Statistique et Probabilité

] ' -!r *o0.e0"o0 *!r >] 0’es e0 -r"0*"-e -!s ,&f"0"e( •

D7s #ue n ,&-!sse %! ,"\!"0e/ n H se *o8-e e0 8"%%"o0s( I% es $o0 ,e *o00!Jre %! for8u%e ,’!--ro)"8!"o0 su".!0e < for8u%e ,e Stirli*g ? :

6xemples : a0  2n dispose des  premi@res lettres de l’alphabet. +ombien de sigles de < lettres distinctes peut G on former H Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& b0  /our accéder à une banque de données8 vous deveD taper un mot de passe de < lettres sur votre minitel. +ombien de mots de passe de < lettres distinctes peuton créer H c0  +ombien peut G on écrire de nombres de < chiffres différents dans le syst@me décimal H Ieponse : /remi@re méthode : i l’on consid@re co nsid@re les le s dix chiffres chiff res de ) à =8 il y a arrangements possibles tirage sans remise8 ordonné08 mais parmi ceux-ci  figurent tous les nombres commen7ant par un Déro8 qui sont en fait f ait des nombres de ; chiffres formés de chiffres de * à = ce qui en fait

. #l reste donc donc :

B "euxi@me méthode : Iaisonnement direct = choix sont possibles pour le premier chiffre pas de Déro0 = choix sont possibles pour le deuxi@me également tous les chiffres sauf le  premier0 > choix sont possibles pour le ; e  chiffre et 4 choix sont possibles pour le dernier. d0  "ans le syst@me décimal combien peut G on écrire de nombres de 9 chiffres différents dont le premier soit pair et le dernier impair H e0  Ane course de chevaux comporte () partants. +ombien peut-il y avoir de résultats possibles de tiercés dans lCordre H  f0  Ane urne contient *) boules numérotées )8 *8 ... 8 *). 2n en tire successivement trois sans remise. +ombien de tirages différents peut G on faire H

2B Permutati*ns .&+& Permtatio*1 1a*1 répétitio*

E!0 ,o00& u0 e0se8$%e 6 ,e n o$Kes/ o0 !--e%%e permtatio*1 ,e n o$Kes ,"s"0*s tote1 1ite1 or5o**ée1 ,e n o$Kes ou tot arra*geme*t n  n ,e *es o$Kes( Le 0o8$re ,e -er8u!"o0s ,e n o$Kes es 0o& :

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& L! -er8u!"o0 ,e n o$Kes *o0s"ue u0 *!s -!r"*u%"er ,’ arra*geme*t arra*geme*t 1a*1 répétitio* ,e p o$Kes -r"s -!r8" n %ors#ue p  n.

A"0s" %e 0o8$re ,e -er8u!"o0s ,e n o$Kes es :

N# : E8emple :

aD  !e nombre de mani@res de placer > convives autour d’une table est : /> J >K J -0 320 )*ssi!ilités b0  2n dispose des  premi@res lettres de l’alphabet. +ombien de sigles de  lettres distinctes peut- on former H

*? An possesseur de coffre - fort distrait se souvient que pour ouvrir son coffre il doit former une fois et une seule fois tous les chiffres de ) à =. %e se rappelant  plus dans quel ordre il faut f aut procéder il décide de former ces chiffres dans tous les ordres possibles. achant que chaque tentative nécessite une minute combien de temps mettra G t G il pour les essayer tous H  d0  "e combien de fa7ons peut-on repartir 4 personnes p ersonnes sur 4 chaises H

.&.& Permtatio*1 a4e/ répétitio*

D!0s %e *!s oW "% e)"ser!" pl1ier1 répétitio*1 k ,’u0 88e o$Ke -!r8" %es n o$Kes/ %e 0o8$re ,e -er8u!"o0s -oss"$%es ,es n o$Kes ,o" re r!--or& !u) 0o8$res ,e -er8u!"o0s ,es k o$Kes ",e0"#ues( Le 0o8$re ,e -er8u!"o0s ,e n o$Kes es !%ors :

E0 effe/ %es -er8u!"o0s ,e k o$Kes ",e0"#ues so0 oues ",e0"#ues e 0e *o8-e0 #ue -our u0e seu%e -er8u!"o0( E.em)le  :  : a0  +onsidérons le mot L +2336I+#,! M. +ombien

de mots possibles avec ou

sans signification0 peut G t G on écrire en permutant ces *) lettres H b0  2n appelle anagramme d’un mot donné tout mot obtenu à partir du premier en changeant ces lettres dans un ordre quelconque.

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& +ombien y a G t-il d’anagrammes du mot /I2&,&#!#16 H c0  2n consid@re les chiffres *8 (8 ; et <. +ombien de nombres de *) chiffres peut G on écrire sachant que le * est répété 9 fois8 le ( est répété ; fois et le ; et le < ne figurent qu’une seule fois H

3B C*m!inais*n

Pour %es *o8$"0!"so0s/ o0 0e -!r%e -%us ,e su"e 0" ,e s&r"e -u"s#ue %! *otio* 57or5re 5e1 o(Bet1 *7e1t pl1 pri1e e* /ompte ( O0 -!r%e !%ors ,e "r!+es !.e* ou

s!0s re8"se( So" 6 u0 e0se8$%e f"0" ,e *!r,"0!% n e p u0 e0"er 0!ure% e% #ue >  p

n (

U0e  p 5*o8$"0!"so0 5*o8$"0!"so0
(

E.em)le : 6 J Na 5 b 5 cO et p J (. !es combinaisons combinaisons de deux éléments de 6 sont les parties : Na 5 bO8 Na 5 cO et Nb 5 cO. #l est essentiel de noter que : P "ans une partie8 les éléments sont deux à deux distincts. P "eux parties qui contiennent les mBmes éléments sont égales. ,insi Na 5 bO J Nb 5 aO. !Cordre dans lequel on écrit les éléments nCa pas dCimportance0

3B1B C*m!inais*n sans remise

E!0 ,o00& u0 e0se8$%e 6 ,e n o$Kes/ o0 !--e%%e /om(i*ai1o*1 ,e  p o$Kes tot e*1em(le ,e p o$Kes -r"s -!r8" %es n o$Kes s!0s re8"se(

Le 0o8$re ,e *o8$"0!"so0s ,e p o$Kes -r"s -!r8" n es 0o& : Remar2e : O0 ! 0&*ess!"re8e0 ' d p d n e n / p

Na( S" n  p8 !%ors

Le 0o8$re ,e /om(i*ai1o*1 ,e p o$Kes -r"s -!r8" n e 1a*1 remi1e es :

Remar2e : A %! 0o!"o0 !0*"e00e

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@ o0 -r&f7re -!rfo"s %! 0o!"o0 8o,er0e

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Les 0o8$res n e p *o0s"ue0 %es /oe))i/ie*t1 (i*omia8 ( re-r&se0e %e 0o8$re ,e f!o0s ,e *9o"s"r  p o$Kes -!r8" n <%or,re 0"8-ore -!s?( E.em)les : a0  2n tire au hasard  boules parmi <=. +ombien de tirages possibles peut G on  faire H b0  Quel est le nombre de comités de ; personnes que lCon peut élire dans une assemblée de () personnes H c0  !ors d’un recrutement pour < postes de travail identiques8 se présentent > hommes et  femmes. f emmes. +ombien de recrutements distincts sont possibles H +ombien de recrutements sont possibles sachant que l’on recrute ( hommes et (  femmes H d0  "’une urne contenant > boules ; blanches et 9 noires0 on tire simultanément < boules. +ombien y a G t G il de tirages possibles H "ans combien de cas peut G on obtenir exactement deux boules blanches H au moins deux boules noires H

3B2B C*m!inais*ns aec remise

Le 0o8$re ,e /om(i*ai1o*1 ,e p o$Ke -!r8" n a4e/ remi1e es :

Pr*)riétés

Do0* : C*m!inais*ns c*m)*sées *u 7*rmule de Pascal i

8 on a :

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& %'A>AU= &;'';E( E.ercice "ans une banque8 chaque client poss@de un compte dont le code est composé de ; lettres et 9 chiffres non nécessairement distincts du type

,&+

*

(

;

<

9. *0  2n suppose que les ; lettres sont distinctes. +ombien peut G on ouvrir de comptes dont le code : a0  commence par , & H b0  commence , H c0  contient un , H d0  contient un , et un & H e0  commence par , et finit par par * ( ; H (0  2n suppose que les ; lettres ne sont plus nécessairement distinctes. +ombien  peut G on ouvrir de comptes dont dont le code a0  commence par , H b0  contient au moins deux , H ;0  2n suppose que les ; lettres ne sont pas nécessairement distinctes et qu’il est impossible d’utiliser les chiffres )8 *8 (8 ;8 < qui sont réservés à des codes spéciaux. +ombien peut G on ouvrir de comptes dont le code : a0  commence par , H b0  finit b0  finit par === H c0  commence par , et finit par == H

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& C,APITRE = :

$%;$( E% CA6CU6 &E P'?A?;6;%E 

Les -re8"7res -erso00es  s’re "0&ress&es !u) -ro$%78es ,e pro(a(ilité1 fure0 ,es 8!9&8!"*"e0s fr!0!"s/ #lai1e Pa1/al e Pierre 5e Fermat #u" r&-o0,!"e0 !u) #ues"o0s sou%e.&es -!r u0 !,e-e ,es Keu) ,e ha1ar5/ %e /he4alier 5e Méré ( A *ee &-o#ue/ %! 9&or"e ,es -ro$!$"%"&s se ,&.e%o--!

u0"#ue8e0 e0 re%!"o0 !.e* %es Keu) ,e 9!s!r,( M!"s !.e* Pierre Simo* Lapla/e e Jarl Frie5ri/h Ga11/ %es $!ses ,e %! 9&or"e fure0 &e0,ues  ,’!ures !--%"*!"o0s e -9&0o870es( Le *!%*u% ,es -ro$!$"%"&s four0" u0e 8o,&%"s!"o0 eff"*!*e ,es s"u!"o0s 0o0 5étermi*i1te1 *’es55,"re ,es -9&0o870es aléatoire1 o 1to/ha1ti2e1( E0 *e #u" *o0*er0e %es -re8"ers/ %e r&su%! ,’u0e e)-&r"e0*e

su" u0e %o" r"+oureuse *o00ue <!u) ,e *ro"ss!0*e ,’u0e -o-u%!"o0 $!*&r"e00e?( O0 -eu ,o0* !"0s" -r&.o"r %e r&su%! -our u0 &.&0e8e0 ,o00&( E0 re.!0*9e ,!0s %e *!s ,es -9&0o870es !%&!o"res/ %e r&su%! ,e %’e)-&r"e0*e 0’es -!s *o00u !.e* *er"u,e 8!"s f%u*ue !uour ,’u0 r&su%! 8oe0 #u" es r&+" -!r u0e %o" <r!0s8"ss"o0 ,es *!r!*7res se%o0 %! %o" ,e Me0,e%?( I% e)"se ,eu) 8!0"7res ,’"0ro,u"re %! 0o"o0 ,e -ro$!$"%"& : •

L! -ro$!$"%"& a priori /  1(Be/ti4e  ,’u0 &.&0e8e0 es u0 0o8$re #u" *!r!*&r"se %! *ro!0*e #ue %’o0 ! #ue *e &.&0e8e0 es r&!%"s& !.e* -%us ou 8o"0s ,e *er"u,e !.!0 %’e)&*u"o0 ,e %’e)-&r"e0*e : %’&.&0e8e0 es r&!%"s& <-ro$!$"%"& '? e %’&.&0e8e0 0’es -!s r&!%"s& <-ro$!$"%"& >?(

•

L! -ro$!$"%"& empirique a11imilée  *e )ré2e*/e es ,&f"0"e  -!r"r ,’e)-&r"e0*es "0,&f"0"8e0 re0ou.e%!$%es( L! -ro$!$"%"& ,’u0 &.&0e8e0 es !%ors %! fr&#ue0*e ,’!--!r""o0 ,e *e &.&0e8e0(

E0f"0 %e *!%*u% ,es -ro$!$"%"&s u"%"se %’ a*al<1e a*al<1e /om(i*atoire !"0s" #ue %! 9&or"e ,es e0se8$%es( 1B Es)ace #*ndamental et é+nements

L! 9&or"e ,es e0se8$%es #u" es su**"0*e8e0 -r&se0&e ,!0s *e *9!-"re *o0s"ue u0 ou"% -u"ss!0 ,!0s -%us"eurs $r!0*9es ,es 8!9&8!"#ues/ 0o!88e0 e0 -ro$!$"%"&s(

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 1B1B &é#initi*ns

E0 f!*e ,e s"u!"o0s ,o0 l7i11e e1t i*/ertai*e/ o0 ! $"e0 sou.e0 e0."e ,’!r"$uer  *9!*u0e ,es &.e0u!%"&s -oss"$%es u0e .r!"se8$%!0*e -%us ou 8o"0s +r!0,e( Af"0 ,e ,o00er u0e r"+ueur 8!9&8!"#ue  *e *o0*e-/ "% es 0&*ess!"re ou ,’!$or, ,e ,o00er #ue%#ues ,&f"0""o0s( •

aléatoire s" o0 0e -eu -!s U0e e)-&r"e0*e ou u0e &-reu.e es #u!%"f"&e ,’ aléatoire

-r&.o"r so0 r&su%! e s"/ r&-&&e ,!0s ,es *o0,""o0s ",e0"#ues/ e%%e -eu ,o00er ,es r&su%!s ,"ff&re0s( •

Le r&su%! ,’u0e e)-&r"e0*e 0o& g *o0s"ue u0e é4e*talité ou u0 é4é*eme*t éléme*taire (

•

L’e0se8$%e ,es &.70e8e0s &%&8e0!"res -oss"$%es -our u0e e)-&r"e0*e !%&!o"re ,o00&e *o0s"ue %’ e1pa/e e1pa/e )o*5ame*tal !--e%& *i4er1 ou *i4er1 5e1 po11i(le1 0o& h(

E.em)le : •

Lors ,’u0 *o0r^%e s!0+u"0/ %’e0se8$%e ,es r&su%!s -oss"$%es s" %’o0 s’"0&resse

• •

<'? !u +rou-e s!0+u"0 e !u f!*eur r9&sus ,’u0 "0,".",u es =

•

<2? !u 0o8$re ,e +%o$u%es $%!0*s h  Na

•

<3? !u !u) ,e +%*&8"e h  >  'i !u5,e% ,e '/ %’"0,".",u 0’es -%us e0 &! ,e su$"r u0e -r"se ,e s!0+(

A"0s" -our u0e 88e &-reu.e/ %’u0".ers h -eu re )i*i <oues %es &.e0u!%"&s so0 *o00ues : *!s '? ou i*)i*i <oues %es &.e0u!%"&s 0e so0 -!s *o00ues : *!s 2 e 3?( D!0s *es ,eu) ,er0"ers *!s/ %’u0".ers -eu re 5é*om(ra(le s" o0 -eu 0u8&roer %es &.e0u!%"&s *o00ues <*!s 2? ou $"e0 /o*ti* *o88e ,!0s %e *!s ,u !u) ,e +%*&8"e <*!s 3?( U0 é4é*eme*t #ue%*o0#ue , es u0 e0se8$%e ,’&.70e8e0s &%&8e0!"res e *o0s"ue *e partie 5e l7*i4er1 ,es -oss"$%es h ,o0 o0 s!" ,"re  %’"ssue ,e %’&-reu.e s’"% es r&!%"s& ou 0o0(

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& S" g

, / !%ors A e1t réali1é( M!"s s" g

, !%ors A *7e1t pa1 réali1é e *’es

@

é4é*eme*t /o*traire #u" es r&!%"s&( U0 &.&0e8e0 es ,o0* u0e !sser"o0 %’ é4é*eme*t

re%!".e !u) r&su%!s ,’u0e e)-&r"e0*e( I% es -oss"$%e #u’u0 &.&0e8e0 0e so" *o0s"u& #ue 57* 1el &.&0e8e0 &%&8e0!"re( Les &.70e8e0s so0 re-r&se0&s -!r ,es %eres 8!Kus*u%es/ ,8 &8 +8 , *8 , 2/ e*( E8emple :

D!0s %’e)e8-%e *o0*er0!0 %es +rou-es s!0+u"0s/ 5 %’&.&0e8e0 ,  %’"0,".",u es ,e r9&sus -os""f  es re-r&se0& -!r : !.e* ,

h(

5 %’&.&0e8e0 &  %’"0,".",u es ,o00eur u0".erse%  es re-r&se0& -!r : &  jO5 k u0 seu% &.&0e8e0 &%&8e0!"re D!0s %e *!,re ,e *e e)e8-%e/ %’&.&0e8e0 , es r&!%"s& s" %e r&su%! ,u -!+e ,o00e %’u0 ,es 4 +rou-es s!0+u"0s A[/B[/AB[/O[( S" h es f"0"/ *9!#ue -!r"e , ,e %’u0".ers h <,

h? es *o0s"u&e ,’u0 0o8$re

f"0" ,’&.e0u!%"&s e ,!0s *e *!s %’e0se8$%e ,es &.70e8e0s es e% #ue : R S0 S0 J /  %’u0".ers ,es -oss"$%es( S0  %’u0".ers D!0s %e *!,re ,e *e *ours/ 0ous 0ous -%!*ero0s ,!0s %e *!s oW %’e0se8$%e ,es &.70e8e0s ,e %’u0".ers h es *%!"re8e0 ,&f"0"( 1B2B Eénements remarqua!les

L’&.&0e8e0 impo11i(le 0o& l es %’&.&0e8e0 #u" *e pet tre réali1é #ue%%e #ue so" %’"ssue ,e %’&-reu.e( B"e0 #ue *o0s"u& ,’!u*u0e &.e0u!%"&/ l es *o0s",&r& *o88e u0 &.&0e8e0 :

K

O

L 7&.&0e8e0 /ertai*@ 0o& h e1t toBor1 réali1é #ue%%e #ue so" %’"ssue ,e %’&-reu.e( I% es *o0s"u& ,e oues %es &.e0u!%"&s e %’o0 "8-ose #ue *e so" u0 &.&0e8e0 : 

O

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& L’&.&0e8e0 /o*traire ou *o8-%&8e0!"re ,’u0 &.&0e8e0 , / 0o&

e1t

l7é4é*eme*t 2i e1t réali1é 1i et 1eleme*t 1i A *e l7e1t pa1( I% es ,o0*

*o0s"u& ,es &.70e8e0s &%&8e0!"res g #u" 0e so0 -!s ,!0s , (

g

g , 

D!0s %’e)e8-%e *o0*er0!0 %es +rou-es s!0+u"0s/ %’&.&0e8e0 *o0r!"re ,e ,  %’"0,".",u es ,e r9&sus -os""f  es *o0s"u& ,es &.70e8e0s &%&8e0!"res su".!0 : P!r ,&f"0""o0/ o0 o$"e0 %es re%!"o0s su".!0es : ,5

h



1B3B )érati*ns sur les é+nements

S" %’o0 *o0s",7re s"8u%!0&8e0 %! r&!%"s!"o0 ,e ,eu) &.70e8e0s , e & / "% es -oss"$%e ,’effe*uer ,es o-&r!"o0s sur *es e0se8$%es( 1B3B1B

6’intersecti*n de deu. é+nements 

O0 !--e%%e i*ter1e/tio* ,e ,eu) &.70e8e0s , e & / %’&.&0e8e0 #u" es r&!%"s& s" e seu%e8e0 s" , et & %e so0( I% es ,o0* *o0s"u& ,es &.e0u!%"&s !--!re0!0  %! fo"s  A et ? ( C’es u0 &.&0e8e0 0o& A m ? e% #ue :

, / &

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*orres-o0, %o+"#ue

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L’"0erse*"o0 A m ? 



%! A

i*ter1e/tio* L’ i*ter1e/tio*

con'onction et

(

?

,es

,eu)

&.70e8e0s , e & f"+ure e* 4ert sur %e +r!-9e *"5*o0re( Remar2e

:

L’u0".ers

,es

-oss"$%es h 0’&!0 -!s %"8"& u0"#ue8e0 !u) &.70e8e0s ,

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& <-!r"es roge e 4erte? e & <-!r"es (le e 4erte?/ %’&.&0e8e0 *o8-%&8e0!"re @ es for8& ,es -!r"es (le e $%!0*9e(

Deu) &.70e8e0s , e & so0 i*/ompati(le1 ou 5i1Boi*t1/ s’"%s 0e -eu.e0 re r&!%"s&s s"8u%!0&8e0( O0 ! !%ors : A  ? Q
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1B3B2B

6a réuni*n de deu. é+nements

O0 !--e%%e ré*io* ,e ,eu) &.70e8e0s , e & / %’&.&0e8e0 #u" es r&!%"s& s" e seu%e8e0 s" , *u & es r&!%"s&( I% es ,o0* *o0s"u& ,es &.e0u!%"&s !--!re0!0  A o ? ( C’es u0 &.&0e8e0 0o& A  ? e% #ue : !.e*

g ,

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g & ?

L! r&u0"o0 A  ? *orres-o0,  %! dis'onction %o+"#ue  A o ? ( L! ré*io* ,es ,eu) &.70e8e0s , e & f"+ure e0 4ert sur %e +r!-9e *"5*o0re( Remar2e : L! ré*io* ,e ,eu) &.70e8e0s 0’ e1t e1t pa1 la 1omme algé(ri2e 5e1 é4è*eme*t1 ,!0s %!

8esure oW %! \o0e ,e re*ou.re8e0 0’es -!s *o8-!$"%"s&e ,eu) fo"s(
h

&.70e8e0s *o8-%&8e0!"res

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&%&8 &%&8e0 e0 0eu 0eur ree < ? &%&8e0 !$sor$!0
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Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

!sso*"!"."& Page "$

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& <& m + ?  <,

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,"sr"$u"."& !.e* %’ i*ter1e/tio* i*ter1e/tio*
Se%o0 %es %o"s ,e Morga*/ 0ous !.o0s :  

*e #u" *orres-o0,  %! -!r"e 9!*9ur&e sur *e graphe( m

*e #u" *orres-o0,  %’e0se8$%e .",e -oss"$%es h 0’es

%ors#ue %’u0".ers ,es

*o0s"u& #ue ,es &.70e8e0s , e &


6’inclusi*n d’un éénement

U0 &.&0e8e0 , e0r!J0e u0 &.&0e8e0 & s" %! r&!%"s!"o0 ,e , "8-%"#ue *e%%e ,e & ( O0 ," #ue %’&.&0e8e0 , es i*/l1 ,!0s %’&.&0e8e0 &. 2n écrit : ,

&.

im)licati*n %o+"#ue  A L’ im)licati*n

se r!,u" -!r %’"0*%us"o0 A

? ?

( E)e8-%e

,e

l7i*/l1io*

,e

%’&.&0e8e0 , e0 roge ,!0s %’&.&0e8e0 & e0 (le& E8emple :

So" u0e ur0e *o0e0!0 ,es $"%%es rou+es u0"es e ,es $"%%es .eres u0"es e sr"&es( S" %’o0 0oe , %’&.&0e8e0  o$e0"o0 ,’u0e $"%%e sr"&e  e & %’&.&0e8e0  o$e0"o0 ,’u0e $"%%e .ere / %! r&!%"s!"o0 ,e , "8-%"#ue %! r&!%"s!"o0 ,e & *!r , es "0*%us ,!0s & (

1B-B (st+me c*m)let d’é+nements

, ' /, 2 /(((((/ , n for8e0 u0 ss78e *o8-%e ,’&.70e8e0s s" %es partie1 , ' /, 2

/(((((/ , n ,e h *o0s"ue0 u0e partitio* ,e h e%%e #ue : i

, i  i  '

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

, i m ,  ' 

Page #&

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& U0 1<1tème /omplet 57é4è*eme*t1 es for8& ,e oues %es -!r"es ,e h/ *’es55 ,"re ,es f!8"%%es ,’&.70e8e0s .  . i*/ompati(le1 ,o0 %! r&u0"o0 *o0s"ue %’&.&0e8e0 *er!"0 h( Le 0o8$re ,e -!r""o0s -oss"$%es ,!0s u0 e0se8$%e f"0" ,e n &.70e8e0s es : s" C!r,
(

1BB Es)ace )r*!a!ilisa!le

O0 !--e%%e e1pa/e pro(a(ili1a(le
u0 es-!*e ,’&.e0u!%"&s h

-

u0 es-!*e ,’&.70e8e0s C

P
!.e* :
C

C



C

Ces ro"s !)"o8es ou -ro-r"&&s suff"se0  ,&f"0"r u0 es-!*e -ro$!$"%"s!$%e e o0 -ourr!" 8o0rer #u’"% "8-%"#ue #ue

C e

2B Pr*!a!ilités

Le -!ss!+e ,’u0e ,es*r"-"o0 ,e -e e0se8$%"se ,es -9&0o870es !%&!o"res  %’&%!$or!"o0 ,’u0 .&r"!$%e m*d+le mathématique se f!" e0 "0ro,u"s!0 %es 8esures ,e -ro$!$"%"&( 2B1B &é#initi*ns 2B1B1B

C*nce)t mathématique 

O0 !--e%%e pro(a(ilité P oue appli/atio* ,e %’e0se8$%e ,es &.70e8e0s h ,!0s %’"0er.!%%e >/'i/ e% #ue :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #%

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& s!"sf!"s!0 %es -ro-r"&&s
Remar2e : Le *o0*e- 8!9&8!"#ue ,e  )r*!a!ilité 8o,&%"se %es 0o"o0s

"0u"".es ,e  proportion e ,e  #réquence ( S" %’o0 !.!0*e #ue %! -ro$!$"%"& ,’re &u,"!0 e0 M!re"0+ e A*"o0 Co88er*"!%e es ,e >/=  %’I0s"u CERCO/ o0 8o,&%"se %e f!" #u’e0."ro0 => Z ,es &u,"!0s ,e CERCO so0 e0 M!re"0+ e A*"o0 Co88er*"!%e( 2B1B2B

Pr*!a!ilités c*m!inat*ires

So" h u0 es-!*e fo0,!8e0!% f"0" *o0s"u& ,e % é4è*eme*t1 éléme*taire1 sur é2ipro(a(ilité ,e r&!%"s!"o0 ,es % &.70e8e0s %e#ue% o0 f!" %’9-o97se ,’ é2ipro(a(ilité

&%&8e0!"res( O0 su--ose !"0s" #ue ous %es &.70e8e0s &%&8e0!"res o0  %! 88e *9!0*e  ,e se r&!%"ser( D!0s *e *!s %! -ro$!$"%"&  p i ,’u0 &.&0e8e0 &%&8e0!"re #ue%*o0#ue g# es e%%e #ue :

s!"sf!"s!0
!.e* # p i p >


o0 ,o" !.o"r :

So" , u0 &.&0e8e0 #ue%*o0#ue *o0s"u& ,e 9 é4è*eme*t1 éléme*taire1 ,e h/ o0 e0 ,&,u" :

!.e*

Cee for8u%e s’&0o0*e sou.e0 *o88e :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #2

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

Cee for8u%e -er8e ,e r!8e0er %es *!%*u%s ,e -ro$!$"%"&s  ,es ,&*o8-es a*al<1e /om(i*atoire ,’&.70e8e0s &%&8e0!"res effe*u&s -!r ,es e*90"#ues ,’ a*al<1e

#u" 0e so0 -!s ,es -ro$!$"%"&s( E.em)les : *0 6n tapant 9 lettres au hasard sur une machine à écrire possibilité de taper

une  plusieurs fois sur la mBme touche08 la l a probabilité d’obtenir le mot L lutte M est d’ une chance sur 12 milli*ns . 6n effet il y a exactement ** >>* ;4 mots de 9 lettres  possibles Toir Arrangement avec répétition0. (0 !a probabilité d’obtenir un multiple de trois lors du lancé d’un dé à  faces8 non  pipé est : , J N;8O d’oU /,0 J (V J 1/3 avec k J( et pi J*V.

2B1B3B

6*is des grands n*m!res

S" %’o0 r&-7e % fo"s u0e e)-&r"e0*e ,!0s %!#ue%%e %! -ro$!$"%"& ,’!--!r""o0 ,’u0 &.&0e8e0 , es / / la )ré2e*/e ,e *e &.&0e8e0 !u *ours ,es % e)-&r"e0*es/ e0, .ers / %ors#ue % e0, .ers %’"0f"0"( % q  Lors#ue %e 0o8$re ,’&-reu.es !u+8e0e "0,&f"0"8e0/ %es fr&#ue0*es o$ser.&es e0,e0 .ers %es -ro$!$"%"&s e %es ,"sr"$u"o0s o$ser.&es .ers le1 loi1 5e pro(a(ilité(

2B1B-B

Nous

,&f"0"ro0s

Es)ace )r*!a!ilisé

u0

e1pa/e

pro(a(ili1é

e0

u"%"s!0

%’!)"o8!"#ue

,e

Jolmogoro4/ "éfinition *

O0 !--e%%e -ro$!$"%"& sur /'i e%%e #ue : •


•

-our ou e0se8$%e ,&0o8$r!$%e ,’&.70e8e0s "0*o8-!"$%es 2  2/ o0 ! :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #3

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&  : "éfinition (  : O0 !--e%%e e1pa/e pro(a(ili1é/ %e r"-%e
2B2B Pr*)riétés des )r*!a!ilités

Des !)"o8es -r&*&,e0s ,&*ou%e0 %es -ro-r"&&s a55iti4e1 ,es -ro$!$"%"&s/ ,’us!+e -er8!0e0( 2B2B1B

Additiité

 Ca1 57é4è*eme*t1 i*/ompati(le1 S" , '/, 2 //, i i/((/ /  ((/ , n so0 n &.70e8e0s i*/ompati(le1 5e8  5e8  K  <, " m , 

/ <, '

s" i  ' ? !%ors :

, 2 

, i ((

n?( ?  ( , n ?  / <, '? [ / <, 2? [ [ / <, i i?  [([ / <, n 

L! -ro$!$"%"& ,e %! ré*io* ,’u0 e0se8$%e f"0" ou ,&0o8$r!$%e ,’&.70e8e0s 2  2 "0*o8-!"$%es es &+!%e  %! so88e ,e %eur -ro$!$"%"& ,’oW :

 Ca1 5e 5e8 é4è*eme*t1 2el/o*2e1 S" , e & so0 ,eu) é4è*eme*t1 2el/o*2e1/ !%ors : / <,

& ?  / <, ? [ / <& ? 

?( / <, m & ?( E.em)le  :  : "ans l’exemple du lancer d’un dé à  faces8 non pipé8 on consid@re l’événement , L le résultat est pair M et l’événement & L le résultat est un multiple de trois M. 2n a alors : , J N(8 <8 <8 O et & J N;8O N;8O donc donc ,

& J N(8;8<8 N(8;8<8OO et , W & J NO

avec /,0 /,0 J ;V ;V /&0 /&0 J (V /, &0 J
2B2B2B

&0 J /,0 X /&0 G /,W &0 J ;V X (V G *V J
Eénement c*ntraire

S" , es u0 &.&0e8e0 #ue%*o0#ue/ !%ors E.em)le : Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #4

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& !a probabilité lors du lancer d’un dé non pipé d’obtenir L plus de ( M se traduit par ,

,0  J * G (V J
2B2B3B

Eénement im)*ssi!le

2n a : / < ?  >(

2B2B-B

S" ,

;nclusi*n

& !%ors / <, ? d / <& ?

2B3B

;ndé)endance statistique 2B3B1B

&é#initi*n

i*5épe*5a*/e e0re &.70e8e0s e -%us +&0&r!%e8e0 e0re L’9-o97se ,’ i*5épe*5a*/e

&-reu.es su**ess".es es u0 -r&!%!$%e %ors ,e %’&!$%"sse8e0 ,es loi1 5e pro(a(ilité1&

O0 ," #ue ,eu) &.70e8e0s , e & so0 i*5épe*5a*t1 s" %’o0 ! : / <, m & ?  / <, ? / <& ? ,insi si , et & sont deux év@nements statistiquement indé)endants 8 la  probabilité de la réalisation con'ointe de ces deux év@nements est le produit de leur  probabilité respective. respective.

'emarque : #l ne faut pas confondre év@nements indé)endants et év@nements inc*m)ati!les . upposons , et & à la fois indépendants et incompatibles. 2n a alors : /,W &0 J /,0/&0 indépendants /,W /,W &0 J / 0 J ) inco incompa mpatib tibles les d’oU nécessairement /,0 J ) ou /&0 J ).

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.em)les : *0 "ans l’exemple du lancer d’un dé à  faces8 non pipé8 les deux év@nements : , L le résultat est pair M et & L le résultat est un multiple de trois M sont statistiquement

indé)endantsB 6n effet8 soit , J N(8<8O & J N;8O ,W & JNOainsi /,0 J ;V /&0 J (V /, W &0 J

1/ on vérifie alors que : /, W &0 J /,0 /&0 J ;V E (V J V; J 1/ (0 i l’on consid@re une famille de deux enfants8 les deux év@nements : , L enfants de sexe différent M et & L au plus une fille M ne s*nt )as statistiquement

indé)endants . 6n effet8 l’espace probabilisé S8 contient < év@nements élémentaires si l’on consid@re une famille ordonnée08 SJ,

& J N$$8 $F8 F$8 FFO

avec , J N$F8 F$O8 & J N$$8 $F8 F$O et , W & J N$F8 F$O d’oU sous l’hypoth@se d’équiprobabilité : /,0 J *V(8 /&0 J ;V< et /, W &0 J 1/2 2n vérifie alors que : /, W &0 Y /,0 /&0 J *V( E ;V< J 3/5 Y 1/2 

2B3B2B

Pr*)riétés

Les -ro-r"&&s !sso*"&es  %’"0,&-e0,!0*e so0 : <'? s" , es u0 &.70e8e0 2el/o*2e/ , e h so0 "0,&-e0,!0s : , m h  , éléme*t *etre


l so0 "0,&-e0,!0s : , m



éléme*t a(1or(a*t

/ <, m ?  / <, ?/ < ?  / < ? *!r / < ?  >

<2? s" , e & so0 ,eu) &.70e8e0s 2el/o*2e1/ , e & so0 "0,&-e0,!0s s" e seu%e8e0 s" , e & <, e & ? ou so0

"0,&-e0,!0s , e & so0 "0,&-e0,!0s s" e seu%e8e0 s" , e & %e so0(

2B3B3B

énéralisati*n à n é+nements

/  ((/ , n so0 ," i*5épe*5a*t1 ,!0s %eur n &.70e8e0s
Page #!

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

Remar2e

:

0

&.70e8e0s

-eu.e0

re

"0,&-e0,!0s

,eu)



,eu)/

P
)= 36 (voir arrangements avec avec répétitions avec

 p = 2 et n = 6). Les 3 évènements A 1 , A2 et A3 sont 2 à 2 indépendants mais ne sont pas indépendants dans leur ensemble. En effet :  Les probabilités associées associées aux 3 évènements évènements sont : P(A1)= 1/2 ; P(A 2)=1/2 ; P(A3)=1/2 P(A1

 A2) = 9/36 = 1/4 = P(A 1)P(A2)

P(A1

 A3) = 9/36 = 1/4 = P(A 1)P(A3)

P(A2

 A3) = 9/36 = 1/4 = P(A 2)P(A3)

P(A1

 A2

 A3) = 9/36 = ¼

P(A1)P(A2)P(A3) =

1/8.  Les

cases

grisées

représentent représentent

les

élémentaires réalisés dans le cadre soit A 1  A3 ou A2

 A3 ou A1

 A2

évènements  A2 ou A1

 A3.

3B Pr*!a!ilités c*nditi*nnelles 3B1B &é#initi*n

So" ,eu) &.70e8e0s , e & ,’u0 es-!*e -ro$!$"%"s& h !.e* / <& ? ? >/ o0 !--e%%e ?/ %e pro(a(ilité /o*5itio**elle ,e %’&.70e8e0  A 1i ? 
O0 ,&f"0" !"0s" u0e -ro$!$"%"& sur h !u se0s ,e %! 5é)i*itio* ,o00&e -r&*&,e88e0(

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #"

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& %hé*r+me :

So" & u0 &.70e8e0 ,e -ro$!$"%"& 0o0 0u%%e/ !%ors :

. Remar2e : L! -ro$!$"%"& / <, ? es !--e%&e %! -ro$!$"%"& a priori e / <, V & ? ou / &

<, ? %! -ro$!$"%"& a )*steri*ri *!r s! r&!%"s!"o0 ,&-e0, ,e %! r&!%"s!"o0 ,e & ( O0 o$ser.e %es re%!"o0s su".!0es : / <,  , ?  '

S" &

, / !%ors , m &  & e ,o0* :

3B2B Pr*!a!ilités c*m)*sées %hé*r+me :

So" ,eu) &.70e8e0s , e & ,’u0 es-!*e -ro$!$"%"s& h( A%ors/ / <, m & ?  / <&  , ? / <, ?  / <,  & ? / <& ?

Formle

5e1

pro(a(ilité1

/ompo1ée1& /ar symétrie8 /, W &0 J /, V &0 /&0 J /& V ,0 /,0. i , et & sont deux év@nements indé)endants et que /&0Y ) alors ceci équivaut à affirmer que / & ,0 J /, V &0 J /,0.

Lors#ue ,eu) &.70e8e0s so0 i*5épe*5a*t1/ %e f!" #ue %’u0 ,es &.70e8e0s so" r&!%"s&/ 0’!--ore !u*u0e "0for8!"o0 sur %! r&!%"s!"o0 ,e %’!ure( D!0s *e *!s %! -ro$!$"%"& *o0,""o00e%%e / & <, ?
!orsque deux év@nements sont indé)endants 8 la probabilité conditionnelle de , est la mBme que ce soit & ou

qui est réalisé.

E.em)le : "ans l’exemple du lancer d’un dé à  faces8 non pipé8 les deux év@nements : , L le résultat est pair M et & L le résultat est un multiple de trois M sont

indé)endants  *ir *ir e.em)le 0. 0. ,insi la probabilité que la face soit paire p aire sachant que c’est un multiple de ; est : Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page ##

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& si et

, J N(8<8O /,0J;V

& JN;8O , W &JNO /&0J(V

/, W &0J*V.

d’oU :

3B3B Pr*!a!ilités t*tales %hé*r+me : n k  es u0 1<1tème /omplet 57é4è*eme*t1/ #ue% #ue so" S" j ,  ,'  / , 2/(/, "/((/, n 

%’&.70e8e0 & / !%ors : / <& ?  / <&  , '?/ <, '? [ / <& , 2?/ <, 2?[(([ / <& , 0?/ <, 0?(

E.em)le : Ane population animale comporte *V; de mZles et (V; de femelles. !’albinisme  frappe  [ des mZles et )8; [ des femelles. !a probabilité pour qu’un individu  pris au hasard dont on ignore le sexe0 soit albinos est : i , J NmZleO et

J NfemelleO constitue un syst@me complet d’év@nements

& J NalbinosO et

J Nnon albinosO

/&00 J / /& & V ,0/, ,0/, 0 X /& V 0/ 0 sachant que /&

alors /&0 J )8)

*V;0 X )8));

(V;0 J 0022-

soit 22-G d’al!in*s dans cette population.

3B-B 6e thé*r+me de ?aes

U0 *oro%%!"re !u 9&or78e ,es -ro$!$"%"&s o!%es es *o00u sous %e 0o8 ,e )ormle 5e #a
%hé*r+me :

S" j ,  n k  es u0 1<1tème /omplet 57é4è*eme*t1 / e #ue% #ue so" ,'  / , 2/(/, "/((/, n  %’&.70e8e0 & e% #ue / <& ?  >/ !%ors :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page #$

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& C’es %! Formle 5e #a
de

causes

dans

des

diagnostics

maladies8

pannes8

etc.0.

!’application du théor@me de &ayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée statistique !aesienne .

E.em)le : "ans une population pour laquelle * habitant sur *)) est atteint d’une maladie génétique ,8 on a mis au point un test de dépistage. !e résultat du test est soit  positif 10 soit négatif négatif  0. 2n sait que : /1 V ,0 J )8> et / V 0 J )8= 2n soumet un patient au test. +elui-ci est positif. Quelle est la probabilité que ce 1,0  ,0 ou /,V10 H  patient soit atteint de la maladie maladie , soit / 1 

Htre malade est de /,V10 J 004 probabilité a et a)r+s le test la probabilité d’ Htre  posteriori0. ,insi le test apporte un supplément d’information. d’information.

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& %'A>AU= &;';E( E.ercice 1 Ane entreprise poss@de ; machines ,8 & et +. 2n note

respectivement

et

0

l’événement L n ouvriers travaillent sur la machine , respectivement & et +0 M. ,vec ces notations8 écriveD les événements suivants : *. /ersonne ne travaille sur la machine , (. ( ouvriers travaillent sur , et * ouvrier sur & ;. * ouvrier travaille sur ,8 * ouvrier sur & et personne sur + <. 3oins de ; ouvriers travaillent sur , 9. /lus de trois ouvriers travaillent sur , . ( ouvriers travaillent sur , et au moins * ouvrier travaille sur &.

E.ercice 2 2n range 9 ob'ets dans trois tiroirs discernables. 6n supposant que les différentes  fa7ons d’effectuer ces rangements soient so ient équiprobables8 calculer la probabilité que l’un des ; tiroirs contienne au moins ; ob'ets.

E.ercice 3 "ans une entreprise8 la probabilité pour qu’un ouvrier , quitte l’entreprise dans l’année est *V9 et la probabilité pour qu’un cadre & quitte l’entreprise est *V>. 6n supposant ces ( événements indépendants8 calculer la probabilité que : *0  , et & quittent l’entreprise. (0  l’un des ( quitte l’entreprise. ;0  ni ,8 ni & ne quittent l’entreprise. <0  & seulement quitte l’entreprise.

E.ercice "ans une entreprise8 lors d’une réunion comprenant 9 cadres8 4 employés et *9 ouvriers8 on choisit au hasard successivement n personnes. *0  i n J (8 calculer c alculer la probabilité de choisir un cadre puis un employé. (0  i n J ;8 calculer la probabilité de choisir un cadre8 puis un employé8 puis un ouvrier.

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%$ S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.ercice  6n étudiant une population8 on a remarqué que8 durant un mois8 <)[ des individus sont allés au cinéma8 (9 [ sont allés au théZtre et *(89[ sont allés au cinéma et au théZtre. +alculer la probabilité que durant un mois8 un individu : *0  aille au cinéma ou au théZtre (0  n’aille pas au cinéma ;0  n’aille ni au cinéma8 ni au théZtre <0  aille au cinéma mais pas au théZtre 90  sachant qu’il est allé au cinéma8 aille aussi au théZtre 0  sachant qu’il n’est pas allé au théZtre8 n’aille pas au cinéma.

E.ercice  An serveur de banque de données a calculé en fonction de sa client@le qu’un individu essayant un L mot de passe M au hasard est refoulé === fois sur *))). achant que l’ordinateur accepte trois essais de mot de passe avant de couper la connexion8 quelle est la probabilité de se déconnecter par hasard H

E.ercice 4 Ane entreprise utilise ; machines différentes pour fabriquer des arbres de transmission de mBme diam@tre et de mBme longueur. <)[ des arbres sont  fabriqués par la machine ,8 ;)[ par la machine & et ;)[ par la machine +. 3algré les réglages fréquents8 ces machines produisent des arbres défectueux8 compte tenu des normes de fabrication. 3achine

,

 pourcentage de défectueux défectueux ([

& <[

+ 9[

2n a prélevé un arbre au hasard dans la production8 et l’on a constaté qu’il était défectueux. Quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué f abriqué par : *0  la machine , H (0  la machine + H

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.ercice 5 "ans une entreprise8 une machine , fabrique <)[ des pi@ces et une machine &  fabrique )[ des pi@ces. !a proportion des pi@ces défectueuses fabriquées par , est ;[ et par & de ([. 2n choisit une pi@ce au hasard. *0  +alculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. déf ectueuse. (0  achant qu’elle est défectueuse8 calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée  par ,.

E.ercice I 2n soumet *)>) personnes à un test psychotechnique noté de ) à 9. !es résultats sont consignés dans le tableau suivant8 oU les individus ont été classés en trois grandes catégories suivant le secteur d’activité de leur emploi e mploi actuel. %otes ecteur #ndustrie ,griculture ervices

, & +

)

*

(

;

<

9

) ) ) ) ) ) <) <) >) >) ) ) >) ) ) >) >) *()

2n choisit un individu au hasard dans la population testée. *0  Quelle est la probabilité de choisir un individu du type , et ayant la note ( H (0  Quelle est la probabilité de choisir un individu du type , H ;0  Quelle est la probabilité de choisir un individu ayant la note 9 H <0  achant que sa note est 98 quelle est la probabilité que ce soit un individu du type , H 90  achant que sa note est strictement inférieure à (8 quelle est la probabilité que ce soit un individu du type + H

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Cha)itre 4 : $%;$( &E >A';A?6E( A6EA%;'E( E% &E 6; &E P'?A?;6;%E

D!0s %! -%u-!r ,es phé*omè*e1 aléatoire1/ %e r&su%! ,’u0e épre4e -eu se r!,u"re -!r u0e  +r!0,eur  8!9&8!"#ue/ r7s sou.e0 re-r&se0&e -!r u0 0o8$re e0"er ou u0 0o8$re r&e%( L! 0o"o0 8!9&8!"#ue #u" re-r&se0e eff"*!*e8e0 *e +e0re ,e s"u!"o0 *o0*r7e es *e%%e ,e 4aria(le aléatoire <0o&e &+!%e8e0 .(!(?( A"0s" %e e8-s ,e ,&s"0&+r!"o0 ,’u0 !o8e r!,"o!*"f/ %e -our*e0!+e ,e r&-o0ses  ou"   u0e #ues"o0 -os&e ,!0s u0 so0,!+e ou %e 0o8$re ,’e0f!0s ,’u0 *ou-%e so0 ,es e)e8-%es ,e .!r"!$%es !%&!o"res( 'emarque  : O0 se %"8"er! "*" !u *!s ,es .!r"!$%es !%&!o"res réelle1 <%es e0"ers

f!"s!0 $"e0 sr -!r"e ,es r&e%s?( E!0 ,o00& u0 e1pa/e pro(a(ili1é ,’es-!*e fo0,!8e0!% h e ,e 8esure ,e -ro$!$"%"& / / o0 !--e%%e 4aria(le aléatoire sur *e es-!*e/ oue appli/atio* E ,e h ,!0s

e%%e #ue :

, chaque év@nement élémentaire \ de S correspond un nombre réel x associé à la variable aléatoire E. +omme l’indique le graphe8 il n’y a  pas

obligatoirement

valeurs variable

possibles

prises

aléatoire

d’év@nements

autant par

E

de la que

élémentaires.

!a

valeur x correspond à la l a réalisati*n de la variable E

pour l’év@nement

élémentaire \. Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.em)le : i l’on consid@re la constitution c onstitution d’une fratrie de deux enfants8 enf ants8 l’espace fondamental est constitué des év@nements élémentaires élé mentaires suivant : S J N$$8 $F8 F$8 FFO !es valeurs possibles prises par la variable aléatoire E8 L nombres de fille dans la  famille M sont : E S0 J N)8 *8 (O. 1. >aria!les aléat*ires discr+tes 

1B1B &é#initi*n

U0e .!r"!$%e !%&!o"re es ,"e 5i1/rète s" e%%e 0e -re0, #ue ,es 4aler1 5i1/o*ti*e1 ,!0s u0 "0er.!%%e ,o00& <$or0& ou 0o0 $or0&?( L’e0se8$%e ,es

0o8$res e0"ers es ,"s*re( E0 r7+%e +&0&r!%e/ oues %es .!r"!$%es #u" r&su%e0 ,’u0 5é*om(reme*t ou ,’u0e *mératio* so0 ,e -e ,"s*r7es( 1B2B 6*i de )r*!a!ilité

U0e .!r"!$%e !%&!o"re es *!r!*&r"s&e -!r %’e0se8$%e ,es .!%eurs #u’e%%e -eu -re0,re e -!r %’e)-ress"o0 8!9&8!"#ue ,e %! -ro$!$"%"& ,e *es .!%eurs( Cee e)-ress"o0 s’!--e%%e la loi 5e pro(a(ilité
-ro$!$"%"&s  p " ,es &.70e8e0s j E  xi   k/ xi -!r*our!0 %’u0".ers "8!+e E 
Re8!r#ue : -

Af"0

,e

s"8-%"f"er

%’&*r"ure/

0ous

0oero0s -our %! su"e ,u *ours : i  i  &#u".!%e0  / 
-

U0e %o" ,e -ro$!$"%"& 0’es &!$%"e #ue s"

/ %! so88e &!0 &e0,ue 

oues %es "0,"*es "(

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 1B3B 6a #*ncti*n de ré)artiti*n

O0 !--e%%e )o*/tio* 5e répartitio* ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re E / %! fo0*"o0 F E  E  e%%e #ue : F E  E  : R q R t q F E  E 
Co0*r7e8e0 %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 *orres-o0,  %! 5i1tri(tio* 5e1 pro(a(ilité1 /mlée1( Le -%!e!u !e"0 -!r %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0

*orres-o0,  %! .!%eur ,e -ro$!$"%"& ' *!r

(

L’"8-or!0*e -r!"#ue ,e %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 es #u’e%%e -er8e ,e *!%*u%er %! -ro$!$"%"& ,e ou "0er.!%%e ,!0s R( Les propriété1 !sso*"&es  %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 so0 %es su".!0es : So" F E  E  %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 ,’u0e 4aria(le aléatoire 5i1/rète E !%ors : -


/ > d F E  ?d' E 
-


-


e

%"8

t q

-



>*ici )*urqu*i :


j E  b k ,o0* / 

j E  a k !"0s" F E  E 
E8emple :

O0 *o0s",7re %’&.70e8e0 g  %!0*er ,e 3 -"7*es ( O0 "0ro,u" u0e .!r"!$%e !%&!o"re E ,&f"0"e -!r E  '= ' 3= 2 3= 3 '=

D!0s %e *!s ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,"s*r7e/ o0 '= 4= = '

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u"%"se u0 5iagramme e* (to*1 -our ."su!%"ser %! 5i1tri(tio* 5e pro(a(ilité1 e u0e fo0*"o0 e0 es*!%"er -our la )o*/tio* 5e répartitio*&

Page $!

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

E.ercice 1 An 'oueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de * à . 2n suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé8 toutes les faces ont la mBme  probabilité dCapparition. dCapparition. !e 'oueur suivant les r@gles suivantes : - i les deux dés donnent le mBme numéro alors le 'oueur perd *) points - i les deux d@s donnent deux numéros de parités différentes lCun est pair et lCautre impair0 alors il perd 9 points. - "ans les autres cas il gagne *9 points. !e 'oueur 'oue une partie et on note E la variable aléatoire correspond au nombre de points obtenus par lui.

aB "étermineD la loi de probabilité de E puis calculeD c alculeD lCespérance lCespérance de E. !B IeprésenteD graphiquement graphiquement la fonction de répartition de E. (*luti*n !Cunivers ] est lCensemble des résultats possibles apr@s le lancer des deux dés. #ci8 ] correspond au produit produit cartésien cartésien N* 8 ( 8 ; 8 < 8 9 8 OxN* OxN* 8 ( 8 ; 8 <8 <8 9 8 O. on cardinal est +ard]0 J ^ J ;. +omme on suppose quCil y a équiprobabilité des résultats des lancers8 on a alors : /our tout événement , de ]8 /,0 J

+ard,0 +ar]0

a :

!a variable aléatoire E peut prendre les valeurs -*) 8 -9 8 X*9. !Cévénement _E J -*)_ est es t lCévénement _obtenir le mBme numéro_. +Cest donc lCévénement , J N*8*0 8 (8(0 8 ;8;0 8 <8<0 8 9890 8 80 O. !a probabilité de _E J -*)_ est donc : Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page $"

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& PF = J  10 D J  / 3 J 1 /   "e mBme8 lCévénement _E J -9_ est lCévénement _obtenir ( numéros de parités différentes_. +Cest donc lCensemble des couples a 8 b0 tels que a soit dans N*8;89O et b soit dans N(8<8O ou bien a soit dans N(8<8O et b soit dans N*8;89O. !a cardinal de cet événement est donc : ;x; X ;x; J *>. "CoU :

PF = J  D J 15 /3 J 1/2B

+omme  /E J k0 J * 8 on en déduit que /E J *90 J * - /EJ-*)0 - /EJ-90. "CoU :

PF= J 1D J 1  1/  1/2 J 1/3

2n résume cela sous la forme f orme dCun tableau : E J k 

-*) 

-9

*9 

/E J k0 

*

*

*

 

( 

; 

! :  !a  !a fonction de répartition de E est la fonction F définie sur #I par : /our tout x réel8 Fx0 J / / E ` x 0. "Capr@s le tableau de la loi de probabilité de E8 on en déduit que : i x ` -*) alors Fx0 J ). i -*) ` x ` -9 alors Fx0 J *V i -9 ` x ` *9 alors Fx0 J *V X *V( J (V; . i x  *9 alors Fx0 J *V X *V( X *V; J * . "CoU la courbe de la fonction f onction de répartition de E.

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.ercice 2 !ors d’une enquBte8 on a interrogé 9 hommes et ; femmes. 2n choisit au hasard et sans remise les personnes une à une 'usqu’à obtention d’un homme. oit E le nombre de tirages nécessaires. "éterminer les valeurs de E et sa loi de probabilité.

E.ercice 3 oit E la variable aléatoire définie par le tableau suivant : *

(

)8(9

"éterminer la valeur de

et

;

<

)8*>

9 )8;4

sachant que les événements EJ( et E J < sont

équiprobables.

 2. >aria!les aléat*ires c*ntinues

2B1B &é#initi*n

U0e .!r"!$%e !%&!o"re es ,"e /o*ti*e s" e%%e -eu -re0,re tote1 le1 4aler1 ,!0s u0 "0er.!%%e ,o00& <$or0& ou 0o0 $or0&?( E0 r7+%e +&0&r!%e/ oues %es .!r"!$%es #u" r&su%e0 ,’u0e me1re so0 ,e -e *o0"0u( 2B2B 7*ncti*n densité de )r*!a!ilité

D!0s %e *!s ,’u0e 4aria(le aléatoire /o*ti*e / %! %o" ,e -ro$!$"%"& !sso*"e u0e -ro$!$"%"&  *9!#ue e0se8$%e ,e .!%eurs ,&f"0"es 5a*1 * i*ter4alle 5o**é ( E0 effe/ -our u0e .!r"!$%e !%&!o"re *o0"0ue/ %! -ro$!$"%"& !sso*"&e  %’&.70e8e0 j E  a   k es 0u%%e/ *!r "% es "8-oss"$%e ,’o$ser.er e)!*e8e0 *ee .!%eur( O0 *o0s",7re !%ors %! -ro$!$"%"& #ue %! .!r"!$%e !%&!o"re E -re00e ,es .!%eurs *o8-r"ses ,!0s u0 "0er.!%%e a8b i e% #ue / / %! .!%eur -r"se -!r E e0, !%ors .ers u0e fo0*"o0 #ue %’o0 !--e%%e )o*/tio* 5e*1ité 5e pro(a(ilité ou 5e*1ité 5e pro(a(ilité(

O0 !--e%%e 5e*1ité 5e pro(a(ilité oue !--%"*!"o0 *o0"0ue -!r 8or*e!u) :

e%%e #ue : •


x

f

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& •



? *ncti*n oit une f *ncti*n  )r*!a!ilité *0

l’aire

densité de

 fx0 : hachurée

en

ert

correspond à la probabilité /E ` -  *)0 (0

l’aire

hachurée

en

!leu

correspond à la probabilité /X*) `E ` X*90.

'emarque  : Cee fo0*"o0 ,e0s"& ,e -ro$!$"%"& es u0e %o" ,e -ro$!$"%"& *!r

%’!"re sous %! *our$e es &+!%e  ' -our oues %es .!%eurs ,e x ,&f"0"es( 'éci)r*quement  :  :

U0e .!r"!$%e !%&!o"re E ,&f"0"e sur u0 u0".ers h es ,"e a(1olme*t /o*ti*e/ s’"% e)"se u0e )o*/tio* 5e*1ité 5e pro(a(ilité  t e%%e #ue :

<.o"r +r!-9e *"5,essus?( 2B3B 7*ncti*n de ré)artiti*n

S" *o88e -our %es .!r"!$%es !%&!o"res ,"s*r7es/ o0 ,&f"0" %! )o*/tio* 5e répartitio* ,e E -!r :

!%ors %! re%!"o0 e0re %! )o*/tio* 5e répartitio* F E e %! fo0*"o0 5e*1ité 5e pro(a(ilité # . O es %! su".!0e :

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& L! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0

es la primiti4e <.o"r *ours ,’!0!%se? ,e %!

fo0*"o0 ,e0s"& ,e -ro$!$"%"&  f

/ 

a

!%ors :

!.e* a  b

/  s" f es *o0"0ue  ,ro"e ,u -o"0 a (

>*ici )*urqu*i :


E  E 

[ !%ors/

<9&or78e ,es !**ro"sse8e0s f"0"s?( A"0s" %ors#ue 9 q >[ :  f
h f

,’oW : /  ?( Remar2e : L! -ro-r"&& P2 "8-%"#ue #ue / 
Fonction densité de probabilité fx0 Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %&%

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

Fonction de répartition F E  E 

L’!"re ha/hrée e* 4ert sous %! *our$e ,e %! fo0*"o0 ,e0s"& ,e -ro$!$"%"& *orres-o0,  %! -ro$!$"%"& / 
!0!%seO( Les )r*)riétés !sso*"&es  %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 so0 %es su".!0es : So" F  %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 ,’ u0e u0e .!r"!$%e !%&!o"re a(1olme*t /o*ti*e E E  E 

!%ors :


F E E  es  .!%eurs ,!0s >/'i

%"8 F  E  E 

t q 

e

%"8 F 
t q [

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.ercice 1 2n consid@re la fonction f de

dans

définie par :

"éterminer le réel k pour que f puisse Btre Btre considérée comme

la densité densité de

 probabilité d’une certaine variable aléatoire continue E et déterminer la fonction f onction de répartition F associée.

E.ercice 2 oit une variable variable aléatoire aléatoire continue dont la fonction de répartition répartition F est définie  par :

"éterminer une densité de probabilité convenable pour E et la représenter graphiquement.

 3. Es)érance et >ariance 

U0e %o" ,e -ro$!$"%"& -eu re *!r!*&r"s&e -!r *er!"0es .!%eurs -"#ues *orres-o0,!0 !u) 0o"o0s ,e 4aler /e*trale / ,e 5i1per1io* e ,e )orme 5e 5i1tri(tio*(

3B1B

Es)érance mathématique

e1péra*/e ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re 6E0 *orres-o0,  %! 8oe00e ,es .!%eurs L’ e1péra*/e

-oss"$%es ,e E -o0,&r&es -!r %es -ro$!$"%"&s !sso*"&es  *es .!%eurs( C’es u0 -!r!87re ,e -os""o0 #u" *orres-o0, !u mome*t ,’or,re ' ,e %! .!r"!$%e !%&!o"re E ( C’es %’&#u".!%e0 ,e %! mo
( E0 effe %ors#ue %e

e0, .ers 6 
>aria!les aléat*ires discr+tes

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& S" E es u0e 4aria(le aléatoire 5i1/rète ,&f"0"e sur u0 u0".ers -ro$!$"%"s& h/ o0 !--e%%e es-&r!0*e ,e E / %e r&e% ,&f"0" -!r :

'emarque  : S" E 
L’es-&r!0*e 8!9&8!"#ue es &+!%e8e0 0o&e v= O/ v= ou e0*ore v s" !u*u0e *o0fus"o0 0’es  *r!"0,re( Nous -ou.o0s ,o00er u0e !ure ,&f"0""o0 ,e %’es-&r!0*e ,’u0e 4aria(le o0 !sso !sso*"e *"e %’"8! %’"8!+e +e x e%%e #ue E 
S" E es u0e 4aria(le aléatoire 5i1/rète ,e %o" ,e -ro$!$"%"&
E.ercice oit E la variable aléatoire définie par le tableau ci-contre : -(

-*

)

*

(

*V> *V< *V9 *V> ;V*) +alculer l’espérance mathématique mathématique de E.

3B1B2B

>aria!les aléat*ires c*ntinues

S" E es u0e 4aria(le aléatoire a(1olme*t /o*ti*e ,e ,e0s"& t/ o0 !--e%%e e1péra*/e ,e E / %e r&e% 6 
s" *ee "0&+r!%e es /o*4erge*te( 3B1B3B

Pr*)riétés de l’es)érance

Les -ro-r"&&s ,e l7e1péra*/e .!%e0 !uss" $"e0 -our u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,"s*r7e ou u0e .!r"!$%e !%&!o"re !$so%u8e0 *o0"0ue(

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res ,&f"0"es sur u0 88e u0".ers h/ !,8e!0 u0e es-&r!0*e/ !%ors :
?[6 < ? 6 

6 

S" E p > !%ors 6E ? p >


S" E es u0 *!r!*7re *o0s!0 e% #ue : g

h E
Remar2e : D!0s %e *!s *o0"0u/

L! -ro-r"&& P'  es .&r"f"&e #ue%#ues so"e0 %es re%!"o0s ,e ,&-e0,!0*e ou ,’"0,&-e0,!0*e s!"s"#ue e0re %es ,eu) .!r"!$%es( >*ici )*urqu*i :

Nous ,&8o0rero0s %es -ro-r"&&s ,!0s %e *!s ,e ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res ,"s*r7es !.e*  p i i  / %! -ro$!$"%"& ,e r&!%"s!"o0 ,e j E  x  ki i  e j   y  ki i  e n &.70e8e0s &%&8e0!"res(

/ ;  ;0  E

> "8-%"#ue #ue

e *o88e u0e pro(a(ilité e1t toBor1

po1iti4e/ 6 (

Nous .erro0s %es !--%"*!"o0s ,"re*es ,e *es -ro-r"&&s ,!0s %e *!,re ,es opératio*1 1r le1 4aria(le1 aléatoire1&

3B2B >ariance

L! 4aria*/e ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re TE0 es %’es-&r!0*e 8!9&8!"#ue ,u *!rr& ,e %’&*!r  %’es-&r!0*e 8!9&8!"#ue( C’es u0 -!r!87re ,e ,"s-ers"o0 #u" *orres-o0, !u mome*t /e*tré ,’or,re 2 ,e %! .!r"!$%e !%&!o"re E ( C’es

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %&

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& %’&#u".!%e0 ,e %! 4aria*/e o(1er4ée S2( E0 effe %ors#ue %e 0o8$re ,’&-reu.es n es +r!0,/ S2 e0, .ers TE ? <.o"r e1timatio*?( S" E es u0e .!r"!$%e !%&!o"re !!0 u0e es-&r!0*e 6 
<E 5 6 
<E 5 6 
?i [6 6 
Pro-r"&&s

P'

,e

Pro-r"&&s

P4

e1péra*/e %’ e1péra*/e T 
0&*ess!"re8e0 T ( P!r ,&f"0""o0/ u0e 4aria*/e e1t toBor1 po1iti4e(

L! .!r"!0*e es &+!%e8e0 0o&e w2 s" !u*u0e *o0fus"o0 0’es  *r!"0,re( S" E es u0e .!r"!$%e !%&!o"re !!0 u0e .!r"!0*e T 
Remar2e : L’&*!r5-e -er8e ,e ,"s-oser ,’u0 -!r!87re ,e ,"s-ers"o0 #u"

s’e)-r"8e ,!0s %es mme1 *ité1 #ue %! .!r"!$%e !%&!o"re e%%e588e( Le er8e  &*!r5-e  se r!,u" e0 !0+%!"s -!r %e f!u)5!8"  s!0,!r, ,e."!"o0 ( 3B2B1B

>aria!les aléat*ires discr+tes

S" E es u0e .!r"!$%e !%&!o"re 5i1/rète ,e %o" ,e -ro$!$"%"& < x i i/   p i i?  i ,&f"0"e sur u0 0o8$re f"0"
3B2B2B

>aria!les aléat*ires c*ntinues

S" E es u0e .!r"!$%e !%&!o"re /o*ti*e ,o00&e -!r s! ,e0s"& ,e -ro$!$"%"& !%ors %! .!r"!0*e ,e E es %e 0o8$re r&e% -os""f e% #ue : Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %&!

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

3B2B3B

Pr*)riétés de la ariance

S" E es u0e .!r"!$%e !%&!o"re !,8e!0 u0e .!r"!0*e !%ors :
a

/




T

T
/

T
I% es -oss"$%e ,’e)-r"8er %! .!r"!0*e e0 fo0*"o0 ,u mome*t ,’or,re '
>aria!le aléat*ire #inie

2n appelle moment d’ordre k la valeur



D

suivante :

>aria!le aléat*ire dén*m!ra!le

2n appelle moment d’ordre k la valeur

suivante :

Calc Calcul ul des des m*m m*men ents ts cent centré rés s d’* d’*rd rdre re 9 F9 F9

D

2n appelle variable aléatoire centrée E’ la variable aléatoire définie par :

!e moment centré d’ordre k de la variable aléatoire E8 d’ordre k de la variable centrée

est égal au moment

.

/our une variable aléatoire finie8 on a :

/our une variable aléatoire dénombrable8 on a :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %&"

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

/ar convention on a :

 4. C*u)les de aria!les aléat*ires 

-B1B 6*i "*inte

Les ,&f"0""o0s -or!0 sur la loi Boi*te e0re ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res E e  "8-%"#ue0 #ue *es ,er0"7res so"e0 ,&f"0"es sur le mme e1pa/e )o*5ame*tal h( S" E e  so0 ,&f"0"es res-e*".e8e0 sur %es es-!*es fo0,!8e0!u) h' e h2/ !%ors "% f!u e0."s!+er u0 es-!*e #u" e0+%o$e h' e h2 !--e%&  e1pa/e-pro5it ( I% suff" !%ors ,e *o00!Jre %a loi Boi*te ,es ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res ou loi 5e pro(a(ilité 5 /ople
D!0s %e *!s /o*ti*@  p xy  xy   / <
!%&!o"res( E.em)le :

O0 -%!*e !u 9!s!r, ,eu) $"%%es rou+e e .ere ,!0s ,eu) $o"es A e B( O0 0oe E / %! .!r"!$%e !%&!o"re  0o8$re ,e $"%%es ,!0s %! $o"e A  e  / %! .!r"!$%e !%&!o"re  0o8$re ,e $o"es .",es (

Les 5i1tri(tio*1 5e pro(a(ilité1 !sso*"&es  *9!*u0e ,es .!r"!$%es E e  !"0s" #ue *e%%e ,e %! loi Boi*te so0 "0,"#u&es *"5,essous( Pour *9!#ue %o"/ %! .!%eur ,e %’es-&r!0*e e ,e %! .!r"!0*e es &+!%e8e0 "0,"#u&e( Varia(le 9 : E /'/2k 6 
Page %&#

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Varia(le  :  /'k 6 < ?  '2 T < ?  x

/'/2k Varia(le 9 : E 
-B2B

;ndé)endance entre aria!les aléat*ires

Les -ro-r"&&s *o0*er0!0 %’ i*5épe*5a*/e i*5épe*5a*/e 1tati1ti2e e0re ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res s’!--%"#ue0 !uss" $"e0 !u) .!r"!$%es !%&!o"res ,"s*r7es ou !$so%u8e0 *o0"0ues( %hé*r+me :

S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res i*5épe*5a*te1 ,&f"0"es sur %e 88e u0".ers h !%ors : Remar2e : L’!--%"*!"o0 r&*"-ro#ue 0’es -!s .r!"e( L! re%!"o0 6 
0’"8-%"#ue -!s for*&8e0 %’"0,&-e0,!0*e ,e ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res( E.em)le :

D!0s %’e)e8-%e *o0*er0!0 %! r&-!r""o0 ,es 5e8 (ille1 5a*1 le1 . (oite1 / %! re%!"o0 6 
.!r"!$%es !%&!o"res E e  *e 1o*t pa1 i*5épe*5a*te1 ( E0 effe

 / <? m <  >??  > *!r "% es "8-oss"$%e ,’!.o"r  %! fo"s !u*u0e

$"%%e ,!0s %! $o"e A e !u*u0e $o"e .",e( Or o0 !e0, s" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es 1tati1ti2eme*t i*5épe*5a*te1/  *e #ue / <? m <  >??  / ?/ <  >?  '4a'2  +U?   %hé*r+me :

S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res i*5épe*5a*te1 ,&f"0"es sur %e 88e u0".ers h !%ors

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %&$

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 'emarque  :  : L’!--%"*!"o0 r&*"-ro#ue 0’es -!s .r!"e( L! re%!"o0 T 
S" %’o0 re-re0, %’e)e8-%e ,e %! r&-!r""o0 ,e 5e8 (ille1 5a*1 5e8 (oite1 / %! ,"sr"$u"o0 ,e -ro$!$"%"& ,e %! .!r"!$%e !%&!o"re /'/2/3k Varia(le 9; : EX /'/2/3k ?32 T 
#ue E e  *e 1oie*t pa1 i*5épe*5a*te1& -B3B C*ariance et C*rrélati*n

Lors#ue %’o0 *o0s",7re ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res s"8u%!0&8e0/ "% f!u ,&f"0"r u0 "0,"*!eur ,e %eur

 liai1o*  #u" *o8-%7e %es -!r!87res #u" %es *!r!*&r"se0

*9!*u0e s&-!r&8e0
e /oe))i/ie*t 5e /orrélatio* / %e r&e% :

I% r&su%e ,e *ee ,&f"0""o0/ %e 9&or78e su".!0 : %hé*r+me :

S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res ,&f"0"es sur %e 88e u0".ers h e i*5épe*5a*te1/ !%ors :

Les -ro-r"&&s ,e %! /o4aria*/e so0 %es su".!0es : S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res ,&f"0"es sur u0 88e u0".ers h/ !%ors :
T 

Page %%&

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 'emarque  : S" E e  so0 "0,&-e0,!0es/

z > 8!"s %! r&*"-ro#ue es f!usse( I%

-eu !rr".er/ -!r 9!s!r,/ #ue z > s!0s #ue E e  so"e0 "0,&-e0,!0es( -B-B )érati*ns sur les aria!les aléat*ires

I% !rr".e sou.e0 #ue %’o0 effe*ue 5e1 tra*1)ormatio*1 sur %es .!r"!$%es !%&!o"res -!r *o88o,"& ,e *!%*u% e "% es "8-or!0 ,e s!.o"r *o88e0 se *o8-ore0 %es -!r!87res !sso*"&s  *ee .!r"!$%e( Nous !.o0s r&su8& ,!0s %e !$%e!u *"5,essous #ue%#ues r!0sfor8!"o0s -oss"$%es !.e* a e b

(

I% e)"se ,’!ures r!0sfor8!"o0s ,e .!r"!$%es !%&!o"res #u" *o0,u"se0  ,es .!%eurs ,e -!r!87res -!r"*u%"7res( U0e .!r"!$%e !%&!o"re E es ,"e /e*trée s" 6 ( E.em)le :

L! .!r"!$%e   E  6 ( U0e .!r"!$%e !%&!o"re !,8e!0 u0e .!r"!0*e es ,"e ré5ite s" T 
L! .!r"!$%e

es u0e 4aria(le aléatoire ré5ite *!r

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %%%

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

A oue .!r"!$%e !%&!o"re E ,’es-&r!0*e 6 
,"e .!r"!$%e !%&!o"re /e*trée ré5ite e ,o0 %’e8-%o" es "0,"s-e0s!$%e -our u"%"ser %! -%u-!r ,es !$%es 0o!88e0 %es ta(le1 5e la loi *ormale ré5ite& -BB énéralisati*n à n aria!les aléat*ires

S" %’o0 *o0s",7re u0e &-reu.e  %!#ue%%e es !sso*"&e u0 es-!*e fo0,!8e0!% h e u0e .!r"!$%e !%&!o"re E e s" %’o0 r&-7e n fo"s/ ,e f!o0 "0,&-e0,!0e *ee &-reu.e/ o0 o$"e0 u0e su"e E '/ E 2/( E 0 .!r"!$%es !%&!o"res #u" so0 : -

,&f"0"es sur %e 88e es-!*e fo0,!8e0!%

-

,e 88e %o" ,e -ro$!$"%"&

-

"0,&-e0,!0es

!%ors :



Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E=E'C;CE 1 "ans une ville8 une banque met en place 9 guichets automatiques8 dans 9 quartiers différents : ; guichets du type L carton rouge M et e t ( guichets du type L carte verte M. la la  probabilité qu’un guichet du type L carton rouge M soit hors service pendant un eek end est )8*8 et la probabilité qu’un guichet du type L carte verte M durant un eek end est )8(. oit E le nombre de guichets L carte rouge M hors service et  le nombre de guichets L carte verte M hors service8 durant un eek end. *. "onner la loi du couple. (. +alculer la probabilité qu’un client possédant une carte rouge puisse se servir à un guichet automatique8 un eek end. ;. An client poss@de une carte rouge et une carte verte. +alculer la probabilité qu’il  puisse se servir à un guichet automatique8 automatique8 sachant tous les guichets L carte verte L sont hors service. <. +alculer 6E0 et 60. 9. +alculer covE80. . +alculer

8

et

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

.

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Cha)itre 5 : 6;( &E &;(%';?U%;$( (%A%;(%;
I% es ouKours -oss"$%e ,’!sso*"er  u0e .!r"!$%e !%&!o"re u0e -ro$!$"%"& e ,&f"0"r !"0s" u0e loi 5e pro(a(ilité ( Lors#ue %e 0o8$re ,’&-reu.es !u+8e0e "0,&f"0"8e0/ %es )ré2e*/e1 o(1er4ée1 -our %e -9&0o870e &u,"& te*5e*t 4er1 le1 pro(a(ilité1 e %es ,"sr"$u"o0s o$ser.&es .ers %es ,"sr"$u"o0s ,e -ro$!$"%"&

ou %o" ,e -ro$!$"%"&( I,e0"f"er %! %o" ,e -ro$!$"%"& su"."e -!r u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,o00&e es esse0"e% *!r *e%! *o0,""o00e %e *9o") ,es 8&9o,es e8-%o&es -our r&-o0,re  u0e #ues"o0 ,o00&e( +& 6*is discr+tes

P!r ,&f"0""o0/ %es .!r"!$%es !%&!o"res 5i1/rète1 -re00e0 ,es .!%eurs e0"7res ,"s*o0"0ues sur u0 "0er.!%%e ,o00&( Ce so0 +&0&r!%e8e0 %e r&su%! ,e ,&0o8$re8e0( 1B1B 6*i uni#*rme 1B1B1B &é#initi*n

U0e ,"sr"$u"o0 ,e -ro$!$"%"& su" u0e loi *i)orme %ors#ue oues %es .!%eurs -r"ses -!r %! .!r"!$%e !%&!o"re so0 é2ipro(a(le1( S" n es %e 0o8$re ,e .!%eurs ,"ff&re0es -r"ses -!r %! .!r"!$%e !%&!o"re/ E.em)le :

L! ,"sr"$u"o0 ,es *9"ffres o$e0us !u %!0*er ,e ,&
!.e* -our es-&r!0*e :

e -our .!r"!0*e

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %%4

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

oW %es .!%eurs x i *orres-o0,e0 !u r!0+ i ,e %! .!r"!$%e E ,!0s %! s&r"e(

1B1B2B Es)érance et ariance

D!0s %e *!s -!r"*u%"er ,’u0e loi 5i1/rète *i)orme oW %es .!%eurs ,e %! .!r"!$%e !%&!o"re E *orres-o0,e0 !u r!0+ x i i  i < i

'/ n i? i? :

1B2B 6*i de ?ern*ulli 1B2B1B &é#initi*n

So" u0 u0".ers h *o0s"u& ,e 5e8 é4e*talité1 /  -our su**7s e 6 -our &*9e* h  j 6   k sur %e#ue% o0 *o0sru" u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,"s*r7e/  nombre de 6/    succ@s  e%%e #ue !u *ours ,’ * *e &-reu.e/ s"  es r&!%"s&/ E  ' s" 6 es r&!%"s&/ E

 >( O0 !--e%%e 4aria(le 5e #er*olli ou .!r"!$%e indicatrice / %! .!r"!$%e !%&!o"re E e%%e #ue :

L! loi 5e pro(a(ilité !sso*"&e  %! .!r"!$%e ,e Ber0ou%%" E e%%e #ue/ / ?  q / 
es !--e%&e loi 5e #er*olli *otée #+@ ) O Es)érance et ariance

L’ e1péra*/e e1péra*/e ,e %! .!r"!$%e ,e Ber0ou%%" es :

L! 4aria*/e ,e %! .!r"!$%e ,e Ber0ou%%" es :

6 
T 
*!r -!r

5é)i*itio*

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %%

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& ,’oW T 
D&*r"e -our %! -re8"7re fo"s -!r Is!!* Neto* e0 '66 e ,&8o0r&e -our %! -re8"7re fo"s -!r %e 8!9&8!"*"e0 su"sse @!*o$ #er*olli e0 ''3/ %! loi (i*omiale es %’u0e ,es ,"sr"$u"o0s ,e -ro$!$"%"& %es -%us fr&#ue88e0

re0*o0r&es e0 s!"s"#ue !--%"#u&e( So" %’!--%"*!"o0 :  n : !.e* :

q

 n  E * [ E ( [[ E i [ ((([ E n oW E i es u0e .!r"!$%e ,e #er*olli

L! 4aria(le (i*omiale /  n / re-r&se0e %e *om(re 5e 1//è1 o$e0us %ors ,e %! r&-&""o0 ,e n &-reu.es i5e*ti2e1 et i*5épe*5a*te1/ *9!#ue &-reu.e 0e -ou.!0 ,o00er #ue ,eu) r&su%!s -oss"$%es( A"0s" %! %o" ,e -ro$!$"%"& su"."e -!r la 1omme 5e n 4aria(le1 5e #er*olli oW %! -ro$!$"%"& !sso*"&e !u su**7s es p8 es %! loi (i*omiale ,e -!r!87res n e p (  n :

L! -ro$!$"%"& #ue  n  k / *’es  ,"re %’o$e0"o0 ,e k su**7s !u *ours ,e n &-reu.es "0,&-e0,!0es es : I% es f!*"%e ,e ,&8o0rer #ue %’o0 ! $"e0 u0e %o" ,e -ro$!$"%"& *!r :

'emarque  : Le ,&.e%o--e8e0 ,u (i*Wme 5e Neto*  p  < p [q ?n  -er8e ,’o$e0"r

%’e0se8$%e ,es -ro$!$"%"&s -our u0e ,"sr"$u"o0 $"0o8"!%e !.e* u0e .!%eur n e  p ,o00&e( I% e)"se &+!%e8e0 ,es !$%es ,e %! %o" $"0o8"!%e oW %es -ro$!$"%"&s

so0 !$u%&es -our ,es .!%eurs n e p ,o00&es( Autre mani+re de )erce*ir la l*i !in*miale

L’9-o97se fo0,!8e0!%e ,e %! %o" $"0o8"!%e *o0s"se  0e -!s 8o,"f"er %! *o8-os""o0 ,u %o N( *e%%e5*" "8-%"#ue u0 "r!+e !.e* re8"se ou "r!+e ," {’0o0 e)9!us"f’’( O0 !ss"8"%e %e "r!+e ,’u0 &*9!0"%%o0 ,e !"%%e 0 s!0s re8"se  u0 Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %%!

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& "r!+e {’0o0 e)9!us"f’’ s" :

( E0 su--os!0 #ue %’o0 !"  p [ ,e -"7*es

,&fe*ueuses ,!0s u0 %o e #ue %’o0 "re u0 &*9!0"%%o0 {’0o0 e)9!us"f’’ ,e !"%%e 0/ %! %o" $"0o8"!%e ,o00e %! -ro$!$"%"& ,’!.o"r  &%&8e0s ,&fe*ueu) ,!0s %’&*9!0"%%o0/ o0 -eu &*r"re :

1B3B2B Es)érance et ariance

L’ e1péra*/e e1péra*/e ,’u0e .!r"!$%e $"0o8"!%e  n es &+!%e  : E ( n  nO  Q n)  n ?  6 
or

e

n?   np. ,’oW 6 < n 

L! 4aria*/e ,’u0e .!r"!$%e $"0o8"!%e  n es &+!%e  :

> ( n  nO  Q n)q 

n ?  T 
or e

n?   np #( ,’oW T < n  #(

1B3B3B (métrie et récurrence de la l*i !in*miale

L! %o" $"0o8"!%e ,&-e0, ,es ,eu) -!r!87res n e p ( E%%e es 1/ e 5i11
Page %%"

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

1B3B-B (ta!ilité de la l*i !in*miale %hé*r+me :

S"  n e  m so0 ,eu) .!r"!$%es i*5épe*5a*te1 su".!0 ,es %o"s $"0o8"!%es res-e*".e8e0  n q B
E.ercice /our réaliser le montage d’un syst@me électronique8 on dispose de résistances issues d’une production importante8 oU l’on sait que le pourcentage p de défectueuses est de 9[. 2n doit utiliser < résistances. a0  Quelle est la probabilité d’en avoir ; de mauvaises H b0  Quelle est la probabilité d’en avoir un nombre inférieur ou égal à ; de mauvaises H

1B-B 6*i gé*métrique

Lors#ue %e 0o8$re ,e su**7s n es &+!%  '/ %! %o" ,e %! .!r"!$%e !%&!o"re ,"s*r7e E -ore %e 0o8 ,e %o" ,e Pa1/al ou loi géométri2e ,e -!r!87re p e%%e #ue :

E.ercice 1 /our accéder à un guichet automatique8 il faut utiliser une carte magnétique et un code confidentiel. An client tapant un code au hasard est refusé === fois sur *))). oit E le nombre d’essais nécessaires pour accéder au guichet. a0  Quelle est la loi de probabilité de E H b0  +alculer /E J*0. c0  achant qu’au bout de trois essais infructueux8 la carte est confisquée8 calculer la probabilité d’accéder au guichet par hasard. d0  +ombien faut G il d’essais en moyenne pour accéder au guichet par hasard H

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 1BB

6*i h)ergé*métrique

i l’on ne peut pas faire l’hypoth@se d’un tirage avec remise donc faire l’hypoth@se d’un tirage sans remise dit tirage ’exhaustif’’ et dans ce cas :

8 la loi

binomiale n’est pas applicable. 6n effet8 il y a modification de la composition du lot à chaque tirage 5 dans ce cas il faut tenir compte des param@tres p aram@tres suivants : % : taille du lot

n : taille de l’échantillon l’échantillon

p : proportion de défectueux dans le

lot initial  : nombre d’éléments défectueux dans le lot égal à % . p k : nombre d’éléments défectueux auxquels on s’attend dans l’échantillon. l’échantillon. !a probabilité d’avoir k défectueux est :

!’espérance mathématique mathématique est n . p et e t la variance est donnée par p ar la relation :

E.em)le : "ans un lot de (9 pi@ces dont 9 sont mauvaises8 quelle est la probabilité d’en tirer ; de défectueuses pour un échantillon de 9 H

Iéponse :

6xercice * "ans une /368 sont employés  ouvriers et 9 employés. !e /"$8 souhaitant  prendre l’avis de son personnel8 interroge 4 personnes choisies au hasard parmi ces ** personnes. oit E la variable aléatoire : Mnombre d’ouvriers interrogés M. a0  Quelles sont les valeurs prises par E H b0  Quelle est sa loi de probabilité H c0  +alculer la probabilité d’interroger < ouvriers.

1BB 6*i de P*iss*n 1BB1B &é#initi*n

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& O0 !--e%%e pro/e111 poi11o**ie*
%! -ro$!$"%"& ,e r&!%"s!"o0 ,e %’&.70e8e0 !u *ours ,’u0e -e"e -&r"o,e ou sur u0e -e"e -or"o0 ,’es-!*e |t es -ro-or"o00e%%e  |t so" p |t (

-

e%%e es "0,&-e0,!0e ,e *e #u" s’es -ro,u" !0&r"eure8e0 ou  *^&/

-

%! -ro$!$"%"& ,e ,eu) !--!r""o0s sur %e 88e | t es 0&+%"+e!$%e(

A"0s"/ ,es &.70e8e0s #u" se r&!%"se0 ,e f!o0 !%&!o"re *o88e ,es -!00es ,e 8!*9"0es/ ,es !**",e0s ,’!."o0s/ ,es f!ues ,!0s u0 e)e/ -eu.e0 re *o0s",&r&s *o88e re%e.!0 ,’u0 -ro*essus -o"sso00"e0( U0e .!r"!$%e !%&!o"re E  .!%eurs ,!0s R su" u0e loi 5e Poi11o* 5e paramètre } <}  >? s" %es r&e%s p  so0 ,o00&s -!r :

o0 0oe : E q P<}?( Remar2e : U0e %o" ,e Po"sso0 es ,o00&e -!r s! %o" ,e -ro$!$"%"& :

<'? k / /  (0 2n (0 2n a :

2r :

,’oW :

Co88e -our %! %o" $"0o8"!%e/ "% es -oss"$%e ,’u"%"ser u0e for8u%e ,e ré/rre*/e -our *!%*u%er %es .!%eurs ,es -ro$!$"%"&s su**ess".es :

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Page %2&

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 1BB2B Es)érance et ariance

L’ e1péra*/e e1péra*/e ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,e Po"sso0 es 6 
!.e* k

N .!%eurs -r"ses -!r %! .(!( E.

!.e* :

,’oW

L! 4aria*/e ,’u0e .!r"!$%e ,e Po"sso0 es : 'emarque  : I% es  0oer #ue ,!0s %e *!s ,’u0e .!r"!$%e !%&!o"re ,e Po"sso0/ l7e1péra*/e et la 4aria*/e pre**e*t la mme 4aler ( Ce*" es u0 &%&8e0 

-re0,re e0 *o8-e %ors ,es te1t1 5e /o*)ormité  u0e %o" ,e -ro$!$"%"&( 1BB3B (ta!ilité de la l*i de P*iss*n

S" E e  so0 ,eu) .!r"!$%es !%&!o"res i*5épe*5a*te1 su".!0 ,es loi1 5e Poi11o* res-e*".e8e0 E q P <}? e  q P
E.ercice 1 !e nombre de micro-ordinateurs vendus chaque 'our dans un magasin sui une loi de /oisson de param@tre <. +alculer la probabilité que dans une 'ournée : a0  on ne vende aucun micro-ordinateur8 b0  on vende < micro-ordinateurs8 micro-ordinateurs8 c0  on vende au moins un micro-ordinateur8 d0  le nombre de micro-ordinateurs vendus soit compris au sens large0 entre ( et .

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& 1B4B 6*i !in*miale négatie 1B4B1B &é#initi*n

Sous %e s*9&8! ,e Ber0ou%%" <&-reu.es ",e0"#ues e "0,&-e0,!0es?/ o0 ,&s"re o(te*ir n 1//è1 e %’o0 *o0s",7re %! .!r"!$%e !%&!o"re ,"s*r7e E #u" re-r&se0e

%e *om(re 57épre4e1 i*5épe*5a*te1 9 0&*ess!"re  %’o$e0"o0 ,es n su**7s( E su" u0e loi (i*omiale *égati4e ,e -!r!87res n e p 0o&e B% 
!.e* k8 n

N e k p n.

Remar2e :

D!0s %e *!s ,e %! %o" $"0o8"!%e 0&+!".e/ %e *om(re 5e 1//è1 n e1t /o** e %’o0 /her/he le *om(re 57épre4e1 9 / 0&*ess!"re -our o$e0"r %es n su**7s( A"0s" %e

,er0"er &.70e8e0 es *o00u *!r %es &-reu.es *esse0 !.e* %’o$e0"o0 ,u n "e8e su**7s e %’o0 *9o"s" n 5' 5' o$Kes -!r8" k 5'( 5'( E.em)le : /our étudier le domaine vital d’une population de poissons8 des émetteurs radio sont fixés au niveau de la nageoire dorsale apr@s une lég@re anesthésie locale. uite à divers aléas8 on consid@re que ;) [ des poissons équipés ne sont pas repérés par la suite. i l’on consid@re qu’un minimum de *9 poissons doivent Btre suivis pour avoir des résultats statistiquement acceptables8 la variable aléatoire E L nombre de poissons devant Btre équipés M suit une loi binomiale négative E  &% *98 )84)0. 6n posant comme hypoth@se que les causes de pertes de liaisons radio soient suffisamment nombreuses pour assurer l’indépendance entre chaque épreuve8 la probabilité d’Btre obligé d’équiper () poissons est de :

e1péra*/e !sso*"&e  u0e %o" $"0o8"!%e 0&+!".e es : L’ e1péra*/e

L! 4aria*/e !sso*"&e  u0e %o" $"0o8"!%e 0&+!".e es :

Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Pr*!l+me sur l*is discr+tes Pr*!l+me "ans une entreprise8 on a mis au point le syst@me de test suivant pour vérifier la qualité des produits. 2n teste *) produits ensemble e nsemble : -

si le test est positif8 on accepte tous les produits 5

-

si le test est négatif8 on teste à nouveau chaque produit individuellement.

2n sait que la probabilité pour qu’un ensemble de *) produits soit accepté est égale à )8=. 2n teste 9) produits par groupes. oit E le nombre total de tests. *0  Quelles sont les valeurs prises par E H (0  "onner la loi de probabilité de E. ;0  +alculer l’espérance et l’écart type de E. <0  +omparer ces résultats avec ceux obtenus si chaque produit est testé individuellement. individuellement. Quelle méthode vous semble se mble la plus intéressante H

.& 6*is c*ntinues

P!r ,&f"0""o0/ %es .!r"!$%es !%&!o"res /o*ti*e1 -re00e0 ,es .!%eurs *o0"0ues sur u0 "0er.!%%e ,o00&( 2B1B 6*i uni#*rme

L! %o" u0"for8e es %! %o" e)!*e ,e -9&0o870es *o0"0us u0"for8&8e0 r&-!r"s sur u0 "0er.!%%e( L! .!r"!$%e !%&!o"re E su" u0e loi *i)orme sur %e se+8e0 a /b i !.e* a  b s" s! 5e*1ité 5e pro(a(ilité es ,o00&e -!r :

Fonction de densité de probabilité

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Fonction de répartition

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S!"s"#ue e Pro$!$"%"&
<'? L! %o" u0"for8e *o0"0ue &!0 u0e %o" ,e -ro$!$"%"&/ %’ aire aire ha/hrée e* roge sur %! f"+ure *"5,essus .!u +( Ce*" "8-%"#ue #ue %! .!%eur -r"se -!r f 
.!u

(

<2? L! -ro$!$"%"& #ue E

a’8b’ i !.e* a ’  b ’ e a ’/’/b ’

a8b i .!u :

<3? L! )o*/tio* 5e répartitio* !sso*"&e  %! %o" u0"for8e *o0"0ue es e%%e #ue : F E s" x  a F E
L’ e1péra*/e e1péra*/e ,e %! %o" u0"for8e *o0"0ue .!u :

E0 effe -!r 5é)i*itio*

2r

-!r ,&f"0""o0 ,e %! %o" u0"for8e *o0"0ue ,’oW

L! 4aria*/e ,e %! %o" u0"for8e *o0"0ue .!u :

E0 effe -!r 5é)i*itio* : Professeur : Joël M. ZINSALO/EPAC-UAC

Page %24

S!"s"#ue e Pro$!$"%"&

2B2B 6*i n*rmale *u l*i de 6a)laceauss 2B2B1B &é#initi*n

O0 -!r%e ,e loi *ormale %ors#ue %’o0 ! !ff!"re  u0e .!r"!$%e !%&!o"re *o0"0ue ,&-e0,!0 ,’u0 +r!0, 0o8$re ,e *!uses "0,&-e0,!0es ,o0 %es effes s’!,,""o00e0 e ,o0 !u*u0e 0’es -r&-o0,&r!0e <*o0,""o0s ,e Bore%?( Cee %o" !*#u"er s! for8e ,&f"0"".e !.e* Ga11 1? e Lapla/e
?(

Ce 9&or78e se +&0&r!%"se "88&,"!e8e0  %! 1omme 5e n 4aria(le1 aléatoire1 *ormale1 i*5épe*5a*te1&

2B2B2B 6*i n*rmale réduite

U0e .!r"!$%e !%&!o"re *o0"0ue E su" u0e loi *ormale ré5ite s" s! ,e0s"& ,e -ro$!$"%"& es ,o00&e -!r :

Remar2e : f :  f es $"e0 u0e %o" ,e -ro$!$"%"& *!r : •

x R/  f 

•  f es "0&+r!$%e sur i5/ [  e

(

e1péra*/e ,’u0e %o" 0or8!%e r&,u"e es : 6 ( L! 4aria*/e ,’u0e %o" L’ e1péra*/e

0or8!%e r&,u"e es : T 
S" E su" u0e %o" 0or8!%e N
u0e 4aria(le /e*trée ré5ite su" u0e la loi *ormale ré5ite N <>/'?( 2B2B-B Calcul des )r*!a!ilités d’une l*i n*rmale

L! )o*/tio* 5e répartitio* ,e %! %o" 0or8!%e r&,u"e -er8e ,’o$e0"r %es -ro$!$"%"&s !sso*"&es 

oues .!r"!$%es !%&!o"res 0or8!%es N
r!0sfor8!"o0 e0 4aria(le /e*trée ré5ite ( O0 !--e%%e )o*/tio* ~ / %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 ,’u0e .!r"!$%e 0or8!%e r&,u"e E e%%e #ue :

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Page %2!

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& Les propriété1 !sso*"&es  %! fo0*"o0 ,e r&-!r""o0 ~ so0 :
e %"8 ~ t q 

~

~
U0e appli/atio* 5ire/te ,e %! fo0*"o0

~

es %! %e*ure ,es -ro$!$"%"&s sur %!

ta(le 5e la loi *ormale ré5ite (

E.ercice 1 !es dépts mensuels dans une agence bancaire suivent une loi normale de moyenne )) )))F et d’écart type *) )))F. +alculer la probabilité pour que les dépts d’un mois soient : a0  inférieurs à )) )))F 5 b0  inférieurs à () )))F 5 c0  compris entre 9=) )))F et *) )))F 5 d0  compris entre 9) )))F et () )))F.

2B2BB A))r*.imati*ns •

A))r*.imati*n de la l*i !in*miale )ar la l*i n*rmale

/our n tr@s grand8 p pas trop proche de ) ou *8 et

8 la loi normale constitue

une bonne approximationde la loi binomiale. b inomiale. +Cest-à-dire que8 pour les calculs de probabilité8 on peut remplacer la loi binomiale de param@tre n8 p0 par la loi normale de param@tre

•

.

A))r*.imati*n de la l*i de P*iss*n )ar la l*i n*rmale

/our

8 la loi normale constitue une bonne approximation approximation de la loi de /oisson.

+Cest-à-dire que8 pour les calculs de probabilité8 on peut remplacer la loi de /oisson de param@tre

par la loi normale de param@tre

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.

Page %2"

S!"s"#ue e Pro$!$"%"& E.ercice 1 Ane usine fabrique des vis dont ;[ ont des défauts. a0  2n prél@ve *))) vis au hasard 5 quelle est es t la probabilité d’avoir 9) vis défectueuses H d’avoir entre () et <) vis défectueuses H b0  2n veut *=9) vis sans défaut. /ar prudence8 on en prél@ve ())) au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir suffisamment de vis en bon état H

E.ercice 2 !e nombre de pannes8 par mois8 sur une certaine machine8 suit une loi de /oisson de moyenne ;. An atelier fonctionne avec *( machines de ce type8 indépendantes. 6n un mois8 quelle est la probabilité de constater dans cet atelier plus de <(  pannes H entre ; et <9 pannes pannes H

0& 6e thé*r+me central limite

A--e%& &+!%e8e0 9&or78e ,e %! %"8"e *e0r!%e/ "% fu &!$%" -!r Liapo*o)) e L"0,e$er+( O0 se -%!*e ,!0s u0e s"u!"o0 57épre4e1 répétée1/ *!r!*&r"s&es -!r u0e su"e E '/ E 2/ E 3/ / E i i// /  / E n ,e n .!r"!$%es !%&!o"res "0,&-e0,!0es e ,e 88e %o"
e%%es #ue : 6 < n ?  n v T < n ?  n w2 6 <3 n ?  v

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