Física 1 Corpos Rígidos

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CEFET - RJ Uned Angra dos Reis

Cinematica a´ tica e din ˆ din âmica amica de corpos r´ r´ıgidos ıgidos

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´ o conjunto de conceitos que buscam estudar a descriç ao O que e? e´ ? E a˜ o do movimento dos corpos r´ıgidos. ıgidos. Inicialmente e´ necess´ necess ario a´ rio definir o conceito de um corpo r´ r ´ıgido ıgido e em seguida entender quais os graus de liberdade em seus movimentos. movimentos. Nesses Nesses estudos, estudos, surgem surgem conceitos conceitos extremamente extremamente importantes importantes em f´ısica ısica e engenharia engenharia,, o momento angular e torque. Pra que serve? Em engenharia e em f ´ısica, ısica, o conhecimento total da din amica aˆ mica desses corpos é fundamental na elabor ela borac aç ao a˜ o de motores e equipamentos. Como funciona? Primeiro, define-se o conceito de corpo r´ıgido ıgido e o momento de inércia; ercia; em seguida, define-se o conceito de momento angular - um conceito an alogo a´ logo ao de momento linear, mas aplic avel a´ vel para corpos r´ r´ıgidos ıgidos em rot r otac aç ao a˜ o - e a alteraç ao a˜ o da dinâmica amica do momento angular só pode ocorrer através es de, não ao exatamente ex atamente uma forç a, mas do torque.

1.1 Movim Moviment ento o de corpos corpos r´ıgidos ıgidos Por definiç ao, a˜ o, um corpo r´ıgido ıgido n ao a˜ o consiste consiste necessari necessariament amentee de um sistema sistema cont´ cont´ınuo ınuo de matéria eria1 onde suas mol´ moleculas e´ culas est˜ estao a˜ o a dist ancias aˆ ncias fixas umas das outras, independente do movimento que o corpo r ´ıgido ıgido faç a e das forças ¸as aplicadas sobre ele. Esses conceitos s ao a˜ o completamente ideais, pois mesmo barras de aço ¸o de construç ao a˜ o civil podem se deformar elasticamente, discos em colisão ao se deformam elasticamente, assim como bolas de ma˜ teriais duros ou n ao; a˜ o; entretanto, como vimos no curso de colis oes, as deformac defo rmaç oes o˜ es em corpos em corpos indestrut ´ ´ıveis s ıveis s ao a˜ o rápidas apidas e de duraç ao a˜ o extremamente curtas de modo que não ao alteram o movimento do corpo r´ıgido ıgido de maneira significativa. significa tiva. Pela definic defin iç ao a˜ o de corpo r´ r´ıgido, ıgido, n˜ nao a˜ o e´ necess´ necessario a´ rio que sua constituic constit uiç ao a˜ o seja se ja de d e alguma al guma distribuic distribui ç ao a˜ o cont´ınua ınua de mat´ materia; e´ ria; por exemplo, quatro aviões oes percorrendo o céu eu com uma distância ancia fixa entre eles - como os da esquadria da fumaça - podem ser um bom exemplo de corpos r´ r ´ıgidos; ıgidos; outro exemplo ´ exemplo é o de estrelas fixas no c eu, e´ u, como o Cruzeiro do Sul. A descric desc riç ao a˜ o completa do movimento de um corpo r´ıgido ıgido pode ser composta de dois movimentos de origem completamente diferentes. A tran tr ansl slac aç ao ˜ e´ o movimento do corpo onde cada um de seus constituintes se move em uma linha reta, de modo que as linhas descritas pelos movimento de cada constituinte s˜ sao a˜ o paralelas. paralelas. Todos os pontos sofrem o mesmo deslocame deslocamento nto durante o mesmo intervalo de tempo e, por isso, têm em as mesmas velocidades e acele ace lerac raç oes; o˜ es; assim, a descriç ao a˜ o do d o movimento m ovimento de translac t ranslaç ao a˜ o de um corpo r´ıgido ıgido pode ser feita com o estudo de um unico u´ nico ponto representante do corpo; e´ muito comum que o ponto escolhido do corpo material seja seu centro de massa. O movimento de rot rotaç ao ˜ pode ser descrito a partir de considerar uma Figure 1: Composiç ao a˜ o de movilinha imagin´ imaginaria a´ ria que liga dois pontos A pontos A e e B B em em um corpo r´ r´ıgido; ıgido; ent˜ entao, a˜ o, qual- mentos. quer ponto neste corpo que estiver fora desta linha estará sempre a uma distância ancia fixa desta linha. Assim, suponha que o corpo comece a girar ao redor da linha formada pelos pontos A e A e B B;; então, ao, qualquer ponto fora desta linha executar a´ uma u ma rotac rot aç ao a˜ o em torno deste eixo. Assim, a linha AB linha AB é a defini defi nicç ao a˜ o de d e um eixo de rotac ro taç ao, a˜ o, pois qualquer part´ıcula ıcula fora desta linha executa c´ırculos ırculos concˆ conc entricos eˆ ntricos com raios iguais a` suas respectivas distâncias ancias com relaç ao a˜ o a este eixo. 1

Mas o conteudo u´ do de um copo de ´ de água agua tamb´ tambem ´ e´ m é uma distribu iç ao a˜ o cont´ cont´ınua ınua de mat´ materia! e´ ria!

1

Assim, o movimento completo de um corpo r´ r ´ıgido ıgido poder´ podera´ ser descrito como a composiç ao a˜ o dos movimentos de rotaç ao a˜ o e de translac t ranslaç ao a˜ o a partir de um eixo fixo definido; deste modo, a posiç ao a˜ o de qualquer part´ part´ıcula ıcula pertencente ao eixo de rotac ro taç ao a˜ o terá apenas o movimento de translaç ao, a˜ o, cujas coordenadas ser ao a˜ o as do sistema de refer encia eˆ ncia em quest˜ questao; a˜ o; j´ ja´ para o movimento unico u´ nico de rotaç ao, a˜ o, qualquer part´ıcula ıcula fora do eixo necessitará apenas de uma coordenada angular

Figure 2: Rotaç ao a˜ o com eixo fixo.

O movimento movimento de rotac ¸ ao a˜ o tamb também e´ m pode pode ser descri descrito to atrav através e´ s de uma rotac ¸ ao a˜ o em torno de um ponto fixo P fixo P - uma u ma rotac r otaç ao a˜ o mais geral - de modo que qualquer outro ponto poderá descrever uma trajetória oria esférica erica em torno de P de P,, com raio igual a` sua dist ancia aˆ ncia a P a P.. Assim, em comparac comp araç ao a˜ o a` rota ro tacç ao a˜ o em torno de um eixo fixo, que precisa de apenas uma coordenada angular, este tipo de rotaç ão ao necessita de duas coordenadas angulares em uma descriç ao a˜ o em termos de coordenadas esféricas. ericas. Fig ure 3: Rotac Rota ç ao a˜ o com ponto fixo. Como definir d efinir a posic posi ç ao a˜ o de um corpo r´ıgido? ıgido? Suponha que se marque A Figure um ponto neste corpo; este ponto n ao ´ a˜ o é suficiente, j a´ que ele ainda pode estar em movimento com relaç ao a˜ o a este ponto. ponto. Então, ao, marca-se dois pontos, adicionando um ponto B; B ; o corpo ainda pode executar um movimento de rotaç ao a˜ o em torno do eixo formado por AB por AB,, ou seja, ainda ainda n ao ´ a˜ o é poss´ poss´ıvel ıvel definir defin ir a posic posi ç ao a˜ o de um corpo r´ r´ıgido ıgido com dois pontos. Um terceiro ponto ainda pode ser inclu´ıdo; ıdo; se estes pontos forem colineare colineares, s, então ao o corpo ainda pode girar em torno deste eixo; mas se os pontos forem não colineares, col ineares, a posiç ao a˜ o do corpo fica completam completamente ente definida. Definidos esses tr es eˆ s pontos, pon tos, pode-se p ode-se lançar ¸a r m aos a˜ os do teorema de Chasles: o movimento movimento de um corpo r´ıgido ıgido e´ a composiç ao a˜ o de um movimento de tran tr ansl slac aç ao a˜ o com outro de rotaç ao. a˜ o. Para ver ver como isso funciona, funciona, sejam sejam tr es eˆ s  pontos não ao colineares coli neares em e m um corpo c orpo r´ıgido, ıgido, O , A e seja O o ponto corre A e B e B e seja O spondente a O a O ap os o´ s sofre so frerr transl tr anslac aç ao. a˜ o. Assim, a translac tran slaç ao a˜ o pode ser definida pelo vetor OO  . Os pontos A pontos A e B formam, com O com O,, um triângulo angulo que e´ igual    ao formado por A por A , B e O , já que o sistema é formado de um corpo r´ıgido. ıgido.  Superpondo os dois triˆ triangulos aˆ ngulos em um ponto em comum, O , tem-se que a rota ro tacç ao a˜ o do corpo e´ definida defini da como com o a rotac r otaç ao a˜ o do triângulo ABO angulo ABO A B O .

→

Figure 4: Teorema de Chasles.

relacç ˜ ao a um Quantos Quantos parâmetros ametros são ao necessários arios para definir exatamente a posiç ao a˜ o de um corpo co rpo r´ıgido ıgido em rela dado referencial referencial? Primeiramente, Primei ramente, para definir defi nir a posic po siç ao a˜ o de um ponto desse corpo, s ao a˜ o necess´ necessarias a´ rias 3 coordenadas; além em disso, qualquer outro ponto neste corpo a uma distância r ancia r , necessitará também em de outras 3 coordenadas, que sao a˜ o o proprio r o´ prio r e e os ˆ os ângulos angulos de latitude e longitude. Assim, um corpo r´ r´ıgido ıgido precisa da definiç ao a˜ o de seis se is coordenadas coord enadas para pa ra ter sua posiç ao a˜ o descrita completamente e, por isso, isso, diz-se diz-se que um corpo r´ıgido ıgido possui possui seis graus de liberdade. liberdade. Os graus de liberdade liberdade são ao os parâmetros ametros necess´ necessarios a´ rios fixar para descrever o movimento do sistema; por exemplo, uma part´ part ´ıcula ıcula livre tem tr es eˆ s graus de liberdade, todos relacionados ao movimento de translaç ao; a˜ o; enquanto enquanto isso, um corpo r´ıgido ıgido tem seis, onde três es deles est˜ estao a˜ o associados as sociados com a translaç ao a˜ o e outros trˆ tres ` eˆ s à rota ro tacç ao. a˜ o. ˜ onde Por´ Porem, e´ m, h´ ha´ situac sit uaç oes onde o sistem sistemaa pode pode ser simpli simplifica ficado; do; por exemp exemplo, lo, fixando fixando um dos pontos de um corpo r´ıgido, ıgido, tem apenas tr es eˆ s graus de liberdade, os quais est˜ estao a˜ o relacionados ` relacionados à eventual eventu al rotac rot aç ao a˜ o em torno deste ponto. Se um corpo r´ r ´ıgido ıgido estive tiverr girand girando o em em torno torno de um eixo eixo fixo, fixo, ele ele terá, então, ao, apenas apenas um grau grau de liberd liberdade ade,, que e´ o angulo aˆ ngulo que descreve des creve a rotac r otaç ao a˜ o como em um movimento circular uniforme; o grau de liberdade seria, ent ao, a˜ o, um escalar θ . A general gen eralizac izaç ao a˜ o para os diferentes tipos de rotaç oes o˜ es necessita de mais informaç oes; o˜ es; no caso do pião, ao, por exemplo, a direç ao a˜ o do d o eixo ei xo de d e rotac ro taç ao a˜ o varia a todo instante - uma precess ao a˜ o - e s o´ o ˆ o ângulo angulo n˜ nao a˜ o e´ suficiente para descrever completamente o movimento. Assim, se faz necessário lanc lan ç ar maos a˜ os de uma representac represen taç ao a˜ o vetorial das rotaç oes. o˜ es.

1.2

Representaç ˜ ao v vetor etorial ial das rotac rota ç ˜ oes

2

Figure 5: Rotaç ao a˜ o com eixo fixo.

˜ A descriç a˜ o cuidadosa de rotaç o˜ es necessita de certas consideraç oes. Por exemplo, as rotaç o˜ es podem ser definidas como sendo composiço˜ es de rotaço˜ es infinitesimais e vetoriais δθ , cujo mo´ dulo e´ dado por δ θ e sua direç a˜ o e´ o eixo de rotaç a˜ o. A convenç a˜ o e´ a adotada na Figura (6); por exemplo, um observador com os pés na origem e olhando para baixo “v eˆ ” o vetor girando em sentido anti-hor a´ rio. Assim, será muito comum adotar o eixo de rotaç a˜ o paralelo a z ˆ no caso de eixos fixos de modo que este eixo de rotaça˜ o fique perpendicular a um plano ( x, y).

Figure 6: Convença˜ o da ´ necessário relacionar o elemento de deslocamento δ θ com o eventual espaço E orientaç a˜ o do vetor. percorrido δ s; este deslocamento pode ser dado através da relaç a˜ o entre dois pontos P e P equidistantes da origem O, de modo que r = OP = OP , de uma maneira que δ s = PP . A relaça˜ o entre esses vetores é dada pelo produto vetorial

δ s

= δ θ

× r = |δ θ||r|sen φ .

(1)

O vetor de deslocamento δ s e´ , então, o resultado do produto vetorial entre os vetores δ θ e r ; note que como esses dois últimos são sempre perpendiculares na existência de algum movimento de rotaça˜ o (δ θ = 0 ), ele sempre será diferente de zero. Note também que δ θ r e´ sempre perpendicular ao plano formado por esses vetores; logo, δ s sempre será perpendicular ao plano definido por este produto vetorial. Note tamb e´ m que a ordem do produto vetorial muda o sentido de δ s, ou seja, δ θ r = r δ θ ; o sentido de δ s e´ tal que o observador, com a cabeça na direç a˜ o deste vetor, olha para baixo e ‘vê’ δ θ girando em sentido anti-horário. No caso em que o ângulo formado Figure 7: Rotaç a˜ o em torno de ˆz. por δ θ e r e´ de π /2, tem-se que δ s = δ θ r (veja a Figura 7), então pode-se dizer que o ponto P está no plano formado por Oxy; neste caso também se observa que o sentido de δ θ r é o eixo ˆy.



×

×

−×

| || |

×

Seja agora o caso em que o ponto P n a˜ o esteja mais em Oxy, ou seja, os vetores δ θ e r formam um aˆ ngulo φ entre eles, como est a´ representado na Figura (8); nesta, o vetor δ s é perpendicular ao plano do papel e aponta para fora, saindo do papel. Assim, a descriça˜ o deste movimento será definida com ´ o resultado deste produto vetorial. O vetor δ s tem modulo dado por

δ s

=

|δ θ||r|sen φ

(2)

˜ temporais dessas quantiAgora e´ importante notar sobre as variaçoes dades. A velocidade, por definiç a˜ o, e´ a taxa de variaça˜ o de s com relaça˜ o ao tempo, ou seja, um ponto P no corpo r´ıgido terá uma velocidade dada por

v

=

⇒v

=

d s d = (δ θ dt dt ω r

× r) = δ dt θ × r

×

(3)

onde foi usada a definiç a˜ o de que a variaç a˜ o de posiç a˜ o angular com relaç a˜ o ao tempo corresponde a` velocidade angular

ω =

lim

∆θ

→0 ∆t

∆t

=

d θ dt

Figure 8: Rotaç a˜ o geral em torno de ˆz.

e ω e´ , por isso, definido como o vetor velocidade angular. A magnitude deste vetor corresponde à velocidade angular, que j a´ foi definida anteriormente. Já a direça˜ o de ω e´ a do eixo de rotaça˜ o, na mesma direç a˜ o de δ θ , conforme ilustra a Figura (9). A determinaç a˜ o da velocidade de um ponto em um corpo r´ıgido, como foi definida no in´ıcio das discuss o˜ es, e´ a composiç a˜ o de duas velocidades, sendo uma delas a de translaç a˜ o e outra de rotaç a˜ o; desta forma, um ponto P em um corpo r´ıgido tem velocidade V dada por

V

= v + ω r.

×

(4) 3

Figure 9: Vetor ω .

Como representar graficamente o vetor ω ? A direç a˜ o do eixo de rotaç a˜ o varia em geral a cada instante e o caso mais simples e´ onde ele permanece com direça˜ o fixa. Para entender melhor, e´ necessário definir o que são os vetores polares e vetores axiais. Vetores como ω e δ θ se diferem dos demais porque mesmo tendo m o´ dulos e direç o˜ es definidas usualmente, os sentidos só s a˜ o definidos por convença˜ o. Uma representaça˜ o apropriada para o vetor ω seria dada em termos de c´ırculos orientados como na Figura (10), de modo que poderia ter direc ¸ a˜ o definida para cima ou para baixo sem que nenhum problema deixasse de ser resolvido por isso. Devido a esta necessidade de convencionar o sentido de ω e de θ , eles são chamados de vetores axiais. Note que os vetores ordinários, como F, x, p e muitos outros estudados até aqui, têm suas orientaço˜ es encontradas sem a necessidade de nenhuma convenç a˜ o, os quais são chamados de Figure 10: Representaça˜ o do vevetores polares. tor ω . Uma importante diferença entre vetores polares e axiais e´ com respeito a` s suas reflex o˜ es frente a um espelho. Na prática, vetores polares n a˜ o mudam de sentido após uma reflexão por espelhos. Já vetores polares se invertem quando refletidos por um espelho, ou seja, eles trocam de sinal. Essa situaça˜ o pode ser exemplificada quando abrimos a palma da mão direita em frente ao espelho: a imagem da m a˜ o no espelho é idêntica à da mão esquerda, uma situaça˜ o que e´ conhecida por quiralidade; mas, ao girar a mão em uma direça˜ o, o que equivale a uma rotaça˜ o axial, vemos que a rotaça˜ o não e´ alterada pela imagem. Pode-se perceber, da Figura (11) que um c´ırculo orientado com seu plano Figure 11: Reflexã o de vetores axparalelo ao do espelho se reflete de tal forma que o vetor axial ω associado, iais e polares. que e´ perpendicular ao espelho, n a˜ o se altera: observe, para isso, que x e´ paralelo a ω e, por ser um vetor polar, inverte seu sentido depois da reflexão; o mesmo ocorre para qualquer vetor polar r . Uma observaç a˜ o importante: ω r e´ o produto vetorial entre um vetor axial, ω , e um vetor polar, r e o resultado disso e´ o vetor v que e´ um vetor polar; este é um exemplo de uma regra geral onde o produto vetorial ´ entre um vetor polar com um vetor axial resulta em um vetor polar; o mesmo resultado vale para δ s = θ r. E poss´ıvel mostrar, também, que o produto vetorial de dois vetores polares é um vetor axial.

×

×

2

Torque

No caso onde o movimento de um corpo r´ıgido ocorre com um eixo fixo, tem-se que qualquer ponto P deste corpo gira em torno deste eixo de rotaç a˜ o e seu movimento é totalmente descrito apenas com a coordenada angular - que no nosso caso é chamada de θ ; neste caso, ent a˜ o, tem-se que o movimento é idêntico aos movimentos circulares uniformes e, por isso, é poss´ıvel fazer algumas analogias com o movimento unidimensional:

Deslocamento linear Velocidade linear Aceleracao linear

= x = v = a

↔ ↔ ↔

θ = ω = α =

Deslocamento angular Velocidade angular . Aceleracao angular

Entretanto, ainda e´ necessário definir o análogo dinâmico de F para os movimentos circulares. Para tal, será feita a comparaç a˜ o sobre o trabalho realizado por uma força em um sistema unidimensional, ∆W = F ∆ x com o análogo desta força que realizaria o eventual trabalho, ∆W = τ ∆θ em um sistema circular; o sistema est a´ ilustrado na Figura (12). Considere uma forç a F sendo aplicada em um ponto P próximo a` extremidade de uma régua, onde a outra extremidade, O, está fixa. Assume-se que: o aˆ ngulo formado entre a força e OP = r seja φ ; e que num deslocamento angular inifintesimal ∆θ , o deslocamento linear PP se confunde com a tangente do c´ırculo de centro em O e raio r , o que implica que o deslocamento linear e´ praticamente perpendicular a r . Então, a projeç a˜ o de F sobre a direça˜ o do desloca-

4

Figure 12: Torque em uma régua.

mento será dada por F cos(π /2

− φ ) = F sen φ

(5)

e a magnitude do deslocamento onde a força e´ aplicada, uma vez que considera-se que a variaça˜ o de ∆θ seja suficientemente pequena, um racioc´ınio que j a´ foi usado para a demonstraça˜ o dos resultados das equaço ˜ es de  r∆θ . movimentos da cinemática, pode-se usar a aproximaç a˜ o PP

| |≈

Assim, o trabalho realizado por essa força será ∆W

= F sen φ r ∆θ

(6)

de modo que pode-se identificar imediatamente que

τ =

Fr sen φ

(7)

Este resultado fica ainda mais interessante quando se faz as decomposiç oes ˜ da força nas direço˜ es paralela e vertical à r: nota-se que a u ´ nica componente da força que atua na realizaç a˜ o do trabalho e´ a componente na direça˜ o ortogonal a r, que e´ F ⊥ = F sen θ , ou seja, apenas esta componente é eficiente na produç aõ de rotaç a˜ o; enquanto a outra componente exerce apenas traç a˜ o sobre a barra contra o ponto de fixaç a˜ o O. Assim, pode-se simplificar a Eq. (7) por

τ =

F ⊥ r = F b

Figure 13: F e τ .

(8)

A u´ ltima equaç a˜ o leva em conta que b = r ⊥ = r sen θ e´ a magnitude de OQ que e´ a distância da linha de aç a˜ o PQ ao ponto O; esta distância, b, também e´ chamada de braço de alavanca. Logo, quanto maior o braço de alavanca, maior será o torque realizado. Da mesma maneira, pode-se aplicar um mesmo torque com menos força dispon´ıvel, desde que se tenha um braç o de alavanca maior. Como exemplos, pode-se considerar uma porta que, ao ser aberta. usa-se muito menos força se esta for apli´ cada quanto mais pr oximo estiver da extremidade solta da porta, ou seja, o mais longe poss´ıvel do eixo de rotaç a˜ o. Outro exemplo e´ sobre a engrenagem de bicicleta: nesta, a tensão e´ transferida dos pedais para a roda traseira atrav e´ s da corrente; assim, em uma subida, e´ comum se usar as marchas mais ‘leves’, correspondendo às engrenagens maiores na roda traseira e, somente quando j a´ se tem certa velocidade, usa-se as engrenagens menores, proporcionando maior velocidade. Um racioc´ınio inverso Figure 14: F e τ . pode ser usado para explicar o motivo das marchas mais leves corresponderem às engrenagens menores nos pedais. No in´ıcio dos estudos sobre torque, foi assumido que τ seria o análogo da força para o movimento circular; contudo, a força no caso geral e´ um vetor e e´ necessário englobar essas informaço˜ es na formulaça˜ o. Lembrando da relaça˜ o do produto vetorial entre dois vetores arbitrários, a a = a a sen α , e levando em conta que quanto mais próximo de π /2 o aˆ ngulo φ estiver, maior será o valor de sen φ , pode-se dizer que

×

τ =

| || |

|r × F|.

(9)

A direça˜ o do torque e´ de extrema importância. No exemplo da régua sujeita a uma força em uma de suas pontas, tem-se o vetor r, que liga a origem do eixo de rotaça˜ o até o ponto onde a força e´ aplicada; F, a força aplicada, onde apenas a componente perpendicular a r e´ responsável pela variaç a˜ o do movimento e ω , que surge da variaça˜ o angular. A direç a˜ o de τ e´ , então, perpendicular a estes dois vetores e o sentido é escolhido como o mesmo do eixo de rotaça˜ o. Assim, pode-se definir

τ =

r

× F.

(10) Figure 15: Direço˜ es de τ .

5

Assim como no caso de ω , o sentido de τ e´ escolhido de modo que o observador sobre a extremidade do eixo de rotaça˜ o, no caso de uma forç a positiva F aplicada, o vê girando em sentido anti-horário; a inversão do sentido da força implica na inversão do sentido do torque. O torque e´ definido a partir de um ponto O que e´ escolhido como o ponto onde se localiza o eixo de rotaç a˜ o; ou seja, mudando o ponto O por onde se deseja medir o torque, o resultado em geral poderá ser diferente. Nesta definiç a˜ o, o eixo OP é o eixo que liga o ponto fixo do movimento com o ponto P por onde a força e´ aplicada. Um caso de muita importância em aplicaç o˜ es de f´ısica e de engenharia e´ no caso de forças centrais F (r) = F (r)rˆ . Nestes casos, a força tem origem em O e, além disso, note que a força e´ sempre paralela a r, e isso implica que o torque nesses casos sempre será

τ =

F (r)rˆ

× r = 0

(11)

que se traduz a: forças centrais são incapazes de produzir torque com relaça˜ o Figure 16: Torque de forças cena origem O. Entretanto, em outros referenciais com O = O  encontra-se que trais. o torque e´ em geral diferente. Para concluir as definiço˜ es sobre o torque, observa-se suas unidades, que s a˜ o de Newtons vezes metro, ou seja, a mesma unidade de trabalho; entretanto, o torque e´ muito diferente dos conceitos de trabalho e de força, como veremos em seguida.



O fato do torque ser nulo para forças centrais parece totalmente intrigante quando imaginamos o sistema solar, onde os planetas giram em torno do Sol onde se imagina que ele seja a fonte do movimento; os conceitos a respeito da rotaça˜ o da Terra em torno do Sol dependem de uma outra lei de conservac ¸ a˜ o, semelhante a` quela da primeira lei de Newton, onde na ausˆ encia de forças externas, o momento total do sistema se conserva. Aqui encontraremos um análogo ao momento linear, que ser a´ o momento angular e em seguida sua lei de conservaç a˜ o.

3

Momento Angular

Na definiç a˜ o de torque para uma part´ıcula em um ponto P de um corpo r´ıgido que gira em torno de um ponto fixo O, encontrou-se que

τ =

r

× F.

Este torque seria capaz de alterar a posiça˜ o angular de uma part´ıcula em um corpo r´ıgido. Quanto a` alteraç a˜ o do momento linear desta part´ıcula, pode-se dizer que ela é alterada pela força F aplicada, de modo que

F

d p, dt

=

então

τ =

r

× dt d p.

Observando que d (r p) = r dt

(p) d (r) + × d dt ×p (12) dt mas como d (r)/dt × p = d (r)/dt × (mv) = md (r)/dt × (v) = 0, pode-se es-

×

crever o torque como

τ =

d (r dt

× p)

que ainda pode ser escrita como

τ = 6

d l dt

(13)

Figure 17: Torque de forças centrais.

(14)

onde é definido que

l

= r

×p

(15)

e´ o momento angular da part´ıcula em relaç a˜ o ao ponto O. Aqui, tem-se que o momento angular está para o momento linear assim como o torque está para a força. Neste caso, pode-se definir uma versão análoga da segunda ˜ lei para a din aˆ mica de rotaçoes: a taxa de variaçao ˜ temporal do momento angular l com relaç ao ˜ a um ponto 0 e´ igual ao torque em relaç ao ˜ ao mesmo ponto O aplicado à part ´ıcula. Em termos de direça˜ o, o vetor momento angular e´ ortogonal tanto a p quanto a r , ou seja, ele e´ perpendicular ao plano formado por esses vetores. A direç a˜ o de l é aquela onde um observador na extremidade deste vetor vê o movimento no sentido anti-horário. A magnitude de l pode também ser dada em termos de componentes perpendiculares a r na forma l

= r ⊥ p = r p⊥

(16)

Figure 18: Braço de alavanca.

onde r ⊥ é a componente de r que é perpendicular a p e, analogamente, p ⊥ é a componente de p que é perpendicular a r . Uma part´ıcula em MRU tem momento angular? Neste caso, ilustrado na Figura (19), uma part´ıcula em MRU passa pr o´ ximo a um ponto O, por onde se deseja medir seu momento angular; no ponto mais próximo em que a part´ıcula está de O, podemos medi-lo, encontrando mvb, onde b e´ o valor desta distância - e que coincide com o parâmetro de impacto. De quanto momento angular varia com o tempo? De in´ıcio, lembramos que na ausência de Figure 19: Torque em um MRU. um torque externo, o momento angular deve se conservar; como o momento angular e´ um vetor, ele e´ constante nã o só em módulo, mas também em direç a˜ o e em sentido. Logo, o momento angular de qualquer part´ıcula livre com relaça˜ o a um ponto O é uma constante de movimento.

3.0.1

Forças centrais

As forças centrais, como foi visto anteriormente, s a˜ o aquelas que apontam na direç a˜ o de r = OP, que liga o ponto de aç a˜ o da força ao centro de forças, e por isso n a˜ o realizam torque. Com isso, pode-se concluir que o momento angular, com relaça˜ o ao centro de forças, de um sistema sujeito a forças centrais é constante. Uma implicaç a˜ o direta (um pouco abstrata) e´ sobre o plano em que o movimento ocorre; se o momento angular é constante, então a o´ rbita do movimento da part´ıcula está sempre num mesmo plano; isso significa que, se uma part´ıcula de massa m tem movimento inicialmente descrito pelo vetor r0 , com relaça˜ o a O, e velocidade v 0 , então seu momento angular l = m r0 v0 , em um tempo posterior, tem que ser igual a l 0 de modo que r e v se ajustam de forma a manter o momento angular invariável, ou seja, no mesmo plano da o´ rbita.

×

Figure 20: Plano da o ´ rbita.

Considera-se agora uma part´ıcula em uma órbita tal que num ponto P ela se desloca por uma quantidade infinitesimal d r; neste deslocamento, o raio vetor r varre, dos pontos P a P , uma área triangular dada por dA

=

1 r 2

| × d r|;

(17)

Pode-se, então, perguntar sobre a variaça˜ o temporal da a´ rea varrida - que e´ definida como velocidade aerolar - enquanto a part´ıcula se move em sua ´ Figure 21: Area ‘varrida’.

7

o´ rbita; para cada deslocamento d r, a área varia temporalmente por dA dt

= =

⇒ ddt A

=

  

|r × d r| = 1 r × d r 2 dt 2 dt

 × 

1 r 2m 1 l, 2m

 

md r 1 = r 2m dt

||

| × p|

(18)

mostrando que a velocidade aerolar é diretamente proporcional ao momento angular. Isso implica que em um sistema onde uma part´ıcula executa uma trajeto´ ria orbital sob aça˜ o de forças centrais tem momento angular conservado e, como consequência disso, que sua velocidade aerolar é também uma constante. Se considerarmos o sistema solar, desprezando a aç a˜ o mútua entre os planetas, tem-se que a força gravitacional do Sol atua como uma força central e, assim, a velocidade aerolar dos planetas em órbita no sistema solar é constante: esta e´ uma maneira diferente de expressar a segunda das leis de Kepler, onde os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais. Assim, como a velocidade do movimento se ajusta à distância em que o planeta está do Sol, tem-se que o movimento dos planetas e´ mais rápido quando est a´ mais próximo do Sol - ou seja, no periélio - e mais lento quando está mais distante dele - no af e´ lio. Como o momento angular se conserva r A v A = r P vP

Figure 22: Segunda lei de Kepler.

r A vP = r P v A

⇒

(19)

Considere agora um disco deslizando sem atrito sobre uma mesa, executando um MCU, onde e´ puxado por um fio que passa por um orif ´ıcio em O, como na Figura (23), por uma força F através do orif´ıcio. Considerando que o fio seja ideal, a força e´ integralmente transferida ao disco de modo que o disco reage com uma força centr´ıpeta mv 2 /r . Como a força e´ central, o momento angular se conserva e, como o raio n a˜ o varia, a velocidade e´ a mesma para qualquer ponto da trajetória circular. Pode-se, então, aumentar a força F deste puxão; assume-se que isso seja feito lentamente. O raio r ir a´ , então, diminuir e, para que o momento angular seja conservado, o sistema aumentará o módulo da velocidade v. Como quantificar isso? Uma maneira Figure 23: Disco puxado por fio. direta e´ encontrar a variaç a˜ o de velocidade diretamente com a variaça˜ o de r pela conservaç a˜ o de l . Por outro lado, pode-se estudar através da variaç a˜ o de energia no sistema: do teorema do trabalho e energia cinética ∆K =

=

1 1 2 m(v + ∆v)2 mv 2 2 v2 ∆W = m ∆r . r

−

≈ mv∆v,

Então m∆v = mv

∆r

r

⇒

mr ∆v = mv∆r

⇒ ∆(mrv) = 0,

(20)

que e´ a conservaç a˜ o do momento angular, como esperado. Continuando a analogia entre cinemática unidimensional e movimento circular, como a velocidade linear tem um análogo que e´ a velocidade angular e o momento linear tem o análogo que e´ o momento angular, como se definir o análogo da massa? Notando que l = mrv = mr (r ω ) = mr 2 ω

≡ I ω

(21)

onde a quantidade I = 8

mr 2

(22)

e´ definida como o momento de in e´ rcia da part´ıcula com relaça˜ o ao ponto O. Esta analogia permite escrever a energia cinética de rotaç a˜ o como K =

1 2 1 1 1 mv = m(ω r )2 = mr 2 ω = Iw 2 . 2 2 2 2

(23)

3.1 Exerc´ıcios 1. Uma part´ıcula de massa m se move sobre uma superf ´ıcie horizontal lisa com uma velocidade v 0 . Ela está presa a uma das extremidades de um fio ideal de comprimento l cuja outra extremidade está fixa no ponto ´ retil´ınea cuja distância ao ponto O. Inicialmente, o fio não está esticado e a part´ıcula descreve uma trajet oria O é b, como indica a Figura (24). Num dado instante, o fio irá se esticar. Suponha que a partir desse instante a part´ıcula passe a descrever um movimento circular uniforme de raio l.

O

b



v0 Figure 24: Part´ıcula presa a fio. (a) Considere as grandezas da part´ıcula: momento linear, momento angular relativo ao ponto O e energia mecânica. Quais, dentre elas, s a˜ o conservadas desde um instante em que o fio est a´ frouxo até um outro em que o fio está esticado? Justifique. (b) Determine o módulo da velocidade da part´ıcula quando ela estiver em movimento circular uniforme. Calcule o per´ıodo desse movimento, isto é, o intervalo gasto para ela dar uma volta completa.

Conservaç ˜ ao do momento angular, simetrias e leis de conservaç ˜ ao

4

Assim como no caso do momento linear no qual pela segunda lei de Newton se nenhuma força atua no sistema então o momento total e´ conservado, tem-se que quando o torque externo resultante com relaç a˜ o a um ponto O é nulo, o momento angular com relaça˜ o ao mesmo ponto tamb e´ m se conserva:

τ ext = 0

⇒

L = L

(24)

No sistema Terra-Sol, o torque devido a` força gravitacional do Sol e´ nulo porque esta força e´ central; entretanto, a Terra ainda gira em torno de seu eixo e o motivo desse movimento se d a´ porque a Terra não e´ perfeitamente esférica ao interagir gravitacionalmente com o Sol e com a Lua; esses efeitos levam a um movimento terrestre conhecido como precess a˜ o dos equinocios. ´ Um fato muito importante é que a Eq. (24) é uma regra de conservaça˜ o vetorial; ou seja, além de ser conservado o modulo ´ destes vetores, a direç a˜ o e sentido também o são! Isso implica também que a lei de conservaç a˜ o e´ válida para cada componente e isso implica que se uma componente do torque externo se anula, ent a˜ o a componente correspondente do momento angular vai ser conservada independente do que ocorra com as demais. Por exemplo, muitos professores de f´ısica gostam de fazer esse experimento, onde ele fica sentado sobre uma cadeira giratória e segurando um bast a˜ o com uma roda de bicicleta 2 em uma de suas extremidades. 2

Veja um dos mais bem feitos aqui: https://www.youtube.com/watch?v=YrTQfEMXu6o

9

O professor então começa a girar a roda e, segurando a outra extremidade, ele levanta o sistema da roda com o bastão na vertical. Pode-se observar essas situaç o˜ es ainda sem precisar fazer c a´ lculos: quando o sistema rodabastão está em rotaça˜ o, o momento angular do sistema, suponha de modulo L x , está apontando na direç a˜ o do bast a˜ o - vamos assumir que seja xˆ - e no sentido da velocidade angular ω em que a roda gira; observe que as outras componentes, nas direç o˜ es yˆ e zˆ , são nulas nessa situaça˜ o inicial. Quando o professor coloca o bast a˜ o na vertical, o que chamamos de situaç a˜ o final, o sistema apenas sobre interaç o˜ es internas, ou seja, o momento angular L total do sistema deve se conservar; isso implica que L y e L z também terão de ser conservados. Ocorre que o bastão na direça˜ o vertical tem vetor momento angular L x ; assim, para que o momento angular na direç a˜ o zˆ se conserve, o professor começ a a girar em direç a˜ o oposta a` da roda com momento angular de módulo igual a L x , também na direç a˜ o ˆz.

−

Exerc´ıcio: no caso em que o professor faz uma variaça˜ o onde ele inicia direcionando o bastão para baixo com a roda girando em um sentido, de modo que tenha momento angular L z e, em seguida, ele levanta o bastão de modo que a roda fique sobre sua cabeça. Assumindo que forças dissipativas realizem torque desprez´ıvel no sistema, qual e´ o novo momento angular da roda?

Figure 25: Conservaç a˜ o de L z .

Esta explicaça˜ o serve para mostrar porque um girosc o´ pio, ou um pião, se mantém em equil´ıbrio quando está girando com altas rotaço˜ es em torno do eixo vertical. Um giroscópio pode ser usado para corrigir defeitos em simetrias de sistemas que precisam de alta sime´ tria para se manterem estabilizados; aeromodelos, helic opteros e muitos outros s a˜ o exemplos3 . Assim, peças de motores que atuam em rotaça˜ o e que apresentam oscilaç o˜ es indevidas, mostram que algumas componentes indesejadas de momento angular est a˜ o aparecendo, mostrando que a peça deve ser reparada ou substitu´ıda. Outros exemplos são dados no cotidiano. Por exemplo, muitos professores - antissociais! - de f ´ısica também gostam de levar halteres para suas aulas e, não como educadores f´ısicos, se aventuram em rodar em uma cadeira giratória segurando os halteres com os braços abertos, como na Figura (26(a)); em seguida, eles encolhem seus braços e sentem variaço˜ es em suas velocidades de rotaç a˜ o. Por quê? Observe que ao encolher o braço, o nosso professor realiza uma força central em cada um dos halteres e, como essas forças não realizam torque, o sistema conserva momento angular e por isso, como o raio de rotaç a˜ o e´ menor, a velocidade angular aumenta; ele faz isso sem beleza nenhuma na apresentaç a˜ o. De maneira completamente análoga, uma patinadora - a despeito do ˜ professor desengonçado - completamente graciosa efetua, em suas acrobacias, rotaç oes; nestas, ela inicia com os braços e pernas abertos de modo que quando ela os fecha, aumenta sua velocidade de rotaç ão; ela faz isso sem saber o m´ınimo da f ´ısica da situaç a˜ o.

(a)

(b)

Figure 26: Sistemas simples onde o momento angular é conservado O momento angular e sua conservaç a˜ o mostram a validade de leis tão fundamentais quanto a` da conservaç a˜ o do momento linear; seus efeitos não se limitam na f´ısica macrosc o´ pica, mas também em sistemas absurdamente grandes, como galáxias e aglomerados delas 4 , e absurdamente pequenos, que podem ser descritas apenas atrav e´ s da teoria quântica. 3 4

Um exemplo fantástico pode ser visto aqui: https://www.youtube.com/watch?v=n 6p-1J551Y. Violaç o˜ es dessas regras de conservaça˜ o permitiram que cientistas descobrissem várias anomalias em distribuiç a˜ o de matéria no Universo,

10

De uma maneira geral, a conservac ¸ a˜ o do momento angular está relacionada a` simetria espacial. Por exemplo, a Terra executa o movimento de precessão dos equinócios, um movimento que só ocorre porque sua distribuiça˜ o de massa não e´ simétrica. Podemos encontrar também o momento angular L de um sistema de part´ıculas que gira em torno de um eixo fixo; uma vez que o momento angular e´ um vetor, vale o princ´ıpio da superposiç a˜ o, ou seja, para um sistema de N part´ıculas, o momento angular total é

L

= m1 r1

× v + m r × v + ... + m ∑m r ×v . 1

2 2

N r N

2

N

=

i i

×v

N

(25)

i

Figure 27: Imagem gravitacional da Terra.

i=1

Define-se também o torque externo ao sistema como a soma dos torques individuais de cada part´ıcula do sistema

τ ext =

r1

×F

ext 1 + r2

×F

ext 2 + ... + r N

ext N .

×F

(26)

Um outro resultado de grande importância em sistemas de part´ıculas e´ encontrar o torque com relaça˜ o ao centro de massa do sistema; para isso, seja r i = ri rCM , então o momento angular com relaça˜ o ao centro de massa LCM será

−

LCM

= m1 r1

× v + m r × v + ... + m

= m1 (r1 =

1

2 2



N r N

2

×v

N

− r ) × v + m (r − r ) × v + ... + m 1

CM

2

2

N (r N

2

CM

−r × (m v + m v + ... + m CM

1 1

N v N ) + m1 r1

2 2

N

CM

× v + m r × v + ... + m 1

= L M rCM vCM

−

−r )×v

×

2 2

N r N

2

×v

N

(27)

onde foi usada a definiç aõ de posiç a˜ o e velocidade do centro de massa para um sistema de part ´ıculas. Então, a taxa de variaç a˜ o temporal desta quantidade e´ dada por d LCM dt

d L dt

=

− M r × d rdt M C

CM

= τ ext rCM

× ( M a M )

= τ ext rCM

×F

− −

C

ext

.

Sabendo que

τ ext = ext

F

r1

× F + r × F + ... + r × F 1

2

N

2

N

(28)

= F1 + F2 + ... + F N

encontra-se que d LCM dt

= r1

× F + r × F + ... + r × F − (r

= (r1

1

2

N

2

N

cm F1 + rcm F2 + ... + rcm F N )

− r ) × F + (r − r ) × F + ... + (r − r ) × F CM

1

2

CM

= τ ext

2

N

CM

N

(29)

como a matéria escura.

11

que implica na conservaç a˜ o do momento angular com relaça˜ o ao centro de massa de um sistema de part´ıculas; este teorema pode ser estendido para qualquer ponto fixo Q no sistema, de modo que a conservaç a˜ o do momento angular indepentemente do referencial.

5

Din âmica de corpos r´ıgidos

O tipo de rotaça˜ o de corpos r´ıgidos mais simples é aquele onde o corpo gira em torno de um eixo fixo, assim como ilustra a Figura (28); vimos que neste caso cada part´ıcula executa um MCU com raio fixo igual a` sua distância do eixo de rotaç a˜ o OO  . Convencionando que o eixo OO  está na direç a˜ o zˆ , o movimento da part´ıcula se restringe ao plano formado por O  , x , y e o u´ nico grau de liberdade e´ o aˆ ngulo de rotaç a˜ o φ . A velocidade de rotaça˜ o v, na notaça˜ o de coordenadas polares planas, é ortogonal ao vetor ρ = O P e sua magnitude é

|v|

= ρω = ρ

d φ . dt

(30)

O momento angular de uma part´ıcula de massa m no ponto P com relaç a˜ o à origem O será

l

= mr

× v = m(OO + O P) × v

(31)

que, conforme a Figura (28), pode-se escrever que OO  = Z e O  P = ρ , ou seja

= m(Z

l

Figure 28: Rotaça˜ o em torno de OO .

× v + ρ × v).

×

(32)

Pelas regras do produto vetorial, pode-se concluir que o resultado de Z v é um vetor ortogonal tanto a ˆz quanto que a v , ou seja, ele sempre a ponta na direç a˜ o da força centr´ıpeta; já o resultado de ρ v e´ paralelo a zˆ . Como estamos interessados na equaça˜ o fundamental da dinâmica das rotaç o˜ es, τ ext = d L/dt , vamos nos concentrar apenas na parte azimutal dos resultados, ou seja, na componente ˆz do momento angular que resulta de (32): l z

×

= mρ v = mρ 2 w.

(33)

Cabe mais uma analogia neste ponto; como l está para p, tem-se que suas componentes tamb e´ m são rec´ıprocas, ou seja, p z = mv z está para l z = mρ 2 ω ; esta analogia seria ideal se m ρ 2 fizesse um papel de massa. Assim como foi ˜ definido em energia cine´tica de rotaçoes, m ρ 2 e´ o que se chama de momento de in e´ rcia da part´ıcula com relaça˜ o ao eixo de rotaç a˜ o. O resultado pode estrapolar o limite de uma part´ıcula apenas, passando para o caso em que todo o corpo r´ıgido seja dividido em massas ∆mi , de modo que a componente ˆz de seu momento angular seja dada por L z

=



∑ l zi = ∑ ∆mi ρi2 i

i



ω ,

já que todas as part´ıculas se movimentam com a mesma velocidade angular ω . No limite em que ∆mi pode-se escrever que L z

= I ω

(34)

→ dm, (35)

onde foi usado que I =



ρ 2 dm ,

(36)

que e´ definido como o momento de inércia de um corpo r´ıgido com relaça˜ o ao eixo de rotaç a˜ o. O cálculo de I normalmente e´ feito com a descriça˜ o do elemento de massa dm ∝ dV , onde a proporcionalidade e´ dada com o coeficiente chamado de densidade volumétrica de massa de cada elemento de volume dV . Em seguida, serão 12

˜ feitos os cálculos de momentos de in e´ rcia de vários objetos. A equaç a˜ o fundamental da dinâmica das rotaçoes fica, para a Eq. (35), dada por L z dt

d ( I ω ) = τ zext . dt

=

(37)

Observe bem duas informaço˜ es muito importantes: a primeira e´ que o momento de inércia e´ a integral da distribuiç a˜ o da massa com o quadrado de ρ para todo o corpo, independente do eixo de rotaç a˜ o escolhido; a segunda e´ que a velocidade ω também não depende do ponto O j a´ que todas as part´ıculas, na situaç a˜ o inicial do problema que e´ de rotaç a˜ o em torno de um eixo fixo, se movimentam com a mesma velocidade angular, independente da escolha do ponto O. Sendo assim, τ ext també m não deve depender de O. Esta observaç a˜ o pode ser verificada alterando-se a origem para um outro ponto O do eixo, de modo que o torque externo em relaç a˜ o a este ponto será Z F, onde Z = OO e esta variaç a˜ o é perpendicular a Oz, de modo que n a˜ o altera a componente ˆz do torque; isso implica que o torque pode ser tomado de qualquer ponto do eixo de rotaç a˜ o.

×

Como o caso considerado é o de um corpo r´ıgido, tem-se que o momento de inércia I n a˜ o varia com o tempo na Eq. (37) e isso implica que ela pode ser reescrita para sistemas semelhantes por d ω dt

L z dt

= I

≡ I α ,

(38)

¨ sendo a aceleraç a˜ o angular. Desta forma, a Eq. (38) representa uma analogia da segunda lei de ˙ = φ para α = ω Newton para sistemas unidimensionais, onde I tomaria o papel da massa e α o da aceleraç a˜ o linear. Desta forma, pode-se revisitar os exemplos da Figura (4), sobre o professor desengonçado e a patinadora. Neles, os momentos angulares se conservavam e, por isso I 0 ω 0

= I 1 ω 1

(39)

de modo que ao encolher os braços, tanto a bailarina quanto o professor, alteram seus momentos de inércia e a natureza, ao conservar seus respectivos momentos angulares, faz com que suas velocidades angulares se alterem. Entretanto, o cálculo dos momentos de inércia n a˜ o sã o tão simples de se efetuar na grande maioria dos casos, salvos aqueles com altos graus de simetria. Ampliando a discussão sobre analogias, pode-se encontrar novamente o an a´ logo da energia cin e´ tica K ; um elemento de massa dm a uma distância ρ do eixo de rotaça˜ o tem energia cinética dada por dK =

1 1 1 dmv 2 = dm (ρω )2 = dm ρ 2 ω 2 , 2 2 2

(40)

(41)

de modo que a energia cinética de rotaç a˜ o de todo o corpo será K =



1 2 1 ρ dm ω 2 = ω 2 2 2



1 2

ρ 2 dm = I ω 2 .

sendo que I =



ρ 2 dm .

(42)

O teorema do trabalho e da energia cin e´ tica pode ser facilmente encontrado. O elemento de trabalho dW realizado por um torque τ ext em uma rotaç a˜ o por um elemento de rotaç a˜ o d φ e´ dado por ext

≈ τ

dW

φ dt d φ = I α ˙

¨ , encontra-se que o trabalho total realizado pode ser escrito como onde, substituindo o usando que α = φ 2

dW

=

˙ 1 d φ d ω 2 ¨ ˙ )dt = I ( )dt = d I ω 2 I φ φ dt = I ( 2 dt 2 dt 2

 

como desejado.

13

= dK ,

(43)

Figure 29: Tabela de analogias entre translaço˜ es e rotaço˜ es em torno de um eixo fixo.

5.1

Cálculos de momentos de inércia

Sabendo agora que o momento angular pode ser dado em termos do momento de inércia I = ρ 2 dm, pode-se calcular todas as propriedades da din aˆ mica de corpos r´ıgidos onde for poss´ıvel calcular seus momentos de in e´ rcia. Assim, os casos onde as distribuiç o ˜ es de massa tem maiores simetrias são os mais simples de se resolver; estes serão tratados a seguir. Este cálculo pode chegar a resultados incoerentes quando eles forem feitos sem muito cuidado; assim, o segredo para calculá-los corretamente e´ sempre definir a razão



dm , M

(44)

onde M e´ a massa total do corpo r´ıgido e d m deve levar em conta a forma da distribuiça˜ o de massa, de modo que esta razão deva ser uma funç a˜ o de coordenadas e n a˜ o das massas. Anel circular delgado girando em torno de ˆz no centro: O caso mais sim˜ de massa s a˜ o completamente simétricas com ples e´ onde as distribuiçoes relaça˜ o ao eixo de rotaç a˜ o; ou seja, nos casos onde o eixo de rotaç ão se confunde com algum eixo de simetria do corpo r´ıgido. O caso mais simples e´ o de um anel, desde que ele seja suficientemente delgado, toda a massa estará a uma distância fixa ρ do centro e ent a˜ o seu momento de in e´ rcia com relaça˜ o ao centro será

=

I A



ρ 2 dm

Figure 30: Anel circular.

= ρ 2 M .

(45)

Disco circular girando em torno de ˆz no centro: Este cá lculo pode ser feito considerando que o disco seja a composiça˜ o de anéis infinitesimais concêntricos de raios d ρ . Assim, a razão dM / M pode ser encontrada relacionando a massa dm de cada anel em relaç a˜ o a` massa total M do disco: dm M

2πρ d ρ

=

π R2

=

2 R2

ρ d ρ ,

(46)

e então o momento de inércia será R

I D

=

 0

=

Figure 31: Disco circular.

2 M 2 ρ ρ d ρ R2

2 M R2

R

 0

ρ 3 d ρ =

2 M R4 MR2 = . 2 R2 4

14

(47)

Cilindro circular em torno de ˆz no centro: O caso do cilindro pode ser considerado de maneira muito simples, uma vez que já seja conhecido o momento de inércia do disco circular. Basta pra isso considerar que a raz a˜ o dm M

=

2πρ d ρ L π R2 L

=

2ρ d ρ R2

(48)

que é a mesma do disco; ou seja, o disco ter a´ momento de inércia

Figure 32: Cilindro circular.

2

MR . 2

=

I D

(49)

igual ao do disco, desde que ambos estejam girando em torno do eixo de simetria e em torno de ˆz, t eˆ m os mesmos momentos de inércia, independente da altura que o cil´ındro tenha. Barra delgada em torno do centro: A massa contida em um elemento d m de uma barra delgada e homog eˆ nea de comprimento L é dada por dm

=

d ρ M , L

(50)

entã o seu momento de inércia pode ser feito através de duas integrais simétricas com relaç a˜ o ao centro, na forma L

I B



=

Figure 33: Barra delgada.

ρ 2 dm

0

2 M L

=

L/2

 0

2 M ( L/2)3 ML 2 = . ρ d ρ = 3 12 L 2

(51)

Observe que este resultado tamb e´ m deve valer para uma barra de espessura arbitrária, como na Figura (34), devido novamente a` distribuiça˜ o de massa ser simétrica. Esfera em torno de um di aˆ metro: O cálculo do momento de inércia da esfera pode ser feito levando em conta que ela seja formada por um empilhamento de discos de espessuras infinitesimais e cujos centros formem o eixo de rotaça˜ o.

Figure 34: Barra arbitrária.

A Figura (35) mostra quais como os discos são medidos; por exemplo, um disco que está a uma altura z tem raio dado por R2 z2 e espessura dz; a massa de cada um dos discos está para a massa da esfera assim como é a razão entre seus volumes, ou seja

√ −

dm M

=

πρ 2 dz 4 3 π R 3

=

3 ρ 2 dz . 4 R3

Como momento de inércia de cada disco de raio ρ , pela Eq. (47), é I D

=

M ρ 2 , 2

(52)

Figure 35: Esfera em torno de ˆz.

então, para a esfera formada de discos de espessuras dz, tem-se a relaç a˜ o dI E

1 2

= I D dz = dm ρ 2 = =

3 M 4 ρ dz 8 R3 15

M 2 3 ρ 2 dz ρ 2 4 R3

(53)

O momento de inércia da esfera ser a´ R

I E

= 2

0

3 M 4 R3

=

3 M 4 R3

=

⇒

3 M 4 ρ dz 8 R3

 ×     R



R4 + z4

− 2 R z

0

R

2

R2 z2

−

0



=

3 M 5 1 R 1 + 3 4 R 5

=

2 MR 2 . 5

dz 2 2 2

 − 2 3



dz

3 MR 2 8 = 4 15

(54)

Observa-se que em todos os casos tratados at e´ aqui, os momentos de inércia são sempre proporcionais ao produto MR 2 ; por isso, define-se uma quantidade chamada de raio de giraçao, k = MR 2 , de modo que os momentos ˜ de inércia de cada corpo que foi estudado até agora pode ser dados em termo de k onde I =

mk 2

(55)

de modo que cada corpo r´ıgido tenha um raio de giraç a˜ o k espec´ıfico. Revisando todos os resultados encontrados até aqui, pode-se sumarizá-los em temos dessa quantidade I A

⇒

k A = R

I D

⇒

k D = R/ 2

I B

⇒

k B = R/(2 3)

I E

⇒

k E = R

(56)

√

(57)

√



2/5.

(58)

(59)

Nos casos estudados até aqui, só se considerou que os corpos giram em torno de seus centros de massa; entretanto, esse não e´ o caso mais geral. Por exemplo, um p eˆ ndulo pode ser feito com uma barra que fica presa em uma de suas pontas de modo que ele executa oscilaç o ˜ es próximas ao ponto de equil´ıbrio estável. Neste caso e em outros onde as rotaço˜ es ocorrem em torno de eixos que n a˜ o passam pelo centro de massa, é necessário usar o teorema de Steiner, que também e´ conhecido como o teorema dos eixos paralelos.

5.2 Teorema de Steiner Há vários problemas cotidianos e de engenharia onde o movimento ocorre sem que o eixo de rotaça˜ o coincida com um eixo por onde passa o centro de massa do corpo. Nestes casos, pode-se lanar m a˜ os do teorema de Steiner, também chamado de teorema dos eixos paralelos. Isso pode ser feito para qualquer distribuiça˜ o de massa. Isso e´ feito relacionando um momento de inérica I de um corpo qualquer em relaç a˜ o a um eixo paralelo arbitrário O  z com o momento de inércia do centro de massa, I CM deste corpo; considera-se que o corpo seja constitu´ıdo de uma infinidade de fatias de larguras infinitesimais empilhadas perpendicularmente ao eixo. Sabendo que o momento de inércia de cada fatia é dado por dI Fatia

=

16

 

ρ 2 dm

Figure 36: Teorema de Steiner.

(60)

e sabendo que

ρ

=

ρ+l

(61)

encontra-se que I =

I CM + Ml 2 ,

(62)



onde foi usado que a integral ρ dm = 0 pois ρ pode ser escrito em termos da coordenada do centro de massa numa forma com componentes ortogonais e, como j a´ foi visto em sistema de part´ıculas, a soma total das distribuiç o˜ ees de r dm com relaç a˜ o ao centro de massa devem se anular. Sendo assim, para qualquer corpo que tenha um movimento por um eixo paralelo ao eixo de rotaça˜ o (como uma lata cilindrica rolando no chão, por exemplo), pode-se encontrar o momento de in e´ rcia através da Eq. (62). O teorema diz: “O momento de in e´ rcia de um corpo qualquer em relaça˜ o a um eixo e´ a soma de seu momento de inércia em relaç a˜ o ao um eixo paralelo passando pelo centro de massa, mais o produto de sua massa total vezes o quadrado da dist aˆ ncia l entre os dois eixos”. Assim, os momentos de in e´ rcia dos corpos estudados at e´ agora podem ser recalculados para v a´ rias diferentes posiç oes ˜ do ponto de fixaç a˜ o por onde o corpo vai executar sua eventual rotaç a˜ o. Barra delgada em torno de uma extremidade: Para resolver corretamente este problema, não se necessita de nada al e´ m do conhecimento do momento de inércia a partir do centro de massa da barra e da distância do centro da barra ao ponto fixo da rotaça˜ o. Isso, como foi visto na seça˜ o anterior, vale sempre que os eixos de rotaç a˜ o forem paralelos. Assim, como o momento de inércia da barra em torno de seu centro é dado na Eq. (51) e com o uso do teorema de Steiner, encontra-se que I B,O

=



1 L ML 2 + M 12 2

2

1 3

= ML 2 .

Figure 37: Barra delgada em torno de uma extremidade.

(63)

Cilindro circular em torno de uma geratriz: O racioc´ınio e´ exatamente o mesmo do caso anterior. Usando a Eq. (49), encontra-se que I C ,Geratriz

=

3 MR2 + MR2 = MR2 . 2 2

(64)

Este exemplo e´ de extrema importância no caso de cilindros em rolamento sobre alguma superf ´ıcie plana ou no caso de polias, como na m a´ quina de Atwood. A determinaç a˜ o da energia cinética total de um corpo em rolamento deve Figure 38: Cilindro circular em levar em conta as energias cin e´ ticas de translaç aõ e rotaça˜ o; em casos onde torno da geratriz. os rolamentos ocorrem de maneira independente das translaç o˜ es, é necessário medir as duas diferentes velocidades, o que não vale para casos onde o rolamento ocorre sem deslizamento, onde o espaço percorrido linearmente é igual ao espaço percorrido angularmente, através da relaç a˜ o x = Rφ .

5.2.1

Máquina de Atwood

A primeira importante aplicaça˜ o dos conceitos de torque em corpos r´ıgidos com aplicaça˜ o em engenharia e´ a máquina de Atwood. Esta máquina e´ composta de uma roldana no formato de um cilindro de raio r e massa M que gira por um eixo que passa por seu centro em O e de duas massas, m1 e m 2 são presas a cordas ideais, ou seja, de massas desprez´ıveis; o movimento da corda ocorre sem que ela deslize pela roldana, mas mesmo assim o sistema conserva energia total, pois o atrito n a˜ o deve realizar trabalho. Nessas condiç o˜ es, o movimento exato deve considerar as três massas, ou seja, o movimento da roldana também deve ser considerado. O movimento das duas massas é calculado exatamente como já foi feito ˜ das leis de Newton, onde encontra-se anteriormente com as aplicaç oes

 

− T m g − T m2 g 1

2

1

= =

m2 a

−m a 1

⇒

a =

(m2

− m )g − (T − T ) 1

2

m1 + m2

17

1

(65)

˜ são de mesmos m o´ dulos porque o sistema está ligado por onde as aceleraç oes uma corda. Como encontrar o movimento da polia? De in´ıcio, e´ necessário ˜ levar em conta os torques existentes nela; as forças que atuam s a˜ o as tensoes T 1 e T 2 , executando um torque externo à roldana com relaça˜ o ao ponto O dado por

τ ext =

−T r + T r . 1

2

(66)

´ necessário relacionar, agora, a aceleraça˜ o angular da roldana com a E aceleraç a˜ o linear das massas; como a corda passa pela roldana sem deslizar, então existe o que se chama de v´ınculo do sistema

= α r.

a

(67)

Um cuidado interessante deve ser tomado com relaça˜ o ao sinal de α : se for considerado que a aceleraça˜ o e´ positiva para a massa m 2 , então α ser considerado positivo. Assim, já se tem todos os ingredientes para definir corretamente o movimento da roldana, usando o equivalente da segunda lei de Newton para rotaç o ˜ es

τ ext =

⇒ T − T 2

1

(T 2

− T )r 1

=

r 2 I α = M 2

=

Ma . 2

 

a 1 = Mra r 2

(68)

Assim, usando os resultados em (65) e (68), encontra-se que a aceleraça˜ o no sistema é dada por

a

=

⇒a

=

(m2

− m )g − Ma 2 1

m1 + m2

(m2

− m )g 1

M m1 + m2 + 2

.

(69)

Este resultado so´ e´ equivalente aos casos estudados na seç ão sobre aplicaç o˜ es das leis de Newton quando a massa ˜ ˜ o diferentes no caso geral. da polia é desprez´ıvel ou quando a aceleraç a˜ o é nula; desta forma, as tens oes T 1 e T 2 s a Exerc´ıcio: Encontre as tens o˜ es T 1 e T 2 do exemplo da máquina de Atwood acima. E quanto a` s velocidades? Uma maneira de se calcular é usando o fato de que a energia do sistema se conserva; supondo que o ponto inicial do sistema é quando as duas massas estão nas mesmas alturas, então, quando a massa m2 desce uma altura h, a massa m 1 o acompanha, mas agora subindo uma altura h. Além disso, o sistema ganha energia cinética de translaç a˜ o nas massas m 1 e m 2 e de rotaç a˜ o na polia. Assim, assumindo a condiç a˜ o inicial como o zero de energia, tem-se E =

=

⇒v

2

0

−m gh + m gh + 12 m v 2

1

1

2

1 2

1 2

+ m2 v2 + I ω 2 2

= gh(m1

− m ) + 12 v (m + m ) + 14 Mr vr

= gh(m1

− m ) + 12 v (m + m + 12 M )

=

2

2

2gh(m1

2

2

−m ) 2

1 m1 + m2 + M 2

1

1

= 2ah,

18

2

2

2

2

(70)

ou seja, exatamente como a equaça˜ o de Torricelli para um sistema com uma aceleraç a˜ o a depois de percorrer uma distância h. De agora em diante, será considerado que todo o movimento seja limitado a um plano, que é chamado de plano de movimento; as equaç o˜ es de movimento se reduzem, ent a˜ o, aos movimentos de translaç a˜ o serão restritos a este plano ( x, y); o movimento de rotaça˜ o fica então definido ao eixo ˆz. Estudaremos alguns exemplos a seguir.

5.2.2 Rolamento de um cilindro Um rolamento puro e´ aquele onde o movimento ocorre sem deslizar; na pr a´ tica, isso ocorre por conta do atrito. Mesmo com atrito tendo este papel essencial, é poss´ıvel considerar que o movimento conserve energia; isso porque o atrito não realiza trabalho. A forma de movimento de um ponto na superf´ıcie do corpo e´ o que se chama de ciclóide. Consideremos o caso de um cilindro rolando sobre uma superf ´ıcie plana que, inicialmente, a trataremos como horizontal - que quer dizer, paralela ao plano ( x, y).

Figure 40: Trajetória ciclóide de um rolamento puro, sem deslizar. A Figura (40) mostra o movimento depois da primeira revoluça˜ o. Para quando o corpo está localizado um ponto P logo após o in´ıcio do movimento, ele ter a´ percorrido uma distância s

= Rφ ;

V

= Rω .

(71)

a velocidade instant aˆ nea será dada por

(72)

Para um ponto qualquer no corpo, a composiça˜ o do movimento e´ de um movimento de translaça˜ o com um de rotaç a˜ o, de modo que a velocidade é dada por

= V + ω r,

×

v

(73)

onde V é a velocidade de translaç a˜ o, ω e´ a velocidade angular e r é a posiç a˜ o deste eventual ponto com relaç a˜ o ao centro de massa do corpo. Como r é um vetor que tem componentes na direça˜ o de ˆz e na direça˜ o ρ, a componente na direça˜ o ˆz não contribui para a velocidade e, com isso, tem-se

ω r

×

= ω ρ,

×

(74)

(75)

tal que a velocidade, composta dos movimentos de translaça˜ o e de rotaç a˜ o, e´

= V + ω ρ.

×

v

A energia cinética total do cilindro, cujo rolamento ocorre sem deslizar, é dado por 1 2 I ω , 2

K =

(76)

mas o momento de in e´rcia de rotaç a˜ o não deve ser com relaç a˜ o ao ao momento de in e´ rcia do centro de massa, pois ele rola sobre uma geratriz; com isso, é necessário o uso do teorema de Steiner, sobre os momentos de inércia dos eixos paralelos dado na Eq. (64). Com isso, a energia cinética total e´ K =

1 1 I CM ω 2 + MV 2 . 2 2 19

(77)

5.3

Rolamento sobre um plano inclinado

Estuamos aqui o caso de um corpo com seça˜ o circular, como cil´ındro, esfera ou anel, rolando sem deslizar sobre um plano inclinado de ângulo θ e altura h. O problema pode ser dividido em dois; o primeiro e´ aquele onde o corpo ainda está rolando sobre o plano; o segundo é aquele onde o corpo já desceu do plano. Esta diferenciaç a˜ o e´ necessária porque os planos de movimento são diferentes. Devido a` forma do corpo, pode-se usar o fato que a força que atua no centro de massa C . Observe que nem a força peso nem a normal realizam torque com relaça˜ o ao centro de massa no sistema; é interessante que se apenas essas forças estivessem atuando no sistema, o objeto deslizaria de maneira idêntia aos casos estudados em cinem a´ tica bidimensional. A força que atua de maneira definitiva na causa do rolamento é a força de atrito F a ; esta força atua no ponto de contato entre o corpo e o plano.

Figure 41: Rolamento em plano inclinado.

´ O torque realizado pelo atrito tem m odulo igual a F a R = µ e Mg cos θ R, onde R e´ o raio do objeto e µ e e´ o coeficiente de atrito estático. As equaç o˜ es de movimento, nas direço˜ es xˆ e yˆ do plano inclinado, respectivamente, são dadas por Mgsen θ

− F

at

N Mg cos θ

−

= ma, (78)

= 0,

enquanto a equaç a˜ o de movimento da rotaça˜ o do corpo relativa ao centro de massa é dada por

τ =

F at R = I CM α .

(79)

O v´ınculo do sistema, ou seja, a condiç a˜ o onde o corpo rola sem deslizar, implica em V = Rω

⇒

a = Rα = R

d ω . dt

(80)

Sendo assim, já temos todos os ingredientes para encontrar a aceleraça˜ o do sistema levando em conta a rotaç a˜ o do objeto5 . De in´ıcio, como o problema e´ o mesmo para qualquer corpo de seça˜ o circular, pode-se escrever o momento de in e´ rcia em termos do raio de giraça˜ o I CM

= mk 2 ;

(81)

o torque do sistema dá a relaç a˜ o para a força de atrito 2

F at R = I CM α

2

mk a ⇒ F = mk α = R R R

(82)

at

a qual, substituindo na equaç a˜ o de movimento em ˆx encontra-se a

=

gsen θ , 1 + k 2 / R2

(83)

que, no caso em que k = 0, que eqüivale a uma part´ıcula, retorna-se ao caso estudado no segundo cap´ıtulo. Nota-se que aqui, com relaç a˜ o àquele caso, o fator 1 /(1 + k 2 / R2 ) atua como um atenuador da aceleraç a˜ o; este resultado é intuitivo no sentido de que a energia potencial e´ transformada, além de energia cinética de translaça˜ o, em energia cinética de rotaça˜ o. Exerc´ıcio: Calcule a aceleraç a˜ o do plano inclinado para os casos do cilindro, anel e da esfera, rolando sen deslizar pelo plano inclinado. Qual e´ a força de atrito necessária para que o corpo role sem deslizar? Para tal, e´ necessário apenas que a condiç a˜ o de igualdade de componentes de força dada na Eq. (78), de modo que F at

= mgsen θ

5

R2 . k 2 + R2

(84)

O estudante deve ter claro, desde a primeira parte do curso, que a aceleraça˜ o já é suficiente para encontrar todas as informaço˜ es cinemáticas e dinâmicas de um sistema.

20

Qual é a velocidade ao fim do plano inclinado? Pode-se simplesmente usar Torricelli, obtendo V 2

= 2al = 2glsen θ

R2 R2 = . 2gh k 2 + R2 k 2 + R2

(85)

Qual e´ a energia cinética máxima do objeto? Para encontrar isso, basta usar que K =

⇒ K

=

1 1 1 1 ω MV 2 + I CM ω 2 = MV 2 + Mk 2 2 2 2 2 R 2 1 k mV 2 1 + 2 = Mgh , 2 R

2



 

(86)

mostrando assim que, mesmo com o papel extremamente essencial do atrito nestas descriç o˜ es, o sistema conserva energia! Exemplo: Um cilindro homogêneo de massa M e raio R é puxado por um fio ideal, que está preso no centro do disco e faz um ângulo θ com a horizontal. Seja F o módulo da força exercida pelo fio, como ilustra a Figura (42). O cilindro rola sem deslizar sobre a superf´ıcie.

F

M

θ

R

Fat

N

P

Figure 42: Cilindro homogêneo de raio R puxado por um fio ideal.

• Usando que o momento de ine´rcia do cilindro em relaça˜ o ao eixo de simetria que passa pelo seu centro de massa vale I CM = MR 2 /2, calcule a aceleraç a˜ o do centro de massa

Escrevendo a Segunda Lei de Newton de acordo com o diagrama de forças apresentado, tem-se

F + Fat + P + N

= M ACM ,

(87)

onde ACM e´ a aceleraç a˜ o do centro de massa do disco. Escrevendo a componente horizontal da equaç a˜ o (sabendo que a normal e o peso s o´ t eˆ m a componente vertical): F cos θ

= MACM .

− F

at

(88)

Por outro lado, somente a F at gera torque no disco, então:

τ = F at R

=

⇒ F

at

= =

r F = I CM α 1 MR 2 ACM 2 MACM 2

×

(89)

onde usou-se a condiç a˜ o de rolamento sem deslizamento α = ACM / R . Substituindo (89) em (88): F cos θ

− MA2

CM

F cos θ

= MACM =

= ACM =

⇒

21

3 MACM 2 2 F cos θ 3

(90)

´ • Calcule o modulo da força de atrito e indique qual a direç a˜ o e sentido da mesma, justificando sua resposta ´ muito simples encontrar o m o´ dulo desta forç a quando se usa a equaç a˜ o (88), onde tem-se E F at

1 F cos θ 3

=

(91)

e essa força de atrito e´ para a esquerda, pois quando se aplica a força F , a tendência do disco e´ deslizar para a direita. Dessa forma, o atrito se op o˜ e a esse movimento, gerando uma força para a esquerda.

• Qual o menor valor que o coeficiente de atrito estático µ deve ter para que o disco não deslize? Justifique e

sua resposta.

≤ µ N e, por isso, a condiça˜ o de

Sabe-se que a força de atrito estático deve obedecer a F at rolamento sem deslizar implica que 1 F cos θ 3

=

e

µ e N .

(92)

No caso em que a força aplicada fosse maior que este limite, o cilindro começaria a deslizar enquanto fosse puxado. Para encontrar qual o valor de atrito estático nessa situaç a˜ o, tomamos a componente vertical da segunda lei de Newton F sen θ + N Mg

−

= 0

(93)

e, aplicando ao caso limite (92), tem-se 1 F sen θ + F cos θ Mg 3

− ⇒ µ

e

= 0 =

F cos θ 3( Mg F cos θ )

−

(94)

Exemplo: Dois patinadores de mesmas massas M estão num ringue de patinaça˜ o. Um deles está parado enquanto o outro se move com velocidade constante v o . Ao passar pela menor dist aˆ ncia entre eles (ou seja, essa distância d mostrada na Figura (43)), eles se d a˜ o as mãos. A figura abaixo mostra o ringue visto de cima, em um instante antes de eles se darem as mãos. Considere que o patinador que está parado se encontra a uma distância x0 da origem sobre o eixo x.

Y

v0

O

d

x0

X

Figure 43: Dois patinadores idênticos em uma pista de patinaç a˜ o.

• Qual a posiça˜ o do centro de massa r

CM (0) no

instante em que os patinadores se dão as mãos? Escolhendo esse instante como o inicial (t = 0), qual o vetor posiç a˜ o do centro de massa rCM (t ) em funç a˜ o do tempo? A posiça˜ o do centro de massa de um sistema formado por dois corpos é

rCM

= 22

m1 r1 + m2 r2 m1 + m2

(95)

tal que no instante em que eles se d a˜ o as mãos

rCM (0)

=

 

Mx0 xˆ + M ( x0 + d )xˆ d xˆ . = x0 + 2 M 2

(96)

Uma vez que a resultante das forças externas que atuam sobre os patinadores é nula, o momento linear do sistema se conserva. Dessa forma, sabemos que o momento linear e velocidade do centro de massa valem

PCM

=

⇒v

CM

= M v0 = Mv 0 yˆ =

−

− v2 yˆ 0

(97)

Como a velocidade do centro de massa é uma constante, fica bem fácil de encontrar a equaça˜ o de movimento subsequente: t

rCM (t )

= rCM (0) + =

0

 − x0 +

1 v0 yˆ dt 2 1 v0t ˆy 2

 −

d xˆ 2

(98)

5.4 Exerc´ıcios 1. Dois patinadores sobre gelo, de mesma massa m se aproximam um do outro com velocidades em relaç a˜ o ao solo de mesmo módulo v 0 , segundo trajeto´ rias paralelas separadas por uma distância r . Ao chegarem na situaç a˜ o de maior aproximaça˜ o, eles se d a˜ o as mãos e começam a girar mantendo sempre a distância r entre eles. Despreze o atrito dos patins com o gelo e considere os patinadores como part´ıculas nesse problema. a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotaça˜ o ω que os patinadores adquirem após se darem a mãos. b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotaça˜ o com velocidade ω , os patinadores diminuam para r /2 a distância que os separa. Nessa situaç ão, calcule a nova velocidade de rotaç a˜ o do sistema dos dois patinadores. 2. Considere uma haste homogênea de massa m e comprimento l que pode girar em torno de um eixo fixo horizontal que está a uma distância l /3 de um de seus extremos, como mostra a figura. Despreze o atrito com o eixo e a resistência do ar. 

/3

Figure 44: Haste presa a` distância l /3 da ponta.

a) Calcule, inicialmente, o momento de inércia com relaça˜ o ao ponto fixo. b) Suponha que a haste seja abandonada a partir do repouso de uma configuraç a˜ o na qual ela est a´ na horizontal. No instante em que a haste atinge a configuraça˜ o vertical, calcule: ( i) a sua energia cinética; (ii) o módulo de sua velocidade angular e ( iii) o módulo da velocidade de seu centro de massa. 3. Uma barra homogênea fina, de massa M e comprimento a, está em repouso na horizontal, quando uma força impulsiva, vertical e para cima, age sobre uma de suas extremidades, transmitindo à barra uma impulsão I . ¨ encia, a barra é arremessada para cima girando. Al e´ m da momentânea força impulsiva e do Como consequˆ peso, nenhuma outra força age sobre a barra. Determine para que valor do m o´ dulo I da impulsão a barra dá, exatamente, uma volta completa quando o seu centro de massa volta à altura inicial em que recebeu a impulsão.

23

cm I

Figure 45: Impulso I aplicado à extremidade da barra. 4. Uma barra homogênea de massa M e comprimento L tem uma de suas extremidades presa a um suporte no teto e a outra livre, formando um sistema chamado de p eˆ ndulo f ´ısico. Essa barra é abandonada do repouso na posiça˜ o horizontal. Considere que as forças que realizam trabalho na barra são o peso e a resistência do ar. A barra realiza seu movimento conforme a trajet o´ ria pontilhada até parar novamente, quando faz um aˆ ngulo β com a vertical, conforme a figura (4)

L

L

β ∆h

2

β

Figure 46: Pêndulo f´ısico com atrito (a) A energia mecânica do sistema se conserva? (b) Qual é o momento de inércia da barra? (c) Considere o intervalo de tempo entre momento em que a barra é abandonada até o momento em que ela pára; calcule o trabalho realizado pela força peso e pela resistência do ar nesse tempo. 5. Uma part´ıcula de massa m desliza sobre uma superf ´ıcie horizontal sem atrito com velocidade de m o´ dulo v0 e colide com uma haste uniforme de massa M e comprimento L que, inicialmente, encontra-se em repouso na vertical. Embora o extremo superior da haste esteja fixo, ela pode girar em torno de um eixo horizontal que passe por esse ponto (ponto 0). Após a colisão, a part´ıcula fica grudada na haste e o conjunto (hastepart´ıcula) gira até atingir um aˆ ngulo de inclinaç a˜ o máximo θ max com a vertical, como indica a figura. Despreze, nessa questão, o atrito na articulaç a˜ o da haste e a resistência do ar. Determine a energia cinética O

M, L θmax

v0

m

Figure 47: Colisão inelástica de massa com haste. transferida ao sistema. 6. Um astronauta está ligado a uma nave no espaço através de uma corda de 120m de comprimento, que está completamente estendida inicialmente. Sem querer, ele aciona repentinamente o seu dispositivo de propulsão, adquirindo uma velocidade tangencial de 2 , 5m/s. Para tentar retornar a` nave, ele começa a puxar a corda lentamente, com uma força F (r ), de maneira que a velocidade radial v r seja constante. Considere que, por ter uma massa muito maior que a do astronauta, a nave não se move enquanto o astronauta puxa a corda e que a massa do astronauta com seu equipamento é de 180kg 24

(a) Utilizando a conservac ¸ a˜ o do momento angular L, calcule a velocidade tangencial do astronauta quando está a uma distância de 60m da nave. Justifique a conservaç a˜ o de L . (b) Quais são as forças que atuam no astronauta quando ele puxa a corda e executa simultaneamente um MCU? Qual a força que ele precisa fazer quando ele estiver a 60 m da nave? (c) Supondo que a corda que o liga a` nave agüenta uma tensão de 105 N , a que distância da nave a corda arrebenta e com que velocidade o astronauta seria lançado no espaço quando isso ocorre?

25

Física 1 Corpos Rígidos

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