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CPGE 1re année

R U E I N E G N I ' L E D S E L L E I R T S U D N I S E C N E I C S

Cinématique du solide indéformable

Pr. MIGHOUAR Zakaria

Professeur agrégé en Sciences Industrielles - Génie Mécanique Ingénieur d'état en Génie Industriel

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Pour des nombreux systèmes, en particulier pour ceux du domaine de la robotique industrielle ou grand public, un des principaux enjeux de leur concepteur est de faire en sorte qu’ils respectent cinématique imposée par leur parfaitement la cinématique cahier des charges. (1) On appelle la course, la distance linéaire ou angulaire parcourue par un solide d’un mécanisme entre les deux positions extrêmes qu’il peut prendre au cours du temps.

1 (2) une pièce ou un groupe de pièces assemblées (collées, soudées, vissées…) entre vissées…) entre elles.

1.1

mouvements des Il s’agit de s’assurer que les mouvements pièces qui les constituent s’exécutent (1) parfaitement suivant des des courses et à des vitesses maitrisées. maitrisées.

Robot chirurgien chirurgien Da Vinci

actionneurs de chaque On déterminera alors les lois de commande en mouvement à imposer aux actionneurs chaîne d’énergie-puissance d’énergie-puissance constituant le système. Ces lois se détermineront en deux étapes : 1- la première consiste à déterminer les lois de commande en mouvement à imposer aux effecteurs afin effecteurs afin de répondre au cahier des charges ; 2- et la seconde quant à elle consiste à déterminer les lois entrée-sortie cinématique de chaque transmetteur pour pour en déduire les lois de commande en mouvement à imposer aux actionneurs.

Analyser et interpréter un modèle cinématique d’un mécanisme simple L’objectif de cette ce tte partie est de découvrir des démarches et des méthodes permettant de décrire et de caractériser les mouvements des solides (2) d’un mécanisme ainsi que les trajectoires de points particuliers de ces mécanismes.

Mécanisme Certaine chaîne d’énergie-puissance contiennent plusieurs transmetteurs. L’ensemble de ces transmetteurs, qui permet le transfert de puissance mécanique, est appelé mécanisme.

1.2

Hypothèse de solide indéformable Lors de l’utilisation d’un mécanisme, les solides qui le constituent se déforment sous l’action des















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1.3

Repère associé à un solide Rappel : un repère, noté R (O, x, y , z ) , est constitué : origine, le point O dans l’exemple, en − d'une origine, général un point particulier du solide ; − d’une base orthonormée directe, B (x ,y , z ) =

=

dans l’exemple.

On associe à chaque solide un repère. Au solide 0 sera associé le repère (O0 , x0 , y0 , z0 ) , au solide 1 le repère (O1 , x1 , y1 , z1 ) , etc… Dans un repère associé à un solide, chaque point matériel du solide, est supposé fixe.

Repères associés aux différents solides d’un robot industriel

Repérer ou positionner, un solide 1 par rapport à un solide 2 revient ainsi à positionner le repère associé au solide 1 par rapport au repère associé au solide 2. Dans la suite, on parlera indi fféremment d’un solide ou du repère qui lui est associé.

1.4

Mouvement et référentiel Un mouvement est le déplacement relatif d’un solide par rapport à un solide de référence.

Selon, le référentiel, la perception peut-être très différente : exemple de la pomme dans le train…

Notation : le mouvement d’un solide 1 par rapport à un solide 0 est noté 1/0. 1/0. Un mouvement met en jeu trois entités : − le solide observé ; − le solide de référence ; − le temps. Un référentiel est constitué d’un repère de référence, lié à un solide de référence, couplé à une échelle de temps.

1.5

Identification d’un mouvement de rotation et de translation Un solide 2 est en rotation par rotation par rapport à un solide 1 si et seulement si, il existe à chaque in stant une droite du droite du solide 2 immobile par immobile par rapport au solide 1. Un solide 2 est en translation par translation par rapport à un solide 1 si et seulement si tout segment reliant deux points fixes de 2 reste parallèle à parallèle à lui-même au cours du mouvement.

1.6

Modélisation d’un mouvement élémentaire par une liaison pivot ou glissière Un mouvement de rotation autour rotation autour d'un axe ( A, x ) entre deux solides 1 et 2, est modélisé par une liaison pivot d'axe ( A, x ) dont les symboles normalisés sont :
















1.7

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Différence entre un axe et une direction On parle de liaison pivot d’axe et de liaison glissière de direction : axe est défini par : un point + un vecteur un vecteur ; ; − un axe est direction est définie par uniquement un vecteur. vecteur. − une direction est

1.8

Modèle cinématique d’un mécanisme : schéma cinématique et graphe des liaisons Lorsque l’on souhaite étudier le comportement cinématique d’un mécanisme, il est nécessaire de s’appuyer sur un modèle cinématique.

Ce modèle est représenté par un schéma cinématique et/ou cinématique et/ou un graphe des liaisons. liaisons . Exemple : prothèse : prothèse transtibiale















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Graphe des liaisons

Un modèle cinématique est cinématique est constitué : solide(s) (une pièce ou un ensemble de pièces solidaires) solidai res) ; − de solide(s) (une liaisons qui spécifient les mouvements possibles possibles et les mouvements bloqués, bloqués , − de liaisons d’un solide par rapport à un autre.

Une liaison est un modèle indépendant de indépendant de toute réalisation matérielle. matérielle . Ces modèles sont utilisés en phase d’ analyse de analyse de la chaîne d’énergie -puissance d’un système existant. existant.

Ils sont aussi utilisés en phase de conception d’un nouveau système car ils ne nécessitent pas de connaître la géométrie des pièces. Seules les positions relatives des liaisons ainsi que les mouvements possibles sont pris en compte. Les deux représentations, schéma cinématique et graphe des liaisons, liaisons , sont aussi des outils de communication scientifique efficaces.

Schéma cinématique d’un mécanisme

Dans un schéma cinématique : liaisons entre les solides sont représentées par des symboles normalisés symboles normalisés ; − les liaisons entre solides sont représentés par des traits reliant traits reliant ces symboles. − les solides sont Le schéma est dessiné en deux ou trois dimensions. En plus des symboles et traits de définition des solides, on y trouve des points, des vecteurs et des droites.

Graphe des liaisons d’un mécanisme

Dans un graphe des liaisons : solides sont représentées par des cercles ; cercles ; − les solides sont liaisons entre les solides sont représentées par des traits, traits, le long desquelles on − les liaisons entre indique le nom et les caractéristiques géométriques de la liaison.

Le graphe des liaisons est graphiquement plus simple à réaliser qu’un schéma cinématique car la géométrie n’est pas représentée.















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1.9

Trajectoire d’un point M fixe dans un solide S par rapport à un solide de référence 0 : T M S /0 

(1) N’importe quel point de l’espace l’e space peut être considéré comme fixe dans un solide, y compris un point où où il n’y a pas pas de matière… matière …

La trajectoire d’un point M fixe(1) dans un solide S, par rapport à un solide de référence 0, est le lieu des positions successives occupées successives occupées par ce point au cours du temps dans le repère de référence . Notation :

Dans le domaine de la robotique, la maitrise des mouvements et trajectoires est indispensable :

T MS /0

C’est la « trace » laissée par le point au cours du temps.

Cela peut-être : − un arc de cercle d’axe (un point, un vecteur), de centre (un centre (un point) et de rayon (un rayon (un segment) ; droite (un point, − un segment de droite porté par la droite (un un vecteur) ; point ; − un point ; quelconque . − une courbe quelconque.

Les trajectoires de points fixes dans un solide en mouvement de translation à trajectoire rectiligne (liaison glissière) sont des segments de droite. droite .

Les trajectoires de points fixes dans un solide en mouvement de translation à trajectoire circulaire sont circulaire sont des arcs de cercle de même rayon. rayon . Exemple : essuie-glace : essuie-glace d’autobus Le système ci-dessous modélise un essuie-glace d’autobus. Le balai 3 est relié au châssis du bus 1 par l’intermédiaire de deux pièces formant un parallélogramme déformable ABCD. On montre ainsi que DC reste en permanence parallèle à AB, le solide 3 a bien un mouvement de translation par rapport à 1. De plus, C est un point fixe dans 2 et de 3, donc TC 2 /1 = T C 3 /1 . 



Or le solide 2 est en mouvement de rotation d’axe (B, z1 ) par

rapport à 1. Donc

T C 2/1

centre B et de rayon

R

est un arc de cercle d’axe (B, z1 ) , de

=

BC .

Pour un mouvement de translation, toutes les trajectoires sont des cercles de même rayon R mais d’axes et de centres distincts.

Les trajectoires de points fixes dans un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe (liaison fixe (liaison pivot) sont des arcs de cercle de même axe . Exemple : rotor d’anémomètre

Solide 2

z

1




















1.10

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Trajectoire d’un point géométrique de contact – Notion de points coïncidents En un point géométrique de contact P entre deux solides 1 et 2, on distingue 3 points coïncidents à coïncidents à un instant t : − P 1  point lié à 1 − P 2  point lié à 2 − P  1 et P   point géométrique de contact 2 Exemple : une : une roue se déplace sur le sol

Au point de contact P entre la roue et le sol, on distingue : − P  sol : c’est le gravillon fixe du bitume, sa trajectoire par rapport au sol est un point ; − P  roue : il est attaché à la roue, sa trajectoire par rapport au sol est une cycloïde ; − P : point géométrique de contact, sa trajectoire appartient au sol (elle représente les positions successives prises par le point géométrique de contact entre la roue et le sol).

Pour déterminer la trajectoire d’un point géométrique de contact dans un repère, il sera nécessaire de déterminer l’expression de son vecteur position dans ce repère .

















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2

Déterminer les lois de commande en position de l’effecteur de chaque chaîne d’énergie-puissance d’un mécanisme en chaîne ouverte L’objectif de cette partie est de déterminer une position d’un point et d’obtenir une contrainte sur sa norme ou sa direction.

2.1

Paramètre de mouvement d’une liaison pivot et d’une liaison glissière Dans le cas d’un mouvement de translation entre deux solides 1 et 2, les bases bases sont

identiques : identiques : ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) ou =

Une liaison glissière de direction

x 1

B1 = B 2

, mais

R1



R2

.

est paramétrée par la longueur

(t ) tel

que

OM = (t ) x1 .

Une liaison pivot d’axe ( A, x ) entre deux solides 1 et 2, est paramétrée par un angle (t ) en radian tel radian tel que : (t) = ( y1 , y2 ) = ( z1 , z2 ) Cet angle oriente à chaque instant, la base B2 = ( x2 , y2 , z2 ) par rapport à la base B1 ( x1 , y1 , z1 ) . =

Il est représenté par une figure de changement de base (voir annexe en fin de poly copié pour sa construction).

2.2

Paramètre caractéristique Contrairement aux paramètres de mouvement qui sont variables, les paramètres caractéristiques sont caractéristiques sont les paramètres constants qui constants qui influent sur le mouvement. Ce sont en général des paramètres géométriques (longueurs de solides, entraxes…).

2.3

Commande des mécanismes en chaîne ouverte et en chaîne fermée Chaîne ouverte

Chaîne fermée

Exemple : bras : bras robot soudeur

Exemple : bras : bras articulés de portail

















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2.4

Vecteur position d’un point M fixe dans un solide S par rapport à un solide de référence 0 : Q 0M S 



Un vecteur position d position d’un point M fixe dans un solide S, dans son mouvement par rapport à un solide de référence 0, est un vecteur Q0MS avec Q0 un point fixe dans le repère associé au solide de référence 0, en général l’origine. Exemple : robot : robot industriel Dans le repère R0 (O0 , x0 ,y0 , z0 ) associé au solide de référence, à la date t : O00MS (t) = a(t) x0 + b(t) y0 + c(t) z0

 Pour alléger les notations dans la suite, on n’écrira plus la variable t.

La courbe courbe ainsi définie par ce vecteur position correspond à la trajectoire T M S /0 . 

Lorsqu’il n’y pas d’ambiguïté sur le fait qu’un point est fixe dans un solide (centre de gravité d’un solide, origine d’un repère associé à un solide, centre d’une liaison…), il n’est pas utile de le préciser dans la notation. Dans notre

exemple :

2.5

O00MS (t ) = O0M(t )

Contrainte de position dans un mécanisme en chaîne ouverte La trajectoire, trajectoire, ou la position, d’un point peut être contrainte ou contrainte ou imposée de imposée de la manière suivante : distance ; − contrainte de distance ; droite ou un plan ; plan ; − contrainte d’appartenance à une droite ou trajectoire. − contrainte de trajectoire. Ces contraintes sont traduites en équations scalaires à partir du vecteur position en position en utilisant le produit scalaire. scalaire. On obtient 3 équations au maximum. maximum . Exemple : robot : robot industriel

















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3

Déterminer les lois de commande en vitesse de l’effecteur de chaque cha îne d’énergie-puissance d’un mécanisme en chaîne ouverte L’objectif de cette partie est de déterminer une vitesse d’un point et d’obtenir une contrainte sur sa norme ou sa direction.

3.1

Vecteur vitesse angulaire d’un solide S par rapport à un solide de référence 0 :

 s /0

En plus d’être représenté par une figure de changement de base, un mouvement de rotation d’un solide S par rapport à un solide de référence 0 est caractérisé par un

vecteur vitesse angulaire

 S /0

dont :

direction indique la direction de l’axe autour duquel la base associée au solide S − la direction indique tourne autour de la base associé au solide de référence 0 . C’est donc le vecteur unitaire commun aux deux bases et donc facilement repérable sur la figure de changement de base. − la norme en

rad s

-1

indique la vitesse du mouvement de rotation relatif ;

signe indique le sens du mouvement de rotation relatif, par rapport au sens défini − le signe indique positivement lors du paramétrage du mouvement.

Exemple : 2/1 = (t) x1 = (t) x2

avec



(t ) =

d  dt

en

rad s

-1

On admettra la relation de composition des vecteurs vitesse angulaire , généralisée à n solides auxquels sont associés n repères successifs, en mouvement les uns par rapport aux autres : n/0 = n/ n−1 +  n−1/ n−2 +    + 1/0

Conséquence :

i / j = − − j / i

Dans le cas d’un mouvement de translation, le le vecteur vitesse angulaire est nul S /0 = 0

3.2

.

Vecteur vitesse d’un point M fixe dans un solide S par rapport à un solide de référence 0 : V M S /0 

Par définition, le vecteur vitesse d’un point M fixe dans un solide S

















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3.3

Champ des vecteurs vitesse d’un solide indéformable Un champ est une application qui, à tout point d'un domaine géométrique, associe une grandeur physique scalaire ou vectorielle. Les champs permettent de caractériser l’état d’un système étudié.

Exemples : champs de pression, de température, de déplacement, de champ magnétique … Champ des vecteurs vent pendant la tempête Xynthia (1) N’imp N’importe orte quel point de l’espace peut l’espace peut être être considéré comme fixe dans un solide, y compris un point où il n’y a pas de matière. (2) Cette relation du champ des vecteurs vitesse s’appelle également la relation de Varignon.

Le champ des vecteurs vitesse vitesse d'un solide 2 par rapport à un solide 1 représente l'ensemble l'ensemble des des vecteurs vecteurs vitesse des points fixes(1) dans le solide 2 solide 2 dans son mouvement par rapport au solide 1. L’hypothèse d’indéformabilité des solides considérés permet de montrer que pour tout

couple de points A et B fixes dans le solide 2 : VB2 /1 = VA2 /1 + BA  2 /1 (2)

Un moyen mnémotechnique pour la retenir retenir « BABAR BABAR » (R étant  ).

3.4

Champ des vecteurs vitesse d’un s olide en rotation Exemple : hélicoptère : hélicoptère Considérons le mouvement de rotation d’axe ( A, z1 ) , paramétré par l’angle

(t ) ,

des pales 2 par rapport au fuselage 1 d’un

hélicoptère.

Un mouvement de rotation a son axe immobile. immobile . Ainsi, en tout point I de l’axe de



















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3.5

Champ des vecteurs vitesse d’un solide en translation à trajectoire rectiligne Exemple : vérin : vérin Considérons le mouvement de translation à trajectoire rectiligne de la tige 2 par rapport au corps 1 du vérin. Ce mouvement est de direction x

1

=

x

2

.

En tout point M fixe dans 2 : VM2/1 = VO 2/1 + MO2  2/1 = V O 2/1 2 2

.

On retiendra les résultats suivants : angulaire est nul : nul : − le vecteur vitesse angulaire est

2/1 = 0

;

− tous les points, fixes dans le solide en translation, ont le même vecteur vitesse ; − ce champ des vecteurs vitesse est uniforme et colinéaire à la direction du (1) Ce résultat est bien entendu facile à retrouver en dérivant le vecteur position.. position

mouvement ; − ce vecteur vitesse, s’exprime sans calcul (1), à partir de la dérivée du paramètre de mouvement de la translation. translation . Dans notre exemple, on a donc : M,

3.6

avec

VM2/1 = (t) x1

(t ) =

d(t ) dt

Champ des vecteurs vitesse d’un solide en translation à trajectoire circulaire Exemple : essuie: essuie-glace d’autobus Considérons le mouvement de translation à trajectoire circulaire du balais 3 de l’essuie -glace par rapport au châssis 1 de l’autobus.

En tout point M,

VM3/1 = VC 3/1 + MC  3/1 = V C 3/1 .



















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3.8

Démarche de détermination des vecteurs vitesse dans un mécanisme en chaîne ouverte Pour déterminer le vecteur vitesse d ’un point B , fixe dans 2 dans son mouvement par rapport à 0 : V B 2/0 , quatre cas sont possibles : 

− si le mouvement de 2/0 est une rotation , utiliser la relation du champ des vecteurs vitesse en un point I de l’axe de rotation de 2/0 : 2/0 :

VB2/ 0 = V I2 / 0 + BI  2/0

;

− si le mouvement de 2/0 est une translation à trajectoire rectiligne, paramétrée par (1) Cas particuliers des mécanismes en chaîne fermée à parallélogramme, parallélo gramme, qui qui seront traités avec les mécanismes en chaîne ouverte :

la longueur

,

utiliser :

VB2/ 0 =  u

;

− si le mouvement de 2/0 est une translation à trajectoire circulaire (1), changer de

point (si besoin) pour faciliter la suite du calcul :

VB2/0

= V

C 2 /0

puis déterminer le

nouveau vecteur par la composition des vecteurs vitesse ; sinon, utiliser la relation de composition des vecteurs vitesse , pour se ramener à des − sinon, vitesses de mouvement élémentaire :

VB2/0 = VB2/1 + V B1/ 0

, puis déterminer les

vecteurs composés par une des trois méthodes ci-dessus. Exemple 1 : bras : bras de robot L’outil est placé à l’ extrémité B du bras.

On recherche le vecteur vitesse en B fixe dans 2/0 : V B2/0 . Dans notre cas ici, le mouvement de 2/0 n’est pas un

des 3 mouvements élémentaires, donc on compose : Représentation graphique du résultat :

VB2 / 0 =

VB2 /1

rota rotati tion on ( A,z0 ) Avec :

+

V B1/ 0

translation x 0



















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4 4.1

Déterminer les lois de commande en mouvement de l’effecteur de chaque chaîne d’énergie-puissance d ’un mécanisme en chaîne ouverte Torseur cinématique Grâce à la relation du champ des vecteurs vitesse, on peut, connaissant la vitesse d’un point d’un

solide et son vecteur vitesse angulaire dans son mouvement par rapport à un repère de référence, déterminer la vitesse de tous les autres points du solide. solide . Le couple formé par le vecteur vitesse angulaire d’un solide V A2/1

constitue le torseur cinématique

2/1

et le vecteur vitesse d’un point

V 2/1  du solide 2 dans son mouvement par rapport au

solide 1 et exprimé au point A. Il est noté :

V 2/1  =

2/1  V A2/1 A 

2/1

est la résultante cinématique

V A2/1

est le moment cinématique au cinématique au point A

− Le torseur cinématique d’une liaison glissière de direction x et de paramètre de

mouvement



 : V 2/1

 0   x P 

=

− Le torseur cinématique d’une liaison pivot d’axe ( A, z ) et de paramètre de

mouvement

4.2



: V 2/1 =

  z   z =   0 r  ? P( A,z )  P( A,z ) 

Composition des torseurs cinématiques Relation de composition des torseurs cinématiques dans le cas de n solides :

V /0  V / 1 n

=

n n−

+  +

V 1/0 

Conséquence :

V2/1

= −

V 1/2 



















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5

5.1

Déterminer les lois entrée-sortie cinématiques des transmetteurs usuels : les réducteurs et les multiplicateurs à trains simples

Loi entrée-sortie cinématique : rapport de transmission Une loi entrée-sortie cinématique caractérise le comportement cinématique du transmetteur. Pour un réducteur ou un multiplicateur , elle est donnée par le rapport de transmission qui transmission qui est le rapport entre la vitesse angulaire de sortie s (ou Ns ) et la vitesse angulaire d’entrée s e

=

s

=

e

Ns Ne



e

(ou

avec

Ne )



:

en rad/s et N en tr/min. On a

2N =

60

Selon la valeur de ce rapport (<1 ou >1), on parle de multiplicateur ou multiplicateur ou de réducteur de vitesse.

5.2

Transmetteur à roues de friction R2

y0

y0

Roue menée 2 x2 z

 2

0

ressort presseur

O2

x0

O2 

2/ 0

R1

I

I 

1/0

O

z

x1



















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5.3

Transmetteur à engrenage y0

y0

D2

O2 2

z0

2

x2

θ2

O2

x0



2/0

D1

I 1

1



1/0

I

x1

O1

θ1

z0

x0

O1

(1) La petite roue dentée est appelée « pignon » et la grande est appelée « roue », ou « couronne » dans le cas d’un engrenage intérieur.

Principe

Un engrenage est engrenage est constitué de deux roues dentées (1) qui engrènent l’une avec l’autre. La géométrie de la denture permet d’obtenir la même cinématique que celle imposée

par deux roues de friction, correspondant aux cercles primitifs. Les cercles primitifs sont représentés sur les s chémas cinématiques.

Utilisation

Transmissions de faible et forte puissances. (de la montre… à la boîte de vitesse automobile…

aux éoliennes)

Caractéristiques des roues dentées





















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Profil

Avantage : peut admettre des déplacements axiaux

Avantages : plus silencieux, transmet des couples plus importants

Inconvénient : vibration, bruyant

Inconvénient : crée des efforts axiaux

Engrenage cylindrique à contact extérieur

Forme

à denture hélicoïdale

à denture droite

Engrenage cylindrique à contact intérieur

Engrenage conique



















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5.4

Transmetteur à train d’engrenages simple On peut associer plusieurs engrenages à la suite afin d’augmenter le rapport de réduction ou de multiplication. On parle alors de train d’engrenages. es. Quand tous les axes de rotation des roues dentées sont fixes par rapport au bâti, on parle de train simple. simple. Rapport de transmission d’un train d’engrenages simple : s /0 e /0

= rapport i = 

 X e

i

X s

X

pouvant être un nombre de dents ou un diamètre

i

ou

s /0 e /0

= rapport i = 

X e

i

X s

i

si le train comporte des engrenages coniques ou roue-vis sans fin

Exemple : rapport de transmission d’un réducteur à train simple



















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5.5

Transmetteurs pignons-chaîne et poulies-courroie Poulies-courroie

Pignons-chaîne



















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6 6.1

Déterminer les lois entrée-sortie cinématiques des transmetteurs usuels : les réducteurs et les multiplicateurs à trains épicycloïdaux Satellite, porte-satellite et planétaires Pour obtenir un très grand rapport de transmission avec un train d’engrenages simple,

il faut utiliser plusieurs étages, ce qui est lourd et encombrant. Les trains épicycloïdaux permettent d’obtenir de grand rapport de réduction dans un encombrement faible. y4

z

0

Satellite 2 Planétaire 3 2

 L’utilisation de plusieurs satellites ne modifie pas le comportement cinématique du train épicycloïdal mais permet de répartir les efforts entre les satellites et ainsi d'améliorer la durée de vie.

y2

3

y4

3 2

O2

J

4

O1

O4

O3

x

0

I

4

1 1

Planétaire 1

y0



















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Un train épicycloïdal est un système à 3 à 3 entrées-sorties :



pla A/0

,

pla B/0 et





ps/0

.

L’utilisation d’un train épicycloïdal nécessite alors d’imposer la vitesse angulaire par rapport au bâti

de deux des trois entrées possibles :



pla A/0

,

pla B/0 ou





ps/0

.

Dans la pratique, on bloque souvent l’une d’entre -elles -elles ; on impose la vitesse angulaire à la deuxième ; la troisième est alors donnée par la relation de Willis.

(1 ) Cela implique implique qu’il faut faut même imaginer que certaines pièces sont « libérées ».

Démarche pour Démarche pour déterminer la loi entrée-sortie cinématique d’un train épicycloïdal : 1. Écrire la relation de Willis et calculer la raison de base sans tenir compte du fait que (1) certains éléments sont bloqués ou ont une vitesse imposée. 2. Simplifier la relation obtenue en tenant compte de la configuration : éléments ayant une vitesse nulle ou imposée.

Exemple : rapport de transmission d’un train épicycloïdal  Dans cet exemple, on parle de satellite double. double.

Soit 1 la pièce d’entrée de ce transmetteur et 4 la pièce de sortie. Déterminer le rapport de transmission

Z2b

Z2a

4

2



4/ 0



1/0

1/ 0 −  3/ 0 + (  − 1) 4 / 0 = 0   1/0 − Z3 − Z 2 Étape 1 : 

3 1






















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7

Déterminer les lois entrée-sortie cinématiques des transmetteurs usuels : les transformateurs de mouvement

7.1

Transmetteurs pignon-crémaillère, pignons-chaîne, poulies-courroie, cylindre roulant sans glissement




















7.2

Transmetteur vis-écrou

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8 8.1

Analyser et interpréter un modèle cinématique d’un mécanisme complexe Degré de liberté et degré de liaison d’une liaison Les degrés de liberté d’une liaison sont les mouvements élémentaires indépendants autorisés par la liaison. Les autres mouvements élémentaires sont supposés bloqués bloqués et appelés degré de liaison. liaison. Dans un repère local associé à la liaison

R

=

(O, x, y , z ) , les degrés



















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8.4 (2) Pour une meilleure mémorisation, ils rappellent des réalisations matérielles par contact direct (ici, un axe dans un cylindre avec deux blocages axiaux). C’est un moyen mnémotechnique !

Liaisons usuelles Les liaisons usuelles usuelles correspondent à des modèles souvent utilisés car elles sont associées à des réalisations matérielles courantes. Elles font l’objet d'une norme norme qui définit les différentes combinaisons de degré de liberté et degré de liaison usuelles.

Informations définies sur les graphes de liaison et sur les schémas cinématiques Exemple d’informations associées à une liaison pivot d’axe ( A, x ) :

Nom Liaison pivot Caractéristique(s) Caractéristique(s) géométrique(s) géométrique(s)

Intitulé normalisé Indication indispensable



















CIN Cours - Valider les performances cinématiques d'un mécanisme

CPGE 1re année

Tableau des liaisons parfaites usuelles Le tableau suivant recense les liaisons usuelles. Nom, caractéristiques géométriques et symboles sont à connaître par cœur. Degrés de liberté et degré de liaison associés, domaine de validité, torseur cinématique et torseur des actions mécaniques transmissibles sont à retrouver sans erreur. Représentation 3D NOM et caractéristique(s) géométrique(s)

Représentation 2D Forme du torseur cinématique

O

O

Forme du torseur des actions mécaniques transmissibles

O Domaine de validité

GLISSIERE de direction

V 2/1 = x

0  v x ,A2/1  A 

x

T 1→2  =

Y1→2 y + Z1→2 z  L A,1→2 x + MA,1→2 y + N A ,1→2 z  A 





















CIN Cours - Valider les performances cinématiques d'un mécanisme

PIVOT d’axe

(O x )

CPGE 1re année

V 2/1  =

 x ,2/1 x  0  A(O , x ) 

T 1→2  =

 X1→2 x + Y1→2 y + Z1→2 z  MA,1→2 y + NA,1→2 z  A(O, x ) 

,

Zone de validité validité

pour tout point A appartenant à la droite

(O )




















9

Elaborer un modèle cinématique d'un mécanisme complexe

CPGE 1re année




















9.3

CPGE 1re année

Modélisation des guidages réalisés par contact direct ou par interposition d’éléments glissants




















9.5

CPGE 1re année

Démarche de construction d’un schéma cinématique On suppose que le modèle cinématique est donné, sous la forme d’un graphe des li aisons par exemple.




















CPGE 1re année











































































































































Cours - Cinématique comprimé.pdf

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