Cours d'Hydraulique_ Jean-Loup Robert

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES .............................................................................................................. 1 Chapitre 1 - Introduction................................................................................................................. 5 1.1 Bref historique de l'hydraulique urbaine................................................................................ 5 1.2 Notions d'hydraulique à considérer en hydraulique urbaine.................................................. 7 1.3 Cycle de l'eau en milieu urbain .............................................................................................. 7 Chapitre 2 - Les besoins en eau du milieu urbain........................................................................... 9 2.1 Caractéristiques du milieu urbain .......................................................................................... 9 2.2 Le service des eaux urbaines.................................................................................................. 9 2.3 Utilisation du sol .................................................................................................................. 11 2.3.1 Plan directeur d'aqueduc et d'égout ................................................................................ 11 2.3.2 Importance du plan d'urbanisme et de zonage ............................................................... 11 2.4 Éléments de démographie .................................................................................................... 11 2.4.1 Extrapolation graphique ................................................................................................. 14 2.4.2 Comparaison graphique.................................................................................................. 14 2.4.3 Progression arithmétique................................................................................................ 14 2.4.4 Progression géométrique ................................................................................................ 14 2.4.5 Accroissement à taux décroissant .................................................................................. 15 2.4.6 Méthode logistique......................................................................................................... 15 2.5 Évaluation de la consommation en eau................................................................................ 16 2.5.1 Définitions...................................................................................................................... 16 2.5.2 Types de consommation................................................................................................. 18 2.5.3 Facteurs affectant la consommation............................................................................... 21 2.5.4 Variation de la consommation........................................................................................ 21 2.5.5 Besoins en eau pour la lutte aux incendies..................................................................... 22 Exercices .................................................................................................................................... 29 Chapitre 3 – Les ressources en eau disponibles............................................................................ 30 3.1 Introduction.......................................................................................................................... 30 3.1.1 Fiabilité des sources d'approvisionnement par ordre décroissant: ................................. 30

GCI-20552 – Hydraulique urbaine

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3.2 Les eaux souterraines ........................................................................................................... 30

5.5 Dimensionnement du réseau ................................................................................................ 83

3.2.1 Types de nappes ............................................................................................................. 30 3.2.2 Notions d'écoulement en milieu poreux......................................................................... 33 3.2.3 Application de la loi de Darcy........................................................................................ 35 3.2.4 Étapes de l'étude d'une source souterraine ..................................................................... 44 3.2.5 Ouvrages de captage....................................................................................................... 47

5.5.1 Conduites en série et en parallèle................................................................................... 83 5.5.2 Méthodes de balancement du réseau en régime permanent. .......................................... 85 5.5.3 Introduction d'éléments annexes dans le calcul des réseaux .......................................... 99 5.5.4 Ajustement des coefficients de frottement ................................................................... 105 Exercices ............................................................................................................................... 106

3.3 Les eaux de surface .............................................................................................................. 48

Chapitre 6 - Collecte et évacuation des eaux usées et pluviales ................................................. 107

3.3.1 Qualité ............................................................................................................................ 48 3.3.2 Quantité .......................................................................................................................... 49 3.3.3 Captage des eaux de surfaces ......................................................................................... 50

6.1 Définitions.......................................................................................................................... 107

3.4 Autres ressources ................................................................................................................. 52

6.2 Évaluation des quantités à traiter ....................................................................................... 108

Exercices .................................................................................................................................... 54

6.3 Notions de drainage urbain ................................................................................................ 110

Chapitre 4 - Adduction des eaux................................................................................................... 56

6.3.1 La méthode rationnelle................................................................................................. 110 6.3.2.Calcul de l'écoulement ................................................................................................. 116 6.3.3 Principes de base des méthodes d'hydrogrammes........................................................ 117

4.1 Introduction.......................................................................................................................... 56

6.4 L'égout sanitaire ................................................................................................................. 126

4.2 Types d'aqueducs ................................................................................................................. 56 4.3 Considérations hydrauliques ................................................................................................ 58 4.3.1 Écoulement en charge .................................................................................................... 58 4.3.2 Écoulement à surface libre ............................................................................................. 66 4.3.3 Stations de pompage....................................................................................................... 67

6.4.1 Notions de base ............................................................................................................ 126 6.4.2 Méthode de calcul des écoulements ............................................................................. 127 6.4.3 Vitesse auto-nettoyante ou d’autocurage ..................................................................... 128 6.4.4 Étapes du dimensionnement de l'égout sanitaire.......................................................... 129 6.5 Collecte des eaux à traiter .................................................................................................. 130 6.6 Principes de gestion des eaux de précipitation................................................................... 131

4.5 Dimensionnement économique............................................................................................ 72 6.7 Hydraulique des caniveau et des grilles d’égouts pluviaux .............................................. 131 Exercices .................................................................................................................................... 77 Chapitre 5 - Système de distribution des eaux.............................................................................. 78 5.1 Méthodes d'alimentation du réseau ...................................................................................... 78 5.1.1 Distribution gravitaire .................................................................................................... 78 5.1.2 Pompage combiné .......................................................................................................... 78 5.1.3 Pompage direct............................................................................................................... 78 5.2 Réservoirs et stations de pompage ....................................................................................... 79 5.3 Pression à garantir................................................................................................................ 81

6.7.1 Caniveaux..................................................................................................................... 132 6.7.2 Grilles d’égout pluvial............................................................................................... 133 Exercices .................................................................................................................................. 134 Chapitre 7 - Éléments de conception des installations de traitement.......................................... 137 7.1 Installations de pompage.................................................................................................... 137 7.1.1 Courbes caractéristiques et point de fonctionnement................................................... 137 7.1.2 Choix de la pompes ...................................................................................................... 138 7.1.3 Pompes en série et en parallèle .................................................................................... 138 7.1.4 Exemple........................................................................................................................ 139

5.4 Description du système de distribution................................................................................ 82

7.2 Vannes de contrôle de débits ............................................................................................. 141

5.4.1 Aqueducs principaux:..................................................................................................... 82 5.4.2 Aqueducs secondaires: ................................................................................................... 82 5.4.3 Conduites de distribution principales............................................................................. 82

Exercices .................................................................................................................................. 142

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Chapitre 8 - Régimes transitoires dans les systèmes hydrauliques............................................. 143 Chapitre 1 - Introduction. 8.1 Introduction........................................................................................................................ 143 8.2 Description des phénomènes physiques en jeu. ................................................................. 143 8.2.1 État d’équilibre d’un système hydraulique................................................................... 143 8.2.2 Perturbation de l’équilibre, effet sur les pressions ....................................................... 144 8.2.3 Simulateur de cheminée d’équilibre............................................................................. 147 8.3 Aspects théoriques ............................................................................................................. 149 8.3.1 Équations de bases ....................................................................................................... 149 8.3.2 Hypothèse de base........................................................................................................ 150 8.3.3 Calcul de la dépression maximale................................................................................ 150 8.3.4 Méthode des caractéristiques ....................................................................................... 151 8.3.5 Méthode des différences finies..................................................................................... 152 8.4 Modélisation des composantes d’un système hydraulique ................................................ 155 8.4.1 Traitement d’un élément général.................................................................................. 155 8.4.2 Section de conduites..................................................................................................... 157 8.4.3 Élément passif .............................................................................................................. 157 8.4.4 Jonctions....................................................................................................................... 157 8.4.5 Pompes ......................................................................................................................... 158 8.4.6 Vannes.......................................................................................................................... 159 8.4.7 Cavitation ..................................................................................................................... 159

1.1 Bref historique de l'hydraulique urbaine Depuis leurs origines, les êtres humains ont été très sensibles à la qualité de l'eau, c'est l'un des besoins les plus fondamentaux de notre physiologie. Tant que l'humanité ne s'est pas sédentarisée, le problème de l'eau se limitait à la recherche d'un endroit d'approvisionnement facile d'accès (rivière, chute, source). Cependant, avec l'apparition de collectivités de plus en plus importantes, c'est-à-dire à la naissance des cités, l'urbanisation éloignait la population du milieu naturel et restreignait la diversité des sources d'approvisionnement, le besoin d'apporter cette eau à portée de la main s'est alors fait sentir. Les plus anciens vestiges que nous connaissons datent de 3750 av JC. Ils sont situés dans les ruines de la ville de Nippour, capitale de la Sumer en basse Mésopotamie, aujourd'hui en Irak. Ces vestiges sont en fait une conduite d'adduction voûtée permettant d'acheminer les eaux des citernes et des puits vers la cité. On trouve aussi à Tell Asmcer près de Bagdad des conduites d'égout datant de 2600 avant J.C. Les Crétois avaient déjà des demeures avec l'eau courante chaude et froide (première apparition des conduites sous pression).

8.5 Analyse détaillée de composantes importantes.................................................................. 159

De cette époque, on conserve des manuscrits sanskrits et égyptiens qui décrivent la façon de purifier l'eau en l'amenant à ébullition dans des récipients en cuivre exposés au soleil, en la filtrant à travers du charbon de bois, et en la gardant au frais dans des récipients en terre cuite.

8.5.1 Vannes.......................................................................................................................... 159 8.5.2 Pompes ......................................................................................................................... 161

On connaît aussi d'autres manuscrits égyptiens (1500 avant J.C.) montrant comment clarifier l'eau par décantation et à l'aide de siphons.

8.6 Étude d'un cas..................................................................................................................... 162 8.6.1 Schéma du système de refoulement ............................................................................. 162 8.6.2 Courbes de pompes ...................................................................................................... 162 8.7 Équipements de protection................................................................................................. 163 8.7.1 Volant d’inertie ............................................................................................................ 163 8.7.2 Chambres ou cheminées d’équilibre ............................................................................ 164 8.7.3 Chambres d’équilibre unidirectionnelle ....................................................................... 165 8.7.4 Réservoirs d’air ............................................................................................................ 165 8.7.5 Soupapes de décharge .................................................................................................. 166 8.7.6 Soupapes d’admission et de purge d’air....................................................................... 167 8.7.7 Bipasse ......................................................................................................................... 168 Exercice................................................................................................................................. 168

4

Il convient de citer ici les travaux effectués par les Romains dans le domaine de l'hydraulique urbaine, l'aqueduc à surface libre (le pont du Gard) et le système d'égout de la ville de Rome, le Cloaque. Le pont du Gard est un des ouvrages de l'aqueduc de Nîmes construit pour franchir la vallée du Gard au-dessus duquel il passe à 49 m d'altitude. Long de 59 km, il a une pente moyenne de 34 cm par kilomètre et son débit était de l'ordre de 20 000 m3 par jour (231 L/s).


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le sol gardaient l'eau à une température d'environ 11° C. Ce système fut en fonction jusqu'au XVIe siècle. Il est étonnant de remarquer que de l'époque de l'Empire romain jusqu'au milieu du 19ième siècle les systèmes d'égouts n'ont pratiquement pas évolué. Il a fallu la grande épidémie de choléra à Londres de 1848 à 1849 (15 000 morts) pour sensibiliser les autorités au problème, soit la corrélation entre un approvisionnement contaminé, et la propagation de la contagion. De plus, on détermina que l'absence de système d'égout efficace et hygiénique fut l'obstacle majeur à une lutte rapide contre l'épidémie.

1.2 Notions d'hydraulique à considérer en hydraulique urbaine Tous les éléments de l'hydraulique du génie civil sont à prendre en considération dans l'un ou l'autre aspect de la gestion des eaux en milieu urbain. En voici quelques exemples : -

L'hydrologie : Calcul des quantités d'eau disponible, calcul du drainage urbain.

-

Les écoulements en milieu poreux : Alimentation en eau par nappes souterraines, dimensionnement des systèmes de filtration en usine de traitement.

Fig. 1.1 - L’aqueduc romain du Pont du Gard, France (photo: Athena Review).

-

Les écoulements à surface libre : Calcul des canaux, prises d'eau, égouts, usines de filtration et d'épuration.

Le premier rapport d'ingénierie sur l'approvisionnement en eau et sur son traitement, a été écrit en l'an 98 de notre ère par Sextus Julius Frontinus, commissaire des eaux à Rome. Son traité, en deux volumes, décrit des réservoirs de décantation et des aqueducs munis de trappe à sédiments.

-

Les écoulements en charge : Dimensionnement des conduites d'adduction, de distribution et de refoulement, et des systèmes de pompage.

Notons aussi les travaux de l'alchimiste arabe Geber sur la distillation au VIIIe siècle.

-

Au XVIIe siècle, le philosophe anglais sir Francis Bacon décrit le résultat de ses expériences sur la purification de l'eau. De la même époque, on connaît la première description illustrée de filtres au sable publiée par Luc Antonio Porzio, un médecin italien; son intérêt était surtout relié à l'hygiène. L'exemple archéologique le plus complet, avant l'ère moderne, concernant la filtration des eaux pour la consommation urbaine, se trouve à Venise. Cette ville construite sur des îles affleurant d'une lagune saline, ne pouvait compter que sur l'emmagasinage des eaux de pluie pour s'approvisionner en eau douce et ce pendant 1300 ans. L'eau de ruissellement des toits se déversait dans les rues, était collectée dans des cuvettes et filtrée au sable avant d'être emmagasinée dans des réservoirs.

Calcul économique en hydraulique

1.3 Cycle de l'eau en milieu urbain L'hydraulique urbaine est la branche des sciences hydraulique qui concerne exclusivement la gestion des eaux en milieu urbain, que ce soient les eaux liées à l'utilisation par la population ou bien les effets des eaux de précipitation sur l'infrastructure urbaine. La figure 1.2 résume le cycle de l'eau dans un environnement urbain en considérant les sources, les intermédiaires et l'évacuation.

La surface des terres de Venise est de 3,2 hectares soit 0,052 km2, la moyenne de précipitation annuelle est de 81 cm. Pratiquement toutes les pluies sont stockées dans 177 réservoirs publics et 1900 privés. Cela représentait une moyenne de 19 litres d'eau per capita par jour (aujourd'hui 450 L/h-d en Amérique du Nord). Cette consommation faible était tout de même suffisante pour les habitudes des Vénitiens, lavage dans la lagune, absence d'égout, et consommation de vin ! Les réservoirs placés à 4 mètres sous 6

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Chapitre 2 - Les besoins en eau du milieu urbain Source d'eau

Précipitations météorologiques

Traitement

2.1 Caractéristiques du milieu urbain adduction

ruissellement

MILIEU URBAIN Réseau de distribution AQUEDUC

Une ville peut être considérée comme un système complexe dont le principal aspect est la concentration, la centralisation d'activités, par conséquent l'infrastructure du milieu urbain se caractérise par une concentration des services. Il en résulte que l'intensité des échanges sera grande à tous les niveaux, en particulier dans le domaine de l'eau où les exigences sur le plan qualité et quantité sont importantes et critiques. Les principaux intervenants dans ce système peuvent être les suivants: -

Facteur politique : Processus décisionnel, palier de gouvernement

-

Facteur économique : Activité, le travail, le gagne pain

-

Facteur géographique : Emplacement, avantage naturel, cours d'eau, voie navigable, situation climatique

-

Facteur social : Bien être de la population

Réseau d'évacuation EGOUT Pluvial et sanitaire

collecteur pluvial

collecteur sanitaire

Traitement des eaux usées

Milieu naturel

2.2 Le service des eaux urbaines Fig. 1.2 – Le cycle de l’eau en milieu urbain.

Parmi les services qui sont offerts dans le milieu urbain, trois relèvent de l'hydraulique urbaine, ils sont : -

La distribution de l'eau potable

-

La collecte des eaux usées

-

Le drainage urbain

Ces services sont conçus en fonction de la variation des activités : -

Court terme : variations cycliques, saisons, annuelles.

-

Long terme : croissance et déclin.

Le service doit répondre à la demande de façon adéquate. Il y a donc des exigences quant à la performance des différentes infrastructures :

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2.3 Utilisation du sol -

Distribution Pression suffisante, bien répartie et sans surpression. Réserves adéquates pour combler les variations de consommation et assurer la protection contre les incendies. -

2.3.1 Plan directeur d'aqueduc et d'égout Il faut connaître :

Égout sanitaire

Efficace sur le plan hydraulique, doit fournir à la demande, garantir la protection de la santé publique et respecter l'environnement. -

Garantir les conditions de circulation sur les voies carrossables Réduire les dommages causés par les précipitations Pour être adéquat, le service hydraulique municipal doit concilier l'efficacité hydraulique et l'économie. On peut se poser la question : Pourquoi étudier l'utilisation du territoire et son évolution temporelle en fonction de la démographie ? Les ouvrages doivent être dimensionnés pour satisfaire, pour un temps prédéterminé, les besoins d'une population généralement croissante. D'autre part la durée de vie de ces ouvrages est limitée, il faut donc procéder à une estimation : de la population

-

de la consommation

la répartition de la population sur le territoire

-

l'affectation de chaque zone

-

son évolution temporelle

2.3.2 Importance du plan d'urbanisme et de zonage

Égout pluvial

-

-

pour une période correspondant à la durée de vie envisagée de la structure. Cette période de dimensionnement est définie comme la période de vie économique de la structure. Généralement cette période est basée sur la période qui sert à son financement mais elle peut être plus longue. Les facteurs à considérer dans le choix d'une période de calcul sont : -

le type de structure, son degré de permanence

-

le coût: initial taux d'intérêt entretien

Le plan d'urbanisme et de zonage définit les zones d'affectation du territoire municipal. C'est un outil essentiel à la gestion et la planification des plans directeur d'aqueduc et d'égout. Son principal but étant d'harmoniser les affectations du sol, il permet d'éviter les transformations brutales de l'affectation et par conséquent des modifications coûteuses de l'infrastructure hydraulique. Les classes d'affectation sont en général: -

Résidentielle : densité faible : maisons uni familiales et jumelées densité moyenne: maisons jumelées et en rangée densité forte: édifices à appartements et condominium

-

Industrielle

-

Commerciale

-

Institutionnelle

-

Espace vert

2.4 Éléments de démographie But: permettre la planification de l'utilisation du territoire en termes d'évolution temporelle des besoins.

-

l'augmentation potentielle de la capacité

-

la possibilité de désuétude, apparition de nouvelles techniques

10

Trois composantes déterminantes : -

Natalité

-

Mortalité

-

La migration (entrée ou sortie) 11


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Il existe différentes méthodes de prédiction à court et long terme : -

Graphique

-

Graphique de comparaison

-

Progression arithmétique

-

Progression géométrique

-

Accroissement à taux décroissant

-

Méthode logistique

Il convient cependant de mentionner que toutes ces méthodes n'ont qu'une valeur indicative. Elles doivent être utilisées avec précaution et en conjonction avec tout élément complémentaire de nature à pouvoir aider à juger du comportement futur d'une population. Le jugement personnel, basé sur une connaissance approfondie du milieu, est certainement un atout majeur pour ce genre d'exercice.

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P

Progression géométrique

Progression arithmétique

Progression t à taux décroissant

Fig 2.1 - Évolution temporelle d'une population. Un examen de l’évolution de la population mondiale depuis 1 000 ans montre avec évidence qu’elle suit une progression géométrique (voir fig. 2.2).

Les périodes d'estimation démographique peuvent être considérées comme les suivantes: -

court terme

3 à 10 ans

-

long terme

10 à 30 ans

7000

Le choix de ces périodes est fonction de la vie économique de la structure à projeter.

6000

Plusieurs informations sont nécessaires à l'évaluation démographique d'une population, certaines sont précises et rigoureuses, par contre, d’autres sont plus subjectives. Les principales sources d'information sont :

5000 4000 3000

-

Les recensements

-

Les données d'immigration et d'émigration

-

Les répertoires des naissances et décès, les taux de natalité et les taux de mortalité.

-

D’autres informations indirectes telles que: - le nombre d'enfants dans les écoles - le nombre de numéros de téléphones - le nombre de services, eau, gaz, électricité

2000 1000 0 1000

5 habitants. pour 1 enfant. 4 habitants pour 1 3 habitants pour 1

1200

1400

1600

Fig 2.2 – Évolution de la population mondiale.

Les méthodes d'estimation sont basées sur une analogie. On estime que l'évolution d'une population humaine est semblable à celle d'une population de bactéries. Cette évolution se caractérise par une période initiale où, après une période de latence, la croissance s'accélère rapidement pour atteindre un régime de croissance régulière. Enfin, l'évolution tend vers un nombre limite d'individus, la population de saturation. La figure 2.1 montre l'allure générale d'une telle courbe d'évolution temporelle d'une population. 12

1800

Années

13

2000


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S'applique à des populations jeunes et en pleine croissance. 2.4.1 Extrapolation graphique 2.4.5 Accroissement à taux décroissant Sur un graphique de la population en fonction du temps, on trace, à l'œil la population à venir selon la tendance du graphique existant.

Définition : saturation

taux d'accroissement proportionnel à l'écart entre la population et la population de

2.4.2 Comparaison graphique dP = K(S P ) dt

On effectue une comparaison avec des agglomérations équivalentes ayant atteint, par le passé, la population de la ville à considérer. Ceci nous donne une information sur l'évolution potentielle de la population dans des conditions similaires et nous permet de mieux extrapoler graphiquement. Il faut évidemment que les villes de références soient, sur le plan géographique, social et économique, dans une situation semblable à celle que l'on considère.

K=

2.4.3 Progression arithmétique Définition : constant.

(2.8)

t2 t1

[

]

(2.9)

avec: S: population de saturation qui doit être estimée approximativement en fonction des tendances de l'évolution de la population et des disponibilité du territoire concerné.

dP =K dt

(2.1)

P2 P1 t2 t1

(2.2)

Pn = P2 + K( tn t 2 )

(2.3)

avec: P1 : P2 : Pn :

S P2 ln S P1

Pn = P2 + (S P2 ) 1 e K (tn t 2 )

Le rapport entre l'accroissement de population et l'accroissement de temps est

K=

(2.7)

Population au temps t1 Population au temps t2 Population au temps tn

Cette méthode s'applique principalement à des populations qui n'ont plus d'espace pour se développer. 2.4.6 Méthode logistique C'est la méthode qui donne la courbe en S complète. Pour évaluer la courbe, il faut trois données de population équidistantes dans le temps, choisies de préférence dans chacune des périodes de la courbe (taux croissant, stable et décroissant). La formule s'écrit : P=

Cette méthode s'applique dans les cas de populations vieilles et stables et dans les villes à caractère agricole.

S 1+ 10 a +bt

(2.10)

où: 2

2P0 P1 P2 P1 (P0 + P2 )

2.4.4 Progression géométrique

S=

Définition :

S P0 a = log P0

(2.12)

P S P 1 0( 1) b = log n P1 ( S P0 )

(2.13)

taux d'accroissement proportionnel à la population. dP = KP dt

(2.4)

ln P2 ln P1 K= t2 t1

(2.5)

Pn = P2 e K (t n t2 )

(2.6) 14

(2.11)

2

P0 P2 P1

avec : 15


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n : l'intervalle de temps entre P0,P1 et P1,P2 t : l'intervalle de temps entre t0 et tn.


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d) Consommation par unité de service Volume d'eau utilisé par raccordement (généralement pendant un an)

Autre forme courante : S P= 1+ m e bt

(2.14)

La figure 2.3 montre la variation de la C.U.G pour la ville de Québec de 1940 à 1980 tandis que la figure 2.4 représente pour la même période la consommation moyenne journalière. On remarque que la première à tendance à être constante alors que la deuxième croît en raison de l'augmentation de la population.

où : Consommation moyenne par personne par jour

m=

S P0 P0

(2.15)

b=

1 P0 (S P1 ) ln n P1 (S P0 )

(2.16)

220 956 200 856 180

2.5 Évaluation de la consommation en eau

756

160

2.5.1 Définitions

656

140

a) Consommation unitaire et globale

556

120

Rapport de la production moyenne journalière et de la population desservie aussi appelée consommation moyenne per capita

1945

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

456 1985

année

Unités : L/hab/d ou gal/hab/d Volumeannuel CUG =

100 1940

Nombre d habitants 365 jours

Figure 2.3 - Consommation unitaire globale de la ville de Québec

b) Consommation moyenne annuelle Volume d'eau consommée pendant 1 an Unités :m3, gal c) Consommation moyenne journalière Volume d'eau consommée pendant un an divisé par 365 jours. Unités : L/d ou gal/d

16

17


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Consommation

moyenne


Pays

journalière

42 187.7 40 177.7

28 1940

1945

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

Canada

500

URSS

322

157.7

RFA

150

147.7

France

100

127.7 1985

Années

Figure 2.4 - Consommation moyenne journalière de la ville de Québec 2.5.2 Types de consommation Comme la consommation unitaire globale ne représente en fait que la production annuelle d'eau ramenée sur une base individuelle, il est préférable de classer les consommations d'eau en fonction des besoins spécifiques de chaque groupe de consommateur. La subdivision en zone d'affectation du territoire urbain nous donnera un indice de ces classes de consommation. Mais avant de procéder à cette classification et dans le but d'examiner les ordres de grandeur, nous donnons ici quelques valeurs de la C.U.G Exemples de consommation unitaire globale par municipalité: Municipalité

565

372

137.7

30

E.U.

Japon

36

32

L/hab/d

167.7

38

34

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L/hab/d

a) consommation domestique Il s'agit de l'eau utilisée pour les besoins personnels d'alimentation et d'hygiène et autres utilisations moins essentielles comme le lavage de biens et l'arrosage. Cette consommation peut être considérée dans les zones suivantes: -

Résidences

-

Hôtels

-

Institutions publiques

Dans les pays en voie de développement, l'OMS (Organisation Mondiale de la Santé) prévoit un minimum vital de 40 L/hab/d. En moyenne, on observe les valeurs suivantes dans les pays développés: -

Consommation rurale

90-180 L/hab/d

-

Consommation urbaine 180-200 L/hab/d

b) consommation des zones commerciales

St-Hyacinthe

675

Hull

840

Longueuil

710

Consommation d'eau nécessaire au fonctionnement des commerces, elle est souvent exprimée en L/m2-d ou encore en L/employé-d. En moyenne, on observe des valeurs de 2 à 6 L/m3-d pour les centres d'achat ou encore de 35 à 60 L/employé/d. Ceci comprend en outre les usages hygiéniques, d'entretien et de climatisation.

Boucherville

300

c) consommation dans les zones industrielles

En 1974, l'AQTE a évalué la consommation unitaire globale à 554 L/hab/d dans les municipalités équipées de compteurs d'eau domestiques et à 820 L/hab/d dans le cas contraire.

Elle est difficile à évaluer, car il existe une grande variation de consommation selon le type d'entreprise. Les entreprises du secteur agroalimentaire, par exemple, sont considérées comme de grosses consommatrices. Lorsque que la demande en eau de certaines industries, par exemple

Quelques valeurs caractéristiques par pays 18

19


© Jean-Loup Robert

pour les pâtes et papiers, dépassent les capacités de production municipale, la production d'eau pour le procédé industriel est pris en charge par l'industrie elle-même. Dans les zones où le type d'industrie n'est pas défini (futur parc industriel) on prévoit environ 4,5 L/m2/d (4000 gal/acre/d). En général, la consommation est reliée à la production, voici quelques exemples : M3 d’eau/tonne de production

Industrie conserveries


-

Collectif (usages public) 3%

-

Pertes

20%

La consommation totale s'évalue en considérant les consommations par habitants, par surface et par production, en évaluant le volume journalier ou annuel et en divisant par le nombre d'habitants. 2.5.3 Facteurs affectant la consommation -

Pertes dans le réseau

-

Installation de compteurs d'eau

-

Types d'industries installées sur le territoire de la municipalité

9 @ 90

industrie chimique (souffre, lactose)

14 @ 1100

Alimentaire (Pain, whisky)

3 @ 75

-

Qualité

200 @ 1100

-

Coût

40 @ 430

-

Pression

-

Importance de la ville

-

Richesse de la population

-

Climat

pâtes et papiers textiles d) Usages publics -

Lutte contre les incendies

-

Lavage des rues

-

Piscines, parcs, fontaines

© Jean-Loup Robert

2.5.4 Variation de la consommation En fonction des jours, des semaines et des mois, on observe une variation de la consommation, cette variation est d'autant plus forte que la période considérée est petite. Par exemple, la consommation maximale d'un jour est de 180 % de la consommation moyenne journalière annuelle alors que la consommation moyenne journalière dans une semaine maximale est de 140 % de cette même consommation de référence. Pour le mois maximum, on obtient un facteur de pointe de 120 %.

f) Pertes Essentiellement, ce sont des fuites : -

Fuites dans le système de distribution

-

Fuites chez le consommateur (robinets qui fuient!) Afin d'évaluer ce facteur de pointe "p" à appliquer à la consommation moyenne journalière à long terme, on utilise la formule empirique de Goodrich:

g) Répartition de la consommation

[ ]

p = 180t 0, 1 %

Répartition AQTE - 1974

2.17

-

Domestique

57%

-

Commercial

8%

p:

taux de consommation de pointe

-

Industriel

12%

t:

temps en jours pour 2/24 < t < 360 jours

où:

20

21


© Jean-Loup Robert

Cette formule s'applique à des municipalités de tailles relativement petites, car dans les grandes, les pointes sont diminuées par une plus grande diversité des activités.


© Jean-Loup Robert

Selon le Service d'inspection des secours publics contre l'incendie (Bureau d'assurance du Canada), la demande varie selon le type de district ou de zonage, et le degré d'exposition aux incendies.

La figure 2.4 donne un exemple de la fluctuation de la consommation dans une journée. Le débit incendiaire s'ajoute à la journée de consommation maximale, ce qui représente environ 150 % à 200 % de la consommation moyenne journalière. La valeur minimale à considérer pour éteindre un incendie est : Q = 30 L/s pour une durée de 2 à 10 heures Pour une ville de 250 000 hab. et plus, il faut envisager la possibilité de 2 grands feux simultanés.

55

Le guide du S.I.S.P.I1 fournit les renseignements nécessaires pour dimensionner correctement les réseaux de distribution pour satisfaire adéquatement à la demande lors d'un feu. Les municipalités qui ne rencontrent pas les normes de ce service peuvent être pénalisées par des taux d'assurances plus élevés.

53 51 49

45

L'évaluation des débits de feux, même s'ils sont concentrés sur une courte période, ont une incidence importante sur le dimensionnement du réseau de distribution. Il faut en tenir compte dans les calculs suivants :

43

-

Répartition des bornes d'incendies

41

-

Capacité des systèmes de gicleurs

-

Volume des réservoirs (réserve d'incendie)

-

Capacité des stations de pompage

-

Évaluation de la pression résiduelle

47

39 37 35

L'encadré qui suit reproduit les principales règles utilisées pour déterminer le débit de lutte à l'incendie, les formules et valeurs en système international ont été ajoutées par l’auteur. Date

Fig. 2.5 - Variation de la consommation dans une journée. 2.5.5 Besoins en eau pour la lutte aux incendies Ce besoin en eau a des caractéristiques assez particulières en termes de volume et de débits. En effet, la quantité d'eau requise pour lutter contre les incendies est faible lorsqu'elle est répartie sur toute l'année. Cependant, cette demande se fait pendant une période de temps courte à un taux, ou débit, très élevé.

1

22

Service d’inspection des secours publics contre l’incendie

23


© Jean-Loup Robert


© Jean-Loup Robert

6 700 gal/min (510 L/s) pour une construction en bois, 6 700 gal/min (510 L/s) pour une construction ordinaire, 5 000 gal/min (380 L/s) pour une construction incombustible, 5 000 gal/min (380 L/s) pour une construction résistant au feu.

CHAPITRE II

Dans le cas d’un bâtiment à simple rez-de-chaussée, quel qu’en soit le type de construction, le débit d’incendie ne doit pas dépasser 5 000 gal/min (320 L/s).

CALCUL DU DÉBIT D’INCENDIE SELON LA MÉTHODE DE L’INSURANCE SERVICE OFFICE

© I.S.O. 1974

Le débit d’incendie ne doit pas être inférieur à 400 gal/min (30 L/s). Pour les maisons unifamiliales et les petites maisons pour deux familles, d’au plus deux niveaux, voir la remarque 10.

Nous faisons remarquer que cette méthode n’est présentée qu’à titre purement indicatif et qu’il faut une certaine connaissance des techniques de la sécurité incendie et de l’expérience dans le domaine pour en tirer profit. Destinée principalement aux inspecteurs des secours publics contre l’incendie, elle peut également être utile aux fonctionnaires municipaux, aux ingénieurs conseil et à toute autre personne concernée par la protection municipale.

- Le résultat obtenu en 1 peut être réduit jusqu’à 25 % ou majoré d’autant selon qu’il s’agisse d’affectation à risques faibles ou élevés. On trouvera en appendice des exemples de ces affectations. Le débit d’incendie ne doit pas être inférieur à 400 gal/min (30 L/s).

Le débit d’incendie peut être défini comme la quantité et le débit d’eau nécessaires pour circonscrire et maîtriser un ou plusieurs incendies éventuels dans un bâtiment ou un groupe de bâtiments considérés comme faisant partie de la même zone d’incendie du fait de leur proximité, cette zone pouvant comprendre tout un pâté de maison. -

On peut évaluer le débit d’incendie nécessaire à une zone donnée par la formule suivante :

D = 15C S

[g.imp/min]

D = 3,728C S

[L/s]

D

étant le dénit d’incendie exprimé en gallons impériaux par minute (litres/s en SI);

C

représentant le coefficient relatif au type de construction, à savoir :

- Le résultat obtenu en 2 peut être réduit jusqu’à 50 % le cas de bâtiments entièrement protégé par des extincteurs automatiques. La réduction peut même atteindre 75 % pour les bâtiments de construction incombustible ou résistant au feu et à l’affectation à risques très faibles. La réduction accordée pour une installation d’extincteurs automatiques varie en fonction de la capacité de celle-ci à circonscrire un incendie. Normalement, elle n’atteindra le maximum que si l’installation, y compris le détecteur d’écoulement d’eau et les soupapes, est reliée à un service de surveillance reconnu. - Il convient de majorer le résultat obtenu en 2 ci-dessus s’il existe des bâtiments dans un rayon de 150 pieds (46 m) de la zone d’incendie considérée. Cette majoration varie selon la hauteur, la superficie, le type de construction, l’éloignement, le nombre d’ouvertures, la longueur des côtés menacés, l’affectation desdits bâtiments, et selon qu’il y a des extincteurs automatiques à l’intérieur ou à l’extérieur de ceux-ci et possibilité de propagation de l’incendie par des constructions situées à flanc de coteau. La majoration pour un côté donné ne devrait généralement pas dépasser les pourcentages suivants :

1.5 pour une construction en bois, c’est-à-dire essentiellement combustible; 1

pour une construction ordinaire, c’est-à-dire à murs de brique ou de maçonnerie et intérieur combustible ;

0,9 pour une construction en gros bois d’œuvre ; 0,8 pour une construction incombustible, c’est-à-dire à ossature métallique non protégée ; 0,6 pour une construction résistant au feu, c’est-à-dire à ossature entièrement enrobée. S

représentant la surface de plancher totale, c’est-à-dire celle de tous les étages du bâtiment, à l’exclusion des sous-sols. Dans le cas de bâtiments de construction résistant au feu, ne tenir compte que de la surface totale des 6 étages successifs les plus étendus si les communications verticales ne sont pas protégées et seulement de la superficie totale des 3 étages successifs les plus étendus si elles le sont.

Le débit d’incendie ainsi déterminé ne doit pas excéder :

24

Éloignement

Majoration

0à 10 pieds (3,0 m) 11 à 30 pieds (9,1 m) 31 à 60 pieds (18,3 m) 61 à 100 pieds (30,5 m) 101 à 159 pieds (45,7 m)

25 % 20 % 15 % 10 % 5%

La somme des majorations pour tous les côtés constitue le pourcentage de majoration total, mais celui-ci ne doit toutefois pas excéder 75 %. 7-

Le résultat obtenu en 2 ci-dessus est réduit du pourcentage déterminé à l’alinéa 3 et majoré de celui établi à l’alinéa 4, le cas échéant. Le débit d’incendie ne doit être ni supérieur à 10 000 gal/min (760 L/s) ni inférieur à 400 gal/min (30 L/s).

Remarque 1 : Cette méthode ne vaut pas forcément pour les chantiers de bois, dépôts et

25


© Jean-Loup Robert


raffineries de pétrole, silos à céréales et grandes usines de produits chimiques; toutefois, elle peut servir à déterminer un débit d’incendie minimum pour ces risques. Remarque 2 :

Il faut faire preuve de discernement dans le cas des établissements industriels, commerciaux ou autres non mentionnés de façon précise.

Remarque 3 : Il faut tenir compte de la disposition du ou des bâtiments considérés et des conditions dans lesquelles les pompiers peuvent y accéder. Remarque 4: Les constructions en bois situées à moins de 10 pieds (3 m) doivent être considérées comme faisant partie de la zone d’incendie. Remarque 5 : Les murs mitoyens pleins peuvent donner lieu à majoration de 10 %. Remarque 6: Bâtiments à simple rez-de-chaussée – Lorsqu’un bâtiment à simple rez–dechaussée est aussi haut qu’un bâtiment d’un étage ou plus, le nombre de niveaux à intégrer dans la formule dépend de son affectation. Par exemple, un bâtiment à simple rez-de-chaussée d’une hauteur égale à celle de trois niveaux, dans lequel on fait du stockage de grande hauteur ou sur rayonnages, sera vraisemblablement considéré comme une construction de trois niveaux et pourra en outre faire l’objet d’une majoration en raison de l’affectation. Par contre, s’il s’agit d’un atelier sidérurgique ayant une hauteur de trois niveaux à seule fin de manutentionner des pièces au moyen d’une grue, il sera probablement considéré comme un bâtiment à simple rez-de-chaussée et pourra même bénéficier d’une réduction du débit d’incendie en raison de l’affectation. Remarque 7 : Il convient habituellement de majorer le débit d’incendie lorsqu’il y a des bâtiments dans un rayon de 150 pieds (46 m) de la zone d’incendie considérée. Remarque 8 : Là où existent des toits à bardeaux de bois susceptibles de propager l’incendie, il faut ajouter 400 gal/min. Remarque 9 : Toute construction incombustible est censée donner droit au coefficient 0,8. Remarque 10 : Habitations – Dans le cas de groupes de maisons unifamiliales ou de petites maisons pour deux familles d’au plus deux niveaux, on peut procéder brièvement comme suit, les autres maisons d’habitation requérant la méthode ordinaire : Éloignement

© Jean-Loup Robert

MÉTHODE À SUIVRE •

Déterminer le type de construction.

•

Calculer la superficie du rez-de-chaussée.

•

Déterminer le nombre de niveaux.

•

Calculer le débit d’incendie nécessaire à 200 gal/min (15 L/s) près, à l’aide de la formule.

•

Établir la réduction ou la majoration relative à l’affectation et modifier en conséquence le résultat obtenu en D ci-dessus, sans arrondir.

•

Déterminer, s’il y a lieu, la réduction relative à la protection par extincteurs automatiques, sans arrondir.

•

Calculer la majoration totale relative aux constructions voisines, sans arrondir.

•

Prendre le résultat obtenu en E, en soustraire celui obtenu en F et ajouter celui calculé en G.

Affectations : Exemples d’affectations à risques faibles : Asiles, bâtiments publics, bibliothèques, clubs, collèges et université, écoles, églises, hôpitaux, hotels, Immeubles à bureaux et d’habitation, maison d’hébergements, musées et prisons. Exemples d’affectations à risque élevé : Fabriques d’allumettes (!) d’objets en bois, en coton, de pièces pyrotechniques, hangar d’avions,secteur pétro chimique (peintures, solvants, linoléum, etc).

Débits d’incendie recommandés

Plus de 100 pieds (30,5 m) de 31 à 100 pieds (9,4 m) de 11 à 31 pieds (3,4 m) Au plus 10 pieds (3,0 m)

400 gal/min 600 à 800 gal/min 800 à 1 200 gal/min 1 200 à 1 700 gal/min

(30 L/s) (61 L/s) (91 L/s) (129 L/s)

Dans le cas de constructions contiguës, le débit doit être d’au moins 2 000 gal/min (152 L/s). Voir aussi la remarque 8.

26

27


© Jean-Loup Robert


© Jean-Loup Robert

Durée :

Exercices La durée d'un incendie est en général proportionnel à l'intensité de ce dernier. On considère comme des valeurs moyennes les données suivantes:

Débits d'incendie en L/s

Durée en heures

645 600 550 500 450 400 350 300 275 250 225 200 150

10.00 9.10 8.20 7.40 6.60 5.85 5.05 4.25 3.85 3.47 3.07 2.67 2.00

2.1

Quels sont les principaux services de l’hydraulique urbaine ?

2.2

En quoi le plan d’urbanisme peut-il être utile à la gestion de l’infrastructure de l’hydraulique urbaine ?

2.3

Sachant que depuis quelques décennies la population d'une petite municipalité (15 000 h. recensement 1985) double tous les 20 ans et que cette tendance semble vouloir se maintenir, évaluer sa population en l'an 2000. (P=25227)

2.4

a) Utiliser la méthode logistique pour prédire la population mondiale en 2 100. b) Par ailleurs, si on suppose que la Terre ne peut supporter plus de 11 milliards de personnes, évaluer sa population en 2 100. c) Comparer les deux résultats et commenter les différences.

2.5

Décrivez le bâtiment dans lequel vous habitez et évaluer le débit d’incendie nécessaire à y combattre un éventuel incendie.

2.6

Pendant 2 périodes de 20 ans une municipalité voit sa population augmenter de 30000 à 172000 puis de 172000 à 292000 hab. Trouver la population de saturation et l'équation de la courbe logistique.

2.7

Énumérer les facteurs influençant la consommation d'eau, commenter.

Les formules suivantes peuvent aussi être utilisées: D = 0,01319 Qi

150 Qi 190

D = 0,01583 Qi

190 Qi 568

D = 0,01319 Qi

568 Qi 645

où D est la durée en heure et Qi le débit d'incendie en L/s

28

29


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Chapitre 3 – Les ressources en eau disponibles

3.1 Introduction On recherche toujours la meilleure qualité disponible et ce, en fonction du coût de revient, par exemple : si l'acheminement d'une eau éloignée de très bonne qualité coûte plus cher que le traitement d'une eau de moins bonne qualité à proximité, on choisit cette dernière solution. Les qualités essentielles d'une eau de consommation sont celles d'une eau: -

Salubre : c'est-à-dire saine et qui contribue à la santé.

-

Potable : soit propre à être bue, fraîche, incolore, inodore, aérée, légèrement minéralisée et exempte de matières organiques.

Au Canada, les normes et objectifs de l'eau potable sont édictées par le Ministère de la Santé et du Bien-être. 3.1.1 Fiabilité des sources d'approvisionnement par ordre décroissant: En fonction de la stabilité de la source d'approvisionnement et de la fiabilité du système de captage, on peut classer les sources d'approvisionnement : -

Gravité souterrain, permanent, sure

-

Gravité, réservoir

-

Pompage, permanent, sure (fleuve)

-

Pompage, réservoir

-

Pompage, nappe

Fig. 3.1 - Nappe libre entre deux vallées Les nappes libres ont les caractéristiques suivantes : -

Circulation en terrain perméable

-

Sans contrainte volumique

-

Liberté de forme

Par exemple l'alimentation à partir de la surface par forage d'un puits sans traverser des couches de sol imperméable et donc le niveau d'eau dans le puits se stabilise au même niveau que la surface libre. Les nappes captives sont, selon la configuration de la perméabilité du sol, caractérisé par la présence d'une couche de sol perméable entre deux couches imperméables. L'eau emprisonnée dans la couche perméable est en général sous pression. et peut jaillir si l'on pratique un forage. C'est le cas du puits artésien.

K=0 K=0

3.2 Les eaux souterraines Fig. 3.2 - Puits artésien 3.2.1 Types de nappes Les surfaces libres de la table d'eau définissent des nappes libres.

Il existe aussi des cas particuliers. À proximité de la mer, il faut tenir compte de l'interface eau douce - eau salée dans le milieu perméable.

31


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3.2.2 Notions d'écoulement en milieu poreux Expérience de Darcy Île N Eau douce h

Mer

Q

H

Mer

h

Eau salée N~ ~ h/30

A

Fig 3.3 - Nappe sur une île en milieu marin Q

Fig. 3.4 – Schéma de l’expérience de Darcy Pour un débit constant sur longueur l, on observe une certaine perte de charge h, si on fait varier ce débit, à chaque nouveau débit constant on constate une perte de charge est proportionnelle au débit. On définit alors le gradient hydraulique qui représente le taux de perte de charge par unité de longueur : i=

h l

(3.1)

et la vitesse de filtration: v=

32

Q A

(3.2)

33


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© Jean-Loup Robert

Voici quelques exemples de valeurs de la porosité associée à celles du coefficient de perméabilité :

v

i Fig. 3.5 - Variation du gradient hydraulique en fonction de la vitesse de filtration. L'expérience de Darcy montre que la vitesse de filtration est directement proportionnelle au gradient hydraulique, d'où: v = Ki

(3.3)

Sol

Porosité

Perméabilité (m/s)

Sable grossier

27%

3 x 10-3

Sable moyen

32%

5 x 10-4

Sable fin

34%

1 x 10-4

Silt

40%

2 x 10-6

Argile

50%

10-8

3.2.3 Application de la loi de Darcy Calcul de la ligne piézométrique Considérons le schéma de la figure 3.6, où la position de la ligne piézométrique est définit par y. y

ou encore : Q = Ki A

ds

(3.4)

dy

avec le coefficient de proportionnalité K qui définit le coefficient de perméabilité [L/T] dx

Définitions utiles. -

H

Porosité totale h

rapport du volume des vides par rapport au volume total -

Rétention spécifique

x

R

volume d'eau retenue par le sol; il est fonction du terrain, de la capillarité et de l'absorption, elle est forte pour l’argile et faible pour les sables, graviers et calcaires -

Porosité efficace

Il est nécessaire de faire des hypothèses avant d'appliquer la loi de Darcy:

c'est la porosité totale moins la rétention spécifique. -

Fig.3.6 - Ligne piézométrique entre deux bassins

Coefficient d'emmagasinement on le définit comme le rapport du volume pouvant être extrait d'un sol poreux sur volume total de ce dernier.

34

-

La loi de Darcy est applicable.

-

Le gradient i est faible, ds dx

-

La vitesse verticale est négligeable (conséquence de 2)

-

Le profil vertical de vitesse est uniforme, la vitesse horizontale est constante selon la direction verticale. 35


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Le gradient hydraulique s'écrit alors :

x=

dy dy i= ds dx

(3.5)

R( y 2 h2 ) H 2 h2

(3.10)

ou encore :

en régime permanent, le débit unitaire s'exprime: dy q=K y dx

© Jean-Loup Robert

y=

(

)

x 2 2 2 H h +h R

(3.11)

(3.6) Puits en nappe libre

d'où, par séparation de variable: Q

q dx = K y dy

R

(3.7) r

en intégrant, on obtient: q x = K y2 + C

h

(3.8)

Ce qui est une forme parabolique en y. De plus, en introduisant les conditions aux limites :

H

y = h à x = 0 et y = H à x = R

h

on obtient la relation suivante : q=

(

K H 2 h2

)

(3.9)

2R

Cette relation nous permet, par exemple, d'évaluer le débit d'une galerie filtrante, parallèle à une rivière.

Fig. 3.8 - Puits en nappe libre. À partir d'un pompage Q en régime permanent dans une nappe libre de hauteur H, nous observons un rabattement h, stabilisé à long terme (fig. 3.8). L'affaissement de la nappe est appelé cône d'affaissement et l’on définit par débit spécifique le rapport Q/h et par rabattement spécifique, le rapport h/Q. Selon la loi de Darcy : Q = (K i ) A

(3.12)

où A est l'aire d'alimentation à une position x, équivalente à l'aire d'un cylindre circulaire de rayon x et de hauteur y. Donc cette surface s'évalue par : A=2xy

(3.13)

Fig 3.7 - Galerie filtrante la long d'une rivière. L'équation de la ligne piézométrique peut alors s'écrire en fonction des seuls paramètres géométriques h, H et R. En remplaçant q par l'expression précédente et en utilisant les conditions aux limites, on obtient :

avec les mêmes hypothèses que précédemment, quant à l'applicabilité de la loi de Darcy:: Q = 2 K x y

dy dx

(3.14)

en séparant les variables et en intégrant : 36

37


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Q H dx = h 2 K y dy r x


© Jean-Loup Robert

R

R

Q ln( x) r = 2 K

y2 2

Conditions d'exploitation d'un puits

H

(3.15) h

Le débit de pompage ne peut être forcé au-delà d'une limite où il crée un écoulement tellement intense près du puits lui-même que les grains du sol les plus petits se déplacent vers les vides et ainsi diminuent la perméabilité du sol à cet endroit. Il s'agit d'un colmatage irréversible. Sichardt a établi la limite de la vitesse de filtration comme étant une vitesse critique à ne pas dépasser :

d'où, finalement : Q=

(

K H 2 h2

( r)

Vc =

)

[ ]

K ms 15

(3.19)

(3.16)

ln R

Le débit critique se calcule en fonction du rayon du puits :

Le rayon R n'a pas de limite théoriquement définie en raison de la forme asymptotique du cône. En régime permanent toutefois, le rayon d'influence R est considéré comme l'endroit où l'affaissement ou rabattement est négligeable. Le fait de ne pas connaître avec précision cette limite n'a pas une influence forte sur la valeur du débit. En effet, le rapport R/r est peu sensible puisqu'il agit par son logarithme En pratique on évalue le rayon d'influence par la formule de Sichardt: R = 3000 ( H h ) K

(3.17)

Qc =

2 r hc K m3 s 15

[

]

(3.20)

K étant en m/s et r et h en m. Le débit critique peut être augmenté par l'augmentation proportionnelle du rayon du puits. Si on porte en graphique la formule de Dupuit en mettant en relation le débit et le rabattement, et la condition de Sichardt, on visualise la zone d'exploitation. Q Formule de Dupuit

En logarithmes décimaux la formule du puits s'exprime par: Q=

(

K H 2 h2

)

Condition de Sichardt

( r)

(3.18)

2,303log 1 0 R

Qc

c'est la forme originale de la formule du puits de Dupuit. Zone d'exploitation

Discussion de la formule de Dupuit -

L'augmentation du diamètre du puits augmente la capacité en débit du puits. Cependant l’évaluation de cette augmentation ne peut se faire sans tenir compte de l’évolution de la hauteur piézométrique dans le puits ni du rayon d’influence.

-

Le débit est directement proportionnel à la perméabilité.

-

L'épaisseur H de la nappe augmente la capacité de pompage du puits.

38

hc

H

h

Fig. 3.9 - Zone d'exploitation d'un puits. En pratique, en prenant des précautions, on peut augmenter la perméabilité autour du puits en dépassant Qc pour une courte période de temps. De par la nature des sols à granulométrie variée (fig. 3.10), on peut essayer d'entraîner les particules fines; il s'agit d'un pompage de formation.

39


© Jean-Loup Robert


© Jean-Loup Robert

R

Q ln(x ) r = 2 K e y

H

(3.24)

h

d'où, finalement: Q=

2 K e( H h )

(3.25)

Donc Q est directement proportionnel au rabattement (H - h). Dans la pratique cette formule est limitée aux cas où:

Fig. 3.10 - Sol à granulométrie variée Puits artésien ou en nappe captive y

( r)

ln R

Hh<

R r

H e 4

(3.26)

Les conditions de vitesse et de débit critiques et ce qui en découle restent les mêmes que pour le cas des nappes libres.

Ligne piézométrique

Évaluation des paramètres important d'une nappe aquifère H

K=0

On définit la transmissivité d'une nappe par les produits : h

= K e, pour une nappe captive e

= K H, pour une nappe libre [L2/T] x

C'est une mesure de diffusibilité de l'eau dans le sol. Si le rabattement (H - h) est faible la formule suivante s'applique en nappe libre dans toute la zone du cône de rabattement :

Fig 3.11 - Puits en nappe captive Q = 2,73

De même que précédemment pour les nappes libres, selon la loi de Darcy : Q = (K i ) A

(3.21)

Où A est l'aire d'alimentation à une position x, équivalente à l'aire d'un cylindre circulaire de rayon x et de hauteur e, l'épaisseur de l'horizon poreux. Donc cette surface s'évalue par : A=2xe

Hy log1 0 R x

( )

(3.27)

en portant sur papier semi-logarithmique des mesures piézométriques H - y prises à des positions x du centre du puits, on obtient le graphique de la figure 3.12.

(3.22)

avec les mêmes hypothèses que précédemment, quant à l'applicabilité de la loi de Darcy : Q = 2 K x e

dy dx

(3.23)

en séparant les variables Q H dx = h 2 K e dy r x R

40

41


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(H - y)

Des formules de puits, on tire : Mesures piézométriques

- en nappe libre: x log10 2 x1 K = 0,733Q y22 y12

(

H

(3.31)

)

- en nappe captive :

10

0

10

1

10

2

x log10 2 x1 K = 0,366 Q e ( y2 y1 )

x

Fig. 3.12 - Détermination du rayon d'influence, de la perméabilité et de la transmissivité à partir

(3.32)

de mesures piézométriques. y

De la relation précédente, on tire :

=

( )

Q log 1 0 R

x 2,73( H y )

(3.28) y

dans un cycle logarithmique 10 - 100, log10(R/x )= 1 et la différence de hauteur piézométrique H est mesurée à partir des valeurs correspondant respectivement à x =10 et x = 100, donc la transmissivité s'écrit :

=

Q 2,73H

y 2

3

H

y1

(3.29) x2

x1

x3

x

la perméabilité devient donc: Fig. 3.13 – Positions et hauteurs piézométriques

K= H

(3.30)

et le rayon d'influence R est lu sur le graphique à l'endroit où la droite logarithmique intercepte l'abscisse. Il est aussi possible de déterminer le coefficient K sur le terrain, à partir de deux mesures piézométriques y1 et y2 prise en s'éloignant du puits à des positions x1 et x2 (fig. 3.14).

42

Cas où la ligne piézométrique n'est pas horizontale Il faut alors procéder à une analyse par réseau d'écoulement. Les techniques numériques modernes nous permettent d'établir un réseau d'écoulement dans des configurations géométriques fort complexes. La figure 3.14 représente les résultats d'un tel calcul. L'interprétation des résultats permet de déterminer les rabattements, à partir des équipotentielles et le débit selon les lignes de courant.

43


© Jean-Loup Robert


© Jean-Loup Robert

• Les gouffres et les crevasses sont des lieux propices aux points de contact entre les eaux souterraines et les eaux de surface. Ligne de charge

• Eaux usées (méthodes d'épuration, fosses septiques, établissements industriels)

Ligne de courant

• Exploitations agricoles et forestières (pesticides, purins) • Dépôts de déchets Parmi les observations à effectuer, on compte tout d'abord les observations préliminaires de mode d'émergence, de température et les analyses d'échantillons. À plus long terme, on peut, dans le cas d'une source, mesurer le débit avec un déversoir à crête et procéder à des mesures de résistivité et de température. Ces dernières mesures sont utiles pour déterminer la présence de points de contact avec l'eau de surface. En effet, les variations de température reflètent un court séjour en milieu poreux et, les eaux de surface étant peu minéralisées, une augmentation de la résistivité permet de découvrir leur présence. Des observations en périodes sèches et humides permettent de quantifier les cas extrêmes.

Direction générale de l'écoulement Puits

Fig. 3.14 - Modèle numérique d'écoulement d'un puits dans une nappe libre en mouvement.

L'étude du périmètre d'alimentation devra se faire en connaissant le patron d'écoulement, incluant d'autres sources ou captages. Les traceurs sont fort utiles dans ce cas. On emploie généralement des colorants, come la fluorescéine. On utilise aussi des traceurs radioactifs dont on connaît la demi-vie ; en voici quelques exemples :

3.2.4 Étapes de l'étude d'une source souterraine Deux principaux aspects sont à considérer : la qualité de l'eau souterraine et sa quantité disponible. Il est nécessaire dans ce cas de veiller à ce que la qualité naturelle de l'eau soit conservée. On devra donc détecter à tout prix, la présence de tout contaminant éventuel, en vérifiant l'origine des eaux et en prévoyant des mesures de protection. Avant tout captage, on procédera à des études sur cartes, sur le terrain et à des observations de longue durée. Nous donnerons ici un résumé de ces principales études dans les cas d'une nappe captive et d'une nappe libre.

Élément

Demi-vie

Br32

36 h

I131

8d

Cr51

27,8 d

Tritium

12,26 ans

Cas d'une nappe libre ou gisement Cas d'une nappe captive À partir de cartes topographiques et géologiques, on procédera à l'analyse des points suivants : -

Détermination de l'aire de recharge en fonction de l'altitude du point d'émergence et des informations sur la nature géologique du sous-sol.

On détermine d'abord, sur cartes, la puissance ou l'étendue de la nappe de façon à déterminer les emplacements possibles d'ouvrages de captage. Sur cartes topographiques et géologiques, on relèvera les informations suivantes: -

Le contour de l'horizon géologique qui renferme la nappe.

-

Repérage des points de contact du milieu poreux avec la surface.

-

Le réseau hydrographique, sa densité augmente avec le ruissellement.

-

Détermination du sens de l'écoulement avec l'examen des coupes géologiques.

-

Le périmètre d'alimentation.

Sur le terrain, on recherchera principalement les causes éventuelles de contamination :

-

Les fissurations et le pendage des couches.

44

45


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Sur le terrain, on construit des puits de reconnaissance en mesurant les débits, les rabattements et la qualité de l’eau. Si les informations sur cartes sont insuffisantes, on effectue des forages pour déterminer l'épaisseur des couches et la granulométrie. On procède aussi à l'installation de piézomètres. Avant tout captage, il est important de relever les niveaux piézométriques dans les puits, piézomètres et ouvrages existants. On effectue alors un essai de pompage de huit à dix jours (un mois pour les nappes étendues) de façon à déterminer les perméabilités en place, les transmissivités et le rayon d'influence. Si le nombre de stations de mesures le permet, on trace les lignes iso-piézométriques dont les lignes de faîtes déterminent le contour d'alimentation à l’intérieur duquel on applique la valeur de la précipitation moyenne annuelle en tenant compte du coefficient d'infiltration pour évaluer la capacité de recharge. Les zones de transmissivité maximale sont propices à l'implantation d'un puits. On ne doit pas oublier de vérifier dans le périmètre d'alimentation la présence de sources réelles ou potentielles de contaminations.


3.2.5 Ouvrages de captage Sources (pas de pompage) : -

Galerie à flanc de coteau, la longueur est déterminée par le débit à fournir.

-

Aménagement d'un pavillon sur une source émergente.

Nappes (pompage) : -

Construction de puits.

Les courbes de comportement du puits nous nous permettent d’évaluer son débit d'exploitation et son efficacité. On trace en général les courbes débit - rabattement (fig. 3.15) ou de remontée (fig. 3.16). Le débit maximum d'exploitation est défini, après un pompage de formation pour remonter les particules libres, comme étant la limite de la proportionnalité linéaire entre le débit Q et l'affaissement . Q [m 3 /h]

Sur le plan des observations longue durée, il est difficile de les réaliser en raison de l'instrumentation immobilisée à long terme. On essayera tout de même de prendre des mesures en périodes sèche et humide. Les observations météorologiques connues sur des périodes étendues pourront être corrélées avec les mesures de l'étude sur le terrain.

Prospection électrique Mesure de la résistivité, fonction de la quantité d'eau et de la minéralisation pour un type de sol.

-

200

4

très bon

6 8

moyen

10

Fig. 3.15 - Courbes Q-

Sismique – réfraction Étude de la propagation d’onde mécanique (chocs) dans le sols. La nature des sols étant reliés à leur indice de réfraction, les changements de direction de l’onde permettent de se renseigner sur la nature des couches souterraines.

-

300

Modèles numériques Les modèles numériques permettent d’intégrer toutes les données morphologiques connues et d’y associer les règles de base de l’écoulement (loi de Darcy, équation de transport) et de simuler le comportement d’un prélèvement ou d’une source de contamination.

46

400

limites d'exploitation = H - h [m]

Géophysique : Étude morphologique du substratum.

-

100

2

Autres méthodes d'études -

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Temps [h] 4

8

12

16

20

24

28

= H - h [m]

2 4 6


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En résumé, les eaux de surface sont plus exposé à la dégradation naturelle et à la pollution liée aux activités humaines. Pour cette raison, il sera généralement nécessaire de prévoir un traitement sous forme de filtration et de désinfection. 3.3.2 Quantité

bon

La quantité disponible est variable ou constante selon le cycle hydrologique en fonction du débit que l'on veut prélever. L'étude des quantités disponibles doit se faire en tenant compte des paramètres suivants:

moyen

8

• Météorologie

10

• Hydrologie

12

• Géologie Fig 3.16 - Courbes de remontée.

Le vieillissement est un phénomène de colmatage qui survient tôt ou tard dans tout ouvrage en raison de la migration de grains fins. On peut cependant raisonnablement espérer une vie utile de plusieurs dizaines d'années. On veillera absolument à ne pas dépasser les possibilités de recharge de la nappe. Enfin un pompage régulier sera, en général, préférable à des variations brutales de la demande en débit.

• Topographie • Exploitation humaine des ressources Contrairement au cas des eaux souterraines, le domaine d'étude est clairement défini ; c'est le bassin versant: Il est déterminé par la topographie des lieux, les pentes déterminent le volume d'emmagasinement du bassin et en combinaison avec le régime du débit, la formation du réseau hydrographique. Les faibles pentes favorisent la rétention des eaux de surface. En fonction de la nature des sols, l'infiltration joue un rôle important.

3.3 Les eaux de surface 3.3.1 Qualité

En fonction de la nature de l'écoulement, la quantité d'eau disponible sera: Règle générale, la qualité de l’eau de surface est moindre que celle des eaux souterraines. En effet, elles sont soumises à la possibilité d’une dégradation naturelle causée par : • Le transport solide • Les minéraux dissous, bien que l’eau soit moins dure que les eaux souterraines • La matière organique naturelle En rivière, la qualité est en général meilleure à l'amont qu'à l'aval. À l'amont, l'eau peut être plus turbide ce qui est facile à contrôler en raison de l'origine minérale de cette turbidité. Par contre, surtout en région montagneuse, elle est plus pure et froide. En aval, le contact avec des zones habitées et exploitées favorise les risques de pollution. En lac ou réservoir, la turbidité est faible car la décantation y est favorisée. Par contre la possibilité de stratification thermique, chimique et biologique rend la qualité variable sur un cycle annuel.

48

-

En régime non régularisé: le débit disponible sans pénurie, sera le plus bas débit d'étiage.

-

En régime régularisé: naturellement (lac) ou par des ouvrages de rétention, le débit disponible sera de 75% à 90% du module.

Si on envisage la construction d'un réservoir de rétention, on doit considérer son volume de telle sorte que l'on puisse y puiser la demande durant les périodes où le régime naturel est inférieur à la demande. On doit de plus prendre en considération les pertes de capacité par évaporation, fuites ou sédimentation. Le calcul du réservoir se base sur les connaissances accumulées du régime hydrologique du bassin. L'étude statistique des extrêmes permettent de déterminer les probabilités d'occurrence de pénurie en fonction du volume du réservoir. On utilise fréquemment la courbe de masse pour déterminer le volume du réservoir.(Fig. 3.17)

49

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Débit cumulé m 3

demande

volume du réservoir


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-

Le chauffage électrique des parties submergées.

-

L’injection d’eau plus chaude provenant de l’eau souterraine par exemple.

-

La formation de rideaux de bulles d’air

pompe

grille ou tamis


niveau maximun nivieau minimum 1 m min. prise d'eau

conduite

réservoir d'eau brute

71

72

73

74

75

Fig. 3.17 - Courbe de masse 3.3.3 Captage des eaux de surfaces Le captage des eaux de surface comporte les inconvénients et les avantages suivants :

Température variable

-

Composition chimique variable

-

Contamination et pollution

-

Vulnérabilité aux sécheresses

Possibilité de rétention, sûreté de débit

-

Facilité de captage

En lac et en réservoir, la prise d'eau doit tenir compte des possibilités de stratification causée par la variation de la densité de l'en fonction de la température.(Fig. 3.19).

0

b) Avantages : -

Fig 3.18 – Prise d’eau en rivière

a) Inconvénients : -

1,2 m min

t (ans)

4

T (°C)

Fig. 3.19 - Variation de la densité de l'eau en fonction de la température.

En cours d'eau, on situe les prises d'eau de façon à assurer la stabilité de la qualité et des rejets de matières polluantes. En zone estuarienne, on doit se préoccuper des inversions de courant.

En hiver, la température de l'eau atteint en surface, le point de congélation, en saisons intermédiaires, le vent favorise le brassage et en été il forme en surface une couche chaude (Fig. 3.20) Les couches chaudes et froides restent en surface en raison de leur plus faible densité. Cette stratification a une incidence sur la composition de l'eau. En surface, l'eau est éclairée et la flore consomme du CO2 pour produire de l'O2, cependant, la faune, en profondeur, s'alimente en O2 pour rejeter du CO2, il en résulte une stratification de la composition.

En régime hivernal, il faut se préoccuper du frasil. Puisque le frasil a tendance à se générer dans les zones turbulentes de l’écoulement, on préférera placer la prise d’eau loin de ces zones. Malgré tout, le risque d’ingestion de frasil persiste et les dangers de colmatage des grilles est bien réel. Il faut prévoir des dispositifs de déglaçage. Les plus courants sont :

Le brassage des eaux peut faire apparaître des eaux de qualités différentes. On a alors recours à des prises d'eau à plusieurs niveaux.

50

51


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Mentionnons aussi le danger d'eutrophisation ou appauvrissement en oxygène du réservoir ou du lac par surconsommation par la matière organique en provenance des égouts. T °C

0

4

T °C

hiver

0

4

T °C

profondeur

profondeur

4

profondeur

0


-

La distillation

-

L'électrolyse

-

Les résines échangeuses d'ions

-

Les membranes osmotiques.

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Les pays du Golfe persique, notamment l'Arabie Saoudite, utilisent ces techniques, faute de sources d'eau douce suffisantes. Quelques expériences ont aussi été réalisées dans le domaine du transport d'icebergs.

Printemps- automne

été

Fig. 3.20 - Profils verticaux de température en lac, selon les saisons.

pompe

grille ou tamis

Afin de pouvoir capter une eau de qualité adéquate en fonction de la saison, on aménage des ouvertures à différentes élévations que l’on peut ouvrir ou fermer selon les besoins.

niveau maximun nivieau minimum 1 m min.

conduite

prise d'eau

réservoir d'eau brute

Fig. 3.21 – Prise d’eau en lac ou en réservoir La conduite qui relie le réservoir d’eau brute à la prise doit avoir un diamètre qui autorise une vitesse d’écoulement en opération de 0,9 à 1,2 m/s sans tomber en deçà de 0,6 m/s ni dépasser 1,9 m/s.

3.4 Autres ressources Mentionnons les processus de dessalement de l'eau de mer. Les différentes techniques, consommant de fortes quantités d'énergie, sont

52

53


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perméabilité du sol et vérifier si la vitesse critique à la surface d'alimentation du puits n'est pas 5 dépassée.( K =4 10 m/s, V< Vc)

Exercices 3.1

Classifier les sources d'approvisionnement par ordre de fiabilité, expliquer.

3.2

De quels facteurs dépend la quantité d'eau disponible à une source d'approvisionnement de surface ?

3.3

Dans tous les cas d'approvisionnement à une source souterraine, quel est le facteur le plus important à considérer ?

3.4

Déterminer le débit d'un puits en nappe captive compte tenu des informations suivantes: - Différence de hauteurs piézométriques de 2,5 m entre deux piézomètres situés respectivement à 10 et 30 m du centre du puits. - Épaisseur de la nappe de 30 m. - Coefficient de perméabilité de 0,01 m/s.

3.5

Déterminer le coefficient de perméabilité dans une nappe captive si les lectures à partir du niveau statique dans deux piézomètres situés respectivement à 20 et 150 m du puits sont, dans l'ordre 3,3 et 0,3 m. L'épaisseur de la nappe est de 30 m. et le débit est de 0,2 m3/s.

3.6

Faire un calcul approximatif du débit d'un puits en nappe libre sachant que son rabattement est de 5,5 m, son rayon de 30 cm et que la position initiale de la nappe avant pompage était de 12 m au-dessus du roc. Le milieu poreux considéré a un coefficient de 2x10-4 m/s.

3.7

Un puits de 1 m de diamètre a été foré pour capter une nappe libre, le roc se situe à 50 m sous la surface piézométrique.

3.12 Une municipalité compte 15 000 habitants en 1988, sa population tend à plafonner et on estime que, en raison de la dimension de son territoire, il est possible d'atteindre 22 000 habitants. Sachant que 20 ans auparavant, sa population atteignait 8000 habitants et que sa consommation globale unitaire est stable à 375 l/hab.d, on se demande si l'installation d'alimentation en eau potable sera toujours suffisante. La ressource en eau est située en nappe libre et elle est captée au moyen d'un puits de 50 cm de rayon. La charge piézométrique disponible est de 30 mètres et le coefficient de perméabilité est de 0,0003 m/s. On demande : a) la production d'eau potable annuelle totale actuelle,(Vol = 2 053 125 m3) b) sachant que le rayon d'influence est de 500 m pour le débit actuel, de calculer le rabattement, (H-h = 9,44 m) c) d'évaluer la vitesse de filtration à proximité du puits, (V= 0,001 m/s)

a) Des piézomètres situés respectivement à 10 et 30 m du puits indiquent des rabattements de 1,25 et 0,75 m pour un pompage à 10 l/s, déterminer le coefficient de perméabilité. (K = 0,00007 m/s) b) Quel pourrait-être le débit maximun de ce puits? (Q = 0,052m3/s) 3.8

Expliquer ce que peuvent nous apprendre la courbe de remontée et la courbe de puits en ce qui concerne l'exploitation d'un puits.

3.9

Expliquer les facteurs à considérer lors de l'implantation d'une prise d'eau en lac ou en réservoir. Dire quelle solution peut être envisagée pour son opération.(voir notes de cours)

3.10 Expliquer de quoi dépend l'évaluation de la quantité d'eau disponible dans le cas d'une source d'approvisionnement en eau de surface. Quels débits devrait-on considérer en fonction de la régularisation du cours d'eau pour assurer une alimentation fiable? (voir notes de cours) 3.11 Un puits de 50 cm de diamètre est foré dans une nappe captive, l'épaisseur de l'horizon poreux est de 20 m. Lors d'un pompage d'essai à 0,6 l/s, on observe des rabattements de 2,25 m dans le puits et de 1,75 m dans un piézomètre situé à 15 m du puits. Estimer le coefficient de

54

55


Chapitre 4 - Adduction des eaux

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• Contamination lors du transport Canaux à surface libre

4.1 Introduction On définit par adduction des eaux le transport des eaux brutes (non traitées) des zones de captage aux zones d'utilisation. Cette définition n'est pas absolue car les systèmes d'adduction peuvent parfois transporter de l'eau traitée comme c'est le cas pour la ville de Québec. Toutefois, dans la plupart des cas, lorsque les distances à parcourir sont assez longues, on se limite à transporter de l'eau brute. L'exemple de système d'adduction de grande envergure reste certainement celui de l'état de Californie. En effet, dans cette région 70 % des ressources en eau sont situées au nord alors que plus de 77 % de la consommation se trouve au sud. Ce vaste complexe comprend les éléments suivants : • 1 065 Km d'aqueducs • 16 réservoirs • 5 milliards de KWh de production • 1 barrage de 213 m de hauteur de chute • Un système d'élévation de 610 m pour le passage d'un col. • 105 Km de canaux à ciel ouvert. • De nombreux tunnels.

4.2 Types d'aqueducs Les aqueducs peuvent être des conduites en charge, des canaux ouverts et des tunnels ou galeries. Le choix entre ces diverses solutions est essentiellement économique, il s'agit de déterminer la configuration la plus rentable eu égard aux éléments suivants : • Topographie • Charge hydraulique disponible • Méthodes de construction

C'est une méthode de transport à pression atmosphérique, le gradient hydraulique est égal à la pente de la surface libre. Son choix est déterminé par : • Une topographie permettant un écoulement gravitaire avec excavation et remblayage minimum. • Une hauteur de chute hydraulique suffisamment faible pour permettre de garder l'écoulement en régime fluvial. Ces installations doivent être étanches pour éviter la contamination et les fuites. On construit donc en béton ou en bitume en utilisant des écrans d'étanchéité en butyle, en vinyle ou en toiles synthétiques. Ceci offre l'avantage de la résistance à l'écoulement. Certains canaux, posés sur le sol ou surélevés, sont construits en bois, béton ou acier. Conduites Elles servent à transporter l'eau sous pression. On les utilise généralement lorsque la topographie ne permet pas de faire des canaux et que les hauteurs de chutes sont élevées. Construites en béton précontraint, en acier, en fonte ou en fibrociment d'amiante, elles sont soit enterrées soit posées sur le sol. Un aqueduc constitué en tout ou en partie nécessite l'utilisation d'un grand nombre d'équipements annexes : • Vannes de cantonnement • Clapets non - retour • Soupapes de purge (points hauts) • Drains de vidange (points bas) • Équipements contre les coups de bélier • Joints d'expansion • Joints d'étanchéité • Trappes de visite • Stations de pompage

• Coût initial et d'exploitation

Tunnels

• Qualité de base de l'eau

Ils permettent la traversée de montages et de cours d'eau, ils peuvent fonctionner à surface libre ou en charge. Leur faisabilité est liée à la qualité du roc.

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4.3 Considérations hydrauliques Fonte (20 ans)

100

Comme il s'agit de transport d'eau claire, les relations courantes d'écoulement en charge ou à surface libre sont donc utilisées.

Béton

130

4.3.1 Écoulement en charge

Acier neuf

120

Ciment d'amiante

140

Chlorure de polyvinyle

150

Formule de Hazen-Williams Surtout utilisée en Amérique du Nord, cette formule s'écrit :

Formule de Darcy-Weisbach V = 1,318 C R

0,63 0,54

S

(4.1)

avec : V: C: R: S:

Vitesse en pied/s Coefficient d'écoulement (sans dimension) Rayon hydraulique en pied = h/L, pente de la ligne d'énergie, rapport de la perte de charge h sur la longueur L

La version en système international s'écrit : V = 0,8492 C R

La perte de charge et l'écoulement peuvent aussi se calculer de façon plus précise avec la formule de Darcy - Weisbach dans laquelle, contrairement à la formule précédente, le coefficient de frottement varie en fonction du régime hydraulique caractérisé par le nombre de Reynolds :

S

(4.2) h=

avec V en m/s et R en m. Dans le cas d'une conduite circulaire, on obtient une formule de débit : 2,63

Q = 0,2785 C D

2,63

( h L)

0,54

( L) h

(4.5)

ou encore, pour les conduites circulaires :

0,63 0,54

Q = 0,4322 C D

f L V2 D 2g

h=

[S.A.]

(4.3)

[S.I.]

(4.4)

8f L 2 Q 2 g D5

avec g, la gravité et f, le facteur de frottement. Cette formule est homogène sur le plan des unités, le facteur f peut être déterminé sur le diagramme de Moody ou encore par la formule de Colebrook : D 2,51 = 0,86 ln + f 3,7 Re f

1

0,54

avec D, le diamètre de la conduite respectivement en pieds ou en mètres. Le tableau 4.1 présente un programme sur calculatrice HP 11C pour évaluer n'importe quel des quatre paramètres Q, D, h et L à partir de trois autres connus. Le coefficient d'écoulement d'Hazen-Williams est directement proportionnel au débit et dépend de la rugosité de la conduite, qui peut varier avec l'âge de cette dernière, en voici quelques exemples types :

(4.6)

(4.7)

avec , la rugosité absolue et le nombre de Reynolds : Re =

VD

où est la viscosité cinématique du fluide, pour l'eau à 20 °C, = 1,01 10-6. Les pertes de charge locales sont généralement faibles dans les systèmes de transport, on ne les considère que si elles sont significatives.

Matériau

C

Fonte neuve

130

Fonte (5 ans)

120 58

59


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Pertes de charges locales

a) Conduite de diamètre variable entre deux réservoirs.

Lorsqu’elles sont significatives, on doit prendre en compte les pertes de charge locales. C’est particulièrement le cas pour les singularités comme les robinets-vannes dont la perte sert à ajuster le débit tout en préservant une pression résiduelle.

V2 2g

La perte de charge singulière s’écrit : h = Cl

ligne

2

V 2g

(4.8)

P

ligne

piéz omé

ergie

V2 2g

triqu

ou encore, pour les conduites circulaires : h=

H

d'én

8Cl Q2 2g D 4

e

P

(4.9) A

où C l est un coefficient déterminé expérimentalement qui dépend de la géométrie de la singularité comme, par exemple, la forme de l’ouverture d’une vanne.

z

B z

Diagramme d’énergie Rappelons que dans tout système en charge, l’équation de Bernoulli s’applique entre deux points A et B : PA V2 P V2 + z A + A = B + zB + B + H 2g 2g

(4.10)

Dans cette configuration, on peut évaluer le débit qui passe d’un réservoir à l’autre en utilisant l’équation de Bernoulli (eq.4.10). Sachant que la charge dans le réservoir du côté A est : HA =

où : P: z: V: : g: H :

Pression Élévation Vitesse Poids volumique Accélération gravitationnelle Perte de charge entre A et B

PA V2 + zA + A 2g

et que, pareillement pour le côté B : HB =

PB V2 + zB + B 2g

on obtient : À partir de ce principe de conservation d’énergie, il est possible de tracer des diagrammes d’énergie pour représenter la répartition de pression, de hauteur piézométrique, d’énergie de vitesse (cinétique) et de perte de charge tout au long d’un circuit hydraulique en charge.

H A HB = H La perte de charge totale est composée la perte par frottement dans la première conduite de longueur L1 et diamètre D1, la perte par frottement dans la deuxième conduite de longueur L2 et diamètre D2 et la perte singulière dans le rétrécissement :

Illustrons cet aspect par quelques exemples :

H =

60

8 f L1 f L2 C + + l 4 Q2 5 2 g D15 D2 D2

61


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d’où : g ( H A HB ) fL f L2 C 8 51 + + l4 5 D2 D2 D1

Q =

ligne d

'énerg

V2

ie H

2g

b) Conduite entre deux réservoirs avec vanne de réglage du débit. P

V2

ligne

2g

piézo m

ligne d'énergie

étriqu

e

V2 2g

ligne piézométrique

z

H

P

z V2 2g P

Ici puisque l’écoulement sort en B à la pression atmosphérique, Pb = 0 et Vb est inconnu (comme on n’arrive pas dans un réservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu). On écrit alors : V2 H A zB + B = H 2g

z z

En posant : V2 = Q

En raisonnant de la même façon qu’en b) on trouve : H =

8 f L Cl 2 Q + 2 g D5 D 4

A=

D2

A2

avec, pour une conduite circulaire :

d’où : Q=

2

g ( H A HB ) fL 8 + Cl D

D2 4

Il vient : H A zB =

Dans un robinet – vanne, le coefficient varie de près de zéro à l’infini.

8 f L 2 1+ Q D 2g D 4

finalement :

c) Conduite entre un réservoir et une sortie l’air libre.

62

63


Q=D

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g ( H A zB ) f L 8 1+ D


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Donc pour des conduites en série, la résistance équivalente s'exprime comme la somme des résistances de chaque conduite : j

Re = Ri

(4.14)

i =1

Conduites en série et en parallèle Bien souvent, avant de faire l'analyse d'un réseau, il est nécessaire de le simplifier en regroupant en série ou en parallèle un certain nombre de conduites pour former des conduites équivalentes. Pour les conduites en série: a) La perte de charge totale est égale à la somme des pertes de charge de chaque conduite :

Pour les conduites en parallèle : a) Le débit total est égal à la somme des débits de chaque conduite: QT = Q1 + Q2 + K + Qj b) La perte de charge est la même pour toutes les conduites:

(4.15)

(4.16)

hT = h1 + h2 + K + h j b) Le débit est le même pour toutes les conduites :

(4.11)

hT = h1 = h2 = K = h j c) Le débit est lié au à la perte de charge par une relation du type:

QT = Q1 = Q2 = K = Qj c) La perte de charge est liée au débit par une relation du type :

(4.12)

Q = K hm (4.17) où K est la conductance de la conduite. La conductance est liée à la résistance par la relation :

(4.13)

K=

h = RQ

n

où le coefficient R est la résistance de la conduite. Cette résistance ne dépend que des propriétés de la conduite c’est-à-dire la rugosité, le diamètre et la longueur.

avec m = 1/n. Donc, en introduisant l'expression (4.17) dans (4.15) on obtient: Ke hTm = K1 h1m + K2 h2m + K + K j hjm

Avec la formule de Darcy-Weisbach, on a : R=

1 Rm

d'après (4.16):

8f L et n = 2 2 g D5

Ke hTm = ( K1 + K2 + K + K j ) hTm d'où:

Pour la formule de Hazen-Williams, on a : 1 R= CHW

1,85

L D 4,87

Ke = K1 + K2 + K + K j

et n = 1,85

Donc pour des conduites en parallèle, la conductance équivalente s'exprime comme la somme des conductances de chaque conduite :

est le coefficient d'unités ( = 0,2785 (S.I.), = 0,4322.(S.A.)). Donc, en introduisant l'expression (4.13) dans (4.11) on obtient :

j

Ke = Ki

(4.18)

i=1

Re Q = R1 Q + R2 Q + K + R j Q n T

n 1

n 2

n j

d'après (4.12) : n n Re QT = ( R1 + R2 + K + R j )QT

d'où: Re = R1 + R2 + K+ R j

64

65


© Jean-Loup Robert


© Jean-Loup Robert

où A est la section d'écoulement et le coefficient de frottement compris généralement entre 0,12 et 0,16.

4.3.2 Écoulement à surface libre Formules d’écoulement La formule de Manning est certainement la plus utilisée pour calculer l'écoulement à surface libre en régime permanent uniforme dans les cas où la pente est inférieure à 10% : V=

1 2 3 12 Rh S n

[S.I.]

(4.19)

V=

1,49 23 12 Rh S n

[S.A.]

(4.20)

avec n, le coefficient de frottement de Manning, Rh le rayon hydraulique et S la pente d’énergie qui est parallèle à la pente du fond pour un écoulement uniforme. Le tableau suivant propose quelques valeurs typiques du coefficient de Manning : Matériau

n

Béton

0,013

Brique

0,016

Tôle ondulée

0,022

Béton bitumineux

0,015

CPV

0,009

PEHD

0,012

La notion de hauteur normale est aussi importante car elle permet d’établir les conditions d’écoulement pour un débit donné. En introduisant une formule d’écoulement dans l’expression du débit, on obtient une relation dont seule la hauteur d’écoulement est connue. Avec l’équation de Manning, on a : Q = AV =

2 1 A( yn ) Rh ( yn ) 3 S 2 n

La résolution de cette équation non linéaire nécessite souvent l’utilisation de méthodes numériques. Par ailleurs, dans le but d’optimiser les dimensions de la section d’écoulement du canal, il faut maximiser le rayon hydraulique en considérant que la forme de la section reste constante, donc à minimiser le périmètre mouillé. Il s’agit d’une optimisation sous contrainte que l’on peut effectuer grâce à la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Soit y, la hauteur d’écoulement et b, une largueur de la section d’écoulement. On pose la fonction à optimiser : F = P + avec le périmètre mouillé P = f1 (b, y) et la contrainte = f2 (b, y) A = 0. On écrit le système suivant

F P = + =0 b b b F P = + =0 y y y

La formule de Chézy est aussi fréquemment utilisée : V = Ch Rh S

(4.21)

Le coefficient de Chézy Ch est lié à celui de Manning par la relation : Ch =

4.3.3 Stations de pompage

1 16 Rh n

(4.22)

En Europe, on se sert aussi beaucoup de la formule de Bazin, qui donne le débit, pour un écoulement permanent uniforme à surface libre, par l'expression suivante : Q= A

On élimine du système et on obtient une relation entre b et y qui nous indique la proportion de ces paramètres à respecter pour obtenir la section d’écoulement la plus efficace.

87 Rh S 1+ Rh

Les installations de pompage à plusieurs pompes seront vues au chapitre 7. Pour l’instant, nous considérerons une équation liant le débit à la hauteur d’élévation, c’est la courbe de pompe. Afin de satisfaire approximativement le comportement d’une pompe ou d’un groupe de pompes, nous donnons à cette relation une forme quadratique valide uniquement pour Q > 0. h p = h0 + BQ + CQ2

(4.23)

(4.24)

où : hp : 66

Hauteur d’élévation

67


h0 : B: C:

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Hauteur de coupure Coefficient Coefficient


© Jean-Loup Robert

Exemple Une pompe est utilisée pour pomper l’eau d’un réservoir vers un autre, en faisant l’hypothèse que les niveaux des réservoirs restent constants, établir le point de fonctionnement

Notons que, lorsque cette équation sera couplée à un circuit hydraulique, il faudra considérer Hp comme une perte de charge négative, c’est-à-dire comme un gain de charge.

h2

100.0

90.0

hp

pompe perte de charge

80.0

hs

70.0

gain de charge, h

60.0

h1

2

50.0

40.0

1

30.0

La courbe de pompe est donnée par :

20.0

h p = h0 + BQ + CQ2

10.0

La courbe des pertes de charge est donnée par :

0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

débit, Q

h =h s+ hi (Q) i

Fig. 4.1 – Courbe de pompe typique La courbe des pertes de charge exprime la variation de la perte de charge en fonction du débit. Elle contient la hauteur statique et la somme des pertes de charge qui dépendent du débit : h =h s+ hi (Q)

(4.25)

Hauteur statique Charge totale à relever en fonction du débit Pertes de charge par frottement et locales Débit

Le point de fonctionnement (h,Q) est le point d’intersection qui satisfait simultanément la courbe de pompe et la courbe des pertes de charge.

68

8 f i Li 2 Qi = RiQi2 2 gDi5

Le point de fonctionnement s’établit pour h = hp, d’où : hs + ( R1 + R2 )Q2 = h0 + BQ + CQ2

i

où : hs : h: hi : Q:

avec , en utilisant la formule de Darcy-Weisbach, hi =

en regroupant les termes :

( R + R C)Q 1

2

2

BQ + hs h0 = 0

La solution est donnée par la racine valide de :

69


Q=

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B ± B2 4( R1 + R2 C )( hs h0 )

© Jean-Loup Robert

Tableau 4.1 - Formulaire de Hazen-Williams pour les conduites circulaires

2( R1 + R2 C )

qu’il suffit de porter dans l’une des équations des courbes pour obtenir la hauteur pompée.

Débit:

Q = ßCD2,63 (h/L)0,54

Diamètre :

D = (Q/Cß)0,38 (L/h)0,205

Charge :

h = (Q/Cß)1,85 (L/D4,87)

Longueur :

L = (Cß/Q)1,85 D4,87 h

C = coefficient de Hazen-Williams ß = coefficient d'unités ß = 0,2785 (S.I.) ß = 0,4322.(S.A.) Programme HP-11C Calcul de : Q 001 LBL A

D 015 LBL B

h 027 LBL C

L 041 LBL D

1/Cß 056 LBL 1

h/L 066 LBL 2

Exposants 071 LBL E

002 GSB 1

016 GSB 1

028 GSB 1

042 GSB 1

057 .

067 RCL 3

072 .

003 1/X

017 RCL 0

029 RCL 0

043 RCL 0

058 2

068 RCL 2

073 5

004 GSB 2

018 x

030 x

044 x

059 7

069 ÷

074 4

005 1/X

019 RCL 8

031 RCL 6

045 1/X

060 8

070 RTN

006 RCL 5

020 YX

032 YX

046 RCL 6

061 5

076 1/X

007 YX

021 GSB 2

033 RCL 3

047 YX

062 RCL 4

077 STO 6

008 x

022 RCL.0

034 x

048 RCL 2

063 x

078 2

009 RCL 1

023 YX

035 RCL 1

049 x

064 1/X

079 .

065 RTN

075 STO 5

010 RCL 7

024 x

036 RCL 9

050 RCL 1

011 YX

025 STO 1

037 YX

051 RCL 9

081 3

080.6

012 x

026 RTN

038 ÷

052 YX

082 STO 7

013 STO 0

039 STO 2

053 x

083 1/X

014 RTN

040 RTN

054 STO 3

084 STO 8

055 RTN

085 ÷ 086 STO 9 087 1/X 088 STO.0 089 RTN

N.B. : Le calcul initial des exposants se fait une fois, pour des raisons de précision, en exécutant la fonction E. Les variables Q, D, h, L et C sont gardées dans les registres 0 @ 4. Il suffit de les initialiser avec les valeurs connues pour ensuite appeler les fonctions A @ D pour calculer l'une ou l'autre des variables.

70

71


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Coût

4.5 Dimensionnement économique


Dans le cas des écoulements à surface libre, on cherche à minimiser le frottement pour un matériau donné, en réduisant la surface de contact entre le fluide et le solide, c'est-à-dire en cherchant, pour un débit connu et une pente donnée, le périmètre mouillé. Le choix du matériau dépend des contraintes de coût d'achat et de mise en place. Dans un système en charge, une forte tête d'eau permet d'obtenir une pente de ligne d'énergie forte donc une conduite de diamètre plus petit et, par conséquent, moins chère. Par contre, si on doit élever la charge en construisant un barrage ou une station de pompage, le coût croît. On pourrait avoir donc tendance à réduire l'élévation de la tête d'eau quitte à augmenter le coût de la conduite. En fait, dans la plupart des cas, il existe une combinaison pente/hauteur de chute à coût minimal. L'exemple simplifié suivant permet de comprendre le principe. La figure 4.2 représente un système d'adduction pour lequel il est nécessaire d'élever la charge par pompage en A, à une élévation h, pour ensuite faire couler le débit par gravité de B vers C. dans un tunnel de longueur L. Si h est grand la station de pompage sera chère, mais le coût du tunnel sera réduit étant donné son plus faible diamètre. Inversement, si h est petit, le coût du tunnel sera de plus grand. On porte donc en graphique le coût du pompage pour différentes valeurs de h ou de la pente S = h/L, puis on répète l'opération pour le coût du tunnel ; ce qui est représenté à la figure 4.3. La somme des coûts a un minimum qui fixe la pente donc la hauteur de chute.

Somme de coûts A T Pompage

Tunnel

D

B

T'

C

Pente

Fig. 4.3 - Graphique des coûts d'adduction en fonction de la pente Il est intéressant d'interpréter les tangentes aux courbes de la figure 4.3. Sachant en effet que la pente S = h/L et que L est constant, alors un incrément de pente dS = dh/L entraîne un incrément de coût dC, Le rapport de ces incréments L dC/dS est donc la tangente T' de la courbe CD. T' représente donc le taux variation du coût de pompage en fonction de la hauteur de pompage. Ce taux est croissant car plus la pente augmente plus le coût augmente.

B

La courbe AB quant à elle présente les tendances inverses. h C

A L

En fait, comme la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, nous cherchons l'abscisse pour laquelle cette somme est nulle, c'est-à-dire la pente pour laquelle la tangente à la courbe de la somme des coûts est nulle. Dans l'exemple, les conditions optimales apparaissent lorsque T' = -T.

Fig. 4.2 - Exemple de système d'adduction.

Lorsqu'un aqueduc est formé de différentes conduites en série et que la charge totale est connue, on peut utiliser la méthode graphique des tangentes parallèles pour connaître les diamètres économiques de chaque conduite (Fig. 4.4).

72

73


© Jean-Loup Robert


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Coût

en appliquant la méthode de résolution, on écrit:

C 1

sachant que C2

h 1

h 2

Perte de charge

F C1 = + =0 h1 h1 h1

(4.29)

F C2 = + =0 h2 h2 h2

(4.30)

= 1 et que = 1, il vient: h1 h2 C1 + = 0 h1

(4.31)

C2 + = 0 h2

(4.32)

donc en éliminant on obtient:

Fig. 4.4 - Illustration de la méthode des tangentes parallèles.

C1 C2 = h1 h2

Connaissant la charge totale hT, on trace les courbes de coût en fonction de la perte de charge de chaque conduite. Ensuite on trace des tangentes parallèles aux courbes de telle sorte que la somme des pertes de charge correspondante soit égale à la charge totale. On procède alors par itérations jusqu'à l'obtention d'une solution.

Ce qui est bien la méthode des tangentes parallèles.

En fait cette technique est une application graphique de la méthode des multiplicateurs de Lagrange ce qui permet de trouver l'optimum d'une fonction en respectant une contrainte.

On peut généraliser ces techniques par l'emploi de la méthode d'Euler-Lagrange qui consiste à trouver un point de singularité d'une fonctionnelle de type:

Dans notre cas, la fonction à minimiser est la somme des coûts et la contrainte est donnée par la perte de charge constante.

I=

L

f ( x, y, y ) dx

(4.33)

où :

Les coûts de chaque conduite sont: C1 = f1 (h1 )

(4.24)

C2 = f2 (h2 )

(4.25)

CT = C1 + C2

(4.26)

la contrainte s'exprime par: = h1 + h2 - hT = 0

(4.27)

et la fonction à optimiser: F = CT +

(4.28) 74

I: f: x: y: y' :

coût global du projet fonctions de coût liées aux paramètres hydrauliques distance charge pente

Ce qui peut se résoudre théoriquement par l'équation d'Euler :

f d f =0 y dx y En pratique, on utilise plutôt des méthodes numériques pour monter sur ordinateur, à partir de ces éléments théoriques, des programmes d'optimisation pour lesquels la complexité du système à étudier n'est qu'une question de volume de données.

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Équipements


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Vie utile (an)

Exercices Aqueduc: Barrage et tunnel

50 - 75

Conduite d'adduction

25 - 50

Usine de filtration

20 -.25

Conduite > 300 mm

25 - 30

Conduite < 300 mm

15 - 20

Poste de pompage

15 - 20

Pompe

5 - 10

4.1

Quels équipements retrouve-t-on généralement sur une ligne d'adduction en conduite ?

4.2

On veut déterminer la section la plus efficace (périmètre mouillé minimal) d'un canal rectangulaire sachant que la vitesse d'écoulement ne devra pas dépasser 1 m/s, que la pente est fixée à 0,810-4 et que le coefficient de Manning est de 0,013.

4.3

Quel débit coulera dans un aqueduc constitué de deux conduites en série de 400 et 800 m de longueur et de 50 et 60 cm de diamètre sous une charge totale de 80 m.

4.4

Une ligne d'adduction est formée de 3 sections: A-B 2000 m B-C 1200 m C-D 800 m le débit à produire est de 16 m3/s avec une perte de charge totale de 11 m, le coefficient de Hazen-Williams est de 100. Trouver les diamètres économiques pour les 3 sections en tenant compte des coûts en $/m de conduite suivants: diam 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 (m) AB 240 282 322 397 466 591 $/m BC 315 361 423 525 574 755 CD 423 453 535 623 659 902

Égout: Conduite < 400 mm

20

Collecteur, intercepteur

25 - 40

Usine d'épuration

10 - 30

Station de pompage

10 - 20

4.5

Calculer le diamètre économique d'une conduite d'adduction de 2 km transportant un débit de 2000 l/s par gravité sur une dénivellation de 35 m et garantissant une pression résiduelle de 1 bar.(Chw=100).

4.6

Deux conduites d'adduction de diamètres de 30 et 50 cm et d'une longueur de 500 m amènent parallèlement un débit maximum de 0,3 m3, on désire changer cette installation vétuste par une seule conduite dont la capacité serait augmentée de 50%, quel devrait être son diamètre ? (Chw=100) 4.7 Reprendre l’exemple a) en utilisant l’équation de Hazen-Williams au lieu de celle de DarcyWeisbach. 4.8 Si le niveau du réservoir amont de l’exemple de la section 4.3.3 est de 10 m et que celui du réservoir aval est de 40 m, calculer le point de fonctionnent pour des conduites de 1 km de long et de 50 cm de diamètre chacune (f = 0,02) avec une pompe de courbe h p = 40 5Q2 . Quel résultat obtenez vous en utilisant la formule d’Hazen-Williams avec CHW = 100 ? Si le niveau du réservoir amont est à 10 m de diamètre et qu’il contient 10 m de hauteur d’eau, combien de temps cela prend-il pour le vider ?

76

77


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5.2 Réservoirs et stations de pompage Chapitre 5 - Système de distribution des eaux Ce chapitre est consacré à la distribution des eaux potables dans un réseau de conduites. Nous énoncerons les objectifs fondamentaux à atteindre pour satisfaire la demande en terme de pression et de débit. Les méthodes de calcul seront décrites à partir des principes de base.

5.1 Méthodes d'alimentation du réseau Le réseau d'aqueduc est un ensemble de conduites interconnectées fonctionnement sous pression. Il faut donc un système d'alimentation de ce réseau qui permette de fournir le débit de consommation variable à une pression relativement constante. Il existe plusieurs façon de réaliser cette alimentation, dont voici les principales:

Les réservoirs servent principalement à harmoniser la demande et la production. La demande est variable, alors que, pour être économique et efficace, la production doit être constante. Lorsque le débit de production est supérieur au débit de consommation, on accumule l'excédant dans les réservoirs. En période de pointe, on ajoute au débit de production celui de la vidange des réservoirs (fig. 5.1). Dans les réseaux étendus et de consommation dense, les réservoirs permettent d'égaliser la pression sans avoir à augmenter le diamètre des conduites principales. ligne d'énergie en période de basse consommation ligne d'énergie en période de haute consommation

5.1.1 Distribution gravitaire •

Réseau branché sur un réservoir suffisamment élevé pour assurer les débits et les pressions.

•

Méthode simple et la plus fiable si la conduite principale est bien protégée contre les bris accidentels.

•

Possibilité de pompage mobile pour la lutte aux incendies.

5.1.2 Pompage combiné •

Pompage lors des périodes de basse consommation vers des réservoirs élevés.

•

Méthode économique si le pompage est fait à rendement maximum.

•

Possibilité de pompage mobile pour la lutte aux incendies.

5.1.3 Pompage direct •

Pompage direct dans le réseau.

•

Méthode la moins avantageuse en raison des possibilités de panne de puissance, d'une

Station de pompage

Zone de consommation

Fig. 5.1 - Distribution des eaux Les réservoirs contiennent aussi les réserves de productions et d'incendie La réserve d'équilibre (ou d’opération) se définit comme étant le volume d'eau nécessaire à combler la différence entre la capacité maximale de production, en général la consommation journalière maximale, et la pointe de cette journée de consommation maximale. On calcule cette réserve à partir du graphique de la demande cumulative (fig. 5.2).

variation et d'une distribution de la pression plus difficile et des coûts d'énergie surtout en pointe. •

Chateau d'eau

Bon débit d'incendie

79


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600

30000

5.3 Pression à garantir

25000

Une valeur de la pression située entre des extrêmes acceptables et ce pour l'ensemble du réseau constitue, à part bien sûr la capacité de fournir à la demande, le critère de base du dimensionnement correct pour atteindre l'efficacité du réseau.

débit 500

Re 400

20000

300

15000

200

10000

100

5000

Demande cumulative m3

demande cum.

Débit l/s

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Ces valeurs de la pression sont: • 170 à 275 KPa (~25 à 40 psig) au minimum • 400 à 520 KPa (~60 à 75 psig) en moyenne • 700 KPa (~100 psig) au maximum • 140 KPa (~20 psig) de pression résiduelle lors d'un feu La pression moyenne présente les avantages suivants:

0

0 0

6

12

18

Temps h

Fig. 5.2 - Calcul de la réserve d'équilibre. La réserve d'incendie est calculée à partir du débit de feu maximum et de sa durée. La réserve d'urgence et de production sert à fournir de l'eau pendant les événements imprévus. La réserve d’urgence, utilisée lors d'un bris de pompe par exemple, a un volume correspondant à environ 2 à 14 heures de consommation journalière. La réserve de production est gardée à l'usine de traitement et est équivalent à 4 heures de production nominale. Comme il est improbable d'avoir un bris majeur le jour maximal avec le plus gros incendie, il ne serait pas économique de garder simultanément toutes ces réserves. On considère dans la pratique souhaitable de garder somme des réserves d'équilibre, d'incendie et d'urgence. Le minimum étant de garder seulement les réserves d'équilibre et d'incendie. Les réservoirs peuvent être construits soit en élévation, château d'eau par gravité ou alors en sous-sol accompagnée d'un système de pompage. Il semble que cette dernière solution soit considérée comme préférable pour des raisons esthétiques et économiques tant au point de vue coût initial qu'au point de vue coût d'entretien.

80

• Consommation normale assurée pour un édifice de dix étages ou moins.

24

• Gicleurs d'incendie efficace sur 4 à 5 étages. • Connexion directe de lance d'incendie. • Fluctuation relative de pression plus faible. En cas d'incendie, il faut prévoir la possibilité d'augmenter la pression, ce qui peut ce faire par les moyens suivants : • Pompe supplémentaire à la station de pompage. • Pompage mobile par camion pompe • Système double avec conduites spéciales pour le débit de feu. • Système pseudo-double avec grosses conduites principales et réducteurs de pression pour l'alimentation normale. Plusieurs unités sont utilisées pour quantifier la pression, nous donnons ci-après quelques valeurs de références : 1 atmosphère (atm) = 14,696 psi = 1 013.3 mbar = 101,33 KN/m2 (KPa) = 10,33 m d'eau 81


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1 psig


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= 6,8969 KPa = 0,7029 m d'eau

5.4 Description du système de distribution Un réseau de distribution peut avoir une forme ramifiée (fig. 5.3) ou une forme maillée (fig. 5.4) ce qui est plus courant. On appelle antenne les conduites en cul de sac. Les réseaux sont constitués des éléments suivants : 5.4.1 Aqueducs principaux: Ils servent à relier les stations de pompage aux réservoirs et constituent l'ossature principale du réseau. Ils forment des boucles d'environ 1000 m les conduites de distribution principales y sont connectées au moyen de vannes de coupures. Des vannes de cantonnement les découpent en tronçons et des soupapes de purge équipent les points hauts. 5.4.2 Aqueducs secondaires: Ils servent à relier les aqueducs principaux.

Fig 5.4 - Réseau maillé

5.5 Dimensionnement du réseau

5.4.3 Conduites de distribution principales Elles desservent les bornes-fontaines ou bouches d’incendie placées tous les 100 ou 150 m selon la densité du territoire.

Les points à considérer sont : •

La topographie des lieux pour les critères de pression

Les conduites sont fabriquées en béton précontraint, en fonte ou en CPV. Les diamètres sont calculés pour obtenir des vitesses de l'ordre de 0,6 à 1,2 m/s, 2 m/s au maximum en cas de feu. Ces diamètres sont en général de 15 cm en zone résidentielle, 20 cm en zone commerciale et 30 cm et plus dans les rues principales.

•

La densité de la population et ses activités pour évaluer les besoins en eaux des différents secteurs résidentiels, commerciaux et industriels.

On résume en général toute information pertinente sur carte topographique, on évalue les consommations de chaque zone et les débits de feu de façon à déterminer la demande totale, la puissance de pompage requis, le volume et la position des réservoirs et les diamètres et longueurs des conduites. Ensuite on procède au balancement hydraulique du réseau pour vérifier si, en fonction de plusieurs scénarios de consommation, normaux , extrêmes ou en période de basse consommation, la pression est bien répartie. Cette analyse permet d'apporter des correctifs si nécessaire. En outre, cette simulation du comportement du réseau permet d'étudier des possibilités de regroupement de service pour des municipalités voisines et des scénarios futurs de consommation pour mieux planifier l'expansion du réseau. 5.5.1 Conduites en série et en parallèle

Fig 5.3 - Réseau ramifié Bien souvent, avant de faire l'analyse d'un réseau, il est nécessaire de le simplifier en regroupant en série ou en parallèle un certain nombre de conduites pour former des conduites équivalentes. Pour les conduites en série: a) La perte de charge totale est égale à la somme des pertes de charge de chaque conduite :

82

83


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© Jean-Loup Robert

hT = h1 + h2 + K + h j b) Le débit est le même pour toutes les conduites :

(5.1)

hT = h1 = h2 = K = h j c) Le débit est lié au à la perte de charge par une relation du type:

QT = Q1 = Q2 = K = Qj c) La perte de charge est liée au débit par une relation du type :

(5.2)

Q = K hm (5.7) où K est la conductance de la conduite. La conductance est liée à la résistance par la relation :

(5.3)

K=

h = RQ

n

où le coefficient R est la résistance de la conduite. Cette résistance ne dépend que des propriétés de la conduite c’est-à-dire la rugosité, le diamètre et la longueur.

Ke hTm = K1 h1m + K2 h2m + K + K j hjm d'après (5.6):

8f L et n = 2 2 g D5

Ke hTm = ( K1 + K2 + K + K j ) hTm d'où:

Pour la formule de Hazen-Williams, on a : 1 R= CHW

1,85

L D 4,87

1 Rm

avec m = 1/n. Donc, en introduisant l'expression (5.7) dans (5.5) on obtient:

Avec la formule de Darcy-Weisbach, on a : R=

(5.6)

Ke = K1 + K2 + K + K j et n = 1,85

Donc pour des conduites en parallèle, la conductance équivalente s'exprime comme la somme des conductances de chaque conduite :

est le coefficient d'unités ( = 0,2785 (S.I.), = 0,4322.(S.A.)). Donc, en introduisant l'expression (5.3) dans (5.1) on obtient :

j

Ke = Ki

(5.4)

i=1

n n n n Re QT = R1 Q1 + R2 Q2 + K + R j Qj

5.5.2 Méthodes de balancement du réseau en régime permanent.

d'après (5.2) : n n Re QT = ( R1 + R2 + K + R j )QT

Le principal problème qui se pose à l'ingénieur face à l'infrastructure de distribution des eaux consiste à connaître le comportement en pression de chaque élément du réseau lors de situations critiques (incendies), de période de forte demande ou encore en fonctionnement normal.

d'où: Re = R1 + R2 + K+ R j Donc pour des conduites en série, la résistance équivalente s'exprime comme la somme des résistances de chaque conduite : j

Re = Ri

(5.4)

i =1

Pour les conduites en parallèle : a) Le débit total est égal à la somme des débits de chaque conduite: QT = Q1 + Q2 + K + Qj b) La perte de charge est la même pour toutes les conduites:

84

(5.5)

Le grand nombre de conduites et leur interconnexion qui caractérisent la structure d'un réseau maillé font qu'il n'est pas possible de calculer de façon simple et rapide, avec suffisamment de précision les pertes de charges et les débits dans toutes les conduites correspondant à une situation de consommation donnée. La raison en est relativement simple. La distribution de débit dans le réseau est conditionnée par le principe de l'énergie minimum, ce qui a pour conséquence que la moindre modification du réseau entraîne une redistribution des débits. Comme on le voit, la solution du problème dépend simultanément de ce qui se passe dans chaque élément du réseau. Une autre difficulté provient du fait que la relation qui décrit le lien entre le débit d'une conduite et la perte de charge qu'il entraîne est non linéaire ce qui ne simplifie pas non plus la tâche de l'ingénieur. Dans les années 20, Hardy Cross, le premier, appliqua sa méthode de distribution des moments dans les structures hyperstatiques à la recherche d'une solution au problème de l'équilibre des réseaux de conduites. Sa technique consiste à remplacer la simultanéité des comportements par 85


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une méthode de correction interactive appliquée à une solution de départ approximative. La convergence de cette méthode n'est cependant pas acquise. La méthode de Hardy Cross a été utilisée avec succès depuis cette période puisque qu'elle était la seule méthode relativement précise disponible. Cependant, le fait que le nombre de calculs par itérations et que le nombre d'itérations elles-mêmes était assez important, on ne pouvait pas facilement faire le calcul pour une quantité étendue de configurations de consommation. Avec l'arrivée, au début des années 60, d'une certaine accessibilité à la puissance de calcul des ordinateurs, les premiers programmes de calcul de l’équilibre des réseaux n'étaient en fait que la codification sur ordinateur de la méthode de Hardy Cross. Bien que cela permît l'analyse de plus gros réseaux, l'utilisation d'un calculateur ne modifiait en rien le comportement numérique de la méthode, soit l'hypothèse de non-simultanéité des événements. Puisqu'il était alors possible de faire plus de calculs, les problèmes de convergences furent plus fréquents. C'est alors qu'apparurent des méthodes dites matricielles. Le fondement de ces méthodes repose sur une approche semblable à celle de Hardy Cross, mais en tenant compte de l'interaction des éléments voisins. Elles permettent donc de corriger simultanément l'ensemble du réseau afin d'améliorer la solution de départ approximative. Ces méthodes sont, évidemment, intimement liées à l'emploi d'un ordinateur puisqu'elles conduisent, à chaque itération, à l'inversion d'un système matriciel important. Bien que l'introduction de la simultanéité des corrections améliore significativement la convergence du processus itératif, les problèmes liés au choix de la solution de départ restent les mêmes, c'est-à-dire que ce choix initial conditionne encore le comportement de la convergence. Plus récemment, au début des années 70, la méthode linéaire commençait à être utilisée. Basée que la résolution simultanée des équations d'énergie et de continuité sur l'ensemble du réseau, elle conduit à un système matriciel plus gros donc, nécessite l'utilisation d'un ordinateur plus puissant. Cependant, son avantage principal réside dans le fait qu'il n'est pas nécessaire de choisir une solution initiale et qu'il est plus facile d'y inclure des équipements spécifiques. Sur le plan purement numérique, cette méthode présente une convergence fondamentalement oscillante qui peut être réduite par une technique de sous relaxation. Il y a quelques années, la méthode de résolution de cette formulation a été révisée en profondeur. Nous avons proposé d'utiliser une technique numérique basée sur l'adaptation de la méthode de Newton-Raphson à l'ensemble du système matriciel. Ceci, couplé à une organisation topologique de la matrice de comportement nous a permis d'obtenir une méthode dont le comportement en convergence est considérablement amélioré. Principes de base Définitions préliminaires Un endroit où sont branchés ensemble plusieurs conduites, pompes, réservoirs ou autres équipements s’appelle un nœud. Un circuit fermé composé d’éléments constitutifs d’un réseau est appelé maille.


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Un réseau est en équilibre lorsque la somme algébrique des débits Q (y compris le débit de consommation) aux nœuds est nulle et que, simultanément, la somme algébrique des pertes de charge h autour d'une maille s'annule. Ceci définit la loi des nœuds et la loi des mailles. Loi des nœuds

QN = 0

N N = i, j,k K

(5.5)

Cette relation exprime le principe de conservation de la masse. Loi des mailles

hM = 0

M M = i, j,k K

(5.6)

Cette relation exprime le principe de conservation de l’énergie. Les variables N et M représentent respectivement le signe des débits QN des conduites i, j, k, etc qui sont connectées à un nœud et le signe des pertes de charge hM des conduites i, j, k, etc qui sont constituent une maille selon la convention adoptée. Elles ne peuvent donc ne prendre que les valeurs –1 ou 1. Le débit est relié à la perte de charge par une relation de type : h = RQ ou inversement: Q=

n

1

(5.7)

1

h

n

= K hm

(5.8) R où R et n dépendant de la loi d'écoulement choisie (Darcy-Weisbach, Hazen-Williams...) 1

n

Méthodes de calcul Le schéma général de la méthode de résolution de ce type de problème consiste à écrire au moyen de la loi des nœuds ou de la loi des mailles un nombre d’équations équivalent au nombre d’inconnues choisies. On peut choisir de déterminer soit les débits Q dans les conduites, soit les pertes de charge h dans les conduites, soit les charges H aux noeuds. Dès que l’un de ces ensembles d’inconnues est déterminé, on peut facilement en déduire les deux autres grâce aux relations qui lient le débit à la perte de charge. Le caractère non linéaire de ces relations est responsable de la non-linéarité du système à résoudre. Pour résoudre un système d’équations non linéaires, il faut le linéariser, ce qui conduit à une solution approximative. On procède alors par itérations pour améliorer la solution afin qu’elle se stabilise avec un certain degré de précision. Plusieurs approches sont possibles et on peut les regrouper en trois grandes catégories :

86

87


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• Méthodes de corrections successives • Méthodes de corrections simultanées • Méthodes directes

-

QM = Q0, M + M Q Pour accélérer la convergence, on peut prendre comme Q0 les valeurs déjà corrigées par des mailles précédentes.

a) Méthode de Hardy Cross par mailles Cette méthode a un intérêt historique car elle a été développée avant l’invention des moyens de calcul électroniques. C’est une forme simplifiée de l’application d’une méthode de NewtonRaphson ce qui entraîne une dégradation de la convergence. Elle permet d’illustrer simplement les concepts, mais, à mon avis, elle ne devrait jamais être programmée sur ordinateur car les moyens de calcul actuels sont largement suffisants pour ne pas avoir à envisager cette simplification et gagner considérablement sur le plan de la convergence. Cette méthode consiste à choisir les débits Q comme inconnues. On commence en choisissant un ensemble de débits initiaux Q0 positifs qui satisfont la loi des nœuds puis on les corrige de façon à ce que les pertes de charge générées par ces débits tendent à satisfaire la loi des mailles et sans perturber la loi des nœuds (voir l’encadré des aspects théoriques plus loin). En général, cet objectif n’est pas atteint du premier coup et l’on recommence en prenant comme débits initiaux les valeurs que l’on vient de trouver.

Q0 , N = 0 à chaque nœud.

-

Choix des Q0 en respectant

-

Pour chaque maille, correction des débits pour atteindre h0 = RQ0

M M = i, j,k K

h0, M = 0 en introduisant

Q =

M M = i, j,k K

R M Q0n, M

n R

M

-

Modifier la valeur des M de façon à refléter le changement

-

Garder les débits négatifs et modifier la formule de correction pour les accepter : Q =

M R M Q0,n1 M Q0, M

M = i, j,k K

n RM Q0n1 ,M

M =i, j,k K

Sur le plan pratique la deuxième méthode est de loin préférable car la première méthode exige que la mise à jour des M soit faite dans les mailles auxquelles appartient une conduite ce qui nous oblige à créer une table liant chaque conduite aux mailles auxquelles elle appartient. Ceci n’est pas nécessaire pour la deuxième possibilité et c’est ce que nous allons adopter pour toutes les autres méthodes. On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à ce que la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les mailles.

b) Méthode de Hardy Cross par nœuds (5.9)

n1 0, M

Q

Cette méthode diffère de la précédente par son point de départ. On choisit plutôt les pertes de charge h comme inconnues. En voici les principales étapes :

M = i, j, kK

-

Les corrections peuvent faire changer le signe du débit, deux possibilités s’offrent à nous :

-

n

On applique la correction Q de chaque maille aux débits des conduites constituant la maille en tenant compte du signe :

Méthodes de corrections successives

N N = i, j,k K

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Convention de signe, M est positif lorsque le débit est dans le sens de parcours de la maille.

-

-

M M = i, j, kK

h0, M = 0 dans chaque maille. Ceci est direct si on choisit

des charges H0 à chaque nœud.

-

+

Choix des h0 en respectant

-

Calcul des Q0 correspondant Q =

1 1

R -

1

h

n

= K hm

n

Correction des pertes de charge pour atteindre

+

88

89

N N = i, j, kK

Q0, N = 0 à chaque nœud.


h =

N N = i, j, k K

N = i, j,k K

-

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Cela revient à faire un changement de variables dans lequel chaque correction de débit appliquée à une conduite M est remplacée par la différence de corrections appliquées aux mailles A et B communes à la conduite M. Si une conduite n’appartient qu’à une maille, on lui attribue seulement la correction de cette maille. Le nombre d’inconnues devient donc égal au nombre de mailles et la résolution est alors possible. Par exemple, pour une maille A adjacente aux mailles B et C, la relation (5.11) devient :

Q0 , N (5.10)

Q0, N n h0, N

Convention de signe, N est positif lorsque le débit arrive au nœud.

n1 n1 n R

n M Q0,n1 M QA nRAB Q0, AB nRA C Q0, A C = M RM Q0, M M = i, j, kK M = i, j, kK Où les indices AB et AC réfèrent aux conduites communes respectivement aux mailles A et B puis aux mailles A et C.

+ -

-

On applique, avec N , la correction à chaque nœud successivement en tenant compte des corrections déjà apportées à certaines conduites.

On continue les corrections jusqu'à ce que la loi des nœuds soit respectée à chaque nœud avec une précision adéquate.

Méthodes de corrections simultanées a) Méthode matricielle par mailles

-

C'est une méthode itérative matricielle qui permet de repartir sur l'ensemble du réseau les corrections Q pour obtenir l'équilibre des pertes de charge (loi des mailles) à partir de débits initiaux Q0 choisis en fonction de la loi des nœuds (voir Hardy Cross par mailles)

-

-

( nR

M = i, j,k K

M

n1 0, M

Q

)

QM =

n 0, M

RM Q

M M = i, j,k K

On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de débits. On applique les corrections Q de chaque maille aux débits des conduites constituant la

QM = Q0, M + AQA + B QB -

(5.11)

n1 n1 n1

nR Q0 L nR Q0 R Q0 Q0

AB

AM QA A n1 n1 QB R Q0 Q0 M nR Q0 (5.13) = B B M O M M n1 QM R Q n1 Q L L 0 0 nR Q0 M M

maille en tenant compte du signe :

On écrit le système d'équations non linéaires à partir de la loi des mailles auquel on applique la méthode de Newton-Raphson (voir encadré théorique) pour chaque maille:

En pratique, le système est organisé sous forme matricielle, en tenant compte que les sens des débits ne seront pas mis à jour et que le débit gardera son signe, de la façon suivante : n1 nR Q0 A n1 nR Q0 BA

M n1 nR Q0 MA

h = h0 + N h -

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On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à ce que la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les mailles

M est l'indice des conduites participant à une maille. On obtient donc autant d’équations qu’il y a de mailles et on a une inconnue par conduite. Généralement le nombre de conduites est plus grand que le nombre de mailles. Il est donc nécessaire, pour résoudre le problème, de réduire le nombre d’inconnue. Comme une conduite peut appartenir à au plus deux mailles, la réduction du nombre d'inconnues se fait en sachant qu'une conduite participant à deux mailles subit les corrections de chacune de ces mailles adjacentes : QM = QA - QB

(5.12)

90

91


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Exemple

On utilise le système 5.13 pour construire la matrice et le membre de droite :

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque conduite sont connus. q2 1 q1

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2

1

4

4

q4

I 3

II

6

n1 n1 n1 R1 Q0,1 + R2 Q0,2 n Q nR 3 0,3 n1 + R3 Q0,3 QI

= n1 n1 QII n1 R3 Q0,3 + R4 Q0, 4 nR Q n 3 0,3 n1 n1 + R5 Q0,5 + R6 Q0,6 n1 n1 n1 R1 Q0,1 Q0,1 + R2 Q0,2 Q0,2 R3 Q0,3 Q0,3 n1 n1 n1 n1

R3 Q0,3 Q0,3 R4 Q0, 4 Q0, 4 + R5 Q0,5 Q0,5 R6 Q0,6 Q0,6

On applique les corrections en tenant compte des signes :

2 Q1 = Q0 ,1 QI Q2 = Q0,2 + QI

q3

3

5

Q3 = Q0,3 QI + QII 5

Q4 = Q0, 4 QII

q5

Q5 = Q0,5 + QII Q6 = Q0,6 QII

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds : Q0, 1 = q1 2 Q0, 2 = q1 2

On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approche de zéro

Q0, 3 = (Q0, 1 q2 ) 2

Q0, 4 = (Q0 ,1 q2 ) 2 Q0, 5 = Q0, 2 + Q0, 3 q3 Q0, 6 = Q0, 4 q 4

b) Méthode matricielle par nœuds Cette méthode itérative permet de répartir sur l'ensemble du réseau les corrections h pour atteindre l'équilibre des débits à partir de pertes de charge initiales h0 choisies en fonction de la loi des mailles (voir H.C. nœud). La procédure est semblable à la méthode matricielle par mailles et nous en donnons ici le résumé : - Le système de N équations s'écrit

m K

N = i, j,k K

N

h0,m1 N hN =

N N =i, j,k K

K N h0m, N =

N N = i, j,k K

Q0 , N

(5.14)

Où N représente les numéros de conduites branchées à un nœud, on a donc encore autant d’inconnues que de conduites et autant d’équations que de nœuds. Habituellement, il y a plus de conduites que de nœuds et il faut réduire le nombre d’inconnues. On réduit le nombre d'inconnues sachant que la perte de charge sur une conduite est corrigée par chacune de ses extrémités A et B.

92

93


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h N = hA - h B


1,1 M N 1,1 n1 R Q

1,1 M n1 R Q M ,1

(5.15)

On obtient alors autant d’inconnues que de nœuds. -

Organisation matricielle m1 m1 m1

Q K h0 mK h0 L mK h0 0 m

AB

AN A A hA Q m1 m1 hB mK h0 mK h0 M 0 BA = B

B M M M O M m1 m1 hN L L mK h0 Q0 mK h0 N NA N

(5.16)

•

-

On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de pertes de charge.

-

On applique les corrections h de chaque maille aux débits des conduites constituant la

L

L L

L

Q1 q1 M M M N ,C M q N 1 = n1 R Q M h1

1,C M M Q h M C M n1 R Q

M ,C

1,C

(5.18)

Les N-1 premières lignes de la matrice contiennent les signes i,j relatifs au iième nœud et à la jième conduite. Pour les conduites non connectées à un nœud, est nul.

•

maille en tenant compte du signe :

n1 Les M dernières lignes de la matrice contiennent les termes signés R Q relatifs à la i, j

iième maille et à la jième conduite. Pour les conduites non participantes à une maille, est nul.

hN = h0, N + A h + B h -

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•

On continue les corrections jusqu'à ce que la loi des nœuds soit respectée à chaque nœud avec une précision adéquate.

•

Les pertes et gains de charge constants hi attribués à la présence de réservoirs ou de pompes sont placés dans la dernière partie du membre de droite.

•

La seconde partie de la matrice contient des débits qui ne sont pas encore connus. On les remplace par des débits quelconques Q0 qui sont sans rapport avec la loi des nœuds. On

Méthodes directes a) Méthode des débits Cette méthode est assez simple en ce qui concerne la mise en équations. En effet, il suffit d’écrire autant d’équations conservation de débit ou d’énergie qu’il y a de débits dans les éléments du réseau. Dans un réseau maillé, on peut écrire la relation : C = M + N 1

calcule alors une première estimation du débit Q avec ces débits Q0 arbitraires puis on améliore la solution en procédant à des itérations. •

(5.17)

où : C = nombre de conduites (ou d’éléments hydrauliques entre deux nœuds) M = nombre de mailles (boucles fermées) N = nombre de nœuds (points de jonctions) Dans la théorie des graphes, C est appelé « nombre cyclomatique » et sa définition n’est valide que pour un graphe plan. On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour calculer des C débits:

Pour améliorer la convergence, chaque Q0 pour l'itération suivante se calcule comme la moyenne du débit Q calculé à l’itération précédente et du débit Q0 précédent. Q0(i +1) =

Q(i ) + Q0(i) 2

Cette technique assure une convergence efficace mais relativement lente. Une autre technique de résolution a donc été proposée. Elle est basée sur l’application de la méthode de NewtonRaphson au système 5.18. Cette méthode a été programmé dans le logiciel CASH2. Les essais 2

94

Les débits de consommation imposés aux nœuds qi sont placés dans la première partie du membre de droite.

Conception et Analyse de Systèmes Hydrauliques, http://www.gci.ulaval.ca/cours/gci10214/cash.htm

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poursuivis jusqu'à maintenant ont prouvé, hors de tout doute, la supériorité de la stabilité de ce schéma numérique par rapport aux méthodes précédentes.

Q1 = Q0,1

Exemple

Q3 = Q0,3

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque conduite sont connus.

2

1

q1

Q4 = Q0, 4 Q5 = Q0,5 Q6 = Q0,6

q2 1

Q2 = Q0,2

4

4

q4

5

q5

On remplace les Q0,i par les moyennes des Qi et Q0,i précédent et on recommence jusqu’à ce que les valeurs du débit se stabilisent.

I II

3

6

2

q3

5

3

Il n’est pas nécessaire de choisir des Q0 cohérants, il suffit de leur donner une valeur initiale quelconque mais différente de zéro. On utilise le système 5.18 pour construire la matrice et le membre de droite : 1

1

0

0

n1

R1 Q0,1

0

1 0 1 0 R2 Q0,2 0

0 1 1 0 n1

0 1 0 1

R3 Q0,3 R3 Q0,3

n1

n1

0 0 1 0

0 R4 Q0, 4

0 n1

R5 Q0,5

Q

1 q1 Q2 q2 Q q 3 = 3 Q4 q4 Q 0 0 5 n1 R6 Q0,6 Q6 0 0 0 0 1

n1

On applique les corrections en tenant compte des signes :

96

97


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m Ki, N H i H N N = j,k ,K

Aspects théoriques des méthodes de résolution

hM = 0

m1

Hi m K i, j H i H j H j m Ki, k Hi Hk

= N Ki, N H i H N N = j,k ,K

Dans la méthode de correction par mailles, on désire que pour chaque maille, la somme algébrique des pertes de charges s’annule : M M = i, j,k K

m1

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m

m1

Hk K

+ i qi

Cette méthode converge bien, la principale difficulté de sa mise en œuvre surgit lors de l’introduction d’éléments hydrauliques comme des pompes.

On doit donc écrire M équations de ce type, avec M, le nombre de mailles du réseau. 5.5.3 Introduction d'éléments annexes dans le calcul des réseaux Comme on connaît les C débits initiaux Q0 satisfaisant la loi des nœuds et la relation qui lie le débit à la perte de charge, on peut écrire les M équations précédentes sous la forme suivante :

M M = i, j,k K

RM (Q0, M + M QM ) = 0 n

Ce qui signifie que l’on doit déterminer les corrections QM , pour chaque conduite qui doivent être appliquées aux débits initiaux Q0 de telle sorte que l’ensemble de ces expressions s’annule. Pour réussir à résoudre ce problème nous devons développer chaque équation en série de Taylor en considérant qu’elles sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, c’est-à-dire les corrections de débit à appliquer à chaque conduite :

RM (Q0, M + M QM ) =

RM (Q0, M + M QM ) =

M M = i, j,k K

M M = i, j,k K

n

n

M M = i, j, kK

M M = i, j, kK

RM Q0,n M + n 0, M

RM Q

+

R Qn = 0 Q0 , M M M 0 , M

(

)

M QM

M QM M RM nQ

M =i, j,k K

M =i, j,k K

(

n1 0, M

)= 0

Sachant que 2M = 1, on obtient finalement pour chaque maille :

( nR

M = i, j,k K

M

)

Q0,n1 M QM =

M M = i, j,k K

R M Q0n, M

Les réseaux de distribution ne sont pas constitués uniquement de conduites, aussi, l'analyse d'un tel système nous conduit à nous poser des questions concernant le taux de vidange ou de remplissage des réservoirs, des paramètres de fonctionnement des surpresseurs et des pompes ou de l'état des réducteurs de pression. Il est donc primordial d'incorporer dans un tel programme d'analyse, la possibilité de simuler l'effet de ces équipements spéciaux sur l'ensemble du réseau. Le principe de simulation des équipements spéciaux est basé sur l'utilisation d'une loi de comportement qui relie la perte de charge au débit: h = f (Q) Cette relation est ajustée en fonction de l'équipement considéré. Les réservoirs Lorsque le nombre de réservoirs est supérieur à l'unité, on considère un trajet virtuel (souvent appelé pseudo-lien) entre les réservoirs pris deux à deux. Ainsi la perte de charge négative sur ce parcours est égal à la différence de charge entre les deux réservoirs. On ajoute aussi la possibilité de recycler la perte de charge locale à l'entrée ou à la sortie du réservoir. Pour un pseudo-lien entre les nœuds i et j, la relation 5.19 s’écrit : hij = H Rj HR i

(5.20)

b) Méthode des charges Cette méthode consiste à écrire un système d’équations composé des N équations de nœuds. Comme il y a C débits inconnus dans ces équations, on remplace les débits par la relation qui relie le débit à la perte de charge (éq. 5.8) dans laquelle on remplace explicitement la perte de charge par la différence de deux charges nodales. On obtient donc N inconnues. Il n’est plus possible, comme dans le cas précédent, de linéariser facilement le système et il est nécessaire d’utiliser la méthode de Newton-Raphson. Pour chaque nœud i, il faut alors écrire une équation de ce type :

98

(5.19)

99


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Exemple

On utilise le système 5.13 pour construire la matrice et le membre de droite :

Notons par QR1 et Q R2 les débits des réservoirs. Le lien qui relie le nœud 6 au nœud 7 est un pseudo-lien, son débit est nul mais sa perte de charge est égal à la différence de niveau entre les deux réservoirs. Les réservoirs ont un débit mais n’ont pas de perte de charge. 6 III

R1 1 q1

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q2 2

1

4

4

q4

I

n1 n1 n1 nR3 Q0,3 nR1 Q0,1 nRN Q0, N QI N =1,2,3 n1 n1 n1 n1 nR Q nR4 Q0, 4 nR6 Q0,6 QII = nRN Q0, N 3 0,3 N =3, 4,5,6 QIII n1 n1 n1 n1 nR1 Q0,1 nR4 Q0, 4 nR6 Q0,6 nR Q N 0, N N =1, 4,6

n1 N RN Q0, N Q0, N N =1,2,3 n1

N RN Q0, N Q0, N N =3, 4,5,6 n1 R Q Q + h 0, N 7 7 N N 0, N N =1, 4,6 On applique les corrections, y compris sur les débits des réservoirs, en tenant compte des signes :

II

3

6

Q1 = Q0 ,1 QI + QIII

2

Q2 = Q0,2 + QI Q3 = Q0,3 QI + QII q3

5

3

5

R2

Q4 = Q0, 4 QII + QIII

7

Q5 = Q0,5 + QII

q5

Q6 = Q0,6 QII + QIII QR 1 = Q0, R1 + QIII

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds. Comme on ne sait pas de quel réservoir va provenir l’eau consommée, on peut choisir, par simplicité, que seul le réservoir 1 fournit le réseau : Q0, R1 = q1 + q2 + q3 + q4 + q5

QR 2 = Q0, R 2 QIII On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approche de zéro

Q0, R 2 = 0 Q0, 1 = Q0, r1 2 q1 Q0, 2 = Q0, r1 2 q1 Q0, 3 = q3 Q0, 2 Q0, 4 = Q0 ,1 Q0,3 q2 Q0, 5 = Q0, 2 + Q0, 3 q3 Q0, 6 = Q0, 4 q4

100

Les pompes La courbe de performance débit-charge d'une pompe est donnée par le fabricant ; la façon la plus simple de l'introduire dans le modèle est de l'interpoler par une relation quadratique du type: h = A + B Q + CQ2

(5.21)

101


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Il est par ailleurs possible d'utiliser des techniques d'interpolation et de demander à l'utilisateur du modèle de spécifier un certain nombre de points (h, Q) caractéristiques de la courbe de comportement.

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Q0, R1 = q1 + q2 + q3 + q4 + q5 Q0, R 2 = 0 Q0, P = Q0, R1 q6

Exemple

Q0, 1 = Q0, r1 2 q1

On ajoute une pompe entre R1 et le nœud 1, cette nouvelle branche à un débit et un gain de charge lié ensemble par une relation de type 5.21.

Q0, 2 = Q0, r1 2 q1 Q0, 3 = q3 Q0, 2 Q0, 4 = Q0 ,1 Q0,3 q2

7

Q0, 5 = Q0, 2 + Q0, 3 q3 Q0, 6 = Q0, 4 q4

R1

On utilise le système 5.13 pour construire la matrice et le membre de droite. Dans la matrice, on retrouvera la dérivée de l’équation de la pompe. Dans le membre de droite, il faut s’assurer que, en tenant compte du sens de parcours de la maille, la perte de charge de la pompe (gain de charge) soit de signe opposé au débit de la pompe :

III 6 q6 P

n1 n1 n1 nR3 Q0,3 nR1 Q0,1 nRN Q0, N N =1,2,3 n1 n1 n1 nR Q n1 nR4 Q0, 4 nR6 Q0,6 nRN Q0, N 3 0,3 N =3, 4,5,6 n1 n1 n1 n1 nR1 Q0,1 nR4 Q0, 4 nR6 Q0,6 nRN Q0, N + B + 2C QP N =1, 4,6

n1 N RN Q0, N Q0, N N =1,2,3 n1 R Q Q

N N 0, N 0, N N =3, 4,5,6 n1 R Q Q + A + BQ + C Q Q + h N N 0, N 0, N P P P P 7 7 N =1, 4,6

q2 1 q1

2

1

4

4

q4

(

I II

3

6

2

(

q3

5

3

5

R2

8

q5

QI Q =

II QIII

)

)

Remarque : Dans ce système, on a traité QP comme s’il pouvait changer de signe mais cela ne devrait pas arriver. Si cela ce produit, c’est qu’il faut revoir l’équation de la pompe.

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds. Comme on ne sait pas de quel réservoir va provenir l’eau consommée, on peut choisir, par simplicité, que seul le réservoir 1 fournit le réseau, le débit de la pompe est égal au débit du réservoir moins un éventuel débit de consommation à l’amont de la pompe :

On applique les corrections, y compris sur les débits des réservoirs et de la pompe, en tenant compte des signes :

102

103


© Jean-Loup Robert

Q1 = Q0 ,1 QI + QIII Q2 = Q0,2 + QI Q3 = Q0,3 QI + QII Q4 = Q0, 4 QII + QIII Q5 = Q0,5 + QII Q6 = Q0,6 QII + QIII QR 1 = Q0, R1 + QIII QR 2 = Q0, R 2 QIII QP = Q0,P + QIII On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approche de zéro

5.5.4 Ajustement des coefficients de frottement Dans la pratique, on essaie de faire correspondre le plus possible le modèle numérique du réseau à la réalité. Un des éléments clef de ce critère est le choix des coefficients d’Hazen-Williams (ou de Darcy-Weisbach). Afin de déterminer la valeur de ces coefficients pour des conduites dont on ne connaît pas l’état, on procède à des essais en place en isolant une conduite au moyen des vannes de telle sorte qu’elle alimente seule une bouche d’incendie. On mesure alors la pression à l’amont de la conduite ainsi qu’au niveau de la bouche d’incendie de façon à déterminer la perte de charge sur une certaine longueur puis on évalue le débit à la sortie de la borne au moyen d’un débitmètre ou d’un tube de Pitot. Ainsi, seul coefficient de frottement est inconnu. Cette méthode n’est cependant valide que si le diamètre de la conduite n’a pas évolué dans le temps. En pratique, il arrive fréquemment que le diamètre diminue à cause des dépôts qui se forment dans la conduite. Par conséquent, on ne connaît ni le coefficient ni le diamètre de la conduite. Afin de lever cette indétermination, je propose la méthode suivante :

Les surpresseurs

a) On procède à deux essais de débits au lieu d’un seul.

Les surpresseurs sont considérés comme des pompes et l’on utilise la même technique en fonction de la courbe de comportement.

b) On écrit un système de deux équations dont les inconnues sont le coefficient et le diamètre. Pour la formule d’Hazen-Williams, cela s’écrit :

Les réducteurs de pression Les réducteurs de pression sont considérés comme des pertes de charges locales dont le coefficient est variable en fonction des charges amont et aval. Là encore les caractéristiques de fabrication sont à utiliser. Les clapets

1 CHW

1,85

1 CHW

1,85

L Q11,85 h1 = 0 D4,87

(5.22)

L Q21,85 h2 = 0 D4,87

c) On applique la méthode de Newton-Raphson pour résoudre :

Bien que cela soit plutôt rare, dans certains cas, il est nécessaire de placer des clapets non-retour. Lorsque le clapet est fermé, cela a une conséquence importante sur la structure de la matrice de comportement. En effet, il faudrait à ce moment débrancher une conduite du réseau et réorganiser la numérotation des mailles. Dans la méthode directe en débits, il est cependant possible d'éviter cette situation en considérant l'introduction d'une condition aux limites en débit nul sur la conduite considérée par la méthode du terme diagonal dominant. Sans changer le nombre d'équations, il suffit de sommer au terme diagonal de l'équation correspondant à la 10 conduite considérée, un terme très grand (10 ) et placer dans le vecteur de sollicitations le produit de la valeur imposée par ce grand terme ( ici évidemment ce terme sera nul, Q = 0). Le critère de remise en fonction de cette conduite pose aussi quelques problèmes. Il convient de calculer à chaque itération la charge disponible aux extrémités de cette conduite afin de décider si le clapet fonctionne ou non et si l'on doit, le cas échéant, appliquer la mesure précédente

104

1,85 L 1,85 1 1 1,85 L L h1 1 1,85 1 Q1,85 Q1,85 4,87 Q1,85 4,87 1 2.85 4,87 1 5,87 1 C C D C D CHW D 1,85 1,85 1,85 D = 1

1 1 L L L 1 1,85 1,85 1,85 1,85 Q 4,87 Q h Q 2 2 2 2.85 4,87 5,87 2 C 4,87 C D C D HW D


© Jean-Loup Robert

Chapitre 6 - Collecte et évacuation des eaux usées et pluviales

Exercices 5.1

Une borne-fontaine est située à l’extrémité d’une conduite de 15 cm de diamètre et de 100 m de longueur en cul-de-sac. Lorsque cette borne est fermée, on y mesure une pression de 53 m d’eau. Le débit à la borne-fontaine complètement ouverte peut être évalué par la relation suivante :

6.1 Définitions Les eaux à évacuer sont de trois types :

Q = 0,9 Ab 2gH [m /s]

-

Les eaux provenant des édifices, résidences, commerces, services, autrement appelées eaux usées domestiques.

où Ab = l’aire de l’ouverture de l’orifice de la borne g = la gravité H = la pression à la borne.

-

Les eaux industrielles qui nécessitent un traitement primaire avant le rejet à l'égout.

-

Les eaux du ruissellement urbain.

3

On sait de plus que l’orifice de la borne a un diamètre de 6 cm. On fait l’hypothèse que, peu importe le débit, la pression à l’amont de la conduite est constante et égale à la pression statique mesurée. La conduite est supposée horizontale, on néglige la hauteur de la borne et le coefficient de Hazen-Williams est de 100. Quel débit sortira de la borne si elle est complètement ouverte ?

Les systèmes d'évacuation sont composés principalement de conduites à écoulement à surface libre, de canaux et fossé, et accessoirement de poste de pompage pour refouler les eaux vers les collecteurs. Habituellement, on considère trois catégories de systèmes d'évacuation, soit: -

L'égout combiné ou unitaire

-

L'égout pseudo-séparatif

-

L'égout séparatif composé d'un égout sanitaire et d'un égout pluvial

Les figures 6.1, 6.2 et 6.3 illustrent les caractéristiques de chacun.

puisard de rue drain de fondation

égout sanitaire

égout pluvial

Fig 6.1 - Égouts séparés

106

Au québec, le débit d’eaux usées d’origine domestique est de l’ordre de 200 à 225 L/hab/d, si on ajoute les eaux usées provenant d’autres bâtiments, il faut plutôt compter 320 L/hab/d. Parmi les eaux qui parasitent le réseau, mentionnons : -

Captage Le ruissellement par les regards défectueux Les raccords illégaux

puisard de rue drain de fondation

-

Infiltration Le drainage de la nappe d'eau

égout sanitaire

Dans le cas de système d’égout ancien et rénové, il est difficile d’avancer des valeurs pour les débits d’infiltration et de captage. Pour un système nouveau, on évalue ces débits de captage à : égout pluvial

Fig 6.2 - Égouts pseudo-séparé

•

Infiltration 225 L/cm de conduite/km de conduite/d

•

Captage 25 L/hab/d (50 L/hab/d pour un réseau vieillissant)

Pour un territoire non aménagé ou l’on projette de construire une infrastrucure de collecte des eaux usées, on prendra plutôt : puisard de rue drain de fondation

•

Infiltration 60 L/hab/d

•

Captage 50 L/hab/d

égout pluvial

Fig. 6.3 - Égout combiné ou unitaire

Heureusement, dans les réseaux neufs, la technologie d'aujourd'hui permet de construire des systèmes étanches. Pour les réseaux anciens, la détermination des problèmes se fait par inspection et mesures des débits par temps sec et humide. Comme la consommation est variable selon une période donnée de temps, la quantité d'eau usée le sera aussi. On peut évaluer le facteur de pointe par la formule de Hormon :

6.2 Évaluation des quantités à traiter Les quantités d'eaux usées de consommation, domestiques ou industrielles, sont fortement corrélées avec la demande. On estime qu'elles correspondent à environ 70 % à 130 % de la consommation. Il faut compter en effet avec les eaux infiltrations et de captage. et les fuites dans le réseau.

108

FP =

Qmax 14 = 1+ Qmoy 4+ P

(6.1)

où P est la population desservie en milliers de personnes.

109

3,26 (1,1 C ) L 2 1

Pour le dimensionnement des conduites, on considère le débit maximum horaire de la journée maximal auquel on ajoute l'infiltration maximale.

tc =

S

Qmax = Qdomestique FP + Qinfiltration + Qcaptage

(6.3)

1 3

où : En ce qui concerne la quantité d'eau de précipitation, cela dépend évidemment des conditions météorologiques, nous discuterons de cet aspect dans la section suivante consacrée à l'égout pluvial.

tc : temps de concentration C : coefficient de ruissellement L : distance de drainage [m] S : pente de la surface à drainer [%]

6.3 Notions de drainage urbain Le coefficient de ruissellement C doit être déterminé à partir de tables de valeurs calculées en fonction de la nature du sol; en voici quelques valeurs typiques :

6.3.1 La méthode rationnelle La technique de calcul des débits de ruissellement afin de calculer les diamètres ou les dimensions des conduites et canaux est basée sur la méthode rationnelle. Cette technique est utilisée depuis la fin du siècle dernier (1889). Ce n'est pas à proprement parler une méthode de simulation car elle est basée sur une approximation pondérée par les temps de parcours du débit de pointe de l'hydrogramme. Cette approximation nous donne donc l'ordre de grandeurs des débits à véhiculer mais ne peut prévoir toutes les situations critiques. La méthode rationnelle permet de calculer chaque débit de dimensionnement du réseau de drainage en commençant en tête du bassin: Q=

1 CI A 360

Surface

C

Toits

0,70 @ 0,95

Asphalte

0,85 @ 0,90

Pavé

0,75 @ 0,85

Dalle

0,40 @ 0,50

Gravier

0,15 @ 0,30

Parc, gazon

0,05 @ 0,25

(6.2)

où Q = débit maximum de ruissellement en m3/s A = aire du sous bassin en ha C = coefficient de ruissellement I = intensité de précipitation Les deux hypothèses de base sont : -

L’intensité maximale du ruissellement à tout point du réseau est fonction du taux moyen de précipitation durant le temps de concentration Le taux de précipitation maximum survient pendant le temps de concentration

L'intensité de précipitation doit donc être déterminée sur la courbe intensité-durée-fréquence pour le temps de concentration du bassin Fig 6.4. Ce temps peut être déterminé par la formule de drainage des aéroports :

110

111

Courbes IDF pour Québec

Exemple :

350

A = 1 ha C = 0,4 tc = 10 min

300

I= A = 4 ha C = 0,6 tc = 8 min

A = 1 ha C = 0,8 tc = 3 min

200 Fréquence 1/100 ans 1/50 ans 1/25 ans 1/10 ans 1/5 ans 1/2 ans

150

100

1%, 100m

250

3600 16 + t

[mm/h]

1 2

3

0,5%, 200m

0,2%, 200m

Trois sous bassins sont drainés par les conduites 1, 2 et 3. On connaît leur superficie, leur coefficient de ruissellement ainsi que leur temps de concentration. La courbe IDF est donnée.

50

Conduite 1 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Durée [min]

Fig 6.4 - Courbe intensité-durée-fréquence

L’intensité de précipitation est choisie à partir de la courbe IDF en fonction du temps de concentration : I=

3600 3600 = = 138,5 mm/h 16 + t c 16 + 10

Son application est relativement simple: -

-

Pour chaque sous-bassin de tête de superficie A, on estime le temps tc de concentration et le coefficient de ruissellement C. Pour une période de récurrence donnée, on choisit sur la courbe intensité-durée-fréquence un taux de précipitation I correspondant à une durée égale au temps de concentration. Ceci nous permet de calculer le débit, le diamètre de la conduite, la vitesse d'écoulement et le temps de parcours. Pour un sous-bassin aval, on prend comme temps de concentration le maximum des temps de concentration et des temps de parcours des écoulements amont qui parviennent à son exutoire. La superficie considérée sera la somme de toutes les superficies amont desservies par cet exutoire. Le coefficient de ruissellement sera la moyenne pondérée par les aires des sous-bassins amont des coefficients de ces sous-bassins. Le taux de précipitation est tiré de la courbe IDF. On peut alors calculer le débit, le diamètre, la vitesse et le temps de parcours et passer au sous-bassin suivant.

Connaissant la superficie de l’aire drainée et le coefficient de ruissellement, on calcule le débit par la méthode rationnelle : Q=

1 1 CI A= 0,4 138,5 1,0 = 0,154 m3 /s 360 360

On calcule alors le diamètre de la conduite coulant pleine qui peut passer ce débit avec une pente égale à celle de la rue sur une longueur donnée, avecun coefficient de Manning de 0,013 : nQ D =

3

8

1 S

3 16

0,013 0,154 = 0,3117

3

8

1 0,01

3 16

= 0,357 m

On choisit un diamètre commercial (arrondi au 5 cm supérieur) : Dc = 0,400 m On recalcule le débit plein que peut passer cette conduite :

112

113

Qp =

1 8 1 8 0,3117 Dc 3 S 2 = 0,4 3 0,01 2 = 0,208 m3 /s 0,013 n

Puis la vitesse pleine : Vp =

4Q 4 0,208 = = 1,66 m/s Dc2 0,42

nQ D =

3

8

1 S

3 16

0,013 0,444 = 0,3117

3

8

1 0,005

= 0,605 m

3 16

Diamètre commercial :

ce qui est une vitesse acceptable. Le temps de parcours dans cette conduite sera : tp =

Diamètre de la conduite coulant pleine :

Dc = 0,650 m Débit plein :

L = 100 ÷ (60 1,66) = 1,01 min 60V

Qp =

Conduite 2

1 8 1 8 0,3117 Dc 3 S 2 = 0,65 3 0,005 2 = 0,537 m3 /s 0,013 n

Cette conduite, qui le draine le deuxième sous-bassin, reçoit déjà un débit provenant de l’amont.

Vitesse pleine :

La superficie drainée est la somme des superficies drainées à l’entrée de cette conduite :

Vp =

4Q 4 0,537 = = 1,62 m/s, vitesse acceptable. Dc2 0,652

2

A = Ai = A1 + A2 = 1+ 1 = 2 ha

Le temps de parcours :

i=1

Le coefficient de ruissellement est calculé comme la moyenne pondérée des coefficients des aires drainées à ce point :

i

C=

i

i=1 2

A

L = 200 ÷ (60 1,62) = 2,06 min 60V

Conduite 3

2

C A

tp =

=

0,4 1+ 0,8 1 = 0,6 2

Superficie drainée : 3

A = Ai = A1 + A2 + A3 = 1+ 1+ 4 = 6 ha

i

i=1

i=1

Le temps de concentration est égal au maximum des temps de concentration et de parcours : Le coefficient de ruissellement :

t 3 = 11,01 min t c = max c1 = max 10 + 1,01 t c2 + t p1

3

C A i

C=

Intensité de précipitation :

i

i=1 3

A

=

0,4 1+ 0,8 1+ 0,6 4 = 0,567 6

i

i=1

3600 3600 I= = = 133,3 mm/h 16 + t c 16 + 11,01

Le temps de concentration est égal au maximum des temps de concentration et de parcours :

Débit de ruissellement : Q=

1 1 CI A= 0,6 133,2 2,0 = 0,444 m3 /s 360 360

114

t c3 8 t c = max t c2 + t p2 = max 3 + 2,06 = 13,07 min t + t + t 10 + 1,01+ 2,06 c1 p1 p2

115

Intensité de précipitation : I=

-

pente du sol ou S = 0,0025 par la formule de Manning :

3600 3600 = = 123,9 mm/h 16 + t c 16 + 13,07

nQ D =

Débit de ruissellement : Q=

1 1 CI A= 0,567 123,9 6,0 = 1,170 m3 /s 360 360

Diamètre de la conduite coulant pleine avec une pente minimale de 0,25 % puisque la rue a une pente de 0,2 % : nQ D =

3

8

1 S

3 16

0,013 1,17 = 0,3117

3

8

Calcul du diamètre de la conduite circulaire pleine avec le débit de dimensionnement et la

0,0025

3 16

-

= 0,991 m -

(6.4)

3 16

1 8 Dc 3 S 2 n

(6.5)

2

-

Débit plein : 8 1 8 1 0,3117 Dc 3 S 2 = 1,0 3 0,0025 2 = 1,199 m3 /s 0,013 n

1 Dc 3 12 4Q S = n 4 Dc2

(6.6)

Correction du diamètre ou de la pente pour obtenir un dimensionnement correct, le calcul de la pente en fonction des autres paramètres est donné par: n Q 2 1 S = D 163

Vitesse pleine :

(6.7)

c

4Q 41,199 = = 1,53 m/s, vitesse acceptable. Dc2 1,02

Le temps de parcours : tp =

S

Calcul de la vitesse d'écoulement pour vérifier si elle comprise entre 0,6 et 4,5 m/s: Vp =

Dc = 1,000 m

Vp =

1

On arrondit à la valeur supérieure ce diamètre pour prendre une valeur commerciale D c, minimum 300 mm, et on calcule le débit plein:

Diamètre commercial :

Qp =

8

avec = 0,3117 en S.I. et 0,4632 en S.A.

Qp =

1

3

-

Le temps de parcours (en min) est donné pour une conduite de longueur L par: tp =

L 60V

(6.8)

6.3.3 Principes de base des méthodes d'hydrogrammes

L = 200 ÷ (60 1,53) = 2,18 min 60V

6.3.2.Calcul de l'écoulement Une conduite pluviale est correctement dimensionnée lorsqu'elle peut faire écouler le débit de dimensionnement sans se mettre en charge, à des vitesses comprises entre 0,6 et 4,5 m/s et à une pente supérieure à 0,0025 (0,25 %). Les directives du Ministère de l'environnement préconisent de plus, un diamètre supérieur ou égal à 300 mm. Pour obtenir le bon diamètre, on procède comme suit :

116

Une simulation réelle du parcours de l'onde de crue dans un réseau de drainage ne peut se faire qu'en considérant le facteur temps. Pour cela, il suffit de découper un événement « pluie » en intervalles de temps, de considérer pour chaque pas de temps la quantité d'eau qui ruisselle pour arriver à chaque point d'entrée du réseau et d'accumuler, en fonction des quantités d'eau déjà présentes dans le réseau, le débit dans chaque conduite. Les dimensions physiques du réseau, longueurs, diamètres et pentes, permettront de déterminer les temps de parcours dans chaque branche. Nous aurons donc à chaque point de jonction du réseau la sommation des hydrogrammes d'apport et une telle simulation nous permettra de connaître l'hydrogramme réel en tout point du réseau. (fig 6.5)

117

Il est évident que plus le pas de temps sera petit plus la précision sera grande. Le nombre de calculs à effectuer sera donc proportionnel au nombre de pas de temps et, aussi, à la taille du réseau. Bien que ces calculs soient relativement simples, il est important de garder un parfait synchronisme de l'ensemble de leur déroulement.

Superficies tributaires

C'est pourquoi une telle méthode ne peut être effectuée à la main et que l'ordinateur devient un outil précieux. Dans ce qui suit, nous allons montrer le fonctionnement d'un modèle de ruissellement urbain en nous basant sur les caractéristiques du modèle SIRDU développé à partir du modèle ILLUDAS à l'École polytechnique de Montréal.

imperméables

Perméables Indirectement drainées

directement drainées

L'organigramme de base est montré à la figure 6.6 et présente les différentes étapes à franchir pour évaluer la progression d'un hydrogramme dans un réseau de conduite.

Fig 6.4 – Hydrogrammes de ruissellement à partir de diverses superficies.

118

119

Choix des pluies de dimensionnement Entrée des données

L'entrée fondamentale de ce type de modèle est évidemment la pluie ou encore le hyétogramme. Pour faire un dimensionnement correct et efficace de l'infrastructure de drainage, il convient donc d'entrer dans le modèle des pluies relativement rares mais critiques en termes de durée et d'intensité.

Pluie ?

réelle

Huff

Mitci

hydrogramme des superficies imperméables hydrogramme des superficies perméables hydrogramme d'apport

hydrogramme cumulé

non

hydrogramme amont

-

la pluie constante

-

la pluie de forme triangulaire

-

la pluie de Huff

-

la pluie de Chicago

-

la pluie de Mitci.

oui Rétention ?

Débit maximum?

Plusieurs pluies synthétiques ont donc été mises sur pied en fonction des caractéristiques météorologiques de la région considérée. Généralement ces pluies considèrent les paramètres physiques et statistiques de durée, d'intensité, de précipitation et de fréquence. Parmi les hyétogrammes synthétiques disponibles, citons :

oui

La pluie de Mitci, utilisée dans le modèle SIRDU est particulièrement intéressante sur ce plan car elle est construite à partir des courbes intensité-durée-fréquence et peut donc être adoptée à différentes régions du globe.

hydrogramme à véhiculer

Cette pluie synthétique se construit comme suit :

non

Pour une fréquence donnée, la relation intensité de précipitation en fonction de la durée s'écrit comme suit : Mode ?

i= Design

Gradient

Évaluation

a

(t

d

b)

(6.9)

c

où : Écoulement en conduite

Impression

oui

Fin ?

non

i = intensité de la précipitation td = durée a, b, c = constante déterminée à partir des mesures dans une région donnée On définit ensuite les temps avant ta et après tb la pointe d'intensité maximale mesurée à partir de cette pointe.

Fig 6.6 - Organigramme du modèle SIRDU

120

tb = r td

(6.10)

t a = (1 r ) t d

(6.11) 121

où r est le rapport entre la durée avant l'intensité maximale et la durée totale.

Caractérisation des sous-bassins

Les intensités avant et après la pointe peuvent s'écrire :

À partir de ces pluies, il faut considérer l'apport net de la quantité d'eau dans le réseau de drainage en fonction des caractéristiques d'écoulement et de rétention des bassins drainés. Il convient donc de tenir compte des paramètres suivants :

t a(1 c) b + b r ib = 1+c t b ( ) + b r

(6.12) •

t a(1 c) b + b 1 r ia = 1+c tb ( ) + b 1 r

La relation surface-temps, la forme du bassin sera déterminante dans cette relation

Le temps de concentration, les comportements en ruissellement seront ici primordiaux.

Les bassins sont donc caractérisés en fonction de leur taux de ruissellement. En milieu urbain, on rencontre généralement : (6.13)

En pratique, on peut utiliser une méthode discrète pour calculer le hyétogramme à partir du pas de temps choisi. L'intensité de pointe sera alors calculée comme étant l'intensité de précipitation correspondant à une durée de pluie égale à l'intervalle de temps choisi. Règle générale, le rapport r est égal à 0,5. Le hyétogramme synthétique peut être donc généré en connaissant le pas de temps choisi, la période de récurrence et la durée totale de pluie, fig. 6.7.

Intensité de précipitation

-

•

Des superficies imperméables directement drainées Les temps de concentration seront déterminés par une formule d'écoulement de type Manning: -2

t c = n L Rh

3

S

-1 3

(6.14)

où : tc = temps de concentration n = coefficient de Manning Rh = rayon hydraulique S = pente moyenne du terrain L = longueur de drainage Dans le modèle SIRDU, on considère n = 0,017 et R = 0,06 m ce qui représente un débit moyen dans les caniveaux de l'ordre 0,035 à 0,07 m3/s par hectare.

t

b t t

a

d Temps T d

Fig 6.7 - Hyétogramme synthétique

La relation surface-temps du bassin dépend de la forme du bassin de la tête à l'exutoire, autrement dit, de la répartition des surfaces isochrones. Étant donné la grande variété de configurations possibles, il convient de faire des hypothèses simplificatrices sur ce plan en adoptant une ou plusieurs surfaces types de forme géométrique simple. Le modèle SIRDU utilise une relation linéaire où la surface de ruissellement est initialement nul et égale à la surface totale au temps de concentration. Ceci est à peu près correct pour une surface carrée ou rectangulaire ayant un rapport longueur-largeur égale à quatre. Sur ces surfaces imperméables, on considère qu'une certaine quantité d'eau sera obtenue en début de précipitation en raison des petites dépressions de surface, on soustrait donc une hauteur de 2 mm au hyétogramme, une autre valeur peut cependant être choisie par l'utilisateur. L'hydrogramme de ruissellement est alors calculé en fonction du temps de concentration, donc des surfaces participantes et du hyétogramme net.

122

123

•

Des superficies perméables et imperméables indirectement drainées Notons que les superficies imperméables indirectement drainées sont des superficies imperméables qui se drainent sur des superficies perméables lesquelles s'écoulent dans le réseau.

f0 = taux d'infiltration en sol sec fc= taux d'infiltration en sol saturé K = constante L'hydrogramme de ruissellement est alors calculé de façon semblable au cas précédent, c'està-dire en tenant compte du hyetogramme net.

Le temps de concentration s'écrit dans ce cas: 2

t c = C K L qe 3

(6.15)

avec :

Finalement, l'hydrogramme total sera constitué de la somme des hydrogrammes provenant des superficies, de l'hydrogramme des conduites en amont et d'un éventuel hydrogramme d'apport. Ce dernier permet de simuler un débit de temps sec dans le cas d'un égout unitaire. Dimensionnement des canaux et conduites

K = (C1 I + c) S

1 2

Différentes possibilités peuvent être considérées avant que l'eau ne parviennent aux conduites et aux canaux, ce sont:

et :

• Les bassins de rétention dont le volume est fixé

qe = C2 I L

• Les déversoirs limitant le débit à un maximum.

où : Le principal élément à retenir dans le calcul du transport de l'hydrogramme dans les conduites et les canaux est leur capacité d'emmagasinement.

tc = temps de concentration C = constante d'unités 0,0222 m1/3s1/3, 0,033 pi1/3s1/3 L = longueur de drainage I = intensité moyenne de précipitation c= coefficient de terrain S = pente qe = débit unitaire à l'équilibre C1 = 2,76 x 10-3 h/mm (Izzard) C2 = 2,78 x 10-7 m h/mm s (Izzard)

Ceci sera, bien sûr, fonction de la géométrie de ces ouvrages (conduite circulaire, rectangulaire ou canaux trapézoïdaux). On doit donc mettre en relation l'emmagasinement et le débit de sortie pour chaque tronçon, et ceci pour chaque intervalle de temps en considérant par hypothèse simplificatrice, que l'écoulement est uniforme (d'où l'intérêt de choisir des pas de temps petits). Au milieu d'un pas de temps, à t/2, on écrit :

Le temps de concentration des superficies perméables indirectement drainées est ajouté au temps calculé ci-dessus.

2Ve + Qs t

(6.17)

où :

La relation surface-temps est la même que précédemment. L'hydrogramme net est constitué d'une partie de la pluie car l'autre partie est, soit retenue, soit infiltrée. L'infiltration est elle-même fonction de la capacité du sol à emmagasiner de l'eau; ceci ne dépend pas uniquement de la nature du sol mais aussi des conditions d'humidité précédente.

Qe : débit entrant Qs : débit sortant Ve : volume d'emmagasinement t : pas de temps L'emmagasinement est calculé en fonction de débit de sortie, lequel est inconnu :

Une relation telle que celle de Horton peut alors être utilisée: f (t ) = f c + ( f 0 f c ) eKt

Qe =

(6.16)

Ve = f (Qs )

(6.18)

La fonction f(Qs) dépend de la forme de la conduite et de la formule d'écoulement de Manning :

où : f(t) = taux d'infiltration 124

125

Qs =

1 A A n P

2

3

S

6.4.2 Méthode de calcul des écoulements

1 2

(6.19) L'écoulement étant à surface libre on emploie la formule de Manning, de plus on aura fréquemment à calculer des écoulements dans des conduites circulaires partiellement pleines (Fig 6.7 ). Les relations suivantes seront donc fort utiles .

où : n : coefficient de Manning A : section d'écoulement P : périmètre mouillé S : pente de la conduite

D

Les expressions de A et de P pour une conduite circulaire, par exemple, sont complexes. Elles peuvent être déterminées analytiquement à partir de la géométrie de la section, ou bien, elles peuvent être données sous forme discrètes en fonction de la hauteur relative d'écoulement. Si on utilise des expressions analytiques, la relation d'écoulement en conduite devient:

y T

Qe =

2 f (Qs ) + Qs t

(6.20)

Comme Qe et t sont déjà connues, le débit de sortie Qs doit être déterminé par une méthode itérative de Newton-Raphson, en raison de la non-linéarité de cette dernière relation Les capacités limites de chaque tronçon du réseau pourront donc être considérés, ainsi que les mises en charge et les débordements seront détectés par le modèle. Ce type de modèle peut être utilisé, soit pour analyser un réseau existant, déterminer la cause d'un problème ou bien pour vérifier un nouveau dimensionnement. Une fois les données entrées dans l'ordinateur, elles peuvent être modifiées en partie, au niveau des pluies, des sous-bassins ou du réseau pour améliorer la performance et l'efficacité d'une hypothèse de modification.

Fig 6.7 - Conduite circulaire partiellement pleine. La relation entre la profondeur relative et l’angle au centre s’écrit :

( 2 ) = 1 2Dy

cos

(6.21)

Le périmètre mouillé : P=

D 2

(6.22)

L'aire de la section d'écoulement :

6.4 L'égout sanitaire A=

6.4.1 Notions de base Avant de procéder au dimensionnent du réseau sanitaire, il faut obtenir de l'information sur les débits maximum, moyen et minimum des secteurs à desservir. Les normes prescrivent des vitesses d'écoulement comprises entre 0,6 et 4,5 m/s. Une pente minimale de 0,25% et un diamètre minimal de 200 mm. On devra aussi porter attention aux points suivants : • Éviter les infiltrations et les fuites • Réduire le plus possible les causes potentielles d'obstacles à l'écoulement

1 ( sin( )) D2 8

(6.23)

La largeur au miroir :

( 2)

T = D sin

(6.24)

Le rayon hydraulique : sin( ) D Rh = 1 4

(6.25)

avec en radians.

• Prévoir des accès pour l'entretien

126

127

Ces relations permettent d'obtenir le graphique de la fig 6.8 Il permet d'obtenir les caractéristiques hydrauliques en fonction du rapport des hauteurs d'écoulement y/D, ce qui permet de simplifier les calculs en se référant à la conduite coulant pleine.

V=

1 16 Rh ( s 1) d n

(6.26)

avec : n : Coefficient de Manning 1

: Coefficient empirique adimensionnel 0,9

Périmètre

= 0,04 pour calculer la vitesse nécessaire à initier le transport

Aire

0,8

= 0,8 pour calculer la vitesse nécessaire à maintenir le transport Débit

0,7

s : densité relative de la particule, 2,65 pour les minéraux, 1,01 pour la matière organique.

0,6

D : diamètre de la particule en m Remarquons que cette relation n'est pas une formule d'écoulement mais bien un critère de vitesse.

0,5

0,4

De plus, notons que la vitesse auto-nettoyante est fonction du rayon hydraulique, il est donc normal que la vitesse requise pour transporter une particule soit plus petite pour une hauteur d'écoulement plus faible.

Rayon hydraulique 0,3 Vitesse

Si la vitesse d’écoulement n’est pas assez grande pour déplacer les particules prescrites, il faut modifier l’écoulement en ajustant la pente. On peut estimer la nouvelle pente en posant que la vitesse d’écoulement doit être égale à la vitesse d’auto nettoyage :

0,2 0,1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 Rapport

0,6 des

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

propriétés

Fig 6.8 - Propriétés hydrauliques d'une section circulaire 6.4.3 Vitesse auto-nettoyante ou d’autocurage La vitesse minimale de 0,6 m/s, coulant en régime plein, a été prescrite pour empêcher que les matières organiques se déposent dans les conduites ce qui risque de former des gaz nauséabonds, parfois toxiques et même pire, explosifs. Cette règle est considérée comme satisfaisante dans la pratique, cependant, si l’on désire plus de détails on peut utiliser une formule mettant en relation la vitesse, la taille des matières solides et leur densité. À partir des études portant sur le transport de matières solides par un fluide faites par Shields, on peut écrire une relation exprimant la vitesse nécessaire pour générer la force requise pour déplacer et transporter une particule organique ou minérale:

128

1 2 3 12 1 16 Rh S = Rh ( s 1) d n n en isolant S, il vient : S=

( s 1) d Rh

Le rayon hydraulique est approximatif est le fait de prendre le rayon des conditions précédentes conduits à une estimation réaliste et efficace. Il convient cependant de recalculer complètement la conduite car le fait de changer la pente peut entraîner une réduction de diamètre. 6.4.4 Étapes du dimensionnement de l'égout sanitaire a) Placer sur plan les conduites et les regards b) Déterminer les aires des surfaces desservies par chaque conduite

129

c) Déterminer le débit de dimensionnement soit le débit moyen multiplié par le rapport Qmax/Qmoy auquel on ajoute l'infiltration et de captage. (l'infiltration moyenne est de l'ordre de 225 L par cm de diamètre et par km de longueur par jour) Ramener le débit en débit per capita pour chaque aire desservie. d) En partant de l'amont, évaluer les débits cumulatifs dans chaque conduite, à la conduite i, i

Q = q j d j Aj

(6.27)

j=1

6.6 Principes de gestion des eaux de précipitation Une gestion efficace et sûre des eaux de précipitation repose sur des principes qui concernent aussi bien la protection de la vie humaine que la préservation des installations matérielles et de la qualité de l’environnement. Par ordre d’importance, on peut énoncer les principes suivants : - Protéger de la vie humaine face aux risques d’inondation. - Éviter les dommages à la propriété publique et privée. - Minimiser les impacts des précipitations sur les activités normales. - Conserver la qualité de l’eau. Les aménagements et les infrastructures construites devront se comporter de façon à respecter ces principes de base. Des connaissances en hydrologie statistique nous permettront d’évaluer les risques et la maîtrise des écoulements à surface libre nous aidera à garantir l’efficacité hydraulique des ouvrages.

avec qj, le débit per capita et dj la densité de population pour l'aire Aj e) Calculer le diamètre de la conduite sur les bases suivantes: 1° 0,5 y/D 1 2° Conduites le plus possible parallèles au sol en respectant l'enfouissement minimum. 3° Le débit minimum journalier doit garantir des conditions d'auto-nettoyage. 4° Le débit de pointe doit pouvoir être évacué par les conduites. 5° Tenir compte de la période d'utilisation de 25 @ 50 ans pour vérifier les débits, il est préférable d'utiliser Qmin en début de période et Qmax en fin de période.

6.7 Hydraulique des caniveau et des grilles d’égouts pluviaux Les eaux de ruissellement doivent être acheminées au réseau de collecte. L’entrée dans ce réseau se fait principalement par des grilles au niveau de la chaussée. Ces grilles sont situées dans des points bas pour créer une pente hydraulique suffisante pour y attirer une partie du débit de ruissellement. Sur les terrains de stationnement et autres surfaces non orientés à drainer, on crée une topographie en pyramides plates inversées au sommet (ici, le point le plus bas !) desquelles on place la grille. Toute l’eau tombant sur la zone pyramidale est donc attirée au centre. Dans les artères de circulation, on vise à dévier le ruissellement vers le coté de la voie carrossable en donnant à cette dernière une pente latérale à partir du centre de la voie, c’est ce que l’on appelle le dévers. Lorsque la rue est limitée par une chaîne de rue, le ruissellement se concentre entre cette chaîne et la chaussée pour former un écoulement dans la direction longitudinale. Cette zone d’écoulement est appelée le caniveau (fig 6.9).

6.5 Collecte des eaux à traiter Depuis la mise en route du programme d'assainissement des eaux usées, des travaux d'équipements hydrauliques sont effectués pour créer une infrastructure de collecte des eaux usées à la sortie des réseaux d'égout existant. Il s'agit essentiellement d'intercepter les eaux usées à l'endroit où elles étaient rejetées sans traitement en nature pour ensuite les acheminer vers les unités de traitements. Deux problèmes sont généralement rencontrés. Le premier est lié à la nature gravitaire des réseaux d'égouts puisque les exutoires de ces réseaux sont situé dans les points bas. On construit donc des postes de refoulement pour retourner vers les usines d'épuration les eaux usées. Le deuxième problème est lié au fait que les réseaux comportent parfois des parties très anciennes qui servaient à la fois pour évacuer les eaux sanitaires et de précipitation. Comme il ne serait pas économique de construire une usine d'épuration capable d'absorber les pointes de débits causées par des précipitations intenses, on prévoit des systèmes qui limite l'accès aux usines et retiennent et déversent une partie des eaux mêlées dans le milieu naturel

dévers

caniveau

T y m

1

Figure 6.9 – Écoulement en caniveau.

130

131

6.7.1 Caniveaux L’écoulement en caniveau se calcule avec la formule de Manning, pour connaître la hauteur d’écoulement en fonction du débit, on évalue les paramètres de la section d’écoulement puis on calcule la hauteur normale : T = my A=

Ty my = 2 2

6.7.2 Grilles d’égout pluvial Les grilles d’égout pluvial sont en général de forme rectangulaire dans les caniveaux et circulaire ou carrée pour les surfaces non orientées. On considère qu’elles fonctionnent comme un déversoir sur une partie ou la totalité de leur périmètre. Le débit intercepté par la grille se calcule en fonction de la hauteur de la lame d’eau à proximité de la grille et du périmètre efficace :

2

(

)

P = y + m2 y 2 + y 2 = y 1+ m2 + 1 Rh =

my

(

)

2 1+ m2 + 1

QG = CwPy1,5 (6.32) Cw : coefficient de perte de charge de 1,5 à 1,7 P : périmètre efficace, pour une grille rectangulaire en caniveau, P est la somme de la largeur et la longueur de la grille, pour une grille ronde sur un parking, P est la circonférence. y : hauteur d’eau à proximité de la grille. Lorsque le débit dans le caniveau devient trop important et que la largeur du filet d’eau dépasse 1,5 m, on place une grille pour soustraire du débit le débit intercepté par la grille. où :

La formule d’écoulement devient donc : my my Q= n 2 2 1+ m2 + 1 2

(

Dans la pratique, on considère que la largeur maximale acceptable du filet d’eau T ne doit pas dépasser 1,5 m. Par ailleurs, on admet généralement une hauteur de chaîne de rue (ymax) de 15 cm et un coefficient de Manning n = 0,017. Règle générale, la pente de la rue minimale de devrait pas être inférieure à 0,004 et la vitesse maximale dans le caniveau doit être inférieur à 3 m/s.

)

2

3 5 8 1 1 m 3y 3 2 S 2 S = 2n 2 3 2 1+ m2 + 1

(

)

(6.28)

d’où l’on tire la 2 2nQ 3 2 1+ m2 + 1 y = 5 1 m 3 S 2

(

)

3

8

(6.29)

Cependant, dans le cas des caniveaux, la valeur de m est comprise entre 10 et 50 et le périmètre mouillé peut être approximé par : P = my et le rayon hydraulique devient : Rh =

y 2

ainsi l’expressions 6.28 et 6.29 deviennent respectivement : Q=

m 5

8

y 3S

1 2

(6.30)

3

2 n 53 2 nQ y = 1 mS 2

3

8

(6.31)

132

133

6.7

a) Expliquer ce que représente la courbe intensité-durée-fréquence.

Exercices 6.1

Que signifie "conduite coulant pleine"? Quelle différence y a-t-il avec une conduite en charge?

6.2

Dans une conduite circulaire, nous savons qu'il coule un débit de 1,4 m3/s avec un y/D = 0,75 et que le débit minimum de 0,3 m3/s coule à la vitesse minimum. Le coefficient de Manning est de 0,01. Déterminer le diamètre et la pente de la conduite de même que la hauteur d'écoulement pour le débit minimum. (D = 1,6 m, S = 2 x 10-4)

6.3

En posant un débit maximum d'eau usée de 0,1 m3/s et un débit moyen de 0,05 m3/s, calculer une conduite d'égout sanitaire sous une rue de pente 1 % en respectant une vitesse d'autonettoyage pour le débit moyen transportant efficacement des grains de sable de 1 mm (S=2.65, n=0,013 et diamètres commerciaux tous les 0,05m ). (D = 0,3 m, S = 0,02)

6.4

Calculer la conduite pluviale pour un débit de 0,3 m3/s avec n=0,013 et une pente de rue de 1 %. Quels diamètres de particules de sable pourra-t-elle entraîner si le débit est de 0,1 m3/s? (D = .5 m, 0.35 mm < d < 7 mm)

6.5

Une conduite d'égout sanitaire en béton (n=0,013) de 510 mm de diamètre peut passer un débit maximum de 250 l/s (en régime de conduite pleine). Le débit minimum est de 15 % du débit maximum.

b) Calculer le débit de ruissellement pour un bassin de 2 ha dont le terrain présente 40 % de surfaces imperméable (C=1) et le reste en couvert végétal (C=0,3). Le temps de concentration est estimé à 15 minutes. La courbe IDF pour une fréquence de 1/10 ans est donnée par: I = 2000 15 + t

[ mm/h ] et t en min

(Q = 0,2127 m3/s) 6.8

Considérant le schéma de la figure suivante, dimensionner les conduites d'égout pluvial et vérifier la gamme de diamètres de particules minérales (s = 2,65) pouvant être déplacées par l'écoulement pour les débits les plus grands. La courbe IDF pour une fréquence de 1/10 ans est donnée par: I = 2000 20 + t

[ mm/h ] et t en min

A = 2 ha C = 0,9 tc = 5 min.

a) Calculer la profondeur d'écoulement pour le débit minimum.

A = 2 ha C = 0,6 tc = 15 min

100 m 1%

b) Déterminer la pente de la conduite. c) Vérifier le diamètre de la particule de sable (s=2,65) que peut déplacer le courant en régime de débit minimum sans la maintenir en suspension.

100 m 2%

(D1 = 520 mm, D2 = 480 mm) 6.9

Pourquoi ne faut-il plus construire de systèmes d'égout pseudo-séparés?

(a) y = 125,5 mm b) S = 0,4% c) d = 9,04 mm) 6.6

Décrire brièvement, mais en faisant ressortir les éléments déterminants, ce que l'on désigne par: -

égout combiné égout séparé égout pseudo-séparé

6.10 Une conduite d'égout sanitaire doit desservir un groupe de 1000 personnes qui rejettent en moyenne 300 L/h-d. Cette conduite en béton (n=0,013) sera placée sous une rue ayant 0,7% de pente. -

Calculer le débit maximum devant servir à dimensionner cette conduite.

-

Calculer son diamètre, la hauteur d'écoulement et la vitesse pour ce débit maximum.

-

Déterminer les gammes de diamètres de particules minérales (s = 2,65) et organique (s = 1,01) pourra entraîner et transporter ces conditions d'écoulement.

Que conclure sur le comportement des particules organiques.

134

135

6.11 Un égout sanitaire est calculé pour un débit maximum de 60 l/s. Quelle pente doit-on lui donner pour qu'il transporte efficacement à débit moyen ( 0,8 Qmax) des particules organiques de densité relative de 1,03 et de diamètre de 2 cm? La pente de la rue est négligeable.

Chapitre 7 - Éléments de conception des installations de traitement Ce chapitre, traite principalement des aspects hydrauliques du traitement des eaux que ce soit pour la production d’eau potable ou encore pour l’assainissement des eaux usées. On y abordera les dispositifs hydrauliques de contrôle des volumes d'eau à traiter, la séparation des eaux de ruissellement, la configuration des usines selon les divers modes de traitement et enfin les dispositifs de rejets en nature.

7.1 Installations de pompage Parmi les éléments les plus fréquement utilisés dans ce domaine il faut compter les installations de pompage. Elles servent dans la production d’eau potable au niveau de l’élévation des eaux brutes et de la distribution alors que dans le cas des eaux usées elles font parties du système de collecte en refoulant les eaux usées vers les points de traitements 7.1.1 Courbes caractéristiques et point de fonctionnement Les courbes caractéristiques de la charge en fonction du débit sont établies pour la pompe et pour l'installation hydraulique concernée. On y trace aussi la courbe de rendement de la pompe (figure 7.1)

2

1 3

rendement

charge

A

débit Fig. - 7.1 1 - H = f(Q), courbe caractéristique de la pompe 2 - H = Ho + h, courbe caractérisique du système, charge totale à remonter plus les pertes de charge 3 - Courbe de rendement A - Point de fonctionnement

136

Le point de fonctionnement correspond, pour un débit donné, à la capacité de la pompe à équilibrer la charge hydraulique totale à remonter incluant les pertes de charge à l’amont et à l’aval de la pompe. Pour le déterminer, il faut calculer le point d’intersection de la courbe de pompe et de la courbe du système. Le point correspondant à Q=0 doit être au dessus de la courbe 2, autrement le système ne pourra pas démarrer La région hachurée doit avoir la plus grande surface possible en restant compatible avec un bon fonctionnement par rapport au rendement Le régime de la pompe est d'autant plus stable que les courbures des courbes 1 et 2 sont grandes. Le point de fonctionnement doit se situer légèrement au delà du rendement maximum pour tenir compte du vieillissement de l'installation. Les pertes de charges ne doivent pas être trop surévaluées par rapport à la réalité car le point de fonctionnement réel sera loin du point de rendement maximum. 7.1.2 Choix de la pompes Le choix d’une pompe se fait à partir d’un catalogue de pompes disponible auprès des manufacturiers. On se sert des points de fonctionnement pour choisir une pompe qui les satisfait tout ant ayant le meilleur rendement possible. 7.1.3 Pompes en série et en parallèle Si la gamme de débit à pomper est assez large, on a intérêt à utiliser un groupe de pompes en parallèle. À l'inverse, si les charges sont grandes, on pourra utiliser des pompes installées en série. Les schémas suivant décrivent ces installations sur le principe de charge commune et somme des débits pour le regroupement en parallèle, et débit commun et somme des charges pour un système en série.

2

3

A

HA

(2) (3)

(1)+(2)+(3)

(1)+(2)

QA

Q2 Q1Q3

Fig. 7.2 - Schéma d’un groupe de pompes en parallèle.

138

3

(1)+(2)+(3) A HA Hp

(1)+(2)

(1) H1 H3 H2

(2) (3)

QA

Q

Fig. 7.2 - Schéma d’un groupe de pompes en série.

H = 70 10Q 200Q

Hp (1)

2

7.1.4 Exemple On désire évaluer le point de fonctionnement d’une pompe utilisée pour remonter de l’eau d’un réservoir dont le niveau est à la cote 0 m vers un reservoir dont le niveau est à la cote 50 m. La pompe est reliée au réservoir amont par une conduite de 20 m de long et de 30 cm de diamètre puis elle refoule l’eau dans le réservoir aval par une conduite de 100 m de long et de 30 cm de diamètre. La courbe de la pompe est :

H 1

1 H

Q

2

Solution : On calcule la courbe du système en incluant les pertes de charges (ici on a négligé les pertes singulières mais on pourrait, au besoin, facilement les rajouter) : Conduite amont : 1,85 1,85 1 1 L 20 h1 = Q1,85 = Q1, 8 5 = 14, 9459Q1,85 100 0, 2785 0, 34,87 C D4,87 Conduite aval : 1,85 1,85 1 1 L 100 1,85 1,85 h2 = = Q = 74, 7296Q1,85 4,87 Q 100 0, 2785 0, 34,87 C D Charge totale : 139

H = Haval Hamont + h1 + h2 = 50 + 89,6756Q Le débit de fonctionnement est obtenu en posant que la courbe de pompe est égale à la courbe du système puis en résolvant pour Q. Ceci peut se faire sur une calculette résolvant des équations non linéaires, sur Excel ou sur Maple. 70 10Q 200Q2 = 50 + 89, 6756Q1,85 20 10Q 200Q2 89,6756Q1,85 = 0 1,85

7.2 Vannes de contrôle de débits Le contrôle des hauteurs d’écoulement et des vitesses se fait généralement au moyen de vannes orifices verticales. Le débit qui traverse une telle vanne s’écrit:

Pour obtenir rapidement une solution approximative, il suffit de remplacer l’exposant 1,85 par 2 et de résoudre l’équation quadratique en choisissant la bonne racine. Quelques itérations avec l’équation originale permet alors de raffiner la solution.

Q = µbl 2gh1 où l est la largeur de la vanne.

# Équation à résoudre : 20-10*Q-200*Q^2-89.6756*Q^1.85; > eq:=20-10*Q-200*Q^2-89.6756*Q^1.85=0; 2 1.85 eq := 20 - 10 Q - 200 Q - 89.6756 Q = 0

Connaissant le débit et les conditions d’écoulement à l’aval, on peut déterminer l’ouverture b de la vanne de façon à ajuster le niveau h1 pour garantir une vitesse d’écoulement adéquate. La figure 7.3 donne les valeur du coefficient de débit µ en fonction des différentes configurations possibles. 0,7 DÉVERSEMENT LIBRE

> Q:=solve(eq,Q);

0,6

V12

Q := .2379428097

2g

0,5 h

> H:=70-10*Q-200*Q^2;

V32 2g

V22

H := 56.29721576

h 2g

0,4

µ 0,3

2

h1 h3

4

6

8

0,2

b h2

h 10 = 3 b

0,1 0 0

2

4

6

8 h1 b

Fig. 7.3 - Coefficients de débits de vannes verticale

140

141

10

12

14

16

Chapitre 8 - Régimes transitoires dans les systèmes hydrauliques

Exercices 7.1

Une pompe dont la courbe est:

8.1 Introduction

h p = 15 125Q2 refoule dans une conduite de 25 cm de diamètre et d'une longueur de 2000 m pour atteindre un réservoir. La charge statique à remonter est de 15 m. Si on choisit un coefficient d'Hazen-Williams C = 120, quel sera le débit de la pompe? D'autre part, on prévoit que le coefficient d'Hazen-Williams atteindra C = 100 en raison du vieillissement de la conduite, quel sera alors le débit de la pompe? 7.2

Un débit de 2 m3/s arrive dans un canal rectangulaire de 2 m de large. Si on en contrôlait le niveau au moyen d'une vanne-orifice d'ouverture de 30 cm de hauteur, quelle devrait être la hauteur minimale des parois du canal? Calculer aussi les vitesses d'écoulement dans le canal et au droit de l'orifice. Doit-on s'attendre à la formation d'un ressaut hydraulique à l'aval de la vanne? Si oui, pourquoi ?

Dans les systèmes hydrauliques en charge, les variations de pression causées par des changements de régime plus ou moins rapides, voire brusques, entraînent des contraintes sur le matériel qui dépassent largement celles du régime statique ou permanent. Le dimensionnement d'une ligne d'adduction ou de refoulement se trouve donc affecté par ces valeurs extrêmes. C'est d'autant plus vrai dans le cas des stations de refoulement des eaux usées puisque leurs pompes sont fréquemment et périodiquement démarrées et arrêtées dans des conditions contrôlées. De plus, en situation d'urgence, ces systèmes sont soumis à des conditions extrêmes auxquelles ils doivent, dans la mesure du possible, résister. Une analyse des différents régimes transitoires permettra de déterminer les conditions de dimensionnement ainsi que les mesures de protection pour les cas exceptionnels. Compte tenu de la complexité du phénomène, il n'existe pas de solutions analytiques complètes permettant de résoudre le problème. Des méthodes approximatives, graphiques ou numériques, ont donc pris le relais pour permettre aux ingénieurs de quantifier ce type de phénomènes. La disponibilité croissante de la puissance de calcul des ordinateurs à un coût décroissant a permis de développer des outils numériques de simulation dont la précision et la fiabilité sont déjà fort acceptable en autant que l'on respecte les conditions d'utilisation. Les objectifs de ce cours sont donc: a) d'examiner les concepts de bases de la modélisation des transitoires hydrauliques, b) de définir les conditions d'utilisation d'un tel modèle et c) d'en considérer l'exploitation surtout en matière de protection contre les effets néfastes des variations de pression.

8.2 Description des phénomènes physiques en jeu. 8.2.1 État d’équilibre d’un système hydraulique Les phénomènes de transitoires hydrauliques apparaissent lorsque l’équilibre des forces agissant sur un système est modifié. Quand un liquide est en mouvement dans une conduite et que ce mouvement ne varie pas dans le temps, il y un état d’équilibre permanent. En fait, il y a équilibre entre l’énergie disponible (ou potentielle) et les énergies dues au mouvement (cinétique) et perdues par le frottement, ce qui définit un mouvement permanent. Cette vision est macroscopique car, à une échelle plus petite, on observe que les vitesses fluctuant constamment autour d’une valeur moyenne, c’est une manifestation de la turbulence. Pour les besoins de l’analyse que nous ferons ici, nous ne considérerons que les effets globaux, moyens dans le temps, de la turbulence, notamment en ce qui concerne l’évaluation des forces de frottement selon le régime d’écoulement.

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© Jean-Loup Robert

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8.2.2 Perturbation de l’équilibre, effet sur les pressions Si on considère la conduite dans laquelle coule un liquide en régime permanent, le niveau de la pression est fort raisonnable, soit inférieur à celui de la pression hydrostatique dans des conditions d’écoulement nul. Qu’advient-il lorsque, pour une raison ou une autre, il y a une modification temporelle de l’écoulement par accélération ou décélération? La réponse du physicien se base sur les principes de la mécanique newtonienne. Il y aura un transfert d'énergie entre les énergies potentielle et cinétique pour chercher à atteindre un nouvel équilibre en tenant compte des pertes et sans transgresser le principe de conservation de l’énergie. Cette réponse, toute rigoureuse qu’elle soit, peut nous paraître bien aride et nous pouvons nous demander comment cela peut s’appliquer au simple cas de la masse d’eau qui circule en régime permanent dans une conduite et qui voit son mouvement modifié. Partant des principes que, dans un fluide, l'énergie potentielle se traduit par une énergie de pression et que, d'autre part, l'eau n'est pas absolument incompressible et que la conduite admet des déformations élastiques, on peut analyser un cas particulier.

V=0

C

V = Vo

phase 1, temps écoulé: t =

L C

V=0 phase 2, temps écoulé: t =

Considérons donc un système, analogue à une situation de refoulement, où l'eau coule à une vitesse Vo pour alimenter un réservoir dont le niveau est gardé constant. Le phénomène, illustré à la figure 1, peut être décrit en quatre phases. V=0

-C

V = -Vo

-C

V = Vo

2L C

V = -Vo

C

phase 3, temps écoulé:t =

3L C

V=0 phase 4, temps écoulé: t =

4L C L

Fig. 1 - Quatre étapes d'un cycle de variation de pression 1) Au temps t = 0, la vanne située à l'amont du système est fermée, immédiatement et à proximité de la vanne, la vitesse d'écoulement s'annule, donc l'énergie cinétique fait de même et doit être compensée par un gain d'énergie potentielle sous forme d'une dépression puisque le mouvement initial de l'eau à tendance à tirer sur la partie de la colonne d'eau qui est immobile. Cette énergie de dépression se traduit mécaniquement par une énergie de déformation qui tend à réduire le diamètre de la conduite. Ce phénomène se poursuit jusqu'à ce que toute la conduite soit mise en compression, ce qui prend un temps égal au rapport de la longueur 'L' sur la célérité de l'onde de déformation 'C'. 2) Lorsque que l'onde de dépression atteint le réservoir, celle-ci se dissipe puisqu'il règne à cet endroit une pression constante. À ce moment précis, plus rien ne retient la mise en compression de la conduite et elle commence à reprendre sa forme à proximité du réservoir. L'augmentation de volume ainsi créée, entraîne le remplissage de la conduite à une vitesse 144

145

145


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V o et moins phase 1

jusqu'à -Vo

Ce cycle de période T = 4L C se répéterait indéfiniment, s'il n'y avait pas de frottement. Les effets du frottement agissent essentiellement sur l’amortissement de l’amplitude de la variation de pression. Le cas que nous venons d’étudier, est typique d’une installation de refoulement car il commence par une dépression à l’amont du système. Toutefois, un autre cas critique est à considérer, celui de la conduite forcée ou de l’adduction gravitaire. Dans cette configuration la manoeuvre d’une vanne à l’aval du système entraîne une surpression au voisinage de la vanne semblable à celle observée à l’étape 3 du cas précédent. Le phénomène suit alors les étapes 4, 1, et 2.

BANG!

équivalente à la vitesse initiale du fluide puisque la déformation initiale de la conduite est directement liée à cette dernière. Ce phénomène a la même durée que celle de l'étape précédente. 3) Au moment où toute la conduite a repris sa forme, la vitesse de l'eau doit s'annuler en frappant la vanne fermée. Encore une fois, on doit avoir transformation de l'énergie cinétique en énergie potentielle par contre, cette fois, l'énergie de pression est positive puisque l'inertie de l'eau tend à comprimer la partie immobile de la colonne d'eau. Cette surpression met en tension la conduite qui se dilate. La vitesse de l'onde de déformation 'C' étant constante, la durée de cette étape est identique à celle des précédentes. 4) Le surplus d'eau dû à l'augmentation du volume de la conduite commence à s'évacuer près du réservoir à une vitesse Vo de façon à ce que la conduite reprenne son diamètre initial. À la fin de cette étape, toute la conduite aura retrouvé les conditions initiales et l'étape 1) pourra recommencer.

146

Ces deux cas sont considérés dans le cas d'un arrêt ou d'une décélération, cependant, ils peuvent aussi être soumis à des départs ou accélérations plus ou moins rapides qui entraîneront des variations importantes de pression.

fin de la phase 2 Fig. 2 - Deux premières étapes d'un cycle avec rupture de colonne d’eau.

Dans l’exemple précédent, nous avons considéré que le fluide était parfaitement élastique quel que soit son état de contrainte, compression ou tension. Cependant, en situation réelle, un liquide se rompt en tension. Pour l’eau, une dépression d’environ -10,25 m d’eau entraîne cette rupture. Il se crée alors une cavité de vide ou presque puisqu’il y subsiste une pression de vapeur saturante. Dans un cas concret, les conséquences de cette rupture sont nombreuses et importantes. Dans le cas que nous avions examiné précédemment, si on admet que cette rupture survient au moment de la fermeture de la vanne et à proximité de celle-ci, le comportement du système sera radicalement différent. Lors de la phase 1 (fig. 2), la colonne d’eau n’est plus retenue que par la cavité de vide et elle s’éloignera avec une vitesse initiale Vo. Puis, dans une deuxième phase, la pression négative de la cavité créera une force de rappel constante qui ralentira la colonne d’eau. Une analyse par modèle mathématique simple permet de constater que cette force de rappel finira par inverser la vitesse de la colonne d’eau et que cette dernière viendra refermer avec une vitesse proche de Vo la cavité. L’impact, en général assez violent, générera une onde de surpression qui se propagera comme dans les phases 3 et 4 du cas précédent pour recommencer, si la dépression est suffisante par un autre cycle initié par une rupture. Il est important de souligner ici que les étapes 1 et 2 ne se déroulent plus sur des périodes réglées par la célérité de l’onde de pression mais plutôt par des vitesses de l’ordre de celle de l’écoulement initial.

146

phase 2

-Vo

Ces deux exemples jettent les bases des comportements physiques dont on devra considérer les conséquences dans l’analyse d’une station de refoulement d’eau. 8.2.3 Simulateur de cheminée d’équilibre Ce logiciel simule en temps réel une expérience sur le comportement de la cheminée d’équilibre. Ceci permet à l'utilisateur de visualiser la réponse du système en fonction de sa configuration. Pour activer le logiciel, taper: chequi2 Pour éditer la configuration, taper la lettre qui symbolise le paramètre à modifier, un curseur apparaîtra à la place de la valeur numérique. Il suffit alors de taper la nouvelle valeur suivi d'un . Par exemple, pour changer la longueur de la conduite, taper L suivi de la nouvelle valeur et . Les paramètres N et T définissent respectivement le nombre de pas de temps et l'intervalle de temps en seconde. Les commandes suivantes gèrent la simulation: + et -: ajustement de la vanne F: fermeture brusque de la vanne P: impression de la courbe de comportement 147

147


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: étape suivante X: quitter le logiciel

148


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8.3 Aspects théoriques

Note: Avec la carte EGA ou VGA, la courbe de comportement est en cyan sur fond cyan donc invisible! Néanmoins il est possible d'imprimer, si on envoie la commande P et qu'une imprimante de type EPSON FX80 est branchée.

8.3.1 Équations de bases En considérant, dans une conduite, deux variables dépendantes, le débit Q et la pression H, fonction de l’espace x et du temps t, les principes de conservation de la masse et de conservation de la quantité de mouvement, il est possible de définir un système à deux équations aux dérivées partielles pour décrire le comportement physique du système eau-conduite. La conservation de la masse s’exprime sous forme de l’équation de continuité:

H C2 Q + =0 t gA x

(1)

De plus, la conservation de la quantité de mouvement permet d’écrire l’équation de mouvement: Q H + gA + f (Q) = 0 (2) t x où: H: pression (p/) : masse spécifique Q: débit A: aire de la section de la conduite g: accélération gravitationnelle C: célérité de l’onde de pression ƒ(Q): terme de frottement La première équation exprime le fait qu’une variation spatiale du débit entraîne une évolution temporelle de la pression; en effet, si, par exemple, il entre plus débit dans un volume donné qu’il en sort, il faut que la pression augmente de façon à ce que le volume augmente s’il est élastique. La deuxième équation est en fait l’expression de l’équilibre des forces selon la loi de Newton F = ma; cet équilibre fait intervenir l’accélération du fluide par la variation temporelle du débit, les différences de pression sous forme de gradient de pression et les forces de frottement causé par la vitesse du fluide sur les parois plus ou moins rugueuses de la conduite. La célérité de l’onde de pression peut être assimilé à la vitesse de propagation du son dans le milieu eau-conduite. Elle s’exprime par: 1 1 D + (3) 2 = C e sE avec: C célérité de l'onde élastique : masse spécifique, 1 000 kg/m3 pour l'eau e: module d'élasticité de l'eau, 2,05 109 N/m2 148

149

149


D: s: E:

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diamètre de la conduite épaisseur de la paroi module d'élasticité du matériau de la conduite

Ceci nous permet de calculer les valeurs suivantes pour les matériaux courants en conduites de refoulement: CPV, E = 2,76 109 N/m2: rapport D/s = 18: C = 378 m/s rapport D/s = 25: C = 324 m/s rapport D/s = 41: C = 255 m/s Fonte ductile, E = 1,03 1011 N/m2 rapport D/s = 18: C = 1 229 m/s rapport D/s = 25: C = 1 184 m/s rapport D/s = 41: C = 1 062 m/s Le terme de frottement ƒ(Q) est tiré d’une relation d’écoulement en régime permanent uniforme telle que celle de Hazen-Williams. 8.3.2 Hypothèse de base Avant de passer à la résolution des équations 1 et 2, il convient de considérer les hypothèses en on permis la formulation: 1) La section d’écoulement A est considérée invariable dans le temps dans l’équation de continuité. 2) L’effet des non-uniformités des sections d’écoulement est négligé dans l’équation de continuité. 3) L’équation de mouvement ne tient pas compte des effets d’inertie convective, c’est-àdire, par exemple, des effets des accélérations des particules de fluide causé par un rétrécissement de la section d’écoulement. 4) Le terme de frottement est généralement considéré comme celui d’un écoulement turbulent rugueux permanent uniforme. 8.3.3 Calcul de la dépression maximale Dans le cas d’une fermeture brusque il est possible en simplifiant le problème à l’extrême d'évaluer l’ordre de grandeur des variations de pression en évitant la résolution des équations 1 et 2. Le temps de fermeture d'une vanne ou d'une pompe est considéré brusque lorsqu'il est inférieur au temps d'un aller et retour de l'onde de pression dans la conduite de longueur L, soit 2L t (4) C

150


h =

C V g 0

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(5)

avec V0, la vitesse d'écoulement dans la conduite avant la fermeture La vitesse d'écoulement dans la conduite, en régime permanent, est calculée par un programme d'équilibre des débits et charges. L'ordre de grandeur de la surpression serait semblable à celui de la dépression s'il n'y avait pas de rupture de veine liquide. La surpression causée par la fermeture de la cavité de vapeur à basse pression peut atteindre des valeurs supérieures à celles obtenus par suite du retour élastique de l'onde créée sans rupture. Cette première évaluation ne nous permet pas de suivre le déroulement temporel et spatial de l’évolution des pressions et des débits. Pour le connaître, il faut procéder à la résolution du système d’équations. Malheureusement, ceci n’est possible qu’en négligeant le frottement et la cavitation et en ramenant le système à une équation d’onde dont les solutions seront harmoniques. La plupart des cas pratiques ne sont pas analysés de manière satisfaisante par ce type de modèle analytique simple. Il faut donc recourir à des méthodes graphiques ou numériques pour analyser des cas complexes. Nous en ébaucherons les principes pour deux méthodes car ce sont les plus répandues. 8.3.4 Méthode des caractéristiques Considérons l’équation de continuité et l’équation de mouvement sans frottement que nous multiplions par C /gA: H C2 Q + =0 (6) t gA x C Q H =0 + gA (7) x gA t En combinant ces deux équations par addition et soustraction, nous obtenons: CQ CQ H± ± C H ± = 0 (8) gA gA t x cette forme est égale à la dérivée totale par rapport au temps: CQ d H± (9) =0 gA dt dx si = ±C (10) dt

Dans l'hypothèse d'une fermeture instantanée, nous déterminons la dépression maximale h par la relation suivante:

Dans un plan x,t, l’équation 10 représente des courbes (ici des droites) sur lesquelles le système 9 est vérifié. L’intersection de deux de ces droites définit donc une solution ce système d’équations (fig. 3).

150

151

151


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Tableau 1 - Exemple de calcul sur tableur électronique.

t

C= 250 x= 25 g= 9,81 t= 0,1 D= 0,25 rh= 260 A= 0,05 rq= 0,001 Étape 1, propagation de l'onde de dépression

+C

3

1

-C 1

1 2 x Fig. 3 - Schéma utilisé pour la méthode des caractéristiques. Ainsi, si les points 1 et 2, situés au temps initial, représentent des positions où les valeurs des pressions et débits sont connus, alors il sera possible de calculer les valeurs au point 3, situé en x/2 et t/2 en considérant une forme différentielle du système 9: CQ H± =0 gA t ce qui donne: CQ3 CQ1 = H1 + gA gA CQ3 CQ2 et entre 2 et 3: H3 = H2 gA gA 1 C d’où: H3 = H1 + H2 + (Q Q2 ) 2 gA 1 1 gA (H H2 ) + (Q1 + Q2 ) et Q3 = 2C 1 entre 1 et 3:

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H3 +

H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q

0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0

0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 -51,92 0 0 0 0 0 0,1 0,1 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0,1 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 -0,1 -51,92 -51,92 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -51,92 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

Étape 2, retour à la pression normale

8.3.5 Méthode des différences finies Cette méthode consiste à remplacer les opérateurs différentiels par des opérateurs basés sur des intervalles de temps et d’espace finis t et x, puis à résoudre le système d’équations algébrique ainsi obtenu en tenant compte des conditions initiales et aux limites. Ainsi le système 1 et 2, sans frottement, devient: Hit + t Hit C2 Qt Qit1 = i +1 t gA 2x H t Hit1 Qit + t Qit = gA i +1 t 2x Pour chaque position i sur l’axe x, on peut écrire ces deux équations en mettant en évidence les variables à évaluer au temps t+t. Il devient alors facile d’illustrer la méthode au moyen d’un chiffrier électronique.

H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1

Étape 3, propagation de l'onde de surpression H

152

-51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 -51,92 0 0 0 51,92

0

0

0

0

0

153

0

0

0

0

0

0

0

153


Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q

0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

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-0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0 51,92 0

-0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 -0,1 0 0

Étape 4, retour à la pression normale H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H Q H

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

51,92 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0 0,1 0

Q

0

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

H

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Q

0

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

154

154


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8.4 Modélisation des composantes d’un système hydraulique Dans les cas précédent, le frottement n’a pas été pris en considération, sauf dans le modèle de cheminée d’équilibre, ce qui à conduit à des modèles relativement simples. Cependant, afin de donner au modèle un niveau de réalisme élevé, il convient d’en considérer les effets. De façon plus générale, il est important de tenir compte des relations entre la charge hydraulique et le débit pour tous les composants d’un système hydraulique. Dans un premier temps, nous considérerons le comportement d’un élément général, puis nous traiterons des particularités d’éléments plus spécifique en commençant par les conduites et leurs jonctions, puis les pompes et les vannes et enfin quelques éléments plus particuliers. 8.4.1 Traitement d’un élément général Nous suivrons ici le principe du programme SURGE du professeur D. J. Wood de l’université du Kentucky. Il est basé sur une méthode des caractéristiques semblable à celle que nous avons étudié à la section 2.4. La différence fondamentale ici tient du fait qu’il nous faut tenir compte des relations entre la charge et le débit, généralement causée par le frottement. Or, l’expression du frottement est, dans la plupart des cas, fonction du carré du débit. Cette non linéarité a pour conséquence que les équations caractéristiques ne sont plus des droites comme dans le cas idéal, mais des courbes. Pour la relation différence de charge-débit, l’utilisation d’une équation générale du second degré satisfait la plupart des cas; elle s’écrit: H = A(t) + B(t) Q + C(t) Q Q

(11)

Les coefficients A, B et C peuvent être fonctions du temps selon que cette relation varie dans le temps comme dans le cas d’un vanne en cours de manipulation ou encore une pompe en régime transitoire. La variation temporelle de ces coefficients est présumée connue. Considérons donc un élément quelconque connecté à ces deux extrémités, d’abord au temps t, soit avant d’être affecté par le passage d’ondes de pression, puis au temps t+t selon les convention de la figure 4 où les indices 1 et 2 réfèrent respectivement à l’aval et l’amont de l’élément général au temps t et où les indices 3 et 4 correspondent à la même situation au temps t+t.

155

155


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D2

D1 Q1 , H 1

Qt

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8.4.2 Section de conduites Dans ce type d’élément, les coefficients de l’équation 11 sont: A(t) = 0

Q4 , H 4

B(t) = 0 fL C(t) = 2gDA2 où f est le facteur de frottement adaptable en fonction du régime d’écoulement (diagramme de Moody ou formule de White-Colebrooke), L la longueur du tronçon, D, son diamètre et A, l’aire de sa section d’écoulement. En général, on considère f constant équivalent à un coefficient d’Hazen-Williams.

D4

Q t + t


Q2 , H 2

D3 Q3, H 3

156

8.4.3 Élément passif Fig. 4 - Élément général Dans un premier temps, la méthode des caractéristiques permet d’écrire les relations suivantes: D3 = D1 + F1 (Q3 Q1 ) (12) D4 = D2 + F2 (Q4 Q2 ) (13) C1 C2 où: F1 = gA et F2 = gA 1 2 Les pressions de part et d’autre de l’éléments étant mis à jour par: (14) H3 = H1 + D1 + D3 H4 = H2 + D2 + D4 (15) En écrivant que la variation de charge est liée au débit qui traverse l’élément par: H4 H2 = A(t) + B(t) Qt + t + C(t) Qt + t Qt+ t (16) Considérant que, s’il n’y a pas de vapeur créée dans l’élément, on peut écrire: Q1 = Qt , Q2 = Qt , Q3 = Qt + t et Q4 = Qt + t alors l’équation 16 peut être écrite en fonction du débit traversant l’élément au temps t+t en y introduisant les relations 14 et 15 puis 12 et 13. Elle devient donc: C(t)Qt + t Qt + t + B(t)Qt + t (F1 + F2 )Qt + t (17) + A(t) + H1 H2 + 2(D1 D2 ) + (F1 + F2 )Qt = 0

Entre dans cette catégorie tous les éléments singulier dont les caractéristiques sont considérés invariable dans le temps. Ici, les coefficients de l’équation 11 deviennent: A(t) = 0 B(t ) = 0 1 C(t) = 2gCd2 A 2 où Cd est le coefficient de débit et A l’aire de la section de référence. 8.4.4 Jonctions Un principe de continuité du débit et de la pression est à la base de ce comportement. Selon le schéma de la figure 5, on affecte les ondes transmises et réfléchies d’un coefficient fonction du nombre de branche à la jonction. Le coefficient de transmission s’écrit: 2 Ti = Fi 1 F j et la réflexion: Ri = Ti 1 l’indice i est associé à la branche incidente alors que la somme sur j réfère à toutes les branches adjacentes à la jonction.

Cette équation est résolue par itération par une méthode de Newton-Raphson initiée à partir de Qt . Une fois la nouvelle valeur du débit connue, elle est introduite dans les équations 12 et 13, puis on évalue les pressions de part et d’autre de l’élément au temps t+t grâce aux équations 14 et 15. Si une des extrémités d’un élément est connecté à un réservoir à charge constante, les valeurs de F et D sont considérées nulles à cette extrémité.

156

157

157


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dH


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8.4.6 Vannes

2

Entre dans cette catégorie tous les éléments singulier dont les caractéristiques sont considérés variable dans le temps. Ici, les coefficients de l’équation 11 deviennent: A(t) = 0

H1

1

158

B(t) = 0 1 C(t) = 2gCd2 ( A(t ))2 où Cd est le coefficient de débit et A l’aire de la section de référence variable en fonction du temps et de la géométrie de la vanne.

3 T1 dH R 1 dH H2

8.4.7 Cavitation Comme nous l'avons vu précédemment la formation de cavités de vapeur en raison de la rupture à basse pression de la veine liquide, entraîne un comportement qui diffère passablement de la simple propagation de l'onde élastique. Les principes du calcul sont alors basé sur le fait qu'une dépression qui atteint la valeur de la pression de vapeur initie la formation d'une cavité et que la variation de son volume est basée initialement sur la vitesse du liquide au moment de la rupture.

T1 dH Fig. 5 - Transmission et réflexion d’onde à une jonction. 8.4.5 Pompes

On procède d'abord avec une analyse standard sans rupture. Si la pression H tombe en dessous de la pression de vapeur Hv alors on reprend l'analyse en imposant à Hv la pression de l'extrémité concernée qui est alors considérée comme étant connectée à un réservoir de pression Hv.

Les pompes sont en général représentées par des équations quadratiques: H2 H1 = AR a2 + BR a Q + CR Q Q où a représente le rapport de vitesse de la pompe par rapport à la vitesse nominale. La figure 6 illustre comment cette courbe varie en fonction de ce rapport

Dans ces conditions, les facteurs F, dépendants de la célérité, sont considérés nulles aux extrémités du tronçon concerné mais pas dans la veine liquide qui s'échappe. Le fait de considérer l'élément ayant une extrémité attachée à un réservoir de pression Hv crée un gradient hydraulique inverse qui aura tendance à ralentir au prochain pas de temps le débit puis à l'inverser pour finir par refermer la cavité, en tenant compte du frottement.

250 100%

200

80% 150

Le volume de la cavité se calcule en considérant le produit de la somme des débits à l'intérieur de l'élément et dans la branche soumise à la cavitation multiplié par le pas de temps.

60%

8.5 Analyse détaillée de composantes importantes

100 40%

8.5.1 Vannes

50

20%

15

12

13,5

10,5

9

6

7,5

3

4,5

0

1,5

0

Le calcul des pertes de charge variable d'une vanne se fait à partir d'une fonction quadratique du débit: 1 h= Q2 = CV Q2 2gCd2 A 2

Fig. 6 - Évolution d’une courbe de pompe.

avec Cd, le coefficient de débit et A l'aire de l'ouverture maximale. Le coefficient de perte de charge Cv peut être ajusté en fonction du rapport des aires d'ouverture partielle et maximale:

158

159

159


CV =

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CF 2 AO AF

160


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8.5.2 Pompes

où CF est le coefficient de perte de charge à pleine ouverture. Le rapport AO AF dépend de la géométrie de l'ouverture de la vanne. De plus certains paramètres géométriques varient en fonction du temps. En général, ce paramètre est un déplacement ou une rotation (fig. 7). La variation ce paramètre peut être linéaire en fonction du temps, dans le cas, par exemple d'un arbre fileté actionné par un moteur à vitesse constante. Cependant, si la fermeture est actionnée par un ressort la fermeture est dite accéléré. Trois cas sont donc possible:

La vitesse spécifique permet de comparer des pompes de tailles différentes mais ayant des similitudes de comportement, elle est définie par: 1 N Q2 NS = R 3 R HR 4 où NR , QR et HR sont les vitesse de rotation, débit et charge de référence. En opération normale, la courbe de pompe parabolique est satisfaisante, par contre, pour faire une analyse plus détaillé, le comportement transitoire de la pompe doit être connu pour toutes les situations possibles. Le tableau 1 en donne un résumé. Tableau 1 - Comportements transitoire d’une pompe. cas

Fig. 7 - Divers types de vannes.

Fig. 8 - Divers types de vannes. Fermeture linéaire: P = Pi t T P o 2) Fermeture accélérée (action rapide): 2 P = Pi t T P o 3) Fermeture en situation intermédiaire: n P = Pi t T P avec 1 n 2 o avec Pi , la position d’ouverture initiale, P , la position instantannée, P , l’ouverture désirée et TO , le temps d’opération. 1)

Il peut être intéressant de calculer la variation de perte de charge en fonction de la variation de débit pour une fermeture quelconque: 2 Q h 1 = 2 hF AO QF AF

160

A B C D E F G H

Vitesse d’écoulemen tV + + + + ± -

Vitesse de rotation a + + + +

Charge

Couple

Remarque

h + ± + + +

v + + + +

Pompage Dissipation d’énergie Turbine inversée Dissipation d’énergie Pompage inversé Dissipation d’énergie Turbine Dissipation d’énergie

En mettant en graphique les paramètres de charge et couple suivant: w h 2 2 et a2 + V 2 a +V en fonction de arc tangente du rapport V/a, nous obtenons le graphique de la figure 9 qui, une fois numérisé pourra être introduit dans le modèle.

Fig. 9 - Caractéristiques complètes d’une pompe radiale.

161

161


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162


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Rendement maximum: Vitesse spécifique: Inertie du groupe:

8.6 Étude d'un cas

81% 74.9 (S.I.) 5,2 Nm2

8.6.1 Schéma du système de refoulement

8.7 Équipements de protection Les équipements de protection on pour fonction générale d’atténuer les variation de pression et de réduire les effets néfastes de celles-ci. En d’autres termes, il ne suffit pas de penser uniquement à réduire l’amplitude des surpression et dépression mais aussi, dans certains cas, empêcher la cavitation ou les inversions d’écoulements. Compte tenu de la grande variété des installations hydrauliques et de leurs modes d’opération, il n’est pas possible de considérer un équipement de protection universel et polyvalent. On décrira donc, dans ce qui suit, une panoplie d’équipements avec leurs caractéristiques propres et leurs contextes d’utilisation.

160

4 158

Cheminée

Élévation [m]

3 156

5

1

Point haut 2

154

6

8.7.1 Volant d’inertie

9

Pompe

7

152

Le volant d’inertie est une roue de masse assez importante, fixée à l’arbre du groupe moteur pompe. Il permet, lors d’une coupure d’alimentation, d’allonger le temps de fermeture en dissipant l’énergie cinétique de rotation accumulée. Par contre, son utilisation demande un volume d’encombrement suffisant et les départs de pompes ne pourront être rapides.

150

8 148 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Distance [m]

Fig. 10 - Profil de la conduite de refoulement 8.6.2 Courbes de pompes Deux courbes ont été utilisées pour cette étude en fonction des données fournies. Elles correspondent au fonctionnement du poste avec une et trois pompes. Les valeurs fournies au programme de calcul sont les suivantes:

Le principe de calcul est basé sur la quantité d’énergie cinétique de rotation accumulée par le volant: 1 2 Ec = I 2 avec I, le moment d’inertie et , la vitesse angulaire, ces variables sont calculées par: 2 N I = mk 2 et = 60 où m est la masse du volant, k, le rayon de giration et N, le nombre de tours par minute. Le rayon de giration est donné par:

Tableau 2 - valeurs de charges et de débits pour un groupe de pompe en régime permanent Débit [m3/s]

R2

Charge [m d'eau]

une pompe

trois pompes

21,95

0

0

17,68

0,06688

0,20064

12,19 0,14511 Charge au rendement maximum: 11,28 m Débit au rendement maximum: 0,1514 m3/s Vitesse de rotation au rendement maximum: 1185T/min 162

0,43533

R1 k2 =

R12 + R22 2

Sachant que le taux de variation de l’énergie cinétique est égal au travail des forces appliquées: d 1 2 I = T dt 2 où le couple T est défini par: 163

163


T=

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164


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P 1000gQ0 H0 =

R

avec P la puissance hydraulique fonction de Q0 et H0 le débit et la charge en régime permanent. En discrétisant, par différence finies, on peut écrire qu’une variation de vitesse angulaire est proportionnelle à un pas de temps. T = t I Cette relation permettra au modèle de déterminer pas de temps après pas de temps l’évolution de la vitesse de rotation en fonction de la variation des paramètres hydrauliques. Dans la pratique, les points suivants doivent être considérés: a) Plus la conduite est longue plus l’inertie du système est grande et plus la masse du volant devra être importante. On limite les longueurs à quelques centaines de mètres. b) Le démarrage des moteurs électriques couplés à des volants de masse importante peut demander des intensité de courant inadmissible. c) Le volant ne limite que la dépression, une protection contre les surpression peut aussi être nécessaire.

C H

P

Fig. 11 - Cheminée d’équilibre sur une conduite de refoulement 8.7.3 Chambres d’équilibre unidirectionnelle Ces chambres permettent de réduire les dépressions par admission d’un débit supplémentaire pour contrer la réduction du débit causée par une fermeture brusque ou un arrêt de pompe. Le calcul s’effectue comme pour une cheminée d’équilibre munie d’un clapet non retour.

8.7.2 Chambres ou cheminées d’équilibre

8.7.4 Réservoirs d’air

Les cheminées d’équilibre sont des dispositifs assez simples qui permettent de transformer les surpressions et les dépression en variation de hauteur de colonne d’eau. Pour le calcul, on considère la relation suivante, pour évaluer la variation de hauteur d’eau: Q t Hc = o Ac

Les réservoirs hydropneumatiques sont des réservoirs dans lesquels le volume d’eau est équilibré par la pression de fonctionnement en régime permanent. Cette réserve d’eau permet de réduire les dépressions en fournissant une quantité d’eau demandée par la dépression sous forme d’un débit contrôlé par un orifice, une tuyère ou un clapet percé (fig. 12). Il est en effet essentiel d’introduire dans le système un amortissement faute de quoi, les oscillations dureraient sur une longue période. L’expérience a démontré qu’il est préférable d’avoir une plus grande perte de charge au retour qu’à l’aller, dans le sens du réservoir vers la conduite.

où Qo est le débit d’échange et Ar est la section de la cheminée si cette dernière est cylindrique.

réservoir d'air

clapet vanne

Dans les cas de refoulement sur des dénivellations importantes, l’utilisation de cheminées d’équilibre devient impraticable puisque leurs hauteurs seraient trop grandes. Sur une conduite de refoulement, cependant, une cheminée peut être placée en cours de parcours pour contrer les effets de la cavitation. La hauteur de la cheminée sera alors réduite et son emplacement, son niveau d’entretien étant réduit, ne pose pas de problème.

Pompe

Fig. 12 - Réservoir hydropneumatique Sur le plan du calcul, il faut tenir compte de l’échange de débit entre le réservoir et la conduite. Les relations suivantes doivent être considérées.

164

165

165


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Le débit à travers un orifice dépend de la pression de part et d’autre selon la relation: CsQo Qo = Hl ( Ha + Hr ) où Qo est le débit d’échange, Cs , le coefficient de perte de charge, Hl , la pression dans la conduite et Ha est la pression d’air dans le réservoir qui est donnée par: H0 V0K Ha = K H atm (Va Va ) avec H0 et V0 ,la pression et le volume d’air initial dans le réservoir, Va , le volume d’air instantané, Va sa variation durant un intervalle t et Ha , la pression atmosphérique. Enfin, Hr est le niveau d’eau dans le réservoir mis à jour par rapport à sa valeur initiale Hri par la relation suivante: V Hr = Hri + a Ar

166


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8.7.6 Soupapes d’admission et de purge d’air Le principe des soupapes d’admission et de purge d’air est assez simple, puisqu’il ressemble aux précédentes tout en opérant dans les deux directions. Généralement, elles s’ouvrent en admission lorsque la pression tombe sous la pression atmosphérique puis expulsent l’air quand la pression s’accroît. La principale difficulté réside dans l’évaluation des quantités d’air admises et expulsée du fait que l’écoulement de l’air, un fluide compressible, se fait à des vitesses très élevée pour lesquels les effets de la compressibilité se font sentir. En fait, ces notions sont importantes pour calculer les aires efficaces des orifices d’entrée et de sortie. Les deux procédures suivantes peuvent être utilisées: a)

Aire efficace à l’admission Sur une courbe semblable à celle de la figure 13, on localise le débit d’air pour lequel l’écoulement est étranglé (régime supersonique), ici Q = 31,5 m3/min ou encore 0,525 m3/s. On utilise la formule d’écoulement dans ces conditions:

Ar est la section du réservoir si ce dernier est cylindrique. La quantité d’eau admise dans le réservoir au moment de la mise en opération doit être suffisante pour éviter sa vidange lors de la première dépression. La quantité d’air doit être suffisante pour éviter la cavitation. Dans les grosses installation un compresseur est mis en oeuvre pour ajuster le niveau de séparation air-eau qui a tendance à augmenter par dissolution d’air dans l’eau.

Fig. 13 - Courbe pression-débit pour une soupape d’air (D. J. Wood, 1988) +1 2 1 Q = Cdi Ai pa a + 1

8.7.5 Soupapes de décharge Les soupapes de décharges sont des équipement mécanique qui s’ouvrent pour réduire la surpression à une valeur acceptable. Ces dispositifs sont généralement constitue d’une soupape maintenue par un ressort dont la pression est ajustée à une valeur légèrement supérieure ( 5% ) à la pression maximale d’opération. L’ouverture de la soupape laisse passer un débit qui doit être évacuer vers l’extérieur.

avec

Ce dispositif est inefficace pour protéger les conduites contre les dépressions et les cavitations. On utilise, pour le calcul, une relation d’orifice du type: Hex H = CvQ2 où Hex est une pression externe. On tient compte des pressions d’ouverture et de fermeture ainsi que des périodes de temps associées à chacune de ces opérations. Ce type de soupapes peut être activée par des capteurs de pression situés à un endroit différent de celui de la soupape. De cette façon, le déclenchement de l’ouverture peut se faire par anticipation.

166

Q: : Pa: a : Cdi: Ai:

1 2

débit d’air rapport des chaleurs spécifiques (1,4 pour l’air) pression atmosphérique (103300 Pa) densité de l’air à pression atmosphérique (1,225 kg/m3) coefficient de débit d’admission de l’orifice aire de l’orifice d’admission

On trouve Cdi:Ai: = 0,00267 m2 a)

Aire efficace à l’échappement Sur la courbe de la figure 10, on localise le débit d’air pour lequel l’écoulement est étranglé (régime supersonique) à une pression de 1 bar, ici Q = 30 m3/min ou encore 0,5 m3/s. On utilise la formule d’écoulement dans ces conditions: +1 2 1 Q = Cdo Ao p + 1

1 2

167

167


avec

P: : Cdo Ao:

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pression relative densité de l’air à p (isentropique) coefficient de débit d’échappement de l’orifice aire de l’orifice d’échappement

On trouve CdoAo= 0,00148 m2, avec p = 100000 Pa et = 2,45 kg/m3 8.7.7 Bipasse Un bipasse (ou by-pass) est une conduite équipée d’un clapet dans le sens amont aval qui courtcircuite une pompe.

Exercice 8.1

Une station de pompage a une capacité de refoulement de 0,3 m3/s avec une pression de sortie de 60 m d’eau. Lors d’un arrêt brusque de cette pompe, on veut limiter la dépression maximale à –50 m d’eau. -

Quel devrait être le diamètre de cette conduite pour satisfaire cette condition (sans tenir compte des disponibilités de conduites de diamètres commerciaux) ?

-

Quel temps de fermeture peut-on considérer comme brusque si la longueur de la conduite est de 3 km ?

Les caractéristiques physiques du système sont : Rapport du diamètre sur l’épaisseur de la paroi D/s = 35 11 2 Module d’élasticité du matériau de la conduite :1,03 10 N/m 9 2 Module d’élasticité de l’eau : 2,05 10 N/m Densité de l’eau : 1000 kg/m3 Gavité terrestre 9.81 m/s2 Note : Pour toutes les questions, avant de vous lancer dans les calculs, commencez par expliquer votre démarche pour trouver la solution des problèmes.

168

168

Cours d'Hydraulique_ Jean-Loup Robert

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