Cours de Statistique

1

STATISTIQUE I (STAT-D-101) ECTS: 5 (théorie: 2, exercices: 2, travaux personnels: 1) Catherine Dehon Bâtiment S - 11ème étage - bureau S11.226 Tél.: (02) 6503858 e-mail: [email protected] Université libre de Bruxelles Année 2009-2010

1ère année - Bachelier en sciences économiques

Version 2

2

AVERTISSEMENT

Ce syllabus a été rédigé dans le but de faciliter la prise de notes pendant le cours théorique. La mise a` jour du présent syllabus sera faite via le cours théorique. Il est bien entendu que l’examen portera sur l’ensemble de la matière vue au cours théorique (des éléments pourraient être ajoutés oralement au cours) ainsi que la matière des travaux pratiques.

3

A savoir .... • Buts du cours: 1. Introduction des concepts statistiques afin de réaliser des analyses descriptives sur des variables quantitatives et/ou qualitatives. 2. Introduction des éléments du calcul de probabilités et des lois de probabilité univariée discrète pour préparer les problèmes d’inférence statistique qui seront étudiés en 2ème année. 3. Mise en pratique des connaissances dans des situations de la vie de tous les jours. • M´ ethode d’enseignement et support: Théorie : Cours ex cathedra. Syllabus de théorie contenant la copie des transparents projetés (et commentés) au cours disponible sur le site: http://www.ulb.ac.be/soco/statrope/.

4

• Exercices: Subdivision des étudiants en groupes de T.P. Les énoncés des exercices sont disponibles sur le site ci-avant. Quelques examens résolus des années précédentes sont également téléchargeables sur ce site. En outre, des permanences et des guidances sont organisées. • M´ ethode d’´ evaluation: Une épreuve écrite dispensatoire est organisée durant la session de janvier. L’examen comporte une partie théorique et une partie pratique, sans interruption entre les deux. Aucune note personnelle n’est autorisée. Les étudiants peuvent (re)présenter une épreuve durant la session de mai/juin. Dans ce cas, la note obtenue remplace celle de l’épreuve de janvier.

Chapitre 1 INTRODUCTION A LA STATISTIQUE But: Transformer des données en information La Statistique: ensemble de méthodes et outils mathématiques visant à collecter, décrire et analyser des données afin d’obtenir de l’information permettant de prendre des décisions malgré la présence d’incertitude (erreur, bruit)

5

CHAPITRE 1. INTRODUCTION A LA STATISTIQUE

6

La statistique joue un rôle essentiel dans de nombreuses disciplines: • en économie: taux de croissance, nombre de brevets déposés, prix de l’immobilier,... • en finance: rentabilité d’un investissement,... • en marketing: étude de marché, ... • en gestion des ressources humaines: absentéisme,... • en médecine: mise sur le marché de nouveaux médicaments, ... • en sciences sociales, en sciences politiques, etc

⇓ la statistique est l’outil de confrontation d’une théorie scientifique a` l’observation


1.1 1.1.1

7

EXEMPLES RENTABILITE D’UN INVESTISSEMENT

Pour investir intelligemment vos économies, vous allez voir le conseiller de votre banque qui vous suggère 2 types d’investissement: - investir dans le secteur de l’informatique - investir dans le secteur agro-alimentaire. Votre but est double: - maximiser les profits - minimiser les risques. Pour prendre la décision, vous réalisez une étude statistique.


8

1. Collecte des donn´ ees Sélectionner au hasard un échantillon de 100 entreprises dans le secteur de l’informatique et 100 dans le secteur de l’agro-alimentaire. Calculer le taux de rentabilité de l’investissement pour chaque entreprise (rate of return on investissment): ROI = Bénéfice/Valeur de l’investissement. Exemples: - investir 100 euros en 2004 et avoir 106 euros en 2005 donc bénéfice de 6 euros: ROI = 6/100 = 0.06 = 6% - investir 100 euros en 2004 et avoir 80 euros en 2005 donc perte de 20 euros: ROI = -20/100 = -20%.


9

2. Statistique Descriptive: Tableaux-Graphiques • Variable étudiée: taux de rentabilité. • Variable quantitative continue. • Variable étudiée sur 2 populations: Info et Agro alimentaire. • Effectif: n=100 dans chaque secteur. Informatique ROI(%)

Agro-Ali

ROI(%)

Entreprise 1

10

Entreprise 1

7

Entreprise 2

-5

Entreprise 2

3

···

···

···

···

Entreprise 99

30

Entreprise 99

-2

Entreprise 100

-25

Entreprise 100

10


10

Graphiques: Histogrammes

4 0

2

effectif

6

8

Secteur de l’informatique

-10

-5

0

5

10

5

10

ROI

6 0

2

4

effectif

8

10

12

Secteur de l’agroalimentaire

-10

-5

0 ROI

Comparaison des 2 histogrammes: • centre de la distribution plus a` gauche pour le secteur informatique donc moins rentable • dispersion plus grande en informatique donc plus risqué =⇒ Investir dans l’agro alimentaire.


11

Statistiques descriptives: Param` etres Calculs de quelques statistiques: Paramètres Informatique Agro-Ali Minimum

-6.92

-0.66

Maximum

10.56

7.21

Médiane

1.79

3.53

Moyenne

1.50

3.40

Ecart-type

2.99

1.96

Asymétrie ...


12

3. Inf´ erence statistique (BA2)

• Tester l’égalité des moyennes des taux de rentabilité dans les 2 secteurs • Tester si la moyenne des ROI dans le secteur de l’informatique est significativement plus petite que dans le secteur agro alimentaire (donc moins rentable en moyenne) • Tester si la dispersion dans les 2 secteurs est identique, tester si le secteur de l’informatique est plus risqué • ...


1.1.2

13

PROBLEME D’ABSENTEISME EN ENTREPRISES

(Chadhury, Ng, “Canadian Journal of Economics”, 1992)

L’absentéisme réduit la production de ± 10% ⇓ Deux économistes ont sélectionné 100 firmes et mesuré le nombre moyen de jours d’absence par employé sur une année. Cette variable (X1) est quantitative. Ils ont également mesuré plusieurs variables susceptibles d’influencer le taux d’absentéisme: X2 = salaire moyen (quantitative continue) X3 = % d’employés part-time (idem) X4 = capacité à travailler en équipe (0=non, 1=oui =⇒ variable qualitatitve dichotomique) X5 = qualité des relations avec le manager (0=mauvais, 1=bon =⇒ Idem)


14

1. Statistique Descriptive: Graphiques

Hist. du salaire moyen

Hist. du pourcentage de Part Time

0

5

10

15

0

10000

30000

50000

0

10

20

30

40

Graphique 2 dimensions



0.0

0.2

0.4

0.6

Manager

0.8

1.0

12 2

4

6

8

Absent

10

12 10 8 6 4 2

4

6

8

Absent

10

12

14

Part Time

14

Salaire

14

Absenteisme

2

Absent

0

0

0

5

5

5

effectif

10 effectif

15 10

effectif

10

20

15

15

Histogramme du taux d’absenteisme

15000

25000 Salaire

35000

0

5

10

15 Part.Time

20

25

30


15

2. Statistiques descriptives univari´ ees Absent Salaire Minimum

2.10

12023

Maximum

14.8

Médiane

PT Equipe Manager 0

0

0

42986 30.80

1

1

5.65

22586

1

1

Moyenne

6.23

23587 11.52

0.67

0.64

Ecart-type

3.36

6656.19 8.08

0.47

0.48

Skewness

0.66

0.80

0.58

-

-

Kurtosis

2.44

3.38

2.46

-

-

9.10

Différents types de variables ⇓ Attention aux interprétations !!!!


16

3. R´ egression lin´ eaire multiple (Stat2) Le taux d’absentéisme peut être expliqué en partie par les autres variables (en supposant un lien linéaire). Dependent Variable: ABSENT Variable

Coefficient

t-Statistic

SALAIRE

-0.000211

-5.319899

PART-TIME -0.093396

-2.862929

1.491396

2.671433

MANAGER -2.706436

-4.951130

EQUIPE C R-squared

13.01733

11.43809

0.416499 F-statistic: 16.95260

Le taux d’absentéisme diminue si - le salaire moyen augmente - le pourcentage de part time augmente - non capacité a` travailler en équipe - les relations avec le manager sont bonnes


1.2

17

MOTS CLEFS

• Population: collection complète (dans le sens où elle inclut tous les individus a` étudier) d’individus sur laquelle porte l’étude • Paramètre: mesure numérique décrivant une caractéristique de la population • Echantillon: sous-ensemble d’individus obtenus a` partir de la population (méthodes de sondage) • Une statistique: mesure numérique décrivant une caractéristique de l’échantillon • Donnée: fait numérique ou non porteur d’information


18

• Variable: Caractéristique dont la valeur change d’un individu a` l’autre dans la population • Type de variable: - variable directe: mesurable directement (salaire) - indicateur: non mesurable directement (santé des entreprises belges cotées en bourse: BEL20) - variable qualitative: caractéristiques (modalités) non numériques (profession) - variable dichotomique: variable qualitative ne prenant que 2 modalités (sexe) - variable quantitative dicrète: valeurs numériques discrètes, isolées (nombre d’enfants) - variable quantitative continue: valeurs numériques sur un intervalle continu (salaire)


19

• Le choix d’une échelle de mesure n’est pas unique: - échelle nominale: données non numériques qui ne peuvent pas être ordonnées (type de film) - échelle ordinale: données non numériques possédant un ordre naturel (avis pédagogiques) - échelle d’intervalle: données numériques avec interprétation possible des différences entre individus mais pas de zéro unique (date) - échelle de rapport: échelle d’intervalle avec la notion supplémentaire de zéro naturel (âge) ECHELLE

ECHELLE

NOMINALE

ORDINALE

Dénombrement Dénombrement Comparaison

ECHELLE

ECHELLE

D’INTERVALLE DE RAPPORT Dénombrement

Dénombrement

Comparaison

Comparaison

Différence

Différence Rapports


1.3

20

DEMARCHE SCIENTIFIQUE

Objectif(s) a` atteindre, Question(s) à poser ⇓ Collecte des données:relevé direct, expérimentation, enquête exhaustive (recensement), enquête partielle (sondage) ⇓ Analyse descriptive: univariée (Stat 1) et bivariée (Stat 1) P-variée (Analyse des données) ⇓ Analyse confirmatoire: Inférence statistique Estimation, Tests d’hypothèse (Stat 2) Régression Linéaire et Séries Chrono. (Econométrie) ⇓ Prévisions, Conclusions, Décisions


21

=⇒ Deux grandes aires d’´ etude: • Statistique descriptive: Etape préliminaire qui étudie l’échantillon en produisant des graphiques et des valeurs numériques (statistiques) résumant l’information du jeu de données • Inférence statistique: facilite le processus de décision en utilisant des procédure d’estimation, de problèmes de tests, ...qui permettent de tirer des conclusions sur la populatipon a` partir de l’échantillon Lien entre Statistique et Probabilit´ e: Probabilité Population −→ Echantillon Inférence Statistique Echantillon −→ Population


1.4

22

PLAN DU COURS

• Introduction • Analyse descriptive: série statistique univariée • Probabilité • Analyse descriptive: série statistique bivariée • Analyse d’une série chronologique • Variables aléatoires et lois de probabilités discrètes


1.5

23

REFERENCES

• Anderson D., Sweeney D., Williams T. (2001), Statistiques pour l’économie et la gestion, Bruxelles, De Boeck Université. • Dagnelie P. (1998), Statistique théorique et appliquée. Tome 1: Statistique descriptive et bases de l’inférence statistique, Bruxelles, De Boeck Université. • Dehon, C. , Droesbeke, J-J. et Vermandele C. (2008), Eléments de statistique, Bruxelles, Editions de L’Unviversité de Bruxelles. • http://www.ulb.ac.be/soco/statrope/ (notes de cours)

Chapitre 2 STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE UNIVARIEE • Etape préliminaire à toute étude statistique. • Permet de “prendre contact” avec l’échantillon. • Se divise en 2 aires: - élaboration de tableaux et graphiques - valeurs numériques résumant l’échantillon (statistiques).

24

CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE UNIVARIEE

2.1

25

NOTATIONS

Les données sont souvent collectées dans un tableau Individus × Caract` eres Var-Ind 1

1

2

...

j

...

p

2

x11 x12 . . . x1j . . . x1p x21 x22 . . . x2j . . . x2p

···

··· ··· ··· ··· ··· ···

i ···

xi1 xi2 . . . xij . . . xip ··· ··· ··· ··· ··· ···

n

xn1 xn2 . . . xnj . . . xnp

• n: Taille de l’échantillon • p: nombre de variables ⇓ Matrice de données de dimension n × p =⇒ Série statistique à p-dimension.


26

Remarques • Série univariée si p = 1: {x1, x2, . . . , xn} = {xi; i = 1, . . . , n} • Série bivariée si p = 2: {(x1, y1), . . . , (xn, yn)} = {(xi, yi); i = 1, . . . , n} • Série ordonnée: Définition: La série ordonnée {x(1), x(2), . . . , x(n)} est telle que : x(i) ≤ x(j) si i ≤ j, où ≤ définit la relation d’ordre. (i) est appelé le rang de l’observation x(i). Exemple: Série observée: {xi; i = 1, . . . , 6} = {2, 0, −1, 1, 4, 3} Série ordonnée: {x(i); i = 1, . . . , 6} = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} Ainsi: x(1) = x3, x(3) = x4, x(6) = x5.


2.2

27

TABLEAUX ET GRAPHIQUES

A. Donn´ ees nominales (qualitatives) Exemple 1: Données reprenant tous les achats par carte de crédit aux USA durant les 6 premiers mois de 1998. La variable étudiée est la nature de la carte utilisée (The Nilson Report, Oct. 8, 1998). Sur les 200 milliards achats effectués, on a la répartition suivante: • 36 milliards d’achats avec la carte American express • 2 milliards d’achats avec la carte Diners Club • 12 milliards d’achats avec la carte Discover • 50 milliards d’achats avec la Master card • 100 milliards d’achats avec la carte VISA


28

Résumé de l’information: Tableau des effectifs xj

nj (unité: milliard)

American express

36

Diners Club

2

Discover

12

Master card

50

Visa

100

PJ

j=1 nj =

n=200

• x1, x2, x3, x4, x5 représentent les 5 modalités disctinctes observées • J est le nombre de modalités disctinctes observées (ici J = 5). • nj est l’effectif associé à xj pour j = 1, . . . , 5 • La série univariée est donc résumée par { (xj , nj ); j = 1, . . . , J} = { (AE, 36), (DC, 2), (D, 12), (M C, 50), (V, 100)}


29

Alternative aux effectifs (nj ) : l’utilisation des fréquences: nj (j = 1, . . . , J) fj = n Les fréquences représentent le pourcentage d’obervations égales a` xj . Tableau des fr´ equences xj

nj

fj

American express 36 0.18 Diners Club

2 0.01

Discover

12 0.06

Master card

50 0.25

Visa

100 0.50 200

Remarque:

PJ

j=1 fj = 1.

1


30

Représentations graphiques Bar Chart

80 60 Effectif(nj) 40 20 0

0

20

40

Effectif(nj)

60

80

100

Ordre DØcroissant

100

Ordre AlphabØtique

AE

DC

D

ModalitØ

MC

VISA

VISA

MC

AE

D

DC

ModalitØ

=⇒ Choix arbitraire sur les axes puisqu’il n’existe pas d’ordre naturel entre les modalités.


Diagramme en secteurs (Pie Chart) Concept de proportion

6.0% 1.0% 25.0% 18.0%

50.0%

xj

nj

fj (%)

Degré

American express

36

0.18

64.8

Diners Club

2

0.01

3.6◦

Discover

12

0.06

21.6

Master card

50

0.25

90◦

Visa

100

0.50

180◦

200

1

360◦

31


32

Tableau disjonctif complet • Nombre de lignes = nombre d’individus (achats) • Nombre de colonnes = nombre de modalités (5 cartes de crédit) • Chaque colonne est une variable binaire prenant la valeur 1 si l’individu possède cette modalité et 0 sinon. Individu

1 2

3

4 . . . 200 ∗ 109

Type de cartes V D AE V . . . 0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

X= 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

··· ··· ··· ··· ··· 0

1

0

0

0

DC


33

B. Donn´ ees ordinales (qualitatives) Exemple 1: Avis pédagogique: évaluation d’un cours par les étudiants. • Tableau des effectifs avec n = 100 et J = 5: xj TD D M F TF nj

1

9 40 35 15

Ordre naturel entre les modalités ⇓ Tableau des fr´ equences cumul´ ees où: • Effectif cumulé: Nj = n1 + . . . + nj (nombre d’observations ≤ xj ) Nj • Fréquence cumulée: Fj = n

(pourcentage d’observations ≤ xj )


34

• Tableau des effectifs cumul´ es et des fr´ equences cumul´ ees xj nj

Nj Fj TD 1 0.01 1 0.01 D

fj

9 0.09 10 0.10

M 40 0.40 50 0.50 F

35 0.35 85 0.85

TF 15 0.15 100 100

1

1

• 10% des élèves interrogés ont un avis très défavorable ou défavorable. • 85 élèves sur 100 ont un avis égal ou inférieur a` la notation favorable. • 15% des élèves ont un avis très favorable.


35

Représentations graphiques Diagramme en barres des effectifs et des fréquences (Bar Chart) Diagramme en barres (frØquences)

0.2

Frequence(fj)

0.1

20 0

0.0

10

Effectif(nj)

30

0.3

40

0.4

Diagramme en barres (effectifs)

TD

D

M

F

TF

Avis PØdagogiques

TD

D

M

F

TF

Avis PØdagogiques

Diagramme en blocs

120 TD

D

M

F

100

80

60 TF

40

20

0


36

Exemple 2: Etude sur le niveau de diplôme des 25 managers américians les mieux payés (Forbes, May 17, 1999). Top

Noms

Société

Niveau de diplôme

1.

Michael d. Eisner

Walt Disney

Bachelier

2.

Mel Karmazin

CBS

Bachelier

3.

Stephen M. Case

American Online

Bachelier

4.

Stephen C. Hilbert

Conseco

None

5.

Craig R. Barrett

Intel

Doctorat

6.

Millard Drexler

Gap

Master

7.

John F. Welsch, Jr.

General Electric

Doctorat

...

...

...

...

10.

Reuben Mark

Colgate-Palmolive

Master

...

...

...

...

13.

Margaret C. Whitman

eBay

Master

14.

Louis V. Gerstner,Jr.

IBM

Master

...

...

...

...

17.

M. Douglas Ivester

Coca-Cola

Bachelier

...

...

...

...

20.

William R. Steere, Jr

Pfizer

Bachelor

21.

Nolan D. Archibald

Black-Decker

Master

...

...

...

...

25.

Richard Jay Kogan

Schering-Plough

Master


• Tableau des effectifs: n = 25, J = 4 xj None Bachelier Master Doctorat/Droit nj

1

7

11

6

Diagramme en barres (Bar Chart)

3 2 1 0

Effectif(nj)

4

5

6

25 Best−Paid Executives

None

Bachelor

Master

Doctorate

37


38

• Tableau des fr´ equences cumul´ ees où: Effectif cumulé: Nj = n1 + . . . + nj (nombre d’observations ≤ xj ) Nj Fréquence cumulée: Fj = n

(pourcentage d’observations ≤ xj ) Highest Degree nj fj Nj Fj None 1 0.04 1 0.04 Bachelors

7 0.28 8 0.32

Masters

11 0.44 19 0.76

Doctorale/law 6 0.24 25 25

1

1


39

Remarque: on peut aussi calculer les effectifs et fréquences cumulés a` droite: • Effectif cumulé à droite: Nj∗ = nj + nj+1 + . . . + nJ (nombre d’observation ≥ xj ) ∗ N j • Fréquence cumulée a` droite: Fj∗ = n

(pourcentage d’observations ≥ xj ) Exercice: réaliser le tableau des effectifs et fréquences cumulés à droite. Highest Degree nj fj Nj∗ Fj∗ None 1 0.04 Bachelors

7 0.28

Masters

11 0.44

Doctorale/law 6 0.24 25

1


40

C. Donn´ ees quantitatives Exemple 1 - Variable discrète: Pour étudier la qualité de la recherche a` l’ULB, on utilise comme indicateur le nombre de publications par an. L’échantillon est constitué de 25 jeunes professeurs. • Tableau récapitulatif de la série observée: xj nj fj Nj Fj Nj∗ Fj∗ 0 5 0.20 5 0.20 25 1 1 10 0.40 15 0.60 20 0.80 2 4 0.16 19 0.76 10 0.40 3 3 0.12 22 0.88 6 0.24 4 2 0.08 24 0.96 3 0.12 5 1 0.04 25 25

1

1

Remarque: Nj = Nj−1 + nj

1 0.04


41

Représentations graphiques Diagramme en bˆ atons

6 4 2

Effectif

8

10

Etude sur la qualitØ de la recherche

0

1

2

3

Nombre de publications

4

5


Courbe cumulative: y = N (x)

0

5

10

Nj

15

20

25

N (x) étant le nombre d’observations ≤ x.

0

2

4


6

42


Courbe cumulative a` droite : y = N ∗(x) N ∗(x) étant le nombre d’observations ≥ x.

0

5

10

Nj

15

20

25

Etude sur la qualitØ de la recherche

0

2

4

6


Remarques: • Si x = xj =⇒ N (x) + N ∗(x) = n + nj • Si x 6= xj =⇒ N (x) + N ∗(x) = n De fa¸con générale: N (x) + N ∗(x) ≥ n

43


44

Exemple 2 - Variable continue: Le manager du marketing d’une compagnie téléphonique commande une étude sur le profil des nouveaux abonnés. Pour ce faire il récolte la 1ère note en Euro de téléphone de 120 nouveaux clients. S´ erie Statistique: 83 83 18 65 99 96 7 94 62 98 71 20 97 88 38 55 81 51 68 19 36 41 56 49 33 85 75 97 35 36 32 59 88 28 63 60 99 7 31 13 34 33 15 12 62 41 13 27 74 24 67 98 22 13 32 9 54 84 35 62 14 90 91 59 77 38 31 22 92 39 54 90 47 89 81 79 9 88 30 50 41 16 49 44 45 87 23 5065 20 88 83 7 53 73 64 45 78 60 38 75 83 28 11 27 34 15 94 33 76 86 36 42 52 61 52 78 54 53 58


45

S´ erie Ordonn´ ee: 7 7 7 9 9 11 12 13 13 13 14 15 15 16 18 19 20 20 22 22 23 24 27 27 28 28 30 31 31 32 32 33 33 33 34 34 35 35 36 36 36 38 38 38 39 41 41 41 42 44 45 45 47 49 49 50 50 51 52 52 53 53 54 54 54 55 56 58 59 59 60 60 61 62 62 62 63 64 65 65 67 68 71 73 74 75 75 76 77 78 78 79 81 81 83 83 83 83 84 85 86 87 88 88 88 88 89 90 90 91 92 94 94 96 97 97 98 98 99 99

• Grands nombres de valeurs distinctes • Beaucoup de petits effectifs


Diagramme en bˆ atons

2 0

1

Effectif

3

4

Diagramme en b tons

20

40

60

80

100

note

MAIS ... Grand nombre de valeurs distinctes ⇓ Résumer l’information

46


47

Solution 1: Diagramme en tiges et feuilles (stem and leaf display). 0|77997

0|77799

1|89352334615

1|12333455689

2|0874223087

2|0022347788

3|8635621432581908436

3|0112233344556668889

4|1917194552

4|1112455799

5|516949400322438

5|001223344456899

6|528302725401

6|001222345578

7|1547938568

7|1345567889

8|338158491878336

8|113333456788889

9|9648779801204

9|0012446778899

Remarque: Autre alternative: Dot Plots


48

Solution 2: Regrouper les individus par classes Comment faire les classes ? • Logique: le minimum est inclus dans la 1ère classe, le maximum est inclus dans la dernière classe, même largeur des classes (pas obligatoire mais facilite la lecture des graphes). • Règle empirique de Sturges: choisir le nombre de classes: J ≈ 1 + log2 n

Notations: Classes: 1,. . . ,J. −−|−−−−−−−|−−−−−−−|−− lj−

xcj

lj+

où nj = nombre d’observations dans la classe j et hj = longueur de la classe.


49

S´ erie regroup´ ee par classe Regroupement des 120 observations en 5 classes (j = 1, . . . , 5) de longueur égale hj = 20 ∀j ∈ {1, . . . , 5}. [lj−, lj+[ xcj [0, 20[ 10

16

Nj Fj Nj∗ Fj∗ 0.13 16 0.13 120 1

nj

fj

[20, 40[

30

29

0.24 45 0.37 104 0.87

[40, 60[

50

25

0.21 70 0.58 75 0.63

[60, 80[

70

22

0.19 92 0.77 50 0.42

[80, 100[ 90

28

0.23 120

n=120

1

28 0.23

1

NB Attention aux arrondis !!! NB La règle de Sturges proposait 8 classes


50

15 0

5

10

nj

20

25

Histogramme des effectifs

0

20

40

60

80

100

Note de tØlØphone

nj NB: Parfois, on prends comme ordonnée hj de

telle sorte que la surface de chaque barre est égale à nj


15 10 5 0

nj

20

25

30

Polygone des effectifs

0

20

40

60

Note de tØlØphone

80

100

51


52

Histogramme des effectifs cumulés et Courbe

60 0

20

40

Nj

80

100

120

cumulative: y = N (x)

0

20

40

60

80

100

Note de tØlØphone

Nj : nombre d’observations ≤ lj+ N (x) étant le nombre d’observations ≤ x (hypothèse d’équirépartition)


53

Courbe cumulative a` droite : y = N ∗(x) Exercice: Construisez la courbe cumulative a` droite.

N ∗(x) étant le nombre d’observations ≥ x (hypothèse d’équirépartition)


Remarques (exercices) • Si x 6= xj ∀j: N (x) + N ∗(x) = n • Fonctions N (x) et N ∗(x):  −  0 x < l  1    n1 −) − ≤ x < l+  (x − l l  1 1 1  h1    ... ... N (x) = nj −) l− ≤ x < l+  N + (x − l  j−1 hj j j j      ... ...    n lJ+ ≤ x  −   n x < l  1     ...   ... n N ∗(x) = Nj∗ − hj (x − lj−) lj− ≤ x < lj+ j     ... ...     0 lJ+ ≤ x

54


55

D. Conclusions • Inclure toutes les informations utiles a` la compréhension du graphique • Eviter les informations, mentions, lignes inutiles • Un graphique simple sera préféré a` un graphique sophistiqué • Choisir les unités et les axes de la manière la plus neutre possible (ne pas influencer le lecteur) • Comparer des graphiques ayant des unités communes


56

• Il existe d’autres types de graphiques: Cartographie, Pyramide des aˆges, Graphiques de comparaison, ...


2.3

57

TECHNIQUES DESCRIPTIVES NUMERIQUES

Après les graphiques, il est nécessaire de décrire les différentes caractéristiques des données de manière plus précise. Rappel: • mesure d’une caractéristique de la population (lettre grecque) • mesure d’une caractéristique de l’échantillon (lettre latine). Bien souvent il est impossible d’étudier l’ensemble de la population (N grand ou infini) ⇓ Se limiter a` l’étude d’un échantillon de taille n


58

Exemple: Etude sur le salaire des belges =⇒ N ≈ 4 millions de travailleurs La moyenne population µ est inconnue. Pour la connaitre il faudrait interroger tous les travailleurs belges, mais on n’a pas les moyens financiers ⇓ Sélectionner un échantillon de taille n <<< N . Calcul sur base de l’échantillon de la moyenne échantillon x¯. ⇓ On espère que x¯ est une “bonne ” estimation de la moyenne population µ.


59

Trois types de caract´ eristiques • Tendance centrale (position): moyenne, mode, médiane, quantiles, . . .

-2

0

2

x

0

2

4 y

6


60

• Variabilité, dispersion, risque: écart-type, variance, étendue, . . .

-40

-20

0

20

x

-40

-20

0 y

20


61

• Forme (asymétrie, aplatissement): Skewness, Kurtosis, . . .

1

2

3

x

-2

0 y

2


2.3.1

62

A. MESURES DE POSITION (tendance centrale)

BUT: Déterminer une valeur centrale. 1. Moyenne arithmétique x¯ Soit {x1, . . . , xn} un échantillon de données numériques, alors x¯ =

n X 1

n

xi

i=1

Exemples: • Soit l’échantillon {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3} ⇓ 1 x¯ = (1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3) = 2. 8


63

• Reprenons l’exemple de la société téléphonique récoltant la 1ère note en Euro de téléphone de 120 nouveaux clients. S´ erie Statistique: 83 83 18 65 99 96 7 94 62 98 71 20 97 88 38 55 81 51 68 19 36 41 56 49 33 85 75 97 35 36 32 59 88 28 63 60 99 7 31 13 34 33 15 12 62 41 13 27 74 24 67 98 22 13 32 9 54 84 35 62 14 90 91 59 77 38 31 22 92 39 54 90 47 89 81 79 9 88 30 50 41 16 49 44 45 87 23 5065 20 88 83 7 53 73 64 45 78 60 38 75 83 28 11 27 34 15 94 33 76 86 36 42 52 61 52 78 54 53 58 ⇓ 1 (83+83+18+65+. . .+53+58) = 53.12 x¯ = 120


64

Calcul reprenant la somme de 120 chiffres (long) ⇓ Même base de données mais regroupées en classes: [lj−, lj+[ xcj [0, 20[ 10

16

Nj Fj Nj∗ Fj∗ 0.13 16 0.13 120 1

nj

fj

[20, 40[

30

29

0.24 45 0.37 104 0.87

[40, 60[

50

25

0.21 70 0.58 75 0.63

[60, 80[

70

22

0.19 92 0.77 50 0.42

[80, 100[ 90

28

0.23 120

n=120

x¯ =

J X 1

n

1

28 0.23

1

nj xcj

j=1

10 × 16 + 30 × 29 + . . . + 90 × 28 = 120 = 52.83


65

Propri´ et´ es • Sensible face aux points aberrants. Echantillon {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3}

→ x¯ = 2.

Echantillon {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 300} → x¯ = 39.125. • Valeurs centrées: Echantillon {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3} =⇒ x¯ = 2. Alors l’échantillon des valeurs centrées: {xi − x¯} = {−1, −1, 0, 0, 0, 0, 1, 1} est de moyenne nulle: n X 1 (xi − x¯) = 0 n i=1

(exercice). • Réécriture de la formule de la moyenne: n X xi = n¯ x i=1


66

• Agrégation de 2 échantillons. Echantillon 1: {n1, x¯1}, Echantillon 2:{n2, x¯2} ⇓ la moyenne de l’échantillon global comprenant n = n1 + n2 individus est donné par: n1x¯1 + n2x¯2 x¯ = n Remarque: Posons w1 = nn1 et w2 = nn2 , ainsi la moyenne globale n’est rien d’autre qu’une moyenne pondérée: x¯ = w1x¯1 + w2x¯2 Cas particulier: Ajout d’une observation x˜ a` l’échantillon {n1, x¯1} → n2 = 1 et n = n1 + 1 ⇓ n1x¯1 + x˜ x¯ = n


67

• Moyenne pondérée. - La moyenne est par unité élémentaire. - La moyenne pondérée est par unité de poids. Remarque: Soit C est le nombre d’éléments a` pondérer, alors C X

wi = 1

i=1

Par exemple: - La moyenne des points de vos cours est votre “moyenne par cours”. - Votre grade final est une moyenne pondérée, utilisant comme poids le crédit d’heures (1 crédit pour 12 h de cours théorique, 2 crédits pour 24 h, etc). La moyenne pondérée est donc votre “moyenne par crédit d’heures”


68

Exemple: Rentabilit´ e d’un portefeuille La rentabilité attendue d’un portefeuille est donnée par la moyenne pondérée des rentabilités attendues des investissements de celui-ci, pondéré par le montant investi en $. Le portefeuille est composé de 3 actions: -la 1ére ($1, 000) est supposée rapporter 20% -la 2ème ($1, 800 investis) 15% -la 3ème ($2, 200 investis) 30%. ⇓ Total investi: 1, 000 + 1, 800 + 2, 200 = $5, 000


69

Les poids sont donc: w1 = $1, 000/$5, 000 = 0.20 w2 = $1, 800/$5, 000 = 0.36 w3 = $2, 200/$5, 000 = 0.44 Moyenne pondérée: 3 X

wixi = 0.20 × 20% + 0.36 × 15% + 0.44 × 30%

i=1

= 22.6% La rentabilité attendue du portefeuille est donc de 22.6%. Chacun des investissement est représenté par le montant en $ investi. NB: Si tous les poids sont égaux, on revient à la moyenne arithmétique (exercice).


70

2. Médiane x1/2 • Calcul de la médiane: a) Mettre les observations en ordre croissant: {x(1), . . . , x(n)} b) Prendre l’observation centrale (ou la moyenne des 2 observations centrales si n est pair). ⇓ Si n est impair: x1/2 = x( n+1 ) 2 Si n est pair: x1/2 =

x( n )+x( n +1) 2

2

2

• Exemples: Echantillon: {2, 5, 9, 11, 13} =⇒ x1/2 = 9 Echantilon: {2, 5, 9, 11, 13, 20} =⇒ x1/2 = 9+11 2


71

• Pas influencée par des valeurs extrêmes. • Pour des distributions dissymétriques, la médiane offre une meilleure représentation que la moyenne. Par exemple: les revenus des ménages: - Le revenu moyen pour un pays somme tous les revenus dont certains peuvent être extrèmement élevés - Le revenu médian représente le revenu de la personne au centre (la moitié ayant plus, l’autre moitiè ayant moins). • Echantillon donné avec des classes: − , l+ ) - Déterminer la classe médiane: (lm m

- Valeur de la médiane: n−N m−1 −+h 2 x1/2 = lm m nm


72

3. Quantiles xp o` u p ∈ (0, 1) • Construire la série ordonnée. Soit p ∈ (0, 1) (appelé ordre du quantile), on cherche xp tel que N (xp) ≥ np

N ∗(xp) ≥ n(1 − p)

et p

1-p

-l————-l—————l x(1)

xp

x(n)

• Quantiles particuliers: -Mediane x1/2: quantile 50% -Premier quartile x1/4: quantile 25% -Troisième quartile x3/4: quantile 75% -Déciles: p = 0.10, 0.20, . . . , 0.90


73

• Graphique basé sur les quantiles: Box Plot (boˆıte à moustache)

Exercice (ELST, P114): Résultats de 10 étudiants pour 7 cours. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 04 42 19 33 21 14 18 12 44 23 47 24 75 19 23 46 25 59 27 76 21 35 47 27 67 29 77 23 46 49 31 69 77 78 24 52 51 43 73 79 79 25 67 54 48 75 83 80 27 75 56 51 77 85 81 29 83 57 63 83 86 83 30 92 58 73 85 87 84 93


74


75

4. Mode xM • Définition: Valeur la plus fréquente. • Problèmes: - dépend de la manière dont vous construisez l’histogramme (bin width) - il est possible d’avoir plusieurs modes • Utiliser pour les données qualitatives.


5. Autres valeurs centrales c1 = c2 =

x(1) + x(n) 2

x1/4 + 2x1/2 + x3/4

c3 =

4 x1/4 + x3/4 2

Moyenne tronquée: 1 c4 = n−2

n−1 X

x(i)

i=2

Moyenne géométrique: p c5 = Πixi

···

76


77

6. Cas particulier : Distribution gaussienne • Distribution normale (introduite en 2ème année). Distribution gaussienne

Moyenne, Médiane et Mode -2

-1

0

1

2

x

Caractéristique: distribution symétrique avec un unique mode ↓ La moyenne est égale a` la médiane et au mode


78

• Distribution asymétrique. Distribution asymétrique

Mode

5

Moyenne

Médiane

10

15

x

La moyenne, la médiane et le mode sont différents: • les grandes observations rares influencent beaucoup la moyenne • la valeur la plus fréquente est décentrée.

A priori, il vaut mieux utiliser la médiane (exemple: revenus des ménages).


79

7. Résumé en fonction du type de la variable Quantitative Ordinale Nominale Moyenne

OUI

NON

NON

Médiane

OUI

OUI

NON

Quantiles

OUI

OUI

NON

Mode

OUI

OUI

OUI


2.3.2

80

MESURE DE DISPERSION

Aussi connue sous le nom de variabilité, diversité, risque, . . . Questions: • Sur le marché, les valeurs boursières changent jours après jours =⇒ incertitude ! • Risk of a business venture Les gains sont possibles mais également les pertes. • Aversion au risque: Préférez-vous avoir - 100$ avec certitude - 0 ou 200$ avec probabilité égale Les 2 ont la même moyenne (100$)! Préférez vous réduire l’incertain ou aimez vous le risque?


1. Etendue E = x(n) − x(1) • Facile et rapide à calculer • Très sensible aux points aberrants 2. Ecart interquartile Il contient 50% des observations: EQ = x3/4 − x1/4 3. Ecart interdécile Il contient 80% des observations: ED = x9/10 − x1/10

81


4. Le peigne x1/2 Q x1/4 E x(1)

Dispersion

x3/4

x3/4 − x1/4

x(n)

x(n) − x(1)

Position x3/4+x1/4 2 x(1)+x(n) 2

5. Le Box Plot • Définition de base:

• Définition des valeurs pivots: a1 = x1/4 − 1.5(x3/4 − x1/4) a2 = x3/4 + 1.5(x3/4 − x1/4)

82


83

• Définition des valeurs adjacentes: xg : plus petite observation ≥ a1 xd: plus grande observation ≤ a2 =⇒ Deuxième définition du box plot:

NB: si tous les xi ∈ (a1, a2): xg = x(1) et xd = x(n). • Définition des valeurs extérieures: Observations en dehors de l’intervalle [xg , xd] ⇒ Présomption de valeurs extrêmes (aberrantes). Exercice (ELST, P114-116): Résultats de 10 étudiants pour 7 cours.


84

6. Ecart moyen absolu n

1X em = |xi − x¯| n i=1

Remarque: Changeons le paramètre de position. Alors, em(c) =

n X 1

n

|xi − c|

i=1

est minimum quand c = x1/2. 7. Ecart médian absolu e∗m =

n X 1

n

i=1

|xi − x1/2|


85

8. Variance Version fran¸caise: n

1X 2 s = (xi − x¯)2 n i=1

Version anglaise (on l’utilisera en 2ème année) S2 =

1 n−1

n X

(xi − x¯)2

i=1

• Agrégation: Soient 2 échantillons: n1

n2

x¯1 s21 x¯2 s22 Notons n = n1 + n2, x¯ et s2 la moyenne et la variance de l’échantillon regroupant les 2 échantillons. Exercice: 2 + n s2 n (¯ 2 + n (¯ 2 n s ¯ ¯ x − x ) x − x ) 1 2 1 1 2 2 1 2+ s2 = n1 + n2 n1 + n2 (variance dans les groupes) +(variance entre les groupes)


• Théorème de Konig-Huyghens: 1X (xi − c)2 = s2 + (¯ x − c)2 n

86

c ∈ IR

i

Démonstration X 1 1X (xi − c)2 = (xi − x¯ + x¯ − c)2 n n i i n o 1X = (xi − x¯)2 + 2(xi − x¯)(¯ x − c) + (¯ x − c)2 n i 1X = (xi − x¯)2 + (¯ x − c)2 n i   X 1 (xi − x¯) + 2(¯ x − c)  n i

= s2 + (¯ x − c)2 P 1 Conséquence: n i(xi−c)2 est minimum quand c = x¯ Exercice: Appliquez ce théorème avec c = 0.


87

9. Ecart-type s=

p

s2

• Interprétations: - 2 échantillons: l’échantillon avec l’écart-type le plus grand est le plus dispersé des deux - 1 échantillon: Règle de Chebyshev: au moins (1 − k12 ) des observations se trouvent dans l’intervalle (¯ x ± ks) Pour k = 2: au moins 75% des observations ∈ a` l’intervalle (¯ x ± 2s) Pour k = 3: au moins 89% des observations ∈ a` l’intervalle (¯ x ± 3s)


88

Pour les distributions en “forme de cloche ” et relativement symétrique, on a des intervalles remarquables plus précis: Distribution gaussienne

Moyenne, Médiane et Mode -2

-1

0

1

2

x

2 3

des observations ∈ a` l’intervalle (¯ x ± s)

95% des observations ∈ a` l’intervalle (¯ x ± 2s) 99% des observations ∈ a` l’intervalle (¯ x ± 3s)

=⇒ Pour faciliter les interprétations: construction des valeurs centrées réduites (z-score): x − x¯ z= s


89

9. Coefficient de variation s CV = x¯ • Mesure relative de variabilité. Nombre sans unité (pure number). • Answers: “Typically, in percentage terms, how far are data values from average?” • Utile pour comparer des situations pour lesquelles les unités diffèrents


2.3.3

MESURES DE FORMES

GRAPHIQUES

1. Box Plot

90


2. Graphique des quantiles

91

CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE UNIVARIEE ASYMETRIE - SKEWNESS

• Moment centré d’ordre 3 n 1X m3 = (xi − x¯)3 n i=1

m3 > 0: asymétrie a` gauche m3 < 0: asymétrie a` droite m3 = 0: symétrie

3 • Coefficient de Fisher: g1 = m s3

• Coefficient empirique de Yule et Kendall: x1/4 − 2x1/2 + x3/4 Yk = x3/4 − x1/4 • Coefficient empirique de Pearson: x¯ − xM Sk = s

92

CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE UNIVARIEE APLATISSEMENT - KURTOSIS

• Coefficient de Pearson m4 b2 = 4 s où m4 est le moment centré d’ordre 4 n X 1 m4 = (xi − x¯)4 n i=1

• Coefficient de Fisher: g2 = b2 − 3 b2=3, g2=0 b2>3, g2>0 b2<3, g2<0

-2

-1

0

1

2

93


2.3.4

94

INDICE DE CONCENTRATION DE GINI ET COURBE DE LORENTZ

Exemple: Mesurer le degré d’inégalité dans la distribution des revenus des familles belges. Formalisation: Soit une distribution, d’une variable continue positive, regroupée en J classes. Notons xjc le centre de la classe j et nj l’effectif de la classe j pour (j = 1, . . . , J). Courbe de concentration de Lorentz: Pj nk xck k=1 pj = Fj et qj = PJ k=1 nk xck


95

Indice de concentration de Gini: γ = 2A où A est l’aire comprise entre la courbe de Lorentz et la 1ère bissectrice. Propri´ et´ es •0≤γ≤1 • γ ≈ 0: équirépartion • γ ≈ 1: concentration. Exemple: Site de la CIA reprenant “Distribution of family income - Gini index“ http://www.odci.gov/cia/publications/factbook/fields/2172.html

Belgium 28, 7% Paraguay 57, 7% Sweden

25%


2.4

96

TRANSFORMATION DE VARIABLES ET INDICES

BUTS: • Facilité l’encodage, la lecture des données

• “Linéariser” une relation entre 2 variables

• Se rapprocher d’une distribution symétrique

• Remédier a` d’éventuelles inégalités de variances lorsque l’on étudie plusieurs échantillons

• ...


2.4.1

97

TRANSFORMATION LINEAIRE

But: Changer l’origine et l’unité pour facilité la lecture des données sans changer le forme (asymétrie, aplatissement,. . .). D´ efinition: Soit xi, 1, . . . , n un échantillon de taille n. Appelons zi, 1, . . . , n la série translatée de la constante c et réduite par la constante d: xi − c zi = i = 1, . . . , n d Influence sur les mesures de position: Toutes ces mesures vont subir la même transformation que les données. Par exemple: x¯ − c z¯ = d Exercices: Preuve pour z¯, z1/2, zM , . . ..


98

Influence sur les mesures de dispersion: • Changement d’origine (translation) - pas d’influence sur E, EQ, ED , s2, s - influence sur CV = xs¯ • Changement d’unité - influence sur E, EQ, ED , s2, s - pas d’influence sur CV = xs¯ Exemple: n n X X 1 xi − c x¯ − c 2 1 2 2 (zi − z¯) = ( − ) sz = n n d d i=1 n X

1 = n i=1 1 2 = 2 sx d

i=1

n X xi x¯ 2 1 ( − ) = 2 (xi − x¯)2 d d d n i=1

Influence sur les mesures de formes: Pas d’influence sur g1, SK , YK , b2, g2, . . ..


99

Exemple Soit un échantillon reprenant le salaire brut de 10 travailleurs en FB. La variable z aura comme unité l’Euro et comme moyenne 0. i

xi

zi

1

98000FB

114,03

2

96000FB

3

104000FB

4

66000FB

5

120000FB

6

75000FB

7

88000FB

8

84000FB

9

93000FB

10 110000FB 411,50

70000

80000

90000

100000

110000

x

-500

0 z

500


2.4.2

100

TRANSFORMATION LOGARITHMIQUE

Objectifs: Simplifier l’analyse en rendant les phénomènes plus symétriques, plus linéaires, de variabilité plus constante,. . .

0.8

1.5

0.4

2.0

0.6

2.5

y

log(y)

3.0

1.0

3.5

1.2

Exemple: Relation entre deux variables

0.0

0.5

1.0

1.5 x

2.0

2.5

3.0

-3

-2

-1

0

1

log(x)

NB: Les relations du type: y = axb deviennent après transformation logarithmique (log − log): log y = log a + b log x


101

Exemple: Comparaison de plusieurs échantillons. Comparons le nombres d’iules (mille-pattes) soumises a` 4 substances nocives (“Statistique Théorique et Aplliquée, Tome 2”, Pierre Dagnelie, page 97).


2.4.3

102

TRANSFORMATIONS DE BOX-COX

D´ efinition: Soit xi, 1, . . . , n un échantillon de taille n. Appelons zi, 1, . . . , n la série transformée par une relation de Box-Cox de paramètre λ: zi =

  (xλi−1) λ

si λ 6= 0

 log x si λ = 0 e i Ces transformations ont les mêmes objectifs que la transformation logarithmique. Remarque • La transformation logarithmique est un cas particulier (λ = 0) √

• Si λ = 1/2 alors zi = xi − 1 • Ce groupe de transformation englobe aussi les transformations racine carrée inverse √1x , inverse x1 , . . .


2.4.4

103

TRANSFORMATION ´´DIFFERENCE”

But: Utilisé en série chronologique pour éliminer un trend (tendance) constant. D´ efinition: Soit xt(1, . . . , T ) une série chronologique. La série différencie est donnée par: ∇xt = xt − xt−1 Exemple ELST, p. 29: Population en millions Années 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 xt

1.1

1.3

2.2

4.0

6.6

8.3

9.3

9.6

∇xt

-

0.2

0.9

1.8

2.6

1.7

1.0

0.3


2.4.5

104

LES INDICES

But: Mesurer l’évolution d’une variable (ou de plusieurs variables) dans le temps. INDICE ELEMENTAIRE D´ efinition. Soit 0 l’époque de base (référence). L’indice de la variable x pour le temps t est: xt it/0(x) = . x0 L’indice mesure le pourcentage d’augmentation ou diminution de la variable par rapport a` l’époque de référence. Remarque: La variable étudiée peut être le prix (p), la quantité (q) ou la valeur (v=pq) d’un bien.


105

Exemple: Etudions l’évolution du prix d’un bien de consommation de janvier 1989 à janvier 1996. Année de base: 1989 (ELST, p. 69). Années 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 xt

25

25

27

28

32

33

34

35

it/0(x) 1.00 1.00 1.08 1.12 1.28 1.32 1.36 1.40

Commentaires: 8% d’augmentation en 1991 par rapport à 1989. Forte augmentation entre 1992 et 1993, . . ..


106

INDICE SYNTHETIQUE SIMPLE But: Etude de l’évolution dans le temps d’un panier de consommation. Soit x = (x(1), x(2), . . . , x(n)) le vecteur donnant le prix (ou quantité, . . .) des n produits du panier de consommation. • Indice de Bradstreet: P

(j)

j xt Bt/0(x) = P (j) x j 0 • Indice Moyenne arithmétique: (j) X xt 1 At/0(x) = (j) n j x0 • Autres indices: moyenne harmonqiue, moyenne

géométrique, . . .


107

INDICE SYNTHETIQUE PONDERE But: Etude de l’évolution dans le temps d’un panier de consommation en mettant des poids associés à chacun des produits. Soit x = (x(1), x(2), . . . , x(n)) le vecteur donnant le prix (ou quantité, . . .) des n produits du panier de consommation. • Indice de Laspeyres: (j) (j) j w 0 xt Lt/0(x) = P (j) (j) j w 0 x0

P

(j)

où w0 peut donner représenter le prix ou la quantité du produit j au temps de référence.


108

• Indice de Paasche: P

(j) (j)

j wt xt Pt/0(x) = P (j) (j) w j t x0

(j) où wt peut donner représenter le prix ou la

quantité du produit j au temps t. • Indice de Sidgwick: Lt/0(x) + Pt/0(x) St/0(x) = 2 • Indice de Fisher: q Ft/0(x) = Lt/0(x) × Pt/0(x) • Indice de Edgeworth: P (j) (j) (j) (w + w j 0 t )xt Et/0(x) = P (j) (j) (j) (w + w j 0 t )x0

Chapitre 3 INTRODUCTION A LA THEORIE PROBABILISTE “Le hasard est le pseudonyme de Dieu quand il ne voulait pas signer” Anatole France “Un coup de dés jamais n’abolira le hasard” Mallarmé “Rien ne dépasse la beauté du mystère” Einstein

109

CHAPITRE 3. INTRODUCTION A LA THEORIE PROBABILISTE

110

1. Quelles sont les chances que les ventes dans les friteries baissent si le prix des pommes de terre augmente? 2. Quelle est la probabilité que Justine devienne numéro 1 a` l’ATP? 3. Quelles sont les chances qu’un nouvel investissement soit rentable? 4. Quelle est la probabilité de réussir l’examen de statistique en 1ère session? 5. Quelle est la probabilité de gagner au Lotto? 6. . . . La probabilit´ e peut: • exprimer une propri´ et´ e intrins` eque d’une exp´ erience • mesurer la vraisemblance d’un ´ ev´ enement.


3.1

111

UN PEU D’HISTOIRE

“ . . . un problème relatif aux jeux de hasard, proposé par un austère janséniste par un homme du monde, a été a` l’origine du Calcul des probabilités . . .” Il s’agit du problème des partis, proposé par le Chevalier de Méré a` Blaise Pascal et résolu par celui-ci, ainsi que par Pierre de Fermat en 1654: “2 joueurs, rompant de gré a` gré le jeu avant la fin, cherchent à opérer entre eux la juste répartition de l’enjeu suivant la probabilité qu’avait chacun d’eux de gagner.”


3.2

112

LOGIQUE ET INTUITION . . .

Exemple 1: Th´ eorie des sept gar¸ cons Quelle est la probabilité d’avoir 7 gar¸cons? 7 1 1 = P (7G) = 2 128 Peu, mais pourquoi n’y a-t-il pas plus de familles de 7 gar¸cons?? Réponse: parce que ceci est la probabilité d’avoir 7 gar¸cons si on a 7 enfants, or il y a peu de familles de 7 enfants.


113

Exemple 2: Articles de presse. “ Il y a eu plus de tués dans des accidents d’avion en 1993 qu’en 1920 ” Peut-on en déduire que les avions sont devenus plus dangereux? “ Pendant la 1ère guerre mondiale, le nombre de blessés à la tête était nettement plus grand parmi ceux qui portaient un casque ” Peut-on en déduire que le port du casque est dangereux ? “ En 2002, il y a eut 20.343 chômeurs ayant un diplôme universitaire et 8.657 chômeurs de l’enseignement non universitaire type long ” (voir ECOPOL)


114

Exemple 3: 1er Probl` eme du chevalier de M´ er´ e. ”Supposez qu’on joue plusieurs fois avec un dé, combien faudra-t-il de lancés au minimum pour que l’on puisse parier avec avantage, après avoir joué ces coups, d’avoir au moins un 6 ? ” Réponse: 4 lancés en effet, (voir exercice) P (avoir au moins un 6) = 671/1296 > 0.5 Scéma du développement: P (avoir au moins un 6) = 1−P (ne jamais avoir de 6) et nous savons que: P (ne pas avoir de 6 sur un lancé) = 5/6 P (ne pas avoir de 6 sur n lancé) = (5/6)n


115

Exemple 4: Paradoxe du jour d’anniversaire. Si vous rencontrez quelqu’un par hasard au bistrot du coin, il y a environ 1 chance sur 365 que vous soyez né le même jour. Maintenant supposez que vous êtes 10 dans une même pièce, quelle est la probabilité que deux personnes aient la même date d’anniversaire ????? (réponse: 11,69% de chance) Et avec 23 personnes dans la pièce? (réponse: 50,7% de chance)


116

Exemple 5: T´ emoignage Etre un bon jur´ e. Accident avec délit de fuite MAIS il y a un témoin oculaire. Faits: • le témoin affirme avoir vu un taxi jaune • il y a 2 types de taxi: jaune et orange • difficulté: le soir tombait et un test pratiqué dans des conditions similaires a montré que le témoin ne pouvait distinguer correctement la couleur que dans 80% des cas Conclusion a priori: L’hypothèse la plus probable est celle du taxi jaune.


117

Information manquante: Proportion de taxis jaunes et de taxis oranges? Réponse: 85% d’oranges et 15% de jaunes. Conclusion correcte: (Théorème de Bayes) La probabilité que le taxi soit jaune sachant que le témoin affirme qu’il était jaune est de 41.38%. ⇓ Donc il y a plus de chance que le taxi soit orange.


118

Exemple 6: Le jeu de la Cadillac Jeu t´ el´ evis´ e: 3 portes et derrière l’une d’elle il y a une cadillac. Etape1: Le candidat choisit au hasard une porte: 1 chance sur 3 de gagner la cadillac. Etape2: Le présentateur ouvre une des 2 portes restantes mais bien évidemment pas la porte à la cadillac. Question: Le candidat a-t-il intérêt de changer de porte ou de garder son choix initial ? Réponse: Choix initial: 1 chance sur 3 de gagner S’il change de porte: 2 chance sur 3 de gagner!!


3.3

119

PROBABILITE, EXPERIENCE ALEATOIRE, EVENEMENT

3.3.1

DEFINITIONS

• Probabilité: sera définie par une approche classique, fréquentiste et axiomatique. • Expérience aléatoire: action ou processus qui engendre des observations et dont on ne peut prédire avec certitude le résultat. • Ensemble (espace) fondamental Ω: ensemble de tous les résultats possibles. • Evénement: sous-ensemble ou partie de Ω. • Famille F des évènements: ensemble de tous les évènements associés a` une expérience aléatoire.


3.3.2

120

EXEMPLES

Lancement d’un d´ e L’ensemble fondamental Ω: 1 2 3 4 5 6 Exemples d’évènements et Diagramme de Venn: • Avoir le nombre “1” : A={1} • Avoir un nombre divisible par 3: B={3,6} • Avoir un nombre pair: C={2,4,6} • Avoir un nombre impair: D={1,3,5} • Avoir un nombre plus petit que 7: E={1,2,3,4,5,6}.


3.3.3

121

CAS PARTICULIERS D’EVENEMENTS

• Evèvement élementaire: ne contient qu’un seul élément de Ω: Exemple: Avoir le nombre “1”: A = {1}

• Evènement impossible: ne contient aucun évènement: Exemple: Avoir un nombre plus grand que 6: F = {} = ∅

• Evènement certain: contient tous les éléments de Ω: Exemple: Avoir un nombre plus petit que 7: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω


3.3.4

122

OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS

Soient E1, E2, . . . des événements de F. • Implication (= inclusion): E1 ⊂ E2 signifie:

E1 se réalise ⇒ E2 se réalise. • Conjonction (= intersection = produit logique) E1 ∩ E2: E1 et E2 se réalisent tous les deux

Evénements mutuellement exclusifs (incompatibles): E1 ∩ E2 = ∅


123

• Réunion (= somme logique) E1 ∪ E2: E1 ou E2 se réalisent (au moins un des deux)

• Différence E1\E2: E1 se réalise sans que E2 se réalise


124

• Complémentaire: Soit E un événement, le complémentaire de E est noté E: E = Ω\E

Remarques 1. E ∩ E = ∅ ⇒ E et E sont mutuellement exclusifs 2. E ∪ E = Ω 3. E et E constituent une partition de Ω.


• Partition de E {E1, E2, . . . , Em} tel que: 1. E1, E2, . . . , Em ⊂ E 2. Ei ∩ Ej = ∅ (i 6= j) 3. E = E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Em

• Système complet d’événements: Partition de Ω

125


126

• Fonction d’ensemble: Fonction qui associe a` chaque événement de Ω un nombre réel. Exemples: Soit E ∈ F 1. n(E) = nombre d’éléments de E n(E)

2. f (E) = n(Ω) Propriétés:

1. f (E) ≥ 0, pour tout E ⊂ Ω 2. f (Ω) = 1 3. Si E1, E2, . . . sont mutuellement exclusifs (Ei ⊂ Ω): f (E1 ∪ E2 ∪ . . .) = f (E1) + f (E2) + . . .


3.3.5

127

FAMILLE F D’EVENEMENTS

Rappel: F est l’ensemble de tous les évènements associés à une expérience aléatoire. • Si Ω est fini alors a` tout sous-ensemble correspond un évènement =⇒ la famille F des évènements est confondue avec l’ensemble des parties de Ω. • Si Ω est infini ⇓ on se restreint à une classe F de parties, strictement contenue dans l’ensemble des parties de Ω, qui contient les évènements élémentaires, les évènements impossibles et certain, ainsi que tous ceux qui sont obtenus par les opérations ci-avant.


3.3.6

128

TROIS DEFINITIONS DE LA PROBABILITE

• D´ efinition classique Expérience: - N résultats possibles “équivalents” (symétrie des résultats) - NS résultats donnent le succès S. =⇒ Probabilité de succès: NS . P (S) = N

Exemple: Lancement d’un dé équilibré. Succès si nombre pair. Probabilité de succès: 3 P (pair) = = 0.5 6 Remarque: Cette définition n’est valable que si tout les évènements élémentaires sont équiprobables (contre exemple: avion).


129

• D´ efinition fr´ equentiste (approche exp´ erimentale) Expérience répétée n fois de manière indépendante et identique (ex: lancé d’un dé). On s’intérèsse à l’évènement E (ex: avoir 3). Notons n(E) le nombre de réalisations de E ⇓ n(E) Fréquence: fn(E) = n .

On définit alors la fréquence théorique (probabilité) par: P (E) = lim fn(E). n→∞


130

• D´ efinition axiomatique Cas o` u Ω est fini P (.) est une fonction d’ensemble a` valeurs réelles, définie sur F = P(Ω), satisfaisant aux axiomes suivants: A.1: P (E) ≥ 0, pour tout E ∈ F A.2: P (Ω) = 1 A.3: Si E1, E2, E3, . . . sont mutuellement exclusifs (Ei ∩ Ej = ∅, ∀i = 6 j): P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ . . .) = P (E1) + P (E2) + P (E3) + . . .

N.B. Les définitions classique et fréquentiste satisfont a` ces axiomes


131

Cas o` u Ω est infini Ici, l’ensemble des événements ne sera plus P(Ω) mais une famille F de sous-ensembles possédant les propriétés suivantes: 1. Ω ∈ F 2. si E ∈ F, alors E ∈ F 3. Pour tout ensemble fini ou dénombrable d’événements E1, E2, E3, . . . de F, (∪Ei) ∈ F Une telle famille est appelée une σ-algèbre (ou corps de Borel ou encore tribu). Remarques: 1. Les propriétés ci-dessus impliquent que ∅ ∈ F et ∩Ei ∈ F 2. (Ω, F) est appelé un espace probabiliste 3. (Ω, F, P ) est appelé un espace probabilisé


3.3.7

132

QUELQUES PROPRIETES SIMPLES

• Propriété 1 Si un événement E est partitionné en deux événements E1 et E2: P (E) = P (E1) + P (E2).

• Propriété 2 Extension a` plus de 2 événements. • Propriété 3 Si E1 ⊂ E2: P (E1) ≤ P (E2).


• Propriété 4 Pour tout événement E, P (E) ≤ 1. • Propriété 5 Si E est le complémentaire de E: P (E) = 1 − P (E) .

• Propriété 6 Le complémentaire de Ω est ∅ ⇒ P (∅) = 0.

133


3.3.8

134

LOI D’ADDITION

Cas de deux ´ ev´ enements Soient A et B ∈ F: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Démonstration: A ∪ B = (A\B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B\A)

P (A ∪ B) = P (A\B) + P (A ∩ B) + P (B\A) ⇒ P (A ∪ B) = P (A) − P (A ∩ B) +P (A ∩ B) + P (B) −P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).


135

Exemple: B = {3, 6}, C = {2, 4, 6}

P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) 2 3 1 4 = + − = 6 6 6 6 Si A et B sont mutuellement exclusifs: A∩B =∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (Axiome 3) Exercice théorique: Cas de 3 évènements ou plus


3.3.9

136

REGLE DE MULTIPLICATION

• Probabilit´ e conditionnelle Présentation ` a partir de l’exemple 4.1 (ELST, p.149)

1. Prenons C (=nbre pair) comme condition, donc on suppose que C se réalise: 1 1/6 P (B ∩ C) ⇒ P (B|C) = = = 3 3/6 P (C)


2. Prenons B = {3, 6} comme condition: 1 1/6 P (B ∩ C) P (C|B) = = = 2 2/6 P (B)

Définition des probabilités conditionnelles Soient A et B deux événements de F (P (A) 6= 0; P (B) 6= 0): P (A ∩ B) P (A|B) = P (B) P (A ∩ B) P (B|A) = P (A)

137


138

• R` egle de multiplication Cas de deux événements Soient A et B deux événements de probabilité non nulle: P (A ∩ B) = P (A).P (B|A) P (A ∩ B) = P (B).P (A|B)

Exemple: Choix de 2 cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes Evénements: R1=choix d’un roi pour la première carte R2=choix d’un roi pour la seconde carte P (R1 ∩ R2) = P (R1).P (R2|R1) 1 4 3 = . = 52 51 221


139

Cas de trois événements • Soient A, B, C ∈ F: P (A∩B ∩C) = P (A).P (B|A).P (C|A∩B) • Ordre de prise en compte de A, B et C

• Exemple: Choix de trois cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes: P (R1 ∩ R2 ∩ R3) = P (R1).P (R2|R1).P (R3|R1 ∩ R2) 4 3 2 1 = . . = 52 51 50 5525 Extension ` a plus de trois événements


3.3.10

140

INDEPENDANCE STOCHASTIQUE

Cas de 2 ´ ev´ enements 1. Définition Deux événements A et B de probabilité non nulle sont (stochastiquement) indépendants si et seulement si: P (A ∩ B) = P (A).P (B) 2. Si deux événements sont indépendants alors: P (A|B) = P (A) et P (B|A) = P (B) 3. Exemple 4.6 (ELST, p.166) F1: première pièce =face F2: deuxième pièce =face 11 1 = P (F1 ∩ F2) = P (F1).P (F2) = 22 4


141

Cas de trois ´ ev´ enements 1. Définition A, B et C sont indépendants ssi: P (A ∩ B) = P (A).P (B) P (A ∩ C) = P (A).P (C) P (B ∩ C) = P (B).P (C) P (A ∩ B ∩ C) = P (A).P (B).P (C) ⇒ Règle de multiplication dans le cas d’événements indépendants 2. Exemple Lancement de 3 pièces de monnaie: P (F1 ∩ F2 ∩ F3) = P (F1).P (F2).P (F3) 111 1 = . . = 222 8 Cas de plus de trois ´ ev´ enements Exercice théorique


3.3.11

142

THEOREME DES PROBABILITES TOTALES ET DE BAYES

• D´ efinition d’un syst` eme complet d’´ ev´ enements ou syst` eme exhaustif Soit la partition {E1, . . . , Em} de Ω telle que P (Ei) ≥ 0

(i = 1 . . . , m).

• Th´ eor` eme des probabilit´ es totales Soit {E1, . . . , Em} un système exhaustif défini sur Ω et un événement quelconque de A ∈ F: m X P (A) = P (Ei)P (A|Ei). i=1


143

• Th´ eor` eme de Bayes Soit {E1, . . . , Em} un système exhaustif défini sur Ω et un événement quelconque de A ∈ F, de probabilité non nulle. Supposons connaˆıtre les probabilités a priori P (Ei) et les probabilités conditionnelles P (A|Ei) (pour i = 1, . . . , m). On peut alors calculer les probabilités a posteriori par la relation: P (Ei)P (A|Ei) . P (Ei|A) = Pm j=1 P (Ej )P (A|Ej )


3.3.12

144

QUELQUES APPLICATIONS DES PROPRIETES FONDAMENTALES

• La formule du binˆ ome Schéma de Bernoulli Dans une expérience aléatoire ξ, nous nous intérèssons a` l’avènement ou non de l’événement E: ¯ = q = 1 − p. P (E) = p et P (E) L’expérience ξ est répétée n fois de fa¸con indépendante et sous des conditions identiques (p constant). ⇓ P (E se réalise n fois) = pp . . . p = pn P (E ne se réalise jamais) = qq . . . q = q n P (E se réalise au moins 1 fois) = 1 − q n P (E se réalise r fois dans ordre précis) = pr q n−r


145

Par la formule du binˆ ome, on peut aussi calculer des probabilités plus difficiles: P (E se présente r fois dans ordre quelconque) ! n = pr q n−r r ! n n! = Cnr où = r!(n−r)! r ! n Il existe en effet suites mutuellement exr clusives et de même probabilité contenant r éléments ¯ E et (n − r) éléments E. Remarque: ! n X n pr q n−r = (q + p)n = 1. r r=0 Exemple: 10 lancés d’une pièce équilibrée: ! 10 1 3 1 7 120 P (3 fois face) = ( ) ( ) = = 0.117 2 2 1024 3


146

• Pr´ el` evements avec ou sans remise Soit un sac de billes avec N1 billes jaunes (J) ¯ Notons et N2 billes de couleurs différentes (J). N = N1 + N2.

1. Prélèvement de n billes avec remise (AR) ! n pr q n−r P (r fois Jaune) = r où N2 N1 et q = p= N N (formule du binôme)


147

2. Prélèvement de n billes sans remise (SR) Formule hypergéométrique: N1 P (r fois Jaune) =

!

N2

r N

!

n−r !

n si r ≤ N1 et n − r ≤ N2. 3. Remarque N1

!

N2

r N

n−r !

! −→

n r

n 1 = p. pour N1, N2 → ∞ et N N

! pr q n−r

Chapitre 4 STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE BIVARIEE • Données : Série statistique bivariée: {(xi, yi); i = 1, 2, . . . , n} collectées dans un tableau Individus × Caractères Var-Ind

1

2

1

x1

y1

2

x2

y2

···

··· ···

i ··· n

xi

yi

··· ··· xn

yn

• But : Mettre en évidence les relations existant entre 2 séries d’observations 148

CHAPITRE 4. STATISTIQUE DESCRIPTIVE D’UNE SERIE BIVARIEE

149

Exemple Mode de payement La société X gère une chaˆıne de supermarché, et elle s’intéresse aux modes de payement. Le tableau suivant reprend pour 100 clients le montant en euros dépensé sur 1 mois en liquide et par carte bancaire (Source : données simulées). Payement liquide

115 45

99 154 201 27

62

32

44

...

Payement par carte 227 459 151 376 321 555 698 159 323 . . . Payement liquide

...

95

93

Payement par carte . . . 298 59

83 103 103 100 95 73

80

95

13 253 175 175 164

Questions: • Quel est le mode de payement favori des clients? • Les clients qui dépensent plus que la moyenne en liquide dépensent-ils également plus que la moyenne par carte ? • etc

94


150

Exemple Bourse: Données contenant les informations financières de 25 entreprises. Entreprises

Place boursière

Prix de l’action (en dollars)

Award Software

OTC

11.500

Chesapeake Energy

NYSE

7.880

Craig Corporation

NYSE

17.000

Edisto Resources

AMEX

9.688

Franklin Elect. Pbls.

NYSE

12.880

Gentia Softaware

OTC

5.750

Giant Group

NYSE

6.563

Hot Topic

OTC

15.750

Hudson General

AMEX

39.750

ICU Medical

OTC

8.500

Jackpot Enterprises

NYSE

10.875

Kentek Information

OTC

9.500

Larscom, Inc

OTC

10.313

Lumisys, Inc

OTC

7.375

Maynard Oil

OTC

10.750

Mechanical Dynamics

OTC

6.688

Metrika Systems

AMEX

15.250

National Home Health

OTC

5.130

National Tech Team

OTC

10.875

OrCad

OTC

11.375

OroAmerica

OTC

5.125

Overland Data

OTC

7.000

PIA Merchandising

OTC

7.500

Plenum Publishing

OTC

44.000

Premier Research

OTC

8.250

Source : Stock Investor Pro, Association américaine des investisseurs individuels , 31 août 1997.


151

Place boursière : Endroit où les titres des entreprises sont échangés: • NYSE (bourse de New York) • AMEX (Bourse américaine) • OTC (marché parallèle) ⇓ Variable nominale.


152

Exemple Seconde session: Echantillon composé de 20 bacheliers en économiques. L’étude porte sur le nombre de 2èmes sessions présentées dans le secondaire (x) et à l’université (y). i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

X

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3

Y

0

0

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

0

1

3

4

5

Commentaires: • Beaucoup d’étudiants s’engageant dans les études en économie n’ont jamais eu de 2ème session dans le secondaire. • Ne pas avoir eu de 2ème session dans le secondaire n’est pas une garantie de réussite en 1ère session a` l’université • Les étudiants sans 2ème session dans le secondaire ont-ils plus de chances de réussite en 1ère session que les autres ?


153

Nous envisagerons 4 situations en fonction de la nature des variables x/y

Quantitatif Ordinal Nominal

Quantitatif

I

IV

IV

Ordinal

IV

II

III

Nominal

IV

III

III

Etude dans 2 directions: • Elaboration de tableaux et graphiques • Réduction des données.


4.1

154

RELATIONS ENTRE 2 VARIABLES QUANTITATIVES

4.1.1

VISUALISATION DES DONNEES (Scatter Plot)

Exemple Mode de payement Mode de payement

50

100

150

200

Dépenses mensuelles en liquide

Conclusion : Lien positif entre les deux variables donc une personne dépensière en liquide le sera également par carte. (Logique ? Autres variables a` prendre en compte ? Nombre de personnes dans le ménage, . . .)


4.1.2

155

DISTRIBUTION MARGINALE, DISTRIBUTION CONDITIONNELLE

1. Tableau de contingence (TC) Soit {(xi, yi); i = 1, 2, . . . , n} la série statistique bivariée =⇒ construction d’un tableau de contingence: x|y y1 y2 . . . yk . . . yK x1 n11 n12 . . . n1k . . . n1K x2 n21 n22 . . . n2k . . . n2K ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· xj nj1 nj2 . . . njk . . . niK ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· xJ nJ1 nJ2 . . . nJk . . . nJK où njk : effectif associé au couple (xj , yk ). =⇒ Réécriture de la série statistique bivariée: {(xj , yk , njk ), j = 1, . . . J, k = 1, . . . K}.


156

Exemple sur les secondes sessions njk y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 y = 4 y = 5

P

x=0

2

3

4

2

0

0

11

x=1

0

0

0

2

2

0

4

x=2

1

1

0

1

1

0

4

x=3 P

0

0

0

0

0

1

1

3

4

4

5

3

1

20

Commentaires : • Deux étudiants de l’échantillon n’ont jamais eu de 2ème session • Un étudiant a eu trois 2èmes sessions en secondaire et cinq 2èmes sessions à l’université • L’effectif maximal est 4 pour des étudiants n’ayant jamais eu de 2ème session en secondaire mais deux 2èmes sessions a` l’université • ...


157

Si le nombre de lignes et de colonnes d’un TC sont trop grands =⇒ faire des classes Exemple: Mode de payement njk

[0, 175[ [175, 350[ [350, 525[

P

[0, 100[

26

24

1

51

[100, 200[

16

25

7

48

[200, 300[ P

0

1

0

1

42 50 8 100 xcj et yck : valeurs centrales des classes ∆x et ∆y: longueurs de classes. Commentaires: • 26 clients sur 100 ont acheté en liquide entre 0 et 100 euros et par carte entre 0 et 175 euros. • Plus de la moitié de l’échantillon (51 sur 100) ont acheté pour moins de 100 euros en liquide • 8% ont acheté entre 350 et 525 euros par carte.

NB : Parfois on a des distributions de type mixte où une des deux séries est regroupée en classes.


158

2. Distributions marginales Etude d’une seule série observée (abstraction de l’autre série) =⇒ étude de séries univariées. a) Série marginale en x :{xi; i = 1, 2, . . . , n} ou encore {(xj , nj.); j = 1, . . . , J} où nj. =

K X

njk

k=1

sont les effectifs marginaux. Fréquence marginale en x : nj. où j = 1, . . . , J =⇒ fj. = n n J 1X 1X x¯ = xi = nj.xj n n 1 2 sx = n

i=1 n X i=1

j=1

J

1X 2 (xi − x¯) = nj.(xj − x¯)2 n j=1


159

b) Série marginale en y :{yi; i = 1, 2, . . . , n} ou encore {(yk , n.k ); k = 1, . . . , K} où n.k =

J X

njk

j=1

sont les effectifs marginaux. Fréquence marginale en y : n.k f.k = où k = 1, . . . , K =⇒ n y¯ =

n X 1

n

1 2 sy =

n

Exercice: J X j=1

i=1 n X

yi =

K X 1

n

k=1

(yi − y¯)2 =

i=1

nj. =

K X k=1

n.k yk

n.k =

K X 1

n

n.k (yk − y¯)2

k=1

J X K X j=1 k=1

njk = n


160

Exemple sur les secondes sessions njk y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 y = 4 y = 5 nj. x=0

2

3

4

2

0

0

11

x=1

0

0

0

2

2

0

4

x=2

1

1

0

1

1

0

4

x=3

0

0

0

0

0

1

1

n.k

3

4

4

5

3

1

20

{(xj , nj.), j = 1, . . . , J} = {(0, 11), (1, 4), (2, 4), (3, 1)} {(yk , n.k ), k = 1, . . . , K} = {(0, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 1)}

Diagramme en bâtons des effectifs marginaux en x. 11

4

4

1

0.0

0.5

1.0

1.5

xj

2.0

2.5

3.0


161

3. Distributions conditionnelles Etude d’une série observée en fixant la valeur de l’autre série observée. Questions : • Parmi les étudiants n’ayant jamais eu de 2ème session dans le secondaire, quel est le pourcentage d’étudiants réussissant sans 2ème session a` l’université ? • Quelle est la moyenne du prix d’une action pour les titres échangés sur la bourse de New York ? • Sachant que les dépenses en liquides par mois sont inférieures a` 100 euros pour certains individus de l’échantillon, quelle sera la moyenne des dépenses de ces individus par carte ? • ...


162

Distribution conditionnelle de y en x : Fixons x = xj : {(yk , njk ), k = 1, . . . , K} =⇒ étude sur un échantillon de taille nj. Fréquence conditionnelle (profil-lignes) : njk fyk |xj = fk|j = nj.

j fixé ; k = 1, . . . , K

On peut calculer les moyennes, variances,. . . conditionnelles : K

1 X y¯|xj = njk yk nj. k=1 K X

1 2 sy|x = njk (yk − y¯|xj )2 nj. j k=1


163

Distribution conditionnelle de x en y: Fixons y = yk : {(xj , njk ), j = 1, . . . , J} =⇒ étude sur un échantillon de taille n.k Fréquence conditionnelle (profil-colonnes) : njk k fixé ; j = 1, . . . , J fxj |yk = fj|j = n.k On peut calculer les moyennes, variances,. . . conditionnelles : J X 1 x¯|yk = njk xj n.k j=1 J X

1 2 sx|y = njk (xj − x¯|yk )2 n.k k j=1


164

Exemple sur les secondes sessions Nombre moyen de secondes sessions à l’université sachant le nombre de secondes sessions dans le secondaire : xj

y¯|xj

0 1.5455 1

3.5

2

2

3

5

Exemple : Bourse Moyenne des prix d’une action pour les titres échangés sur la bourse de New York : 7.88 + 17.000 + 12.888 + 6.563 + 10.865 = 11.0396 5 9.688 + 39.750 + 15.250 = = 21.5627 3

y¯x=N Y SE = y¯x=AM EX

Exercice: y¯x=OT C = . . .


4.1.3

165

MOMENTS, COVARIANCE ET CORRELATION

1. Les moments Généralisation à 2 dimensions de la notion de moment : a) Moments centrés mrs =

n X 1

n

(xi − x¯)r (yi − y¯)s

r, s ∈ IN

i=1

Cas particuliers : n

1X (xi − x¯)2 = s2x m20 = n 1 m02 = n 1 m11 = n

i=1 n X i=1 n X

(yi − y¯)2 = s2y (xi − x¯)(yi − y¯) = sxy

i=1

où sxy est appelé covariance


166

b) Moments par rapport a` l’origine n X 1 0 xri yis mrs = n i=1

Cas particuliers m001 = y¯

m010 = x¯ c)Propriétés de mrs

Soient x0, y0 ∈ IR et dx, dy ∈ IR+ Posons : ui = xid−x0 , vi = yid−y0 (i = 1, . . . , n) x

et ˜ rs = m

n X 1

n

y

(ui − u¯)r (vi − v¯)s

i=1

⇓ mrs ˜ rs = r s (exercice) m dxdy Cas particulier : sxy suv = dxdy


167

2. Covariance Moment centré d’ordre (1,1): m11 = sxy = cov(x, y) =

n X 1

n

((xi − x¯)(yi − y¯))

i=1

La covariance sera positive (négative) s’il existe une relation croissante (décroissante) entre les 2 variables. Exemple: Mode de payement Modes de payement

+ 50

100

150

Dépenses mensuelles en liquide

200


168

Propriétés • Influencée par les changements d’unités mais pas d’origine. Soient yi − y0 xi − x0 et vi = ui = dx dy cov(x, y) =⇒ cov(u, v) = dxdy • |cov(x, y)| ≤ sxsy (exercice)

(i = 1, . . . , n) (exercice)

Aide: développer l’expression suivante: n X 1 (b(xi − x¯) − (yi − y¯))2 n i=1

• Expression liant m11 et m011 (exercice): m11 = sxy = n

n X 1

n

((xi − x¯)(yi − y¯))

i=1

1X = xiyi − x¯y¯ = m011 − m001m010 n i=1 Pn 1 2 Mettre en parallèle avec : sx = n i=1 x2i − x¯2.


3. Coefficient de corr´ elation (Bravais-Pearson) Définition: sxy où sx 6= 0, sy 6= 0 r= s x sy

169


170

Commentaires: r = 1 quand tous les points observés se trouvent sur une même droite de pente positive r ≈ 1 quand tous les points observés sont situés à proximité d’une telle droite r = 0 quand le nuage de points est allongé parallèlement a` l’un des axes de coordonnées , ou forme arrondie r = −1 quand tous les points observés se trouvent sur une même droite de pente négative r ≈ −1 quand tous les points observés sont situés à proximité d’une telle droite =⇒ r mesure l’intensité de la “dépendance” linéaire entre x et y


171

Propri´ et´ es • Ne peut pas être utilisé avec des variables qualitatives • signe(r) = signe(cov(x, y)) • −1 ≤ r ≤ 1 • r est indépendant des unités de mesures (origine et unité des échelles de mesure) =⇒ r est indépendant de toute transformation linéaire. Ainsi, on a que rxy = ruv quand yi − y0 xi − x0 et vi = (i = 1, . . . , n) ui = dx dy avec dx et dy strictement positifs.


172

!!Corr´ elation n’implique pas toujours causalit´ e!! Une forte corrélation n’implique pas automatiquement une relation directe de cause à effet. Ceci peut simplement être dû au fait que les 2 variables sont soumises à des influences communes. Exemple des cigognes.


4.1.4

173

VECTEUR MOYENNE ET MATRICE DE VARIANCECOVARIANCE

Il est fréquent de représenter les moments du 1er et du 2ème ordres d’une sérié bivariée sous forme matricielle (notation aisée, temps de calculs réduits). Soit {xi, yi; i = 1, . . . , n}, une série bivariée: a) Vecteur moyenne: g¯ =

x¯

!

y¯

NB: g¯ définit le centre de gravité des données. b) Matrice variance-covariance: ! s2x sxy V = sxy s2y NB: V est une matrice symétrique.


c) Soit X la matrice des  x1  x  2 X=  ..  xn

174

observations:  y1  y2   ..    yn

et Xc la matricedes valeurs centré es: x − x¯ y1 − y¯  1   x − x¯ y − y¯   2  2 Xc =  , . .  .  .   xn − x¯ yn − y¯ =⇒ V = n1 Xc0 Xc 



=

1 n

x − x¯ y1 − y¯  ! 1  x1 − x¯ x2 − x¯ . . . xn − x¯  x2 − x¯ y2 − y¯   .  . . y1 − y¯ y2 − y¯ . . . yn − y¯  .   .  xn − x¯ yn − y¯

Exercice: Ecriture matricielle avec trois variables (x, y, z).


4.1.5

175

REGRESSION LINEAIRE SIMPLE

Objectif : Définir une relation de dépendance statistique entre 2 variables. La variable a` expliquer sera notée Y (variable réponse, variable dépendante), et la variable explicative sera noté X (variable indépendante)

0 -4

-2

y2

2

4

Exemples

1

0

1

2

-2

-1

0

1 x1

0 -2

-1

y4

1

2

x1

1

0

1 x1

2

-2

-1

0

1 x1


176

D´ ependance simple : relation lin´ eaire =⇒ détermination d’une droite de régression. Exemple: Essayons d’estimer le prix d’une maison PRICE (en milliers de dollars) en fonction de la superficie totale FLR (en pieds carrés). La variable dépendante est PRICE, la variable explicative est FLR. Ajustons “au mieux” ces données par une droite


177

L’erreur commise entre la vraie valeur Price et la valeur ajustée par la droite est appelée “résidu” (residual)

Remarquons qu’en moyenne nous ne faisons pas d’erreur, en effet la moyenne des résidus est nulle dès qu’un terme constant est dans le modèle.


178

CADRE THEORIQUE

Soit {(xi, yi); i = 1, . . . , n} une série statistique bivariée. Soit y la variable dépendante et x la variable explicative. Notons la droite de regression: yî = a + bxi

(a, b ∈ IR).

Alors, il est possible de calculer les résidus: ei = yi − yî = yi − a − bxi Id´ ee: Minimiser les erreurs commises entre la vraie valeur de l’observation yi et la prévision basée sur la variable explicative yî. Diff´ erentes pistes: Minimiser n n X X ou e2i |ei| ou médiane(ei) i=1

i=1

ou . . .


179

CRITERE DES MOINDRES CARRES (MC)

Point de vue mathématique: critère simple. But: Minimiser: n X i=1

e2i =

n X

(yi − a − bxi)2.

i=1

=⇒ Système d’équations normales. Pour avoir un minimum, il faut que ∂ (i) Q(a, b) = 0 ∂a ∂ (ii) Q(a, b) = 0. ∂b


180

R´ esolution: Dérivons la somme des résidus carrés par rapport a` a: n

X ∂ Q(a, b) = −2 (yi − a − bxi) ∂a i=1

Il s’ensuit de (i) que ⇔ ⇔ ⇔

n X i=1 n X i=1 n X

(yi − a − bxi) = 0 yi − na − b yi = na + b

i=1

n X i=1 n X

xi = 0 xi

i=1

⇔ y¯ = a + b¯ x, ce qui implique que le centre de gravité est sur la droite de régression.


181

Dérivons la somme des résidus carrés par rapport a` b: n

X ∂ Q(a, b) = −2 (yi − a − bxi)(xi) ∂b i=1

Il s’ensuit de (ii) que n X ⇔ (yi − a − bxi)(xi) = 0 ⇔

i=1 n X

xi y i − a

i=1 n X

1 ⇔ n 1 ⇔ n

i=1 n X

xi − b

i=1

1 xiyi − (¯ y − b¯ x) n

n X i=1 n X

x2i − x¯2) =

n X 1

n

x2i = 0 xi − b

i=1

xiyi − y¯x¯ + b¯ x2 − b

i=1 n X

1 ⇔ b( n

n X

n X 1

n

n X 1

n

x2i = 0

i=1

x2i = 0

i=1

xiyi − y¯x¯

i=1 i=1 P Pn n 1 1 ¯ n i=1(xi − x¯)(yi − y¯) i=1 xiyi − y¯x n = ⇔ b = 1 Pn Pn 1 2 2 2 ¯ ¯ x − x (x − x ) i i=1 i i=1 n n


182

Solution au probl` eme de minimisation: a = y¯ − b¯ x sxy b = 2 sx

Remarque: en calculant les dérivées secondes, on peut montrer que la solution est bien un minimum (exercice).


183

Variances r´ esiduelle et de r´ egression Décomposons la variance de la variable a` expliqué (y) en deux parties: d’une part la partie expliquée par la droite de régression (variance de régression) et d’autre part la partie non expliquée (variance résiduelle)

s2y =

n X 1

n

i=1

(yi −yî)2 +

n X 1

n

i=1

(ˆ yi −y¯)2 = s2e +s2reg


184

Démonstration: n n X X 1 1 2 2 sy = (yi − y¯) = (yi − yî + yî − y¯)2 n n 1 = n 2 + n

i=1 n X i=1 n X

1 2 (yi − yî) +

n

i=1 n X

(ˆ yi − y¯)2

i=1

(yi − yî)(ˆ yi − y¯)

i=1

Montrons que le double produit est nul. Rappel: yî = a + bxi = y¯ − b¯ x + bxi = y¯ + b(xi − x¯) Donc, nous avons que: n

n

2X 2X (yi − yî)(ˆ yi − y¯) = (yi − y¯ − b(xi − x¯))(b(xi − x¯)) n i=1 n i=1 n n X 2b X = [ (yi − y¯)(xi − x¯) − b (xi − x¯)2] n i=1 i=1 sxy = 2b[sxy − bs2x] = 2b[sxy − 2 s2x] = 0 sx

Ceci prouve la décomposition de la variance en une variance résiduelle et une variance de régression.


185

Coefficient de corr´ elation (r) et coefficient de d´ etermination (R2) • Lien entre le signe de r et la pente de la droite de régression. On peut prouver que sy yî − y¯ = r (xi − x¯) sx De cette relation, il est aisé de voir que: r > 0 =⇒ pente positive r < 0 =⇒ pente négative • Pourcentage de variance de la variable y expliqué par la variable x. On peut montrer: 2 s reg s2e = s2y (1 − r2) ⇐⇒ r2 = 2 sy Interprétation : r2 qui sera étendu dans le cas de régression multiple a` R2 mesure le % de variance de la variable réponse (y) expliqué par la variable explicative (x).


186

Démonstration: s2e = s2y (1 − r2) n n X X 1 1 (yi − yî)2 = (yi − y¯ − b(xi − x¯))2 s2e = n n 1 = n

i=1 n X

2b − n

b 2 (yi − y¯) +

i=1 n X

i=1 n 2X

n

(xi − x¯)2

i=1

(yi − y¯)(xi − x¯)

i=1

2 s sxy xy 2 2 = sy + 4 sx − 2 2 sxy sx sx 2 s xy = s2y − 2 sx 2 s xy 2 = sy (1 − 2 2 ) s x sy

= s2y (1 − r2)


187

Exemple Argent de poche donné a` de jeunes adolescents: • x = aˆge • y = montant hebdomadaire moyen en euro xi 12 12 15

14

16 14 12 13 11 11

yi 4.1 3.4 11.3 10.2 11.5 7.2 6.0 7.8 3.5 3.0


188

xi − x¯ yi − y¯ (xi − x¯)2 (yi − y¯)2 (xi − x¯)(yi − y¯)

xi

yi

12

4.1

-1

-2.7

1

7.29

2.7

12

3.4

-1

-3.4

1

11.56

3.4

15 11.3

2

4.5

4

20.25

9

14 10.2

1

3.4

1

11.56

3.4

16 11.5

3

4.7

9

22.09

14.1

14

7.2

1

0.4

1

0.16

0.4

12

6

-1

-0.8

1

0.64

0.8

13

7.8

0

1

0

1

0

11

3.5

-2

-3.3

4

10.89

6.6

11

3

-2

-3.8

4

14.44

7.6

130 68

0

0

26

99.88

48

g¯ =

x¯ y¯

! =

13 6.8

! et V =

s2x sxy sxy s2y

! =

2.6 4.8 4.8 9.99

Donc la droite de régression est donnée par: 4.8 yˆ = 6.8 + (x − 13) = −17.2 + 1.85x 2.6

!


189

Importance de l’analyse des graphiques • Examen du graphique des données =⇒ information sur la relation éventuelle entre deux variables • Analyse des résidus ei = yi−ˆ yi (i = 1, . . . , n). • Exemple dû a` Anscombe (p. 398) Ensemble A Ensemble B Ensemble C Ensemble D x

y

x

y

x

y

x

y

10

8.04

10

9.14

10

7.46

8

6.58

8

6.95

8

8.14

8

6.77

8

5.76

13

7.58

13

8.74

13

12.74

8

7.71

9

8.81

9

8.77

9

7.11

8

8.84

11

8.33

11

9.26

11

7.81

8

8.47

14

9.96

14

8.10

14

8.84

8

7.14

6

7.24

6

6.13

6

6.08

8

5.25

4

4.26

4

3.10

4

5.39

19

12.50

12

10.84

12

9.13

12

8.15

8

5.56

7

4.82

7

7.26

7

6.42

8

7.91

5

5.68

5

4.74

5

5.73

8

6.89


190

Représentations graphiques des exemples d’Anscombe:

Que pensez-vous de l’hypothèse de relation linéaire entre x et y pour chacun de ces cas? • N.B.: Calculez les résidus et commentez leurs graphiques.


4.2

191

RELATIONS ENTRE UNE VARIABLE QUANTITATIVE ET UNE VARIABLE QUALITATIVE

Soient: - Y une variable quantitative (p.e. le salaire) - X une variable qualitative (p.e. le niveau de diplôme) prenant les modalités x1, . . . , xj , . . . , xJ .

• Moyennes conditionnelles: Quel est le salaire moyen pour un travailleur ayant un diplôme de bachelier ?? 1 y¯|xj = nj.

X

yj

y tq x=xj

=⇒ Graphique des moyennes conditionnelles.


192

• Mesure de l’intensité de la dépendance non linéaire de y en x. Effectuons une décomposition de la variance marginale :

s2y =

n X 1

n

1 = n 1 = n 1 = n 1 + n

(yi − y¯)2 =

i=1 J X K X j=i k=1 J X K X j=i k=1 J X K X

K X 1

n

n.k (yk − y¯)2

k=1

njk (yk − y¯)2 njk (yk − y¯|xj + y¯|xj − y¯)2 njk (yk − y¯|xj )2

j=i k=1 J X

nj.(¯ y |xj − y¯)2

j=i

= moyenne des variances conditionnelles + variance des moyennes conditionnelles


193

• Le rapport de corrélation ηy.x est défini par son carré: 1 PJ n (¯ 2 ¯ y |x − y ) j. j j=i 2 = n ηy.x s2y

Interprétation: Pourcentage de la variance expliquée par la connaissance de la variable X. Remarques: - expression a` comparer avec R2 2 est ind´ - ηy.x ependant des origines et des

unités 2 ≤1 - 0 ≤ ηy.x

- Si y¯|xj = y¯ - Si s2y|x = 0 j

2 =0 ∀j =⇒ ηy.x 2 =1 ∀j =⇒ ηy.x

2 − r2 - Indice de non linéarité: ηy.x


4.3

194

RELATION ENTRE 2 VARIABLES QUALITATIVES ORDINALES

Exemple: Sondage d’opinion auprès de 10 clients du restaurant Lobster Pot dans l’Etat de Floride.

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

QN E B B E S S I B E S QS B B B E S B I E B S R

B B E B B I I E B B

P

S B E E B I I B S B

G

B B E B E B I S S E


4.3.1

195

CORRELATIONS DE RANG

Echelle ordinale donc il n’existe plus de lien linéaire ⇒ Information à exploiter pour comparer les 2 seriés: ORDRE. Soit {(xi, yi); i = 1, . . . , n} la série statistique bivariée. Soient les 2 séries marginales ordonnées: {x(1), . . . , x(n)} et {y(1), . . . , y(n)}. L’indice (i) est appelé rang de l’observation correspondante. Notons R(xi) le rang de l’observation xi et R(yi) le rang de l’observation yi. Exemples: Série observée: QNi = {E, B, E, B, S, S, I, B, E, S} Série ordonnée: QN(i) = {I, S, S, S, B, B, B, E, E, E} Rang de la série ordonnée: R(QN(i)) = {1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 9, 9, 9} Rang de la série observée: R(QNi) = {9, 6, 9, 6, 3, 3, 1, 6, 9, 3}


196

• Corr´ elation de Spearman (rs) Définition: Rs = corr(R(x), R(y)). Par définition de la corrélation de Pearson: Rs =

Pn 1 ¯ i=1 R(xi ) − Rx n q P 1 n 1 2 ¯ i=1 (R(xi ) − Rx ) n n

¯ R(yi) − Ry Pn 2 ¯ i=1 (R(yi ) − Ry )

• Corr´ elation du quadrant Basé sur la division de l’espace en 4 parties au moyen des médianes. • Corr´ elation de Kendall Basé sur la notion de paire d’observations concordantes et discordantes.


4.4

197

RELATIONS ENTRE 2 VARIABLES QUALITATIVES NOMINALES

Série statistique bivariée {(xj , yk , njk ); j = 1, . . . , J et k = 1, . . . , K} • Exemple: Enquête auprès de 200 étudiants Variable X: “Provenance des étudiants” 3 modalités: R1, R2, R3 (3 régions). Variable Y : “Choix de l’université” 3 modalités: U1, U2, U3 (3 universités). Tableau de contingence njk U1 U2 U3 nj. R1 28 73 29 130 R2

0

2

18 20

R3 12 25 13 50 n.k 40 100 60 200


198

Formalisation • 2 variables qualitatives (nominales) X et Y : - X prend J modalités: A1, . . . , AJ - Y prend K modalités: B1, . . . , BK . • X et Y sont observés sur un échantillon de taille n =⇒ Tableau de contingence (N): PK X|Y B1 . . . Bk . . . BK k=1 A1

n11 . . . n1k . . . n1K

···

··· ··· ··· ··· ···

Aj

nj1 . . . njk . . . niP

···

··· ··· ··· ··· ···

AJ PJ

nJ1 . . . nJk . . . nJK

j=1 n.1 . . . n.k . . . n.K

n1. nj. nJ. n

où les effectifs njk représentent le nombre d’individus ayant simultanément les modalités Aj et Bk . PK PJ Notons que nj. = k=1 njk et n.k = j=1 njk .


199

Tableau des fr´ equences relatives F Proportion d’individus possédant simultanément les modalités Aj et Bk : njk fjk = (j = 1 . . . , J; k = 1, . . . , K). n Fréquences relatives marginales sont données par: nj. fj. = (j = 1 . . . , J) n et n.k f.k = (k = 1, . . . , K). n Remarquons que: fjk est une estimation de πjk = P (X ∈ Aj , Y ∈ Bk ) fj. est une estimation de πj. = P (X ∈ Aj ) f.k est une estimation de π.k = P (Y ∈ Bk )


200

Exemple Régions-Universités. fjk U1

U2

U3

fj.

R1 0.14 0.365 0.145 0.65 R2

0

0.010 0.090 0.10

R3 0.06 0.125 0.065 0.25 f.k 0.20 0.50 0.30

1

Commentaires • 14% des 200 étudiants viennent de la région R1 et sont a` l’université U1 • 65% des étudiants viennent de la région R1 • 30% des étudiants sont à l’université U3 • ...


201

Tableaux des fr´ equences conditionnelles • Tableau des profils-lignes Proportion des individus présentant la modalité Bk parmi les individus ayant la modalité Aj : njk njk /n fjk fk|j = = = (j = fixé; k = 1, . . . , K). nj. nj./n fj. =⇒ estimation de la probabilité conditionnelle: P (Y ∈ Bk |X ∈ Aj ) fjk fj.

U1

U2

U3

Totaux

R1 0.215 0.562 0.223

1

R2

0.100 0.900

1

R3 0.240 0.500 0.260

1

f.k 0.200 0.500 0.300

1

0

Commentaires • Dans les étudiants venant de la région R2, 10% ont choisi l’université U2.


202

• Tableau des profils-colonnes Proportion des individus présentant la modalité Aj parmi les individus ayant la modalité Bk : njk njk /n fjk = = (j = 1, . . . , J; k = fixé). fj|k = n.k n.k /n f.k =⇒ estimation de la probabilité conditionnelle: P (X ∈ Aj |Y ∈ Bk ) Exemple 1: fjk f.k

R1 R2 R3 Totaux

U1

U2

U3

fj.

0.700 0.730 0.483 0.65 0

0.020 0.300 0.10

0.300 0.250 0.217 0.25 1

1

1

1

Commentaires • Dans les étudiants ayant choisi l’université U3, 30% viennet de la région R2.


203

Situation d’ind´ ependance • Si 2 variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors ∀j ∈ {1, . . . , J} et ∀k ∈ {1, . . . , K}: a)P (X ∈ Aj , Y ∈ Bk ) = P (X ∈ Aj )P (Y ∈ Bk ) b)P (Y ∈ Bk |X ∈ Aj ) = P (Y ∈ Bk ) c)P (X ∈ Aj |Y ∈ Bk ) = P (X ∈ Aj ) • L’échantillon de taille n nous permet d’estimer ces quantités, dès lors sous l’hypothèse d’indépendance, on devrait avoir: a )fjk ≈ fj.f.k ∀j ∈ {1, . . . , J} ∀k ∈ {1, . . . , K} fjk ≈ f.k ∀j, ∀k b )fk|j = fj. fjk c )fj|k = ∀j, ∀k. ≈ fj. f.k Ainsi tous les profils-lignes et les profils-colonnes sont pratiquement égaux.


204

• Définissons les fréquences (relatives) théoriques espérées sous l’hypothèse d’indépendance: nj.n.k ∗ ∗ ∗ fjk = fj.f.k et njk = nfjk = n • Exemple Régions-Universités. Effectifs et effectifs théoriques: njk U1 U2 U3 nj. R1 28 73 29 130 R2

0

2

18 20

R3 12 25 13 50 n.k 40 100 60 200 n∗jk U1 U2 U3 nj. R1 26 65 39 130 R2

4

10

6

20

R3 10 25 15 50 n.k 40 100 60 200


205

Fréquences observées et fréquences théoriques espérées sous l’hypothèse d’indépendance: fjk U1

U2

U3

fj.

R1 0.14 0.365 0.145 0.65 R2

0

0.010 0.090 0.10

R3 0.06 0.125 0.065 0.25 f.k 0.20 0.50 0.30 ∗ U fjk 1

U2

U3

1 fj.

R1 0.13 0.325 0.195 0.65 R2 0.02 0.050 0.030 0.10 R3 0.05 0.125 0.075 0.25 f.k 0.20 0.50 0.30

1


206

Ecarts ` a l’ind´ ependance Les écarts a` l’indépendance sont donnés par ejk = njk − n∗jk La matrice des écarts est calculée en soustrayant de la matrice des effectifs observés N , la matrice des effectifs théoriques espérés sous l’hypothèse d’indépendance N ∗. • Exemple Régions-Universités njk U1 U2 U3 nj. n∗jk U1 U2 U3 nj. R1 28 73 29 130 R1 26 65 39 130 R2

0

2

18 20

R3 12 25 13 50

R2

4

10

6

20

R3 10 25 15 50

n.k 40 100 60 200 n.k 40 100 60 200


207

=⇒ ejk U1 U2 U3 R1 2 8 -10 R2 -4 -8 12 R3 2

0

-2

• Interprétations: ∗ =f f ejk > 0 ↔ njk > n∗jk ↔ fjk > fjk j. .k → on dit que les modalités Aj et Bk “s’attirent” ∗ =f f ejk < 0 ↔ njk < n∗jk ↔ fjk < fjk j. .k → on dit que les modalités Aj et Bk “se re-

poussent”.


208

Mesures d’association du chi-carr´ e: J X K (n − n∗ )2 J X K e2 X X jk jk jk 2 D = = n∗jk n∗jk j=1 k=1

j=1 k=1

Exemple Régions-Universités: e2jk n∗jk

U1

U2

U3

Totaux

R1

0.1538 0.9846 2.5641

3.7025

R2

4.0000 6.4000 24.0000 34.4000

R3

0.4000 0.0000 0.2667

0.6667

Totaux 4.5538 7.3846 26.8308 38.7692 • Interprétation : Plus la valeur est grande, plus on s’écarte de l’indépendance donc association (en 2ème année dans le chapitre des problèmes de test, vous utiliserez cette statistique pour tester l’indépendance).


4.5

209

EXTENSIONS (cours ` a option en 4` eme): ANALYSE DES DONNEES MULTIDIMENSIONNELLES

But: présenter les différentes méthodes statistiques permettant de visualiser et résumer l’information contenue dans des bases de données contenant un grand nombre de variables. Analyse en composantes principales (ACP) Technique de représentation et de réduction d’un ensemble de variables quantitatives continues. Analyse des correspondances binaires (ACOBI) Méthode adaptée a` l’étude des éventuelles relations existantes entre 2 variables nominales (étude des tableaux de contingence).


210

Analyse des correspondances multiples (AFCM) Généralisation de l’analyse des correspondances. Permet de décrire les relations entre plusieurs variables nominales. M´ ethodes de classification Méthodes permettant de grouper les individus ou variables suivant certains critères de proximité. Analyse discriminante Techniques destinées a` classer (affecter à des classes préexistantes) des individus caractérisés par un certain nombre de variables quantitatives ou qualitatives

Chapitre 5 SERIES CHRONOLOGIQUES

211

Chapitre 5 : Analyse d’une série chronologique 1. Introduction. Série chronologique : Suite de valeurs observées {yt1, yt2, ….ytn} d’une variable Y effectuées dans le temps aux instants : {t1, t2, …, tn}.

1

Hypothèse simplificatrice : On suppose que les dates d’observations sont équidistantes → {y1, y2, …yn}. Variable de niveau : Etat à un moment donné : - montant des avoirs le 31 décembre - nombre de chômeurs le 1er de chaque mois - etc Variable de flux : Mouvement intervenu durant une certaine période : - quantité produite pendant 1 mois - nombre de navetteurs sur la E411 sur une journée - etc

2

Prévisions :Exemples Prévision à court terme : - prévision des ventes futures du produit X pour faire face à la demande

Prévision à moyen terme : - rendement d’un investissement

Prévision à long terme : - prévisions des besoins en service publics (hôpitaux, écoles, etc).

Les méthodes présentées dans ce chapitre se rapportent à la prévision à court terme Origine de la prévision (T) : moment où le prévision est effectuée Horizon de la prévision (h) : intervalle de temps qui sépare l’origine de la prévision et le moment pour lequel on désire la prévision Prévision ponctuelle : yˆT ( h) 3

2. Composante d’une série chronologique Le principe de décomposition est basé sur la maxime : «diviser pour régner». Décomposition en 4 composantes : T= tendance C= composante cyclique S= composante saisonnière E= composante résiduelle (irrégulière) Combinaisons possibles des composantes : Modèle additif : yt = Tt + Ct + St + Et

NB : composante extra-saisonnière : ft = Tt + Ct

Modèle multiplicatif : yt= Tt * Ct * St * Et NB : composante extra-saisonnière : ft = Tt * Ct

Modèle mixte : tout autre modèle où additions et multiplications sont utilisées. 4

Composition d’une série chronologique. Modèle additif : yt = Tt + Ct + St + Et Graphique 1 : T = Tendance linéaire

Graphique 2 : T + C = Tendance linéaire + composante cyclique

5

Graphique 3 : T + C + S = idem+ composante saisonnière

Graphique 4 : T + C + S + E= idem+ composante résiduelle

6

Modèle multiplicatif : yt = Tt * Ct * St * Et

Graphique 1 : T = Tendance linéaire

Graphique 2 : T * C = Tendance linéaire * composante cyclique

7

Graphique 3 : T * C * S = idem * composante saisonnière

Graphique 4 : T * C * S * E= idem * composante résiduelle

CONCLUSION :

8

3. Etude de la tendance a) Approche exploratoire Difficulté pratique de procéder, souvent lié à: - la longueur de la série - l’importance des fluctuations

Solution : essayer de « lisser » la série pour avoir une idée générale de la tendance Outils : - filtres linéaires (moyenne mobile, etc) - régression linéaire simple après avoir linéarisé par différenciation, transformation logarithmique, etc 9

b) Filtres linéaires. Soit {y1,…,yt,…,yn} la série chronologique → une valeur filtrée linéairement:

Donc la série filtrée est donnée par :

où wt est indépendant de t Exemple : {y1, y2, …, y8}, posons p1=1, p2=2 Donc

y = * t

2

∑w y j =−1

j

t+ j

= w−1 yt −1 + w0 yt + w1 yt +1 + w2 yt + 2

Série filtrée : {y*2, y*3,…,y*6} 10

Cas particuliers :Moyennes Mobiles (MM)

11

12

13

14

15

5°) Choix de l’ordre de la moyenne mobile.

16

17

Donc le choix « idéal » dépend de la saisonnalité.

18

c) Ajustement analytique (régression linéaire) Variable y fonction du temps : y=f(t) + erreur Procédure : - étape 1 : si y n’est pas une fonction linéaire : f(t) = a + bt, essayer de la linéariser Tendance quadratique

y2

20 40 60 80

0

0

20

40

y1

60

80

120

100

Tendance lineaire

10

20

30

40

50

0

10

20

30

40

t

t

Tendance exponentielle

Tendance hyperbolique

50

y4

-0.6

60 40

-1.0

20

y3

80

-0.2

100 120

0

0

10

20

30 t

40

50

0

10

20

30

40

50

t

- étape 2 : utiliser la méthode des moindres carrés sur les données linéarisées (modèle de régression) 19

Etape 1 : Linéariser la relation. NB : en série chronologique, la variable explicative x est le temps t Régression exponentielle : y = 10 a +bx ⇒ log10 y = a + b x

⇒ régression linéaire pour {(xi , zi)} où zi = log10 yi

Régression hyperbolique :

y=

1 a + bx

⇒

1 = a + bx y

⇒ régression linéaire pour {(xi , zi )} où zi = 1 yi

20

Régression quadratique: la parabole y = b0 + b1 x + b 2 x 2

( i

Min Q (b0 , b1 , b2 ) = ∑

)

2 2 yi − b0 − b1 xi − b2 xi

Système d’équations normales :

 ∂ Q = −2 y − b − b x − b x 2 = 0 ∑ i 0 1 i 2 i  ∂ b0 i  ∂Q  = −2 ∑ yi − b0 − b1 xi − b2 xi2 (xi ) = 0  ∂ b1 i  ∂Q = −2 ∑ yi − b0 − b1 xi − b2 xi2 xi2 = 0  ∂ b2 i  

(

)

(

)

(

)( )

21

Etape 2 : Estimation de la tendance par la méthode des moindres carrés Soit {(ti,yi); i=1,2,…,n} la série statistique

bivariée. Soit y la variable dépendante et t le temps Notons la droite de régression par:

yî = a + bti

(a, b ∈ R)

⇒ on peut calculer les résidus: ei = yi − yî = yi − a − bti

Idée : Minimiser les erreurs commises entre la vraie valeur de l’observation yi et la prévision basée sur la tendance : n

Critère des moindres carrés :

2 e i ∑ i =1

22

Critère des moindres carrés (MC) On veut minimiser : Q(a,b)=Σi ei2 = Σi (yi- a- b ti)2

⇒ Système d’équations normales : pour avoir un minimum il faut que :

∂Q (a, b) =0 ∂a ∂Q (a, b) =0 ∂b On obtient donc comme solution du problème de minimisation :

a = y − bt

b =

s ty

2 t Remarque : en calculant les dérivées secondes, on peut montrer que la solution est bien un minimum

s

23

Cas particulier : Soit l’échantillon : {(y1,1), (y2,2), …(yT,T)} ⇒ et

1+ 2+...+T =

T(T +1) 2

12 + 22 +...+T 2 =

T(T +1)(2T +1) 6

⇒

t = T +1 2

⇒

2 −1 T st2 = 12

Ce qui implique que l’ajustement linéaire au sens des MCO est donné par : yˆt = a +b t

où

a= y −bT +1 2 T

et

T

T +1 yt ty − t ∑ 2 ∑ t =1 t =1 b= 1 T(T 2 −1) 12

24

4. Etude de la composante saisonnière a). Introduction.

25

b) Modèle additif

26

27

28

29

30

31

32

33

34

c) Modèle multiplicatif

35

5. Elimination de la tendance ou/et de la composante saisonnière a) Elimination de la tendance. Solution 1 : On détermine T et ensuite on effectue les opérations suivantes : 1°) Cas additif : y-T 2°) Cas multiplicatif : y/T Solution 2 : Utilisation des différences Cas d’une tendance linéaire : Cas d’une tendance quadratique :

36

b) Elimination de la saisonnalité. Solution 1 : On détermine Sj (ou 1+ sj) et ensuite on effectue les opérations suivantes : 1°) Cas additif : dij = yij - Sj 2°) Cas multiplicatif : dij = yij / (1+sj)

Solution 2 : Utilisation des différences saisonnières.

37

6. Méthodes de Prévision

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Chapitre 6 VARIABLES ALEATOIRES ET LOIS DE PROBABILITE DISCRETES Citibank, Long Island City, Etat de New York (Anderson, Sweeney, & Williams, 2001)

212

CHAPITRE 6. VARIABLES ALEATOIRES ET LOIS DE PROBABILITE DISCRETES213

6.1

D´ efinitions, Variables al´ eatoires

Exp´ erience al´ eatoire: processus dont on ne peut pas prévoir le résultat: • lancer un dé • jouer au lotto • faire une offre de vente • qualité d’une pièce (défectueuse ou non) dans un processus industriel, . . . Espace-´ echantillon: ensemble des résultats possibles Exemple : on lance 2 pièces de monnaie Ω ω1 : P 1 ∩ P 2

'

$

ω2 : P 1 ∩ F 2 ω3 : F1 ∩ P2 ω4 : F 1 ∩ F 2

&

%


Variable al´ eatoire: sa valeur est déterminée par le résultat d’une expérience aléatoire. Exemple: on lance 2 pièces de monnaie et on s’intéresse au nombre X de résultats face obtenus

'

Ω

$

V

ω1 : P 1 ∩ P 2 H H

'

HH

H jH H

HH HH

ω2 : P1 ∩ F2 XXXX ω3 : F1 ∩ P2

X zXX XXX X * , ,

$

0 1 2

, , , , , ,

ω4 : F 1 ∩ F 2 , &

, , %

&

%


Notons Ex l’événement composé des résultats associés à la valeur x ∈ V '

Ω '

$ $

E0 & P1 ∩ P2 % HH H

'

HH jH

'

E1

V

$

HH H

HH

P1 ∩ F2 XXXX

X zXX X

F1 ∩ P2 &

* %

XXX , ,

$

0 1 2

, , ,

'

E2 & F 1 ∩ F2

&

, $, , , , , % %

&

%

On a donc: 1 P (E0) = P (X = 0) = 4 1 1 1 P (E1) = P (X = 1) = + = 4 4 2 1 P (E2) = P (X = 2) = 4


px 1

6

3 4 1 2 1 4 -

0

1

2

x

D´ efinition d’une variable al´ eatoire: Une variable aléatoire (v.a.) X est une fonction définie sur Ω a` valeurs dans un ensemble noté V. A chaque ω de Ω on associe une valeur x = X(ω) ∈ V. '

Ω

$

V '

$

•```````z`` ``` ω `• x & &

%

%


Discr` ete et continue Si V est un ensemble discret, la v.a. est dite discrète (par exemples V = {0, 1, . . . , n} où n ∈ N ; V = Z) Expérience

Variable aléatoire X

Valeurs possibles V

Contacter 5 clients

Nbre de clients

0, 1, 2, 3, 4, 5

qui commandent Inspecter une

Nbre de radios défectueuses 0, 1, . . . , 50

cargaison de 50 radios Gérer un restaurant

Nombre de clients

0, 1, 2, 3, . . .

pendant une journée

Si V est continu, la v.a. sera dire continue (par exemple V = IR) Expérience

Variable aléatoire X Valeurs possibles V

Jouer au lotto

Montant gagner

Gérer un restaurant Bénéfices pendant une journée

Intervalle de IR+ Intervalle de IR+


6.2

Loi d’une v.a. discr` ete

Associons à la valeur x ∈ V l’ensemble d’évènements: Ex = {w tel que w ∈ Ω et X(w) = x} On peut donc calculer pour tout x ∈ V : px = PX (x) = P (X = x) = P (Ex) ⇓ Loi de probabilit´ e de X: {(x, px), x ∈ V }. Remarque : {(x, px), x ∈ V } est une DP ssi X px ≥ 0 ∀x ∈ V et px = 1 x

Exemples: distribution uniforme, binomiale, de Bernouilli, de Poisson, géométrique, binomiale négative, hypergéométrique, etc


6.3

Fonction de r´ epartition d’une v.a. dicr` ete

• Rappel: Statistique descriptive Fj est la fréquence cumulée c’est-à-dire le pourcentage d’observations ≤ xj . • Définition au niveau population: F (x) = P (X ≤ x) où x ∈ IR Donc pour une DP {(xj , pj ), j = 1 . . . , J}: X F (x) = pj xj ≤x


Propri´ et´ es • F (x) ∈ [0, 1] • F (−∞) = 0 et F (∞) = 1 • F (a) ≤ F (b), ∀a ≤ b

(a, b ∈ IR)

• P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F (b) − F (a), (a < b) • Si xi et xj sont deux valeurs de la v.a. telle que xi ≤ xj alors: P (xi ≤ X ≤ xj ) = F (xj ) − F (xi−1) En particulier P (X = xj ) = F (xj ) − F (xj−1). • F(x) est continue à droite ∀x ∈ IR.


6.4

Esp´ erance math´ ematique (EPM)

1. Approche historique: Probl` eme des partis • 2 joueurs misent chacun 32 euros • La partie comprends plusieurs jeux successifs où chacun a` la même probabilité de gagner • On gagne la mise dès que on a gagné 3 jeux. La partie est déjà commencée :

1 1 E[gain pour A] = 64 + 32 = 48 2 2 1 1 E[gain pour B] = 0 + 32 = 16 2 2


2. D´ efinition Soit la distribution de probabilité: {(x, px), x ∈ V } et la fonction X → g(X) : x → g(x). Alors l’espérance mathématique est définie X E[g(X)] = g(x)px x

3. Propri´ et´ es • Si b est une constante: E(b) = b Démonstration: X X E(b) = bpx = b px = b. x

x

• Si a est une constante : E(aX) = aE(X) Démonstration: X X E(aX) = (ax)px = a xpx = aE(X). x

x


• Si a et b sont des constantes: E(aX + b) = aE(X) + b Démonstration: exercice • Notons E(X) = µ. Alors Y = X − µ est tel que E(Y ) = 0 =⇒ Y est la v.a. centrée. Démonstration: E(Y ) = E(X − µ) = E(X) − µ = 0.

• Soient a et b deux constantes, g(X) et h(X) deux fonctions de X a` valeurs réelles : E[ag(X) + bh(X)] = aE(g(X)) + bE(h(X)) Démonstration: exercice.


6.5

Param` etres (moyenne, variance, moments, m´ ediane,...)

• Moyenne Cas particulier de l’EPM pour g(X) = X: X E(X) = xpx := µ x

Remarque : analogie avec la statistique descriptive basée sur un échantillon : X 1X nj xj = f j xj x¯ = n j

j

Exemple: Lancement de 2 pièces px 1

6

3 4 1 2 1 4

0

1

-

2

x

1 1 1 µ= xpx = 0 + 1 + 2 = 1 4 2 4 x X


• Variance et Ecart-type Cas particulier de l’EPM: g(X) = (X −E(X))2 E((X−E(X))2) =

X

(x−µ)2px := σ 2 = V (X)

x

Remarque : analogie avec la statistique descriptive basée sur un échantillon : X X 1 nj (xj − x¯)2 = fj (xj − x¯)2 s2 = n j

j

Exemple: Lancement de 2 pièces px 1

6

3 4 1 2 1 4

0

µ=1

-

2

x

1 1 1 1 2 σ = (0 − 1) + (1 − 1) + (2 − 1) = 4

2

p Ecart-type: σ = (σ 2).

4

2


PROPPRIETES: 1. Si b est une constante: V (b) = 0 Démonstration: Puisque E(b) = b, on a: X 2 V (b) = E((b−E(b)) ) = (b−E(b))2px = 0. x

2. Si a est une constante: V (aX) = a2V (X) Démonstration: Puisque E(aX) = aE(X): V (aX) = E((aX − E(aX))2) = E[a2(X − E(X))2] = a2E[(X − E(X))2] = a2V (X). 3. Si Y = X − a alors V (Y ) = V (X) Démonstration: Exercice. ⇓ La variance est indépendante d’un changement d’origine.


4. En particulier, si Y = X−µ alors V(Y)=V(X) Démonstration: Puisque E(X − µ) = 0, on a: V (Y ) = E((Y − E(Y ))2) = E[((X − µ) − E(X − µ))2] = E[(X − µ)2] = V (X). 5. Soit Z = X−µ σ alors V (Z) = 1 ⇓ Z est dite v.a. centrée-réduite Démonstration: V (Z) = = = =

X −µ ) V( σ 1 V ( (X − µ)) σ 1 V (X − µ) 2 σ 1.


• Les Moments Définition: Moments d’ordre r par rapport a` c µr (c) = E[(X − c)r ]

r ∈ IN , c ∈ IR

Cas particuliers: 1. Moment par rapport à l’origine (c = 0): X 0 r µr = E[X ] = xr p x x

Exemple: La moyenne est le moment par rapport a` l’origine d’ordre 1 (r = 1) 2. Moment centré (c = µ): X r µr = E[(X − µ) ] = (x − µ)r px x

Exemple: La variance est le moment centré d’ordre 2 (r = 2)


PROPRIETES: µ00 = µ0 = 1 µ01 = E(X) = µ µ1 = 0 µ2 = E[(X − µ)2] = σ 2 Démonstration: exercice.

Expression utile: E(X 2) = σ 2 + µ2 Démonstration: σ 2 = E[(X − µ)2] = E(X 2 − 2Xµ + µ2) = E(X 2) − 2µE(X) + µ2 = E(X 2) − µ2


• Médiane Définition: La médiane x1/2 est telle que: 1 1 P (X < x1/2) ≤ et P (X ≤ x1/2) ≥ 2 2

Remarque: analogie avec la statistique descriptive.


6.6

Fonctions g´ en´ eratrices des moments

• Définition: Soit une DP {(x, px), x ∈ V }. La fonction génératrice des moments est: X tX MX (t) = E[e ] = etxpx ∀t ∈ IR. x

Remarque: MX (t) n’existe pas toujours (condition d’existence). • Décomposition en utilisant le développement en série de etx: X t2x2 tr xr (1 + tx + MX (t) = + ... + + . . .)px 2! r! x X X tr X r = px + t xpx + . . . + x px + . . . r! x x x r t = 1 + tµ01 + . . . + µ0r + . . . r!


Ce résultat nous fournit la propriété suivante: • Propriété: Si M (t) existe et admet des dérivées d’ordre r (r = 1, 2, . . .): r M (t) d µ0r = [ ]t=0 r dt px • Exemple: 1 6 3 41 21 4

0 M (t) = E(etX ) =

1 2 X x=0

2 x -

1 1 t 1 2t tx e px = + e + e 4

2

4

1 t 1 2t dM (t) ]t=0 = [ e + e ]t=0 = 1 →µ = [ dt 2 2 2M (t) d 1 t 3 0 2t → µ2 = [ ]t=0 = [ e + e ]t=0 = 2 2 2 dt 3 1 2 0 2 ⇒ σ = µ2 − µ = − 1 = 2 2


6.7

Lois discr` etes particuli` eres

1. Distribution uniforme a) Définition: X ∼ U [1, . . . , n] si 1 P (X = x) = ∀x ∈ V = {1, . . . , n} n

b) Exemples • valeur obtenue par un lancé de dé (n=6) • dans une étude basée sur un échantillon de taille n, il est souvent assumé que chaque individu de l’échantillon a` un poids 1/n.


c) Quelques paramètres • Moyenne (paramètre de position): µ = E(X) =

n X x=1

Aide:

n X x=1

n

1X n+1 xpx = x= n 2 x=1

n(n + 1) x= 2

• Variance (paramètre de dispersion): 2 (n + 1) σ 2 = E(X−µ)2 = E(X 2)−µ2 = E(X 2)− 4 or n n X X 1 2 2 x2 E(X ) = x px = n x=1

x=1

Aide: n X x=1

n(n + 1)(2n + 1) 2 x = 6


Preuve: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 3 ⇒ (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1 n X et [(x + 1)3 − x3] = (n + 1)3 − 1 x=1

En outre n n X X [(x + 1)3 − x3] = (3x2 + 3x + 1) x=1

x=1

= 3(1 + 22 + . . . + n2) + 3(1 + 2 + . . . + n) + n Nous avons donc que: n n X X (n + 1)3 − 1 = 3 x2 + 3 x+n ⇒ ⇒

n X x=1 n X x=1

x=1

x=1

n(n + 1) 1 3 2 − n] x = [(n + 1) − 1 − 3 3

1 2 x = n(n + 1)(2n + 1) 6

2


Donc nous avons: 2 (n + 1)(2n + 1) (n + 1) σ 2 = E(X 2) − µ2 = − 6 4 (n + 1) [4n + 2 − 3(n + 1)] = 12 (n + 1)(n − 1) n2 − 1 = = 12 12

• Skewness (paramètre d’asymétrie): La distribution étant symétrique µ3 = 0. Exercice: Prouver formellement le résultat en utilisant l’aide: n X x=1

2(n + 1)2 n x3 = 4


2. Distribution de Bernouilli a) Définition: X ∼ B(1, p) si les valeurs possibles pour X sont succès (x = 1) et échec (x = 0). En outre la probabilité de succès est égale à p (P (X = 1) = p). b) Exemples • inspection d’une pièce dans un processus industriel (défectueux ou pas) • résultat (réussite ou échec) a` l’examen de statistique. c) Quelques paramètres (exercice) µ = p σ 2 = pq où q = 1 − p µ3 = pq(q − p)


d) Schéma de Bernouilli: Soient - X ∼ B(1, p) ⇒ Expèrience où l’évènement “succès” a une probabilité p de se réaliser - Nous réalisons n expérience sous des conditions uniformes (p est constant) - Les n expériences sont indépendantes Notons x le nombre de succès, y le nombre d’échec ⇓ Plusieurs distributions peuvent être déduites: - si Z=nombre de succès → distribution binomiale - si Z=nombre d’échec avant le premier succès → distribution géométrique - si Z=nombre d’échec avant le rième succès → distribution négative binomiale


3. Distribution binomiale a) Définition: X ∼ B(n, p) si on procède a` un schéma de Bernouilli (n expériences uniformes et indépendante avec probabilité de succès égale a` p) et que X=nombre de succès. b) Exemples • Sélection aléatoire n pièces dans une production et on compte le nombre de pièces conformes • On compte le nombre de fois que l’on gagne (avoir pile) dans un jeu de n pile ou face. c) Distribution de probabilité: - x ∈ {0, 1, ! . . . , n} n - px = pxq n−x (formule du binôme) x


d) Fonction génératrice des moments Rappel: Puissance d’un binôme ! n X n n bxan−x (a + b) = x=0 x Avec cette aide, nous pouvons développer la fonction génératrice des moments: M (t) = E(etX ) = =

n X

n

x=0

x

n X

etxpx =

! x=0

n X

etx

x=0

n

!

x

(pet)xq n−x = (q + pet)n

d) Quelques paramètres • Moyenne: dM (t) µ = [ ]t=0 dt = [n(q + pet)n−1pet]t=0 = n(q + p)n−1p = np

pxq n−x


• Variance: 2(t) dM µ02 = [ ]t=0 2 dt = np[(n − 1)(q + pet)n−2pe2t + (q + pet)n−1et]t=0 = np[(n − 1)p + 1] = np(np + q) Ainsi la variance est déduite par: 2p2 +npq −n2p2 = npq σ 2 = µ2 = µ02 −µ02 = n 1

• Paramètre d’asymétrie (exercice): µ3 = npq(q − p)


e) Fréquence de succès • Soit X le nombre de succès et Y la fréquence de succès: X Y = n

• Valeurs de Y: y ∈ {0, n1 , . . . , 1} • Calculs des probabilités: X py = P (Y = y) = P ( = y) = P (X = ny) n! n = P (X = x) = pxq n−x x • Liens entre les moments de X et Y : X E(Y ) = E( ) = p n X pq V (Y ) = V ( ) = n n


4. Distribution de Poisson a) Contexte: Décrit le nombre d’évènements se produisant sur une période de temps donnée T b) Exemples • Le nombre de faillites sur une journée dans un secteur industriel. • Le nombre d’accidents d’avion sur une année. c) Distribution de probabilité: X ∼ P (λ) avec comme support x ∈ {0, 1, 2, . . .} où e−λλx λ ∈ IR+ P (X = x) = px = 0 x! Remarque: ∞ ∞ −λ x ∞ x X X X λ e λ −λ px = =e = e−λeλ = 1 x! x!

x=0

x=0

x=0


d) Fonction génératrice des moments: ∞ ∞ −λλx X X e M (t) = E(etX ) = etxpx = etx x! = e−λ

x=0 ∞ x X (λet)

x=0

x!

x=0

t−1) t λ(e −λ λe =e e =e

e) Quelques moments: • La moyenne: t−1) dM (t) t λ(e µ=[ ]t=0 = [λe e ]t=0 = λ dt • Moments d’ordre 2 2(t) t−1) t−1) dM 0 t λ(e t t λ(e µ2 = [ ]t=0 = λ[e e + e λe e ]t=0 2 dt = λ + λ2 ⇓ 2 − λ2 = λ σ 2 = µ2 = µ02 − µ02 = λ + λ 1

• Moments d’ordre 3 et 4 µ3 = λ

µ4 = λ + 3λ2


f) Limite de la distribution binomiale quand la probabilité de succès est faible (p → 0) et que le nombre d’essais est grand (n → ∞) Preuve: Soit X ∼ Bin(n, p) où p = λ/n n! pxq n−x P (X = x) = x!(n − x)! nx x n! n−x = x p (1 − p) n x!(n − x)! n! nx x (1 − p)n = xp n (1 − p)x x!(n − x)! (np)x 1 n! n = (1 − p) x x x! (1 − p) n (n − x)! (λ)x 1 λ n = (1 − ) x x! (1 − p) n n(n − 1) . . . (n − x + 1) nx Pour n → ∞, p → 0 et np → λ, on obtient: (λ)x −λ P (X = x) → e ∗1 x!


La qualité de l’approximation dépend des valeurs de n et p. Exemples • X ∼ Bin(50, 0.10) P(X=5)=0,1849 F(5)=0,6161 • X ∼ Bin(100, 0.05) P(X=5)=0,1800 F(5)=0,6160 • X ∼ P (5) P(X=5)=0,1755 F(5)=0,6160


g) Introduction intuitive de la loi de Poisson: Soit X le nombre d’arrivées d’un phénomène dans l’intervalle de temps: −−−|−−−−|−−−−−−|−−−−|−−−−|−−−− 0

↑

↑

t

t + ∆t

Posons les hypothèses suivantes: • P(1 arrivée dans ∆t) = α∆t • P(plus qu’une arrivée dans ∆t) ≈ 0 • Des événements arrivant dans des intervalles disjoints sont indépendants. Notons px(t+∆t) la probabilité d’avoir x arrivée dans l’intervalle de temps [0, t + ∆t] Deux possibilités: • x arrivées dans [0, t] et 0 arrivée dans [t, ∆t] • x − 1 arrivées dans [0, t] et une dans [t, ∆t]


Donc, px(t + ∆t) = px(t)[1 − α∆t] + px−1(t)α∆t = px(t) − α∆tpx(t) + α∆tpx−1(t) px(t + ∆t) − px(t) ⇒A= = α[px−1(t)−px(t)] ∆t En prenant comme conditions initiales: • p0(0) = 1 • px(0) = 0, la dérivée: dpx(t) = α[px−1(t) − px(t)] lim A = dt ∆t→0 a comme solution: e−λλx px(t) = où λ = αt x! qui est la fonction de probabilité d’une variable aléatoire de Poisson de paramètre αt.


5. Distribution g´ eom´ etrique a) Définition: Schéma de Bernouilli (expériences uniformes et indépendantes avec probabilité de succès égale à p) où n n’est pas fixé a priori. X=nombre d’essais précédant le premier succès. b) Exemples: • Nombre de lancé d’un dé avant d’avoir 1. • En répondant au hasard: le nombre de QCM faux avant d’avoir une bonne réponse. c) Distribution de probabilité: P (X = x) = px = pq x

x ∈ {0, 1, 2, . . .}

d) Fonction génératrice des moments: M (t) = E(etX ) =

∞ X x=0

etxpq x = p

∞ X x=0

(qet)x =

p 1 − qet


e) Quelques moments: • La moyenne: dM (t) pqet pq q µ=[ ]t=0 = [ ]t=0 = 2 = t 2 dt p (1 − qe ) p • Moments d’ordre 2 2(t) dM µ02 = [ ]t=0 2 dt et(1 − qet)2 + 2etqet(1 − qet) ]t=0 = pq[ t 4 (1 − qe ) (1 − q)2 + 2qp q(p + 2q) q(1 + q) = pq = = 4 2 p p p2 2 q q q(1 + q) 2 − 2= 2 ⇒σ = 2 p p p e) Définition alternative: Y =nombre d’essais nécessaire pour avoir le premier succès. • Y = X+1; P(Y=y)=pqy−1 pet tY • M (t) = E(e ) = 1−qet dM (t) • µ = [ dt ]t=0 = p1 et σ 2 = pq2 .

y ∈ {1, 2, . . .}


6. Distribution binomiale n´ egative a) Définition: Schéma de Bernouilli (expériences uniformes et indépendantes avec probabilité de succès égale à p) où n n’est pas fixé a priori. X=nombre d’échec avant le rième succès. b) Exemples • Nombre de pile obtenus avant d’avoir 5 faces. • En répondant au hasard: le nombre de QCM faux avant d’avoir 3 bonnes réponses. c) Distribution de probabilité: r−1 pr q x P (X = x) = Cx+r−1

x ∈ {0, 1, 2, . . .}

d) Fonction génératrice des moments: M (t) = E(etX ) = = pr

∞ X x=0

∞ X

r−1 pr q x etxCx+r−1

x=0 r−1 (qet)x = Cx+r−1

pr (1 − qet)r


e) Quelques moments (exercice): • La moyenne: rq µ= p

rq 2 σ = 2 p

e) Définition alternative: Y =nombre d’expérience nécessaire pour avoir r succès. b) Exemples • Nombre de lancés nécessaires pour obtenir 5 faces. • En répondant au hasard: le nombre de QCM nécessaires avant d’avoir 3 bonnes réponses.


7. Distribution hyperg´ eom´ etrique a) Définition: On prélève n individus dans une population de taille N de manière aléatoire, mais sans remise. Chaque individu possède (succès) ou ne possède pas (échec) une certaine caractéristique. Dans la population M individus possèdent cette caractéristique. Soit X=nombre de succès. b) Distribution de probabilité: ! ! M N −M P (X = x) =

x N

n−x !

n où x ∈ {max(0, n−(N −M )), . . . , min(n, M )}. c) Moyenne et variance: Notons π = M N N −n 2 µ = nπ σ = nπ(1 − π) N −1

Universit´ e Libre de Bruxelles

Ann´ ee acad´ emique 2009-2010

STAT-D-101 Catherine Dehon

S´ eance 1 : Introduction1 Exercice 1 Utilisez le signe de sommation pour écrire les expressions suivantes : 1. y1 + y2 + y3 + y4 + y5 ; 2. n1 x1 + n2 x2 + . . . + nJ xJ ; 3. f1 (x1 − a)2 + f2 (x2 − a)2 + . . . + fJ (xJ − a)2 .

Exercice 2 L’étudiant nommé Crésus re¸coit de ses parents chaque mois 100 Euros comme argent de poche. 1. Calculez l’argent de poche re¸cu sur une année. Crésus, étant relativement dépensier, travaille également pour gagner de l’argent. La somme d’argent gagnée varie selon les mois : Mois Somme d’argent

Jan 100

Fev 125

Mars 100

Avril 150

Mai 175

Juin 125

Juil 150

Aôut 200

Sept 250

Oct 100

Nov 150

2. Calculez le montant total d’argent dont Crésus peut disposer sur une année. Néanmoins, Crésus a un GSM dont le coˆ ut fixe par mois est de 15 Euros. 3. Calculez la somme d’argent disponible pour une année aprés avoir retenu les frais de son GSM.

Exercice 3 Considérons la série statistique de taille 5 :{x1 = 1; x2 = 4; x3 = 5; x4 = 3; x5 = 2}. Déterminez la valeur des sommes suivantes : P5 1. i=1 xi ; P5 2. i=1 4xi ; P 3. x = 15 5i=1 xi ; P5 4. i=1 (xi − x) ; P5 2 5. i=1 xi . 1

Les énoncés sont disponibles sur le site www.ulb.ac.be/soco/statrope

1

Dec 125

Exercice 4 Trouver la valeur minimale de n (n ≥ 1) tel que : n 5 2 1− ≥ 0.95. 3

Exercice 5 Considérons l’ensemble E de R suivant : {1, 3, 15, 31, 42, 100}. On note A = {1, 15, 42}, B = {1, 15, 100} et C = {3, 31}. 1. Déterminer les ensembles A, A ∪ B, A ∩ B et A \ B. 2. Vérifier que A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A).

Exercice 6 Calculer les sommes suivantes : P10 2 k P10 2 k 1. k=1 ( 5 ) et k=0 ( ) ; P∞ 1 k P∞ 51 k 2. k=1 ( 5 ) et k=0 ( 5 ) .

Exercice 7 Soient p et n deux entiers naturels tel que, 1 ≤ p ≤ n. Montrez que : n n . = 1. n−p p n+1 n n . = + 2. p+1 p p+1 Pn n k = 0. 3. k=0 (−1) k Pn n = 2n . 4. k=0 k

Exercice 8 Considérons la série de variables suivante : nombre d’enfants dans une famille, couleur des yeux, catégorie socio-professionnelle, commune de naissance, niveau de scolarité, revenu, poids, sexe, age, langue maternelle, type de voiture, taille, nombre de grains de beauté sur la peau, taille de grains de beauté. Spécifier pour chacune de ces variables si elle est qualitative, quantitative, continue, discrète, ordinale ou nominale.

2




S´ eances 2, 3 et 4 : Statistique descriptive d’une s´ erie 1 univari´ ee Exercice 1 Un constructeur d’automobiles a demandé a` 150 individus de faire part de leur préférence concernant la couleur de la voiture. Les résultats qu’il obtient sont les suivants : Couleurs Effectifs

Blanc 43

Noir 30

Rouge 15

Bleu 32

Vert 30

1. De quel type est la variable ? 2. Donnez le tableau de la distribution observée. 3. Représentez graphiquement la distribution de la variable. 4. Quels paramètres de cette distribution peuvent être calculés ? 5. Déterminez la valeur de ces paramètres.

Exercice 2 Lors d’une étude en psychologie sociale sur la mobilité géographique, on a interrogé 50 personnes pour savoir si elles passaient leurs vacances a` l’étranger. Les effectifs obtenus sont les suivants : Vacances ` a l’´ etranger Effectifs

Jamais 5

Parfois 19

Souvent 23

Toujours 3

1. De quel type est la variable ? 2. Donnez le tableau de la distribution observée (effectifs et effectifs cumulés). 3. Représentez graphiquement la distribution de la variable. 4. Quels paramètres de cette distribution peuvent être calculés ? 5. Déterminez la valeur de ces paramètres. 1


1

Exercice 3 Soit la population des étudiants de première bachelor a` l’ULB en ingénieur de gestion. Une étude de la Communauté Fran¸caise (en charge de l’enseignement secondaire) s’intéresse a` l’âge de ces étudiants. Pour ce faire, on prélève un échantillon de taille n = 50. Les résultats sont les suivants : 17 18 21 17 18

20 18 18 17 17

19 17 19 19 19

18 18 20 18 21

21 18 18 18 18

18 20 17 17 20

18 20 21 21 18

19 17 19 19 17

19 18 17 17 19

18 17 18 20 17

1. De quel type est la variable ? 2. Donnez le tableau de la distribution observée (effectifs et effectifs cumulés). 3. Représentez graphiquement la distribution de la variable. 4. Quels paramètres de cette distribution peuvent être calculés ? 5. Déterminez la valeur de ces paramètres.

Exercice 4 On a mesuré, en millisecondes, a` quelle vitesse 50 enfants de quatre ans identifiaient des images simples (ours, lapin, chat . . . ). Les résultats sont les suivants : 24 27 33 21 29

27 30 27 25 24

33 15 20 25 23

21 27 32 29 27

27 24 28 25 17

19 34 27 24 15

23 18 22 32 21

23 20 17 31 28

24 21 30 28 24

19 15 18 20 23

1. De quel type est la variable ? 2. Regroupez les 50 valeurs en classes. Prenez des classes de longueur 4 et le début de la première classe en 14,5. Donnez le tableau de la distribution groupée (effectifs et effectifs cumulés). 3. Représentez graphiquement la distribution groupée. 4. Quels paramètres de cette distribution groupée peuvent être calculés ? 5. Déterminez la valeur de ces paramètres.

2

Exercice 5 Considérons une série statistique {x1 , . . . , xi , . . . , xn } relative a` un caractère quantitatif X et le changement d’origine et d’unité suivant :

yi =

xi −a d ,i

= 1, . . . , n.

Soient x et s2x la moyenne et la variance de la série {x1 , . . . , xi , . . . , xn } et y et s2y celles de la série {y1 , . . . , yi , . . . , yn }. Démontrez que : x−a d ; 2 s2y = sdx2 .

1. y = 2.

Exercice 6 Une enquête sur le taux de chômage des jeunes femmes en 2002 dans les directions subrégionales de Namur et Charleroi a été réalisée. La direction subrégionale de Namur comprend 31 communes et celle de Charleroi 26 communes. Le taux de chômage moyen des jeunes femmes à Namur est de x1 = 32% avec un écart-type de s1 = 10%. Le taux de chômage moyen des jeunes femmes à Charleroi est de x2 = 34% avec un écart-type de s2 = 5%. 1. Enoncez les formules d’agrégation de la moyenne et de la variance en définissant soigneusement chacune des composantes. 2. Calculez la moyenne globale x et la variance globale s2 du taux de chômage pour l’échantillon obtenu en regroupant les communes de Namur et de Charleroi.

Exercice 7 Roméo quitte son domicile a` 20 heures pour se rendre chez Juliette a` la vitesse moyenne de 200 km/h. Il la quitte à 23 heures et retourne chez lui a` la vitesse moyenne de 40 km/h. Supposons que la distance à l’aller égale celle du retour. 1. Quelle est dans ce cas la vitesse moyenne de Roméo sur l’aller-retour ? 2. Comment calculer cette vitesse rapidement ?

Exercice 8 Une personne place une somme d’argent K dans une banque pendant une période de 3 ans. Dans cette banque le taux d’intérêt varie d’une année a` une autre. Il est de 20% la première année, 10% la seconde année et de 6% la troisième année. 1. Le taux d’intérêt moyen pour l’ensemble de ces trois années est-il de 12% ? 2. Comment calculer ce taux rapidement ?

3

Exercice suppl´ ementaire 1 Considérons la série statistique de taille n : {x1 ; x2 ; . . . ; xn }. Montrez que : Pn Pn 1 1. xi ; i=1 (xi − x) = 0, si x = n Pn Pn i=1 2 1 1 2 2 2. sx = n i=1 (xi − x) = n i=1 xi − x2 .

Exercice suppl´ ementaire 2 Soit {x1 , . . . , xn } une série statistique univariée de moyenne x et de variance s2x . Calculez la moyenne et la variance de la série des valeurs centrées et réduites {z1 , . . . , zn } o` u zi = xis−x . x

Exercice suppl´ ementaire 3 On a calculé la moyenne et la variance d’une série de 10 observations et on a obtenu les résultats suivants : x = 5.9 et s2x = 4.83. On a constaté ultérieurement qu’une des observations initiales avait été transcrite de fa¸con erronée : la valeur considérée au cours des calculs était 8.5 alors que la valeur exacte est en réalité 6.5. La moyenne et la variance sont recalculées sur les données corrigées. Calculez la moyenne et la variance exactes.

Exercice suppl´ ementaire 4 (suite de l’exercice 6) Dans les 2 échantillons, nous avons centré les données par rapport à la moyenne globale x de telle sorte que la moyenne globale sur les données centrées soit : xnew = 0. 1. Calculez les nouvelles moyennes et variances des 2 comités subrégionaux : x1,new , x2,new , s21,new et s22,new . 2. Calculez la variance globale s2new pour l’échantillon obtenu en regroupant les communes de Namur et de Charleroi.

Exercice suppl´ ementaire 5 Construisez deux séries statistiques univariées constituées de 6 observations chacune, {x1 , x2 , . . . , x6 } et {y1 , y2 , . . . , y6 }, telles que, 1. x1/2 = y1/2 mais x¯ > y¯, o` u x1/2 et y1/2 désignent les médianes des deux séries statistiques. 2. x1/2 = y1/2 mais EDx > EDy , o` u EDx et EDy désignent les deux écarts interdéciles des deux séries statistiques. 3. Ex = Ey mais x¯ > y¯, o` u Ex et Ey désignent les deux étendues des deux séries statistiques. 4. xM = yM et x¯ > y¯, o` u xM et yM désignent les modes des deux séries statistiques. 5. x¯ = y¯ et sx > sy . 4




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S´ eances 5, 6 et 7 2 : Introduction ` a la th´ eorie probabiliste

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Exercice 1 a) Avec les chiffres 0 et 1, on peut former 8 séquences de longueur 3 : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Combien de séquences de longueur 10 peut-on former ? b) Combien de mots de longueur 100 peut-on former avec les lettres K, A, H, J, D, I ? c) Combien de mots de longueur n peut-on former avec un alphabet de m lettres ?

Exercice 2 Trois filles (Annie, Julie et Nathalie) et trois gar¸cons (Damien, Eric et Jonathan) font la file devant un distributeur automatique de billets. a) Il y a combien d’arrangements possibles ? b) Il y a combien d’arrangements possibles si les trois filles doivent être ensemble et les trois gar¸cons doivent être ensemble ? c) Il y a combien d’arrangements possibles si on exige seulement que les trois filles soient ensemble ?

Exercice 3 On lance simultanément deux dés numérotés de 1 à 6. Déterminer l’ensemble fondamental Ω dans les cas suivants : a) les deux dés sont distincts (par exemple un rouge et un bleu). b) les deux dés sont identiques. c) les deux dés sont identiques et on s’intéresse seulement à la parité du résultat.

Exercice 4 Soit L’expérience aléatoire consistant au lancé de deux dés à 6 faces. Nous sommes intéressés par les deux évènements suivants : – A : avoir comme résultat deux fois le même nombre (la même face) – B : avoir au moins une fois la face numérotée 5. a) Démontrez à partir des 3 axiomes définissant la probabilité que : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). b) Calculez chacune des 4 probabilités énoncées dans la formule par rapport au cas concret explicité ci-dessus et montrez que l’égalité énoncée ci-dessus est bien correcte. c) Les événements A et B sont-ils dépendants ? mutuellement exclusifs ? 1


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Exercice 5 Dix couples sont réunis dans une soirée. On admet que, pour danser, chaque homme choisit une femme au hasard. a) Quelle est la probabilité pour que chacun des 10 hommes danse avec son épouse ? b) Quelle est la probabilité pour que monsieur Dupond danse avec son épouse ? c) Quelle est la probabilité pour que monsieur Dupond et monsieur Durand dansent avec leur épouse ? d) Quelle est la probabilité pour que monsieur Dupond ou monsieur Durand dansent avec leur épouse ?

Exercice 6 On cherche une lettre qui a la probabilité 0.2 de se trouver dans l’un des quatre tiroirs d’un secrétaire. On note A l’événement “la lettre est dans le quatrième tiroir” et B l’événement “la lettre n’est pas dans les trois premiers tiroirs”. ¯ et P (A ∩ B). ¯ a) Calculez les probabilités P (A ∩ B), P (B ∩ A) b) En déduire les probablités P (A), P (B) et P (A|B). c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?

Exercice 7 Sept personnes prennent place au rez-de-chaussée dans un ascenseur d’un immeuble de dix étages. Chacune choisit l’étage o` u elle sort de l’ascenseur. Quelle est la probabilité que : a) elles sortent toutes à des étages différents ? b) deux personnes au moins descendent à un même étage ? c) trois personnes déterminées à l’avance descendent à un même étage et toutes les autres ` a des étages différents ? d) trois personnes (n’importe lesquelles) descendent à un même étage et toutes les autres ` a des étages différents ? e) trois personnes (n’importe lesquelles) descendent à un même étage, deux autres (n’importe lesquelles) descendent à un autre étage et les deux dernières encore à un autre étage ?

Exercice 8 Un livre contient cinq fautes d’orthographe. A chaque relecture, on a une probabilité de 1/3 de détecter et de corriger une faute. On effectue successivement plusieurs relectures indépendantes. Soit n le nombre de relectures nécessaires pour qu’il ne reste aucune faute avec une probabilité supérieure ou égale à 0.9. a) Pour chaque faute, quelle est la probabilité pour qu’elle soit corrigée en n relectures ? b) Quelle est la valeur minimale de n ?

Exercice 9 Dans une rue, un panneau publicitaire est remarqué par un passant sur quatre. On suppose que, pour un passant, l’événement ” remarquer le panneau numéro i ” est indépendant de l’événement ” remarquer le panneau numéro j ”. a) Sachant que l’on dispose de deux panneaux dans la même rue, calculer la probabilité qu’un passant remarque exactement un seul panneau publicitaire.

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b) Sachant que l’on dispose de trois panneaux dans la même rue, calculer la probabilité qu’un passant remarque au moins un panneau publicitaire. c) Combien doit-il y avoir de panneaux pour que plus de 95% des passants remarque au moins une publicité ?

Exercice 10 Dans l’entrepôt d’une certaine usine de fabrication de clous, 50% des clous ont été fabriqués par la machine A, 30% par la machine B et 20% par la machine C. Parmi les clous fabriqués par la machine A, 3% sont défectueux. Parmi ceux fabriqués par la machine B, 5% sont défectueux et parmi ceux fabriqués par la machine C, 8% sont défectueux. On tire un clou au hasard d’un lot constitué de clous fabriqués. a) Quelle est la probabilité que ce clou ne soit pas défectueux ? b) Sachant que le clou est défectueux, quelle est la probabilité qu’il soit fabriqué par la machine B?

Exercice suppl´ ementaire 1 Une personne rentre chez elle après une soirée un peu trop arrosée. Elle ne sait plus laquelle des 10 clés qui se trouvent dans sa poche ouvre la porte de son domicile. Elle essaie donc les clefs une ` a une sans utiliser deux fois la même. Déterminer la probabilité pour que la k-ième clé soit la bonne (1 ≤ k ≤ 10).

Exercice suppl´ ementaire 2 On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de sept étages. La probabilité qu’il se trouve dans l’un des sept étages est 0.6 et qu’il se trouve au rez-de-chaussée est 0.4. Chacun des sept étages est susceptible de cacher le parapluie avec la même probabilité. On a fouillé les six premiers étages et on en a rien trouvé. Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au septième étage ?

Exercice suppl´ ementaire 3 Deux étudiants et 14 étudiantes sont assis au hasard sur 16 chaises formant une ligne. a) Quelle est la probabilité que les deux étudiants soient assis un à côté de l’autre ? b) Quelle est la probabilité que les deux étudiants occupent les deux extrémités de la ligne ?

Exercice suppl´ ementaire 4 Deux étudiants et 14 étudiantes sont assis au hasard sur 16 chaises formant un cercle. a) Quelle est la probabilité que les deux étudiants soient assis un à côté de l’autre ? b) Quelle est la probabilité que les deux étudiants occupent deux chaisses diamétralement opposées ?

Exercice suppl´ ementaire 5 On tire au hasard un nombre de 9 chiffres. Calculez la probabilité p que tous les chiffres soient différents.

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Exercice suppl´ ementaire 6 Soient A et B des événements tels que P (A) = 51 et P (A ∪ B) = 12 . a) Supposons que A et B soient des événements mutuellements exclusifs. Calculez P (B). b) Supposons que A et B soient des événements indépendants. Calculez P (B).

Exercice suppl´ ementaire 7 Une étude a classé les gérants de portefeuilles en deux catégories : ceux qui sont bien informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu’un gérant bien informé achète une valeur boursière pour son client, la probabilité que le cours de celle-ci monte est de 0,8. Dans le cas d’un gérant mal informé, cette probabilité ne vaut que 0,5. Si on choisit au hasard un gérant dans un annuaire professionnel, la probabilité qu’il soit bien informé est de 0,2. Calculez la probabilité qu’un gérant choisi au hasard soit mal informé, sachant que la valeur qu’il a achetée a monté.

Exercice suppl´ ementaire 8 Un étudiant répond à une question à choix multiple. De deux choses l’une : soit il connaˆıt la réponse, soit il la devine. Soit p la probabilité que l’étudiant connaise la réponse (et donc 1 − p celle qu’il la devine). On admet que l’étudiant qui tente de deviner la réponse, répondra correctement avec une probabilité 1/m, o` u m est le nombre de modalité qu’offre la question. Quelle est la probabilité qu’un étudiant connaisse la réponse à la question s’il y a répondu correctement ?

Exercice suppl´ ementaire 9 Un étudiant doit suivre 2 cours de math (M1, M2), 3 cours de chimie (C1, C2, C3), et 4 cours de physique (P1, P2, P3, P4). Il décide de n’assister qu’à 3 cours. S’il choisit au hasard, quelle est la probabilité qu’il assiste aux deux cours de math ? n’assiste à aucun cours de math ? n’assiste qu’` a un cours de math ?

Exercice suppl´ ementaire 10 On considère une classe de 42 élèves. On suppose qu’il n’y a pas d’année bissextile. a) Quelle est la probabilité pour que deux élèves au moins aient la même date d’anniversaire ? b) Quelle est la probabilté pour qu’au moins un élève ait la même date d’anniversaire que Socrate ?

Exercice suppl´ ementaire 11 Dans une classe de 21 étudiants, une personne raconte une histoire à une seconde personne qui la raconte à une troisième et ainsi de suite. A chaque étape, l’individu, à qui l’on raconte l’histoire, est choisi au hasard. Chacune des étapes est indépendantes des autres. Notons p1 la probabilité que l’histoire ne revienne pas à son inventeur et p2 la probabilité qu’elle ne soit jamais répétée deux fois à la même personne. L’histoire étant racontée 8 fois, calculer p1 et p2 .

Exercice suppl´ ementaire 12 Dans une population donnée, un individu peut être atteint d’une affection A avec la probabilité pA = 1/100 et d’une affection B, indépendante de A, avec une probabilité pB = 1/20. Quelle est la probabilité pour qu’un individu choisi au hasard soit atteint d’au moins une des deux maladies ? 4




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erie S´ eances 7 2 et 8 : Statistique descriptive d’une s´ 1 bivari´ ee Exercice 1 Une enquête réalisée auprès des familles d’une ville comporte les deux questions suivantes : – Combien avez-vous eu d’enfants jusqu’à ce jour ? – Combien de télévisions avez-vous ? En ne considérant que 257 familles ayant au moins une télévision et au moins un enfant, on construit un tableau de contingence résumant les réponses données a` ces deux questions. Le tableau de contingence observé est le suivant :

Nombre de t´ el´ evision X 1 2 3 4

Nombre d’enfants 1 2 3 4 5 12 11 15 15 7 9 6 8 3 4 11 12 11 15 17 10 12 11 15 17

Y 6 10 6 10 10

1. Déterminez les distributions marginales. 2. Déterminez les moyennes et variances marginales. 3. Déterminez le nombre moyen de téléviseurs que possède une famille de 4 enfants. Déterminez également la variance dans ce cas. 4. Calculez la covariance entre X et Y . 5. Calculez le coefficient de corrélation entre X et Y .

Exercice 2 L’association nationale des entrepreneurs du bâtiment évalue les marchés immobiliers les plus abordables et les moins abordables. Les données sur le revenu moyen (en milliers de dollars) et le prix de vente moyen (en milliers de dollars) d’un échantillon de 12 marchés immobiliers choisis parmi la liste des marchés les plus abordables, sont présentés ci-dessous (The Wall Street Journal Almanac 1998).

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March´ e Syracuse, NY Springfield, IL Lima, OH Dayton, OH Beaumont, TX Lakeland, FL Baton Rouge, LA Nashau, NH Racine, WI Des Moines, IA Minneapolis-St. Paul, MN Wilmington, DE-MD

Revenu 41.8 47.7 40 44.3 37.3 35.9 39.3 56.9 46.7 48.3 54.6 55.5

Prix 76 91 65 88 70 73 85 118 81 89 110 110

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Déduisez de cet énoncé la variable explicative et la variable réponse. Représentez graphiquement ces données. Déterminez les moyennes et variances marginales, ainsi que la covariance. Déterminez l’équation de la droite de régression correspondante. Est-ce que cette équation est bien adaptée aux données ? Expliquez. Calculez les variances résiduelle et de régression. Le revenu moyen a` Binghamton, dans l’Etat de New York, s’élève a` 40100 dollars. Utilisez l’équation estimée de la régression pour prévoir le prix de vente moyen des maisons vendues sur le marché de Binghamton. 8. Calculez la valeur prédite et le résidu correspondants à l’observation Springfield. 9. Que valent la moyenne des résidus et la moyenne des valeurs prédites ?

Exercice 3 Dans une enquête réalisée auprès de 200 personnes en activité, deux variables qualitatives étaient mesurées. La première consistait a` savoir leur niveau d’études et la deuxième portait sur le secteur o` u ils travaillaient. Le tableau de contingence observé est le suivant : njk Primaire Secondaire Supérieur

1. 2. 3. 4.

Public 10 25 35

Privé 4 16 60

Autre 30 15 5

Déterminez les profils-lignes et les profils-colonnes. Calculer les effectifs théoriques espérés sous l’hypothèse d’indépendance. Calculer les écarts a` l’indépendance. Interpréter ces écarts. Calculer la mesure d’association D2 . 2

Exercice suppl´ ementaire 1 Une société de consultance a relevé le revenu annuel X (en milliers d’euros) et l’épargne correspondante Y (en milliers d’euros) de 12 familles. Les résultats sont dans le tableau suivant : Famille Revenu Epargne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 21 19 23 19 20 24 18 19 21 21 22 2.2 1.8 1.9 1.9 2.3 1.9 2.0 2.4 1.8 1.9 2.1 2.2

1. Déterminez les moyennes et les variances marginales. 2. Déterminez la moyenne et la variance de l’épargne des familles qui ont un revenu supérieur ou égal a` 21 mille euros. 3. Déterminez l’équation de la droite de régression de Y en X. 4. Est-ce que cette équation est bien adaptée aux données ? Expliquez. 5. Calculez les variances résiduelle et de régression. 6. Calculez la valeur prédite et le résidu correspondant à la famille 8.

Exercice suppl´ ementaire 2 Un échantillon de 82 femmes aˆgées de plus de 40 ans et ayant au moins un enfant, a été classé selon les deux critères suivants : le nombre de frères et soeurs (vivants ou décédés) (Y ) et le nombre d’enfants (X). Les résultats obtenus sont présentées dans le tableau suivant : Nombre d’enfants X 1 2 3 4 5

Nombre de fr` eres et soeurs Y 0 1 2 3 4 4 4 1 1 0 9 15 5 2 0 4 11 9 2 0 1 5 1 1 2 0 2 1 0 2

1. Déterminez les distributions marginales. 2. Déterminez les moyennes et variances marginales. 3. Déterminez les distribution conditionnelles de Y en X = 3 et de X en Y = 2. Déterminez également les moyennes et variances conditionnelles. 4. Calculez la covariance entre X et Y . 5. Calculez le coefficient de corrélation entre X et Y .

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Exercice suppl´ ementaire 3 Le tableau suivant donne la répartition de 200 étudiants de première année universitaire selon deux caractères statistiques : l’âge X et le principal sport pratiqué Y . njk 18 ans 19 ans 20 ans 21 ans

Football 45 29 18 14

Natation 23 18 10 8

Tennis 15 8 3 2

Equitation 3 2 2 0

1. De quels types sont les deux variables ? 2. Quels paramètres peuvent être calculés pour chacune de ces deux variables ? 3. Calculer la moyenne et la variance de la distribution marginale en X. 4. Calculer les effectifs théoriques espérés sous l’hypothèse d’indépendance entre X et Y. 5. Calculer les écarts a` l’indépendance. 6. Calculer la mesure d’association D2 .

Exercice suppl´ ementaire 4 Dans une classe, on a mesuré la taille (en pouces) et le poids (en livres) de 10 élèves. L’objectif est d’étudier le poids (Y ) en fonction de la taille (X). Le tableau ci-dessous présente les résultats obtenus par les 10 élèves Nom Taille Poids

Albert 69.0 112.5

Alice Cindy Carol Henry July Jane Janet Jack John 56.5 65.3 62.8 63.5 57.3 59.8 62.5 62.5 59.0 84.0 98.0 102.5 102.5 83.0 84.5 112.5 84.0 99.5

1. Calculez le coefficient de corrélation entre X et Y . 2. Déterminez l’équation de la droite de régression de Y en X. 3. Est-ce que cette équation est bien adaptée aux données ? Expliquez. 4. Calculez les variances résiduelle et de régression. 5. Sachant que 1 pouce = 2.54 cm et 1 livre = 0.454 kg. A quel poids (en kg) peut-on s’attendre chez un élève qui mesure 177.8 cm ?

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S´ eances 9 et 10 2 : Analyse d’une s´ erie chronologique

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Exercice 1 Pendant trois semaines consécutives, on a observé le nombre de visiteurs d’un musée dont les jours de fermeture sont le samedi et le dimanche.

Première semaine Deuxième semaine Troisième semaine

Lundi 7 8 10

Mardi 5 9 11

Mercredi 35 45 25

Jeudi 5 8 9

Vendredi 6 9 11

Considérons un modèle additif sans composante cyclique : Y = T + S + E. 1. Représentez graphiquement Y en fonction du temps. Pourquoi prend-on un modèle additif ? 2. Calculez les moyennes mobiles d’ordre 5, notées M M (5). Représentez graphiquement cette moyenne mobile. Pourquoi prend-on un ordre 5 ? 3. Effectuez un ajustement linéaire sur cette série chronologique Y . Représentez graphiquement cet ajustement. 4. Déterminez les composantes saisonnières par la méthode de comparaison à la tendance. 5. Sur base du modèle additif et des résultats ci-dessus, donnez la prévision pour le lundi et le mardi de la 4ième semaine.

Exercice 2 Les 12 observations suivantes représentent le nombre de magasins ouverts, par trimestre et pendant trois années, dans une station de sport d’hiver :

Ann´ ees 2002 2003 2004

T1 60 72 86

Trimestres T2 T3 30 10 36 18 29 20

T4 85 74 100

1. Calculez les moyennes mobiles centrées d’ordre 4, notées M M C(4). 2. Déterminez les composantes saisonnières par la méthode de comparaison à la moyenne mobile. 1


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Exercice 3 Les 10 observations suivantes représentent la valeur d’une action observée pendant 10 mois consécutifs : t Y

1 40

2 41

3 40

4 39

5 77

6 70

7 40

8 17

9 25

10 39

1. Effectuez une prévision par lissage exponentiel simple de la valeur de cette action pour le 11ième mois, avec comme valeur de α = 0.3. 2. Supposons que l’observation pour le 11ième mois soit 50. Effectuez alors une prévision de la valeur de cette action pour le 12ième mois en utilisant votre résultat en 1.

Exercice suppl´ ementaire 1 Le tableau ci-dessous contient des valeurs expérimentales de la pression P (en Pascals) d’un certain gaz en fonction de son volume V (en m3 ) : P V

65 50

50 60

40 70

35 80

50 55

On suspecte entre P et V une relation de la forme ” P.V b = c ”, o` u b et c sont des constantes. 1. Estimez la valeur de ces constantes en utilisant les résultats d’un certain ajustement linéaire au sens des moindres carrés. 2. En utilisant cet ajustement, estimez la valeur de P pour le cas o` u V vaut 100 m3 .

Exercice suppl´ ementaire 2 La production annuelle d’électricité pour les entreprises publiques d’un pays pendant ces 7 dernières années est : t Y

1998 3.5

1999 2.5

2000 4.3

2001 3

2002 1.5

2003 3.2

2004 3

1. Effectuez un ajustement hyperbolique ( prendre une hyperbole équilatère) sur ces données. 2. Sur base de cet ajustement, donnez une prévision de la production annuelle d’électricité pour l’année 2005.

2




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eatoires et lois de S´ eances 10 2 , 11 et 12 : Variables al´ probabilit´ e discr` etes 1 Exercice 1 Soit X la variable aléatoire dont la loi est définie par le tableau suivant : k P (X = k)

1 0.25

2 0.1

3 0.2

4 p

5 0.35

1. Déterminer la valeur de p. 2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. 3. Calculer le mode et la médiane de X. 4. Calculer la valeur de la fonction de répartition de X en 2, 2.76 et 7.

Exercice 2 On désigne par X la variable aléatoire qui représente le nombre de boules rouges obtenues après cinq tirages avec remise dans une urne qui contient deux boules rouges et six boules blanches. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer E(X) et V ar(X). 3. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge. 4. Calculer la probabilité que le nombre de boules rouges soit supérieur ou égal à 1 et inférieur àu égal à 3. 5. Calculer les quantiles d’ordre 0.25, 0.5, 0.75 de X. 6. Déterminer la distribution du nombre de boules blanches, parmi les 5 boules tirées. 1


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Exercice 3 Le nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin informatique suit une loi de Poisson de moyenne 8. Calculer la probabilité que dans une journée : 1. on ne vende aucun micro-ordinateur, 2. on vende au moins un micro-ordinateur, 3. le nombre de micro-ordinateurs vendus soit supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à 6.

Exercice 4 On lance 8 balles pour atteindre une cible. Les différents lancements sont indépendants. Si on lance une balle, la probabilité qu’elle atteingne la cible est 0.95. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois que la cible a été atteinte. 1. Déterminez la loi de probabilté de X. 2. Combien de balles seront nécessaires pour être sˆ ur que la cible ait été atteinte au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0.99. 3. Calculez la probabilité que la cible soit atteinte au moins quatre fois. 4. Supposons qu’on lance 100 balles, calculez la probabilité que : i) la cible soit atteinte exactement 96 fois, ii) la cible soit atteinte plus que 92 fois.

Exercice 5 Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir, avec 10 clefs dont une seule est la bonne. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’essais nécessaires jusqu’à l’ouverture de la porte. Le gardien étant ivre, il mélange toutes les clefs à chaque tentative. 1. Quelles sont les valeurs possibles de X ? 2. Calculez la probabilité de l’événement [X = k], o` u k est une valeur prise par X. 3. De quel type de distribution s’agit-il ? 4. Donnez les valeurs de la moyenne et de la variance de X. 5. Quelle est la probabilité que la porte soit ouverte après n tentatives ? 6. Le gardien se dit avant de commencer : “ Si j’essaie n fois, j’ai une probabilité d’au moins 0.95 de réussir à ouvrir la porte”. Quelle est la valeur minimale de n ?

Exercice 6 Dans une urne qui contient 10 boules numérotées de 1 à 10, on extrait 3 boules avec remise. Soient X la variable aléatoire égale au plus grand des 3 numéros tirés. 1. Quelles sont les valeurs possibles de X ? 2

2. Calculez la probabilité de l’événement [X ≤ k], o` u k est une valeur prise par X. 3. Déduire la loi de probabilité de X. 4. Calculez P (1 < X ≤ 3). 5. Les deux événements (X = 1) et (X = 3) sont-ils indépendants ? (Justifiez votre réponse). 6. Calculez la probabilité que X soit paire.

Exercice 7 Soit X une variable aléatoire discrète qui ne peut prendre que les valeurs 1, 3 et 6 avec des probabilités 14 , 12 et 14 . 1. Quelle est la fonction génératrice des moments de X ? 2. En utilisant le résultat précédent, calculez l’espérance mathématique et la variance de X.

Exercice suppl´ ementaire 1 Dans une entreprise travaillent 6 ouvriers et 5 employés. Le PDG, souhaitant prendre l’avis de son personnel, interroge 7 personnes choisies au hasard parmi ces 11 personnes. Soit X la variable aléatoire : ”nombre d’ouvriers interrogés”. Déterminer la loi de probabilité de X.

Exercice suppl´ ementaire 2 Une variable aléatoire X peut prendre l’une des trois valeurs 0, 1 ou 2 avec des probabilités positives. Déterminer sa loi de probabilité sachant que E(X) = 1 et V ar(X) = 1/2.

Exercice suppl´ ementaire 3 Soit X la variable aléatoire discrète qui associe à chaque enfant de 8 ans le nombre de bonnes réponses qu’il fournit lors d’un test de discrimination droite-gauche des mains. X obéit à la distribution de probabilité suivante : Nombre de bonnes réponses k P (X = k)

0 0.05

1 0.15

2 0.20

3 0.25

4 0.20

5 0.10

6 0.05

1. On choisit au hasard un enfant de 8 ans. Calculez la probabilité des événements suivants : i) L’enfant fournit au moins 2 bonnes réponses mais pas plus de 5. ii) Le nombre de bonnes réponses fournies par l’enfant est strictement supérieur à 4.

3

2. Calculez le mode et la médiane de X. 3. Calculez la moyenne de X et la valeur de la fonction de répartition de X en 3.4. 4. Supposons que l’on sélectionne, par tirages aléatoires à probabilités égales avec remise, un échantillon de 25 enfants de 8 ans. i) Quelle est la distribution de probabilité de la variable aléatoire Y correspondant au nombre d’enfants donnant 4 bonnes réponses dans l’échantillon ? ii) A combien d’enfants donnant 4 bonnes réponses peut-on raisonnablement s’attendre dans l’échantillon ?

Exercice suppl´ ementaire 4 Soit X une loi binomiale de moyenne 3 et de variance 2. Calculez P (X = 7).

Exercice suppl´ ementaire 5 Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir, avec n clefs dont une seule est la bonne. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’essais nécessaires jusqu’à l’ouverture de la porte. Déterminez la loi de probabilité de X si le gardien essaie les clefs une à une sans utiliser deux fois la même. Calculez l’espérance et la variance de X.

Exercice suppl´ ementaire 6 On considère une succession d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre. A chaque épreuve la probabilité de succès est notée p (p ∈]0, 1[). On note X la longueur aléatoire du “run” demarrant au premier coup, o` u l’on appelle “run” une succession soit de succès ou d’échecs interrompue par l’événement contraire. Par exemple pour une séquence débutant par SSSE...le premier run est de longueur 3 et est un run de succès. Trouver la loi de X et son espérance.

Exercice suppl´ ementaire 7 On considère un point M se dépla¸cant sur un axe d’origine O, en partant de O et par sauts d’une unité vers la droite avec la probabilité 0.2 et vers la gauche avec la probabilité 0.8. Les sauts étant supposés indépendants. Soit X la variable aléatoire égale à l’abscisse du point à l’issue du 8ième déplacement et Y la variable aléatoire égale au nombre de sauts vers la droite. 1. Déterminer la loi de probabilité de Y . 2. Donner les valeurs de la moyenne et de la variance de Y . 3. Calculer les quantiles d’ordre 0.25, 0.5, 0.75 de Y . 4. Exprimer la variable aléatoire égale au nombre de sauts vers la gauche en fonction de Y . 5. Déduire l’expression de X en fonction de Y .

4

6. Quelles sont les valeurs prises par X ? 7. Déterminer la loi de probabilité de X.

Exercice suppl´ ementaire 8 Un fumeur dispose d’un nombre infini d’allumettes. La probabilité qu’une allumette s’éteigne est 0.2 . Le fumeur tente d’allumer sa cigarette, chaque essai est indépendant des autres. S’il allume sa cigarette, il cesse d’allumer des allumettes. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’allumettes utilisées. 1. Quelles sont les valeurs prises par X ? 2. Calculez la probabilité de l’événement [X = k], o` u k est une valeur prise par X. 3. De quel type de distribution s’agit-il ? 4. Donnez les valeurs de la moyenne et de la variance de X. 5. Quelle est la probabilité qu’il réussisse à allumer sa cigarette avec n allumettes ? 6. Combien d’allumettes seront nécessaires pour qu’il réussisse à allumer sa cigarette avec une probabilté supérieure ou égale à 0.95. 7. Pour tout k ≥ 1, montrez que P (X = n + k|X > n) = P (X = k). 8. Sachant que le nombre d’allumettes utilisées est supérieure strictement à 10, quelle est la probabilité qu’il réussisse à allumer sa cigarette avec exactement 18 allumettes ?

Exercice suppl´ ementaire 9 Les valeurs prises par une variable binômiale X de paramètres n et p sont affichées par un compteur de la fa¸con suivante : – Si X prend une valeur non nulle, le compteur affiche correctement cette valeur. – Si X prend la valeur 0, le compteur affiche n’importe quoi, au hasard, entre 1 et n. On note Y la variable aléatoire “nombre affiché par le compteur”. 1. Quelle sont les valeurs prises par Y ? 2. Calculer la probabilité P (Y = k|X = 0), pour un k ∈ VY .

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STAT-D-101 Catherine Dehon Exercices suppl´ ementaires

Exercice 1 Questions à choix multiples : il y a au moins une réponse exacte par question. (a) Pour une série d’observations d’une variable quantitative : 1. on peut calculer quatre quartiles ; 2. l’écart interquartile contient 50% des observations ; 3. le cinquième décile est égal à la médiane ; 4. 50% des observations sont supérieures au premier quartile ; 5. l’écart interdécile contient 90% des observations. (b) Si on veut minimiser l’influence des valeurs extrêmes : 1. on préfère la médiane à la moyenne ; 2. on préfère l’étendue à l’écart interquartile ; 3. on préfère l’écart interdécile à l’étendue ; 4. on préfère le coefficient empirique de Yule et Kendall au coefficient de Fisher ; 5. on préfère l’écart interquartile à l’écart-type. (c) Une étude des notes obtenues par deux groupes de première bachelor à l’ULB en sciences économiques à un test commun a fourni les résultats suivants : Groupe Groupe 1 Groupe 2 Effectif 20 30 Moyenne 16 13 Ecart-type 6 6 Mode 14 11 Médiane 14 11

1. la note moyenne des deux groupes réunies est comprise strictement entre 14, 25 et 14, 45 ; 2. l’écart-type des notes des deux groupes réunies est supérieur strictement à 6, 12 ; 3. la médiane des notes des deux groupes réunies est égale à 12 ; 4. la distribution du premier groupe présente une asymétrie à gauche ; 5. la dispersion dans le deuxième groupe est plus importante que dans le premier. 1

(d) Soit {x1 , x2 , . . . , xn } un échantillon de données numériques, déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : P 1. n1 ni=1 (xi − x¯) = 0 ; P P 2. n1 ni=1 |xi − x9/10 | ≥ n1 ni=1 |xi − x1/2 | ; Pn 2 Pn 1 2 3. i=1 xi ≥ n ( i=1 xi ) ; P 4. n1 ni=1 x2i ≤ s2x ; P P 5. n1 ni=1 (xi − x¯)2 ≥ n1 ni=1 (xi − x1/2 )2 ; 6. si la distribution présente une asymétrie à droite alors x¯ ≤ x1/2 ≤ xM ; ; 7. EQ ≤ 12 (a2 − a1 ), o` u EQ est l’écart interquartile, a1 et a2 sont les valeurs pivots ; 8. si tous les xi ∈ (a1 , a2 ) alors xg = x(1) et xd = x(n) , o` u xg et xd sont les valeurs adjacentes. (e) Pour une distribution observée {(xj , nj ); j = 1, . . . , J} relative à une variable quantitaive X, P 2 P 1. pour que la variance soit nulle, il suffit que n1 Jj=1 nj x2j = n1 Jj=1 nj xj ; P 2. n1 Jj=1 nj (xj − x¯) ≤ s2x ; P 3. la variance est : s2x = n1 Jj=1 (nj x2j − x¯2 ) ; 4. pout tout j = 1, . . . , J, Nj = n1 + n2 + . . . + nj ; 5. Nj∗ est le nombre d’observations ≤ xj ; 6. la courbe cumulative à gauche est une fonction en escalier (continue à droite). (f) Considérons une série statistique {x1 , . . . , xn } relative à un caractère quantitatif X et le changement d’origine et d’unité suivant : yi = (xi − 2)/10, i = 1, . . . , n. Dans ces conditions, comment se transforment la moyenne, le mode, la médiane, l’écart-type, etc de la série statistique {y1 , . . . , yn }. Déterminez la ou les affirmation(s) totalement exacte(s) : 1. la moyenne et la médiane diminuent de 2 et la variance reste inchangée ; 2. la moyenne et le mode diminuent de 2 et ensuite divisés par 10, et la variance est divisée par 10 ; 3. la moyenne, le mode, le premier décile et le troisième quartile sont diminués de 2 et ensuite divisés par 10. 4. l’étendue, l’écart-type et l’écart interquartile sont divisés par 10 et le coefficient de Fisher reste inchangé ; 5. le coefficient de variation, le coefficient empirique de Yule et Kendall et le coefficient empirique de Pearson restent inchangés.

2

(g) Pour une variable quantitative de distribution symétrique, déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 1. 50% des observations sont supérieures à la moyenne ; 2. la moyenne est égale au mode ; 3. x3/4 − x1/4 = 2(x1/2 − x1/4 ) ; P 4. n1 ni=1 (xi − x1/2 ) = 0 ; P 5. s2x + x21/2 = n1 ni=1 x2i . (h) Pour comparer des distributions de variables statistiques exprimées dans des unités différentes (par exemple des distributions de salaires exprimés dans des monnaies différentes), on peut utiliser les caractéristiques suivantes : 1. la médiane ; 2. l’écart interquartile ; 3. le coefficient de variation ; 4. le rapport interdécile

x9/10 x1/10

;

5. la moyenne. (i) Soient deux événements indépendants A et B d’un même espace probabilisé tels que : P (A) = 0, 3 et P (B) = 0, 2. Déterminez la ou les affirmation(s) correcte(s) : 1. P (A ∪ B) = 0, 44 ; 2. P (A ∩ B) = 0, 6 ; 3. P (A ∩ B) = 0, 06 ; 4. P (A \ B) = 0, 24 ; 5. P (A¯ ∪ B) = 0, 84 ; ¯ sont indépendants ; 6. A¯ et B ¯ 7. P (A|B) = 0, 7 ; 8. A¯ et B ne sont pas indépendants. (j) Trois chasseurs visent simultanément un même lièvre et tirent en même temps. Soient p1 , p2 et p3 les probabilités respectives de toucher le lièvre pour chaque chasseur (p1 ≤ p2 ≤ p3 ), alors la probabilité que le lièvre soit touché par au moins un des chasseurs : 1. peut être inférieure à p1 ; 2. est égale à (p1 + p2 + p3 ) ; 3. est égale à [1 − (1 − p1 )(1 − p2 )(1 − p3 )] ; 4. est comprise entre (p1 .p2 .p3 ) et (p1 + p2 + p3 ) ; 5. est comprise entre [1 − (1 − p1 )3 ] et [1 − (1 − p3 )3 ]. (k) Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé tels que P (A) = P (B) = 43 . Déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 3

1. A et B sont des évènements mutuellement exclusifs ; 2. P (A ∩ B) ≤ P (A ∪ B) ; 3. 4.

3 4 1 2

≤ P (A ∪ B) ≤ 1 et ≤ P (A ∪ B) <

3 4

et

1 2 3 4

≤ P (A ∩ B) ≤ 43 ; < P (A ∩ B) ≤ 1 ;

5. aucune des affirmations ci-dessus n’est correcte. (l) Dans une classe, on a mesuré la taille (en pouces) et le poids (en livres) de 10 élèves. L’objectif est d’étudier le poids en fonction de la taille. Le tableau ci-dessous présente les résultats obtenus pour 10 élèves (4 décimales dans cet exercice). Nom Taille Poids

Albert Alice 69.0 56.5 112.5 84.0

Cindy Carol 65.3 62.8 98.0 102.5

Henry July Jane Janet Jack John 63.5 57.3 59.8 62.5 62.5 59.0 102.5 83.0 84.5 112.5 84.0 99.5

Sachant que 1 pouce = 2.54 cm et 1 livre = 0.454 kg, déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 1. La pente de la droite de régression de y en x est inférieure strictement à 2.1997 ; 2. La prévision du poids chez un élève qui mesure 177.8 cm est une valeur inférieure strictement à 116 livre ; 3. La prévision du poids chez un élève qui mesure 177.8 cm est une valeur comprise strictement entre 53 et 55 kg ; 4. Le résidu correspondant à l’étudiant Henry est supérieure strictement à 1 kg ; 5. L’equation de la droite de régression de y en x est bien adaptée aux données. (m) Le tableau suivant donne la répartition de 200 étudiants de première année universitaire selon deux caractères statistiques : l’âge X et le principal sport pratiqué Y. njk 18 ans 19 ans 20 ans 21 ans

Football 45 29 18 14

Natation 23 18 10 8

Tennis 15 8 3 2

Equitation 3 2 2 0

Déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 1. Le coefficient empirique de Pearson de la variable X est supérieur strictement à 0, 961 ; 2. Le coefficient de Fisher de la variable X est compris strictement entre 0.55 et 0.75 ; 3. Le coefficient de variation de la variable âge est inférieur strictement à 0.08 ; 4. La somme des écarts à l’indépendance est nulle ; 5. La mesure d’association est inférieure strictement à 4.456. 4

(n) Un jouet se trouve caché dans l’une des N boˆıtes fermées o` u un enfant le cherche. Celui-ci ouvre une boˆıte au hasard et recommence jusqu’à ce qu’il trouve le jouet. On suppose qu’à chaque tentative il a oublié le résultat de toutes les précédentes. Soit X le nombre de tentatives effectuées jusqu’à la découverte du jouet. Déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 1. V ar(X) = (E(X))2 − E(X) ; 2. Il faut 5 boˆıtes pour que l’enfant ait environ trois chances sur quatre de trouver le jouet à l’issue de ses trois premières tentatives ; 3. Aucune des affirmations ci-dessus n’est correcte ; 4. X suit une distribution géométrique de paramètre 1/N ; 5. Le jouet est trouvé à l’issue de n tentatives avec une probabilité égale à 1 − (1 − n1 )N . (o) Dans une urne qui contient 10 boules numérotées de 1 à 10, on extrait 3 boules avec remise. Soient X la variable aléatoire égale au plus grand des 3 numéros tirés. Déterminez la ou les affirmation(s) toujours exacte(s) : 1. X est une variable aléatoire Binomiale de moyenne 0.3 ; 2. La probabilité que X soit paire est comprise strictement entre 0.567 et 0.578 ; 3. La probabilité que X soit impaire est inférieure à 0.578 ; 4. 0.025 < P (1 < X ≤ 3) < 0.03 ; 5. Les deux événements (X = 1) et (X = 3) sont dépendants.

Exercice 2 Considerons la distribution des salaires (en euros) dans les entreprises du secteur privé en france pour les années 1975 et 2005. L’intervalle de variation des salaires est partagé en 5 classes. Notons xcj le centre de la classe j et nj l’effectif de la classe j pour (j = 1, . . . , 5). 1975 Classe xcj 1 1130 2 1400 3 1850 4 2590 5 5150

2005 Classe xcj 1 1706 2 2030 3 2475 4 3200 5 5815

nj 20 20 20 20 20

nj 20 20 20 20 20

1. Construisez les courbes de Lorentz pour les années 1975 et 2005. Comparez la concentration des salaires entre ces deux années. 2. Calculez le coefficient de Gini pour les deux années. Interprétez ces coefficient.

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Exercice 3 Le tableau ci-dessous présente les prix et les quantités de Coca-Cola et de BigMac achetées par un consommateur en 2000 et 2005. BigMac (j = 1) Prix en $ (à la pièce) Quantité (pièce) (1) (1) pi qi 2000(i = 0) 2 12 2005(i = 1) 3 13

BigMac (j = 2) Prix en $ (au litre) Quantité (litre) (2) (2) pi qi 1.5 7 2 10

Comment donner une mesure de la variation de prix du panier composé des ces deux produits ?

Exercice 4 Une même somme S a été confiée à deux banques B1 et B2 pour une durée de 10 ans. Les rendements successifs des placements effectués par les dux banques ont été les suivants : – Bnaque B1 : 12% pendant 2 ans, puis 8% pendant 4 ans, puis 6% pendant 4 ans ; – Bnaque B2 : 10% pendant 3 ans, puis 8% pendant 3 ans, puis 7% pendant 4 ans. 1. Calculez le taux moyen de croissance dans chaque banque. 2. A quel taux la moins performante des deux banques aurait-elle dˆ u placer l’argent pendant la troisième période pour égaler l’autre ?

Exercice 5 Un jeu de cartes ordinaire comprend 52 cartes. Chacune de ces 52 cartes appartient à une couleur (le carreau, le coeur, le trèfle et le pique) et possède une valeur (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valet), Q (dame), K (roi) et A (as)). Pour les questions qui suivent, on considère une main de poker, c’est-à-dire une combinaison de 5 cartes tirées au hasard à partir d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu’une main contienne : 1. une paire, c’est-à-dire une main de poker contenant en tout 4 valeurs différentes ? 2. deux paires, (Les deux paires ne peuvent pas avoir la même valeur et la valeur de la cinquième cartes doit être différente des valeurs des deux paires) ? 3. un brelan, c’est-à-dire une main de poker contenant trois cartes de la même valeur (Les deux autres cartes doivent être de valeurs différentes entre elles et différentes de la valeur commune aux trois premières cartes) ? 4. une main pleine, c’est-à-dire une main de poker contenant trois cartes d’une valeur et deux cartes d’une autre valeur ? 5. un carré, c’est-à-dire une main de poker contenant quatre cartes de la même valeur (et une cinquième carte quelconque) ?

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Cours de Statistique

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