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Terminale S Physique – Partie Partie C – Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC
Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RL C série série 1
On envisage le circuit RLC série schématisé série schématisé ci-contre, constitué : d’un condensateur de capacité C initialement chargé sous une tension E, d’une bobine de résistance r et d’inductance L et d’un rhéostat de résistance résista nce ajustable r’. La résistance équivalente du montage est notée R = r + r’. Comment évoluent les grandeurs électriques au cours du temps ?
K
2 i
R 0
r’
C E
(L,r)
Le condensateur s tocke de l’énergie électrique. Lorsque l’interrupteur K passe en position 2, il possède une tension E à ses bornes et l’énergie 1 électrique élec = .C.E2. Le circuit RL est donc soumis à une différence 2 de potentiel E : un courant électrique peut s’établir et les charges Circuit de Circuit charge RLC série portées par les armatures armatures du condensateur condensateur peuvent circuler. Rappel : La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RC). L’intensité qui circule dans la bobine ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RL). En conséquence la tension u C(t) aux bornes du condensateur qui se décharge diminue depuis la valeur E : l’énergie électrique stockée par le condensateur diminue. L’intensité i du courant qui circule dans le circuit série augmente, en valeur absolue, depuis la valeur 0 : une partie de l’énergie est dissipée, sous forme d’effet joule, dans la résist ance équivalente R et une autre partie est emmagasinée par la bobine sous forme d’énergie magnétique.
La bobine peut ensuite restituer son énergie magnétique, dont une partie sera dissipée par effet joule et une autre partie stockée par le condensateur et ainsi de suite : le condensateur se charge et se décharge déc harge à intervalle de temps régulier : on parle de dé . char ch ar ge osci l l ante an te
On observe, pour de faibles valeurs de la tension oscil oscil lan te amorti e résistance R , une tension (l’amortissement étant dû à l’énergie dissipée par effet joule dans le conducteur ohmique) : on parle de régime pseudopériodique . Lorsque la résistance R augmente l’amortissement est plus important . Si la résistance R augmente encore, il existe une valeur limite (La résistance est alors appelée résistance critique) pour laquelle l’amortissement est tellement important que les
oscillations ne sont plus possibles : on parle alors de régime apériodique (non périodique). re lation est hors Rem. : on peut montrer (la relation programme) que R C = 2 L C On appelle pseudopériode T, la durée séparant deux passages consécutifs par la valeur nulle de la tension u C(t), la tension variant dans le même sens.
5
uC (V)
R faible : régime pseudopériodiqu pseudopériodiquee R plus élevée : régime pseudopériodiqu pseudopériodiquee R très élevé : régime apériodique
4 3 2 1 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-1 -2 -3 -4 -5
T T
0,7
0,8
0,9
1
t ms
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Terminale S Physique – Partie C – Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC L C Lorsque la résistance équivalente R est négligeable et le condensateur initialement chargé sous une tension E, quelle est l’évolution temporelle de la tension uC(t) aux C bornes du condensateur ?
i
uC
uL
D’après la loi des mailles : uC + uL = 0
Or uL = L.di ; i = dq ; q = C.uC donc i = C. duC. Ainsi di = C.d uC. dt dt dt dt dt du Par conséquent : uC + LC. d uC = 0 C + .uC = 0 ou LC dt dt
(L,r) i
Circuit LC
u C + 1 .uC = 0 LC ••
Rappel math é mati que :
On peut montrer en mathématiques que la solution de cette équation d cos.t = – .sin.t dt T différentielle est de la forme : uC(t) = Um.cos( .t + ) T T T en effet (cos(u))’ = – u’.sin(u) Um représente l’amplitude des oscillations en volt (V) ; d sin.t = .cos.t représente la période propre en seconde (s) dt T T T et représente la phase en radian (rad) à l’origine des dates . en effet (sin(u))’ = u’.cos(u) Montrons que la solution proposée est bien soluti on de l’équation sin = – cos ( + ) différentielle : 2 duC = – U ..sin.t d u 2 C et = – Um.( ) .cos .t . m dt T T dt T T L’équation différentielle peut s’écrire : – Um.()2.cos(.t + ) + .Um.cos(.t + ) = 0 LC T T T ou bien encore : ( – ()2).Um.cos(.t + ) = 0 LC T T Cette dernière relation doit être vérifiée quelque soit Um et t donc – ()2 = 0 ainsi ( )2 = T0 = 2 . LC. LC T LC T T0 est appelée période propre des oscillations. L’expression de la période propre est : T0 = 2 . LC Si l’inductance L est exprimée en henry (H) et la capacité C en farad (F), la période propre T0 est en seconde (s) ! [U].[T] 1/2. [I].[T] 1/2 = ([T]2)1/2 = T : dimension d’un temps ! An alyse dimensionnell e : [T0] = [L]1/2.[C]1/2 = [I] [U] Rem. : dans le cas d’ un régime pseudopériodique (amortissement non nul) on peut assimiler la pseudopériode T à la période propre T0 à condition que la résistance R soit très inférieure à la résistance critique R C : T T0 : à t = 0, u C(0) = E et donc i(0) = C.( Conditi ons ini tiales
duCt) = 0 donc duCt = 0 à t = 0 ! dt t = 0 dt
E = uC(0) = Um.cos() et 0 = – Um..sin() donc sin() = 0 et cos() > 0 par conséquent = 0. T Par conséquent la tension uC(t) peut s’écrire : uC(t) = E.cos( .t) avec T0 = 2 . LC T Consé qu ence : la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale d’amplitude E et de période : T0 : le r é gime est pé riodi que !
L C i(t) = C.duC(t) = – CE.2.sin(2.t) donc i(t) = 2.CE.cos(2.t + ) dt T0 T0 T0 T0 2 2 L’intensité du courant est donc déphasée de par rapport à la tension uC(t) et d’amplitude Im = .CE 2 T0 2
L’intensité i(t) du courant et la tension uC(t) aux bornes du condensateur sont en quadrature de phase (déphasé de ).
Page 3 sur 4 Terminale S Physique – Partie C – Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC À t0, uC(t) = E et i(t) = 0. Entre t0 et t1 : la tension uC(t) diminue : le condensateur se décharge ; l’intensité augmente en valeur absolue. À t1 = T, la tension aux bornes du condensateur est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale, en valeur absolue. Entre t1 et t2 : la tension uC(t) augmente, en valeur uC (V) absolue : le condensateur se charge. T0 T À t2 = , l’intensité du courant est nulle (i(t) =0), la tension aux bornes du condensateur est, en valeur absolue, maximale (uC(t) = – E). Entre t2 et t3 : la tension uC(t) diminue : le t (s) condensateur se décharge. i (A) 0 t1 t2 t3 t4 À t3 = .T, la tension aux bornes du condensateur est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale. Entre t3 et t4 : la tension uC(t) augmente : le condensateur se charge. À t4 = T0, la tension aux bornes du condensateur T0 est maximale (uC(t) = E), l’intensité du courant est nulle (i(t) = 0).
RL C L C Dans un circuit LC, l’énergie totale est égale à la somme de l’énergie électrique stockée dans le condensateur et de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine : 1 1 2 2 totale = élec + magn = .C.u C(t) + .L.i (t). 2 2 À t0 :
élec est
À t1 :
élec = 0 et
À t2 :
élec est
À t3 :
élec =
À t4 :
max et
élec est
0
magn est max
max et
0 et
magn =
magn
max et
magn =
0
est max magn =
0
Énergie élec
de t0 et t1 :
élec
↓ et
magn
↑
de t1 et t2 :
élec
↑ et
magn
↓
de t2 et t3 :
élec
↓ et
magn
↑
de t3 et t4 :
élec
↑ et
magn
↓
totale =
totale
t 0
L’énergie n’est pas dissipée (pas d’effet joule), et donc l’énergie totale se conserve :
magn
t1
t2
t3
t4
cste = 1.C.E2 = 1.L.Im2 : échange d’énergie incessant entre la bobine et le condensateur. 2 2 Énergie (cas du régime pseudopériodique) élec :
Dans un circuit RLC, l’énergie totale du circuit est égale à la somme de l’énergie électrique stockée dans le condensateur et de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine : 1 2 totale = élec + magn C.E 2 L’énergie est progressivement dissipée par effet joule dans la résistance, donc l’énergie totale du circuit RLC ne se conserve pas.
énergie stockée par le condensateur
magn
: énergie emmagasinée par la bobine
totale :
somme des énergies dans le condensateur et la bobine Rem. : La perte d’énergie par effet joule est plus
importante lorsque le courant est grand (i(t) maximale en valeur absolue) car P J = R.i(t)2. Ainsi la courbe bleue (l’énergie totale) décroit fortement autour de t1, t3, etc.
t 0
t1
t2
t3
t4
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Nous avons vu que lorsque la résistance équivalente R diminue, les oscillations sont de moins en moins amorties, jusqu’à devenir sinusoïdales dans le cas d’ une résistance nulle. Est-il possible, expérimentalement, de parvenir à cette situation ? La perte d’énergie par effet joule ne peut pas être annulée, en effet tout circuit électrique est (au moins légèrement) résistif. Toutefois il est possible de fournir au circuit (grâce à un dispositif supplémentaire) à chaque instant une énergie équivalente à l’énergie qu’il dissipe par effet joule. Ainsi le circuit RLC devient équivalent à u n circuit LC et oscille avec une période propre T0 qui dépend uniquement de la valeur de L et de la valeur de C (T0 = 2. LC) !
(L,r)
dispositif d’entretien des
uL C
Rem. :
i
oscillations
i
uC(t)2 = E2.(cos(2.t))2 T0 1 1 2.t))2 2 2 élec = .C.uC(t) = .C.E .(cos( 2 2 T0
uC
E – R 0
E+
i(t)2 = Im2.(sin(2.t))2 T0 1 1 2 2 2 2 magn = .L.i(t) = .L.Im .(sin( .t)) 2 2 T0
1.C.E2.(cos(2.t))2 + 1.L.I 2.(sin(2.t))2 = 1.C.E2.(cos(2.t))2 + 1.L.(2)2.C2E2.(sin(2.t))2 m 2 T0 2 T0 2 T0 2 T0 T0 1 2 2 1 .CE2.(sin(2.t))2 2 totale = .C.E .(cos( .t)) + .L. 2 T0 2 LC T0 1 2 2 2 2 2 2 2 totale = .C.E .((cos( .t)) + (sin( .t)) ). Or (sin a) + (cos a) = 1 2 T0 T0 Donc totale = 1.C.E2 = cste, dans le cas d’oscillations entretenues (ou amortissement nul) ! 2 totale =
_________________________ http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Activites_pedagogiques/livre_TS/ http://perso.orange.fr/gilbert.gastebois/java/rlc/rlclib/rlc.html (Cliquer sur RLC et observer l’influence de R , de L et C sur la forme de la tension ; puis observer l’influence de L et de C sur la période propre T 0).
