Capítulo I: Conceptos preliminares
10
[e je m p lo 1 1 )
El segmento orientado de extremos A(-1) y B(3) se prolonga hasta el punto P de manera ^ue 2AP = 3AB. Hallar la coorde
nada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón 1/3
Solución. Supóngase que P(x,). Si 2AP = 3AB , entonces por el Teorema 1.2 : 2[ x, - (-1) ] = 3[ 3 - (-1) ] , de donde x, = 5 ^ S ig = 4
p(5)
=» 3PQ = QB .=* 3(x - 5) = 3 - X <=> x = 9/2
[E J E M P L O 1 2 )
Q(9/2)
□
El punto P(1) divide al segmento AB en la razón 3/2. Si I ABI = 15 , hallar las coordenadas de A y B.
Solución. Sean A(x,) y B(x,) AP 3 — — S i ^ - = y => 2AP = 3 PB c=> 2(1 -x,) = 3 (x,- 1)
(Teorema 1.2)
■=> 2x, + 3x, = 5 Dado que
(1)
(AB I=15 «=> |x 2 - x , | =15 <=> x2 - x, = ± 15
(2)
Resolviendo simultáneamente la ecuación (1) con las ecuaciones (2), obtenemos : Xj = -8 , x2 = 7 ó x, = 10 , x, = -5 Por lo tanto , los extremos del segmento AB son : A(-8) y B(7) ó A(10) y B(-5)
EJERCICIOS:
□
Grupo 1
1. Sobre una recta í se toma 4 puntos consecutivos A, B, C, y D. Si E y F son pun tos medios de AB y CD, demostrar que EF = 1 (A C + BD).
/
2. Sobre una recta ( se toman los puntos consecutivos A, B, C. y D, de modo que E3C
=
C/D
. Si BC x CD = 28 y CD - BC = 7 , hallar el valor del segmento AC.
3. Sobre una recta /' se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se toma M punto medio de AB y N punto medio de CD; si AC = 18 y BD = 4, hallar el valor de MN. 4.
Sobre un sistema coordenado lineal trazar los puntos A (-3 /2 ), B(V3 ) , C(-3/7) , D(V7) , E(- VÍ2 )
5.
1
\
Trazar los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones dadas, a)
1 3x - 1 | = 2 x + 5
J
d) 2 - 5 1
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- 3 1 = 5x - 8
_____ (_
11
EJERCICIOS : Grupo I
b) I x2 - 4 I = 4 - 2x
e) I x - 4 12 - 5 1x - 4 I + 6 = O
c) I x + 2 1 + 1 x - 3 1 = i y
f) 2 1 x + 1 ! - 3 1x - 2 1 + I x ¿ 5 1 = x + 2
6. Si a < b , ubicar los números dados en la recta real y dar la relación deorden que cumplen . ( Guía: Ejemplo 6) a + 7b 8 7.
,
a + 3h 4
,
7a + b 8
,
3a + b 4
,
a+b 2
/
Caracterizar geométricamente la posición de los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes desigualdades a) 1 < J L l I < 2 5 x+ 1 3
d) U - .8 I - * + I * + 4 | < 3 x+2
b) 3x2 - 5x > 2
e) 12x - 3 |2 + 2 12x - 3 1 - 8 < 0
c) x(3x + 2) :£ (x + 2)2
f) I x2 - 5x I < 6
8. En la recta real se consideran cuatro puntos A, B, C, y D que cumplen -é) | A - B l - l A - C l = I B - C l
■LL) | B - A I - I B - D | = I A - D | ¿ U ) IA - D | < I C - A | Ubicar los puntos en dicha recta. 9.
En los ejercicios siguientes se dan la distancia entre dos puntos y uno de los puntos; se pide hallar, en cada caso, el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. (Guía: Ejemplo 9) • - A n/ i/ -■ > ¡ a) d(A , B) = 5 , B(-2) /
b) d(A , B) = 8 , A(3) ^------------------10.
1 ■: c) d(A , B) = 3 , A(-5)
J
d) d(A , B) = 6 , B(2 ) P ' ^ h ^ .S ' ^ í • En los ejercicios siguientes se dan los puntos A y B. Hallar los puntos P y Q que
trisecan al segmento AB. (Guía: Ejemplo 10) a) 14.
A(2) , B(14)
b) A(-2) , B(9)
En un sistema coordenado lineal, A(x,) y B(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que — AP x. + r x, divide a AB en la razón dada r = -Q=- , es : x = — -—— , r * -1 PB 1+ r
12 2..
El segmento que une los puntos A(-2) y B(4) se prolonga hasta un punto P ( x ) , de modo que AP = 3BP. Hallar las coordenada del punto P.
13.
En un segmento rectilíneo limitado por los puntos A(-4) y B(2) se prolonga hasta y el punto P(x), de modo que 5 BP = 2 AP. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón r = 3/2 (Guía: Ejemplo 11). .
...
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Capítulo /. Conceptos preliminares
12
14.
Dados los puntos A(-1) , B{3) y C(6) . determinar el punto P(x) que divide al segmento AB en la misma razón en que divide al segmento BC.
15.
Determinar la coordenada del punto M conociendo : a) A (-1 ), B(3) y r ^ = - 2
16.
b) A(1) ■B( '3) V r = g j* = ' 3
El punto P(-3) divide al segmento orientado AB en la razón 1/3. Hallar las coor denadas de A y B , sabiendo que I AB I = 8 . (Guía: Ejemplo 12).
17.
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P(-17) y Q(-5)
18.
Dados los punios A(5) y B (-3 ), determ inar: a) la coordenada del punto M simétrico al punto A con respecto al punto B b) la coordenada del punto N simétnco al punto B con respecto al punto A [Sugerencia: a) AM = 2BM , b) BN = 2ANJ.
lO F a EL S IS T E M A C O O RDENADO R E C T A N G U LA R _____________ Consideremos dos rectas perpendiculares entre si, que se interceptan en el punto O y dividen al plano en cuatro cuadrantes. La recta horizontal OX se llama eje X o eje de las abscisas, y la recta vertical OY se llama eje Y o eje de las ordenadas Su intersección O es el origen de coordenadas. El sentido positivo de la recta hori zontal es hacia !a derecha y el de la vertical hacia arriba. Cualquier punto P en el plano está identificado por un par ordenado ( x , y ) de números reales asociados con él. El número x, llamado abscisa, representa la dis tancia dirigida desde el eje Y al punto, y el número y, llamado ordenada, ia distancia dirigida desde eje X al punto. Ambos números constituyen las coordenadas dei pun to P y se simboliza P(x , y) o P = (x , y). El modelo para su representación se llama
sistema coordenado rectangular o plano cartesiano y se le simboliza por Rr, esto es R1= { (x , y) ¡ x e y son números reales } Los puntos A y B son, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre los ejes X e Y. Sobre el signo que asumen las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes del plano se indica en la Figura 1.8. En seguida dos afirmaciones que nos permiten identificar cada punto del plano cartesiano con los elementos del mismo. a) A cada par de números reales (x , y) le corresponde uno y solamente un punto P del plano coordenado.
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EJERCICIOS : Grupo 2
19
EJERCICIOS:
Grupo 2
1. Hallar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en la forma más simplificada posible. a) A(m , n ) , B ( m-^ 1^
, n+^ ^ )
b) A(Sena , C o s a ), B(- Sen(3, CosP)
2 . La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5 , -2 ) es 2 V4 T; liailar la abscisa del punto. (Guía: Ejemplo 1). v •=• ^ / 3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7 , 1 ) y B(3 , b) es 5. 4. Usando la fórmula de la distancia, demostrar que los puntos dados son colinea-
les (Guía: Ejemplo 2).
5.
a) A(-2 ,-5) , B(1 ,-1) , C(4 , 3)
Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes triángulos cuyos vérti ces son los puntos dados. (Guía: Ejemplo 4) a) A(-5 , 3 ), B(3 , 2 ), C(-1 ,-4)
c) A ( 3 , 1 ) , B ( - 1 , -1 ) , C ( 1 - , 2 V3)
b) A(2 , -1) , B(6 , 7) , C(-4 , -3)
d) A(6 , 5 ), B(3 , 7 ), C(2 , -1)
6. Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los tres puntos dados (Guía: Ejemplo 3).
a) A(-11 , 3) , B(6 , 10) , C(1 , 11) b) R(2 , 3 ), S(4 , -1), T(5 , 2)
7. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-8 , -3), B(-2 , 6) , C(8 , 5) y D(2 , -4) es un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de diferente longitud). 8. Demostrar que el cuadrilátero con vértices en A(-2 , -1), B(5 , -4), C(-1 , -18) y D(-8 , -15) es un rectángulo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de igual longitud). 9. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(2 , -1) y B(-1 , 2) y los lados iguales miden cada uno
unidades, hallar el vértice
opuesto al lado desigual. (Guía: Ejemplo 6). 10. Hallar un punto sobre la gráfica de SB= {(x , y) | x - 3y - 9 = 0} que equidista de los puntos A(3 , 3) y B(8 , -2) 11. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 5, son A(2 , 6) y B(1 , -1). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia. 12.
Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1 , 0) y B(-1 , 2^3). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Guía: Ejemplo 6).
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Capitulo I: Conceptos preliminares
20
13.
Dados tres vértices A(3 , -7) , B(5 , -7) , C(-2 , 5) de un paralelogramo ABCD, cuyo cuarto vértice D es opuesto a B, determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo.
14.
El lado de un rombo es igual a 5V10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4 , 9) y Q(-2 , 1) Calcular el área de este rombo.
15. Los puntos A(-\3 . 1 ) . B(0 , 2) y C(-2\;3 , 2) son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo con el vértice en el punto A (Sug. Calcular las longitudes de los lados del triángulo y luego aplicar la ley de los cosenos). 16. La longitud del segmento MN es igual a 17, su extremo está en el punto N(-7 , 3) y la proyección sobre el eje de ordenadas es igual a 15. Hallar las coordenadas del origen de este segmento, si se sabe que forma con el eje de abscisas , a) un ángulo agudo , b) un ángulo obtuso. (Guía: Ejemplo 9). 17. Hallar en el eje X un punto M, cuya distancia hasta el punto N(2 , -3) es igual a 5. 18. Dados los puntos M(2 , 2) y N(5 , -2), hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. 19.
Por el punto M(1 , -2) se ha trazado una circunferencia de radio 5 , tangente al eje X. Determinar el centro de la misma.
20. Determinar las coordenadas del punto P, simétrico al punto Q(1 . 2) con respec to a la recta que pasa por los puntos A(-1 , 0) y B(-1 , -2). (Guía: Ejemplo 8). 21. Los vértices de un triángulo son : A(-3 . 6) , B(9 , -10) y C(-5 , 4). Hallar el centro C y el radio r de la circunferencia circunscrita en él. (Guía: Ejemplo 3).
D IV IS IO N DE UN SEG M ENTO EN U N A RAZO N DADA Sean A ( x , y,) y B ( x . , y,) dos puntos del plano que determinan el segmento dirigido AB. Trataremos de hallar las coordenadas x e y de un punto P que esté contenido en él o en su prolongación, de modo que divida a éste es una razón dada, esto es : M
=r
(1)
Para determinar x , por los puntos A , P y B tracemos perpendiculares al eje X , tal como se indica en la Figura 1.18. Llamemos a los pies de estas perpendiculares C , Q y D respectivamente.
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Capítulo /. Conceptos prelii uñares
30
hallar el centro de gravedad de una lámina homogénea cualquiera, se divide ésta en n subláminas homogéneas, todas de figuras geométricas cuyos centros de grave dad conocemos. Luego, si A, , A2 , A ,
An son respectivamente, las áreas de
cada sublámina y G ^ x , , y , ) , G,(x2, y 2) , G,(x.,, y , ) ,. -Gn(xn , y j son sus respectivos centros de gravedad, entonces las coordenadas del centro de gravedad G de la lámina dada, están dadas p o r : I x A ^ i c ♦ n X a.
X y,At yG =
)
_____
¿= 1
n
X a,
Por las condiciones del problema dividimos la lámina dada en tres subláminas cua dradas (Figura 1.27) cuyos centros de gravedad son G,(3 , 9) , G,(3 , 3) y G,(9 , 3). Ahora, en concordancia con las fórmulas (7) podemos escribir : y,A, + y2A2 + y,A, x,A, + x2A 2 + x.A, ’ yc = A, + A2 + A j A, + A2 • A, Pero como A, = A2 = =
= A (área del cuadrado del lado 6) , entonces :
A(x, + x2 + X3) i A(y, + y2 + y,) i . 3A “ = 3 ’ (XI + X2 + X,) ■ r o; =- 3T (y. + - T3A T — L =
*2
, + y>)
Hemos obtenido así las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices G. y G, (Figura 1.27). Por lo tanto : xG= j ( 3 + 3 + 9 ) = 5 , y c = I ( 9 + 3 + 3) = 5 ^
EJERCICIOS: 1.
G(5 , 5)
□
Grupo 3
Hallar las coordenadas de un punto P(x , y) que divide al segmento que deter minan A y B en la relación r = AP : PB a)
2.
A(-2 , 1 ) , B(3 , -4), r = - 8/3
b) A(-5 , 2 ), B(1 , 4 ), r = - 5/3
Dos vértices de un triángulo son A(2 , -3) y B(-5 , 1). El tercer vértice C está sobre el eje Y y el punto de intersección de las medianas sobre el eje X. Hallar el punto C.
3.
En los ejercicios siguientes, calcular los puntos de trisección del segmento cu yos extremos son S y T. (Guía: Ejemplo 2) a)
4.
S(2 , 5 ), T(-10 , -1)
b) S(-5 , 3 ) , T(4 , 21)
Sean m y n enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento de recta P,P2 en la razón m/n , son :
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EJERCICIOS
31
Grupo.!
x = nx' + mx* y = ny’ + my? m+n ’ y m+n 5.
6.
El segmento que une A(-1 , 2) con B(2 , -5) se prolonga hasta C(x , y),sabien do que AC = 3 AB , hallar las coordenadas de C: (Guia: Ejemplo 1). El punto A está a 2/3 de distancia de P(1 , 10) a Q(-8 , 4) y B está en el punto medio del segmento que une R(0 , -7) con T(6 , -11). Hallar la cl(A , B) (Guía: Ejemplo 5).
7. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P(2 , 5), Q(4 , 2) y R(1 , 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. (Guía: Ejemplo 7). 8. Un triángulo tiene por vértices A(-1 , 3), B(3 , 5) y C(5 , -1). Por el punto E(15, 4, 11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coordenadas de D. 9. Dados los puntos P(2 , 1) y Q(5 , 3) tales que PB = 2AP , 3AQ = 4AB ; hallar las coordenadas de los puntos A y B. 10. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividi do en tres partes iguales por los puntos P(2 , 2) y Q(1 , 5). 11.
Si G(3 , 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4/3 , 2 ), G2(3,19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A , B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. (Guía: Ejemplo 9).
12. El punto P(3, 6) es la intersección de los segmentos OA y BC . Si P divide a ambos segmentos en la misma relación y 0 ( 0 , 0), A(5 , 1 0 ) , B ( 5 , 2 ) , hallar las coordenadas del extremo C. 13. Dado el triángulo de vértices A(1 , 3), B(-2 , -3), C(3 , -1), hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A. 14.
Los vértices de un triángulo son A(2 , -5), B(1 , -2) y C(4 , 7); hallar el punto de intersección del lado AC con la bisectriz del ángulo interno el vértice B. (Guía: Ejemplo 10).
15.
Los vértices de un triángulo son A(3 , -5) , B(-3 , 3) y C(-1 , -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo interno del vértice A.
16. Los vértices de un triángulo son A(-1 , -1), B(3 , 5) y C(-4 ,1). Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la prolongación del lado BC.
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32
Capítulo 1: Conceptos preliminares
X 17.
Los vértices de un triángulo son A(3 , -£>), B(1 , -3) y C(2 , -2). Hallar la longitud de la bisectriz del ángulo externo del vértice B.
18. Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interior en B con el lado AC , del triángulo de vértices A(-2 , 2), B(2 , 5) y C(11 , -7). (Guía: Ejemplo 10) 19. Sean A(2 , 1), B(5 , 5) y C(8 , 1) los vértices de un triángulo. Si P divide a BC en la razón r = 2 y Q divide a AC en la misma razón; mostrar que R, intersección de AP y BQ, divide a estos segmentos en la razón s = 3. 20. Los vértices de un cuadrilátero son A(-3 , 12), B(3 , -4), C(5 , -4) y D(5 , 8). Hallar la razón r = BP : PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. (Guía: Ejemplo 13). 21. En el triángulo ABC de vértices A(2 , 9), B(-5 , -3) y C(5 , -1), cada lado está dividido en tres partes iguales: El lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos Bl y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. (Guía: Ejemplo 14). 22.
En una lámina homogénea que tiene la forma de un rectángulo, con los lados iguales a a y b, se ha hecho un corte rectangular (Figura 1.28); las rectas del corte pasan por el centro, los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta lámina. (Guía: Ejemplo 15).
23.
De una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, se ha recortado un triángulo (Figura 1.29); la línea de córte une los puntos medios de los lados adyacentes y los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de la misma. (Guía: Ejemplo 15).
FIGURA 1.28
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FIGURA 1.29
Capítulo /. Conceptos preliminares
EJERCICIOS;
Grupo 4
1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P(3 , -4) y por A(x , -2) y B(-7 , y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B. 2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P(6 , -2) y por los puntos A(x , x + 2) y B(x + 6 , y). Hallar la distancia entre A y B. 3. Un punto P(x ,y) equidista de los puntos A(-3 , 2) y B(5 , -2) y la pendic
la
recta que une dicho punto a C(-1 , -2) es -1/2. Halle sus coordenadas. 4.
En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales. (Guía: Ejemplo 1) a) A(k , 3) , B(-4 , -5 - k) , C(2k + 1 , 8 ) b) A(-1 , k - 6) , B(2k - 1 , 3 ) , C(-9 , 4 - k).
5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5). a) A(9 ,2 )
,B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1)
b) A(4 , 0) ,B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2) c) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5 ) , D(-2.-1) 6.
Hallar los valores de k de modo que los puntos dados sean vértices de un triángulo rectángulo, recto en B. a) A(-1 , k - 4) , B(2k , -1) , C(-2 , 2k + 3) b) A(2k , 5) , B(1 , k) , C(2k - 1 ,-7) c) A(3 , k)
7.
,B(k , k - 3)
, C(2-k,-1)
Por medio de pendientes, demostrar que el cuadrilátero de vértices A(1 , -4), B(8 , -2), C(-4 , 16) y D(-3 , 2) es un trapecio.
8. Los puntos dados son los vértices de un cuadrilátero ABCD, usando pendien tes mostrar si es o no un rectángulo. a) A(-2 , -1 ) , B(5 , -4) , C(-1,-18) y D(-8,-15) b) A(-1 , 3) , B(5 , 7) , C(9 , 1) y D(3 , -3) 9.
Dados los puntos A(-1 , 5 ), B(3 , 2) y C(4 , 3 ), hallar la pendiente de la recta <2? que pasa por C y que divide al segmento AB en la razón - 3/2.
10.
Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une A(-4 , 4) con B(2 , 2) y el punto que está a los 3/5 de la distancia de C(5 , 3) a D(-3 , -2).
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Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre dos rectas
11.
43
Hallar lapendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos M(-3 , 2) y N(7 , 6) y el punto P(x , y) tal que AP : PB = 1: 2, siendo A(0 , 2) y B(5 ,0).
12.
Un punto M(x , y) dista del punto C(2 , 5), VTo unidades. La pendiente del seg mento que une a M con A(7 , 5) es 1/2; hallar las coordenadas de M.
13.
La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3 , 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A. (Guía: Ejemplo 6).
14. Sea P( x, y) un punto que equidista de los puntos A(-3, 4) y B(3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P. 15. Sean A ( 3 ,1) y B(-2 , -6) los vértices de un triángulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4 , -4), hallar las coordenadas del tercer vértice. 16. Los puntos A, B y C dados , son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. (Guía: Ejemplo 10). a) A(0 , 0) , B(1 ,4 ) , C(5 , 1) b) A(3 , 12) , B(8 , 1) , C(-2 , -5) 17. Sean A (5 , 3 ), B(-1 ,2 ) y C(1 , -1) tres vértices de un paralelogramo ABCD, hallar
la distancia del cuarto vértice D al punto P(-2 , 6). 18. Se tiene un triángulo de vértices A(-4 , -3), B(1 , 4) y C(7 , 10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta a AC. 19. Dado el triángulo de vértices A(1 , 2), B (5 , 3) y C(4 , 4); calcular las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.(Guía: Ejemplo 9). 20.
Los puntos A(-2 , 5), B(1 , -1), C(7 , 1) y D son vértices de un paralelogramo ABCD, siendo B y D vértices opuestos. Sean M e AB tal que AM = ^ AB y N punto medio de BC. Hallar la intersección de los segmentos MC y DN.
f in
FO R M U LA D EL A N G U LO E N TR E DOS RECTAS___________
Consideraremos dos rectas cualesquiera no perpendiculares 3^ y 3L ningu na de las cuales es paralela al eje Y, y deduciremos una fórmula para el ángulo de 3? a
en función de sus pendientes.
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Sección ¡ 9: Fórmula del ángulo entre Jos recias
49
_ En el AABC : Tga -
m - m, ( 1) 1+ m . m Dado que el cuadrilátero ABCD es un cuadrado la m(a) = 45°, por lo que en (1) se tiene : -1/7- m, I = -— , . ™ab AB = ^X ]
BC
, de donde : m, = - 4/3
=
. 3
- 1 x,+ 4
« . 4x + 3y = 12
(2)
»
(3)
3x, - 4y, = - 16
De (2) y (3), por simultáneas, obtenemos : x, = 0 , y, = 4 => B = (0 , 4) 0+ 1 - ~
M es punto medio de AC => M = M es también punto medio de BD
(-4
2
f0 + x. • i) = ( 2
4 + y; • - !
Por igualdad de pares ordenados obtenemos : x; = - I , y = - 3 <=> D = (-1 , -3) CU
EJERCICIOS:
Grupo 5
1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45° La recta de menor inclinación pasa por P(-2 , 1) y Q (9 , 7 ), y la recta de mayor inclinación pasa por A(3 , 9) y B(-2 , y). Hallar la ordenada de B. (Guía: Ejemplo 1). 2.
Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3 , 1) y B(4 , 3) con la recta que pasa por C(1 , 2) y D(6 , 7).
3. Hallar el ángulo que forman la recta que pasa por A(-4 , 5) y B(3 , 9) pon la recta que pasa por C(-2 , 4) y D(9 , 1). 4. Hallar las tangentes de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados a) A(-2 , 1 ) , B(3 , 4 ) , C(5 , 2)
' • b) A(4 , 1) , B(-1 , 3 ), C(-5 , -2)
5. Demostrar que A(-1 , 2 ) , B(3 , -2) y C (6 , 5) forman los vértices de un triángulo isósceles, mostrando para ello que dos de sus ángulos son iguales. 6.
Tres rectas .S?, , -3| y .S?3 se interceptan en M(-6 , 4 ), si y .2j^copt¡enen a los puntos A(2 , 2) y B (0 , 0) respectivamente y 2?, es bisectriz del ángulo que hacen 5?, y
hallar la pendiente de
(Guía: Ejemplo 5).
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Capitulo I: Conceptos preliminares
50
7. Los vértices de un triángulo son A(-4 , -1), B(4 , b) y C(-6 , 13). Hallar el valor de b si la altura que pasa por C intercepta a la mediatriz que pasa por B formando un ángulo de 45®. 8.
Dado el triángulo A(-2 , 3), B(-4 , -4) y C(3 , -2), hallar el ángulo que forman la mediatriz del lado ÁB con la mediana trazada desde C. (Guía: Ejemplo 9).
9.
Hallar las coordenadas de los puntos situados sobre el eje X, desde los cuales se ve el segmento que une A(-2 , 3) con 8(5 , 7) bajo un ángulo de 45
10.
Sea r la recta que pasa por los puntos A(2 , 1) y B(4 , -3). Cuál es la pendiente de una recta St tal que el ángulo entre r y & es 45a.
11. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado A (2 , 2) y C(-5 , 3), hallar los otros dos vértices. (Guía: Ejemplo 10).
C T O EL A R E A DEL T R IA N G U L O _________________________________ En esta sección desarrollaremos una fórmula para el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Se presentan dos casos.
CASO 1. Cuando uno de los vértices coincide con el origen Sean A(x, , y,) y B(x2 , y,) las coordenadas de los otros dos vértices. En la Figura 1.50 pode mos observar que a(AOAB) + a(AOMA) = a(AONB) + a(NMAB) => a(AOAB) + I( x ,y ,) = = ^ ( x 2y2) + ^ ( y , + y 2)(x, - x 2)
= j ( x ,y. - x 2y , + x , y 2) ^
a(AOAB) = i ( x , y 3 - x2y,)
FIGURA 1.50 Esta fórmula del área puede recordarse más fácilmente escribiéndola como un de terminante , esto es :
I NOTA. Si los vértices son numerados en sentido antihorario, esta fórmula da el área. Si no son numerados de esta manera, obtenemos el negativo del área. Sin embargo, ello
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Capítulo I: Conceptos preliminares
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( EJE M P LO 8 )
El área de un paralelogramo es 12 u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1 , 3), y B(-2 , 4). Hallar los otros dos vértices de
este paralelogramo, sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está situado en el eje de abscisas.
Solución. Supóngase que ( x , , y,) y (x2, y2) sean las coordenadas de C y D respec tivamente. El área del AABC es la mitad del área del paralelogramo 3 6=2
^
, de donde I x + y - 2 1 = 12
(1)
En (1), las variables x e y no llevan subíndices por que representan a las coordenadas de C o D. Dado que G( x , 0) es la intersección de las diagona les, entonces es punto medio deAC y BD. Luego,para ÁC : 0 =
-1(3 + y,)
y, = -3 FIGURA 1.55
y para BD : 0 = -i (4 + y2) =* y2 = -4 Sustituyendo estos valores en (1) tendremos :
y, = -3 c=> | x, - 5 I =12 <=> x, - 5 = -12 ó x, - 5 = 12 x, = -7 ó x, = 17 y2 = -4 <=> I Xj - 6 1 =12 <=> x2 - 6 = o
-12ó x2 - 6 = 12
x2= -6 ó x2= 18
Por tanto , hay dos soluciones para cada vértice C(-7 , -3) ó C’(17 , -3) ; D(-6 , -4) ó D'(18 , -4)
EJERCICIOS: 1.
□
Grupo 6
Hallar el área de los polígonos cuyos vértices son a) A(V2 , 2 ), B(-4 , 6) , C(4 , -2<2) b) A(2 , 5) , B(7 , 1 ), C(3 , -4) , D(-2 , 3) c) A(3 , 2) , B(-1 , 4) , C(-5 , 1), D(-3 , -3), E(1 , -4)
2.
El área
de un triángulo es S = 8u2, dos de sus vértices son lospuntos A(1, -2)
yB(2 , 3) y el tercer vértice C está sobre la recta CP : 2x + y -2 = coordenadas. (Guía: Ejemplo 5).
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0 Hallar sus
Sección 1.11: Demostraciones analític
_____________ ^______________________ 57
3. Sea A(2 , 0) y B (3 ,3) la base de un triángulo ABC. Hallar el tercer vértice sabien do que está en el primer cuadrante y que el área del triángulo es de 5 u2 y que la recta que une C con el origen forma 459 con el eje X. 4. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(3 , -1) y B(6 , 2). Hallar las coordenadas del tercer vértice C si el a(AABC) = 7.5 u2 . 5. El lado de un rombo es igual a 5^2 unidades y dos de sus vértices opuestos son P(4 , 9) y Q(-2 , 1). Hallar su área. ü
Dados los puntos A(2 , -3) y B(5 , 1), hallar las coordenadas de un tercer punto je , unido a las anteriores formen entre si un triángulo de área S = 15 u2 y cuya distancia al primero sea 3^5 unidades. (Cuatro soluciones)
7. Dado el triángulo de vértices A ( 5 , 15) y B (-7 , -1) y C ( 8 , -6), hallar la longitud de la altura trazada del vértice C sobre AB. 8. El área de un triángulo es S = 3 u2, dos de sus vértices son los puntos A ( 3, 1 ) y B(1 , -3), el tercer vértice C está situado en el eje Y. Halle sus coordenadas. 9.
El área de un triángulo es S = 4 u2, dos de sus vértices son los puntos A(2 , 1) y B(3 , -2); el tercer vértice C está situado en el eje X. Halle sus coor.: nadas.
10. El punto P(x , y) equidista de los puntos A(2 , 2) y B(10 , 8) . Si el a(
a APB)
=
25 u2, hallar la$,£pordenadas del punto P. 11.
Dado el trapecio de vértices A(-4 , - 2 ) , B(8 , 2) , C(4 , 6) y D(-2 , 4). Si sus diagonales se cortan en el punto P, hallar la razón entre las áreas de los trián gulos APB y BPC.
12.
El área de un paralelogramo es S = 17 u2, dos de sus vértices son los puntos A(2 , 1) y B(5 , -3). Hallar los otros dos vértices, sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está en el eje Y. (Guía: Ejemplo 8).
tm
D E M O S TR A C IO N E S A N A L IT IC A S __________________________ Los métodos analíticos se pueden emplear en forma muy efectiva para
demostrar teoremas de la geometría euclidiana plana. Las demostraciones se pue den llevar a cabo empleando las coordenadas cartesianas de algunos puntos y ha ciendo uso de todas las fórmulas estudiadas anteriormente. Cuando se emplean coordenadas para demostrar un teorema puede facili tarse a veces la demostración si los ejes coordenados se orientan de alguna manera
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Capítulo 1. Concepu
Solución. Sea el paralelogramo ABCD , cuyas coordenadas de sus vértices, mostra das en la Figura 1.59, se determinan como en el Ejemplo 1.
Hipótesis : ABCD es un paralelogramo , M punto medio de DC y N punto medio de ÁB.
Tesis : I B MI = IÑD I y BM 11 ÑD Demostración.
FIGURA 1.59
Efectivamente: Si N es punto medio de AB =* N =
y si M es punto medio de DC Luego : I BM I =
M - p f S . f )
b - b)~ + (-| - c)~ = 1 V(2a - b)2+ c2
i ÑD I = V ( a - | ) ' + (0- - |) 2 = ~ V(2a - b)- + c-’ Por lo que : | BM | = | ND | Demostraremos ahora que Pendiente de MB : m = 1 Pendiente de DN :
M B11 DN . En efecto : B w - x„
m, = yN• yD
c - c/2 b - 2a + b
b - 2a
c/2 - o
□
En consecuencia , si m = m, <=> MB 11 DN.
EJERCICIOS:
Grupo 7
1.
Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.
2.
Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
3.
Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto.
4.
Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
5. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados no parale los de un trapecio es paralelo a las bases e igual a su semisuma. 6. Demostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que une los puntos me-
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Sección 1.11: Demostraciones analíticas
61
dios de los lados no paralelos, se cortan en un mismo punto. 7.
Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.
8.
Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero cualquiera dado y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de dicho cuadrilátero, se intersecan en sus puntos medios. (Guía: Ejemplo 2).
9. 10.
ostrar que los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales. Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de cualquier punto de un plano a dos vértices opuestos de cualquier rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los otros dos vértices.
11. Demostrar que si O , A , B y C son vértices consecutivos de un paralelogramo, y D y E los puntos medios de los lados AO y BC, respectivamente, los segmen tos DB y OE trisecan a la diagonal AC. 12.
Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son perpenr! :ulares, entonces éste es un rombo.
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