Plan général du cours
Chapitre I: Compléments mathématiques Chapitre II: Géométrie des masses Chapitre III: Torseur cinématique cinématiq ue Chapitre IV: IV: Mouvement avec liaison Chapitre V: Théorèmes généraux
1
Chapitre I: Compléments mathématiques I-1: I-1: Champ Champ antisymétrique antisymétrique ou champ champ de moments Un champ de vecteurs m est dit antisymétrique antisymétrique,, s’il existe un vecteur R tel que pour tout couple de point ( Q , P ) de l’espace euclidien, on a la relation suivante:
m(P)
m(Q) R QP
I-1.1 Propriété d’équiprojectivité d’équiprojectivité
m( P ) QP
m(Q) QP
Relation de Varignon
2
I-1.2
I I-1.3
Invariant scalaire
m( P) R m(Q) R ...
;
(Q , P,...) I
R
R
R
I
Invariant vectoriel
I-2: Application antisymétrique A tout champ de moments on associe une application antisymétrique définie par:
L( QP )
m (P)
m (Q)
R QP
L( a ) m (P) m (Q) R a ; a QP
3
Conséquence
a L( b ) b L( a )
0
( a , b ) choisi dans l' espace considéré .
Le vecteur R est appelé le vecteur adjoint de l’application antisymétrique L. Soit
e 1, e 2, e 3
une base orthonormée de
l’espace considéré, il vient:
L( e i ) ou encore:
ei
R
R e i
L( e i )
;
i
;
1, 2 ou 3
i
1, 2 ou 3
La solution de cette équation vectorielle (voir TD) est:
4
2
R
ei ei
Remarque:
ei ei λ
ei
L( e i )
L( e i ) ; i 1, 2 ou 3 ; λ IR R e i
R i ; i
1, 2 ou 3
L’expression de la résultante est donc:
1 R e i L( e i ) 2 i 1 3
ou encore:
1 R e i L( e i ) ; 2
i est un indice muet
5
Exemple Calculer le vecteur vitesse de rotation du repère sphérique par rapport au repère cartésien. z
e er M
e
y
O ρ
e
x M(x,y,z=0)
eρ
6
z M(x,y,z)
k
er
e e M(x,y,0)
e
7
de de 1 d e r ( R sph / R c ) e r e e dt dt dt 2 R c R c R c
e r sin e cos k
er cos e sin k e R c
e
e r e
de d
R c
8
d er dt
cos e sin k sin e
R c
e
de dt
sin
e
sin e cos k cos e
R c
e r cos e
dt
de
e
sin e r cos e
10
( R sph / R c )
cos e r
( R sph / R c )
e
Vecteur directeur de l’axe de la rotation
sin e
e
k
Vecteur directeur de l’axe de la rotation
11
I-3: I-3: Torseur associé à un champ antisymétrique antisymétri que (ou champ de moments ) A tout champ antisymétrique l’ensemble de vecteurs: vecteurs:
m, on associe
R , m
qu’on appelle torseur torseur et et que l’on note par : Tout torseur est défini défini en en un point arbitraire Q, et on écrit alors: écrit alors:
(Q ) Les vecteurs R et réduction du torseur
m (Q )
R , m (Q ) sont appelés éléments de
au point Q
12
I-3-1: Quelques types de torseurs
Torseur nul
Il est défini par :
R O
et s ’il existe un point Q de l’espace considéré tel que :
m (Q )
O
Conséquence D’après la relation du champ antisymétrique, antisymétrique, on déduit que le moment est nul partout dans l’espace considéré. considéré.
13
Torseur couple
Il est défini par :
R O
et s ’il existe un point Q de l’espace considéré tel que :
m (Q )
O
Conséquence D’après la relation relation du champ antisymétrique, antisymétrique, on déduit que le moment est uniforme dans l’espace considéré. considéré.
14
Torseur glisseur
Il est défini par :
R O
et s ’il existe un point Q de l’espace considéré tel que :
m(Q) R 0 Conséquence l’invariant scalaire est nul partout dans l’espace considéré.
I-3-2: Comoment de deux torseurs
( 1, 2 )
R 1 m 2 R 2 m 1
15
I-4:
Axe central d’un torseur
On se propose de chercher tous les points P où les moments sont colinéaires à la résultante.
m (P)
R
Soit à résoudre:
m (Q)
R QP
R ; où m (Q) est connu.
R QP
R - m (Q)
16
La condition d’existence de la solution est: R
R - m (Q) I
;
2
0
I est l' invariant scalaire.
R
Les vecteurs solutions sont alors: QP
R
1 2
R
R - m (Q)
;
λ
IR
;
λ
IR
R 2
QP
R
R
R
m (Q)
17
Interprétation géométrique Posons: 2
QP
R QP0 où QP0
R R m (Q)
QP 0
λ IR Remarque
P( ’> )
QP0
R P( Q
0)
P( =0)
P(
0)
18
Le lieu géométrique des points P pour lesquels le moment est colinéaire à la résultante est la droite ( )
passant
par
l’extrémité
QP0 et parallèle à la résultante La droite ( torseur
du
vecteur
. R
) est par définition l’axe central du associé au champ de moments
m
Remarque: L’axe central est aussi le lieu géométrique des points P tels que le module du moment est minimal.
19
Chapitre II:
Géométrie des masses
II-1:
Notion de barycentre
On
considère
dans
l’espace
distribution de points géométriques chacun d’un coefficient
i
euclidien Pi
une
affectés
.
Il existe dans cet espace un et un seul point noté G, appelé barycentre de cette distribution, tel que:
N i GPi i 1
O
N
1
AG
i APi
N i i
1
i
1
20
II-2
Centre de masse
II-2-2 Centre de masse d’un système discret Dans le cas particulier où les points
sont
Pi
points matériels, le barycentre est appelé centre de masse. N m i GPi i
O
1
AG
1 N
N
m i APi
mi i 1
i 1
N mi i 1
m
Masse totale du système discret.
21
Application Déterminons les coordonnées du centre de masse G du système discret ci-dessous constitué de N points matériels identiques :
y R
2 /N m m m
-R
O
R
/N x
22
II-2-2 Centre de masse d’un système continu
GPdm
O
D
1
AG
dm
AP dm D
D
D est le domaine géométrique occupé par le système.
dm D
m
Masse totale du système continu.
Dans le cas d’un solide homogène on a:
23
dm
m
dL
L
dm dS
dm dV ,
1 (en Kgm )
Distribution linéique
m S
(en Kgm - 2 )
Distribution surfacique
m V
(Kg.m- 3 )
Distribution volumique
et
sont respectivement les masses linéique,
surfacique et volumique.
24
Conséquences: Solide volumique
AG
homogène
Solide surfacique homogène
Solide linéique homogène
1
AP dV
VD
AG
1 AP dS SD
AG
1 AP dL LD
25
Application 1 Déterminons les coordonnées cartésiennes du centre de masse d’un demi anneau circulaire linéique, supposé homogène, de rayon R et de masse linéique .
y +R
+R x
-R O
26
Repérage
OP
y
OC CP
Coordonnées polaires
R
C P
O
x R
x
R R cos
y
R R sin
27
Application 2 Déterminons les coordonnées cartésiennes du centre de masse G du huitième d’une calotte sphérique , supposé homogène, de rayon R et de masse surfacique
.
z R
R O x
R
y
28
Le centre de masse est donné par la relation:
OG
xG yG zG
1
OP dS
SD
1 xdS SD 1 ydS SD 1 zdS SD
Il est commode d’utiliser ici les coordonnées sphériques pour simplifier le calcul de ces intégrales.
29
xG
π/ 2
R 3 S
θ
R S
θ
avec:
S
dS
2
π/ 2
sin .d
θ.dθ
0
0
π/ 2
R S
cos .d 0
sin
3
zG
0
π/ 2
3
yG
sin2 θ.dθ
π/ 2
θ
R 2
D
xG
π/ 2
sin cos θ.dθ
d
0
0
π/ 2 π/ 2 θ.dθ sin 0 .d θ 0
yG
zG
R 2
2
πR
2
30
Application 3 (exercice à faire) Déterminons les coordonnées cartésiennes du centre de masse G du huitième d’une sphére, supposé homogène, de rayon R et de masse volumique
.
z R
R O x
R
y
31
II-3 II-3-1
Matrice d’inertie, opérateur d’inertie et repère principal d’inertie Matrice d’inertie d’un système discret
Considérons dans mécanique
l’espace
euclidien
un
système
constitué de N points matériels P (m ).Cet
espace est muni d’un repère cartésien R0(Ox,Oy,Oz) de base orthonormée directe
e1 , e2 , e 3
.
La matrice d’inertie élémentaire d’un point matériel P est définie, dans ce repère, par :
32
2
I ij ( P )
m
r
(r
ij
ij
si i j
1
si i j
I ji ( P )
Symbole de Kronecker
La matrice d’inertie du système
,dans le repère R0, est:
2
N
I ij(
e j )
Rayon-vecteur du point matériel P (m ).
r (x 1 , x 2 , x 3 ) 0
e i )( r
)
m 1
r
ij
(r
e i )( r
e j )
33
Les termes diagonaux de cette matrice I11 , I22 et I33 sont appelés moments d’inertie par rapport aux axes respectivement Ox, Oy et Oz. Les termes non diagonaux de cette matrice I12 , I23 et I13 sont appelés produits d’inertie par rapport aux plans respectivement(Ox,Oy), (Oy,Oz) et (Ox,Oz). II-3-2
Matrice d’inertie d’un système continu (solide indéformable).
La matrice d’inertie élémentaire d’un point matériel P(dm) appartenant à ce solide, est définie dans le repère R0 par :
34
2
dI ij(P)
dm r
ij
(r
e i )( r
e j )
dI ji (P)
La matrice d’inertie du solide S ,dans ce repère R0, est définie par:
2
I ij(S)
r
ij
(r
e i )( r
e j ) dm
D
D est
le domaine géométrique occupé par le
solide (S).
35
II-3-2-1 Matrice d’inertie dans le cas d’une symétrie matérielle par rapport à un plan. Soit un solide ayant le plan (x,O,y) comme plan de symétrie matérielle. Chaque point matériel P de ce solide ayant comme produits d’inertie –xydm, –xzdm et –yzdm admet son symétrique par rapport à ce plan de produits d’inertie –xydm, +xzdm et +yzdm.
I xz(S)
I yz(S)
0
36
II-3-2-2 Matrice d’inertie dans le cas d’une symétrie matérielle par rapport à deux plans. Soit un solide ayant les plans (x,O,y) et (y,O,z) comme plans de symétrie matérielle.
I xy(S) I yz(S) I xz(S) 0 II-3-2-3 Matrice d’inertie dans le cas d’une symétrie matérielle par rapport à un point.
I xy(S) I yz(S)
I xz(S)
0
37
II-3-3
Opérateur d’inertie
On définit l’opérateur d’inertie par l’égalité suivante J S( u )
I(S )
u
matrice colonne
Soit encore: J S( u )
OP
u
OP dm
; u est un vecteur arbitraire
D
Remarque:
u J S( u )
u D
Forme OP u OP dm quadratique
tr
Soit encore: u
J S( u )
u
I( S )
u
scalaire
38
II-5
Repère principal d’inertie.
Il existe au moins un repère tri-orthogonal dans le quel la matrice d’inertie est diagonale. Un tel repère est appelé repère principal d’inertie. On note ce repère:
R p ( A , u 1 , u 2 , u 3 ) u 1 , u 2 , u 3 sont les vecteurs propres, les composantes
diagonales de la matrice d’inertie dans le repère Rp sont appelées moments principaux d’inertie.
39
Application Trouvons le repère principal d’inertie du huitième de la calotte sphérique. Sa matrice d’inertie dans le repère R0 est de la forme:
I(S / R 0 )
I xx(S / R 0)
A
B
B
B
A
B
B
B
A
(y D
2
2
z )dm
40
I xx(S / R 0 )
R 4 sin
(sin . sin )2
(cos )2 d d
D 2
2mR 3
I xy(S / R 0)
4
R
sin D 2
2mR 3
sin
2
. sin . cos
d d
41
Cherchons maintenant les valeurs propres
i
cette matrice. L’équation aux valeurs propres est donnée par:
det[I(S / R 0 )
1]
0
A
B
B
1
0
0
B
A
B
0
1
0
B
B
A
0
0
1
0
de
42
(A B
)
2
( 2 A B ) A ( A B ) 2B
2
0
A B
1 2
(2A B) A( A B) 2B
1
A
B ;
2
A
2
2B ;
- 3B
0 ;
3
A
B
43
L’équation aux vecteurs propres est donnée par:
A
B
B
1
0
0
B
A
B
i 0
1
0
B
B
A
0
0
1
(A
i)
B B
B (A B
i)
(A
Vi
0
B
X i1
0
B
Xi 2
0
Xi 3
0
i)
44
Pour la valeur propre
2 on
a:
1
1
X 21
0
1 -2
1
X 22
0
1 -2
X 23
0
-2 1
X 21
X 22
X 23
Le vecteur propre unitaire associé à cette valeur propre est:
u2
1 3
(1 , 1 , 1)
45
Pour la valeur propre
1 on
1 1
1
X21
0
1 1
1
X22
0
1 1
1
X23
0
a:
3
X1i
0
i 1 3
Pour la valeur propre
3 on
X 3i
a:
0
i 1 On peut choisir, parmi une infinité de vecteurs, les vecteurs propres orthogonaux suivants:
u1
1 2
(1 , - 1 ,0)
u3
1 2
(1 , 1 , 2)
46
II-6
Moment d’inertie par rapport à un axe passant par l’origine des coordonnées.
Considérons dans l’espace tridimensionnel un solide (S) et une droite ( ) de vecteur directeur u et passant par l’origine O.
z
( ) H
u
O
x
P
y
47
Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (
) est par définition:
2
I (S)
HP dm D 2
I (S)
OP
2
OH
dm
D 2
I (S)
OP D
(OP u )
2
dm
48
2
I (S)
(r )u (r
u ) OP dm u
où r
OP
D
I (S)
r
u
r dm
u
où r
OP
D tr
I Δ(S) où
I R 0
u
I R (S) u 0
est la matrice d’inertie du solide (S)
dans le repère R 0 (O, Ox, Oy , Oz )
.
49
Application Déterminons le moment d’inertie du huitième de la calotte sphérique par rapport à l’axe ( ) passant par O et G (axe de symétrie). Le vecteur directeur de l ’axe ( ) est donné par:
u
xG i
y G j OG
z G k
i
j 3
k
50
tr
I(S/Δ
u
I(S/R 0 ) u 1 -1
-1
-1
π
-1
-1
-1
π
1 3
,
1 3
,
1 3
σR 4
3
π
3 1 3 1 3
σR 4
3
π -2
51
II-7
Moment d’inertie par rapport à un axe parallèle à ( ).
Considérons dans le même espace tridimensionnel une deuxième droite ( ’) parallèle à la droite ( ).
z
( )
H u
P
O
x u
H’
( ’)
y
52
Le moment d ’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ( ’) est:
2
I(S / ' )
H' P dm D 2
I(S / ' )
H' H HP
dm
D
2
I(S / ' )
2
H' H dm D
I(S / ' )
HP dm D
m.d 2
I(S / )
2 H' H HP dm D
H' H HP dm
53
Si de plus le centre de masse G appartient à la droite ( ), alors on aura :
I(S / ' ) Car
GP dm
I(S / )
m.d
2
O
D et
H' H HG
0
C’est le Théorème de Huygens relatif à deux axes parallèles.
54
II-8
Théorème de Huygens généralisé Z z (S)
Y
G
X A
y
RG(G,X, Y,Z) // RA(A,x,y,z)
AP x
AG GP
x
xG
X
y
yG
Y
z
zG
Z
55
Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l ’axe (Ax) est donné par:
2 y
I xx(S)
2 z dm
D 2 Y
I xx(S)
2 Z dm
2 m( y G
2 z ) G
D Ydm D
Zdm
0
D
I xx(S)
GP dm
O
D
I XX (S)
2 m( y G
2 zG )
56
Par analogie on a:
I yy (S) I zz(S)
2 m( x G
I YY(S) I ZZ (S)
2 m( x G
2 zG ) 2 yG )
Le produit d’inertie du solide (S) par rapport au plan (xAy) est donné par:
I xy (S)
xydm D
I xy(S)
XYdm D
my G z G
57
Par analogie on a:
I yz (S)
I YZ(S) myG z G
I xz(S)
I XZ(S) mxG z G
Le théorème de Huygens généralisé se traduit par:
I(S / R A )
I(S / R G ) 2 (y G
J (G / R A )
2 zG )
J(G/R A ) m -xG y G -xG zG
-xG y G
2 (xG
-xG zG
2 zG )
-y G zG
-y G zG
2 (xG
2 yG )
58
Remarque: Etant donné deux repères cartésiens parallèles RA et RB , alors on a la relation suivante:
I(S/R A )
J(G/R A )
I(S/R B )
J(G/R B )
59
Application n°1 On considère un solide homogène, de masse surfacique
, ayant la forme d’un disque circulaire
mince. y
y’=y
y=R Oz x=-R
(S)
x
x’
A
O y=-R
RA(A,x’,y’,z’) // RO(O,x,y,z)
60
La matrice d’inertie du solide (S) dans le repère RO (ici confondu avec le repère RG )est:
I(S/R O) m
R 2 4
1 0 0 0
1 0
0
0 2
La matrice d’inertie du centre de masse G (ici confondu avec l’origine O), affecté de la masse totale m du solide,dans le repère RA est:
0 0 0 J(G/R O) mR 2 0
1 0
0
0 1
61
La matrice d’inertie du solide (S) dans le repère RA est, d’après le théorème de Huygens généralisé:
I(S/R A ) I(S/R O )
I(S/R G ) m
R 2 4
J(G/R A )
1
0 0
0
5 0
0
0 6
Exercice Retrouver la matrice d’inertie du solide (S) dans le repère RA par le calcul direct. On posera: Indication: On posera
x' -R y' ρ sin
cos
62
Application n°2 sur la propriété d’additivité On considère un solide homogène mince, de masse m, ayant la forme d’un carré avec un trou circulaire comme le montre la figure ci-après. y y=R (S)
Oz x=-R x
x=-R O y=-R
63
La matrice d’inertie du solide carré plein (S1) dans le repère RO est:
I(S1/R O) m1
R 2 3
1 0 0 0
1 0
0
0 2
La matrice d’inertie du disque plein (S2), de rayon R, dans le repère RO est:
I(S 2 /R O) m2
R 2 4
1 0 0 0
1 0
0
0 2
64
D’après la propriété d’additivité de la matrice d’inertie on a:
I(S1 /R O ) - I(S 2 /R O )
I(S/R O )
I(S/R O )
avec
m1
R 2 3
Cte m1
4 4
π
1
0 0
0
1 0 - m2
0
0 2
m
m1
m2
S
S1
S2
m
m2
4
R 2 4
π
m
1
0 0
0
1 0
0
0 2
56
Chapitre III
Torseur cinématique
III-1 Définition d’un solide indéformable et vecteur vitesse instantanée de rotation Considérons quatre points arbitraires arbitraires A1 , A2 , B1 et B2 appartenant
tous à un même solide (S)
indéformable.
A1A 2 B1B 2
cons tan te
57
a b da dt
cons tan te
b R 0
a
db dt
0 R 0
Remarque 1: Cette égalité est vraie dans tout référentiel R0 non relativiste. Remarque 2: L’opérateur dérivée totale par rapport au temps est une application antisymétrique dans le solide indéformable.
58
D’après le paragraphe I-2 il existe un vecteur tel que pour tout vecteur a appartenant au domaine géométrique occupé par (S), on a:
da
Ω
dt
a
Ω
3 1
2i 1
ei
d ei dt R 0
R 0
e 1 , e 2 , e 3 une
base
orthonormée
directe liée rigidement au solide (S).
59
représente le vecteur vitesse instantanée de rotation du solide (S) par rapport au repère R0 et que l’on note (S/R0). III-2
Champ des vitesses dans le solide indéformable
Pour deux points Q et P choisis arbitrairement dans le solide (S) on a:
d QP dt
Ω
R 0
QP
60
V ( P / R 0 )
V (Q / R 0 ) Ω(S / R 0 ) QP
Dans un solide indéformable le champ des vitesses est un champ de moment vitesses moment ou un champ antisymétrique.
III-3 Torseur cinématique D’après ce D’après ce qui précède, on précède, on peut associer au champ des vitesse dans le solide un torseur noté v que l ’on ’on appelle torseur cinématique du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R0
61
τ v(Q S)
Ω (S/R 0), V (Q S/R 0)
Exemples v est un torseur
Cas d’un solide au repos repos..
couple.. v est un couple
Cas d’un d’un solide translation pure. pure.
en
v est un glisseur .
Cas d’un d’un solide rotation pure. pure.
en
nul.. nul
62
L’axe central L’axe central du torseur cinématique est appelé axe instantané instantané de de rotation du solide (S) par rapport au repère R0. III-4 Contact ponctuel entre deux solide en mouvement et vitesse de glissement. Considérons Considérons deux solides (S (S1) et (S (S2) en mouvement
par
rapport
à
un
repère
galiléen R0 et qui soient constamment en contact en contact en un point géométrique Ig.
63
On définit au point Ig le vecteur vitesse de glissement du solide (S1) par rapport au solide (S2) par:
Vg (S1 / S 2 )
V ( P1 / R 0 )
V ( P2 / R 0 )
- Vg (S 2 / S1 ) P1 et P2 sont des points matériels respectivement des solides (S1) et (S2) qui, à l’instant t, se trouvent en contact au point Ig .
64
Si
le
mouvement
se
fait
sans
glissement, alors on a:
Vg (S1 / S 2 )
O
V ( P1 / R 0 )
V ( P2 / R 0 )
On définit de la même façon, au point Ig, le vecteur vitesse de rotation instantanée du solide (S1) par rapport au solide (S2) par:
65
Ω
(S1/S 2)
Ω
(S1/R 0)
Ω
(S 2/R 0)
- Ω (S 2/S1) Désignons par ( ) le plan tangent , aux solides (S1) et (S2) au point Ig à l ’instant t, alors on peut écrire:
Ω
(S1/S 2)
Ω
t (S1/S 2)
Ω
n (S1/S 2)
66
Ω
Ω
t (S1 /S 2 )
est le vecteur vitesse instantanée de rotation de roulement .
n (S 1 /S 2 )
est le vecteur vitesse instantanée de rotation de pivotement .
t (S2 /S1) appartient au plan tangent ( ), n (S2 /S1) est perpendiculaire au plan
tangent ( )
67
Chapitre IV IV-1
Théorèmes généraux
Quantité de mouvement et théorème du centre d inertie
IV-1-1
Quantité de mouvement
La quantité de mouvement élémentaire dans un solide est donnée par:
d p ( M / R 0 )
dm V ( M / R 0 )
68
d p ( M / R 0 )
dm V ( G / R 0 )
( S / R 0 )
GM
La quantité de mouvement globale est donc:
p (S / R 0 )
d p ( M / R 0 ) D
m V (G / R 0 )
69
IV-1-2
Théorème du centre d’inertie
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse élémentaire dm: d d p ( M / R 0 ) dm
dt
( M / R 0 )
R 0 d F (M )
70
Par intégration sur le domaine occupé par le solide on obtient:
d p (S / R 0 )
d F (M )
dt d m
F ext
D
R
(G / R 0 0) d F (M )
dt
F ext
D R 0
C’est le théorème du centre d’inertie où théorème de la résultante dynamique:
71
IV-2
Moment cinétique et théorème du moment cinétique
IV-2 -1
Moment cinétique
Le moment cinétique élémentaire, calculé en un point arbitraire A, de la masse dm s’écrit:
d σ A (M / R 0 ) AM dm V(M / R 0 ) Le moment cinétique global, en ce même point, est :
72
σ A (S / R 0 )
d σ A ( M / R 0 ) D
σ A (S / R 0 )
dm AG V (G / R 0 ) D
dm GM V (G / R 0 ) D
dm AG
Ω(S / R 0 )
GM
dm GM
Ω(S / R 0 )
GM
D
D
73
σ A (S / R 0 )
AG m V (G / R 0 ) dm GM
Ω(S / R 0 )
GM
D σ A (S / R 0 )
AG m V (G / R 0 ) JG
Ω (S / R 0 )
où JG est l’opérateur d’inertie du solide dans un repère d’origine G
74
Interprétation de l’expression intégrale: Considérons global
du
le
moment
solide
dans
cinétique le
repère
barycentrique Rb . Soit :
σ G (S / R b )
GM dm V ( M / R b ) D
75
V ( M / R b )
d GM dt
d GM dt R b
Ω( R S
V ( M / R b )
Car :
Ω( R b
/ R b )
Ω (S / R 0 )
/ R 0 )
O
R S
GM GM
76
σ G (S / R b )
GM
Ω(S / R 0 )
GM dm
D
σ G (S / R b )
σ A (S / R 0 )
JG
σ G (S / R b )
Ω (S / R 0 )
p (S / R 0 ) GA
Cette égalité porte le nom du théorème de Koenig pour le moment cinétique.
77
Remarque: σ A (S / R 0 )
σ B (S / R b )
p (S / R 0 )
BA
( A , B) Le champ des moments cinétiques est donc un champ de moments. On peut donc lui associer le torseur défini par: c ( A)
p (S / R 0 ) ; σ A (S / R 0 )
Torseur cinétique
78
IV-2 -2
Théorème du moment cinétique
d σ A (S / R 0 )
d AM
dt
dt
R 0
D
V (M / R 0 )dm R 0
AM
(M / R 0 )dm
D
p (S / R 0 ) V ( A / R 0 ) Mext( A)
On définit le moment dynamique au point A par:
79
Md ( A)
d σ A (S / R 0 )
p (S / R 0 )
dt
V( A / R 0 )
R 0
Md (A)
M e xt( A )
C’est le théorème théorème du moment cinétique ou du moment du moment dynamique. dynamique.
80
Remarques:
Si A est un point fixe dans R0, alors on aura:
M d ( A fixe)
d σ A (S / R 0 ) dt R 0
Si A est identique au point G, alors on aura:
Md ( A
G)
d σ G (S / R 0 ) dt R
81
IV-3 IV-3
Principe fondamental de la dynamique
Ce principe regroupe les deux théorèmes précédents précédents.. Dans un repère galiléen Rg ; le torseur dynamique est égal égal au torseur des forces extérieures extérieures..
d (A)
e x t( A )
82
où le torseur dynamique est défini par:
d ( A)
R d
R d , Md ( A)
d p (S / Rg) dt R g
83
IV-4
Energie cinétique et théorème de l’énergie cinétique
IV-4-1
Energie cinétique
L’énergie cinétique élémentaire d’un point M du solide est:
dEc (M / R 0 )
1 2
2
dm V (M / R 0 )
L’énergie cinétique globale est:
84
Ec (S / R 0 )
dEc (M / R 0 ) D
1
Ec (S / R 0 ) D
Ec (S / R 0 )
2
2
dm V(G / R 0 ) Ω(S / R 0 ) GM
1 2
2
m V (G / R 0 ) 2
1 2
Ω(S / R 0 )
D
GM
dm
85
2
Ω(S / R 0 ) GM
Ω(S / R 0 ) GM
Ω(S / R 0 )
E c (S / R 0 )
1 2
Ω(S / R 0 ) GM
GM ( Ω(S / R 0 ) GM ) 2
m V (G / R 0 )
1 2
Ω (S /
R 0 )
G (S/R b )
86
Interprétation de la deuxième quantité d'énergie:
Ec (S/R b )
2
1 2
dm V ( M / R b ) D 2
1 2
dm
Ω ( R S
/ R 0 )
GM
D
Ec (S / R b )
1 2
Ω(S / R 0 )
G (S/R b )
87
Ec (S / R 0 )
1 2
2
m V (G / R 0 )
Ec (S / R b )
Cette égalité porte le nom du théorème de Koenig pour l’énergie cinétique. IV-4-2
Théorème de l’énergie cinétique
Calculons la dérivée par au temps de l'énergie cinétique Ec(S/R0):
88
d E c (S / R 0 ) dt
V ( M / R 0 )
( M / R 0 ) dm
D
V ( G / R 0 )
(S / R 0 )
GM
D
( M / R 0 )dm V ( G / R 0 )
( M / R 0 )dm D
( S / R 0 )
( M / R 0 )dm
GM
89
dEc (S / R 0 ) dt
V (G / R 0 ) (S / R 0 )
Théorème:
Dans
un
repère
F ext M ext (G ) galiléen,
la
dérivée totale de l énergie cinétique par rapport au temps est égale au comoment du torseur cinématique et du torseur des forces extérieures.
90
dEc (S / R 0 ) dt
c
ext
Application Dans un plan vertical (O,x,z), un pendule pesant de forme rectangulaire, supposé mince et homogène, est assujetti à tourner autour de l’axe Oy. Les frottements au niveau de l’articulation sont négligés (liaison parfaite).
91
X
R0
O
x
Oy OY g
z
Z
Le repère Rg est supposé galiléen.
92
Enérgie cinétique E(S/R0) :
Ec (S / R 0 )
1 m V (G / R 0 ) 2 1 Ω ( S / R 0 ) 2
Ec (G / R 0 )
1 2
2
G (S/R b )
2
mL
2
93
Ec (S / R b ) Ec (S / R b )
I XX
1 2
(Y
2
1 Ω (S / R 0 ) 2 tr
Ω(S / R 0 )
II(S / R G )
Ω(S / R 0 )
R G
R G
a
2
Z )dm
D
2 3 . 2a. L 4aL 3
L
dX X
m
G (S/R b )
m 2 L 3
a
2
Z dZ Z
L
94
I ZZ
(X
2
a
2
Y )dm
D
I YY
(X
2
2
2
X dX X
m 2 3 . a .2L. 4aL 3
L
a
Z
I XX
I ZZ
m 2 a 3
Z )dm
D
m 2 (a 3
I XY
2
L )
I YZ
dZ
I ZX
0
L
95
0 Ec (S / R b )
tr
2
L
1
m
2
3
0
0 (a 0
0 2
0
0
2
L )0 0
a
2
0
R G
R G 2
m 2 2 (a L ) 6 Ec (S / R 0 )
1 2
2
mL
2
m 6
(a
2
2
L )
2
96
m
Ec (S / R 0 )
6
2
(a
2
2
3L )
Torseur cinématique au point matériel O :
v (O
(D))
(S / R 0 ) , O
.J ,O
97
Torseur des forces extérieures au point I : e xt(I)
M e xt(m g ) , F e xt 0G
m g ,m g
R ( O )
La dérivée totale par au temps de l’énergie cinétique E(S/R0) est:
98
dE c (S / R 0 ) dt
m 2 (a 3
2
3L )
Le Comoment, au point O, des torseurs cinématique et des forces extérieures est :
v (O
(D))
e xt(O)
(S / R 0 ) M e xt(O ) mgLsin .
99
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au pendule:
m 3
(a
(a
2
2
2
3L )
mgL sin .
0
2
3L ) 3
gL sin
0
C’est l ’équation d’un pendule simple de longueur L0 donnée par:
L0
(a
2
2
3L ) 3L
100
Remarque:
En appliquant les mêmes
conditions initiales aux pendules pesant et au pendule simple équivalent, ces derniers effectuent des mouvements dits synchrones.
A
Corrigé de la série n°4 (OZ)//(Oz) (Oy)
n
G
Ig
1)
(GX)//(Ox)
(( D) / R 0 )
P (D)
j ; car
diminue
B
Le non glissement en I g se traduit par la relation suivante: V (I
( D) / R 0 )
V (I O
Soit encore: V (G / R 0 )
(( D) / R 0 )
GI
O
avec: GI
rn
r j
(Che min matériel) / R 0 )
C
Le vecteur unitaire tangent au chemin matériel en Ig est défini par: d OIg R 0
(I g )
F
1
i
d OIg R 0
Donc:
n (I g )
F
1
'
f ( x) i
k
'
f ( x ) k
D
Les équations de la liaison (non glissement en Ig ) s’écrivent alors:
xG rF
1
z G rF
1 '
0
f
ndl
3 2 1
0
D’où:
V (G / R 0 )
r F
1
i
'
f ( x) k
E
2) D’après le théorème de Koenig pour
le moment cinétique on a: O (( D) / R 0 )
OG
OG m V (G / R 0 )
G ((D) / R 0 )
I((D) / R G )
((D) / R 0
m V (G / R 0 ) mr
F 1
G (( D) / R b )
xf ' ( x ) f ( x )
r j
F
mr
2
0
4 G ((D) / R b )
mr
0
0 mr
0
mr
0
2
2
0
G (( D) / R b )
0
4
0
2
R G R G
2
2
j
D’où: O (( D) / R 0 )
mr
F
1
'
xf ( x ) f ( x )
r
r 2
j
G
3) D’après le théorème de Koenig pour
l’énergie cinétique on a: Ec ((D) / R 0 )
1
1 2
2
m V (G / R 0 ) Ec ((D) / R b )
tr
E c (( D) / Rb ) (( D) / R0 I (( D) / RG ) (( D) / R0 2 R R
G
Ec ((D) / R 0 )
G
3 4
mr
2
2
H
4)
Cas où: '
f (x)
z
f ( x)
x
1 et F
2
4-1)
Application du théorème du moment cinétique au point Ig (pour éliminer le moment de la force de réaction en ce point): I g ((D) / R 0 )
G ((D) / R 0 )
m V (G / R 0 )
GI
I
I g (( D) / R 0 )
d M d (I g ) 3 2
Avec:
mr 2
Ig
I gG m g
V (G / R 0 )
2
mr 2
m V (G / R 0 )
dt j
3
j
V (I g / R 0 )
R 0
V (I g / R 0 )
O
D’après le théorème du moment cinétique en Ig on a:
J
g 2 3r
4-2)
Application dEc ((D) / R 0 )
V (I
du ( D))
ex t(I )
théorème
de
l’énergie
cinétique au point matériel I(D) (pour éliminer la force de réaction): dt
