dada la siguiente figura:

B) 9 E) 7

C) 8

Nivel II 1

Si un polígono tiene 14 diagonales, ¿cuán tos lados tiene? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9


403

Manuel Coveñas Naquiche 6 2

Hallar la suma de los ángulos internos de un pentadecágono. A) 2 340° D) 1 550°

3

En la figura siguiente:

B) 1 170° E) 2 400°

C) 2 000°

La figura mostrada es un hexágono regular. El triángulo PQR es equilátero, encuen tre el valor de “x” A) 110° D) 125° 7

¿Cuál es el valor de a? A) 55° D) 65° 4

B) 50° E) 45°

8

C) 14°


¿Cuál es el valor de b?

A) 24 cm B) 16 cm C) 13,5 cm D) 14,4 cm E) 16,4 cm ¿Cuántas de la siguientes proposiciones son verdaderas? I. Un triángulo escaleno tiene 3 lados iguales. II. El lado opuesto al ángulo recto de un triángulo se llama hipotenusa. III. En un triángulo acutángulo, un ángu lo interno puede medir 110°. IV. Los tres lados de un triángulo equilátero son iguales. A) 0

404

B) 18° E) 11°

El perímetro del siguiente triángulo mide 72 cm.

¿Cuál es la medida del lado PQ?

5

C) 130°

En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos miden 4f y 2f + 12°. ¿Cuál es el valor de f? A) 10° D) 13°

C) 60°

B) 117° E) 135°

B) 1

C) 2


D) 3

E) 4

A) 10° D) 18° 9

B) 12° E) 20°

C) 15°

Observe la figura siguiente:

El valor de a + q es: A) 40° B) 60° D) 45° E) 50°

C) 70°

Sexto grado de primaria 10 Dadas las siguientes figuras:

14 Los lados de un rombo miden (7x – 4) cm y (4x + 17) cm ¿Cuál es el valor de x? A) 5

B) 6

C) 7

D) 11

E) 8

15 En la siguiente figura: ¿Cuál es el valor de a + b? A) 145° D) 190°

B) 160° E) 165°

C) 135°

11 En la figura siguiente: ¿Cuál es el valor de a? A) 10° D) 25°

B) 15° E) 30°

C) 20°

16 En la siguiente figura ABCD es un cua drado y AED es un triángulo equilátero.

¿Cuál es el complemento de a? A) 30° D) 70°

B) 50° E) 60°

C) 40°

12 En un cuadrilátero ABCD se tiene que: m S A = 2x ; m S B = 110°

¿Cuál es el valor de f? A) 120° B) 110° C) 140° D) 105° E) 122°

m S C = 100° ; m S D = x ¿Cuál es el valor de x? A) 150° D) 210°

B) 50° E) 60°

Clave de respuestas C) 70°

13 Dado el paralelogramo ABCD.

Nivel I 1. C 5. B 9. E 13. A

2. D 6. A 10. E 14. A

3. B 7. B 11. B 15. B

4. D 8. A 12. D

Nivel II

Hallar el complemento de x. A) 56° D) 82°

B) 14° E) 80°

C) 76°

1. C 5. C 9. A 13. C

2. A 6. D 10. E 14. C

3. C 7. D 11. A 15. C

4. D 8. E 12. B 16. D


405


Circunferencia

9 ·

Definición Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La circunferencia es una línea curva cerrada.

·

Elementos 1. Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

O: centro

3. Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene dos veces al radio.

AB: diámetro AB = 2R

2. Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se le representa por R o r.

OA: radio

4. Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

CD: cuerda


409

Manuel Coveñas Naquiche 5. Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

L: secante 6. Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia.

L1 : tangente

·

7. Flecha o sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio.

MN: flecha o sagita 8. Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

AB: arco

Propiedades 1 . El radio es perpendicular a la tangente.

3 . A arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

L: tangente OA: radio OA

L

Si: AB @ CD AB = CD

2 . Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

Si: CD // AB AC @ DB

410


4 . Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

Si: AO CD CM = MD CA @ AD


5 . Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes. AB = AC

Medida de la circunferencia La circunferencia es una línea, su medida en grados sexagesimales es 360°. Medida = 360°

Media circunferencia La medida de una media circunferencia o semicircunferencia es la mitad de la medida de la circunferencia, es decir, 180°. Medida = 180°

• Ángulos en la circunferencia 1.

Ángulo central. El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados. m

O = mAB

Ej emplo 1 Calcula la medida del ángulo AOB, si el arco AB mide 70°.

Resolución:


411


Al ser "O" el centro, el ángulo AOB es un ángulo central, entonces: m

AOB = mAB

\

m

Ej emplo 3 Calcula "x" , si mABC = 240° y "o" es centro.

AOB = 70°

Ej emplo 2 "O" es centro.

Encuentra el valor de "x", si

Resolución:

Resolución: Recordemos que la medida de la circunferencia es 360°, entonces: mABC + mAC = 360° ... (1) De acuerdo al dato: mABC = 240° luego, en (1). 240° + mAC = 360° Como "O" es centro, el ángulo AOB es central, por lo tanto:

mAC = 360° - 240°

m

Usando ángulo central:

AOB = m AB

20° + x = 80°

x = m AC ... (3)

x = 80° - 20°

Reemplazando (2) en (3):

\

x = 60°

\

2. Ángulo inscrito. Su vértice se encuentra sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados. m

412

m AC = 120° ... (2)

B=


mAC 2

x = 120

Sexto grado de primaria E j em pl o 1 Halla el valor de "x", si mAC = 110°.

Ej emplo

2

Calcula "x".

Resolución: Resolución:

Usando ángulo inscrito.

Por ángulo inscrito:

mAC 2 Reemplazando el dato:

m AC 2 120° x +10 ° = 2

x=

x=

\

3.

m

110° 2

ABC =

x + 10° = 60°

x = 55°

\

®

x = 60° - 10°

x = 50°

Ángulo seminscrito. El vértice se encuentra sobre la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda. m

ABC =

m BC 2

E j em pl o 1 Calcula el valor de "x", si m BC = 100°.

Resolución:


413

Manuel Coveñas Naquiche Usando ángulo seminscrito. x=

\

100° 2

Por ángulo seminscrito. m BC .... (1) 2 Sabemos que la medida de la circunferencia es 360°: x=

x = 50°

E j em pl o 2 Calcula el valor de "x", si m BDC = 210°.

mBC + mBDC = 360° Reemplazamos: mBDC = 210° mBC + 210° = 360° mBC = 360 - 210°

®

mBC = 150°

Reemplazamos en (1): x=

\

Resolución:

4. Ángulo exinscrito. Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.

m

CBD =

mABD 2

5. Ángulo interior. El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia y sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados. m

414

AFD =

m BC + m AD 2


150° 2

x = 75°

C

Sexto grado de primaria Ej emplo 1 Encuentra el valor de "x", si mAD = 130°, mBC = 40°.

Ejem pl o 2 Encuentra la medida del arco AB, si m AFB = 70° y m CD = 60°.

Resolución:

Resolución:

De acuerdo al ángulo interior: El ángulo pedido es interior, entonces:

m AB + m CD 2 Reemplazamos: m AFB = 70° m AB = x m CD = 60°

m AD + m BC x= 2 Reemplazamos: m AD = 130° m BC = 40° x=

\

130 ° +40 ° 170 ° = 2 2

x = 85°

m

AFB =

70° =

x + 60 ° 2

70° · 2 = x + 60° \

140° - 60° = x

®

x = 80°

6. Ángulo exterior. Su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

m

A=

mCE - mBD 2

m

A=

mBD - mBC 2

m

A= mBDC2- mBC

E j em pl o 1 Calcula el valor de "x", si mAB = 130° y mCD = 80°.


415

Manuel Coveñas Naquiche Resolución:

Reemplazando:

x=

130° - 80 ° 2

x=

50 ° 2

El ángulo P es exterior: m

P=

\

m P=x m AB = 130° m CD = 80°

x = 25°

m AB - m CD 2

Ejercicios resueltos E je rc i ci o 1 En la circunferencia de centro "O" de la figura, la recta L es tangente. Halla "x", si m OAB = 30° + x. A) 50° B) 70° C) 60° D) 40° E) 75°

Eje rcic io 2 En la figura, encuentra el valor de "x". A) 5 B) 4 C) 1 D) 2 E) 3 Resolución: Las tangentes AB y AC son congruentes. AB = AC Reemplazamos: AB = 2x + 5 AC = x + 8 Entonces: 2x + 5 = x + 8 2x - x = 8 - 5

Resolución:

\ Sabemos que si O es centro y A es punto de tangencia: m OAB = 90° Reemplazamos: m AOB = 30° + x 30° + x = 90° x = 90° - 30° \

416

x = 60°

Rpta. C


x=3

Rpta. E

Eje rcic io 3 En la figura, las cuerdas AB y MN son paralelas, además mAM = 20° + 3x y m BN = x + 70°. Halla "x". A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 15°

Sexto grado de primaria Resolución: Al ser AB // MN. Se cumple que: m AM = m NB 20°+3x = x+70° 3x - x = 70° - 20° 2x = 50°

Eje rcic io 6 En la circunferencia de centro "O", encuentra el valor de "x". A) 30° B) 25° C) 35° D) 45° E) 40° Resolución:

\

x = 25°

Rpta. B

m BC ...1 ( inscrito) 2 70° = mBC ... ( central) Reemplazando en (1): x=

Eje rcic io 4 En la circunferencia de centro "O", si OC AB, AF = 2x y FB = 6. Halla "x". A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1,5

x=

70 ° 2

x = 35°

\

Rpta. C

Eje rcic io 7 En la semicircunferencia de diámetro AD, encuentra el valor de "f". Resolución: Como OC AB, se cumple que: AF = FB 2x = 6

A) 10° B) 16° C) 18° D) 20° E) 15°

\ x = 3 Rpta. C Resolución: Eje rcic io 5 En la circunferencia de centro O, si OC AB, mAC = 80° y mCB = 20° + x. Halla "x".

Recordemos que la medida de una semicircunferencia es igual a 180°, entonces: 2f + 6f + 4f = 180° 12f = 180°

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

\

Resolución:

Eje rcic io 8 En la circunferencia de la figura, encuentra el valor de "x".

f=

Como OC AB, se cumple que: mAC = mCB 80° = 20° + x \

x = 60°

Rpta. D

f = 15°

180° 12

Rpta. E

A) 20° B) 30° C) 45° D) 60° E) 25°


417

Manuel Coveñas Naquiche Resolución:.

Resolución: Recordemos que la circunferencia mide 360°, entonces:

La medida de la circunferencia es 360°, luego: x+120° + 2x + 150° = 360°

mBC + 240° = 360°

3x + 270° = 360°

mBC = 360° - 240°

3x = 360° - 270° 3x = 90° \

à

x=

x = 30°

90 ° 3

à

Rpta. B

Eje rcic io 9 Encuentra la medida del arco AD, si m BFC = 50° y mBC = 70°. A) 50° B) 20° C) 40° D) 30° E) 60°

Ahora:

x + 70 ° 2 100° = x + 70° 50 ° =

à

x = 30°

x = 100° - 70°

m Eje rcic io

11

A) 65° B) 70° C) 60° D) 75° E) 55°

Rpta. D

Prob lema 1 0 Encuentra el valor de "x", si el mayor arco BC mide 240°.

418

120° 2 Rpta. C

Cuando los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, se cumple que el ángulo y el menor arco son suplementarios.

BFC =

A) 90° B) 30° C) 60° D) 70° E) 80°

x=

exterior)

Atención

m AD + m BC ( interior) 2 Reemplazando: m BFC = 50° m AD = x m BC = 70°

\

240 ° -120 ° ...( 2

x = 60°

\

Resolución:

m

x=

mBC = 120°

x


Resolución:

BAC + m BC = 180° Halla el valor de "x" en:

Sexto grado de primaria De acuerdo al problema anterior se cumple que: m

BAC + m BC = 180° 50°+ m BC = 180° m BC = 180° - 50° m BC = 130° ... (1)

Ahora: m BC ... (2) ( inscrito) 2 Reemplazando (1) en (2):

Ejerc ic io 1 3 Halla la medida del arco BE, si m AC = 110°. A) 220° B) 55° C) 75° D) 110° E) 95°

x=

x=

Resolución:

130° 2

x = 65°

\

Rpta. A

Ejer cici o 1 2 En la figura, m

A= x, m BD = 2x

y m CE = 140°. Halla el valor de "x". Por ángulos opuestos por el vértice:

A) 35° B) 35° C) 40° D) 45° E) 25°

m AFC = m BFE = f Usando ángulos inscritos: f=

110° 2

f=

m BE ... (2) 2

Resolución:

... (1)

Igualando (2) y (1): \

m BE = 110°

m BE 110° = 2 2

Rpta. D

Eje rcic io 1 4 En la figura, mAD=x y mBC=2x. Halla "x". m CE - m BD m A= ... ( 2 Reemplazando valores: x=

exterior)

140 ° -2x 2

A) 70° B) 50° C) 60° D) 80° E) 90° Resolución:

2x = 140° - 2x 2x + 2x =140° 4x = 140° \

x = 35°

à

x=

140° 4

Rpta. B


419

Manuel Coveñas Naquiche En la figura observamos que:

Resolución:

m AD + m BC ( interior) ... (1) 2 Reemplazamos: m BFC = 90°

m

BFC =

m AD = x m BC = 2x Entonces en (1): x + 2x 2 90° · 2 = 3x

90° =

180° = 3x x = 60°

\

Eje rcic io

x= x=

®

180° 3

Rpta. C

m AC ... ( 2

inscrito)

2x = m AC Ahora: 110° + 120° + 2x = 360° 230° + 2x = 360° 2x = 360° - 230° 2x = 130°

1 5 Halla "x", si mAB = 110° y

mBC = 120°. A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65°

x=

130° 2

x = 65°

\

Rpta. E

Taller de ejercicios 108 Halla el valor de ‘‘x’’ en los ejercicios siguientes. Los puntos ‘‘O’’ son centros de las circunferencias. 1

P

2 O P

Q

109°+2x

7x+9°

3x+5°

68° Q

R

R pt a .

420


R pt a .


3

4

Q 58°

3x+10°

P

R

x

Q

S

X+140°

O x

P

R Q

7x-50°

R pt a . 5

R pt a . 6

R

R

122°

x

S P

x

38°

5x

48°

T

Q

S

R pt a . 7

R pt a .

x

8

R

R

S

T x

66° T 100°

R pt a .

S 250°

U

R pt a .


421



4

En la semicircunferencia de diámetro PQ , encuentra el valor de “a”.

En la circunferencia de centro “O” de la figura, la recta L es tangente. Hallar “b”, si m S OPQ = 7b – 1°

¿Cuánto le falta al ángulo a para ser igual a los

A) 10° D) 13° 2

B) 12° E) 17°

A) 186° D) 210°

C) 21°

En la figura, las cuerdas PQ y MN son

3 del ángulo de una vuelta? 5

5

B) 172° E) 194°

C) 100°

En la circunferencia “O” es centro.

» = 3a + 18° y paralelas, además m PM » = a + 76° m NQ

¿Cuál es el valor de a?

¿Cuál es el valor de b? A) 14° D) 15° A) 18° D) 31° 3

B) 29° E) 17°

C) 33°

C) 10°

En la figura siguiente:

En la circunferencia de centro “O”.

Si OC AB; AF = 5x – 2 y FB = 6 ¿cuál es el valor de x? A) 1,6 D) 2,4

422

6

B) 12° E) N.A.

B) 2 E) 3,4


C) 1

“O” es centro de la circunferencia y ade ¼ más m ABC = 250 ° Hallar el suplemento del complemento de f. A) 140° D) 120°

B) 100° E) 50°

C) 40°


7

En la figura siguiente se tiene que » = a + 64 ° m AC

¿Cuál es el valor de x? A) 216° D) 196°

B) 200° E) 208°

C) 244°

11 En el gráfico siguiente; encuentra el va lor de a

Hallar el valor de a A) 14° D) 15° 8

B) 18° E) 17°

C) 16°

Dado el diagrama siguiente:

A) 75° D) 30°

B) 60° E) 45°

C) 15°

12 En el gráfico:

Hallar “a” A) 36° D) 45° 9

B) 25° E) 20°

C) 32°

En el gráfico siguiente.

7 ¼ Si m BDC = 240 ° , calcular: 50° - ∙ a 12 A) 10° B) 20° C) 22° D) 18° E) 15°

13 En el siguiente gráfico:

¿Cuál es el valor de b? A) 10° D) 8°

B) 45° E) 50°

10 En la figura siguiente:

C) 6°

» = 70° y la m BC » = 90° , ¿cuál es Si m AD el valor de a?

A) 20° D) 41°

B) 16° E) 18°

C) 80°

14 Del siguiente gráfico:


423


Halla el complemento de x. A) 40° D) 42°

B) 38° E) 54°

3

En la siguiente figura, ¿cuánto le falta a 2x para ser igual a 50°?

C) 36°

15 En la figura se tiene:

A) 20° D) 16° ¿Cuánto le sobra a ba° para ser igual a un ángulo recto?

4

B) 18° E) 14°

C) 17°

Dada la figura:

A) 5° B) 8° C) 2° D) 3° E) 4°

Nivel II 1

Dado el gráfico; ¿cuánto le falta a x para ser 100°?

¿Cuál es el valor de b? A) 84° D) 138° 5

A) 50° D) 30° 2

B) 40° E) 80°

424


Del siguiente gráfico, calcular x + q

A) 30° D) 45° 6

B) 25° E) 20°

C) 42°

C) 70°

En la circunferencia de centro O, halla el valor de x + a.

A) 30° D) 15°

B) 21° E) 29°

B) 75° E) 55°

C) 60°

Dada la circunferencia de centro “O”.

C) 45° el valor de b es: A) 128° B) 256° D) 104° E) 52°

C) 100°


Dada la circunferencia de centro “O”.

11 En el siguiente gráfico, calcular el valor de x. A) 36° B) 18° C) 24° D) 12° E) 16°

¿Cuál es al valor de x? A) 34° B) 17° C) 64° D) 76° E) 68° 8

12 En la figura, ¿cuál es el valor de x? A) 74° B) 86° C) 87° D) 78° E) 68°

Observa la figura siguiente:

13 En la circunferencia de centro “O”. » = 7x + 23° , ¿cuál » = 65 ° y m CB Si m AC es el valor de x? A) 9° B) 8° C) 15° D) 12° E) 6°

¿Cuál es el valor de x? A) 3 9

B) 1

C) 5

D) 2

E) 4

En el gráfico:

14

En la semicircunferencia de diámetro AB . ¿Cuál es el valor de x? A) 12° B) 42° C) 21° D) 20° E) 26°

¿Cuál es el valor de f? A) 124° D) 60°

B) 56° E) N.A

C) 110°

10 Observa el siguiente gráfico:

Clave de respuestas Nivel I

¿Cuál es el valor de q? A) 75° D) 60°

B) 45° E) 65°

C) 50°

1. D 6. A 11. B

2. B 7. C 12. E

3.A 8. B 13. B Nivel II

4. A 9. C 14. E

5. B 10. A 15. D

1. D 6. D 11. B

2. C 7. E 12. D

3. E 8. D 13. E

4. C 9. A 14. C

5. B 10. A


425


Áreas y perímetros

10 •

Definiciones previas Perímetro El perímetro de una figura plana es la longitud del contorno (frontera) de la figura. Al perímetro de las figuras planas se le representa por el símbolo “2p” y a la mitad del perímetro se le llama semiperímetro y se le representa por “p”. Perímetro = 2p = longitud del contorno de una figura plana.

Semiperímetro = p =

Perímetro 2

Región Se llama región de una figura plana a la unión del conjunto de puntos del contorno de la figura con el conjunto de puntos de su interior.

Región = Conjunto de puntos del contorno

Frontera o contorno Interior

Conjunto de puntos del interior

Área Es la medida de la extensión de la región de una figura plana. Es un número expresado en unidades cuadradas: cm2, m2, km2, pulgada2, etc.

•

Longitud de la circunferencia

R

R O

La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro por el número pi. Longitud = D × p Como:

D

Donde: D : Diámetro R | R : Radio S |p : Número pi T

D = 2R

Longitud = 2pR

Valor de p (pi): p = 3,141 592 653 5…


429

Manuel Coveñas Naquiche Atención

Si se divide la longitud de una circunferencia entre su diámetro, con la misma unidad de medida, siempre se obtiene un número próximo a 3,141 59, cualquiera que sea la circunferencia que se elija. A este número 3,141 59… se denomina número pi y se le representa por p. En la práctica se dice que: p = 3,141 6; p = 3,14; p = 3,1

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 Encuentra el perímetro de la región coloreada que se muestra.

Sobre perímetros Si un lado mide “a”, el otro lado es 6 cm más. Entonces: a + 6 cm Perímetro = Suma de los lados

A) 30 cm

m

B) 28 cm

10

6c

cm

28 cm = a + a + 6 cm + a + 6 cm + a 28 cm = 4a + 12 cm 28 cm - 12 cm = 4a

C) 25 cm 2 cm 6 cm

3 cm

D) 27 cm

16 cm = 4a

E) 32 cm

16 cm =a ® a = 4 cm 4 Mayor lado = a + 6 cm

Resolución: Recordemos que el perímetro de una figura plana es la longitud de su contorno, entonces en el caso de la figura: Perímetro = Suma de los lados

Reemplazando:

a = 4 cm

Mayor lado = 4 cm + 6 cm \ Mayor lado = 10 cm

Rpta. A

Perímetro = 10 cm+6 cm+3 cm+2 cm+6 cm \ Perímetro = 27 cm.

Rpta. D

Eje rcic io 2 El perímetro de un rectángulo es 28 cm, uno de los lados es 6 cm más que el otro lado. Halla el mayor lado del rectángulo. A) 10 cm D) 6 cm

B) 12 cm E) 9 cm

Eje rcic io 3 La figura mostrada está formada por un cuadrado y un trapecio recto. Halla el perímetro de la figura.

C) 8 cm 4 cm cm

Resolución:

a

430

10 cm

a a+6 cm


8 cm

10

a+6 cm

A) 54 cm D) 52 cm

B) 50 cm E) 60 cm

C) 56 cm

Sexto grado de primaria Resolución: cm

Perímetro =

Perímetro = p×2 cm + p×2 cm + p×2 cm

10 cm

10

p ´ 4 cm p ´ 4 cm p ´ 4 cm + + 2 2 2

\

Perímetro = 6p cm

Rpta. C

cm

4 cm 8 cm

10

10 cm

Eje rcic io 5 Encuentra el perímetro de la región coloreada. A) 64 cm B) 62 cm C) 74 cm D) 52 cm E) 66 cm

10 cm

Perímetro = Suma de los lados

12 cm

Perímetro = 10 cm + 10 cm + 10 cm + 4 cm + 8 cm + 10 cm 20 cm

\ Perímetro = 52 cm Rpta. D Eje rcic io 4 La figura está formada por un triángulo equilátero ABC y tres semicírculos cuyos diámetros son los lados del triángulo. Halla el perímetro de la región coloreada (el lado del triángulo mide 4 cm).

Resolución: m c 12 cm

B

A) 4p cm B) 8p cm C) 6p cm A

C

D) 10p cm E) 12p cm

Resoluci

n b

b

a m

a n

q

Perímetro = longitud del contorno de la figura Perímetro = 20+12+m+c+n+b+q+a Perímetro = 32 + m + n + q +1a4 +2b4+ 4 4 3c 14 4244 3 +

20

+

m 4c

4c m


A

4 cm

C

Rpta. A

C

Perímetro = longitud del contorno Perímetro = longitud AB + longitud BC + longitud AC p´ AB p´BC p´ AC + + 2 2 2

12

Eje rcic io 6 Encuentra el perímetro de la región coloreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4 cm y las líneas curvas son semicircunferencias. B

Perímetro =

q

20 cm

Perímetro = 32

B

c

A

D

A) 6p B) 16p C) 8p D) 12p E) 10p


431

Manuel Coveñas Naquiche Resolución: Vemos que la región coloreada se encuentra limitada por las cuatro semicircunferencias cuyos diámetros son los lados del cuadrado, entonces: Perímetro = 4 · longitud AB ...........(1) Longitud AB =

p´ AB p´4 = = 2p 2 2

Reemplazando en (1):

Equilátero CG = CF = FG = 6 Perímetro = Suma de los lados Perímetro = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 DGCF:


Eje rcic io 8 Encuentra el radio de una circunferencia, si su longitud es 10p cm. A) 4 cm D) 5 cm

Perímetro = 4 × 2p

B) 3 cm E) 1,5 cm

Eje rcic io 7 La figura que se muestra está formada por dos cuadrados congruentes y un triángulo equilátero. Halla el perímetro de la figura, si AB = CD = 6 cm. A) 48 cm E B) 36 cm C

B

C) 40 cm D) 32 cm

F

E) 42 cm

A

G

Resolución:

C 6

6

432

6

10p cm = 2p R \ R = 5 cm

®

10 p cm =R 2p

Rpta. D

Eje rcic io 9 Los radios de dos circunferencias son dos números enteros consecutivos. Calcula el menor de los dos radios, si la suma de las longitudes de las dos circunferencias es 42p cm. B) 10 cm E) 10,5 cm

C) 12 cm

R R+1

F 6

A

Longitud = 2p R

E 6

6

R

Resolución:

6 6 6

O

A) 8 cm D) 21 cm

D

B

C) 2 cm

Resolución:

\ Perímetro = 8p cm Rpta. C

D

Rpta. E

G

ABCG:

Cuadrado AB = BC = CG = GA = 6

CDEF:

Cuadrado CD = DE = EF = FC = 6


Suma de las longitudes de las 2pR + 2p(R+1) = 42p 2R + 2(R+1) = 42 2R + 2R + 2 = 42 4R = 42 - 2

s = 42p

Sexto grado de primaria Perímetro = longitud del contorno

4R = 40 R=

40 4

Perímetro = 1 longitud del OM +4444444 longitud del MA 444444 42 3

R = 10

®

\ Menor radio = 10 cm

+1longitud del ONM + longitud MB 444444 424444444 3

Rpta. B

Eje rcic io 1 0 Encuentra el perímetro de la región coloreada, donde O es centro del arco AB, O A y O B son diámetros de las semicircun-ferencias.

+ longitud del AB Perímetro = longitud OA + longitud BO + longitud BA 2p ´1 2p ´1 2p ´ 2 + + 2 2 4 Perímetro = p + p + p

Perímetro =

B A) p

\ Perímetro = 3p

Rpta. C

B) 2p

2

C) 3p

Razona

D) 4p

O

A

2

Los triángulos de la figura son equiláteros, el perímetro del triángulo mayor es 60 cm. Encontrar el perímetro del triángulo más pequeño.

E) 5p

Resolución: B 1 M

Rpta.: 7,5 cm

1 N O

1

1

A


Eje rcic io 1 El perímetro del rectángulo de la figura es 50 cm. Halla “x”.

Resolución:

x 4x R pt a .

x = 5 cm


433


Eje rcic io 2 Encuentra el perímetro de la región coloreada.

Resolución:

10

6

Eje rcic io 3 Calcula el perímetro de la región coloreada.

R pt a .

32

R pt a .

8p

R pt a .

6p

Resolución:

2

2 2

Eje rcic io 4

2

Encuentra el perímetro de la

Resolución:

región coloreada, si A B , B C y A C son diámetros.

A 4

434

B


C 2


Eje rcic io 5 Encuentra el perímetro de la figura que se encuentra formada por dos rombos, si AB = 4 cm.

Resolución:

C

D

E

B

F

A

Eje rcic io 6 ra mostrada.

Halla el perímetro de la figu-

Rpta.

24 cm

R pt a .

30

R pt a .

14p

Resolución:

2 3 2

3

2

Eje rcic io 7 Halla el perímetro de la región coloreada.

Resolución:

5 cm 2 cm


435


Eje rcic io 8 La región coloreada se encuentra limitada por dos cuadrados. Halla su perímetro.

Resolución:

2

5

R pt a .

Eje rcic io 9 Halla el perímetro de la región coloreada.

28

Resolución:

4 cm

4 cm 4 cm

4 cm

Rpta.

436


(8p + 16) cm


•

Áreas de las principales regiones poligonales Área del rectángulo El área de la región de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

C

B

Ejemplo: Determina el área de la región de un rectángulo, si su base mide 6 cm y su altura mide 2 cm. Resolución:

h A

b Área

h=2 cm

D

=b×h

b=6 cm Área

=b×h

Reemplazando:

b: base

b = 6 cm h = 2 cm

h: altura \

Área

= 6 cm × 2 cm

Área

= 12 cm2

Área del cuadrado El área de la región de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado. B

C

Ejemplo: El lado de un cuadrado mide 4 cm. Halla el área de su región. Resolución:

L

L=4 cm D

L

A

L=4 cm Área

= L2

= L2

Área Reemplazando:

\

L = 4 cm

Área

= (4 cm)2

Área

= 16 cm2


437

Manuel Coveñas Naquiche Área del paralelogramo

Ejemplo:

El área de la región de un paralelogramo es igual a su base por su altura.

B

C

La base de un paralelogramo mide 8 cm y su altura mide 3 cm. Halla el área de la región del paralelogramo. Resolución: Área

h

=b×h

Reemplazando:

A

b Área

b = 8 cm

D

h = 3 cm

=b×h

Área

= 8 cm × 3 cm

Área

= 24 cm2

b: base h: altura

Área del rombo

Ejemplo:

El área de la región de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.

B

A

C

Halla el área de la región de un rombo, si sus diagonales miden 10 cm y 6 cm. Resolución:

D

D=10 cm

E d

Área

d=6 cm

=

D´d 2

Área

=

Reemplazando:

D: diagonal mayor d: diagonal menor

\

438


D´d 2 D = 10 cm d = 6 cm

Área

=

10 cm ´ 6 cm 2

Área

=

60 cm 2 2

Área

= 30 cm2

Sexto grado de primaria Área del trapecio El área de la región de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura del trapecio.

a

B

C

Ejemplo: Determina el área de la región de un trapecio, si sus bases miden 3 cm y 5 cm, y su altura mide 2 cm. Resolución:

a=3 cm h A

h=2 cm

D

b

b=5 cm æa+bö = ç ÷´h è 2 ø

Área

æa+bö = ç ÷´h è 2 ø Reemplazando: a = 3 cm b = 5 cm h = 2 cm

Área

a: base menor b: base mayor h: altura

Área

é (3 cm + 5 cm) ù = ê ú × 2 cm 2 ë û

Área

= 8 cm2

Área del triángulo El área de la región de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base y de su altura.

Ejemplo: Encuentra el área de la región de un triángulo, si su base mide 6 cm y su altura mide 3 cm. Resolución:

B h A

h=3 cm C

b

Área b: base h: altura

=

b´h 2

b= 6 cm

b´h 2 Reemplazando: b = 6 cm h = 3 cm 6 cm ´ 3 cm Área = 2

\

Área

=

Área

= 9 cm2


439

Manuel Coveñas Naquiche Área del triángulo equilátero

Ejemplo:

El área de la región de un triángulo equilátero es igual al cuadrado de su lado por la raíz cuadrada de tres, dividido entre cuatro.

El lado de un triángulo equilátero mide 2 cm. Encuentra el área de su región. Resolución: B

B

L

L=2 cm

L

A

A

C

L

L=2 cm

C

L2 ´ 3 Área = 4 Reemplazamos: L = 2 cm

L2 ´ 3 = 4

Área

L=2 cm

Área

=

\ Área

=

L : Longitud del lado del triángulo equilátero

(2 cm)2 ´ 3 4 cm 2 ´ 3 = 4 4 3 cm 2

Área del polígono regular Polígono regular es el polígono que tiene sus lados y sus ángulos interiores congruentes. Apotema: Se llama apotema de un polígono regular al segmento perpendicular que se traza por el centro del polígono a uno de sus lados. “El área de la región de un polígono regular es igual a la mitad de su perímetro por su apotema“.

l

C

D

l O

l

E apotema

B

l

A

apotema

l

O

l F

A

l

F

Luego:

De la figura: Área

ABCDEF = 6 × Área D AOF

Área

ABCDEF = 6 ×

l ´ apotema 2

Pero: 6 × l : es el perímetro del hexágono ABCDEF

440


Observamos que el área de la región del hexágono regular es igual al área de las regiones de seis triángulos. También observamos que la base de cada triángulo es un lado del hexágono y la altura de cada triángulo es la apotema del hexágono.

ABCDEF =

perímetro ´ apotema 2

Área del polígono =

perímetro ´ apotema 2

Área \

(fórmula)

Sexto grado de primaria Ejemplo: Encuentra el área de la región de un hexágono regular, si su lado mide 6 cm y su apotema mide 3 3 cm. Resolución: perímetro ´ apotema Área = .......................(1) 2 6 cm Perímetro = 6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm 6 cm 6 cm Perímetro = 36 cm 3 3 cm

ap = 3 3 cm

6 cm

Reemplazamos en (1):

6 cm

6 cm

Área = \

36 cm ´ 3 3 cm = 18 × 3 3 cm2 2

Área = 54

3 cm2

Área de la región de un polígono irregular El área de la región de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos, rectángulos, trapecios, etc. Ejemplo: Encuentra el área de la región del polígono de la figura.

Área = área trapecio ABDE + área DBCD ......(1) Área trapecio ABDE =

C

16 cm + 9 cm I F H 2 K× 6 cm

Área trapecio ABDE = 75 cm2 9 cm

B 4 cm

D

12 cm 6 cm

A

Área DBCD =

16 cm ´ 9 cm 2

Área DBCD = 72 cm2

9 cm

E


Resolución:

Área = 75 cm2 + 72 cm2 C

\ Área = 147 cm2

9 cm

B 4 cm

D

12 cm 6 cm

A

9 cm

E Sexto Grado de Primaria

441


Ejercicio resueltos

Sobre áreas de las regiones planas

Eje rcic io 1 Encuentra el área de la región de un rectángulo, si su mayor dimensión mide 8 y la menor dimensión mide la mitad de la mayor.

Eje rcic io 3 La diagonal mayor de un rombo mide 12 cm y la diagonal menor mide la tercera parte de la mayor. Halla el área de la región del rombo.

A) 26 D) 32 Resolución:

A) 48 cm2 D) 32 cm2

B) 42 E) 28

C) 36

B) 18 cm2 E) 28 cm2

C) 24 cm2

Resolución:

B

C

B

4 A

D

8

Menor dimensión = AB = Área \ Área

8 =4 2

C

A

=8×4 = 32

Rpta. D

Eje rcic io 2 Las bases de un trapecio miden 4 cm y 6 cm, la altura del trapecio mide la mitad de la base mayor. Halla el área de la región del trapecio. A) 15 cm2 D) 18 cm2

B) 12 cm2 E) 14 cm2

C) 24 cm2

E d

Del dato, la diagonal menor mide la tercera parte de la diagonal mayor. 12 cm 3

d=

Resolución: Ahora: 4

B

D=12 cm

C

Área

Reemplazamos:

®

d = 4 cm

D´d 2 D = 12 cm =

d = 4 cm 3

Área A

6

Altura =

6 = 3 cm 2

Área

=

Área Área \ Área

442

=

D

\ Área Eje rcic io 4 coloreada.

4 + 6 I F H 2 K× 3 10 I F = ×3 H 2K

12 cm ´ 4 cm 48 cm 2 = 2 2

= 24 cm2

Rpta. C

Encuentra el área de la región

B

C

5 cm

=5×3 = 15 cm2


Rpta. A

A

8 cm

D

A) 25 cm2 B) 10 cm2 C) 15 cm2 D) 20 cm2 E) 30 cm2

Sexto grado de primaria 4 cm + 12 cm I F H 2 K× 5 cm 16 cm I F ABCD = H K× 5 cm 2

Resolución: Área B

F

ABCD =

C

Área 5 cm

5 cm

A

ABCD - área

AFD ...(1)

Área

ABCD = 8 cm × 5 cm

Área

ABCD = 40 cm2 .............................(2)

Área

ADF =

AFD =

Área

AFD = 20 cm2 .........................(3)

Rpta. D

12 cm ´ 3 cm 2

36 cm 2 = 18 cm2 .....(3) 2 Reemplazando (2) y (3) en (1):

ADF =

Área = 40 cm2 - 4 cm2 - 18 cm2 = 40 cm2 - 22 cm2 \ Área = 18 cm2

Reemplazando (2) y (3) en (1): Área pedida = 40 cm2 - 20 cm2

BCF =

Área

8 cm ´ 5 cm 2

Área

\ Área pedida = 20 cm2

Área

4 cm ´ 2 cm 2 2 BCF = 4 cm .........................(2)

Área

D

L 8 cm

Área pedida = área

ABCD = 8 cm × 5 cm = 40 cm2

Área

Rpta. B

Eje rcic io 6 Halla el área de la región coloreada, si AC = 6, CE = 4, EG = 2 y los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.

Eje rcic io 5 En el trapecio de la figura, encuentra el área de la región coloreada, si BC = 4 cm, CF = 2 cm, FD = 3 cm y DA = 12 cm.

B

A) 12

F

3

B) 24 3

B

C F

A

D

A) 20 cm2 B) 18 cm2 C) 26 cm2 D) 24 cm2 E) 16 cm2

Resolución:

A

D) 16 3 E) 14

D

3

Resolución: B

4 cm

B

C

6

F

6

2 cm

F

2

12 cm

Área = Área - Área

6

E

C

2

G

4

4

D

ABCD - Área BCF ADF ...........................(1)

2

4

A

3 cm

A

C) 20 3

G

E

C

D

El

ABC es equilátero: AB = BC = AC = 6


443

Manuel Coveñas Naquiche El El

CDE es equilátero: CE = ED = DC = 4 EFG es equilátero: EG = EF = FG = 2

Área

Resolución:

Área

42 3 CDE = =4 3 4

Área

EFG =

22 3 = 4

2

Área + área

Eje rcic io 7 coloreada.

6

ABC + área

O

4

3

M 2

A

D

6

3

Vemos que: OM =

Nos piden la suma de las áreas. \

C

B

62 3 ABC = =9 3 4

4 =2 2 La región coloreada es un trapecio.

CM = MD =

CDE

EFG = 14 3

6 =3 2

Rpta. E

A) 50 B) 52 C) 56 D) 42 E) 48

2 4 10

é3 + 6ù AOMD = ê ú ×2 ë 2 û

Área


\ Área

AOMD = 9

Rpta. A

Eje rcic io 9 En el paralelogramo ABCD, encuentra el área de la región coloreada. B

K

C

Resolución:

4 A

6

2

F

E

3

D 1

4

4

A) 18 10

Rpta. B

Eje rcic io 8 En el rectángulo de la figura, encuentra el área de la región coloreada. B

A

444

D) 14

E) 20

Área = área + área

ABF + área FKE ECD ...........................(1)

Área

3 ´ 4 12 = =6 2 2

C O

6


M D

A) 9 B) 7 C) 8 D) 6 E) 10

ABF =

4 ´ 4 16 = =8 2 2 1´ 4 4 = =2 Área ECD = 2 2 Reemplazando en (1):

Área

4

C) 16

Resolución:

Área = 6 × 10 - 2 × 4 = 60 - 8 \ Área = 52

B) 12

FKE =

Área = 6 + 8 + 2 \ Área = 16

Rpta. C

Sexto grado de primaria Eje rcic io 1 0 Calcula el área de la región coloreada, si ABCD y EFGD son paralelogramos. C

B F

G 6 cm 4 cm

E

D HR

6 cm 10 cm

Área = área

ABCD - área

EFGD

A) 38 cm2

Área = AD × CR - DE × GH

B) 32 cm2

Área = 10 cm × 6 cm - 6 cm × 4 cm

C) 46 cm2 D) 36 cm2 E) 42 cm2

Área = 60 cm2 - 24 cm2 = 36 cm2 \ Área = 36 cm2

Rpta. D

Taller de ejercicios 110 Eje rcic io 1 En el paralelogramo ABCD, encuentra el área de la región coloreada.

B

Resolución:

C 10 cm

A

D

16 cm


Calcula el área de la región

R pt a .

80 cm2

R pt a .

40 cm2

R pt a .

98 cm2

Resolución:

C

B R

6 cm

4 cm

A

Resolución:

A

10 cm

S

D

Eje rcic io 3 En el cuadrado de la figura, encuentra el área de la región coloreada. B

Resolución:

C 10 cm

4 cm A

D


445


Eje rcic io 4 ABCD es un cuadrado. Calcula el área de la región coloreada. B

Resolución:

C

4 cm A

4 cm


R pt a .

48 cm2

R pt a .

40 cm2

R pt a .

54 cm2

R pt a .

6 cm

D


Resolución:

3 cm 5 cm 8 cm

2 cm


Calcula el área de la región

Resolución:

12 cm

6 cm

Eje rcic io 7

El área de la región del trián-

Resolución:

gulo equilátero de la figura es 9 3 cm2. Halla la longitud del lado del triángulo equilátero.

B

A

446


C


Eje rcic io 8 loreada.

Halla el área de la región co-

Resolución:

C

B

14 cm

A

D

Rpta.

42 cm2

Área de las regiones circulares El círculo Una circunferencia determina en el plano una región interior y una región exterior.

círculo

Un círculo o región circular es la figura plana formada por la circunferencia y su región interior.

O

Por lo tanto, la circunferencia es una línea curva cerrada en la que todos sus puntos están a la misma distancia del centro.

circunferencia

(cuadrado) (cuadrado)

O

(pentágono) (pentágono)

O

(Exágono) (hexágono)

apotema

O

apotema

Observa Cada uno de los polígonos regulares y circunferencias.

apotema

Área del círculo

apotema

•

6 cm

O

(heptágono) (heptágono)

O R (círculo) (cí rcul o)

Observamos que cuando mayor es el número de lados del polígono, éste más se aproxima a la circunferencia que le rodea. Por lo cual se puede decir que el polígono que tiene muchísimos lados y la circunferencia que le rodea coinciden en todos sus puntos. En consecuencia: Área de la región del polígono regular de muchísimos lados = área del círculo Sexto Grado de Primaria

447

Manuel Coveñas Naquiche Entonces:

Área del círculo = área del polígono Área del círculo =

perímetro ´ apotema ...............................................(1) 2

Pero: Perímetro del polígono de muchísimos lados = longitud de la circunferencia Apotema del polígono de muchísimos lados = radio de la circunferencia Reemplazamos en (1): Área del círculo =

longitud de la circunferencia × radio 2

Área del círculo =

2pR ´ R 2

\ Área del círculo = p × R2

®

Ejemplo:

Resolución: Área del círculo = pR2 Reemplazamos: R = 4 cm Área del círculo = p(4 cm)2

Encuentra el área de un círculo, si su radio mide 4 cm.

Ejemplo:

\ Área del círculo = 16p cm2

Resolución: Área del círculo = pR2 El área de un círculo es 16p cm2. Halla la longitud de su radio.

Reemplazamos:

Área del círculo = 16p cm2

16p cm2 = pR2 ® \

16 cm2 = R2 R = 4 cm

Sector circular Un sector circular es una parte de un círculo comprendida entre dos radios y el arco.

Ejemplo: Calcula el área de un sector circular, su radio mide 12 cm y su ángulo central mide 120°. Resolución:

B R

B

O f R

R O f

A


R

Área sector AOB = pR2 ×

f 360°

f : ángulo central del sector circular

448


f ....(1) 360° Del dato: R = 12 cm y f = 120°

Área sector AOB=pR2×

A

Área sector AOB = p×(12 cm)2 ×

\

Área sector AOB = 48p cm2

120° 360°

Sexto grado de primaria Semicírculo Un semicírculo viene a ser la mitad de un círculo.

A

R

O

Segmento circular El segmento circular es una parte del círculo comprendido entre una cuerda y su arco.

A

B

R

C B

Área semicírculo =

área círculo 2

Área semicírculo =

p R2 2

Zona o faja circular A

Una zona o faja circular es una parte de un círculo comprendida entre dos cuerdas paralelas.

B D

C

A B // C D

Corona circular

Ejemplo:

La corona circular es una parte de un círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.

Calcula el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 2 cm y 6 cm. Resolución:

O r

m O 2 cr

R

R Área corona circular = área círculo mayor área círculo menor

Área corona circular = p(R2 - r2) Área corona circular = p[(6 cm)2 - (2 cm)2] = p[36 cm2 - 4 cm2] = p[32 cm2]

Área corona circular = p R2 - pr2 \ Área corona circular = p(R2 - r2) \

Área corona circular = 32p cm2


449

Manuel Coveñas Naquiche Recuerda

Trapecio circular

Se llaman ci rcunfere ncias concéntricas aquellas circunferencias que tienen el mismo centro.

El trapecio circular es una parte de la corona circular comprendido entre dos radios.

R r C

O f

D

A

O

B

Área trapecio circular = área sector AOB - área sector COD 2 Área trapecio circular = p R ´

\

f f - p r2 ´ 360° 360°

2 2 Área trapecio circular = p(R - r ) ´

f 360°

f : ángulo central del trapecio circular

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 reada.

Halla el área de la región colo-

A) 46p cm2 B) 48p cm2 C) 50p cm2 D) 42p cm2 E) 58p cm2

O 8 cm

4 cm

O1

¡Atención! Eje rcic io 2 Encuentra el área de la región coloreada, si el radio del semicírculo mide 6 cm. A) 6p cm2 B) 8p cm2 C) 10p cm2 D) 9p cm2 E) 5p cm2

C

A

6 cm

O

B

6 cm

Resolución:

Resolución:

C 3

O1

O 8 cm

4 cm

O1

A

Área = p(8 cm)2 - p(4 cm)2

6 cm

450


Rpta. B

O

6 cm

B

Área =

p ´ (6 cm)2 – p(3 cm)2 2

Área =

p ´ 36 cm 2 – p × 9 cm2 2

Área = p × 64 cm2 - p × 16 cm2 \ Área = 48p cm2

3

Sexto grado de primaria Área = p × 18 cm2 - p × 9 cm2 \ Área = 9p cm2 Rpta. D

Reemplazando:

Eje rcic io 3 El lado de un cuadrado mide 10 cm, encuentra el área del círculo inscrito. A) 20p cm2 D) 50p cm2

B) 25p cm2 E) 35p cm2

C) 15p cm2

Resolución: B

120° 360° 1 Área sector = p × 36 cm2 × 3 \ Área sector = 12p cm2 Rpta. E

Área sector = p(6 cm)2 ×


C

Encuentra el área de la región A) 8p cm2

C

R 10 cm

f 360° f = 120° y R = 6 cm

Área sector = pR2 ×

B) 12p cm2

O

A

C) 10p cm2

O

R

6 cm

D

170°

D

10 cm

B

En la figura observamos que: 10 cm = 2 R ® R = 5 cm Usando áreas: Área del círculo = p × R2 = p(5 cm)2 \ Área del círculo = 25p cm2

Rpta. B

C 6 cm

O

6 cm

B

240°

C) 28p cm2 D) 14p cm2 E) 12p cm2

Resolución: A 6 cm

f O

f

O

D

A) 16p cm2 B) 8p cm2

6 cm

E) 18p cm2

A

Resolución:

Eje rcic io 4 Encuentra el área de la región coloreada, si O es el centro del círculo. A

170° 10°

B

En el

A

OBA:

f = 90° + 10° (Ð) exterior) f = 100° f Usando áreas: Área sector = pR2 × 360° Reemplazando: f = 100° y R = 6 cm 100° Área sector = p · (6 cm)2 × 360° \ Área sector = 10p cm2

B 6 cm

D) 6p cm2

Rpta. C

Eje rcic io 6

240°

De la figura: f + 240° = 360° ® Usando fórmula de áreas:

f = 120°

A 2 cm

B

C 6 cm


451

Manuel Coveñas Naquiche Halla el área de la región coloreada; AB, BC, AC son diámetros. A) 3p cm2 D) 2p cm2

B) 1p cm2 E) 5p cm2

C) 4p cm2

Resolución:

18 2 R = 9 cm

2pR = 18p

® R=

Usando áreas. Área = pR2 = p(9 cm)2 \ Área = 81p cm2 Eje rcic io 8

A 2 cm

C

B

Rpta. C

Halla el área de la región colo-

reada, si A B , B C y A C son diámetros.

6 cm

A) 8p cm2 B) 9p cm2 C) 6p cm2 5p D) cm2 8 9p E) cm2 8

p´ (8 cm)2 p´ (2 cm)2 p´ (6 cm)2 Área = 8 8 8

Área = Área =

p´ 64 cm2 p´ 4 cm 2 p´ 36 cm 2 8 8 8

p´ 64 cm 2 - p ´ 4 cm 2 - p´ 36 cm 2 8 p ´ 24 cm 2

Área =

8

\ Área = 3p cm2

El área de la región de un semicírculo es igual al número pi por el cuadrado de su diámetro, dividido entre ocho.

Área =

p´ D 2 8

D: diámetro

D

Eje rcic io 7 El perímetro de un círculo es 18p cm. Halla el área de la región del círculo. A) 80p cm2 D) 10p cm2

B) 72p cm2 E) 82p cm2

C) 81p cm2

Resolución:

C

B 4 cm

2 cm

Resolución: Área =

p (6 cm)2 p (4 cm)2 p (2 cm)2 + 8 8 8

Área =

36 p cm 2 16 p cm 2 4 p cm 2 + 8 8 8

Rpta. A

Atención

O

A

\ Área = 6p cm2

Rpta. C

Eje rcic io 9 Los vértices del cuadrado ABCD son centros de los arcos. Halla el área de la región coloreada. B

2

2

C

2

2

2

2

A

2

Resolución:

2

A) 16 - 2p B) 16 - p C) 12 - p D) 16 - 4p E) 14 - 3p

D

B

2

2

2

C 2

M

R

Del dato: Perímetro = 18p

2 A

452


2 2

N

2

D

Sexto grado de primaria Área = área

- 4 × A sector MAN

Área = (4)2 - 4 ×

Resolución:

p(2)2 4

Área = 16 - 4p

4

\ Área = 16 - 4p

4 4

Rpta. D

4

4

Eje rcic io 1 0 Halla el área de la región coloreada.

4

4 4 4

4

A) 8p B) 10 p C) 12 p D) 16 p E) 6 p

Área = 2 ´

p 4 2 p (4)2 + 4 8

\ Área = 10 p Rpta. B


Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm, ¿cuánto mide su lado? A) 8 cm B) 7 cm C) 9 cm D) 10 cm E) 6 cm

2

Encuentra el perímetro de la región colo reada dado a continuación:

A) 60 cm D) 56 cm 3

C) 62 cm

El perímetro de un rectángulo es 56 cm, si uno de los lados mide 8 cm más que el otro lado, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo? A) 9 cm D) 10 cm

4

B) 53 cm E) 55 cm

B) 11 cm E) 12 cm

A) 70 cm B) 160 cm C) 140 cm D) 210 cm E) 130 cm 5 Halla el semiperímetro de la figura mos trada.

C) 8 cm

A) 38 cm D) 39 cm 6

B) 41 cm E) 46 cm

C) 76 cm

Hallar el perímetro de la región coloreada, si el triángulo ABC es equilátero y AB diá metro.

En la figura halla el perímetro de la región coloreada.


453

Manuel Coveñas Naquiche A) 4p cm + 16 cm C) 8p cm E) 4p cm + 24 cm

B) 8p cm + 8 cm D) 24 cm

12 En la siguiente figura:

7 Encuentra el perímetro de la región pinta da, si AB , BC , AC son diámetros.

A) 9 p D) 12 p

B) 10 p E) 16 p

C) 14 p

8 Encuentra el área de la región de un rec tángulo, si el lado mayor mide 18 cm y el 2 lado menor los del mayor. . 3

A) 200 cm 2 B) 216 cm 2 C) 300 cm 2 D) 212 cm 2 E) 196 cm 2 9 Hallar el área de un rombo, si sus diagonales miden 12 cm y 9 cm. A) 60 cm 2 D) 50 cm 2

• El perímetro del rectángulo ACED mide 32 cm • El triángulo ABC es equilátero. ¿Cuál es el área de la región coloreda? A) 72 3 cm 2 B) 36 3 cm 2 C) 9 3 cm 2 D) 60 3 cm 2 E) N.A. 13 La siguiente figura está formada por 9 cua drados iguales. El perímetro de la figura es 96 cm. ¿Cuál es el área de la región pintada?

B) 40 cm 2 C) 64 cm 2 E) 54 cm 2

10 Julio compra un terreno tal como se muestra en la figura. Si el m 2 lo compra a $13, ¿cuánto pagará en total? A) 81 cm 2 D) 48 cm 2

B) 36 cm 2 C) 63 cm 2 E) 64 cm 2

14 Hallar el área de la región pintada conte nido en el cuadrado de lado “L”

A) $24 456 D) $20 000 11

El área de la región de un triángulo es 52 cm 2 , si su base mide 13 cm. ¿Cuánto mide su altura? A) 8 cm D) 9 cm

454

B) $13 728 C) $12 728 E) $ 14 000

B) 6 cm E) 7 cm


C) 10 cm


A)

L 2 2

B)

3L 2 4

D)

3L 2 8

E)

L 2 4

C)

5L 2 2

15 Encuentra el área de un pentágono regular, si su lado mide 10 cm y su apotema 7,5 cm

A) 336 cm 2 C) 317,16 cm 2 E) 222 cm 2

A) 70,5 cm 2 B) 187,5 cm 2 C) 50 cm 2 D) 197,5 cm 2 E) 87,5 cm 2 16 Calcula el área de la siguiente región co loreada.

B) 112,96 cm 2 D) 222,96 cm 2

20 Hallar el área de la región coloreada.

A) 116p cm 2 B) 50p cm 2 C) 39p cm 2 D) 56p cm 2 E) 63p cm 2 A) 12p cm 2 B) 36p cm 2 C) 40p cm 2 D) 56p cm 2 E) 144p cm 2

Nivel II 1

17 El lado de un cuadrado mide 8 cm, en cuentra el área del círculo inscrito. A) 64p cm 2 B) 16p cm 2 C) 8p cm 2 D) 20p cm 2 E) 25p cm 2

El perímetro de un una región cuadrada mide 28 cm; ¿cuál es su área? A) 36 cm 2 D) 42 cm 2

2

18 En la figura:

Los vértices del cuadrado son centros de los arcos, calcula el perímetro de la región coloreada. B

¿Cuál es el área de la región pintada? AB , BC , AC son diámetros.

A) 21p cm 2 B) 18p cm 2 C) 100p cm 2 D) 42p cm 2 E) N.A. 19 Hallar el área de la región coloreada, si los arcos AB y CD son semicircunferencias. Nota: p = 3,14

3

B) 49 cm 2 C) 38 cm 2 E) 56 cm 2

4

4

C

4

4

4

4

A

D

A) 8p B) 12p C) 6p D) 4p E) 16p

Calcular el semiperímetro de ABCDEF si: AB = BC = 12 cm, DE =

3 ∙ AB 4 A) 21 cm B) 66 cm C) 44 cm D) 18 cm E) 33 cm


455


El perímetro de un rectángulo es 32 m y el largo es 8 m más que el ancho. Deter minar el área que rodea el rectángulo. A) 48 m 2 D) 42 m 2

5

B) 64 m 2 E) 52 m 2

9

C) 36 m 2

Hallar el perímetro de la figura coloreada

Un banderín de forma triangular mide 24 cm de base y tiene 216 cm 2 de área. ¿Cuál es su altura? A) 19 cm D) 16 cm

B

C

A

6

Hallar el perímetro de un triángulo 3 equilátero, si su lado mide los de 0,7 m 7

A) 40 cm D) 90 cm 7

B) 50 cm C) 70 cm E) 100 cm

4 cm

C) (8 p) cm 2

D) (12 3p) cm 2

E) (16 4p) cm 2 11

Las bases de un trapecio miden 20 cm y 16 cm. Si su altura mide 8 cm, ¿cuán to mide su área? A) 136 cm 2 B) 144 cm 2 C) 138 cm 2 D) 142 cm 2 E) 156 cm 2

12 Encuentra el área de la región coloreada. A) (72 16p) cm 2 4 cm

456


B) (64 8p) cm 2 C) (54 6p) cm 2

4 cm

D) (74 8p) cm 2 E) (60 4p) cm 2

4 cm

A) 140 cm 2 B) 148 cm 2 C) 156 cm 2 D) 158 cm 2 E) 172 cm 2

D

B) (18 p) cm 2

El perímetro de un cuadrado mide 44 cm. ¿Cuánto mide el área de la región que rodea?

En la siguiente figura se muestran tres re giones cuadradas, ¿cuál es el área total?

2 cm

A) (24 p) cm 2

A) 100 cm 2 B) 121 cm 2 C) 144 cm 2 D) 169 cm 2 E) 64 cm 2 8

C) 18 cm

10 Halla el área de la región coloreada.

si ABCD es un cuadrado y CD diámetro.

A) 26p cm B) 156 cm C) 208 cm D) (26p + 156) cm E) (26p + 52) cm

B) 15 cm E) 17 cm

4 cm

13 Encuentra el área de la región pintada.

A) 40 cm 2 D) 56 cm 2

B) 112 cm 2 C) 90 cm 2 E) 48 cm 2


14 Halla el área de la región coloreada.

B

C

3 cm

3 cm

A

A) 9p cm 2 D) 18 cm 2

se muestra, si A D // B C . 2 cm

C

4 cm

6 cm

D

D) 18 cm 2

B) 36 3 cm 2

cm 2 D) 36 p cm 2 cm 2

A) 644 cm 2 B) 800 cm 2 C) 814 cm 2 D) 716 cm 2 E) 864 cm 2

B) 14 cm 2 C) 15 cm 2

) 3 - p ) 3 - p )

19 La base de un paralelogramo mide 1022 (4) cm y su altura mide 13 (8) cm. Hallar el área de la región interna del paralelogramo.

A) 12 cm 2 3 cm

A

( C) 18 ( 2 E) 16 ( 2

B) 9 cm 2 C) 18p cm 2 E) 81p cm 2

15 Halla el área de la región de la figura que

B

A) 18 2 2 - p cm 2

D

3 cm

20 Halla el área de la región coloreada. B

C

E) 20 cm 2

B) 20 cm 2 4 cm

16

Encuentra el área de la región coloreada, si ABCD es un cuadrado y CFD es un triángulo equilátero, AB = 4 cm. B

A

C

D

A) 4 cm 2 B) 8 cm 2 F C) 2 cm 2 D) 6 cm 2 E) 12 cm 2

17 Encuentra el área de la región de un sec tor circular cuyo ángulo central mide 40° y su radio mide 3 cm. A) p cm 2 B) 2p cm 2 C) p/3 cm 2 2 D) 3p cm E) p/4 cm 2 18 Hallar el área de la región pintada.

A) 10 cm 2 C) 30 cm 2 D) 15 cm 2

A

D

10 cm

E) 25 cm 2

Clave de respuestas Nivel I 1. C 5. A 9. E 13. C 17. B

2. B 6. A 10. B 14. D 18. A

3. D 7. D 11. A 15. B 19. D

4. C 8. B 12. B 16. C 20. E

Nivel II 1. B 5. D 9. C 13. D 17. A

2. A 6. D 10. D 14. B 18. C

3. E 7. B 11. B 15. C 19. C

4. A 8. D 12. B 16. A 20. B


457


11 •

Sólidos geométricos

Poliedros Observa los siguientes sólidos geométricos:

Estos cuerpos geométricos son poliedros. Un poliedro es un sólido geométrico limitado por regiones poligonales.

Elementos de un poliedro Los elementos básicos de un poliedro son los siguientes: Caras: Son las regiones poligonales que limitan al poliedro y están compuestas por: - Base inferior: ABCD - Base superior: HGFE - Caras laterales: AHGB, BGFC, DEFC, AHED Aristas: Son los segmentos de recta que limitan las caras, son: - Aristas básicas: AB , BC , CD, DA , HG, GF , FE , EH - Aristas laterales: AH , BG, CF , DE Vértices: Son los puntos de intersección de tres o más aristas: A, B, C, D, H, G, F, E. Los principales poliedros son los prismas y las pirámides.

Teorema de Euler En un poliedro se cumple que su número de caras más su número de vértices es igual a su número de aristas más dos.

C+V=A+2

Donde: C: número de caras V: número de vértices A: número de aristas


461

Manuel Coveñas Naquiche 1. Poliedros regulares Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares de igual número de lados, es decir, sus caras son congruentes. Sólo existen cinco poliedros regulares. Para un mejor estudio entendemos por: C: N° de caras, V: N° de vértices, A: N° de aristas. Nombre y descripción Tetraedro: Está limitado por cuatro triángulos equiláteros. El tetraedro es una pirámide triangular.

Hexaedro o cubo: Se encuentra limitado por seis cuadrados. El cubo es un prisma cuadrangular.

Octaedro: Está limitado por ocho triángulos equiláteros.

Dodecaedr o: Se encuentra limitado por doce pentágonos regulares

Icosaedro: Se encuentra limitado por veinte triángulos equiláteros.

462


Figura

Desarrollo de su superficie

C

V

A

4

4

6

6

8

12

8

6

12

12 20 30

20 12 30


•

Prisma

Los prismas son sólidos geométricos que están limitados por dos bases paralelas que son polígonos congruentes y por caras laterales que son paralelogramos.

arista lateral

•

Nombre de los prismas Los prismas se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de la base.

Observa el prisma de la izquierda y sus elementos. - Las bases son hexágonos. - Las caras laterales son rectángulos. - La altura de un prisma es la distancia entre las bases.

Nº de lados de la base 3 4 5 6 7 8 M M

Nombre del prisma Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octagonal M M

M M

Clasificación de los prismas Prisma recto. Las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.

Prisma oblicuo. Las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases.

Prisma regular. Este prisma es recto y su base es un polígono regular.

Nombre: Prisma pentagonal recto

Nombre: Prisma triangular oblicuo

Nombre: Prisma hexagonal regular


463

Manuel Coveñas Naquiche Fórmulas del prisma recto Área de la superficie lateral (A SL ). Es la suma de las áreas de las regiones de todas las caras laterales. ASL = Perímetro de la base · h Área de la superficie total (A ST ). Es la suma de las áreas de las regiones de todas las caras. AST = ASL + 2 × área de la base Volumen

V = área de la base × altura

Paralelepípedo Los paralelepípedos son prismas que tienen seis caras. Las seis caras son paralelogramos. Un paralelepípedo se llama rectangular o rectoedro cuando sus seis caras son rectángulos. Área de la superficie lateral: ASL = 2 × a × c + 2 × b × c Área de la superficie total: AST = 2×a × b + 2 × a × c + 2 × b × c Volumen: V = a × b × c

Cubo El cubo es un paralelepípedo cuyas caras son cuadrados.

Área de la superficie lateral: ASL = 4 a2 Área de la superficie total: AST = 6 a2 Volumen: V = a3

Desarrollo de la superficie de un prisma regular

464



Ejercicio resueltos

Sobre prismas

Eje rcic io 1 ¿Cuántos vértices tiene un prisma pentagonal? A) 30 B) 25 C) 20 D) 10 E) 15

Eje rcic io 3 ¿Cuántas aristas tiene un prisma cuadrangular? A) 16 B) 10 C) 14 D) 8 E) 12

Resolución:

Resolución: A, B, C, D, E: Vértices de la base inferior

AB, BC , CD , DA , EF , FG, GH , HE : aristas básicas AE, BF , CG, DH,: aristas laterales

M, N, P, Q, R: Vértices de

N° de aristas = N° de

la base superior

aristas básicas + N° de aristas laterales N° de aristas = 8 + 4

N° de vértices = N° vértices base inferior + N° vértices base superior

\ N° de aristas = 12

N° de vértices = 5 + 5 \

N° de vértices = 10

Fó rmula N° de vértices = 2 ´ N° de vértices de la base Eje rcic io 2 ¿Cuántas caras tiene un prisma hexagonal? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 Resolución: Caras básicas: ABCDEF, MNPQRS:

Caras laterales: AMSF, AMNB, BNPC, CPQD, DQRE, ERSF

N° caras = N° caras laterales + N° caras básicas N° caras = 6 + 2 \ N° caras = 8

Rpta. E

Rpta. D

Rpta. B

Fó rmula N° caras = N° de lados de la base + 2

Fó rmula N° de aristas = 3 ´ N° de lados de la base Ejercicio 4 Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular, si su arista básica mide 6 cm y su arista lateral mide 24 cm. A) 860 cm2

B) 864 cm2

C) 854 cm2 E) 870 cm2

D) 844 cm2

Resolución: Sabemos que: ASL = perímetro de la base ´ altura ............(1) perímetro de la base = 6 × 6 = 36 cm altura = 24 cm Reemplazando en (1): ASL = 36 cm × 24 cm \ ASL = 864 cm2

Rpta. B


465

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 5 Encuentra el área de la superficie total de un cubo cuya arista mide 4 cm. A) 106 cm2

B) 144 cm2

C) 92 cm2 E) 84 cm2

D) 96 cm2

A) 9 cm C) 10 cm E) 8 cm

B) 12 cm D) 6 cm

Resolución: Volumen = área de la base ´ altura ...........(1) Del dato: Volumen = 8 3 cm3

Resolución: Recuerda que en un cubo todas las caras son cuadrados y del mismo modo todas sus aristas son congruentes. Por fórmula: AST = 6. a2 Reemplazamos: a = 4 cm AST = 6(4cm)2 = 6 × 16 cm2 \ AST = 96 cm2

· área de la base =B 2 2 cm g b B=

4

· altura = h = ? Reemplazando en (1):

Rpta. D

8 3 cm3 =

A) 450 cm3 C) 480 cm3 E) 420 cm3

B) 320 cm3 D) 280 cm3

Resolución: · Volumen = área de la base ´ altura ...........(1) · área de la base = B · altura .............. = h 6 cm × 8 cm = 24 cm2 2 h = altura = 20 cm

Un prisma es regular cuando es recto y su base es un polígono regular. Eje rcic io 8 Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma recto de 10 cm de altura, su base es un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 7 cm. A) 160cm 2 C) 200 cm2 E) 210 cm2

ASL = perímetro de la base ´ altura ........(1) perímetro de la base = 18 cm altura = 10 cm

su arista básica mide 2cm.

466


Reemplazando en (1): ASL = 18 cm ´ 10 cm

Rpta. C

Ejercicio 7: Halla la altura de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a 8 3 cm3 y

B) 150 cm2 D) 180 cm2

Resolución:

Reemplazando en (1): Volumen = 24 cm2 × 20 cm Volumen = 480 cm3

Rpta. E

Atención

B=

\

3 cm2 · h

h = 8 cm

\

Eje rcic io 6 La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm, y su altura mide 20 cm. Hallar el volumen del prisma.

3 = 3 cm2

7

\

ASL = 180 cm2 Rpta. D


•

Pirámide La pirámide es un poliedro cuya base es una región poligonal y sus caras laterales son regiones triangulares que tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Altura Es la perpendicular que se traza del vértice de la pirámide al plano de su base.

Nombre de las pirámides Las pirámides se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de su base.

Nº de lados de la base

Nombre de la pirámide

3 4 5 6

Pirámide triangular o tetraedro Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal

M M

Pirámide triangular o tetraedro

Pirámide cuadrangular

M M

Pirámide pentagonal

M M

Pirámide hexagonal

Pirámide regular Una pirámide es regular cuando el polígono de su base es un polígono regular y la altura de la pirámide cae sobre el centro de su base. Apotema. La apotema de una pirámide regular es la perpendicular que se traza desde el vértice de la pirámide a una de las aristas básicas. Área de la superifice lateral: ASL = Perímetro de la base x apotema 2 Área de la superficie total: AST = ASL + área de la base Volumen: V =

1 ´ área de la base × altura 3


467

Manuel Coveñas Naquiche Desarrollo de la superficie de la pirámide regular

Sobre pirámides

Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 ¿Cuantos vértices tiene una pirámide hexagonal? A) 8 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12

Resolución: Como nos dicen que la pirámide es pentagonal, su base es un pentágono. Son aristas básicas: AB, BC

Resolución:

BC , CD, DE, AE Son aristas laterales: FA , FB

Como nos dicen que la pirámide es hexagonal, su base es un hexágono. A, B, C, D, E, F son vértices básicos y G es el vértice de la pirámide. N° vértices = N° vértices básicos + vértice de la pirámide N° vértices básicos = 6 Vértices de la pirámide = 1 Entonces: N° vértices = 6 + 1 \

N° vértices = 7

Rpta. C

Fó rmula N° vértices = N° vértices de la base + 1 Eje rcic io 2 ¿Cuántas aristas tiene una pirámide pentagonal? A) 15 B) 10 C) 20 D) 25 E) 5

468


, FB, FC, FD, FE N° aristas = N° aristas básicas + N° aristas laterales N° aristas = 5 + 5 \

N° aristas = 10

Rpta. B

Fó rmu la N° aristas = 2 x N° lados de la base Eje rcic io 3 ¿Cuántas caras tiene una pirámide cuadrangular? A) 6 B) 4 C) 8 D) 5 E) 10 Resolución: Como nos dicen que la pirámide es cuadrangular, su base es un cuadrilátero.

Sexto grado de primaria AEB, laterales.

BEC,

CED,

AED: son

caras

ABCD: es la cara básica. N° caras = N° caras laterales + N° caras básicas N° caras = 4 + 1 \ N° caras = 5 Rpta. D Fó rmula N° caras = N° lados de la base + 1 Eje rcic io 4 Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular, si su apotema mide 10cm y su arista básica mide 6cm. A) 120 cm2 C) 140 cm2 E) 160 cm2

B) 130cm2 D) 100 cm2

160 cm2= 20 cm ´ ap 160 cm 2 = ap 20 cm \ ap = 8 cm

Ejercicio 6: Encuentra el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado y la altura de la pirámide mide 6 3 cm. A) 16 cm3 B) 28 cm3 3 C) 18 cm D) 14 cm3 E) 24 cm3 Resolución: Volumen =

Resolución: Perímetro dela base ´ apotema ASL = ...... (1) 2

1 ´ área de la base ´ altura ....... (1) 3

área de la base =

Perímetro de la base = 4 x 6 cm = 24 cm apotema = 10 cm Reemplazando en (1):

ASL = \

24 cm ´ 10 cm 240 cm 2 = 2 2

ASL = 120 cm2

Rpta. A

Eje rcic io 5 Encuentra la apotema de una pirámide pentagonal regular, si el área de su superficie lateral es 160 cm2 y su arista básica mide 8 cm. A) 6 cm D) 10 cm

B) 5 cm E) 12 cm

Rpta. C

\

2 4 cm g b

3 = 4 3 cm2 4 altura = 6 3 cm Reemplazando en (1): Sea volumen = V Entonces 1 V= ´ 4 3 cm 2 ´ 6 3 3 1 cm V= 24 ´ 3 cm3 3

Volumen = 24 cm3

Rpta. E

Ejercicio 7 Halla el área de la superficie lateral de la pirámide mostrada, si OA = 2, OB = 3, OC = 4, m Ð) AOB = m Ð) BOC = m Ð) AOC = 90°. A) 11 D) 14

B) 13 E) 16

C) 12

C) 8 cm

Resolución: ASL =

Perímetro dela base ´ apotema ........ (1) 2 Perímetro=5 ´ 8 cm=40 cm ASL = 160 cm2 Reemplazando en (1): 40 cm ´ ap 160 cm2 = 2

Resolución: ASL= área AOB + área área

AOB =

BOC + área

AOC .... (1)

2´3 =3 2 Sexto Grado de Primaria

469


área

BOC =

Resolución:

3 ´ 4 12 = =6 2 2

G H

E

2´ 4 =4 2 Reemplazando en (1): ASL = 3 + 6 + 4

área

F

6 cm

AOC =

\

ASL = 13

B A

Rpta. B

Eje rcic io 8 En la figura se muestra un cubo de 6 cm de arista. Halla el volumen del tetraedro pintado. F

A) 38 cm3

G H

E

B) 52 cm3

6 cm

C 6 cm

D

El tetraedro es una pirámide triangular, entonces: 1 Volumen = ´ área de la base ´ altura ...... (1) 3 área de la base=área BCD B 6 cm ´ 6 cm área de la base = 2 área de la base = 18 cm2 altura = GC = 6 cm Reemplazando en (1):

C) 42 cm3 D) 36 cm3

B

E) 60 cm3 A

C D

Volumen = \

1 108 ´ 18 cm2 ´ 6 cm = cm3 3 3

Volumen = 36 cm3

Rpta. D

Taller de ejercicios 111 1. Encuentra el número de caras(C), vértices (V) y aristas (A) del sólido que se muestra.

Rpta. C=

V=

A=

2. Halla el número de caras (C), vértices (V), aristas (A) del prisma que se muestra.

Rpta. C=

V=

A=

3. Encuentra el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A) de la pirámide que se muestra.

4. Halla el área de la superficie lateral del prisma regular mostrado.

Rpta. C =

Rpta. ASL = 100 cm2

470

V=

A=



5. Halla el volumen de la pirámide regular que se muestra.

Rpta.

•

6. El volumen del cubo de la figura es 216 cm3. Halla su arista.

12 cm 3

Rpta. 6 cm

Sólidos de revolución: cilindro, cono y esfera

Cilindro de revolución El cilindro de revolución es el sólido engendrado por un rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados. r: Radio de la base h: Altura Área de la superficie lateral: ASL = 2p × r × h Área de la superficie total: AST = 2pr(h + r) Volumen: ................................. V = p × r2 × h

hh

® rr

Cono de revolución El cono de revolución es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos.

gg

h h

®

g

g

rr

Usando el teorema de Pitágoras. g2 = r2 + h2

g: Generatriz h: Altura r: Radio de la base Área de la superficie lateral: ASL = p ´ r ´ g

El teorema de Pitágoras se cumple en un triángulo rectángulo: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. hipotenusa

Área de la superficie total:

b g

AST = p r g + r Volumen: V =

p 2 ´r ´h 3

cateto 2 cateto 1

(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2


471


Es fera La esfera es el sólido engendrado por un semicírculo cuando gira una vuelta completa alrededor de su diámetro R: Radio

Área de la superficie de la esfera: A = 4 p × R2 Volumen:

R O

®

R

V=

Desarrollo de la superficie del cilindro de revolución

Desarrollo de la superficie del cono de revolución

g g

r

472


4 p × R3 3


Ejercicios resueltos Eje rcic io 1 Encuentra el área de la superficie total de un cilindro de revolución, si el radio de su base mide 2 cm y su altura mide 5 cm. A) 28 p cm2 B) 24 p cm2 C) 32 p cm2 D) 36 p cm2 2 E) 20 p cm Resolución:

Por fórmula: AST = 2 p r × (h + r) Reemplazamos: r = 2 cm h = 5 cm AST = 2p× 2 cm ( 5cm+2 cm) AST = 4 p cm × (7 cm) \ AST = 28 p cm2 Rpta. A

Eje rcic io 2 Calcula el radio de la base de un cilindro de revolución, si su volumen es 2 000 p cm3 y su altura mide 20 cm. A) 5 cm B) 20 cm C) 10 cm D) 15 cm E) 2,5 cm

Reemplazamos: r = 4 cm h = 6 cm Volumen = \

1 1 p´ (4 cm)2 ´ 6 cm = p ´ 16 ´ 6 cm 3 3 3

Volumen = 32 p cm3

Rpta. E

Eje rcic io 4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm, sus catetos miden 3 cm y 4 cm. Halla el área de la superficie lateral del cono engendrado por el triángulo rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor del cateto que mide 4 cm. A) 12 p cm2 B) 5 p cm2 C) 15 p cm2 D) 18 p cm2 2 E) 20 p cm Resolución:

®

Resolución: Volumen = p r2 h ..... (1) Reemplazamos los datos: volumen = 2 000 p cm3 h = 20 cm En(1): 2 000p cm3=p r2 × 20cm Despejo r2: 2 000 p cm 3 r2 = = 100 cm 2 p 20 cm

Sacando raíz cuadrada, tenemos finalmente: \ r = 10 cm Rpta. C Eje rcic io 3 Halla el volumen de un cono de revolución, si el radio de su base mide 4 cm y su altura mide 6 cm. A) 24 p cm3 B) 27 p cm3 C) 42 p cm3 D) 28 p cm3 3 E) 32 p cm

ASL = p r ´ g Reemplazamos: r = 3 cm g = 5 cm ASL = p × 3 cm × 5 cm \

ASL = 15 p cm2

Rpta. C

Eje rcic io 5 Halla el área de la superficie de una esfera cuyo radio mide 3 cm. A) 32 p cm2 C) 34 p cm2 E) 42 p cm2

B) 36 p cm2 D) 38 p cm2 Resolución: A = 4 p × R2 Reemplazamos: R = 3 cm A =4p (3 cm)2= 4p × 9 cm2

Resolución: Volumen =

1 ´ p´ r 2 ´ h 3

\

A = 36 p cm2 Rpta. B


473

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 6 Calcula el volumen de una esfera de 6 cm de radio. A) 288 p cm3 C) 328 p cm3 E) 278 p cm3 Resolución:

B) 298 p cm3 D) 188 p cm3

4 Volumen = p R 3 3 Reemplazamos: R = 6 cm

b g

\

®

Volumen =

Resolución: Área = 4 p R 2

B

36 p = 4 p R 2 36 = R2 Þ R2 = 9 4

B) 8 cm E) 5 cm

\

Rpta. A

Eje rcic io 7 Una esfera de 6 cm de radio tiene igual volumen que un cilindro de revolución de 8 cm de altura. Halla el radio de la base del cilindro.

Rpta. D

Eje rcic io 8 El área de la superficie de una esfera es 36 p . Halla el volumen de la esfera. A) 32 p B) 36 p C) 72 p D) 108 p E) 64 p

864 p cm 3 3

Volumen = 288 p cm3

4 216 ´ cm 2 = r 2 3 8

r = 6 cm

4 p´ 216 cm 3 3

Volumen=

A) 3 cm D) 6 cm

4 ´ 216 cm 3 = 8r 2 cm 3

36 cm2 = r2

4 3 Volumen = p 6 cm 3

\

Resolviendo y ordenando:

R=3

Reemplazando R en la fórmula de volumen: 4 Volumen = p R 3 3 Volumen =

C) 4 cm \

bg

4p 3 3 = 4p × 9 3

Volumen = 36 p

Rpta. B

Eje rcic io 9 Los lados de un rectángulo miden 2 cm y 3 cm. Halla el volumen del sólido engendrado por el rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor del mayor lado. A) 16 p cm3 D) 12 p cm3 Resolución: Volumen esfera = volumen cilindro

B 4 p R3 3

B) 18 p cm3 E) 28 p cm3

C) 14 p cm3

Resolución:

B =

p r2 h

........ (1)

®

Reemplazamos: R = 6 cm h = 8 cm En (1):

474

4 p (6 cm)3 = p r 2 ´ 8 cm 3


Volumen = p r2 h ............. (1) Reem plazand o: r= 2 cm h= 3 cm en la expresión (1):

Sexto grado de primaria Volumen = p (2 cm)2 × 3 cm = p 4 cm2 × 3 cm \

Volumen =12 p cm3

Resolución: AST = p r (g+r) Reemplazamos: g = 13 cm r = 5 cm AST = p ×5 cm(13 cm + 5 cm) AST = p ×5 cm ×18 cm

Rpta. D

Eje rcic io 1 0 La generatriz de un cono de revolución mide 13 cm, el radio de su base mide 5 cm y su altura mide 12 cm. Halla el área de su superficie total. A) 80 p cm2 B) 90 p cm2 C) 100 p cm2 D) 60 p cm2 E) 70 p cm2

\ AST = 90 p cm2 Rpta. C

8

Encuentra el área de la


5

¿Cuántos lados tiene la base de un pris

A) 56 cm 2

ma si en total posee 72 aristas? A) 14 E) 32 2

B) 30

B) 42 cm 2

C) 24 D) 28

C) 48 cm 2

¿Cuántos lados tiene la base de una pi

D) 36 cm 2

rámide si en total tiene 27 caras? A) 26 27 3

B) 25 E) 24

C) 28 D

E) 28 cm 2

)

Encuentra la suma de los números de ca

6

Encuentra el volumen de la pirámide re gular mostrada.

ras, vértices y aristas de un tetraedro re

A) 32 cm 3

gular. A) 12 E) 10 4

Encuentra el área de la superficie late ral de la pirámide regular mostrada.

B) 14

B) 36 cm 3

C) 16 D) 8

C) 24 cm 3

Halla el área de la superficie lateral del pris

D) 18 cm 3

ma hexagonal regular de la figura, si sus E) 42 cm 3

caras laterales son cuadrados. A) 28 cm 2

B) 24 cm 2

7

Halla el volumen de un cubo de 10 cm de arista. A) 10 000 cm 3

B) 1 000 cm 3

C) 32 cm 2

C) 2 000 cm 3 D) 100 cm 3

D) 48 cm 2

E) 3 000 cm 2

E) 52 cm 2 Sexto Grado de Primaria

475


8

9

Halla el área de la superficie lateral del prisma regular de la figura.

12 Calcula el volumen del cono engendrado por el triángulo rectángulo ABC de la figu ra cuando gira una vuelta completa alre

A) 85 cm 2

dedor del lado BC .

B) 65 cm 2

A) 115 p u 3

C) 80 cm 2

B) 120 p u 3

D) 70 cm 2

C) 110 p u 3

E) 75 cm 2

D) 100 p u 3

Encuentra la suma de los números de caras, vértices y aristas del poliedro de la figura. A) 25

E) 90 p u 3

12 u

5 u

13 Halla el volumen del cono de la figura, si g = 25 cm, h = 24 cm, r = 7 cm.

B) 30

A) 402 p cm 3

C) 26

B) 398 p cm 3

D) 32

13 u

C) 296 p cm 3

E) 36

D) 400 p cm 3 10 Calcula el área de la superficie lateral del cilindro de la figura, si r = 4 cm y h = 5 cm.

E) 392 p cm 3

A) 40 p cm 2 14 Halla el volumen del sólido engendrado por el semicírculo cuando gira una vuelta

B) 42 p cm 2 C) 30 p cm 2

completa alrededor de AB . A) 980 p u 3

D) 50 p cm 2

B) 982 p u 3

E) 35 p cm 2 11 Calcula el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo de la figura cuando gira una vuelta completa alrededor del lado CD A) 86 p cm 3

9 u

C) 972 p u 3 D) 970 p u 3

9 u

E) 976 p u 3

B) 106 p cm 3 C) 96 p cm 3

6 cm

D) 76 p cm 3 E) 94 p cm 3

476


4 cm

15 El semicírculo de la figura gira una vuel ta completa alrededor del diámetro AB . Halla el área de la superficie del sólido engendrado.

Sexto grado de primaria A) 20 cm 2

A) 110 p cm 2

B) 18 cm 2

B) 90 p cm 2

5 cm

C) 14 cm 2

C) 80 p cm 2

D) 16 cm 2

D) 100 p cm 2

5 cm

E) 24 cm 2

E) 120 p cm 2 6

Nivel II 1

2

A) 36 cm 2

Halla el número de caras más el número de aristas de un dodecaedro.

B) 30 cm 2

A) 32 D) 42

C) 28 cm 2

B) 52 E) 48

C) 44

Si “A”es el número de aristas de un

un hexaedro, halla M = A) 3 D) 5

B) 2 E) 6

E) 32 cm 2 7

A C

4

C) 140 cm 2 D) 120 cm 2

C) 16

Encuentra el área de la superficie lateral del paralelepípedo rectangular de la figura.

E) 125 cm 2 8

Si el volumen de un cubo es 125 cm 3 , halla el área de su superficie total.

A) 130 cm 2

A) 125 cm 2 B) 130 cm 2 C) 150 cm 2

B) 110 cm 2

D) 175 cm 2 E) 190 cm 2

C) 100 cm 2 D) 120 cm 2 E) 90 cm 2 5

Encuentra el área de la superficie late ral del prisma regular mostrado.

B) 130 cm 2

del octaedro y del hexaedro. B) 10 E) 14

2 cm 2 cm

A) 150 cm 2

C) 4

Halla la suma de los números de vértices

A) 18 D) 12

h= 3 cm

D) 24 cm 2

icosaedro y “C ” es el número de caras de

3

Halla el área de la superficie total del pris ma recto mostrado.

Halla el área de la superficie total de la pirámide regular de la figura.

9

Encuentra la suma de los números de caras, vértices y aristas del poliedro de la figura. A) 36 B) 38 C) 40 D) 34 E) 42


477


10 El volumen del cilindro engendrado por el rectángulo ABCD de la figura cuando gira una vuelta completa alrededor del lado CD es 16 p cm 3 . Halla h.

14 Halla el volumen de la esfera de la figura, si el área de la región coloreada es 144 p cm 2 . “O” es centro de la esfera. A) 2 306 p cm 3

A) 5 cm

B) 2 302 p cm 3

B) 6 cm

C) 2 303 p cm 3

C) 2 cm

D) 2 304 p cm 3

D) 3 cm E) 4 cm

E) 2 305 p cm 3 2 cm

15

En la figura se tiene una esfera y un cilin dro.

11 Encuentra el área de la superficie total del cilindro de la figura, si r = 6 cm y h = 8 cm. A) 169 p cm 2

Halla:

Volumen dela esfera Volumen delcilindro

B) 166 p cm 2 C) 168 p cm 2 D) 164 p cm 2 E) 170 p cm 2 12 Determina el área de la superficie total del cono de la figura.

A)

1 3

A) 106 p u 2

B)

4 3

C)

1 4

D) 4

E)

2 3


B) 96 p u 2 C) 94 p u 2

u u

D) 92 p u 2 E) 98 p u 2 13

u

Halla el área de la superficie de la esfera mostrada. A) 12 p cm 2 B) 16 p cm 2 C) 14 p cm 2 D) 18 p cm 2 E) 20 p cm 2

478


1 Si el número de vértices de un prisma pentagonal es igual al número de vértices de una piramide, ¿cuántas aristas en total tiene dicha piramide? A) 15 D) 10

C) 12

2 ¿Cuántas aristas más tiene un hexaedro que una pirámide pentagonal? A) 1 D) 2

2 cm

B) 18 E) 17

B) 6 E) 5

C) 4

3 ¿Cuál es el volumen del siguiente prisma triangular recto?


5 El volumen de un paralelepípedo rectan gular es 420 cm 3 , si el mayor de sus la dos mide 12 cm, calcular la diferencia po sitiva de las otras dos longitudes. (Las lon gitudes son números naturales). A) 2 cm D) 5 cm A) 90 cm 3 D) 50 cm 3

B) 100 cm 3 C) 80 cm 3 E) 76 cm 3

6 La altura de un cono de revolución mide 16 cm, el diámetro de su base mide 6 cm. Encontrar el volumen de dicho cono.

4 Si el área de una de las caras de un cubo es 16 cm 2 , ¿cuál es su volumen? A) 62 cm 3 D) 72 cm 3

B) 4 cm C) 3 cm E) 1 cm

A) 36 p cm 3 C) 144 p cm 3 E) 52 p cm 3

B) 54 cm 3 C) 81 cm 3 E) 64 cm 3

B) 48 p cm 3 D) 72 p cm 3

Clave de respuestas Nivel I 1. C

2. A

3. B

4. B

5. C

6. A

7. B

9. C

10. A

11. C

12. D

13. E

14. C

15. D

8. E

Nivel II 1. D

2. D

3. E

4. A

5. D

6. E

7. D

9. B

10. E

11. C

12. B

13. B

14. D

15. B

8. C

Problemas de Olimpiadas 1. B

Razona:

2. D

3. C

4. E

En la figura se muestra un cuadrado mágico al que se le ha suprimido varios números. Cuando el cuadrado se com pleta, la suma de los cuatro números naturales en cada columna, en cada fila y en cada diagonal es la misma .

5. A

6. B

A

7 12 4

9

5 16 3 8

11

B

Hallar los valores de A y B. Rpta.


479


Transforma ciones

12

Se llama transformación al cambio de posición de una figura, de una posición inicial a otra posición final. A la posición inicial se le llama preimagen. A la posición final se le llama imagen. Las transformaciones que se estudian son la traslación, la rotación, la simetría y la homotecia.

•

Traslación

La traslación es una transformación que consiste en cambiar de posición a una figura (objeto) siguiendo una dirección y sentido.

Manolito avanza 3 m y luego 2 m a su derecha para dejar el cubo sobre la mesa de la profesora. En este movimiento de Manolito observamos que el cubo se desplazó del sitio en el que se encontraba hasta la mesa. El cubo sólo ha cambiado de posición, más no de forma y tamaño. Al movimiento que efectuó Manolito se le llama traslación.

Manolito, por favor traslada el cubo que tienes sobre la mesa

2m

3m


483


•

Traslación en el plano cartesiano

Traslada el triángulo de la figura, 8 cuadraditos a la derecha y 4 cuadraditos hacia arriba.

Resolución: Pasos: 1. Trasladamos el vértice A 8 cuadraditos a la derecha y 4 cuadraditos hacia arriba . 2. La nueva posición del vértice A es el punto A1. 3. Lo mismo hacemos con los vértices B y C. 4. El triángulo A1B1C1 es el transformado del triángulo ABC mediante la traslación 8 4 \

A 1B1C1 = T( ABC)

En una traslación en el plano cartesiano es necesario conocer las coordenadas de los puntos de la figura original, la dirección de la traslación indicada por una flecha y la distancia indicada por el número de unidades. Usaremos el siguiente lenguaje de flechas. : A la derecha : A la izquierda : Hacia arriba : Hacia abajo Al efectuarse una traslación la figura original y la figura trasladada son congruentes. Usaremos la siguiente notación: 6 5 Lo cual significa que avanzaremos 6 cuadraditos a la derecha y 5 cuadraditos hacia arriba.

484



1

Los vértices de un triángulo ABC tienen coordenadas A (3;5), B (2;7) y C (5;9).

Aplica la siguiente traslación

al triángulo..

Resolución: Al aplicar la traslación al ABC avanzamos cada vértice 5 cuadraditos a la derecha y luego 3 cuadraditos hacia abajo. A 1B1C1 = T( A BC )

Se lee: el

A1B1C1 es el transformado del

ABC mediante la traslación

Ej emplo 2 Aplica la traslación 8 3 al cuadrilátero cuyos vértices tienen por coordenadas A (2;1), B (6;1), C (5;3) y D (1;3) Resolución: Al aplicar la traslación 8 3 al ABCD, cada vértice lo desplazamos 8 cuadraditos a la derecha y luego 3 cuadraditos hacia arriba. \

A1B1C1D1= T (

ABCD)


485

Manuel Coveñas Naquiche Ej emplo 3 Aplica la traslación 9 3 al polígono cuyos vértices tienen por coordenadas A (2;1), B (2;5), C (4;7), D (6;6), E (6;3). Resolución: Al aplicar la traslación 9 3 al polígono ABCDE, cada vértice lo desplazamos 9 cuadraditos a la izquierda y luego 3 cuadraditos hacia arriba. A1B1C1D1E1= T (ABCDE)

Ej emplo 4 Aplica la traslación 10 9 al polígono cuyos vértices tienen por coordenadas A(4;1), B(2;3), C(1;6), D(4;8), E(9;7), F(8;3), G(6;3). Resolución:

A1B1C1D1E1F1G 1 = T(ABCDEFG)

Al aplicar la traslación 10 9 al polígono ABCDEFG, cada vértice lo trasladamos 10 cuadraditos a la derecha y 9 cuadraditos hacia abajo.

486



•

Rotación

La rotación de una figura (objeto) es una transformación donde los puntos de la figura giran alrededor de un punto llamado centro de rotación, un determinado ángulo, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Medio giro es de 180°

Ej emplo 1 antihorario.

Rota el punto A de la figura un ángulo de 90°, alrededor del punto “O”, en sentido

Resolución: 1. Por O y A trazamos una recta. 2. Tomando como base a dicha recta, con el transportador medimos 90°. 3. Por O trazamos una recta L que pasa por la medida de 90° del transportador. 4. Con un compás hacemos centro en O y con un radio igual a OA trazamos un arco hasta cortar a la recta L en A1. 5. A1 es el transformado del punto A por la rotación de centro “O” y ángulo de 90°. A1= R(A) Se lee: A1 es el transformado de A por la rotación de centro “O”.


487

Manuel Coveñas Naquiche Ej emplo

2

Rota el triángulo ABC un cuarto de giro alrededor del punto O, en sentido antihorario.

Recuerda

A

NT

I HO R AR

I O

Cuando la rotación es en el sentido en que se mueven las manecillas de un reloj se llama rotación horaria, en caso contrario se llamará rotación antiho raria.

® H

ORARIO

Resolución: 1. Con un compás haciendo centro en O giramos un ángulo de 90° los vértices del 2. Obtenemos el

A1B1C1 que viene a ser

A1B1C1 = R(

488


ABC)

el transformado del

ABC.

ABC

Sexto grado de primaria Ej emplo 3 Rota el triángulo ABC que tiene por coordenadas de los vértices A(11;4), B(12;7), C(15;3) un cuarto de giro alrededor del punto F(7;2) en sentido antihorario. Resolución

Con un compás hacemos centro en el punto F y con un ángulo de 90° giramos a los vértices obteniendo el A1B1C1, que es el transformado del ABC. \

A1B1C1 = R(

ABC)

Eje rcic io 4 Aplica la rotación de 180° en sentido antihorario del polígono que se forma al unir los puntos A(6;2), B(5;4), C(7;8), D(10;5) y E(9;2) alrededor del punto P(2;2).


489


Resolución: Tomando como centro el punto P con un compás rotamos 180° cada uno de los vértices del polígono ABCDE, obteniendo su transformado el polígono A1B1C1D1E1. \ A1B1C1D1E1 = R(ABCDE)

•

Simetría con respecto a una recta

De un punto Para obtener el simétrico de un punto A con respecto a una recta L, por A se traza una perpendicular a la recta L y sobre su prolongación se toma el punto A1 de modo que AM = MA1, entonces se dice que “A 1 es el simétrico de A con respecto a la recta L”. Se representa por: A1=S(A) A la recta L se le llama eje de simetría.

L «

Preimagen

A

Imagen //

//

M

A1

Si: AM L y: AM = MA 1

\ A 1 = S( A )

Eje de simetría

Eje de simetría de una figura Una figura tiene un eje de simetría cuando al doblar la figura sobre el eje las dos partes de la figura coinciden. Existen figuras que tienen un solo eje de simetría, otras que tienen dos o más, pero existen figuras que no tienen ningún eje de simetría.

490


Sexto grado de primaria En las figuras que se muestran a continuación las rectas en rojo son sus ejes de simetría.


491


492



De un polígono Para encontrar el simétrico de un polígono con respecto a una recta se encuentran los simétricos de sus vértices y luego se les une, obteniéndose el simétrico pedido. Ejercicio: Dibuja el simétrico del polígono ABCDE con respecto a la recta L.

Resolución: Encontramos los simétricos de los vértices del polígono con respecto a la recta L. AN = NA1 Þ A1 = S(A) BQ = QB1 Þ B1 = S(B) CR = RC1 Þ C1 = S(C) DP = PD1 Þ D1 = S(D) EM = ME1 Þ E1 = S(E) \ A1B1C1D1E1 = S(ABCDE)


493


Ejercicio: Dibuja el simétrico de la figura con respecto a la recta L.

Resolución: Hallamos los simétricos de los puntos de la figura con respecto a la recta L contando los cuadraditos.

494



Ejercicios de reforzamiento 1 Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son: A(1;2), B(2;4), C(5;4), D(4;2); a este cuadrilátero se le aplica la traslación 8 6 , obteniéndose el cuadrilátero A1B1C1D1. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrilátero A1B1C1D1? A1( ; ) , B1( ; ) , C1( ; ) , D1( ; ) 2

«

Dibuja el simétrico de la siguiente figura con respecto a la recta “ L ”.


495


Encuentra la imagen del cuadrilátero ABCD, aplicando una rotación con centro en A y un ángulo de 180° en sentido antihorario.

4

Halla la imagen de la figura mostrada, aplicando una rotación de centro O y un ángulo de giro de 180° en sentido horario.

496



5

® La figura nos muestra una lámpara tipo araña. Aplicando la traslación 11 4 -, dibuja la imagen de la lámpara.

6

Traza la imagen simétrica de la figura mostrada con respecto a la recta “ L ”.

«


497


Dibuja la imagen de la figura mostrada, aplicando la traslación 9 3 .

8

Traza todos los ejes de simetría de las siguientes figuras:

9

498

Rota el rombo de la figura 180° en sentido antihorario, tomando como centro de rotación el vértice A.


Sexto grado de primaria 1 0 Dibuja la imagen del cuadrilátero ABCD que tiene por coordenadas A(7;1), B(11;2), C(9;5), D(7;4), aplicando la traslación 12 10 .

1 1 Los vértices de un triángulo ABC tienen por coordenadas A(2;2), B(3;5), C(6;2). Dibuja la imagen del triángulo aplicando una rotación antihoraria de 180° y tomando como centro de rotación el origen de coordenadas. «

1 2 Dibuja la imagen simétrica de la figura mostrada con respecto a la recta “ L ”.

1 3 Obtén la imagen del hexágono de la figura aplicando una rotación de centro A con un ángulo de giro 180°, en sentido antihorario.


499


13

Estadística y probabilidades

Estadística Datos estadísticos y recolección de datos Se desea averiguar ¿qué detergente es el más usado en el país? y para ello las personas interesadas deciden realizar una encuesta y preguntarle a las amas de casa acerca del detergente de su preferencia; pero hacer la encuesta a nivel nacional exige mucho tiempo, esfuerzo y dinero, por lo cual se encuesta solamente a una parte representativa de la población, es decir, a una muestra. La encuesta a nivel nacional significaría , por ejemplo, encuestar a todas las amas de casa. La población estaría conformada por todas las amas de casa. La encuesta a una muestra significa encuestar a una parte de las amas de casa. Vemos que frente a un problema o fenómeno en estudio o investigación se debe reunir la información suficiente para responder la interrogante o interrogantes que permitan resolver el problema y para ello se tienen que recolectar los datos.

1.

Unidad de observación y observaciones o datos. En el problema de averiguar ¿qué detergente es el más usado en el país? se debe tener presente lo siguiente: Cada ama de casa es una unidad de observación y el detergente de su preferencia es la observación o dato. Por ejemplo, si la Sra María es una ama de casa, entonces es una unidad de observación o unidad estadística. Si la Sra. María prefiere el detergente Ariel, entonces Ariel es la observación o dato.

2.

Fuentes de información

a)

Cuando recurrimos a la unidad de observación para obtener el dato, en conjunto las unidades de observación forman una fuente de información primaria. Aquí el investigador se pone frente a

b)

frente con la unidad de observación y obtiene el dato de manera directa. Cuando recurrimos a archivos de oficinas de Estadística, tanto de instituciones públicas como privadas, para obtener los datos, éllas son fuentes de información secundaria. Aqui el investigador obtiene el dato de manera indirecta, pues no se pone frente a frente con la unidad de observación. Sexto Grado de Primaria

503


• • •

Además, debemos tener presente que: La recolección de datos se puede realizar de manera periódica, como en el caso de los censos. La recolección de datos se puede realizar de manera ocasional, como en el caso de las encuestas para investigaciones especiales. La recolección de datos se puede realizar de manera permanente, como en el caso de los registros de nacimientos, de defunciones, de identificación y estado civil, de migraciones, etc.

Tablas estadísticas Los datos recolectados para un trabajo de investigación son un conjunto de datos desordenados y que necesitan revisarse, ordenarse y clasificarse, es decir, necesitan organizarse para presentarse y poder interpretarse de tal manera que sirvan de ayuda a la toma de decisiones. La presentación de los datos se puede realizar en tablas y en gráficos estadísticos. La tabla estadística es una presentación de los datos clasificados y ordenados en filas y columnas. Las tablas estadísticas pueden ser tablas de frecuencia y cuadros estadísticos.

1.

Tabla de frecuencia Es una tabla donde aparecen los datos clasificados y el número de veces que se presentan o frecuencias absolutas; puede presentar, también, otros tipos de frecuencias. Es una tabla de trabajo porque hace posible el cálculo de medidas de resumen como la Media aritmética, la Mediana, la Moda, etc.

504



2.

Cuadro Estadístico Es una tabla que presenta la información concerniente a una situación real de interés, donde los datos están ordenados en filas y columnas; cada columna corresponde a una característica, pero todos los datos están relacionados porque forman parte de la situación real. Si se trata de un trabajo de investigación, los cuadros estadísticos son parte de los informes que se presentan.

Gráficos estadísticos Un gráfico estadístico es otra forma de presentar los datos y sirve de complemento a una tabla estadística. Entre los gráficos estadísticos tenemos los siguientes: a) Gráfico de barras b) Gráfico lineal c) Gráfico circular o de sectores. d) Pictograma.

1.

Gráfico de barras Es un gráfico de barras o rectángulos cuyas bases están en el eje horizontal y cada altura es igual al número de elementos de la categoría que representa. Se trata de rectángulos o barras verticales. También puede ocurrir que la bases estén en el eje vertical y los rectángulos o barras sean horizontales. Cuando se trata de representar a los datos de una tabla de una entrada o de una variable se construirá un gráfico de barras simples. Cuando se trata de representar a los datos de una tabla de dos entradas o de dos variables se construirá un gráfico de barras dobles. Sexto Grado de Primaria

505

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 1. La tabla siguiente presenta las ventas realizadas por la tienda “De Remate Total” en la campaña de fiestas patrias 2007, según artefacto electrodoméstico.

Se trata de una tabla de una entrada o de una variable y le corresponde un gráfico de barras simples como el siguiente:

En el eje horizontal, si se toma 1 cm para la separación entre las barras, entonces el ancho de cada barra debe ser 2 cm. Si se toma otra medida para la separación, el ancho de la barra o rectángulo debe ser el doble; esta costumbre, con el uso de la computadora, se está perdiendo. Se observa que el mayor número de artefactos vendidos es 65, entonces graduamos el eje vertical de 10 en 10 hasta cubrir los 65 artefactos vendidos. Las barras o rectángulos se pintan de colores diferentes para facilitar la comparación visual. Ejemplo 2. Ocurre que la tienda “De Remate Total” vende artefactos electrodomésticos nuevos y usados por lo que las ventas que proporciona la tabla anterior deben dividirse en dos partes: Artefactos nuevos y Artefactos usados. Como la tienda conoce esos datos, la tabla adquiere la presentación siguiente:

506



Se observa que el MAYOR número de artefactos electrodomésticos vendidos, entre nuevos y usados, es 40, por lo cual el eje vertical lo graduamos de 5 en 5 hasta cubrir los 40 artefactos vendidos; en el eje horizontal escribimos el nombre de un artefacto electrodoméstico en la base de cada rectángulo o barra.

El ancho de cada barra se ha dividido en dos partes iguales porque se trata se comparar dos datos de una misma categoría y se generan dos barras que se pintan de diferente color porque una de ellas representa la venta del artefacto nuevo y la otra la venta del artefacto usado; los dos colores se repiten para cada artefacto y el significado de cada color se observa en la parte superior.

2.

Gráfico Lineal El gráfico lineal o de segmentos es la representación de un acontecimiento o fenómeno que ha ocurrido a través del tiempo, como los siguientes: – Variación de la temperatura de la ciudad, día a día, durante un mes. – Variación de las ventas de calzado, de una zapatería, mes a mes, durante un año.. – Variación de los precios de la gasolina en nuestro país, año a año, durante un quinquenio.


507

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo: La tabla siguiente presenta las ventas de la zapatería “Felicidad”, mes a mes, en el año 2007.

Para representar gráficamente esta información se construye un gráfico lineal debido a que la venta de calzados ha ocurrido durante un año.

508


Sexto grado de primaria En el eje horizontal se han escrito los meses, separados por 1 cm. El eje vertical se ha graduado de 10 en 10 hasta cubrir 120 que es el mayor número de pares de calzado vendidos; las graduaciones o escalas tanbién están separadas por 1 cm. A cada mes le corresponde un número de pares de calzado vendidos, y ambos forman un par ordenado. Son 12 pares ordenados representados por 12 puntos; con la ayuda de una regla se unen los puntos con segmentos y la línea quebrada o poligonal es el gráfico lineal.

3.

Gráfico circular o de sectores El gráfico circular sirve para representar la división de un total de datos en sus partes componentes; para ello se divide un circulo en sectores circulares, el círculo representa al total de datos y cada sector circular representa a una parte o categoría de clasificación. Para dibujar cada sector circular se necesita conocer la medida de su ángulo en el centro del círculo; para ello debemos considerar lo siguiente: I . Al total de datos le corresponde todo el círculo, es decir, un sector circular de 360°. A la mitad de los datos le corresponde la mitad de 360°, es decir, 180°. A la cuarta parte de los datos le corresponde la cuarta de 360°, es decir, 90°. A la fracción de los datos le corresponde la fracción de 360°. Por ejemplo, a un tercio de los datos le corresponde un tercio de 360°, es decir,

1 ´ 360° = 120 ° . 3

I I . Al total de datos le corresponde todo el círculo, es decir, el 100%. A la mitad de los datos le corresponde la mitad del 100%, es decir, el 50%. A la cuarta parte de los datos le corresponde la cuarta del 100%, es decir, el 25%. A la fracción de los datos le corresponde la fracción del 100%. Por ejemplo, a un quinto de los datos le corresponde un quinto del 100%, es decir,

1 ´ 100% = 20% . 5

Ejemplo: La tabla siguiente presenta la distribución de los huéspedes del hotel de turistas “El emperador”, según nacionalidad.

Se trata de 32 turistas que se dividen en: 12 italianos ® Fracción de italianos =

12 . 32

8 argentinos ® Fracción de argentinos =

8 . 32 Sexto Grado de Primaria

509


4 franceses

® Fracción de franceses =

4 32

2 colombianos ® Fracción de colombianos = 6 españoles

a)

® Fracción de españoles =

12 ´ 360° = 135 ° 32 8 ´ 360° = 90 ° Argentinos : 32 4 ´ 360° = 45 ° Franceses : 32 2 ´ 360° = 22,5 ° Colombianos : 32

Españoles :

6 ´ 360° = 67,5 ° 32

Cálculo de los porcentajes. 12 ´ 100% = 37,5% 32 8 ´ 100° = 25% Argentinos : 32 4 ´ 100% = 12,5% Franceses : 32 2 ´ 100% = 6,25% Colombianos : 32 6 ´ 100% = 18,75% Españoles : 32

Italianos :

510

6 32

Como el total se divide en varias partes es conveniente representar la información con un gráfico circular. Medida de los ángulos de cada sector. Italianos :

b)

2 32


Sexto grado de primaria Cada sector circular se pinta con un color diferente para facilitar las comparaciones visuales. El gráfico circular, acabado, no debe presentar la medida de los ángulos y es el siguiente:

4.

Pictograma El pictograma es la representación de un acontecimiento o fenómeno utilizando figuras iguales, relacionadas con el fenómeno que se representa; cada figura tiene igual valor y una fracción de ella representa la misma fracción del valor. El gráfico siguiente es un pictograma:


511

Manuel Coveñas Naquiche Se observa que: a) En el año 2000 Mouse Computer vendió 4 000 computadoras. b) En el año 2001 Mouse Computer vendió 6 000 computadoras. c) En el año 2002 Mouse Computer vendió 7 000 computadoras. d) En el año 2003 Mouse Computer vendió 8 000 computadoras. e) En el año 2004 Mouse Computer vendió 6 000 computadoras. f) En el año 2005 Mouse Computer vendió 7 000 computadoras.

La Media Aritmética En la hermosa ciudad de Chachapoyas se ha registrado la temperatura durante una semana y los valores son los siguientes: Lunes : 24 °C Martes : 19 °C Miércoles : 21 °C Jueves : 15 °C

Viernes : 20 °C Sábado : 22 °C Domingo : 26 °C

En esa semana, ¿cuál fue la temperatura promedio en la ciudad de Chachapoyas? Para saber cuál fue la temperatura promedio en la ciudad de Chachapoyas sumamos todas las temperaturas y la suma la dividimos entre el número de temperaturas sumadas; tendremos lo siguiente: Temperatura promedio = =

\

24 °C +19 °C + 21 °C +15 °C + 20 °C + 22 °C + 26 °C 7

147°C = 21°C 7

La temperatura promedio o temperatura media en la ciudad de Chachapoyas fue 21°C.

La temperatura promedio representa al conjunto formado por las 7 temperaturas. También se le conoce con los nombres de: – Promedio de temperaturas – Temperatura media – Media de temperaturas – Media aritmética de temperaturas

Pero, ¿qué es la media aritmética de un conjunto de datos? De acuerdo a lo visto, la media aritmética de un conjunto de datos representa a todos los datos y su valor se obtiene así: – Se suman todos los datos. – La suma se divide entre el número total de datos. Es decir: Media aritmética =

512

Suma de todos los datos Número total de datos


Sexto grado de primaria Ejemplo 1. De un grupo de amigos se sabe lo siguiente: Ricardo tiene 23 años. María tiene 17 años. Pedro tiene 24 años. Elena tiene 19 años. Rocío tiene 26 años.

¿Cuál es la edad promedio de los amigos? Resolución Para saber cuál es la edad promedio de los amigos, calculamos la media aritmética de las edades. Suma de todas las edades Media aritmética = Número total de edades de las edades =

23 + 17 + 24 + 19 + 26 109 = = 21,8 5 5

La edad promedio de los amigos es 21,8 años

\

Ejemplo 2. De un grupo de personas mayores de edad se sabe que:

Rosario pesa 58 kg. Misael pesa 64 kg. Beatriz pesa 72 kg. Renzo pesa 75 kg. Lupe pesa 67 kg. Marcos pesa 66 kg. ¿Cuál es el peso promedio del grupo de personas? Resolución Para saber cuál es el peso promedio del grupo de personas, calculamos la media aritmética de los pesos. Suma de todos los pesos Media aritmética = Número total de pesos de las pesos =

\

58 + 64 + 72 + 75 + 67 + 66 402 = = 67 6 6

El peso promedio del grupo de personas es 67 kg.


513

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 3. La tabla siguiente presenta las estaturas de 14 niños.

¿Cuál es la estatura promedio de los 14 niños? Resolución De la tabla se entiende que: El dato 120 cm se repite 4 veces. El dato 123 cm se repite 2 veces. El dato 125 cm se repite 5 veces. El dato 129 cm se repite 3 veces. Entonces la estatura promedio de los 14 niños se obtiene así: 4 veces 2 veces 5 veces 3 veces 6444 474444 8 64 748 644444 7444448 6447448 120 + 120 + 120 + 120 + 123 + 123 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 129 + 129 + 129 14

=

\

480 + 246 + 625 + 387 1 738 = = 124,14 14 14

La estatura promedio de los 14 niños es 124,14 cm

En una parte del proceso de resolución, en vista de que 120 se tiene que sumar 4 veces, para obtener la suma se multiplica 120 × 4 , es decir, se multiplica el dato por su frecuencia absoluta y esto se repite con los demás datos y sumas; por esto un método corto o práctico consiste en agregarle una columna a la tabla, en la cual se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia, se suman los productos y finalmente esa suma se divide entre el número total de datos para obtener la media aritmética. Estatura (en cm)

Frecuencia absoluta

Estatura × Frecuencia absoluta

120 123 125 129

Total Número total de estaturas o de niños.

514


Suma de todas las estaturas.

Sexto grado de primaria Entonces: Estatura promedio = \

1 738 = 124,14 14

La estatura promedio de los 14 niños es 124,14 cm.

Ejemplo 4. La tabla siguiente presenta las notas de 40 alumnos en un examen de matemática, del sexto grado de primaria.

¿Cuál es la nota promedio de los 40 alumnos? Resolución A plicamos el “Método práctico” agregando la columna “Nota × Frecuencia” a la tabla.

Entonces: Nota promedio = \

486 = 12,15 40

La nota promedio o el promedio de notas de los 40 alumnos es 12,15.


515

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 5. El profesor Martinez, durante el bimestre, ha tomado 2 pruebas escritas y un examen bimestral; pero, él considera que el examen bimestral tiene doble importancia que la prueba escrita. Fernando es un alumno del profesor Martinez y sus notas son: Primera prueba escrita : 08 Segunda prueba escrita : 11 Examen bimestral : 12 ¿Cuál es el promedio bimestral de Fernando? Resolución Que el examen bimestral tenga doble importancia que la prueba escrita, significa que la nota del examen bimestral se debe considerar 2 veces, entonces ya no son 3 notas sino 4 notas las que se van a promediar. Promedio bimestral = \

08 + 11 + 12 + 12 43 = = 10,75 @ 11 4 4

El promedio bimestral de Fernando es 11.

Importante a)

El promedio bimestral del alumno es 11 y está Aprobado.

b)

El promedio normal del alumno es

c)

Doble importancia significa que la nota del examen bimestral se debe multiplicar por un factor 2 o peso 2, y se puede afirmar que el examen bimestral tiene doble peso que una prueba escrita. En el ejemplo se ha visto que el promedio ha aumentado porque la nota más alta tiene más peso. Si la nota más baja tuviera más peso, entonces el promedio hubiera disminuido.

d)

) 08 + 11 + 12 31 = = 10,3 y estaría Desaprobado.. 3 3

Ejemplo 6. En un taller de confección, el administrador ha anotado la producción de pantalones, día a día, de lunes a sábado, en la tabla siguiente:

Pero, se ha olvidado de anotar el día jueves y solo recuerda que en promedio la producción diaria es 84 pantalones. ¿Cuál es la producción del día jueves?

516


Sexto grado de primaria Resolución Como el promedio es 84 pantalones, se puede plantear lo siguiente: 72 + 96 + 74 + x + 84 + 98 = 84 6 424 + x = 84 6

424 + x = 84 · 6 424 + x = 504 x = 504 – 424 x = 80 \

La producción del día jueves es 80 pantalones.

Importante La media aritmética no representa al conjunto de datos cuando hay valores que se diferencian notablemente del resto. Ejemplo: Datos: 4 ; 85 ; 90 ; 87 ; 94 Media Aritmética =

4 + 85 + 90 + 87 + 94 360 = = 72 5 5

Con excepción del dato 4, los demás datos van desde el 85 al 94, por lo tanto 72 no los representa.


517


Taller de ejercicios 112 Eje rcic io 1 La tabla siguiente presenta las ventas realizadas por la tienda “Megadescuentos” en la campaña navideña 2007, según mueble.

Representa la información con un gráfico de barras simples. Desar rollo:

Eje rcic io 2 La tienda “Megadescuentos” vende muebles nuevos y usados por lo cual la tabla adquiere la presentación siguiente:

Representa la información con un gráfico de barras dobles. Desar rollo:

518


Sexto grado de primaria Eje rcic io 3 La tabla siguiente presenta las ventas de la polleria “El pollo sabrosón” en la primera semana de atención al público.

Representa la información con un gráfico lineal. Desar rollo:

Eje rcic io 4 La tabla siguiente presenta la distribución de los kilogramos de arroz vendidos por el Supermercado “Megacompra” en el mes de diciembre de 2007.

Representa la información con un gráfico circular. Desar rollo:


519


Eje rcic io 5 Un camión de mudanza, durante la semana ha transportado los siguientes pesos:

En promedio, ¿cuántos kilogramos ha transportado diariamente? Resolución:

Eje rcic io 6 La tabla siguiente presenta las edades de 20 personas:

¿Cuál es la edad promedio de las 20 personas? Resolución:

Rpta. 1 000 Eje rcic io 7 El profesor Sánchez, durante el bimestre, ha tomado 2 pruebas escritas y un examen bimestral; pero él le asigna peso 3 al examen bimestral. Oscar es un alumno del profesor Sánchez y sus notas son: Primera prueba escrita :10 Segunda prueba escrita : 15 Examen bimestral : 11 ¿Cuál es el promedio bimestral de Oscar? Resolución:

Rpta. 11,6

520


Rpta. 33,25 Eje rcic io 8

En cada vértice del hexágono

debe haber un número. Pero, falta un número. Si el promedio de los 6 números es 45, ¿cuál es el número que falta? Resolución:

Rpta. 44


La Mediana o Valor Mediano 1.

La Mediana cuando el número de datos es impar. El profesor Bustamante tomó una prueba a sus alumnos y solamente aprobaron 7 alumnos, sus notas fueron las siguientes: 16 ; 13 ; 19 ; 11 ; 18 ; 17 ; 15 Él desea premiar a sus alumnos y para ello ordena las notas en forma ascendente: 11 ; 13 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 Se observa que la nota más alta es 19 y la nota más baja es 11.

Pero, ¿cuál es la nota que ocupa el lugar central? La nota que está en medio de las demás es 16, porque a su izquierda hay 3 datos y a su derecha también hay 3 datos. Por estar en medio, la nota 16 recibe el nombre de Mediana. Son 7 datos y la mediana ocupa el cuarto lugar. Pero, 4 =

7 + 1 , de esto se deduce que cuando el número de datos es impar: 2

a) La mediana es uno de los datos. b) El lugar que ocupa la mediana es igual que el número de datos más 1, dividido entre 2. c ) A cada lado de la mediana hay 3 datos y no es la mitad del total que son 7 datos, por lo tanto, a cada lado de la mediana no está el 50% de los datos.

2.

La mediana cuando el número de datos es par. ¿Cuál sería la mediana si el número de datos fuera 8? Consideremos una nota más, la nota 20, y analicemos el caso. 11 ; 13 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 Se observa que: a) No hay una nota que esté en el medio. b) Hay dos notas que están en el medio y son 16 y 17 que ocupan el cuarto y el quinto lugar. c ) Como la mediana debe ocupar el lugar central, su valor es el promedio de las dos notas que están en el medio, es decir, d)

16 + 17 = 16,5 . 2

La ubicación de la mediana también la da el número de datos más 1, dividido entre 2, porque 8 + 1 = 4,5 , indica que la mediana está entre el cuarto y el quinto lugar.. 2

e) A cada lado de la mediana hay 4 datos y es la mitad del total que son 8 datos , por lo tanto, a cada lado de la mediana se encuentra el 50% de los datos. Definición: La mediana de un conjunto de datos ordenados, en forma creciente o decreciente, es el dato que ocupa el lugar central o la media aritmética de los dos datos centrales, según que el número de datos sea impar o par, respectivamente.


521


La mediana divide al conjunto de datos ordenados en dos partes que tienen igual número de datos, que como máximo es el 50% o la mitad del total de datos. La mediana se simboliza Me.

3.

Interpretación de la mediana. a) En el primer conjunto de datos identificamos a la mediana.

Se observa que de los 7 alumnos aprobados, hay 3 alumnos que tienen notas inferiores a 16, mientras que los 3 alumnos restantes tienen notas superiores a 16.

b) En el segundo conjunto de datos ubicamos a la mediana. Se observa que de los 8 alumnos aprobados, hay 4 alumnos que tienen notas inferiores a 16,5, mientras que los 4 alumnos restantes tienen notas superiores a 16,5.

4.

La Mediana para variables cualitativas ordinales. Las variables cualitativas expresan una cualidad o atributo de la población y son ordinales cuando en sus categorias de clasificación existe un criterio de orden. Son variables cualitativas ordinales: el nivel de instrucción, el grado de instrucción, la jerarquia en el plano laboral, etc. a) En la tabla siguiente se presenta la distribución de 80 personas, según su nivel de instrucción: Cuando se trata de datos agrupados o clasificados como en la tabla anterior, se considera que el

lugar de la mediana es la mitad del total de datos; en este caso el lugar de la mediana es

80 = 40 . 2

Si sumamos las personas que han estudiado inicial y primaria tenemos 4 + 38 = 42 y ya hemos pasado el lugar 40, esto significa que el lugar 40 está ocupado por una persona que tiene nivel de instrucción primaria.

522


Sexto grado de primaria Por lo tanto, la mediana es PRIMARIA y se interpreta asi: La mitad o el 50% de las personas tiene como máximo nivel de instrucción PRIMARIA; el restante 50%, o la otra mitad, tiene como mínimo nivel de instrucción PRIMARIA. Importante Cuando en un conjunto de datos hay valores que se diferencian notablemente del resto, la Media aritmética se ve afectada y no es representativa; en estos casos la Mediana es útil porque no es afectada por valores demasiado grandes o demasiado pequeños.

La Moda De un grupo de 10 personas se sabe que sus edades, en años, son las siguientes: 42 ; 54 ; 38 ; 45 ; 21 ; 38 ; 42 ; 38 ; 57 ; 38.

¿Cuál es la edad que más se presenta? Se observa que el dato que más se presenta es 38 años porque se presenta 4 veces. Podemos afirmar que la edad 38 años está de moda o es la moda. Interpretación: Del grupo de 10 personas son más las personas que tienen 38 años. Definición: La MODA de un conjunto de datos es el dato que más se presenta, esto quiere decir que es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. La Moda se simboliza por Mo y para identificarla no se necesita que los datos estén ordenados. Un conjunto de datos puede tener Moda o no tener Moda. Si tiene una Moda se llama UNIMODAL. Si tiene dos Modas se llama BIMODAL. Si tiene tres o más Modas se llama MULTIMODAL o PLURIMODAL. Ej emplo 1

Los pesos de 9 personas, en kg, son los siguientes: 70 ; 64 ; 72 ; 81 ; 64 ; 78 ; 69 ; 64 ; 83

Vemos que el peso que más se presenta es 64 kg, por lo tanto la moda es 64 kg. Es un conjunto de datos UNIMODAL. Interpretación: La mayoría de las personas pesa 64 kg. Ejemplo 2 Don Enrique da propina a sus 10 ahijados; dichas propinas, en nuevos soles, son las siguientes: 6 ; 4 ; 3 ; 4 ; 8 ; 10 ; 6 ; 4 ; 7 ; 6 Se observa que: – El dato 6 se presenta 3 veces. – El dato 4 se presenta 3 veces. Por lo tanto hay 2 Modas : 6 y 4. El conjunto de datos es BIMODAL. Ej emplo 3

Las estaturas, en centímetros, de 8 personas son las siguientes: 160 ; 158 ; 167 ; 172 ; 164 ; 165 ; 170 ; 169 Se observa que ningún dato se repite, por lo tanto, este conjunto de datos no tiene Moda. Sexto Grado de Primaria

523


La Moda para variables cualitativas nominales. Las variables cualitativas expresan una cualidad o atributo de la población y son nominales cuando en sus categorías de clasificación no existe un criterio de orden. Son variables cualitativas nominales: el estado civil, el distrito de residencia, la nacionalidad, el sexo, la marca de jabón, etc. Ejemplo: La tabla siguiente presenta la aceptación en el mercado de los jabones que se mencionan, en una encuesta a 150 personas.

¿Cuál es la moda? El mayor número de consumidores lo presenta JABÓN CAMAY, tiene la mayor preferencia; por lo tanto, la MODA es JABÓN CAMAY.

524



Probabilidad Experimento aleatorio y espacio muestral Antes de “lanzar una moneda al aire” sabemos que, al llegar al piso, su parte superior puede presentar cara o sello; cara y sello son sus posibles resultados. Se trata de un experimento aleatorio. Antes de “hacer rodar un dado” sabemos que al detenerse su parte superior puede presentar 1; 2; 3; 4; 5 ó 6 puntos; 1; 2; 3; 4; 5 y 6 puntos son sus posibles resultados. Es un experimento aleatorio. Antes de “lanzar dardos a un disco giratorio de colores rojo, verde, azul, blanco y amarillo” sabemos que el dardo puede caer en el sector rojo, verde , azul , blanco o amarillo. Los colores rojo, verde, azul, blanco y amarillo son sus posibles resultados. Es un experimento aleatorio.

Definición: Experimento aleatorio es un experimento cuyos posibles resultados se conocen antes de realizar el experimento. El resultado del experimento aleatorio se sabe después de realizado el experimento. Por muchas veces que se repita el experimento aleatorio, en iguales circunstancias, no se puede conocer el resultado antes de realizar el experimento. Definición: El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza con la letra S. Todo espacio muestral está asociado a un experimento aleatorio.

Experimento aleatorio • Lanzar una moneda al aire. • Hacer rodar un dado. • Lanzar dardos a un disco giratorio de colores.

Espacio muestral • S = {cara, sello} • S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} • S = {sector rojo, sector verde, sector azul, sector blanco, sector amarillo}


525


Suceso o Evento 1.

Para el sorteo de una computadora entre 100 trabajadores de una empresa se imprimen boletos numerados del 001 al 100, y se desea que el número ganador sea múltiplo de 15. Entonces los resultados deseados son: 15; 30; 45; 60; 75 que forman el conjunto A = {15; 30; 45; 60; 75} que es un subconjunto del espacio muestral S = {001; 002; 003; 004; 005; … ; 100}. El conjunto A es un suceso o evento. Suceso o evento es un subconjunto del espacio

2.

muestral.

Considerando el espacio muestral S = {001; 002; 003; 004; 005; … ; 100} podemos determinar otros sucesos: B :

El número ganador es múltiplo de 37. Entonces B = {37; 74}, que es un subconjunto del espacio muestral.

C :

El número ganador es mayor que 95. Entonces C = {96; 97; 98; 99; 100}, que es un subconjunto del espacio muestral.

D :

El número ganador se encuentra entre 45 y 55. Entonces: D = {46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 54}, que es un subconjunto del espacio muestral.

E :

Las dos cifras terminales del número ganador son ceros. Entonces E = {100}, que es un subconjunto del espacio muestral.

Probabilidad clásica o a priori En el experimento “sortear una computadora entre 100 trabajadores de una empresa” no sabemos que persona resultará ganadora hasta que salga el boleto con el número ganador. Si apostamos a que “el número ganador es menor que 51”, ¿qué posibilidad tenemos de ganar? Veamos, podemos ganar si el número ganador es: 001; 002; 003; 004; 005; … ; 50, éstos son los casos a favor. Los casos posibles o totales son: 001; 002; 003; 004; 005; … ; 100. En resumen, tenemos 50 casos a favor de un total de 100 casos. En conclusión, tenemos la mitad de las posibilidades de ganar. Pero, ¿de dónde salió “la mitad”? 50 casos a favor

Salió de dividir: 100 casos posibles y esto se denomina probabilidad del suceso. Probabilidad de un suceso es el cociente de dividir el número de casos a favor de que ocurra el suceso entre el número de casos posibles o número total de casos. Si el suceso es A, entonces P(A) =

526


Número de casos a favor de que ocurra A Número de casos posibles

Sexto grado de primaria En nuestro ejemplo, podemos afirmar que la probabilidad de que el número ganador sea menor que 51 es

50 1 = o 0,5. 100 2

Esta probabilidad se ha calculado sin realizar al experimento aleatorio, es una Probabilidad a priori. Probabilidad a priori es la probabilidad que se calcula sin realizar el experimento aleatorio; solo se considera el número de casos a favor de que ocurra un suceso y se le divide entre el número de casos posibles o número total de casos. A priori significa antes de la experiencia. 1.

En el experimento aleatorio: Se extrae, sin mirar, una bola de una caja que tiene 4 bolas negras, 6 bolas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraida sea negra? Hay 4 casos a favor de que la bola extraida sea negra. Los casos posibles o totales son 4 + 6 = 10. Entonces, la probabilidad de que la bola extraida sea negra es

4 = 0, 4 . 10

Es una Probabilidad a priori porque se ha calculado sin realizar el experimento. 2.

Se numeran 10 tarjetas del 1 al 10, como se muestra:

y se las coloca volteadas sobre una mesa. Luego se llama a Jorge y se le pide que coja una de ellas y muestre el número a las demás personas. a)

¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea par? Si el suceso es A: El número mostrado es par, entonces A = {2; 4; 6; 8} , n(A) = 4, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso A es: n ( A )

4

P(A) = n ( S ) = 10 = 0,4 Es una Probabilidad a priori.


527

Manuel Coveñas Naquiche b)

¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea menor que 11? Si el suceso es B : El número mostrado es menor que 11, entonces B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(B) = 10, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso B es: n ( B )

10

P(B) = n ( S ) = 10 = 1 Es una Probabilidad a priori. Importante

Qué “el número mostrado sea menor que 11” es seguro, por eso se llama suceso seguro, porque siempre ocurre. La probabilidad de un suceso seguro es 1. c)

¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea mayor que 10? Si el suceso es C : El número mostrado es mayor que 10, entonces C = { } = f , n(C) = 0, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso C es: n ( C )

0

P(C) = n ( S ) = 10 = 0 Es una Probabilidad a priori. Importante

Que “el número mostrado sea mayor que 10” es imposible, por eso se llama suceso imposible, porque nunca ocurre. \ La probabilidad de un suceso imposible es cero. 3.

Don Alberto es un carpintero que tiene guardado 100 tornillos en una caja, de los cuales 25 son usados. Un día, sin mirar, coge un tornillo de la caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo cogido sea usado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo cogido sea nuevo? Resolución a) Sea el suceso A: El tornillo cogido es usado, entonces n(A) = 25 Como n(S) = 100 n ( A )

25

1

P(A) = n ( S ) = 100 = 4 = 0,25 \ La probabilidad de que el tornillo cogido sea usado es 0,25.

528


Sexto grado de primaria b) Sea el suceso B : El tornillo cogido es nuevo, entonces n(B) = 75 Como n(S) = 100 n ( B )

75

3

P(B) = n ( S ) = 100 = 4 = 0,75 \ 4.

La probabilidad de que el tornillo cogido sea nuevo es 0,75.

Don Pascual tiene en su gallinero: 3 gallos, 5 gallinas, 12 pollos.

a) b) c) a)

Cierto día quiere almorzar caldo de gallina y para esto entra a su gallinero y, sin mirar, coge una ave. ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea una gallina? ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea un gallo? ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea un pollo? Resolución Sea el suceso A: La ave cogida es una gallina, entonces n(A) = 5 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20 n ( A )

5

1

P(A) = n ( S ) = 20 = 4 = 0,25 \

La probabilidad de que la ave cogida sea una gallina es 0,25.

b) Sea el suceso B : La ave cogida es un gallo, entonces n(B) = 3 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20 n ( B )

3

P(B) = n ( S ) = 20 = 0,15 \

La probabilidad de que la ave cogida sea un gallo es 0,15.

c ) Sea el suceso C : La ave cogida es un pollo, entonces N(C) = 12 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20 P(C) = \

12 3 = = 0,6 20 5

La probabilidad de que la ave cogida sea un pollo es 0,6. Sexto Grado de Primaria

529


Frecuencia Relativa Con respecto al siguiente conjunto de datos (edades, en años, de 10 niños): 9 3

3 5

5 3

3 9

5 3

se observa que: El dato 3 se presenta 5 veces. El dato 5 se presenta 3 veces. El dato 9 se presenta 2 veces. Se puede afirmar que: El dato 3 tiene frecuencia absoluta igual a 5. El dato 5 tiene frecuencia absoluta igual a 3. El dato 9 tiene frecuencia absoluta igual a 2. Esta información se puede presentar en una “tabla de frecuencias” como la siguiente:

¿Qué parte del total son los datos 3? Los datos 3 son 5 de un total de 10. Por lo tanto, los datos 3 son

5 del total. 10

5 se denomina frecuencia relativa del dato 3. 10

Para obtener la frecuencia relativa del dato 3, se ha dividido su frecuencia absoluta entre el total de datos. En general, se puede afirmar, para un dato cualquiera lo siguiente: Frecuencia relativa =

Frecuencia absoluta Total de datos

Además: • La frecuencia relativa del dato 5 es

3 . 10

• La frecuencia relativa del dato 9 es

2 . 10

530


Sexto grado de primaria Esta información la presentamos en una tabla de frecuencias (absolutas y relativas) como la siguiente:

Se observa que la suma de frecuencias relativas es 1 y siempre va a ser así.

Probabilidad a posteriori 1 . Se lanza una moneda al aire 100 veces y 47 veces se obtiene CARA en la parte superior.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la parte superior? Hay 47 casos a favor en los que se ha obtenido CARA en la parte superior, de un total de 100 veces que se ha realizado el experimento aleatorio, en las mismas circunstancias , es decir, en idénticas condiciones. Por lo tanto, la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es

47 o 0,47. 100

Se trata de una “Probabilidad a posteriori” porque se ha obtenido después de realizar el experimento aleatorio. Veámoslo de otra manera:

Se puede ver que la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es la frecuencia relativa correspondiente al resultado CARA. Pero, la Probabilidad a priori de obtener CARA en un lanzamiento de la moneda es

1 o 0,50. 2

La Probabilidad a posteriori se basa en la “Regularidad Estadística” que establece que cuando mayor es el número de veces que se repite un experimento aleatorio, la Probabilidad a posteriori se irá acercando a la Probabilidad a priori. Cuando se lanza una moneda al aire 100 veces, la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es 0,47. Si el experimento se repite 500 veces, 1 000 veces, 10 000 veces, etc., la probabilidad de obtener CARA en la parte superior se irá aproximando a 0,50. Sexto Grado de Primaria

531


La Probabilidad a posteriori se llama también probabilidad empírica debido a que se calcula después de realizar el experimento muchas veces, usando la siguiente igualdad: Número de veces que se presenta el evento A

P(A) = Número de veces que se realizó el experimento P(A) = Frecuencia relativa del suceso A.

2.

Por medio de una encuesta a 400 profesores del distrito San Juan de Lurigancho se averiguó que 160 eran profesores de matemática. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente a un profesor, éste sea profesor de matemática? Resolución Aleatoriamente significa “Al Azar”. Si el suceso es B : Es profesor de matemática, número de veces que ocurrió B = 160, número de veces que se realizó el experimento = 400 Entonces P(B) = \

3.

La probabilidad de que sea profesor de matemática es 0,4.

Se realizó el examen médico a 180 personas y se determinó que 9 eran diabéticos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea diabética? Resolución Si el suceso es C: La persona es diabética, número de veces que ocurrió C = 9, número de veces que se realizó el experimento = 180 Entonces P(C) = \

532

160 2 = = 0,4 400 5

9 = 0,05 = 5% 180

La probabilidad de que una persona elegida al azar sea diabética es 0,05 o 5%.



Taller de ejercicios 113 Eje rcic io 1 Una familia va al parque de las leyendas y sus edades son las siguientes: • Papá : 64 años • Mamá : 58 años • Hijos : Pepe : 9 años María : 23 años Julio : 30 años Elvira : 17 años Janeth : 29 años Ricardo : 14 años ¿Cuál es la Mediana de las edades de todos?

Eje rcic io 2 En un examen médico se midió la estatura de las siguientes personas: Mateo : 174 cm Julio : 164 cm Pedro : 169 cm Raquel : 171 cm Justina : 164 cm Prudencia : 165 cm Ismael : 164 cm Antonio : 162 cm ¿Cuál es la estatura que está de Moda?

Rpta. 26

Rpta. 164 cm

Eje rcic io 3 La tabla siguiente presenta la distribución de los alumnos de secundaria de un colegio, según su grado de instrucción:

Eje rcic io 4 La tabla siguiente presenta la preferencia con respecto a los panetones de 1 560 personas encuestadas.

¿Cuál es la Mediana?

¿Cuál es la Moda?

Rpta. Tercero

Rpta. Todinno


533


Ejercicio 5 Pepito ha ahorrado en su chanchito: 30 monedas de 50 céntimos, 18 monedas de un nuevo sol, 12 monedas de 5 nuevos soles. Si voltea el chanchito, ¿cuál es la probabilidad de que salga una moneda de 50 céntimos?

Rpta. 0,5

Eje rcic io 7 Un albañil guarda 380 clavos, entre chuecos y derechos, en una lata. Un día, sin mirar, coge un clavo de la lata que contiene 120 clavos derechos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el clavo escogido sea derecho? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el clavo escogido sea chueco?

Rpta: a) 0,316 b) 0,684

534


Eje rcic io 6 En el problema anterior, a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga una moneda de un nuevo sol? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga una moneda de 5 nuevos soles?

Rpta: a) 0,3 b) 0,2 Eje rcic io 8 En una muestra aleatoria de 20 talleres de confección textil, que emplean, en total, 672 personas se averiguó que 48 de ellas se habían atendido en ESSALUD. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que trabaje en un taller de confección textil, seleccionada al azar, se atienda en ESSALUD?

Rpta. 0,07



f 1 + f 2 + f 6 + f 8 , será:

El siguiente gráfico de barras:

A) 103 (4) D) 23 (5) 3

Datos Edades 10 años

4

C) 113 (5)

Las notas de un estudiante en los cuatro bimestres fueron: 13; 12; 10; 08. ¿Cuál será su nota promedio? A) 10 D) 10,5

Corresponde a la siguiente tabla de frecuencias:

B) 23 (4) E) 41 (6)

B) 10,7 E) 10,75

C) 10,15

Observa la siguiente tabla de datos y calcula el promedio de las edades.

Frecuencia

A) 20 B) 22 C) 23 D) 24 E) 26

8

11 años

f 2

12 años

6

13 años

f 4

Halla el valor numérico de f 2 + f 4 . A) 16 D) 19 2

B) 17 E) 20

C) 18

5 Se tomó como muestra las edades de un con junto de adolescentes, resultando la siguiente gráfica.

Pablo construye la tabla de frecuencia adecua da para el grupo de datos, dado a continuación: El número de hermanos de los alumnos de 6° A. 0; 0; 2; 5; 7; 6; 3; 3; 2; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 8; 6; 7; 6; 5; 2; 2; 3; 3; 4; 2. Tabla de frecuencias:

¿Cuál es la edad promedio de los adolescen tes?

)

A) 16

B) 14

C) 14,6

D) 15,3

E) 15,2

)


535


En los siguientes datos: 9; 8; 8; 7; 5; 6; 6; 8; 9; 6; 8; 5; 8 ¿Cuál es la moda? A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

11 El gráfico representa los resultados de una en cuesta realizada a 540 personas sobre las pre ferencias para estudiar en las academias preuniversitarias.

C) 7

7 Las estaturas en centímetros de 9 niños son las siguientes: 51; 49; 56; 46; 50; 52; 52; 60; 49 Calcular la mediana. A) 49 cm D) 52 cm

B) 50 cm E) 60 cm

C) 51 cm

8 Las temperaturas registradas en la ciudad de Juliaca durante 11 días fueron: 10°; 4°; 5°; –4°; –6°; 4°; –4°; 1°; 2°; 3°; – 4° Hallar la suma de la media, la moda y la media na. A) 1° D) –1°

B) 2,5° E) –2°

C) 3°

9 Sean los datos: 3; 5; 6; 8; 10 y 13. Si efectua mos con los datos centrales:

6 + 8 = 7 2 el resultado se denomina: A) media D) mediana 10

B) moda E) N.A.

C) promedio

En el siguiente diagrama:

se muestra la venta de 12 300 botellas de tres bebidas gaseosas en Carabayllo, en el mes de mayo. ¿Cuántas botellas de Crush se vendió en di cho mes? A) 1 340 D) 4 800

536

B) 5 220 E) 4 920


C) 4 320

¿Cuántas personas prefieren la academia ALFA? A) 120 D) 180

B) 90 E) N.A.

C) 360

12 Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo? A) 2 D) 1/2

B) 3/2 E) 1/6

C) 2/3

13 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número múltiplo de 2? A)

1 2

B)

1 3

D)

2 3

E)

1 8

C)

1 4

14 En una bolsa hay 5 bolas azules, 8 rojas y 7 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga roja? A)

1 3

B)

2 5

D)

8 9

E)

3 5

C)

3 10

15 En una bolsa hay 85 tarjetas iguales numeradas desde 1 al 85. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una tarjeta el número obtenido sea cua drado perfecto? A)

1 85

B)

16 85

D)

4 85

E)

7 17

C)

9 85

Sexto grado de primaria Nivel II

Núm ero de estudiantes

1 El siguiente gráfico muestra las calificaciones de un grupo de alumnos en una prueba de matemática.

4 En la siguiente lista: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ¿Qué número debe suprimirse para que el pro medio (media aritmética) de los números res tantes sea 6,1? A) 4 D) 7 5

B) 5 E) 8

C) 6

Se encuestó a 50 futbolistas sobre la medida del chimpún que usan y se obtuvo la siguien te tabla:

Halla el total de alumnos. A) 28 D) 64

B) 36 E) 72

C) 58

2 En el colegio “A” hay 140 alumnos y en el cole gio “B” hay 200. El siguiente gráfico muestra el número de aprobados. Si se conoce que: Media aritmética = a0,dd moda = ab mediana = ac Hallar: a + b + c + d + c A) 1 D) 4

El número de aprobados en ambos colegios es: A) 212 D) 240

B) 216 E) 250

C) 232

B) 2 E) 5

C) 3

6 El gráfico representa los resultados de una en cuesta hecha a 600 personas sobre si aprue ban o desaprueban la gestión del Presidente de la República. ¿Cuántas personas aprueban la gestión del Pre sidente?

3 Juan obtuvo las siguientes notas en cuatro eva luaciones de matemática: 13; 17; 14 y 16. Halla la media aritmética de sus notas. A) 13 D) 16

B) 14 E) 17

C) 15 A) 200 D) 180

B) 250 E) 400

C) 150


537


7 Juan realizó una encuesta a 10 personas, pero al escribir los datos en su cuaderno olvidó uno. Si los datos escritos en el cuaderno son: 10; 5; 6; 6; 8; 10; 9; 10 y 6; y además se sabe que la mediana de los 10 datos es 7,5 ; ¿cuál es el número que olvido Juan? A) 6 D) 8

B) 7 E) 9

C) 5

Si 440 personas prefieren Agua Dulce, ¿cuántas personas se encuestaron? A) 1 500 D) 1 600

B) 2 000 E) 1 100

C) 1 440

11 El gráfico representa la cantidad de votos que obtuvieron 5 candidatos a la Alcaldía Escolar del colegio “Raúl Porras Barrenechea”.

8 En el diagrama de sectores se muestran los re sultados de una encuesta hecha a 500 jóvenes sobre qué deporte prefieren. ¿Cuántos jóvenes prefieren fútbol?

¿Cuántos votos de diferencia hay entre el pri mer y el cuarto lugar si votaron 960 alumnos? Voleibol 25 %

A) 40 D) 120

A) 128 D) 192

B) 80 E) 200

C) 110

9 La votación obtenida en una elección es ilustra da mediante una gráfica circular:

B) 256 E) 64

C) 300

12 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número múltiplo de tres? A) 1/3 D) 2/3

B) 1/2 E) 1/5

C) 1/4

13 En un concurso del programa Todos a ganar, un concursante tiene que girar la ruleta de Ariel que premia en dólares igual al número que señale la flecha.

Hallar a + b. A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

10 El gráfico muestra las preferencias por conocer las playas de Lima por parte de “N” personas encuestadas. Hallar la probabilidad de que, luego de girar la rule ta, la flecha indique un número primo.

538


A)

1 8

B)

3 8

D)

8 3

E)

1 2

C)

2 3

Sexto grado de primaria 14 En una caja se colocan tarjetas numeradas del 51 al 130. Si se extrae una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una tarjeta con un número capicúa? A)

3 80

B)

1 10

C)

3

7 80

3 E) N.A. 10 15 La probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento


D)

de una moneda dos veces es

4

a . b-a

¿Cuál es el valor de b? A) 5 D) 3

B) 1 E) 4

Una comisión está integrada por 4 personas que tienen una edad promedio de 22,5 años. El señor Santiago Romero se incorpora a la comi sión y el nuevo promedio de las edades es 23 años. ¿Cuál es la edad del señor Santiago Romero? B) 25 años E) 19 años

C) 23 años

En una caja hay 12 tarjetas numeradas del 1 al 12. Si se extrae una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un número primo? A)

4 8

B)

3 6

D)

5 12

E)

4 9

C) 2

1 2

C)

Problemas de Olimpiadas 1

Las edades de 40 alumnos se han ordenado en la siguiente tabla:

¿Cuántos alumnos tienen menos de 10 años? A) 14 D) 18 2

B) 8 E) 24

C) 16

Observa la siguiente tabla de datos:

5

En una bolsita se introducen 3 bolas blanca, 4 negras y 7 verdes. Calcular la probabilidad de que al sacar una al azar, esta no sea negra. A)

5 7

B)

1 7

D)

2 5

E)

3 14

C)

2 7

6 Se lanzan dos dados al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras superiores sea 7?

1 6

A)

1 2

B)

D)

1 5

E) N.A.

C)

2 3

Clave de respuestas Nivel I 1. A 6. D 11. B

Si en la tabla anterior se coloca a Gabriel, el promedio de sus edades sería 17 años; ¿cuán tos años tiene Gabriel? A) 15 D) 18

B) 17 E) 14

1. D 6. B 11. D

2. D 7. C 12. D

3. E 8. D 13. A

4. C 9. D 14. B

5. E 10. E 15. C

2. C 7. B 12. A

Nivel II 3. C 8. E 13. B

4. B 9. E 14. B

5. D 10. E 15. A


C) 16 1. C

2. B

3. B

4. D

5. A

6. B


539


Teoría de exponentes

14 Elementos de la potenciación

Recordemos que en la operación potenciación, los elementos son: la base, el exponente y la potencia. Atención

34 = 81 3 × 3 × 3 × 3 = 81 • Donde:

En la expresión: 34 El exponente 4 nos indica cuántas veces vamos a multiplicar la base 3, veamos: 34 = 3 × 3 × 3 × 3

Base: 3 Exponente: 4 Potencia: 81

A la base con el exponente se le denomina potencia indicada; así tenemos que 34 es una potencia indicada, también son potencias indicadas 36, 53, 210, 59, 132. Así como operamos con los números también operamos con las potencias indicadas, pues sus resultados son números. Como ejemplos tenemos los siguientes: Ejemplo

1

Efec túa

23 + 32

Resolución: a) En primer lugar, hallamos el valor de cada potencia; o sea: 23 = 2 × 2 × 2 = 8

b)

En segundo lugar, sumamos las potencias, obtenidas en el paso a. 23 + 32 = 8 + 9 = 17 Rpta.

32 = 3 × 3 = 9 2 veces

El proceso seguido se observa en el esquema siguiente, que es una forma práctica de operar: 23 = = =

+

32

2×2×2 + 3×3 8

+

9

17

Rpta.


543

Manuel Coveñas Naquiche Ejemplo 2

Efectúa 5 2 × 2 4

Resolución: a) En primer lugar, hallamos el valor de cada potencia, o sea: 52 = 5 × 5 = 25

b)

En segundo lugar, multiplicamos las potencias obtenidas en el paso a. 52 × 24 = 25 × 16 = 400

Rpta.

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 •

Una forma práctica de operar se observa en el esquema siguiente: 52 =

5×5

=

25

= Ejemplo 3

×

24

× 2×2×2×2 ×

16

400

Rpta.

Efectúa 6 2 – 2 5 + 3 3

Resolución: a) En primer lugar, hallamos el valor de cada potencia, o sea: 62 = 6 × 6 = 36

b)

En segundo lugar, efectuamos las operaciones indicadas, veamos: 62 – 25 + 33 = 36 – 32 + 27

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

=

33 = 3 × 3 × 3 = 27 •

= 31


6×6

=

36

= =

544


25

+

33

– 2×2×2×2×2

+

3×3×3

–

+

27

+

27

–

32 4 31

Rpta.

4 + 27 R pt a .

Sexto grado de primaria Ejemplo 4

Efectúa 2 6 ÷ 5 2

Resolución: a) En primer lugar, hallamos el valor de cada potencia; o sea:

b)

En segundo lugar, dividimos las potencias obtenidas

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 26 ÷ 52 =

52 = 5 × 5 = 25 •

26 5

2

=

64 = 2, 56 25

Rpta.


÷

2×2×2×2×2×2 ÷

=

64

=

÷ 2,56

52 5×5 25 Rpta.

Como podrás observar en los ejemplos 1; 2; 3 y 4, hemos operado con potencias que tienen diferentes bases. Pero cuando las potencias indicadas tienen igual base se presentan algunos casos especiales como los siguientes:

I. Multiplicación de potencias de la misma base Es la multiplicación que tiene como factores a dos o más potencias de igual base, como por ejemplo 34 × 32. El proceso para llegar al resultado es el siguiente: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada. b) Multiplicamos las potencias. Ejemplo

1

Efectúa 3 4 × 3 2

Resolución: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 32 = 3 × 3 = 9 b) Multiplicamos las potencias obtenidas en el paso a. 34 × 32 = 81 × 9 = 729

Rpta.


545

Manuel Coveñas Naquiche •

Una forma práctica de operar es la siguiente: 34 × 32 = 3×3×3×3

×

Atención

Los pasos a y b se puede resumir así:

3×3

34 × 32 = 34+2 = 36

2 veces

4 veces

= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =36 = 729

Rpta.

= 729 Rpta.

6 veces

Ejemplo 2 Efectúa 5 3 × 5 2 × 5

Resolución: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 53 = 5 × 5 × 5 = 125 ; 52 = 5 × 5 = 25 ; 5 = 51 = 5 b) Multiplicamos las potencias obtenidas en el paso a. 53 × 52 × 5 = 125 × 25 × 5 = 15 625 Rpta. •

Atención

Una forma práctica de operar es la siguiente: 53 =

52

×

5×5×5

×

5×5

×

5

×

5

Los pasos a y b, se puede resumir así: 53 × 52 × 51 = 53+2+1 = 56 = 15 625

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56 = 15 625

=

Rpta.

Ejemplo 3 Efectúa 7 4 × 7 2 × 7 3

Resolución: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 74 = 7 × 7 × 7 × 7 = 2 401 ; 72 = 7 × 7 = 49 ; 73 = 7 × 7 × 7 = 343 b) Multiplicamos las potencias obtenidas en el paso a. 74 × 72 × 73 = 2 401 × 49 × 343 = 40 353 607 •

Atención

Una forma práctica de operar es la siguiente: 74 = 7×7×7×7

×

72

×

×

7×7

×

Rpta. Los pasos a y b se puede resumir así:

73 7×7 ×7

74 × 72 × 73 = 74+2+3

= 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 79 = 40 353 607

144444424444443 9 veces

546


= 79 = 40 353607 R pt a . Rpta.

Sexto grado de primaria Regla práctica Para multiplicar dos o más potencias que tienen igual base se escribe la base común y como exponente se coloca la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando, o sea:

am × an × ap × ... = am+n+p+ ...

; donde

ì Base común: a í Exponentes: m; n; p; ... î

Aplicación de la regla: a) 25 × 23 = 25+3 = 28

; b) 102 × 104 × 105 × 103 = 102+4+5+3 = 1014

c) 34 × 32 × 36 = 34+2+6 = 312 ; d) 213 × 216 × 218 × 212 × 21 = 213+6+8+2+1 = 2120

II. División de dos potencias de la misma base Es la división que tiene como dividendo y divisor a dos potencias de igual base, como por ejemplo 35 ÷ 32. El proceso para llegar al resultado es el siguiente: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada. b) Dividimos las potencias. 1 Efectúa 3 5 ÷ 3 2

Ejemplo

Resolución a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

;

32 = 3 × 3 = 9

b) Dividimos las potencias obtenidas en el paso a. 35 ÷ 32 =

•

35

=

243 = 27 9

Rpta. 3 Una forma práctica de operar es la siguiente: 2

35 =

3 × 3× 3 × 3 × 3

÷ ÷

Los pasos a y b, se puede resumir así:

32

35 3

3×3

3 × 3 × 3 = 33 = 27

=

Atención

2

= 35 - 2 = 33 = 27 Rpta.

Rpta.

Ejemplo 2 Efectúa 2 8 ÷ 2 3

Resolución: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 ; 23 = 2 × 2 × 2 = 8


547

Manuel Coveñas Naquiche b) Dividimos las potencias obtenidas en el paso a. 28 ÷ 23 = •

28

=

23

256 = 32 8

Atención

Rpta.

Los pasos a y b, se puede resumir así:

Una forma práctica de operar es la siguiente:

=

28

÷

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×2

÷

28

23

2

= 28 - 3 = 25 = 32 Rpta.

2×2×2

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32

=

3

Rpta.

Ejemplo 3 Efectúa 5 6 ÷ 5 4

Resolución: a) Encontramos el valor de cada potencia indicada, veamos: 56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15 625

;

54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

b) Dividimos las potencias obtenidas en el paso a. 56 ÷ 54 = •

Atención

56

15 625 = = 25 4 625 5

Rpta.

Los pasos a y b se puede resumir así: 56

Una forma práctica de operar es la siguiente:

=

56

÷

54

5×5×5×5×5×5

÷

5×5×5×5

5 × 5 = 52 = 25

=

5

4

= 5 6 - 4 = 5 2 = 25

Rpta.

Rpta.

Regla práctica Para dividir dos potencias que tienen igual base, se escribe la base común y como exponente se coloca la diferencia de los exponentes de las potencias que se están dividiendo, o sea:

am an

548

= a m -n


ì a: Base ; donde í m; n: Exponentes î

Sexto grado de primaria Aplicación de la regla: a)

b)

29 24 37 3

2

= 29 - 4 = 25

;

c)

= 37 - 2 = 35

;

d)

746 7 44

= 7 46 - 44 = 7 2

13 206 13

201

= 13 206 - 201 = 13 5

III. Potencia de una potencia •

( )

Si a la potencia indicada 54 la elevamos al cuadrado, tendremos 5 4

( )

A la expresión 5 4

2

2

.

( ) es la base y 2 es el

4 se denomina potencia de una potencia, donde 5

( )

4 exponente; esto significa que 5 se debe multiplicar por sí misma 2 veces.

Entonces: 2 veces

4 2

( ) 5

} 4 4 4+4 =1 5 ´ 5 = 5 = 54 ´×2 2 = 58 424 3 2 veces

Esto se puede expresar en forma resumida así:

( 54 ) •

2

= 5 4 ´ 2 = 58

Cuando la misma potencia indicada

54 la elevamos al cubo, tendremos

3

( 54 ) 3

, que es otra

( ) es la base y 3 es el exponente; esto significa que ( 54 ) se

4 potencia de una potencia, donde 5

debe multiplicar por sí misma 3 veces. Entonces:

( 54 )

3

3 veces 678

= 14 54 4 ´244 5 4 ´ 534 = 5 4 + 4 + 4 = 54 ´ 3 = 512 3 veces

Esto se puede expresar en forma resumida así: 3

( 54 ) 3 = 54´3

= 512

Regla práctica n

( ) n se escribe la base a y los exponen--

Cuando se tiene la potencia de una potencia como a m tes m y n se multiplican, es decir:

( ) am

n

= a mń


549

Manuel Coveñas Naquiche Aplicación de la regla: 3

a)

( 25 )

b)

( 34 )

6

9

= 25´ 3 = 215

;

c)

( 76 )

= 34´ 6 = 324

;

d)

(132 )

= 76´ 9 = 754 8

= 13 2´ 8 = 1316

Ejercicios resueltos Eje rcic io

1

Halla el valor de

A) 16 D) 4

210 ´ 28 215

B) 32 E) 12

C) 8

Resolución: Primero reducimos las potencias del numerador aplicando el producto de potencias de la misma base: 210 ´ 28 = 210 + 8 = 218

Luego:

6474 8 10 18 2 ´ 28 2218 = ; aplicando el cocien-215 215 te de potencias de la misma base; obtenemos: 18 -15

2

Ejercicio

2

3

=2 =

Rpta. C

8

Simplifica la expresión

A) 9 D) 27

37 ´ 312

B) 1 E) 81

39 ´ 3 8

C) 6

Resolución: Primero reducimos las potencias del numerador: 37 ´ 312 = 37 +12 = 319 Segundo, reducimos las potencias del denominador:

Eje rcic io

3

Halla el valor de

A) 16 D) 1/2

28 ´ 2-12 2-17 ´ 210

B) 4 E) 8

C) 1

Resolución: Reducimos las potencias del numerador aplicando el producto de potencias de la misma base, veamos: 28 ´ 2-12 = 28 -12 = 2-4 Reducimos las potencias del denominador aplicando el producto de potencias de la misma base, veamos: 2-17 ´ 210 = 2-17 +10 = 2-7

Luego: 28 ´ 2-12

=

2-4

; en esta expresión, 2-17 ´ 210 2-7 aplicamos el cociente de potencias de la misma base; obteniendo: 2

-4 - ( -7 )

= 2-4 + 7 = 23 = 8

Rpta. E

Comentario: El producto de potencias de la misma base am × an = am+n, también se aplica cuando los exponentes son enteros negativos, tal como se ha visto en este ejemplo.

39 ´ 38 = 39 + 8 = 317

Luego: 37 ´ 312 9

8

=

319 17

8 + ( -12) 8 -12 28 ´ 2-12 = 2 = 2-4 1 424 3=2

; aplicando el cociente de

3 ´3 3 potencias de la misma base, obtenemos: 319 -17 = 32 = 9

550


Rpta. A

*

* Este paso se evita escribiendo cada exponente con su respectivo signo; veamos:

28 ´ 2-12 = 28 -12 = 2 - 4


Eje rcic io

4

Encuentra el resultado de:

Eje rcic io 6

5 27 ´ 514 ´ 5

A) Sí

5 23 ´ 517

B) No

A) 18 D) 25

B) 5 E) 625

C) 125

Resolución: Reducimos las potencias del numerador y denominador aplicando el producto de potencias de la misma base, veamos: Numerador: 5 27 ´ 514 ´ 5 = 5 27 +14 +1 = 5 42

5 27 ´ 514 ´ 5 5 23 ´ 517

?

2

35 , aquí la base es 3 y el exponente es 5 2 2

5 42

=

II:

5 40

( 35 )

2

, aquí la base es 35 y el exponente es

2, por lo que se trata de la potencia de una potencia y los exponentes se deben multipli-

= 542 - 40 = 5 2 = 25 Rpta. D

car, entonces: Eje rcic io 5 8

13 ´ 13 13

Después de simplificar la expre-19

-12

´ 13

´ 13

-7

el exponente del resulta-

-4

do es: A) 2

B) -2

D) -3

C) 4

Numerador = 138×13-19×13-7=138-19-7=13-18

35

2

8

13 ´ 13 13

-19

-12

´ 13

´ 13

= 13

-7

-4

-18 - ( -16 )

=

13

= 35´ 2 = 310

( )

2

Rpta. B 3

Eje rcic io 7

74 ) ( Halla el resultado de 2 ( 75 )

A) 49 D) 7

B) 7 E) 1

C) 14

Resolución: En el numerador tenemos una potencia de potencia, por lo que multiplicamos los exponentes, veamos:

(74 )

3

= 7 4 ´ 3 = 712

En el denominador también tenemos una potencia de potencia, por lo que multiplicamos los exponentes, veamos:

-18

13 -16

= 13 -18 +16 = 13 -2

El exponente del resultado es -2.

2

no es lo mismo que 35

Denominador = 13-12×13-4=13-12-4= 13-16 Luego:

( 35 )

De (I) y (II) concluimos que:

E) 3

Resolución: Reducimos las potencias del numerador y denominador aplicando el producto de potencias de la misma base.

\

2

que es igual a 25, entonces 35 = 3 25

Luego:

sión

( 35 )

C) Algunas veces D) Depende en qué parte de una operación se encuentra E) Si a la segunda expresión le quitamos el paréntesis, entonces son iguales. Resolución: Analicemos cada expresión por separado, veamos: I.

Denominador: 5 23 ´ 517 = 540

2

¿Es lo mismo 35 que

Rpta. B

( 75 )

2

= 75´ 2 = 710

Luego: 3

(74 ) = 712 = 712-10 = 72 = 2 10 ( 75 ) 7

49

Rpta. A


551

Manuel Coveñas Naquiche Eje rcic io 8 5

(2 ) ´ (2 ) 8

12

Al simplificar la expresión: 3

se obtiene 2n. ¿Cuánto vale n?

72

En el numerador y denominador se presentan productos de potencias de la misma base, por lo que sumamos sus exponentes, obteniendo:

2

1114 + 32

A) 8 D) 4

C) 24

B) 1 E) 6

Resolución: En el numerador de la expresión dada tenemos dos potencias de potencia por lo que multiplicamos sus exponentes respectivos, veamos: 5

( 28 ) ´ ( 212 ) 2

240 ´ 236 272 276 272

=

=

2

8´5

Eje rcic io

à

´2

es decir:

121 = 11

La raíz cuadrada positiva del resultado es 11. Rpta. E

Eje rcic io 1 0

240 + 36

=

272

( )

76 - 72

=2

= 2

n=4

4

Rpta.

2

B) -11 E) 11

3

D

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 Resolución: Primero simplificamos la expresión dada, para ello comenzamos trabajando dentro del corchete, veamos:

4

3

é 13 2 ù 3 3 é 213 ´ 2 ù é 226 ù ê 2 ú ê 24 ú = ê 24 ú = ê 24 ú = êë 2 ûú ëê 2 ûú ê 2 ú ë û

8

( )

(11 ) ´ (11 ) . 4 2 (115 ) ´ (1112 ) 7

Al simplificar la expresión

é 13 2 ù ê 2 ú 5x + 1 . ¿Cuánto vale x? ê 24 ú se obtiene 2 2 ê ú ë û

9 Halla la raíz cuadrada positiva del

A) 121 D) 114

Nos piden la raíz cuadrada positiva del resultado,

=

272

resultado de la expresión:

1144

12´ 3

Hemos obtenido 24 y como según el enunciado se obtiene 2n; entonces: 24=2n

1146

= 1146 - 44 = 112 = 121

\

3

72

1120 + 24

=

C) 1

3

3

é 226 - 24 ù = é 22 ù = 22´ 3 = 26 ë û ë û

Resolución:

Entonces, como nos dicen que se obtiene 25x + 1 y

Tanto en el numerador como en el denominador de la expresión dada, hay dos potencias de una potencia, por lo que multiplicamos sus exponentes en cada una de ellas, veamos:

hemos obtenido 26 , podemos afirmar que:

2

8

(117 ) ´ (114 ) = 117´ 2 ´ 114´8 = 1114 ´ 1132 4 2 5´ 4 12´ 2 1120 ´ 1124 (115 ) ´ (1112 ) 11 ´ 11 552

2 5x+1 = 2 6


\

à 5x +1 = 6 5x = 6 – 1 5x = 5 5 x= à x=1 5 El valor de x es 1. Rpta. A

Sexto grado de primaria Eje rcic io

11

¿Cuánto le falta al resultado de

3

é 7 -6 ù é 7 23 ù ´ ê -10 ú ê 25 ú êë 7 úû êë 7 úû

5

para ser igual a 60?

A) 10 B) 9 C) 7 D) 49 E) 11 Resolución: Debemos hallar el resultado de la expresión dada que es el producto de dos factores A y B, donde: 3

3 é 7 -6 ù -6 - -10 =ê = é7 ( ) ù ú -10 êë ûú êë 7 úû

A

3

3

= é7-6 +10 ù = é7 4 ù = 74 ´ 3 = 712 ë û ë û 5

é 7 23 ù 5 =ê = é7 23 - 25 ù ú 25 ë û êë 7 úû

B

Eje rcic io 1 2

-2 ù 5

-2 5 = é7 = 7 ( ) = 7 -10 ë û Entonces: 3

é 5 ê 2 ê ê 26 ë

= 712 -10 = 7 2 = 49

10

ù ú ú ú û

2

A) 17 B) 34 C) 289 D) 269 E) 144 Resolución: Comenzamos trabajando dentro del corchete. Vemos que hay potencia de una potencia, por lo que multiplicamos sus exponentes; veamos: 2

3ù é 5 3 2 2 310 ú é 25´ 3 310´ 3 ù é 215 330 ù ê 2 + = ê 6´ 2 + 7 ´ 4 ú = ê 12 + 28 ú ê 2 4 ú 3 3 úû êë 2 úû êë 2 ê 26 37 ú ë û

( ) ( ) ( ) ( )

Ahora, dentro del corchete tenemos a dos cocientes de potencias de la misma base, por lo cual restamos los exponentes de cada uno de ellos, veamos: 2

5

B

3

( ) + (3 ) 2 4 ( ) ( 37 )

é 215 -12 + 330 - 28 ù = é 23 + 3 2 ù ë û ë û

é 7 -6 ù é 7 23 ù 12 -10 ê -10 ú ´ ê 25 ú = A ´ B = 7 ´ 7 7 7 ûú ú ëê1 ëê1 424 3û 23 A

3

Halla el valor de la expresión

2

2 2

= [8 + 9 ] = [17 ] = 289

El valor de la expresión dada es 289. Rpta. C

\

Como el resultado es 49, para ser igual a 60 le falta 11. \ Al resultado que es 49 le falta 11 para ser igual a 60. Rpta. E


Al efectuar:

2

Al efectuar:

210–(24+26), ¿cuánto se obtiene? Resolución:

3

Al efectuar: 53+36÷92, ¿cuánto se obtiene? Resolución:

65÷35×43, ¿cuánto se obtiene? Resolución:

4

Al efectuar: 34×26÷62, ¿cuánto se obtiene? Resolución:


553


5

6

Al efectuar: (33×28)÷123, ¿cuánto se obtiene?

75 + 7 3

, ¿cuánto se obtiene? 74 + 72 Resolución:

Resolución:

7

Al efectuar: 125 × 94

( 27 ) 2 × 5 3

, ¿cuánto es el resultado?

Al efectuar:

8 Si 35×3m es igual a 729, halla el valor de “m”. Resolución:

Resolución:

4 5 × 16 2x es igual a 256, halla el 64 valor de “x”. Resolución: 9

11

Si

Halla el valor de la siguiente expresión: é 4 ê 3 ê ê 32 ë

3

2 ù2

( ) - (5 ) ú 5 6ú 2 5 ( ) ( ) úû 6

Resolución:

554


10

¿Es lo mismo 22

4

( )

que 24

2

?, ¿por qué?

Resolución:

12

¿Cuánto le falta al resultado de 4

3

é 10-4 ù é 10-12 ù ê -6 ú × ê -10 ú para ser igual a 120? êë10 ûú ëê 10 ûú Resolución:



Al simplificar la expresión 24 ×26 ×2 3 25 ×2 7

A) 4 B) 4 E) 9

37 ´ 3 4 ´ 3 9 10

3 ´3

A) 6 3

C) 6 9

Al simplificar la expresión 8

C) 9

D) 12

E) 9

35a ´ 33b ´ 3 3a

5

166

A) 8 6

B) 12 C) 16 D) 24

E) 32

Al simplificar la expresión 817

A) 1

; resulta: C) 9

A) 4

B) 5

8

E) 2 2

3

2

C) 2 4

6

12 Si 2 6 ×2 a es igual a 8 a , halla el valor de “a”. B) 2 E) 5

C) 3

13 Al simplificar la expresión

A) 12 D) 27

E) 3

6

2 ´ 2 28

B) 2 2

4 ´ 16 ´ 64 ´ 128 , se obtiene:

¿Por cuánto hay que multiplicar a la ex presión:

4

215

B) 6

4

C) 27 D) 81

2

A) 1 D) 4

; resulta:

95 ´ 27 4 ´ 3 6

7

E) 64

Al simplificar la expresión: 43 ´ 8 6 ´ 2 4

92 ´ 3 4 = 243 , ¿cuál es m

11 Si a 2 2 se eleva al cuadrado, se obtie ne:

D) 2 2

C) 18 D) 27

C) 4

B) 3

A) 2 2

37a ´ 3 4b

B) 9

B) 2 E) 5

A) 9 E) 8

Si a – b = 4; hallar el valor de:

A) 81

E) 2

el valor de m?

26a ´ 25b

4

D) 3

22 ´ 2 3 = 16 , ¿cuál es el En la expreisón m valor de m?

10 En la expreisón

22a ´ 22b ´ 24b ´ 2 5a

C) 12 D) 16

C) 5

E) 18

Si “a+b=3; hallar el valor de:

B) 8

B) 6

A) 3 D) 6

; resulta:

B) 3

A) 6

¿Por cuánto hay que multiplicar a la 43 ´ 8 2 expresión: para que se igual a 48? 162

; resulta:

A) 2 D) 8 2

8

B) 14 C) 16 D) 18

E) 24

14 Las expresiones: 3

I. 3 2

II.

2 3

( 3 )

III.

para que sea igual a 24?

ordenadas de mayor a menor son:

C) 6

A) III; II; I D) II; I; III

D) 8

E) 9

B) II; III; I E) I; II; III

2

3 3

C) III; I; II


555


( ) 75


3

´ 7 5

78 ´ 79

Nivel II 1

¿cuánto vale? A) 49 D) 21

B) 7 E) 2 401

5

16

B) 6 E) 27

æ2ö 17 Halle el valor de: ç ÷ è 3 ø

20

´

226

-2

-4

A) 3 D) 12

220 ´ 2 10

C) 343

( 3 ) Encuentre el resultado de: (3 )

3

2

C) 9 22

A) 9 D) 3 9

3

A) 1 D) 36

4

´ 6 40

B) 4 E) 256

5

B) 2 E) 4

En la expresión

C) 6

212 ´ 2 4 = 64 , ¿cuál es m

A) 3×4 4 B) 6×2 6 D) 4×2 8 E) 4×2 6 En la expresión: 310 ´ 3 6

C) 6

38 ´ m

6

C) 3×81

5

5 +1

B) 5 5

5 +1

E) 5 55

A) 55

IV. 5 16 = 5 10 × 5 6 ¿Cuáles son verdaderas?

D) 55 C) I y IV

B) 9×81 E) 3 9

Si a 5 5 se eleva a la quinta potencia, se obtiene:

III. 5 20 = 5 10 × 5 2

7

C) 2×2 10

= 27 , ¿cuál es el valor de m?

A) 3×27 D) 3 6

II. (5 3 ) 4 = 5 3 + 4



el valor de m?

I. 5 12 = (54) 3

556

C) 3 10

C) 18

10

B) I y III E) Todas

164

A) 1 D) 8

20 De las siguientes expresiones:

A) I y II D) I; II y IV

46 ´ 8 2

8

19 Encuentra el resultado de:

( ) ( )


¿Por cuánto hay que multiplicar a la ex presión

B) 16 E) 24

é 4 -7 ù ê 6 ú ê ú 8 ê 6 -3 ú ë û

348

B) 18 E) 3 5

C) 24

æ 4 ö 3 18 Halla el valor de: ç ÷ ´ 5 è 9 ø 2

A) 9 D) 12

329 ´ 3 12

218

B) 27 E) 42 3


A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 ¿Por cuánto hay que multiplicar a la ex presión

3 A) 16 D) 36

¿Por cuánto hay que multiplicar a la ex presión:

6

5

C) 5 6

5

6 En la expresión 6 ´ m = 1 296 , ¿cuál es 63 el valor de m?

Sexto grado de primaria A) 4×2 D) 8×3 8

B) 2×3 E) 5×4

C) 6×2

4

13

“x”

9

Si

B) 3 E) 9

m5 ´ m 3

ma de “a”.

A) 2 D) 5

A) 5 D) 125

B) 3 E) 6

C) 4

10 La expresión 3 4 × 27 es equivalente a:

B) 10 E) 625

D)

43 ´ 27 62 ´ 243 B) C) 6 4

33 ´ 2 6 24

14

Cuando se simplifica

I. (4 5 ) 2 II. (8 2 ) 3 III. (16 3 ) 2 ordenadas de menor a mayor son: A) I; III; II D) II; I; III

B) II; III; I E) III; I; II

C) I; II; III

A) 1 D) 4

3 45

B) 2 E) 5

p • q •

32

2

22

r •

23

512

3

1 • 2 •

2

3•

256

81

Une mediante flechas cada expresión con su resultado. ¿Cuál de las siguientes al ternativas es la correcta? A) p3; q2; r1 C) p2; q3; r1 E) p1; q2; r3

B) p3; q1; r2 D) p1; q3; r2

,

14

2 2 ,

C) 3 584 ´ 3 76

15 69 se obtiene 5 a × 3 b . ¿Cuánto vale a+b?

B) 21 E) 28

A) 50 D) 125

B) 25 E) 75

C) 22 48

´

5 50 3 47

.

C) 150

17 Después de simplificar la expresión: 2 4

12 A continuación se muestran dos colum nas, la de la izquierda tiene las expresio nes y la de la derecha sus resultados.

3

se obtiene 6 n . ¿Cuánto vale n?

æ3ö 16 Halla el valor de ç ÷ è 5 ø

11 Las expresiones:

( ) ´ (2 )

229 ´ 3 23

A) 20 D) 30

272 ´ 16 E) 32

7

C) 25

15 Al simplificar la expresión 63 ´ 81 A) 6

2

¿cuánto se obtiene?

C) 5

es igual a m 6 , halla el valor

9

19

Si 4 x ∙ 8 3 es igual a 32 x , halla el valor de A) 2 D) 6

6

( 5 ) ´ (5 ) Al simplificar la expresión 5 ´ 5 ´ (5 )

-6 3

(11 ) ´ (11 ) (11 ) -4

5

, se obtiene 11 1 n .

¿Cuánto vale n? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 18 Después de simplificar la expresión 5 -6

-3 8

(17 ) ´ (17 ) (17 ) ´ (17 ) -7

-10

-3 , se obtiene 17 n

¿Cuánto vale n? A) 0 D) 89

B) 98 E) 69

C) 98


557

Manuel Coveñas Naquiche 83 ´ 4 3b es igual a 256, halla el valor 128 de b.

19 Si

A) 1 D) 6

B) 2 E) 8

C) 4

25 A qué exponente se debe elevar la expresión: 16 ´ 32 ´ 64 , para que sea igual a 2 14 . 256

A) 2 D) 6

B) 4 E) 5

C) 3

20 ¿Cuánto le falta al resultado de: 4

3

é 5 -3 ù é 5 20 ù ê -8 ú ´ ê 26 ú para ser igual a 30? êë 5 úû êë 5 úû

A) 5 D) 25

B) 10 E) 12

y distribuyelas en los casilleros vacios mostrados de tal manera que obtengas la menor diferencia . ¿Cuál es la menor diferencia?

2

12 + 12 , resulta: 123 + 12

A) 144 D) 24

B) 121 E) 36

Utiliza las cartas

C) 15

21 Al efectuar 4

Razona:

C) 12

22 Al efectuar 108 + 106 + 10 4 106 + 104 + 102

A) 1 D) 1 000

, resulta:

B) 10 E) 10 000

C) 100 Clave de respuestas Nivel I

23 En la expresión: 1253 ´ 25 2 5

-3

= 625 n

Hallar el valor de n A) 3 D) 5

B) 6 E) 2

C) 4

24 ¿Entre cuánto hay que dividir a la expresión: 9 4 ´ 27 2 , para que sea igual a 81? 812

A) 9 D) 27

558

B) 6 E) 81


C) 18

1. A 5. C 9. B 13. C 16. C 20. C

2. C 6. A 10. C 14. C 17. D

3. B 7. C 11. B 15. C 18. C

4. A 8. D 12. C 19. A

Nivel II 1. A 5. C 9. A 13. A 17. A 21. C 25. A

2. C 6. B 10. C 14. A 18. C 22. C

3. B 7. B 11. D 15. C 19. A 23. C

4. D 8. B 12. C 16. E 20. A 24. A


IV. Potencia de un producto indicado Cuando deseamos encontrar el resultado de (5×3)2 lo primero que efectuamos es la multiplicación, o sea: 5×3=15; luego elevamos 15 al cuadrado y obtenemos 225 como resultado, es decir: (5×3)2 = (15)2 = 225 Pero, cómo procederíamos si uno de los factores se desconoce, por ejemplo (5×a)2, donde a es el factor desconocido. No podemos efectuar la multiplicación 5×a, y por consiguiente, no podemos elevar el resultado al cuadrado. Esto nos obliga a proceder de la siguiente manera: 2 (5×a)2 = (5×a)(5×a) = (5×5)(a×a) 123 123 = 25 a

Hemos obtenido un producto indicado en vista que el segundo factor (a) es desconocido. Entonces, este es el procedimiento cuando uno o todos los factores se desconocen. Así tenemos que: 3 3 1) (a×b)3= (a×b)(a×b)(a×b) = 1 (a×a×a) 1424 3= a ×b 424 3 (b×b×b) 3 veces

3 veces

Vemos que los factores iguales se han asociado para expresarlos como una potencia. En forma resumida se puede expresar así:

(a×b)3 = a3 × b3

2) (a×b)4 = (a×b)(a×b)(a×b)(a×b) = (a×a×a×a) 14 4244 3 (b×b×b×b) 14 4244 3= 4 veces

a4 × b4

4 veces

Vemos que los factores iguales se han asociado para expresarlos como potencia. En forma resumida se puede expresar así:

(a × b)4 = a4 × b4

Regla práctica Cuando se tiene el producto indicado de dos o más factores elevado a un exponente, entonces el exponente afecta a cada uno de los factores, veamos:

(a×b) × n = an × × bn

Donde: a y b son los factores. n es el exponente.

{

Aplicación de la regla:

1) (4×a)2 = 42× a2 = 16 a2

3) (2×5×3)2 = 22 × 52 × 32 = 900

2) (6×m)3 = 63 × m3 =

4) (4 × a × b)3 = 43×a3×b3 = 64a3b3

216 m3


559

Manuel Coveñas Naquiche Sin usar la regla práctica obtendríamos el resultado de la manera siguiente: (6×5)2 = (30)2 = 30×30 = 900 Esto es posible debido a que se conoce los dos factores. Hemos visto que la regla práctica se aplica cuando en la base hay dos o tres factores, pero su aplicación se puede extender a más de tres factores, por lo que:

(a×b×c× ...)n = an × bn × cn × ... V. Potencia de un cociente indicado 3

æ8ö 8 Si queremos hallar el resultado de ç ÷ , lo primero que efectuamos es la división, o sea: = 2 ; è4ø 4 después elevamos 2 al cubo y obtenemos 8 como resultado; el proceso seguido es el siguiente: 3

æ8ö 3 ç ÷ = ( 2) = 8 è4ø 3

æ8ö Pero, cómo procederíamos si el dividendo o el divisor se desconoce, por ejemplo ç ÷ , donde a es èaø el divisor desconocido. No podemos efectuar la división

8 , y por consiguiente, no podemos elevar el resultado al cubo.. a

Esto nos obliga a proceder así: 3

8 8 8 8 ´ 8 ´ 8 83 512 æ8ö = ´ ´ = = 3 = ç ÷ a a a aáá a èaø a3 La expresión obtenida es un cociente indicado en vista que el divisor (a) era desconocido. Este es el procedimiento cuando el divisor o el dividendo, o ambos se desconocen, como en los ejemplos siguientes: 4

a a a a aááá a4 æaö = ´ ´ ´ = = 1) ç ÷ b b b b b´ b´b´ b è bø b4 4

En forma resumida se puede expresar así:

a4 æaö = ç ÷ è bø b4

5

a a a a a aáááá a5 æaö = ´ ´ ´ ´ = = 2) ç ÷ b b b b b b´ b´ b´ b´ b èbø b5 5

En forma resumida se puede expresar así:

560


a5 æaö = ç ÷ è bø b5


Regla práctica Cuando se tiene el cociente indicado elevado a un exponente, entonces el exponente afecta tanto al dividendo como al divisor. Si se le ve como una fracción elevada a un exponente, entonces el exponente afecta tanto al numerador como al denominador, o sea:

n

an æaö ç ÷ = n èbø b

ìa: es el numerador ; Donde: íb: es el denominador în: es el exponente

Aplicación de la regla: 2

62 6 ´ 6 36 æ6ö = = 2 = 1) ç ÷ 2 èaø a a a2

4

2)

15 4 15 ´ 15 ´ 15 ´ 15 50 625 æ 15 ö = = 81 ç ÷ = 4 = 5´5´5´5 625 è 5 ø 5

En este ejemplo, sin usar la regla práctica, podemos obtener el resultado de la manera siguiente: 4

æ 15 ö 4 3 ´4 3244 ´ 3 ´3 3 = 81 ç ÷ = ( 3 ) = 14 è 5 ø 4 veces Primero hemos efectuado la división, esto es posible porque se conoce tanto el dividendo como el divisor.

VI. Potencia de exponente cero Un número elevado a un exponente cero es igual a 1; o sea:

a0 =1

; donde a es la base de la potencia y no debe ser cero.

Ejemplos: a) 70 = 1 b) 230 = 1

c)

(-31)0 = 1

d)

æ1ö ç ÷ =1 è 2ø

0

e)

(-5+3)0 = 1

f)

( 2 ´ 3 + 5 + 4 2 ´ 3 - 6)

0

=1

Comentario En el ejemplo a) 70 = 1 , el número 7 está elevado al exponente cero. En el ejemplo e) (–5+3)0 = 1, no es un número, es la operación (– 5+3) la que está elevada al exponente cero. Si efectuamos la operación en (– 5 + 3), obtenemos – 2, entonces: (– 5+3)0 = (– 2)0 = 1


561

Manuel Coveñas Naquiche Ahora sí, se trata de un número (–2) elevado al exponente cero y por lo tanto es igual a 1. Entonces, cuando tengamos una expresión elevada al exponente cero, donde dicha expresión contenga operaciones combinadas con números, no será necesario efectuar las operaciones porque sabemos que el resultado va a ser un número, que elevado al exponente cero es igual a 1. Por esta razón, en el ejemplo (f), no se han efectuado las operaciones, directamente se ha considerado que la (expresión)0 es igual a 1.

VII. Potencia de exponente negativo Las potencias 23, 34 y 52 tienen sentido para nosotros, porque: Sabemos que el exponente positivo indica las veces que la base se debe multiplicar por sí misma; pero, si el exponente es negativo, ¿que significado tiene para nosotros?

23 = 1 24 ´24 2 ´3 2=8 3 veces

34 = 314 ´4 3 244 ´ 3 ´3 3 = 81

Tratando de encontrar un significado para 2-3 , 3-4 y 5-2 lo definiremos de la siguiente manera:

4 veces

5 2 = 5{ ´ 5 = 25

“Toda potencia de exponente negativo es igual a su inversa con exponente positivo”, es decir:

2 veces

1 a -n = n a

donde la base a debe ser diferente de cero.

Ejemplos: a) 2-3 =

1 2

3

=

1 8

b) 3-4 = 1 = 1 81 34

c) 5 -2 =

d) 6 -1 =

1 5

2

1 1

6

1 25

=

=

1 6

e) 10 -5 =

f)

2-6 =

1 10 1

2

6

5

=

=

1 = 0, 000 01 100 000

1 64

Ejercicios resueltos Eje rcic io

1

A) 18 D) 36

Halla el valor de B) 19 E) 72

( 2 ´ 3 )18

( 2 ´ 3 )18

215 ´ 316

215 ´ 316

C) 17

Resolución: En el numerador de la expresión la base es (2×3) y nos da ganas de efectuar la multiplicación, pero aparecería una base 6 que no se podría simplificar con las bases 2 y 3 del denominador. Para mantener las bases 2 y 3 del numerador aplicamos la “Potencia de un producto indicado” y tendremos:

562


=

218 ´ 318 215 ´ 316

=

218 215

´

318 316

Tenemos, ahora, dos cocientes de potencias de la misma base por lo que restamos los exponentes de cada uno de ellos, obteniendo: = 218 – 15 × 318 – 16 =

23

×

32

=

8

×

9 = 72

Rpta. E

Sexto grado de primaria Eje rcic io 2

æ5ö Simplifica ç ÷ è7ø

5 7 25 D) 49

23

´

7 21 5

5 49 10 E) 7

A)

B)

Resolución: Primero reducimos las potencias del numerador aplicando la “Potencia de un producto indicado”, veamos: Numerador = (64 ×125) 4 = 64 4× 125 4; pero 64 = 26 y 125 = 53

22

25 7

C)

Resolución: Para simplificar debemos desaparecer el paréntesis del primer factor, por ello aplicamos la “Potencia de un cociente indicado” y tendremos que: æ5ö ç ÷ è7ø

23

´

7 21 5 22

=

5 23 7 23

´

7 21 5 22

5 23

=

5 22

=

51 5´

´ 1 7

2

7 23

( )

m

obtenemos:

=

26·4 × 53·4

(64×125)4 =

(

Rpta. B

(

Entonces : 212 ´ 625

( 64 ´ 125 )4 2 212 ´ ( 625 ) Eje rcic io

3 10 3 ´ 10 3 ´ 10 3 10 ´ = = = ´ 5 9 5´9 9´5 9 5

a-n =

basados en la propiedad:

Eje rcic io 3

Al efectuar

(2

12

obtiene: A) 125 D) 75

B) 625 E) 105

´ 625

1

C) 25

2

´ ( 625 ) ;

2

2

2

= 224 ´ 5 8

224 ´ 512 2

24

´5

8

= 512 - 8 = 54 = 625

4

Al efectuar -1

se obtiene: B) 216 E) 166

C) 256

Resolución: En el numerador que está dentro del corchete, aplicamos la propiedad: (a×b×c)n = an×bn×cn ;

an

)

2

A) 36 D) 526

72

2

=

é 6 -3 ´ 3 -3 ´ 4 -3 ù ê ú 12-3 êë úû

1

( 64 ´ 125 )4

2

Rpta. B

Por ejemplo:

En lugar de 7-2 hemos colocado

2

) = ( 212 )

Luego:

Las dos flechas curvas indican que se ha realizado un cambio en los denominadores y esto es posible por la propiedad conmutativa de la multiplicación.

II.

224 × 512

) = ( 212 ) ´ ( 54 )

( 212 ´ 625 )

Atención

I.

= a n×m

625 = 54

pero:

5 49

;

aplicando la propiedad: a n

Denominador = 212 ´ 625

7 -2 =

4

En segundo lugar, reducimos las potencias del denominador aplicando la “Potencia de un producto indicado”; veamos:

7 21

´

23 - 22 ´ 7 21- 23 = 5

=

4

( ) ´ ( 53 )

Entonces: (64 × 125)4 = 26

se

veamos: 6–3×3–3×4–3 = (6×3×4)–3 Luego: é 6 -3 ´ 3 -3 ´ 4 -3 ù ê ú 12-3 ëê ûú

-1

é ( 6 ´ 3 ´ 4 ) -3 ù ú =ê -3 ê ú 12 ë û


-1

;

563

Manuel Coveñas Naquiche a

n

æaö =ç ÷ n èbø b

aplicando la propiedad

é æ 6 ´ 3 ´ 4 ö -3 ù êç ÷ ú ëêè 12 ø ûú

obtenemos

= éê ( 6 ) ë

-3 ù -1

ûú

2

3

1 -2

é 1 ´ 1 ´ 512 ´ 9 ´ 4 ù =ê ë 256 ´ 24 ´ 1 ´ 1 ´ 1 úû

n

= [ 3]

-2

=

6 2

1

-1

1 3

2

=

1 9

Rpta. C

Recuerda

é 1 ù =ê ú ë 63 û

a c ´ b d = ać´ f´ h´ m e g n b´dé´g ń ´ ´ f h m

-1

= 6 3 = 216

Rpta. B Eje rcic io 5

Halla el valor de: -4

-1

é 4 ´ 24 ù ê -3 -2 -1 ú êë 8 ´ 3 ´ 4 úû 1 12 1 D) 8

Eje rcic io

B)

C)

1 9

corchete, aplicando la propiedad a - n = 4 -4 =

1 4

II.

24 -1 =

III.

8 -3 =

I V.

V.

3-2 =

4 -1 =

-4

1 an

; veamos:

1 256

1 8

3

1 3

2

8 -3 =

3-2 =

®

(73 )

0

=1

1 512


;

30 = 1

II.

n

an æaö camos la propiedad ç ÷ = n , obteniendo: è bø b

1 9

1 ù é 1 ê 256 ´ 24 ú =ê 1 1 1ú ê ´ ´ ú ëê 512 9 4 ûú

1 32

-3

éæ 36 ö2 1 ù êç ÷ ´ ú 4ú êëè 9 ø û -2

C)

é 3 0 ù -3 -3 ´ 36 2 ú é 1 ´ 36 2 ù é 36 2 1 ù ê 7 =ê 2 ú =ê 2 ´ ú ê 0 ú 1 4 ûú ëê 9 ´ 4 ûú ëê 9 ê 92 ´ 4 3 ú ë û En segundo lugar, en esta última expresión, apli-

1 4

-1

1 16 1 E) 4 B)

Luego:

( )

®

-3

Resolución: En primer lugar, aplicamos la propiedad a0 = 1, entonces: I.

1 24

é 4 ´ 24 ù Luego: ê ú -3 -2 -1 ëê 8 ´ 3 ´ 4 ûú

564

4 -4 =

®

4

1 8 1 D) 64

A)

Resolución: En primer lugar, hallamos el equivalente de cada uno de los factores que se encuentran dentro del

I.

é 3 0 ù ´ 36 2 ú ê 7 ê 0 ú ê 92 ´ 4 3 ú ë û

( )

1 6 1 E) 4

A)

Halla el valor de:

6

-2

-2

é 2 1ù = ê( 4 ) ´ ú 4û ë

-3

-3

= [4 ]

-3

=

1 4

3

=

1 64

Rpta. D



Al simplificar la expresión

( a 6 b4 c 2 )

2

Al simplificar la expresión:

3

( 28 × 3 6 × 5 3 )

, ¿qué se obtiene? a12 b 8 c 6 Resolución:

(2

15

12

×3

×5

4

6 2

, ¿qué se obtiene?

)

Resolución:

3

Al efectuar:

( 52 × 32 ) 4

4

Al efectuar:

2

( 27× 24 )3 , ¿cuánto se obtiene?

(3

15 Resolución:

5

Al simplificar la expresión: 63 × 84

, ¿cuánto se obtiene?

4 4 × 33 Resolución:

2

×6

)

4


Resolución:

6

Al efectuar: 37 × 5 6 × 2 4 153 × 6 4 Resolución:



565


7

Al efectuar: 4

10 × 24

8

2

-2

é 5-2 × 2-2 × 4 -2 ù ê ú , ¿cuánto resulta? 10-2 êë úû Resolución:


120 2 Resolución:

9

Al efectuar:

10 -5

Halla el valor de: é 5 ê5 ë

( )

0ù

é 60 ù ë û

4

ú û 6

Resolución:

566


Al efectuar: -3

é 2-6 ×12-2 ù ê -3 -2 ú , ¿cuánto resulta? êë 4 ×6 úû Resolución:

11

Al efectuar:

æ 6-3 × 4 -2 ö çç ÷÷ , ¿qué se obtiene? -4 è 8 ø Resolución:

12

Halla el valor de: é 2 0ù ê 2 ú ê -1 ú ê 16 ú ë û

( )

-1

Resolución:


Ejercicios de reforzamiento Nivel I

8

212 ´ 5 10

1

Halla el valor de:

2

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 Al simplificar la expresión:

( 2 ´ 5 )10

(

)

B) b 2 E) b 6

A) b D) b 4

5

( ) Halla el valor de: ( 2 ) ´ (3 ) A) 9 D) 27

B) 12 E) 81 8

4

Simplifica:

5

æ9ö Simplifica: ç ÷ è 4 ø

A) 3 D) 12

´

7

5

´ 154

A) 20 D) 12 11

8

3 22

C) 9

æ 5-4 ´ 2 -4 ö ÷ Al efectuar: çç -5 ÷ se obtiene: è 10 ø

B) 10 E) 10 000

B) 30 E) 24

C) 40

Hallar el valor de la expresión: , si: a + b = 3

A) 6 D) 12

B) 8 E) 10

C) 9

é 3 -4 ´ 2 -6 ù 5 12 Hallar el valor de: ê ú ´ 3 -8 ëê 2 ûú

8

B) 6 E) 18

A) 1 D) 1 000

2

7b ´ 5a

2

6

(2 )

10a ´ 14 b

C) 625

C) 4

124 ´ 10 5 , ¿cuánto se obtiene?

2

4

B) 125 E) 1 025 12

12

B) 3 E) 6

10 Al simplificar la expresión:

´ 3 28

C) 18

æ 11 ö ´ 4 ç 5 ÷ 11 è ø

A) 25 D) 825 5

4

5

-2

Al efectuar: 3 + 3 ; se obtiene: 3 -2 + 3-3 A) 2 D) 5

C) b 3

24

3

-1

9

3

é 2 3 2 ù ê a b c ú ê 4 5 2 ú , ¿qué se obtiene? ê a b c ú ë û

2-1 + 3 -1 Al efectuar: ; se obtiene: 6 -1 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

C) 100

A) 10 D) 14

B) 16 E) 18

C) 12

é 4-4 ´ 8 -2 ù 13 Hallar el valor de: ê -2 ú ëê 32 ûú

A) 8 D) 20

B) 12 E) 32

-1

C) 16

Al efectuar: 2-2 ´ 3 -2

(12 ) A) 2 D) 12

-2

14 Al efectuar: ; se obtiene:

B) 4 E) 15

C) 8

A) 9 D) 12

2-1 + 2-2 + 2 -3 8-1

B) 7 E) 4

, se obtiene:

C) 8


567


20

15 Hallar el valor de:

A)

1 4

B)

1 D) 2

4 0

2 -3

2

0

4 3

36 -1

1 6

C)


4

3

5 0

B) 2 E) 12

C) 4 80

3

æ 2 ö D) ç ÷ è9ø

æ 2 ö B) ç ÷ è7ø

2

æ 1 ö E) ç ÷ è3ø

B) (ab 2 ) 2

D) (ab) 2

E) a 2 b 3

Al efectuar:

225

2

æ 1 ö C) ç ÷ è 27 ø

2

4

Al efectuar:

6 2 30

B) 4 E) 9

A) 10 D) 40

568

se obtiene:

B) 1/3 E) 1/9

C) 1/2

0 8 -2 1

Al efectuar:

6

A) 3 B) 5 C) 9 D) 15 E) 12 Al simplificar la expresión:

26 ´ 125

)

B) 20 E) 50


3

4

( 2 ) ´ (3 ) 4

5

A) 12 D) 9 7

se obtiene

2

B) 18 E) 24

C) 6

Hallar el valor de la expresión: 12a ´ 15 b , si a + b = 4 4a ´ 5b

8 , se obtiene

2-2 - 5 -3

243 ´ 36 4 , ¿cuánto se obtiene?

( )

´ 3

5-1 - 5 -2

5

C) 3

(16 ´ 25 )5

(

2-3 + 2-2

4

Nivel II Al efectuar:

C) 1/6

16 -1 + 2 -4

A) 1/4 D) 1/6

B) 33 C) 44 E) 66 125 ´ 24 2 19 Hallar el valor de: 2 5 8 ´6 A) 144 B) 206 C) 266 D) 288 E) 172

1

se obtiene:

4 0

A) 22 D) 55

A) 2 D) 6

3

C) ab 3

B) 1/4 E) 1/9

+ 9-2

, se obtiene:

20 Hallar el valor de: 18

(144 )-2

A) 1/2 D) 1/8

18 Al simplificar la expresión: 27 ´ 11 6

12-2 ´ 24 -2

´ 8

17 Hallar el valor de: 27-1 æ 2 ö A) ç ÷ è3ø

A) a 2 b 3 0

32

A) 1 D) 8

6

¿qué se obtiene?

1 3

1 E) 12 20

2

(a b ) ´ c , Al simplificar la expresión (a b ´ c ) 5 4

´ 3 -2

A) 18 B) 27 C) 36 D) 81 E) 243 Hallar el valor de la expresión: 24n ´ 25 m , si n – m = 3 50m ´ 12n

C) 30

A) 6 D) 12

B) 8 E) 24

C) 10

2


9

A) 25 D) 72 10


æ 7 -2 ´ 5 -3 ö ÷ Hallar el valor de: çç -4 ÷ è 5 ø

B) 49 E) 7

40

35-1

C) 35

( 35 ´ 42 )

æ 42-2 ´ 36 -3 ö -6 -4 ÷ ´ 7 ´ 4 Hallar el valor de: çç -9 ÷ 84 è ø

A) 42 D) 64 11

12

B) 48 C) 84 E) 28 -2 é 6-3 ´ 12 -2 ù Hallar el valor de: ê -2 -2 -5 ú êë 8 ´ 4 ´ 3 úû A) 6 3 B) 2 4 3 D) 4 E) 3 4 Hallar el valor de:

C) 2 6

(

B) 90 E) 120


0 -3 2

20

14

0 -2 5

´ 6

0 -3 4

B) 8 E) 36

Hallar el valor de:

A) 153 D) 135

24

)

C) 180

24

A) 6 D) 24

(7 ) A) 77 D) 44

´ 11

B) 11 E) 128

15

´ 13 12 se 2611

obtiene 2 a × 13 b , ¿cuánto vale a b? A) 5 D) 2

B) 4 E) 6

18 Al simplificar

7 40 ´ 3 30 35

C) 3 se obtiene 7 a ×3 b ,

A) 2 D) 3

( )

C) 28

7 -1 + 7 -3

B) 1 E) 5

se

C) 4

3 -2 - 3 -3 20 Al simplificar la expresión -3 se 3 - 3 -4 obtiene 3 5m , ¿cuánto vale m?

2

3 5 -2 0

C) 4

7 -3 + 75 obtiene 7 2m , ¿cuánto vale m?

D)

C) 78

B) 2 E) 21


0

æ 0 ö 53 ´ ç 42 ÷ è ø

´ 4

A) 0 D) 12

A)

´ 55 ´ 15 3

B) 175 E) 315

5 2 20

C) 77

17 Al simplificar la expresión 2

C) 12

15 Hallar el valor de: 3 0 4

B) 66 E) 99

¿cuánto vale a + b? 2

13

A) 55 D) 88

0 -1 6

21

æ 20 3 0 ö ç 12 ´ 15 ÷ è ø ´ 32 ´ 5 2 3 æ 4 0 ö ç 90 ÷ è ø

A) 45 D) 80

5 0

+ 42 -1

1 2

B)

1 3

C)

1 4

1 1 E) 5 8 Clave de respuestas

Nivel I 1. D 6. C 11. B 16. A

2. C 7. B 12. C 17. D

1. B 6. C 11. C 16. C

2. D 7. D 12. B 17. C

3. E 8. D 13. C 18. C Nivel II 3. B 8. B 13. A 18. A

4. C 9. B 14. B 19. D

5. C 10. C 15. D 20. A

4. B 9. C 14. D 19. B

5. B 10. C 15. B 20. D


569


Raíces cuadradas y cúbicas • El número 25 tiene dos raíces cuadradas, +5 y -5. 25 ó

La raíz cuadrada positiva de 25 se denota por 1 25 2

1 25 2

, entonces:

= 25 = 5 , porque 5 2 = 25

La raíz cuadrada negativa de 25 se denota por - 25 ó 1 -25 2

= - 25 = - 5, porque

1 -25 2 ,

entonces:

( -5 )2 = 25 3

• La raíz cúbica de 27 es 3 y se denota por

27 ó

1 27 3

, entonces:

1

3 27 3 = 3 27 = 3 , porque 3 = 27

Atención

En el símbolo de raíz cuadrada

( ) , el índice se sobreentiende que es 2, o sea: índice

= Es por esa razón que:

2

25 =

251 = 25

1

2

2

Recuerda

Generalizando: n n

Además, si

am =

am = b

m an

Þ

m n

a n = am =

a m = bn

1)

36 = 6 Þ 3

2)

VIII.

64 = 4 Þ

3

36 = 6 Þ 36 = 6

3 ì 3 2 ï• 4 = 4 = 64 = 8 í 3 3 ï• 4 2 = 4 = ( 2 )3 = 8 î

2

64 = 4 Þ 64 = 4

( )

3

Potencia de exponente fraccionario

La potencia de exponente fraccionario se define así:

m an

Ejemplos: a)

2 3 8

3

2

2

= 8 = ( 2) = 4

= na

m

; donde a es un número positivo.

b)

3 81 4

= 4 81 = ( 3 ) = 27

d)

3 36 2

= 2 36 = 36 = ( 6 ) = 216

7

c) 32 5 = 5 32 7 = ( 2 )7 = 128

570


m

Ejemplo:

Ejemplos: 2

(n a )

3

3

3

3

3


IX. Raíz de un producto indicado Si queremos la 25 ´ 49 , efectuamos primero la multiplicación y al producto le extraemos la raíz cuadrada, es decir: 25 ´ 49 = 1 225 = 35

Pero, qué pasaría si primero extraemos la raíz cuadrada de cada factor y luego multiplicamos dichas raíces, veamos: 25 ´ 49 = 25 ´ 49 = 5 ´ 7 = 35

Hemos obtenido el mismo resultado, por lo cual podemos afirmar que: 25 ´ 49 = 25 ´ 49 Ahora, apliquemos las dos maneras para la

3

8 ´ 27 , veamos:

3 ; II) = 3 216 = 6 8 ´ 3 27 = 2 ´ 3 = 6 También hemos obtenido resultados iguales, por lo que afirmamos: 3 8 ´ 27

I)

3 8 ´ 27

= 3 8 ´ 3 27 En general, se puede afirmar que: n

a´b = na ńb

Regla práctica La raíz de índice n de un producto indicado de dos o más factores es igual a la raíz de índice n del primer factor, por la raíz de índice n del segundo factor, por la raíz de índice n del tercer factor, hasta acabar con los factores, es decir:

n a´ ć× ´ ... × b×

= na× ńb× ńc × ´ ...

Aplicación de la regla: a)

36 ´ 81 = 36 ´ 81 = 6 ´ 9 = 54

b)

9 ´ 25 ´ 49 = 9 ´ 25 ´ 49 = 3 ´ 5 ´ 7 = 105

c)

4

16 ´ 81 = 4 16 ´ 4 81 = 2 ´ 3 = 6

d)

5 15

2

5

5

´ 310 ´ 75 = 215 ´ 310 ´ 5 75

=

15 25

10 ´3 5

5 ´ 75

= 23 ´ 32 ´ 7 1 = 8 ´ 9 ´ 7 = 504

X. Raíz de un cociente indicado 36 , primero efectuamos 9 la división y al cociente le extraemos la raíz cuadrada, es decir: Si queremos la

36 = 4= 2 9


571

Manuel Coveñas Naquiche Pero, qué pasaría si primero extraemos la raíz cuadrada del dividendo y divisor, y luego dividimos dichas raíces, veamos: 36 36 6 = = = 2 9 3 9 Hemos obtenido el mismo resultado, por lo cual podemos afirmar que:

3

I)

512 3 = 64 = 4 8

512 3 512 8 = 3 = = 4 8 2 8 También hemos obtenido resultados iguales, por lo cual podemos afirmar que: 3

II)

36 36 = 9 9

Ahora, apliquemos las dos maneras para la 512 3 veamos: 8

3

3 512

512 = 8

38

En general, se puede afirmar que:

a na = b nb

n

Regla práctica

; donde b es diferente de cero.

La raíz de índice n de un cociente indicado es igual a la raíz de índice n del dividendo entre la raíz de índice n del divisor. Aplicación de la regla: a)

b)

81 = 49

81 9 = 7 49

6

d)

XI. Raíz de un radical 4 , 9 , 25 , 3 8 , 3 27 resultan familiares; pero, qué pasaría si en lugar de la raíz cuadrada de un número tenemos la raíz cuadrada de la raíz cúbica de cierto nú-

Las expresiones como:

mero, por ejemplo:

=

9

3

e)

59

23

=

3

=

15

2

3

=

5 15

=

9 53

5 10

10

5

26

2

10 35 15 25

Intentemos otro modo de llegar al mismo resultado. En lugar de la raíz cuadrada y la raíz cúbica, extraigamos la raíz de índice 2 × 3 de 64, veamos:


5

=

3

=

32 2

3

64 = 2´3 64 Ahora obtengamos el resultado de

4 125

=

9 8

43

5 24 , por

los dos métodos: I)

43

II)

43

5

24

4

=

24 53

4

8

5 24 =

12

= 5 =

8 54

= 5 2 = 25 24

5 24 =

4´3

5 24 = 5 12 = 5 2 = 25

También obtenemos resultados iguales, por lo cual afirmamos que: 43

5 24 =

4´3

5 24

En general, se cumple lo siguiente:

mn

= 2 3 64 = 2´ 3 64 = 6 64 = 2

Vemos que se obtiene el mismo resultado, entonces podemos afirmar que:

22

3

3

64 Bueno, en este caso, primero debemos encontrar el valor del radicando, o sea: 3 64 = 4, luego hallamos la raíz cuadrada del valor encontrado, o sea: 4 = 2

572

5

121 121 11 = = 100 10 100

3 64 64 4 = = c) 3 3 125 5 125

3 64

3

3

26

donde

a = mń a

a es el radicando { m; n son los índices de las raíces.

Sexto grado de primaria Regla práctica Cuando se presenta la raíz de un radical, o la raíz de la raíz de un radical, se multiplican los índices y el producto es el índice del único radical al que quedan reducidas, es decir:

mnp

a =

m´×n´×p

a

Aplicación de la regla: a)

3

64 =

64 =

3´ 2

6

64 = 64 = 2

81 = 2 2 81 = 2´ 2 81 = 4 81 = 3

b) c)

32

35

2

30

=

3´ 5

2

30

=

15

2

30

=

30 15 2

= 22 = 4

d)

43

=

4´3

5

36

=

36 12 =5

12 36

5

= 53 = 125 48

e) f)

5

36

34 5

4

2´ 3´ 4

748 = 160

3

=

748 =

24

5´ 2´ 4 ´ 2 160

3

7 48 = 7 24 = 7 2 = 49

=

80 160

3

=

160 3 80

= 32 = 9

XII.Fracción con exponente negativo Una fracción que tiene exponente negativo se puede expresar como su inversa con exponente positivo, es decir:

æaö ç ÷ è bø

-n

æbö =ç ÷ èaø

Atención

n , donde a y b son números enteros diferentes de cero.

Dada la fracción

5 3

su inversa será

3 5

Ejemplos: æ1ö a) ç ÷ è 2ø

-3

æ1ö b) ç ÷ è4ø

-2

3

æ 2ö 3 = ç ÷ = ( 2) = 8 è1ø 2

æ4ö 2 = ç ÷ = ( 4 ) = 16 è1ø

æ 3ö ç ÷ è5ø

c)

æ 2ö d) ç ÷ è 3ø

-2

-4

2

52 25 æ5ö =ç ÷ = 2 = 9 è 3ø 3 4

34 81 æ 3ö =ç ÷ = 4 = 16 è 2ø 2

Ejercicio resueltos Eje rcic io 1

Halla la raíz cúbica de: 7 53

´35

2

A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 2 Resolución: Primero debemos hallar el valor de la expresión dada y luego encontrar su raíz cúbica, veamos: Debemos recordar que 7 53

m an

=35

7

Luego: 5 3 ´ 3 5 2 = 3 57 ´ 3 5 2 =

m

= n a , entonces: 7

7

(3 5 ) ´ (3 5 )

2

,

hemos llegado a un producto de potencias de la misma base por lo que sumamos sus exponentes, veamos: 3

5

7+ 2

9

= 3 5 = 59/3 = 53 = 125

Como nos piden la raíz cúbica del resultado, tendremos: 3

7

5

3

3

´ 5 2 = 3 125 = 5

Rpta. D


573


Eje rcic io

2

¿Cuánto vale

A) 144 D) 13

136 ´ 512 ? 625

B) 25 E) 65

6

12

13 ´ 5 625 2

=

3

3 12

6

13 ´ 5 = 625

4

=

=

6 13 3

12 ´5 3

625

2

13 ´ 5 13 ´ 625 = = 169 625 625

13 3 + 4

=

3 72

6

´24

7

C) 169

Resolución: En el numerador de la expresión dada hay “la raíz cúbica de un producto indicado”, entonces aplicamos n a ´ b = n a ´ n b , veamos: 3

5 1 + 4

74

3

=

2

´ 24

7

4

dremos:

16 =

Eje rcic io

4

4

4 veces

2 =

3

Halla la raíz cuarta positiva de:

1 4 5 13 7 ´ 2 ´74

7

A) 3 D) 2

3 4 ´2

3

na n

b

13

9

´

9

3

17

´ 51 ´

14

3

3

, veamos:

9 13

´

9

3

3

´ 51´ 3 = 9 1714

C) 7

9

=

Resolución: En el numerador hay la “raíz cuarta de un producto indicado” por lo que aplicamos n

a = b

7

B) 4 E) 49

Rpta. D

A) 9 B) 3 C) 6 D) 1 E) 17 Resolución: El primer factor de la expresión es “la raíz de índice 9 de un cociente indicado”, entonces aplicamos

175 9

3

= 21 = 2

Encuentra el valor de:

175 9

n

Eje rcic io

4 24

4

3

54 = 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 625 14243

2

Como nos piden la raíz cuarta del resultado, ten-

7

En lugar de 54 se ha colocado 625 porque:

3

= 24 = 16

3 72

Rpta. C

Comentario:

16

74 ´ 2 4

=

175

9 17 14

( 9 17 )

5 -14

´

´

17 5

9

3

7

9 313 9 7

9 13

´

3

9 1714

´ 51´ 3 3

´ 51 ´ 3 3

3

13 - 7

(9 3 )

´ 51 ´ 3 3

a ´ b = n a ´ n b , veamos: 1

3

1

4 5

7 ´ 213 ´ 7 4 ´ 24 7

=

5 74

3

13 ´24

7

574

4 5

=

3

3 ´ 24

( 9 17 )

-9

´

(9 3 )

6

´ 51 ´ 3 3

4

7 ´ 213 ´ 7 4 ´ 24 7

1 ´ 74

3

=

=

5 4 7

3

1 ´74

2


13 ´24

7

3

2

-9 = 17 9

6 ´ 39

´ 51 ´ 3 3

-1

2 3 ´3

1 ´ 51 ´ 3 3

3 4 ´2

= 17


= 17

-1

2 ´ 33

1 ´ 33

´ 51

2 1

3

1 = ´ 3 ´ 51 = 9 17 Eje rcic io

Rpta. A

5

3 15

2

ù ´ 2ú ûú

6

se obtiene una expresión que tiene la forma 2n. ¿Cuánto vale A) 2 D) 5

n+3?

B) 3 E) 6

C) 4

Dentro del corchete aplicamos

mnp

a =

m´ n´ p

æaö mos ç ÷ èbø

ù ´ 2ú ú û

6

6

n

28

28

éæ 3 ö 1 æ 2 ö2 ù = êç ÷ ´ ç ÷ + 3-1 ú è 3ø êëè 2 ø úû

é 2 1ù =ê + ú ë 3 3û

28

é3ù =ê ú ë3û

28

= [1]

28

28

= 1

Rpta. C

de

4

4

7

Halla la raíz cuadrada positiva

4 44

A) 2 D) 8

B) 4 E) 4 4

C) 16

Resolución: Este tipo de ejercicio se analiza de la siguiente manera:

6

1ù é 1 é 1+1 ù = ê 2 2 ´ 2 2 ú = ê 2 2 2 ú = 2 6 = 64 ê ú ê ú ë û ë û

Entonces:

3 28

æ bö = ç ÷ , veamos: èaø

Eje rcic io

6 6 é5 2 3 15 ù 5´2´3 15 30 2 ´ 2ú = é 2 ´ 2ù = é 215 ´ 2ù ê ê úû êë úû êë úû ë

ê ë

-n

éæ 2 ö-1 æ 3 ö-2 ù êç ÷ ´ ç ÷ + 3-1 ú è 2ø êëè 3 ø úû

6

=

1

E)

a,

veamos:

é 15 ê 2 30

C) 1

Resolución: Observamos que dentro del corchete hay dos fracciones con exponente negativo, por lo cual aplica-

é 3 22 1 ù =ê ´ 2 + ú 3 úû ëê 2 3

Resolución:

56 3

B)

D) 3 28

+ 1 1 = ´ 3 3 3 ´ 51 = ´ 3 3 ´ 51 17 17

é5 Al simplificar ê ëê

2 3

A)

4

4

4 44

4

=44

2n = 26

44

=44

=

Identificando: 6 = n

41

4 44

=44

4

= 41 = 4

Como piden la raíz cuadrada positiva del resulta-

Luego, hallamos el valor de: Rpta. B

n+3 = 6+3 = 9 = 3

do, tendremos:

Rpta. A

4= 2

Atención

Eje rcic io

6

¿Cuánto vale:

é æ 2 ö -1 æ 3 ö -2 ù ê ç ÷ ´ ç ÷ + 3 -1 ú è 2ø êëè 3 ø úû

En este ejercicio aplicamos:

28

?

n

n

a =

m an


575


Eje rcic io 8

3

¿Cuánto le falta a

ser 7 2 ? A) 22 D) 6

3

B) 25 E) 9

3 36

para

æ3 34 çç 4 è

C) 3

Resolución: Este tipo de ejercicio se realiza de la siguiente manera: 3

3

3 36

=33

6 33

=33

=

9 33

32

=33

de

436

A)

3 16

para que dé 4? 1 4

B)

D) 3 4

53

Rpta. A

æ3 34 çç 4 è

ö ÷÷ ø

3 16

=34

=34

6410

A) 8 D) 9

C)

4

3 4 ´ 3 16

3 4 ´16

4

=34

=34 =34

B) 6 E) 4

1 3

E) 2

Halla la raíz cuadrada positiva

25 36 +

1 12

Resolución: Este tipo de ejercicio se analiza de la siguiente manera:

La pregunta es ¿cuánto le falta a 27 para ser 49?

Eje rcic io 9

ö ÷÷ ø

¿Por cuánto hay que dividir a

9

= 33 = 27

Le falta 49 – 27 = 22

Eje rcic io 1 0

C) 3

3

3 64

3 +1

1

= 34 ´34 = 4´34

Como nos piden por cuánto hay que dividir el reResolución: 436

25

36

+

sultado para que dé 4, o sea: 53

64

10

= =

4 ´ 3´6

72

25

36

+

25 36 +

30

36

10

2´ 5´ 3

10

64

6410

4´34 =4 k 43 4 =k Þ k = 34 4

Rpta. D

= 25 72 + 64 30 =

1 25 2

Atención

1 + 64 3

En este ejercicio aplicamos: = 25 + 3 64 = 5 + 4 = 9

Como nos piden la raíz cuadrada positiva del resultado, tendremos: 9 =3

576


Rpta. C

*) **)

(an ) n

m

= a n´ m

a ńb = na´b



1

¿Cuál es la raíz cuadrada de

3 42

2

4

¿Cuál es la raíz cúbica de 7 3 × 3 7 ? Resolución:

9

× 4 ?

Resolución:

4

3

¿Cuánto vale

1718 × 316 ? 81

4

é 6 4 24 ù 3 × 3ú ê êë úû Resolución:

Resolución:

3

5

¿Cuánto vale Resolución:

126 × 212 24 4 × 4 2

6 ?

Encuentra el valor de: 4

Halla el valor de: éæ 5 ö-1 æ 13 ö-2 æ 13 ö-1 æ 8 ö0 ù êç ÷ × ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ú è 5 ø è 8 ø è 5 ø úû êëè 13 ø

7

Resolución:


577


7

Encuentra el valor de: 3

8 8

2 ×

3

4

12

Al efectuar 3 5 × 3 5 2 × 6 × 6 3 , ¿cuánto se obtiene?

33

10

12 -3

Encuentra el valor de

16

-2

-2

Al efectuar:

-1

æ 5ö æ 2ö æ5ö æ 3ö æ5ö ç ÷ - ç ÷ ×ç ÷ ×ç ÷ - ç ÷ , è6ø è 3ø è 2ø è 2ø è 6ø ¿cuánto resulta?

é æ 1 ö-2 æ 1 ö-2 æ 1 ö-2 ù êç ÷ × ç ÷ - ç ÷ ú 2 è3ø è 6 ø ûú ëê è ø

Resolución:

¿cuál es el resultado? Resolución:

578

27 × 81

Resolución:

Al efectuar: -2

ù 6 ú . ûú 6

64 ÷

Resolución:

11

8

43

Resolución:

Resolución:

9

é Encuentra el valor de ê ëê


-1 -2 æ 2ö æ 1ö ç ÷ ×ç ÷ è 3ø è 2ø

,



8

¿Cuál es la raíz cuadrada de:

A) 6 D) 12

3 2

4 ´ 22 / 3

2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 ¿Cuál es la raíz cúbica de: 7 5 3

A) 3 D) 25 3

5

( 5 ) 3

A) 2 D) 1

C) 8

B) 4 E) 16

æ 3 ö Hallar el valor de ç ÷ è 14 ø

1 D) 2

1 E) 6

A) 4 D) 12 7

-2

æ 28 ö ´ç ÷ è 3 ø 1 C) 5

6

6 ´ 4 96

B) 6 E) 3

B) 20 E) 8

4

2

A) 4 D) 9

32 4 para que sea

B) 6 E) 16

C) 2 3

81 6 para que sea

B) 6 E) 2

C) 3

11 Hallar el valor de: 5 4 ´ 5 8 ´ 5 32 3

212

A) 2 D) 12

B) 4 E) 16

C) 8

12 Encuentra el valor de: -2

A) 6 D) 16

(

3

2 2´ 8

B) 8 E) 32

C) 12

13 Encuentra el valor de: 16 B) 4 E) 32

C) 8

14 Encuentra el valor de: 27 C) 9

1 9

B)

1 3

D) 6

E)

1 6

A)

15 En la expresión: C) 10

)

4

1 16 2

A) 2 D) 16

10 6 ¿Cuánto vale: 4 3 ´ 20 5

A) 40 D) 5

5

igual a 6?

C) 8 164 ¸

¿Cuánto vale:

A) 4 D) 8

C) 5

Encuentre el valor de:

1 B) 4

¿cuánto le sobra a igual a 2?

C) 4

10 ¿cuánto le sobra a

B) 6 E) 4

1 A) 3

B) 8 E) 2

?

B) 15 E) 125

3 6

6

9

11

Encuentre el valor de: 6 224 ´ A) 2 D) 16

4

∙

3 3 6

Hallar la raíz cuadrada de: 3 4

A) 1 D) 4

B) 2 E) 6

1 -9 2

C) 3

16 ∙ x = 3 4 4

C) 3


579

Manuel Coveñas Naquiche Nivel II 1

4 3

2

A) 2 2

A) 27 D) 36

´

3

12

9

8

+

C) 81

10

2

11 ´

16

5

366

´5

A) 5 B) 12 D) 125 E) 625 Halla el valor de:

B) 14 E) 24

B) 4 E) 1

3 6 6 12 Hallar la raíz cúbica de: 4

A) 4 D) 9

B) 3 E) 81

12 ¿Cuánto le falta a é æ 7 ö -2 æ 24 ö -3 æ 1 ö -2 ù êç ÷ ´ ç ÷ ´ ç 12 ÷ ú è 7 ø è ø úû êë è 12 ø

6

-2

¿Cuánto vale: A) 24 D) 28

A) 8 D) 14

B) 10 E) 18

A) 1/3 D) 3/4 C) 5

580


C) 12

B) 1/2 E) 5/16

3

4

C) 32

256 -2 para ser

C) 1/4

14 Halla el valor de:

12 ´ 7 ? 196

B) 36 E) 42

36 9 para que sea

2 4 ?

3 10

7

3 3

13 ¿Cuánto le falta a 1?

B) 1/3 E) 9 4

C) 6

C) 6/31

é æ 2 ö -3 æ 8 ö -1 ù 3 ê ç ÷ - ç ÷ ú ´ 3 -4 è 3 ø úû êë è 3 ø

A) 3 D) 1/6

C) 8

-4

C) 25

A) 3/5 B) 7/23 D) 2/21 E) 8/9 Halla el valor de:

C) 16

8 2 4 Hallar la raíz cuadrada de: 2

A) 2 D) 16

C) 4

C) 4

368 ´ 9 2 ?

A) 12 D) 18

A) 1 B) 2 D) 3 E) 8 Encuentre el valor de: 5

B) 2 E) 8

4

64

´ 2 -5 ?

¿Cuánto vale:

312

4 4

85

A) 1 D) 16

Encuentre el valor de:

3 3 4 36

5

C) 8

B) 9 E) 72

3 3

4

16 10

5

D) 6 E) 2 Encuentre el valor de: 3

¿Cuánto vale:

1 4 4 ´ 2 ´ 42

B) 3

5 40

3

8

¿Cuál es la raíz cúbica de:

A) 81 D) 27

´ 512 ´ 3 2 / 3 625

B) 625 E) 125

C) 25

Sexto grado de primaria 15 Al efectuar: 1ö ç4÷ è ø

3 æ

-2

22 Al simplificar:

æ2ö ´ç ÷ è3ø

-3

æ 1 ö +ç ÷ è2ø

-4

se obtiene:

A) 1,2 B) 3,4 D) 1,5 E) 5,4 16 Encuentra el valor de: 256 ´

A) 2 D) 8

C) 2,5

16 2 ´ 8

B) 4 E) 16

C) 6

17 Encuentra el valor de: æ 3 ö 36 3 ´ 12 ÷ ç è ø

A) 6 D) 36

A) 10 D) 100

15

C) 24

49

A) 1 B) 2 D) 3 E) 6 23 Al simplificar: 4

B) 20 E) 1 000

32

27

ù ú ûú

2

C) 50

D) 6

E) 9

3 64

4 ∙x =

B) 2

, halla el valor de x.

C) 4

D) 6

E) 8

27 9 ∙ x = 3 4 3 8 , hallar el valor de x.

A) 3/2 B) 1/4 C) 2/5 D) 2/3 E) 3/4 Clave de respuestas

-1/ 3

25-8

B) 1/5 E) 1/25

C) 5

25 En la expresión:

19 Encuentra el valor de:

A) 5 D) 1/2

B) 3

24 En la expresión:

A) 1 +

C) 4

é 6 3 4 ù ê 27 ´ 3 ú se obtiene una expre ë û sión que tiene la forma 3 m , ¿cuánto vale

3 4 ∙

8 3 4

se obtiene una expre

sión que tiene la forma 2 2n , ¿cuánto vale n?

A) 2

18 Halla el valor de: 3

3

m + 5 ?

4

B) 12 E) 72

é 5 ê ëê

é ù ê3 4 ú 4 8 ´ 8ú ëê û

Nivel I C) 2

20 Encuentra el valor de:

1. A 5. D 9. C 13. A

2. C 6. B 10. C 14. B

3. C 7. B 11. B 15. A

4. D 8. B 12. D

-1/ 2

8116

A) 3 B) 1/3 D) 1/4 E) 9 21 Encuentra el valor de:

Nivel II C) 6

-16 1/ 4

1616

A) 2 D) 16

B) 4 E) 32

C) 8

1. A 5. D 9. D 13. B 17. D 21. A 25. D

2. C 6. B 10. B 14. A 18. D 22. D

3.A 7. B 11. A 15. D 19. B 23. B

4. A 8. A 12. B 16. B 20. A 24. A


581

COVEÑAS 6to GRADO.pdf

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