Intro tr oduct ductiion `a la th´eor eorie des des pro probabi babillit´es et `a la statistique S´ego gollen Ge Geff ffray ray IUT Carquefou
Ann´ Ann´ee ee 20 2008 08-2 -200 0099 segolen.geff
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La d´emarc arche
Distinction Proba/Stat
La Th´ Th´ eorie eor ie des de s proba pro babi bililit´ t´ es : es perme er mett de mod´ mo d´elise eli serr des des ph´enom` enom`enes enes al´eato eatoire iress et d’y d’y eff effec ectu tuer er des des calcu cal culs ls th´eoriqu eoriques es concerne les populations : on ne peut donc pas faire de mesures. La Statistique : concerne les ´ eel, eel, la pratique, echa ch anti nt illo ll ons, le monde r´ on fait des mesures (observations) sur des individus, repose sur la mod´elisation elisation probabiliste probabiliste des observations.
Un exemple concret Un fabricant fabrican t d’ampoules d’amp oules souhaite souhai te v´ erifier erifie r la qualit´e des ampoules ´electriques electriques produites dans sa chaine de montage. Pour cela, il propose propos e donc d’´evaluer evalue r la dur´ee ee moyenne de bon bo n fonctionnement d’une ampoule. Commen Commentt faire ? on ne peut pas tester tester toutes toutes les ampoules ampoules produites roduites par la chaine chaine de montag montagee ! On tire un ´echantillon echant illon au hasard On r´ealise ealis e l’exp´erience, erien ce, on effectue effectu e des mesures, mesure s, on calcule calcul e la dur´ee ee moyenne moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l’´ l’´echa ec hant ntilillo lon n On approxime approxime la dur´ee ee moyenne moyenne de bon fonctionnement des ampoules amp oules de la populati pop ulation on enti`ere ere par la dur´ee ee moyenne moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l’´ echantillon echantillon
Un exemple concret (suite)
Commen Commentt savoir savoir si ce qu’on vient vient de faire est licite licite ? Quelle Quelle est la qualit´ qualit´e de l’approxim l’approximati ation on ? Il faut faut ´etudie etudierr la th´eorie eorie des probabilit´ probabili t´es es et la statistique statis tique ! Si on tire un autre ´echantillon, echantillon, il y a de fortes fortes chances chances que l’on l’on n’obt n’o btie ienne nne pas pas les les mˆemes emes r´esul esulta tats ts.. Ces fluctuations fluctua tions (ou erreurs erreu rs d’´echantillon echant illonnage) nage) sont dues `a la variabilit´ variabilit´e. e. Cela signifie que des objets semblables en apparenc apparencee peuve pe uvent nt pr´esente esenterr des diff´erence ere ncess lorsqu’on lorsq u’on effectu effe ctuee des mesures.
Les diff´erents erents aspects asp ects de la Statistique Statistique Obse Observ rver er ne suffit suffit pas ! Statistique descriptive : R´esumer esume r les mesures mesur es sur un ´echantillon echantill on (moyenne, variance,...) variance,. ..) Repr´esenter esente r les mesures mesur es (histogramme (histog ramme,, distribution) distrib ution) Stati Statist stiq ique ue inf´ erent erentiel ielle le : G´en´ en´eral er alis iser er les le s prop proprri´et´ et´es es d’un d’ un ´echa ec hant ntilillo lon n `a une un e popul op ulat atio ion n en prenant en compte les fluctuations fluctua tions d’´echantillonnage echantill onnage il faut mod´eliser eliser les observations obser vations (par des variables al´eatoires) eatoire s) : on fait fait app appel `a la th´eorie eor ie des de s proba pro babi bililit´ t´es es Tes ests ts d’hy d’ hyp p oth` oth` eses : eses Contrˆoler oler la vali validi dit´ t´e d’un d’ un mod` mo d`ele el e Compar parer un ´echant an tillo ll on `a une r´ef´ ef´erence Stati Statist stiq ique ue d´ ecisi eci sionn onnell elle e: Savoir prendre une d´ecision ecision alors que les r´esultats esultat s sont exprim´es es en termes de probabilit´es es (i.e. de pourcentag pou rcentagee de chances, de risques)
1`ere partie
Noti Notion onss de th´eorie eorie des des proba probabi bililit´ t´es es
Exp´erience al´eatoire, ´ev`enements Une Une exp´ exp´erie erienc ncee est est al´ eut pas pa s pr´evoi evoirr `a eatoire si on ne peut l’av l’avan ance ce son son r´esul esulta tat, t, et si, si, r´ep´ ep´et´ et´ee ee dans dans des des co cond ndit itio ions ns identi identique ques, s, elle ell e peut pe ut donner donn er lieu lie u `a des r´esulta esultats ts diff´erents ere nts.. Lorsqu’on effectue une exp´ erience, erience, les valeurs obtenues s’appellent des r´ ealisations ou des observations. e Ω) : ensemble ensemb le de tous les r´esultats esult ats possible pos sibless Univers (not´ d’un d’unee exp´ exp´erie erienc nce. e. Il peut eut ˆetre etre :
{
}
fini, par ex x 1 ,..., x k k infin infinii d´enom enombrab brable le : on peut eut indic ind icer er,, num´ num´erote eroterr ses ses ´el´ el´emen em ents ts jusqu ju squ’` ’`a l’infin l’i nfini, i, par ex x 1 , , x 2 ,..., x n ,... infini non-d´ enombrable enombrable : ceci signifie qu’il n’est pas possible de d´ecri ecrire re l’en l’ense semb mble le sous so us la forme forme d’une d’ une liste lis te num´ num´erot´ erot´ee ee [0 , 1] est un ensemble x 1 , x 2 ,..., x k k ,... , par ex l’intervalle [0, infin infinii non-d´ non -d´enom enombrab brable. le. des ´el´ el´ement eme ntss de Ω lorsq lorsqu’o u’on n Ev` enement ´ el´ ementaire : un des
{
{
}
peut les ´enum´erer. Ev` enement : sous-ensemble de Ω.
}
Exercice : univers finis
1
Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eri encee “une “une personn ersonnee lance lance un d´e cubiqu cubiquee `a 6 faces faces et note la valeur obtenue obtenu e sur la face sup´erieure erieu re de ce d´e”. e”. Quel est l’univ l’univers ers asso ass oci´e `a cette cette exp´erienc eri encee ? Quels Quels sont les ´ev`enements ´el´ementaires ?
2
Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eri encee “une “une personn ersonnee lance lance simult simultan´ an´ement eme nt deux deux d´es es cubiques cubiques `a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ sup´erie erieur uree de chaq chaque ue d´e”. e”. Quel Quel est est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ ex p´erie er ienc ncee ? Que Quels sont so nt les le s ´ev`ene en ement mentss ´el´emen em enta tair ires es ?
3
Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eri encee “une “une personn ersonnee lance lance simult simultan´ an´ement eme nt deux deux d´es es cubiques cubiques `a 6 faces et note la somme des valeurs obtenues sur la face fa ce sup´ sup´erie er ieur uree de chaq chaque ue d´e”. e”. Quel Quel est est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ exp´erie er ienc ncee ? Quel Quelss sont sont les les ´ev` ev`enem enemen ents ts ´el´ el´emen ementa tair ires es ?
Exercice : univers infinis 1
2
3
4
Soit l’exp´erience erien ce “Alex compte le nombre de v´ ehicules ehicu les se pr´esen esenta tant nt au p´eage eage de l’au l’autoro torout utee en une une jour journ´ n´ee” ee”. Quel Que l est est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ exp´erie erienc ncee ? Soit l’exp´erience erience “Mr Martin note, comme chaque midi, la temp´ temp´erat eratur uree ext´ ext´erie erieur ure” e”.. Mr Marti Mar tin n habi habite te `a Paris Pari s o` u la temp te mp´´erat er atur uree `a 12 12h h peut eu t vari varier er de -1 -100˚C `a 43 43˚ ˚C. Quel Qu el est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ exp´erie erienc ncee ? Soit l’exp´erience erienc e “Mr Jean note, comme chaque chaqu e lundi, la dur´ee ee de son vol Paris-Be Paris-Berlin” rlin”. Le vol entre Paris Paris et Berlin dure 1h45, peut avoir jusqu’`a 15 minutes d’avance si le vent est favorable et jusqu’`a 3h de retard en cas de probl`eme. eme. Quel est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ exp´erie erienc ncee ? Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eri encee “le techni technicie cien n mesure mesure et p`ese ese une tige tige tir´ee ee de la production” produc tion”.. La tige est usin´ee ee de sorte qu’elle qu’ell e p`ese ese entre 12g et 25g et mesure entre 8.5cm et 11.5cm. Quel est l’un l’univ iver erss asso associ´ ci´e `a cett cettee exp´ exp´erie erienc ncee ?
Rappel Rapp el : op´erations erations sur les ensembles ensemble s Soient A et B deux deux ´ev` ev`enemen ene ments ts d’un ensemb ensemble le fondam fondament ental al Ω A ou B = A B = r´ eunion eun ion de A et B A et B = A B = intersection de A et B comp co mpl´ l´emen ementa tair iree de A dans Ω = A = Ω A = ´ev`ene en ement ment imp impossi os sibl blee Ω = ´ev`enemen me nt certain A et B sont incompatibles ou disjoints lorsque A B =
{ { ∅
} }
∪ ∩
−
∩
∅
Exercice : ´ev`enements Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eriencee “une “une personn ersonnee lance lan ce un d´e cubiqu cubiquee `a 6 faces faces et note la valeur valeu r obtenue obtenu e sur la face sup´erieure erieu re de ce d´e”. e”. 1
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt A= A=“o “obt bten enir ir une une vale valeur ur inf´erieure `a 4”?
2
Comme Com ment nt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt B= B=“ob “obte teni nirr une une vale valeur ur pair paire”? e”?
3
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt C=“o C=“obt bten enir ir une une vale valeur ur inf´ in f´erie erieur uree `a 4 ou une valeur paire”? paire ”?
4
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt D=“o D=“obt bten enir ir une une vale valeur ur inf´ inf´erie erieur uree `a 4 et une une vale valeur ur pair paire”? e”?
5
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt E=“o E=“obt bten enir ir une une vale valeur ur sup´erieure ou ´egale `a 8”?
6
Comm Commen entt d´ecri ec rire re l’´ev` ev`enem en emen entt F=“o F=“obt bten enir ir une une vale valeur ur inf´ inf´erie erieur uree ou ´egale `a 6”?
Exer Ex erci cice ce : ´ev` ev`enem enemen ents ts (sui (suite te))
Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eriencee “une “une personn ersonnee lance lan ce simult simultan´ an´ement eme nt deux deu x d´es es cubiques `a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ erieure erieure de chaque d´e”. 1
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt A= A=“o “obt bten enir ir au moin moinss un 6”?
2
Comm Commen entt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt B= B=“o “obt bten enir ir une une somm sommee des des deux deux vale valeur urss sup´ sup´erie erieur uree ou ´egal egalee `a 10 10”? ”?
3
Comme Com ment nt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt C=“o C=“obt bten enir ir au moins moi ns un 6 et obteni obtenirr une somme somm e des deux deux valeur valeurss sup´erieur erieuree ou ´egale egale `a 10”?
4
Comme Com ment nt d´ecri ecrire re l’´ev` ev`enem enemen entt D=“o D=“obt bten enir ir un produ pro duit it des des deux deux vale va leur urss sup´ su p´erie er ieur ur `a 10 100” 0”??
R`egle egle de calc calcul ul des des proba probabi bililit´ t´es es
Une probabil proba bilit´ it´e est une fonction not´ee P qui attrib attribue ue `a tout tout ´ev`enement A une valeur P(A) d´esig esigna nant nt la proba probabi bililit´ t´e que que A se r´ealise. Une Un e prob probab abililiit´e poss` oss`ede les le s prop propri ri´´et´ et´es es suiv su ivan ante tess :
≤ P(A) ≤ 1 pour ou r to tout ut ´ev` ev`enem en emen entt A P(Ω) = 1 P(∅) = 0 P(A) = 1 − P(A) A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B ) en g´en´eral, P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B ) mais si A et B sont disjoints, P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) en g´en´eral, on a P (∪ =1 A ) ≤ =1 P(A ) mais si les A sont son t 2 `a 2 disjoin dis joints, ts, P (∪ =1 A ) = =1 P(A ) 0
n i
i
i
n i
i
n i
i
n i
i
Probabi Pro babilit´ lit´es es sur les univers univ ers finis Soit Ω est un univers fini, on peut alors l’´ ecrire ecrire sous la forme Ω = ω1 , . . . , ωn . On note note card(Ω) card( Ω) le nombre nombre d’´el´ el´ements ements de Ω qui repr´esente esent e le nombre de cas possible pos sibless `a l’issue l’issu e de l’ex l’ exp´ p´erie er ienc ncee al´ al´eatoi at oire re..
{
}
Lorsque Ω est un univers fini, il est parfois appropri´e de supp su ppos oseer que qu e la prob probab abililit it´´e asso as soci ci´´ee ee `a chaq ch aque ue ´ev`ene en ement ment ´el´ el´emen ementa tair iree est es t iden identi tiqu quee i.e. i.e. P[ωi ] = 1/card(Ω) pour equiprobabilit´ e. i = 1, . . . , n. On dit alors qu’il y a ´ L’hyp L’hy pot oth` h`ese ese d’´equi equipro proba babi bililit´ t´e impl impliq ique ue que que la proba pro babi bililit´ t´e d’un d’un ´ev`enement A s’obtient en calculant le rapport du nombre de cas cas possi ossibl bles es corre corresp spon onda dant nt `a l’´ev` ev`enem enemen entt A (no (n ot´e card ard(A)) sur le nombre de cas possibles, soit : card(A) P[A] = card(Ω)
Exemp Ex emple le d’´equipro equiprobab babililit´ it´e sur sur un unive univers rs fini Soit Soit l’exp´ l’exp´erienc eriencee “une “une personn ersonnee lance lan ce un d´e cubiqu cubiquee `a 6 faces faces et note la valeur valeu r obtenue obtenu e sur la face sup´erieure erieu re de ce d´e”. e”. Soit, pour pou r i = 1, 2,..., 6, l’´ev`enement ωi =“obtenir la valeur i”. Effectuer l’hy l’hyp pot oth` h`ese ese d’´equi eq uipro proba babi bililit´ t´e revi re vien entt `a supp suppos oser er que que P[ωi ] = 1/6 pour i = 1, 2,..., 6, ce qui correspond au cas o`u le d´e est est bien bien ´equilibr´e. Cons Consid´ id´eron er onss l’´ev` ev`enem en emen entt B= B=“o “obt bten enir ir une une vale valeur ur pair paire” e”.. Que Que vaut P[B ] ? Consi Con sid´ d´eron eronss C=“ob C=“obte teni nirr une une vale valeur ur inf´ inf´erie erieur uree `a 4 ou une une valeur paire”. Que vaut P[C ] ? Attention, ceci ne tient pas si le d´e est truqu´e de sorte que P[ω1 ] = 1/24, P[ωi ] = 1/6 pour i = 2,..., 5 et P[ω6 ] = 7/24. Que valent P[B ] et P[C ] dans dans ce cas cas ?
Probabilit´ Probabi lit´es es conditionnelles conditio nnelles : introduction intro duction
Cons Consid´ id´eron er onss une une exp´ exp´erie erienc ncee r´eali ealis´ s´ee ee sur sur une une cert ce rtai aine ne popul opulat atio ion n et un ´ev` ev`enem enemen entt A qui qui a une une probab prob abililit´ it´e P[A] de se r´ealiser, par ex : A = pr´esence esence d’une d’un e maladi mal adiee M. Que devient P[A] si on se restreint restreint `a une sous-population sous-population ? par ex : sous-population = les individus pr´ pr´esentant esentant un signe S. On intr introoduit duit un ´ev` ev`enem enemen entt B condit condition ionnan nant, t, qui d´efinit efinit la sous-population, par ex : B = pr´esente esenterr le signe sig ne S. P[B ]
ne doit pas ˆetre etre nul.
Prob Pr obab abililit´ it´es es cond condit itio ionn nnel elle less : d´efini efiniti tion on La pro probabilit´e que l’´ev`enement A se r´ealise eal ise sachan sac hantt que l’´ev`enement B a eu lieu lie u (=probabi (=prob abilit´ lit´e de A parmi la sous sous-p -pop opul ulat atio ion n carac car act´ t´eris´ eris´ee ee par B ) est d´efinie efinie par :
|B ] =
P[A
P[A
∩ B ] .
P[B ]
De mˆeme, la pro probabilit´e que l’´ev`enement B se r´eali ealise se sach sachan antt que l’´ev`enement A a eu lieu est d´efinie efinie par :
|
P[B A]
|
=
P[A
∩ B ] .
P[A]
Ne PAS confondre P[A B ]= ]= proba probabi bililit´ t´e que que A se r´ealise sachan sachantt qu’on qu’on a observ´ observ´e B avec P[A B ]=pro ]=proba babi bililit´ t´e que que A et B se r´eali ealise sent nt simul simulta tan´ n´emen ementt ! !
∩
Exemple Exempless de probabilit´ probabi lit´es es conditi conditionne onnelles lles
Consid´ erons erons les chiffres suivants valables pour la France : P[ˆ etre etre
VHC+] VHC +] = 60 60000 00000/60000000 = 1%
P[ˆ etre etre
VHC+ sachant sachan t que ˆage age = 15 ans] = faible, faibl e, certainement < 10−4 P[ˆ etre etre
VHC+ sachant qu’il y a toxicomanie IV depuis >5 ans] = forte, certainement > 50% P[ˆ etre etre
VHC+ sachant que la personne est asthmatique] = 1%
Prob Pr obabi abililit´ t´es es condit conditio ionne nnelllles es : r`egle egless de calcul calcul
→
|
Soit B un ´ev`enement fix´ P[A B ] est une e. La fonction A vraie vraie probabil proba bilit´ it´e i.e. i.e. les r`egles egles de calcul cal cul avec les probabil proba bilit´ it´es es condit condition ionnel nelles les sont sont les mˆemes emes qu’ave qu’avecc les probabil proba bilit´ it´es es classiques. 0 P(A B ) 1 pour ou r to tout ut ´ev` ev`eneme ne ment nt A P(Ω B ) = 1 P( B ) = 0 P(A B ) = 1 P(A B ) A1 A2 P(A1 B ) P(A2 B ) en g´en´eral, A2 B ) = P(A1 B ) + P(A2 B ) P(A1 A2 B ) P(A1 mais si A1 et A2 sont disjoints, A2 B ) = P(A1 B ) + P(A2 B ) P(A1 n en g´en´eral, on a P ( i n=1 ) A B i =1 P(Ai B ) i =1 =1 mais si les Ai sont sont 2 `a 2 disjoi dis joints nts,, n P ( i n=1 ) = A B i i =1 P(Ai B ) =1
≤ | ≤ | ∅| | − | ⊂ ⇒ | ≤ | ∪ | | | − ∪ | | | ∪ | ≤ ∪ | |
∩ |
|
Ind´epen ep enda danc ncee de 2 ´ev` ev`enem enemen ents ts : intr introoduct ductio ion n
d´efiniti efinition on sans sans formule formu le : soient soient A et B deux deux ´ev` ev`enement ene ments. s. Si, lorsqu’on re¸coit coit l’information que B s’est produit, cela ne modifie pas la probabilit probabilit´´e de A, on dit que A et B sont ind´ ind´epen ep enda dant nts. s. Autr Autrem emen entt dit, dit, des de s ´ev´ ev´enem enemen ents ts ind´ ind´epen ep enda dant ntss n’apportent pas d’information l’un sur l’autre. ex : l’asthme l’asthme et le VHC sont ind´ependants ependants : l’un n’aide pas au diagnostic de l’autre. Notons que P[ˆetre etre VHC+] VHC+ ] = 1% et que P[ˆ etre etre VHC+ sachant que la personne est asthmatique] = 1%.
Ind´ nd´epen ep enda danc ncee de 2 ´ev`enem nement ents : d´efini finition for orm melle 1`ere d´ efinition efinit ion avec formule : A et B sont ind´ependant ep endantss si
|B ] = P[A]
P[A
|
ou/et
P[B A]
= P[B ].
ex : La fr´equence equence du VHC est 1% : P[VHC+] = 0. 0.01. La fr´equence equenc e du VHC chez les asthmatiques asthmat iques est ´egalement egale ment de 1% : P[VHC+ asthmatique] = 0. 0.01.
|
2`eme d´efinition efiniti on avec formule : A et B sont ind´ependants epe ndants si P[A
∩ B ] = P[A] × P[B ].
Cette formule est sym´etrique etriq ue en A et B, on en d´eduit eduit que si P[A B ] = P[A], alors on a aussi P[B A] = P[B ]. ]. ex : P[asthmatique VHC+] = P[asthmatique] puisque asthme et VHC sont sont ind´epend ep endant ants. s.
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Ind´epen ep enda danc ncee et inco incomp mpat atib ibililit´ it´e
Ne pas confon confondre dre des ´ev´ ev´enement ene mentss incompa inc ompatib tibles les et des ´ev`enements ind´ependants... ex : co cons nsid´ id´eron eronss A= A=””l’en l’enfa fant nt `a naˆ naˆıtre ıtre est est un gar¸ garcon”et c¸on”et B=””l’en B= l’enfa fant nt `a naˆ naˆıtre ıtre est est une une fil fille le””. Le Less ´ev` ev`enem en emen ents ts A et B sont sont incomp incompati atibles bles.. Mais Mais ils ne sont sont pas ind´ ind´ependant ependantss ! ! ! En effet, effet, P[A
∩ B ] = 0 = P[A] × P[B ] = 0.5 × 0.5 = 0.25
Syst`eme eme com co mple plet
{
}
Une Un e famil am ille le d’´ d’´ev`enem en emen ents ts A1 , A2 , . . . , An forme for me un syst` syst`eme eme comp co mple lett d’´ d’´ev` ev`enem en emen ents ts si
∅ ∅ ∅ ∩ ∅ ∩ ∅ ∩ A = ∅ (i.e. les ´ev` ev`enem enement entss du syst` syst`eme em e co comp mple lett sont so nt deux deu x `a deux deux disjo dis join ints ts)) Ω = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A A1 = , A2 = ,...,An = A1 A2 = , A1 A3 = ,...,An−1
n
n
{ } { } { } { } { } ∅ ∅ ∩ ∅ ∩ ∅ ∪ ∪ { }
Par exemple, soit l’univers Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . On peut d´efinir un syst` ys t`eme complet d’´ev`enements A1 , A2 , A3 avec, par exemple, A1 = 1, 2 , A2 = 3, 5 et A3 = 4, 6 . On a bien A1 = , A2 = , A3 = , A1 A2 = , A1 A3 = , A2 A3 = et Ω = A1 A2 A3 . Lorsque A est es t un ´ev` ev`enem en emen entt de proba pro babi bililit´ t´e non non null nulle, e, A, A for forme un syst syst``eme em e compl ompleet d’´ev` ev`enem en emen ents ts.. Pou Pour tout ´ev`enement B , on a n n B A P[B ] = P [ ] = i =1 i =1 i =1 P[B Ai ]P[Ai ] et en particulier P[B ] = P[B A] + P[B A] = P[B A]P[A] + P[B A]P[A]
∅ ∩ ∅
∩
∩
∩
|
|
|
Quelques formules utiles so nt deux de ux ´ev` ev`enem en emen ents ts de Formule de Bayes : lorsque A et B sont probabil proba bilit´ it´e non-nu non-nulle lle,, on peut pe ut ´ecrire ecrire :
|B ) =
P(A
|
P(B A)P(A) P(B )
{
}
Formule des probabilit´ probabilit´ es es totales tota les : Soit A1 , . . . , An un syst` st`eme compl mp let d’´ev`enements. Pour Pour k = 1, . . . , n, on peut
´ecrire :
|B ) =
P(Ak
|
P(B Ak )P(Ak ) n j =1 P(B A j )P(A j )
|
ce qui qui dans dans le cas cas d’un d’un syst` syst`eme eme co comp mple lett d’´ev` ev`enem enemen ents ts donn´ donn´e par A, A revi evient en t `a :
{
}
|B ) = P(B |A)PP((AB )|A+)PP((AB )|A)P(A)
P(A
Exercice : tubes d’aluminium Un ´echant echantill illon on de 100 tubes tub es d’alumi d’aluminiu nium m est pr´elev´ elev´e dans dans la production production de l’usine l’usine et chaque tube est class´ class´e en fonction fonction de sa longueur longueur (L) et de sa qualit´ qualit´e de surface (QS). Chacune Chacune de ces carac caract´ t´eris eristi tiqu ques es peut eut ˆetre etre co cons nsid´ id´er´ er´ee ee co comme mme “c “con onfor forme me”” ou non “conforme”. “conforme”. Les r´esultats esult ats suivants suivan ts sont obtenus obtenu s : QS conforme QS non-conforme
L co conf nfoorme rme 75 10
L non-c non-con onfo form rmee 7 8
Soit A l’´ev` ev`enemen ene mentt “le tube tub e a une qualit´ qualit´e de surfac sur facee conforme conforme”” et soit B l’´ev` ev`enemen enementt “le tube tub e est de longue longueur ur conforme conforme””. D´eter etermi mine nerr les les probab prob abililit´ it´es es suiv suivan ante tess : P(A), P(B ), ), P(A), B ), P(A ), P(A B ), ), P(A B ), ), P(A B ) et P(B A).
∩
∪
∪
|
|
Exercice : chasse au canard
Trois amis vont `a la chasse. Le premier premier est bon tireur et a la probabilit´ probabilit´e 2/3 d’atteindre sa cible. Les deux autres sont moins performants et ont la probabilit´ probabilit´e 1/6 d’atteindre leur cible. Un canard s’envole : les trois amis tirent dessus. Quelles Quelles sont les chances chances de survie survie du cana canard ?
Exercice : grippe et symptˆomes omes
Durant l’hiver, l’hiver, la probabili probabilit´ t´ e pour qu’une qu’une personne ait la grippe est estim´ estim´ee ee `a 30%. Le diagno diagnosti stique que cliniq cli nique ue est pos´ po s´e lorsque lorsq ue la perso pe rsonne nne pr´esente esente les symptˆ symp tˆ omes omes suivants suivan ts : courbatures courba tures,, fi`evre evre subite, signes respiratoires. Durant l’hiver, la probabilit´ probabilit´e pour qu’une personne per sonne pr´ esente esent e ces symptˆ omes omes est est esti es tim´ m´ee ee `a 40 40%. %. On sait aussi qu’une personne ayant la grippe a 80 chances sur 100 d’avoir ces symptˆomes. omes. Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e d’avoir la grippe gripp e et de pr´ esenter esente r les symptˆ omes omes d´ecrits ecrit s ci-dessus ci-de ssus ? Quelle est la probabilit´ probabilit´e d’avoir la grippe sachant qu’on pr´esen esente te les les sympt sym ptˆ omes oˆmes ci-dess ci-dessus us ?
Exercice : tirage de 2 pi`eces eces parmi parmi une production
L’ing´enieur enieur d’usine de l’entreprise l’entr eprise Product Pro duct a not´e, e, en se basant sur une ´evaluation evalua tion de plusieurs plusie urs ann´ees, ees, que 2% de la production produc tion de l’usin l’usinee est d´efectu efe ctueus euse. e. L’ing´ L’in g´enieur eni eur tire tir e succes successive sivemen mentt deux deu x pi`eces ece s dans la production. production. On suppose que le fait d’observer d’observer une pi` pi`ece ece d´efec efectu tueu euse se n’in n’influ fluee pas pas sur sur la qual qualit´ it´e de l’au l’autr tree pi`ece. ece. 1
Quel Quelle le est est la probab prob abililit´ it´e que que les les 2 pi`eces eces tir´ tir´ees ees par l’ing´ l’i ng´enie enieur ur soient soient d´efectu efe ctueus euses es ?
2
Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e que l’une des deux pi`eces eces soit bonne bon ne et l’autre l’autr e d´efectueuse efect ueuse ?
Exercic Exercicee : bris d’un disposi disp ositif tif ´electro electroniqu niquee et arrˆet et d’une d’une chaine d’empaquatage
L’ing´enieur enieur d’usine de l’entreprise l’entr eprise Electropak Electr opak a not´e, e, en se basant sur une ´evalua eva luatio tion n de plusie plusieurs urs ann´ees, ees, qu’un qu’un dispo disposit sitif if ´electr ele ctroni onique que install´ instal l´e sur une chaine d’empaquetag d’empa quetagee a une probabilit´ probabili t´e de 20% de tomber en panne. Lorsque ce dispositif tombe en panne, la prob probab abiilit´ li t´e d’ˆ d’ˆetre et re obl oblig´ ig´e d’ar d’ arrˆ rˆeter et er compl ompl``ete et ement me nt la chai ch aine ne d’empaquetage (` a cause d’un bris trop important) est de 50%. Quelle est la probabilit´ probabilit´e d’observer que le dispositif tombe en panne et que la chaine d’empaquetage soit compl`etement etement arrˆet´ee ?
Exercice : kermesse
Pour une kermesse d’´ecole, ecole, un stand propose le jeu suivant. Le joueur tire une carte dans un jeu comportant 32 cartes. S’il obtient une figure (i.e. un valet, une dame ou un roi), il tire un billet dans la corbeille“Super Chance”qui contient 20 billets gagnants et 30 billets perdants. Si le joueur n’obtient pas de figure, il tire un billet dans la corbeille“Petite Chance”qui contient 10 billets gagnants et 40 billets perdants. Quelle est la probabili probabilit´ t´ e pour un joueur de tirer un billet gagn ga gnan antt ?
Exercice : orthographe anglophone
Les anglais et les am´ ericans ericans orthographient le mot “rigueur” respectivement respectivement “rigour” “rigour” et “rigor” “rigor”. Un homme ayant ayant pris une chambre dans un hˆotel otel parisien parisien a ´ecrit ecrit ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard dans ce mot et c’est une voyelle. Or, 40% des anglophones de l’hˆ otel otel sont des Anglais et 60% des des am´eric ericai ains ns.. Quelle est la probabili probabilit´ t´ e que l’auteur l’auteur du mot soit anglais anglais ?
Exercice : alcootest Une entreprise entre prise commerciali commer cialisant sant un alcootest alco otest d´ecide ecide d’en v´ erifier erifie r la fiabilit´e. e. Les chiffres sont les suivants : 25% des personnes contrˆ ol´ees ol´ ees par la police po lice sont effectivemen effect ivementt en ´etat d’´ebri´et´e 95 fois fois sur 100, l’alco l’alcootes otestt s’est s’es t r´ev´ ev´el´ el´e positif ositif alors que la personne ´etait r´eellement en ´etat d’´ebri´ br i´et´e 1 fois fois sur 100, l’alco l’alcoote otest st s’est s’es t r´ev´ ev´el´ el´e positif ositif alors que la personne n’´etait pas en ´etat d’´ebri´ bri´et´e 1
Quelle est la probabilit´ probabilit´e que l’alcootest donne une indication corre co rrect ctee ?
2
Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e qu’une personne pe rsonne soit r´eellement eelle ment en ´etat etat d’´ebri´ ebr i´et´ et´e lorsq lorsque ue l’al l’alco coot otes estt est est posit ositif if ?
Exercice : tirage de boules
Une urne ´etiquet´ etique t´ee ee A contient contie nt 3 boules bou les blanches, blanc hes, 2 boules bou les noires et 5 boules bou les rouges. rouges . Une urne ´etiquet´ etiqu et´ee ee B contient contie nt 5 boules bo ules blanches, blanc hes, 3 boules noires et 2 boules rouges. On effectue l’hypoth`ese ese d’´equiprob equ iprobabi abilit´ lit´e `a la fois fois en ce qui concer concerne ne le tirage tir age des urnes urnes et le tirage des boules. 1
On tire une boule au hasard hasard dans une des urnes elle-mˆ elle-mˆeme eme tir´ee ee au hasard. hasard. Quelle Quelle est la probabil proba bilit´ it´e que la boule bo ule tir´ee ee soit soit roug rougee ?
2
On tire une boule au hasard hasard dans une des urnes elle-mˆ elle-mˆeme eme tir´ee ee au hasard. hasard. La boule oule tir´ee ee ´etant eta nt rouge, rouge, quelle quelle est la probabilit´ probabilit´e que celle-ci provienne de l’urne A ?
Exer Ex ercic cicee : puces puces ´elect electro roni nique quess cont contami amin´ n´ees ees
Lors d’un proc´ed´ ed´e de fabrication fabricat ion de semi-conducte semi-c onducteurs, urs, les puces qui ont on t ´et´ et´e soum so umis ises es `a une un e co cont ntam amiinati na tion on due du e `a la pr´esenc se ncee de poussi` pou ssi`eres eres tombent tomb ent en panne avec une probabilit´ probabili t´e 0.1 tandis tandi s que les puces puc es qui n’ont n’ont pas ´et´ et´e soumis soumises es `a une contami contaminat nation ion tombent tomb ent en panne avec une probabilit´ probabili t´e 0.005. Pendant une s´equence equen ce particuli`ere ere de production, produ ction, la probabilit´ probabili t´e que les puces soient soumises soumise s `a une contaminatio contam ination n est 0.2. 1
Calculer la probabilit´ probabilit´e qu’une de ces puces tombent en panne.
2
Sachant qu’une puce est tomb´ee ee en panne, calculer la proba probabi bililit´ t´e que que cell cellee-ci ci ait ait ´et´ et´e co cont ntam amin´ in´ee ee lors lor s de la production.
Exercic Exercicee : micropro microprocess cesseurs eurs d´efectue efectueux ux
On suppose que trois types de microprocesseurs utilis´es es dans la fabrication fabricati on d’ordinateurs d’ordinate urs se partagent le march´e `a raison de 25% pour le type X , 35% pour le type Y et 40% pour le type Z . Les pourcentages de d´ efauts efauts de fabrication sont : 5% pour les microprocesseurs de type X , 4% pour ceux de type Y et 2% pour ceux de type Z . Dans un lot constitu´e de microprocesseurs dans les proportions proportion s indiqu´ indiq u´ees ees pour po ur les types X , Y et Z , on pr´ pr´el`eve un microprocesseur. 1
Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e qu’il soit d´efectueux efect ueux ?
2
Sachan Sac hantt que le micropro microproces cesseu seurr pr´esente esente un d´efaut efaut de fabrication, quelle est la probabilit´ probabilit´e qu’il soit de type X ?
D´efini efiniti tion on d’un d’unee varia variabl blee al´eato eatoir iree Une varia es t le proc´ pro c´ed´ ed´e qui qu i reli re liee l’ex l’ exp´ p´erie er ienc ncee var iabl ble e al´ eato ea toir ire e X est al´eatoir eat oiree `a un nombre. nom bre. On note note D X X l’ensemble des valeurs que X peut eut prend prendre re apr`es es r´ealis ealisati ation on de l’ex l’exp´ p´erien erience ce : D X X s’appelle le domaine dom aine de d´efinitio efin ition n de X . A chaque fois que l’on reproduit l’exp´erience, erience, on obtient une r´eali ea lisa sati tion on de X que l’on note x : x est un nombre alors que X est une une fonc foncttion ion ! ! ! Soit l’exp´erience erience “tirer une pi`ece ece parmi une production” produc tion” et soit X la variab variable le al´eatoir eat oiree repr´ repr´esen esentan tantt la longu longueu eurr de la pi`ece ece tir´ tir´ee. ee. L’ing´ L’i ng´enieur enie ur d’usin d’u sinee effectue effe ctue une 1`ere ere fois cette cett e exp´erienc eri ence, e, il obtient obt ient la r´eali ea lisa sati tion on x 1 = 10 10..2cm. 2cm . Il recomm rec ommenc encee une 2`eme eme fois l’exp´ l’e xp´erience erie nce et obtient obt ient la r´ealisat eali sation ion x 2 = 9.9cm, etc... Soit l’exp´ l’e xp´erience erie nce “jeter “je ter un d´e” e” et soit soi t X la variab variable le al´eatoir eat oiree repr´esentant esentan t la valeur inscrite inscrit e sur la face sup´erieure. erieur e. Un joueur effectu effe ctuee une 1`ere ere fois cette cet te exp´erience erie nce,, il obtient obti ent la r´ealisati eali sation on recomm ence une 2`eme eme fois l’exp´erience erience et obtient la x 1 = 4. Il recommence r´ealis li satio ti on x 2 = 3, etc...
Les diff´erents erents types types de variables variables
On distingue : les variable varia bless al´eatoir eatoires es continues : toute valeur d’un intervalle de R est acceptable, accept able, ex : taille, taill e, poids, poi ds, volume, volume , temps ´ecoul´ ecoul´e... e... les variable varia bless al´eatoir eatoires es discr`etes : elles prennent un nombre d´ enombrable enombrable (fini ou infini) de valeurs, par ex : nombre de pi`eces ece s d´efectu efe ctueus euses es dans dans la produc productio tion n journa journali` li`ere ere d’une d’un e usine, usi ne, nombre de clients clien ts arrivant `a un guichet guiche t en une journ´ee, ee, variable varia ble al´eatoir eat oiree binair bin airee co codan dantt pour “succ` “succ`es” es” ou “´echec” echec”... ...
Exem Ex empl ples es de varia variabl bles es al´eato eatoiires res et d’´ev` ev`enem enemen ents ts asso associ´ ci´es es A l’usin l’usine, e, on disp dispose d’un d’un lot de 30 pi`eces ece s pr´elev´ elev´ees ees dans dans la production sur lesquelles on effectue un contrˆ ole de qualit´e `a l’issu l’issuee duquel duquel on d´eclare eclare les pi`eces ece s conforme conformess ou non-conformes. Soit X la variable al´eatoire eatoir e qui compte le nombre nombre de pi`eces ece s non-con non- conforme formes. s. L’ensemble des valeurs possibles pour X est D X X = 0, 1,..., 30 . L’´ev` ev`enem enemen entt “2 pi`eces eces sont sont nonnon-co conf nform ormes es”” se note note X = 2 . X = 50 = 8.5 X 10 10..5 co code de pour our l’´ev` ev`eneme ene ment nt “9 ou 10 pi`eces eces sont sont non-conformes”.
{
}
{ } ∅ { ≤ ≤ }
{
}
On s’int´ s’int´eresse eresse au poids po ids des pi`eces ece s qui peut varier varie r de 10g `a 15g. Soit X la variable varia ble al´eatoir eatoiree repr´esenta esentant nt le poids oids (en g) d’un d’ unee pi` pi`ece ec e. L’ensemble des valeurs acceptables pour X est D X [10,, 15]. X = [10 ece ece est de 12g. X = 12 = le poids d’une pi` X = 50 = 8.5 X 10 10..5 = le poids d’une pi`ece ece est compris entre 8.5g et 10.5g.
{ } { } ∅ { ≤ ≤ }
Distr Distribu ibuti tion on de probabi probabililit´ t´e et fonct fonctio ion n de r´epartiti epart ition on La loi aussii app appell´ el l´ee ee distribution de loi de proba probabi bili lit´ t´ e auss d’un e variable varia ble al´eatoir eatoiree X a pour but pro probabilit´ e et not´ee f X d’une de d´ ecrire ecrire quelles sont les valeurs possibles prises par la variable et avec quelle probabilit´ probabili t´e ces diff´erentes erent es valeurs valeur s sont prises. Une Une varia var iabl blee al´eato ea toir iree est est enti` enti`erem eremen entt carac car act´ t´eris´ er is´ee ee par sa distri distribut bution ion de probabil proba bilit´ it´e f X ou de mani` mani`ere ere ´equi equiva vale lent ntee par sa foncti fon ction on de r´ epartit epart ition ion not´ee F X X . th´ eorie des prob eor proba abilit il it´ ´ es vise es La th´ vise `a ´eval evalue uerr le co comp mport ortem emen entt des des variab vari able less al´eato eatoir ires es (esp´ (es p´eran erance ce,, varian vari ance ce,, probab prob abililit´ it´es es de d´epasse epassemen mentt d’un d’un seuil, seuil, comp comportement ortement de sommes sommes,... ,...)) ´etant etant donn´ donn´e la dist distri ribu buti tion on de probab prob abililit´ it´e F X X .
La statistique four fourni nitt des des m´etho ethode dess pour our r´esoud esoudre re le probl` prob l`eme eme inve invers rsee dit dit d’inf´ d’i nf´eren erence ce stat statis isti tiqu quee : carac caract´ t´eris eriser er F X X au vu des observations des variables.
Foncti Fonction on de r´eparti epartiti tion on d’une d’une variabl variablee al´eatoi eatoire re Soit X une variable al´eatoire eatoire et soit x un nombre. Consid´erons l’´ev`enement X x = ensemb ens emble le des r´esultat esu ltatss d’ex d’ exp´ p´erie er ienc ncee dont do nt le co coda dage ge est es t inf´ in f´erie er ieur ur ou ´egal egal `a x . epend epend de la valeur de x x ] est un nombre qui d´ P[X On d´efinit F X fonc tion de r´epartitio epart ition n de X par X la fonction
{ ≤ }
≤
F X X (x ) = P[X
≤
≤ x ].
≤
Pour tout x , on a 0 F X 1 avec limx →+∞ F X X (x ) X (x ) = 1 et limx →−∞ F X X (x ) = 0. − On note F X X (x ) = P[X < x ] = limy →x ,y
x ] = 1 F X P[X > x ] = 1 P[X X (x ) − x ] P[X < x ] = P[X = x ] i.e. F X F X P[X X (x ) X (x ) = P[X = x ] Pour a < b , on a : F X F X b ] X (b ) X (a) = P[a < X − F X F X X b ] X (b ) X (a ) = P[a − F X F X X (b ) X (a) = P[a < X < b ] − − F X F X X < b ] X (b ) X (a ) = P[a
≤ −
−
− − − −
≤
− −
≤ ≤ ≤ ≤
Quel Quelqu ques es propri´ propri´et´ et´es es de la fonc foncti tion on de r´epart epartit itio ion n F X X est croissante (x
≤ y ⇒ F (x ) ≤ F (y )). X X
X X
a droite ce qui signifie que F X F X X est continue ` X est continue sauf sauf ´eventue even tuelle llemen mentt en un nombre nombre d´enombrab enombrable le de points oints − isol´es (ai )i =1,.. en lesquels F X X (ai ) = F X X (ai ). Si F X X est discontinue en un point b alors on a − F X P[X = b ] = F X X (b ) X (b ) > 0. − Si F X X est continue en un point a alors on a F X X (a) = F X X (a ) et P[X = a] = 0.
−
F X X
1
r
b r b
Foncti Fonction on de r´eparti epartiti tion on d’une d’une variabl variablee discr` discr`ete ete La fonction foncti on de r´epartition epartitio n d’une variable discr`ete ete au point po int x corresp corre spond ond `a l’accu l’accumul mulati ation on des probabil proba bilit´ it´es es des valeur valeurss inf´erieures ou ´egales `a x : F X X (x ) =
P[X
= x i i ]
x i i ≤x ,x i i ∈D X X
Ainsi, F X a droite. X est une fonction en escalier, continue ` Pour a < b , on a : F X X (b ) F X X (b )
X X
− F (a X X
− F X X (b )
− F X X (b )
− F (a) −
= x i i ]
P[X
= x i i ]
P[X
= x i i ]
P[X
= x i i ]
a≤x i i ≤b ,x i i ∈D X X
X X
X X
P[X
a
) =
− F (a)
− F (a
=
−
=
) =
a
a≤x i i
Allure Allure de la fonctio fonction n de r´epartitio epartition n d’une d’une variable variabl e discr` disc r`ete ete
Distr Distribu ibuti tion on de probabi probabililit´ t´e d’une d’une variabl variablee discr` discr`ete ete La distri distribut bution ion de probabil proba bilit´ it´e d’une d’une variable varia ble al´eatoir eat oiree discr` dis cr`ete ete est la donn´ donn´ee ee des nombres nombres p i i = P[X = x i i ] pour chacune des valeurs possibles x i i pour X . Ces nombres sont compris entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. Cela revient revie nt `a d´efinir efinir une fonction foncti on f X telle que f X (x ) =
P[X
= x ] si x 0 si x / D X X
∈
∈ D
X X
Exercic Exercicee : variable variabl e discr` discr`ete ete (1) Soit X une variable de fonction foncti on de r´epartition epartitio n F trac´ trac´ee ee ci-d ci-des esso sous us.. Quel est l’ensemble des valeurs prises par X ? Quelle est la loi de prob probab abiilit´ li t´e de X ? Calculer P[X 2], P[X > 6], P[X 3], P[X 4], P[X < 2] et P[1 X 4] 4].. D´eter etermi mine nerr les les a v´erifiant a] 1/4 puis P[X a] 1/4. P[X
≤ ≤ ≥
≤− ≤ ≤ ≥ ≥
≤
Exercic Exercicee : variable variabl e discr` discr`ete ete (2)
Une personn ersonnee lance lan ce simult simultan´ an´ement eme nt 2 d´es. es. Soit Soi t X la variable al´eatoire eatoir e repr´esentant esenta nt la somme des valeurs valeur s obtenues obtenu es sur la face sup´ sup´erie erieur uree de chac chacun un des des d´es. es . 1
Quel est le domaine domain e de d´efinition efiniti on D X X de X ?
2
D´etermi eterminer ner puis puis tracer tra cer la distri distributi bution on de probabil proba bilit´ it´e f X de X .
3
D´etermi eterminer ner puis puis tracer tra cer la foncti fonction on de r´epartiti epart ition on F X X de X .
4
Calculer Calcul er les probabilit´ probabili t´es es suivantes suivan tes : P[X P[7 X 9].
5
≤ ≤
D´eter etermi mine nerr les le s a v´erifiant P[X P[X a] 1/6.
≥ ≤
≤ 7], P[X ≥ 5] et
≤ a] ≤ 1/6 puis
Exercic Exercicee : variable variabl e discr` discr`ete ete (3) Soit X une variable varia ble al´eatoir eatoiree de domaine doma ine de d´efiniti efinition on D X probabilit´e est X = 0, 1, 2, 3, 4 et dont la distribution de probabilit´ donn do nn´´ee ee pour ou r x D X X par
{
∈
}
2x + 1 f X (x ) = 25 1
D´etermi eterminer ner puis puis tracer tra cer la foncti fonction on de r´epartiti epart ition on F X X de X .
2
Calculer Calcul er les probabilit´ probabili t´es es suivantes suivan tes : P[X = 4], P[X P[X 1] et P[2 X < 4].
3
≤
≤
D´eter etermi mine nerr les le s a v´erifiant P[X a] 1/5. P[X
≥ ≤
≤ a] ≤ 1/5 puis
≥ −2],
Fonction de r´epartition epartition d’une variable continue La fonction de r´epartition epartition d’une variable al´ eatoire eatoire continue continu e est une fonction fonctio n continue, continu e, d´erivable erivabl e presque-partout. presque-p artout. En tout point x , on a P[X = x ] = 0 et P[X < x ] = P[X x ]. ]. Pour tout a < b , on a : X b ] = P[a X < b ] = P[a < X b ] = P[a < X < b ] P[a
≤
≤ ≤
≤
≤
Rappels Rapp els sur le calcul des int´egrales egrales =surface bleue f (x )dx =surface x x )=surface en rouge : F =primitive de f f (t )dt = F (x )=surface −∞
b b b b f x dx F b F a f (t )dt ) ( ) = ( ) ( )=surface verte (= a a dF (x ) f (x ) = dx =d´ eriv´ee de F en x = pente de F en x
−
Distri Distributi bution on de probabilit´ probabi lit´e d’une d’une variable variable al´eatoire eato ire continue continue
La distribution distri bution de probabilit´ probabili t´e d’une variable al´eatoire eatoi re continue conti nue (aus (aussi si app appel´ee ee densit´ est donn´ donn´ee ee par : e) est f X (x ) =
dF X X (x ) dx
∈
pour x D X eriv er ivab able le X tel que F X X est d´ pour x / D X n’estt pas pas d´eriv erivab able le X et lorsque F X X n’es
∈ f (x )dx = P[x ≤ X ≤ x + dx ] ≈ P[X = x ] 0
X
F X X (x ) =
x x
f (u )du −∞ X
∞ −∞ X
) et f (u )du = 1 P[a < X ≤ b ] = F (b ) − F (a) = f (u )du
f X est positive (car F X X X X
X X
b b a X
Densi Densit´ t´e d’une d’une variabl variablee al´eatoi eatoire re conti continue nue (suit (suite) e)
Densi Densit´ t´e d’une d’une variabl variablee al´eatoi eatoire re conti continue nue (suit (suitee 2)
Exercice : variable continue (1)
−
Soit Soit une variable varia ble al´eatoir eatoiree X d´efini finie sur su r [ 1, 1] r´egi eg ie par par la dens de nsiit´e suivante : f (x ) = 3(1 x 2 )/4.
−
1
Quel est le domaine domain e de d´efinition efiniti on D X X de X ?
2
Tracer la distribution distri bution de probabilit´ probabili t´e f X de X .
3
D´etermi eterminer ner puis puis tracer tra cer la foncti fonction on de r´epartiti epart ition on F X X de X .
4
Calculer Calcul er les probabilit´ probabili t´es es suivantes suivan tes : P[X = 0.5], P[X P[X > 0.2] et P[0 [0..2 X < 0.5].
≤
≤ 0.5],
Exercice : variable continue (2) Soit Soit une variable varia ble al´eatoir eatoiree X r´egie egie par la dens densit´ it´e suiv suivan ante te :
f (x ) =
x k
≤ ≤
pour 0 x 10 20−x pour 10 < x 20 k 0 ailleurs
≤
1
D´eterminer etermi ner la valeur valeu r de la constante consta nte k pour s’assurer que la fonction f soit soit bien bien une une densi densit´ t´e de proba probabi bililit´ t´e. e.
2
Trace racerr la dens densit´ it´e de probab prob abililit´ it´e obte obtenu nue. e.
3
D´eter etermi mine nerr la fonc foncti tion on de r´eparti epartiti tion on..
4
D´eterminer P[X 0], P[1 X 2], P[15 X 18], P[5 X 15], P[X 19], P[X 9] et P[X 29].
5
≤
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ D´eterminer a tel que P[X ≤ a]=1/4 puis P[X ≤ a]=3/4.
Variab Variable less al´eato eatoir ires es ind´ ind´epen ep enda dant ntes es Deux variable X 1 et X 2 sont ind´ in d´ ep end en dant an tes lorsque le fait de connaˆ connaˆıtre la valeur obtenue obtenu e par X 1 n’apporte aucune information sur la valeur qui sera prise par X 2 et r´ecipr eciprooqueme que ment. nt. ex : X 1 =”poids d’une souris” souris” et X 2 =”couleur couleur du pelage” sont ind´epend ep endant antes es alors que X 1 et Y 1 =”taille d’une souris” ne le sont vraisemblablement pas. Caract´erisation erisat ion de l’ind´ependanc ep endancee pour po ur un couple de variables ependant ep endantss lorsque pour po ur tout discr` etes : X et Y sont ind´ couple de valeurs (x i i , y j ) pris par (X , Y ), on a P[X
= x i i , Y = y j ] = P[X = x i i ]P[Y = y j ]
Caract´erisation erisat ion de l’ind´ependanc ep endancee pour po ur un couple de variables sont ind´epend ep endant antss lorsqu’on lorsq u’on a continues : X et Y sont f X ,Y (x , y ) = f X (x )f Y (y )
pour tout (x , y )
o` u f X ,Y repr´esente ese nte la densit´ densit´e jointe jointe du couple couple (X , Y ), f X repr´ re pr´esen es ente te la dens de nsiit´e de X et f Y repr´ re pr´esen es ente te la dens de nsiit´e de Y .
Caract´eristiques eristiques de positio position n et de dispersion disp ersion Carac Caract´ t´eris erisqu ques es de position : l’esp´erance est un nombre qui repr´esente esente la valeur moyenne prise par X . la m´ efinie) efinie) est la valeur telle que X a ediane (lorqu’elle est d´ autant de chance de se r´ ealiser ealiser au-dessus qu’en dessous. un mode corresp corre spond ond `a une valeur vale ur ayant une probabili proba bilit´ t´e maximale de se r´ ealiser ealiser (il existe des distributions n’ayant n’ayant aucun mode). moyenne=m´ moyenn e=m´ediane= edi ane=mo mode de pour po ur les distri dis tributi butions ons sym´etrique etr iquess i.e. telles que les valeurs prises par X sont so nt ´egal eg alem emen entt r´epar ep arti ties es autour d’une valeur centrale. Caract´ Cara ct´eris eristi tiqu ques es de dispersion : La variance exprime `a quel point les valeurs prises par X sont dispers´ees ees autour de la moyenne. moyenne. Une grande variance indique une grande dispersion disp ersion.. A l’inverse, l’inver se, une variance nulle r´ev` ev`ele ele que X est en fait non-al´ non- al´eatoire eato ire.. L’´ fournit la mˆeme eme informati infor mation. on. ecart ar t-typ type fournit Les quantiles (lorqu’ils sont d´efinis) efinis) permetten per mettentt de fournir l’intervalle dans lequel X se r´ealise ealise avec 95% de chances par ex. e x.
Esp´erance math´ematique Soit X une variable al´eatoire. eatoire . On note E[X ] l’esp´erance de X . C’est un nombre qui repr´ repr´esente esente la valeur moyenne moyenne prise par X . Si X est discr` dis cr`ete, ete , on calcule calc ule
E[X ]
par la formule :
x i i P[X = x i i ].
Si X est continue, on calcule
E[X ]
par la formule :
E[X ]
E[X ]
=
x i i ∈D X X
=
xf X (x )dx .
On dit qu’une variable est centr´ ee lorsque E[X ] = 0. On a toujours E[aX ] = aE[X ], E[a + X ] = a + E[X ] et E[X 1 + X 2 ] = E[X 1 ] + E[X 2 ]. On calcule E[X 2 ] par la formule : 2 [ es t disc di scr` r`ete, et e, x E[X 2 ] = P X = x i i ] si X est i x i i ∈D X X x 2 f X (x )dx si X est continue. E[X 2 ] =
Vari Variance nce math´ ath´ema ematique, que, ´ecar ecartt-typ type math´ ath´ema ematiqu ti quee La variance d’une variable X est le nombre positif d´efini par : Var(X ) = E[(X
− E[X ])2 ] = E[X 2] − E[X ]2.
Si X est discr` ete, on calcule Var( X ) par l’une des 2 formules : Var(X ) =
(x i i
2
− E[X ]) P[X = x ] = i i
x i 2 P[X = x i i ]
− E[X ]2.
Si X est continue, on calcule Var( X ) par l’une des 2 formules : Var(X ) =
(x
− E[X ])2f (x )dx =
x 2 f (x )dx
− E[X ]2.
Une variable al´eatoire eatoire est dite r´ eduite lorsque Var(X ) = 1. On a toujours Var( X + a) = Var(X ) et Var(aX ) = a2 Var(X ) mais la relation Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) n’est vraie que lorsque ependantes ependantes ! ! ! X 1 et X 2 sont ind´ L’´ecart ec art-ty -typ pe est es t d´efini efi ni par : σ (X ) =
Var(X ).
Exer Ex ercic cicee : esp´eranc erance, e, varianc variancee et ´ecartecart-typ typee
Reprendre les 3 exercices exerc ices pr´ ec´ ec´edents edent s portant portan t sur les variables discr` discr`etes ete s et les 2 exerci exercices ces pr´ec´ ec´edents edents portant ortant les variable varia bless continues. Dans chaque cas, calculer l’esp´erance, erance, la variance et l’´ l’´ecar ec artt-ty typ pe de la varia var iabl blee al´ al´eato ea toir iree co cons nsid id´´er´ er´ee.
Exercice : nombre d’accidents par jour
Le resp responsable onsa ble du comit´ comit´e de s´ecurit´ ecurit´e de l’entr l’entrepris eprisee Micom Micom a ´evalu´ eva lu´e le nombre nombre moyen d’acci d’acciden dents ts de travai travaill par jour jour `a 1.6 avec ave c un ´ecart-type ecart-typ e de 1.265 accident/jo accid ent/jour. ur. Soit X la variable repr´ repr´esentant esentant le nombre d’accidents par jour. Pour maintenir un service d’urgence, l’entreprise subit des frais fixes de 200 euros par jour ainsi que des frais variables de 50 euros par accidents. Notons repr´esentant esentant les frais encourus par jour. Y la variable repr´ 1
Exprimer Y en fonction de X .
2
Quels Quels sont en moyenn moyennee les frais encourus encourus par jour ?
3
Quel est l’´ ecart-type ecart-type des frais ?
M´edia ediane ne,, quan quanti tile less La m´ ediane (si elle existe) de la variable X est la valeur u qui v´erifi erifiee la rela relati tion on F X cons´ ns´eque equent nt,, la m´edia ediane ne X (u ) = 1/2. Par co d’une d’une variable varia ble al´eatoir eat oiree X est la valeur u telle que P[X u ] = P[X > u ] = 1/2.
≤
−
Le quantile (ou fractile ) d’ordre 1 α (si il existe) de la variable X est la valeur u qui v´erifie eri fie la relati relation on F X α. X (u ) = 1 Le nombre α repr´esente ese nte le risque risque que X d´epas epasse se la vale valeur ur u .
−
L’intervalle interpercentile (si il existe) de la variable X est la donn´ donn´ee ee des des valeu val eurs rs u et v qui v´erifien eri fientt la relati rel ation on X v ] = 1 α. Le nombre α repr´esente P[u esente le risque risque que X sorte de l’intervalle [u , v ].
≤ ≤
−
L’intervalle interquartile (si il existe) de la variable X est la donn´ donn´ee ee des des valeu val eurs rs u et v qui v´erifien eri fientt la relati rel ation on X v ] = 0.5. P[u
≤ ≤
Mode
On dit que u est un mode de la variable al´ eatoire eatoire X si f X (u ) est un maximum (local ou global). Si X est une variable continue, u doit doi t donc donc v´erifi erifier er f X (u ) = 0 et f X (u ) < 0. Si X est est une une variab variable le disc discr` r`ete ete d´efini efiniee sur sur x 1 , x 2 ,... , alors u = max f X (x 1 ), f X (x 2 ),... .
{
}
{
}
Les distributions de probabilit´ probabilit´e qui n’ont qu’un seul mode sont dites unimodales et celles qui poss`edent edent plusieurs modes sont dites multimodales. Il existe des distributions de probabilit´ probabilit´e qui n’ont aucun mode.
Exercice Exercice : mode, mo de, m´ediane, ediane, quantile
D´eterminer etermi ner le mode mod e de la variable X des exercices : variable discr` discr`ete ete (1), (2) et (3). D´eterminer etermi ner le mode mod e et la m´ediane ediane de la variable X des exercices : variable continue (1) et (2). D´eterminer etermi ner l’intervall l’inte rvallee interquartile inter quartile de la variable X de l’exercice : variable continue (2).
Caract´eristiques eristiques de forme : skewness, kurtosis kurtosis Le coeffic est d´efini efini par : co efficien ientt d’asy d’ asym´ m´ etrie etr ie (skewness) ν 1 est ν 1 =
E[(X
− E[X ])3]
Var(X )3/2
ν 1 = 0 pour pou r les distributions distri butions sym´etriques, etriqu es, ν 1 > 0 lorsque les valeurs prises par X sont so nt tr` tr`es es ´etal et al´´ees sur su r la droi dr oite te,, ν 1 < 0 lorsque les valeurs prises par X sont so nt tr` tr`es ´etal et al´´ees ee s sur sur la ga gauc uche he.. Le coefficient d’aplatissement (kurtosis) ν 2 est est d´efini efini par : ν 2 =
E[(X
− E[X ])4]
Var(X )2
La vale valeur ur de r´ef´ ef´eren er ence ce est es t ν 2 = 3, c’est celle pour la loi gaussienne standard (cf plus tard). Pour ν 2 > 3, la courbe est aigue. Pour ν 2 < 3, la courbe est aplatie. La valeur de ν 2 est int´ eressante eressante seulement pour des distributions peu asym as ym´´etr et rique iq ues. s.
Distributions usuelles continues
Des familles de lois de proba usuelles continues sont lois normales lois exponentielles exponentielles
Ces lois sont param´etr´ etr´ees. ees. Cela signifie signifi e que la famille famil le de lois donn donnee la forme form e g´en´ en´eral eralee mais mai s qu’` qu’`a l’in l’int´ t´erie erieur ur de ces ces fami familllles es chaque loi d´epend ep end de un ou plusieurs plusie urs nombres appel´ app el´es es para aram` etres.
Loi normale On dit qu’une variable X suit une loi normale de param`etres etres m et σ 2 , not´ ee (m, σ 2 ), lorsqu’elle prend ses valeurs dans R avec la densit´e suivante suivan te pour po ur x R :
N
f (x ) =
∈
√1
2πσ 2
exp
−
(x
−
m )2
2σ 2
.
La densit´ densit´e est sym´etriqu etriquee par rappor rap portt `a la droite droite vertic verticale ale d’absisse x = m. Une variable X de loi normale (m, σ 2 ) repr´ repr´esen esente te une une variable qui oscille de fa¸con con sym´etrique etriqu e autour de sa moyenne.
N
E[X ]
= m = m´ediane edi ane = mod m odee et var(X ) = σ 2 .
Si X 1 ,..., X n est une suite de variables ind´ ependantes ependantes de loi normales telle que X i i (mi , σi 2 ), alors i n=1 =1 X i i suit une loi (m1 + ...mn , σ12 + ... + σn2 ).
N
N
Loi normale : influence de la moyenne L’allure de la courbe se conserve si on change de moyenne. Il s’agit d’un d’u n simpl simplee d´ecal ecalag age. e. Densité de la loi normale pour différentes valeurs de moyenne 6 . 0
N(0,1) N(−4,1) N(1,1) N(3.5,1)
5 . 0
4 . 0
3 . 0
2 . 0
1 . 0
0 . 0
−10
−5
0
5
10
Loi normale : influence de la variance La coube s’aplatit lorsque la variance augmente, elle se resserre si la variance diminue, le maximum s’ajuste pour que la surface vaille 1, le maximum peut pe ut d´epasser epasse r 1. Densité de la loi normale pour différentes valeurs de variance 6 . 0
5 . 0
4 . 0
N(0,1) N(0,2) N(0,4) N(0,0.75)
3 . 0
2 . 0
1 . 0
0 . 0
−10
−5
0
5
10
Loi normale et transformation
D’une mani`ere g´en´erale, si X suit une loi aX + b suit une loi (am + b , a2 σ 2 ).
N
N (m, σ2), alors
On ne peut pe ut d´eterminer etermi ner la fonction foncti on de r´epartition epartitio n de X de loi (m, σ 2 ) que par approximations approximation s num´eriques eriqu es (par ordinateur).
N
N
Un cas important est la loi (0, (0, 1) appell´ee loi gaussienne qui est est tabu tabul´ l´ee. ee. standard ou loi lo i norm normal ale e cent centr´ r´ ee r´ ee edui ed uite te qui
N
Pour se ramener ramene r `a la loi (0, (0, 1) `a partir parti r d’une d’un e variable varia ble X de m loi (m, σ 2 ), on utilise la variable Y = X − : Y suit une loi σ (0, (0, 1) et s’ap s’app pelle el le la varia variabl blee cent centr´ r´ee ee r´edui ed uite te asso associ´ ci´ee ee `a X .
N
N
Loi normale et tabulation
≤ ≤
On cherche la valeur de P[a X b ] pour X de loi (m, σ 2 ). Noto No tons ns Φ la fonc foncti tion on de r´epart epartit itio ion n asso associ´ ci´ee ee `a la variab vari able le Y de loi (0, (0, 1). Or, seule Φ est tabul´ee ee et en plus seulement pour x > 0. Pour x < 0, on utilise la formule Φ(x ) + Φ( x ) = 1. Pour x > 0, on dispose aussi de la relation P[ x Y x ] = 2Φ(x ) 1. Pour la variable X de loi (m, σ 2 ), on utilise /σ,,la vari ariable centr´ee r´eduite asso ss oci´ee `a X et on Y = (X m)/σ obtient :
N
N
−
− ≤ ≤ − P[a
≤ X ≤ b ]
− N
=
P
= Φ
− ≤ − ≤ − − − − a
m
σ
b
m
b
σ
m
σ
X
Φ
m
σ
a
m
σ
.
Lecture de la table
N (0(0 1) ,
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6406
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.7517
0.7549
0.7
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7703
0.7734
0.7764
0.7793
0.7823
0.7852
0.8
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.8051
0.8078
0.8106
0.8133
0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8389
1.0
0.8413
0.8438
0.8461
0.8485
0.8508
0.8531
0.8554
0.8577
0.8599
0.8621
1.1
0.8643
0.8665
0.8686
0.8708
0.8729
0.8749
0.8770
0.8790
0.8810
0.8830
1.2
0.8849
0.8869
0.8888
0.8906
0.8925
0.8943
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9279
0.9292
0.9306
0.9319
1.5
0.9332
0.9345
0.9357
0.9370
0.9382
0.9394
0.9406
0.9418
0.9429
0.9441
1.6
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.9515
0.9525
0.9535
0.9545
1.7
0.9554
0.9564
0.9573
0.9582
0.9591
0.9599
0.9608
0.9616
0.9625
0.9633
1.8
0.9641
0.9649
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
0.9699
0.9706
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9761
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
2.2
0.9861
0.9864
0.9868
0.9871
0.9875
0.9878
0.9881
0.9884
0.9887
0.9890
2.3
0.9893
0.9896
0.9898
0.9901
0.9904
0.9906
0.9909
0.9911
0.9913
0.9916
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
0.9934
0.9936
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
0.9951
0.9952
2.6
0.9953
0.9955
0.9956
0.9957
0.9959
0.9960
0.9961
0.9962
0.9963
0.9964
2.7
0.9965
0.9966
0.9967
0.9968
0.9969
0.9970
0.9971
0.9972
0.9973
0.9974
2.8
0.9974
0.9975
0.9976
0.9977
0.9977
0.9978
0.9979
0.9979
0.9980
0.9981
2.9
0.9981
0.9982
0.9982
0.9983
0.9984
0.9984
0.9985
0.9985
0.9986
0.9986
3.0
0.9986
0.9987
0.9987
0.9988
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989
0.9990
0.9990
3.1
0.9990
0.9991
0.9991
0.9991
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
3.2
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
3.3
0.9995
0.9995
0.9995
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9997
3.4
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9998
3.5
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
3.6
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.7
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.8
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.9
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Exercice : loi gaussienne standard Soit X une variable al´eatoire eatoire de loi gaussienne standard. 1
2
D´eter etermi mine nerr les les probab prob abililit´ it´es es suiv suivan ante tess : P[X = 1.2] P[X 2] P[0 X 0.5] P[1 [1..1 X 3.2] P[X > 0.8] P[X 1] X 0.83] X 2.2] P[X > 0.23] P[0 P[ 2.2 P[ 1 P[ 2 < X < 0.8] P[ 1.5 X 0] X < 0] X 0.49] P[ 0.25 X 1.5] P[X 1.25] P[ 1.98 D´eterminer x sati satisf sfai aisa sant nt les les ´egal egalit´ it´es es suivan sui vante tess : x ] = 0.6255 x ] = 0.9971 P[X P[X P[X P[X x ] = 0.2119 x ] = 0.1314 P[0 P[ x 0.2291 X x ] = 0.4750 X 0] = 0. X x ] = 0.2052 P[ 1 X x ] = 0.1785 P[ x
≤ ≤ − − ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤
≤ ≤ ≤ − − − ≤ ≤ ≥ ≥ − ≤ ≤ − ≤ ≤
≤ ≤ ≤− − ≤ ≤ − ≤ ≥
Exercice : aliment pour chat L’entreprise Granulex distribue un aliment pour chat dans un contenant m´etallique etallique dont le poids poi ds apr` es es remplissage rempli ssage est en moyenne 340g. Le processus de remplissage est donc calibr´ calibr´e pour obtenir cette valeur moyenne. moyenne . En fait, fait , des ´etudes etu des ont montr´ mon tr´e que le poids po ids est distrib dis tribu´ u´e normalement normalemen t avec un ´ecart-type ecart-type de 6g. 1
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’un contenant choisi au hasard de la product production ion ait un poids entre 334g 334g et 346 346gg ?
2
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’un contenant choisi au hasard de la production production ait un poids qui diff` diff`ere ere de la moyenne moyenne par moins de 2g ?
3
Sur une production de 1000 contenants, combien auront un poids inf´ in f´erie er ieur ur `a 33 330g 0g ?
4
A quel niveau moyen doit-on fixer le remplissage pour assurer que seulement 1 contenant sur 100 aura un poids inf´ erieur erieur `a 340g ?
5
A quel niveau moyen doit-on fixer le remplissage pour assurer que seulement seulem ent 5% des contenants contena nts auront un poids poi ds sup´erieur erieur `a 348g ?
Exercice : demande de logiciels D’apr`es es la responsabl resp onsablee de la mise sur le march´e de l’entreprise l’entr eprise Sicom, la demande annuelle pour leur logiciel suit une loi normale. Elle Elle pr´ecise eci se ´egalem egalement ent qu’il qu’i l y a une probabil proba bilit´ it´e 0.19 0.195 5 pour po ur que la dema demand ndee soit soit inf´ inf´erie erieur uree `a 150 1500 0 unit´ unit´es es et une une probab prob abililit´ it´e 0. 0.025 025 d’ˆetre sup´erieure `a 2910 unit´es. 1
D´ eterminer eterminer la demande annuelle moyenne moyenne ainsi que sa variance.
2
En admettant admett ant que la demande demand e est ´equitableme equit ablement nt r´epartie epartie au cours de l’ann´ l’ann´ee ee et que la demande demande mensuelle mensuelle suit une loi normale, d´ eterminer eterminer la demande mensuelle moyenne moyenne et sa variance.
3
Les coˆ uts fixes mensuels de production sont de 21000 euros uts alors que le coˆ ut unitaire est de 300 euros. Le prix de vente ut d’un logiciel logiciel est de 500 euros. Quelle est la probabil probabilit´ it´ e que le seuil de rentabilit´e mensuel soit atteint ?
Exercice : syst`eme de s´ecurit´e Un syst` syst`eme eme de s´ecur ecurit´ it´e op`ere ere avec avec deux deux co comp mpos osan ants ts ´elec electr tron oniq ique ues. s. La conception conception du syst` syst`eme eme est telle que le second composant entre en fonction lorsque le premier devient d´ efaillant. efaillant. Lorsque le second comp co mpos osan antt devi devien entt d´efai ef aillllan ant, t, le syst` syst`eme eme de s´ecur ecurit´ it´e devi devien entt inop´ inop´erant. erant. La dur´ee ee de vie de chaque chaque composa comp osant nt est distri distribu´ bu´e normalement avec une moyenne de 500h et une variance de 2450h2 . On admet que les dur´ dur´ees ees de vie de chaque composant sont ind´ in d´epen ep enda dant ntes es.. 1
Quelle Quelle est la loi de la dur´ee ee de vie du syst` sys t`eme eme de s´ecurit´ ecu rit´e ? En pr´ eciser eciser la moyenne et la variance.
2
Avec quelle quell e probabilit´ probabili t´e peut-on pe ut-on affirmer que le syst`eme eme devrait devrai t fonctio fonctionne nnerr au moins 850h 850h ?
3
Quelle Quell e est la dur´ee ee de vie minimum minimu m du syst`eme eme dans 95% des cas?
Lois exponentielles On dit qu’une variable X suit une loi exponentielle de para ar am`etre λ, not´ee (λ), lorsqu’elle prend ses valeurs dans R+ = [0 [0,, + [ avec avec la densit´ densit´e et la foncti fonction on de r´epartiti epart ition on suivantes pour x R :
∞
E
∈
−
f (x ) =
F (x ) =
−
λ exp( λx ) si x 0 sinon
−
≥0
1 exp( λx ) si x 0 sinon
≥0
= λ1 et var(X ) = λ12 . La loi exponentielle est une loi sans m´ emoire emoire : E[X ]
P[T
|
> t + s T > s ] = P[T > t ].
Elle ne convient convie nt donc pas pour pou r mod´eliser elise r des objets soumis `a une usure usure non-n´ non-n´egliga egligable ble..
Lois exponentielles (suite)
Densité de la loi Exp(1)
Fonction de répartition de la loi Exp(1)
0 . 2
0 . 1
8 . 0
5 . 1
6 . 0
0 . 1
E(1) E(0.5) E(0.2) E(2)
4 . 0
E(1) E(0.5) E(0.2) E(2)
5 . 0
2 . 0
0 . 0
0 . 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Exercice Exercice : dur´ee ee de vie de pneus
Une ´etude etude r´ealis´ eal is´ee ee sur un grand grand nombre nombre de pneus pneus de la marque marqu e Michel montre montre que leur dur´ dur´ee ee de vie (en km) est une variable variable al´eatoire X de loi exponenti exp onentielle elle de param`etre etre λ = 0.0007. 1
≤
D´eterminer P[X 1000], P[X > 1000] et P[1000 X 2000]
≤ ≤
≤ x ] = 0.05.
2
D´eterminer x tel que P[X
3
D´eter et ermi mine nerr la m´edi ed iane an e de X .
Exer Ex erci cice ce : d´esin esint´ t´egra egrati tion on d’un d’un atom atomee Une Une entr entrepri eprise se du nucl´ nucl´eair eairee s’int´ s’i nt´eres eresse se `a la dur´ dur´ee ee de vie vie de cert certai ains ns types d’atomes. d’atome s. Cette dur´ee ee de vie est donn´ee ee par le temps qui s’´ecoule ecoul e entre l’instant l’inst ant initial initi al t 0 = 0 et le moment o`u le noyau de l’atome l’atome se d´esint` esint`egre. egre. On sait sai t que la probabil proba bilit´ it´e pour qu’au qu’a u temps temps soi t pas pas encor encoree d´esin esint´ t´egr´ egr´e vaut vaut t 0 le noyau ne se soit s (t ) = exp( λt ) pour un λ > 0 qui varie avec le type d’atome. Notons X la varia variabl blee al´eato eatoir iree qui qui repr´ repr´esen esente te la dur´ dur´ee ee de vie vie d’un d’u n atome.
≥
−
1
Quelle est la fonction de r´ epartition epartition de X en fonction de λ ?
2
Quelles Quell es sont la densit´ densi t´e, e, l’esp´erance eranc e et la variance de X ?
3
On observe un atome jusqu’` a un instant t . Sach Sachan antt qu’` qu’`a cet cet instant t l’at l’atom omee n’es n’estt pas pas d´esin esint´ t´egr´ egr´e, e, quel quelle le est est la proba probabi bililit´ t´e qu’il qu’il ne se d´esint` esi nt`egre egre pas avant ava nt l’insta l’instant nt t + s pour un s > 0 ?.
Distri Distributi butions ons usuelle usuelless discr` discr`etes etes
Les familles de lois de proba usuelles u suelles discr`etes etes sont lois de Bernoulli lois binˆomiales omiales lois lo is hyp hy perg´ er g´eom´ eo m´etri et riqu ques es lois de Poisson
Ces lois sont param´etr´ etr´ees. ees. Cela signifie signifi e que la famille famil le de lois donn donnee la forme form e g´en´ en´eral eralee mais mai s qu’` qu’`a l’in l’int´ t´erie erieur ur de ces ces fami familllles es chaque loi d´epend ep end de un ou plusieurs plusie urs nombres appel´ app el´es es para aram` etres.
Lois de Bernoulli On dit qu’une variable X suit une loi de Bernoulli de para ar am`etre p , not´ee (p ), ), lorsqu’elle prend les valeurs 0 avec prob probab abiilit´ li t´e (1 p ) et 1 avec avec probabil proba bilit´ it´e p : P[X = 1] = p et p . P[X = 0] = 1 E[X ]
− −
B
= p et var(X ) = p (1 (1
− p ).).
D´efinir efinir une variable de Bernoulli Bernou lli revient revien t `a co coder der par 1 la r´eali ea lisa sati tion on d’un d’un ´ev` ev`enem enemen entt et par 0 sa nonnon-r´ r´eali ea lisa sati tion on,, autrement dit, X = 1 si l’´ev`enement est r´ealis´e et X = 0 sinon. La loi de Bernoulli Bernoul li est utilis´ utili s´ee ee pour po ur co coder der des caract´eristiques eristi ques `a 2 modalit´es selon un sch´ema succ`es/´echec, par ex : d´efectu efe ctueux eux/non /non-d´ -d´efectu efe ctueux eux,, conforme conforme/no /non-c n-conf onforme, orme, ce qui donne : X = 1 si la pi`ece ece est conforme et X = 0 sinon. Un autre exemple est X = 1 si X est est inf´ in f´erie erieur ur `a un seui se uill et X = 0 si X d´epas epasse se ce seui seuil.l.
Lois binˆomiales omiales On dit qu’une variable X suit une loi binˆomial omialee de param` para m`etre etress n et ), lorsqu’elle prend ses valeurs parmi 0,..., n avec p , not´ee (n, p ), les probabilit´es es suivantes suivant es pour po ur k 0,..., n :
B
P[X E[X ]
∈{
= k ] = C nk p k (1
= np et var(X ) = np (1 (1
}
{
}
n−k
− p )
.
− p ).).
esente esente le nombre de fois o`u un ´ev`enement se r´ealis li se en n X repr´ r´ep´ ep´etiti etitions ons ind´epen ep enda dante ntess de l’ex l’exp´ p´erien erience ce.. Par ex, ex, lorsqu lors quee qu’o qu’on n pr´ pr´el`eve au hasard ard n factures de fa¸con con ind´epen ep endan dante te,, X repr´ re pr´esen es ente te le nombre de factures facture s erron´ees. ees. La loi binˆomiale omiale sert aussi `a compter compte r le nombre de succ`es es lors d’un tirage avec remise de n ´el´ements. Si Y 1 ,..., Y n est une suite de variable ind´ependantes ependantes de loi de n Bern Be rnou oullllii de mˆeme em e param` par am`etre et re p , (p ), ), alors i =1 Y i i suit une loi (n, p ). ).
B
B
Si X 1 et X 2 sont deux variables variables ind´ ependantes ependantes de lois respectives (n1 , p ) et (n2 , p ) (loi (loiss de mˆeme em e param` par am`etre et re p !), alors X 1 + X 2 suit une loi (n1 + n2 , p ). ).
B
B B
Lois binˆomiales omiales Lois de proba pour la loi binomiale 0 . 1
8 . 0
B(9,0.5) B(10,0.05) B(30,0.5) B(32,0.05) B(32,0.001)
6 . 0 ] i = X [ P 4 . 0
2 . 0
0 . 0
0
5
10
15
20 i
25
30
Lois de Poisson On dit qu’une variable X suit une loi de Poisson de param`etre etre λ, (λ), lorsqu’elle prend ses valeurs dans N = 0, 1, ..., n, .... (infinit´ (infini t´e de valeurs valeur s possible pos sibles) s) avec les probabil proba bilit´ it´es es suivant sui vantes es pour k N :
P {
}
∈
k λ −λ P[X = k ] = e . k !
E[X ]
= λ et var(X ) = λ. repr´esen es ente te le r´esul esulta tatt d’un d’un co comp mpta tage ge eff effec ectu´ tu´e sur sur une une dur´ dur´ee ee X repr´ fix´ee, ee , par ex : X compte compte le nombre nombre d’arriv´ d’arr iv´ees ees de client cli entss `a un guichet de banque en une semaine, le nombre de v´ ehicules ehicules pass passan antt par un p´eage eage donn´ donn´e en une une jour journ´ n´ee, ee, le nombre nombre de pannes en un an... Si X 1 ,..., X n est une suite de variables ind´ i nd´ ependantes ependantes de loi de Poisson telle que X i i (λi ), alors i n=1 X i i suit une loi (λ1 + ...λn ).
P
∼ P
Lois de Poisson (suite)
Lois de proba pour la loi de Poisson 7 . 0
6 . 0
5 . 0
] i = X [ P
P(0.5) P(1) P(2) P(10)
4 . 0
3 . 0
2 . 0
1 . 0
0 . 0
0
5
10 i
15
Approximations de lois Pour n = 5, 10 10,, 15 15,, 20 20,, 30 30,, 40 40,, 50 et p = 0.01 01,, 0.02 02,, 0.03 03,, 0.04 04,, 0.05,0 05,0..06,0 06,0..07,0 07,0..08,0 08,0..09,0 09,0..1,0 1,0..2,0 2,0..3,0 3,0..4,0 4,0..5, la loi binˆ omia omiale le est est tabu tabul´ l´ee. ee .
−
Pour n et p satisfaisant np > 5 et n(1 p ) > 5, on approxime la loi binˆ omiale omiale (n, p ) par la loi normale (np , np (1 (1 p )). )).
B N − Pour n grand (n ≥ 30) et p petit (p < 0.1) et np ≤ 5, on approxime la loi binˆ omiale omiale B(n, p ) par la loi de Poisson P (np ). ). Pour n grand (n ≥ 30) et p petit (p < 0.1) et np ≥ 10, on approxime la loi binˆ omiale omiale B(n, p ) par la loi normale N (np , np ).). Pour λ grand (λ (λ ≥ 10), on approxime la loi de Poisson P (λ) par la loi normale N (λ, λ).
Lois hyperg´eom´etriques Une variable X suit suit une une loi loi hyp hyperg´ er g´eom´ eom´etri etriqu quee de param` param`etre etress N , n et p , not´ ee (N , n, p ), ), lorsqu’elle prend ses valeurs parmi max(0, max(0, n N (1 (1 p )),..., )),..., min(Np , n) avec avec les les probab prob abililit´ it´es es suivantes pour k max(0, max(0, n N (1 (1 p )),..., )),..., min(Np , n) :
{
−
H − ∈{
P[X
−
= k ] =
} −
n−k k C Np C N (1 (1−p ) n C N
}
.
−n = np et var(X ) = np (1 (1 p ) N . N −1 esente esent e le nombre de fois o` u un ´ev`enement se r´ealise en X repr´ n tirages sans remise parmi N ´ el´ements, par ex : X repr´ pr´esente le nombre de boulons non-conformes obtenus au cours d’un tirage sans remise de n boulons parmi N . En pratique prati que,, on n’h´esite esi te pas `a substi substitue tuerr la loi (n, p ) `a la loi (N , n, p ) d`es que n/N 0.1 (en fait, lorsque N , les tirages avec remise ou sans remise sont pratiquement ´equi eq uiva vale len nts). ts).
−
E[X ]
H
≤
B
→∞
Exercice : contamination VHC
Dans un laboratoire d’analyses m´ edicales, edicales, 12 personnes se pr´ esentent esent ent pour pou r effectuer effectu er un test de d´epistage epista ge du VHC. Sachant Sachan t que 1% de la population fran¸caise caise est porteuse du VHC, quelle est la probabilit´ probabili t´e qu’aucune qu’auc une des 12 personne pe rsonness ne soit contamin´ contam in´ee ee ? que la moiti´e des 12 personnes per sonnes soit contamin´ contami n´ee ee ?
Exercice : contrˆole de qua qualit´e
Un client clien t commande comman de `a son fournisseur fourni sseur un lot de pi`eces eces dont la qual qualit´ it´e est est sp´ecifi´ ec ifi´ee ee par co cont ntra ratt : le taux taux de pi`eces ec es d´efec ef ectu tueu euse sess doit doit ˆetre etre inf´ inf´erie erieur ur ou ´egal ega l `a 4% 4%.. Avant Ava nt de livre livrer, r, le four fourni niss sseu eurr effectue un contrˆ ole ole sur 50 pi`eces eces et compte le nombre de pi`eces eces d´efectueuses efect ueuses.. Quelle proportion proportio n de pi`eces eces defectueuse defec tueusess dans sa production ne doit-il pas d´ epasser epasser pour livrer la marchandise avec a vec un risque de 5% qu’elle qu’elle soit refus´ refus´ee ee avec ce plan de contrˆ ole?
Exercice : comportement du consommateur D’apr`es es une ´etude etude sur le comportement comp ortement du consommateur, consomm ateur, il apparaˆ apparaˆıt que 3 consommateur consom mateurss sur 6 sont influenc´ influen c´es es par la marque de commerce lors de l’achat d’un bien. La directrice du marketing d’un grand magasin interroge 20 consommateurs au hasard afin de conn co nnaaˆıtre ıtre leur leur r´eact eactio ion n sur sur ce suje sujet. t. 1 Identifier la variable concern´ concer n´ ee ee et donner les valeurs possibles de cette variable 2 Donn Donner er l’ex l’expre press ssio ion n g´en´ en´eral eralee de la loi loi de proba pro babi bililit´ t´e r´egis egissa sant nt le comportement du consommateur sur ce sujet. 3 Parmi Parmi l’´ echantillon echantillon de taille 20, combien de consommateurs, en moyenne, se d´eclareront eclarero nt influenc´ influen c´es es par la marque ? 4 Parmi Parmi l’´echantillon echant illon de taille taill e 20, quelle est la probabilit´ probabili t´e que moins de 10 consommateurs consomm ateurs se d´eclarent eclarent influenc´ influen c´es es par la marq marque ue ? 5 Parmi Parmi l’´ echantillon echantillon de taille 20, quel est le nombre de consomm consommate ateurs urs le plus plus probable proba ble qui se d´eclarero ecl areront nt influen influenc´ c´es es par par la marqu marquee ?
Exercice : loi binˆomiale omiale
B
Soit X 1 une variable de loi (4, (4, 0.1) et soit X 2 une autre variable de loi (6, (6, 0.1). On suppose que X 1 et X 2 sont sont ind´ ind´epen ep enda dant ntes es..
B
1
Quelle Quell e est la loi de probabilit´ probabili t´e qui r´egit egit la somme X 1 + X 2 ?
2
Quelles sont la moyenne et la variance de la somme X 1 + X 2 ?
3
D´eterminer P[X 1 + X 2 = 2].
4
D´eterminer P[X 1 + X 2
5
D´eterminer P[X 2 = 4 X 1 = 3].
|
≥ 8].
Exercice : location de voitures de luxe
Une soci´ so ci´et´ et´e de lo locat cation ion de voiture voit uress poss` po ss`ede ede entre ent re autres autres trois trois voitu voi ture ress de luxe luxe qui qui peuve euvent nt ˆetre etre lou´ lou´ees ees `a la jour journ´ n´ee. ee. Le nombre nombre de demandes re¸cues cues par la soci´ so ci´et´ et´e pour pou r ce genre de voitures voitur es est distribu´e suivant une loi de Poisson avec une moyenne moyenne de 1.8 voitures par jour. 1
Quelle Quell e est l’expression l’expressi on de la loi de probabilit´ probabili t´e r´egissant egissa nt la demand demandee et quelle quelless sont sont les valeurs valeurs poss p ossibl ibles es de la variabl variablee ?
2
D´eterminer etermi ner la proportion proportio n de jours o` u aucune demande n’est faite pour ce genre de voitures.
3
Calculer la proportion de jours pour lesquels les demandes de locat lo cation ion ne peuve pe uvent nt ˆetre etr e enti` ent i`eremen ere mentt satisf satisfait aites. es.
Exercice : vente de frigidaires Les ventes journali`eres eres de frigidaires suivent une loi de Poisson de moyenne 8. 8.8 unit´ unit´es es par jour jour.. 1
Quelle Quell e est l’expression l’expressi on de la loi de probabilit´ probabili t´e r´egissant egissa nt les ventes journali`eres eres et quelles sont les valeurs possibles de la variabl vari ablee al´eato ea toir iree asso associ´ ci´ee ee ?
2
Quelle Quelle est la varia variance nce de la variabl variablee ?
3
Quelle est la probabilit´ probabilit´e de n’observer aucune vente de ce bien sur un jour donn´e ?
4
Quelle est la proportion de jours pour lesquels les ventes jou j ourn rnal ali` i`eres er es sont so nt inf´ nf´eri er ieure eu ress `a 5 uni un it´es es ?
5
Quel est le nombre le plus probable d’unit´es es vendues en un jou jourr donn´ donn´e ?
6
D´eterminer etermi ner le nombre de jours o` u les ventes journali` journa li`eres eres ont ´et´ et´e exact exa ctem emen entt de 10 unit´ unit´es es et ceci ceci pour our une une p´erio eriode de de 25 2500 jours jours ouvrabl ouvrables es ?
Exercice : nombre d’accidents de travail par jour Le resp responsable onsa ble du comit´ comit´e de s´ecurit´ ecurit´e de l’entr l’entrepris eprisee Nicom Nicom a effectu´e une compilation du nombre d’accidents du travail qui se sont produits depuis deux ans dans l’usine. Ceci a permis d’´ etablir etablir que le nombre moyen d’accidents par jour est 1.6. On admet que le nombre d’accidents du travail par jour suit une loi de Poisson. 1
Quelle est l’expression permettant de calculer la probabilit´ probabilit´e d’observer x acciden accidents ts par par jour ?
2
Quel est l’´ecart-type ecart-typ e de la variable concern´ conce rn´ee ee ?
3
4
Quelle est la probabilit´ probabilit´e d’observer plus de 2 accidents par jou jourr ? Calculer la probabilit´ probabilit´e d’observer un nombre d’accidents compris dans l’intervalle [E[X ] σ (X ), E[X ] + σ (X )] ?
−
Exercice : nombre d’accidents variable
Une assurance s’int´eresse eresse au nombre d’accidents touchant un individu indivi du au cours d’une ann´ee ee donn´ee. ee. On admet que ce nombre suit une loi de Poisson. Poisson. On suppose que l’esp´ l’esp´erance erance de cette loi de Poisson varie en fonction des personnes et qu’elle vaut 2 pour 60% des personnes et 3 pour les 40% restants. 1
Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e qu’au cours d’une ann´ee ee une personne pe rsonne n’ai n’aitt aucu aucun n accid acciden entt ? Qu’e Qu’ellllee en ait troi troiss ?
2
Sachant qu’une personne n’a pas eu d’accident au cours de l’an l’ann´ n´ee ee pr´ec´ ec´eden edente te,, quel quelle le est est la proba probabi bililit´ t´e qu’e qu’ellllee ait ait troi troiss accidents dans l’ann´ee ee en cours ?
Exercice Exercice : d´efaillance efaillance chez Electropak Electropak Chez Electropak, Elect ropak, l’appareil l’apparei l servant servan t `a l’´etiquetage etiqu etage de contenants conten ants est sujet sujet `a deux deux types types de pannes pannes,, soit soit une d´efaill efa illanc ancee ´electr electroni onique que,, soit une d´efaillance efail lance m´ecanique. ecani que. Les deux sources source s de panne sont ind´ependant ep endantes. es. Selon l’ing´enieur enieu r d’usine d’usin e de l’entreprise, l’entr eprise, le nombre de pannes pannes attrib attribuab uables les `a une d´efaill efa illanc ancee ´electr ele ctroni onique que au cours cours d’un mois d’op´eration erati on est distribu´ distri bu´e selon une loi de Poisson de para aram`etre λ1 = 1.4 tandis que le nombre de pannes attribuables `a une d´efaill efa illanc ancee ´electr ele ctroni onique que au cours cours d’un d’un mois d’op´eratio eration n est distri distribu´ bu´e selon selon une loi de Poisson Poiss on de param`etre etre λ2 = 2. 1
Notons X la variable correspondant au nombre de pannes par mois mois attr attrib ibua uabl bles es `a une une d´efai efaillllan ance ce ´elec electr troni oniqu quee et Y celle correspondant au nombre de pannes par mois attribuables `a une d´efaill efa illanc ancee m´ecaniq eca nique. ue. Donner, Donn er, dans dans chaque chaque cas, cas , l’expression de la loi de probabilit´ probabilit´e correspondante.
2
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’au cours d’un mois d’op´eration, erati on, il y ait une seule panne de l’appareil l’apparei l d’´etiquetage etique tage ?
Exercice Exercice : d´efaillance efaillance chez Electropak Electropak (suite)
1
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’au cours d’un mois d’op´eratio era tion, n, l’apparei l’ap pareill pr´esente esente deux deux pannes pannes,, l’une l’une attrib attribuab uable le `a une une d´efai efaillllan ance ce ´elec electr tron oniq ique ue,, l’au l’autr tree attr attrib ibua uabl blee `a une une d´efai ef aillllaance nc e m´ecan ec aniq ique ue ?
2
Quelle est l’expression de la loi de probabilit´ probabilit´e du nombre total de pannes W = X + Y au cours d’un mois d’op´ eration eration ?
3
Quelles sont l’exp´ erance erance et la variance de W ?
4
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’au cours d’un mois d’op´eration, erati on, l’appareil l’apparei l pr´ esente esente moins de deux pannes ?
5
Quelle est la probabilit´ probabilit´e pour qu’au cours d’un mois d’op´eration, erati on, l’appareil l’apparei l pr´ esente esente au moins deux pannes ?
Exercice Exercice : v´erification erificati on de comptes-clients comptes- clients Les v´erifi Les erifica cati tion onss eff effec ectu´ tu´ees ee s au co cour urss des des dix dix dern de rni` i`eres er es ann´ ann´ees ees r´ev` ev`elent elent que sur les 50 comptes-cli compte s-clients ents de l’entreprise l’entr eprise Simex, en moyenne 3 sont sont inexac inexacts. ts. Le v´erificat eri ficateur eur de l’entr l’entrepris eprisee pr´el` el`eve, eve, au hasard des 50 comptes, 6 comptes pour en v´ erifier erifier l’exactitude. 1 Notons X la variable correspondant au nombre de comptes inexacts dans l’´ echantillon echantillon de taille 6 provenant des 50 comptes-clients. Donner l’expression de la loi de probabilit´ probabilit´e de X . 2 Quelle est la variance du nombre de comptes inexacts pour un ´echantillon echant illon de taille 6 ? 3 Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e que le v´erificateur erifica teur ne trouve aucun compte inexact dans l’´ echantillon echantillon de taille 6 ? 4 Quelle Quell e est la probabilit´ probabili t´e que le v´erificateur erifica teur trouve plus de 1 compte inexact dans l’´ echantillon echantillon de taille 6 ? 5 Peut-on obtenir plus de 3 comptes inexacts dans l’´ echantillon echantillon de tail taille le 6 ?
Exercic Exercicee : fusible fusibless d´efectue efectueux ux
Une fabrication de fusibles comporte habituellement 2% de d´ efaut. efaut. Quelle est la probabilit´ probabili t´e d’observer d’obser ver 4 fusibles fusibl es d´efectueux efect ueux 1
dans dans un lo lott de taill taillee 20 ?
2
dans dans un lo lott de taill taillee 50 ?
3
dans dans un lot de tail taille le 100 ?
4
pour chaq chaque ue tail taille le de lot lot ment mentio ionn´ nn´ee ee pr´ec´ ec´edemm edemmen ent, t, co comb mbie ien n de fusibles fusib les d´efectueux efect ueux peut-on pe ut-on s’attendre s’atte ndre `a observer obser ver en moy moyenne enne ?
