Ministère de l’enseignement supérieur UNIVERSITE DE MONASTIR
ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE MONASTIR
Département de Génie Mécanique
Analyse des Systèmes Mécaniques Cours de Tronc Commun ENIM Par :
L. Romdhane
&
A. BenAmara
2005/2006 1
Préambule. Ces notes sont un support du cours de conception des systèmes mécaniques (15H). C’est une présentation succincte et condensée du contenu réel du module et qui ne prétend pas être un ouvrage détaillé dans la matière. Pour bien comprendre le contenu de ce document, il est impératif d’assister aux séances de cours
Ce fascicule de cours est un recueil des principales approches d’analyse cinématique des systèmes mécaniques et plus particulièrement les mécanismes plans. Dans un premier chapitre on s’intéressera aux notions de base de la conception des systèmes mécaniques en insistant sur la terminologie et les définitions. Dans le second chapitre nous aborderons la problème de modélisation des mécanismes en vue d’introduire la notion de modèle mécanique et les hypothèses y afférant. Nous resterons dans le cadre des hypothèses de liaison parfaite et de solide indéformable et nous nous détaillons en particulier la notion de graphe de liaisons ainsi que les torseurs associés aux liaisons. Nous consacrerons ensuite le quatrième chapitre à l’étude de la mobilité et de l’hyperstatisme des systèmes mécaniques avec leurs différentes configurations (chaînes cinématiques ouvertes, liaisons parallèles, chaînes complexes, etc. L’analyse cinématique des mécanismes plan fera l’objet du quatrième chapitre de ce document. Après avoir détaillé le paramétrage des mécanismes plans, nous introduisons ensuite les outils d’analyse (analytique et graphique) des vitesses et des accélérations. Le dernier chapitre de ce document sera consacré à l’étude des mécanismes à cames.
2
Table des matières CHAPITRE I: INTRODUCTION ET MISE EN SITUATION ............................... 6 1. INTRODUCTION : .......................................................................................................................................... 6 2. ANALYSE ET SYNTHESE DES MECANISMES :...................................................................................... 6 3. LA SCIENCE DE LA MECANIQUE ............................................................................................................. 6 4. TERMINOLOGIE, DEFINITIONS ET HYPOTHESES.............................................................................. 7 4.1. MACHINE ...................................................................................................................................................... 7 4.2. MECANISME.................................................................................................................................................. 7 4.3. CHAINE CINEMATIQUE .................................................................................................................................. 7 4.4. ELEMENT FIXE OU BATI................................................................................................................................. 7 4.5. LIAISON / COUPLE CINEMATIQUE .................................................................................................................. 8 4.7. MECANISMES PLANS ..................................................................................................................................... 8 4.8. MECANISMES SPHERIQUES ............................................................................................................................ 8 4.9. MECANISMES SPATIAUX ............................................................................................................................... 8 4.10. EXEMPLE DE MECANISMES.......................................................................................................................... 9
CHAPITRE II : MODELISATION DES MECANISMES..................................... 10 1. GRAPHE ASSOCIE A UN SYSTEME MECANIQUE .............................................................................. 10 1.1. CLASSE D’EQUIVALENCE ............................................................................................................................ 10 1.2. TRAÇAGE DE GRAPHE D’UN MECANISME .................................................................................................... 10 1.3. ARBRES, CYCLES ET CYCLES INDEPENDANTS .............................................................................................. 11 1.4. NOMBRE CYCLOMATIQUE D’UN GRAPHE .................................................................................................... 11 2. CHAINES ET SCHEMAS CINEMATIQUES D’UN SYSTEME MECANIQUE .................................... 12 2.1. TYPES DE CHAINES CINEMATIQUES ............................................................................................................ 12 2.1.1. Chaîne continue ouverte : .................................................................................................................. 12 2.1.2. Chaîne continue fermée :.................................................................................................................... 12 2.1.3. Chaîne continue complexe : ............................................................................................................... 12 2.2. SCHEMA CINEMATIQUE D’UN MECANISME .................................................................................................. 12 3. LIAISONS DANS UN SYSTEME MECANIQUE....................................................................................... 13 3.1. LIAISONS SIMPLES ...................................................................................................................................... 13 3.2. LIAISONS COMPOSEES ................................................................................................................................. 13 3.3. TORSEUR CINEMATIQUE ASSOCIE A UNE LIAISON........................................................................................ 14 3.4. TORSEUR STATIQUE ASSOCIE A UNE LIAISON .............................................................................................. 17 3.5. LIAISON EQUIVALENTE ............................................................................................................................... 17 4. MECANISME PARFAIT............................................................................................................................... 17
CHAPITRE III : MOBILITE ET HYPERSTATISME D’UN MECANISME .... 19 1. INTRODUCTION........................................................................................................................................... 19 2. DEFINITIONS :.............................................................................................................................................. 19 3. ANALYSE DES LIAISONS EN SERIE ....................................................................................................... 19 3.1. ETUDE CINEMATIQUE : ............................................................................................................................... 19 3.2. ETUDE STATIQUE ........................................................................................................................................ 20 4. ANALYSE DES LIAISONS EN PARALLELE ........................................................................................... 21
3
4.1. ETUDE CINEMATIQUE : ............................................................................................................................... 22 4.2. ETUDE STATIQUE ........................................................................................................................................ 23 5. ANALYSE DES CHAINES CONTINUES FERMEES ............................................................................... 24 5.1. ETUDE CINEMATIQUE.................................................................................................................................. 24 5.2. ETUDE STATIQUE ........................................................................................................................................ 24 6. ANALYSE DES CHAINES COMPLEXES.................................................................................................. 26
CHAPITRE IV : ANALYSE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS.... 27 1. DEFINITION .................................................................................................................................................. 27 2. IDENTIFICATION DES PARAMETRES D’UN MECANISME PLAN .................................................. 27 2.1. LIAISONS DANS LE PLAN ............................................................................................................................. 27 2.2. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES ELEMENTS .................................................................................. 27 3. LOIS DE GRASHOFF POUR LES MECANISMES A 4 BARRES .......................................................... 28 4. ANALYSE DES DEPLACEMENTS D’UN MECANISME PLAN............................................................ 28 4.1. METHODE GRAPHIQUE ............................................................................................................................... 28 4.2. METHODE ANALYTIQUE .............................................................................................................................. 29 4.3. EQUATION D’UN CYCLE .............................................................................................................................. 29 4.4. EXEMPLES D’APPLICATION ......................................................................................................................... 30 5. ANALYSE DES VITESSES........................................................................................................................... 32 5.1. METHODE GRAPHIQUE ............................................................................................................................... 32 5.1.1. Epure des vitesses d’un solide............................................................................................................ 32 5.1.2. Exemple d’application........................................................................................................................ 32 5.1.3. Epure des vitesses d’un mécanisme.................................................................................................... 32 5.2. METHODE ANALYTIQUE ............................................................................................................................. 33 5.3. METHODE DE CIR : CENTRE INSTANTANE DE ROTATION ............................................................................ 33 5.3.1. Définition............................................................................................................................................ 34 5.3.2. Théorème de Kennedy ........................................................................................................................ 34 5.3.3. Illustration.......................................................................................................................................... 34 5.3.4. Avantage mécanique d’un mécanisme................................................................................................ 35 6. ANALYSE DES ACCELERATIONS ........................................................................................................... 36 6.1. DIFFERENCE D’ACCELERATION DE DEUX POINTS D’UN SOLIDE ................................................................... 36 6.2. ETUDE GRAPHIQUE DES ACCELERATIONS D’UN MECANISME ....................................................................... 37 6.3. ETUDE ANALYTIQUE DES ACCELERATIONS ................................................................................................. 38 6.4. DERIVEES SUCCESSIVES DE LA POSITION .................................................................................................... 38
CHAPITRE V : MECANISMES A CAMES............................................................ 40 1. INTRODUCTION........................................................................................................................................... 40 2. CLASSIFICATION DES CAMES ................................................................................................................ 40 3. LOIS DE MOUVEMENT .............................................................................................................................. 41 4. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES CAMES DISQUES..................................................... 43 4.1. FACTEURS IMPOSANT DES CAMES DE FAIBLE DIMENSIONS .......................................................................... 43 4.2. FACTEURS IMPOSANT DES CAMES DE GRANDES DIMENSIONS ...................................................................... 43 4.3. DETERMINATION DU PROFIL D’UNE CAME DISQUE A SUIVEUR A GALET EN TRANSLATION .......................... 44 4.4. DETERMINATION DU PROFIL D’UNE CAME DISQUE A SUIVEUR A CONTACT PLAN EN TRANSLATION ............ 44
4
5
Chapitre I: Introduction et mise en situation 1. Introduction : Les machines mécaniques sont conçues et mises en œuvre pour accomplir des tâches diverses et variées (assemblage, emboutissage, usinage, etc.) dans un processus industriel. La phase de conception de ces machines est pluridisciplinaire. Elle comprend principalement les étapes suivantes : 1. Identification du problème 2. Proposition d’une idée d’un mécanisme approprié 3. Analyse cinématique, ou examen des mouvements du mécanisme d’un point de vue purement géométrique. 4. Analyse statique : Calcul statique des efforts qui entrent en jeu lors de l’exécution de la tache. 5. Choix des la morphologie et des matériaux des composants et vérification de leurs comportement mécanique (dimensionnement). 6. Analyse dynamique : la détermination des efforts d’inerties peuvent nous amènent parfois à reconsidérer les choix faits durant la conception. Dans ce document on s’intéressera surtout aux étapes p et q.
2. Analyse et synthèse des mécanismes : Parmi les étapes clés du processus de conception mécanique on distingue : la synthèse et l’analyse des systèmes mécaniques. Durant la phase de synthèse, il s’agit de trouver une solution mécanique qui répond au mieux au cahier des charges décrivant le produit à concevoir. C’est durant cette étape que le groupe de conception fait appel à son savoir faire, son intuition et son ingéniosité. La phase d’analyse permet au concepteur d’examiner le mécanisme proposé durant la phase de synthèse, en vue d’évaluer ses performances par rapport aux objectifs visés. Une grande partie de ce cours va porter sur l’analyse mais il ne faut pas perdre de vue l’importance de la phase de synthèse.
3. La science de la mécanique La mécanique est une branche de l’analyse scientifique qui s’occupe du mouvement, temps et forces. L’étude du comportement des systèmes mécaniques se compose de deux parties : Etude Statique et Etude Dynamique. La statique est l’analyse des systèmes au repos alors que la dynamique étudie les systèmes en mouvement dans le temps. La dynamique peut être divisée en deux branches : cinématique et cinétique. La cinématique est l’étude des mouvements (déplacement, vitesse, accélération) d’un système sans faire intervenir les forces qui induisent ces mouvements. 6
Mécanique
Dynamique
Statique
Cinématique
Cinétique
Cette subdivision est basée sur l’hypothèse des corps rigides. En effet, pour un corps déformable la dissociation des forces des mouvements induits est impossible. Dans ce cas l’étude des forces et des déplacements doit se faire simultanément (vibration, RdM, Mécanique des fluides…) Par conséquent, l’hypothèse du corps rigide n’est pas retenue dans les deux cas suivants :
• Le mécanisme contient des éléments déformables (élastiques) • Le système est un mécanisme de précision opérant à de très
grandes vitesses, car les
déformations même faibles ne peuvent plus être négligées.
4. Terminologie, définitions et hypothèses 4.1. Machine Une machine : est une combinaison de corps à l’aide desquels les forces mécaniques de la nature sont utilisées à faire du travail accompagné par un mouvement déterminé. [Reuleaux 19ème siècle]. Exemples de machines : moteur, pompe, etc. 4.2. Mécanisme Un mécanisme : est un assemblage de corps, liés par des liaisons, pour former une chaîne cinématique avec un élément fixe, et qui a pour rôle la transformation du mouvement. [Reuleaux 19ème siècle]. Exemples de mécanismes : systèmes bielle manivelle, mécanisme à came, etc. 4.3. Chaîne cinématique Une chaîne cinématique est une collection de plusieurs corps liés entre eux par des liaisons. 4.4. Elément fixe ou bâti Elément fixe ou bâti : toutes les pièces fixes forment un système rigide et immobile appelé bâti. En réalité le bâti et la pièce de référence du mouvement de ce fait elle peut ne pas être fixe dans le mouvement réel. Un mécanisme est une chaîne cinématique dont un élément est considéré comme bâti.
7
4.5. Liaison / couple cinématique Une liaison ou couple cinématique est un assemblage de deux éléments se trouvant en contact permanent est susceptibles d’un mouvement relatif. 4.7. Mécanismes plans Un mécanisme est dit plan si toutes les trajectoires des points des éléments mobiles restent dans des plans parallèles au cours du mouvement.
Exemple : Double système bielle manivelle 4.8. Mécanismes sphériques Un mécanisme est dit sphérique si chaque élément mobile du mécanisme possède un point fixe lors du mouvement du système et que tous ces points sont coïncident. triaxe s
tulipe
ωe
C1
ωs
O
bâti
C
2
C
α 3
u
Exemple : Joint tripode 4.9. Mécanismes spatiaux Les mécanismes spatiaux n’ont aucune restriction sur les mouvements des éléments les constituants.
8
4.10. Exemple de mécanismes
Cliquer pour animer
Cliquer pour animer
Cliquer pour animer
Cliquer pour animer
Cliquer pour animer
Cliquer pour animer
.
9
Chapitre II : Modélisation des mécanismes 1. Graphe associé à un système mécanique Un système mécanique comportant « n » pièces et « l » liaisons peut être représenté par un graphe tel que :
• A chaque pièce on affecte un sommet (vertex) • A chaque liaison on affecte un arc 1.1. Classe d’équivalence Une classe d'équivalence est un groupe de pièces n'ayant aucun mouvement relatif les unes par rapport aux autres pour une phase de fonctionnement donnée. Il est très important de savoir dans quelle phase on se situe. En effet, dans une phase de réglage, les mobilités du mécanisme sont plus nombreuses que lors d'une phase d'utilisation. Le nombre de classes d'équivalences sera donc plus élevé. La recherche des classes d'équivalence passe par la localisation de toutes les liaisons encastrement (liaisons complètes) réalisées à l'intérieur du mécanisme pour la phase de fonctionnement étudiée. 1.2. Traçage de graphe d’un mécanisme Dans un premier temps, il faut d’abord déterminer tous les couples de classes d'équivalence en contact et les liaisons qui existent entre ces classes. Dans l’exemple ci-dessous, les classes d’équivalences portent la même couleur (bleu, jaune, rouge et vert).
Tracer ensuite le graphe de liaison correspondant en précisant la nature des liaisons de ce mécanisme.
10
Cycle1 L1 5
1 Cycle3
L5
L2
L4 Cycle2
2
L3
3
1.3. Arbres, cycles et cycles indépendants
• Arbre :
un arbre est un chemin extrait d’un graphe tel qu’en le parcourant on ne rencontre pas deux fois le même sommet (pièce). Ce chemin ne doit pas former un cycle.
• Cycle :
un cycle est un chemin fermé extrait d’un graphe tel qu’en le parcourant on passe pas par le même arc deux fois.
• Cycles indépendants : l’ensemble minimal de cycles extraits d’un graphe suffisant pour le reconstruire. Exemple : cycle 2 et cycle 3 sont suffisants pour reconstruire le graphe original. Cycle 1 peut être engendré par cycle 2 et cycle 3. En mécanique on cherchera toujours les cycles indépendants. 1.4. Nombre cyclomatique d’un graphe C’est le nombre de cycles indépendants d’un graphe. Ce nombre est donné par : γ =l–n+1 Avec « l » le nombre de liaisons et « n » le nombre de solides. Ce nombre est très important pour l’étude des systèmes mécaniques.
11
2. Chaînes et schémas cinématiques d’un système mécanique 2.1. Types de chaînes cinématiques 2.1.1. Chaîne continue ouverte : C’est une chaîne contenant « n » pièces et « n1 » liaisons. Chaque pièce possède deux liaisons sauf la première et la dernière qui n’en possèdent qu’une.
2.1.2. Chaîne continue fermée : C’est une chaîne contenant « n » pièces et « n » liaisons. Chaque pièce possède exactement deux liaisons.
2.1.3. Chaîne continue complexe : C’une chaîne formée de plusieurs chaînes continues fermées. Chaque pièce possède au moins deux liaisons.
2.2. Schéma cinématique d’un mécanisme Le mécanisme est une chaîne cinématique dans laquelle le mouvement donné d’un ou plusieurs éléments par rapport à l’élément fixe implique des mouvements définis de façon unique de tous les autres éléments. Le ou les éléments d’entrée sont auxquels sont conférés des mouvements à l’aide d’actionneurs (moteurs). Le ou les éléments de sortie sont ceux qui produisent les mouvements demandés. Pour étudier un mécanisme il ne suffit pas de connaître sa structure, c.à.d. le nombre d’éléments et le nombre des liaisons. On doit aussi connaître les dimensions des différents éléments qui ont une influence sur le mouvement et la nature des liaisons. Pour cette raison, on a besoin du schéma cinématique du mécanisme. Tout ce qui est nécessaire pour l’étude du mouvement doit figurer sur le schéma cinématique et tout ce qui est superflu (inutile pour l’étude du mouvement) doit être éliminé. On parle souvent dans ce cas de schéma cinématique minimal.
schéma cinématique minimal
12
3. Liaisons dans un système mécanique Dans ce document on ne considère que le modèle parfait de la liaison. Ce modèle suppose que :
• La géométrie des surfaces en contact est parfaite • La dissipation d’énergie dans la liaison est nulle (pas de frottement) • Les jeux sont nuls • Les pièces du mécanisme sont rigides (déformations nulles au niveau du contact) Dans la pratique, il est impossible de vérifier parfaitement ces conditions. Par conséquent, il existe toujours un jeu fonctionnel et un frottement plus ou moins important. Ces conditions sont approchées au mieux par les qualités d’usinages des surfaces et par la lubrification (roulements, paliers, …). Les liaisons ou couples cinématiques sont caractérisées par les restrictions sur le mouvement relatif des deux pièces (une liaison est toujours entre deux pièces). Dans l’espace et en absence de toutes liaisons, un corps rigide possède 6 degrés de libertés (ddl). Si un corps fait parti d’un couple cinématique le nombre de restrictions « S » imposées par cette liaison est lié au nombre de ddl « nc » par la relation : S + nc = 6 3.1. Liaisons simples Les liaisons simples sont obtenues par le contact de deux surfaces simples : plan, cylindre, sphère. Le tableau suivant donne les liaisons simples. S1 S2 Plan Cylindre plein Sphère pleine Appui ponctuel nci = 5 Plan Appui plan nci = 3 Linéaire rectiligne nci = 4
Cylindre creux
Pivot glissant nci = 2
Sphère creuse
Linéaire annulaire nci = 4
Sphérique (rotule) nci = 3
3.2. Liaisons composées Elles sont obtenues par assemblage de deux solides reliés par deux ou trois liaisons simples. Liaisons simples obtenues
Liaison composée
Plane + Linéaire + ponctuelle
Prismatique + ponctuelle
Cylindrique + un appui simple axial
Encastrement nci = 0
Rotoïde ou Pivot nci =1
13
Prismatique ou glissière nci =1
Pivot glissant + appui simple tangentiel
Hélicoïdale nci =1
Pivot + appui simple incliné
Un couple cinématique inférieur est une liaison dans laquelle les surfaces de contact sont des surfaces finies (plan, cylindre, sphère). Un couple cinématique supérieur est une liaison dans laquelle la surface de contact est soit une ligne soit un point. (Appui ponctuel, linéaire annulaire,…) 3.3. Torseur cinématique associé à une liaison Le torseur cinématique d’une liaison traduit le mouvement relatif des deux corps. Le torseur cinématique de la liaison « L » entre les solides « S1» et « S2» est par définition le torseur distributeur des vitesses du mouvement relatif de S1 par rapport à S2 : V(S1/S2). Le nombre de composantes de ce torseur, non nulles et indépendantes, représente le nombre de mouvements possibles entre les deux solides. Ce nombre est appelé le ddl (degré de liberté) de la liaison. Les éléments de réduction du torseur V(S1/S2) sont souvent notées par :
⎡α ⎢ V(S1/S2) = ⎢ β ⎢⎣ γ
u⎤ v ⎥⎥ w⎥⎦ R
⎡α ⎤ ⎢ ⎥ Avec le vecteur Ω(S1/S2) = ⎢ β ⎥ qui représente la vitesse de rotation de S1 par rapport à S2. ⎢⎣ γ ⎥⎦ R
⎡u ⎤ ⎢ ⎥ Avec le vecteur V(O∈S1/S2) = ⎢ v ⎥ qui représente la vitesse de l’origine du repère R lié S1 par rapport ⎢⎣ w ⎥⎦ à S2.
14
15
Principales liaisons cinématiques entre deux solides
16
3.4. Torseur statique associé à une liaison Le torseur statique associé à une liaison représente les efforts transmissibles entre les deux solides. Le torseur statique de la liaison L entre les solides S1 et S2 est par définition le torseur qui représente l’ensemble des efforts transmissibles entre S1 et S2 : τ ( S1 Æ S2). Le nombre de composantes non nulles et indépendantes, représente le degré de liaison qui est aussi le nombre de mouvements interdits entre les deux solides S1 et S2. On note :
⎡X τ(S1Æ S2) = ⎢ Y ⎢ ⎢⎣ Z
L⎤ M ⎥⎥ N ⎥⎦ R
⎡X ⎤ ⎢ ⎥ Avec le vecteur F(S1 Î S2) = ⎢ Y ⎥ qui représente la force transmise à travers le contact de S1 vers ⎢⎣ Z ⎥⎦ R S2.
⎡L⎤ ⎢ ⎥ Avec le vecteur MO (S1Î S2) = ⎢ M ⎥ qui représente le moment, écrit à l’origine de R, transmis de ⎢⎣ N ⎥⎦ R S1 vers S2. L’hypothèse de liaison parfaite interdit toute dissipation d’énergie dans le mouvement relatif des deux solides. Par conséquent, le comoment du torseur statique associé à la liaison par son torseur cinématique est toujours nul dans le cas de liaison parfaite : V(S1/S2)xτ ( S1 Æ S2) = 0 3.5. Liaison équivalente Supposons qu’il existe plusieurs liaisons entre deux pièces, alors on parle de la liaison équivalente à cet ensemble de liaisons. Cette liaison doit permettre les mêmes mouvements qui sont permis par toutes les liaisons simultanément. On dit que cet ensemble de liaisons sont en parallèle : figure (a). Dans le cas où on a deux pièces liées entre elles par plusieurs liaisons en série, on peut aussi parler de liaison équivalente à cet ensemble de liaisons. Cette liaison doit permettre les mêmes mouvements que ceux permis par chacune des liaisons : figure (b) Ll
1
L3
1
1
L2
Léq L1
2
1
Léq
2
2 n-1
Ln
n n
L1
4. Mécanisme parfait Un mécanisme est dit parfait s’il est constitué par des solides rigides et des liaisons parfaites. Toutes dissipation d’énergie dans ce mécanisme est nulle et son rendement est supposé égale à un. Dans la pratique, il est impossible d’avoir un mécanisme parfait, mais comme premier modèle pour
17
étudier le comportement du mécanisme, cette hypothèse est en général adoptée. L’intérêt principal du mécanisme parfait est la simplicité des modèles obtenus. Cependant, les résultats obtenus par ce modèle peuvent être loin de la réalité dans le cas où l’hypothèse de mécanisme parfait n’est pas respectée. Dans ce document on supposera toujours que les mécanismes étudiés sont du type mécanisme parfait.
18
CHAPITRE III : Mobilité et hyperstatisme d’un mécanisme 1. Introduction Comme toute étude, il faut toujours définir l’objectif pour qu’on puisse déterminer la méthodologie à adopter. Dans ce chapitre on abordera deux types d’études : une étude cinématique et une étude statique. Vu la dualité qui existe entre le torseur statique et le torseur cinématique d’une liaison, tous les résultats peuvent être obtenus soit par une étude cinématique soit par une étude statique. Selon le type de résultats recherchés, une des études peut s’avérer plus simple que l’autre. Parmi les résultats recherchés dans l’analyse architecturale des mécanismes, ont peut citer le calcul : ¾ De la mobilité d’une chaîne cinématique. ¾ Du degré d’hyperstatisme d’une chaîne cinématique. ¾ Du torseur de la liaison équivalente à deux ou à plusieurs liaisons. Il est toujours nécessaire de bien identifier l’objectif de l’étude pour pouvoir choisir la meilleure façon de le résoudre.
2. Définitions : Mobilité d’une chaîne cinématique : c’est le nombre de mouvements indépendants qui peuvent exister dans une chaîne cinématique. Degré d’hyperstatisme d’une chaîne cinématique : c’est le nombre de réactions de liaisons qu’on n’arrive pas à calculer en écrivant le modèle statique de la chaîne.
3. Analyse des liaisons en série Le cas des liaisons en série forme ce qu’on appelle une chaîne cinématique ouverte (voir figure cidessous) 1
L1
2
n-1
Ln-1
n
Dans ce cas le système est constitué par « n » pièces et de « n-1 » liaisons. Cette architecture est adoptée pour la réalisation de tous les robots sériels. Elle a l’avantage d’être simple pour le montage et elle est capable de réaliser des amplitudes de mouvements assez importantes. 3.1. Etude cinématique : L’étude cinématique peut avoir deux objectifs : le premier est la détermination de la mobilité de la chaîne « m » ou en d’autres termes combien de mouvements sont ils possibles entre la pièce 1 et la pièce n. Le deuxième objectif est la détermination de la nature de la liaison équivalente entre la pièce 1 et la pièce n.
19
Pour ce faire on a besoin d’écrire le modèle cinématique de cette chaîne cinématique ouverte. La loi de composition de mouvement dans ce cas peut s’écrire : V(n/1) = V(n/n - 1) + V(n - 1/ n - 2) + … + V(2/1) V(n/1) = Vn-1 + … + V1 Avec Vi le torseur associé à la liaison Li entre les solides i-1 et i. Par conséquent, si l’objectif est de calculer la mobilité du système, on voit bien que le mouvement de la pièce n par rapport à la pièce 1, V(n/1), dépend de la somme de tous les mouvements permis par toutes les liaisons intermédiaires. Soit nci le nombre de mouvements permis par la liaison Li, alors on a: n −1
m = ∑ nci i =1
Si on se propose de déterminer la nature de la liaison équivalente entre les deux solides n et 1, alors on a Véq= V(n/1). Connaissant tous les torseurs Vi, on peut calculer le torseur Véq. On a : Véq = Vn-1 + … + V1 Remarque : dans certains cas, on peut avoir une mobilité m > 6. Par conséquent, le nombre de mouvements que peut avoir le solide n par rapport au solide 1 est supérieur à 6. Or dans la pratique, un solide par rapport à un autre ne peut avoir qu’au maximum 6 mouvements possibles. Ce surplus de mobilité dans le système s’appelle redondance de ddl, c.à.d, on peut bloquer certaines liaisons sans pour autant modifier les mouvements possibles entre le solide n et le solide 1.
Exemple de liaison série 3.2. Etude statique Pour déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne cinématique ouverte, la méthode statique est plus appropriée. Cette méthode est basée sur l’application du principe fondamental de la dynamique à un sous système approprié extrait du système global.
τext
1
τ′ex =-τext L1 i-1
Li
Ln-1
Li+1 i
i+1
n
20
En statique on suppose toujours que le système est en équilibre, par conséquent, si on suppose qu’uniquement les éléments 1 et n subissent des efforts extérieurs τext et τ′ext, respectivement, alors l’équilibre de tout le système nous donne : τ′ext = - τext L’étude qu’on va mener est indépendante de ce torseur extérieur. Par conséquent ce torseur va être toujours supposé connu. Pour trouver des relations impliquant les torseurs des liaisons, on a besoin d’écrire l’équilibre de chaque solide du système pris à part. L’équilibre de l’élément i peut s’écrire :
τ(i -1Æ i) + τ(i +1Æ i) = 0 On pose τ(i -1Æ i) = τi-1 on a alors :
τi-1 - τi = 0
Cette équation traduit l’équilibre des solides 2 jusqu’à n-1. Pour le solide 1, l’équilibre s’écrit : τext - τ1 = 0 Pour le solide n, l’équilibre s’écrit :
τext + τn-1 = 0
Remarque : l’équilibre du nème solide n’est pas nécessaire, car il est automatiquement vérifié du fait qu’on a supposé dès le début que tout le système est en équilibre. En combinant toutes ses relations, on aboutit à la relation suivante : τi = τext pour i = 1, n-1. Puisque le torseur τext , est un chargement extérieur connu, nous pouvons conclure que tous les torseurs représentants les réactions de toute liaison sont calculables et d’une manière unique à l’aide de l’équation précédentes. Le système est dit dans ce cas « isostatique ». En conclusion, une chaîne cinématique ouverte est toujours isostatique et ne présente aucun problème de montage ou de fonctionnement qui pourrait exister dans un système hyperstatique.
Exemple de liaison équivalente (rotule + plane => ponctuelle)
4. Analyse des liaisons en parallèle Les systèmes possédant l’architecture parallèle (voir figure) sont très répandus dans les systèmes industriels.
21
Ln
1
L3
1
Léq
Li 2
2
L1 Cette architecture est utilisée, par exemple, dans la réalisation des liaisons dans laquelle plusieurs liaisons élémentaires sont conjuguées pour réaliser la liaison composée. D’autres applications existent, comme les robots parallèles, les supports des arbres longs, etc … 4.1. Etude cinématique : L’étude cinématique peut avoir deux objectifs : le premier est la détermination de la mobilité du système « m » ou en d’autres termes combien de mouvements sont ils possibles entre la pièce 1 et la pièce 2. Le deuxième objectif est la détermination de la nature de la liaison équivalente entre la pièce 1 et la pièce 2. Pour ce faire on a besoin d’écrire le modèle cinématique de cette chaîne cinématique ouverte. Puisque toutes les liaisons sont entre les pièces 1 et 2, alors pour qu’un mouvement soit permis entre ces deux pièces, il faut qu’il soit permis par toutes les liaisons simultanément. Cette condition peut s’écrire : V(2/1) = V1 = V2 = …= Vn-1 = Vn Avec Vi le torseur associé à la liaison Li. Cet ensemble de n équations torsorielles est équivalent à 6n équations scalaires. Les inconnues sont les 6 éléments de réduction de V et les inconnues cinématiques de toutes les liaisons. Pour calculer la mobilité du système, il faut identifier le nombre d’éléments non nuls et indépendants dans le torseur V. Pour ce faire, il faut identifier parmi les 6n équations ceux dont le deuxième terme est nul. Ces équations s’appellent les équations principales du système. Le système obtenu peut être écrit sous la forme : A.X = 0 Avec A une matrice p×6 X un vecteur 6×1 contenant les éléments de réduction du torseur V. 0 le vecteur nul Soir rc = rang (A). La mobilité m du système est donnée par m = 6 – rc si le rang du système est égale à 6 la seule solution au système précédent est X = 0, par conséquent V devient le torseur nul et aucun mouvement n’est possible entre les deux solides 1et 2. Si le rang du système est inférieur à 6, alors pas toutes les équations du système ne sont indépendantes et sa solution n’est pas nécessairement nulle. Par conséquent, V ≠0 ce qui implique qu’un certain nombre de mouvements n’est pas empêchés. Physiquement, le rang du système représente le nombre de contraintes indépendantes mises entre les solides 1 et 2.
22
Pour trouver le torseur de la liaison équivalente, il suffit de trouver une solution au système précédent. En effet, dans le cas où le rang est inférieur à 6, il existe une infinité de solution au système précédent. Une de ces solutions représente le torseur de la liaison équivalente.
Exemple de liaison parallèle 4.2. Etude statique Pour déterminer le degré d’hyperstatisme d’un système de plusieurs liaisons en parallèles, la méthode statique est plus appropriée. Cette méthode est basée sur l’application du principe fondamental de la dynamique à un sous système approprié extrait du système global. τext
τext 1
L3
Ln
1
Léq
Li 2
2 L1
-τext
-τext
En statique on suppose toujours que le système est en équilibre, par conséquent, les éléments 1 et 2 subissent des efforts extérieurs τext et τ′ext, respectivement. L’équilibre de tout le système nous donne :
τ′ext = - τext L’étude qu’on va mener est indépendante de ce torseur extérieur. Par conséquent ce torseur sera toujours supposé connu. Pour trouver des relations impliquant les torseurs des liaisons, on a besoin d’écrire l’équilibre d’un des deux solides. L’équilibre de l’élément 1, par exemple, peut s’écrire : τext + Στi = 0 pour i = 1, n. Dans ce système de 6 équations scalaires, on a les éléments de réduction de tous les torseurs τi sont des inconnues. Soit nsi le nombre d’inconnues introduites par la liaison Li, alors on a ns = Σnsi inconnues dans notre système. Soit rs le rang de ce système, on a alors uniquement rs inconnues calculables et le reste ne peut être calculé à partir de ce système d’équations. On définit alors h le nombre de surplus d’inconnues incalculables du système : h = 6 – rs ce nombre s’appelle le « degré d’hyperstatisme » du système. Exemple :
23
5. Analyse des chaînes continues fermées Les chaînes continues fermées sont les architectures les plus courantes des systèmes industriels. Toutes les machines sont à base de chaînes continues fermées. L’avantage majeur de cette architecture, réside dans le fait que la mobilité, donc le nombre d’actionneurs, est relativement réduite, ne dépassant guère 2. L1
1 Ln+1
i-1
n Li
Ln
Li+1 i
i+1
5.1. Etude cinématique L’analyse cinématique de cette architecture vise essentiellement à rechercher la mobilité de la chaîne. Vu les contraintes de fermeture du cycle, les mobilités introduites par toutes les liaisons ne sont plus possibles. La mobilité de la chaîne représente le nombre de mobilités, introduites par les liaisons, qui restent encore libres après avoir appliqué les contraintes de fermeture de cycle. Pour trouver cette mobilité, on exprime la contrainte de fermeture de cycle sous forme cinématique. En se basant sur la loi de composition de mouvement, on peut écrire : V(n/n) = V(n/n - 1) + V(n - 1/ n - 2) + … + V(2/1) + V(1/n) 0 = Vn + Vn-1 + … + V1 Avec Vi le torseur associé à la liaison Li entre les solides i-1 et i. Par conséquent, un maximum de 6 équations scalaires peuvent être obtenues à partir de l’équation torsorielle. Ce système peut être mis sous la forme suivante : A.X = 0 Avec A une matrice 6 × nc X un vecteur nc×1 contenant les inconnues cinématiques dans le système (les éléments de réduction des torseurs Vi ). 0 le vecteur nul Soir rc = rang (A), alors il existe dans le système nc – rc inconnues cinématiques incalculables. Physiquement, nc représente le nombre total de mouvements permis dans le système, nc – rc représentent les mouvements libres qui sont restés après avoir imposé les rc contraintes dues à la fermeture du cycle. Par conséquent, on peut affirmer que la mobilité de la chaîne est donnée par : m = nc – rc 5.2. Etude statique Pour déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne continue fermée, la méthode statique est plus appropriée. Cette méthode est basée sur l’application du principe fondamental de la dynamique à un sous système approprié extrait du système global.
24
τext -τext
L1
1 Ln
i-1
n Li
Ln-1
Li+1 i
i+1
En statique on suppose toujours que le système est en équilibre, par conséquent, si on suppose qu’uniquement les éléments 1 et n subissent des efforts extérieurs, alors on a sur 1, τext et sur n, -τext. L’étude qu’on va mener est indépendante de ce torseur extérieur. Par conséquent ce torseur va être toujours supposé connu. Pour trouver des relations impliquant les torseurs des liaisons, on a besoin d’écrire l’équilibre de chaque solide du système pris à part. L’équilibre de l’élément i peut s’écrire : τ(i -1Æ i) + τ(i +1Æ i) = 0 On pose τ(i -1Æ i) = τi-1 on a alors :
τi-1 - τi = 0
Cette équation traduit l’équilibre des solides 2 jusqu’à n-1. Pour le solide 1, l’équilibre s’écrit : -τ 1 + τext + τn = 0 Remarque : l’équilibre du nème solide n’est pas nécessaire, car il est automatiquement vérifié du fait qu’on a supposé dès le début que tout le système est en équilibre. En combinant toutes ses relations, on aboutit au système d’équations suivant : A.X = B Avec A : une matrice Es × ns X : un vecteur ns×1 contenant les inconnues statiques dans le système (les réactions liaisons ou aussi les éléments de réduction des torseurs τi ).
aux
B : le vecteur contenant tous les termes fonction de τext. Soir rs = rang (A), alors il existe dans le système ns – rs inconnues statiques incalculables. Physiquement, ns représente le nombre total d’obstacles introduits par toutes les liaisons, ns – rs est le nombre de réactions aux liaisons qui ne peuvent être déterminées d’après le système précédent. Par conséquent, le système est dit hyperstatique d’ordre h, avec h donnée par : h = ns – rs Exemple : Dans la pratique, le nombre d’équations Es est très important (proche de 6n), par conséquent, la détermination du rang de la matrice A est relativement difficile. Si notre objectif se limite au calcul de h, le degré d’hyperstatisme, on peut procéder par une méthode cinématique. En effet, l’étude cinématique ne nécessite que la résolution d’un système d’au maximum 6 équations. La connaissance de la mobilité peut nous permettre de calculer h. Cette méthode est basée sur la dualité entre la cinématique et la statique, en d’autres termes, l’idée est que s’il y a un mouvement permis selon une direction par la liaison, alors il n’existe aucun obstacle (réaction de liaison) selon cette même direction. Mathématiquement, cette relation peut s’exprimer, pour la liaison Li, comme : nsi = 6 - nci
25
par conséquent, n
n
i =1
i =1
ns = ∑ nsi = ∑ (6 − nci )
n s = 6n − nc
=>
« n » étant le nombre de liaisons. D’autres part, puisque chaque solide du système possède 6 ddl, hors mis le bâti, et que le système d’équations est équivalent à rs contraintes indépendantes imposées aux mouvements des différents solides, on peut déduire que la mobilité du système peut être donnée par : m = 6(n – 1) – rs en combinant cette équation avec l’équation (h = ns – rs), on peut éliminer rs et obtenir : m – h = 6(n – 1) – ns ou aussi m – h = nc – 6 Cette formule peut nous donner d’une manière très simple le degré d’hyperstatisme connaissant sa mobilité et la nature de ses liaisons. Par contre, pour identifier les inconnues hyperstatiques dans le système, il faut obligatoirement dresser tout le système et détecter les inconnues incalculables. Exemple :
6. Analyse des chaînes complexes Les chaînes complexes sont un ensemble de chaînes continues fermées. Par conséquent, on peut analyser complètement une chaîne complexe en analysant toutes ses chaînes continues fermées indépendantes. Le nombre de ces chaînes indépendantes est donné par le nombre cyclomatique γ. Dans ce cas la formule précédente devient : m – h = nc – 6
γ
26
CHAPITRE IV : Analyse cinématique des mécanismes plans 1. Définition Un mécanisme plan est un mécanisme où tous les points des éléments mobiles décrivent des courbes situes dans des plans parallèles, au cours de leurs mouvements.
2. Identification des paramètres d’un mécanisme plan 2.1. Liaisons dans le plan Les liaisons possibles dans le plan sont : • pivot d’axe perpendiculaire au plan, •
glissière d’axe parallèle au plan,
•
ponctuelle d’axe parallèle au plan.
Pour analyser un mécanisme il est nécessaire de connaître ses caractéristiques géométriques. Dans le cas général, il y a toujours des paramètres fixes et des paramètres variables au cours du mouvement du mécanisme. Exemple: (Fig 1) Les 4 longueurs : l1 = AD l2 = AB l3 = BC l4 = CD Sont toutes constantes représentant les dimensions des éléments numérotes 1, 2, 3, et 4 respectivement. En outre, la position angulaire de l’élément 1 (bâti) est donnée.
Figure 1
Les positions angulaires des éléments 2, 3, et 4 sont par contre variables au cours du mouvement du mécanisme, qui est induit par la rotation de l’élément 2. On a donc: θ2, θ3 et θ4 des variables dépendantes. 2.2. Caractéristiques géométriques des éléments Dans une chaîne cinématique fermée, chaque élément possède au moins deux liaisons. Ces éléments sont appelés éléments binaires. Pour les éléments binaires, 3 cas peuvent se présenter selon la nature des liaisons: • Un élément avec deux liaisons pivots est caractérisé par la distance perpendiculaire entre les deux axes de ses liaisons. •
Un élément avec une liaison pivot et une liaison glissière est caractérisé par la distance du centre de la liaison pivot à l’axe de la glissière.
•
Un élément avec deux liaisons glissières est caractérisé par l’angle entre les deux axes de ses liaisons.
Figure 2
Figure 3
Pour les éléments à trois liaisons, trois cas peuvent se présenter et ils sont représentés sur la figure 3 a, b, c. Dans tous les cas, on a besoin de trois paramètres pour caractériser un élément à trois liaisons.
3. Lois de Grashoff pour les mécanismes à 4 barres Soit le mécanisme de la Figure 4. Les 4 paramètres fixes de ce mécanisme sont choisis de la façon suivante:
• l: est la plus grande longueur • s: est la plus petite longueur • p et q: les deux autres longueurs. On a donc l > p, q > s. La loi de Grashoff stipule que la somme de la longueur de l’élément le plus court et la longueur de l’élément le plus long ne peut pas être supérieure à la Figure 4 somme des deux autres longueurs pour qu’un élément de ce mécanisme puisse faire un tour complet. Un mécanisme vérifiant la loi de Grashoff et dit un mécanisme de Grashoff.
l+ s < p + q 4. Analyse des déplacements d’un mécanisme plan 4.1. Méthode Graphique L’analyse graphique des mécanismes plans à 1 degrés de liberté est relativement facile. Cependant, la précision des solutions obtenues dépend des soins pris lors du dessin. On va présenter la méthode graphique à l’aide d’un exemple simple qui est le mécanisme à 4 barres (Fig. 1). Soit l1, l2, l3 et l4 données et l’angle θ2 donnés, trouver les positions des éléments 3 et 4. Ces positions sont représentées par les anglesθ3 et θ4.
28
Le point A est choisi comme origine du repère. Le point D est choisi sur l’axe des x. Le point B est donné par ses coordonnées polaires à savoir (l2 , θ2 ). Le problème revient donc à trouver le point C. Ce point est donné par l’intersection des deux cercles C(B, l3) et C(D, l4) (Fig. 6). En général, deux solutions existent et elles sont représentées par les deux points C1 et C2. D’autres informations sont nécessaires pour pouvoir choisir entre ces deux solutions. Cette information est un paramètre appelé TYPE de valeur ±1. Par convention on a TYPE=+1 pour la solution C1 et TYPE = -1 pour la solution C2. Figure 5 Une fois la représentation terminée, les angles θ3 et θ4 sont alors mesurés directement sur le graphique. 4.2. Méthode analytique Cette méthode possède plusieurs avantages par rapport à la méthode graphique:
• plus grande précision, • meilleur adaptation à la programmation sur ordinateur, • automatisation facile pour une analyse complète du mécanisme. Le mouvement plan d’un solide peut être représenté par le mouvement d’un vecteur fixé sur celui-ci. Soit deux points appartenants à deux éléments différents:
• le point P2 appartient à l’élément 2, • le point P3 appartient à l’élément 3. Instantanément les deux points sont confondus. Deux cas peuvent se présenter:
Figure 6
• les deux points sont coïncidents en permanence (centre d’une liaison pivot) alors les deux points P1 et P2 ont le même mouvement (même vitesse, même accélération)
• les deux points sont coïncidents instantanément (liaison glissière) alors les deux points ont des mouvements différents. 4.3. Equation d’un cycle Dans un mécanisme plan on peut écrire autant d’équations vectorielles qu’on a de cycles. Cependant, ces équations ne seront pas toutes indépendantes. Le nombre d’équation indépendantes est le nombre de cycles indépendants. Ce nombre est donné par le nombre cyclomatique du mécanisme à savoir γ = l - n + 1 avec
• « l » le nombre de liaisons dans le mécanisme • « n » le nombre d’éléments du mécanisme.
29
4.4. Exemples d’application Exemple 1 : (voir Figure 7) Le nombre de cycles indépendants et le nombre d’équations vectorielles à écrire.
• γ = 7 - 6 +1 = 2 La mobilité du mécanisme.
• m = 3(6-1) - 2*7 = 1 Les deux équations vectorielles à écrire sont:
Figure 7
• AB + BC + CD + DA = 0 • AB + BE + EF + FG + GA = 0 Chacune de ces équations vectorielles correspond à deux équations scalaires totalisant ainsi 4 équations scalaires. Etant donné la position d’un des éléments (puisque m =1), on peut résoudre le système pour trouver les positions des 4 autres éléments. Ces équations sont en général non linéaires. Dans certains cas une solution algébrique est possible, mais la plupart des logiciels d’analyse des mécanismes plans utilisent des méthodes numériques. (Algorithme de Newton-Raphson par exemple). Exemple 2 : (voir Figure 8)
30
Les paramètres fixes de chaque élément :
Elément paramètres
1
2
3
4
6
7
l 10 ; l 9 ;
l2
l 3 ;l 5
l4
l6
l7
l 8 ; l1;
ξ
Les paramètres variables du mécanisme
• θ 2 ; θ 3 ; θ 4 ; d 5 ; θ 6 ; θ 7 ; x8 Mobilité du mécanisme
• m = 3(n − 1) − ∑ lij = 1 Nombre cyclomatique :
• 3cycles indépendants : γ = 3 o
O-A-B-C-O : OA + AB = OC + CB
o
O-A-E-D-O : OA + AE = OD + DE
o
O-A-E-F-G-O : OA + AE + EF + FG = OG
Modèle géométrique du mécanisme :
l 2 e iθ 2 + l 3 e iθ 3 = l 1 e iξ + l 4 e iθ 4 l 2 e iθ 2 + l 5 e i (θ 3 +α ) = l 10 − l 9 i + d 5 e iθ 6 l 2 e iθ 2 + l 5 e i (θ 3 +α ) + (l 6 − d 5 )e iθ 6 + l 7 e iθ 7 = x8 + l 8 i Nombre d’équations et nombre d’inconnues dans ces équations
• 6 équations scalaires • 6 inconnues
31
5. Analyse des vitesses 5.1. Méthode Graphique Une fois l’analyse des positions d’un mécanisme est achevée, on peut commencer l’analyse des vitesses. La méthode graphique pour l’analyse des vitesses des mécanismes plans est très utile car elle nous donne rapidement les informations nécessaires sur le mouvement du mécanisme. Ces résultats sont facilement vérifiables d’après l’épure des vitesses. 5.1.1. Epure des vitesses d’un solide Soit un solide (S) et deux points A et B liés à (S). D’après la relation des torseurs on peut écrire: V(B) = V(A) +Ω(S)∧AB On appelle VBA la vitesse de B relative à A et elle est donnée par VBA = Ω∧AB VBA est orthogonal à Ω et AB Puisque le mouvement de (S) est plan alors on a Ω = ωk. Avec k le vecteur normal au plan du mouvement. L’épure des vitesses d’un solide est la représentation graphique de l’équation: V(B) = V(A) +Ω(S)∧AB
5.1.2. Exemple d’application Connaissant la vitesse de A, V(A), et la vitesse angulaire de (S), Ω(S), on peut trouver graphiquement à l’aide de l’épure des vitesses la vitesse de n’importe quel point B de (S). On prend une origine des vitesses Ov et une échelle kv (mm/(m/s)) permettant de représenter sur le papier les vecteurs vitesses. On trace le vecteur V(A) ce qui nous donne le point a. Puis le vecteur ab représentant le vecteur vitesse VBA = Ω∧AB est représenté à l’échelle. Le vecteur obtenu Ovb est alors la représentation à la même échelle du vecteur vitesse V(B). (voir Figure 9) Figure 8 5.1.3. Epure des vitesses d’un mécanisme Soit le mécanisme bielle-manivelle représenté à l’échelle sur la figure 10. Le problème consiste à trouver la vitesse d’un point du coulisseau et la vitesse angulaire de la bielle, dans la position représentée, connaissant la vitesse angulaire de l’élément menant 2. Le mécanisme est représenté à l’échelle sur la Figure 10. Le problème se résume donc à la solution graphique de l’équation suivante:
32
L’épure des vitesses de ce mécanisme est V(B) = V(A) +Ω(S)∧AB représentée sur la Figure 10. On commence par représenter la vitesse connue du point A puis connaissant les directions des vitesses VAB et V(B) la solution est donnée par l’intersections des deux droites D et D’. Les modules des vitesses V(B) et VAB sont donnés par la mesure direct des longueurs Ovb et ab, respectivement. L’échelle kv permet de convertir les longueurs en vitesses. Le module de la vitesse angulaire de élément 3, ω3, est donné par le rapport
ω3 =
VAB . La direction de ω3 est donnée par AB
la direction de la rotation du point A, animé de la vitesse VAB, autour du point B.
Figure 9
Puisque les équations de l’analyse des vitesses sont toujours linéaires on a deux propriétés importante de cette analyse:
• La solution de l’analyse des vitesses est toujours unique. • La similitude nous permet de trouver la vitesse de n’importe quel point du mécanisme sans avoir besoin de refaire l’épure des vitesses. Comme exemple trouvons la vitesse du point C milieu de AB. Il suffit pour cela de trouver le point c sur l’épure des vitesses qui n’est autre que le milieu de ab. La vitesse du point C est alors donnée par le vecteur Ovc. (voir figure 11) 5.2. Méthode Analytique Les avantages et les inconvénients de la méthode analytique pour l’étude des vitesses sont les mêmes que celles présentées lors de l’analyse des déplacements. Le même exemple que celui de l’analyse graphique est repris. (Fig 10) On suppose que toutes les données géométriques sont connues. Lors de l’analyse des déplacements on a déterminé le nombre cyclomatique et on a écrit une équation vectorielle représentant l’équation du cycle: OA + AB = OB En utilisant la notation des nombres complexes on peut écrire r1 = r2 eiθ2 + r3 eiθ3 L’étude des vitesses revient à dériver cette équation par rapport au temps, pour donner r1 = r2 iθ2eiθ2 + r3 iθ3e iθ3 avec θ3 et r1 les inconnues dans ces deux équations linéaires. 5.3. Méthode de CIR : Centre Instantané de rotation La méthode analytique est performante mais elle est en général longue. La méthode des centres instantanés de rotation (CIR) est une technique qui est relativement plus rapide pour les mécanismes complexes.
33
5.3.1. Définition Le centre instantané de rotation ou « centro » est un point ou il n’y a pas de vitesse relative entre deux pièces d’un mécanisme à cet instant. Il y a autant de CIR que de paire de pièces dans un mécanisme. Soit N le nombre des CIR d’un mécanisme, on a N=(n-1)n/2 avec n le nombre de pièces dans un mécanisme. 5.3.2. Théorème de Kennedy Les trois CIR de trois solides en mouvement l’un par rapport à l’autre sont alignés. Soit 2 solides (2) et (3) en mouvement l’un par rapport à l’autre et en mouvement par rapport au bâti (1). D’après le théorème de Kennedy on a les trois CIR; P12, P13 et P23 alignés. VP23 ∈ 2 = VP23 ∈ 3 (P12P23) ω2 = (P12P23) ω3 Cette relation nous permet de déterminer le rapport des vitesses de rotations connaissant les lieux des CIR. Pour deux solides (i) et (j) la relation (??) peut se généraliser pour donner
ωi P1 j Pij ce rapport est pris algébriquement. = ω j P1i Pij Le théorème de Kennedy permet donc de déterminer les CIR d’un mécanisme (voir Exemple). Figure 10 5.3.3. Illustration Les photos ci-dessous illustrent le CIR d’un système bielle manivelle.
34
CIR : Système bielle-manivelle. 5.3.4. Avantage mécanique d’un mécanisme L’un des critères le plus important dans la conception des mécanismes est la capacité de celui-ci de transmettre un effort (couple ou force). Dans certains mécanismes, comme le train d’engrenage le rapport entre couple d’entrée et couple de sortie est constant car le rapport des vitesses est constant. Cependant, ceci n’est pas vrai avec les mécanismes articulés. Dans cette section on va illustrer une technique pour déterminer ce rapport entre l’effort d’entrée et l’effort de sortie pour une position donnée du mécanisme. Si on néglige toute forme de dissipation dans un mécanisme on obtient un système conservatif. On peut alors écrire
•P
= C e ωe = C s ωs
avec o o
P la puissance transmise Ce le couple d’entrée
o
Cs
le couple de sortie
o
ωe
la vitesse de rotation d’entrée
o
ωs la vitesse de rotation de sortie
ou bien
•P
= F e Ve = F s Vs
avec o o
P la puissance transmise la force à l’entrée Fe
o
F
o
Ve la vitesse du point d’application de la force d’entrée
o
Vs la vitesse du point d’application de la force de sortie
s
la force à la sortie
Par définition l’avantage mécanique, λ, est donné par
•λ =
Fs Fe
En utilisant la conservation de la puissance on obtient
•λ =
Fs Ve re ωe = = Fe Vs rs ωs 35
Le deuxième rapport de cette équation peut se calculer en fonction des CIR. Exemple (le mécanisme de la Figure 1)
λ=
Fs Ve re ω2 re P14 P24 = = = Fe Vs rs ω4 rs P12 P24
Remarques: Le mécanisme peut se trouver dans les deux positions singulières suivantes: Première position: P12 et P24 deviennent confondus et le rapport λ devient infini. Dans cette position une légère variation de Fe entraînerait une importante force Fs à la sortie. Dans cette position le mécanisme est dit « irréversible » puisque une force infinie Fs n’entraîne rien à l’entrée. Deuxième position: P14 et P24 deviennent confondus Dans cette position le rapport λ est nul et le mécanisme ne transmet aucun effort à la sortie indépendamment de la valeur de la force d’entrée.
6. Analyse des Accélérations 6.1. Différence d’accélération de deux points d’un solide Soit deux points A et B d’un solide S. La relation entre leur vitesses est donnée par : V(B) = V(A) +Ω(S)∧AB avec : Ω(S) la vitesse angulaire du solide S. En dérivant cette relation on obtient
& ( S ) ∧ AB + Ω(S) ∧ ( Ω(S) ∧ AB ) a(B) = a(A) + Ω qu’on peut écrire sous la forme : a B = a A + a BA aBA est appelé la différence d’accélération de B par rapport à A. En utilisant la propriété du mouvement plan et en notant Ω(S) = ωk on obtient la relation suivante :
a BA = ω& k ∧ AB − ω 2 AB Les deux termes à droite représentent l’accélération relative tangentielle et l’accélération relative normale respectivement. Il faut noter que l’accélération relative normale est toujours connue lors de l’étude des accélérations, puisque une étude des vitesses est nécessaire avant toute étude des accélérations. t
n
On peut écrire alors la relation suivante: a BA = a BA + a BA De même on peut écrire d’une manière générale t n a Bt + a Bn = a tA + a nA + a BA + a BA
36
6.2. Etude graphique des accélérations d’un mécanisme Une fois l’analyse des vitesses d’un mécanisme est achevée, on peut commencer l’analyse des accélérations. La méthode graphique pour l’analyse des accélérations des mécanismes plans est très utile car elle nous donne rapidement les informations nécessaires sur le mouvement du mécanisme. Ces résultats sont facilement vérifiables d’après l’épure des accélérations. Soit le mécanisme bielle-manivelle représenté à l’échelle sur la figure 10 (reproduite ici comme Figure 12). Le problème consiste à trouver l’accélération d’un point du coulisseau (4) et l’accélération angulaire de la bielle (3), dans la position représentée, connaissant l’accélération angulaire de l’élément menant 2. Le mécanisme est représenté à l’échelle sur la Figure 12 ainsi que son épure des vitesses. Pour cet exemple on suppose que la vitesse angulaire de l’élément 2 est constante. Le problème se résume donc à la solution graphique de l’équation suivante: t n a Bt + a Bn = a tA + a nA + a BA + a BA
Pour représenter l’épure des accélérations du mécanisme on procède exactement de la même manière que dans le cas de l’épure des vitesses. La seule différence réside dans le fait que pour toutes les accélérations on a deux composantes une normale et une tangentielle. La composante normale est toujours connue entièrement (module et direction). Pour le mécanisme de la figure 12 on peut remarquer que: aBn est nulle car B possède une trajectoire rectiligne. aBt est dirigée selon la droite OB aAn est connue et elle est dirigée de A vers O aAt est nulle car la vitesse angulaire de (2) est constante aBAn est connue en module et elle est dirigée de B vers A. aBAt est connue en direction mais non en module.
Figure 11 On calcule donc les composantes connues comme suit aAn = (OA)ω22
et
aBAn = (BA)ω32
37
Le choix d’une échelle (ka) convertissant les m/s2 en mm et une origine des accélérations Oa, nous permet de tracer le vecteur aAn (Oaa). Le vecteur aBAn est ensuite tracé (ab’). La droit représentant la direction du vecteur aBAt est tracée perpendiculairement à AB et passant par b’. La droite représentant la direction du vecteur aBt est tracée parallèlement à (OB) et passant par Oa. L’intersection de ces deux droites donne le point b. L’accélération du point B est alors donnée par le vecteur Oab. La différence d’accélération tangentielle de B par rapport à A (aBAt) est donné par le vecteur b’b. Ainsi on peut calculer l’accélération tangentielle de l’élément (3) en utilisant l’équation suivante:
ω& =
t a BA AB
L’épure des accélérations de ce mécanisme est représentée sur la figure 12. 6.3. Etude Analytique des accélérations L’étude des accélérations s’obtient directement à partir de l’étude des positions. En dérivant l’équation du cycle deux fois on obtient le système d’équation nécessaire à une étude complète du mécanisme. Exemple: Le même exemple que celui de l’étude des vitesses est repris ici. L’équation du cycle est la suivante: OA + AB = OB En utilisant la notation des nombres complexes on peut écrire : r1 = r2 eiθ2 + r3 eiθ3 L’étude des vitesses revient à dériver cette équation par rapport au temps, pour donner r1 = r2 iθ2eiθ2 + r3 iθ3e iθ3 avec θ3 et r1 les inconnues dans ces deux équations linéaires, θ2 étant une donnée du problème. L’étude des accélérations revient à dériver cette équation par rapport au temps, pour donner : r1 = r2 iθ2eiθ2 − r2 θ22eiθ2 + r3 iθ3e iθ3 − r3 θ23e iθ3 avec θ3 et r1 les inconnues dans ces deux équations linéaires, θ2 étant une donnée du problème. 6.4. Dérivées successives de la position En adoptant la représentation des nombres complexes de la position la figure illustre tous les termes obtenus lors de l’étude des vitesses et des accélérations d’un solide.
38
position
re iθ vitesse tangentielle
vitesse radiale
& iθ re
riθ&e iθ accélération tangentielle
riθ&&e
iθ
accélération centripète
− rθ& 2 e iθ
accélération de corriolis
accélération radiale
& θ&e iθ 2 ri
&& re iθ
39
Chapitre V : Mécanismes a cames 1. Introduction La fonction d’un mécanisme à came est d’induire un mouvement cyclique à un élément de sortie (suiveur) à partir d’une rotation à vitesse constante de l’élément d’entrée (came). Les mécanismes à cames et les mécanismes à barres sont deux alternatives pour la transmission de mouvement d’une manière non linéaire. Le tableau suivant présente une comparaison de ces deux types de mécanismes: Mécanisme à cames Mécanisme à barres Observations Simplicité de la conception moins de pièces dans + −
Coût
+ + −
− − +
Durée de vie(*)
−
+
Dynamique
−
+
Encombrement Facilité de réglage
les mécanismes à cames usinage difficile de la came limitée a cause de l’usure problème de décollage du suiveur
2. Classification des cames Il existe plusieurs types de cames et de suiveurs. Parmi ceux-ci on peut citer les cames disques, les cames tambours et les cames rectilignes (voir figure 1). Les suiveurs sont classés selon leur type de mouvement:
• suiveur à mouvement de translation o o
avec galet avec contact plan
• suiveur à mouvement oscillant o
avec galet
Titre de chapitre.
Page(41)
o
avec sabot.
3. Lois de mouvement Le mouvement communiqué au suiveur est constitué de périodes élémentaires, fonction de la position angulaire de la came formant ainsi le cycle du mécanisme. En général le mouvement du suiveur est composé par trois phases: montée (M), descente (D) et repos (S) (voir figure 2).
Ces phases sont choisies par l’utilisateur en fonction de son application. En général, la vitesse de rotation de la came est choisie comme constante. La courbe de déplacement du suiveur y=f(t) peut être représentée simplement par la courbe y=y(θ). La vitesse, l’accélération et l’impulsion sont données respectivement par: dy/dt=ωdy/dθ=ωy′ d2y/dt2=ω2d2y/dθ2=ω2y′′
ENIM, Département de Génie Mécanique,
L. Romdhane et A. BenAmara
Titre de chapitre.
Page(42)
d3y/dt3=ω3d3y/dθ3=ω3y′′′. Ces relations nous permettent de traiter les problèmes cinématiques des mécanismes à cames en considérant uniquement les propriétés géométriques de la courbe y=y(θ).
"
La courbe y=y(θ) est en général une donnée du problème et pour certaines applications, des informations supplémentaires sur les vitesses et les accélérations du suiveur sont aussi données.
"
Le problème est de trouver le profil de la came qui donne la courbe de déplacement voulue.
Exemple: Soit à déterminer le profil de la came disque permettant au suiveur oscillant à galet d’accomplir le mouvement suivant: montée de 10 mm pendant 90° de la rotation de la came repos pendant 60° de la rotation de la came descente pendant le reste de la rotation de la came.
Ce mouvement est représenté sur la figure 3. Les lois de mouvements régissant les phases de montée et de descente sont choisies par le concepteur en fonction des vitesses de rotation de la came.
ENIM, Département de Génie Mécanique,
L. Romdhane et A. BenAmara
Titre de chapitre.
Page(43)
4. Caractéristiques géométriques des cames disques Les cames disques peuvent être considérées comme planes. Le profil de la came est une courbe fermée dont l’équation est donnée principalement à partir de la donnée de la courbe de déplacement y=y(θ). Les autres données géométriques nécessaires pour le tracée du profil de la came sont (voir figure 5):
• le diamètre de base R0 • le diamètre du galet rg (pour les suiveurs à galets) • le rayon de courbure minimal ρmin • l’excentricité e Le choix de ces paramètres est soumis à plusieurs contraintes de conception dont on cite quelques uns. 4.1. Facteurs imposant des cames de faible dimensions • l’espace disponible, • la vitesse tangentielle de contact (usure), • balourd. 4.2. Facteurs imposant des cames de grandes dimensions Les facteurs imposant des cames à grandes dimensions sont :
• les dimensions de l’arbre à cames, • existence de points d’interférence dans la courbe du profil de la came. (voir figure 6) Ce dernier problème est généralement causé par:
• valeur de la course c du suiveur trop importante, • valeur de la durée β de la montée ou la descente trop courte,
• valeur de R0
trop faible.
Les valeurs de c et de β sont des données du problème et il est en général difficile de les changer. Donc pour remédier au problème d’interférence on a recours à augmenter la valeur de R0. Le rayon de courbure ρ change de signe au point d’interférence. On a :
ρ = R0 + y″ + y La condition de non existence de points d’interférence dans le profil de la came est : ρ ≥ 0 En pratique on impose un rayon de courbure minimum ρmin pris en général égal à 6 mm et la condition précédente devient : ρ ≥ ρmin. Donc la condition sur R0 devient : R0 ≥ ρmin − y″min− y.
ENIM, Département de Génie Mécanique,
L. Romdhane et A. BenAmara
Titre de chapitre.
Page(44)
4.3. Détermination du profil d’une came disque à suiveur à galet en translation Soit le point P le point de contact entre came (2) et le galet (3) (voir figure 7). P24 est le centre instantané de rotation entre le suiveur (4) et la came (2). On a :
• VP24 = dy/dt = ωy′= ω(O2P24) • y′= (O2P24) • soit a = R02 − e 2 on a donc :
• y′ = e + (a + y)tanϕ ⎡ y′ − e⎤ ⎥ est l’angle de pression. ⎣a+ y⎦
• ϕ = tan −1 ⎢
Dans la pratique cet angle de pression ne doit jamais dépasser 30° à 35° si non il y’a risque d’arcboutement dans la liaison glissière du suiveur ainsi qu’un rendement médiocre du mécanisme. Les coordonnées cartésiennes du profil de la came sont donc données par
u = e cos θ + ( a + y )sin θ + rg sin(ϕ − θ ) v = e sin θ + ( a + y ) cos θ − rg cos(ϕ − θ ) dans un repère lié à la came, les coordonnées polaires sont données par :
R = ( a + y − rg cos ϕ ) 2 + ( e + rg sin ϕ ) 2
⎡ a + y − rg cos ϕ ⎤ ⎥ ⎢⎣ e + rg sin ϕ ⎥⎦
ψ = −θ + tan −1 ⎢
4.4. Détermination du profil d’une came disque à suiveur à contact plan en translation Les coordonnées polaires de la courbe représentant le profil de la came sont (R, ψ) données par (voir figure 8):
R = ( R0 + y ) 2 + ( y ′ ) 2
ψ = −θ +
⎡ y′ + tan −1 ⎢ 2 ⎣ R0 +
π
⎤ ⎥ y⎦
Les coordonnées cartésiennes sont données par
u = ( R0 + y )sin θ − y ′ cos θ v = ( R0 + y ) cos θ − y ′ sin θ
dans un repère lié à la came, la largeur du suiveur doit être au moins égale à l = y′max + |y′min| pour que le contact entre le suiveur et la came soit toujours maintenu.
ENIM, Département de Génie Mécanique,
L. Romdhane et A. BenAmara
