Colégio Modelo Exercícios de Geometria Espacial – Corpos Redondos: Cilindro, Cone e Esfera. Professor Diniz – site: www.diniz.webnode.com.br om Est!do" #$ % geratriz geratriz de !m cone circ!lar reto mede & ' cm e forma com o plano da base do cone !m (ng!lo (ng!lo de )*+, ' conforme a fig!ra abaixo. -ol!me desse cone, em cm , é: a$ &π
b$ /)π
c$ #)&π
d$ #/0π
)*+
0$ 1m cilindro de #* cm de alt!ra tem 2rea da base ig!al a #) π cm3. Calc!le s!a 2rea total. '$ 1m cilindro e4!il2tero mede #0 m de alt!ra. Calc!le o se! -ol!me em m '. $ % tira seg!inte mostra o Cebolin5a tentando le-antar !m 5alter, 4!e é !m aparel5o feito de ferro, composto de d!as esferas acopladas a !m bast6o cilíndrico. 7!pon5a 4!e cada esfera ten5a #* cm de di(metro e 4!e o bast6o ten5a 8* cm de comprimento e di(metro da base medindo 0 cm. 7e a densidade do ferro é 9,& gcm ', 4!antos 4!ilogramas, aproximadamente, o Cebolin5a tenta-a le-antar; <1se: π = '$ a$ / b$ & c$ ) d$ 8
8$ >essa fig!ra, %C é !m 4!adrante de círc!lo de raio 'cm e %?E@ é !m 4!adrado, c!Ao lado mede #cm. Considere o sBlido gerado pela rota6o de ')*+, em torno da reta %, da regi6o 5ac5!rada na fig!ra. 7abeDse 4!e o -ol!me de !ma esfera de raio r é ig!al a < πR ''$. %ssim sendo, esse sBlido tem !m -ol!me de a$ #π cm' b$ #8π cm' c$ #)π cm' d$ #9π cm'
)$ eia os 4!adrin5os:
7!pon5a 4!e o -ol!me de terra ac!m!lada no carrin5oDdeDm6o do personagem seAa ig!al ao do sBlido es4!ematizado na fig!ra #, formado por !ma pir(mide reta sobreposta a !m paralelepípedo ret(ng!lo. %ssim, o -ol!me médio de terra 4!e Fagar ac!m!lo! em cada ano de trabal5o é, em dm ', ig!al a: a$ # b$ #8 c$ #) d$ #& 9$ >o desen5o a seg!ir, dois reser-atBrios de alt!ra F e raio R, !m cilíndrico e o!tro cnico, est6o totalmente -azios e cada !m ser2 alimentado por !ma torneira, ambas de mesma -az6o. 7e o reser-atBrio cilíndrico le-a 0 5oras e meia para ficar completamente c5eio, o tempo necess2rio para 4!e isto ocorra com o reser-atBrio cnico ser2 de: a$ 0 5 b$ # 5 e '* min c$ 8* min d$ '* min
&$ %ssim como na rela6o entre o perfil de !m corte de !m torno e a pea torneada, sBlidos de re-ol!6o res!ltam da rota6o de fig!ras planas em torno de !m eixo. GirandoDse as fig!ras a seg!ir em torno da 5aste indicada obtémDse os sBlidos de re-ol!6o 4!e est6o na col!na da direita. % correspondHncia correta ente as fig!ras planas e os sBlidos de re-ol!6o obtidos é: a$ #?, 0E, '%, , 8C. b$ #?, 0E, ', C, 8%. c$ #, 0C, '?, E, 8%. d$ #, 0?, 'E, %, 8C.
/$ Em 4!al das alternati-as est2 a planifica6o do c!bo representado I es4!erda;
#*$ -ol!me do sBlido gerado pela fig!ra ao lado é: # a$ &π
b$ π
c$ 8π
d$ ' π
8 #
##$ 1m reser-atBrio de 2g!a tem a forma de !m 5emisfério acoplado a !m cilindro circ!lar como mostra a fig!ra a seg!ir. % medida do raio do 5emisfério é a mesma do raio da base do cilindro e ig!al a r = ' m. 7e a alt!ra do reser-atBrio é 5 = ) m, calc!le a capacidade m2xima de 2g!a comportada por esse reser-atBrio.
#0$ Considere !ma bola de sor-ete de ')J cm ' de -ol!me e !ma cas4!in5a cnica de ' cm de raio. Calc!le a alt!ra da cas4!in5a, para 4!e o sor-ete, ao derreter, oc!pe todo o se! espao. #'$ %c5e a 2rea total e o -ol!me dos cones retos caracterizados abaixo: a$ se! raio mede / cm, e s!a alt!ra, #0 cm. b$ o cone é e4Kil2tero, e s!a 2rea lateral mede 98π m0. c$ a geratriz mede #* dm, e a s!a alt!ra mede ) dm. #$ % 5ipoten!sa de !m tri(ng!lo ret(ng!lo mede #* cm e !m dos catetos ) cm. Calc!le o -ol!me do sBlido obtido ao girar de ')*+ o tri(ng!lo em torno do maior cateto. #8$ reser-atBrio Lt!bin5o de tinta de !ma caneta esferogr2fica tem mm de di(metro e #* cm de comprimento. 7e -ocH gasta 8 π mm' de tinta por dia, a tinta de s!a esferogr2fica d!rar2: a$ 0* dias b$ * dias c$ 8* dias d$ &* dias
#)$ 1m paciente recebe por -ia intra-enosa !m medicamento I taxa constante de #,8 mlmin. frasco do medicamento é formado por !ma parte cilíndrica e !ma parte cnica, c!Aas medidas s6o dadas na fig!ra, e esta-a c5eio 4!ando se inicio! a medica6o. %pBs 5 de administra6o contín!a, a medica6o foi interrompida. ?ado 4!e # cm ' = # ml, e !sando a aproxima6o J = ', o -ol!me, em ml, do medicamento restante no frasco apBs a interr!p6o da medica6o é, aproximadamente, a$ #0* b$ #8* c$ #)* d$ 0* e$ ')*
#9$ -ol!me do sBlido gerado pela fig!ra abaixo é: a$ &π b$ 8π c$ π d$ ' π #
8 #
#&$ % 2rea total de !m cilindro é &π m0 e a soma das medidas do raio da base e da alt!ra é ig!al a & m. Ent6o, em m', o -ol!me do sBlido é: a$ 8π b$ 8*π c$ 9*π d$ 98π #/$ 1m cilindro reto tem -ol!me ig!al a )** cm ' e a 2rea lateral é ig!al a ** cm0. raio da base mede: a$ #) cm b$ 0 cm c$ 0& cm d$ '0 cm 0*$ 7e !m cilindro e4!il2tero mede #0 m de alt!ra, ent6o o se! -ol!me em m ' -ale: a$ #π b$ 0**π c$ '0π d$ &*π 0#$ Considere os dois cilindros circ!lares retos abaixo representados. 7e N # é o -ol!me do cilindro de maior alt!ra e N0 é o -ol!me do o!tro cilindro, é -erdade 4!e: a$ N# = 0.N0 b$ N# = N0 c$ d$
V #
V #
=
N#
V 0
0a
0 =
N0 a
V 0
.
a
0a
00$ % fig!ra mostra !m ret(ng!lo e !m semicírc!lo com as dimensOes indicadas. -ol!me do sBlido, gerado pela rota6o da fig!ra em torno do eixo r, é: a$ b$ c$ d$ e$
r
900π '
) cm
&'0π '
&).π
cm
& cm
' /'0π ' /)0π '
0'$ Para g!ardar a ra6o de se!s animais, !m fazendeiro constr!i! !m recipiente, conforme indica a fig!ra a seg!ir. Calc!le, em m', a capacidade total desse recipiente. 0m a$ *π m' b$ #)π m' c$ 0π m' d$ 0*π m' e$ 00π m'
m
) m
0$ Para re-estir externamente c5apé!s em forma de cones com #0 cm de alt!ra e di(metro da base medindo #* cm, ser6o !tilizados cortes retang!lares de tecido, c!Aas dimensOes s6o )9 cm por 8* cm. %dmita 4!e todo o tecido de cada corte poder2 ser apro-eitado. nQmero mínimo dos referidos cortes necess2rios para forrar 8* c5apé!s é ig!al a: a$ ' b$ c$ 8 d$ ) e$ 9 08$ % geratriz de !m cone mede #' cm e o di(metro da s!a base #* cm. -ol!me do cone, em cm ', é: a$ #**π b$ 0**π c$ '**π d$ **π e$ 8**π 0)$ 1ma t!lipa de c5ope tem a forma cnica, como mostra a fig!ra abaixo. 7abendoDse 4!e s!a capacidade é de #**πml, a alt!ra 5 é ig!al a: #* cm a$ #0 cm b$ #) cm c$ 0* cm 5 d$ & cm
09$ Calc!lar o -ol!me do sBlido gerado pela rota6o de !m tri(ng!lo ret(ng!lo em torno do maior
cateto, sabendoDse 4!e !m dos (ng!los do tri(ng!lo é de )*+ e 4!e a 5ipoten!sa tem medida L0a.
G%%RS #$ ? 0$ %S = ##0π cm0 '$ N = '0π cm' $ % 8$ ? )$ 9$ C &$ % /$ #*$ C ##$ N = 8 π m' #0$ 5 = #0 cm #'$ a$ N = '0 πcm' e %S = 0#)π cm0 b$ N = 90π ' m' e %S = #*& π m0 c$ N = #0&πdm' e %S = #π dm0 #$ N = # πcm' #8$ ? #)$ % #9$ #&$ % #/$ ? 0*$ C 0#$ C 00$ 0'$ C 0$ % 08$ % 0)$ % 09$
V
a
'
π
'
=
'
Professor Diniz –
site: www.diniz.webnode.com.br
